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ESTADÍSTICA BÁSICA I
Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V.
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ESTADÍSTICA BÁSICA I
AUTORES:
Ing. Rómulo Eduardo Mena Campaña, MBA.
Ing. Tania Eslavenska Escobar Erazo, MSc.
Ing. Edwin Ramiro Haro Haro, MBA.
Dra. Mayra Alexandra Córdova Alarcón, Mgst.
Ing. Víctor Marcelo Merino Castillo, Mgst.
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Rómulo Eduardo Mena Campaña
Tania Eslavenska Escobar Erazo
Edwin Ramiro Haro Haro
Mayra Alexandra Córdova Alarcón
Víctor Marcelo Merino Castillo
ESTADÍSTICA BÁSICA I
ISBN-978-9942-21-953-4
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CONTENIDO
1 CAPÍTULO I: LA ESTADÍSTICA Y LA DESCRIPCIÓN DE
DATOS
................................................................................
10
OBJETIVOS
...........................................................................
10
1.1 CONCEPTOS BÁSICOS.
................................................... 10
1.1.1 ESTADISTICA
.....................................................................
10
1.1.2. IMPORTANCIA Y ÁMBITO
...................................................... 11
1.1.3. DATOS ESTADÍSTICOS
........................................................ 12
1.1.4 MÉTODOS ESTADÍSTICOS
.................................................... 15
Recolección (medición) ______________________________ 15
Recuento (cómputo) ________________________________ 16
Presentación ______________________________________ 16
Síntesis __________________________________________ 16
Análisis. _________________________________________ 17
1.2. POBLACIÓN Y MUESTRA
................................................ 17
1.2.1. POBLACIÓN
........................................................................
17
1.2.2. MUESTRA
...........................................................................
18
1.3. CLASIFICACIÓN ESTADÍSTICA
....................................... 19
1.3.1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
................................................. 19
1.3.2. ESTADÍSTICA
INFERENCIAL..................................................
19
1.4 LA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA
................................. 19
1.4.1
PLANEAMIENTO...................................................................
20
El objeto de la investigación __________________________ 20
La finalidad. ______________________________________ 20
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La fuente de información. ____________________________ 21
Los procedimientos de investigación. ___________________ 22
Sistemas de investigación ___________________________ 22
El material estadístico ______________________________ 24
El costo y su financiación. ___________________________ 25
1.4.2 RECOLECCIÓN
....................................................................
25
1.4.3 CRÍTICA Y CODIFICACIÓN
.................................................... 25
1.4.4 TABULACIÓN Y PROCESAMIENTO
.......................................... 26
1.4.5 ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
.............................................. 27
1.4.6 PUBLICACIÓN
.....................................................................
27
1.5 TABLAS ESTADÍSTICAS
.................................................. 28
1.5.1 PARTES DE UNA TABLA
........................................................ 29
Numeración de las tablas ____________________________ 29
Títulos de tablas ___________________________________ 30
Cuerpo de una tabla: _______________________________ 30
Notas de la tabla. __________________________________ 30
Tablas de otras fuentes. _____________________________ 31
1.5.2 TIPOS DE TABLAS
...............................................................
31
Tablas de una entrada. ______________________________ 31
Tablas de dos entradas. _____________________________ 32
Tablas complejas: __________________________________ 32
1.6 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
............................................. 34
1.6.1 GRÁFICAS
LINEALES............................................................
35
1.6.2 GRÁFICOS DE SUPERFICIE
................................................... 36
1.6.3 OTROS
...............................................................................
37
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Gráficos XY (de dispersión): __________________________ 37
Gráficos de área ___________________________________ 38
1.7 DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES DE FRECUENCIAS
39
1.7.1 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS PARA DATOS
CUANTITATIVOS
.......................................................................................
40
Pasos para elaborar una distribución de frecuencias _______
41
1.8 DIAGRAMAS DE FRECUENCIAS
....................................... 49
1.8.1 DATOS CORRESPONDIENTES A UN CARÁCTER CUALITATIVO ....
49
Diagrama de barras. ________________________________ 50
Gráficas en forma de pastel. _________________________ 50
1.8.2 DATOS CORRESPONDIENTES A UN CARÁCTER CUANTITATIVO
DISCRETO 51
Diagrama de barras ________________________________ 51
Diagrama en forma de pastel _________________________ 52
1.8.3 DATOS CORRESPONDIENTES A UN CARÁCTER CUANTITATIVO
CONTINUO 53
Histograma _______________________________________ 54
Polígono _________________________________________ 55
Ojiva ____________________________________________ 55
2 CAPÍTULO II: ANÁLISIS ESTADÍSTICO SIMPLE ....... 57
OBJETIVOS
...........................................................................
57
2.1 INTRODUCCIÓN
.............................................................
57
2.2 TIPOS DE ESTADÍGRAFOS
.............................................. 57
-
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2.3 ESTADÍGRAFOS DE TENDENCIA CENTRAL ......................
58
2.3.1 MEDIA ARITMÉTICA
.............................................................
59
Media aritmética con datos no agrupados _______________ 59
Media aritmética con datos agrupados __________________ 63
2.3.2 MEDIA PONDERADA
.............................................................
67
2.3.3 LA MEDIANA
.......................................................................
68
Mediana de datos no agrupados _______________________ 68
Mediana de datos agrupados _________________________ 71
2.3.4 MODA
................................................................................
75
Moda de datos no agrupados _________________________ 75
Moda de datos agrupados ___________________________ 77
2.3.5 MEDIA GEOMÉTRICA
........................................................... 79
2.3.6 MEDIA ARMÓNICA
...............................................................
83
2.4 FORMA DE LA DISTRIBUCIÓN
........................................ 85
2.4.1 RELACIÓN ENTRE MEDIA ARITMÉTICA, MEDIANA Y MODA ........
85
2.5 CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES
............................ 90
2.5.1 Medidas de posición relativa
................................................. 91
Los Cuartiles ______________________________________ 91
Los Deciles _______________________________________ 91
Los Percentiles ____________________________________ 91
2.6 ESTADÍGRAFOS DE DISPERCIÓN
................................... 99
2.6.1 DISPERCIÓN ABSOLUTA
....................................................... 99
Rango ___________________________________________ 99
Desviación media _________________________________ 101
Varianza ________________________________________ 104
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Desviación estándar _______________________________ 108
2.6.2 DISPERCIÓN RELATIVA
...................................................... 110
Coeficiente de variabilidad __________________________ 110
2.7 MEDIDAS DE ASIMETRÍA
............................................. 113
2.8 MEDIDAS DE APUNTAMIENTO O CURTOSIS ................. 116
3 CAPÍTULO III: NÚMEROS ÍNDICES ........................ 120
OBJETIVOS
.........................................................................
120
3.1 INTRODUCCIÓN
........................................................... 120
3.2 CARACTERÍSTICAS
...................................................... 120
3.3 CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS ÍNDICES................ 120
3.3.1 NÚMEROS ÍNDICES DE PRECIOS
......................................... 120
3.3.2 NÚMEROS ÍNDICES DE CANTIDAD
...................................... 121
3.3.3 NÚMEROS ÍNDICES DE VALOR
............................................ 121
3.4 NÚMEROS ÍNDICES SIMPLES
....................................... 121
3.5 NÚMEROS ÍNDICES NO PONDERADOS ........................
122
3.5.1 PROMEDIO SIMPLE DE LOS ÍNDICES DE PRECIOS
................. 122
3.5.2 ÍNDICE AGREGADO SIMPLE
................................................ 124
3.6 NÚMEROS ÍNDICES PONDERADOS ..............................
124
3.6.1 ÍNDICE DE LAYSPEYRES
..................................................... 125
3.6.2 ÍNDICE DE PAASCHE
......................................................... 126
3.6.3 ÍNDICE DE FISHER
............................................................
127
3.7 ÍNDICES DE VALOR
...................................................... 127
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4 CAPÍTULO IV: REGRESIÓN. CORRELACIÓN Y SERIES
DE TIEMPO
.......................................................................
129
OBJETIVOS
.........................................................................
129
4.1 ANÁLISIS DE CORRELACIÓN
........................................ 129
4.1.1 VARIABLE DEPENDIENTE:
.................................................. 129
4.1.2 VARIABLE INDEPENDIENTE:
............................................... 129
4.1.3 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
......................................... 129
4.1.4 CÁLCULO DE COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN
................... 133
4.2 ANÁLISIS DE REGRESIÓN
............................................ 134
4.2.1 PRINCIPIO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS
........................... 134
4.2.2 TRAZO DE LA LÍNEA DE REGRESIÓN
.................................... 137
4.2.3 EL ERROR ESTÁNDAR DE LA ESTIMACIÓN
............................ 138
4.3 FUNDAMENTOS PARA EL ANÁLISIS DE UNA SERIE DE
TIEMPO
...................................................................................
139
4.4 COMPONENTES DE UNA SERIE DE TIEMPOS .................
139
4.4.1 TENDENCIA SECULAR
........................................................ 139
4.4.2 VARIACIÓN CÍCLICA
.......................................................... 141
4.4.3 VARIACIÓN ESTACIONAL
................................................... 142
4.4.4 VARIACIÓN IRREGULAR
..................................................... 143
4.5 MEDICIÓN DE TENDENCIAS
......................................... 143
4.5.1 TENDENCIA LINEAL
........................................................... 143
Método de libre ajuste _____________________________ 143
Método de mínimos cuadrados _______________________ 145
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4.5.2 MÉTODO DEL PROMEDIO MÓVIL
......................................... 147
4.5.3 MÉTODO DEL PROMEDIO MÓVIL PONDERADO ......................
151
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1 CAPÍTULO I: LA ESTADÍSTICA Y LA
DESCRIPCIÓN DE DATOS
OBJETIVOS
1. Saber qué significa estadística.
2. Exponer el ámbito de aplicación y la importancia de la
estadística.
