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Estimation de copules, une approche bayésienne

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Francois Perron's 03/02/2011 talk at BigMC seminar.

Text of Estimation de copules, une approche bayésienne

  • 1. Prlminaires Lapproche gomtrique Lapproche mesure spectrale Lapproche polynomiale Estimation de copules, une approche baysienne Prsent par Franois Perron Universit de Montral Paris, jeudi le 3 fvrier 2011Prsent par Franois Perron Universit de Montral Estimation de copules, une approche baysienne
  • 2. Prlminaires Lapproche gomtrique Lapproche mesure spectrale Lapproche polynomialePlan de lexpos Prlminaires Lapproche gomtrique Lapproche mesure spectrale Lapproche polynomiale Prsent par Franois Perron Universit de Montral Estimation de copules, une approche baysienne
  • 3. Prlminaires Lapproche gomtrique Lapproche mesure spectrale Lapproche polynomialeCopule C(U, V) : couple alatoireL(U) = L(V) = U(0, 1)C : fonction de rpartition du couple (U, V)Proprits de C : 1 Le support C : [0, 1] [0, 1] [0, 1] 2 Les conditions aux bornes C(0, v) = C(u, 0) = 0, u, v [0, 1] C(1, v) = v et C(u, 1) = u, u, v [0, 1] 3 La croissance, 0 u1 u2 1 et 0 v1 v2 1 C(u2 , v2 ) C(u1 , v2 ) C(u2 , v1 ) C(u1 , v1 ) Prsent par Franois Perron Universit de Montral Estimation de copules, une approche baysienne
  • 4. Prlminaires Lapproche gomtrique Lapproche mesure spectrale Lapproche polynomialeThorme de Sklar(X, Y) : couple alatoire continuC une copule telle que F(x, y) = C(FX (x), FY (y)) x, y R Prsent par Franois Perron Universit de Montral Estimation de copules, une approche baysienne
  • 5. Prlminaires Lapproche gomtrique Lapproche mesure spectrale Lapproche polynomialeLes valeurs extrmes(X1 , Y1 ), (X2 , Y2 ), . . . ,(Xn , Yn ) : un chantillon,X(n) , Y(n) : les maximumsHypothse : il existe une normalisation de sorte que X(n) an Y(n) bn , n nont une loi limite non dgnre. Prsent par Franois Perron Universit de Montral Estimation de copules, une approche baysienne
  • 6. Prlminaires Lapproche gomtrique Lapproche mesure spectrale Lapproche polynomialeLes copules de valeurs extrmes(X, Y) : couple alatoire dont la loi est une loi limite pour desmaximums renormalissOn a les caractrisations suivantes, x X 1/X log(FX (x)) = 1 + X 0 X y Y 1/Y log(FY (y)) = 1 + Y 0 Yet la copule dpend dune fonction A avec log(u) C(u, v) = exp log(uv)A , u, v (0, 1) log(uv) Prsent par Franois Perron Universit de Montral Estimation de copules, une approche baysienne
  • 7. Prlminaires Lapproche gomtrique Lapproche mesure spectrale Lapproche polynomialeLa modlisationM : espace des paramtres, copule et margesS : chantillonL : vraisemblance : fonction estimer, la copule, une loi prdictive, etcM Mi union dense i=1 : loi a priori sur ii : loi a priori conditionnelle sur Mi tant donn i : esprance a posteriori de La partie simulationvaluer : MCMC avec Metropolis-Hastings et sauts rversibles Prsent par Franois Perron Universit de Montral Estimation de copules, une approche baysienne
  • 8. Prlminaires Lapproche gomtrique Lapproche mesure spectrale Lapproche polynomialeLa fonction de Pickands A La dnition Une fonction A : [0, 1] R est une fonction de Pickands si 1 A est convexe 2 A(0) = 1 et A(1) = 1 3 D+ A(0) 1 et D A(1) 1 La gomtrie du problme Une fonction A : [0, 1] R est une fonction de Pickands si 1 A est convexe 2 la courbe A est enferme dans le triangle form des sommets (0, 1), (1/2, 1/2), (1, 1). Prsent par Franois Perron Universit de Montral Estimation de copules, une approche baysienne
  • 9. Prlminaires Lapproche gomtrique Lapproche mesure spectrale Lapproche polynomialela construction la fonction A, lapproximation par 0 = t1 < t2 < < tK = 1 : les noeuds {ai }K : les valuations (ai = A(ti )) i=1 pi = (ti , ai ), i = 1, . . . , K : les points On interpole les points par une fonction convexe de Pickands Soit la fonction dcrivant la courbe obtenue suite linterpolation Prsent par Franois Perron Universit de Montral Estimation de copules, une approche baysienne
  • 10. Prlminaires Lapproche gomtrique Lapproche mesure spectrale Lapproche polynomialelinterpolation entre les points pi et pi+1mj : pente de la droite passant par pj et pj+1 , j = i 1, i, i + 1mi = (mi1 + mi )/2 Courbe de Bzier qui passe par pi et pi+1 avec pente mj en tj ,j = i, i + 1.la qualit dapproximationA : fonction de Pickandsti = (i 1)/(K 1), ai = A(ti ), i = 1, . . . , K,, fonction obtenue partir des pi , i = 1, . . . , K, A 1/2(K 1) Prsent par Franois Perron Universit de Montral Estimation de copules, une approche baysienne
  • 11. Prlminaires Lapproche gomtrique Lapproche mesure spectrale Lapproche polynomialeFigure 1 A E B D C F F IG .: La disposition des points A, B, C, D, E et la libert du point C Prsent par Franois Perron Universit de Montral Estimation de copules, une approche baysienne
  • 12. Prlminaires Lapproche gomtrique Lapproche mesure spectrale Lapproche polynomialela loi a priori les marges Il y a les trois paramtres (, log(), ) pour chacune des marges, lois normales indpendantes partout, Coles (2001) les paramtres K et p Loi discrte sur K, K = 3, 4, . . . , U ( on tronque ) Loi uniforme sur {p2 , . . . , pK1 : est une fonction de Pickands } Prsent par Franois Perron Universit de Montral Estimation de copules, une approche baysienne
  • 13. Prlminaires Lapproche gomtrique Lapproche mesure spectrale Lapproche polynomialela chane les options On choisit une option avec une certaine probabilit qui dpend de K et on effectue le test de Metropolis modier un des paramtres des marges dplacer un des points p, (K K) ajouter un des points p, (K K + 1) retrancher un des points p, (K K 1) Prsent par Franois Perron Universit de Montral Estimation de copules, une approche baysienne

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