Chapitre 5Espaces vectoriels normés

Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C.

5.1 Normes5.1.1 Définitions et exemplesa) Définition

Soit E un K-espace vectoriel.

Définition (norme)Une norme sur E est une application N : E ≠æ R vérifiant les trois propriétés suivantes :

1. ’x œ E, N(x) > 0, avec égalité si, et seulement si, x = 02. ’x œ E, ’⁄ œ K, N(⁄x) = |⁄|N(x)3. ’x, y œ E, N(x + y) 6 N(x) + N(y) (inégalité triangulaire).

Un espace vectoriel muni d’une norme est appelé espace vectoriel normé. La norme d’un vecteur estsouvent notée ||x|| au lieu de N(x).

Exemple 1. Si E est un R-espace vectoriel muni d’un produit scalaire noté È· | ·Í, la norme || · || définiepar

||x|| =

Èx | xÍ

est bien une norme au sens défini ci-dessus.

Remarque 1. Dans un espace vectoriel normé, on a aussi l’autre inégalité triangulaire :--||x|| ≠ ||y||

-- 6 ||x + y||.

En e�et, il su�t d’écrire||x|| = ||(x + y) + (≠y)|| 6 ||x + y|| + ||y||

et||y|| = ||(x + y) + (≠x)|| 6 ||x + y|| + ||x||

pour obtenir l’encadrement souhaité.

Une norme sur un espace vectoriel permet de mesurer la distance entre deux vecteurs :

Définition (distance)Soit || · || une norme sur l’espace vectoriel E. La distance associée est l’application

d : E ◊ E ≠æ R+(x, y) ‘≠æ d(x, y) = ||x ≠ y||

.

Elle vérifie les propriétés suivantes :

73

74 Chapitre 5. Espaces vectoriels normés

1. ’x, y œ E, d(x, y) = 0 ≈∆ y = x2. ’x, y, z œ E, d(x, z) 6 d(x, y) + d(y, z)

(en e�et, il su�t d’écrire que z ≠ x = (z ≠ y) + (y ≠ x)).

b) Normes usuelles sur Kn

Exemple 2. Sur l’espace E = Rn, la norme euclidienne est définie par

’x = (x1, . . . , xn), ||x||2 =Ò

x21 + · · · + x2n :

c’est la norme associée au produit scalaire canonique sur Rn.

Exemple 3. Sur l’espace E = Cn, la norme hermitienne est définie par

’x = (x1, . . . , xn), ||x||2 =

|x1|2 + · · · + |xn|2 =Ô

x1x1 + · · · + xnxn.

La seule chose non évidente à vérifier est l’inégalité triangulaire. Pour la vérifier, considérons deux vecteursx et y de Cn. Il s’agit de démontrer que

nÿ

i=1|x

i

+ yi

|2 6nÿ

i=1|x

i

|2 +nÿ

i=1|y

i

|2 + 2ı̂ıÙ

nÿ

i=1|x

i

|2ı̂ıÙ

nÿ

i=1|y

i

|2,

soit encore, en développant le membre de gauche, que

2ŸeA

nÿ

i=1x

i

yi

B6 2

ı̂ıÙnÿ

i=1|x

i

|2ı̂ıÙ

nÿ

i=1|y

i

|2.

Pour cela, il su�t de démontrer que-----

nÿ

i=1x

i

yi

----- 6ı̂ıÙ

nÿ

i=1x

i

xi

ı̂ıÙnÿ

j=1y

j

yj

,

ce qui s’écrit encoreA

nÿ

i=1x

i

yi

B Q

anÿ

j=1x

j

yj

R

b 6A

nÿ

i=1x

i

xi

B Q

anÿ

j=1y

j

yj

R

b ,

soit Anÿ

i=1x

i

yi

B Q

anÿ

j=1x

j

yj

R

b 6A

nÿ

i=1x

i

xi

B Q

anÿ

j=1y

j

yj

R

b ,

ou encore ÿ

16i,j6nx

i

yi

xj

yj

6ÿ

16i,j6nx

i

xi

yj

yj

.

Après suppression des termes correspondant à j = i, égaux des deux côtes de l’inégalité et regroupementdu terme obtenu pour le couple (i, j) (i > j) avec celui obtenu pour le couple (j, i), il reste à démontrerque

0 6ÿ

16i

5.1. Normes 75

Exemple 4. Sur Kn, l’application || · ||1 définie par

’x = (x1, . . . , xn) œ Kn, ||x||1 = |x1| + · · · + |xn|

est une norme. En e�et, les deux premières propriétés sont clairement vérifiées. Démontrons l’inégalitétriangulaire. Pour cela, choisissons deux vecteurs x, y œ Kn. On a alors

||x + y||1 = |x1 + y1| + · · · + |xn + yn| 6 |x1| + |y1| + · · · + |xn| + |yn| = ||x||1 + ||y||1.

Dans le cas réel, cette norme n’est pas issue d’un produit scalaire : sinon, on retrouverait le produitscalaire par la formule

Èx | yÍ = ||x + y||21 ≠ ||x||21 ≠ ||y||21

2 .

Or, à y fixé, l’application x ‘æ ||x+y||21≠||x||

21≠||y||

21

2 n’est pas linéaire !

Exemple 5. Sur le même espace Kn, l’application || · ||Œ définie par :

’x = (x1, . . . , xn) œ Kn, ||x||Œ = max(|x1|, . . . , |xn|)

est également une norme. À nouveau, seule l’inégalité triangulaire n’est pas triviale. Choisissons deuxvecteurs x, y œ Kn. Considérons ensuite l’entier p (resp. q) tel que

|xp

| = max(|x1|, . . . , |xn|) = ||x||Œ et |yq| = max(|y1|, . . . , |yn|) = ||y||Œ.

Pour tout entier i œ [[1, n]], on a

|xi

+ yi

| 6 |xi

| + |yi

| 6 |xp

| + |yq

| = ||x||Œ + ||y||Œ.

L’inégalité étant valable pour tout entier i œ [[1, n]], on en déduit que

max(|x1 + y1|, . . . , |xn + yn|) 6 ||x||Œ + ||y||Œ,

c’est-à-dire la formule ||x+y||Œ 6 ||x||Œ +||y||Œ. Cette norme n’est pas non plus issue d’un produit scalaire.

c) Normes dans les espaces de fonctions

On peut mesurer la distance entre fonctions de bien des façons di�érentes. En voici deux, dont nousverrons qu’elles sont bien di�érentes l’une de l’autre.

Norme uniforme

Soit E = B(I,K) l’ensemble des fonctions bornées d’un intervalle I de R (ou réunion d’intervalles) àvaleurs dans K. Notons, pour f œ E,

||f ||Œ = suptœI

|f(t)|

(ce qui a bien un sens car la fonction f est bornée). Démontrons que l’application || · ||Œ définit une normesur E.– On a ||f ||Œ > 0 pour toute fonction f œ E, avec égalité si, et seulement si, la fonction f est la fonctionnulle.– Pour tout scalaire ⁄ œ K, on a également ||⁄f ||Œ = |⁄| ||f ||Œ.– Démontrons que l’inégalité triangulaire est également vérifiée. Pour cela, soient f, g deux fonctionsappartenant à E. Pour tout réel t œ I, on a

|(f + g)(t)| = |f(t) + g(t)| 6 |f(t)| + |g(t)| 6 ||f ||Œ + ||g||Œ.

Par suite, on asuptœI

|(f + g)(t)| 6 ||f ||Œ + ||g||Œ,

soit||f + g||Œ 6 ||f ||Œ + ||g||Œ.

Définition (norme uniforme)La norme || · ||Œ sur l’espace E est appelée norme uniforme (ou norme de la convergence uniforme, ounorme infini).

