7/24/2019 Espace Euclidiens Prepa
1/2
18 : espaces euclidiens PC -
186/ R4 est muni de sa structure euclidienne canonique. On
pose
F= Vect
11
1
1
,
111
1
G= Vect
111
1
,
11
1
1
.
Montrer que H= (F G) est un hyperplan de R4. Donner une equation
cartesienne et une basede H.
Quelle est la distance du point
1000
a H?
(CCP 02)
187/Lespace vectoriel R4 est muni de structure euclidienne
canonique. Soit Fle plan engendre par les
vecteurs
10
10
et
01
10
.
Determiner la matrice dans la base canonique de la projection
orthogonale sur F.
Determiner F et la matrice dans la base canonique de la
projection orthogonale sur F.
(TPE 08)
188/ Soit n N et E un espace vectoriel euclidien de dimension n.
Soit p L(E) un projecteurorthogonal.
Montrer que x E, p(x) x= p(x)2. Montrer que pour toute base
orthonormale (e1, . . . , en) on a
nk=1
p(ei)2 = rg(p).
(CENTRALE 09)
189/ Soit n N. On munit R2n+1 de son produit scalaire
canonique.Soit A M2n+1(R) une matrice antisymetrique et f
lendomorphisme canoniquement associe.
Montrer que (x, y)R2n+1
2,
f(x) y
=
x f(y)
.
Montrer que det(A) = 0 et que le spectre de f (dans R) est{0}.
Montrer que les matrices (I2n+1+ A) et (I2n+1 A) sont
inversibles.
On pose B= (I2n+1+ A)(I2n+1 A)1. Montrer que B O(2n + 1) et que
det B= 1.
(CCP 09)
190/ Soit E un espace euclidien et u L(E). On suppose quex E
,
u(x) x
= 0.
Montrer que Ker u= (Im u)
.(CCP 10)
191/ Soit n N et A Mn(R). Montrer lequivalence entre les deux
affirmations suivantes :
AtA= tAA. X Mn,1(R),
tXtAAX tXAtAX.
(Mines 11)
T.S.V.P.
7/24/2019 Espace Euclidiens Prepa
2/2
192/ On munit R3 de sa structure euclidienne canonique. On
considere une matrice A de M3(R) et lesendomorphismesu et v
respectivement associes a Aet tA.
Montrer que (x, y)R32
,
u(x) y
=
x v(y)
.
Montrer quun sous-espace vectoriel F de R3 est stable par usi et
seulement si son orthogonal est
stable par v.
Application : determiner tous les sous-espaces stables par
ulorsque A=
1 1 11 0 0
0 1 0
(Centrale 12)
193/ Soit Eun espace vectoriel euclidien de dimension n 2. On
note E = E\ {0} et on fixe deuxvecteurs a et b dans E. On definit
lapplication : E R
x
x a
x b
x2
.
Montrer que est bornee sur E. On pose m = InfxE
(x) et M = SupxE
(x).
Determiner m et Mquand la famille (a, b) est liee.
Determiner m et Mquand la famille (a, b) est libre.
(Centrale 12)
194/ Lespace euclidien usuel de dimension 3 est rapporte a sa
base canonique (e1, e2, e3) (orthonormale
donc). Soit Rla rotation dangle
3dont laxe oriente est dirigee par e1+ e2.
Donner la matrice de R. Determiner deux plans P et Qtels queR
soit le produit des reflexions par rapport a ces deux plans.
(Centrale 12)
195/ Soit E = C2 ([0, 1],R). On munit E du produit scalaire
defini par
f g
=
1
0
(f(t)g(t) +
f(t)g(t)) dt. On definit les sous-ensembles de Esuivants :
V =
fE f =f.
W =
fE f(0) =f(1) = 0.
H=
fE f(0) = ch(1) et f(1) = ch(0).
Montrer que (f, g) V E,
f g
= f(1)g(1) f(0)g(0).
Calculer
ch sh
, ch 2 et sh 2. Mettre le resultat sous la forme la plus
simple possible.
Calculer f g pour (f, g) V W Montrer que la famille (ch, sh) est
libre dans E. Donner la dimension de V eten deduire que (ch, sh)
est une base de V.
On note Vla projection orthogonale sur V.
Calculer
f ch
et
f sh
pour fH.
Pour fH, exprimer V(f) dans la base (ch, sh) et calculer
V(f)2.
(CCP 12)
196/ On considere la matrice A= 1
3
2 2 11 2 2
2 1 2
. Quel est lendomorphisme frepresente par A
dans la base canonique deR3
?(Minettes 12)