3. Diferenciar entre una variable cualitativa y una variable
cuantitativa.
4. Distinguir entre una variable discreta y una variable
continua.
5. Diferenciar entre niveles de medición nominal, ordinal, por
intervalo y de razón.
6. Explicar qué es estadística descriptiva y estadística
inferencial. 7. Realizar pequeñas investigaciones estadísticas,
aplicando las
etapas del proceso de investigación. 8. Aplicar la metodología
en la elaboración de tablas de distribución
de frecuencias. 9. Seleccionar y elaborar figuras que visualicen
la información de
las tablas. 10. Analizar y obtener conclusiones sobre la
información
contenida en las tablas y gráficas.
1.1 CONCEPTOS BÁSICOS.
1.1.1 ESTADISTICA
En esta unidad revisaremos algunos conceptos útiles los cuales
le servirá al estudiante formarse una idea de los términos más
usados en el estudio de la estadística.
Una definición clara y sencilla señala que, la estadística es
la
ciencia que recoge, organiza, presenta, analiza e interpreta
datos con el fin de propiciar una toma de decisiones más eficaz
(Lind,
Marchal, & Wathen, 2012).
Ciro Martínez, al presentar el significado de la palabra
estadística
señala que, es un sistema o método usado para la
recolección,
organización, análisis y descripción numérica de la
información.
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También se puede decir que la estadística estudia el
comportamiento de hechos o fenómenos de grupo (Martínez,
2012).
Otra definición muy sucinta indica que, la estadística es el
arte y
la ciencia de recolectar, analizar, presentar e interpretar
datos (Anderson, Sweeney, & Williams, 2008).
El término estadística proviene del latín statisticum collegium
(“consejo de Estado”) y de su derivado italiano statista
(“hombre
de Estado o político”). En 1749, el alemán Gottfried
Achenwall
comenzó a utilizar la palabra alemana statistik para designar el
análisis de datos estatales. Por lo tanto, los orígenes de la
estadística están relacionados con el gobierno y sus cuerpos
administrativos (Definición.de, 2015).
Por lo anterior, teniendo en cuenta las bondades que aportó la
estadística a la gestión de los estados; las empresas y personas,
la
han aprovechado y en la actualidad no existe campo de estudio en
la que la estadística se encuentre ausente.
1.1.2. IMPORTANCIA Y ÁMBITO
En nuestra vida cuotidiana, cuando revisamos periódicos,
revistas, internet, al mirar los noticieros en televisión, nos
encontramos con tablas, gráficos, medidas, análisis e
interpretaciones que nos dan cuenta de lo que pasa en nuestro
contexto y en distintos lugares del planeta. Podemos enterarnos,
que está ocurriendo en el campeonato nacional de futbol, qué
equipos ocupan las primeras posiciones en la tabla, cuáles
ocupan las últimas posiciones; en el ámbito artístico, cuáles son
las
preferencias musicales de los jóvenes de 10 a 15 años, o de 16 a
25 años, por supuesto, se encontrarán diferencias; en el ámbito
profesional, cuáles son las tendencias de estudios
universitarios
más demandadas, cuáles son las profesiones más rentables; en los
dispositivos tecnológicos, cuáles son las necesidades actuales
de
equipos, las preferencias de un grupos de jóvenes, las
necesidades de los universitarios, de las amas de casa, de los
hombres y
mujeres de negocios, etc.
Pero no solo podemos encontrar necesidades de personas
naturales; las personas jurídicas, esto es negocios y empresas,
pequeñas y grandes, también necesitan información para enrumbar
su actividad a aquello que les permita producir más, cubrir
mayores
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mercados, incrementar su patrimonio, incrementar su utilidad,
cómo se encuentra evolucionando la demanda el mercado de los
bienes que producen, cuál es la evolución de los precios, cuál
es la participación de la empresa o producto en el mercado, si
existen
posibilidades de expansión, si las ventas en cantidad y en
dólares se encuentran en franco ascenso o descenso, si existirá
la
posibilidad de aplicar estrategias que mejoren las ventas, la
apertura para nuevos mercados, para nuevos productos, etc.
Pero la estadística no solo es útil para el desempeño de la
vida
cuotidiana y de los negocios; sino que ésta va más allá de
ellos, las diferentes ciencias se han desarrollado mediante la
utilización de la
estadística como: las médicas, que nos da cuenta de la evolución
de las enfermedades, la eficacia de los medicamentos y
tratamientos, el porcentaje de éxito en determinado tipo de
cirugía, la frecuencia de las enfermedades, sus índices de
mortalidad, etc.; las ciencias sociales la cual involucra a los
ámbitos: educativo, que nos permite conocer los índices de
estudio
escolarizado, alfabetismo, analfabetismo; la psicología, que
contribuye al conocimiento del comportamiento de los individuos
y
sus aptitudes, la sociología en la evolución y desarrollo de las
culturas y sociedades, la economía contribuye con estudios
tanto
microeconómicos como macroeconómicos; y más ámbitos tales como
demografía, administración pública, historia, geografía,
antropología, etc.
Como se habrá dado cuenta, el ámbito de aplicación de la
estadística es extenso, por su muy diverso uso y su necesaria
actualización. La toma de decisiones acertadas son realizadas
con información, su validez y confiabilidad se sujetan a los
instrumentos
y técnicas estadísticas utilizadas en la investigación de
interés.
1.1.3. DATOS ESTADÍSTICOS
Los datos son hechos, informaciones y cifras que se recogen,
analizan y resumen para su presentación e interpretación. A
todos los datos reunidos para un determinado estudio se les
llama
conjunto de datos para el estudio (Anderson, Sweeney, &
Williams, 2008).Como por ejemplo si considera:
Variable Conjunto de datos Edad (en años) {1, 2, 3, ⋯ } Número
de hijos {0, 1, 2, ⋯ }
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Estatura (en centímetros) {150, 162,173, ⋯ } Estado civil
{𝑠𝑜𝑙𝑡𝑒𝑟𝑜, 𝑐𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜, 𝑑𝑖𝑣𝑜𝑟𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜, ⋯ } Grupo sanguíneo {𝐴, 𝐵, 𝐴𝐵, 𝑂}
VARIABLE. Una variable es una característica de los elementos
que es de interés (Anderson, Sweeney, & Williams, 2008).
Las
cifras o información que conforma un conjunto de datos, son
obtenidas cuando se averigua una variable, a los elementos o
individuos sujetos en un estudio de investigación.
Como se observa en los ejemplos de: edad, número de hijos,
estatura, estado civil, grupo sanguíneo; se tienen variables de
dos clases de datos, los cuantitativos y cualitativos.
1. Datos cuantitativos. Son expresados numéricamente y nos dan
una idea de cantidad, dimensión, duración, distancia, etc.
2. Datos cualitativos. Son conocidos también como datos de
atributo, agrupan a una población o muestra en características
semejantes, pero no tienen medidas numéricas; se encuentran
comprendidas por etiquetas o nombres que identifican el
atributo
de cada elemento, Como en el caso de la variable estado civil,
el
dato de respuesta podría ser: soltero, casado, viudo,
divorciado, etc.
De acuerdo a la naturaleza de los datos se debe escoger el
método apropiado para resumir la información, determinar las
medidas adecuadas y realizar sus correspondientes análisis. Para
ello es necesario clasificar a las variables en dos tipos.
1. Variables cuantitativas. Se encuentran en este grupo aquellas
que pueden medirse, cuantificarse, permiten una descripción o
representación numérica. Estas variables atendiendo a los
valores que pueden tomar se clasifican en variables discretas y
continuas.
a. Variable discreta. Se refiere a aquella que sólo puede tomar
valores enteros, esto es: 1, 2, 3, etc., tal es el caso del
número de hijos por familia, número de televisores en un
hogar, etc. b. Variable continua. Toma todos los valores
posibles en un
intervalo, es decir, se admiten valores fraccionarios, como el
número de años de una persona: 20 años, tres meses, cinco
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días, valor pagado por impuesto a la renta de un profesional o
empresa, etc.
2. Variables cualitativas. Estas variables agrupan cualidades
o
atributos, en la que los casos de estudio pueden formarse dos
grupos como: hombre – mujer, estudiante – no estudiante, con
empleo – sin empleo, etc. Pero también estas variables pueden
conformar más de dos grupos como; al estudiar el grupo
sanguíneo de los individuos se tendrá: A, B, AB y O (cuatro
grupos); el estado civil de las personas se tendrá soltero (a),
casado (a), divorciado (a), viudo (a) y unión de hecho, etc.
Según sea de un tipo u otro, la variable podrá medirse de
distinta manera, esto es, tendrán distintas escalas o niveles
de
medición.
En las variables cualitativas los datos son de nivel nominal
y
ordinal.
a. Datos de nivel nominal. Los datos de los elementos sujetos
de
análisis se encuentran representados por nombres, admiten una
clasificación, sin que ello signifique un orden lógico. Como
ejemplos serían: Países que integran el pacto andino, género de
los estudiantes de un curso de estadística, marca de
automóviles, etc. b. Datos de nivel ordinal. Los datos de los
elementos sujetos de
análisis se disponen de acuerdo a un orden que se encuentra
especificado, razón por lo que los datos se pueden clasificar y
ordenar. Como ejemplo, las calificaciones cualitativas
asignadas
por el profesor de estadísticas a los trabajos presentados por
los estudiantes serían: excelente, muy bueno, bueno, regular y
malo. Tabla de posiciones de los equipos que intervienen en el
campeonato ecuatoriano de futbol de la serie A, se tendría
primero, segundo, tercero, … ,etc.