76 Chapitre 5. Espaces vectoriels normés

Remarque 2. Si I est un segment de R (rappelons que c’est un intervalle fermé et borné, du type [a, b]),toutes les fonctions continues définies sur I sont bornées. L’application || · ||Œ définit donc une norme surl’espace C ([a, b],K).

Remarque 3. Une fonction périodique définie sur R et continue est également bornée : en e�et, si Test une période de f , la fonction est bornée sur le segment [0, T ], donc sur R (elle reprend les mêmesvaleurs que sur le segment [0, T ]...). L’application || · ||Œ définit donc une norme sur l’espace des fonctionsT -périodiques continues.

Norme de la convergence en moyenne

Rappelons que, si I est un intervalle, on note L1c

(I,K) l’ensemble des fonctions continues définies sur I,à valeurs dans K et intégrables, et que cet ensemble est un K-espace vectoriel.

Proposition (norme de la convergence en moyenne)L’application f ‘æ ||f ||1 =

sI

|f | est une norme sur L1c

(I,K), appelée norme de la convergence enmoyenne.

Démonstration. Soient f, g œ L1c

(I,K) et ⁄ un scalaire. On a :

||⁄f ||1 =⁄

I

|⁄f | = |⁄|⁄

I

|f | = |⁄| · ||f ||1

et, pour tout t œ I, |f(t) + g(t)| 6 |f(t)| + |g(t)|, d’où

||f + g||1 =⁄

I

|f + g| 6⁄

I

|f | + |g| =⁄

I

|f | +⁄

I

|g| = ||f ||1 + ||g||1.

On a bien sûr ||f ||1 > 0. De plus, si ||f ||1 = 0, i.e. sis

I

|f | = 0, alors la fonction |f | est la fonction nulle(car elle est continue et positive), donc f = 0.

5.1.2 Ouverts, fermésDans la suite, E désigne un K-espace vectoriel muni d’une norme, notée || · ||. La distance associée est

notée d.

Définition (boules et sphères)Soit a un point de E, r un réel strictement positif. La boule ouverte (resp. boule fermée) de centre aet de rayon r est l’ensemble

B(a, r) = {x œ E | d(a, x) < r}resp.

Bf

(a, r) = {x œ E | d(a, x) 6 r}.La sphère de centre a et de rayon r est l’ensemble

S (a, r) = {x œ E | d(a, x) = r}.

B(a, r)

a

r

Bf

(a, r)

a

r

S (a, r)

a

r

Figure 5.1 – Boules et sphères

5.1. Normes 77

Définition (partie ouverte)Une partie U non vide de E est dite ouverte si, et seulement si,

’a œ U, ÷Á > 0 | B(a, Á) µ U.

On convient que l’ensemble vide est ouvert.

a

Á

U

Figure 5.2 – Une partie ouverte

Exemple 1. Dans R2 muni de la norme euclidienne, considérons U1 = {x = (x1, x2) œ R2 | x1 > 0}.

a

a1

Á

U1

x10

La partie U1 est un ouvert : en e�et, soit a = (a1, a2) œ U1 : alors a1 > 0. Posons Á = a1/2 : on aB(a, Á) µ U1.

Exemple 2. Considérons maintenant U2 = {x = (x1, x2) œ R2 | x1 > 0}.

U2

x1

La partie U2 n’est pas un ouvert : en e�et, considérons le point O = (0, 0) œ U2. Pour tout réel Á > 0, laboule B(O, Á) « déborde » de U2 : le point (≠ Á2 , 0) appartient à cette boule mais pas à U2.

Exemple 3. Une boule ouverte B(a, r) est ouverte

78 Chapitre 5. Espaces vectoriels normés

a

xd

Á

En e�et, soit x appartenant à cette boule et d = d(a, x) : on a 0 6 d < r. Alors, pour tout réel Á < r ≠ dla boule B(x, Á) est incluse dans B(a, r) car, si y appartient à cette boule, alors

d(a, y) 6 d(a, x) + d(x, y) < d + r ≠ d = r.Exemple 4. Une boule fermée B

f

(a, r) n’est pas ouverte : en e�et, les points x de la sphère S (a, r) nevérifient pas la condition : toute boule ouverte de centre x et de rayon Á, aussi petit ce dernier soit-il,« déborde » de la boule B

f

(a, r).

a

Définition (partie fermée)Une partie A µ E est dite fermée si, et seulement si, son complémentaire U = {

E

A est ouvert.

Exemple 5. L’ensemble vide, la partie U2 = {(x1, x2) œ R2 | x1 > 0}, les boules fermées... sont desfermés.

Attention! Dire que les fermés sont les complémentaires des ouverts ne signifie en aucun cas qu’unepartie est soit ouverte, soit fermée. De même que dans R pour les intervalles, une partie de E n’est engénéral ni ouverte ni fermée.

Proposition (intersections et réunions d’ouverts ou de fermés)Soit E un espace vectoriel normé. Soient A1, . . . , An des ouverts de E et B1, . . . , Bn des fermés de E.Alors– les ensembles A1 fl · · · fl An et A1 fi · · · fi An sont ouverts ;– les ensembles B1 fl · · · fl Bn et B1 fi · · · fi Bn sont fermés.

Démonstration. Démontrons que la partie A = fini=1Ai est ouverte. Pour cela, choisissons un point a œ A,

et considérons un indice i œ [[1, n]] tel que a appartienne à l’ouvert Ai

. Il existe un réel Á > 0 tel queB(a, Á) µ A

i

. Ce réel vérifie donc B(a, Á) µ A, donc A est ouverte.Démontrons maintenant que l’ensemble AÕ = A1 fl · · · fl An est ouvert. Pour cela, choisissons un point

a œ AÕ. Pour chaque i œ [[1, n]], a appartient à l’ouvert Ai

, donc il existe un réel Ái

tel que B(a, Ái

) µ Ai

.Posons Á = min(Á1, . . . , Án). On a alors B(a, Á) µ Ai pour tout i œ [[1, n]], donc B(a, Ái) µ AÕ, ce quiprouve que AÕ est ouvert.

Le résultat sur les fermés s’en déduit pas passage au complémentaire : en e�et, pour montrer queB = fln

i=1Bi est fermé, il faut montrer que son complémentaire {EB est ouvert. Or

{E

B = {E

An‹

i=1B

i

B=

n€

i=1{

E

Bi

est ouvert en tant qu’intersection d’un nombre fini d’ouverts, donc B est fermé. La démonstration estsimilaire pour une l’union.

5.1. Normes 79

Définition (partie bornée)Une partie A de E est dite bornée si, et seulement si, il existe un réel positif R tel que A µ B(O, R).

Exemple 6. Les boules ouvertes et fermées sont bornées ; les parties U1 et U2 des exemples précédents nele sont pas.

Définition (intérieur)Soit A une partie de E. Un point a œ A est dit intérieur à A si, et seulement si, il existe un réel Á > 0tel que B(a, Á) µ A.L’ensemble des points intérieurs à A est noté

¶A : c’est l’intérieur de A (c’est une partie de A).

Remarque 1. Une partie A est donc ouverte si, et seulement si, elle est égale à son intérieur. Dans lesautres cas, l’inclusion

¶Aµ A est stricte.

Définition (adhérence)Soit A une partie de E et x un point de E. On dit que x est adhérent à A si, et seulement si, touteboule ouverte de centre x rencontre A.L’ensemble des points adhérents à A est noté A : c’est l’adhérence de A.

a /œ A

A

a œ A

A

Autrement dit : les points de l’adhérence A de A sont les points qui, s’ils n’appartiennent pas néces-sairement à A, en sont aussi proches que possible (à distance nulle). En particulier, tout point de A estadhérent à A. C’est en ces points que l’on pourra parler de limite (éventuelle) d’une fonction définie surla partie A.

Définition (frontière)

La frontière d’une partie A de E est l’ensemble Fr(A) = A\¶

A.

