Etude Du Transfer de Chaleur Couple Conduction Rayonnement Dans Les Mousses de Polystyrene Expense Modelisation Et Caracterisation

8/11/2019 Etude Du Transfer de Chaleur Couple Conduction Rayonnement Dans Les Mousses de Polystyrene Expense Model

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1

Anne 2004

THESE

Prsente devant

LINSTITUT DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

Pour obtenir

LE GRADE DE DOCTEUR

Ecole Doctorale : MEGA

Formation Doctorale : Thermique et Energtique

Par

Rmi COQUARD

Etude du transfert de chaleur coupl conduction-

rayonnement dans les mousses de Polystyrne expans :Modlisation et caractrisation

Soutenance le 22 Octobre 2004 devant la Commission dExamen

Jury MM. Daniel QUENARD

Gilles FLAMANT Rapporteur

Grard JEANDEL Rapporteur

Jean Christophe BATSALE

Jean-Franois SACADURA

Dominique BAILLIS Directrice de thse


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ECOLES DOCTORALESSeptembre 2004

SIGLE

ECOLE DOCTORALE NOM ET COORDONNEES DU RESPONSABLE

CHIMIE DE LYON M. Denis SINOUUniversit Claude Bernard Lyon 1

Lab Synthse Asymtrique UMR UCB/CNRS 5622Bt 3082metage43 bd du 11 novembre 191869622 VILLEURBANNE CedexTl : [email protected]

E2MCECONOMIE, ESPACE ET

MODELISATION DES

COMPORTEMENTS

M. Alain BONNAFOUS

Universit Lyon 214 avenue BerthelotMRASH

Laboratoire dEconomie des Transports69363 LYON Cedex 07Tl : [email protected]

E.E.A.

ELECTRONIQUE, ELECTROTECHNIQUE,

AUTOMATIQUE

M. Daniel BARBIER

INSA DE LYONLaboratoire Physique de la MatireBtiment Blaise Pascal69621 VILLEURBANNE CedexTl : [email protected]

E2M2

EVOLUTION, ECOSYSTEME,

MICROBIOLOGIE, MODELISATION

http://biomserv.univ-lyon1.fr/E2M2

M. Jean-Pierre FLANDROISUMR 5558 Biomtrie et Biologie EvolutiveEquipe Dynamique des Populations Bactriennes

Facult de Mdecine Lyon-Sud Laboratoire de Bactriologie BP1269600 OULLINSTl : [email protected]

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INFORMATIQUE ET INFORMATION

POUR LA SOCIETEhttp://www.insa-lyon.fr/ediis

M. Lionel BRUNIEINSA DE LYONEDIISBtiment Blaise Pascal69621 VILLEURBANNE CedexTl : 04.72.43.60.55

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EDISSINTERDISCIPLINAIRE

SCIENCES-SANTEhttp://www.ibcp.fr/ediss

M. Alain Jean COZZONE

IBCP (UCBL1)7 passage du Vercors69367 LYON Cedex 07Tl : [email protected]

MATERIAUX DE LYONhttp://www.ec-lyon.fr/sites/edml

M. Jacques JOSEPHEcole Centrale de LyonBt F7 Lab. Sciences et Techniques des Matriaux et des

Surfaces36 Avenue Guy de Collongue BP 16369131 ECULLY CedexTl : [email protected]

Math IFMATHEMATIQUES ET

INFORMATIQUE FONDAMENTALEhttp://www.ens-lyon.fr/MathIS

M. Franck WAGNER

Universit Claude Bernard Lyon1Institut Girard DesarguesUMR 5028 MATHEMATIQUESBtiment Doyen Jean BraconnierBureau 101 Bis, 1ertage69622 VILLEURBANNE Cedex

Tl : [email protected]


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MEGAMECANIQUE, ENERGETIQUE, GENIE

CIVIL, ACOUSTIQUEhttp://www.lmfa.ec-

lyon.fr/autres/MEGA/index.html

M. Franois SIDOROFFEcole Centrale de LyonLab. Tribologie et Dynamique des Systmes Bt G836 avenue Guy de CollongueBP 16369131 ECULLY Cedex

Tl :[email protected]


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Novembre 2003

INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

Directeur: STORCK A.

Professeurs:AMGHAR Y. LIRIS

AUDISIO S. PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE

BABOT D. CONT. NON DESTR. PAR RAYONNEMENTS IONISANTSBABOUX J.C. GEMPPM***

BALLAND B. PHYSIQUE DE LA MATIERE

BAPTISTE P. PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERSBARBIER D. PHYSIQUE DE LA MATIEREBASKURT A. LIRIS

BASTIDE J.P. LAEPSI****

BAYADA G. MECANIQUE DES CONTACTSBENADDA B. LAEPSI****

BETEMPS M. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE

BIENNIER F. PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERSBLANCHARD J.M. LAEPSI****

BOISSE P. LAMCOSBOISSON C. VIBRATIONS-ACOUSTIQUE

BOIVIN M. (Prof. mrite) MECANIQUE DES SOLIDES

BOTTA H. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Dveloppement UrbainBOTTA-ZIMMERMANN M. (Mme) UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Dveloppement Urbain

BOULAYE G. (Prof. mrite) INFORMATIQUEBOYER J.C. MECANIQUE DES SOLIDES

BRAU J. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Thermique du btimentBREMOND G. PHYSIQUE DE LA MATIERE

BRISSAUD M. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE

BRUNET M. MECANIQUE DES SOLIDESBRUNIE L. INGENIERIE DES SYSTEMES DINFORMATION

BUFFIERE J-Y. GEMPPM***

BUREAU J.C. CEGELY*

CAMPAGNE J-P. PRISMACAVAILLE J.Y. GEMPPM***

CHAMPAGNE J-Y. LMFA

CHANTE J.P. CEGELY*- Composants de puissance et applications

CHOCAT B. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Hydrologie urbaineCOMBESCURE A. MECANIQUE DES CONTACTS

COURBON GEMPPM

COUSIN M. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Structures

DAUMAS F. (Mme) CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Energtique et ThermiqueDJERAN-MAIGRE I. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL

DOUTHEAU A. CHIMIE ORGANIQUE

DUBUY-MASSARD N. ESCHILDUFOUR R. MECANIQUE DES STRUCTURES

DUPUY J.C. PHYSIQUE DE LA MATIERE

EMPTOZ H. RECONNAISSANCE DE FORMES ET VISION

ESNOUF C. GEMPPM***EYRAUD L. (Prof. mrite) GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE

FANTOZZI G. GEMPPM***

FAVREL J. PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERSFAYARD J.M. BIOLOGIE FONCTIONNELLE, INSECTES ET INTERACTIONS

FAYET M.(Prof. mrite) MECANIQUE DES SOLIDESFAZEKAS A. GEMPPM

FERRARIS-BESSO G. MECANIQUE DES STRUCTURESFLAMAND L. MECANIQUE DES CONTACTS

FLEURY E. CITI

FLORY A. INGENIERIE DES SYSTEMES DINFORMATIONSFOUGERES R. GEMPPM***

FOUQUET F. GEMPPM***

FRECON L. (Prof. mrite) REGROUPEMENT DES ENSEIGNANTS CHERCHEURS ISOLES

GERARD J.F. INGENIERIE DES MATERIAUX POLYMERES

GERMAIN P. LAEPSI****GIMENEZ G. CREATIS**

GOBIN P.F. (Prof. mrite) GEMPPM***

GONNARD P. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEGONTRAND M. PHYSIQUE DE LA MATIERE

GOUTTE R. (Prof. mrite) CREATIS**

GOUJON L. GEMPPM***GOURDON R. LAEPSI****.GRANGE G. (Prof. mrite) GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE


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GUENIN G. GEMPPM***GUICHARDANT M. BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE

GUILLOT G. PHYSIQUE DE LA MATIERE

GUINET A. PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS

GUYADER J.L. VIBRATIONS-ACOUSTIQUE

GUYOMAR D. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEHEIBIG A. MATHEMATIQUE APPLIQUEES DE LYON

JACQUET-RICHARDET G. MECANIQUE DES STRUCTURESJAYET Y. GEMPPM***

JOLION J.M. RECONNAISSANCE DE FORMES ET VISIONJULLIEN J.F. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Structures

JUTARD A. (Prof. mrite) AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE

KASTNER R. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - GotechniqueKOULOUMDJIAN J. (Prof. mrite) INGENIERIE DES SYSTEMES DINFORMATION

LAGARDE M. BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIELALANNE M. (Prof. mrite) MECANIQUE DES STRUCTURES

LALLEMAND A. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Energtique et thermique

LALLEMAND M. (Mme) CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Energtique et thermiqueLAREAL P (Prof. mrite) UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Gotechnique

LAUGIER A. (Prof. mrite) PHYSIQUE DE LA MATIERE

LAUGIER C. BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE

LAURINI R. INFORMATIQUE EN IMAGE ET SYSTEMES DINFORMATIONLEJEUNE P. UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUE

LUBRECHT A. MECANIQUE DES CONTACTSMASSARD N. INTERACTION COLLABORATIVE TELEFORMATION TELEACTIVITEMAZILLE H. (Prof. mrite) PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE

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NARDON P. (Prof. mrite) BIOLOGIE FONCTIONNELLE, INSECTES ET INTERACTIONS

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NIEL E. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLENORMAND B. GEMPPM

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ODET C. CREATIS**OTTERBEIN M. (Prof. mrite) LAEPSI****

PARIZET E. VIBRATIONS-ACOUSTIQUE

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PERRIN J. INTERACTION COLLABORATIVE TELEFORMATION TELEACTIVITE

PINARD P. (Prof. mrite) PHYSIQUE DE LA MATIEREPINON J.M. INGENIERIE DES SYSTEMES DINFORMATION

PONCET A. PHYSIQUE DE LA MATIERE

POUSIN J. MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUEPREVOT P. INTERACTION COLLABORATIVE TELEFORMATION TELEACTIVITE

PROST R. CREATIS**RAYNAUD M. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Transferts Interfaces et Matriaux

