Formationprofessionnelle–SecondaireI

Mémoireprofessionnel–Volée2015

Etude de paramètres linguistiques et

structurels dans la résolution de

problèmes relatifs au champ conceptuel

multiplicatifpardesélèvesallophones

Réalisépar:

CéliaMichellod

CheminProzchezBoz8

CH–1955Grugnay(Chamoson)

Sousladirectionde:

IsmaïlMili

St-Maurice,le23mai2018

Résumé

Partantd’un constatdans lapratiqueet s’inspirantde travaux sur l’intégrationdesélèves

allophones en mathématiques réalisés dans d’autres pays, ce travail tente de mettre en

évidencelesdifficultéspotentiellesquecesélèvespeuventrencontrerdurantleurscolarité

danslecantonduValais.

Cetterecherchedébuteavecunétatdeslieuxdecequisefaitactuellementpourlesélèves

allophoneslorsdeleurarrivéedanslesystèmescolairevalaisan.Ellesespécialiseensuitesur

l’apprentissagedesmathématiques,etplusprécisémentsurlesélèvesscolarisésen9COen

Valaisromand,premièreannéeducycle3.

Desproblèmesdemathématiquesissusduchampconceptuelmultiplicatifontétéproposés

àdesélèves standardsetàdesélèvesallophonesde trois classesd’uncycled’orientation

valaisan.Leursrésultatsontétéanalysésafindedéterminerlessimilitudesetlesdifférences

observables entre ces deux groupes. Ensuite, une importance accrue a été mise sur les

résultats des élèves allophones dans le but de déceler les origines des difficultés qu’ils

rencontrent.

Enfin,cetravailrelèvequelquescaractéristiquesquelesproblèmesmathématiquesissusdu

champconceptuelmultiplicatifdevraientavoirafind’aideraumieuxlesélèvesallophonesà

connaîtredessituationsderéussitemalgréleursdifficultésliéesàlalangued’enseignement.

Mots-clés

- Elèveallophone

- Intégration

- Mathématiques

- Problèmesissusduchampconceptuelmultiplicatif

- Difficultés

Tabledesmatières

1 INTRODUCTION.......................................................................................................................12 PROBLÉMATIQUE:LASCOLARISATIONDESÉLÈVESALLOPHONESENVALAISROMAND..........2

2.1 SITUATIONDESÉLÈVESALLOPHONESENVALAIS...............................................................................32.1.1 ReprésentationdesélèvesallophonesdanslesécolesduValaisromand.........................3

2.2 CONTEXTEVALAISANDEL’INTÉGRATIONSCOLAIREDESÉLÈVESALLOPHONES.........................................42.2.1 Soutienpédagogiquepourlesélèvesallophones..............................................................42.2.2 Etatactueldesaménagementspourlesélèvesallophones...............................................5

2.3 OBJECTIFDELARECHERCHE..........................................................................................................53 CADRECONCEPTUEL...............................................................................................................6

3.1 THÉORIEDESCHAMPSCONCEPTUELS..............................................................................................63.1.1 Champconceptuelmultiplicatif.........................................................................................8

3.2 TYPOLOGIEDESPROBLÈMES.........................................................................................................93.3 ANALOGIESDANSLESPROBLÈMESMATHÉMATIQUES......................................................................12

3.3.1 L’analogiedesubstitution................................................................................................133.3.2 L’analogiedescénario.....................................................................................................133.3.3 L’analogiedesimulation..................................................................................................14

3.4 L’APPRENTISSAGEDESMATHÉMATIQUESCHEZLESÉLÈVESALLOPHONES.............................................143.4.1 Lesdifficultésliéesaulangagemathématique................................................................153.4.2 Larésolutiondeproblèmesécrits....................................................................................17

3.5 COMPRÉHENSIONDETEXTE........................................................................................................193.6 TYPOLOGIEDESERREURS...........................................................................................................21

3.6.1 Lacompréhensiondesconsignes.....................................................................................223.6.2 Leshabitudesscolairesetlemauvaisdécodagedesattentes.........................................223.6.3 Lesconceptionsalternativesdesélèves...........................................................................233.6.4 Lesopérationsintellectuellesimpliquées.........................................................................233.6.5 Lesdémarchesadoptées..................................................................................................233.6.6 Lasurchargecognitive.....................................................................................................243.6.7 Lesautresdisciplines.......................................................................................................243.6.8 Lacomplexitépropreducontenu....................................................................................24

3.7 TYPOLOGIEDESERREURSUTILISÉEPOURL’ANALYSEDESPRODUCTIONSDESÉLÈVESALLOPHONES............244 QUESTIONNEMENT...............................................................................................................27

4.1 LAQUESTIONDERECHERCHE......................................................................................................274.2 HYPOTHÈSES............................................................................................................................28

5 MÉTHODOLOGIE...................................................................................................................285.1 MÉTHODECHOISIE....................................................................................................................285.2 ECHANTILLON..........................................................................................................................295.3 OUTILSDERECHERCHE..............................................................................................................29

5.3.1 Constructionduquestionnaire–lesproblèmesproposés...............................................295.3.2 Analyseaprioridesproblèmesproposés.........................................................................32

5.4 CONTRÔLEDESBIAISINHÉRENTSAUCONTRATDIDACTIQUE..............................................................345.5 MÉTHODED’ANALYSEDESDONNÉES............................................................................................35

6 ANALYSEDESDONNÉES........................................................................................................356.1 ELÈVESSTANDARDS...................................................................................................................356.2 ELÈVESALLOPHONES.................................................................................................................406.3 TAUXDERÉUSSITE....................................................................................................................45

6.3.1 Tauxderéussitedanslarésolutiondesproblèmes..........................................................456.3.2 Tauxduchoixcorrectdel’opération................................................................................47

7 INTERPRÉTATIONDESRÉSULTATS.........................................................................................497.1 DIFFÉRENCEDESTAUXDERÉUSSITE.............................................................................................49

7.1.1 Premièrecatégorie–Différencedestauxsupérieureà40%...........................................497.1.2 Deuxièmecatégorie–Différencedestauxentre30%et40%.........................................517.1.3 Troisièmecatégorie–Différencedestauxentre20%et30%..........................................527.1.4 Quatrièmecatégorie–Différencedestauxentre10%et20%........................................547.1.5 Cinquièmecatégorie–Différenceinférieureà10%.........................................................557.1.6 Comparaisondescatégories............................................................................................57

7.2 RÉSOLUTIONDEPROBLÈMESPARLESÉLÈVESALLOPHONES...............................................................587.2.1 Résolutionincorrecte.......................................................................................................587.2.2 Résolutionincorrectemalgréunchoixcorrectdel’opération.........................................607.2.3 Résolutionscorrectes.......................................................................................................617.2.4 Choixcorrectdel’opération.............................................................................................627.2.5 Caractéristiquesdesproblèmesmenantàunesituationderéussite..............................63

7.3 RÉSOLUTIONDEPROBLÈMESPARLESÉLÈVESSTANDARDS................................................................647.3.1 Résolutionsincorrectes....................................................................................................657.3.2 Résolutionscorrectes.......................................................................................................66

8 CONCLUSION.........................................................................................................................688.1 QUESTIONSRESTÉESENSUSPENSETLIMITESDELARECHERCHE.........................................................69

9 BIBLIOGRAPHIE.....................................................................................................................7110 ATTESTATIOND’AUTHENTICITÉ.............................................................................................7411 LISTEDESANNEXES...............................................................................................................75

11.1 ANNEXEI–CONSIGNEPOURLAPASSATIONDESPROBLÈMES............................................................7611.2 ANNEXEII–TABLEAUD’ANALYSEDESPROBLÈMES.........................................................................7711.3 ANNEXEIII–EXEMPLAIREDESPROBLÈMESREMISAUXÉLÈVES.........................................................8111.4 ANNEXEIV–TABLEAUDESRÉSULTATSDESÉLÈVESALLOPHONES......................................................8711.5 ANNEXEV–TABLEAUDESRÉSULTATSDESÉLÈVES«STANDARDS»...................................................89

Listedesgraphiquesetdesillustrations

FIGURE1:RESOLUTIONDESPROBLEMESPARLESELEVESSTANDARDS.................................................................36

FIGURE2:EXEMPLEDERESOLUTIONDUPROBLEME11PARUNELEVESTANDARD................................................36

FIGURE3:CHOIXDEL'OPERATIONPARLESELEVESSTANDARDS.........................................................................37

FIGURE4:EXEMPLEDERESOLUTIONINCORRECTEDUPROBLEME9MALGREUNCHOIXCORRECTDEL'OPERATION.......38

FIGURE5:EXEMPLEDERESOLUTIONINCORRECTEDUPROBLEME13MALGREUNCHOIXCORRECTDEL'OPERATION.....38

FIGURE6:RESOLUTIONCORRECTEVS.CHOIXCORRECTDEL'OPERATIONPARLES33ELEVESSTANDARDS...................39

FIGURE7:RESOLUTIONDESPROBLEMESPARLESELEVESALLOPHONES................................................................40

FIGURE8:RESOLUTIONCORRECTEDUPROBLEME10PARUNELEVEALLOPHONE..................................................41

FIGURE9:RESOLUTIONINCORRECTEDUPROBLEME10PARUNELEVEALLOPHONE...............................................41

FIGURE10:PROBLEMEAVECCHOIXCORRECTDEL'OPERATION,MAISMAUVAISCHOIXDESVARIABLES......................41

FIGURE11:CHOIXDEL'OPERATIONPARLESELEVESALLOPHONES......................................................................42

FIGURE12:RESOLUTIONCORRECTEVS.CHOIXCORRECTDEL'OPERATIONPARLES9ELEVESALLOPHONES.................43

FIGURE13:CHOIXCORRECTDEL'OPERATIONAVECUTILISATIONCORRECTEDEL’OUTILMATHEMATIQUE,MAISSANS

TERMINERLARESOLUTIONDUPROBLEME16.........................................................................................44

FIGURE14:CHOIXCORRECTDEL'OPERATIONAVECUTILISATIONINCORRECTEDEL’OUTILMATHEMATIQUEPOURLE

PROBLEME16..................................................................................................................................44

FIGURE15:RESOLUTIONCORRECTEDUPROBLEME1SANSOPERATIONNOTEE.....................................................45

FIGURE16:COMPARAISONDUTAUXDEREUSSITEDANSLARESOLUTIONDESPROBLEMES......................................46

FIGURE17:COMPARAISONDESTAUXDECHOIXCORRECTDEL'OPERATION..........................................................48

1

1 Introduction

Cetravailprendsessourcesdansdesobservationsetconstatsquenousavonspuavoirdans

notre pratique quotidienne d’enseignement des mathématiques. L’intégration des élèves

allophonesdanscesclassesasoulevéquelquesquestionsquinousontpoussésàregarderce

qu’ilenétaitailleurs.

DanslaDéclarationuniverselledesDroitsdel’HommedesNationsUnies(1948),l’article26

stipuleque«Toutepersonneadroità l’éducation».Ainsi, chaqueenfantarrivantenâge

d’êtrescolarisédansunnouveaupaysaledroitd’êtreintégrédansuneclasseetd’apprendre.

L’intérêtconcernantcesélèvesestd’autantplusgrandquenousconnaissonsactuellement

uneaugmentationd’élèvesallophonesarrivantdepaysd’Orient(chiffresobtenusauprèsde

M.GillesCarron).

Laquestiondel’intégrationdesélèvesallophonesdanslescoursdemathématiquesn’estde

loinpasnouvelle(Clarksonselaposaitdéjàen1992danssonarticleAComparisonofBilingual

andMonolingual Students ofMathematics)même si son envergure internationale semble

relativementrécente,commeentémoignentlesétudesdeMartiniello(2008)Languageand

the performance of English-Learners in Math Word Problems, et de Berger (2015)

Conceptualizingtheinteractionbetweenlanguageandmathematics:Anintegratedlanguage

andmathematicsmodelofwordproblemsolvingprocessesinEnglishasaforeignlanguage.

Unepremièrerecherchedelalittératurerelativeàl’intégrationdesélèvesallophonesetde

leurs compétences mathématiques nous a aiguillés vers un mémoire de master écrit à

l’UniversitéLaval,auQuébec.Sonauteure,RoxanneTardif-Couture(2016)s’estintéresséeà

laRésolution de problèmes enmathématiques chez les élèves allophones du primaire. En

partant d’une base similaire, nous avons voulu déterminer si ses résultats étaient

transférableschezlesélèvesallophonesduSecondaireIscolarisésenValaisromand.

Danscetravail,nouscommenceronsparnousintéresseràl’étatactueldel’intégrationdes

élèves allophones dans les classes du Valais romand. Ensuite, nous nous attarderons sur

l’apprentissage plus spécifique desmathématiques, et plus particulièrement les difficultés

rencontréeslorsdelarésolutiondeproblèmesécritsetlesoutils,mathématiquesouautres,

nécessaires à leur résolution. Enfin, nous tenterons de déceler les sources des erreurs

2

commisesparlesélèvesallophones.Cecinouspermettrapeut-êtredemettreenavantdes

outils à mettre en place pour aider au mieux ces élèves à s’intégrer dans les cours de

mathématiques.

2 Problématique:lascolarisationdesélèvesallophonesenValaisromand

Depuis passablement d’années, la Suisse accueille des personnes d’autres pays. Ceux-ci

arrivent parfois adultes, d’autres sont encore en âge d’être scolarisés. La plupart de ces

enfantsarriventenSuissesansenconnaîtrelalangueetseretrouventdoncdansunpays,un

village,uneécole,uneclassedontilsneconnaissentnilalangue,nilaculture.L’arrivéedeces

élèvesaimpliquédeschangementségalementpourlesenseignants:ceux-ciseretrouvent

face à des élèves avec lesquels ils ne peuvent communiquer que partiellement, soit en

interagissant principalement avec les signes et un vocabulaire très simplifié, soit en ayant

recoursàdestraducteursendehorsdutempsscolaire.

En1991déjà,laCDIP(ConférencesuissedesDirecteurscantonauxdel’InstructionPublique)

donnaitsesRecommandationsconcernantlascolarisationdesenfantsdelangueétrangère.

L’intégrationdesenfantsmigrantsétaitunepriorité,tantauniveaudelalanguequ’auniveau

culturel. En2007, l’Accord intercantonal sur l’harmonisationde la scolarisationobligatoire

(CDIP)reprendcemêmethèmeetgardelamêmeoptique.

Suite à cela, la nouvelle loi sur le Cycle d’Orientation contient dorénavant des indications

concernantcesélèvesallophones.DansLePetitLarousse Illustré (2005), lenometadjectif

«allophone»estdéfiniainsi:«Seditd’unepersonnedontlalanguematernellen’estpas

celledelacommunautédanslaquelleellesetrouve(p.75)».Danscetravaildemémoire,

nousnousintéresseronsuniquementauxélèvesallophonesscolarisésaucycle3,c'est-à-dire

âgés de 12 à 15 ans, et arrivés récemmentdans le pays d’accueil. Ennousbasant sur les

critèresdesélèvespouvantbénéficierdesoutienpédagogiquepourallophonesdéfinidans

les Directives du 30 avril 2012 relatives au soutien pédagogique hors classe, au soutien

pédagogiquepourélèvesallophonesetauxétudesdirigéesetsurveilléesdanslecadreduCycle

d’orientation,nousavonsnommédeuxcatégories:lesélèves«primo»,arrivésdanslepays

d’accueil,enprincipe,ilyamoinsd’uneannée,etlesélèves«secundo»,arrivés,eux,ilya

généralement moins de deux ans. Les différences entre ces élèves allophones primo et

3

secundo se retrouvent principalement dans le domaine des compétences dans la langue

d’enseignement. Les élèves primo commencent avec le b.a.-ba du français, tandis que les

secundo sont, en principe, déjà capables de tenir une conversation et de comprendre

passablementd’informations.

2.1 SituationdesélèvesallophonesenValais

Au31décembre2015vivaient,enValais,331'763personnes,dont77'084étrangers,soitune

proportionde23%(OfficeCantonaldeStatistiqueetdePéréquation,EtatduValais,2016).

Cetteprésencedemigrantsdeprèsd’unquartde lapopulationexplique, entreautres, la

présence de plus en plus accrue dans les écoles d’élèves d’une autre nationalité, et par

conséquent,aussid’élèvesallophones.Enplusderendrelesclassesdavantagehétérogènes

d’unpointdevuesocial,l’augmentationd’élèvesneparlantpaslalangued’enseignementa

égalementuneffet sur l’enseignantquidoitprendreencomptecesenfants-là.Ceux-cine

doiventpasêtremisdecôté,mais,aucontraire,intégrésdanslaclasse,malgrélabarrièrede

lalangue,commelerecommandentlaCDIPetleConcordatHarmoS.

2.1.1 ReprésentationdesélèvesallophonesdanslesécolesduValaisromand

Selonleschiffresdeseptembre2017obtenusauprèsdeM.GillesCarron,coordinateurdela

scolarisationdesélèvesmigrantsdansleValaisromand,3%desélèvesactuellementscolarisés

enValaisromandsontallophones.Surlestroisdernièresannées,nousavonspuobserverune

diminutiondesarrivéesduPortugal,bienqu’ilsrestentlacommunautéd’allophoneslaplus

représentée.Enrevanche,ilyauneaugmentationdesélèvesarrivantd’Afghanistan,deSyrie

etd’Erythrée,etaussid’Espagneetd’Italie.Notonségalementquedansunpaysmultilingue

commelaSuisse,desdéménagementspeuventaussiameneràavoirdesélèvesallophones

danslaclasse,bienqu’ilssoientdenationalitésuisse.

Enseptembre2017,prèsd’untiersdesélèvesallophonesscolarisésenValaisromand,plus

exactement29%,parlentportugais.Suiventensuitel’italien(10%), l’albanaisetl’arabe(9%

chacun), puis les langues africaines (6%), d’Asie de l’Ouest (5%) et le serbe (ou croate) et

l’espagnol (4% chacun). Les 24% restants concernent d’autres langues moins répandues.

Toutefois,ceschiffresnouspermettentdevoirlenombreimportantdeculturesdifférentes

quenouscôtoyonsdans l’Ecolevalaisanne.Deplus,à laculturesocialeautres’ajouteune

culturescolaire,elleaussidiverse,quipeutentraînerdesmalentenduslorsdelascolarisation

4

decesélèvesdansnotrecanton.Aussi,undialogue,avecinterprète,entrelesparentsetles

enseignantsestsouventnécessaireetbénéfique.

2.2 Contextevalaisandel’intégrationscolairedesélèvesallophones

Lesystèmescolairevalaisanprévoitl’intégrationdesélèvesallophonesdanslesdiverseslois

etdirectives leconcernant.Ainsi,noustrouvonsdans lesrappelsdesDirectivesdu26avril

2001relativesàl’intégrationetàlascolarisationdesélèvesdelangueétrangèredanslecadre

del’écolepubliqueque«lesélèvesdelangueétrangèresontintégrésdansl’écolepublique

(p.1) ». Les élèves allophones ne se retrouvent pas dans une classe particulière, mais

fréquententlesmêmescoursqueleurscamaradesparlantdéjàlalanguedescolarisation.En

revanche,ilsontdroitàunsoutienpédagogiquepourélèvesallophones.

LaLoisurlecycled’orientationde2009,reprend,àl’article41,quelquesinformationssurce

soutien.Elleditque:

- «L’élèveallophonebénéficied’unsoutienpédagogique,sousformepermanenteou

nonpermanente,enprincipedurant le tempsdeclasseetenprincipedurantdeux

ans;ilestscolarisédanssaclassed’âge,danslesniveauxIouII.»

Acelas’ajoutentlesDirectivesdu30avril2012relativesausoutienpédagogiquehorsclasse,

ausoutienpédagogiquepourélèvesallophonesetauxétudesdirigéesetsurveilléesdansle

cadreduCycled’orientation.Ellesdonnentdavantaged’informationssurl’organisationetla

fréquencedusoutienpédagogique.Ainsi,«ilssont,enprincipe,d’aumoins:

- cinqpériodeshebdomadairespourlesélèvesenpremièreannéedescolarisationdans

lalangued’accueil;

- troispériodeshebdomadairespourlesélèvesenrenforcement,lorsdeladeuxième

année».

2.2.1 Soutienpédagogiquepourlesélèvesallophones

Dans lesmêmesDirectivesdu26avril 2001,maiségalementdans cellesdu30avril 2012,

davantaged’informationsconcernantcesheuresdesoutienpédagogiquesontdonnées.Ilest

notéquelesoutiensefaitdurantlesheuresdeclasse.Cescoursneregroupent,enprincipe,

que3à5élèves,enfonctiondesarrivées,etsontdonnéshorsdelaclasseprincipale.

Ilestimportantdenoterque,danslesystèmescolairevalaisan,lesdoublesmesuresnesont

pasaccordées.Autrementdit,unélèveallophonenedevraitpasêtrescolarisédansuneclasse

5

d’observation ou bénéficier d’appuis pédagogiques s’il a déjà des mesures pour son

allophonie,àl’exceptiondescasparticuliers.Cetteparticularitédoitcependantêtregardée

enmémoire,carellepeutexpliquercertainsrésultatsobtenuspardesélèvesarrivésd’autres

paysdéjàavecunfaibleniveau,maispourlesquelslestatutd’allophoneaprimésurl’étatde

leurscapacités.

2.2.2 Etatactueldesaménagementspourlesélèvesallophones

Toujoursdanslecontextelégal,noustrouvonségalementl’Ordonnancerelativeàl’évaluation

dutravaildesélèvesàl’écoleobligatoiredu17juin2015.Cettedernièrecontientplusieurs

pointsimportantsconcernantlesélèvesallophones.Ilya,premièrement,unrappeldustatut

particulier de l’élève durant ses deux premières années de scolarité après son arrivée en

Valais.Cestatutparticulierserapporte,commeditprécédemment,ausoutienpédagogique

quiluiestdonné,maiségalementàla«[dispense]denotespourlesbranchesdanslesquelles

lesconnaissancesenLangue1ontuneinfluencesignificative»(Art.31,al.2).

A la fin de chaque année scolaire de ce statut particulier, l’élève allophone reçoit une

évaluation de ses objectifs d’apprentissage. Celle-ci a été spécifiquement définie par le

Départementetfigureautomatiquementdansledossierd’évaluationdel’élève.Ellepermet

doncunsuividesapprentissages,entreautres,dufrançais.Deplus,l’élèveallophonesuit,en

principe,laclassedanslaquelleilaétéplacé.Ainsi,ilneredoublepas,maisn’estpasnonplus

promu. Ceci évite à l’élève de prendre une trop grande avance en âge par rapport à ses

camarades.

Enfin, au termede son statut particulier, la situation de l’élève allophone est analysée et

évaluéeparladirection,letitulaire,l’enseignantdesoutienetleconseillerpédagogique,afin

dedéterminerlasuiteduparcoursdel’élève(promotion–redoublement–éventuelmaintien

decertainesmesuresparticulières).

2.3 Objectifdelarecherche

Lesmathématiques étant bien souvent considérées comme un langage « universel », les

adaptationsprévuesdanscettedisciplinepourlesélèvesallophonessontquasimentnulles.

Souhaitantnousdémarquerdecesenscommun,nousallonsnousintéresser,danslecadre

decetravail,auxdifficultésrencontréesparlesélèvesallophones,etce,demanièreàpouvoir,

parlasuite,proposerdespistesderemédiationquileursoientadaptées.

6

Pour cette recherche, nous allons recourir à des problèmes à structuremultiplicative afin

d’étudier les différences ou les similitudes entre les élèves dits standards et les élèves

allophones.Cechoixestjustifiéparlefaitqu’ils’agitdeprocéduresabordées,selonlePlan

d’EtudesRomand,durantlecycle2.Ainsi,larésolutiondecegenredeproblèmesdevraitêtre

acquiseen9CO,et,enchoisissantunobjectifmathématiquenormalementatteintàlafinde

la8H,nousdevrionsnousassurerquelesdifficultésrencontréesparlesélèvesallophonesne

sont pas liées à l’utilisation des outils mathématiques, mais bien à des difficultés de

compréhension de la donnée dus à la présence de variables linguistiques compliquant la

perceptionduproblème.

3 Cadreconceptuel

3.1 Théoriedeschampsconceptuels

Lacatégoriedeproblèmesàstructuremultiplicativeseradéfinieetcirconscriteàl’aidedela

théoriedeschampsconceptuelsélaboréeparVergnaud,laquelleapourbut,entreautres,de

« fourniruncadrequipermettedecomprendre les filiationset les rupturesentre […] les

savoir-faire[et]lessavoirsexprimés(Vergnaud,1991,p.135) ».Bienqu’ellesoitdésormais

applicableàd’autresbranchesque lesmathématiques,nousallonsnous intéresseràcette

théoriedeschampsconceptuelspourlamêmeraisonqueVergnaudlorsdesonélaboration,

c'est-à-direlacompréhensiondesprocessusmisenplacepourconceptualiser,notamment,

lesstructuresmultiplicatives.

