Etude des transformateurs Première partie ...lyc-renaudeau-49.ac-nantes.fr/IMG/pdf/ElementsReponseTransfo0607.… · Transformateurs Page 4 sur 23 TS2ET 2006-2007 Exercice II On

Transformateurs Page 1 sur 23 TS2ET 2006-2007

Etude des transformateurs

Première partie : Transformateurs monophasés

I. Généralités

1. Constitution

Un transformateur comporte : - un circuit magnétique constitué de tôles de matériaux ferromagnétiques (ou ferrimagnétiques) et éventuellement d’entrefers. - de deux (ou plus) bobinages, l’un est appelé primaire, les autres secondaires. Sur la figure ci-contre, le bobinage de gauche est le primaire, celui de droite est le secondaire. Dans les transformateurs industriels, les enroulements sont bobinés sur le même noyau. Voir ci-contre un exemple de transformateur cuirassé constitué de tôles en « E » et « I ». Pour faciliter le refroidissement, l’enroulement parcouru par l’intensité la plus élevée est placé à l’extérieur.

i1(t)

v1(t) v2(t)

i2(t)

2. Orientation des tensions et intensités

Généralement l’enroulement primaire est orienté avec la convention récepteur alors que les secondaires sont orientés avec la convention générateur. Les courants sont orientés de manière à ce que les flux créés s’additionnent : voir le schéma du paragraphe précédent et celui ci-contre pour le repérage des têtes d’enroulement.

i1(t)

v2(t)

i2(t)

v1(t)

Les nombres de spires au primaire et au secondaire sont notés respectivement n1, n2.

II. Transformateur parfait

1. Présentation

Le circuit magnétique d’un transformateur parfait présente une perméabilité magnétique infinie : sa réluctance est nulle, il n’y a pas de fuites de flux, pas de pertes ferromagnétiques (hystérésis et courants de Foucault). La résistance des enroulements est nulle (pas de pertes par effet Joule). 2. Mise en équation

a. Tensions

Le flux à travers une section du circuit magnétique est noté Φ(t).

Exprimer le flux total ΦΤ1(t) pour l’enroulement primaire. T1 1( ) ( )t n tΦ = Φ

Exprimer le flux total ΦΤ2(t) pour l’enroulement secondaire.

T2 2( ) ( )t n tΦ = Φ

i1(t)

v1(t) v2(t)

i2(t)

Φ(t)(t)(t)(t)


Exprimer la tension v1(t) en fonction de ΦΤ1(t) (loi de Faraday) : T11

d ( )( )

d

tv t

t

Φ= .

Exprimer la tension v2(t) en fonction de ΦΤ2(t) : T22

d ( )( )

d

tv t

t

Φ= − .

Déduire de ce qui précède la relation entre v1(t), v2(t), n1 et n2.

T1 11

d ( ) d ( )( )

d d

t n tv t

t t

Φ Φ= = et T2 22

d ( ) d ( )( )

d d

t n tv t

t t

Φ Φ= − = − , en éliminant Φ(t), on obtient : 2 2

1 1

( )

( )

v t n

v t n= − . Le

signe traduit une opposition de phase entre les tensions primaire et secondaire Si les grandeurs sont sinusoïdales, les nombres complexes V1 et V2 sont associés à v1(t) et v2(t). Ecrire la relation entre V1, V2, n1 et n2 puis la relation entre V1, V2, n1 et n2 (V1 et V2 sont les valeurs efficaces de v1(t) et v2(t)).

Pour les nombres complexes associés : 2 2

1 1

nV

V n= −

Pour les valeurs efficaces : 2 2

1 1

V n

V n= (remarque : les valeurs efficaces sont positives).

Comparer les valeurs efficaces des tensions primaire et secondaire si n1 > n2. Dans ce cas, la valeur efficace de la tension secondaire est inférieure à la valeur efficace de la tension primaire, le transformateur est abaisseur. Le transformateur est dit abaisseur si la valeur efficace de la tension secondaire est inférieure à la valeur efficace de la tension primaire, il est dit élévateur dans le cas contraire. b. Intensités

Ecrire la relation d’Hopkinson pour le circuit magnétique. En tenant compte de la valeur de la réluctance (voir la présentation), écrire la relation entre i1(t), i2(t), n1 et n2.

1 1 2 2( ) ( ) ( )t n i t n i tℜΦ = + car les forces magnétomotrices primaire et secondaire s’ajoutent (voir l’orientation des intensités par rapport aux têtes d’enroulement). Puisque le transformateur est parfait 0ℜ = , la relation d’Hopkinson devient : 1 1 2 20 ( ) ( )n i t n i t= + (loi de compensation des ampères tours).

Si les grandeurs sont sinusoïdales, les nombres complexes I1 et I2 sont associés à i1(t) et i2(t). Ecrire la relation entre I1, I2, n1 et n2 puis la relation entre I1, I2, n1 et n2 (I1 et I2 sont les valeurs efficaces de i1(t) et i2(t)).

Pour les nombres complexes associés : 2 1

1 2

nI

I n= −

Pour les valeurs efficaces : 2 1

1 2

I n

I n= (remarque : les valeurs efficaces sont positives).

Comparer les valeurs efficaces des intensités primaire et secondaire si n1 > n2. Dans ce cas, l’intensité efficace au primaire est plus faible que celle au secondaire. Un transformateur abaisseur (de tension) élève les intensités. c. Rapport de transformation

On note m le rapport du nombre de spires secondaires sur le nombre de spires primaires. Cette grandeur est appelée « rapport de transformation ».

Ecrire la relation entre I1, I2 et m et celle entre V1, V2 et m : 2 1

1I I

m= − et 2 1V mV= −

Pour les valeurs efficaces, ces relations deviennent 2 1

1I I

m= et 2 1V mV=

Les deux relations ci-dessus sont à connaître par cœur.

Conséquences : que peut-on dire des puissances apparentes au primaire et secondaire ?


Au primaire, la puissance apparente s’écrit 1 1 1.S V I= or 1 2I mI= et 1 2

1V V

m= donc

1 2 2 2 2 2

1. .S V mI V I S

m= = = . Les puissances apparentes au primaire et au secondaire sont égales pour un

transformateur parfait.

Remarque : le transformateur étant réversible, la définition du primaire et du secondaire n’intervient qu’après son branchement. A cause de cela la norme définit le rapport de transformation comme le rapport de la valeur efficace de tension la plus élevée sur la plus faible. Cette définition (différente de la précédente) ne sera pas utilisée ici (cours, TP et exercices) ni à priori lors de l’examen. d. Relation de Boucherot

En partant de la loi de Faraday pour le primaire (voir 2.a), déterminer pour une alimentation sinusoïdale l’expression de la valeur efficace V1 de la tension au primaire du transformateur en fonction du nombre de spires primaire n1, de la fréquence f et du flux maximal Φm à travers une section droite du circuit magnétique.

11

d ( )( )

d

n tv t

t

Φ= soit en notation complexe (fonctionnement sinusoïdal) 1 jV = ωΦ et pour les valeurs

efficaces 1 1V n= ωΦ

Puisque 2 fω = π et m

2

ΦΦ = , la relation devient m1 12

2V n f

Φ= π

Rappeler la relation entre le flux maximal, le champ magnétique maximal Bm et la section droite S du circuit magnétique : m mB SΦ =

Déduire de ce qui précède la relation entre V1, n1, f, Bm et S : 1 1 m 1 m

24,44

2V n fB S n fB S

π= =

Pour V1 et Bm donnés, comment évolue le produit « nombre de spires primaire x section du circuit magnétique » si la fréquence augmente ? Quel intérêt économique cela peut-il présenter ?