En las variables cuantitativas los datos son de nivel de
intervalo
y de razón.
a. Datos de nivel de intervalo. Identifica la posición ordinal
de cada
elemento sujeto de análisis y las diferencias entre intervalos
es la misma. Ejemplos de datos de intervalo son la temperatura
ambiental observada en la escala de grados centígrados, las
tallas de las diferentes prendas de vestir, etc.
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b. Datos de nivel de proporción: Identifica la posición ordinal
de cada elemento sujeto de análisis, las distancias de cada
intervalo
es la misma, se basa en un sistema numérico en la que el cero es
significativo y las operaciones de multiplicación y división
tienen un resultado racional. Ejemplos de esto se tiene a: las
ventas en dólares de un establecimiento comercial, en donde el
cero representa que en ese día no ha existido ventas, costos,
rentabilidad, participación en el mercado, etc.
1.1.4 MÉTODOS ESTADÍSTICOS
El método estadístico según se le atribuye a Jesús Reynaga,
profesor de Salud Pública de la Facultad de Medicina, UNAM,
consiste en una serie de procedimientos para el manejo de los
datos cualitativos y cuantitativos de la investigación.
Las características que adoptan los procedimientos propios
del
método estadístico dependen del diseño de investigación
seleccionado para la comprobación de la consecuencia verificable
en
cuestión.
El método estadístico tiene las siguientes etapas:
Recolección (medición) Recuento (cómputo)
Presentación Descripción
Análisis
Tales etapas siempre se encuentran en el orden descrito y cada
una de ellas consiste de manera resumida en lo siguiente:
Recolección (medición)
En esta etapa se recoge la información cualitativa y
cuantitativa señalada en el diseño de la investigación.
La recolección o medición puede realizarse de diferentes
maneras: a veces ocurre por simple observación y en otras
ocasiones requiere de complejos procedimientos de medición
La calidad técnica de esta etapa es fundamental ya que de ella
depende que se disponga de datos exactos y confiables en los
cuales se fundamenten las conclusiones de toda la
investigación.
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En ocasiones, la recolección de la información debe ocurrir en
grupos tan grandes de individuos que se hace imposible tratar
de
abarcar a todos ellos; entonces es cuando se pone en práctica
procedimientos de muestreo.
Tales procedimientos de muestreo están subordinados a la
consecuencia verificable que se desea comprobar y al diseño de
investigación seleccionado.
Recuento (cómputo)
En ésta etapa del método estadístico, la información recogida
es
sometida a revisión clasificación y cómputo numérico.
A veces el recuento puede realizarse de manera muy simple, por
ejemplo con rayas o palillos; sin embargo, puede requerirse el
empleo de computadoras y programas especiales para el manejo de
base de datos.
En términos generales puede decirse que el recuento consiste en
la cuantificación de la frecuencia con que aparecen las
diferentes
características medidas de los elementos en estudio; por
ejemplo, el número de personas de sexo femenino y el de personas de
sexo
masculino; o, el número de niños con peso menor de 3 kilos y el
número de niños con peso igual o mayor a dicha cifra.
Presentación
En esta etapa del método estadístico, se elaboran las tablas y
figuras, las cuales permiten una inspección precisa y rápida de
los
datos. La elaboración de tablas tiene por propósito acomodar los
datos de manera que se pueda efectuar una revisión numérica
precisa de los mismos. La elaboración de figuras tiene por
propósito facilitar la inspección visual rápida de la
información.
Síntesis
En esta etapa la información, es resumida en forma de
medidas
que permiten expresar de manera sintética las principales
propiedades numéricas de grandes series o agrupamiento de
datos.
Tales medidas de resumen, al ser comunicadas, permiten a los
interlocutores evocar de una misma esencia de los datos; por
ejemplo, cuando alguien informa que el promedio de un grupo de
alumnos es de 9.6 puntos en una escala que va del 0 al 10, la
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imagen que se transmite es de un grupo con buen aprovechamiento
escolar.
Entre las principales medidas para sintetizar los datos
cuantitativos se encuentra la moda y la amplitud, la mediana y
los
percentiles y el promedio y la desviación estándar.
Análisis.
En esta etapa mediante fórmulas estadísticas apropiadas y el
uso de tablas específicamente diseñadas, se efectúa la
comparación de las medidas de resumen previamente calculada. El
análisis
estadístico de los datos consiste en la comparación.
Existen procedimientos bien establecidos para la comparación de
las medidas de resumen que se hayan calculado en la etapa de
descripción. Tales procedimientos, conocidos como pruebas de
análisis estadísticos cuentan con sus fórmulas y procedimientos
propios.
Cada prueba de análisis estadístico debe utilizarse siempre
en
función del tipo de diseño de investigación que se haya
seleccionado para la comprobación de cada consecuencia
verificable
o deducible, a partir de la hipótesis general de la
investigación.
Por lo anterior, puede considerarse a la estadística como
una
disciplina que posee su propio método. Tal disciplina emplea
conocimientos de otras ciencias como la lógica y la matemática;
y
por eso, se dice que la estadística es una forma razonable de
emplear el sentido común y la parte aritmética la complementa
con
el manejo de datos de la investigación (Reynaga, 2015).
1.2. POBLACIÓN Y MUESTRA
1.2.1. POBLACIÓN
Es un conjunto de medidas o recuento de todos los elementos
que presentan una característica común (Martínez, 2012).
Un estudio poblacional equivale a una investigación total,
ejemplo de ello, en el Ecuador se realizó en noviembre del 2010
el Censo de Población y Vivienda, el cual consistió en un recuento
de
la población y las viviendas para generar información
estadística
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confiable, veraz y oportuna acerca de la magnitud, estructura,
crecimiento, distribución de la población y de sus
características
económicas, sociales y demográficas, que sirva de base para la
elaboración de planes generales de desarrollo y la formulación
de
programas y proyectos a cargo de organismos de los sectores
público y privado (Instituto Nacional de Estadísticas y Censos,
2015).
1.2.2. MUESTRA
Es un conjunto de medidas o recuento de una parte de
elementos que pertenecen a la población de interés.
Para que una muestra sea representativa de una población,
los
elementos deben ser seleccionados aleatoriamente, esto es, los
elementos que se encuentran en la población, todos tienen la
misma oportunidad de ser elegidos en la muestra.
Un estudio muestral se justifica cuando el estudio poblacional
se ve imposibilitado porque:
Las poblaciones son muy grandes o infinitas. El tiempo requerido
es demasiado grande.
Los costos son elevados que imposibilita la ejecución de la
investigación.
Existe limitación en la disponibilidad del recurso humano.
Debido a la naturaleza destructiva de los elementos sujetos a
estudio. La homogeneidad de la característica.
Parámetro. Es una característica medida de una población
completa, por ejemplo: la proporción de alumnos de más de 21
años que ingresan a la universidad. En estadística se asignan
símbolos del alfabeto griego para designar un parámetro
(Slideshare, 2015).
Estimador. Es la medida de una característica relativa a la
muestra, al valor promedio de los datos y la imagen de éstos; la
mayoría de los estadísticos muestrales se encuentran por medio
de
fórmulas y suelen asignárseles símbolos del alfabeto latino
(Slideshare, 2015).
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1.3. CLASIFICACIÓN ESTADÍSTICA
1.3.1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Es el conjunto de técnicas que se encargan de organizar,
resumir, presentar y describir los datos de manera informativa.
Los medios útiles para la presentación y descripción de datos son:
las
tablas de frecuencia, los gráficos, el cálculo de medidas de
tendencia central, de posición, de variabilidad, etc.
1.3.2. ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Es el conjunto de técnicas que se encargan de estimar los
parámetros poblacionales a partir de una muestra. La exactitud
de
la estimación depende de las técnicas estadísticas usadas y del
cuidado con que se tomó la muestra. La diferencia entre el
estadístico de la muestra y el parámetro de la población se
denomina error muestral.
1.4 LA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA
En nuestra vida cuotidiana o laboral nos encontramos en la
necesidad de contar con información estadística para una
adecuada toma de decisiones. En una variedad de ocasiones
podremos
encontrar la información requerida y elaborada usualmente por
instituciones estatales (información secundaria) que para el
caso
ecuatoriano lo realiza el Banco Central del Ecuador, Instituto
Ecuatoriano de Estadísticas y Censos, Registro Civil,
Identificación y
Cedulación, los diversos Ministerios que elaboran estadísticas
en su ámbito de acción (educación, salud, vivienda, trabajo, etc.);
así
también, se puede obtener información de entidades privadas como
periódicos, revistas y páginas web especializadas (economía,
finanzas, educación, industrial, empresarial, emprendimientos,
etc.).
En otras ocasiones, habrá la necesidad de realizar una
investigación con el objeto de obtener la información necesaria
para
el conocimiento y toma de decisiones adecuadas al interés
personal, laboral o empresarial. A la hora de realizar una
investigación, el método estadístico es la herramienta adecuada
para la recolección de la información mediante registros, que se
ordenan, clasifican, cuantifican y se muestran mediante tablas
y
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ESTADÍSTICA BÁSICA I
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gráficos, de forma clara, resumida y fácil de interpretar
grandes cantidades de información (Martínez, 2012).
Otras necesidades de información, son aquellas que se obtienen
en orden cronológico, tales como las temperaturas registradas
en
las diferentes ciudades del Ecuador a una hora determinada de
cada día, número de accidentes de tránsito por provincia y
periodo
mensual, precio promedio mensual de la canasta básica para el
consumidor, exportaciones e importaciones en periodos mensuales
del Ecuador, ventas diarias registradas en determinado negocio
o
empresa, inventarios o utilidades al finalizar el año, etc.
Ciro Martínez, señala que el proceso de investigación
estadística
consta de seis fases.