C’estcetteidéedecadrequinousaincitésànouspenchersurcettethéorieafind’étudierles

procéduresmisesenplacepardesélèvesallophones.C’estégalementcettethéoriequinous

apoussésànousconcentreruniquementsurlesstructuresmultiplicatives.Effectivement,le

Plan d’Etudes Romand (Conférence Intercantonale de l'instruction publique de la Suisse

romandeetduTessin(CIIP),2010),ci-aprèsPER,reprendclairementlatypologiedeVergnaud

danssesobjectifsmathématiquesducycle2.L’objectifMSN23-1ditprécisément«Résoudre

des problèmes additifs et multiplicatifs en traduisant les situations en écritures additive,

soustractive,multiplicativeoudivisive».Cetobjectifdémontrelapréparationfaiteaucycle2

pourensuiteintroduirelecalculalgébriqueaucycle3.Lesstructuresmultiplicativessontdonc

considéréescommeacquiseslorsquelesélèvesarriventen9CO.Duplus,enparcourantles

objectifsMSN(MathématiquesetSciencesnaturelles)duPERpourlecycle3,nousretrouvons

7

desréférencesquasimentimmédiatesauxstructuresmultiplicativesdeVergnaud.Eneffet,

nousretrouvantdansl’objectifMSN33lespointssuivants:

- MSN33-1:«Résoudredesproblèmesnumériquesetalgébriquesenreconnaissantles

caractéristiques mathématiques d’une situation et en la traduisant en écritures

numériqueoulittérale(CIIP,2010,p.24)»

- MSN33-4:«Résoudredesproblèmesnumériquesetalgébriquesenchoisissantl’outil

decalcullemieuxappropriéàlasituationproposée(CIIP,2010,p.25)»

- MSN33-8:«Résoudredesproblèmesnumériquesetalgébriquesenmodélisantune

situationdeproportionnalité(CIIP,2010,p.25)»

Ensynthétisantl’objectifMSN33duPER,nouspouvonsdirequ’ilpermetprincipalementde

donnerdusensauxdifférentesopérations(addition,soustraction,multiplicationetdivision,

maisaussipuissanceetracine)afindepouvoir,ensuite,comprendrelesproblèmesdonnés

danslessituationsetsavoirquelle(s)opération(s)utiliser.

Dans sa théorie des champs conceptuels, Vergnaud (1991) distingue deux catégories de

situations.Lapremièrecatégorieregroupelessituationspourlesquellesl’élèvepossèdetout

cedontilabesoinpourlatraiterrapidement.Laseconde,enrevanche,poussel’individuàdes

momentsderéflexionetderecherchesavantdel’ameneràl’échecouàlaréussite.Pources

deuxcatégories,lesujetmetenplacedifférentsprocessus,dontlasuitepeutlemeneràla

réussite.Vergnaudanommécesdifférentesprocéduresdes« schèmes»etlesdéfinitcomme

étant« l’organisationinvariantedelaconduitepouruneclassedesituationsdonnée(1991,

p.136)». Les schèmes s’appliquent néanmoinsplus facilement à la première catégorie de

situationsqu’àlaseconde,danslaquellel’élèveessaiesouventplusd’unemanièredefaire

pourfinalementaboutiràuneréussiteouàunéchec.

EnsynthétisantlesproposdeVergnaud(1991),nouspouvonsdireque,plusunindividuva

rencontrerunecatégoriedesituations,pluslesprocéduresetalgorithmesqu’ilvamettreen

place vont s’automatiser. Ainsi, si l’élève a une bonne connaissance des liens entre le

problèmedelasituationetlesprocéduresàmettreenplacedanscecas-là,alorsleschème

auraunegrandefiabilité,etmènera,enprincipe,àplusderéussitesqued’échecs.Enfaisant

lelienaveclePER,nouspouvonsdirequ’àtraversl’objectifMSN23,c'est-à-diredurantlecycle

2,l’élèvevaassocierdifférentessituationscourantesauxopérationsqu’ildoitmettreenplace

pourlesrésoudre.Aforcederencontrercessituations,lesujetstabiliseralesschèmes.Arrivés

8

aucycle3,etvial’objectifduPERMSN33,lesélèvesstabiliserontdavantagecesprocessuset

lesréutiliserontpourlesstructuresalgébriquesetdanslamodélisationdesituations.Nous

voyonsdonciciquechacundéveloppedanssavieetdanssoncursusscolairedeshabitudes

et des automatismes pour la résolution de problèmes en fonction des indices et routines

contenusdans la situation, toutengardant le contrôle grâceauxdécisions consciemment

prisesdurantlarésolutionduproblème.

Danssathéoriedeschampsconceptuels,Vergnaud(1991)seconcentreprincipalementsurle

fonctionnementcognitifetdonclamiseenplacedesschèmesdanslessituations.Lesschèmes

quisedéveloppentpeuàpeudansl’apprentissagedesmathématiques,entreautres,peuvent

tousêtreclasséspouruntypedesituationavecdescaractéristiquesbiendéfinies.Cependant,

lefaitd’avoirdéveloppécesschèmesetdelesavoirclassésn’empêchepaslesujetd’enutiliser

demanièreinefficace.Cesschèmesontétéanalysésdansdiversessituationsdanslebutde

comprendre en quoi consistaient les concepts. Suite à cela, Vergnaud a défini le concept

commeétant«untripletdetroisensembles:

- l’ensembledessituationsquidonnentdusensauconcept(laréférence)

- l’ensemble des invariants sur lesquels repose l’opérationnalité des schèmes (le

signifié)

- l’ensembledesformeslangagièresetnonlangagièresquipermettentdereprésenter

symboliquement le concept, ses propriétés, les situations et les procédures de

traitement(lesignifiant)(1991,p.145)».

3.1.1 Champconceptuelmultiplicatif

Vergnaudconsidèreun«champconceptuelcommeunensembledesituations(1991,p.146)»

nécessitant le même genre d’opérations. Ainsi, il définit ensuite le champ conceptuel

multiplicatifcommeétantl’ensembledessituationsquidemandentunemultiplicationouune

division, ou encore une combinaison de ces deux opérations pour leur résolution. Les

situations sont vues comme une combinaison de tâches dont l’analyse peut se faire, par

exemple,sousl’anglelinguistique,sousceluidutraitementdel’information,ouencore,dans

lecasdeVergnaud,sousl’angledeschampsconceptuels.Cettethéoriemetenavant,dans

cetteanalyse,les«modèlesquidonnentunrôleessentielauxconceptsmathématiqueseux-

mêmes(Vergnaud,1991,p.146)».Ainsi,Vergnaudcomplète ladéfinitiond’unestructure,

qu’ellesoitadditiveoumultiplicative,enajoutantàl’ensembledessituationsexigeantune

9

certaineopération,touslesconceptsetlesthéorèmesutiliséspouranalysercessituationsen

tantquetâchemathématique.

Pourlesstructuresmultiplicatives,Vergnaudsouligne,parmid’autres,lesconceptssuivants:

«proportion simpleetproportionmultiple, fonction linéaireetn-linéaire, rapport scalaire

direct et indirect, quotient et produit de dimensions, combinaison linéaire et application

linéaire,fraction,rapport,nombrerationnel,multipleetdiviseur,etc.(1991,p.148)».Ilexiste

entout«trente-troiscatégoriesdeproblèmesmultiplicatifs»(GraffetWozniak,2011,p.10).

Danslesstructuresmultiplicatives, lesrelationsdebaselesplussimplessontquaternaires,

c'est-à-direavecquatredonnéesounombresenjeu,carlesproblèmeslesplussimplesissus

decechampconceptuel«impliquentlaproportionsimplededeuxvariablesl’uneparrapport

à l’autre(Vergnaud,1991,p.153)».Ceciapermisdecréer«quatreclassesdeproblèmes

élémentaires:

- lamultiplication

- ladivision-partition

- ladivisionquotition

- laquatrièmeproportionnelle(Vergnaud,1991,p.153-154)».

A cette proportionnalité simple s’ajoute la proportionnalité double, dans laquelle six

grandeurs,etparconséquenttroisrapports,sontenjeu.Ilexisteégalementplusieursclasses

danscettesecondecatégorie.

Ces situations sont déjà passablement variées,mais au seinmême d’une seule classe de

problèmes,unevariétébienplusgrandeexisteencore.Eneffet,enfonctiondel’ensemblede

nombresutilisépourlasituation,leproblèmeseraplusoumoinscompliqué,carlesefforts

cognitifsattendusdel’élèveneserontpaslesmêmess’ils’agitdenombresentiersnaturels

oudenombresréelsetdefractions.

3.2 Typologiedesproblèmes

DanssonouvrageLathéoriedeschampsconceptuels(1991),Vergnaudabordelatypologie

desproblèmesissusduchampconceptuelmultiplicatif.Cependant,afindedétailleraumieux

cettetypologieetainsiclasserlesproblèmesquenousallonssoumettreànosélèves,nous

allons également faire référence aux Situations multiplicatives d’Olivier Graff et Benoît

Wozniak(2011),quicitentVergnaud.

10

Graff et Wozniak (2011) ont regroupé les problèmes mathématiques à structures

multiplicativesdanstroiscatégories.

1. Classe1:Unseuldomainedegrandeur

Danscettepremièreclasse,touslesproblèmesneseréfèrentqu’àunseuldomaine

degrandeur,commeparexempledesprix,oudesgrandeurs,etc.Ilexisteunerelation

entredeuxmesuresissuesdumêmedomainedegrandeurs.Cetterelation,appelée

rapportscalaire,peutêtredonnéeoualorscachée.Danslepremiercas,lerapportest

explicite,etc’est ladeuxièmegrandeurquiest recherchée.Onparleégalementde

problèmesternaires,cartroisnombressontenjeu:deuxgrandeursetleurrapport.

Danslesecondcas,lesdeuxgrandeurssontconnuesetnousrecherchonslerapport

quileslie.Enfonctiondelaplacedel’inconnue,leproblèmerequiertunerelationde

multiplicationouunerelationdedivision.

Dans cette première catégorie, nous retrouvons les problèmes de variation d’une

grandeur(avecrapportexpliciteouimplicite),ceuxportantsurlacompositiondedeux

variationsd’unegrandeuretlescomparaisonsdegrandeurs(nfoisplus,nfoismoins).

2. Classe2:Deuxdomainesdegrandeur

Dans cettedeuxièmecatégorie, il peut yavoirparexempledeskilogrammesetde

l’argent.Larelationquiliecesdeuxgrandeursn’estpasunrapportscalaire,maisun

rapport fonctionnel ou coefficient de proportionnalité. Il s’agit par exemple de la

variationd’unprixenfonctiondunombredekilogrammesachetés.

Cetteclasseregroupelesproblèmesdeproportionnalité,aussiappelés«problèmes

quartenaires,carilyaquatrenombresenjeu:deuxmesuresdegrandeurs(chacune

appartenantàundomainedegrandeur),lerapportfonctionneldéfinientrelesdeux

domainesdegrandeurs,etl’inconnue(Graff&Wozniak,2011)p.169).»

Bienquetravaillantavecquatrenombres,dont l’inconnue, ilarrivenéanmoinsque

seuls deux d’entre eux soient explicitement présentés dans la donnée. Souvent, le

troisièmenombreenjeuestimplicite,puisqu’ils’agitdel’unité.Ilyadoncdeuxsous-

classesdifférentesenfonctiondelaréférenceounonàl’unitédansladonnée.

Nous trouvons dans ce groupe les catégories suivantes : multiplication, division-

partition, division-quotition, la quatrième proportionnelle – dans laquelle la valeur

11

d’un multiple de l’unité est connue – et enfin, les problèmes de comparaison de

rapportdeproportionnelle.

Ilestimportantdereleverqueladifficultédesproblèmesdecettecatégorieesttrès

inégale. En effet, la quatrième proportionnelle et les comparaisons de rapport de

proportionnellesontcertainementlesplusdifficiles.Cependant, lesautrestypesde

problèmes impliquent diverses opérations mentales chez les élèves, variables en

fonctiondeleurcompréhensiondeladonnée.Laplacedel’inconnuejoueégalement

unrôledansledegrédedifficultéduproblème.

3. Classe3:Troisdomainesdegrandeur

Enfin,dansladernièreclassedeproblèmesissusduchampconceptuelmultiplicatif,

trois domaines de grandeur sont en jeu. Elle regroupe deux sous-classes de

problèmes :ceuxdont lestroisdomainesdegrandeursont liésparunerelationde

proportionnalité (proportionnalité simple composée) et ceux pour lesquels les

grandeursn’ontpasdelien(proportionnalitédouble).

Danslaproportionnalitésimplecomposée,ilyaunpremierrapportentrelepremier

et ledeuxièmedomainedegrandeuretunsecondrapportentre ledeuxièmeet le

troisièmedomaine. Par conséquent, une troisième relationdeproportionnalité est

implicitementdéduiteentrelepremieretletroisièmedomaine.

Danslaproportionnalitédouble,aucunerelationdeproportionnaliténelielesdeux

premiersdomainesdegrandeur.Ilssontindépendants.Letroisièmedomaine,lui,est

la«grandeur-produitdesdeuxautresdomaines(Graff&Wozniak,2011,p.176).»

Celasignifiequelesmesuresdutroisièmedomainesontforméesdel’associationd’une

mesuredupremierdomaineetd’unedudeuxièmedomaine.

Dans cette dernière catégorie, la place de l’inconnue diversifie le nombre de cas

différentsdeproblèmespossiblesetinfluenceladifficultédeceux-ci.

Pour conclure cette typologie des problèmes issus du champ conceptuel multiplicatif de

Vergnaud, notons que celle-ci est séparée en trois catégories en fonction du nombre de

grandeursenjeu.Elleregroupetrente-troiscatégoriesdeproblèmes,habituellementappelés

problèmesdemultiplicationetdedivisionetproblèmesdeproportionnalité(Graff&Wozniak,

2011).

12

Unproblèmemathématiquepeutdoncêtreclassédansl’uneoul’autredescatégoriesdeson

champconceptuel.Cependant,Vergnaudacréésatypologieenprêtantattentionuniquement

au point de vue conceptuel et non pas à la difficulté supposée des problèmes. Aussi, sa

classificationnecorrespondpasàunehiérarchisationdesproblèmes.EmmanuelSander(à

paraître) s’est, de manière complémentaire, intéressé aux analogies présentes dans les

problèmesmathématiquesets’estdemandéàquelpointleurprésencedansl’énoncéétait

facilitatrice.Nouspourrionsdonctraitercesmêmesénoncésmathématiquesissusduchamp

conceptuelmultiplicatif de Vergnaud selon la présence ou non des analogies décrites par

Sander et trouver une classification toute autre. Il convient alors de définir ce qu’est une

analogiedupointdevuedeSanderetdedécrirelestroisanalogiesdifférentesqu’ilobserve.

3.3 Analogiesdanslesproblèmesmathématiques

Faireuneanalogie,c’estessayerdecomprendrequelquechosedenouveauàpartird’une

situation similairedéjà connue.Bienquechaque instantquenousvivions soitdifférentet

unique,ilexisteentreeuxd’infimessimilitudes.Ainsi,nousnousbasonssurdesexpériences

déjàvécuespourenaborderunenouvellequialimentealorsunpeuplusnotrebagagede

connaissances.D’unpointdevuescolaire,leprocessusestsimilaire:lesélèvesabordentles

nouveauxconceptsetnotionsautraversdesconnaissancesqu’ilsontdéjàetdesconceptions

construitesprécédemment.Chaqueélèveconstruiradoncsespropresanalogiesenfonction

de son vécu et Emmanuel Sander (à paraître) s’est basé sur ce principe pour étudier les

apprentissagesscolaires.

Ceprinciperemonteautempsd’Aristote,quiadéfinil’analogieenparlantderelationsimilaire

entredeuxcouplesd’objets.Ilpeutêtrerésuméendisantque«DestàCcequeBestàA

(Sander,àparaître,p.1)».Peuàpeu,lesensdel’analogies’estmodifié.Elledevientalorsce

quipermetdecomprendreunesituationnouvelleauxregardsdeconnaissancesantérieures

(Holyoak&Thagard,1995etGick&Holyoak,1983,citésdansSander,àparaître).Lasymétrie

existante du temps d’Aristote a laissé la place à une asymétrie, une première situation

amenantàl’analogiedontbénéficieralaseconde.Lasituationestalors«vuecomme»une

autre(Sander,àparaître).

Sanderadistinguétroisanalogiesdifférentesayantuneinfluencesurlesélèves.Ils’agitdes

analogies de substitution, de scénario et de simulation. Elles peuvent soit avoir un effet

bénéfiqueenaidantlesélèvesàcomprendreunenotionourésoudreunproblème,soit,au

13

contraire, lesmener dans une autre direction que celle attenduepar la situation ou celle

permettantderésoudreleproblème.Laprésenceounondecesanalogiesdansunénoncé

affecteradirectementlacomplexitédecedernier.

Dans notre recherche, nous utiliserons ces trois analogies pour classer les problèmes

mathématiquesissusduchampconceptuelmultiplicatifsoumisànosélèves.Nouspourrons

ainsivoirsil’une,l’autre,oulacombinaisondecertainesdecesanalogiesmettentlesélèves

allophonesplusfacilementensituationderéussitedansl’apprentissagedesmathématiques.

3.3.1 L’analogiedesubstitution

Les analogies de substitution sont celles où un concept scolaire peut être vu selon une

pratiquede laviede tous les jours. L’élèvevaalors remplacer lanotionscolaireparcette

connaissanceplusfamilière,d’oùlenomdesubstitution.Lesexempleslesplusflagrantssont

« additionner, c’estmettre ensemble » ou « soustraire, c’est enlever » [traduction libre]

(Fischbein,Deri,SainatiNello,&SciolisMarino,1985).Cetyped’analogiepeutêtretrèsutilisé

parlesélèvesdanslamesureoùlerésultatestcorrect.Cependant,ilaseslimites,commepar

exemple dans les situations avec les nombres relatifs. En effet, dans celle-ci, l’analogie

«soustraire,c’estenlever»nefonctionneplus,car(+8)-(-3)≠5.

Lesanalogiesdesubstitutionsontpassablementancréesdanslesconceptionsdesélèves.Par

conséquent, on ne peut s’attendre à les faire entièrement disparaître. Néanmoins, ces

analogies doivent cohabiter avec la notion mathématique correcte, en étant considérées

commedesformesstéréotypéesauxquelleslesnotionscorrectesnepeuventpasêtreréduites

(Sander,àparaître).

3.3.2 L’analogiedescénario

Lesanalogiesdescénariosontégalementenlienaveclaviequotidienne.Maisplutôtquede

s’intéresser à une notion utilisée quotidiennement, elles font référence aux scénarios

rencontrésdanslaviedetouslesjours.Pourciterquelquesexemples,ilyadesbouquetsde

fleursavecdeuxvariétésdifférentes,deschocolatsàdistribueràdesenfantsouencoreun

trocàfaireentredeuxsortesdefruits,sachantqu’uneorangevauttroispoires.Danslaplupart

decescas,unplusoumoinsgrandnombred’objetsestpartagéenunmoinsgrandnombre

d’autresobjets,cequicorrespondaumodèleimplicitequelesélèvespossèdent(Fischbeinet

al.,1985)

14

Lesanalogiesdescénarioaiderontlesélèvesverslebonrésultatquandcelles-cisontenlien

aveclanotionmathématique,telquelorsqu’ilyadeschocolatsàdistribueràdesenfants.En

revanche,ellespeuventinduireenerreurdansdessituationstellesquecelledutrocoualors

quandcelan’estpasconformeaumodèleimplicite(Fischbeinetal.,1985;Sander,àparaître).

3.3.3 L’analogiedesimulation

Enfin, Emmanuel Sander (à paraître) parle d’analogie de simulation lorsqu’il y a une

«simulationmentaledelasituationévoquéeenvuederésoudreleproblème(p.9)».Ces

analogiespeuventameneràlarésolutioncorrectedeproblèmesfaisantappelàdesnotions

mathématiquespasencorevues.

Lesanalogiesde simulation sont facilitatricesquandellespeuventêtremisesenplace.En

revanche,l’impossibilitédel’appliquerajouteradeladifficultéàl’énoncé.L’exemplesuivant

esttiréd’unerecherchedeSchliemanetal.(1998,citédansSander,àparaître).Unproblème

demandantleprixdetroisobjetsàcinquantefrancsserabeaucoupplusfacilequ’unproblème

demandantleprixdecinquanteobjetsàtroisfrancs.Effectivement,lasimulationmentaledu

premierproblèmemèneraaucalcul50+50+50,opérationmentalementfaisable,tandisque

celledudeuxièmeénoncé(3+3+3+...,cinquantefois)nécessiteunetrèsbonnemémoire

pourfairechaqueopérationtoutensachantcombiendetermesilresteàajouter.

Seloncettetypologie,unproblèmepossédantlestroistypesd’analogiedevraitprésenterun

tauxderéussiteplusélevéqu’unautretypedeproblème.Toutefois,lesrésultatsdeSander

netenantpascomptedelalangued’originedel’apprenantetsoncaractèreallophone,ilnous

semble important de préciser les difficultés spécifiques que ceux-ci rencontrent dans

l’apprentissagedesmathématiques,etplusparticulièrementdanslarésolutiondeproblèmes.

3.4 L’apprentissagedesmathématiqueschezlesélèvesallophones

UnélèveallophonerécemmentarrivéenSuisse,plusparticulièrementdansleValaisromand,

vadevoirfairefaceàplusieursdifficultés,commenousl’avonsdéjàévoquéprécédemment.

Lesdifficultésliéesàlalangueetàlacultureseretrouventaussidansd’autrespaysetd’autres

continents.Ainsi,Kersaint,Thompson,&Petkova(2013),professeursdemathématiquesdans

des universités américaines, soulèvent les mêmes problèmes concernant les élèves

allophones,appeléschezeux«EnglishLanguageLearners».Ilsnotentleseffortsfaitsparces

élèves,qui,enplusdedevoirapprendredansunenvironnementcultureletlinguistiquepeu

15

familier, doivent également le faire sans certaines connaissances de base, telles que le

vocabulairemathématiqueainsiqued’autres informationsculturellesque lesélèvesnatifs

peuvent employer dans la résolution de problèmes. Ajoutons à cela le fait que les

mathématiques ont leur propre langage, leur vocabulaire spécifique, leurs tournures de

phrases,etc.(Kersaintetal.,2013).Nousimaginonsdonclesdifficultés,etpeut-êtreaussile

découragement,quecesélèvesnouvellementarrivésdansnosclassespeuventéprouver.

3.4.1 Lesdifficultésliéesaulangagemathématique

Lelangagemathématiqueétantpropreàlui-même,nouspouvonsleconsidérercommeune

troisième langueque l’élèveallophoneesten traind’apprendre.Kersaintetal. (2013)ont

relevé cinq catégories de difficultés liées à ce langagemathématique : le vocabulaire, les

représentationssymboliques,lasyntaxe,lasémantiqueetlescaractéristiqueslinguistiquesdu

discours[traductionlibre](p.43).

3.4.1.1 Levocabulaire

En plus d’avoir des termes purement spécifiques, tels que « trapèze » ou « cathète », le

vocabulairemathématiquereprendaussidesmotsdulangagecouranttoutenleurdonnant

unesignificationparticulièrelorsqu’ilssontutilisésdansuncontextemathématiques.Ilya,

parexemple,lemot«terme»,quidésignelesmembresd’uneadditionenmathématiques,

alorsqu’ilpeutêtreunsynonymede«mot»danslelangagecourant.

Acesmotspolysémiquess’ajoutelamultitudedesynonymesutiliséspourdirelamêmechose.

Prenonsenexemplelesmots«plus»et«et»quireprésententtousdeuxl’addition.Bien

qu’il puisse paraître relativement simple de compréhension, il faut prendre en compte

l’utilisationplusrare,maismalgrétoutconcrète,decertainssynonymesmoinshabituels,tels

que«augmentéde»ou«combinéà»,quipourraientmettrel’élèveallophoneendifficultés

danslacompréhensiondeladonnée(Kersaintetal.,2013,p.44).

3.4.1.2 Lesreprésentationssymboliques

Enplusdesonvocabulairespécifique,lelangagemathématiqueestégalementconstituéde

symboles. Ces symboles ont une signification que l’élève allophone doit comprendre et

associeràleurreprésentation.Certainsd’entreeuxsontnommésàl’aidedeplusieursmots,

d’autres peuvent être verbalisés de différentes façons, ou encore, certaines significations

peuventêtreassociéesàplusieurssymboles.Voiciquelquesexemples:

- «<»verbalisécomme«est(strictement)pluspetitque»

16

- «4�5»peutêtrelu«4fois5»oualors«leproduitde4et5»,ouencore«4multiplie

5»

- Lamultiplicationpeut être représentéepar le symbole « � », le symbole «× » ouencore,peutêtreimplicitecommedansl’expression«5(x+2)».

Ladifficultéproduitepar les symbolespeutencoreêtreaccentuéesi les symbolesque les

élèvesutilisaientdansleurpaysd’originediffèrentdeceuxutilisésdansleurnouveaupaysde

scolarisation(Kersaintetal.,2013,p.45).

3.4.1.3 Lasyntaxe

Uneautredifficultérencontréeparlesélèvesallophonesestliéeàlasyntaxe.Ceciapparaît

plus particulièrement dans les problèmes. En effet, lorsqu’un élève est confronté à une

situationdutype:«Lenombreaest5deplusquelenombreb[traductionlibre](Kersaintet

al.,2013,p.45)»,latraductionalgébriqueserasouventa+5=b,plutôtquea=b+5.Cette

erreur, également relevée chez des élèves non allophones, est due à une attente de

correspondanceexacteentrel’énoncéduproblèmeetsareprésentationalgébrique.