REDARCE H. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE

RETIF J-M. CEGELY*REYNOUARD J.M. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Structures

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RIGAL J.F. MECANIQUE DES SOLIDESRIEUTORD E. (Prof. mrite) MECANIQUE DES FLUIDES

ROBERT-BAUDOUY J. (Mme) (Prof. mrite) GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES

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ROUX J.J. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON Thermique de lHabitatRUBEL P. INGENIERIE DES SYSTEMES DINFORMATION

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SOUIFI A. PHYSIQUE DE LA MATIERE

SOUROUILLE J.L. INGENIERIE INFORMATIQUE INDUSTRIELLE

THOMASSET D. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE

THUDEROZ C. ESCHIL Equipe Sciences Humaines de lInsa de LyonUBEDA S. CENTRE DINNOV. EN TELECOM ET INTEGRATION DE SERVICES


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VELEX P. MECANIQUE DES CONTACTS

VERMANDE P. (Prof mrite) LAEPSI

VIGIER G. GEMPPM***

VINCENT A. GEMPPM***VRAY D. CREATIS**

VUILLERMOZ P.L. (Prof. mrite) PHYSIQUE DE LA MATIERE

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BERTHIER Y. MECANIQUE DES CONTACTSCONDEMINE G. UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUE

COTTE-PATAT N.(Mme) UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUEESCUDIE D. (Mme) CENTRE DE THERMIQUE DE LYON

FRANCIOSI P. GEMPPM***

MANDRAND M.A.(Mme) UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUEPOUSIN G. BIOLOGIE ET PHARMACOLOGIE

ROCHE A. INGENIERIE DES MATERIAUX POLYMERESSEGUELA A. GEMPPM***

VERGNE P. LaMcos

Directeurs de recherche I.N.R.A.:FEBVAY G. BIOLOGIE FONCTIONNELLE, INSECTES ET INTERACTIONS

GRENIER S. BIOLOGIE FONCTIONNELLE, INSECTES ET INTERACTIONS

RAHBE Y. BIOLOGIE FONCTIONNELLE, INSECTES ET INTERACTIONS

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MAGNIN I. (Mme) CREATIS**

* CEGELY CENTRE DE GENIE ELECTRIQUE DE LYON

** CREATIS CENTRE DE RECHERCHE ET DAPPLICATIONS EN TRAITEMENT DE LIMAGE ET DU SIGNAL

***GEMPPM GROUPE D'ETUDE METALLURGIE PHYSIQUE ET PHYSIQUE DES MATERIAUX****LAEPSI LABORATOIRE DANALYSE ENVIRONNEMENTALE DES PROCEDES ET SYSTEMES INDUSTRIELS


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AVANT-PROPOS

Cette thse a t effectu au Centre Scientifique et Technique du Btiment (CSTB) de

Grenoble au sein de la division Caractrisation Physique des Matriaux (CPM). Elle a fait

lobjet dune convention CIFRE entre le CSTB et le Centre de Thermique de lINSA de Lyon

(CETHIL) qui sest charg de mon encadrement et du suivi de mes travaux.

Je remercie tout dabord ma directrice de thse, Mme Dominique BAILLIS pour la

confiance et lattention quelle ma accorde tout au long de ce travail.

Je remercie galement M. Daniel QUENARD qui fut mon responsable au sein duCSTB. A travers lui, jadresse mes remerciements au CSTB et particulirement la division

CPM qui a accueilli mes recherches.

Je remercie dautre part :

M. le Professeur G. JEANDEL et M. G. FLAMANT, Directeur de Recherches auCNRS, pour avoir accept dtre les rapporteurs de mon travail

ainsi que M. le Professeur Jean Franois SACADURA et M. Jean ChristopheBATSALE pour leur participation mon jury de thse

Je voudrais galement adress mes plus vifs remerciements aux partenaires industriels

en collaboration avec lesquels jai effectu une partie de ces recherches, la socit KNAUF et

EDF, pour mavoir fourni les diffrents chantillons, photographies et mesures dont javais

besoin.

Mes remerciements amicaux sadressent enfin tous les membres et collgues du

CSTB, du CETHIL ou dailleurs pour les discussions fructueuses : C. POMPEO, D.

GIRAUD, F. OLIVE, M. RUBAUD, R. VAILLON Matre de Confrence, HARIFIDY R.,

POET J.M..


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RESUME

Cette tude sintresse aux transferts de chaleur en rgime permanent dans les mousses

de Polystyrne Expans (PSE) de faible densit. Ces matriaux sont principalement utiliss

pour lisolation thermique des btiments et possdent une structure particulire. Etant donn

leur trs faible masse volumique, ils sont le sige dun couplage entre transfert thermique parconduction et par rayonnement.

Une premire partie de ltude a pour but de modliser lvolution de la conductivit

thermique quivalente de ces mousses avec les diffrents paramtres qui la caractrisent

(masse volumique, taille de cellules, taille de billes, porosit interbille). Pour cela, le couplage

conduction-rayonnement en gomtrie monodimensionnelle et lquation du transfert radiatif

sont rsolus numriquement par la mthode des volumes de contrle associe la mthode

des ordonnes discrtes.

La conductivit phonique de ces matriaux est prdite en adaptant des modles dj

existants. Par contre, les proprits radiatives sont dtermines partir des indices de

rfraction du polystyrne en utilisant une mthode originale permettant de prendre en compte

la structure complexe de ces mousses.

Les rsultats thoriques concernant les proprits radiatives et la conductivit

thermique quivalente des mousses de PSE sont valids partir de mesures spectromtriques

et de mesures flux mtriques sur des chantillons que nous avons pu caractriser.

Dans une deuxime partie, trois actions consistant introduire des rupteurs de

rayonnement au sein de lisolant pour freiner la propagation du rayonnement et donc diminuer

le transfert de chaleur par rayonnement sont analyses. Ces trois actions se diffrencient par

lchelle laquelle les rupteurs agissent sur le transfert radiatif (chelle macroscopique,chelle microscopique, chelle msoscopique).

Dans chaque cas, la modlisation thorique nous permet de dterminer les

caractristiques des rupteurs maximisant la baisse de conductivit thermique quivalente des

mousses. Les rsultats sont ensuite valids partir de mesures flux mtriques montrant que

des baisses sensibles de la conductivit thermique quivalente peuvent tre obtenues en

utilisant ces actions.

Enfin, dans une dernire partie nous nous intressons lapplication des mthodes de

mesure classiques de la conductivit quivalente au cas des mousses de PSE. Ces mthodes de

mesure sont bases sur lhypothse dun transfert de chaleur purement conductif. Nous

montrons donc les limites de chacune de ces mthodes dans le cas de matriau o le transfertde chaleur par rayonnement est non ngligeable.


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9

TABLE DES MATIERES

AVANT-PROPOS.7

RESUME....8

TABLE DES MATIERES9

NOMENCLATURE....11

INTRODUCTION GENERALE...13

1 . RAPPELS SUR LE TRANSFERT DE CHALEUR DANS LES MILIEUX POREUX.................................................................................................................................................. 18

1.1 Lois fondamentales du transfert thermique en milieu poreux.................................. 19

1.1.1 Equation de lnergie ....................................................................................... 191.1.2 Transfert thermique conductif .......................................................................... 20

1.1.3 Equation du transfert radiatif............................................................................ 22

1.2 Modlisation du transfert de chaleur dans les milieux poreux en 1-D cartsien avec

symtrie azimutale................................................................................................................ 25

1.2.1 Dcouplage conduction-rayonnement et rsolutions approches de lETR..... 27

1.2.2 Rsolution prcise de lETR et du couplage conduction-rayonnement ........... 30

1.2.3 Dtermination des proprits radiatives des milieux poreux ........................... 39

2 . ETUDE DU TRANSFERT DE CHALEUR DANS LES MOUSSES DEPOLYSTYRENE EXPANSE (PSE) DE FAIBLE DENSITE............................................52

2.1 Analyse de la structure des mousses de Polystyrne Expanse ............................... 542.1.1 Structure du lit de billes compresses .............................................................. 56

2.1.2 Structure du milieu cellulaire interne aux billes............................................... 57

2.2 Modlisation du transfert de chaleur en 1-D cartsien dans les mousses de PSE.... 61

2.2.1 Bibliographie .................................................................................................... 61

2.2.2 Prsentation du modle dvelopp...................................................................63

2.2.3 Evolution de la conductivit thermique quivalente des mousses de PSE .... 106

2.2.4 Validation exprimentale du modle de calcul de la conductivit thermique

quivalente ..................................................................................................................... 112

3 . AMELIORATION DU POUVOIR ISOLANT DES MOUSSES DE PSE DE

FAIBLE DENSITE .............................................................................................................. 1153.1 Action lchelle macroscopique .......................................................................... 117

3.1.1 Principe........................................................................................................... 117

3.1.2 Etude thorique du transfert thermique en prsence de films rupteurs de

rayonnement...................................................................................................................119

3.1.3 Validation exprimentale ............................................................................... 127

3.1.4 Conclusions .................................................................................................... 132

3.2 Action lchelle microscopique........................................................................... 133

3.2.1 Principe........................................................................................................... 133

3.2.2 Modlisation du transfert de chaleur en prsence de particules opacifiantes. 134

3.3 Action lchelle msoscopique............................................................................ 172

3.3.1 Principe........................................................................................................... 172


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10

3.3.2 Etude de la baisse de conductivit thermique quivalente dun arrangement de

billes cellulaires enrobes............................................................................................... 172

3.4 Conclusions sur les trois approches .......................................................................195

4 . ANALYSE DES METHODES DE MESURE DE LA CONDUCTIVITE

THERMIQUE EQUIVALENTE APPLIQUEES AUX MOUSSES DE PSE DE FAIBLEDENSITE .............................................................................................................................. 196

4.1 Mesures flux mtriques ou par plaques chaudes gardes.......................................197

4.1.1 Principe........................................................................................................... 197