1.4.1 PLANEAMIENTO
Un plan de investigación debe contemplar lo siguiente:
El objeto de la investigación
Es el hecho o fenómeno que se va a observar o registrar
numéricamente. Ejemplo. Una investigación sobre los salarios.
El
objeto de la investigación responde a la pregunta ¿qué se va a
investigar?
La finalidad.
Al analizar que se va a investigar se propone definir el objeto
de investigación, determinar la naturaleza cuantitativa y
cualitativa,
determinar la posibilidad de su investigación y limitar el
objeto investigable, con los que se responde el por qué:
Definir el objeto de la investigación. Es la fijación precisa
del concepto de o que se aspira indagar. Decir con claridad y
exactitud lo que la estadística va a recoger. La unidad o
elemento de investigación debe ser: clara, adecuada,
mensurable y comparable. Determinar su naturaleza cuantitativa o
cualitativa del objeto de
la investigación. Esto es, establecer si la variable investigada
es de naturaleza numérica (cuantitativa) o de atributo
(cualitativa).
Determinar la posibilidad de investigación. Es necesario
examinar si el objeto de la investigación pueden ser
conocidas
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Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V.
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con precisión, si se exteriorizan, si pueden contarse si admiten
su existencia y su intensidad.
Limitar el objeto investigable. Por imposibilidad o por ser
innecesaria la observación completa, la estadística reduce sus
trabajos a un doble aspecto. El primero limitando el objeto de
la investigación y segundo limitando el campo de la
investigación.
La limitación de la investigación puede darse de manera
coordinada en función del tiempo, espacio, número, etc.
La fuente de información.
A continuación es necesario identificar en dónde se obtener
información de la investigación y si aquellas fuentes son de
naturaleza directa o indirecta.
Las investigaciones directas se recogen los datos de un
acontecimiento de cualquier índole, cuando acudimos a él, lo
observamos y anotamos su presencia o su ausencia y su intensidad
mediante números. Por tanto se llamará fuente de información
estadística directa allí donde el hecho sujeto de la
investigación se produce, como por ejemplo, la familia, la empresa,
la fábrica, los
costos, los precios, etc.
Las investigaciones indirectas son cuando se recurren a un
hecho distinto del que se está interesado, para después deducir
de éste el valor del que en definitiva se desea conocer. Son
inducciones lógicas, cálculos aproximados, estimaciones que
constantemente se realizan en los negocios. Ejemplos de estos
pueden ser: la estimación de la cosecha en base a la siembra de
un
producto agrícola, el cálculo poblacional en una fecha
intermedia se determina en base a dos censos, las necesidades de
llantas se
calculan en base a la cantidad de autos en circulación en un
estado o región, etc. Las fuentes de información indirectas son
aquellas
donde el hecho investigado se manifiesta indirectamente o donde
se refleja.
También pueden clasificarse a las fuentes de información como
primaria, cuando se obtiene directamente de la investigación,
realizada usualmente a través de una encuesta, y secundaria,
cuando se trata de información complementaria, publicada por la
misma institución o cualquier otra.
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Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V.
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Los procedimientos de investigación.
Señala las normas que determinan el cómo debe realizarse la
investigación; estas se resumen en los siguientes puntos.
Claridad y publicidad. Toda investigación debe ser clara y
conocida por observadores y observados. La claridad debe estar
presente en todo el proceso de investigación.
Sencillez. Debe estar presente en: los formularios, las
instrucciones, en el proyecto, en la finalidad, en las tablas, en
los
gráficos, en los comentarios y análisis, operaciones de cálculo,
etc.
Utilidad. Toda estadística que se inicie debe tener alguna
aplicación práctica de interés.
Las investigaciones pueden ser:
Ocasional. Si se da la recolección de datos en
circunstancias
extraordinarias, cuando eventualmente se presenta un problema, o
se agita su solución. Por ejemplo cuando se realiza
una investigación del costo de vida o de salarios cuando se
plantea una huelga.
Periódica. Aquellas investigaciones que se repiten de tiempo en
tiempo, en lapsos regulares. Ejemplos de ello se tiene los
censos
en periodos decenales, las estadísticas de las industrias con
periodicidad anual, los boletines de comercio exterior en forma
mensual, etc. Continua. Son estadísticas que se produce sin
interrupción,
ejemplos de ellas se tiene a las demográficas como: la
natalidad, la mortalidad, los matrimonios, tráfico por carreteras,
etc.
Registro permanente. Aquellas que se registra a medida que el
hecho tiene lugar. Por ejemplo los accidentes de tránsito,
suicidios, etc.
Sistemas de investigación
Se distinguen varios procedimientos de investigación, entre
ellos
se tiene:
Las recopilaciones automáticas de datos por declaración
espontánea del sujeto de la investigación, como inscripciones
obligatorias en los casos de natalidad, matrimonios, mortalidad,
migración, comercio exterior, edificaciones, recaudación de
impuestos, etc.
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Las recopilaciones intencionales de datos, obtenidas mediante
empleo de un agente que ex profeso vaya a la fuente de
información para registrar los datos, como en los casos de los
censos de población y vivienda, encuestas de hogares sobre
ingresos y gastos, sobre las condiciones de una determinada
industria, etc.
Investigaciones completas, son aquellas que recogen todos los
datos, indagan todo el campo de observación, como todos los
balances de la banca, la producción de sal, la de cemento,
de
transporte aéreo, que tiene lugar en una región o estado.
Investigaciones incompletas, son las que sólo atienden a una
parte de las unidades estadísticas, bien por no ser posible
recoger la totalidad de los datos, por no ser necesario para el
fin
que se persigue. Si la estadística incompleta no es
representativa del conjunto, no es típica para generalizar los
resultados parciales al conjunto de los casos. En caso
contrario, cuando el círculo estudiado numéricamente puede
sustituir al
total, la estadística incompleta es de extraordinaria utilidad.
Las recopilaciones voluntarias de datos, frecuentemente se
llevan a cabo por las instituciones privadas y se refieren
comúnmente a las monografías y encuestas científicas. La radio,
prensa y las revistas suelen invitar a sus lectores a opinar
sobre algunos problemas candentes o a declarar un dato de su vida
o
negocio particular.
Pues bien, de estos sistemas, el proyecto, para el caso
particular, tendrá que decir cuál interesa más y cuál debe
emplearse.
Sobre la recolección de información, puede ser por correo,
entrega personal del cuestionario y la entrevista; otros sistemas
de
menor importancia corresponden a: internet, teléfono y panel.
Todos estos presentan ventajas y desventajas, por ejemplo la
entrevista resulta más ventajosa por que proporciona un mayor
número de cuestionarios recolectados, mayor número de
respuestas, permite aclarar el objetivo de la investigación y
las dudas del informante; entre sus desventajas se tiene mayor
costo,
más tiempo de recolección, alto número de encuestadores,
etc.
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El material estadístico
Está constituido por los útiles, documentos o instrumentos
necesarios para llevar adelante la investigación. El material
puede dividirse en impreso e instrumental.
Material impreso. Se refiere a los formularios o cuestionarios,
boletines, hojas de inscripción, registros, circulares, pliegos
de
instrucciones, etc.
Las normas de diseño y redacción de un formulario que se
someterá a discusión, pruebas y aprobación, son las
siguientes.
Debe ser sucinto, limitado a las preguntas esenciales, las
necesarias para los fines de la investigación y que
efectivamente pueda obtenerse de la fuente informativa.
Debe prescindirse de toda pregunta indiscreta que levante
suspicacias y temores, o que moleste al investigado.
Debe ser claro, fácilmente comprensible, no ofrecer dudas en
la
forma de contestar cada pregunta, que admita una sola
interpretación.
Debe evitarse los juicios personales del investigador y del
investigado, como cuando se deje a criterio del calificador
juzgar
la importancia o la bondad de un hecho (grande, mediano o
pequeño); (bueno, regular, malo).
También debe tenerse en cuenta, la clase de papel, su tamaño, la
distribución de las partes del cuestionario, su impresión,
colores, el tiempo de llenado, etc.
Equipos. La recolección de datos y la elaboración posterior
requieren de varios instrumentos, aparatos, máquinas y útiles,
que
quien proyecta debe tener en cuenta, en su número y clase.
Existen investigaciones que requieren de instrumentos especiales,
sin los
que no se podrían recoger datos. En una investigación de
antropometría, requiere de escalas cromáticas de la piel, del
pelo, de los ojos, cinta métrica, balanza, etc. Si se trata de
llevar
estadísticas de una empresa sobre los horarios de entrada y
salida del personal que labora o el de un aparcadero de autos,
será
necesario contar con un reloj marcador. En un almacén, la
estadística de ventas e ingresos se lleva en una caja
registradora.
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El costo y su financiación.
La estimación previa de gastos y su financiamiento, constituye
el
último punto del proyecto de investigación estadística. Estos
gastos pueden ser atribuidos a estudios preliminares, asesorías,
trabajos
geográficos, formulación del plan, plan de propaganda, impresión
del formulario, selección y adiestramiento del personal,
contratación de servicios auxiliares, materiales y equipos,
trabajo de campo, sistematización de la información y
publicación.
Todo proyecto de esta clase debe ser discutido y aprobado por un
grupo de técnicos en estadística y por peritos en la materia
que
va a investigarse.
La consecución del financiamiento no debe dejarse para más
tarde de la etapa de preparación, su previsión debe abarcar la
cantidad de dinero necesario hasta el final de la
investigación.
Aprobado el plan con las modificaciones del grupo de técnicos
y
peritos, se continúa con la ejecución del mismo.
1.4.2 RECOLECCIÓN
Preparado el proyecto de investigación es posible comenzar con
la recolección de la información. La etapa de recolección
comprende
aspectos tales como:
Distribución del material o instrumento de recolección.