Bienquelesconnecteurslogiquestelsquesietseulementsi,si…alors,utiliséspourexprimer

larelationentredeuxpropositions,nesoientpasencoreutilisésenpremièreannéedecycle

3(annéequinousintéressepournotrerecherche), ilenestd’autres,plussimples,comme

mais,nfoisplusgrandque,qui,s’ilsnesontpascomprisparl’individu,peuventl’empêcher

desaisirpleinementlesensd’unedonnée.Enplusdereconnaîtrecesmotsougroupesde

mots,l’élèvedoitégalementcomprendrecequ’ilssignifient,leurrôledanslastructured’une

phraseetleurimplicationmathématique.

Finalement, le dernier point que relèvent Kersaint et al. est l’utilisation régulière en

mathématiquesdephrasesàlaformepassive,bienquecelanesoitqueraredansl’utilisation

courantedulangagedetouslesjours(2013,p.46).

3.4.1.4 Lasémantique

Lasémantiqueconcernelesensquiestdonnéaulangage.L’undespointsimportantspour

comprendreunephraseouuntexteestlacapacitédecomprendrecommentsontfaitesles

références,commedanscetexemple,traduitlibrementdeKersaintetal.(2013):8foisun

nombreest30deplusque6foiscenombre(p.46).Afindepouvoirconvertirceproblèmeen

équation,l’élèvedoitcomprendreque«unnombre»et«cenombre»fontréférenceàun

seuletmêmenombre.

17

Uneautredifficultéestdueàlafoisàlasémantiqueetauvocabulaire,l’uneetl’autreétant

étroitementliés.Effectivement,lorsquel’élèveseretrouveconfrontéàunmotayantplusieurs

sens d’un point de vuemathématique, il doit déduire de quelle signification il s’agit. Par

exemple,pourlemot«carré»,ildoitsavoirs’ils’agitdelaformegéométrique,del’élévation

àlapuissancedeuxouencoredelaracinecarréed’unnombre.

Enfin, certaines phrases peuvent paraître très semblables en apparence, mais leur sens

demeure complètementdifférent. Il peutêtre très compliquépourunélèveallophonede

saisir les différences entre les expressions « 6 moins 4 » et « 6 de moins que 4 »,

respectivementreprésentéesmathématiquementpar«6–4»et«4–6»(Kersaintetal.,

2013,p.47).

3.4.1.5 Lescaractéristiqueslinguistiquesdudiscoursmathématique

L’unedesgrandesdifférencesentrelelangagemathématiqueetlelangageusueldetousles

jours est le manque de redondance. Effectivement, alors que l’on peut s’attendre à des

répétitionsouàdesexplicationsavecd’autresmotslorsquel’ondiscuteavecquelqu’un,le

langagemathématique se veut très précis et succinct. A l’écrit s’ajoute unemultitude de

symboles ayant une ou plusieurs significations précises, comme vu précédemment. Les

définitionsdenotionsmathématiquessont,pourlesélèvesallophones,unesuitedetermes

remplis d’informations qu’ils doivent combiner pour en comprendre le sens. Souvent, la

multiplicitédessenspourunmotdonnéenmathématiqueobligel’élèvenonpasàapprendre

lasignificationd’unmot,maisd’endéduirelesensautraversducontexte.

Les problèmes poussent ces élèves à travailler à la fois sur le plan linguistique et le plan

mathématique. Mais à cela s’ajoutent d’autres complications, comme le manque de

familiaritéaveclecontexteculturel,lescompréhensionserronéesd’expressionsidiomatiques,

lapeineàsereprésenterlasituationcontextuelle,ouencore,latraductionlittéraledesmots

présentsdansladonnée(Kersaintetal.,2013,p.48).

3.4.2 Larésolutiondeproblèmesécrits

DansleurarticleWordproblems:areviewoflinguisticandnumericalfactorscontributingto

theirdifficulty(2015),Daroczy,Wolska,Meurers&Nuerkexpliquentquelesproblèmesécrits,

c'est-à-direlesproblèmesmathématiquesdonnésàl’aided’unénoncéetnonpasuniquement

grâceàuncalcul,sontlestâcheslespluscomplexesrencontréesparlesélèves,entreautreà

18

cause de la complexité linguistique. En effet, les informations sont données sous forme

syntaxiqueetnonsousformemathématique.

LacomplexitélinguistiquedontparlentDaroczyetal.(2015)pourlaréalisationdeproblèmes

écritschezdesélèvesordinairesimpliqueégalementunedifficultédecompréhensiondutexte

pourlesélèvesallophones.Nousreviendronssurlesprocessusdecompréhensiondetexte

plusloin.

Demanièresimilaire,Thevenot,Devidal,Barrouillet,&Fayol,(2007)parlentd’unproblème

mathématiquecommeétantunesituationdécriteàl’aidedemots.Ainsi,lapersonnequiveut

résoudreceproblèmedoitsereprésentercettesituation,etyintégrerlesrelationsentreles

éléments présentés dans la donnée du problème. Cette représentation peut être

extrêmementdifférenteenfonctiondesélèves,entreautresàcausedeleurâge,maisplus

directementenraisondeleursexpériencespréalablesenrésolutiondeproblèmes.Apartirde

cela, nous admettons que la représentation construite par un élève allophone peut être

d’autantplusvariée suiteauxéventuellesdifficultésdecompréhensiondesmotsprésents

dansladonnée.

ToujoursselonThevenotetal.(2007),quicitentCummins(1991),lesdifficultésrencontrées

par lesélèvesordinairesdans la résolutiondeproblèmesmathématiquessontduesàune

mauvaise compréhension des expressions linguistiques contenues dans la donnée et par

conséquent,lechoixd’unmauvaisschématraditionnelderésolutiondeproblème.Eneffet,

selonKintsch&Greeno,(1985),l’élèveseconstruitunereprésentationduproblèmequiest

ensuite inséréedansunouplusieursschémastraditionnelsderésolutiondeproblème.Les

schémastraditionnelssontconservésdanslamémoireà longtermeetsontactivéspar les

différentsmotsouphrasescontenusdansladonnéeduproblème.Ceux-ciétantstockéssans

êtrecomplets,lestroussontbouchésparlesinformationscontenuesdansladonnée.Ainsi,

unmottelque«ensemble»devraitmenerl’élèveàlabonneopération,saufsicedernierne

voitpascetindicesyntaxiqueouleconfondavecunautre.Cesindicespeuventmenerl’élève

à faire un choix correct ou les en empêcher en fonction aussi des valeurs présentes dans

l’énoncé(Nesher&Teubal,1975).Néanmoins,Thevenotetal.(2007)rajoutentque,d’après

Reusser (1989),StaubetReusser (1995)etNathan,KintschetYoung (1992), lemodèlede

KintschetGreeno(1985)est tropstrictetsebaseuniquementsur la théoriedesschémas

traditionnels.Cesauteursévoquentl’existenced’unmodèlederésolutiondeproblèmenese

19

basantpassurlesmathématiques,maissurlasituationetsareprésentationdanslaviede

touslesjours.Danscemodèle-là,lesdifficultésrencontréesnesontpasduesàdessoucisde

correspondance linguistiqueet schématique,maisàde lapeineàcomprendre la situation

décrite.Cetteidéedeprocessusestd’ailleurssemblableàl’analogiedesubstitutiondécrite

parSander(àparaître).

Lesdifférencesprincipalesentrecesdeuxmodèlessontlesinformationsretenues.Alorsque

leschématraditionneldeKintschetGreeno(1985)estgardédanslamémoireàlongtermeet

réactivéenfonctiondesbesoins,lasituationmentaledeReusser(1989)eststockéedansla

mémoiredetravail.Celle-cicontientalorsdesinformationsmathématiques,maiségalement

d’autresinformationsconcernantlasituation.

Ces deux modèles soulèvent un aspect intéressant de la résolution de problèmes

mathématiqueschez lesélèvesallophones.Effectivement,enplusde lacunesdesschémas

mathématiquesdelamémoireàlongterme,cesélèves-làpeuventavoirdesdifficultésàse

représenterlessituationsdécritesdanslesdonnéesdeproblèmesdanslaviedetouslesjours.

Cesdifficultéspeuventêtreduesàdeslacunessémantiques,maiségalementauxdifférences

socialesetculturelles.

3.5 Compréhensiondetexte

Parmilesdifficultésrecenséesplushautfigurelacompréhensiondetexte,laquellepeutêtre,

pourdesraisonsévidentes,particulièrementdélicatepourunélèveallophone.Leprocessus

decompréhensiondetextesedéveloppeenmêmetempsquel’enfantquiapprendàliredans

salangue,maisildoitêtrerapidementacquisparlesélèvesallophonespourleurpermettre

unecompréhensionentièredutextequ’ilslisent.Certainsdétailsdutexte,doncdel’énoncé

duproblème,peuventnepasêtrecomprisenraisondeceslacunes.

WalterKintschetKatherineA.Rawson(2005)sesontpenchéssur lesprocessus impliqués

dans la compréhension des textes. Ceux-ci concernent tout lecteur de textes, et non pas

uniquement les personnes allophones. Les auteurs se sont basés sur la description des

processusdecompréhensionrépartissurplusieursniveauxfaiteparKintsch,danssonouvrage

Comprehension:AParadigmforCognition(1998).

Lepremierniveauconcernelalinguistique,c’est-à-direledécodagedemotsetdesphrases

contenusdans le texte. Lesmots sont reconnus, tout comme leur rôledans laphrase.Au

20

niveau suivant, il s’agitd’analyser sémantiquement le texte, autrementditde trouver son

sens,sasignification.Cecisefaitàtraversl’analysedesmotsetdeleursens,enprenanten

comptecequileslie.Cesliensentrelesmotsetlesensdesmotsestappelélamicrostructure

dutexte,encomparaisonà lamacrostructure,quiconcerne la reconnaissanceducontenu

sémantiqueglobaldutexte.L’analysedelamicrostructure,c'est-à-diredeslienssyntaxiques

entre les mots ou groupes de mots, ainsi que de la cohérence entre ces phrases ou

propositions amènent à la compréhension du texte. Cependant, les inférences, mais

égalementl’identificationdeceàquoiunpronomfaitréférence,sontsouventnécessaires,

voiremêmerequis,pourpermettred’avoirunecohérencedansletexte,et,parconséquent,

meneràsacompréhensioncomplèteetdiscursive.

Ensemble, la microstructure et la macrostructure forment la base de texte. Celle-ci

« représente la signification du texte, telle qu’elle est réellement exprimée par le texte

[traductionlibre](Kintsch&Rawson,2005,p.211)».Néanmoins,lacompréhensioncomplète

dutextepeutêtrefortementréduitesilelecteurnecomprendquecequiestexplicitement

dit dans le texte. En principe, durant la lecture, le lecteur se construit un modèle de la

situation,danslequelilsereprésentecequ’illit.Ilajoute,danscemodèle,desconnaissances

antérieures, mais également des expériences personnelles, voire même des informations

sorties de son imagination. Tout ceci est primordial pour comprendre un texte dans son

intégralité.

Nous voyons ici qu’un élève a plusieurs sortes d’efforts cognitifs à faire lorsqu’il lit un

problèmemathématique,avantmêmederéfléchiràsarésolution.Pourlesélèvesallophones,

ces efforts seront encore plus importants, car ils peuvent avoir des difficultés sur le plan

linguistique, mais également sur le plan sémantique, deux points fondamentaux dans la

compréhensioncomplètedutexte.

Sur le plan sémantique, Kintsch et Rawson (2005) se sont attardés, entre autres, sur les

différentsliensqu’ilpeutyavoirentrelesmotsougroupesdemots,cequinousintéresse

dans notre recherche. En effet, les difficultés dues à la sémantique font l’objet d’unedes

catégoriestiréesdechezKersaintetal.(2013).Dansuntexte,plusieursphrasespeuventêtre

liéesparuneimplicationlogique,parunerelationdecauseàeffet,ouparuneréférenceàun

mêmeconcept.Cettedernièresortede liaisonestappelée«coréférence».Siunélèvene

comprendpasl’undecesliens,alorslacompréhensionintégraledutexteestremiseendoute.

21

Lacoréférencepeutêtreexpliciteou implicite.Elleestexplicite«quand lemêmemotest

utilisépourfaireréférenceaumêmeconcept[traductionlibre](Kintsch&Rawson,2005,p.

214)».Danslamajoritédescas,cettecoréférenceestimplicite,carcesont,parexemple,soit

desnomsdifférents,soitdespronoms,quifontréférenceaumêmeconcept.Onparlealors

d’anaphore.KintschetRawsondéfinissentl’anaphorecomme«toutoutillinguistiqueutilisé

pour faire référence à un concept précédemment mentionné [traduction libre] (2005,

p.214).»Nousreprendronscettemêmedéfinitiondansl’analyselinguistiquedesproblèmes

quenoussoumettronsauxélèvesallophones.

Enfin,ledernierpointdeKintschetRawson(2005),quinousintéresseparticulièrementpour

notrerecherche, faitpartieduniveaudumodèledesituation. Il s’agitdes inférences.Une

inférence est le lien, implicite ou explicite, qui peut être fait entre deux phrases ou

paragraphesdansuntexte.Ilexisteunemultituded’inférencesdifférentes,maisnousn’allons

pas toutes les citer ici, puisque ce n’est pas le thème principal de notre recherche. Voici

cependantunexemplepour illustrer legenrededifficultésqu’unélèveallophonepourrait

rencontrerdanslarésolutiondeproblèmes.Danslesphrases

« Fredaparquélavoiture»

« Ilafermélaporte[traductionlibre](Kintsch&Rawson,2005,p.219)»,

lelecteurpeutfacilementconclurequ’ils’agitdelaportedelavoiture.Sil’élèveallophone

n’estpascapabledefairecetteinférences,ilpeutseretrouverbloquédanslarésolutiondu

problème.Pourreprendrel’exempleci-dessus,ilpourraitnepascomprendredequelleporte

ils’agit,etparconséquent,silaquestions’yréfère,nepassavoirquoirépondre.Cegenrede

difficultésestdirectementliéàlacompréhensiondufrançais,plusprécisémentdupointde

vuesémantique,afindefairelelienaveclescatégoriesdeKersaintetal.(2013).

3.6 Typologiedeserreurs

Chaqueélémentdéveloppéci-dessusestunesourcepotentielled’erreurs.Dansleurglobalité,

celles-cisontsouventperçuescommequelquechosedenégatifparlesélèves,carilsontfait

« faux».Cependant, comme ledit Jean-PierreAstolfi (2015), laplacede l’erreurà l’école

évolue,puisquecettedernièreestdésormaisconsidéréecommeétantporteusedesens:

22

«Eneffet,[…]leserreurscommisesnesontplusdesfautescondamnablesnidesbogues

regrettables : elles deviennent des symptômes intéressants d’obstacles auxquels la

penséedesélèvesestaffrontée(p.15).»

Ceserreurspeuventêtreclassifiéesdansdifférentsgroupesenfonctiondeleurtypeetdeleur

causeetJean-PierreAstolfi,danssonouvrageL’erreur,unoutilpourenseigner(2015),acréé

une typologie des erreurs des élèves. C’est en partie sur cette dernière que nous nous

baseronspouranalyserlesrésultatsdesélèvesallophones,car,commenousallonslemontrer

danslessectionsàvenir,elleregroupediversescatégoriesenliensoitaveclatypologiede

Vergnaud(lesopérationsintellectuellesimpliquées)soitavecKersaint(lacompréhensiondes

consignes).

3.6.1 Lacompréhensiondesconsignes

Le premier type d’erreurs dont parle Astolfi (2015) est celui lié à la compréhension des

consignes. Les causesen sontdesdifficultésde lecture, dansnotre cas, de ladonnéedes

problèmesàrésoudre.Ainsi,pour l’élèveéprouvantcesdifficultés, il luiserad’autantplus

compliquéderépondreauproblèmes’ilnecomprendpaslaquestionquiluiestposée.

Deplus,levocabulaireutilisédanschaquedisciplineluiestpropre.Ainsi,unmotayantune

certaine signification dans la vie de tous les jours pourrait avoir une signification plus

spécifiquelorsqu’ilestemployédansunénoncédeproblèmemathématique.Parconséquent,

l’élèvedoit«chaquefoiseffectuerle«cadrage»nécessairepourcomprendreleuremploi

(Astolfi,2015,p.61)».Unexempledans le cadredesmathématiquespourraitêtre lemot

«sommet»,dontl’utilisationmathématique,telquelesommetd’unquadrilatère,estbien

différentedecelleutiliséeauquotidien,commelesommetd’unemontagne.

3.6.2 Leshabitudesscolairesetlemauvaisdécodagedesattentes

Durant son cursus scolaire, l’élève doit non seulement s’habituer à la multitude de ses

enseignants,maiségalementdesdisciplinesenseignées.Astolfi (2015)écritque l’élèveest

censéagirenclassecommeun«petitspécialiste»danschacunedesbranches.Deplus,son

métierd’élèvelecontraintàrespecterlecontratdidactiqueétabliavecchaqueenseignant.

Néanmoins, l’abondance de ces diverses informations peut mener l’élève à mal décoder

certainsaspectsimplicitesdesituations.

Pourlesélèvesallophones,leshabitudesscolairespeuventêtred’autantplusvariéesqu’ils

proviennentd’autrespays,etdoncd’autressystèmesscolaires.

23

3.6.3 Lesconceptionsalternativesdesélèves

Comme l’écrit Jean-Pierre Astolfi (2015), chaque élève arrive en classe avec ses propres

représentationsdesconceptsdelavie,quecesoitladigestion,lesschémasélectriques,etc.

Chacunedecesconceptionspréalablesestfortementancréedansl’élève,cequilarendtrès

résistanteàtoutenseignementd’unconceptnouveaud’unpointdevuescolaire,maisconnu

delaviedetouslesjours.Cesconceptionsaurontdoncuneinfluencesurl’élèveetlamanière

qu’ilauradecomprendreunesituationetsurtoutdelareprésenter.

3.6.4 Lesopérationsintellectuellesimpliquées

D’autreserreurs faitespar lesélèvessontduesà ladiversitédesopérations intellectuelles

potentiellement utilisables pour résoudre des problèmes qui paraissent similaires.

Effectivement, Gérard Vergnaud a introduit les champs conceptuels suite à la multitude

d’opérations logiques qui pouvait correspondre à une seule opération arithmétique. Par

exemple,danslechampconceptueladditif,ilyalesproblèmestelsque

Juliea7billes.Claraena9.Combiendebillesont-ellesautotal?

Julieperd5billes.Elleenamaintenant6.Combiendebillesavait-elleavantdejouer?

Lesproblèmestelsquelepremierexemple,quicorrespondàungain,commel’addition,se

résoudrontplusfacilementqueceuxdutypedusecondexemple,danslequelilyauneidée

de perte, bien que l’opération attendue soit une addition. Dans le champ conceptuel

multiplicatif,quinousintéresseplusparticulièrementdanscetravail,nousretrouveronsdes

énoncéscommeceux-ci:

Juliea7billes.Claraena4foisplus.CombiendebillesClaraa-t-elle?

Julieperdlamoitiédesesbilles.Elleenamaintenant6.Combiendebillesavait-elleavantde

jouer?

C’estcettemultituded’opérationslogiquesquipeutinduirelesélèvesenerreurdanslechoix

del’opérationintellectuelleàemployer.Lesproblèmesàstructureadditiveincitentlesélèves

àhésiterentrel’additionetlasoustraction,alorsquelesproblèmesàstructuremultiplicative,

eux, poussent les élèves à se poser la question si unemultiplication ou une division sera

nécessairepourrésoudreleproblème(Astolfi,2015).

3.6.5 Lesdémarchesadoptées

SelonAstolfi(2015),certainesdémarchesdifférentesdecellesattenduesparl’enseignantsont

considérées comme des erreurs alors qu’elles montrent la pluralité des cheminements

24

possibles.Cependant,l’exploitationdecettevariétédestratégiesderésolutionpourraitêtre

montréeenclassepourpermettreauxélèvesdes’approprierd’autresdémarches,quelques

foisplusrapidesetefficacesquelaleur,sanspourautantêtreau-delàdeleurzoneproximale

dedéveloppement,conceptdéveloppéparLevVygotski.

3.6.6 Lasurchargecognitive

La surcharge cognitive est liée au nombre d’opérations mentales à mettre en place et

d’élémentsàretenirrequisparl’élèveaucoursd’unmêmeexercice.Plusilyadechosesà

fairedansunemêmetâche,pluslachargementaleestimportante,cequipeutoccasionner

deserreursdanslestravauxdesélèves(Astolfi,2015).

3.6.7 Lesautresdisciplines

Souvent,lesenseignantsattendentdesélèvesqu’ilsfassentdestransfertsdesapprentissages

qu’ilsontfaitsdansunebrancheversuneautre.Ilsdoiventréinvestirunconcept,unoutilque

l’enseignantconsidèrecommeacquisdansuneautrediscipline.Unconceptnonacquisaura

doncdesconséquencessurleserreurscommisesparl’élève(Astolfi,2015).Astolfiparledonc

detransfertd’unedisciplineàl’autre.Danslecadredenotrerechercheenlienaveclesélèves

allophones, nous allons légèrementmodifier cette notion et considérer la lecture dans la

languedescolarisationcommeunoutil,unprérequisnécessaireàlarésolutiondeproblème.

Ainsi,sicelle-cin’estpasacquise,lesélèvesaurontdavantagededifficultésetcommettront

plusd’erreursdanslesautresmatières(Thouin,2014,citédansTardif-Couture,2016).

3.6.8 Lacomplexitépropreducontenu

D’aprèsAstolfi (2015), lacomplexitéd’unetâcheest ladernièreorigined’erreurspossible.

Cettecomplexitéinhérenteàlatâchen’estpastoujoursconsidéréecommelasourceexacte

del’erreur,puisqu’ellepeutavoiruneinfluencesurlesautrescatégoriesd’originedeserreurs,

tellequelasurchargecognitive.

3.7 Typologiedeserreursutiliséepourl’analysedesproductionsdesélèvesallophones

Astolfiacréésatypologiedeserreurs(2015)pourrépondreàuncertaintypedequestions

relativesauxmathématiqueset auxerreurs commisespar lesélèves lorsde résolutionde

problèmesoud’effectuationde calculs. Kersaintet al. (2013), eux, se sont intéressésplus

particulièrement aux élèves allophones et à l’apprentissage desmathématiques dans une

langue qu’ils ne maîtrisent pas encore. Aucune de ces deux typologies ne nous satisfait

25

pleinement, puisque nous voulons à la fois observer les erreurs spécifiques aux élèves

allophones,etparconséquentplutôtliéesàlalinguistiqueselonKersaintetal.(2013),mais

aussideserreursquetoutélèvepeutfaire,commelistéesdanslatypologied’Astolfi(2015).

Ainsi,nousallons,danslecadredenotrerecherche,prendreuniquementlespointsquinous

intéressentetainsicréerunenouvellegrillespécialementconçuepournotreanalyse.

Danslatypologiedeserreursd’Astolfi(2015),nousallonsgarderlescatégoriessuivantes:

1. Lacompréhensiondesconsignes

Les difficultés rencontrées par les élèves allophones dans la compréhension des

consignes peuvent être de plusieurs origines. Premièrement, l’apprenant pourra

éprouverdelapeinedanslalectureelle-même,cequiluidemanderaplusdetemps

quepourlesélèvesstandards.Eneffet,selonlaprovenancedel’élève,notrealphabet

peutêtreunenouveauté.Deuxièmement,l’énoncépeutcomporterdesmotsavecune

significationparticulièredanslecontexte.Sil’élèvenelesaisitpas,illuiserad’autant

plusdurdecomprendrelesensdumotetlaconsignecomplète.

2. Leshabitudesscolairesetlemauvaisdécodagedesattentes

Enfonctiondeleurorigine,lesélèvesallophonespeuventavoirfréquentéuneécole

etunsystèmescolairetrèsdifférentdeceluiquenousconnaissonsenValais.Pourne

nommerqu’unseulexemple,certainsnouveauxarrivantsn’avaientconnuquel’école

coranique.S’ajoutentàcelaleparcoursqu’ilsontdûfairepourarriverjusqu’iciet,par

conséquent,uneéventuelledéscolarisationplusoumoinslongue.Toutcevécupeut

avoiruneinfluencesurleshabitudesscolairesdecesélèvesetdoncsurlarésolution

desproblèmesmathématiques.

3. Lesopérationsintellectuellesimpliquées

Lesproblèmesquenousavonsproposésauxélèvesrelevaientàchaquefoissoitdela

multiplication,soitdeladivision.Lesélèvesdevaientdoncfairelechoixentrel’uneet

l’autreopération.Lesdiversestournuresdephrasesetsituationsdécritespouvaient

inciterlesélèvesàl’emploid’uneopérationoupouvaient,aucontraire,lesinduireen

erreur.

26

4. Lesautresdisciplines

Comme nous l’avions présenté précédemment, la lecture dans la langue de

scolarisationestunoutilnécessaireàlarésolutiondeproblèmesenmathématiques.