Exemple 7. La frontière de la boule fermée de centre a et de rayon r est la sphère de centre a et derayon r ; c’est aussi la frontière de la boule ouverte B(a, r).

Définition (segment)Soient a, b deux vecteurs de E. Le segment d’extrémités a et b est l’ensemble, noté [a, b], des vecteurspouvant s’écrire sous la forme x = ta + (1 ≠ t)b, où t œ [0, 1].

L’application t œ [0, 1] ‘æ ta+(1≠ t)b est une paramétrisation du segment (pour t = 0, on obtient b, pourt = 1, on obtient a, pour t = 12 , le milieu de [a, b]).

80 Chapitre 5. Espaces vectoriels normés

Définition (partie convexe)Une partie A non vide de E est dite convexe si, et seulement si, pour tous a, b œ A, le segment [a, b]est inclus dans A. On convient que l’ensemble vide est convexe.

Exemple 8. L’ensemble E est convexe ; tout sous-espace vectoriel de E est convexe.

Proposition (convexité des boules)Toute boule, ouverte ou fermée, est une partie convexe.

Démonstration. Démontrons le résultat pour la boule ouverte de centre Ê et de rayon r > 0, la démons-tration est similaire pour les boules fermées. Soient donc a, b œ B(Ê, r) : ils vérifient d(Ê, a) < r etd(Ê, b) < r. Il s’agit de montrer que, pour tout réel t œ [0, 1], le vecteur x = ta + (1 ≠ t)b appartientencore à B(Ê, r). Pour t = 0 ou t = 1, c’est évident. Dans les autres cas, on a

d(Ê, x) = ||x ≠ Ê|| = ||ta + (1 ≠ t)b ≠ tÊ ≠ (1 ≠ t)Ê|| = ||t(a ≠ Ê) + (1 ≠ t)(b ≠ Ê)||6 t||a ≠ Ê|| + (1 ≠ t)||b ≠ Ê|| car t > 0 et 1 ≠ t > 0= t d(Ê, a) + (1 ≠ t) d(Ê, b) < tr + (1 ≠ t)r car t > 0 et 1 ≠ t > 0= r

5.1.3 Suites à valeurs dans EDans tout ce paragraphe, E désigne un espace vectoriel normé. On note || · || sa norme et d la distance

associée.

Définition (convergence d’une suite)Soit (x

n

)nœN une suite à valeurs dans E et ¸ un point de E. On dit que la suite (xn)n converge vers ¸,

on note xn

≠æn æ Œ

¸, si, et seulement si, la suite numérique d(xn

, ¸) tend vers 0 lorsque n tend versl’infini.

En langage formalisé :

xn

≠æn æ Œ

¸ ≈∆ ’Á > 0, ÷N œ N | ’n > N, d(xn

, ¸) 6 Á.

Théorème (unicité de la limite)Soit (x

n

)nœN une suite à valeurs dans E, ¸1 et ¸2 deux points de E. Si xn ≠æ

n æ Œ¸1 et xn ≠æ

n æ Œ¸2, alors

¸2 = ¸1.

Démonstration. Raisonnons par l’absurde en supposant ¸2 ”= ¸1. Posons alors Á = d(¸2,¸1)3 : c’est un réelstrictement positif.

Á

¸1

d ¸2

5.1. Normes 81

Choisissons deux entiers N1 et N2 tels que, pour tout entier n > N1 (resp. n > N2), on ait d(xn, ¸1) 6 Á(resp. d(x

n

, ¸2) 6 Á) et considérons l’entier N = max(N1, N2) : il vérifie N > N1 et N > N2, donc on a

d(¸2, ¸1) 6 d(xN , ¸2) + d(xN , ¸1) 6 Á + Á =2 d(¸2, ¸1)

3 ,

ce qui est absurde.

On pourra donc, dans le cas où une suite admet une limite, parler de sa limite ; celle-ci sera notée

¸ = limn æ Œ

xn

.

Définition (suite convergente)Une suite est dite convergente si, et seulement si, elle admet une limite. Dans le cas contraire, elle estdite divergente.

Remarque 1. Cette notion de convergence d’une suite d’éléments de E dépend du choix d’une norme surl’espace vectoriel normé. Il est possible que, pour une certaine norme, la suite (x

n

)n

converge vers unelimite ¸, mais que ce ne soit plus vrai pour une autre norme.

Exemple 1. Considérons la suite (fn

)n

de fonctions continues sur R+ définies par :

fn

(x) =

Y_]

_[

0 si x 6 n ≠ 1n

ou x > n + 1n

n(x ≠ n + 1n

) si x œ [n ≠ 1n

, n]≠n(x ≠ n ≠ 1

n

) si x œ [n, n + 1n

].

1

n ≠ 1n

nn + 1

n

Ces fonctions appartiennent toutes à l’espace vectoriel E des fonctions bornées, continues et intégrablessur R+. Considérons les normes || · ||1 et || · ||Œ sur l’espace E. Nous allons prouver que, pour la norme|| · ||1, la suite de fonctions (fn)n converge vers la fonction nulle, alors que ce n’est pas le cas relativementà la norme || · ||Œ. En e�et, en notant f la fonction nulle, on a, pour tout n :

||fn

≠ f ||1 =⁄ +Œ

0|f

n

(t)| dt = 1n

≠æn æ Œ

0,

alors que||f

n

≠ f ||Œ = suptœR+

|fn

(t)| = 1

qui ne tend pas vers 0. En particulier, on obtient deux (au moins) façons de mesurer la distance entredeux fonctions qui sont fondamentalement di�érentes.

Exemple 2. Sur le même espace E, considérons maintenant la suite (fn

)n

de fonctions définies par

fn

(x) =

Y_]

_[

0 si x 6 n2 ou x > 32 n2

n

2 (x ≠ n2 ) si x œ [n ≠ 1n , n]≠ 2

n

2 (x ≠ 3n2 ) si x œ [n, 3n2 ].

82 Chapitre 5. Espaces vectoriels normés

1n

n

2n 3n

2

Cette fois-ci, la suite converge vers la fonction nulle f au sens de la norme || · ||Œ car

||fn

≠ f ||Œ = suptœR+

|fn

(t)| = 1n

≠æn æ Œ

0,

alors qu’elle ne converge pas vers cette même fonction au sens de la norme || · ||1 car

||fn

≠ f ||1 =⁄ +Œ

0|f

n

(t)| dt = 12 ,

qui ne tend pas vers 0.

Proposition (convergence des suites extraites)Soit (x

n

)n

une suite d’éléments de E.– Si la suite converge, toute suite extraite de E converge vers la même limite.– Réciproquement, s’il existe un élément ¸ œ E tel que les deux suites extraites (x2n)n et (x2n+1)n

convergent vers ¸, alors (xn

)n

converge vers ¸.

Proposition (opérations linéaires)Soient (x

n

)n

, (yn

)n

deux suites d’éléments de E et ⁄ un scalaire. On suppose que xn

≠æ ¸1 et yn ≠æ ¸2.Alors x

n

+ ⁄yn

≠æ ¸1 + ⁄¸2.

Démonstration. En e�et, pour tout entier n, on a

d(xn

+ ⁄yn

, ¸1 + ⁄¸2) = ||(xn + ⁄yn) ≠ (¸1 + ⁄¸2)||= ||(x

n

≠ ¸1) + ⁄(yn ≠ ¸2)||6 ||x

n

≠ ¸1|| + |⁄| ||yn ≠ ¸2|| ≠æn æ Œ

0.

Définition (suite bornée)Une suite (x

n

)n

est dite bornée si, et seulement si, il existe un réel M > 0 tel que, pour tout entier n,on ait ||x

n

|| 6 M .

Proposition

Toute suite convergente est bornée. La réciproque est fausse.