La recolección propiamente dicha.
Control del número de formularios recolectados Control sobre la
calidad de la información recolectada.
1.4.3 CRÍTICA Y CODIFICACIÓN
Es un conjunto de operaciones de revisión y corrección de la
información recolectada, que nos permita agruparla y
procesarla,
de tal manera que se facilite la elaboración de tablas, gráficos
y análisis, necesarios en su publicación.
El objeto de la crítica, es clasificar el material primario que
precede de la misma investigación, en tres grupos: material
bueno,
material incorrecto pero corregible y material incorregible o
desechable.
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La necesidad de procesar la información recogida en los
cuestionarios, ha obligado a traducir las respuestas en códigos.
Por
ejemplo, el código para la pregunta estado civil, podría
establecerse de la siguiente manera.
Tabla 1.
CÓDIGO DE ESTADO CIVIL DE LOS CIUDADANOS
ESTADO
CIVIL CÓDIGO
ESTADO
CIVIL CÓDIGO
Soltero 1 Viudo 4
Casado 2 Separado 5
Divorciado 3 Otro 6
Cuando el número de respuestas sobrepasa de 9, es preciso
utilizar cifras de dos dígitos, tal como:
Tabla 2.
CÓDIGO DE PROFESIONES DE LOS CIUDADANOS
PROFESIONES CÓDIGO
Abogado/a 01
Actor /Actriz 02
Agente de viaje 03
Arquitecto/ a 04
Astrónomo/a 05
⋮
Veterinario/a 35
1.4.4 TABULACIÓN Y PROCESAMIENTO
Puede ser manual, mecánica o computarizada y su elección
dependerá:
De la cantidad de formularios que se van a utilizar.
Del número de preguntas que tenga el formulario. Del tiempo y
los recursos, ya sean financieros o de equipo
disponible.
Cuando la tabulación se acuerda desde el principio como parte
integrante de la planeación general de la investigación, es de
suponer que todo el proceso será totalmente satisfactorio,
sin
embargo, es necesario que sea revisado a fin de detectar
inconsistencias que se presenten en el presente proceso o en
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procesos anteriores. Una vez elaboradas las correcciones, se
procede a elaborar las tablas, gráficos, análisis, conclusiones
y
recomendaciones, de ser el caso.
1.4.5 ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
El análisis de los datos tiene que ver con la formulación
del
objetivo de la investigación y de las hipótesis establecidas;
sin embargo, este proceso de análisis tendrá menos dificultad, si
el
investigador tiene pleno conocimiento de los problemas que son
inherentes al planteamiento de la investigación.
En este proceso, se debe considerar la elaboración de
distribuciones o tablas de frecuencia obtenidas a través de una
sistematización de la información para poder ser presentada en
forma de tablas y gráficos. Con los resultados anteriores se
procede
a realizar un resumen y aplicar las diferentes medidas, a las
que se
ha denominado estadígrafos cuando son aplicados a las
características de las unidades de la muestra o como parámetros
aplicados a las características de la población, entre los que
se tendrá en cuenta las medidas de dispersión, promedios,
porcentajes
y proporciones.
Con las cifras resultantes, se pueden hacer comparaciones
con
otros estudios o estudios anteriores, para llegar a mejores
conclusiones.
1.4.6 PUBLICACIÓN
La publicación propone llegar a las personas interesadas, el
resultado total del estudio, teniendo en cuenta todos los
aspectos
considerados en el proceso, de tal forma que los datos sean
comprensibles, con la correspondiente validez que merezcan las
conclusiones.
En términos generales se puede decir que un informe deberá
contener:
Planteamiento del problema.
Objetivo de la información. Hipótesis que se quiere probar.
Breve exposición de la metodología utilizada, diseño y tamaño de
la muestra. Proceso de selección de las unidades de
información y recolección.
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Se podrá incluir en el informe, copia del formulario utilizado
en la recolección de la información, aún relacionando y
justificando,
en forma sucinta, las preguntas que se consideran más
importantes dentro de la investigación.
Descripción de resultados en forma de tablas y gráficos,
acompañados del análisis y comparaciones obtenidas a través de
los datos. Conclusiones y recomendaciones. Estas últimas cuando
así lo
exija la investigación.
En algunos casos, el informe tiene una parte final, denominada
apéndice, en donde se incluyen tablas más generales, que
permiten aclarar o comprobar rápidamente cualquier información
más detallada. también puede incluir información
complementaria al informe.
1.5 TABLAS ESTADÍSTICAS
Al realizar una investigación estadística, lo más probable es
que
se cuente con una gran cantidad de datos correspondientes a una
variable de interés, por lo que será necesario tabularlos; es
decir,
hay que confeccionar con ellos una tabla en la que aparezcan
ordenadamente. Esto es los valores de la variable de interés o
estudio y el número de elementos o individuos de cada valor; es
decir, su frecuencia.
En la sección 1.1.3 se realizó la distinción entre variables
cualitativas y cuantitativas. Recordando, la variable
cualitativa o atributo, es de naturaleza no numérica, la cual puede
clasificarse en
distintas categorías, no hay un orden particular en estas
categorías. Ejemplos de datos cualitativos incluyen la afiliación
política a los
distintos partidos existentes en el Ecuador como: Partido
Renovador Institucional Acción Nacional, Partido Avanza, Partido
Movimiento
Popular Democrático, Partido Sociedad Patriótica, Partido
Socialista, Partido Social Cristiano, etc., el método de pago al
comprar en
Supermercados La Favorita (SUPERMAXI): efectivo, cargo a tarjeta
de débito, crédito, etc. Por otra parte, las variables
cuantitativas
son de índole numérica. Ejemplos de datos cuantitativos
relacionados con estudiantes universitarios incluyen: el precio
de
los libros de texto, edad y horas que pasan estudiando a la
semana, etc.
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Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V.
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1.5.1 PARTES DE UNA TABLA
Según el documento Introducción al estilo APA, 6ta. Ed.,
preparado por el Lic. Manuel De La Vega Miranda, de la
Universidad Nacional abierta y a Distancia, enuncia a continuación
los
elementos e instrucciones que se debe tener en cuenta para la
elaboración de tablas estadísticas (De La Vega, 2012).
Las normas APA, generalmente las tablas, exhiben valores
numéricos exactos y los datos están dispuestos de forma
organizada en líneas y columnas, facilitando su comparación.
Las tablas son eficientes para presentar una gran cantidad de
datos en un pequeño espacio. Si la tabla es corta (dos o menos
columnas y/o filas) se debe presentar textualmente la
información.
De manera general la estructura de una tabla está conformada
por las partes señaladas en la figura 1.
Las tablas para su adecuada construcción debe observase los
siguientes puntos.
Numeración de las tablas
Las tablas deben ser enumeradas con números arábigos
secuencialmente dentro del texto y en su totalidad). Ej.: Tabla
1, Tabla 2, Tabla 3, etc. No utilice subíndices (3, 3a y 3b). Si la
tabla
está dentro de un apéndice, use letras mayúsculas y números
(Tabla B2)
Figura 1. Identificación de las partes que conforma una tabla
estadística
-
ESTADÍSTICA BÁSICA I
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Títulos de tablas
El título de la tabla debe ser breve, claro y explicativo. Debe
ser
puesto arriba de la tabla, en el margen superior izquierdo,
debajo de la palabra Tabla (con la inicial en mayúscula) y
acompañado del
número con que la designa. Si es necesario puede explicarse las
abreviaturas dentro del mismo título [i.e., falsa alarma (FA)]
Relación entre tablas y texto. Las tablas complementan, no
duplican el texto. Se escribe en el texto los elementos destacados
de la
tabla. Al citar tablas en el cuerpo del texto, se escribe el
número específico de la tabla. (ej.: como se muestra en la Tabla 1,
Tabla 2,
Tabla3, etc. (la palabra Tabla inicia con mayúscula). No se
escribe, “la tabla que se muestra arriba o abajo”, tampoco, “la
tabla de la
página43”.
Relación entre tablas. Evite combinar tablas que repitan datos.
Para
facilitar comparaciones, se debe ser consistente en la
presentación
de todas las tablas. Se debe usar la misma terminología para
todos los casos.
Encabezado. Establece la lógica para la organización de los
datos. Identifica las columnas de datos debajo de ellos. Debe ser
corto, no
más ancho que la columna que abarca.
Cuerpo de una tabla:
a. Valores enteros y/o decimales.
b. Celdillas vacías. Deje en blanco si no hay datos.
Inserte una raya (guion) si no se obtuvieron o no se informaron
los datos.
c. Concisión. No incluya columnas de datos que puedan calcularse
con
facilidad a partir de otras.
Notas de la tabla.
Las tablas presentan tres tipos de notas: generales, específicas
y de
probabilidad.
Las notas son útiles para eliminar la repetición en el cuerpo
de
una tabla. Se ubican en el margen izquierdo (sin sangría) debajo
de
la tabla (entre la tabla y la nota se insertan dos espacios). Y
deben ser ordenadas en esta secuencia: nota general, nota
específica y
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ESTADÍSTICA BÁSICA I
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nota de probabilidad, y cada tipo de nota debe ir en una línea
nueva.
Nota general. Explica u ofrece informaciones relacionadas a la
tabla como un todo, explica las abreviaturas, símbolos y afines
Nota específica. Se refieres a una columna, fila o ítem
especifico. Debe ser indicada por letra minúscula sobrescrita (a,
b, c).
Nota de probabilidad. Indica los resultados de pruebas
significativos y se indican con asterisco sobrescrito (*). *p <
.05,
**p < .01.
Tablas de otras fuentes.
Debe obtener la autorización de la fuente que posee la propiedad
literaria (derecho de autor), para reproducir o adaptar una parte
o
toda una tabla de otro autor.