Si l’élèvene saitpas liredans la languedans laquelleest écrit l’énoncé, alors il ne

pourra pas résoudre le problème correctement. Sa compréhension se limitera aux

donnéeschiffréesetlechoixdel’opérations’entrouveracompliqué.

Nousavonsensuitecomplétécettenouvelletypologieadaptéeànotretravailderecherche

avec certaines difficultés relevées par Kersaint et al. (2013). Parmi celles concernant

l’apprentissage desmathématiques par des élèves allophones, nous avons sélectionné les

suivantes:

1. Levocabulairemathématique

CettepremièrecatégorieretenuedechezKersaintetal.(2013)estétroitementliée

aveccelleconcernantlacompréhensiondesconsignesd’Astolfi(2015).Effectivement,

certainsmotsontunsensdifférentselonlecontextedanslequelilssontemployés.Par

conséquent,cettemultitudedesenspeutporterpréjudiceauxélèvesallophones.

2. Lasyntaxe

Lamanièredontunénoncémathématiqueestécritpeutmener l’élèveàquelques

difficultésdetraductionenlangagemathématique.Lacomplexitédelatâchemène

les élèves allophones à s’attendre à une correspondance exacte entre donnée et

représentationalgébrique,maiscen’estpastoujourslecas.

3. Lasémantique

La sémantique porte sur le sens et la signification donnés au langage. Dans notre

recherche, ils’agitdusensdonnéàl’énoncé.Lesdifficultésliéesàlasémantiquele

sont souventégalementau vocabulairemathématique.Au traversde la lecturedu

problème, l’élève doit mettre du sens à ce qu’il lit, faire des liens entre des

coréférences,comprendrelesanaphores,etc.(Kintsch&Rawson,2005).Souvent,de

grossesdifférencesdesenssontcachéesdansunseulpetitmot.

LesdifficultésdécritesparKersaintetal.(2013)quenousavonsgardéespournotreanalyse

reprennentcertainsconceptsrelevésparKintsch&Rawson(2005)dansleurouvragesurla

compréhensiondetextes.Lacompréhensiondoitsefaireàplusieursniveauxpourpermettre

27

la compréhension complète du texte. Tout d’abord, au niveau linguistique, il s’agit de

reconnaître le mot et son rôle dans la phrase ou l’expression. Ensuite vient le niveau

sémantique,qui,commeprésentéparKersaintetal.(2013)s’intéresseplusspécifiquement

ausensdesmotsetauxliensentreeuxdanslaphraseoul’expression.

Finalement, un point important auquel nous allons prêter attention au long de notre

recherche est la différence entre les difficultés liées à l’emploi d’outilsmathématiques et

cellesliéesàlacompréhensiondeladonnée.Unpointdecomparaisonintéressantsetrouve

entrelacapacitéqu’al’élèveàchoisirlabonneopérationpourrésoudreleproblèmeetcelle

qu’ilapourlerésoudrecorrectement.Ainsi,si l’élèvechoisit l’opérationadéquatemaisne

parvientpasàrésoudreleproblème,nouspourronsraisonnablementsupposerquelasource

principale de ses erreurs sera dans l’emploi des outils mathématiques et non dans la

compréhension de l’énoncé. Etant donné que cette distinction possède un pouvoir fort

discriminant,nousyaccorderonsuneattentionparticulièredansl’analysedenosrésultats.

4 Questionnement

4.1 Laquestionderecherche

Au travers de notre cadre conceptuel, nous nous sommes intéressés aux difficultés

potentielles rencontrées par les élèves allophones dans la résolution de problèmes

mathématiques. Nous avons également relevé quelques caractéristiques de ces énoncés,

caractéristiquesdontl’influencesurlesélèvesallophonesn’apasencoreétéobservée.

Aussi,l’objectifdecetravailseradetenterdedécelersileserreurscommisesparlesélèves

allophones dans la résolution de problèmes mathématiques issus du champ conceptuel

multiplicatif sont principalement d’origine linguistique (problème de compréhension) ou

d’originemathématique(utilisationincorrectedesoutilsmathématiquesnécessaires).Ilsera

pour cela nécessaire de comparer ces résultats avec ceux des élèves standards demême

niveau,afindevoirsidesdistinctionsentrecesdeuxcatégoriesd’apprenantspeuventêtre

considéréessignificatives.Cesquelquesobservationsconcernantlessourcesd’erreursetde

difficultésrencontréesparlesélèvesallophonesdevraientégalementnouspermettredevoir

quelstypesdedifférenciationontunimpactpositifsurleursrésultats.Ceciaboutiraitenfin

surdiversconseilsàappliquerlorsdel’enseignementpourintégreraumieuxcesélèvesdans

lesclasses.

28

Ceslecturesetcesréflexionsnousontpermisd’aboutiràlaquestionderecherchesuivante:

Enquellesmesures lesvariables linguistiqueset laprésencedesanalogiesdans ladonnée

influencent-elles les élèves allophones dans la résolution de problèmes issus du champ

conceptuelmultiplicatif?

4.2 Hypothèses

Auregarddenotrecadreconceptuel,nouspouvonsposerleshypothèsessuivantes:

- Les variables linguistiques posent des difficultés aux élèves allophones qui ne

comprennent pas la donnée, et par conséquent, ne peuvent pas résoudre

correctementleproblème.

- La présence de certaines analogies simplifie la compréhension de l’énoncé, et par

conséquent,larésolutionduproblème,autantpourlesélèvesallophonesquepourles

élèves standards. La résolution est d’autant plus simple si les trois analogies sont

présentes.

- Letypedeproblèmesissusduchampconceptuelmultiplicatifauneinfluencesurla

capacitéderésolutionduproblèmeparl’élèveallophone.

5 Méthodologie

5.1 Méthodechoisie

L’objectif de notre recherche est de déterminer dans quelles mesures les difficultés

rencontréesenmathématiquesparlesélèvesallophonesscolarisésen9COsontduesàdes

lacunes dans les outils mathématiques, ou, au contraire, à des difficultés dans la

compréhensiondufrançais,c'est-à-diredanslacompréhensiondeladonnéeduproblème.

Pour ce faire, nous ferons passer un questionnaire composé de seize problèmes issus du

champconceptuelmultiplicatif,lequelnouspermettraderécolterdesdonnéesdesélèvesen

situation.

Les outils de recherche, développés plus précisément ci-après, sont des problèmes de

mathématiquesissusduchampconceptuelmultiplicatif,dontlebutestdebalayerunlarge

spectre des opérations de cette catégorie. Comme il l’a déjà été dit précédemment, ces

énoncéstestentdesobjectifsde8H.L’analysedesrésultats,particulièrementunerésolution

incorrectedel’énoncémalgréunchoixcorrectdel’opération,oualors,unchoixincorrectde

29

l’opération,devraitdoncnouspermettredefaire ladifférenceentreunedifficulté liéeaux

outilsmathématiquesouuneautreliéeàlacompréhensiondufrançais.Danstouslescas,les

difficultésrencontréesparlesélèvesallophonespourrontêtreétudiéesdanslebutdetrouver

despistespouryremédier.Bienquenotrequestionnairesoitsoumisà lafoisàdesélèves

standardsetàdesélèvesallophonespourpermettreunecomparaisondenosdeuxcatégories,

uneanalysepluspousséedesrésultatsdusecondgroupeserafaite,puisqu’ils’agitdenotre

intérêtprincipal.

5.2 Echantillon

ParmilesécolesdusecondaireIconcernéesparlaproblématiquedesélèvesallophones,nous

avons,pourdesraisonspragmatiques,sélectionnéunétablissementduValaiscentral.Dans

cedernier,lesélèvesallophonessontregroupésdansdiversesclassesdemathématiques.En

l’occurrence,troisclassesdemathématiquesde9COniveauIIsontdirectementconcernées.

Onzeélèves allophones y sont scolarisés. Ce sontdonc l’ensembledesélèvesde ces trois

classesquiontpassélesproblèmesproposés.Enraisondesélèvesabsentslejouroùnous

avonsfaitpassernotrequestionnaire,notreéchantilloncomporteuntotaldequarante-deux

élèves,dontneufsontallophones.

L’hétérogénéité des élèves allophones, en termes de provenance, de compétences

mathématiques et de compétences dans la langue de scolarisation, est assez importante.

QuatreélèvessontconsidéréscommeélèvesallophonesprimoetontétéscolarisésenValais

entre janvier et août 2017. Les cinq autresontun statut d’élève allophone secundo. Leur

scolarisation dans notre canton date de janvier 2014 à janvier 2016. Un tiers des élèves

allophonesestarrivéduPortugal,l’unvientd’ItalieetlesautresdepaysduMoyenOrient.

D’après les conversations avec les enseignantes de soutien et au vu des observations

préalablespersonnelles,lesprogrèsréalisésparchacund’euxdanslalanguedescolarisation

depuisleurarrivéedansnotreécoleoudansnotrecantonsonttrèsvariés.

5.3 Outilsderecherche

5.3.1 Constructionduquestionnaire–lesproblèmesproposés

Pour notre recherche, nous avons créé divers problèmes issus du champ conceptuel

multiplicatifafindetenterderecouvrirlatypologieproposéeparVergnaudetainsitesterune

majorité des structures multiplicatives. Nous nous sommes inspirés de la banque de

problèmes proposée par Graff et Wozniak dans leur ouvrage Situations multiplicatives,

30

Problèmesdemultiplicationetdedivision(2011),ainsiquedeleursexemples.Nouslesavons

modifiésdemanièreàéviterlesdifficultésliéesàlaculture,puisquecenesontpascellesqui

nousintéressentici.Nousavonségalementfaitlechoixdenepasprésenterauxélèvesdes

problèmesdutype«Comparaisonderapportdeproportionnelle»,puisquelesopérations

aveclesfractionsn’ontpasencoreétéabordéesen9CO.

Nousavonsaussifaitensortedetesterdiversaspectslinguistiquesdanscesproblèmes,dans

lebutd’observersilesdifficultésrencontréesparlesélèvessontmajoritairementliéesaux

structuresmathématiquesouauxaspectslinguistiques.Cesvariableslinguistiquessontissues

dumodèledecompréhensiondécritparKintschetRawson(2005).Certainesdonnéesontété

modifiées avec des anaphores ou des coréférences, alors que d’autres semblent, à priori,

dépourvuesdedifficultélinguistique.Parexemple,dansl’énoncé9,àlireci-dessous,aucune

anaphorenicoréférencen’estprésente.Enrevanche,dansle10,lesujet«Marc»estrepris

àl’aidedupronom«il».

Liantlinguistiqueetmathématiques,PerlaNesheretEvaTeubalsesontintéressées,dansleur

articleVerbal Cues as an Interfering Factor in Verbal Problem Solving (1975), aux indices

présentsdanslesdonnéesetleurrôlepouratteindreounonlabonnesolutionauproblème.

Atraversleursexpériences,lesauteuresontpudémontrerquecertainsmotsincitentlechoix

de l’opérationnécessaireà larésolutionduproblème.Ellesdonnentenexemple lesmots-

indices«plus»et«moins»(Nesher&Teubal,1975,p.48).Nousavonsdoncdélibérément

ajoutécertainsmotsdecetype,afind’aiguillerlesélèvessurlebonchemin,ou,aucontraire,

depeut-êtrelesinfluencernégativementetlesforceràprendrelamauvaisedirection.

Enfin,ladernièrevariablenousayantguidéspourlechoixdesproblèmesàfairepasseraux

élèvesestcelledesanalogiesdeSander(àparaître).Nousavonssoumisquelques-unsdenos

énoncés aux auteurs de cette théorie sur les analogies de substitution, de scénario et de

simulation.Laprésenceoul’absencedecesanalogiesontétécontrôléesdanscinqproblèmes

parmi lesseizeproposésauxélèves, soitquasimentuntiersdenosquestions. Il s’agitdes

énoncés2,7,9,14et15.Surlabasedeleuranalyseetàl’aidedelathéoriefaiteparSander

(àparaître),nousavonsévaluélaprésencedesanalogiesdanslesautresproblèmesproposés

dansnotrerecherche.

Voici,ci-dessous,lalistedesseizeproblèmesquiontétésoumisàdesélèvesde9CO.

31

1. Julesdessineunsegmentde20cm.Ilest10foispluslongqueceluideJean.

QuelleestlalongueurdusegmentdeJean?

2. Léaaagrandiunephotoavecuncoefficientd’agrandissementégalà3.Ellela

donne ensuite à Jules qui l’agrandit encore. Jules rend la photo à Léa qui

remarque qu’entre la photo originale et celle de Jules, le coefficient

d’agrandissementestde9.Quelestlecoefficientd’agrandissementutilisépar

Jules?

3. Isabellemesure2segments.Lepremiermesure117cm,lesecondest9fois

pluscourt.Combienmesureledeuxièmesegment?

4. Arnaudpossède272francssursoncompteenbanque.Louisenpossède25

foisplus.CombienLouisa-t-ild’argent?

5. Uncartoncontenant43paquetsdebonbonspèse26,5kg.Combienpèseun

cartonquicontient4foisplusdepaquets?

6. Unbateaupêche6584poissonsalorsqu’unpêcheursursabarqueenpêche8.

Combiendefoismoinslepêcheursursabarquepêche-t-il?

7. Unesauterellemesure20cmdelongaumicroscopeet5cmdelongàl’œilnu.

Quelleestlalongueurd’unefourmiàl’œilnusachantqu’ellemesure6cmau

microscope?

8. Unkilogrammedeviandecoûte23,50francs.Combiencoûteunrôtide1,5

kg?

9. 92boîtescontenantchacune21chocolatspèsententout32,2kg.Quelestle

poidsd’uneboîtede21chocolats?

10. Marca416francsàdépenserpourNoël.Ilveutdépenser32francsparcadeau.

Combienpeut-ilenfaire?

11. Christophe a acheté 6 paquets de bonbons et a payé 24 francs. Combien

paiera-t-ilpourl’achatde3paquets?

12. Martinaacheté15boîtesdebiscuits.Danschaqueboîte,ilya4sachetsde

biscuitsauchocolat.Lesbiscuitsauchocolatsontgroupéspar6.Combiende

biscuitsauchocolatMartina-t-ilachetés?

13. Freda308nouvellesbillesrouges.Ilvientd’acheter11paquetsdebilles,danslesquelsilyavait7sachetsdebillesrouges.Combiendebillesrougesyavait-

ildanschaquepaquet?

14. J’ai5t-shirts,4shortset3casquettes.Combiendetenuesdifférentespuis-je

porterentout?

15. Avecles4cartesvertesposéessurlatable,onpeutformer,entout,24couples

différents,composésd’unecarteverteetd’unecartebleue.Quelestlenombre

decartesbleues?

16. Dansunparcd’attractions,leprixestde23francsparenfantetparjour.Desenfantsontpassé5joursdansceparcd’attractions.Ilsontpayéentout2990

francs.Combiend’enfantsyontété?

32

Le tableau complet des analyses des problèmes selon les variables mathématiques, les

variableslinguistiquesetlesanalogiessetrouvedanslesannexes11.2(p.77).

5.3.2 Analyseaprioridesproblèmesproposés

Uneanalyseaprioridechaqueénoncéaétéeffectuéeafindesavoirletypedeproblèmes

auquelilappartenait,l’opérationattendue,lesvariablesmathématiquesetlinguistiquesen

jeuainsiquelesanalogiesprésentes.Afindenepassurchargerlaprésentesection,nousne

nousattarderonspassurl’intégralitédesanalysesapriorieffectuéespourlesseizeproblèmes.

En revanche, afindemontrer laméthodequenousavonsutiliséepourobtenir le tableau

d’analyseprésentdanslesannexes11.2(p.77),voiciquelquesexemplespourcertainsdenos

énoncés.Labasedenotreanalyses’estinspiréedutravaileffectuéparTardif-Couture(2016)

danssonmémoiresousladirectiondeIzabellaOliveira.Nousnoussommesdoncintéressés

d’uncôtéauxvariablesmathématiquesetdel’autreauxvariableslinguistiquesenjeu.Nous

avonségalementrajoutéunecolonnesupplémentairedansnotretableaupourletraitement

desanalogiesdeSander(àparaître).

Commençonsavecleproblème3:

Isabellemesure2segments.Lepremiermesure117cm, lesecondest9foispluscourt.

Combienmesureledeuxièmesegment?

Ce problème ne traite que d’un seul domaine de grandeur, les unités de longueur, en

l’occurrence, lescentimètres.Selon la typologiedeVergnaudrepriseparGraffetWozniak

(2011), il s’agit d’un problème de type « comparaison » de grandeurs. En effet, nous

comparonslalongueurdedeuxsegments,enconnaissantl’informationqueledeuxièmeest

neuffoispluscourtquelepremier.Cetteindication«foispluscourt»estconsidéréecomme

unindiceselonNesheretTeubal(1975).D’unpointdevuelinguistique,ilya,dansceténoncé,

unecoréférence,commedéfinieparKintschetRawson(2005),aveclareprisede«second»

par « deuxième ». Passons pour finir aux analogies de Sander (à paraître). L’analogie de

substitutionn’estpasprésente,carl’énoncéparlededeuxsegmentsdistinctsetnonpasd’un

premiersegmentquel’onpartageenneufsegmentsidentiques.Pourcetexemple,l’analogie

desubstitution«diviser,c’estpartager»auraitpuêtreemployée.Maiscen’estpaslecasici.

L’analogiedescénarion’estpasprésente,ellenonplus.L’élèvenepeutpas,àtraversl’énoncé,

seréféreràunscénariodelaviequotidienne.Enfin,l’analogiedesimulation,quantàelle,est

33

beletbienprésente.L’élèvepourraittoutàfaits’imaginermentalementdiviserunsegment

neuffoispourenobtenirunnouveau,neuffoispluscourt.

Continuonsavecleproblème8:

Unkilogrammedeviandecoûte23,50francs.Combiencoûteunrôtide1,5kg?

Ceténoncéadmetdeuxdomainesdegrandeurs,lepoids,enkilogrammes,etleprix,enfrancs.

Ilappartientautypedeproblème«multiplication»,ladifficultéétantlaprésencedenombres

décimaux.Aucun indice (Nesher&Teubal,1975)n’estprésent.Par contre, il yaplusieurs

coréférences(Kintsch&Rawson,2005).Premièrement,celleentre«kilogramme»et«kg»,

qui ne devrait pas poser trop de problème, et celle entre « viande » et « rôti », qui est

susceptibledemettrelesélèvesallophonesendifficultés.Enfin,lestroisanalogies(Sander,à

paraître) sont présentes dans cet énoncé. Les élèves peuvent substituer la notion de

multiplicationàcelledereproductionàl’identique.Ils’agitd’unscénarioprésentdanslavie

quotidiennenonseulementpourlesarticlesdeboucherie,maisaussipourd’autresproduits,

etilspeuventégalements’imaginerdansunetellesituationdansunmagasin.

Nousterminonsavecundernierexempled’uneanalyse,celleduproblème16:

Dansunparcd’attractions,leprixestde23francsparenfantetparjour.Desenfantsont

passé 5 jours dans ce parc d’attractions. Ils ont payé en tout 2990 francs. Combien

d’enfantsyontété?

Cedernierénoncéconcernetroisdomainesdegrandeurs,leprix,enfrancs,ladurée,enjours,

etlenombred’enfants.Ils’agitd’unproblèmedutype«proportionnalitédouble».Unindice

(Nesher&Teubal,1975),«entout»,peutaiderlesélèvesdanslarésolutiondeceproblème.

Letexteestassezlongencomparaisonaveclesautresproblèmes.Ilcontientquatrephrases.

Iln’yapasdecoréférence,cependant,ilyauneanaphore(Kintsch&Rawson,2005):«y»

reprend«leparcd’attractions».L’analogiedesubstitutionestfacilitatricedansceproblème,

puisquecelarevientàsedire«diviser,c’estpartager».L’analogiedescénarioestelleaussi

présente.L’énoncéestconformeauscénarioderépartitiond’unegrandequantité,icil’argent,

entre plusieurs quantités moins grandes, les jours et le nombre d’enfants. L’analogie de

simulation, au contraire, ne se trouve pas ici. Les valeurs en jeu sont trop grandes pour

permettreunesimulationmentaledelasituationdelapartdesélèves.

34

5.4 Contrôledesbiaisinhérentsaucontratdidactique

Danslecadredenotretravail,pouréviteraumaximumdesrésultatsbiaisésàcauseducontrat

didactique,nousavonsprocédéàunchangementdesenseignantssurveillantslesclasses.Le

tournusaétéorganisédetellemanièreàcequechaqueclasseaitunautreenseignantprésent

danslasalleaumomentdelapassation.Cecinousaégalementpermisd’éviterd’inciterles

élèvesàdonneruneréponseenlienaveclechapitrevuavecl’enseignantehabituelle.

Enguisederappel,GuyBrousseauévoque,danssaThéoriedessituationsdidactiques(2004),

l’existenced’uncontratdidactiqueentrel’élèveetleprofesseur.Cecontratdidactiquen’est

absolument pas explicite et ne ressemble à aucun contrat papier que les deux individus

pourraient signer. Il s’agitd’uncontrat impliciteà la classeet spécifiqueaucontenude la

classe, c'est-à-dire la connaissance mathématique. Chaque enseignant aura un contrat

didactiquedifférent,quel’élèvedevra,chaqueannée,s’approprier.Brousseauacependant

listéquelques«conséquencesimmédiates»dececontrat.Ilparledudevoirdel’enseignant

de«créerdesconditionssuffisantespourl’appropriationdeconnaissances»cequiimplique

que«l’élèveestsupposépouvoirsatisfairecesconditions(2004,p.61)».Parconséquent,la

relationdidactiquedéveloppéeentrel’enseignantetl’enseignénepeutcesser,carl’élèveale

droit d’apprendre et le professeur doit permettre à l’élève d’acquérir de nouvelles

connaissances(Brousseau,2004).

En résumé, le contrat didactique est fait de règles implicites pour la plupart, et d’autres

explicites, sur le comportement de l’élève, mais également de l’enseignant, et leur

responsabilitédanslebondéroulementdelarelationdidactique.Cependant,suivreàlalettre

uniquementlesrèglesexplicitesdececontratpeutmeneràl’échecdecetterelation.Lesdeux

partenaires de ce contrat didactique sont donc en constante « recherche d’un contrat

hypothétique»pourpermettrelebondéroulementdecetterelation(Brousseau,2004,p.62).

Ainsi, afin de donner à chaque élève les mêmes conditions pour la réalisation de ces

problèmesetdeminimiserautantquefairesepeutlesbiaisinhérentsaucontratdidactique,

uneconsigneassezstricteetpréciseaétérédigéeenamont.Celle-ciaétédistribuéeàtoutes

lesenseignantesconcernéesparcetterecherche.Ellepeutêtreconsultéedanslesannexes

11.1(p.76).

35

5.5 Méthoded’analysedesdonnées

Afindepouvoiravoirunpointdecomparaisondesrésultatsobtenusparlesélèvesallophones

danslecadredecetravailderecherche,nousavonsfaitpasserlesmêmesproblèmesàdes

élèves standards desmêmes classes que celles dans lesquelles les élèves allophones sont

scolarisés.Ainsi,nousavonscréédeuxcatégoriesprincipales:d’uncôté,lesélèvesstandards,

etdel’autre,lesélèvesallophones.

Deplus,danslebutd’observersic’étaitl’outilmathématiquequiposaitproblèmeàl’élève,

ou alors la lecture et l’interprétation de la donnée du problème, nous avons analysé les

donnéesdechaquecatégoriesousdeuxpointsdevuedifférents.Lepremiers’intéressaitàla

résolutioncorrectedesproblèmesquiavaientétéproposésauxélèves.Lesecondneprenait

encompteuniquementlechoixdel’opération.Uneerreurdesamiseenœuvreouunmauvais

choixdesvaleursn’avaientpasd’importance.

Nousallonsdonccommencerparanalyserséparémentlesrésultatsdenosdeuxcatégories

principales.Chacuned’entreelleserafaitesousl’angledelarésolutionetceluiduchoixde

l’opération, puis ces deux catégories seront comparées. Ensuite, nous procéderons à une

comparaison des résultats des deux catégories principales dans chacune des deux sous-

catégories(résolutioncorrecteetchoixdel’opérationcorrect),avantdetermineravecune

analyseplusdétailléedesrésultatsdesélèvesallophonesetdesprocéduresmisesenplace.

6 Analysedesdonnées

Pourrendrel’analysededonnéessuffisammentlisible,nousavonsoptéd’abordpourdeux

catégoriesbiendistinctes,lesélèvesstandardsetlesélèvesallophones.Nouscommencerons

doncparuneanalyseendétailsdecesrésultats.Ensuite,nouspasseronsàlacomparaisondes

résultatsdecesdeuxcatégories.

6.1 Elèvesstandards

Trente-trois élèves dits standards ont pris part à la résolution individuelle des problèmes

proposés.Legraphique(Figure1)ci-dessousreprésentelaproportiondeproblèmesrésolus

correctementparrapportàceuxnonrésolus,résolusincorrectementourésolusuniquement

àmoitié.

