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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE Présenté à l’Université 20 Août 55, Skikda Faculté des Sciences et Sciences de l’Ingéniorat Département des Sciences Fondamentales Spécialité : Physique Option : Energétique Présenté par : BOUHEZZA Aicha Soutenu le : 28 /06/ 2007 Devant le jury : Président : M. M. S. AIDA Professeur Université de MENTOURI - Cne Examinateurs : M. E. MEZAACHE Professeur Université 20 Août 55 - SKIKDA M. A. MOKHNACHE Maître de conférences Université de MENTOURI - Cne Rapporteur : M. N. ATTAF Maître de conférences Université de MENTOURI - Cne ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION MIXTE : EFFET DE L'INCLINAISON DE LA PAROI Mémoire de Magister

ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

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  • REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE LENSEIGNEMENT SUPERIEUR

    ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

    Prsent lUniversit 20 Aot 55, Skikda

    Facult des Sciences et Sciences de lIngniorat

    Dpartement des Sciences Fondamentales

    Spcialit : Physique

    Option : Energtique

    Prsent par :

    BOUHEZZA Aicha

    Soutenu le : 28 /06/ 2007 Devant le jury :

    Prsident : M. M. S. AIDA Professeur Universit de MENTOURI - Cne

    Examinateurs : M. E. MEZAACHE Professeur Universit 20 Aot 55 - SKIKDA

    M. A. MOKHNACHE Matre de confrences Universit de MENTOURI - Cne

    Rapporteur : M. N. ATTAF Matre de confrences Universit de MENTOURI - Cne

    ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN

    CONVECTION MIXTE : EFFET DE L'INCLINAISON DE LA

    PAROI

    Mmoire de Magister

  • A mes trs chers parents

    Je ddie ce mmoire

  • REMERCIEMENTS

    Je remercie Dieu pour le peu de savoir qu'il nous a permis d'acqurir.

    Ce travail a t ralis au Laboratoire de Recherche de Physico-Chimie des Surfaces et

    Interfaces, LRPCSI, de l'Universit 20 Aot55 de Skikda avec la collaboration du Laboratoire

    de Couches Minces et Interfaces, LCMI, de l'Universit Mentouri de Constantine.

    Mes remerciements s'adressent spcialement Monsieur N. ATTAF, Matre de

    confrences au Dpartement de Physique de l'Universit Mentouri de Constantine, mon

    encadreur dans ce travail qui m'a fait profiter de ses comptences scientifiques et de sa rigueur

    pour le travail bien fait. Il n'a jamais mnag sa personne ni son temps pour me prodiguer de

    judicieux conseils.

    Je tiens a remercier Monsieur M. S. Aida, professeur au Dpartement de Physique de

    l'Universit Mentouri de Constantine, bien voulu accepter de prsider le jury de ma thse

    malgr ses nombreuses occupations.

    Je tiens particulirement exprimer ma profonde reconnaissance Monsieur E.

    MEZAACHE, professeur au Dpartement des Sciences Fondamentales de l'Universit de 20

    Aot 55 de Skikda pour son aide, ses conseils et son acceptation d'examiner mon travail.

    Je tiens remercier Monsieur A. MOKHNACHE, Matre de confrences au

    Dpartement de Physique de l'Universit Mentouri de Constantine, bien voulu examiner mon

    travail.

    Je veux aussi remercier Monsieur L. AISSANI, pour son aide, ses conseils et ses

    encouragements.

    Mes remerciements sincres s'adressent F. BERRAHIL pour tout son aide et ses

    conseils.

    Enfin, je ne saurais oublier mes trs chers parents pour le grand appui moral qu'ils ont

    su m'apporter tout au long de mes tudes.

  • SOMMAIRE

  • SOMMAIRE

    INTRODUCTION GENERALE .......... 1

    NOMENCLATURE ..... 3

    CHAPITRE I : ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE

    I.1 Introduction ........ 6 I.2 La convection mixte externe 7

    I.2.1 Dfinition ... 7

    I.2.2 La plaque plane verticale en convection mixte . 8

    I.3 Travaux bibliographiques relatifs au domaine ... .... 10

    CHAPITRE II : MODELE MATHEMATIQUE

    II.1 Equations gnrales de conservation .. 14 II.1.1 Equations de conservation pour les coulements laminaires bidimensionnels...14

    I.1.1.1 Equation de continuit ... 14

    I.1.1.2 Equations de quantit de mouvement ... 14

    I.1.1.3 Equation d'nergie .... 15

    II.2 Prsentation du problme ..... 18 II.2.1 Hypothses simplificatrices .. 18

    II.3 Formulation du problme . 19

    II.3.1 Equations de conservations ...... 19

    II.3.2 Conditions aux limites 21

    II.4 Adimensionnalisation des quations... ..... 22

    II.4.1 Principales grandeurs physiques et variables adimensionnelles . 22

    II.4.2 Equations adimensionnelles ....... 23

    II.4.4 Conditions aux limites . 24

    CHAPITRE III : MODELISATION NUMERIQUE

    III.1 Introduction ...... 26 III.2 Mthode des volumes finis. ....... 26

    III.3 Equation gnrale de transport .. 27

    III.4 Maillage .... 28

    Sommaire

  • III.5 Discrtisation des quations de conservation. .. 31

    III.5.1 Application d'un schma numrique quelconque 35

    - Equation de quantit de mouvement ..... 38

    - Equation d'nergie .... .40

    III.6 Rsolution numrique ... 42

    III.6.1 L'algorithme SIMPLE .. 42 III.6.2 Lalgorithme SIMPLER ... 46 III.6.3 Le critre de convergence .... 49