Théorème (caractérisation séquentielle de l’adhérence)Soit A une partie de E et a un point de E. Le point a est adhérent à A si, et seulement si, il existeune suite de points de A qui converge vers a.

Démonstration. Supposons l’existence d’une telle suite (xn

)n

de points de A et démontrons que a estadhérent à A, i.e. que pour tout Á > 0, l’ensemble A fl B(a, Á) est non vide. Soit donc Á > 0 un réel.Choisissons un entier N tel que, pour n > N , on ait d(x

n

, a) < Á. Alors xN

appartient à A est vérified(a, x

N

) < Á, donc xN

œ A fl B(a, Á).

5.1. Normes 83

Réciproquement, supposons que a soit adhérent à A ; construisons une suite (xn

)n

de points de A quiconverge vers a. Pour cela, choisissons, pour chaque entier n > 1, un point x

n

œ A fl B(a, 1n

) : la suite(x

n

)n

convient.

Définition (domination et négligeabilité des suites à valeur dans E)Soit (u

n

)n

une suite de points de E et (–n

)n

une suite de réels. On dit que la suite u est– dominée par la suite – si, et seulement si, la suite numérique

!||u

n

||)n

est dominée par la suite –. Onnote u

n

œ O(–n

) ou, abusivement, un

= O(–n

).– négligeable devant la suite – si, et seulement si, la suite numérique

!||u

n

||)n

est négligeable devantla suite –. On note u

n

œ o(–n

) ou, abusivement, un

= o(–n

).

5.1.4 Limites et continuitéDans tout ce paragraphe, E et F désignent des espaces vectoriels normés. Leurs normes sont notées

|| · ||E

et || · ||F

respectivement, les distances associées dE

et dF

.Commençons par définir la notion de limite d’une fonction à valeurs vectorielles. Pour cela, considérons

une partie A de E, une fonction f : A ≠æ F , a un point adhérent à A et b un point de F .

Définition (limite d’une fonction vectorielle)On dit que f admet pour limite b en a si, et seulement si,

’Á > 0, ÷÷ > 0 | ’x œ A,!||x ≠ a||

E

6 ÷ =∆ ||f(x) ≠ b||F

6 Á".

Comme pour les fonctions à valeurs dans K, on a alors le

Théorème (unicité de la limite)Si la fonction f admet deux limites b1 et b2 en a, alors b1 = b2.

Démonstration. Raisonnons par l’absurde en supposant b2 ”= b1. Posons alors Á = ||b2≠b1||F3 : c’est un réelstrictement positif. Choisissons deux réels ÷1 > 0 et ÷2 > 0 tels que, pour tout point x œ A, on ait

!||x ≠ a||

E

6 ÷1 =∆ ||f(x) ≠ b1||F 6 Á"

et!||x ≠ a||

E

6 ÷2 =∆ ||f(x) ≠ b2||F 6 Á".

Posons ÷ = min(÷1, ÷2) et choisissons un point x œ A vérifiant ||x≠a||E 6 ÷ (il en existe car a est adhérentà A). On a alors

||b1 ≠ b2||F = ||!b1 ≠ f(x)

"+

!f(x) ≠ b2

"||F

6 ||b1 ≠ f(x)||F + ||f(x) ≠ b2||F 6 2Á =2||b2 ≠ b1||F

3 ,

ce qui est absurde.

Définition

Lorsque la fonction f admet une limite en a, celle-ci est appelée la limite de f ; elle est notée lima

fou lim

x æ a f(x).

Théorème (caractérisation séquentielle de la limite)Soit f : A ≠æ F une fonction (A : partie de E), a un point adhérent à A et b un élément de F .La fonction f admet pour limite b en a si, et seulement si, pour toute suite (x

n

)n

de points de A quiconverge vers a, on a f(x

n

) ≠æ b.

Démonstration. Supposons que f admette pour limite b en a. Soit (xn

)n

une suite de points de Aqui converge vers a ; démontrons que la suite

!f(x

n

)"

n

converge vers b. Pour cela, choisissons un réelÁ > 0. Choisissons ensuite un réel ÷ > 0 tel que, pour tout point x œ A vérifiant ||x ≠ a||

E

6 ÷, on ait

84 Chapitre 5. Espaces vectoriels normés

||f(x) ≠ b||F

6 Á. Choisissons enfin un entier N tel que, pour tout entier n > N , on ait ||xn

≠ a||E

6 ÷.Alors, pour tout entier n > N , on a ||f(x

n

) ≠ b||F

6 Á, ce qui prouve que f(xn

) ≠æ b.Réciproquement, supposons que f n’admette pas pour limite b en a ; construisons une suite (x

n

)n

depoints de A qui converge vers a sans que la suite

!f(x

n

)"

n

ne tende vers b. On sait qu’il existe un réelÁ > 0 tel que, pour tout réel ÷ > 0, il existe un point x œ A vérifiant ||x ≠ a||

E

6 ÷ et ||f(x) ≠ b||F

> Á.Choisissons un tel réel Á > 0. Pour tout entier n > 1, choisissons alors un élément x

n

œ A vérifiant||x

n

≠ a||E

6 1n

et ||f(xn

) ≠ b||F

> Á : la suite (xn

)n

converge vers a mais f(xn

) ne tend pas vers b.

Théorème (composition des limites)Soient f : A ≠æ B et g : B ≠æ G (A : partie de E et B : partie de F ), a un point adhérent à A, b unpoint adhérent à B et c un point de G. On suppose que– f(x) ≠æ

x æ ab

– g(x) ≠æx æ b

c.Alors g(f(x)) ≠æ

x æ ac.

Démonstration. Résulte immédiatement de la définition.

Proposition (opérations linéaires)Soient f, g : A ≠æ F , a un point adhérent à A, ⁄ œ K. On suppose f(x) ≠æ

x æ ab1 œ F et g(x) ≠æ

x æ ab2 œ F .

Alors (f + ⁄g)(x) ≠æx æ a

b1 + ⁄b2.

Démonstration. Elle est en tout point similaire à celle énonçant le même résultat pour les suites (ou s’endéduit en utilisant la caractérisation séquentielle de la limite).

Définition (domination et négligeabilité des fonctions vectorielles)Soient f : A ≠æ F , Ï : A ≠æ K et a un point adhérent à A. On dit que la fonction f est– dominée par la fonction Ï si, et seulement si, la fonction numérique ||f || est dominée par la fonction Ï.

On note f(x) œ Oa

(Ï(x)) ou, abusivement, f(x) = Oa

(Ï(x)).– négligeable devant la fonction Ï si, et seulement si, la fonction numérique ||f || est négligeable devant

la fonction Ï. On note f(x) œ oa

(Ï(x)) ou, abusivement, f(x) = oa

(Ï(x)).

La notion de limite permet ensuite de définir la continuité d’une fonction :

Définition (continuité)Soit f : A ≠æ F une application et a un point de A. L’application f est dite continue en a si, etseulement si, elle y admet une limite (qui est alors nécessairement f(a)). Elle est dite continue si, etseulement si, elle l’est en tout point de A.

Remarque 1. Si f admet une limite b en a mais que a n’appartient pas à A, on peut prolonger la fonction fen une fonction définie en a également en posant f(a) = b. Ce prolongement, encore noté abusivement f ,est alors continu en a.

Proposition (continuité d’une restriction)Soit f : A ≠æ F une fonction continue. Toute restriction de f est encore continue.

Théorème (continuité d’une composée)Soient f : A ≠æ B et g : B ≠æ G (A : partie de E et B : partie de F ). Soient a œ A et b œ B.– Si f est continue en a et g continue en b, alors g ¶ f est continue en a.– Si f est continue (partout) et g continue (partout), alors g ¶ f l’est aussi.