La relation 11

m

1

4,44

Vn S

B f= montre que pour V1 et Bm fixés, une augmentation de la fréquence entraîne une

diminution de la taille du transformateur (moins de matière utilisée et gain de place). Exercice I

Tous les transformateurs étudiés dans cet exercice sont supposés parfaits.

1. Calculer le nombre de spires au secondaire d’un transformateur dont les valeurs efficaces des tensions primaire et secondaire sont égales à 220 V et 24 V et qui comporte 100 spires au primaire.

La relation 2 2

1 1

V n

V n= a été établie précédemment donc 2

2 11

24100 11

220

Vn n

V= = = spires

2. Calculer l’intensité efficace des courants primaire et secondaire d’un transformateur 230 V / 48 V de puissance apparente 750 VA.

Pour le primaire 1 1 1.S V I= donc 11

1

7503,26A

230

SI

V= = =

a. si il y a un seul enroulement secondaire.

2 2 2.S V I= donc 22

2

75015,6A

48

SI

V= = =

b. si il y a deux enroulements secondaires.

2 2 22 .S V I= donc 22

2

7507,8A

2. 2.48

SI

V= = =


Exercice II

On considère le montage représenté ci-contre. Le transformateur est supposé parfait (son rapport de transformation est noté m).

1. Ecrire la relation entre v2(t), i2(t) et R.

2 2( ) ( )v t Ri t=

v1(t)

i1(t)

i2(t)v2(t)

R

2.a. Exprimer v2(t) en fonction de v1(t) et du rapport de transformation.

2 1( ) ( )v t mv t= − b. Exprimer i2(t) en fonction de i1(t) et du rapport de transformation.

2 1

1( ) ( )i t i t

m= −

3. En déduire la valeur littérale de la résistance « vue » par le générateur branché au primaire du

transformateur : d’après ce qui précède 1 1

1( ) ( )mv t R i t

m− = − soit 1 12

1( ) ( )v t R i t

m= donc eq 2

RR

m= . Si le

transformateur est abaisseur (m < 1) alors la résistance R vue du primaire est plus élevée. 4. On considère maintenant le montage ci-contre :

a. Déterminer la valeur littérale de la résistance Rs « vue » du secondaire du transformateur.

Loi des mailles au primaire : 1 s 1 2

1( ) ( ) ( ) 0v t R i t v t

m− + =

Comme 1 2( ) ( )i t mi t= − alors 1 s 2 2

1( ) ( ) ( ) 0v t R mi t v t

m+ + =

En multipliant par m l’équation précédente : 2

1 s 2 2( ) ( ) ( ) 0mv t m R i t v t+ + = Cette équation est « représentée » sur le schéma équivalent ci-contre. Dans le cas d’un transformateur abaisseur, la résistance Req ramenée au secondaire est plus faible.

2eq sR m R=

v1(t)

i1(t)

Rs

i2(t)

v2(t)

v1(t)

i1(t)Rs i2(t)

v2(t)v2(t)1m

v1(t)

i1(t)m2Rsi2(t)

v2(t)mv1(t)

b. Application à l’étude des circuits RLC (voir le TP n°1)

Dans le TP n°1, un transformateur 220 V / 24 V (supposé parfait) est placé en sortie du GBF. Sa résistance de sortie est notée rs et égale à 50 Ω. Calculer la résistance de sortie du GBF vue du secondaire.

2

1

240,109

220

Vm

V= = = et d’après ce qui précède 2

eq 0,109 .50 0,59R = = Ω . Cette valeur est négligeable

devant les valeurs de résistances utilisées par ailleurs dans le TP. III. Transformateur réel

1. Présentation

Dans cette partie, il est tenu compte de la résistance des enroulements, la perméabilité magnétique du circuit magnétique n’est plus infinie, il y a des fuites de flux et les pertes dans le fer ne sont plus nulles.

Dans ces conditions, l’intensité appelée par le primaire du transformateur n’est plus sinusoïdale : les bobines réelles sont remplacées par des bobines fictives (voir le cours sur les bobines à noyau de fer). 2. Schémas équivalents

a. A vide (l’intensité circulant dans le secondaire du transformateur est nulle)

Le modèle équivalent du transformateur à vide fait apparaître les mêmes éléments que pour une bobine à noyau de fer auxquels est rajouté un transformateur parfait selon le schéma ci-dessous.


Au primaire du transformateur figurent : - la résistance r1 de l’enroulement, - l’inductance de fuites l1 au primaire, - la résistance Rf qui consomme les pertes dans le fer, - l’inductance Lm parcourue par le courant magnétisant.

V20 = - mV'1

m

I1t

Lm

I1m

I10

I1f

Rf

V'1

r1ωjl1I1

V1

Transformateur parfait

Ecrire la relation entre V1, V’ 1, I1, la résistance du primaire et l’inductance de fuite au primaire.

11 1 1 1' ( )V V r j I= + + ωℓ Ecrire les relations entre V’ 1, Rf et I1f puis entre V’ 1, Lm et I1m.

1f1 f'V R I= et 1m1 m' jV L I= ω

Que vaut l’intensité secondaire lorsque le transformateur est à vide ? En déduire I1t. A vide, l’intensité efficace dans le secondaire est nulle : I2 = 0. Pour le transformateur parfait : 1t 2I mI= − ce qui donne 1t 0I =

Représenter V1, V’ 1, I1, I1m, I1f et I10 sur un diagramme de Fresnel (V’ 1 est placé verticalement).

I1 et I10 sont confondus car I1t est nul.

-j 1

V'1 I1

I1

-r1

I11l ωV1

I1m

I1f

b. En charge (l’intensité circulant dans le secondaire du transformateur n’est pas nulle)

La résistance de l’enroulement secondaire ainsi que l’inductance de fuites au secondaire sont rajoutés au schéma précédent :

V1

I1r1

l1

V'1I1f

I10

I1m

Lm

m


V20 = - mV'1

I1t

Rf

r2 l2 I2

V2

Ecrire la relation entre V20, V2, I2, la résistance du secondaire et son inductance de fuites.

22 20 2 2( )V V r j I= − + ωℓ

Ecrire la relation entre I2, I1t et le rapport de transformation m : 1t 2I mI= −

Ecrire la relation entre I1, I10 et I1t : 1 1t 10I I I= + c. Schéma simplifié

Dans de nombreuses situations, la chute de tension aux bornes de r1 et l1 est négligeable, il est alors possible de modifier le modèle équivalent comme suit :

Les éléments Rf et Lm sont soumis à la tension V1 au lieu de V’ 1.

V1

I1r1 l1

V'1I1f

I10

I1m

Lm

m


V20 = - mV'1

I1t

Rf

r2 l2 I2

V2


Il est alors possible de ramener les éléments r1 et l1 au secondaire pour obtenir le schéma équivalent ci-contre.

En s’inspirant de l’exercice II, écrire les relations entre : - r1, r2, m et Rs - l1, l2, m et Ls

V1

I1

I1f

I10

I1m

Lm

m


V20 = - mV'1

I1t

Rf

Rs I2

V2

Ls

Dans l’exercice II, on a montré que la résistance primaire ramenée au secondaire était égale à 21m r . Pour

l’expression de Rs, il faut tenir compte de l’influence des résistances primaire et secondaire soit 2

s 1 2R m r r= + d. Diagramme avec l’hypothèse de Kapp

Hypothèse de Kapp : l’intensité à vide I10 est négligeable devant I1t et I1. Cette situation est très fréquente lors des fonctionnements proches des valeurs nominales.