    III.6.4 Mthode itrative de rsolution. ...... 49

    III.7 Algorithme de calcul . 53

    CHAPITRE IV : RESULTATS ET DISCUSSION

    IV.1 Description des objectifs de notre tude..... 55

    IV.2 Validation numrique du modle.... 55

    IV.3 Rsultats de la convection mixte dans le cas favorable .... 58

    IV.3.1 Cas de l'air (Pr = 0.72) 58

    IV.3.1.1 Influence du nombre de Richardson sur l'coulement (0Ri5) ........ 58 IV.3.1.2 Influence de l'angle d'inclinaison () sur l'coulement ..... 64

    IV.3.2 Cas de l'eau (Pr =7.0) . 68

    IV.3.2.1 Influence du nombre de Richardson sur l'coulement (0Ri10) .. 68

    IV.3.2.2 Influence de l'angle d'inclinaison () sur l'coulement ...... 73

    IV.3.3 Analyse comparative entre les rsultats de l'air et de l'eau ....... 77

    IV.4 Rsultats de la convection mixte dans le cas dfavorable 83

    CONCLUSION GENERALE .......................................................................................94

    BIBLIOGRAPHIE ..........................................................................................................96

    ANNEXES

    Annexe A : Complments relatifs aux relations fondamentales .....................................100 Annexe B : Courbes de variations des champs de vitesse et de temprature ...................102

    Sommaire

  • INTRODUCTION

  • La convection mixte est un phnomne de transfert thermique associ aux

    coulements de fluide. La prsence de la convection naturelle influe simultanment sur les

    champs thermique et hydrodynamique ; le problme est ainsi coupl. Dans la littrature, il est

    bien connu que les mouvements secondaires rsultant de la convection naturelle influencent

    l'change thermique par convection et augmente le nombre de Nusselt.

    La convection mixte sur une plaque plane intervient dans plusieurs applications

    pratiques telles que les collecteurs solaires, le refroidissement des composants lectroniques,

    les centrales industrielles, la climatisation, l'industrie agroalimentaire etc,

    Dans ce travail, nous nous proposons, par une simulation numrique, d'tudier le

    comportement dynamique et thermique d'un coulement laminaire en convection mixte le

    long d'une plaque plane isotherme, incline par rapport la verticale. Cette tude portera plus

    prcisment sur les influences du nombre de Richardson (Ri=Gr/Re2) et de l'inclinaison de la

    plaque sur les champs thermique et hydrodynamique de l'coulement.

    Dans le premier chapitre, dans le but de situer notre travail, on prsente le phnomne

    de la convection ainsi que quelques rappels bibliographiques en rapport avec le problme

    pos.

    Le deuxime chapitre est consacr la formulation du problme, aux hypothses

    simplificatrices et l'tablissement des quations et des conditions aux limites qui leurs sont

    associes. Enfin, nous dfinissons les principales grandeurs adimensionnelles caractrisant le

    modle.

    Dans le troisime chapitre, nous prsentons la mthode numrique adopte. Nous

    avons opt pour la mthode des volumes finis pour discrtiser les quations aux drives

    partielles. L'algorithme SIMPLER propos par Patankar (1980), est bien adapt car il permet

    le calcul de correction de la pression et de la vitesse. Cette discrtisation donne un systme

    matriciel tridiagonal. Sa rsolution est obtenue par l'utilisation de l'algorithme de Thomas.

    Introduction gnrale

    1

  • Le quatrime chapitre est consacr la prsentation des rsultats de calcul et leur

    discussion. L'tude comporte les deux cas de la convection mixte, en l'occurrence, le cas

    favorable (coulements forc et naturel sont dans le mme sens) et le cas dfavorable

    (coulements sont dans le sens inverse) et ceci pour deux fluides diffrents : l'air

    (Pr=0.72) et l'eau (Pr=7). Nous avons aussi valu l'incidence de l'angle d'inclinaison de la

    plaque sur le phnomne de la convection mixte. Enfin, nous validons les rsultats obtenus

    par une comparaison avec les travaux antrieurs de quelques chercheurs. Nous terminons par

    une conclusion gnrale dans laquelle nous dgagerons les principaux rsultats obtenus au

    cours de cette tude et nous en signalons les extensions possibles.

    Pour ne pas alourdir la prsentation du texte, nous donnons en annexes quelques

    complments relatifs aux relations fondamentales ayant servies l'tude (Annexe A) et

    courbes de variations des champs de vitesse et de temprature (Annexe B).