5.1. Normes 85

Proposition

Soient f, g : A ≠æ F , a un point de A et ⁄ œ K un scalaire. Si f et g sont continues en a (resp.partout), alors f + ⁄g l’est aussi.

Remarque 2. Dans le cas particulier où les fonctions sont à valeurs dans K (et non dans un espace vectorielnormée F quelconque), on peut les multiplier et les diviser (pourvu que le quotient ne s’annule pas). Onobtient alors que le produit de deux fonctions continues l’est encore, de même que l’inverse d’une tellefonction, pourvu qu’elle ne s’annule pas.

Proposition (continuité, ouverts et fermés)Soit f : E ≠æ R une application continue. Alors– l’ensemble U = {x œ E | f(x) > 0} est un ouvert de E– les ensembles V = {x œ E | f(x) > 0} et W = {x œ E | f(x) = 0} sont des fermés de E.

Démonstration. Si l’ensemble U est vide, c’est un ouvert. Sinon, il s’agit de démontrer que, pour toutélément a œ U , il existe un réel Á > 0 tel que la boule ouverte B(a, Á) soit incluse dans U . Choisissonsdonc un élément a œ U . Le réel 12 f(a) est strictement positif, donc il existe un réel Á > 0 tel que, pourtout x œ B(a, Á), on ait

--f(x) ≠ f(a)-- < 12 f(a). Pour tout x œ B(a, Á), on a donc

f(x) = f(a) +!f(x) ≠ f(a)

"> f(a) ≠ 12f(a) =

12f(a) > 0,

donc x appartient à U . On a donc bien B(a, Á) µ U .La deuxième assertion s’en déduit : en e�et, le complémentaire de V est l’ensemble

V = {x œ E | ≠f(x) > 0}.La fonction ≠f étant continue, cet ensemble est ouvert, ce qui signifie que V est fermé. Enfin, W estl’intersection de V et de l’ensemble V Õ = {x œ E | f(x) 6 0}, qui est fermé pour les mêmes raisons,donc W est fermé.Remarque 3. En considérant la fonction ≠f à la place de f , on obtient immédiatement que les ensembles

U = {x œ E | f(x) < 0} et V = {x œ E | f(x) 6 0}sont respectivement ouvert et fermé (pourvu que f soit encore continue). Il en est de même si l’on remplacela valeur 0 par un réel quelconque m (remplacer la fonction f par f ≠ m). Si la partie est définie parplusieurs inégalités et non une seule, on utilise les résultats sur les intersections d’ouverts ou de fermés...Autrement dit, il faut retenir que, lorsqu’une partie est définie

– par des inégalités strictes (faisant intervenir des fonctions continues), elle est ouverte ;– par des inégalités larges (faisant intervenir des fonctions continues), elle est fermée.

Si elle fait intervenir à la fois des inégalités strictes et larges, elle n’est en général ni ouverte ni fermée.Exemple 1. L’ensemble U = {(x1, x2, x3) œ R3 | x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, x1 + x2 + x3 < 1} est un ouvertde R3 ; l’ensemble V = {(x1, x2, x3) œ R3 | x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, x1 + x2 + x3 6 1} est fermé (c’estl’adhérence de U).Remarque 4. Si la fonction f (définie sur E) est à valeurs complexes, parler de l’ensemble U = {x œ E |f(x) > 0} n’a plus de sens ; on peut en revanche toujours considérer l’ensemble W = {x œ E | f(x) = 0}.Celui-ci est toujours fermé : il s’écrit encore sous la forme W = {x œ E | |f(x)| = 0}, où la fonction |f |est continue et à valeurs réelles. La remarque vaut aussi pour l’ensemble W Õ = {x œ E | f(x) = a}.

Définition (application lipschitzienne)Une application f : A ≠æ F (A : partie de E) est dite lipschitzienne si, et seulement si, il existe unréel k > 0 tel que, pour tous x, y œ A, on ait ||f(x) ≠ f(y)||

F

6 k||x ≠ y||E

.

Proposition (continuité des applications lipschitziennes)Toute application lipschitzienne est continue.

86 Chapitre 5. Espaces vectoriels normés

Démonstration. Soit k > 0 un réel vérifiant que, pour tous x, y œ A, on ait ||f(x) ≠ f(y)||F

6 k||x ≠ y||E

.Soit a un point de A. Pour tout x œ A, on a

||f(x) ≠ f(a)||F

6 k||x ≠ a||E

≠æx æ a

0,

ce qui prouve que f(x) ≠æx æ a

f(a), autrement dit que f est continue en a. Ceci étant vrai pour tout a œ A,la fonction f est continue.

Exemple 2. L’application «norme» : E ≠æ R est lipschitzienne (donc continue). En e�et, pour tousx, y œ E, on a alors --||x|| ≠ ||y||

-- 6 ||x ≠ y||.Remarque 5. Si f : E ≠æ F est une application linéaire, il su�t de trouver une constante k > 0 vérifiant||f(x)||

F

6 k||x||E

(pour tout x œ E) pour prouver que f est lipschitzienne : en e�et, pour tous x, y œ E,on a

||f(x) ≠ f(y)||F

= ||f(x ≠ y)||F

6 k||x ≠ y||E

.

5.2 Espaces vectoriels normés de dimension finie5.2.1 Suites et fonctions à valeurs dans E

Dans un espace vectoriel normé E quelconque, la notion de convergence d’une suite (xn

)n

de pointsde E dépend essentiellement du choix d’une norme sur E, i.e. d’une façon de mesurer la distance. Dansle cas particulier des espaces de dimension finie, cet arbitraire disparaît grâce au

Théorème

Soit E un K-espace vectoriel normé de dimension finie. Soient N1 et N2 deux normes sur E. Alors ilexiste deux réels c1, c2 > 0 tels que

’x œ E, N1(x) 6 c1N2(x) et N2(x) 6 c2N1(x).

Démonstration. Ce théorème est admis. Il est d’ailleurs hors programme.

On en déduit immédiatement le résultat suivantThéorème

Soit E un K-espace vectoriel normé de dimension finie. Soient N1 et N2 deux normes sur E. Alors– si une suite (x

n

)n

est convergente au sens de la norme N1, elle l’est aussi au sens de la norme N2 ;– si c’est le cas, sa limite au sens de la norme N1 est la même que sa limite au sens de la norme N2.

Démonstration. Choisissons deux constantes c1, c2 > 0 telles que, pour tout x œ E, on ait N1(x) 6 c1N2(x)et N2(x) 6 c2N2(x). Considérons une suite (xn)n de vecteurs de E.– Supposons la suite (x

n

)n

convergente au sens de la norme N1 et notons ¸ sa limite. Pour tout entier n,on a

N2(xn ≠ ¸) 6 c2N1(xn ≠ ¸) ≠æn æ Œ

0,

ce qui prouve que N2(xn≠¸) ≠æn æ Œ

0, i.e. que la suite converge aussi vers la limite ¸ au sens de la norme N2.– L’autre implication se traite de la même façon, en utilisant l’inégalité N1 6 c1N2.Remarque 1. C’est ce théorème qui est au programme (mais évidemment pas sa démonstration, puisqu’elleutilise le théorème précédent).

De cette façon, la question de la convergence de la suite (xn

)n

vers une limite ¸ œ E ne dépend pasdu choix d’une norme sur E. On pourra donc choisir la norme la plus adaptée pour traiter le problème.En particulier, si E = Kp, on pourra choisir parmi les normes || · ||1, || · ||2 ou || · ||Œ (ou d’autres encore).