Conséquence : les éléments Rf et Lm sont remplacés par un circuit ouvert. Le transformateur est parfait pour les courants (mais pas pour les tensions).

V1

I1

m


V20 = - mV'1

Rs I2

V2

Ls

3. Diagrammes vectoriels (ou de Fresnel)

a. Diagramme simplifié

Il traduit les équations obtenues à partir du schéma simplifié (voir ci-dessus). Pour le tracer, on prend un transformateur (de mauvaise qualité) alimentant une charge. Les caractéristiques des éléments sont les suivantes :

Transformateur

V1 = 220 V , m = 0,5 Rf = 92 Ω, Lmω = 55 Ω Rs = 1 Ω, Xs = Lsω = 3 Ω

Charge

C’est un dipôle dont le module de l’impédance vaut Z = 4 Ω et l’argument ϕ = 45°.

Exprimer les parties réelle R et imaginaire X de l’impédance de la charge en fonction de Z et ϕ. cos 4cos45 2,83R Z= ϕ = = Ω et sin 4sin 45 2,83X Z= ϕ = = Ω donc jZ R X= +

Le tracé du diagramme vectoriel suit les étapes suivantes :

Première étape : écrire la relation entre V20, R, X, Rs, Xs et I2 en appliquant la loi des mailles sur le circuit secondaire. Ceci permet de calculer la valeur efficace de I2.

2 2 2 220 s sj jV R I X I RI X I= + + +

Pour le calcul de I2 : V20 = mV1 et 202

s sj( )

VI

R R X X=

+ + +

soit 12 2 2

s s( ) ( )

mVI

R R X X=

+ + +

Application numérique :

2 2 2

0,5.22015,8A

(1 2,83) (3 2,83)I = =

+ + +

L’échelle n’est pas respectée.


L’intensité I2 est choisie comme origine des phases (car elle est commune à la charge et Rs et Xs) et placée horizontalement. On trace ensuite les vecteurs associés à Rs.I2 et jXs.I2. En partant de l’origine du diagramme (point O, talon de I2), on trace un arc de cercle dont le rayon correspond à la valeur efficace de la tension secondaire à vide. La pointe de V20 est sur cet arc de cercle alors que son talon est au point O. Deuxième étape : écrire la relation entre V2, V20, Rs, Xs et I2. En déduire le vecteur V2. Il est alors possible de déterminer graphiquement la valeur efficace de la tension secondaire en charge.

22 20 s s( j )V V R X I= − +

Le talon du vecteur V2 est à la pointe de jXs.I2 alors que sa pointe est sur le cercle de centre O et de rayon V20. L’angle entre V2 et I2 est égal à ϕ (ici 45°).

Graphiquement V2 = 67 V

La chute de tension (différence entre les valeurs efficaces de la tension secondaire en charge et à vide) est ici égale à 43 V. C’est énorme devant la tension à vide : les performances du transformateur étudié ici sont médiocres. Troisième étape : écrire la relation entre V1 et V20 et placer V1. D’après les relations pour le transformateur parfait :

20 1V mV= − , le vecteur V1 a la même direction que V20 mais est de sens opposé.

V1 = 220 V

Quatrième étape : écrire la relation entre I1t et I2 et placer I1t. D’après les relations pour le transformateur parfait :

1t 2I mI= − , le vecteur I1t a la même direction que I2 mais est de sens opposé. I1t = 0,5.15,8 = 7,9 A

Cinquième étape : écrire les relations entre I1f, V1 et Rf puis entre I1m, V1 et Lm. Placer les vecteurs I1f et I1m. Ecrire la relation entre I1, I1t et I10 et placer les vecteurs I10 puis I1. Il est alors possible de déterminer graphiquement l’intensité efficace du courant primaire.

11f

f

VI

R= et 1

1m

mj

VI

L=

ω

I1f et V1 sont en phase alors que I1m est en retard de 90° sur V1.

1f

2202,39A

92I = = et 1m

2204A

55I = =

10 1f 1mI I I= + et 1 1t 10I I I= +

I1 = 13 A

10 1f 1mI I I= + n’est pas représenté


b. Diagramme de Kapp

Le tracé est réalisé pour le même transformateur et la même charge que précédemment (les éléments Rf et Lm sont remplacés par un circuit ouvert).

La méthode pour construire le diagramme est identique à la précédente pour les trois premières étapes, la quatrième étape devient la dernière et consiste à placer I1. Diagramme du triangle fondamental de Kapp

La chute de tension en charge au secondaire est définie par ∆V2 = V20 – V2

avec V20 la valeur efficace de la tension à vide et V2 la valeur efficace de la tension en charge

Cette chute de tension est généralement très faible devant la valeur efficace de la tension secondaire nominale.

OA, AB et OB ont des dimensions très petites dimensions devant OD (correspondant à V20 = - mV1) et BD (correspondant à V2) : on suppose que les droites (BD) et (OD) sont parallèles. L’arc de cercle BC (portion du cercle de rayon « V2 » et de centre D) devient alors un segment de droite.

B

Cj Xs I2

RsI2 A

2ϕ

O

V2

V20

D

∆V2 correspond à OC

Pour déterminer la chute de tension, on ne trace que le triangle rectangle OAB (triangle fondamental de Kapp). La chute de tension correspond alors à OH.

∆V2 = RsI2cosϕ2 + XsI2sinϕ2 Dans l’exemple précédent ∆V2 = 110 – 67 = 43 V Avec la relation ci-dessus :

∆V2 = 1.15,8.cos45 + 3.15,8.sin45 = 44,7 V

Vers le point D

B

H

j Xs I2

RsI2A

2ϕ

O

4. Détermination des éléments du schéma équivalent simplifié

Pour déterminer les éléments du schéma équivalent, deux essais sont nécessaires : - un essai à vide sous tension primaire nominale, - un essai en court-circuit avec le courant nominal sous tension réduite.

a. Essai à vide

Lors de cet essai on relève les valeurs efficaces des tensions au primaire et au secondaire (notées V1 et V20), la valeur efficace de l’intensité primaire ainsi que la puissance active (notée P0).

Représenter le schéma équivalent correspondant à cet essai. Quel élément consomme de la puissance active ?

V1

I1

I1f

I10

I1m

Lm

m


I1t

Rf

I2 = 0

V20 = - mV'1 = V2

Quel élément consomme de la puissance réactive ?

La puissance active est consommée par Rf alors que Lm consomme la puissance réactive. Exprimer les éléments Rf et Lm ainsi que le rapport de transformation en fonction des grandeurs mesurées. Les relations suivantes ne doivent pas être apprises, il faut savoir les démontrer.

20

1

Vm

V= ;

21

0f

VP

R= donc

21

f0

VR

P= ; avec 2 2

0 1 10 0( )Q V I P= − soit 2

m 2 21 10 0( )

VL

V I Pω =

−


b. Essai en court-circuit

Lors de cet essai on relève la valeur efficace de la tension au primaire (notée V1cc), l’intensité efficace au primaire ou au secondaire (notée I1cc ou I2cc) ainsi que la puissance active (notée Pcc).