36

Figure1:Résolutiondesproblèmesparlesélèvesstandards

Globalement,letauxderéussitedanslarésolutiondesproblèmesproposésauxélèvesestde

43,75%pourcettecatégorie,etletauxmédiansesitueà48,48%.Danscegraphique,nous

pouvonsaisémentvoirqueseptproblèmesparmilesseizeproposésontuntauxderéussite

inférieurautauxmoyen.Ils’agitdesproblèmes2,8,9,13,1415et16.L’und’entreeux,le

numéro9,affichemêmeuntauxderéussitenul.Leproblème13,quantàlui,n’aétéréussi

quepardeuxélèvessurlestrente-troisélèvesstandards.

Troisproblèmes,le1,le6etle7,arborentuntauxderéussiteauxalentoursde50%.Enfin,

lesproblèmes3,4,5,10,11et12obtiennentlesmeilleurstauxderéussite,lemaximumétant

de78,79%pourleproblème11,dontunexemplederésolutionestàvoirci-dessous(Figure

2).Ilesttalonnéparleproblème10etsontauxderéussitede75,76%.

Figure2:Exemplederésolutionduproblème11parunélèvestandard

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%

100%

Correcte Incorrecte

37

Le graphique suivant (Figure 3) représente la proportion de problèmes pour lesquels

l’opération choisie est adéquate, par rapport à ceux pour lesquels le choix est erroné ou

inexistant. L’emploi correctde l’outilmathématique,n’est,parcontre,pasprisencompte

danscegraphique.Ainsi,nousretrouvonsdans laproportiondechoix judicieux, lesélèves

ayantrésolu leproblèmecorrectement,ceuxayantchoisi l’opérationadéquatemaisenne

l’utilisantpascorrectement,etenfin,ceuxayantfait lebonchoixmaisn’ayantpaspris les

bonnesvaleurs.

Figure3:Choixdel'opérationparlesélèvesstandards

Nouspouvonsremarqueràl’aidedecegraphique(Figure3)queletauxduchoixadéquatde

l’opération par les élèves dans la résolution de problèmes issus du champ conceptuel

multiplicatif est plus élevé que le taux de réussite. Le taux moyen du choix correct de

l’opérationestde66,67%etletauxmédianestjusteinférieur,à65,15%.Demanièregénérale,

deux tiers des élèves font le bon choix entremultiplication et division pour résoudre ces

problèmes. En revanche, ce choix adéquat ne leur permet pas forcément de résoudre

correctement le problème, comme lemontrent les deux exemples ci-dessous (Figure 4 et

Figure5).

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%

100%

Correct Incorrect

38

Figure4:Exemplederésolutionincorrecteduproblème9malgréunchoixcorrectdel'opération

Figure5:Exemplederésolutionincorrecteduproblème13malgréunchoixcorrectdel'opération

Quelquesproblèmessesituentendessousdutauxmoyenduchoixcorrectdel’opération.Il

s’agitdesénoncés1,2,6,8,9,13,14et15.Alorsquecertainsd’entreeuxsetrouventjuste

endessousdelamoyenne,d’autres,telsquelesproblèmes2et14sontpassablementloinde

lamoyenne,toutcommele8etle15.

Enrevanche,d’autresénoncésontpermisàquasiment tous lesélèvesdechoisir labonne

opération.Plusde90%d’entreeuxontfaitunchoixjudicieuxpourlesproblèmes4,5,10,11

et12.

Enfin,cederniergraphique(Figure6)reprendlesdonnéesdesdeuxprécédents.Ilpermetde

comparerlenombred’élèvesstandardsayantrésoluleproblèmecorrectementparrapport

aunombred’élèvesayantchoisil’opérationadéquate.

39

Figure6:Résolutioncorrectevs.choixcorrectdel'opérationparles33élèvesstandards

Ladifférenceentreletauxderéussitedelarésolutionduproblèmeetletauxdechoixcorrect

del’opérationestvisibleci-dessus(Figure6).Nousavionsprésentéprécédemmentuntaux

moyenderéussitede43,75%,alorsqueletauxmoyenduchoixcorrectdel’opérationétait

de66,67%.Environuntiersdesélèves(34,77%)ayantchoisil’outilmathématiqueadéquatne

choisissentpaslesbonnesvaleursounel’appliquentpascorrectement.Cettemiseenœuvre

erronée ou la mauvaise sélection des valeurs les mènent à une résolution incorrecte du

problème.

Plusendétails,certainsproblèmesobtiennentuneproportionderéussiteetduchoixcorrect

de l’opération très similaires, alors que d’autres affichent des écarts conséquents. Le

problème 2 présente deux taux identiques. Ceux des problèmes 1, 3 et 14 s’avèrent

relativementsimilaires,l’écartétantinférieurà10%.Ladifférencedetauxdesproblèmes6,

7,10,11et15estinférieurà20%.Celasignifieque,dansnotreéchantillon,moinsdesixélèves

ont choisi la bonne opération sans pour autant résoudre le problème correctement.

Cependant,lesproblèmes4,5,8,9,12,13et16révèlentdesécartssupérieursà25%,c'est-

à-direqu’aumoinsneufélèvesn’ontpasrésoluleproblèmecorrectementbienqu’ayantchoisi

l’opérationadéquate.Pourlesproblèmes9et16,cettedifférencevamêmeau-delàde50%,

avec51,52%(17élèves)pourle9et54,55%(18élèves)pourle16.

0

5

10

15

20

25

30

35

Résolutioncorrecte Choixcorrectdel'opération

40

6.2 Elèvesallophones

Lestroisgraphiquesci-dessousreprennentlemêmegenrededonnéesquelesprécédents,

mais selon les résultats des élèves allophones.Neuf élèves, avec des statuts d’allophones

primoousecundo,onttentéderésoudrelesproblèmesdemathématiquesquileurétaient

proposés.Legraphiquesuivant(Figure7)représentelaproportiond’élèvesayantrésolule

problème correctement par rapport à ceux ne l’ayant pas fait, pas terminé et résolu de

manièreincorrecte.Ilestàrelevericiquel’undesélèves,pourtantscolariséenValaisplustôt

quetoussescamarades,n’apasessayéderésoudreoudenotersesrecherchesàunseul

problème.Unautres’estoccupéuniquementdesquatrepremiersénoncésproposés.

Figure7:Résolutiondesproblèmesparlesélèvesallophones

Nouspouvonsvoirci-dessus(Figure7)queplusieursproblèmesontmislesélèvesallophones

engrandesdifficultés,sibienqu’aucund’entreeuxn’aréussiàlesrésoudrecorrectement.Il

s’agitdesénoncés2,7,8,9,13,14et16.Lesdeuxproblèmesayantobtenuleplusderéussite

delapartdecesélèvessontlesnuméros4et11,résoluscorrectementparquatreélèvessur

lesneuf.Ilssontsuivisparlesproblèmes1,6et10quin’ontpasgênétroisélèvesallophones.

Enfin,lesénoncés5et9,réussispardeuxélèves,sontégalementau-dessusdutauxmoyen

deréussitede15,97%etdutauxmédian(11,11%),contrairementauxproblèmes3et15,dont

seulunélèveàchaquefoisatrouvélerésultatcorrect.

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%

100%

Correcte Incorrecte

41

Voicideuxexemples(Figure8etFigure9), lepremierd’unerésolutioncorrecte,lesecond,

d’unerésolutionincorrecte,d’unmêmeproblèmepardeuxélèvesallophonesdifférents.

Figure8:Résolutioncorrecteduproblème10parunélèveallophone

Figure9:Résolutionincorrecteduproblème10parunélèveallophone

Legraphiqueci-dessous(Figure11)rendcompteduchoixdel’opérationdesélèves.Lebleu

représentelaproportiond’élèvesallophonesayantchoisil’opérationadéquateàlarésolution

duproblème,peuimportesicelle-ciaétéréaliséecorrectementouaveclesbonnesvaleurs.

Ci-dessous (Figure 10) se trouve un exemple d’un problème pour lequel l’opération est

correcte,maislesvariableschoisiessontfausses.

Figure10:Problèmeavecchoixcorrectdel'opération,maismauvaischoixdesvariables

42

Enorange,parcontre,nousretrouvonslesélèvesn’ayantpasfaitlebonchoixdel’opération.

Figure11:Choixdel'opérationparlesélèvesallophones

Contrairementauxélèvesstandards,nousremarquonsdanscegraphique(Figure11)qu’ilya

desproblèmespourlesquelsaucunélèveallophonen’achoisil’opérationadéquate.Ils’agit

desproblèmes2,7,13et14.Lesénoncésayantmenéleplusd’élèvesàlabonneopération

sontles5et16,suivisdesproblèmes4,10et11.Pourfinir,touslesautresénoncés,c'est-à-

direlesnuméros1,3,8,9,12et15ontpermisàdeuxélèvesdefairelechoixjudicieux,et

mêmeàtroispour leproblème6.Letauxmoyenduchoixadéquatde l’opérationestplus

élevéqueceluidelarésolutioncorrecte,puisqu’ilestde25,69%.Letauxmédian,également

inférieurautauxmoyen,estde22,22%.

Cederniergraphique(Figure12),traitantuniquementdesélèvesallophones,reprendlesdeux

précédents et permet de comparer la résolution correcte d’un problème et le choix de

l’opérationadéquate.

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%

100%

Correct Incorrect

43

Figure12:Résolutioncorrectevs.choixcorrectdel'opérationparles9élèvesallophones

Nousvoyonsci-dessus(Figure12)queladifférenceentrelarésolutioncorrecteduproblème

etlechoixadéquatdel’outilmathématiqueestmoinsimportantechezlesélèvesallophones

que chez les élèves standards. Alors que chez les élèves standards, l’écart entre les taux

moyensderéussiteetduchoixcorrectdel’opérationétaitde22,92%,ilest,chezlesélèves

allophones,de9,72%.Deplus,alorsqueplusd’untiers(34,77%)desélèvesstandardsayant

choisi le bon outil mathématique échouait ensuite dans la résolution du problème, la

proportion d’échec malgré la bonne opération est inférieure chez les élèves allophones

(30,31%). Cette tendance est visible dans le graphique. En effet, nous retrouvons quatre

problèmes (4, 6, 11 et 12) pour lesquels ces deux proportions sont égales, en termes de

réussiteetdechoixjudicieuxdel’opération,etquatreautresproblèmes(2,7,13,14)pour

lesquelsnilarésolutionnil’opérationn’étaientcorrectes.

Degrossesdifférencessontcependantàobserverpourlesproblèmesquin’ontétérésolus

correctementparaucunélève,enparticulierl’énoncé16.Effectivement,cinqélèvessurles

sept l’ayant essayé ont utilisé une division, comme cela était attendu. Néanmoins, aucun

d’entre eux n’a su terminer ce problème avec un résultat correct. Deux exemples des

rechercheseffectuéessontàvoirci-dessous(Figure13etFigure14).

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Résolutioncorrecte Choixcorrectdel'opération

44

Figure13:Choixcorrectdel'opérationavecutilisationcorrectedel’outilmathématique,maissans

terminerlarésolutionduproblème16

Figure14:Choixcorrectdel'opérationavecutilisationincorrectedel’outilmathématiquepourle

problème16

Lesproblèmes8et9ontmisdeuxélèvessurlabonnevoiepourl’outilmathématique,mais

celanes’estmalheureusementpasavéréconcluantpourlarésolution.Pourfinir,l’énoncé5,

deuxièmeénoncéàavoirpermisàcinqélèvessurseptdechoisirlabonneopération,nes’est

soldéquepardeuxréussites.

Finalement,nousavonségalement iciunesituationquin’étaitpasapparuechez lesélèves

standards. Un problème a été résolu correctement sans pour autant que l’opération soit

indiquée(problème1),commenouspouvonslevoirdanslaFigure15ci-dessous.Lenombre

derésolutionscorrectesestparconséquentplusélevéqueceluiduchoixcorrectdel’outil

mathématique.

45

Figure15:Résolutioncorrecteduproblème1sansopérationnotée

Puisque nous avons analysé les données de nos deux catégories séparément, nous allons

maintenant passer à la comparaison des résultats obtenus d’un côté par les élèves dits

standardsetdel’autreparlesélèvesallophones.

6.3 Tauxderéussite

Les graphiques présentés ci-dessous reprennent les données que nous avons analysées

précédemment. Cependant, nous confrontons dans ceux-ci les résultats de nos deux

catégories précédentes. Ainsi, nous pouvons observer similitudes et différences dans la

résolutiondeproblèmesetdanslechoixcorrectdel’opérationentrelesélèvesstandardset

lesélèvesallophones.

6.3.1 Tauxderéussitedanslarésolutiondesproblèmes

Legraphiquesuivant(Figure16)présentelacomparaisondestauxderéussiteobtenuspar

nos deux catégories pour chaque problème. Nous avons également rajouté une dernière

colonneintitulée«Total»afindevoirl’influencedelapriseencomptedesélèvesallophones

danslecalculdestauxdetouslesélèvesconfondus.

Nouscommenceronsparmettreenévidencelesgrandesdifférencesobservablesàtraversce

graphique.Ensuite,nousnousattarderonssurlespointscommunsdenosdeuxcatégories.

Enfin,noustermineronsparquelquesmotssurlapriseencomptedetouslesélèvescomme

unseuletmêmegroupe.

46

Figure16:Comparaisondutauxderéussitedanslarésolutiondesproblèmes

Leproblèmeayantleplusgrandécart(61,62%)entrelestauxderéussitedesélèvesstandards

et des élèves allophones est le numéro 3. 72,73% des élèves standards (soit vingt-quatre

élèves) l’ont réussi, alorsqu’uniquement11,11%desélèvesallophones (soitun seul) l’ont

résolucorrectement.Lesénoncés5,7et10obtiennentégalementdestauxderéussitetrès

différents,l’écartallantde41,41%à48,48%.Leproblème7faitaussipartiedeceuxquiont

étéréussisparquelquesélèvesstandardsmais,enrevanche,paraucunélèveallophone,tout

commelesnuméros2,8,13,14et16.Enfin,lesénoncés11,12et14possèdentencoreun

écartentrelestauxderéussitedechaquecatégoriesupérieurà30%.

Passons maintenant aux résultats similaires obtenus par les deux groupes. Aucun élève

standardniaucunélèveallophonen’aréussiàrésoudreleproblème9.Leproblème13,quant

àlui,n’apermisqu’à6,06%desélèvesstandards,maisàaucunélèveallophone,detrouverle

résultatattendu.Cettedifférenceestmoindre.Enfin,sinousobservonsencorelesécartsde

tauxinférieursà20%,nousretrouvonslepremierproblème,quiaétérésolucorrectement

parplusdelamoitiédesélèvesstandardsetuntiersdesélèvesallophones,leproblème6,

avecdes tauxderéussitesimilairesaupremier,et leproblème8,qui, lui,aété réussipar

quelquesélèvesstandards,maisaucunallophone.

Si l’on compare les meilleurs taux de chaque catégorie, le problème 4 est l’un des deux

problèmesavecleplushauttauxderéussitechezlesélèvesallophones.Parcontre,cen’est

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

Elèvesstandards Elèvesallophones Total

47

paslecaschezlesélèvesstandardsoùilestlequatrièmeénoncélemieuxréussi.Enrevanche,

ledeuxièmeproblèmeaveclemeilleurtauxderéussitechezlesélèvesallophones,l’énoncé

11, est également celui qui obtient le taux le plus élevé des élèves standards, et, par

conséquent,detouslesélèvesconfondus.

Pour terminer, la colonne « Total » nous montre ici que la prise en compte des élèves

allophonesdans lecalculdutauxderéussitepourchaqueproblèmelediminuait.Eneffet,

mêmesicesderniersobtiennentuntauxderéussiteprochede50%sinousneregardonsque

leurcatégorie(problèmes4et11),leurintégrationdanslecalculdutauxdetouslesélèves

confondusauneinfluencenégative.Cetteinfluencerestenéanmoinsmédiocre,puisqu’elle

estinférieureà10%.

Enconclusion,nouspouvonsdégagerplusieursfamillesdeproblèmesenfonctiondel’écart

destauxderéussiteentrelesélèvesallophonesetlesélèvesstandards.Lepremiergroupe

comprend le seul problèmepour lequel la différence est supérieure à 50%, c'est-à-dire le

numéro3.Pournepasavoirdeproblèmesisolésdansungroupe,nousfaisonslechoixdele

considérerdanslamêmecatégoriequelesproblèmespourlesquelsl’écartsesitueentre40%

et50%,àsavoirlesénoncés5,7et10.Suitlafamilledeproblèmesavecunécartdetauxde

réussiteentre30%et40%,composéedesnuméros11,12et14.Lesénoncés2,4,15et16

obtiennentdestauxplussimilairesavecdesdifférencesallantde20%à30%.Enfin, l’écart

diminueencorepourlesproblèmes1,6et8,puisqu’ilsesitueentre10%et20%.Finalement,

nousobtenonspresqueunesimilitudepourleproblème13,etuneexactesimilitudepourle

problème9quin’aétéréussiparaucunélèvedenosdeuxcatégories.

6.3.2 Tauxduchoixcorrectdel’opération

Terminons avec la comparaison des taux de choix correct de l’opération. Dans ce dernier

graphique (Figure 17), nous retrouvons les proportions d’élèves standards, d’élèves

allophonesetdetouslesélèvesconfondusayantchoisilabonneopérationafindetenterde

résoudrelesproblèmes.Anouveau,nouscommenceronsparreleverlesdifférencesentreles

élèvesstandardsetlesélèvesallophones.Puis,nouspasseronsauxsimilitudesquipeuvent

êtreobservéesentrecesdeuxcatégories.

48

Figure17:Comparaisondestauxdechoixcorrectdel'opération

Lapremièredifférencemarquantedanscegraphiquesetrouvedanslesproblèmes2,7,13et

14.Alorsquepourl’entierdesproblèmesproposés,aumoins20%desélèvesstandardsont

choisil’opérationadéquate,pourquatreproblèmes,soitunquartdesénoncés,aucunélève

allophonen’asélectionnélebonoutilmathématique.

Avantdecontinuercetteanalyse,ilestaussiànoterquel’écartentrelesélèvesstandardset

lesélèvesallophonespourlestauxdechoixcorrectdel’opérationestbeaucoupplusgrand

queceluientrecesdeuxcatégoriespourlarésolutioncorrecteduproblème.Parconséquent,

ilyauraplusdedifférencesquedesimilitudesàobserverdanscegraphique.

Quatre problèmes ont un écart entre les taux de choix correct de l’opération de chaque

groupesupérieurà50%.Ils’agitdesénoncés3,7,12et13.Ceux-cisontsuivisdeprèsparles

problèmes4,10et11,pourlesquelsl’écartdépasse45%.Ladifférenceentrelestauxduchoix

correctdel’opérations’amenuisepourlesénoncés1,5,6et14,toutenrestantau-dessusde

30%.Enfin,pour lesderniersproblèmes,c'est-à-dire les2,8,915et16, l’écart rested’au

moins20%.

Si nous observons les taux de choix correct de l’opération, nous remarquons que les

problèmes5et16sontlesplusélevés(55,56%)chezlesélèvesallophones,maiscen’estpas

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

100,00%

Elèvesstandards Elèvesallophones Total

49

lecasdesélèvesstandards.Eneffet, lesélèvesstandardsobtiennent lesmeilleurstauxde

choixadéquatdel’outilmathématiquepourlesproblèmes4,11et12(93,94%).

Leproblème12sembletrèsintéressantàanalyserplusendétails.Effectivement,ilobtient

l’undesmeilleurstauxduchoixcorrectdel’opérationchezlesélèvesstandards,maisaussi

l’unedesplusgrandesdifférencesentrelestauxdesdeuxcatégories.Pourfinir,malgréun

écartconséquententrelestauxobtenusparnosdeuxgroupes,lesproblèmes10et11,quant

àeux,ontdeuxdestauxlesplusélevéschezlesélèvesstandards(respectivement90,91%et

93,94%)etlesdeuxièmesplushautschezlesélèvesallophones(44,44%pourlesdeux).

7 Interprétationdesrésultats

Puisquelesrésultatsontétéanalyséssansfairedeliendirectavecnotrecadreconceptuel,

nous allons passer à leur interprétation. Celle-ci nous permettra de voir à quel point nos

résultatsconfirmentouinfirmentleshypothèsesquenousavionsprécédemmentposées.

7.1 Différencedestauxderéussite

Nousallonsreprendrelesproblèmesselonlescatégoriesquiontétéforméesprécédemment

durantleuranalyse,c'est-à-direenfonctiondeladifférencedestauxderéussitedesélèves

standardsetdesélèvesallophonespourchaqueénoncé.Nousreprendronschaquefamille

dégagéeseloncecritèreafind’observerd’éventuellesautressimilaritésdanslaconstruction

desproblèmesetdesvariablesmathématiquesoulinguistiquesprésentes.

7.1.1 Premièrecatégorie–Différencedestauxsupérieureà40%

L’énoncé31est leseulproblèmequiobtientunécartentre lestauxderéussitedesélèves

standardsetdesélèvesallophones supérieurà50%,atteignant61,62%. Il est le troisième

problèmelemieuxréussiparlesélèvesstandards,maisfigureenqueuedelistedesélèves

allophones.

Ceproblèmefaitpartiedutype«Comparaisondegrandeurs»selonlatypologiedeVergnaud

repriseparGraff&Wozniak(2011).Unmotindice(Nesher&Teubal,1975),«foisplus»peut

soitaiderlesélèves,soitlesperturber,carl’opérationattenduedemandeunedivision.Une

variable linguistiqueest présente, puisqu’il y a une coréférence (Kintsch&Rawson, 2005)

1Isabellemesure2segments.Lepremiermesure117cm,lesecondest9foispluscourt.Combienmesureledeuxièmesegment?

50

entre « second» et « deuxième». Il s’agit égalementd’une variable linguistique liée à la

sémantique(Kersaintetal.,2013),carcesontdeuxsynonymes.Enfin,lesanalogies(Sander,

àparaître)desubstitutionetdescénariosontabsentesdeceténoncé,alorsquel’analogiede

simulationestprésente.

Danscettecatégorieseretrouventégalementlesénoncés5,7et10.Toutcommel’énoncé3,

lenuméro52estdutype«Comparaisondegrandeurs»(Graff&Wozniak,2011).Unindice

(Nesher&Teubal,1975),lemêmequedansl’énoncé3«foisplus»estaussiprésent.Ildevrait

iciaiderlesélèvespuisquelarésolutioncorrecteexigeunemultiplication.Cependant,ilya

une variable mathématique inutile. De plus, le problème exige ici de travailler avec des

nombresdécimaux.D’unpointdevuelinguistique,etplusprécisémentsémantique(Kersaint

et al., 2013), deux termes ayant des significations proches mais diverses sont présents,

«carton»et«paquet».Finalement,lestroisanalogies,celledesubstitution,descénarioet

desimulation(Sander,àparaître)setrouventdansceproblème.

L’énoncé 73 travaille également sur un seul domaine de grandeur, comme les deux

précédents,maisletypeestdifférent.Ils’agitd’unénoncéimpliquantune«Variationd’une

grandeuravecunrapportimplicite»(Graff&Wozniak,2011).Ceciimpliquedeuxopérations,

unepourtrouverlerapport,puisunesecondepourtrouverlagrandeurmanquante.Aucun

indice n’est présent dans cet énoncé. Néanmoins, tout comme dans le problème 5, les

variablesmathématiquesimpliquentl’utilisationdesnombresdécimaux,icidanslerésultat.

Linguistiquement,ilyauneanaphore(Kintsch&Rawson,2005),carlenom«lafourmi»est

reprisparlepronom«elle».DeuxdestroisanalogiesdeSander(àparaître)nesontpasdans

ceténoncé.Ils’agitdesanalogiesdesubstitutionetdesimulation.

Leproblème104,quantàlui,œuvresurdeuxdomainesdegrandeurs,danscecasl’argentet

le nombre de cadeaux. Il fait partie du type « Division-quotition » de Vergnaud (Graff &

Wozniak,2011).Iln’yaaucunindice(Nesher&Teubal,1975)etl’opérationetsonrésultat

sont dans les nombres entiers. Cet énoncé contient une anaphore selon la définition de

Kintsch&Rawson(2005),puisquelepronom«en»reprendlenom«cadeaux».toutcomme

2Uncartoncontenant43paquetsdebonbonspèse26,5kg.Combienpèseuncartonquicontient4foisplusdepaquets?3Unesauterellemesure20cmdelongaumicroscopeet5cmdelongàl’œilnu.Quelleestlalongueurd’unefourmiàl’œilnusachantqu’ellemesure6cmaumicroscope?4Marca416francsàdépenserpourNoël.Ilveutdépenser32francsparcadeau.Combienpeut-ilenfaire?

51

dansl’énoncé5,lesanalogiesdesubstitution,descénarioetdesimulation(Sander,àparaître)

sontprésentesici.

Bienqu’ellessoientdiverses,lesvariableslinguistiquesprésentesdanslesquatreproblèmes

analysésci-dessussemblentavoiruneffetsurletauxderéussitedesélèvesallophones.En

effet,cesénoncésobtiennentdebonsrésultatschezlesélèvesstandards(troisd’entreeux

sontparmilescinqproblèmeslesplusréussis)etdesrésultatsmédiocres,voirenulles(énoncé

7)chezlesélèvesallophones.Laprésencedecesvariableslinguistiquesdanslesproblèmes

pourraitêtrel’unedesexplicationsdesgrandsécartsobservésdanscettecatégorieentreles

résultatsdesélèvesallophonesetlesélèvesstandards.