Dans le cas où E est un espace vectoriel normé de dimension p (espace quelconque, pas nécessaire-ment Kp), munissons-le d’une base B = (Á1, . . . , Áp). Chaque vecteur x œ E est alors repéré par la famille(x1, . . . , xp) œ Kp de ses coordonnées dans la base B. Grâce à ce choix d’une base, travailler avec unvecteur de E revient à travailler avec un vecteur de Kp. En particulier, on peut définir plusieurs normessur E, par ((x1, . . . , xp) désigne toujours la famille des coordonnées de x dans la base B) :

5.2. Espaces vectoriels normés de dimension finie 87

– ||x||1 = |x1| + · · · + |xp| ;– ||x||2 =

|x1|2 + · · · + |xp|2 ;

– ||x||Œ = max(|x1|, . . . , |xp|).Le théorème précédent assure que, pour étudier la convergence d’une suite, on peut choisir l’une quel-conque de ces trois normes (ou d’autres encore).

Remarque 2. Il est facile, pour chacune de ces trois normes, de trouver des constantes telles que décritesdans le théorème d’équivalence des normes. En e�et, pour tout vecteur x (de coordonnées x1, . . . , xp), ona (en notant k l’indice qui réalise le maximum ; indice qui dépend bien sûr du vecteur x)

||x||Π= |xk| =

|xk

|2 6Ò

|x1|2 + · · · + |xp|2 = ||x||2,

||x||22 = |x1|2 + · · · + |xp|2 6 |x1|2 + · · · + |xp|2 + 2ÿ

i

88 Chapitre 5. Espaces vectoriels normés

En termes de continuité, on obtient :

Théorème

Soit f : A ≠æ E, où A est une partie d’un espace vectoriel normé F . Soit a un point de A.La fonction f est continue en a si, et seulement si, chaque fonction coordonnée f

k

est continue en a.

Définition (fonction polynomiale)Une fonction f : A ≠æ K (A : partie de E) est dite polynomiale si, et seulement si, il existe une base Bde E telle que l’expression de f(x) soit un polynôme en les coordonnées de x exprimées dans la base B.

Les formules de changement de base étant linéaires, il est immédiat de constater que, si c’est le cas,pour toute base B de E, l’expression de f(x) est un polynôme en les coordonnées de x exprimées dansla base B (mais en changeant de base, les formules pour calculer f(x) en fonction des coordonnéeschangent...).

Proposition (continuité des fonctions polynomiales)Toute fonction polynomiale est continue.

Démonstration. Choisissons une base B de E et munissons E de la norme ||x||Œ = max16i6n |xi| (où les xisont les coordonnées de x exprimées dans la base B). Chaque application p

i

: x ‘æ xi

est 1-lipschitziennedonc continue : en e�et, pour tous x, y œ E, on a

--pi

(x) ≠ pi

(y)-- = |x

i

≠ yi

| 6 max16j6n

|xj

≠ yj

| = ||x ≠ y||Œ.

Une application polynomiale n’étant rien d’autre qu’une combinaison linéaire de produits d’applica-tions p

i

, elle est encore continue.

Exemple 3. Soit A œ Mn

(R) une matrice. Considérons l’application

f : Mn,1(R) ≠æ RX ‘≠æ XTAX

(où l’on identifie la matrice XTAX, de taille (1, 1), à son unique coe�cient). La quantité f(X) est unpolynôme en les coe�cients x

i

de la matrice colonne X, donc la fonction f est continue.

Proposition (continuité de l’application déterminant)L’application déterminant det : M

n

(K) ≠æ K est continue.

Démonstration. Le déterminant d’une matrice est une combinaison linéaire de produits de coe�cients decette matrice ; l’application déterminant est donc polynomiale, donc continue.

Corollaire

L’ensemble GLn

(K) des matrices inversibles est un ouvert.

Démonstration. Son complémentaire est l’ensemble {M œ Mn

(K) | det(M) = 0}, qui est donc un fermé.

Remarque 3. En particulier, si une suite (Mn

)n

de matrices inversibles converge, sa limite A n’est pasnécessairement une matrice inversible ! Par exemple, pour tout n > 0, la matrice 1

n

Ip

est inversible ;la limite de cette suite de matrices est la matrice nulle. En revanche, si aucune des matrices M

n

n’estinversible, la limite ne peut pas être non plus inversible (on a det(M

n

) = 0 pour tout n, donc det(A) = 0par passage à la limite).

Remarque 4. Une fonction rationnelle (i.e. le quotient de deux fonctions polynomiales) est donc elle aussicontinue.

5.2. Espaces vectoriels normés de dimension finie 89

5.2.2 Fonctions continues sur des parties fermées bornéesDans ce paragraphe, E désigne un espace vectoriel normé de dimension finie.

Théorème (extrema d’une fonction numérique définie sur un fermé borné)Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, A une partie fermée, bornée et non vide de E etf : A ≠æ R une fonction continue. Alors l’application f est bornée et atteint ses bornes.

C’est-à-dire qu’il existe deux éléments a, b œ A vérifiant : ’x œ A, f(a) 6 f(x) 6 f(b). Le nombre f(a)(resp. f(b)) est le minimum (resp. maximum) de la fonction f ; il est atteint en a (resp. en b), et peut-êtreen d’autres points également !

Remarque 1. Ce théorème généralise celui que vous connaissez déjà concernant les fonctions d’une variableréelle : une fonction (à valeurs réelles) continue définie sur un segment (qui est bien une partie ferméeet bornée) est bornée et atteint ses bornes. Une autre façon de formuler ce résultat est : «l’image d’unsegment par une application continue est un segment». À ne pas confondre avec le théorème des valeursintermédiaires, moins fort, dont une formulation possible est : «l’image d’un intervalle par une applicationcontinue est un intervalle».

Pour démontrer ce résultat (dont la démonstration est non exigible), commençons par énoncer unlemme (hors-programme).

Lemme

De toute suite bornée de E on peut extraire une suite convergente.

Démonstration. Indiquons l’idée de la preuve dans le cas où E = R. La suite étant bornée, on peut trouverun segment I0 = [a0, b0] contenant tous les termes de la suite. Divisons ce segment en deux moitiés demême longueur : l’une au moins de ces deux moitiés contient encore une infinité de termes de la suite.Notons I1 = [a1, b1] cette moitié. En recommençant le procédé, on construit une suite (In)n de segmentsemboîtés tels que chacun de ces segments contienne une infinité de termes de la suite. En notant a

n

< bn

les deux extrémités du segment In

, on dispose d’une suite (an

)n

croissante, une suite (bn

)n

décroissante,telles que b

n

≠ an

tende vers 0 (la longueur du segment est divisée par deux à chaque étape). Les suitessont donc adjacentes et convergent vers une limite commune ¸. Par construction, ce réel ¸ appartient àtous les I

n

.Construisons maintenant une suite extraite de u convergeant vers cette limite ¸. Pour cela, on choisit

pour premier terme u0. Ensuite, le segment I1 contient une infinité de termes de la suite, donc on choisitun entier Ï(1) > 0 tel que u

Ï(1) œ I1. Puis un entier Ï(2) > Ï(1) tel que uÏ(2) œ I2... Par construction,on a a

n

6 uÏ(n) 6 bn pour tout entier n, d’où uÏ(n) ≠æ

n æ Œ¸.

Le cas où E = R2 se traite de façon analogue, à ceci près qu’à chaque étape, au lieu de découper unsegment en deux, on découpe un carré en quatre ; dans R3, on découpe un cube en huit...

Le cas où E = Cn se ramène, en séparant parties réelle et imaginaire, au cas où E = Rn.Enfin, le cas E quelconque (de dimension fini) se ramène au cas E = Kn via le choix d’une base et

l’utilisation de coordonnées.