4.1.2 Application aux mousses de PSE de faible densit........................................ 199

4.1.3 Conclusions .................................................................................................... 207

4.2 Mesure par sonde fil ou fil chaud........................................................................... 208

4.2.1 Principe........................................................................................................... 208

4.2.2 Application aux mousses de PSE de faible densit........................................ 210

4.2.3 Conclusions .................................................................................................... 233

CONCLUSION GENERALE.....235

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES238

ANNEXE I.245

ANNEXE IL...254

ANNEXE III..258

ANNEXE IV..275

ANNEXE V....282

ANNEXE VI..291


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11

NOMENCLATURE

a : diffusivit thermique de la mousse en m/s

Ce: section efficace dextinction en m2

Cssection efficace de diffusion en m2

Ca: section efficace dabsorption en m

2

Cp: chaleur spcifique de la mousse en J/kg/K

Cfil: chaleur spcifique du fil en J/kg/K

d : distance entre deux billes voisines

Dcell: diamtre moyen des cellules formant le milieu cellulaire en m

Dbille: diamtre des billes formant la mousse en m

Ec,: missivit monochromatique de la face chaude

Ef,: missivit monochromatique de la face froide

Efil,: missivit monochromatique du fil chaud

En : nergie en W/m2

ep : paisseur des films en m

fs: fraction de polymre prsent dans les poutres de cellules

h : paisseur des fentres de cellules en m

kqu: conductivit thermique quivalente en W/m/K

k : conductivit thermique en W/m/K

l : paisseur de la tranche disolant en m

L0: luminance incidente en W/m2/Sr

L(s, v

) : Luminance au point dabscisse s dans la direction v

en W/m2/Sr

L0(T) : luminance dmission du corps noir la temprature T en W/m2/Sr

M : masse surfacique dpose en kg/m

M : masse introduite par unit de volume en kg/m

3

iknn =~ : indice de rfraction imaginaireny : nombre de subdivisions utilises dans la mthode des volumes de contrle en 1-D

cartsien

nR : nombre de subdivisions utilises dans la mthode des volumes de contrle en 1-D

cylindrique

nb : nombre de bandes de la discrtisation spectrale

nbd : nombre de directions de la quadrature utilise

P : fonction de phase de diffusion

q : flux de chaleur surfacique en W/m2

qc: flux conductif surfacique en W/m2

qc: flux radiatif surfacique en W/m2

qt: flux de chaleur surfacique moyen mesur sur les plaques chaude et froide en W/m

2

Rbille: rayon des billes formant la mousse en m

Rfil: rayon du fil chaud en m

Rfilm: rflectance des films polystyrne

Rfen: rflectance des fentres

Rlim: rayon du cylindre fictif pour la rsolution de lquation du transfert radiatif en gomtrie

cylindrique en m

Rh : rflectance hmisphrique

Sfen: surface visible de la fentre en m2

Ssp: surface spcifique en m/m3

t: temps en sT : temprature en K


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12

Tc: temprature de la plaque chaude

Tf : temprature de la plaque froide

tfen : taille des fentres en m

Td : transmittance directionnelle

Th : transmittance hmisphrique

Trfen: transmittance des fentresTrfilm: transmittance des films polystyrne

U : puissance linique de chauffage du fil en W/m

Vcube: volume des cellules cubiques en m3

Vdode: volume des cellules dodcadriques en m3

Vfen: volume dune fentre en m3

wi: pondration de la ime direction de la quadrature utilise

z : coordonne selon laxe parallle au flux de chaleur monodimensionnel en m

Symboles grecs

: coefficient volumique dextinction en m-1R: coefficient dextinction de Rosseland moyenn en m

-1

: coefficient volumique dabsorption en m-1

: coefficient volumique de diffusion en m-1: porosit : longueur donde en m= 4: angle solide total en stradiand: angle solide lmentaire en stradiani: paramtre de correction pour la normalisation de la fonction de phase: angle dazimuth en rad

: angle polaire en rad : coefficient directeur de la direction faisant un angle avec la direction du flux de chaleur= /: albdo : masse volumique de la mousse en kg/m3

fil : masse volumique du fil en kg/m3

Indices

c : conductif

r : radiatifcell : cellules

npar : nuage de particules

part : particules

po : poudre

PS : polystyrne

bille : bille


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13

INTRODUCTION GENERALE

Parmi tous les secteurs dactivits, le btiment est actuellement le plus gros

consommateur dnergie avec plus de 45% de lnergie totale, loin devant des secteurs

comme lindustrie (28 %) ou les transports (24 % ). Or, la majeure partie de cette nergie estutilise pour chauffer les locaux. Dans ces conditions, on imagine facilement limportance de

lisolation thermique des btiments sur la rduction de la consommation nergtique globale.

Lamlioration de la qualit des isolants constitue donc un enjeu nergtique majeure.

La grande majorit des matriaux disolation thermique utiliss lheure actuelle se

classent en deux catgories suivant la nature de leur structure interne. On distingue :

Les isolants alvolaires possdant une structure cellulaire ouverte ou fermepouvant renfermer un gaz dimprgnation autre que lair. Parmi ces isolants, on

peut citer les mousses de Polystyrne Expans, les mousses de Polyurthane

ou encore le lige.

Les isolants fibreux constitus par lentrelacement plus ou moins alatoire defibres de grande longueur. Les matriaux fibreux les plus couramment utiliss

sont les laines de verre et les laines de roche

Dans les deux cas, la quasi totalit du volume de lisolant est constitu dair et le

principe daction sur le transfert de chaleur est le mme :

La prsence de la matrice solide cellulaire ou fibreuse empche tout mouvement

convectif de se former lintrieur du matriau et permet de limiter fortement le transfert de

chaleur par convection. Par ailleurs, la forte porosit de lisolant limite le transfert de chaleur

par conduction travers la matrice solide.

Lessentiel du transfert de chaleur se fait donc par conduction thermique travers lair

qui est majoritairement utilis comme gaz dimprgnation depuis lentre en vigueur de la

nouvelle rglementation thermique visant rduire les missions de gaz effet de serre. Cette

rglementation interdit en effet lutilisation de gaz de faibles conductivits comme les CFC ou

HCFC qui taient auparavant largement utiliss comme gaz dimprgnation. Cependant, on

constate galement quune part non ngligeable dnergie peut tre transporte par

rayonnement thermique travers la matrice solide.

Afin de quantifier les performances thermiques des isolants, les professionnels de

lisolation utilisent une grandeur appele conductivit thermique quivalente ( kqu enW/m/K) qui reprsente le flux de chaleur total, par unit de surface, traversant lisolant

soumis un gradient de temprature unit. Au plus cette conductivit thermique est faible, au

plus lisolant est efficace.

La masse volumique est un paramtre qui influence trs fortement les performances

thermiques des isolants. Ainsi, pour lensemble des isolants traditionnels, lvolution

qualitative de la conductivit thermique quivalente avec la masse volumique est similaire et

peut tre rsume par la figure 1.

Lorsque la masse volumique de lisolant est relativement importante le flux de chaleur

traversant lisolant par rayonnement thermique peut tre nglig puisque la matrice solide

dense empche le rayonnement thermique de se propager. Le transfert thermique se fait donc

uniquement par conduction gazeuse et par conduction solide. En outre, tant donn que laconductivit de la matrice solide est suprieure celle de lair, une augmentation de la masse


14/300

14

volumique de lisolant entrane une augmentation de sa conductivit thermique

quivalente .

En revanche, lorsque la masse volumique de lisolant est suffisamment faible, le transfert de

chaleur par rayonnement thermique nest plus ngligeable. Par ailleurs, au plus la densit delisolant est faible, au moins la matrice solide constitue un obstacle la propagation du

rayonnement thermique. Ainsi, le transfert thermique radiatif saccrot lorsque la masse

volumique de lisolant diminue. Pour des matriaux de faible densit, cette augmentation est

plus rapide que la baisse de conductivit due la diminution du transfert thermique par

conduction solide. Dans ce cas, la conductivit thermique quivalente de lisolant a donc

tendance augmenter lorsque sa masse volumique baisse.

Les deux effets antagonistes que nous venons de citer ont pour consquence

lexistence dune densit de lisolant optimale pour laquelle la conductivit thermique

quivalente de lisolant est minimale. Lorsque la masse volumique du matriau est infrieure cette masse volumique optimale, on parle disolant faible densit (IFD). Ce type

disolant est intressant plusieurs titres :

Leur cot de production plus faible tant donn quils ncessitent moins de matirepremire

En outre, ils permettent de rduire sensiblement le poids des matriaux.

En revanche, leurs performances thermiques sont relativement mdiocres tant donn

quune proportion importante (jusqu 40% pour les plus faibles densit) du flux total se

propage par rayonnement thermique ce qui limite leur utilisation. Par ailleurs, les modes detransfert de chaleur qui interviennent au sein de ce type disolant restent mal connus. En effet,

Figure 1 : Illustration de lvolution de la conductivit thermique quivalente des

isolants avec leur masse volumique

Conduction par le gaz

Conduction par la matrice solideRayonnement (I.R.)

kqu

Masse volumique

Masse volumique

optimale


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15

si le transfert de chaleur par conduction obit des lois relativement simples, il nen va pas de

mme pour le transfert thermique radiatif dans les milieux poreux de faible densit qui fait

intervenir les phnomnes dabsorption, dmission mais galement de diffusion du

rayonnement par le milieu.

Lobjectif principal de la thse est de mieux comprendre les phnomnes de transfertthermiques et notamment radiatif au sein de isolants de faible densit afin de pouvoir les

optimiser thermiquement. Les travaux effectus peuvent tre scinds en trois parties. La

premire partie porte sur la modlisation des transferts coupls conduction-rayonnement

partir de la microscopie des matriaux. La deuxime sintresse loptimisation du

comportement radiatif des isolants faible densit. La troisime partie est plus exploratoire.

Elle vise utiliser les modles dvelopps dans la premire partie afin de mieux comprendre

les mthodes de mesure telles que la mthode des plaques chaudes gardes ou du fil chaud

appliques ces milieux semi-transparents, ces mthodes tant gnralement utilises pour

des milieux opaques.