Représenter le schéma équivalent correspondant à cet essai en supposant négligeable l’intensité à vide. Quel élément consomme de la puissance active ? Quel élément consomme de la puissance réactive ?

V1

m


V20 = - mV'1

I1t = I1Rs I2

V2

Ls

La puissance active est consommée par Rs alors que Ls consomme la puissance réactive. Exprimer les éléments Rs et Ls en fonction des grandeurs mesurées. Les relations suivantes ne doivent pas être apprises, il faut savoir les démontrer.

2cc s 2ccP R I= et 2cc 1cc

1I I

m= (le courant à vide est négligé lors de l’essai en court-circuit) donc cc

s 21cc

mPR

I=

2 2cc 1cc 1cc cc s 2cc( )Q V I P X I= − = donc

21cc 1cc cc

s 22cc

( )m V I PX

I

−=

Variante pour Xs : on définit 2 2 1ccs

2ccs s

mVZ R X

I= + = donc 2 21cc

s2cc

( ) s

mVX R

I= −

TP n°9 Modélisation d’un transformateur monophasé

Règles de sécurité - Toute modification de montage devra être faite hors tension. - Lors des essais en court-circuit, les courants peuvent atteindre des valeurs importantes avec des tensions faibles. Il ne faut pas oublier de changer les calibres des ampèremètres et wattmètres et surveiller le courant lors du réglage de tension.

La première question de la deuxième partie est à résoudre avant la séance de TP. Le schéma équivalent d’un transformateur est donné ci-contre : Première partie

1. Indiquer les essais nécessaires à la détermination des éléments du modèle (Rf, L, m, rs et Xs) et représenter les schémas équivalents correspondants en justifiant les simplifications. 2. Pour chaque essai représenter le schéma de câblage avec les appareils de mesure et donner le mode opératoire (Faire valider le schéma avant de commencer le câblage). 3. Essai à vide :

Câbler le montage et relever les indications des appareils. 4. Essai en court-circuit

- câbler le montage et relever les indications des appareils. - relever sur oscilloscope les intensités instantanées dans le primaire et le secondaire. 5. Déterminer les éléments du modèle à partir des essais.

Rf

rs Xsm

L


Deuxième partie

Le transformateur est alimenté sous 230 V et alimente successivement une charge résistive puis une charge résistive et inductive. Selon la table utilisée, les valeurs sont les suivantes :

Puissance apparente du transformateur

250 VA (tables 3, 5 et 6) 300 VA (table 4) 1 kVA (tables 1 et 2)

Charge résistive Un rhéostat 10 Ω. Un rhéostat 10 Ω. Deux rhéostats 10 Ω en

parallèle.

Charge résistive et inductive

Une bobine 100 mH en parallèle avec deux

rhéostats en série réglés pour une somme de 15 Ω.

Deux bobines 100 mH et un rhéostat 10 Ω en

parallèle.

Deux bobines 30 mH et deux rhéostats 10 Ω en

parallèle.

1. Impédance équivalente des charges résistives et inductives.

a. Représenter le schéma de la charge du transformateur correspondant à la table du TP.

b. Réduire ce schéma à deux éléments en parallèle, une résistance notée Rc et une inductance notée Lc.

c. Démontrer que l’impédance complexe équivalente à l’association de Rc et Lc s’écrit :

eqeq2c

2c

c2c

2cc j

)(

j)(XR

LR

LRLRZ +=

ω+ω+ω

=

Calculer les valeurs numériques de Req et Xeq

2. Le schéma équivalent du transformateur alimentant une charge est le suivant :

Rf

rs Xsm

L V2

I2

mV1V1

I1 I1t

Exprimer I2 en fonction de m, V1, rs, Xs et Z Exprimer I2 en fonction de I1, I1t et I0 (somme des intensités circulant dans l’inductance L et la résistance Rf). 3. Déterminer les intensités primaire et secondaire ainsi que la tension secondaire à partir des éléments du schéma équivalent.

a. lorsque la charge est résistive,

b. lorsque la charge est résistive et inductive. 4. Faire les essais et comparer les valeurs expérimentales avec les valeurs théoriques. Exercice III

On considère un transformateur monophasé sur lequel les essais suivants ont été effectués : - en continu au primaire : I1c = 10 A ; U1c = 5 V. - à vide : U1 = 220 V, 50 Hz (tension primaire nominale) ; U20 = 44 V ; P10 = 80 W ; I10 = 1 A. - en court-circuit : U1cc = 40 V ; P1cc = 250 W ; I1cc = 20 A (courant nominal primaire). Le transformateur est considéré comme parfait pour les courants lorsque ceux-ci ont leurs valeurs nominales. 1. Essai à vide

1.1 Déterminer le rapport de transformation.

20

1

440,2

220

Um

U= = =

1.2 En déduire le nombre de spires au secondaire si l’on compte 520 spires au primaire.


2

1

nm

n= donc 2 1. 0,2.520 104n m n= = = spires

1.3 Vérifier que l’on peut négliger les pertes par effet Joule lors de l’essai à vide.

La résistance de l’enroulement primaire est obtenue à partir de l’essai en continu : c1

c

102

5

UR

I= = = Ω

Lors de l’essai à vide, les pertes par effet Joule sont égales à 2 2j 1 10. 2.1 2P R I= = = W. Cette valeur est très

faible devant 80 W. 2. Essai en court-circuit

2.1 En admettant que les pertes dans le fer sont proportionnelles au carré de la tension primaire, montrer qu’elles sont négligeables par rapport aux autres pertes de l’essai en court-circuit.

D’après l’énoncé : 2fer 1P KU= . La constante K (qui correspond à

f

1

R) est calculée à partir de l’essai à vide :

3fer2 21

801,65.10

220

PK

U−= = = SI

Pour l’essai en court-circuit : 2 3 2fercc 1cc 1,65.10 .40 2,6P KU −= = = W. Cette puissance est très inférieure à 250 W.

2.2 Représenter le schéma équivalent du transformateur en court-circuit vu du secondaire.

2.3 En déduire les valeurs de Rs et Xs de l’impédance du modèle de Thévenin.

La loi des mailles appliquée au secondaire permet d’écrire : 2cc1cc s s( j ) 0mU R X I− − + =

U1cc

I1cc

m


U20 = - mU1cc

Rs I2

V2

Xs

Soit 1ccss s

2cc

jmU

R X ZI

+ = = . Calcul du module de ZS : 1ccs

2cc

0,2.400,08

200,2

mUZ

I= = = Ω car 1cc

2cc

II

m=

La résistance Rs consomme la puissance active 21cc s 2ccP R I= donc 21cc

s 22cc

0,2250( ) 0,025

20

PR

I= = = Ω

Pour la détermination de Xs :

Première méthode : 2 2 2 2s s s 0,08 0,025 0,076X Z R= − = − = Ω

Deuxième méthode : l’inductance Xs consomme la puissance réactive 2 2 21cc 1cc 1cc 1cc s 2cc( . )Q U I P X I= − =

2 21cc 1cc 1cc 2 2 2

s 22cc

( . ) 0.2(40.20) 250 ( ) 0,076

20

U I PX

I

−= = − = Ω

3. Quels que soient les résultats obtenus précédemment, on prendra pour la suite du problème Rs = 25 mΩ ; Xs = 75 mΩ. Le transformateur alimenté au primaire sous sa tension nominale, débite 100 A au secondaire avec un facteur de puissance égal à 0,9 (charge inductive).