Démonstration du théorème (non exigible). Commençons par montrer que l’ensemble f est majoré.Si ce n’était pas le cas, on pourrait trouver, pour tout entier n, un élément x

n

œ A tel que f(xn

) > n.La suite (x

n

)n

étant à valeurs dans A, elle est bornée, donc on peut en extraire une suite (xÏ(n))n

convergente. Notons ¸ la limite de cette suite. Comme l’ensemble A est fermé, cette limite appartientencore à A. La continuité de f en ¸ implique alors que f(x

Ï(n)) ≠æn æ Œ

f(¸), ce qui contredit le fait quef(x

Ï(n)) ≠æn æ Œ

+Œ.Cet ensemble étant majoré, il admet une borne supérieure, notée M . Il s’agit de montrer que cette

borne supérieure est en fait le plus grand élément de l’ensemble f. Pour cela, on utilise que, pourtout n > 0, le réel M ≠ 1

n

n’est pas un majorant de l’ensemble f, donc on peut trouver un élémentx

n

œ A tel que f(xn

) > M ≠ 1n

. On extrait encore une suite (xÏ(n))n convergente de cette suite ; sa limite ¸

appartient à A. L’encadrement M ≠ 1Ï(n) 6 f(xÏ(n)) 6 M montre, par passage à la limite, que f(¸) = M ,

autrement dit que M est bien une valeur atteinte par la fonction f , donc que c’est son maximum.La démonstration est identique pour le minimum.

90 Chapitre 5. Espaces vectoriels normés

5.2.3 Continuité des applications linéaires

Théorème (continuité des applications linéaires en dimension finie)Soient E, F deux espaces vectoriels normés de dimensions finies. Toute application linéaire f : E ≠æ Fest lipschitzienne, donc continue.

Démonstration. Notons || · ||E

et || · ||F

les normes de E et F .Choisissons une base B = (e1, . . . , ep) de E et considérons la norme définie sur E par :

||x1e1 + · · · + xpep||B = max(|x1|, . . . , |xp|).

Pour tout vecteur x = x1e1 + · · · + xpep appartenant à la boule unité B = {x œ E | ||x||B 6 1} de E, ona en particulier |x

i

| 6 1 pour tout i. Par suite, pour tout vecteur x œ B, on a

||f(x)||F

= ||x1f(e1) + · · · + xpf(ep)||F 6 |x1|||f(e1)||F + · · · + |xp|||f(ep)||F 6 ||f(e1)||F + · · · + ||f(ep)||F .

Notons M la constante M = ||f(e1)||F + · · · + ||f(ep)||F . Pour tout vecteur x non nul de E, le vecteur1

||x||B x appartient à B, donc vérifie ||f! 1

||x||B x"||F

6 M , d’où l’on déduit ||f(x)||F

6 M ||x||B (la majorationrestant valable pour x = 0).

Choisissons maintenant une constante c > 0 telle que || · ||B 6 c|| · ||E . Pour tout x œ E, on a

||f(x)||F

6 M ||x||B 6 cM ||x||E .

Par linéarité, on en déduit que, pour x, y œ E, on a

||f(x) ≠ f(y)||F

= ||f(x ≠ y)||F

6 cM ||x ≠ y||E

:

l’application f est cM -lipschitzienne (donc continue).

Remarque 1. Seule l’hypothèse de dimension finie de l’espace E de départ nous a servi ; le résultat restevrai même si F est de dimension infinie. En revanche, l’hypothèse de finitude de la dimension de E estessentielle.

Exemple 1. Soit (Mn

)n

une suite de matrices appartenant à Mp

(K). On suppose que

Mn

≠æn æ Œ

A œ Mp

(K).

Alors, pour toute matrice P œ GLn

(K), on a

P ≠1Mn

P ≠æn æ Œ

P ≠1AP.

En e�et, l’application� : M

p

(K) ≠æ Mp

(K)M ‘≠æ P ≠1MP

est linéaire, donc continue.Cet argument très simple est à retenir et à savoir réutiliser.

Exemple 2. Sur l’espace E = C ([0, 1],R) muni de la norme || · ||1, considérons l’application linéaire� : E ≠æ R définie par �(f) = f(0). Considérons également la suite de fonctions (f

n

)n

définies par ledessin ci-dessous.

fn

1

1n

1

5.2. Espaces vectoriels normés de dimension finie 91

Notons f la fonction nulle. La suite de fonctions (fn

)n

converge vers la fonction f : en e�et, on a

||fn

≠ f ||1 =⁄ 1

0|f

n

(t) ≠ 0| dt = 12n ≠æn æ 0 0.

Cependant, la suite!�(f

n

)"

n

ne converge pas vers �(f) = 0 : en e�et, pour tout n, on a �(fn

) = 1. Lafonction � n’est donc pas continue, bien que linéaire.

Proposition (continuité des applications bilinéaires en dimension finie)Soient E, F, G trois espaces vectoriels normés de dimensions finies. Toute application bilinéaire B :E ◊ F ≠æ G est continue.

Démonstration. Notons à nouveau || · ||E

, || · ||F

et || · ||G

les normes de E, F et G.Choisissons une base B = (e1, . . . , en) de E et une base C = (Á1, . . . , Áp) de F et munissons E et F desnormes définies par

||x1e1 + · · · + xnen||B = max(|x1|, . . . , |xn|) et ||y1Á1 + · · · + ypÁp||C = max(|y1|, . . . , |yp|).

Pour tout (x, y) œ E ◊ F vérifiant ||x||B 6 1 et ||y||C 6 1, on a en particulier |xi| 6 1 et |yj | 6 1 pouri œ [[1, n]] et j œ [[1, p]]. Pour un tel couple, on a

||B(x, y)||G

=

------

------B

1 nÿ

i=1x

i

ei

,pÿ

j=1y

j

Áj

2------

------G

=

------

------

nÿ

i=1

pÿ

j=1x

i

yj

B(ei

, Áj

)

------

------G

6nÿ

i=1

pÿ

j=1|x

i

yj

|||B(ei

, Áj

)||G

6nÿ

i=1

pÿ

j=1||B(e

i

, Áj

)||G

= M

Par suite, pour x ”= 0 et y ”= 0, on a------ x||x||B

------B

6 1 et------ y||y||C

------C6 1, d’où

----

----B1 x

||x||B,

y

||y||C

2----

----G

6 1,

ce qui s’écrit encore||B(x, y)||

G

6 M ||x||B||y||C ,l’inégalité étant encore vraie si x = 0 ou y = 0 (car B(0, y) = B(x, 0) = 0). En choisissant deux constantesc1, c2 > 0 telles que || · ||B 6 || · ||E et || · ||C 6 || · ||F et en notant M Õ = c1c2M , on a aussi

||B(x, y)||G

6 c1c2M ||x||E ||y||F = M Õ||x||E ||y||F .

Soit maintenant a un vecteur de E et b un vecteur de F . Pour tout couple (x, y) œ E ◊ F , on a

||B(x, y) ≠ B(a, b)||G

= ||B(x, y) ≠ B(x, b) + B(x, b) ≠ B(a, b)||G

6 ||B(x, y) ≠ B(x, b)||G

+ ||B(x, b) ≠ B(a, b)||G

= ||B(x, y ≠ b)||G

+ ||B(x ≠ a, b)||G

6 M Õ||x||E

||y ≠ b||F

+ M Õ||x ≠ a||E

||b||F

≠æ(x,y) æ(a,b)

0,

ce qui prouve que B est continue en (a, b). Ceci étant vrai pour tout (a, b) œ E ◊ F , l’application B estcontinue.

Exemple 3. Si E est un espace vectoriel de dimension finie, l’espace L(E) en est encore un. L’applicationbilinéaire (f, g) ‘æ f ¶ g est donc continue. Par suite, si f

n

≠æ f et gn

≠æ g, alors fn

¶ gn

≠æ f ¶ g.

92 Chapitre 5. Espaces vectoriels normés

5.3 Test de compréhension du chapitre5.3.1 Questions

1. Soit (un

)n

une suite de vecteurs d’un K-espace vectoriel normé E et ¸ un vecteur de E. Quels lienslogiques y a-t-il entre les deux assertions suivantes :i) ||u

n

≠ ¸|| ≠æn æ Œ

0 ii) ||un

|| ≠æn æ Œ

||¸||.