Nous nous sommes donc pench, dans la premire partie de ce travail, sur la

modlisation du transfert de chaleur par conduction et rayonnement dans les isolants de faibledensit en nous intressant plus particulirement aux mousses de Polystyrne Expans (PSE).

Ces matriaux occupent une large partie ( 26 %) du march de lisolation thermique et ont t

jusqu prsent relativement peu tudis par rapport aux autres types disolant comme les

laines de verre. Ils possdent en effet une structure poreuse complexe (voir figure 2).

Ltude que nous avons ralise est base sur la rsolution de lquation de lnergie

qui rgit lquilibre thermique lintrieur de lisolant et permet de rsoudre le couplage

conduction-rayonnement. Lquation du transfert radiatif (ETR) prenant en compte les

phnomnes dmission, dabsorption et de diffusion du rayonnement par lisolant, est rsolue

par la mthode, trs prcise, des ordonnes discrtes.

Les proprits conductives du matriau poreux ont t dtermines partir des

rsultats dtudes antrieures. En ce qui concerne les proprits radiatives, nous avons mis au

point des mthodes de modlisation originales bases sur un approche Monte Carlo et

permettant de tenir compte de la structure complexe des mousses de PSE.

Les rsultats thoriques ont t compars des mesures de conductivit thermiquequivalente ralises sur plusieurs plaques de PSE de caractristiques variables et ont permis

Figure 2 : Photo dune coupe de mousses de Polystyrne Expans (PSE)


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16

de valider le modle de calcul du flux thermique total. Nous avons galement valid le

modle de dtermination des caractristiques radiatives laide de mesures spectromtriques

sur des tranches de PSE dpaisseur contrle. Enfin, une tude paramtrique a mis en

vidence linfluence des paramtres physiques caractrisant la structure des mousses de PSE

sur leurs performances thermiques. Ceci nous a permis de dterminer les valeurs de ces

diffrents paramtres qui permettent doptimiser lefficacit de lisolant.

Toutefois, malgr loptimisation des performances thermiques des mousses de PSE, le

transfert thermique radiatif garde un rle trs important dans le transfert de chaleur global.

Ainsi, afin de rduire davantage le flux de chaleur par rayonnement, plusieurs actions ont t

proposes par lentreprise KNAUF, le CSTB et EDF. Lanalyse et la mise en uvre de ces

actions font lobjet dun contrat entre ces trois organismes. A terme, le but de ce contrat est de

produire des mousses de PSE faible densit amliores dont la conductivit thermique

quivalente est nettement diminue. Ces actions se diffrencient en trois approches suivant

lchelle laquelle laction sur le transfert radiatif est envisage :

Approche macroscopique : le principe est alors dintroduire un ou plusieursfilms de proprits radiatives spcifiques lintrieur de la plaque disolant

pour empcher le rayonnement infrarouge de se propager

Approche microscopique : le principe est dinsrer dans la matrice poreuse depolystyrne, des particules microscopiques qui absorbent et diffusent le

rayonnement thermique infrarouge.

Approche msoscopique : laction consiste enrober les billes formant la

mousse de PSE avant leur moulage avec un produit ayant une forte interactionavec le rayonnement afin de crer des obstacles supplmentaires la

propagation du rayonnement thermique

Pour chacune de ces approches, nous avons mis en place des modles permettant

dvaluer les gains de conductivit quivalente quil est possible dobtenir en fonction des

proprits radiatives et des caractristiques physiques des produits utiliss (films, peintures,

poudres). A partir de cette tude, nous avons pu mettre en avant les proprits radiatives et les

caractristiques optimales des produits utilises pour chaque approche. Les rsultats

thoriques des modles prenant en compte linfluence des diffrents rupteurs de

rayonnement ont fait lobjet de validations exprimentales partir de mesures de conductivit

quivalente par plaque chaude garde ou de mesures spectromtriques.

Enfin, dans une dernire partie, nous nous sommes intresss ladaptation des

mthodes de mesure traditionnelles du transfert thermique utilises au CSTB au cas des

mousses de PSE de faible densit. Ces mthodes classiques de mesure de la conductivit

thermique quivalente des isolants sont de deux types :

Les mesures par plaque chaude garde ou mesures flux mtriques effectuesen rgime tabli

Les mesures par la mthode du fil chaud en rgime transitoire qui ontlavantage de permettre une mesure plus rapide


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17

Pour les mesures en rgime tabli, la conductivit thermique quivalente est calcule

partir dune mesure du flux thermique traversant une plaque disolant soumise un gradient

de temprature. En revanche, pour les mesures en rgime transitoire, elle est dduite de

lvolution de la temprature dun fil chauff introduit lintrieur de lisolant. Toutefois,

dans les deux cas, la conductivit thermique quivalente est dtermine en supposant que le

transfert de chaleur lintrieur de lisolant se fait uniquement par conduction.Or, dans les isolants faible densit, le transfert thermique radiatif est non ngligeable.

Par ailleurs, les lois rgissant le transfert radiatif dans ce genre disolant sont diffrentes et

plus complexes que pour le transfert conductif et, par consquent, lapplication des mthodes

de mesure traditionnelles est problmatique. Ceci conduit notamment des erreurs ou des

fluctuations inexpliques sur les valeurs de conductivit thermique quivalente mesures pour

ce genre de produit.

Cest pourquoi, afin dinterprter et de mieux comprendre les problmes lis

lutilisation des mthodes de mesure habituelles pour les isolants faible densit, nous avons

simul ces deux types de mesure en les appliquant au cas des mousses de polystyrne expans

tudies prcdemment. La modlisation des mesures en rgime tabli fait appel la

rsolution de lquation de lnergie et de lETR en 1-D cartsien alors que la modlisationdes mesures par fil chaud ncessite de rsoudre lquation de lnergie et lETR en 1-D

cylindrique transitoire. Les rsultats obtenus ont t valids par plusieurs mesures flux

mtriques ou par fil chaud sur des mousses de PSE que nous avons caractrises. Ils nous ont

permis, notamment, de mettre en vidence linfluence sur la valeur de la conductivit

thermique mesure, de certains paramtres (paisseur disolant, missivit des frontires) qui,

thoriquement, ninterviennent pas sur le transfert conductif. Ces paramtres ntaient

jusqualors pas pris en compte dans lanalyse des rsultats de mesure et pouvaient donc tre

lorigine derreurs de mesure.

Cette analyse quantitative nous permet de conclure que lutilisation dun seul

paramtre (en loccurrence la conductivit thermique quivalente) pour caractriser le

transfert thermique dans les isolants faible densit, est insuffisante. Lidal serait de disposer

de deux paramtres se rapportant respectivement au transfert conductif et radiatif


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18

1 . RAPPELS SUR LE TRANSFERT DE

CHALEUR DANS LES MILIEUX

POREUX

1.1 Lois Fondamentales du transfert thermique en

milieu poreux

1.2 Modlisation du transfert de chaleur dans les

milieux poreux en 1-D cartsien avec symtrie

azimutale


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19

La grande majorit des matriaux utiliss traditionnellement pour lisolation des

btiments appartiennent la famille des milieux poreux. En effet, leur structure poreuse,

quelle soit fibreuse ou cellulaire, permet dannuler le transfert de chaleur par convection et de

profiter de la faible conductivit thermique du gaz qui limprgne (en grande majorit

lair) pour rduire fortement le transfert thermique au sein du matriau.

Ainsi, deux modes de transfert de chaleur interviennent simultanment dans lesmilieux poreux :

Le transfert conductif travers la matrice poreuse et le gaz dimprgnation

Le transfert thermique radiatif

Le transfert de chaleur par rayonnement peut jouer un rle important dans les milieux

poreux de faible densit. Typiquement, pour des densits trs faibles, la part du rayonnement

dans le transfert de chaleur total lintrieur des isolants est de 30% 40% temprature

ambiante et peut prendre des proportions plus importantes pour des tempratures suprieures.

Du point de vue de linteraction avec le rayonnement thermique, les milieux poreux seclassent dans la catgorie des milieux semi-transparents. Ils sont capables dabsorber,

dmettre mais galement de diffuser le rayonnement.

Les deux mcanismes de transfert de chaleur par conduction et rayonnement obissent

des lois de propagation trs diffrentes. Par ailleurs, ils sont tous les deux troitement lis au

champ de temprature rgnant lintrieur du matriau tudi et peuvent avoir une influence

mutuelle lun sur lautre. En effet, toute modification de lun entrane une variation du champ

de temprature et des effets sur lautre. On parle alors de couplage conduction-

rayonnement .

La prise en compte de ce couplage ncessite une rsolution simultane des quations

rgissant chacun des modes de transfert de chaleur. Aussi, afin de simplifier le problme, de

nombreuses tudes traitant du transfert de chaleur dans des milieux poreux ont nglig ce

phnomne.

Dans les prochains paragraphes, nous dcrivons les mcanismes rgissant le transfert

de chaleur total dans les milieux poreux. Nous dtaillons notamment les lois fondamentales

du transfert thermique par conduction et par rayonnement. Nous rcapitulons ensuite les

diffrentes mthodes qui ont t prcdemment utilises pour rsoudre le transfert thermique

dans les milieux poreux en faisant la distinction entre les mthodes de rsolutions approches

ngligeant le couplage conduction-rayonnement et les mthodes de rsolution exactes.

1.1 Lois fondamentales du transfert thermique enmilieu poreux

1.1.1 Equation de lnergie

Cette quation traduit lquilibre thermique total lintrieur du matriau considr.