    2

    Introduction gnrale

  • NOMENCLATURE

  • Diffusivit thermique m2.s-1

    A Coefficients dans le systme d'quations algbriques discrtises

    A|P| Fonction d'un schma numrique en fonction du nombre de Peclet

    b Terme source dans le systme d'quations algbriques discrtises

    CP Capacit calorifique pression constante J. kg -1. K-1

    C Coefficient de frottement parital

    D Terme de diffusion dans le systme d'quations algbriques discrtises

    dXe, dXw , dYn, dYs sont respectivement les distances entre le nud considr P et les nuds E, W, N, S e Energie interne J

    F Terme de convection dans le systme d'quations algbriques discrtises

    g Acclration de la pesanteur m . s-2

    Gr Nombre de Grashof

    k Conductivit thermique W. m-1. K-1

    L Longueur de la plaque m

    Nu Nombre de Nusselt

    p Pression Pa

    P Pression adimensionnelle

    Pe Nombre de Peclet

    Pr Nombre de Prandt

    Re Nombre de Reynolds

    Ri Nombre de Richardson Terme source T Temprature K

    u Composante de la vitesse dans la direction x m . s-1

    U Composante de la vitesse adimensionne dans la direction x

    Nomenclature

    a

    S

    3

  • v Composante de la vitesse dans la direction y m . s-1

    V Composante de la vitesse adimensionne dans la direction y

    x Abscisse dans le sens de l'coulement m X Coordonne adimensionne dans la direction x

    y Coordonne normale la plaque m

    Y Coordonne adimensionne dans la direction y

    Symboles grecques

    Angle rad

    Coefficient d'expansion thermique pression constante K-1 Variable dpendante gnrale (reprsente: la pression, la temprature et les

    composantes de la vitesse)

    Viscosit dynamique kg . m-1. s-1

    Viscosit cinmatique m2 . s-1

    Masse volumique kg . m-3

    Contrainte tangentielle du frottement N . m-2

    Temprature adimensionnelle Fonction de dissipation N. m-1. s-2

    Contrainte de cisaillement N. m-2

    Coefficient de diffusion gnrale X, Y Dimensions du volume de contrle considr

    Indices

    E Nud considr du cot est du nud P

    e La face est du volume de contrle considr

    N Nud considr du cot nord du nud P

    n La face nord du volume de contrle considr

    Nomenclature

    4

  • P Nud considr du maillage

    S Nud considr du cot sud du nud P s La face sud du volume de contrle considr

    W Nud considr du cot ouest du nud P

    w La face ouest du volume de contrle considr

    Paroi x Position suivant Ox

    y Position suivant Oy

    Position l'infinie

    Exposant valeur moyenne

    Nomenclature

    5

  • CHAPITRE I ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE

  • I.1 Introduction La convection est un mode de transport d'nergie par l'action combine de la conduction, de l'accumulation de l'nergie et du mouvement du milieu. Elle est

    considre comme le mcanisme le plus important de transport d'nergie entre une

    surface solide et un liquide ou un gaz. Le transport d'nergie par convection d'une surface

    dont la temprature est suprieure celle du fluide qui l'entoure s'effectue en plusieurs

    tapes. D'abord la chaleur s'coule par conduction de la surface aux molcules du

    fluide adjacentes. L'nergie ainsi transmise sert augmenter la temprature et l'nergie

    interne de ces molcules du fluide. Ensuite les molcules vont se mlanger avec d'autres

    molcules situes dans une rgion basse temprature et transfrer une partie de leur nergie.

    Dans ce cas l'coulement transporte, simultanment, le fluide et l'nergie. L'nergie est,

    prsent, emmagasine dans les molcules du fluide et elle est transporte sous l'effet de leur

    mouvement.

    La transmission de chaleur par convection est dsigne, selon le mode d'coulement du

    fluide, par convection libre, convection force et convection mixte [1-6]

    Convection force Le phnomne de convection force apparat quand le mouvement du fluide est impos

    par une cause mcanique extrieure (pompe, ventilateur, ) au systme [1-6]

    Convection naturelle Le phnomne de convection naturelle thermique apparat spontanment, sous le seul

    effet des diffrences de masse volumique rsultantes des diffrences de tempratures sur les

    frontires et d'un champ de forces extrieures (le champ gravitationnel, ) [1-6].

    Convection mixte La Convection mixte correspond au couplage des deux phnomnes prcdents

    (convection naturelle et force) quant les vitesses d'coulement, fictives, dues aux deux types

    de convections sont considres sparment, du mme ordre de grandeur [1-6].

    Chapitre I Etude bibliographique

    6

  • I.2 La convection mixte externe I.2.1 Dfinition La convection mixte externe peut tre trouve partir de l'valuation des diffrences

    de pression susceptibles de gnrer les coulements. Si l'on admet, en premire

    approximation, que ces coulements sont simplement dus un transfert d'nergie de pression

    en nergie cintique, pour la convection force et un transfert d'nergie potentielle en

    nergie cintique, pour la convection naturelle, et si on appelle L la longueur caractristique

    de l'obstacle port une temprature Tw , diffrente de la temprature ambiante T, il est

    possible d'crire :

    g reprsente l'acclration de la pesanteur et le coefficient de dilatation.