3.1 Déterminer graphiquement la tension secondaire du transformateur. En déduire la puissance délivrée par le secondaire. Faire le même calcul avec l’approximation du triangle fondamental de Kapp.

Voir le diagramme ci-contre. Valeur efficace de la tension secondaire : U2 = 38 V

2 2 2. .cos 38.100.0,9 3420P U I= ϕ = = W


En utilisant l’approximation du triangle fondamental de Kapp : ∆U2 = 0,025.100.0,9 + 0,075.100.0,436 = 5,52 V La valeur efficace de la tension secondaire est égale à U2 = 44 – 5,52 = 38,5 V

2 2 2. .cos 38,5.100.09 3465P U I= ϕ = = W Les résultats obtenus par les deux méthodes sont très proches. 3.2 Déterminer la puissance absorbée au primaire, ainsi que le facteur de puissance. Les pertes prises en compte sont ici les pertes par effet Joule (dans Rs)

2 2j s 2 0,025.100 250P R I= = = W et les

pertes dans le fer (dans Rf) 2 3 2

f 1 1,65.10 .220 80P KU −= = = W. Remarque : on retrouve les puissances des essais à vide et en court-circuit.

1 2 f j 3420 250 80 3750P P P P= + + = + + = W

Le transformateur est supposé parfait pour les intensités donc 1 2. 0,2.100 20I m I= = = A. La puissance

apparente au primaire 1 1 1. 220.20 4400S U I= = = VA

D’où le facteur de puissance : 11

1

3750cos 0,852

4400

Pk

S= ϕ = = = . La tension et l’intensité sont sinusoïdales, le

facteur de puissance est le cosinus du déphasage entre la tension et l’intensité au primaire : ϕ1 = 31,5°

3.3 Déterminer la capacité du condensateur (supposé parfait) qui, placé en parallèle avec l’enroulement primaire, relève le facteur de puissance de l’installation à 1. Quelle est alors l’intensité du courant dans la ligne qui alimente l’association ?

Si le facteur de puissance est égal à 1 alors la puissance apparente pour l’alimentation est égale à la puissance active appelée par le transformateur. Le condensateur doit fournir la puissance réactive que consomme le transformateur. Puissance réactive appelée par le transformateur : 1 1 1 1. .sin 220.20.sin31,5 2300Q U I= ϕ = = var

Le condensateur doit fournir 2530 var : 2c 1 2300Q C U= − ω = − var donc c

2 21

2300151

2 .50.220

QC

U= = =

ω π µF

Intensité en ligne : 1 1 1comp. 3750S U I= = VA donc 11comp

1

375017,0

220

SI

U= = = A

Exercice IV

On considère un transformateur monophasé dont les essais préliminaires ont donné : - à vide : V1 = V1n = 220 V, I1 = 0,5 A, V2 = 110 V, puissance absorbée : 50 W - en court-circuit : V1 = 21 V, I2 = 20 A, puissance absorbée : 150 W 1. Proposer un montage permettant de réaliser les mesures en court-circuit. Voir la partie cours.

2. Déterminer les éléments du schéma équivalent ci-contre :

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

XsRs

m

LRf

Les valeurs de Rf, L et m sont déterminées à partir de l’essai à vide :

2

1

1100,5

220

Vm

V= = =

La résistance Rf consomme la puissance à vide : 2

1

f

VP

R= donc

2 21

f

220968

50

VR

P= = = Ω

L’inductance L consomme la puissance réactive à vide : 2

2 2 11 1( . )

VQ V I P

L= − =

ω donc

21

2 21 1( . )

VL

V I P=

ω −

2

2 2

2201,57

2 .50 (220.0,5) 50L = =

π − H


Les valeurs de Rs, Xs sont déterminées à partir de l’essai en court-circuit : La résistance Rs consomme la puissance active lors de cet essai à laquelle on retranche ce que consomme Rf

221cc

s 2ccf

VP R I

R= + donc

2 21cc

s 2 2f 2cc

1 21 1( ) (150 ) 0,374

968 20

VR P

R I= − = − = Ω

Remarque : pour cet essai, les pertes dans le fer 2 2

1cc

f

210,45

968

V

R= = W sont négligeables.

La réactance Xs consomme la puissance réactive lors de cet essai à laquelle on retranche ce que consomme L

22 2 21cc

1cc 1cc s 2cc( . )V

Q V I P X IL

= − = +ω

avec I1cc = m.I2cc donc

22 2 1cc

1cc 2cc

s 22cc

( . . )V

V m I PLX

I

− −ω=

22 2

s 2

21(21.0,5.20) 150

1,57.2 .50 0,36520

X− −

π= = Ω

Remarque : pour cet essai, la puissance réactive de L 2 2

1cc 210,89

1,57.2 .50

V

L= =

ω π var est négligeable.

Pour la suite, le transformateur est supposé parfait pour les courants lorsqu’ils sont proches de leurs valeurs nominales.

Rf et L sont remplacées par un circuit ouvert. On branche au secondaire une résistance Rc = 5 Ω en série avec une inductance Lc = 11 mH.

3. Représenter le schéma permettant de déterminer l’intensité dans la charge et la tension à ses bornes.

4. Calculer l’intensité efficace du courant secondaire. D’après la loi des mailles :

2 220 s s c c( j ) ( j ) 0V R X I R X I− + − + = avec Xc = Lcω

202

s s c c( j ) ( j )

VI

R X R X=

+ + +

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

XsRs

m Rc

Lc

V20V2

I2

Et pour les valeurs efficaces :

202 2 2 2 3. 2

s c s c

11016,7

( ) ( ) (0,374 5) (0,365 11.10 2 .50)

VI

R R X X −= = =

+ + + + + + π A

5. Calculer le déphasage entre l’intensité et la tension au secondaire.

Le déphasage entre l’intensité et la tension au secondaire est égal à l’argument de l’impédance de la charge du transformateur :

3c

c

11.10 .2 .50tan 0,691

5

L

R

−ω πϕ = = = soit ϕ = 35°.

6. Tracer le diagramme de Fresnel permettant de déterminer la valeur efficace de la tension aux bornes de la charge. On mesure V2 = 102 V

7. Déterminer graphiquement l’intensité efficace du courant primaire.

I1 est en opposition de phase avec I2 et sa valeur efficace est égale à la moitié de celle de I2 (rapport de transformation égal à 0,5).


Deuxième partie : Transformateurs triphasés

I. Présentation

1. Constitution

Comme pour les bobines triphasées, un transformateur triphasé peut être constitué de trois transformateurs monophasés. Il est cependant plus fréquent de trouver des transformateurs triphasés dont le circuit magnétique est coplanaire à flux liés (trois colonnes) ou plus rarement libres (colonnes latérales supplémentaires ou circuits magnétiques cuirassés). 2. Représentation symbolique

Les enroulements bobinés sur une même colonne du circuit magnétique sont représentés sur le même axe (horizontal ou vertical).

Les extrémités des enroulements sont repérées par des lettres majuscules pour la haute tension et minuscules pour la basse tension. Le schéma ci-contre représente une colonne d’un transformateur triphasé (les deux autres sont identiques). Cette colonne comporte un enroulement haute tension et deux enroulements basse tension.