Cest donc elle qui dfinit le couplage entre le transfert thermique conductif et le transfert

thermique radiatif. Elle est obtenue partir dun bilan dnergie dans un lment de volume

lmentaire dans lequel on a la conservation de lnergie thermique totale. Elle sexprime

sous la forme dune quation diffrentielle. Dans le cas o aucune source ou puits de chaleur


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20

nest prsent dans le milieu, et que seuls les transferts de chaleur conductif et radiatif

interviennent, cette quation scrit :

))()(()(.. crtp qdivqdivqdivt

TC +==

(1.1)

o div(qt), div(qc) et div(qr) reprsentent la divergence du flux thermique total, du flux

thermique conductif et du flux thermique radiatif

Dans la plupart des cas que nous tudierons, nous considrerons uniquement le

transfert de chaleur en rgime tabli. Lquation de lnergie, se rduit alors :

)()( cr qdivqdiv = (1.2)

Enfin, si on considre uniquement le transfert de chaleur entre 2 plaques planes

parallles temprature uniforme (1-D cartsien), comme ce sera souvent le cas pour la

caractrisation des isolants, lquation de lnergie se simplifie encore et devient :

z

q

z

q rc

= (1.3)

1.1.2 Transfert thermique conductif

Le transfert par conduction dans les milieux poreux est un phnomne complexe du fait

de la structure toujours complique de ces milieux constitus dune phase fluide et dune

phase solide. Limportance du transfert par conduction dpend ainsi dun nombre important

de paramtres comme : la conductivit de la phase fluide et de la phase solide, la morphologie

de la matrice solide, la proportion et la rpartition de chaque phase .

Cependant, lorsque la taille des pores est trs faible devant les dimensionsmacroscopiques du milieu, la propagation de la chaleur par conduction peut tre prise en

compte en utilisant une loi simple de FOURIER de mme type que celle utilise pour des

matriaux homognes.

On a alors :

)(. Tdgrakq cc

r

= (1.4)Dans le cas dun transfert de chaleur en 1-D cartsien, le flux thermique conductif

sexprime plus simplement par la relation :

z

Tkq cc

= (1.5)

La valeur de la conductivit thermique kcdu milieu poreux est fortement dpendantede la conductivit des deux phases et de la morphologie du milieu poreux. Des tudes ont t

menes sur des milieux sableux (Black 1982), des lits de particules sphriques (Bouvard

1995, Hsu 1994), les milieux granulaires (Vachon 1977), les structures en nid dabeilles, les

mousses de verre ou encore les poudres. Il est vident que pour ce genre de milieu, les

modlisations dveloppes ne sont pas adaptes la caractrisation du transfert conductif

dans les isolants traditionnels (milieux cellulaires et fibreux). Cependant, elles nous

permettent de comprendre plus en dtail les voies de propagation du flux conductif travers le

matriau notamment grce lanalogie lectrique souvent utilise comme rfrence.

Pour les milieux poreux cellulaires, N.C Hilyard et A. Cunningham (1982) ainsi que

Dawson et Shorthall (1982) dcrivent de manire prcise la structure de ces matriaux. Ils

sont constitus par une matrice solide formant des cellules de type dodcadre pentagonal.Ces cellules sont formes par lassemblage de poutres de polymres formant des faces de


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21

forme pentagonale recouvertes ou non par un film de polymre. Une part importante du

polymre peut tre contenue dans les poutres formant les cellules. La porosit de ces

matriaux est trs importante et atteint des valeurs suprieures 95%.

A partir de considrations gomtriques, L.R. Glicksmann (1985) propose une formule

pour valuer la conductivit de ce type de milieux poreux. Ainsi :

)2(31)1( spgc fkkk += (1.6)

o kcest la conductivit phonique du matriau

kgest la conductivit du gaz contenu (air)

kpest la conductivit du polymre

est la porosit du matriauet fsest la part de polymre contenu dans les poutres de cellules

Cunningham (1988) propose une autre formulation prenant en compte lorientation des

poutres et ngligeant leffet des fentres de cellules sur le transfert conductif.

L.R. Glicksmann (1994) a galement mis au point une modlisation tablie partir du

raisonnement sur une cellule cubique. Il retrouve ainsi la formule (1.6) explicite plus haut et

ltend toutes les formes de cellules. Lanalyse sur une cellule de forme cubique avait dj

t ralise par Russell (1934). Boetes (1986) utilise galement ce genre de modlisation.

Enfin, une tude mene par A.G Leach (1993) dans laquelle lauteur rcapitule lensemble des

modles utiliss (modle parallle-srie, modle cubique, modle sphrique) pour le calcul de

la conductivit des milieux cellulaires montre que lensemble de ces modles tend vers une

conductivit thermique dans les milieux cellulaires ferms de la forme :

Xkkk pgc3

2)1( += (1.7)

o X est un facteur compris entre 0 et 1

Cette tude conforte donc la formule (1.6) donne par Glicksmann. Aussi pour les

milieux cellulaires fermes, cette formule est communment admise comme tant une bonne

approximation.

Dautres tudes sur des milieux cellulaires de morphologie plus complexe comme lesmousses de PSE ont t ralises. Ces milieux poreux sont obtenus par moulage de billes

cellulaires entre lesquelles des cavits dair se forment. La taille de ces billes est suffisamment

faible pour supposer que le transfert conductif obit une loi du mme type que (1.5). Cettestructure macroscopique a une influence sur la conductivit thermique des mousses de PSE et

il est vident que lapplication de la formule de Glicksmann (1.6) sans modification tenant

compte de cette structure, conduirait des erreurs. Une tude mene au CSTB par Quenard etal. (1996) prend en compte de linfluence de la structure macroscopique. Les auteurs

considrent que les mousses de PSE sont constitues de 3 phases distinctes :

Une phase correspondant aux macroporosits (cavits interbilles, dfautsdempilement)

Une phase correspondant la zone de cur (centre des billes) Une phase correspondant la zone de peau (en priphrie de la bille)

Le calcul de la conductivit thermique des mousses de PSE se fait alors par application

au choix de trois modles triphass permettant le calcul de la conductivit de milieux trois phases partir des donnes gomtriques du milieu et de la conductivit des trois phases.


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22

Ces modles sont : le modle de D.Krischer et K.Kroll, le modle de De Vries et le modle

K.W. Jackson et W.Z. Black.

Pour les milieux fibreux, diffrentes corrlations ont t tablies pour obtenir laconductivit du milieu. Ainsi Daryabeigi (1999) propose :

sgc kfkfk 3)1( += (1.8)avec ksconductivit thermique des fibres

et f la fraction volumique de fibres

Rish (1985) value la conductivit dun milieu de fibre de verre grce la formule :

0095.0+= airc kk o kairest la conductivit de lair

Jaster (1990) propose quant lui un modle de type :

( )TbacfTT

afk ss

n

gc ++

= .)1( 0 (1.9)

Le 1erterme du second membre correspond la conductivit du gaz et le 2meterme

la conductivit dans le solide. ag, n, c, as, bssont des constantes empiriques.

Dans sa thse, Milandri (2000) utilise une formule directement issue des travaux de

LANGLAIS et KLARSFELD (1983) et applicable pour les fibres de silice :

)100

13.01(.00527.0.2572.0 91.081.0 T

Tkc ++= (1.10)

o kcsexprime en mW/mK.

Cette formule est de la forme de celle propose par JASTER puisque la fraction

volumique de fibre peut tre facilement relie la masse volumique en considrant que la

masse volumique de lair est trs faible devant celle du solide :

s

f

=

o sest la masse volumique du solide constituant les fibres

1.1.3 Equation du transfert radiatif

1.1.3.1 Cas gnralLe transfert thermique par rayonnement lintrieur des milieux poreux, qui secomportent comme des milieux semi-transparents absorbant et diffusant le rayonnement

thermique infrarouge, obit des lois diffrentes du transfert conductif. En effet, la chaleur ne

se propage pas de proche en proche comme dans le cas du transfert par conduction mais sous

forme de rayonnement lectromagntique susceptible dtre absorbe ou diffuse par la

matrice solide formant le milieu poreux. Pour caractriser intgralement le transfert radiatif

dans un milieu poreux semi-transparent, il est alors ncessaire de dterminer, en tout point du

milieu et dans toutes les directions, le champ de luminance pour lensemble des longueurs

donde infrarouge. La luminance spectrale directionnelle L(s, v

) est dfinie comme suit :

En un point de coordonnes s et pour une surface lmentaire associe dA de normale nr

,

on considre d, la puissance rayonnante dans lintervalle de longueur donde compris entreet +d, travers la surface projete perpendiculairement la direction

v

, dA.coset dans


23/300

23

langle solide d centr sur v

. La luminance spectrale directionnelle reprsente alors la

puissance rayonnante monochromatique (d) travers lunit de surface projeteperpendiculairement

v

(dA.cos) dans langle solide unitaire centr sur v

(d) et par unitde longueur donde dautour de la longueur donde .

dddA

dsL

..cos.),(

3

=

v

(1.12)

Ce champ de luminance est rgi par lquation du transfert radiatif (ETR) qui est

obtenue partir dun bilan dnergie radiative dans un volume lmentaire plac sur lechemin dun faisceau de rayonnement. Ce bilan est effectu en utilisant lapproche

macroscopique dEuler qui consiste considrer le milieu poreux semi-transparent comme

homogne lchelle macroscopique.

Durant son trajet dans llment de volume, la luminance du faisceau est modifie

par le milieu de diffrentes faons :

Le milieu attnue la luminance en absorbant et diffusant une partie durayonnement incident. On a alors /

nr

v

dAd

O

s

Figure 1.1 : Dfinition de la luminance spectrale directionnelle L

L

(s, v

) + dLL(s,

v

)

s s + ds

v

v

Figure 1.2 : Variation de la luminance spectrale directionnelle la traverse dun vilume

lmentaire


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24

dsLdsLdsLdL DA =+=+

)( (1.13)

est le coefficient monochromatique dabsorption

est le coefficient monochromatique de diffusion

=

+

est le coefficient monochromatique dextinction

Le milieu met lui-mme une quantit de rayonnement dans la longueur dondeconsidre. On a alors dsTLdL s

E)(

0

=

L

0(Ts)est la luminance monochromatique dmission du corps noir la

temprature du volume considr et qui est donne par la loi de Planck :

=

1

2)(

0

5

2

020

Tnk

hc

e

hcnTL

(1.14)

n est lindice de rfraction du milieu homogne, c0est la vitesse de propagation

des ondes lectromagntiques dans le vide (c0 = 2.99776.108 m/s), h la

constante de Planck (h = 6.626.10-34J.s) et k la constante de Boltzmann (k =

1.3805.10-23J/K).