    Le critre de dfinition de la convection mixte revient comparer la diffrence de

    pression de la convection force P la diffrence de pression quivalente Pn , qu'il

    faudrait produire pour crer un coulement de mme impulsion que celui cre par les forces

    de pousse d'Archimde. Soit

    Ainsi, en formant le rapport de ces 2 diffrences de pression, on obtient : Dans ces conditions, il en rsulte que si :

    ( ) ( )1.21

    21

    2

    2

    IULg

    U

    nw

    ( )2.21 2 IU nn

    ( ) ( )

    ( )3.Re2

    2

    2

    3

    22

    2

    IRiGrUL

    LgU

    LgUU

    L

    Ln

    wwnn

    =

    =

    Chapitre I Etude bibliographique

    7

  • Ri >> 1 la convection naturelle est dominante

    Ri

  • est alors en convection mixte dfavorable. Dans ce dernier cas, il en rsulte souvent des

    dcollements ou des recirculations [8]. Dans ce dernier cas, le traitement du problme tudi

    devient plus difficile qu'en convection mixte favorable.

    Suivant que la paroi est chauffe ou refroidie, et suivant la direction de l'coulement

    forc : vertical, ascendant ou descendant, on trouve quatre (4) situations possibles que nous

    schmatisons par les figures prsentes ci-dessous:

    U T U T Tw Tw>T Tw y y Tw< T x x x Tw Tw < T Tw Tw> T y y U T U T

    Les forces de pousse d'Archimde g(T-T) sont prcdes d'un signe + en

    convection mixte favorable et d'un signe - en convection mixte dfavorable.

    Figure I.2 : Convection mixte favorable Figure I.3 : Convection mixte dfavorable

    x

    Chapitre I Etude bibliographique

    9

  • I.3 Travaux bibliographiques relatifs au domaine La convection mixte sur une plaque a fait l'objet de plusieurs tudes thoriques et

    exprimentales. Parmi lesquelles nous prsentons quelque unes que nous avons jug proches

    de notre cas.

    Wickern [11-12] a tudi la couche limite laminaire sur une plaque plane semi-infinie

    arbitrairement incline, chauffe et refroidie, pour dterminer l'influence des forces de

    flottement sur l'coulement forc de base. Le fluide tudi est newtonien et incompressible

    avec des proprits constantes sauf dans le terme de gravit o l'hypothse de Boussinesq est

    adopte. Dans son travail, la dissipation visqueuse est ngligeable, et en considrant un

    domaine de variation de l'angle d'inclinaison de la plaque assez large en incluant les cas

    particuliers de la plaque horizontale et verticale o il a pris en compte, la fois, les

    composantes du vecteur gravit, normale et parallle la surface. La variation systmatique

    des paramtres libres (inclinaison, Prandtl, etc) est faite en tudiant diffrentes conditions

    aux limites thermiques et diffrents nombres de Prandtl. Un rsultat remarquable qui dcoule

    de cette tude est que lorsque les forces de flottement sont en opposition aux forces

    dynamiques il peut apparatre un comportement rgulier aussi bien que singulier dans le

    nombre de Nusselt et le coefficient de frottement.

    Mai Ton Hoang et al. [13] ont tudi, en rgime transitoire, la couche limite laminaire

    sur une plaque verticale en convection mixte. Le systme d'quations est rsolu l'aide de la

    mthode numrique aux diffrences finies, avec un schma implicite. Ils ont montr que la

    nature de la plaque influe sur les paisseurs des couches limites dynamique et thermique ainsi

    que sur la vitesse de l'coulement. Ils ont observ qu'une faible perturbation de vitesse

    engendre une instabilit de l'coulement.

    L'tude entreprise par Guo T. et al. [14] a port sur l'influence de la convection

    naturelle sur la convection force au-dessus d'une surface plane verticale soumise un flux de

    rayonnement thermique. Ils ont considr un plan vertical semi-infini dont une face est

    soumise au rayonnement tandis que l'autre est lche par un fluide en coulement,

    paralllement sa surface. L'chauffement du plan par le rayonnement, donne naissance une

    Chapitre I Etude bibliographique

    10

  • convection naturelle dans le fluide qui perturbe l'coulement forc. Ces auteurs ont ax leur

    dans le calcul, en rgime laminaire et permanent, des distributions des vitesses et de la

    temprature, dans la couche limite qui se dveloppe sur le plan partir de son bord d'attaque.

    Sousa et al. [15] ont tudi le transfert de chaleur et le frottement d'un coulement d'air

    sur une surface isotherme incline et en mouvement. L'coulement est laminaire en rgime

    permanent, la dissipation visqueuse est ngligeable et l'hypothse de Boussinesq est adopte.

    Les quations sont discrtises et rsolues l'aide de la mthode des lments finis.

    L'exactitude des rsultats numriques du nombre de Nusselt et du coefficient de frottement

    moyens obtenus dans le cas d'une surface verticale est valide par leur comparaison avec ceux

    obtenus par d'autres chercheurs.

    Les effets de la pousse thermique et de l'angle d'inclinaison de la surface sur le

    frottement et le transfert thermique sont prsents et, de plus, ils peuvent tre prdites grce

    des corrlations mathmatiques.