A

A

X

x1

x1

x2

x2

a2

a1

X a1 a2

Les enroulements primaires (pas nécessairement haute tension) sont orientés avec la convention récepteur alors que les enroulements secondaires sont orientés avec la convention générateur. Les courants sont orientés pour que les forces magnétomotrices se retranchent :

A x1 x2X a1 a2

va1(t) va2(t)vA(t)ia2(t)ia1(t)iA(t)

3. Couplages des enroulements

S’il y a trois enroulements, il est possible de les coupler en étoile ou en triangle. S’il y a six enroulements (par exemple deux enroulements par secondaire) un troisième type de couplage appelé « zigzag » est possible. Les transformateurs sont nommés selon les couplages au primaire et au secondaire en respectant les règles suivantes : - lettre majuscule pour la haute tension : Y pour le couplage étoile, D pour le triangle, Z pour le zigzag - lettre minuscule pour la basse tension : y pour le couplage étoile, d pour le triangle, z pour le zigzag Si un neutre existe côté « haute tension », il est indiqué par la lettre « N » après la lettre figurant le couplage « haute tension ». Si le neutre est côté « basse tension », la lettre « n » est utilisée après celle indiquant le couplage « basse tension ».


Exemples : Yzn : couplage étoile au primaire (haute tension), zigzag au secondaire, neutre sorti au secondaire.

A

B

C

a

b

c

n

Dy : couplage triangle au primaire (haute tension), étoile au secondaire, pas de neutre.

cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc

A

B

C

a

b

c

II. Equations électriques

Chaque colonne se comporte comme un transformateur monophasé (on parle de « transformateur colonne »). Le flux pour chaque enroulement d’une même colonne est le même que pour les autres enroulements (aux fuites de flux près). En notant n1 et n2 les nombres de spires au primaire et aux secondaires du transformateur (supposé parfait) pris comme exemple au paragraphe 2, écrire les relations : - exprimant les tensions secondaires en fonction de la tension primaire et du rapport des nombres de spires.

a1 2

A 1

( )

( )

v t n

v t n= et a2 2

A 1

( )

( )

v t n

v t n= .

Les tensions primaire et secondaire des enroulements placés sur la même colonne sont en phase (Contrairement au transformateur monophasé) : ceci est dû aux choix d’orientation des tensions. - entre les intensités dans le primaire et les secondaires et le rapport du nombre de spires.

L’intensité primaire « entre » par la tête d’enroulement alors que les intensités « sortent » par les têtes d’enroulement : 1 2 1 2 2( ) ( ) ( )A a an i t n i t n i t= + (on retrouve la loi de compensation des ampères tours). Si le transformateur fonctionne en régime triphasé équilibré, les équations pour les deux autres colonnes sont identiques (décalage temporel d’un tiers de période). III. Grandeurs caractéristiques

1. Plaque signalétique

On y trouve les indications suivantes : La puissance apparente nominale, Les valeurs efficaces des tensions primaires et secondaires composées (à vide), Les intensités efficaces des courants secondaires en ligne, La valeur du facteur de puissance secondaire qui permet d’obtenir le fonctionnement nominal. 2. Rapport de transformation

C’est le rapport des valeurs efficaces, relevées à vide, des tensions secondaires et primaires simples ou des tensions secondaires et primaires composées (il ne faut pas prendre une tension simple pour le primaire et une tension composée pour le secondaire et réciproquement). Cette valeur n’est plus nécessairement égale au rapport du nombre de spires. 3. Indice horaire (ou indice de couplage)

Selon les couplages primaire et secondaire il peut apparaître un déphasage entre les tensions homologues du primaire et du secondaire (VA et Va sont des tensions homologues, UBC et Ubc aussi).

Un système triphasé direct de tensions VA, VB, VC alimentant le primaire d’un transformateur donne naissance à un système triphasé direct au secondaire.


Le retard de Va sur VA est noté θ ; c’est aussi le retard de Uab sur UAB. Les valeurs de θθθθ sont toujours des valeurs multiples de 30°. La valeur du déphasage est indiquée par le rapport de θθθθ à 30, ce rapport est appelé indice horaire I :

30

θ=I avec θ exprimé en degrés.

Un vecteur « haute tension » pointe le 12 de « l’horloge », le vecteur de la « basse tension » homologue joue le rôle de l’aiguille des heures.

Les grandeurs I et θ caractérisent le retard d’une tension « BT » sur une tension « HT » quel que soit le rôle (abaisseur ou élévateur) du transformateur. Dans l’exemple ci-contre, l’indice horaire vaut 1.

VA

VBVC

Va

Vb

VcIII

VI

IX

Grande

aiguilleAiguille

des heures

4. Répondre aux questions suivantes

a. La puissance active nominale est indiquée sur la plaque signalétique d’un transformateur (vrai ou faux) : faux, c’est la puissance apparente.

b. La plaque signalétique d’un transformateur triphasé indique 20 kV/ 420 V. Lorsqu’il fonctionne à vide, quelle valeur affiche un voltmètre branché entre un fil de phase et le neutre au primaire ? Entre « un fil de phase et le neutre », c’est une tension simple. La plaque indique les valeurs efficaces des tensions

composées. Pour avoir celle des tension simples, il faut diviser l’indication par 3 soit 11,5 kV. Au secondaire ? En procédant de même, on trouve 242 V.

c. Le transformateur ci-contre fonctionne dans les conditions nominales, laquelle des indications d’ampèremètre doit figurer sur la plaque signalétique ? C’est l’intensité du courant en ligne qui doit être indiquée soit 55 A.

55 AA

B

C

a

b

c

A

32 A

A

d. Les deux transformateurs décrits ci-dessous ont été essayés à vide. Calculer leurs rapports de transformation.

Transformateur n°1 Valeurs efficaces des tensions - composées primaires 20 kV - simples secondaires 250 V

250. 30,0216

20000m= =

Transformateur n°2 Valeurs efficaces des tensions - composées primaires 20 kV - composées secondaires 420 V

4200,021

20000m= =

e. Déterminer l’indice horaire correspondant au diagramme de Fresnel ci-contre :

Va est en retard de 90° sur VA, l’indice horaire est égal à 3. f. Donner le nom de la tension homologue à Uca. Il s’agit de UCA

VA

VB

VC

Va

Vb

Vc


TP n°13 Transformateur triphasé

Différents couplages d’un transformateur triphasé

On dispose des transformateurs suivants (selon la table) :

- deux enroulements secondaires par colonne.

- Valeurs efficaces des tensions aux bornes d’un enroulement primaire 220 V ou 230 V ; aux bornes d’un enroulement secondaire 14 V.

- Puissance apparente : 750 VA ou 1 kVA.

1. Pour chacun des trois cas suivants (bas de page), indiquer : Le couplage au primaire et au secondaire. La tension composée du réseau d’alimentation.

Le rapport de transformation en fonction du nombre de spires primaire n1 et secondaire n2.

L’indice horaire. 2. Câbler le montage et déterminer expérimentalement le rapport de transformation et l’indice horaire en utilisant la méthode suivante :

Il est possible de travailler sous tension réduite.

- Lorsque les couplages primaire et secondaire sont réalisés, il faut relier les points a et A.

- Relever les valeurs efficaces : UAN, UAB, UAb, UAc, UBb, UBc, UCb, UCc.

- Prendre une échelle adaptée et tracer le système de tensions simples du côté haute tension en prenant pour grande aiguille à 0h la tension VAN, faire apparaître les points A, B, C et N.

- Représenter par la méthode des arcs de cercle les tensions mesurées et en déduire la place des points b et c d’où Van (petite aiguille) et l’indice horaire.