Le milieu diffuse une partie du rayonnement provenant de toutes les directionsde lespace

v

dans la direction v

du faisceau. Ce rayonnement vient sajouter

celui du faisceau incident. On a :

=

=

4'

' '.).',().'(4

dsdsLPdLDrrr

(1.15)

Pest la fonction de phase de diffusion du milieu. Le terme

4

').'( dPrr

reprsente la proportion de lnergie radiative diffuse dun faisceau incident

dans langle solide lmentaire d le soit dans langle solide dcentr sur v

.

Dans le cas o le milieu tudi est isotrope comme ce sera le cas pour

lensemble des milieux que nous tudierons, la fonction de phase ne dpend

que de langle entre la direction dincidence et la direction de diffusion. Cette

fonction doit tre normalise afin que la somme des probabilits de diffusion

dans toutes les directions soit gale 1. Elle doit donc vrifie la relation :

=

=

4'

1').'(4

1dP

rr

(1.16)

Finalement on obtient en sommant chacune de ces contributions :

=

++=

4'

0 '.).',().'(.4

)( dsdsLPdsTLdsLdL svvr

(1.17)

Cette relation peut se traduire par une quation diffrentielle appele quation

du transfert radiatif:

=

+=+

4'

0 ').',().'(.4

)()1(),(),(1

dsLPTLsLds

sdL rrrrr

(1.18)

o = / est lalbdo monochromatique et correspond laproportion de lnergie intercepte par le milieu qui est diffuse


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25

En toute rigueur, il serait ncessaire de prendre en compte la drive de la luminance

avec le temps puisque le rayonnement met un certain temps pour traverser le volume

lmentaire. On a alors :

t

tsL

cs

tsL

ds

tsdL

),,(1),,(),,( +

=

rrr

o c est la vitesse de propagation de londe lectromagntique dans le milieu

Toutefois, le deuxime terme du second membre peut tre nglig tant donn que les

ondes lectromagntiques de propagent trs rapidement et lon considre que la luminance

stablit instantanment.

1.1.3.2 Equation du Transfert Radiatif pour un transfertmonodimensionnel en gomtrie cartsienne

Dans la plupart des problmes que nous traiterons par la suite, le transfert de chaleur

peut tre considr comme monodimensionnel en coordonnes cartsiennes. Cest le casnotamment lorsquon a affaire un milieu poreux compris entre deux surfaces planes et

parallles de grande taille, de tempratures diffrentes.

En outre, les proprits des matriaux que nous tudierons ainsi que les conditions aux

limites radiatives seront toujours indpendantes de langle dazimut (symtrie azimutale).Dans ce cas, lexpression de lEquation du Transfert Radiatif peut tre nettement simplifie :

( )( ) ( )

++=1

1

0 ')',()'(2

,,

dzLPTLzLz

zL (1.19)

avec = coset z la coordonne selon laxe perpendiculaire aux plans des interfaces

Les conditions aux limites, pour un transfert de chaleur en 1-D cartsien entre 2plaques planes opaques rflection diffuse scrivent :

+=1

0

,

0

, '')',0(.2)(),0( dLRTLEL ccc

+=1

0

,

0

, '')',(.2)(),( dlLRTLElL fff

o Tcet Tf sont les tempratures des plaques chaude (z = 0) et froide (z = l)

l est lpaisseur du milieu poreux soumis au gradient de tempratureEc, , Ef,, Rc, et Rf, sont les missivits et les rflectivits monochromatiques des plaqueschaude et froide

1.2 Modlisation du transfert de chaleur dans lesmilieux poreux en 1-D cartsien avec symtrie

azimutale

(1.20)


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26

Les milieux poreux sont utiliss dans de trs nombreuses applications thermiques,

essentiellement pour lisolation. Cest pourquoi, un nombre important dtudes se sont djpenches sur la modlisation du transfert de chaleur par conduction et rayonnement dans des

milieux de diffrentes morphologies. La plupart de ces tudes se rapportent au transfert dechaleur entre deux plaques planes parallles temprature uniforme et diffrentes lune de

lautre (1-D cartsien) en rgime tabli. Cette configuration correspond aux conditionsdutilisation habituelles des milieux poreux telles que lisolation des btiments. En outre,ltude du transfert de chaleur en 1-D cartsien permet de comparer les rsultats thoriques

avec des mesures flux mtriques ou par plaques chaudes gardes couramment utilises. Parailleurs, la grande majorit des milieux poreux possdent des proprits thermiques

indpendantes de langle dazimut (symtrie azimutale), cest pourquoi, dans la suite de cechapitre, nous nous placerons dans cette hypothse.

Toutefois, la rsolution en 1-D cartsien des quations rgissant le transfert thermiqueradiatif et conductif et de lquilibre thermique rgnant lintrieur du milieu poreux nest

pas sans difficult :

Certes, le transfert de chaleur par conduction peut tre facilement rsolu puisquil obit une loi simple de diffusion. La principale difficult consiste alors exprimer la conductivit

thermique du matriau poreux en fonction de celles de ses constituants et de sa morphologie.Dans ce domaine, diffrentes mthodes sont disponibles et ont t appliques des milieuxporeux varis.

Par contre, lquation du transfert radiatif tant de type intgro-diffrentiel, sa rsolution

analytique est plus complexe. La difficult principale provient du terme intgral. Diffrents

auteurs ont publi des ouvrages traitant de la rsolution du problme de transfert parrayonnement comme Chandrasekhar (1960), Hottel et Sarofim (1967), Ozisik (1973) ou

Sacadura (1987). On distingue ainsi : les solutions analytiques formelles, qui ne sontapplicables que pour des cas particuliers peu adapts aux cas de milieux rels, les solutions

approches et les solutions numriques dites exactes . En outre, pour chacune de ces

solutions, il est ncessaire de connatre les proprits radiatives du milieu poreux considr.Or, ces proprits radiatives sont troitement lies aux proprits optiques des constituants

ainsi qu leur forme et leur dimension et font intervenir des thories compliques traitant delinteraction entre le rayonnement et la matire.

Enfin, la rsolution de lquation de lnergie et donc du couplage conduction-rayonnement est ncessaire. Le champ de temprature rgnant dans lisolant est lui-mme

fortement dpendant des flux de chaleur conductif et radiatif.

Ainsi, la rsolution exacte du transfert de chaleur par conduction et rayonnement dans les

milieux poreux en rgime tabli ncessite davoir recours des mthodes numriquesitratives.

Toutefois, tant donn la complexit de ces mthodes et le temps de calcul importantquelles ncessitent, de nombreux auteurs ont fait appel certaines simplifications permettant

destimer le transfert thermique total par des mthodes analytiques nettement moins lourdes

mettre en place. Le couplage conduction-rayonnement est alors nglig et le transfert radiatifest trait par des lois simplifies ncessitant certaines hypothses.

Dans les prochains paragraphes, nous rcapitulons, dans un premier temps, les mthodessimplifies ngligeant le couplage conduction-rayonnement. Nous prsentons ensuite les

mthodes de rsolution numriques permettant de rsoudre simultanment lquation delnergie et du transfert radiatif. Bien que ces mthodes de rsolutions soient qualifies


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27

dexactes, la prcision des rsultats reste cependant fortement dpendante de la prcision sur

la connaissance des proprits radiatives des milieux tudi. Enfin, dans une troisime partie,nous prsentons les principaux travaux raliss prcdemment pour dterminer les proprits

radiatives de diffrents milieux poreux partir de la connaissance de leur morphologie et desproprits optiques de leurs constituants. Cette partie constitue la principale difficult dans la

caractrisation des performances thermiques des isolants.

1.2.1 Dcouplage conduction-rayonnement etrsolutions approches de lETR

Lorsque le couplage conduction-rayonnement est nglig, le transfert thermique totalrgnant lintrieur du milieu est obtenu en sommant simplement la contribution du flux

thermique conductif et du flux thermique radiatif obtenus en supposant une variation detemprature linaire lintrieur de lisolant. La conductivit thermique quivalente du milieu

poreux peut alors tre vue comme la somme dune contribution due la conduction et dune

contribution due au transfert radiatif, ces deux contributions tant indpendantes lune delautre. Dans ce cas, il est possible dintroduire la notion de conductivit thermique

radiative . La conductivit thermique quivalente est alors simplement la somme de cetteconductivit et de la conductivit conductive du milieu poreux.

rcequ kkk += (1.21)

En ce qui concerne le transfert thermique conductif, comme nous lavons vu, laconductivit thermique du milieu poreux peut etre obtenue laide de modles empiriques ou

semi-empiriques en prenant en compte les conductivits thermiques de ses constituants et la

morphologie du milieu poreux.

En revanche, pour le flux thermique radiatif, les tudes ngligeant le couplageconduction-rayonnement utilisent des modles simplifis pour traiter la propagation du

rayonnement dans les milieux poreux.

1.2.1.1 Mthode des deux flux

Parmi les plus utiliss pour le transfert radiatif en 1-D cartsien, nous pouvons citer lemodle des 2 flux ou approximation de Schuster-Schwartzschild dont le principe est

deffectuer un bilan de luminance dans le sens de propagation du flux et dans le sens oppos.