Danscettepremièrecatégorie,deuxproblèmessontexactementlesmêmesauniveaudela

présencedesanalogies.Eneffet,lesénoncés5et10possèdentlesdeuxtouteslesanalogies

deSander(àparaître),àsavoirl’analogiedesubstitution,descénarioetdesimulation.Les

deuxautresénoncés,enrevanche,nepermettentpasdetrouveruneanalogiecommuneaux

quatreproblèmesdecettecatégorie.

7.1.2 Deuxièmecatégorie–Différencedestauxentre30%et40%

Passonsmaintenantàladeuxièmefamilledeproblèmes,cellepourlesquelsladifférencedes

taux de réussite se situe entre 30% et 40%. Trois problèmes se sont classés dans cette

catégorie.Ils’agitdesénoncés11,12et14.

L’énoncé115travaillesurdeuxdomainesdegrandeurs,l’argentetlespaquets,alorsquele

126etle147enonttroischacun:lesboîtes,lessachetsetlesbiscuits,etlest-shirts,lesshorts

et lescasquettes, respectivement. L’énoncé11estdu type«Quatrièmeproportionnelle»

(Vergnaud,reprisparGraff&Wozniak,2011)etexigedeuxopérations,unedivisionetune

multiplication,pourtrouverlerésultat.Iln’yaaucunindice(Nesher&Teubal,1975)danscet

énoncé, par contre, il y a une anaphore (Kintsch & Rawson, 2005), car le prénom

«Christophe»estreprisparlepronom«il».L’analogiedesubstitution,celledescénarioet

celledesimulation(Sander,àparaître)sontprésentesdansceproblème.

5Christopheaacheté6paquetsdebonbonsetapayé24francs.Combienpaiera-t-ilpourl’achatde3paquets?6Martinaacheté15boîtesdebiscuits.Danschaqueboîte,ilya4sachetsdebiscuitsauchocolat.Lesbiscuitsauchocolatsontgroupéspar6.CombiendebiscuitsauchocolatMartina-t-ilachetés?7J’ai5t-shirts,4shortset3casquettes.Combiendetenuesdifférentespuis-jeporterentout?

52

Leproblème12,faitpartie,selonlatypologiedeVergnaud(Graff&Wozniak,2011)dutype

«Proportionnalitésimplecomposée».Deuxmultiplicationssuccessivessontnécessairespour

trouver le résultat. Tout comme dans l’énoncé précédent, il n’y a pas d’indice (Nesher&

Teubal, 1975) pour aider l’élève.Néanmoins, le texte est un peuplus long que les autres

énoncés, car il contient quatre phrases. De plus, une anaphore (Kintsch& Rawson, 2005)

compliqueletexte.Leprénom«Martin»estreprisparlepronom«il»,maisilnefautpasle

confondre avec le « il » impersonnel, également présent dans l’énoncé. Remarquons que

chaqueanalogiedeSander(àparaître)estprésentedansceproblème.

Finalement, le dernier énoncé présent dans cette catégorie, le 14, est du type

«Proportionnalitédouble». Ils’agitd’unproduitcartésien.Toutcommedansleproblème

précédent, les élèves doivent faire deuxmultiplications à la suite pour arriver au résultat

attendu.UnindicecommeceuxrelevésparNesher&Teubal(1975)estprésentavecle«en

tout»,permettantà l’élèvedesavoirqu’il s’agitdunombretotaldetenuesque l’onpeut

former.Auniveaudesvariableslinguistiques,ilyaunecoréférence(Kintsch&Rawson,2005)

pluscompliquée,caraveclemot«tenue»ilestsous-entendu«unt-shirt,unshortetune

casquette ». Pour finir, ni l’analogie de substitution, ni l’analogie de scénario (Sander, à

paraître)nesontprésentesdansceténoncé.

Nousremarquonsdanscettefamilledeproblèmes,toutcommedanslaprécédente,quedes

variableslinguistiquessontànouveauprésentesdanslestroisénoncés.Enrevanche,aucun

d’entreeuxnesortdel’ensembledesnombresnaturels.Ilsembleraitdoncquel’emploides

outils mathématiques avec les nombres décimaux posent plus de problèmes aux élèves

allophonesquelesnombresnaturelsetlesempêchentderésoudrecorrectementlesénoncés.

Cette seconde catégorie de problèmes possède un point commun dans la présence des

analogies de Sander (à paraître). En effet, les trois énoncés permettent l’analogie de

simulation.Deuxdestroisproblèmes,le11etle12ontmêmelestroisanalogies,toutcomme

lesénoncés5et7delacatégorieprécédente.

7.1.3 Troisièmecatégorie–Différencedestauxentre20%et30%

Semblablementaupremiergroupe,quatreproblèmesontobtenudesdifférencesdetauxde

réussite pour se classer dans cette famille. Ce sont les problèmes 2, 4, 15 et 16. L’écart

s’amenuise,puisqu’ilestcomprisentre20%et30%.

53

Lesénoncés2et4nesontquesurunseuldomainedegrandeurs,alorsquele15et le16

travaillentsurtroisdomainesdegrandeurs.Leproblème28faitpartiedutype«Composition

de deux variations d’unemême grandeur » (Graff&Wozniak, 2011). Il s’agit d’une seule

grandeur que l’on amodifié deux fois et l’on cherche à trouver, soit la première, soit la

secondevariation,oualors, lavariationtotale. Iln’yaucun indice(Nesher&Teubal,1975)

dans ce long texte de quatre phrases. Cependant, cet énoncé est linguistiquement plus

compliqué,enplusdesalongueur,dûauxnombreusesanaphores(Kintsch&Rawson,2005)

présentes.Celles-cisontlistéesdansl’analysedétailléesdesannexes11.2(p.77).Finalement,

l’analogiedesubstitution(Sander,àparaître)estabsente,alorsquecellesdescénarioetde

simulationsontprésentes.

L’énoncé49 est classédans le type«Comparaisondegrandeurs» selonGraff&Wozniak

(2011) qui se sont basés sur la typologie de Vergnaud. L’opération attendue, une

multiplication,peutêtreinduiteàl’aidedel’indice«foisplus»deNesher&Teubal(1975).

Du point de vue linguistique, il y a deux anaphores (Kintsch & Rawson, 2005) dans ce

problème. Deux pronoms « en » et « il » reprennent respectivement « de l’argent » et

« Louis». Finalement, toutes les analogiesde Sander (àparaître) sontprésentesdans cet

énoncé.

Les problèmes 1510 et 1611 sont très similaires. Tous les deux font partie du type

« Proportionnalité double » et se situent dans l’ensemble des nombres naturels. Chaque

énoncécontientl’indice«entout»(Nesher&Teubal,1975).Lesdifférencesentrecesdeux

énoncéssetrouventdanslesvariableslinguistiquesetlesanalogiesprésentes.Alorsquele

problème15necontientaucunevariablelinguistique,letextedu16estpluslong.Ilestformé

dequatrephrasesdanslesquellessetrouveuneanaphore(Kintsch&Rawson,2005).«Leparc

d’attractions»estreprispar lepronom«y».Enfin,dans leproblème15, lesanalogiesde

substitutionetdescénario(Sander,àparaître)sontabsentes,alorsqu’ellessetrouventdans

8 Léa a agrandi une photo avec un coefficient d’agrandissement égal à 3. Elle la donne ensuite à Jules quil’agrandit encore. Jules rend la photo à Léa qui remarque qu’entre la photo originale et celle de Jules, lecoefficientd’agrandissementestde9.Quelestlecoefficientd’agrandissementutiliséparJules?9Arnaudpossède272 francs sur soncompteenbanque. Louisenpossède25 foisplus.CombienLouisa-t-ild’argent?10Avecles4cartesvertesposéessurlatable,onpeutformer,entout,24couplesdifférents,composésd’unecarteverteetd’unecartebleue.Quelestlenombredecartesbleues?11Dansunparcd’attractions,leprixestde23francsparenfantetparjour.Desenfantsontpassé5joursdansceparcd’attractions.Ilsontpayéentout2990francs.Combiend’enfantsyontété?

54

l’énoncé16,et,inversement,l’analogiedesimulationestprésentedansleproblème15,mais

pasdansle16.

Toutcommenousl’avonsrelevédanslacatégorieprécédente,aucundecesproblèmesne

travailleendehorsdel’ensembledesnombresnaturels.L’écartentrelestauxderéussitedes

élèvesallophonesetdesélèvesstandardsdiminuant,ilsembleraitqu’enprivilégiantl’emploi

del’ensembledesnombresnaturels,lesélèvesallophonessoientplusàmêmedemaintenir

un taux similaire à celui des élèves standards. Les variables linguistiques seraient ici

secondaires.L’emploidel’outilmathématiquesavecl’ensembledesnombresdécimauxpose

plus de problèmes aux élèves allophones. L’erreur n’est pas forcément due à la

compréhensiondesconsignes,maisplutôtàunesurchargecognitive. Il s’agitde l’unedes

erreursissuesdelatypologied’Astolfi(2015),maisnefaitpaspartiedecellesquenousavons

sélectionnéespourcetravail.

7.1.4 Quatrièmecatégorie–Différencedestauxentre10%et20%

Troisproblèmesonteudepetitesdifférences,l’écartdestauxsesituantentre10%et20%.

Ce sont les énoncés 1, 6 et 8. Alors que les deux premiers sont sur un seul domaine de

grandeurs, le dernier travaille sur deux domaines, à savoir le prix et la quantité en

kilogrammes.

Le problème 112 est du type « Variation d’une grandeur avec rapport explicite » selon la

classificationdeGraff&Wozniak(2011)baséesurlatypologiedesproblèmesdeVergnaud.

Unindice(Nesher&Teubal,1975),«foisplus»,peutsoitmettrelesélèvessurlabonnevoie,

soitlesperturber,puisqu’unedivisionestnécessairepourtrouverlerésultat.Uneanaphore

(Kintsch&Rawson,2005)estégalementprésentedansceproblème.Lepronom«il»reprend

lenom«ledessin».Pourfinir,uneseuleanalogie(Sander,àparaître),celledesimulation,est

présente.

Ledeuxièmeproblèmedecettecatégorie,lenuméro613,faitpartiedutype«Comparaison

degrandeurs»(Graff&Wozniak,2011).UnindicedeNesher&Teubal(1975),«foismoins»,

pouvait aider les élèves à choisir la division plutôt que la multiplication. Chez les élèves

12Julesdessineunsegmentde20cm.Ilest10foispluslongqueceluideJean.QuelleestlalongueurdusegmentdeJean?13Unbateaupêche6584poissonsalorsqu’unpêcheursur sabarqueenpêche8.Combiende foismoins lepêcheursursabarquepêche-t-il?

55

allophones,maisaussichezdesélèvesstandards,cetindicen’enétaitpasun,puisqu’ilena

incitésàchoisirunesoustraction.Dupointdevuedesvariableslinguistiques,deuxanaphores

(Kintsch&Rawson,2005)sontdansl’énoncé.Ellessontàvoirdanslesannexes11.2(p.77).

Toutcommepour leproblèmeprécédent,uneseuleanalogie(Sander,àparaître),cellede

substitutioncettefois-ci,estprésente.

Le dernier énoncé de cette catégorie, le 814, fait partie du type « Multiplication ».

Contrairement à l’énoncé précédent, il n’y a pas d’indice (Nesher & Teubal, 1975).

Mathématiquement, le problème est compliqué par la présence de nombres décimaux.

Linguistiquement, il y a deux coréférences (Kintsch & Rawson, 2005), la première entre

«viande»et«rôti»etlasecondeentre«kilogramme»etsonabréviation«kg.»

Dans cette catégorie, l’écart qui semblait être important lors de l’emploi des nombres

décimauxse rétrécit suiteà l’énoncé8.Cependant, sinousobservons les tauxde réussite

respectifsdesélèvesstandardsetdesélèvesallophonesdansceproblème,nouspouvonsvoir

que seuls 18,18% des élèves standards l’ont réussi, et qu’aucun élève allophone n’y est

parvenu.Lebastauxderéussitedesélèvesstandardspourraitêtrelaraisonpourlaquellece

problèmeseretrouvedanscettecatégorieetnonuneautre.

Le faitderetrouverdesanaphoresetdescoréférenceségalementdanscettecatégoriene

nouspermetpasd’expliquer l’écartdestauxderéussiteentre lesélèvesallophoneset les

élèves standards uniquement à l’aide des variables linguistiques. Nous analyserons plus

précisément lesénoncéséchouéspar lesélèvesallophonespourcomprendrecequi leura

réellementposéproblèmesdansleurrésolution.

7.1.5 Cinquièmecatégorie–Différenceinférieureà10%

Enfin,deuxproblèmesontobtenudesrésultatsquasimentsimilairesdanslestauxderéussite

desélèvesstandardsetdesélèvesallophones.Ils’agitdesproblèmes9,pourlequelletauxd

réussiteestnulpourlesdeuxcatégories,etle13,queseuls6,06%desélèvesstandardssont

parvenusàrésoudrecorrectement.

Le problème 915 travaille avec deux domaines de grandeurs, les boîtes et le poids en

kilogrammes.Ilestclassécommeproblèmedetype«Division-partition»selonlatypologie

14Unkilogrammedeviandecoûte23,50francs.Combiencoûteunrôtide1,5kg?15 92 boîtes contenant chacune 21 chocolats pèsent en tout 32,2 kg. Quel est le poids d’une boîte de 21chocolats?

56

deVergnaud(Graff&Wozniak,2011).Unindice(Nesher&Teubal,1975)estprésentdansla

donnée,toutcommeuneinformationinutileàlarésolutionduproblème.Celle-cipeutmener

lesélèvesàchoisirlesmauvaisesvariablespourleurcalcul.Deplus,ilemploielesnombres

décimaux.Ils’agitdel’undesdeuxseulsproblèmesn’ayantaucunevariablelinguistique.Il

contientdeuxanalogies,cellesdesubstitutionetdescénario,maispascelledesimulation

(Sander,àparaître).

Pourterminer,l’énoncé1316estsurtroisdomainesdegrandeurs:lesbilles,lespaquetsetles

sachets.Ilestdansletype«Proportionnalitésimplecomposée».Sarésolutionrequiertdeux

divisionssuccessives.Plusieursélèvessesontarrêtésaprèslapremièredivisionenpensant

l’exerciceterminé.Contrairementauprécédent,iln’yapasd’indicedansceténoncé(Nesher

&Teubal,1975).Enrevanche,ilyaunecoréférenceaveclepronomrelatif«lesquels»qui

reprend«lespaquets»,ainsiqu’uneanaphore(Kintsch&Rawson,2005)aveclepronom«il»

qui reprend « Fred » et qu’il ne faut pas confondre avec le pronom impersonnel. Enfin,

sémantiquement(Kersaintetal.,2013),deuxtermesdesensprochemaisdifférentsontdans

letexte:«paquet»et«sachet».

Danscettecatégorieànouveau,noustrouvonsunproblèmeavecdesnombresdécimauxqui

nedonneaucunécartdestauxderéussiteentreélèvesallophonesetélèvesstandards.Ceci

estdûaufaitqu’aucunélèvestandard,niélèveallophonen’aréussiàrésoudreceproblème.

Parconséquent,ilsembleraitquel’emploidesnombresdécimauxdiminuenonseulementle

tauxderéussitedesélèvesallophones,maiségalementceluidesélèvesstandards.

Le faitque leproblème9,quin’aaucunevariable linguistique,obtienne lemêmetauxde

réussitepourlesélèvesstandardsetlesélèvesallophonesestsurprenant.Celaimpliquerait

que la difficulté de cet exercice ne soit pas dans le texte, mais dans les variables

mathématiqueset/oudanslaprésenceounondesanalogies.Enrevanche,leproblème13

contient de nombreuses difficultés linguistiques qui pourraient empêcher les élèves

allophonesderésoudreceproblèmecorrectement.Commedéjàsignalé,nousreviendrons

surlesdifficultésspécifiquesauxélèvesallophonesplusloin.

16Freda308nouvellesbillesrouges.Ilvientd’acheter11paquetsdebilles,danslesquelsilyavait7sachetsdebillesrouges.Combiendebillesrougesyavait-ildanschaquepaquet?

57

7.1.6 Comparaisondescatégories

Au travers de cette analyse par catégorie, nous n’avons quasiment pas trouvé de points

communs entre les problèmes de chaque famille, si ce n’est la difficulté engendrée par

l’emploidesnombresdécimaux.Effectivement,presque tous lesénoncéspossédaientdes

variables linguistiques,cequinousaempêchésdeclasser lesproblèmesen fonctionde la

présenced’anaphores,decoréférences,etc.Desanaphoressontàobserverdansaumoinsun

énoncédechaquefamilledeproblèmes.Deplus,lesdeuxseulsénoncésquinepossèdentpas

de variables linguistiques ne sont ni dans la même catégorie, ni dans des catégories

adjacentes.

Auniveaudesanalogies,nousavonsputrouverquelquessimilitudesentrecertainsproblèmes

de trois catégories. Cependant, des problèmes de même configuration se retrouvent

également dans d’autres familles, ce qui nous empêche, ici à nouveau, de créer une

classification des problèmes selon ce critère. Six problèmes parmi les seize proposés aux

élèvescontenaientlestroisanalogiesdeSander(àparaître).Ceux-cisontrépartisdansquatre

descinq famillesdeproblèmescrééesselon lesécartsdes tauxderéussitedesélèves.De

manière similaire, l’énoncé 3, qui obtient la plus grande différence des taux de réussite,

contient,commeexpliquéprécédemment,deuxdestroisanalogies.Troisautresproblèmes,

le1,le14etle15,ontexactementlamêmeconfigurationanalogique,maissontrépartisdans

lestroiscatégoriessuivantes,l’écartentreallophonesetstandardsétantmoinsimportant.

Enfindecompte,ilsembleraitquelagrossedifférencedestauxderéussiteentrelesélèves

standardsetlesélèvesallophonesnepermettepasdetrouverderaisonàcetécartdansles

structuresmathématiques,linguistiquesetanalogiquesdesproblèmes.Eneffet,nousn’avons

pas trouvé suffisamment de points communs entre les énoncés classés dans chacune des

catégories, si ce n’est, éventuellement, la présence des nombres décimaux. Certaines

variableslinguistiquesparaissentcomplexifierladonnée,maislesénoncéslescontenantsont

répartis dans diverses catégories. Concernant les analogies, à nouveau, leur présence et

absenceauneinfluence,maisleurrépartitionestmultipledanschaquegroupeobservéci-

dessus.

58

7.2 Résolutiondeproblèmesparlesélèvesallophones

Maintenantquenousavonsobservé lescaractéristiquesdesproblèmesselon ladifférence

destauxderéussitechezlesélèvesstandardsetchezlesélèvesallophones,nousallonsnous

concentrersurcellesdesénoncésquin’ontpasmenélesélèvesallophonesverslaréussite.

Nouscommenceronsparlesproblèmesn’ayantpermisauxélèvesallophonesnidetrouverla

bonneréponse,nidechoisir l’opérationadéquate.Nouspasseronsensuiteauxproblèmes

pour lesquels l’opération choisie était correcte, sans pour autant que cela les mène à la

résolutioncorrecte.

Finalement, nous terminerons l’analyse de cette catégorie avec les caractéristiques des

problèmesayantpermisauxélèvesallophonesdelesrésoudreoud’aumoinschoisirlabonne

opération.

7.2.1 Résolutionincorrecte

Autotal,septproblèmesparmilesseizeproposésauxélèvesstandardsetallophonesn’ont

étéréussiparaucunélèveallophone.Quatred’entreeuxnousintéressentparticulièrement

dans cette partie, puisqu’ils n’ont pas non plus permis aux élèves allophones de choisir

l’opérationadéquate.Ils’agitdesénoncés217,718,1319et1420.Leuranalysedétailléeayant

étédécriteplushaute,nousnenousattarderonspasicisurcela.Enrevanche,nousveillerons

auxdifférencesetauxpointscommuns.

Si nous observons la présence et l’absence des analogies de Sander (à paraître) dans ces

quatre énoncés, nous pouvons voir qu’aucun d’entre eux n’a l’analogie de substitution. Il

sembleraitdoncquel’absencedecetteanalogiedanslesénoncésdesproblèmeslesrendent

pluscompliquésencorepourlesélèvesallophones,parrapportàceuxlacontenant.Atitrede

comparaison,lesdeuxproblèmesayantlemieuxétéréussiparlesélèvesallophones,àsavoir

les énoncés 4 et 11, possèdent cette analogie de substitution. Deux des trois problèmes

suivants,le10etle6,l’ontégalement.Enrésumé,quatreénoncésn’ayantpascetteanalogie

17 Léa a agrandi unephoto avec un coefficient d’agrandissement égal à 3. Elle la donne ensuite à Jules quil’agrandit encore. Jules rend la photo à Léa qui remarque qu’entre la photo originale et celle de Jules, lecoefficientd’agrandissementestde9.Quelestlecoefficientd’agrandissementutiliséparJules?18Unesauterellemesure20cmdelongaumicroscopeet5cmdelongàl’œilnu.Quelleestlalongueurd’unefourmiàl’œilnusachantqu’ellemesure6cmaumicroscope?19Freda308nouvellesbillesrouges.Ilvientd’acheter11paquetsdebilles,danslesquelsilyavait7sachetsdebillesrouges.Combiendebillesrougesyavait-ildanschaquepaquet?20J’ai5t-shirts,4shortset3casquettes.Combiendetenuesdifférentespuis-jeporterentout?

59

seretrouventenqueuedeclassement,alorsquequatreparmi lescinqproblèmes lesplus

réussislapossèdent.Cettecomparaisonparaîtrenforcerl’idéedelafacilitationdesproblèmes

pourlesélèvesallophoneslorsquel’analogiedesubstitutionestprésente.

Du point de vue linguistique, tous ces énoncés ont aumoins soit une anaphore, soit une

coréférence(Kintsch&Rawson,2005).Enplusdecela, leproblème2estparticulièrement

long. Cependant, la longueur ne paraît pas être un facteur important dans la capacité de

résolutiondesproblèmesparlesélèvesallophones,puisqued’autresénoncésayantuntexte

pluslongnelesontpasgênésdansleurréussite.Lacomplexitédecedeuxièmeénoncése

cache dans les nombreuses anaphores, cinq au total, réparties sur uniquement quatre

phrases. De manière similaire, l’énoncé 13 regroupe plusieurs variables linguistiques sur

seulementtroisphrases:uneanaphore,unecoréférence,etdeuxtermestrèsprochesdont

la différence sémantique (Kersaint et al., 2013) doit malgré tout être faite. Cette grande

densité de variables linguistiques peut être une seconde explication aux difficultés

rencontréesparlesélèvesallophonesdanslarésolutiondecesproblèmes,voiremêmedans

lechoixdel’opérationpouvantlesmeneràlaréussite.

SinousobservonslaprésencedesindicesdeNesher&Teubal(1975),nousremarquonsque

surlesquatreénoncésdecettecatégorie,seulun,le14,contientunindicedanssadonnée.

Enrevanche,troisdescinqproblèmeslesmieuxréussisontunindicedansleurénoncé.Par

conséquent, il sepourrait que laprésenced’indices aide les élèves allophonesà résoudre

correctementlesproblèmesissusduchampconceptuelmultiplicatif.Néanmoins,l’accentde

cetravailn’ayantpasétéentièrementmissurcettevariable,etl’absenceetlaprésenceétant

plus ou moins uniformément réparties entre les problèmes réussis et échoués, nous ne

pouvonsadmettrecelaaveccertitude.

Il peut être intéressant ici de rajouter une observation faite concernant les variables

linguistiques.Eneffet,nousavonsremarquéquetroisdesquatreproblèmescontenantune

coréférencen’avaientétéréussisparaucunélèveallophone.Deplus,leseuln’ayantpasun

tauxderéussitenuln’aétérésolucorrectementseulementparunseulélève.Parconséquent,

ilsembleraitquelacoréférencesoitunevariablelinguistiqueplusdifficileàsurmonterpour

lesélèvesdecettecatégoriequelesanaphores.

60

7.2.2 Résolutionincorrectemalgréunchoixcorrectdel’opération

Surlesseptproblèmesnonréussisparlesélèvesallophones,troisleurontmalgrétoutpermis

dechoisirlabonneopération.Ils’agitdesénoncés821,922et1623.Leurerreur,ici,n’estdonc

pasdue,ilsemblerait,auxvariableslinguistiques(Kintsch&Rawson,2005,&Kersaintetal.,

2013),maisplutôtàunmauvaisemploidel’outilmathématiqueouàunesurchargecognitive

(Astolfi,2015).

Contrairement à la catégorie précédente, les trois problèmes analysés ici possèdent tous

l’analogiedesubstitution(Sander,àparaître).Cetteobservationconfortenotreaffirmation

concernant la difficulté ajoutée au problème si l’énoncé ne contient pas cette première

analogie.Nousreviendronségalementdanslessections7.2.3et7.2.4surl’importancedeces

analogiesdanslaréussitedesélèvesallophones.