Règle de sécurité : toute modification du montage devra être faite hors tension.

Premier cas

A

C

B

a

b

c

Deuxième cas

A

C

B

a

b

c

Troisième cas

A

B

C

a

b

c

Premier cas

cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc

A

B

C

a

b

c

VA Va

Chaque enroulement doit être alimenté sous 230 V, les tensions composées doivent avoir une valeur efficace de 400 V. Les enroulements dont les tensions sont VA et Va sont sur la même

colonne, la relation pour les tensions s’écrit a 2

A 1

V n

V n=

Va et VA sont des tensions homologues, le rapport de transformation est

donc égal à a 2

A 1

V nm

V n= = (relation pour les valeurs efficaces).

D’après la relation a 2

A 1

V n

V n= , les tensions homologues Va et VA sont en phase, l’indice horaire est donc

égal à 0. Transformateur Yy0.


Deuxième cas

ccccc

A

B

C

a

b

c

UAC Va

Chaque enroulement doit être alimenté sous 230 V, les tensions composées doivent avoir une valeur efficace de 230 V car un enroulement primaire « voit » une tension composée. Les enroulements dont les tensions sont UAC et Va sont sur la même

colonne, la relation pour les tensions s’écrit a 2

AC 1

V n

U n=

Va et UAC ne sont pas des tensions homologues. Le rapport de

transformation est égal à a ac a 2

A AC AC 1

3.3.

V U V nm

V U U n= = = = (relation

pour les valeurs efficaces).

D’après la relation a 2

AC 1

V n

U n= , les tensions Va et UAC = VA – VC sont en

phase. Sur le diagramme de Fresnel ci-contre, on constate que Va est en retard de 30° sur VA. L’indice horaire est donc égal à 1.

Transformateur Dy1.

VA

VB

UAC

Va

VC

Troisième cas

A

B

C

a

b

c

VA

VC Vc2

Va1

Va

Chaque enroulement doit être alimenté sous 230 V, les tensions composées doivent avoir une valeur efficace de 400 V. Les enroulements dont les tensions sont VA et Va1 sont sur la même colonne, il en est de même pour ceux dont les tensions sont VC et Vc2. Les relations pour les tensions

s’écrivent a1 2

A 1

V n

V n= et c2 2

C 1

V n

V n=

La loi des mailles sur la portion de circuit en rouge permet d’écrire : a a1 c2 0V V V− + = soit a a1 c2V V V= − En remplaçant Va1 et Vc2 par leurs expressions en fonction de VA et VC, on trouve :

2 2 2 2a A C A C AC

1 1 1 1

( )n n n n

V V V V V Un n n n

= − = − = .

Pour les valeurs efficaces : ac2a AC

1 3

UnV U

n= = donc ac 2

AC 1

3U n

mU n

= =

D’après la relation 2 2a A C AC

1 1

( )n n

V V V Un n

= − = , les tensions Va et

UAC = VA – VC sont en phase. Sur le diagramme de Fresnel ci-contre, on constate que Va est en retard de 30° sur VA. L’indice horaire est donc égal à 1.

Transformateur Yz1.

VA

VB

UAC

Va

VC


Détermination expérimentale des rapports de transformation

Pour les cas 1 et 2, les deux enroulements secondaires d’une même colonne sont mis en série. On mesure les valeurs d’une tension composée au secondaire (notée U2) et d’une tension composée au

primaire (notée U1). Le rapport de transformation est calculé par 2

1

Um

U=

Premier cas U2 = 53,7 V U1 = 400 V

21

1

53,70,134

400

Um

U= = =

Deuxième cas U2 = 53 V U1 = 230 V

22

1

530,230

230

Um

U= = =

Troisième cas U2 = 46,5 V U1 = 400 V

23

1

46,50,116

400

Um

U= = =

D’après les prédéterminations théoriques, 21

1

0,134n

mn

= = .

On peut alors vérifier :

22 1

1

3. 3. 0,232n

m mn

= = = pour le deuxième

cas

2 13

1

/ 23. 3. 0,116

2

n mm

n= = = pour le troisième cas.

Pour l’expérience, un enroulement secondaire en zig zag comporte deux fois moins de spires qu’un secondaire en étoile.

Remarque : on pourrait aussi mesurer les valeurs efficaces de tensions simples au secondaire et au primaire. Exercice V

Déterminer les rapports de transformation et les indices horaires des transformateurs suivants (on note n1 et n2 le nombre de spires par enroulements primaires et secondaires) :

1. Triangle étoile

A

B

C

a

b

c

UAB Va

Les enroulements dont les tensions sont UAB et Va sont sur la même colonne, la relation pour les

tensions s’écrit a 2

AB 1

V n

U n=

Va et UAB ne sont pas des tensions homologues. Le rapport de transformation est égal à

a ab a 2

A AB AB 1

3.3.

V U V nm

V U U n= = = = (relation pour les

valeurs efficaces). D’après l’équation précédente, les tensions UAB et Va sont en phase. Elles sont placées sur un diagramme de Fresnel.

2. Etoile zigzag

A

B

C

a

b

c

VAVa

Va2

Vc1

Les enroulements dont les tensions sont VA et Va2 sont sur la même colonne, il en est de même pour ceux dont les tensions sont VC et Vc1. Les relations

pour les tensions s’écrivent a2 2

A 1

V n

V n= et c1 2

C 1

V n

V n=

La loi des mailles sur la portion de circuit en rouge permet d’écrire : a a2 c1 0V V V+ − = soit

a a2 c1V V V= − + En remplaçant Va2 et Vc1 par leurs expressions en fonction de VA et VC, on trouve :

2 2 2 2a A C A C AC

1 1 1 1

( )n n n n

V V V V V Un n n n

= − + = − − = − .

Pour les valeurs efficaces : ac2a AC

1 3

UnV U

n= = donc


Va est en avance de 30° sur VA : l’indice horaire est égal à 11.

Dy11

VA

VB

UAB

Va

VC

ac 2

AC 1

3U n

mU n

= =

Pour l’indice horaire, les vecteurs Va2 et Vc1 sont placés sur un diagramme vectoriel :

Indice horaire : 7

Yz7

VA

VB

Va2

VC

Vc1

-Va2 Va

Exercice VI

On considère le transformateur dont le schéma est donné ci-contre :

1. Déterminer son rapport de transformation en fonction du nombre de spires au primaire (noté n1) et du nombre de spires au secondaire (noté n2). Les enroulements dont les tensions sont VA et Uab sont sur la même

colonne, la relation pour les tensions s’écrit ab 2

A 1

U n

V n=

A

B

C

a

b

c

VA Uab

VA et Uab ne sont pas des tensions homologues. Le rapport de transformation est égal à

a ab ab 2

A AB 1A

1.

3. 3

V U U nm

V U nV= = = = (relation pour les valeurs efficaces).

2. Déterminer son indice horaire.

Les vecteurs de l’équation ab 2

A 1

U n

V n= sont placés sur un diagramme.

Les tensions Uab et UAB sont homologues. Uab est en retard de 30° sur UAB, l’indice horaire est égal à 1.

Yd11

VA

VB

UAB

Uab

VC

3. La valeur efficace nominale de la tension aux bornes d’un enroulement primaire est de 11,5 kV. Déterminer le rapport des nombres de spires secondaire et primaire si la tension composée à vide côté secondaire a une valeur efficace de 410 V.