Ce modle prend en compte lattnuation, lmission et la rtrodiffusion (diffusion dans lesens oppos la luminance) du rayonnement par le milieu poreux. Il ncessite la

dtermination de deux coefficients caractrisant le comportement radiatif du milieu : lecoefficient dabsorption P (en m-1) et le coefficient de rtrodiffusion K (en m-1) qui peuvent

tre dtermins exprimentalement ou calculs grce la thorie de Mie que nous dtaillerons

plus loin.En effectuant un bilan de luminance sur une fine tranche de matriau poreux o la

luminance incidente en direction avant est Let la luminance incidente en direction arrire est

B, on a :

Pour la direction avant :

une partie P.dz.Lde la luminance incidente est absorbe une partie K.dz.Lest diffuse

le reste est transmis : (1-(K+P).dz).L


28/300

28

De la mme manire, pour la direction arrire :

une partie P.dz.Bde la luminance incidente est absorbe une partie K.dz.Best diffuse le reste est transmis : (1-(K+P).dz).B

La tranche met elle-mme du rayonnement dans les deux directions selon la loidmission de Boltzmann : P.dz..T4o est la constante de Boltzmann et T la temprature.

Et finalement, lEquation du Transfert Radiatif se ramne un systme de deux

quations :

)(....)()....1()(

)(....)()...1()(

0

0

TLdzPLdzKdzzBdzPdzKzB

TLdzPBdzKzLdzPdzKdzzL

+++=

++=+

ou encore sous forme dquations diffrentielles

)(..).(

)(..).(

0

0

TLPLKBPKdz

dB

TLPBKLPKdz

dL

+++=

+++=

Les conditions aux limites tant :

)().1()()(

)0().1()()0(

0

0

dzLETLdzB

zBETLzL

hff

ccc

=+==

=+==

o Tc et Tf sont les tempratures des plaque chaudes et froides et Ec et Ef les

missivits des plaques chaude et froide

Le flux thermique radiatif total est alors obtenu en effectuant la diffrence des flux endirection avant et en direction arrire pour lensemble des longueurs donde :

dBL

qr .2

)(

0

= (1.22)

Ce modle a t utilis par un grand nombre dauteurs. Il peut tre assez prcis dans le

cas de matriau diffusion isotrope mais se rvle inadquat pour des milieux diffusant de

manire trs pointue vers lavant et larrire.

P.dz.L

(1-P.dz-K.dz).B

(1-P.dz-K.dz).L

L

K.dz.L

dz

Milieu oreux

Zone chaude Zone froide

K.dz.B

B

P.dz.B

Figure 1.3 : Bilan de luminance pour le modle deux flux


29/300

29

1.2.1.2 Mthode de Rosseland

Le modle de Rosseland-Deissler est galement une approximation largement utilise.

Ce modle nest rigoureusement valable que pour les milieux semi-transparents optiquement

pais, c'est--dire pour lesquels le libre parcours moyen des photons (distance moyenne

parcouru par un photon avant dtre absorb ou diffus) est trs petit devant lpaisseur du

milieu considr. Cest le cas de certains milieux poreux utiliss pour lisolation. Le transfert

de chaleur par rayonnement peut alors tre estim par une relation du mme type que celle

utilise pour la conduction de la chaleur. On a, pour un transfert de chaleur en 1-D cartsien :

z

Tkq rr

= (1.23)

o la conductivit radiative kr est calcule en considrant lindice de rfraction du

milieu constant et gal 1 compte tenu de la forte porosit des isolants partir de :

R

r

Tk

3

16 3= (1.24)

avec R le coefficient dextinction (m-1) de Rosseland moyenn sur toutes les longueursdonde. Il est obtenu partir des coefficients dextinction monochromatiques par larelation :

dTdL

TdL

TR )(

)(1

)(

10

0

0

= (1.25)

Cette approximation est galement appele approximation de diffusion car elle conduit

une quation de mme type que celle rgissant le transfert thermique conductif.

Labsorption et la diffusion du rayonnement par le milieu sont alors tellement importantes que

les photons ne peuvent parcourir que de trs faibles distances avant dtre absorbs oudiffuss et par consquent, lnergie radiative se propage de proche en proche. Aucun change

de chaleur par rayonnement entre 2 points loigns nest possible. La propagation de la

chaleur par rayonnement suit ainsi le mme mcanisme que la conduction et conduit une

expression similaire du flux.

Cette approximation prsente lavantage dtre trs simple mettre en uvre et

ncessite seulement la connaissance du coefficient dextinction. Ce coefficient dextinction

peut tre calcul ou dtermin exprimentalement pour des chantillons dpaisseur donns

par des mesures dattnuation du rayonnement incident. En effet, cette attnuation du

rayonnement est relie au coefficient dextinction par la loi de Jackson:zReIzI

= 0)( (1.26)

o I0est lintensit incidente

Lapproximation de Rosseland a t abondamment utilise. Elle donne une bonne

valuation du transfert radiatif assez loin des parois pour des milieux optiquement pais qui

diffusent la lumire de manire quasi isotrope. Pour des milieux diffusants anisotropes, ce qui

est le cas par exemple des milieux fibreux et des mousses de PSE, un coefficient de diffusion

corrig doit alors tre calcul pour tenir compte de lanisotropie de la diffusion. Le

coefficient dextinction corrig * est calcul par :)1.(

= (1.27)

avec =1

1.).(2

1

dP (1.28)


30/300

30

Si la diffusion vers larrire est dominante, le coefficient corrig est suprieur, dans le

cas contraire, il est infrieur.

Comme prcis plus haut, cette approximation nest pas valable pour les points du

milieu situs trop prs de la paroi qui peuvent recevoir du rayonnement de la paroi. En

gnral, les erreurs occasionnes sont ngliges tant donn que les zones concernes sont defaible taille devant lpaisseur. Cependant, certains auteurs ont tent de modliser ce

phnomne en considrant notamment que pour certains points de lisolant situe prs de la

paroi, le rayonnement se propage dans un milieu non absorbant entre 2 plans frontires. Le

modle de Rosseland-Deissler est couramment utilis.

1.2.1.3 Autres mthodes

Dautres mthodes ont t mises en place par diffrents auteurs comme la mthode des

3 flux qui reprend les mmes principes que la mthode des deux flux en considrant cette fois

ci trois directions dont les cosinus directeurs par rapport la direction dincidence valent 0,

2/3 et -2/3. De mme, de nombreuses tudes empiriques concernant le transfert radiatif dans

les mousses (polyurthane, PSE) ou les milieux fibreux ont tent de prendre en compte tous

les facteurs influenant lamplitude de ce transfert.

1.2.2 Rsolution prcise de lETR et du couplageconduction-rayonnement

Comme nous lavons prcis plus haut, pour rendre compte de manire rigoureuse du

transfert thermique au sein des milieux poreux, il est ncessaire de prendre en compte

linfluence mutuelle des deux modes de transfert de chaleur gouvernant lquilibre thermique.

La prise en compte de ce couplage ncessite de rsoudre, en tout point du matriau considr,

lquation de lnergie.

Les flux thermiques radiatif et conductif tant chacun lis au champ de temprature

par des lois diffrentes, il nest pas possible de rsoudre directement cette quation. Le champ

de temprature rgnant dans lisolant doit donc tre dtermin par un processus itratif.

Ce processus itratif se droule comme suit :

Dans un premier temps on se donne un champ de temprature initiale qui est, en

principe, diffrent du champ de temprature rel rgnant dans lisolant. Ce champ de

temprature peut tre linaire par exemple. Grce ce champ de temprature, on calcule, en

tout point de lisolant, la divergence du flux radiatif )( rqdiv traversant lisolant en rsolvant

numriquement lquation du transfert radiatif. Lquation de lnergie est alors rsolue endterminant le champ de temprature pour lequel, en tout point du milieu, on a :

z

q

z

q rc

=

Le nouveau champ de temprature obtenu est utilis une nouvelle fois pour calculer

la divergence du flux radiatifet ainsi de suite.

En rptant ce processus itratif un grand nombre de fois, le champ de temprature

converge vers le champ de temprature rel. Dans la pratique le processus itratif est rpt

jusqu' ce que la diffrence entre les champs de temprature obtenus lors de deux itrations

successives devienne infrieure une valeur fixe trs petite.

Lalgorithme suivant rsume la procdure :


31/300

31

Dans les paragraphes suivants, nous dcrivons les mthodes permettant de rsoudre

successivement lquation de lnergie et lEquation du Transfert Radiatif pour dterminer le

champ de temprature et la divergence du flux radiatif chaque nouvelle itration.

1.2.2.1 Rsolution de lquation de lnergie et calcul dunouveau champ de temprature

La rsolution de lquation de lnergie doit permettre, partir de la connaissance de

la divergence du flux radiatif, de dterminer le champ de temprature en chaque point du

milieu poreux, la nouvelle itration. Pour cela, la plupart des auteurs utilisent la mthode desvolumes de contrle. Le domaine est alors subdivis en un ensemble de petits volumes

juxtaposs (voir figure 1.5). Le centre de chacun de ces lments reprsente un nud. Le

maillage est tel que deux volumes voisins nont en commun quune seule face. Il peut tre

rgulier ou variable. Dans le cas dun maillage rgulier, les faces des volumes de contrle se

trouvent mi-distance entre les deux nuds voisins, alors quelles ne le sont plus dans le cas

dun maillage irrgulier.

Pour resserrer le maillage prs des frontires du volume, un maillage irrgulier de type

Tchebycheffpeut tre utilis. Dans ce cas, les dimensions de chaque volume de contrle sont

donnes par la relation :

= )cos()

)1(

cos(2

1

ny

j

ny

j

zj

(1.29)

Champ Temprature initial

Calcul de )( rqdiv en rsolvant lETR

Rsolution de lquation de lnergie : Calcul du

nouveau champ de temprature

CONVERGENCE ?