    Saeid [16] a tudi l'coulement en convection mixte, laminaire le long d'une plaque

    verticale a une temprature en rgime d'oscillation priodique. Le fluide est newtonien et

    incompressible avec des proprits constantes sauf dans le terme de gravit o il adopte

    l'hypothse de Boussinesq et nglige la dissipation visqueuse. L'coulement est laminaire et

    en rgime transitoire. Les quations du bilan dynamique et thermique sont approches par des

    couches limites bidimensionnelles. Les quations sont discrtises et rsolues l'aide de la

    mthode numrique aux diffrences finies. Le calcul est effectu pour l'air (Pr=0.72) et l'eau

    (Pr=7.0). La comparaison du nombre de Nusselt et le coefficient de frottement, avec des

    rsultats antrieurs sont satisfaisants. Les variations priodiques du nombre de Nusselt et du

    coefficient de frottement sont effectues pour diffrentes amplitudes et frquences de la

    temprature de plaque.

    Al-Sanea [17] a trait le cas de la convection mixte le long d'une plaque isotherme

    verticale mobile avec aspiration ou injection. L'coulement est considr laminaire en rgime

    permanent avec des proprits constantes sauf dans le terme de gravit o l'hypothse de

    Boussinesq est adopte, la dissipation visqueuse est ngligeable. Les quations sont

    discrtises et rsolues l'aide de la mthode des volumes finis. Il a tudi les effets du

    Chapitre I Etude bibliographique

    11

  • nombre de Prandtl, la force de flottabilit et l'aspiration ou l'injection sur les coefficients de

    frottement et de transfert thermique.

    Ali et Al-yousef [18,19] ont tudi l'coulement d'une couche limite laminaire, en

    convection mixte, sur une surface verticale prsentant une permabilit linaire en

    mouvement. L'investigation traite les cas d'une pousse thermique qui aide ou s'oppose

    l'coulement. Les solutions locales de similitude sont obtenues par les quations de la couche

    limite. Comme conditions aux limites, ces auteurs ont supposs que les variations de la

    temprature et de la vitesse suivent une loi en puissance. L'tude a port sur l'effet de divers

    paramtres rgissant l'coulement, tels que le nombre de Prandtl Pr, le paramtre d'injection

    ou aspiration d et le nombre de Richardson sur les distributions de vitesse, de temprature et

    du coefficient de transfert thermique. Des valeurs critiques ont t trouves et qui sont

    vrifies par la solution analytique de l'quation d'nergie.

    Hsiao-Tsung et al. [20] ont tudi la convection mixte en rgime permanent de

    couche limite laminaire sur une plaque isotherme, horizontale et en mouvement parallle

    l'coulement du fluide. Le systme d'quations est rsolu numriquement par la mthode de

    Keller's Box, avec un schma implicite. Les solutions numriques prcises et des corrlations

    compltes sont prsentes pour une large gamme de fluides 0.01 Pr 10000 et dans tout le

    domaine de la convection mixte. L'tude engendre n'importe quelle vitesse relative entre la

    plaque et l'coulement potentiel. Les effets de la pousse thermique et de la vitesse relative

    sur le champ d'coulement, le frottement, le champ de temprature et le taux de transfert

    thermique sont illustrs pour une plaque se dplaant paralllement en co-courant ou en

    contre-courant de l'coulement potentiel et ceci pour les cas:

    (i); l'coulement potentiel et la pouss thermique dans le mme sens et (ii); l'coulement

    potentiel et la pousse thermique dans le sens inverse.

    Shenoy [21] a tudi la convection mixte en rgime permanent d'une couche limite sur

    une plaque plane isotherme et incline mais dans le cas d'un fluide non-newtonien. Le travail

    a t ax sur les effets, d'une part, de l'inclinaison de la surface et du nombre de Richardson

    sur le nombre de Nusselt.

    Chapitre I Etude bibliographique

    12

  • Kumari et al. [22] se sont intress au sujet de l'coulement d'un fluide

    non-newtonien en convection mixte sur une plaque plane mobile et chauffe une

    temprature constante. Le systme des quations partielles thermiques et dynamiques

    rgissant l'coulement est rsolu numriquement par la mthode des diffrences finies, avec

    un schma implicite. Ils ont tudi l'effet de divers paramtres entrant dans le transfert

    thermique paritale, comme le nombre de Prandtl, le nombre de Peclet et la pouss thermique.

    Chapitre I Etude bibliographique

    13

  • CHAPITRE II MODELE MATHEMATIQUE

  • Dans ce chapitre, nous prsentons le modle physique et les hypothses

    simplificatrices. Nous formulons le problme physique rgissant le phnomne de convection

    mixte le long d'une plaque plane incline par rapport au vertical. Nous exprimons les

    quations de conservation et les conditions aux limites sous forme adimensionnelle. Nous

    introduisons les principales grandeurs dynamiques et thermiques.

    II.1 Equations gnrales de conservation II.1.1 Equations de conservation pour les coulements laminaires bidimensionnels II.1.1.1 Equation de continuit L'quation de continuit dduite du principe de conservation de masse et s'exprime mathmatiquement comme suit [9] :

    II.1.1.2 Equations de quantit de mouvement

    Les quations de conservations de quantit de mouvement, connue sous le nom

    d'quations de Navier-Stokes, sont obtenues par l'application de la deuxime loi de la

    dynamique une particule de fluide passant travers un volume de contrle infinitsimal.