Las tablas reproducidas de otra fuente, deben presentar
debajo
de la tabla, la referencia del autor original, aunque se trate
de una adaptación.
1.5.2 TIPOS DE TABLAS
Tablas de una entrada.
Se denominan de una entrada o de entrada simple, cuando
representan una sola variable o característica de la realidad.
En la columna matriz van las clases en que se presenta las
variaciones de
la característica en estudio.
Tabla 3.
ESTUDIANTES DE LA MODALIDAD A DISTANCIA DE LA FACULTAD DE
CIENCIAS ADMINISTRATIVAS DE LA UCE, SEGÚN EDAD DEL PERIODO ABR
–
SEP DEL 2015.
EDAD (AÑOS
CUMPLIDOS) NÚMERO
18 – 27 1,146
28 – 37 573
38 – 47 291
48 – 57 113
MAS DE 57 52
TOTAL 2,175
-
ESTADÍSTICA BÁSICA I
Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V.
Página 32
Tablas de dos entradas.
Son tablas en las que se presentan dos variables de la
realidad,
las clases de una de ellas van en la columna matriz (vertical) y
las clases de la segunda en el encabezado (horizontal).
Tabla 4.
ESTUDIANTES DE LA MODALIDAD A DISTANCIA DE LA FACULTAD DE
CIENCIAS ADMINISTRATIVAS DE LA UCE, SEGÚN EDAD Y GÉNERO, DEL
PERIODO ABR – SEP DEL 2015.
EDAD (AÑOS CUMPLIDOS)
NÚMERO DE ESTUDIANTES TOTAL
Masculino Femenino
18 – 27 478 668 1146 28 – 37 243 330 573 38 – 47 158 133 291 48
– 57 67 46 113
MÁS DE 57 32 20 52
TOTAL 2,175
Tablas complejas:
Son tablas que presentan en forma simultánea tres o más
variables o características de la realidad en estudio, una va en
la columna matriz y las otras en el encabezado. El uso de estas
tablas
debe ser restringido, porque puede ser complicada su
interpretación si representan muchas variables.
Tabla 5.
ESTUDIANTES DE LA MODALIDAD A DISTANCIA DE LA FACULTAD DE
CIENCIAS ADMINISTRATIVAS DE LA UCE, SEGÚN EDAD, TIPO DE COLEGIO
Y
GÉNERO, DEL PERIODO ABR – SEP DEL 2015.
EDAD (AÑOS CUMPLIDOS)
BACHILLERATO EN COLEGIO
TOTAL Fiscal Fisco misional Particular
Masculino Femenino Masculino Femenino Masculino Femenino
18 – 27 259 297 82 112 137 259 1,146
28 – 37 163 154 57 55 23 121 573
38 – 47 87 66 22 22 49 45 291
48 – 57 29 23 14 7 24 16 113
MÁS DE 57 15 12 9 3 8 5 52
TOTAL 553 552 184 199 241 446 2,175
-
ESTADÍSTICA BÁSICA I
Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V.
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Ejemplo de aplicación 1
En el feriado del 10 de agosto del 2015, se preguntó a un
total
de 1,000 residentes de la sierra ecuatoriana, ¿qué playa para
vacacionar preferían? Los resultados fueron que a 200 les
gustaba
más alguna de las playas de le provincia de Esmeraldas; a 300,
alguna de las playas de la provincia de Manabí; a 400, alguna
de
las playas de la provincia de del Guayas y a 100, alguna de las
playas de la provincia de El Oro. Elabore una tabla con los
puntos
sugeridos.
Solución Tabla 6
PREFERENCIA DE LOS CIUDADANOS DE LA SIERRA ECUATORIANA,
SOBRE
LAS PLAYAS POR PROVINCIA EN LAS QUE LES GUSTA VACACIONAR, EN
AGOSTO
DEL 2015.
PROVINCIA NÚMERO
Playas de Esmeraldas 200 Playas de Manabí 300 Playas de Guayas
400 Playas de El Oro 100
TOTAL 1,000
Ejemplo de aplicación 2
Se preguntó a 500 viajeros (as) de negocios frecuentes que
llegaron a la ciudad Quito, ¿qué hotel era de su preferencia?,
los resultados fueron los siguientes: Casa Gangotena, 25;
Swissotel,
100; Hilton Colón, 80; Best Western Premier, 120; Casa San
Marcos Hotel, 45; el resto prefería JW Marriott Hotel. El 30%
son
mujeres. a. Elabore una tabla de frecuencias la distribución por
hotel y
género. b. Elabore una tabla de frecuencias la distribución por
hotel,
género y región de origen (Porcentaje aproximado: costa
45%, sierra 35% y oriente 20%; aproxime al entero más
cercano).
Solución
a) La tabla estará dispuesta por la primera columna con los
nombres de los hoteles que frecuentan los viajeros de negocios
a
-
ESTADÍSTICA BÁSICA I
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la ciudad de Quito; las siguientes dos columnas identificarán el
género de los viajeros; y una última columna por el total.
Tabla 7.
PREFERENCIA DE HOTELES DE VIAJEROS (AS) DE NEGOCIOS QUE LLEGAN
A
QUITO, SEGÚN GENERO, EN AGOSTO DEL 2015.
HOTEL GÉNERO
TOTAL Femenino Masculino
Casa Gangotena 9 21 30 Swissotel 30 70 100 Hilton Colón 24 56 80
Best Western Premier 36 84 120 Casa San Marcos Hotel 12 28 40 JW
Marriott Hotel 39 91 130
TOTAL 150 350 500
b) La tabla estará dispuesta al igual que la tabla 7, y además
se
adicionará columnas que identifiquen las regiones del Ecuador
continental.
Tabla 8
PREFERENCIA DE HOTELES DE VIAJEROS (AS) DE NEGOCIOS QUE LLEGAN
A
QUITO, SEGÚN GENERO Y REGIÓN DE PROCEDENCIA, EN AGOSTO DEL
2015.
HOTEL
GÉNERO
TOTAL Femenino Masculino
Costa Sierra Oriente Costa Sierra Oriente
Casa Gangotena 4 3 2 10 7 4 30 Swissotel 14 11 5 31 25 14 100
Hilton Colón 11 8 5 25 20 11 80 Best Western Premier 16 13 7 38 29
17 120 Casa San Marcos Hotel 5 4 3 13 10 5 40 JW Marriott Hotel 18
14 7 41 32 18 130
TOTAL 68 53 29 158 123 69 500
1.6 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
En las investigaciones estadísticas, comúnmente se tendrá una
gran cantidad de datos numéricos, con los que se tendrá
elaboradas
tablas que resumen la información recolectada. A más de esto,
es
-
ESTADÍSTICA BÁSICA I
Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V.
Página 35
necesario contar con gráficas estadística, las cuales permiten
tener información clara y rápida de lo obtenido en el estudio.
Existen varias gráficas para describir un conjunto de datos;
dependiendo de lo que se requiera representar, cada una de
ellas
es adecuada para un estudio determinado, ya que no siempre se
puede utilizar la misma para todos los casos.
1.6.1 GRÁFICAS LINEALES
Se compone de una serie de datos representados por puntos,
unidos por segmentos lineales. Mediante esta gráfica se puede
comprobar rápidamente el cambio de tendencia de los datos.
Los diagramas o gráficas lineales son de aplicación en las
denominadas series de tiempo o series cronológicas, donde una de
las variables, por defecto, corresponde al tiempo (𝑋) (años, meses,
días, etc.) y la segunda es la variable investigada (Y)
(Martínez,
2012).
Un ejemplo de gráficas lineales podría obtenerse con los
datos
de la empresa ABC, en la que se señala los ingresos y costos
anuales, que se muestran a continuación
Tabla 9.
INGRESOS Y COSTOS DE LA EMPRESA ABC EN LOS AÑOS 2004 A 2010.
AÑOS INGRESOS EN MILES
COSTOS EN MILES
2004 260 110 2005 380 200 2006 300 150 2007 620 420 2008 470 360
2009 720 510 2010 870 620
3,620 2,370
Si solo se quiere observar la evolución de los ingresos de
la
empresa ABC, en una gráfica lineal, se presentaría de la
siguiente manera.
-
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Página 36
Figura 2. Evolución de los ingresos de la empresa ABC en los
años 2004 a 2010
Si se representa, tanto los ingresos como los costos, en una
gráfica lineal, estos se representan en la misma forma que la
gráfica anterior; además que se observarán las diferencias para
cada uno de los años; el espacio entre las líneas de costos e
ingresos, representa la utilidad bruta anual. Observe las
diferencias
que existen para los años 2008 y 2010, es claro que en el 2010,
la utilidad es mayor.
Figura 3. Evolución de los ingresos y costos de la empresa ABC
de los años
2004 a 2010.
1.6.2 GRÁFICOS DE SUPERFICIE
Este tipo de gráficos puede comparar varias series de datos,
como novedad respecto al resto de gráficos. En este caso se
emplean distintos colores para diferenciar cada valor que
0
200
400
600
800
1000
2004 2005 2006 2007 2008 2009
E
N
M
I
L
E
S
$
AÑOS
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
E
N
M
I
L
E
S
$
AÑOS
INGRESOSEN MILES
COSTOSEN MILES
UTIL
IDAD
-
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Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V.
Página 37
corresponde a una unidad mayor. Si los datos están muy dispersos
el gráfico será muy difícil de interpretar (Recursos para
trabajos
administrativos, 2013).
Tabla 10.
INVENTARIO DE ARTÍCULOS PARA LA VENTA DE ALMACENES 1, 2 Y 3.