Attardonsnousquelquepeusurlesvariableslinguistiquesprésentesdanscesénoncés.Les

trois problèmes de cette catégorie en possèdent moins que la précédente. L’un des

problèmes, le 9, n’a aucune variable linguistique. L’énoncé 8, quant à lui, n’a qu’une

coréférenceetle16,uneanaphore.Letextedecedernierénoncéestunpeupluslongque

lesautres.D’ailleurs,deuxdestroisproblèmesayantuntextepluslongn’ontpasmenéles

élèvesallophonesà la réussite. L’énoncé16a toutefoispermisà55,55%decesélèvesde

choisir labonneopération.Parconséquent, la longueurdutextenesemblepasforcément

influencer les élèves allophones. De plus, le problème 12 a été résolu correctement par

22,22%desélèvesdecettecatégorie,toutcommeletauxdel’opérationadéquatechoisie.

Enfin,unevariableàlaquellenousn’avionspaspensédirectementetquin’apasététestée

volontairementdansnotrerecherchesembleavoiruneimportanceconcernantlaréussitedes

élèves allophones. En effet, quatre problèmes ne travaillaient pas dans l’ensemble des

nombresnaturels,maisdansceluidesnombresdécimaux.Surcesquatreénoncés,troisn’ont

étéréussisparaucunélèveallophone.Parmiceux-ci,deuxontmalgrétoutpermisà22,22%

decesélèvesdechoisirlabonneopération.Ilsembleraitdoncquelaprésencedecalculsavec

21Unkilogrammedeviandecoûte23,50francs.Combiencoûteunrôtide1,5kg?22 92 boîtes contenant chacune 21 chocolats pèsent en tout 32,2 kg. Quel est le poids d’une boîte de 21chocolats?23Dansunparcd’attractions,leprixestde23francsparenfantetparjour.Desenfantsontpassé5joursdansceparcd’attractions.Ilsontpayéentout2990francs.Combiend’enfantsyontété?

61

les nombres décimaux diminue les chances de réussite des élèves, et augmente,

conséquemment,l’écartaveclesélèvesditsstandards.

7.2.3 Résolutionscorrectes

Afin d’essayer de trouver les caractéristiques des problèmes permettant aux élèves

allophonesd’êtreensituationderéussite,nousallonsobservercellesdescinqénoncésayant

obtenuslesmeilleurstauxderéussiteetlesmeilleursdetauxdechoixcorrectdel’opération.

Deuxproblèmes, les424et1125,ontobtenuuntauxderéussitede44,44%chez lesélèves

allophones.Cesdeuxproblèmessontsimilairesenplusieurspoints.Premièrement,lesdeux

énoncés possèdent toutes les analogies de Sander (à paraître). Deuxièmement, chacun

d’entreeuxn’a,commevariablelinguistique,quedesanaphores,respectivementdeuxetune.

Enfin,tousdeuxtravaillentdansl’ensembledesnombresentiers.Seuledifférence,l’énoncé4

possèdeunindice(Nesher&Teubal,1975),alorsquecen’estpaslecasdu11.

Cesdeuxproblèmessontsuivisdeprèsparles126,627et1028,réussispar33,33%desélèves

decettecatégorie.Parsesvariables,l’énoncé10rejointle4etle11,puisqu’ilcontientaussi

lestroisanalogiesdeSander(àparaître),n’aqu’uneanaphorecommevariablelinguistiqueet

travaille dans l’ensemble des nombres naturels. Les problèmes 6 et 10 sont également

semblablesconcernantlesvariablesmathématiquesetlinguistiques.Enrevanche,pourcequi

estdesanalogies(Sander,àparaître),lepremiernecontientquel’analogiedesimulation,et

lesixième,uniquementcelledesubstitution.Malgrétout,cesdeuxénoncésontaussipermis

à33,33%desélèvesallophonesdeconnaîtreunesituationderéussite.

24Arnaudpossède272francssursoncompteenbanque.Louisenpossède25foisplus.CombienLouisa-t-ild’argent?25Christopheaacheté6paquetsdebonbonsetapayé24francs.Combienpaiera-t-ilpourl’achatde3paquets?26Julesdessineunsegmentde20cm.Ilest10foispluslongqueceluideJean.QuelleestlalongueurdusegmentdeJean?27Unbateaupêche6584poissonsalorsqu’unpêcheursursabarqueenpêche8.Combiende foismoins lepêcheursursabarquepêche-t-il?28Marca416francsàdépenserpourNoël.Ilveutdépenser32francsparcadeau.Combienpeut-ilenfaire?

62

7.2.4 Choixcorrectdel’opération

Deuxproblèmesobtiennentun tauxduchoix correctde l’opérationde55,56%et troisde

44,44%.Cesontlesénoncés529et1630,etles4,10et11,respectivement.Cestroisderniers

setrouvaientdéjàdanslacatégoriedesproblèmeslesmieuxréussisparlesélèvesallophones,

dontnousavonsparléci-dessus.Nousnereviendronsdoncpassurlespointscommunsdeces

troisénoncésquiontdéjàétélistésetanalysés.

Ilestcependantintéressantdevoirpourquoilescinqproblèmesdecettecatégorienesont

pasexactementlesmêmesqueceuxdelaprécédente.Pourtant,l’énoncé5contientluiaussi

lesanalogiesdesubstitution,descénarioetdesimulationdeSander(àparaître).Le16,par

contre, ne contient que l’analogie de substitution. Les variables linguistiques sont aussi

diverses, puisque, dans l’énoncé 5, nous avons deuxmots prochesmais sémantiquement

différentsquipeuventposerpassablementdedifficultésauxélèvesallophonesconcernantla

compréhensiondutexte,maiségalementlechoixdesvariablesàemployerpourrésoudrele

problème (Kersaint et al., 2013). Le texte du 16, quant à lui, est plus long que les autres

données.

Cesdeuxproblèmesontobtenudegrosécartsentreletauxderésolutioncorrecteetletaux

duchoixcorrectdel’opération.Eneffet,ilsontobtenulesmeilleurstauxduchoixcorrectde

l’opération,àsavoir55,56%,seulsdeuxélèvesallophonesontterminéle5,alorsqu’aucun

d’entreeuxn’aréussiàfinirle16.Ilsembleraitqueladifficultérencontréedansleproblème

5 puisse être liée à la présence des nombres décimaux. Ainsi, les élèves ont pu choisir la

multiplication, mais n’ont ensuite pas été capables d’appliquer l’algorithme de la

multiplicationaveclesvariablesdonnées.Ils’agiraitparconséquentd’unesurchargecognitive

(Astolfi,2015).Uneautrepossibilitédesdifficultésrencontréespeutrésiderdanslaprésence,

dans la donnée du problème, d’une information inutile. Le choix que doit faire l’élève

concernant les variables utiles au problème peut être biaisé par une manque de

compréhensiondeladonnéeliéeàlalecture(Kintsch&Rawson,2005)ouàlasémantique

(Kersaintetal.,2013).D’ailleurs,nousavionsrelevéplushaut laprésencededeuxtermes

proches,maisdifférents,pouvantaccentuercettedifficultédecompréhension.

29Uncartoncontenant43paquetsdebonbonspèse26,5kg.Combienpèseuncartonquicontient4foisplusdepaquets?30Dansunparcd’attractions,leprixestde23francsparenfantetparjour.Desenfantsontpassé5joursdansceparcd’attractions.Ilsontpayéentout2990francs.Combiend’enfantsyontété?

63

Les difficultés rencontrées pour le second énoncé dans lamême situation, pour lequel la

différencedestauxestencoreplusgrande,sontautres.Commenousl’avonsdit,letexteest

plus longquelesautresproblèmes.Conséquemment, l’élèvedoitdavantageseconcentrer

pourencomprendrelesensetdécoderlesinformationsquis’ycachent(Kintsch&Rawson,

2005). De plus, la résolution nécessitait deux opérations. Or, souvent, les élèves se sont

arrêtésaprèsavoir faitunseulcalcul.Cecipeutêtredûaucontratdidactique (Brousseau,

2004)misenplacedanslaclasse,ousimplementàlarépétitiondesproblèmeslorsdenotre

recherche.Eneffet,laplupartdesproblèmesproposés,dixsurlesseize,n’exigeaientqu’une

opérationpourtrouver lerésultatfinal.Lesélèvesontpugénéralisercetteobservation,et

ainsis’arrêteraprèsunseulcalculpourchacundesproblèmesproposés.

7.2.5 Caractéristiquesdesproblèmesmenantàunesituationderéussite

Auvudes résultatsprécédentsetdesanalysesquenousavonspuen faire,nous sommes

arrivésàfaireémergerquelquescaractéristiquesnécessairesauxproblèmespourpermettre

auxélèvesallophonesd’êtreensituationderéussite.Celles-cinemènentpasforcémenttous

cesélèvesàlaréussite,maiscontribuentfortementàlesaideràyparvenir.

Ainsi,sil’énoncéduproblèmecontientlestroisanalogiesdeSander(àparaître),àsavoircelle

de substitution, celle de scénario et celle de simulation, il est déjà bien situé pour être

réalisableparlesélèvesallophones.Enplusdecela,ilestpréférablequeletextenesoitpas

troplongetqu’ilnecontiennequepeudevariableslinguistiques.Àl’aidedenotrerecherche,

nousavonspuremarquerquedestextesd’environdeuxphrasesétaientplusàmêmed’être

résoluscorrectementques’ilsencontenaientquatre.Concernantlesvariableslinguistiques,

ilenvademême:uneàdeuxanaphoresnesemblentpasmettrelesélèvesendifficultés.

Celles-ciaugmententenrevancheaveclaprésencedecoréférences.Enfin,d’unpointdevue

mathématiques,letravailaveclesnombresdécimauxnesemblepasêtreacquisparlaplupart

desélèvesallophonesquenousavonsrencontrésdanslecadredenotrerecherche.Aussi,en

préférantl’ensembledesnombresentiers,ilsembleraitqueleschancesderéussiteoffertes

auxélèvessoientpluséquitables.

Bienquecertainsproblèmesn’ayantpaslestroisanalogiesdeSander(àparaître)aientobtenu

destauxderéussitetoutàfaitcorrects,telsquelesénoncés1et6,nousavonségalementpu

voirqued’autres,nerassemblantpastoutescescaractéristiques,sesituaientrapidementau

basduclassement.

64

Prenonscommepremierexempleleproblème1231.Commerecommandé,celui-cicontient

lestroisanalogies,n’aqu’uneseuleanaphoreettravaillesurl’ensembledesnombresentiers.

Cependant,letexteestunpeupluslong.Ceciamèneàdestauxderéussiteetduchoixcorrect

del’opérationégauxà22,22%,soitlamoitiéquedestauxobtenusparl’énoncé4,entêtede

classement.

Unautreexemplepeutêtreillustréàl’aidedel’énoncé832.Ànouveau,cedernierremplitles

caractéristiquesdesanalogieset le texteestde longueur standard.Cependant, il contient

deuxvariableslinguistiques,deuxcoréférencesquiplusest,etiltravailleavecdesnombres

décimaux.Parconséquent,letauxderéussitedeceproblèmeparlesélèvesallophonesest

nul.

7.3 Résolutiondeproblèmesparlesélèvesstandards

Afin de pouvoir faire quelques comparaisons entre les élèves allophones et les élèves

standardsetainsivoirenquoiuneadaptationestnécessairepourlesélèvesallophones,nous

allonsreprendrelescinqproblèmesayantobtenuslesmeilleursetlesmoinsbonsrésultats

dans leurrésolution.Nousanalyseronsensuitesicelacorrespondàcequenousavionspu

observer dans notre précédente catégorie. Nous ne relèverons pas ici les variables

linguistiques, qui restent propres à la question des élèves allophones. Nous nous

concentreronssurlaprésenceounond’analogies,ainsiquesurlesvariablesmathématiques

enjeu.

Nous tenons cependant à signaler qu’au vu des résultats globaux obtenus par les élèves

standardsdanslarésolutiondeproblèmesissusduchampconceptuelmultiplicatif,unbon

nombred’élèvesscolarisésen9COniveau2enmathématiquesn’ontpasatteintlesobjectifs

de8H.Làn’étantpaslaquestiondenotretravail,nousnenousattarderonspasicisurcesujet,

bienqu’ilsembleévidentquecelui-cisoitplusprofondémentanalysableetdiscutable.

31Martinaacheté15boîtesdebiscuits.Danschaqueboîte,ilya4sachetsdebiscuitsauchocolat.Lesbiscuitsauchocolatsontgroupéspar6.CombiendebiscuitsauchocolatMartina-t-ilachetés?32Unkilogrammedeviandecoûte23,50francs.Combiencoûteunrôtide1,5kg?

65

7.3.1 Résolutionsincorrectes

Lescinqproblèmessituésenqueuedeclassementdesélèvesstandardssont,selonleurtaux

derésolutioncorrecte,le1633,le234,le835,le1336etle937.Leurtauxestinférieurà25%et

atteintmême0%pourl’énoncé9.

Laprésencedecesproblèmesaufondduclassementrevientplusoumoinsàcequenous

avionspuobserverchezlesélèvesallophones.Aussi,iln’estpassurprenantdevoirqueles

élèvesallophonesaienteudelapeineàlesrésoudresimêmelesélèvesstandardsontconnu

desdifficultésdansleurrésolution.

Aucune similitude ne peut être notée dans la présence ou non des analogies (Sander, à

paraître)danscesproblèmes.Seull’énoncé8semblenepasavoirsaplacedanslesproblèmes

lesmoinsbienréussis,puisqu’ilcontientlestroisanalogies.Lesdifficultésrencontréesparles

élèvesdansceproblèmesontdoncailleurs.Nousyreviendronsci-dessous.

Mathématiquement,deuxdecescinqproblèmessontpluscompliqués,carilstravaillentavec

l’ensembledesnombresdécimaux.Ils’agitdel’énoncé8,dontnousavonsparléci-dessus,et

du9.Ceux-ci sontégalementplusdursque lesdeuxautresproblèmestravaillantdanscet

ensemble,carpourl’un,ils’agitd’unemultiplicationdedeuxnombresdécimaux,etnonpas

d’unentieravecundécimal,etpourl’autred’unedivisiond’undécimalparunentier.Faitque

nous avions déjà pu voir chez les élèves allophones, la présence de nombres décimaux

augmentelesdifficultésquelesélèvespeuventrencontrerdanslarésolutiond’unproblème

issuduchampconceptuelmultiplicatif.

Lesénoncés13et16exigentégalementunpeuplusdetravaildelapartdesélèves,puisqu’une

seuleopérationnesuffitpasàtrouverdirectementlaréponse.Ilpeuts’agirdedeuxdivisions

àlasuiteoudelacombinaisond’unemultiplicationetd’unedivision.Bonnombred’élèves

standards,toutcommenousl’avionsnotépourlesélèvesallophones,sesontarrêtésaprès

33Dansunparcd’attractions,leprixestde23francsparenfantetparjour.Desenfantsontpassé5joursdansceparcd’attractions.Ilsontpayéentout2990francs.Combiend’enfantsyontété?34 Léa a agrandi une photo avec un coefficient d’agrandissement égal à 3. Elle la donne ensuite à Jules quil’agrandit encore. Jules rend la photo à Léa qui remarque qu’entre la photo originale et celle de Jules, lecoefficientd’agrandissementestde9.Quelestlecoefficientd’agrandissementutiliséparJules?35Unkilogrammedeviandecoûte23,50francs.Combiencoûteunrôtide1,5kg?36Freda308nouvellesbillesrouges.Ilvientd’acheter11paquetsdebilles,danslesquelsilyavait7sachetsdebillesrouges.Combiendebillesrougesyavait-ildanschaquepaquet?37 92 boîtes contenant chacune 21 chocolats pèsent en tout 32,2 kg. Quel est le poids d’une boîte de 21chocolats?

66

avoireffectuéuneseuleopération.Nousavionsessayédemettrelemaximumenplacepour

évitertoutbiaisliéaucontratdidactique(Brousseau,2004).Malheureusement,nosefforts

semblentnepasavoirétésuffisantspouréviter leserreursderésolutionen lienavecune

penséequ’ontbeaucoupd’élèves:«J’aifaituncalcul,j’aitrouvéuneréponse,quiplusestun

nombreentier,doncj’aiterminémonexercice».

Enfin,leproblèmenuméro2n’entredansaucunedesdeuxcatégoriesprésentéesci-dessus.

Aucunevariablemathématiquenes’avèreapteàexpliquerpourquoi le tauxde résolution

correcteest sibas. Lecalculdemandé,9divisépar3,està laportéede tous.Aussi,nous

pensonsquelalongueurdutexteetlesnombreusesanaphoresontposédessoucisautant

auxélèvesallophonesqu’auxélèvesstandards.Effectivement,ils’agitdel’énoncélepluslong

detousceuxproposésauxélèvesdanslecadredenotrerecherche.C’estégalementceluiqui

contenaitleplusd’anaphores.

7.3.2 Résolutionscorrectes

Lesénoncésayantobtenulesmeilleurstauxderésolutionsont,dansl’ordre,lesénoncés1138,

1039,340,441et542.Enguisederappel,ilsonttouseuuntauxderéussitesupérieurà60%.

Troisdecescinqproblèmes,les4,10et11,fontégalementpartiedeceuxlesmieuxréussis

par lesélèvesallophones.Ladifférencedestauxderéussiteavaitbeauêtre importante,si

nous prenons chaque catégorie séparément, les problèmes en haut de classement sont

quasimentlesmêmes.

Ainsi,parmilescinqénoncésci-dessus,quatrecontiennentlesanalogiesdesubstitution,de

scénarioetdesimulation(Sander,àparaître).D’ailleurs,nouspouvonsmêmeétendrecelaà

cinqdessixproblèmeslesmieuxréussis.Seulunénoncécontenantlestroisanalogiesseplace

en queue de classement. Il s’agit du problème 8. Par conséquent, la présence des trois

analogiesdanslesénoncésestnonseulementfacilitatricepourlesélèvesallophones,mais

égalementpourlesélèvesstandards.Lefaitquelenuméro8neseclassepasparmilesautres

38Christopheaacheté6paquetsdebonbonsetapayé24francs.Combienpaiera-t-ilpourl’achatde3paquets?39Marca416francsàdépenserpourNoël.Ilveutdépenser32francsparcadeau.Combienpeut-ilenfaire?40Isabellemesure2segments.Lepremiermesure117cm,lesecondest9foispluscourt.Combienmesureledeuxièmesegment?41Arnaudpossède272francssursoncompteenbanque.Louisenpossède25foisplus.CombienLouisa-t-ild’argent?42Uncartoncontenant43paquetsdebonbonspèse26,5kg.Combienpèseuncartonquicontient4foisplusdepaquets?

67

énoncéspossédanttouteslesanalogiesestsûrementdûàlaprésencedenombresdécimaux,

commenousl’avonsexpliquéplushaut.

LefaitquelaprésencedestroisanalogiesdeSander(àparaître)soitaidantepourlesélèves

standardssedémontreégalementdans lechoixde l’opérationadéquate.Eneffet, lescinq

problèmesayantobtenuslesmeilleurstauxdecettecatégoriepossèdenttouteslesanalogies.

Les erreurs commises dans l’application de l’outil mathématique expliquent la minime

différence de classement entre les problèmes résolus correctement et ceux pour lesquels

l’opérationchoisieétaitcorrecte.

Lesvariablesmathématiquesdecescinqproblèmessontpeunombreuses.Eneffet,uneseule

opération,soitunemultiplication,soitunedivision,suffisaitàlesrésoudrecorrectement.De

plus,lesquatrepremiersénoncéstravaillentdansl’ensembledesnombresnaturels.Seulle

cinquièmeestsurl’ensembledesnombresdécimaux.Ilestintéressanticidenoterquecet

énoncé obtienne un top cinq chez les élèves standards autant dans le choix correct de

l’opération que dans la résolution correcte du problème. Chez les élèves allophones, il

s’agissait de l’un des deux énoncés ayant obtenu lemeilleur taux du choix de l’opération

adéquate, mais, en revanche, il ne figurait pas dans les cinq problèmes les plus résolus

correctement.

Noustermineronscettesectionparnoterl’avantagecertainqu’ontlesélèvesstandardspar

rapportauxélèvesallophones.Eneffet,l’élèveallophonequinecomprendpasladonnéedu

problèmenepeutmalheureusementquedifficilementfaireunchoixcorrectdel’opérationà

utiliser. Par conséquent, la résolution du problème sera évidemment erronée. L’élève se

retrouveensituationdesurchargecognitiveavecdestransfertsdedisciplinesàeffectuerqu’il

n’arrive malheureusement pas à faire (Astolfi, 2015). En revanche, l’élève standard qui

comprendsanstropdesouciletextedel’énoncépourrafairelechoixadéquatdel’opération

àemployer.Cependant,s’ilnesaitpasappliquer l’algorithmeousélectionner lesvariables

nécessaires à la résolution, son travail s’arrête là. Tout ceci peut expliquerpourquoi nous

avonspuobserverunplusgrandécartdestauxderéussiteetduchoixcorrectdel’opération

chezlesélèvesstandardsquechezlesélèvesallophones.Chezcesderniers,silechoixétait

correct, alors il menait la plupart du temps à une résolution correcte. A l’opposé, de

nombreuses résolutions incorrectes étaient principalement dues à un mauvais choix de

l’opérationàutiliser.

68

8 Conclusion

Letravaileffectuédanslecadredecetterecherchenouspermetdedécortiquerquelquepeu

les sources des difficultés rencontrées par les élèves allophones dans la résolution de

problèmes mathématiques issus du champ conceptuel multiplicatif. Premièrement, nous

relevonsqueladifférencedestauxderésolutioncorrecteentrelesélèvesstandardset les

élèvesallophonesnes’expliquaitpasentièrementàl’aidedelaprésenceounondevariables

linguistiquesdans ladonnéeduproblème.Par conséquent,nousavonsobservé lesautres

variablesprésentesdans lesproblèmesafind’essayerd’expliquercesdifférences.Aussi, la

présencedesanalogiesdesubstitution,descénarioetdesimulation(Sander,àparaître)est

facilitatrice autant pour les élèves standards que pour les élèves allophones. Néanmoins,

l’analysepluspousséedesrésultatsdesélèvesallophonesnousaégalementpermisdedire

quelesélèvesallophonessemblentplussensiblesàlaprésenceouàl’absencedel’uneoude

plusieurs de ces analogies. Effectivement, sur les quatre problèmes pour lesquels même

l’opérationchoisieétait incorrecte, l’analogiedesubstitutionn’étaitpasprésente.Chezles

élèvesstandards,nousn’avonspaspuobserverdetellesinfluencespéjorativesdelapartdes

analogies.

Uneanalyseplusdétailléedesrésultatsdesélèvesallophonesmontre,contrairementànos

attentes,quelesvariableslinguistiquesprésentesdanslesdonnéesdesproblèmesnesont

pas l’origine principale des erreurs commises. En effet, l’absence de ces variables dans

l’énoncén’apaspermisunemeilleure résolutionque lorsqu’il yenavait.En revanche, les

élèvesallophonessontplussensiblesàdesvariablestellesquelescoréférencesoualorsdes

motssémantiquementproches,mais toutdemêmedifférents,plutôtqu’àdesanaphores,

selonlesdéfinitionsdeKintsch&Rawson(2005).

Nosrésultatsnousontpoussésànousattardersurunevariableàlaquellenousn’avionspas

pensé,l’ensembledesnombressurlequell’énoncétravaille.Effectivement,laprésencedes

nombresdécimauxdans lesproblèmes tendàmettre lesélèvesplus souventen situation

d’échec.Bienquecettetendancesoitautantprésentechezlesélèvesstandardsquechezles

élèvesallophones,l’influencedel’ensembledesnombressurcesderniersestplusmarquée.

Une dernière variable avec laquelle nous avons travaillé, les indices de Nesher & Teubal

(1975),n’afinalementeuaucuneffetobservablesurlestauxderéussitedesélèvesstandards

69

et allophones dans la résolution du questionnaire. En fin de compte, il s’avère que cette

variablen’estpasexplicativedesrésultatsobtenus,principalementàcausedufaitqu’ellen’ait

étéquepeureprésentéesurl’ensembledesproblèmesproposés.

Enfin,cetravailnousapermisdereleverquelquescaractéristiquesutilespourlarédactionde

problèmesdemathématiquesissusduchampconceptuelmultiplicatif,afindepermettreaux

élèvesallophonesdelesrésoudreettenterdediminuerainsiaumaximumlesécartsobservés

danslestauxderéussiteaveclesélèvesstandards.Pourcefaire,ilestpréférablequel’énoncé

contiennelestroisanalogiesdécritesparSander(àparaître).Celui-cipeutégalementcontenir

desvariableslinguistiques,maisdepréférencedesanaphorescommedéfiniesparKintsch&

Rawson(2005)etsipossiblepasplusdedeuxparproblème.Pourfinir,l’élèveallophoneest

moinspéjorésiletravaildoitsefaireavecdesnombresentiersnaturelsplutôtqu’avecdes

nombresdécimaux.