    Elles s'crivent comme suit [9] :

    O le symbole gnral est utilis pour les contraintes et x, y les composants des forces volumiques par unit de masse.

    Chapitre II Modle mathmatique

    ( )1.0 IIyv

    xu

    t=

    +

    +

    ( )2.2

    IIfyxx

    pyuv

    xu

    tu

    xxyxx

    +

    +

    +

    =

    +

    +

    ( )3.2

    IIfyxy

    pyv

    xvu

    tv

    yyyyx

    +

    +

    +

    =

    +

    +

    14

  • Pour un fluide visqueux newtonien d'une densit variable, les contraintes normales xx,

    yy et les contraintes de cisaillement xy, yx sont donnes par les formules suivantes

    O est le coefficient de dilatation volumique du fluide.

    Pour un fluide densit constante les contraintes normales se rduisent

    II.1.1.3 Equation d'nergie Elle peut tre exprime en fonction de l'nergie interne e ou bien de l'enthalpie h [9]. Equation d'nergie interne L'quation de transport de l'nergie est obtenue par l'application du premier principe de la thermodynamique.

    ( )5.322 II

    yv

    xu

    yv

    yy

    +

    +

    =

    ( )6.IIxv

    yu

    yxxy

    +

    ==

    ( )7.2 IIxu

    xx

    =

    ( )8.2 IIyv

    yy

    =

    ( )9.1 IIyv

    xup

    yq

    xq

    dtde yx

    +

    +

    +

    =&&

    yv

    xu

    tdtd

    +

    +

    ( )4.32

    2 IIyv

    xu

    xu

    xx

    +

    +

    =

    Chapitre II Modle mathmatique

    15

  • O est la fonction de dissipation, dfinie par

    Pour un fluide newtonien visqueux,

    la densit du flux de chaleur (W/m2 ), et , sont les composantes de cette grandeur

    dans les directions x et y.

    et

    L'quation (II.9), se transforme

    Equation d'enthalpie L'enthalpie par unit de masse est dfinie par [9]

    ( )10.IIyv

    xv

    yu

    xu

    xu

    yyyxxyxxj

    iij

    +

    +

    +

    =

    =

    xkqx

    =&

    ykqy

    =&

    ( )12.1 IIyv

    xup

    yk

    yxk

    xdtde

    +

    +

    +

    =

    ( )13.IIpeh

    +

    xq& yq&

    ( )11.32

    222222

    IIyv

    xu

    xv

    yu

    yv

    xu

    +

    +

    +

    +

    +

    =

    ( )14.1 2 IIdtdp

    dtdp

    dt

    pd

    =

    ( )15.0 IIyv

    xu

    dtd

    =

    +

    +

    q&

    Chapitre II Modle mathmatique

    16

  • La substitution de dans l'quation (II.14), l'quation (II.9) conduit

    Pour un fluide chaleur spcifique constante, on a

    En remplaant les composantes et de la densit du flux de chaleur dans l'quation

    (II.16), on trouve :

    Si les diffrences de temprature ne sont pas importantes, la conductivit peut tre considre

    uniforme dans un coulement faible vitesse. Par consquent, l'quation (II.18) se rduit

    O

    : est la diffusivit thermique

    dtd

    ( )16.11 IIyp

    vxp

    utp

    yq

    xqpe

    dtd

    dtdh yx

    +

    +

    +

    +

    +

    =

    +

    &&

    ( ) ( )17.IIReccech vpp +=+==xq& yq&

    ( )18.1 II

    ypv

    xpu

    tp

    yk

    yxk

    xy

    vx

    ut

    cdtdc

    dtdh

    pp

    +

    +

    +

    +

    +

    =

    +

    +

    =

    ( )19.22

    2

    2

    IIyx

    ay

    vx

    ut

    +

    =

    +

    +

    pcka

    Chapitre II Modle mathmatique

    17

  • II.2 Prsentation du problme On considre une plaque plane isotherme incline d'un angle () par rapport la verticale, de longueur finie. Cette dernire est lche par un coulement forc parallle sa

    surface. Les forces de volumes induites par le gradient de temprature entre les particules

    fluide qui sont au voisinage de la paroi est celles de l'coulement potentiel crent un

    mouvement de convection naturelle qui perturbe l'coulement forc. Le rsultat de cette

    combinaison donne naissance une convection mixte.

    Le problme physique est schmatis sur la figure (II.1).L'origine du repre Oxy est

    situe sur la plaque et concide avec son bord d'attaque. L'axe Ox est orient suivant le sens de

    l'coulement forc. L'axe Oy est perpendiculaire la plaque et orient vers l'intrieur de

    l'coulement du fluide.

    II.2.1 Hypothses simplificatrices

    La modlisation du systme tudi est base sur les hypothses simplificatrices

    suivantes:

    1- L'coulement du fluide et le transfert de chaleur sont permanents et le rgime

    laminaire.

    2 - Le fluide est newtonien et incompressible. 3 - Les proprits thermophysiques du fluide ( , Cp , et k) sont constantes [11-19]. 4 - La dissipation visqueuse est ngligeable. Il n'est pas de source de chaleur.