ALMACÉN 1 ALMACÉN 2 ALMACÉN 3
Tijeras 4 6 8
Bolígrafos 2 4 6
Carpetas 1.4 3 6
Lapiceros 4 6 8
Figura 4. Inventario de artículos para la venta de almacenes 1,
2 y 3.
1.6.3 OTROS
Gráficos XY (de dispersión):
Presentan la peculiaridad de que los dos ejes muestran
valores
(no hay un eje de categorías). Se emplean para reflejar la
relación
entre dos variables. Ejemplo: relación entre la Renta y la
Inversión, las dos variables están correlacionadas, a mayor renta
mayor
inversión (Recursos para trabajos administrativos, 2013).
-
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Tabla 11.
RELACIÓN ENTRE LA RENTA Y LA INVERSIÓN EN MILES DE DÓLARES.
Renta en miles $ Inversión en miles $
1 1.5 2 2.1 3 3.2
Figura 5. Relación entre la renta y la inversión en miles de
dólares.
Gráficos de área
Son como los gráficos de líneas, pero con colores debajo de las
líneas para ayudar a su identificación, ya que apilar las series
contribuye a
verlas más claramente (Recursos para trabajos administrativos,
2013).
Tabla 12.
VENTAS ANUALES POR TIPO DE ORDENADORES.
AÑOS SOBREMESA PORTÁTILES
2008 32 12
2009 32 12
2010 28 12
2011 12 21
2012 15 28
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 1 2 3 4
I
N
V
E
R
S
I
Ó
N
E
N
M
I
L
E
S
$
RENTA EN MILES $
-
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Página 39
Figura 6. Ventas anuales por tipo de ordenadores de los años
2008 a 2012.
1.7 DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES DE
FRECUENCIAS
La tabla formada por las distintas modalidades (valores o
intervalos) del carácter X y por las frecuencias absolutas,
absolutas acumuladas, relativas o relativas acumuladas, recibe el
nombre de
distribución de frecuencias: absolutas, absolutas acumuladas,
relativas y relativas acumuladas, respectivamente (García &
Japón ,
2015).
Por lo anterior, se tiene cuatro distribuciones de
frecuencias,
obteniéndose a partir de una cualquiera de ellas, las tres
restantes,
supuesto que se conoce la frecuencia total. Las cuatro
distribuciones de frecuencias se expresan en tablas como las que
se
presentan a continuación.
a. Carácter cualitativo.
𝑴𝒊 𝒇𝒊 𝑭𝒊 𝒉𝒊 𝑯𝒊
𝐂𝐮𝐚𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝𝟏 𝑓1 𝐹1 ℎ1 𝐻1
𝐂𝐮𝐚𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝𝟐 𝑓2 𝐹2 ℎ2 𝐻2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝐂𝐮𝐚𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝𝐢 𝑓𝑖 𝐹𝑖 ℎ𝑖 𝐻𝑖
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝐂𝐮𝐚𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝𝐤 𝑓𝑘 𝐹𝑘 = 𝑛 ℎ𝑘 𝐻𝑘 = 1
n 1
0
10
20
30
40
50
2008 2009 2010 2011 2012
PORTÁTILES
SOBREMESA
-
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b. Carácter cuantitativo sin agrupar
𝑿𝒊 𝒇𝒊 𝑭𝒊 𝒉𝒊 𝑯𝒊
𝒙𝟏 𝑓1 𝐹1 ℎ1 𝐻1
𝒙𝟐 𝑓2 𝐹2 ℎ2 𝐻2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝒙𝒊 𝑓𝑖 𝐹𝑖 ℎ𝑖 𝐻𝑖 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝒙𝒌 𝑓𝑘 𝐹𝑘 = 𝑛 ℎ𝑘 𝐻𝑘 = 1
n 1
c. Carácter cuantitativo agrupado en intervalos
𝑰𝒊 𝒇𝒊 𝑭𝒊 𝒉𝒊 𝑯𝒊
𝑰𝟏 𝑓1 𝐹1 ℎ1 𝐻1 𝑰𝟐 𝑓2 𝐹2 ℎ2 𝐻2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑰𝒊 𝑓𝑖 𝐹𝑖 ℎ𝑖 𝐻𝑖 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
⋮
𝑰𝒌 𝑓𝑘 𝐹𝑘 = 𝑛 ℎ𝑘 𝐻𝑘 = 1
n 1
Para la preparación de una tabla de distribución de frecuencias
de carácter cuantitativo agrupado en intervalos, tenga en cuenta
lo
siguiente.
1.7.1 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS PARA
DATOS CUANTITATIVOS
Las variables cuantitativas tales como número de hermanos,
número de goles marcados por un equipo de fútbol, valor de
ventas diarias, producción de un bien en la semana, pago de
sueldos
mensuales, número de turistas anuales que han ingresado al
Ecuador durante una década, etc. son idóneas para realizar
distribuciones de frecuencias de datos cuantitativos.
Distribución de frecuencias. Agrupación de datos en clases
mutuamente excluyentes, que muestra el número de observaciones
que hay en cada clase.
-
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Pasos para elaborar una distribución de
frecuencias
Los pasos para elaborar una distribución de frecuencias son:
1. Determinar el número de clases que se desea tener. 2.
Determinar la amplitud o intervalo de clase.
3. Determinar los límites de cada una de las clases. 4.
Distribuir los datos originales en las distintas clases o
tabular.
5. Contar el número de elementos en cada clase que corresponde
al
valor de la frecuencia.
Paso 1. Determinar el número de clases
Es usar suficientes grupos o clases, que indiquen la forma de
la
distribución, por lo que se recomienda un número de clase no
menor a 5 ni mayor a 15. El objetivo es usar un número
suficiente
de clases que indiquen la forma de la distribución.
Para determinar el número de clases se utiliza la regla “2 k
n”,
la misma que sugiere utilizar como número de clases el menor
número (k) tal que 2 k(en palabras 2 elevado a la potencia k)
sea
mayor que el número de observaciones (n).
Donde:
𝑛 = 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠.
𝑘 = 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑜, 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒𝑠 𝑎
𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟.
Por ejemplo, si se realizaron 30 llamadas telefónicas para
la
venta de computadores y se desea saber cuántas clases se debe
utilizar;
𝑛 = 30
2 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑘 = 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒𝑠.
Utilizando la regla tenemos:
2𝑘𝑛
25 30
-
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32 30
Al ser 32 mayor que 30, la regla para calcular el número de
clases, se recomienda que sean 5 clases en la tabla de
frecuencias.
Paso 2. Determinar la amplitud o intervalo de clase.
Para determinar la amplitud se resta del límite superior, el
inferior de un conjunto de datos y se divide para el número de
clases.
Al conocer el ancho del intervalo o intervalo de clase a
utilizar,
se puede aplicar la siguiente fórmula para encontrar el número
de clases a utilizarse; en caso de que se manejen datos
agrupados.
𝑖 ≥𝐻 − 𝐿
𝐾
Donde:
𝑖 = 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒
𝐻 = 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜
𝐿 = 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜
𝑘 = 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒
El primer procedimiento a estudiar para organizar y resumir
un
conjunto de datos es realizar una tabla de frecuencias.
TABLA DE FRECUENCIAS O FRECUENCIA ABSOLUTA (𝑓𝑖).
Se agrupa datos cualitativos y cuantitativos en clases
mutuamente excluyentes que muestra el número de observaciones en
cada clase. Por ejemplo, en la venta de vehículos marca Toyota
se identifica cinco modelos SUV'S, la identificación por modelo
es una variable cualitativa. Suponga que Toyota Ecuador desea
resumir las ventas del año pasado por modelo de vehículo. El
resumen en una tabla de frecuencia se presentaría de la
siguiente
manera.
-
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Página 43
Tabla 13.
Tabla de frecuencias absolutas de vehículos Toyota, modelos
Suv's vendidos
en el ecuador en el año 2014.
Modelos SUV'S (𝑿𝒊) Número de vehículos. (𝒇𝒊)
4RUNNER 300
FJ CRUISER 200
FORTUNER 400
LAND CRUISER 200
RAV4 500
FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA (𝐹𝑖).
Esta frecuencia tiene sentido calcularla para variables
cuantitativas o cualitativas ordenables, en los demás casos no
tiene
mucho sentido el cálculo de esta frecuencia. La frecuencia
absoluta acumulada es el número de veces que ha aparecido en la
muestra o
población un valor menor o igual que el de la variable.
El cálculo de la frecuencia absoluta acumulada está dado por la
fórmula
𝐹𝑖 = 𝐹𝑖−1 + 𝑓𝑖
La frecuencia absoluta acumulada de las operaciones de
microcréditos de la Cooperativa de Ahorro y Crédito La Dura, se
presenta en la tabla 14.
Tabla 14.
Tabla de frecuencias absolutas acumuladas de operaciones de
microcrédito de
la C.A.C. La Dura, correspondiente al año 2014.
(𝑴𝒊) (𝒇𝒊)
Frecuencia
absoluta
acumulada (𝑭𝒊)
Microcrédito minorista 300 300
Microcrédito de acumulación
simple
200 500
Microcrédito de acumulación
ampliada
400 900
TOTAL 900
-
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Página 44
FRECUENCIAS RELATIVAS DE CLASE (ℎ𝑖).
Es la fracción del número total de observaciones en cada
clase;
esto es, la frecuencia relativa capta la relación entre la
totalidad de elementos de una clase y el número total de
observaciones. En el
ejemplo de la venta de vehículos Toyota, busca conocer el
porcentaje de vehículos modelos SUV'S vendidos en el Ecuador en
el año 2014.
La fórmula de cálculo para las frecuencias relativas de clase
está
dada por
ℎ𝑖 =𝑓𝑖
𝑁 , o
ℎ𝑖 =𝑓𝑖𝑛
Donde
𝑁 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
Tabla 15.