2. Dessiner les boules Bf

(0, 1) de R2 pour les trois normes || · ||2, || · ||1 et || · ||Œ.3. Soit F un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel normé E. On suppose que B(0, 1) µ F . Démontrer

que F = E.4. Soient x1, x2 deux vecteurs d’un K-espace vectoriel normé E, et r1, r2 deux réels strictement positifs.

a) Calculer la distance du vecteur y = 1r1+r2 (r2x1 + r1x2) (interprétation géométrique de ce vecteur ?)

aux vecteurs x1 et x2.b) Démontrer que la boule B

f

(x1, r1) rencontre la boule Bf (x2, r2) si, et seulement si, ||x1 ≠x2|| 6 r1 +r2.5. Pour tout polynôme P =

qŒn=0 anX

n œ R[X] (somme finie bien sûr), on pose

||P ||1 =Œÿ

n=0|a

n

|, ||P ||Œ = supnœN

|an

|.

a) Justifier que ce sont deux normes sur R[X]. Trouver une constante A telle que, pour tout P œ R[X],on ait ||P ||Œ 6 A||P ||1.b) Pour tout entier n, on pose P

n

= (1 + X + · · · + Xn≠1)/n. Étudier la convergence de la suite (Pn

)n

pour chacune des deux normes.c) Existe-t-il une constante B telle que, pour tout polynôme P œ R[X], on ait ||P ||1 6 B||P ||Œ.

6. Soit a un vecteur d’un K-espace vectoriel normé E. Démontrer que l’application sa

: x ‘æ a + x estcontinue.

7. On considère un produit scalaire È· | ·Í sur un espace E et on munit celui-ci de la norme associée. Soit aun vecteur de E. L’application s

a

: x ‘æ Èa | xÍ est-elle continue ?8. Soit A une partie dense d’un K-espace vectoriel normé E (i.e. que tout vecteur x œ E est limite d’une

suite d’éléments de A). Soient f, g : E ≠æ K deux fonctions continues telles que, pour tout x œ A, on aitf(x) = g(x). Démontrer que f = g.

9. Démontrer que l’application f : [0, 1] ≠æ R, x ‘æ Ôx, n’est pas lipschitzienne.10. Peut-on parler de la convergence d’une suite de polynômes sans faire référence à la norme utilisée pour

parler de limite ? Même question en supposant tous les polynômes considérés de degré inférieur ou égalà une constante d.

11. Parmi les applications suivantes, définies sur Mp

(K), indiquer lesquelles sont continues :i) trace ii) déterminant iii) rang iv) transposition

12. Soient E, F deux espaces vectoriels normés. Est-il vrai que toute application linéaire de E dans F estcontinue ?

13. Soient E, F deux espaces vectoriels normés et f œ L(E, F ). Quels liens logiques y a-t-il entre les assertionssuivantes :i) l’application f est continue ii) l’application f est continue en 0.

5.3. Test de compréhension du chapitre 93

94 Chapitre 5. Espaces vectoriels normés

5.3.2 Réponses1. La première entraîne la seconde (car

--||un

|| ≠ ||¸||-- 6 ||u

n

≠ ¸||) ; la réciproque est fausse (sauf si ¸ = 0).2. – La boule B

f

(0, 1) pour la norme || · ||1 est l’ensemble des (x, y) œ R2 tels que |x| + |y| 6 1. On étudieséparément les quatre quarts de plan définis par les signes de x et y. Dans le quart de plan défini parx, y > 0, l’inégalité s’écrit x + y 6 1. Dans le quart de plan x > 0, y 6 0, l’inégalité s’écrit x ≠ y 6 1...– Pour la norme || · ||Œ, cette même boule est l’ensemble des (x, y) œ R2 tels que max(|x|, |y|) 6 1, i.e.|x| 6 1 et |y| 6 1.

1

1

boule pour la norme || · ||1

1

1

boule pour la norme || · ||2

1

1

boule pour la norme || · ||Œ

3. Soit x un vecteur non nul de E : alors le vecteur y = 12||x|| x est de norme 12 , donc appartient à B(0, 1),donc à F , donc x appartient à F .

4. a) Le vecteur y est le barycentre de x1, a�ecté du coe�cient r2 et de x2, a�ecté du coe�cient r1. Il vérifie||x

i

≠ y|| = rir1+r2 ||x1 ≠ x2|| (pour i œ {1, 2}).

b) Si les deux boules se rencontrent, tout point z appartenant à leur intersection vérifie ||xi

≠ z|| 6 ri

,d’où

||x1 ≠ x2|| = ||(x1 ≠ z) + (z ≠ x2)|| 6 ||x1 ≠ z|| + ||z ≠ x2|| 6 r1 + r2.Réciproquement, si cette inégalité est vérifiée, le point y de la question a) appartient à l’intersection.

5. a) Tout revient en définitive à manipuler des sommes finies. Mais attention : bien que chaque somme soitune somme finie, l’indice N à partir duquel les coe�cients a

n

sont tous nuls dépend de N . Lorsque l’ona a�aire à deux polynômes, on commencera par choisir un entier N tel que, pour tout n > N , on aita

n

= bn

= 0... La constante A = 1 convient (remarquer que, les an

étant nuls à partir d’un certain rang,le sup définissant ||P ||Œ est en fait un max).b) La suite (P

n

)n

converge vers le polynôme nul pour la norme || · ||Œ mais pas pour la norme || · ||1.c) S’il existait une telle constante B, l’inégalité ||P

n

||1 6 B||Pn||Œ montrerait que la suite (Pn)n convergevers le polynôme nul pour la norme || · ||1, ce qui n’est pas.

6. L’application sa

est 1-lipschitzienne.7. L’application s

a

est ||a||-lipschitzienne.8. Si x est un vecteur de E, choisir une suite (a

n

)n

d’éléments de A telle que an

≠æ x. Utiliser la continuitéde f et de g pour passer à la limite dans la relation f(a

n

) = g(an

), valable pour tout entier n.9. S’il existait une constante K > 0 telle que, pour tous x, y œ [0, 1], on ait |f(x) ≠ f(y)| 6 K|x ≠ y|, on

aurait, pour tout x œ ]0, 1],Ô

x

x

6 K, d’où une contradiction (pourquoi ?).10. Non pour la première question : l’espace K[X] est de dimension infinie, donc il est possible que la suite de

polynômes soit convergente pour une certaine norme et divergente (ou convergente, mais vers une autrelimite) pour une autre norme. En revanche, si l’on travaille dans K

d

[X] qui est de dimension finie, la notionde convergence ne dépend pas du choix d’une norme, ni la valeur de la limite en cas de convergence.

11. Les deux premières sont continues car polynomiales ; la troisième ne l’est pas. En e�et, pour tout entier n,on a rg( 1

n

Ip

) = p, mais 1n

Ip

≠æ 0, de rang 0. La dernière l’est car linéaire en dimension finie.12. En dimension infinie, non (voir l’exemple 2 du paragraphe 5.2.3). Si E est de dimension finie, oui.13. La première assertion entraîne évidemment la seconde. La seconde entraîne aussi la première. En e�et,

soit x un vecteur quelconque de E. On a

f(x + h) = f(x) + f(h) ≠æh æ 0

f(x) + f(0) = f(x)

grâce à la continuité de f en 0, donc f est continue en x. Ceci étant vrai pour tout x, f est continue.

Espaces vectoriels normésNormesDéfinitions et exemplesOuverts, fermésSuites à valeurs dans ELimites et continuité

Espaces vectoriels normés de dimension finieSuites et fonctions à valeurs dans EFonctions continues sur des parties fermées bornéesContinuité des applications linéaires

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