La tension aux bornes d’un enroulement primaire correspond à une tension simple : la valeur efficace d’une

tension composée au primaire est égale à 11,5 3 20≈ kV.

D’après ce qui précède ab 2

AB 1

1.

3

U nm

U n= = soit ab2

31 AB

3 3.410

20.10

Un

n U= = = 35,5.10-3

4. Une charge, constituée de trois résistances de 1Ω couplées en étoile, est branchée au secondaire. Déterminer les intensités efficaces des courants primaires et secondaires.

Le transformateur est supposé parfait (l’énoncé ne donne aucune valeur pour les « défauts »). La tension aux bornes d’une résistance est une tension simple au secondaire soit environ 238 V. La loi d’Ohm permet d’écrire que l’intensité efficace est de 238 A.


Relation entre les intensités efficaces au primaire et au secondaire : 1 2 3

410.238 4,87

20.10I mI= = = A

Exercice VII

On considère le transformateur dont le schéma de câblage est indiqué ci-contre, il est supposé parfait : Plaque signalétique : 130 kVA Primaire : 20 kV, secondaire 380 V Secondaire 200 A 1. Indiquer les conditions pour que ce transformateur soit considéré comme parfait.

a

b

c

A

B

C

VA

Va

Va1

Vb2VB

Les résistances des enroulements sont nulles (pas de pertes par effet Joule). Il n’y a pas de fuites de flux, la perméabilité du circuit magnétique est infinie donc sa réluctance est nulle. Il n’y a pas de pertes dans le fer. 2. Déterminer l’indice horaire.

Les enroulements dont les tensions sont VA et Va1 sont sur la même colonne, il en est de même pour ceux

dont les tensions sont VB et Vb2. Les relations pour les tensions s’écrivent a1 2

A 1

V n

V n= et b2 2

B 1

V n

V n=

La loi des mailles sur la portion de circuit en rouge permet d’écrire : a a1 b2 0V V V− + = soit

a a1 b2V V V= − Va1 est en phase avec VA, Vb2 est en phase avec VB. Le vecteur Va est placé à partir de l’équation a a1 b2V V V= −

Indice horaire 11 (transformateur Yz11)

Autre méthode : en remplaçant Va1 et Vb2 par leurs expressions en fonction de VA et VB, on

obtient l’équation 2 2 2 2a A B A B AB

1 1 1 1

( )n n n n

V V V V V Un n n n

= − = − = .

Va est en phase avec UAB, on retrouve l’indice horaire égal à 11.

VA

VB

Va1

VC

Vb2

-Vb2

Va

3. Calculer le rapport de transformation en fonction de n2 (nombre de spires d’un enroulement secondaire) et n1 (nombre de spires d’un enroulement primaire).

Va1 et Vb2 sont remplacés par leurs expressions en fonction de VA et VB, on obtient l’équation

2 2 2 2a A B A B AB

1 1 1 1

( )n n n n

V V V V V Un n n n

= − = − = .

Pour les valeurs efficaces : ab2a AB

1 3

UnV U

n= = donc ab 2

AB 1

3U n

mU n

= =

4. Ce transformateur est alimenté par un système de tensions triphasées inverse de valeur efficace 20 kV et alimente une charge triphasée constituée de trois résistances de 4 Ω couplées en triangle.

a. Représenter le montage

b. Déterminer le courant dans un élément de la charge (module et déphasage par rapport à la tension à ses bornes).

Les tensions composées au secondaire ont pour valeur efficace 380 V.

a

b

c

A

B

C


Une résistance est donc parcourue par un courant d’intensité : 2

38095

4J = = A

L’intensité jac(t) (résistance « du haut ») est en phase avec uac(t) (voir le diagramme vectoriel : attention, système triphasé inverse). c. Déterminer le courant en ligne (module et déphasage par rapport à la tension simple qui lui est associé). D’après la loi des nœuds :

a ac ba( ) ( ) ( )i t j t j t= −

b

c

A

B

C

ia(t) jac(t)

j ba(t)

iA(t)

ic(t)

Le vecteur associé à l’intensité ia(t) est placé sur le diagramme de Fresnel.

De même que Jac est en phase avec Uac, Jba est en phase avec Uba. La charge triphasée est résistive, les intensités en ligne (ia(t), ib(t) et ic(t)) sont en phase avec les tensions simples (va(t), vb(t) et vc(t)).

La puissance active reçue par les résistances peut s’écrire : 3. . 3. .P U J V I= = avec U la valeur efficace des tensions composées

et V celle des tensions simples ; J est l’intensité efficace des courants dans les résistances (phase) alors que I est celle dans les secondaires du transformateur (ligne au secondaire).

Pour les valeurs efficaces 2 23I J= soit 2 3.95 164I = = A Attention : le système de tensions est triphasé inverse.

VbVc

Jac

Ia

-Jba Va

Uac

Uba

Jba

Ucb

Diagramme pour les intensités

secondaires La loi de compensation des ampères tours pour la colonne « du haut » s’écrit : A a c1 2 2n I n I n I= − . Elle permet de placer IA sur le diagramme de Fresnel.

De même que Ia est en phase avec Va, Ic est en phase avec Vc. On observe que IA est en phase avec Uac et donc avec VA (*). Ceci est normal car la charge est équilibrée, résistive et que le transformateur est parfait.

(*) L’indice horaire (déterminé pour un système direct) est égal à 11 : Va et UAB sont alors en phase. Ici, le système de tension est inverse, ce sont donc Va et UAC qui sont en phase.

Pour les valeurs efficaces 1 2I mI= soit 1

380.164 3,12

20000I = = A

Attention : le système de tensions est triphasé inverse.

Vc

Vb

Ia

Va

Uac

Uba

Ic

Ucb

Icn2

n1-IA

n2

n1

n2

n1

Diagramme pour les intensités

primaires 5. Ce transformateur alimente maintenant entre deux phases une charge purement résistive.

a. Ecrire la loi de compensation des ampères-tours pour chaque colonne.

Pour la colonne « A » :

1 A 2 a2 2 a1( ) ( ) ( )n i t n i t n i t= + Pour la colonne « B » :

1 B 2 b2 2 b1( ) ( ) ( )n i t n i t n i t= + Pour la colonne « C » :

1 C 2 c2 2 c1( ) ( ) ( )n i t n i t n i t= +

b

c

A

B

C

ia(t)iA(t)

iC(t)

iB(t)


Définition des intensités ia1(t), ia2(t), … : on affecte l’indice « 2 » à l’enroulement secondaire placé à gauche et l’indice « 1 » à celui placé à droite. Les intensités sont comptées positives si elle « sortent » par les têtes d’enroulement.

a2( ) 0i t = et a1 a( ) ( )i t i t= ; b2 a( ) ( )i t i t= − et b1 a( ) ( )i t i t= − ; c2 a( ) ( )i t i t= et c1( ) 0i t =

On obtient finalement : Pour la colonne « A » : 1 A 2 a( ) ( )n i t n i t=

Pour la colonne « B » : 1 B 2 a 2 a 2 a( ) ( ) ( ) 2 ( )n i t n i t n i t n i t= − − = −

Pour la colonne « C » : 1 C 2 a( ) ( )n i t n i t= b. En déduire que la somme des courants primaires est nulle.

En faisant la somme des ampères tours primaires, on obtient l’équation :

1 A 1 B 1 C 2 a 2 a 2 a( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0n i t n i t n i t n i t n i t n i t+ + = − + =

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