Tabla de frecuencias absolutas y relativas de vehículos Toyota,
modelos Suv's
vendidos en el ecuador en el año 2014.
𝑿𝒊 𝒇𝒊 Frecuencia relativa (𝒉𝒊).
Frecuencia relativa (𝒉𝒊).
4RUNNER 300 300 1,600⁄ 0.19
FJ CRUISER 200 200 1,600⁄ 0.12
FORTUNER 400 400 1,600⁄ 0.25
LAND CRUISER 200 200 1,600⁄ 0.13
RAV4 500 500 1,600⁄ 0.31
TOTAL 𝑵 = 𝟏, 𝟔𝟎𝟎 𝟏, 𝟔𝟎𝟎 𝟏, 𝟔𝟎𝟎⁄ 1.0000
Frecuencia relativa acumulada (𝐻𝑖). Es el cociente entre la
frecuencia acumulada de una clase
determinada y el número total de datos.
La fórmula de cálculo de las frecuencias relativas acumuladas
se
obtiene al calcular
-
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𝐻𝑖 =𝐹𝑖
𝑁 , o
𝐻𝑖 =𝐹𝑖𝑛
Tabla 16.
Tabla de frecuencias absolutas, absolutas acumuladas, relativas
y relativas
acumulada de vehículos Toyota, modelos Suv's vendidos en el
Ecuador en el año
2014.
𝑿𝒊 𝒇𝒊 (𝑭𝒊) (𝒉𝒊). Frecuencia
relativa
acumulada(𝑯𝒊)
4RUNNER 300 300 0.188 0.19
FJ CRUISER 200 500 0.125 0.31
FORTUNER 400 900 0.250 0.56
LAND CRUISER
200 1,100 0.125 0.69
RAV4 500 1,600 0.313 1.00
TOTAL 1,600 1.0000
Ejemplo de aplicación 3
Se ha investigado el número de hijos correspondientes a 25
familias, los resultados se muestran a continuación.
1 2 2 0 1 3 2 3 4 0 2 1 3
4 1 4 2 2 0 1 3 5 1 2 3
a. Elabore una tabla de frecuencias absolutas. b. Otra con
frecuencias absolutas, absolutas acumuladas, relativas
y relativas acumuladas.
Solución
a. Se elabora una tabla resumen, la cual contendrá en el
presente
caso, en la primera columna, la variable cuantitativa (número de
hijos por familia) y para la segunda columna, el conteo
correspondiente de acuerdo al número de hijos obtenido en los
datos.
-
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Página 46
Tabla 17.
Conteo de número de hijos por familia
NÚMERO DE HIJOS CONTEO
0 III
1 IIIII I
2 IIIII II
3 IIIII
4 III
5 I
TOTAL 25
Una vez elaborado el conteo se procede a llenar la nueva tabla
con números arábigos.
Tabla 18.
Distribución de frecuencias absolutas del número de hijos por
familia.
NÚMERO DE HIJOS 𝑿𝒊
FRECUENCIA 𝒇𝒊
0 3
1 6
2 7
3 5
4 3
5 1
TOTAL 25
b. La tabla anterior contiene la frecuencia absoluta, por lo que
le llamaríamos distribución de frecuencias absolutas. A partir
de
esta tabla se puede construir las demás frecuencias (absolutas
acumuladas, relativas y relativas acumuladas).
Tabla 19.
Distribuciones de frecuencias (absoluta, absoluta acumulada,
relativa, relativa
acumulada) del número de hijos por familia.
𝑿𝒊 𝒇𝒊 𝑭𝒊 𝒉𝒊 𝑯𝒊 0 3 3 0.12 0.12
1 6 9 0.24 0.36
2 7 16 0.28 0.64
3 5 21 0.20 0.84
4 3 24 0.12 0.96
5 1 25 0.04 1.00
TOTAL 25
1
-
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Ejemplo de aplicación 4
Se ha investigado la estatura de 50 estudiantes de
estadística,
los resultados que se muestran han sido previamente ordenados en
forma ascendente.
151 151 152 152 153 154 154 154 155 156
158 158 158 159 161 161 163 164 164 164
166 168 170 170 170 170 170 171 171 172
173 174 174 175 176 177 177 177 177 178
178 180 182 183 184 184 184 185 185 185
a. Elabore una tabla de frecuencias absolutas.
b. Otra con frecuencias absolutas, absolutas acumuladas,
relativas y relativas acumuladas.
Solución
a. Tenga en cuenta los pasos señalados en la preparación de una
tabla de distribución de frecuencias de carácter cuantitativo
agrupado en intervalos.
PASO 1. Determinar el número de clases que se desea tener.
2𝑘𝑛
Donde 𝑛 = 50,
Entonces 2𝑘 > 50
Por tanto
26 > 50
64 > 50
Si 𝑘 = 6, entonces se tendrá seis intervalos de clase.
PASO 2. Determinar la amplitud o intervalo de clase.
𝑖 ≥𝐻 − 𝐿
𝐾
Donde:
𝑖 =?
-
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𝐻 = 186
𝐿 = 151
𝑘 = 6
𝑖 ≥186 − 151
6= 5.83 ≅ 6
186 − 151 = 35
6 × 6 = 36 ∗
* El rango del problema es 35, sin embargo, se dispone de 36, lo
que da lugar para mover en una unidad en uno de los extremos,
sea este, superior o inferior.
PASO 3. Determinar los límites de cada una de las clases.
𝑋𝑖−1
′ − 𝑋𝑖′
150 – 156
156 – 162
162 – 168
168 – 174
174 – 180
180 – 186
PASO 4. Distribuir los datos originales en las distintas clases
o tabular.
𝑋𝑖−1
′ − 𝑋𝑖′ 𝑓𝑖
150 – 156 IIIII IIIII
156 – 162 IIIII I
162 – 168 IIIII I
168 – 174 IIIII IIIII I
174 – 180 IIIII IIII
180 – 186 IIIII III
TOTAL 50
PASO 5. Contar el número de elementos en cada clase que
corresponde al valor de la frecuencia.
-
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Página 49
Tabla 20.
Frecuencias absolutas de alturas de estudiantes de estadística
del periodo
2015 – 2015.
𝑿𝒊−𝟏′ − 𝑿𝒊
′ 𝒇𝒊
150 – 156 10
156 – 162 6
162 – 168 6
168 – 174 11
174 – 180 9
180 – 186 8
TOTAL 50
b. La tabla anterior contiene la frecuencia absoluta, por lo que
le llamaríamos Distribución de frecuencias absolutas. A partir
de
esta tabla se puede construir las demás frecuencias (absolutas
acumuladas, relativas y relativas acumuladas).
Tabla 21.
Frecuencias: absolutas, relativas, absolutas acumuladas y
relativas
acumuladas de alturas de estudiantes de estadística del periodo
2015 – 2015.
𝑿𝒊−𝟏′ − 𝑿𝒊
′ 𝒇𝒊 𝑭𝒊 𝒉𝒊 𝑯𝒊
150 – 156 10 10 0.20 0.20
156 – 162 6 16 0.12 0.32
162 – 168 6 22 0.12 0.44
168 – 174 11 33 0.22 0.66
174 – 180 9 42 0.18 0.84
180 – 186 8 50 0.16 1.00
50
1.00
1.8 DIAGRAMAS DE FRECUENCIAS
1.8.1 DATOS CORRESPONDIENTES A UN CARÁCTER
CUALITATIVO
Comúnmente las gráficas de datos cualitativos son en forma
de
barras y de pastel. Sin embargo en situaciones especiales pueden
ser útiles para datos cuantitativos.
-
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Página 50
Diagrama de barras.
Se representa en el primer cuadrante de un sistema
coordenado
rectangular, aquí las clases se representan en el eje horizontal
y la frecuencia de clase en el eje vertical. Las frecuencias de
clase son
proporcionales a las alturas de las barras. El eje horizontal
muestra la variable de interés y el eje vertical la cantidad,
número o fracción
de cada uno de los posibles resultados. Una característica
distintiva de la gráfica de barras es que existe una distancia o
espacio entre
las barras.
Figura 7. Gráfica de barras de vehículos Toyota, modelos Suv's
vendidos en el ecuador en el año 2014.
Gráficas en forma de pastel.
Es una gráfica que muestra la parte o porcentaje que representa
cada clase del total de números de frecuencia. Para elaborar
una
gráfica de pastel consiste en registrar los porcentajes 0, 10,
20, … , 100 uniformemente alrededor de la circunferencia (véase la
figura
8). Para indicar la parte de 19% destinada a 4RUNNER, trace una
línea del centro del círculo al 0, y otra línea del centro del
círculo al
19%. Tome el punto cero del círculo y constitúyalo como punto
de
partida, girando en sentido a las manecillas del reloj, señale
los valores constantes en las frecuencias relativas acumuladas, en
su
orden; ello le permitirá distribuir los porcentajes
correspondientes de cada una de las características de la
variable.
0
100
200
300
400
500
300
200
400
200
500
Nú
mero
de v
eh
ícu
los
Modelos SUV'S
-
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Página 51
Figura 8. Gráfica de pastel de vehículos Toyota, modelos Suv's
vendidos en
el ecuador en el año 2014.
1.8.2 DATOS CORRESPONDIENTES A UN CARÁCTER
CUANTITATIVO DISCRETO
Diagrama de barras
En el ejemplo del número de hijos por familia, la variable
número de hijos, es cuantitativa discreta, por tanto, recordando
la distribución de frecuencias absolutas del número de hijos
por
familia de la tabla 15, se tiene
NÚMERO DE
HIJOS 𝑿𝒊 FRECUENCIA
𝒇𝒊
0 3
1 6
2 7
3 5
4 3
5 1
TOTAL 25
El diagrama de barras correspondiente, se representa