    5 - L'approximation de Boussinesq est valide, celle-ci consiste considrer que les

    variations de masse volumique sont ngligeables au niveau de tous les termes des

    quations de quantits de mouvement ( = ), sauf au niveau du terme de

    gravit. La variation de la masse volumique en fonction de la temprature est donne

    par [1].

    ( ) ( )20.II =

    Chapitre II Modle mathmatique

    18

  • : la masse volumique du fluide la temprature d'entre T

    : le coefficient de dilatation volumique du fluide

    6 - La surface de la plaque impermable l'coulement.

    II.3 Formulation du problme II.3.1 Equations de conservations Le systme d'quations qui gouverne l'coulement laminaire en convection mixte et le transfert de chaleur en coordonnes cartsiennes aprs simplifications s'crivent comme suit :

    Equation de continuit Equations de quantits de mouvement

    Selon (ox)

    Selon (oy)

    ( )21.0 IIyv

    xu

    =

    +

    ( )[ ] ( )22.cos11 22

    2

    2

    IIgyu

    xu

    xp

    yuv

    xuu

    +

    +

    =

    +

    ( )[ ] ( )23.sin11 22

    2

    2

    IIgyv

    xv

    yp

    yvv

    xvu

    +

    +

    =

    +

    Chapitre II Modle mathmatique

    19

  • Equation d'nergie O :

    : diffusivit thermique

    k : conductivit thermique

    Cp : chaleur spcifique pression constante

    Figure II.1 : Reprsentation schmatique du modle physique

    ( )24.22

    2

    2

    IIyx

    ay

    vx

    u

    +

    =

    +

    pCka

    =

    a

    uT

    y

    u, T, p

    g

    o

    x

    L

    TW

    Chapitre II Modle mathmatique

    20

  • II.3.2 Conditions aux limites - en y =0 u (x,0) = 0

    v (x,0) = 0 (II.25)

    T (x,0) = Tw ( temprature impos )

    - en y u (x,) = u

    v (x,) = 0

    T (x, ) = T (II.26)

    p (x, ) = p

    - en x = 0 u (0,y) = u

    v (0,y) = 0

    p (0, y) = p (II.27)

    T (0, y) = T

    - en x = L

    0=

    xu

    ( )28.0 IIxv

    =

    0=

    x

    Chapitre II Modle mathmatique

    21

  • II.4 Formulation adimensionnelle L'emploie de la variable adimensionnelle permet d'exprimer la ralit des phnomnes physiques indpendamment des systmes de mesures, pour permettre d'avoir des informations

    gnralises une varit des problmes ayant les mmes grandeurs de cfficient de

    similitudes d'un ct, et d'un autre ct, rduire le nombre de paramtres d'un problme.

    En effet, pour faire apparatre les paramtres de contrle du problme tudi, il est ncessaire

    d'introduire les grandeurs de rfrence.

    II.4.1 Principales grandeurs physiques et variables adimensionnelles

    Le nombre de Reynolds local, le nombre de Prandtl et le nombre de Grashof sont dfinis par:

    Le coefficient de frottement est donn par : Le nombre de Nusselt local est dfini par :

    ( ) ( )29.PrRe 23

    IILgGrkCLu w

    Lp

    L

    ===

    ( )

    ( )30.

    21

    21 2

    0

    2, II

    u

    yxu

    uC ywxf

    =

    ==

    ( )

    ( ) ( )31.0 II

    kxy

    xk

    khxNu

    w

    yx

    ==

    =

    ( )RichardsondenombreLeGrRiL

    LL 2Re

    =

    Chapitre II Modle mathmatique

    22

  • Les variables adimensionnelles choisis sont :

    O : u reprsente la vitesse caractristique de l'coulement de convection force.

    gx, gy reprsentent respectivement les composantes de l'acclration de la pesanteur selon

    les directions (x, y).

    II.4.2 Equations adimensionnelles Les quations adimensionnelles de continuit, de quantits de mouvement et d'nergie qui gouvernent le phnomne de la convection mixte s'crivent alors :

    Equation de continuit Equations de quantits de mouvement

    Selon (OX)

    ( )( )

    sincos

    32.

    2 gggguygxgp

    IIuvV

    uuU

    Ly

    Lx

    yxyx

    w

    ==+

    =

    ==

    ===

    ( )33.0 IIVU =

    +

    ( )34.cosRe1

    2

    2

    2

    2

    IIRiUUUVUU +

    +

    +

    =

    +

    Chapitre II Modle mathmatique

    23

  • Selon (OY) Equation de l'nergie II.4.3 Conditions aux limites Les conditions aux limites (II.25-II.28) aprs adimensionnalisation s'crivent alors : - en Y=0 U (X, 0) = 0 V (X, 0) = 0 (II.37) (X, 0) = 1 - en Y U (X, ) = 1 V (X, ) =0

    (X, ) = 0 (II.38) P (X, ) = 0

    ( )35.sinRe1

    2

    2

    2

    2

    IIRiVVVVVU +

    +

    +

    =

    +

    ( )36.Re1

    2

    2

    2

    2

    IIr

    VU

    +

    =

    +

    Chapitre II Modle mathmatique

    24

  • - en X = 0 U (0, Y) = 1

    V (0, Y) = 0

    P (0, Y) = 0 (II.39)

    (0, Y) = 0

    - en X = 1

    0=

    U

    0=

    ( )40.0 IIXV

    =

    Chapitre II Modle mathmatique

    25

  • CHAPITRE III MODELISATION NUMERIQUE

  • Dans ce chapitre nous dcrivons la mthode numrique utilise pour rsoudre les quations de

    base formules dans le chapitre II.