Calcul du flux thermique total

NON

OUI

Figure 1.4 : Illustration de lalgorithme pour la rsolution du couplage conduction-rayonneement


32/300

32

o ny est le nombre de subdivisions utilises

Lquation de lnergie faisant intervenir les drives partielles est intgre sur chaque

volume en supposant une variation de temprature linaire lintrieur de chaque volume. La

divergence du flux conductif est dtermine en chaque nud du maillage en utilisant la

relation (1.5) liant le flux thermique conductif au champ de temprature. On a alors en prenant

les notations de la figure 1.5:

Pre

PEc

w

WPc

Pc

z

q

z

dz

TTe

dz

TTw

z

q)(

)()(

)(

=

=

(1.30)

o c(e) et c(w) sont les conductivits thermiques du milieu aux interfaces e et w duvolume de contrle centr autour du point P

TP, TEet TWsont les tempratures aux nuds P, E et W

Pr

z

q)(

est la divergence du flux radiatif au point P

Ce systme dquation peut tre crit sous la forme :

zz

q

TaTaTa Pr

WwEepp

++= .)( (1.31)

z2Limites desvolumes de

contrle

l

Face plane chaude

Face plane froide

Nud

Figure 1.5 : Dlimitation du maillage en volumes de contrle

Volume de

contrle

EP

W

z

dze

dzw

w

e

Figure 1.6 : Reprsentation dun volume de contrle et des nuds voisins


33/300

33

avece

ce

dz

ea

)(= ,

w

cw

dz

wa

)(= et weP aaa +=

On a alors faire un systme dquations tridiagonales dont les inconnues sont les

tempratures des nuds. Il peut tre rsolue par la mthode T.D.M.A.

1.2.2.2 Rsolution de lETR par la mthode desordonnes discrtes

Pour rsoudre le couplage conduction rayonnement, il est ncessaire, chaque itration,

de dterminer la divergence du flux radiatif )( rqdiv en tout point du matriau partir du

champ de temprature litration prcdente. Or, le flux radiatif en un point du milieu est

directement li au champ de luminance monochromatique par la relation :

ddsLqr ..).,(0 4

=

=

rr

(1.32)

En utilisant certaines simplifications algbriques, la divergence du flux radiatif )( rqdiv

peut galement tre obtenue directement partir du champ de luminance :

[ ]

=0

0 .)(.4)( dsGLqdiv r (1.33)

= =

dsLsG ).,()(4

r

(1.34)

G(s) est appel rayonnement incident. Nous pouvons remarquer que dans cette

expression, aucun terme de diffusion napparat et que la divergence du flux radiatif

correspond simplement la diffrence entre lnergie mise et lnergie absorbe par le

milieu.

Dans le cas dun transfert de chaleur en 1-D cartsien avec symtrie azimutale, les

quations prcdentes se simplifient :

=0

1

1

..).,(2 ddyLqr (1.35)

[ ]

==0

0.)()(.4)(

dyGTL

z

qqdiv rr (1.36)

=1

1).,(2)( dsLyG (1.37)

Afin de dterminer la divergence du flux radiatif en tout point du milieu, il est donc

ncessaire de rsoudre lquation du transfert radiatif. Nous avons vu prcdemment que,

dans la plupart des cas, cette quation ne peut tre rsolue analytiquement et nous devons

donc faire appel des mthodes de rsolution numriques.

Parmi ces mthodes, on peut citer la mthode des harmoniques sphriques dcrite par

Ozisik (1973), la mthode des zones de HOTTEL ou encore les mthodes de lancer de rayon.

Toutefois, la mthode des ordonnes discrtes encore appele mthode Sn est la plus

couramment utilise tant donn quelle permet dobtenir des rsultats plus prcis sans tre

trop lourde mettre en place contrairement aux mthodes prcdemment cites. Le principeest de discrtiser le domaine angulaire pour remplacer lquation intgro-diffrentielle par un


34/300

34

systme dquations aux drives partielles. Elle permet dobtenir des rsultats trs prcis

lorsque les discrtisations angulaires sont suffisamment nombreuses et adaptes au milieu

tudi.

Pour un transfert de chaleur en 1-D cartsien, elle a notamment t utilise par :

Houston et Korpela (1982) pour des isolants fibreux Uny (1986) pour dterminer les paramtres radiatifs dun matriau fibreux non

missif (froid) diffusion isotrope

Fiveland (1987), qui a propos un nouvel ensemble de directions dediscrtisation

Chu et Tseng (1988) pour tudier la prcision des mthodes simplifies dersolution de lETR dans des poudres ultrafines

Nicolau (1994) pour identifier les proprits radiatives de milieux fibreux partir de mesures en transmittances et rflectances directionnelles et

hmisphriques

Baillis (1994) pour modliser le couplage conduction rayonnement dans desmousses de carbone.

Milandri (2000) pour quantifier le transfert de chaleur dans des milieux fibreuxsans symtrie azimutale

Lquation du transfert radiatif et les conditions aux limites dans le cas de nos

hypothses sont donnes par les relations (1.19) et (1.20). La rsolution de ces quations par

la mthode des ordonnes discrtes se fait en deux tapes :

Une discrtisation angulairepour laquelle on choisit un certain nombre

de directions, chacune tant affecte dune pondration. Cettediscrtisation permet de remplacer le terme intgral par une somme

quadratique effectue sur les luminances suivant les directions choisies

aussi bien pour lquation du transfert radiatif que pour les conditions

aux limites. Cette procdure transforme lquation intgro-diffrentielle

en un systme dquations aux drives partielles.

Une discrtisation spatiale. Cette discrtisation en volumes de contrleest la mme que celle utilise pour rsoudre lquation de lnergie (voir

paragraphe 1.2.2.1).

1.2.2.2.1 Discrtisation angulaire

Pour la discrtisation angulaire, plusieurs quadratures, correspondant lensemble des

directions de discrtisations et des pondrations associes, peuvent tre choisies. Les plus

couramment utilises sont : la quadrature de Fiveland, de Gauss ou de Radau. Des

combinaisons de quadratures peuvent galement tre utilises. Ces quadratures comprennent

toujours un nombre paire de directions discrtises dont la moiti sont orientes dans des

directions avant ( positif) et lautre moiti dans des directions arrires (ngatif).Une fois que la quadrature est choisie, le terme intgral intervenant dans lquation du

transfert radiatif ou dans les conditions aux limites peut tre remplac par une somme de

terme discrtiss sur ces directions :

)),().(),().((')',()'(2/

1

1

1

iii

nbd

i

ii yLPyLPwdzLP += = (1.38)


35/300

35

iii

nbd

i

wLdL .).,0('').',0(2/

1

1

0

= =

iii

nbd

i

wlLdlL .).,('').',(2/

1

1

0

=

=

o nbd est le nombre de directions de la quadrature et nbd/2 le nombre de directions

positives

wi et i sont les pondrations et les cosinus directeurs des directions de la quadratureutilise (i0 pour 1i nbd/2)

LETR peut alors tre remplace par lquation suivante :

)),().(),().((2

)(),(),( 2/

1

0

ijii

nbd

i

jiij

j

j yLPyLPwTLzLz

zL

+++= =

(1.40)

et les conditions aux limites scrivent :

iii

nbd

i

cccj wLTLL .).,0(2)(),0(2/

1

,

0

, += =

0;0 = yj

iii

nbd

i

fffj wlLTLlL .).,(2)(),(2/

1

,

0

, =

+= dyj = ;0

Avec 1 j nbd

Par la suite, afin dallger les expressions, nous omettrons les indices et y et on noterasimplement pour 1i nbd/2 :

L(y,i) = LiL(y,-i) = L-iP(i, j) = PijP(-i, j) = P-ij

1.2.2.2.2 Normalisation de la fonction de phase discrtise

Pour que la condition de conservation de lnergie radiative soit satisfaite, la fonction de

phase doit tre normalise c'est--dire que la relation (1.16) doit tre vrifie. Pour untransfert monodimensionnel en gomtrie cartsienne avec symtrie azimutale, cette quation

de normalisation se simplifie et scrit :

1').'(').'(2

11

0

1

0

=

+ dPdP (1.42)

Dans la mthode des ordonnes discrtes, la fonction de phase caractrisant la dviationdu rayonnement diffus par le milieu subit galement la discrtisation angulaire selon les

directions de la quadrature choisie. Ainsi, sous sa forme discrtise, la fonction de phase nest

plus normalise si bien que :

[ ] 12

1 2/

1

+=

nbd

i

ijiji PPw 2/1 nbdj (1.43)

Ceci peut conduire des erreurs tant donn quon na plus conservation de lnergieradiative. Pour surmonter ce problme Uny (1986), Nicolau (1994) et Baillis (1995), et

(1.39)

(1.41)


36/300

36

suivent la dmarche suivante : les valeurs P ij et P-ij sont affectes dun facteur correctif qui

scrit sous la forme (1+i+j). Les coefficients i sont associs chaque direction i.Lquation de normalisation de la fonction de phase scrit alors :

[ ][ ] 112

1 2/

1

=+++=

nbd

i

ijijjii PPw 2/1 nbdj (1.44)

On obtient ainsi un systme dquations quil est possible de rsoudre par la mthode de

linarisation de GAUSS et qui permet de calculer les valeurs de ipour i variant de 1 nbd/2.Par la suite, on conservera la notation Pijpour dsigner les valeurs normalises de la fonction

de phase discrtises.

1.2.2.2.3 Calcul des luminances aux nuds et aux faces desvolumes de contrle

La discrtisation spatiale en volumes de contrle permet dexprimer lquation du

transfert radiatif (1.18) sous forme dun systme dquations algbriques. Chacune de ces

quations est exprime dans un des volumes de contrle dlimit. Ainsi, en considrant laluminance constante dans chaque lment de volume du maillage, on a :

)..(2

)(2/

0

0

iijiij

nbd

i

ij

j

j LPLPwzLLz

L

=

+++=

(1.45)

o jL et0L sont respectivement, la valeur moyenne de la luminance suivant la direction j

lintrieur de llment considr et la valeur moyenne de la luminance du corps noir la

temprature de llment considr.

Laccroissement Lj de la luminance dans la direction j lintrieur du volume decontrle peut tre exprim en utilisant les luminances sur les faces est (note e) et ouest (note

w) du volume de contrle :

)( jwjej LLL = (1.46)

Lquation devient alors :

)..(..2

)(....)(2/

0

0

iijiij

nbd

i

ijjwjej LPLPwzzLzLzLL =

+++=

(1.47)

Les luminances sur les deux faces du volume de contrle constituent deux nouvelles

inconnues pour le systme dquation. Pour pouvoir rsoudre le systme,

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