Ilestévidentque l’intégrationdesélèvesallophonesdans lescoursdemathématiquesau

cycle 3 ne peut se faire uniquement avec ces quelques informations et modifications à

apporterauxdonnéesdesproblèmes.Néanmoins,ce travailaégalementsoulevéd’autres

questionsquinécessiteraientdavantagederecherchespourtenterd’yapporterdesréponses.

8.1 Questionsrestéesensuspensetlimitesdelarecherche

Lepremierconstatquenousavonsfait lorsde l’analysedesrésultatsdesélèvesstandards

étaitquelesélèvesscolarisésen9COniveau2enmathématiquesn’avaientpasatteint les

objectifs de 8H. En effet, nous avions expressément choisi de travailler sur des objectifs

mathématiquesde8H,afind’observer l’influencedesvariables linguistiquessur laréussite

des élèves allophones. Finalement, ce choix a abouti à une fin différente,mais soulevant,

malgrétout,desquestionssurl’atteintedesobjectifsparlesélèvesàlafinducycle2.Aussi,

ilseraitégalementintéressantd’élargircetterechercheauxélèvesscolarisésenniveau1,afin

devoirsileconstatseraitlemême.

Nous avions, dans le cadre de ce travail, cherché à expliquer les différences entre élèves

standardsetélèvesallophones,maiségalementlesdifficultésrencontréesparcesderniers,à

l’aidedutypedeproblèmeissuduchampconceptuelmultiplicatif.Ayantessayédebalayer

unlargespectredetypes,nousn’avonspaspuvoirsil’und’entreeuxétaitpluspropiceàla

réussite des élèves allophones ou non. Il serait dès lors intéressant de tester plusieurs

70

problèmesd’unmêmetype,maisavecdesvariableslinguistiquesdifférentes,voireégalement

travaillantsurdesensemblesdenombresdivers.

Finalement,d’autresquestionsplusspécifiquesauxélèvesallophonesnousontinterpellés,

sansquenouspuissionstrouverderéponsesdansl’immédiat.Laquestionprincipaleconcerne

la scolarisation dans le pays d’origine et les objectifs travaillés, entre autres, en

mathématiques.Eneffet,lesélèvesallophonessontscolarisésdansnotrecantonselonleur

âge. Cependant, l’enseignant qui les reçoit ne connaît pas forcément les aptitudes

mathématiques de ces élèves et ce qu’ils ont travaillé dans leur pays d’origine. De plus,

certainsdecesélèvesarriventd’unpéripledeplusieursmois,voireannées,durantlesquels

ilsontvécubonnombred’évènementsdramatiquesetn’étaientpasscolarisés.Toutesces

variablesnesontactuellementpasprisesencompte lorsde lascolarisationdecesélèves.

Néanmoins,ilsembleraitqu’ellespuissentêtrepertinentesetcontribueraubondéroulement

delasuitedelascolarisationetdel’intégrationdecesenfantsdansnotresociété.

Cette question en soulève une dernière. Les élèves allophones ont le droit à des cours

spécialement conçus pour eux en français et en allemand. Ces cours leur permettent

d’acquériruncertainniveaudanslalangued’enseignementetdanslalangue2.Ilssontdonc

adaptésàleurniveau.Aussi,bienquecelacompliquelesorganisationsinternes,neserait-il

paspertinentdeprendreencomptelesniveauxdesélèvesallophonesenmathématiquesafin

delesplacerdansdesclassesquileurseraientégalementadaptéesoudeproposerdespistes

dedifférenciationquileurssoientspécifiques?

71

9 Bibliographie

Allophone.(2005).LePetitLarousseIllustré(100eéd.,p.75).

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74

10 Attestationd’authenticité

Formationprofessionnelle–SecondaireI

Mémoireprofessionnel–Volée2015

Jesoussignéecertifiequecemémoireconstitueuntravailoriginaletj’affirmeenêtrel’auteur.

Jecertifieavoirrespectélecodeéthiqueetdedéontologiedelarechercheenleréalisant.

Grugnay,le23mai2018

MichellodCélia

75

11 Listedesannexes

- AnnexeI–Consignepourlapassationdesproblèmes

- AnnexeII–Tableaud’analysedesproblèmes

- AnnexeIII–Exemplairedesproblèmesremisauxélèves

- AnnexeIV–Tableaudesrésultatsdesélèvesallophones

- AnnexeV–Tableaudesrésultatsdesélèves«standards»

76

11.1 AnnexeI–Consignepourlapassationdesproblèmes

CCE

Mercredi20décembre2017

ProblèmesdemathématiquesQuelquesconsignespourlapassationdesproblèmespourmonmémoiredemaster:

• Lesélèvesn’ontpasledroitàlacalculatrice.

• Ilsn’ontpasbesoindefeuilledebrouillon.

• Ilsn’ontpasledroitaudictionnaire(particulièrementlesélèvesallophones).

• Ilsgardentsurlatableleurtrousse.

• Ilssontmiscommeensituationd’examen:classeursentrelesélèvesouunélèvepar

banc.Ilsn’ontpasledroitdeparlerentreeux.

• Ilfaudraitfairelemaximumpourquelesélèvess’impliquentdanslaréalisationdes

problèmes,particulièrementlesélèvesallophones,quitteàleurfairecroirequec’est

untravailnoté.

• Onnerépondàaucunequestiondelapartdesélèves.

• Onn’expliqueaucunmotdevocabulaire,mêmeauxélèvesallophones.

• Onnereformulepaslesconsignes.

Une partie des élèves allophones se rendront chez Stéphanie (soutien maths). Ils

commenceront leurs problèmes dans sa classe, puis reviendront dans leur salle de classe

habituellepourlesterminer.

Pour éviter des problèmes de contrat didactique, nous surveillerons les classes d’une

collègue:

� CCEàDST

� DSTàMNA

� MNAàCCE

Il faudraitprévoirdu travailpour lesélèvesqui finiraientplus rapidement.Ce travailestà

transmettreàlapersonnequisurveillesaclasse.Evitonscependantderamasserlesfeuilles

trop rapidement, ce qui pourrait inciter certains élèves allophones à considérer le travail

commeétantterminé.

Unefoisquetouslesélèvesontfinitouslesproblèmes,chacuned’entrenouspeutretourner

danssaclassepourlesdernièresminutesdelamatinée.

UnénormeMERCIpourvotredisponibilitéetvotrecollaboration!

Célia

77

11.2 AnnexeII–Tableaud’analysedesproblèmes

Domainesdegrandeur N° Donnéeduproblème Variablesmathématiques Variables

linguistiques AnalogiesUn

dom

aine

degran

deurs

1

Julesdessineunsegmentde20cm.Ilest10foispluslongqueceluideJean.QuelleestlalongueurdusegmentdeJean?

Typedeproblème:Variationd’unegrandeur(rapportexplicite)Placedel’inconnue:?�10=20Opérationattendue:20:10=2Indice:foisplus

Anaphores:«il»->ledessin

Analogiedesubstitution:nonAnalogiedescénario:nonAnalogiedesimulation:oui

2

Léaaagrandiunephotoavecuncoefficientd’agrandissementégalà3.ElleladonneensuiteàJulesquil’agranditencore.JulesrendlaphotoàLéaquiremarquequ’entrelaphotooriginaleetcelledeJules,lecoefficientd’agrandissementestde9.Quelestlecoefficientd’agrandissementutiliséparJules?

Typedeproblème:compositiondedeuxvariationsd’unegrandeurPlacedel’inconnue:3�?=9Opérationattendue:9:3=3Indice:-

Anaphores:«elle»->Léa,«la»->unephoto(2x),«l’»->laphoto,«celle»->laphotoTextelong(4phrases)

Analogiedesubstitution:nonAnalogiedescénario:ouiAnalogiedesimulation:oui

3

Isabellemesure2segments.Lepremiermesure117cm,lesecondest9foispluscourt.Combienmesureledeuxièmesegment?

Typedeproblème:ComparaisondegrandeursPlacedel’inconnue:?�9=117Opérationattendue:117:9=13Indice:foispluscourt

Coréférence:second–deuxième

Analogiedesubstitution:nonAnalogiedescénario:nonAnalogiedesimulation:oui

4

Arnaudpossède272francssursoncompteenbanque.Louisenpossède25foisplus.CombienLouisa-t-ild’argent?

Typedeproblème:ComparaisondegrandeursPlacedel’inconnue:272�25=?Opérationattendue:272�25=6800Indice:foisplus

Anaphores:«en»->del’argent«il»->Louis

Analogiedesubstitution:ouiAnalogiedescénario:ouiAnalogiedesimulation:oui

78

5

Uncartoncontenant43paquetsdebonbonspèse26,5kg.Combienpèseuncartonquicontient4foisplusdepaquets?

Typedeproblème:ComparaisondegrandeursPlacedel’inconnue:4�26,5=?Opérationattendue:4�26,5=106Indice:foisplus!!!NombresdécimauxPrésenced’uneinformationpeuutile(43paquets)

Différenceentre«carton»et«paquet»

Analogiedesubstitution:ouiAnalogiedescénario:ouiAnalogiedesimulation:oui

6

Unbateaupêche6584poissonsalorsqu’unpêcheursursabarqueenpêche8.Combiendefoismoinslepêcheursursabarquepêche-t-il?

Typedeproblème:ComparaisondegrandeursPlacedel’inconnue:8�?=6584Opérationattendue:6584:8=823Indice:foismoins

Anaphores:«en»->lespoissons«il»->lepêcheur

Analogiedesubstitution:ouiAnalogiedescénario:nonAnalogiedesimulation:non

7

Unesauterellemesure20cmdelongaumicroscopeet5cmdelongàl’œilnu.Quelleestlalongueurd’unefourmiàl’œilnusachantqu’ellemesure6cmaumicroscope?

Typedeproblème:Variationd’unegrandeur(rapportimplicite)Placedel’inconnue:

Opérationattendue:5:20�6=1,5Indice:-!!!Nombresdécimaux

Anaphores:«elle»->lafourmi

Analogiedesubstitution:nonAnalogiedescénario:ouiAnalogiedesimulation:non

Deuxdom

aine

sde

gran

deurs

8Unkilogrammedeviandecoûte23,50francs.Combiencoûteunrôtide1,5kg?

Typedeproblème:MultiplicationPlacedel’inconnue:23,5�1,5=?Opérationattendue:23,5�1,5=35,25Indice:-!!!Nombresdécimaux

Coréférence:viande–rôti,kilogramme–kg

Analogiedesubstitution:ouiAnalogiedescénario:ouiAnalogiedesimulation:oui

992boîtescontenantchacune21chocolatspèsententout32,2kg.

Typedeproblème:Division-partitionPlacedel’inconnue:92�?=32,2

Analogiedesubstitution:oui

79

Quelestlepoidsd’uneboîtede21chocolats?

Opérationattendue:32,2:92=0,35Indice:entout!!!NombresdécimauxPrésenced’uneinformationinutile(21chocolats)

Analogiedescénario:ouiAnalogiedesimulation:non

10Marca416francsàdépenserpourNoël.Ilveutdépenser32francsparcadeau.Combienpeut-ilenfaire?

Typedeproblème:Division-quotitionPlacedel’inconnue:?�32=416Opérationattendue:416:32=13Indice:-

Anaphores:«en»->descadeaux

Analogiedesubstitution:ouiAnalogiedescénario:ouiAnalogiedesimulation:oui

11

Christopheaacheté6paquetsdebonbonsetapayé24francs.Combienpaiera-t-ilpourl’achatde3paquets?

Typedeproblème:QuatrièmeproportionnellePlacedel’inconnue:

Opérationattendue:(24:6)�3=12Indice:-

Anaphores:«il»->Christophe

Analogiedesubstitution:ouiAnalogiedescénario:ouiAnalogiedesimulation:oui

Pasduniveaude9CO(fractions) Typedeproblème:Comparaisonderapportdeproportionnelle

Troisd

omaine

sdegran

deurs

12

Martinaacheté15boîtesdebiscuits.Danschaqueboîte,ilya4sachetsdebiscuitsauchocolat.Lesbiscuitsauchocolatsontgroupéspar6.CombiendebiscuitsauchocolatMartina-t-ilachetés?

Typedeproblème:ProportionnalitésimplecomposéePlacedel’inconnue:15�4�6=?Opérationattendue:15�4�6=360Indice:-

Anaphores:«il»->Martin(ànepasconfondreavecle«il»impersonnel)Textelong(4phrases)

Analogiedesubstitution:ouiAnalogiedescénario:ouiAnalogiedesimulation:oui

13

Freda308nouvellesbillesrouges.Ilvientd’acheter11paquetsdebilles,danslesquelsilyavait7sachetsdebillesrouges.Combiendebilles

Typedeproblème:ProportionnalitésimplecomposéePlacedel’inconnue:?�7�11=308Opérationattendue:308:11:7=4Indice:-

Coréférence:danslesquels->lespaquetsDifférenceentre

Analogiedesubstitution:nonAnalogiedescénario:ouiAnalogiedesimulation:non

80

rougesyavait-ildanschaquepaquet?

«paquet»et«sachet»Anaphores:«il»->Fred(ànepasconfondreavecle«il»impersonnel)

14J’ai5t-shirts,4shortset3casquettes.Combiendetenuesdifférentespuis-jeporterentout?

Typedeproblème:Proportionnalitédouble(Produitcartésien)Placedel’inconnue:5�4�3=?Opérationattendue:5�4�3=60Indice:entout

Coréférence:tenue=1t-shirt,1shortet1casquette

Analogiedesubstitution:nonAnalogiedescénario:nonAnalogiedesimulation:oui

15

Avecles4cartesvertesposéessurlatable,onpeutformer,entout,24couplesdifférents,composésd’unecarteverteetd’unecartebleue.Quelestlenombredecartesbleues?

Typedeproblème:ProportionnalitédoublePlacedel’inconnue:4�?=24Opérationattendue:24:4=6Indices:entout

-

Analogiedesubstitution:nonAnalogiedescénario:nonAnalogiedesimulation:oui

16

Dansunparcd’attractions,leprixestde23francsparenfantetparjour.Desenfantsontpassé5joursdansceparcd’attractions.Ilsontpayéentout2990francs.Combiend’enfantsyontété?

Typedeproblème:ProportionnalitédoublePlacedel’inconnue:?�23�5=2990Opérationattendue:2990:5:23=26Indices:entout

Anaphores:«y»->leparcd’attractionsTextelong(4phrases)

Analogiedesubstitution:ouiAnalogiedescénario:ouiAnalogiedesimulation:non

81

11.3 AnnexeIII–Exemplairedesproblèmesremisauxélèves

Nom:__________________________ Prénom:________________________

Classe:_______________ 20décembre2017

1

MathématiquesRésouslesproblèmessuivants.Notepourchacund’euxlescalculsquetueffectues.

1. Julesdessineunsegmentde20cm.Ilest10foispluslongqueceluideJean.Quelleest

lalongueurdusegmentdeJean?

2. Léaaagrandiunephotoavecuncoefficientd’agrandissementégaleà3.Elleladonne

ensuiteàJulesquil’agranditencore.JulesrendlaphotoàLéaquiremarquequ’entre

laphotooriginaleetcelledeJules,lecoefficientd’agrandissementestde9.Quelestle

coefficientd’agrandissementutiliséparJules?

82

Prénom:_____________________

2

3. Isabellemesure2segments.Lepremiermesure117cm,lesecondest9foispluscourt.

Combienmesureledeuxièmesegment?

4. Arnaudpossède272francssursoncompteenbanque.Louisenpossède25foisplus.

CombienLouisa-t-ild’argent?

5. Uncartoncontenant43paquetsdebonbonspèse26,5kg.Combienpèseuncartonqui

contient4foisplusdepaquets?

83

Prénom:_____________________

3

6. Un bateau pêche 6584 poissons alors qu’un pêcheur sur sa barque en pêche 8.

Combiendefoismoinslepêcheursursabarquepêche-t-il?

7. Unesauterellemesure20cmdelongaumicroscopeet5cmdelongàl’œilnu.Quelle

estlalongueurd’unefourmiàl’œilnusachantqu’ellemesure6cmaumicroscope?

8. Unkilogrammedeviandecoûte23,50francs.Combiencoûteunrôtide1,5kg?

84

Prénom:_____________________

4

9. 92boîtes contenant chacune21 chocolatspèsent en tout 32,2 kg.Quel est le poids

d’uneboîtede21chocolats?

10. Marc a 416 francs à dépenser pour Noël. Il veut dépenser 32 francs par cadeau.

Combienpeut-ilenfaire?

11. Christophe a acheté 6 paquets de bonbons et a payé 24 francs. Combien paiera-t-il

pourl’achatde3paquets?

85

Prénom:_____________________

5

12. Martinaacheté15boîtesdebiscuits.Danschaqueboîte,ilya4sachetsdebiscuitsau

chocolat.Lesbiscuitsauchocolatsontgroupéspar6.Combiendebiscuitsauchocolat

Martina-t-ilachetés?

13. Freda308nouvellesbillesrouges.Ilvientd’acheter11paquetsdebilles,danslesquelsil y avait 7 sachetsdebilles rouges.Combiendebilles rouges y avait-il dans chaque

paquet?

14. J’ai5t-shirts,4shortset3casquettes.Combiendetenuesdifférentespuis-jeporteren

tout?

86

Prénom:_____________________

6

15. Avec les 4 cartes vertes posées sur la table, on peut former, en tout, 24 couples

différents,composésd’unecarteverteetd’unecartebleue,avec.Quelestlenombre

decartesbleues?

16. Dansunparcd’attractions,leprixestde23francsparenfantetparjour.Desenfantsontpassé5joursdansceparcd’attractions.Ilsontpayéentout2990francs.Combien

d’enfantsyontété?

J’aitrouvécesproblèmes:

o Tropfaciles

o Trèsfaciles

o Faciles

o Moyens(commeceuxquejefaisd’habitude)

o Compliqués

o Trèscompliqués

o Tropcompliqués

87

11.4 AnnexeIV–TableaudesrésultatsdesélèvesallophonesProblèmes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Avissurladifficulté

Elèves

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

A.:Primo(08.17–italien)

ü ü û û û ü ü ü ü ü ü ü û û û ü û ü ü ü û ü û ü û û û û û û û üFacile,Moyen

Is.:Primo(08.17–portugais)

ü ü û û ü ü ü ü ü ü ü ü û û û û û ü ü ü ü ü û û û û û û û ü û ü Moyen

G.:Primo(01.17–portugais)

û û û û û û û û û û û - û û û - û - û û ü ü ü û û - û - û - û üMoyen,Compliqu-és

N.:Secundo(01.16–farsi)

û û û û û û - - - - û û û û - - û û û û û û û û û û û û û û û ûTrèscompliqu-és

H.:Secundo(01.16–farsi)

û û û û û û ü ü û ü ü ü û û û ü û û ü ü û û ü ü û û û û ü ü û üCompliqu-és

Ha.:Secundo(hiver2015–kurde)

û - û - û - û û û ü û û - - û - û - û û ü - û û û - - - - - - -

Trèscompliqu-és(delire)

88

D.:Secundo(12.15–dari)

ü - - - - - ü ü - ü û û - - - - - - - ü ü ü û - - - û - û - û üCompliqu-és

Ib.:Secundo(01.14–kurde)

Cetélèven’aabsolumentrienfait.Tropcompliqu-és

M.:Primo(01.17–portugais)

û û û û û û û û Cetélèven’aensuiteplusrienfait.Compliqu-és

Totalréponsescorrectes

3 2 0 0 1 2 4 4 2 5 3 3 0 0 0 2 0 2 3 4 4 4 2 2 0 0 0 0 1 2 0 5

%

33,33%

22,22%

0%

0%

11,11%

22,22%

44,44%

44,44%

22,22%

55,56%

33,33%

33,33%

0%

0%

0%

22,22%

0%

22,22%

33,33%

44,44%

44,44%

44,44%

22,22%

22,22%

0%

0%

0%

0%

11,11%

22,22%

0%

55,56%

Légende:

Þ û:incorrectÞ ü:correct

Þ -:aucuneréponse(considérécommeincorrectdanslestotaux)

89

11.5 AnnexeV–Tableaudesrésultatsdesélèves«standards»Problèmes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Avissurladifficulté

Elèves

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Résolution

Choixde

l’op

ération

Elève1 û û û û ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü û û û ü ü ü ü ü ü ü û ü ü ü ü ü ü ü Faciles

Elève2 ü ü û û ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü û ü û ü ü ü ü ü ü ü û ü û - û û ü ü Moyens

Elève3 ü ü ü ü ü ü û ü ü ü ü ü û ü û ü û ü ü ü ü ü ü ü û ü ü ü ü ü û û Moyens

Elève4 û û û û ü ü ü ü û û û û ü ü ü ü û û ü ü ü ü û - û - û - û - ü ûFaciles–Moyens

Elève5 û û û û ü ü ü ü ü ü û û ü ü ü ü û û ü ü ü ü ü ü û - û - û - û û Faciles

Elève6 ü ü û û ü ü û ü û ü ü ü û û û ü û û ü ü ü ü ü ü û û ü ü û - û ü Faciles

Elève7 û ü û û û - ü ü ü ü û û û ü û û û ü ü ü ü ü û ü û û û - û ü ü ü Moyens

Elève8 û û û û ü ü û ü û ü ü ü û ü - - û ü ü ü ü ü û ü û ü û - û û û ü Compliqués

Elève9 ü ü û û ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü û ü û ü ü ü ü ü û ü û ü ü ü û - û üFaciles–Moyens

Elève10 û û û û ü ü ü ü û ü - - û û - - - - ü ü ü ü û û û û û û - - - -Faciles–Moyens

Elève11 û û û û ü ü û ü ü ü û ü û - û - - - û ü û û û ü û û û - û - û ü Compliqués

Elève12 û û û û ü ü û ü û ü û ü û ü ü ü û ü ü ü ü ü ü ü ü ü û - ü ü û ü Trèsfaciles

Elève13 û û ü ü û û ü ü ü ü û û û ü - - û û û - û - û ü û ü û - - - û ü Compliqués

Elève14 û û û û ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü - - - - ü ü ü ü û ü û ü ü ü - - ü üFaciles–Moyens

Elève15 ü ü û û ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü - - û ü - - û ü û ü û û û - û - û û Compliqués

Elève16 ü ü û - ü ü û ü ü ü ü ü ü ü ü ü û ü û ü ü ü ü ü û û û û - - û ü Faciles

Elève17 ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü - - û ü - - ü ü ü ü ü ü û ü û - ü ü û ü Moyens

90

Elève18 û û û û û û ü ü û ü û û - - û ü û ü û ü ü ü û ü - - û - û û û üTrèscompliqués

Elève19 ü ü û û û ü ü ü ü ü û ü û û ü ü û ü ü ü ü ü ü ü û ü û - ü ü û ü Moyens

Elève20 û û ü ü û û û û û û û û - - û - û û ü ü ü ü ü ü û û ü ü ü ü ü ü Compliqués

Elève21 û û û û ü ü û ü ü ü û û - - - - - - ü ü ü ü ü ü û û û - û ü û ü Faciles

Elève22 ü ü û û - - - - - - ü ü ü ü - - û ü ü ü ü ü ü ü ü ü û ü û - û ü Moyens

Elève23 û ü ü ü û û û ü ü ü û ü û û û ü - - û ü ü ü ü ü û ü û û û ü û û Moyens

Elève24 ü ü û û ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü û û û ü ü ü ü ü ü ü û ü ü ü û û ü ü Faciles

Elève25 ü ü û û ü ü ü ü û ü ü ü ü ü ü ü û ü ü ü ü ü ü ü û ü û - ü ü û ü Faciles

Elève26 ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü û û - - ü ü û ü û ü û û û - ü ü û ü Moyens

Elève27 û û û û ü ü ü ü ü ü û û ü ü û û û û ü ü û ü û ü û ü û û ü ü û ü Moyens

Elève28 ü ü - - ü ü ü ü û ü û û û û û - - - ü ü ü ü ü ü - - ü ü - - û ü Moyens

Elève29 ü ü û û ü ü ü ü ü ü û û û û û û - - ü ü û ü ü ü û ü û û - - û üMoyens–Compliqués

Elève30 ü ü û û ü ü ü ü û ü ü ü ü ü - - û ü ü ü ü ü ü ü û ü ü ü ü ü ü ü Faciles

Elève31 ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü û ü ü ü û ü û û û ü ü ü û ü û ü û û ü ü û ü Compliqués

Elève32 û û û û û ü û ü û ü û û û ü û û û ü û û û ü û ü û û ü ü - - û û Faciles

Elève33 ü ü û û û ü ü ü ü ü ü ü ü ü û ü û ü ü ü ü ü ü ü û û ü ü û ü û ü Moyens

Totalréponsescorrectes

17

19

7 7 24

27

22

31

21

30

16

21

16

22

6 15

0 17

25

30

26

31

19

31

2 18

11

12

11

15

8 26

%

51,52%

57,58%

21,21%

21,21%

72,73%

81,82%

66,67%

93,94%

63,64%

90,91%

48,48%

63,63%

48,48%

66,67%

18,18%

45,45%

0%

51,52%

75,76%

90,91%

78,79%

93,94%

57,58%

93,94%

6,06%

54,55%

33,33%

36,36%

33,33%

45,45%

24,24%

78,79%

Légende:

Þ û:incorrectÞ ü:correct

Þ -:aucuneréponse(considérécommeincorrectdanslestotaux)