    Le systme d'quations aux drives partielles est rsolu numriquement par la

    mthode des volumes finis o la correction de la pression et de la vitesse est obtenue par

    l'algorithme SIMPLER [25]. Cette discrtisation donne un systme matriciel tridiagonal dont

    la rsolution est obtenue par l'application de l'algorithme de Thomas. Le domaine de calcul

    est divis en un nombre fini de volumes de contrle ou mailles. Le maillage est non uniforme,

    les quations de base sont intgres sur chaque volume de contrle. Pour viter la divergence

    de la solution, le schma en loi de puissance est utilis pour valuer les flux aux interfaces des

    volumes de contrle.

    III .1 Introduction La discrtisation des quations prsentes dans le chapitre prcdent traduisant le

    phnomne de convection mixte est l'opration de transformer ces quations diffrentielles

    en un systme d'quations algbriques.

    Plusieurs mthodes de discrtisation des quations diffrentielles aux drives partielles sont utilises actuellement telles que: la mthode des volumes finis, des

    diffrences finies et des lments finis, etc, ... Parmi ces mthodes, nous avons choisi la

    mthode des volumes finis.

    III .2 Mthode des volumes finis La mthode des volumes finis est caractrise par son avantage satisfaire la conservation de masse, de quantit de mouvement et d'nergie dans tous les volumes

    finis ainsi dans tout le domaine de calcul. Elle facilite la linarisation des termes non

    linaires dans les quations de conservation tel que le terme source par exemple. La mthode

    consiste partager le domaine de calcul en plusieurs volumes, o chaque volume

    entoure un nud. En utilisant diffrents schmas d'approximations on peut intgrer les

    termes des quations diffrentielles modlisantes sur chaque volume de contrle, o

    les valeurs et les quantits sont stockes aux nuds du volume de contrle.

    Chapitre III Modlisation numrique

    26

  • Ces quations algbriques produites expriment la conservation des quantits pour le

    volume de contrle et pour tout le domaine de calcul.

    III. 3 Equation gnrale de transport L'quation gnrale de transport d'une variable pour un coulement incompressible s'crit dans le systme cartsien comme suit:

    1 2 3 1 : terme de transport par convection

    2 : terme de transport par diffusion

    3 : terme de source.

    V vecteur vitesse cfficient de diffusion

    Oprateur laplacien dfinie par :

    Dans le tableau suivant, nous donnons la dfinition de , et pour les quations

    qui gouvernent notre problme gnral.

    +

    = 22

    2

    22

    S

    ( ) ( ) ( )1.2 IIISVdiv +=

    2

    Chapitre III Modlisation numrique

    27

  • Equation

    U

    Quantit de

    mouvement suivant (OX)

    V

    Quantit de

    mouvement suivant (OY)

    0

    Energie

    0

    0

    1

    Continuit

    Tableaux III.1 : variables et cfficients des quations de transport adimensionnelles

    III. 4 Maillage Le domaine de calcul est divis en une srie de sous domaines appels volume de contrle. Ces volumes de contrle enveloppent tout le domaine de calcul sans chevauchement,

    de telle faon que la somme de leurs volumes soit gale exactement au volume du domaine

    de calcul.

    Le schma du maillage adopt est du type dcal, propos par Patankar [25]. Un point est positionn au centre de chaque volume est appel centre du volume de contrle, il

    sera not P (figure III.1).

    Les nuds des volumes voisins seront nots suivant leur positions N, S, W et E

    (North, South, West et East). Les faces d'un volume de contrle sont localises aux points e,

    w, n et s. Les quantits scalaires (pression et temprature) sont stockes aux centres des

    cosRi+

    sinRi+

    S

    Re1

    Re1

    RePr1

    Chapitre III Modlisation numrique

    28

  • volumes finis. Par contre, les composantes de la vitesse sont localises aux faces des volumes

    finis.

    Ce volume de contrle est utilis pour l'expression des bilans des grandeurs scalaires,

    appel volume de contrle principal (figure III.2), et pour l'expression des grandeurs

    vectorielles, on utilise un volume de contrle dcal (figure III.3) et (figure III.4).

    On utilise un maillage non uniforme dans lequel les mailles sont plus larges l o les

    gradients sont plus faibles.

    Chapitre III Modlisation numrique

    29

  • i,j P

    i+1,j E

    i-1,j W

    i,j+1 N

    i,j-1 S

    i-2 i-1 i i+1

    w

    e

    n

    s

    Volume de contrle pour et P

    Volume de contrle pour V

    Volume de contrle pour U

    Figure III.1 : Schma des diffrents volumes de contrle

    Chapitre III Modlisation numrique

    30

  • III. 5 Discrtisation des quations de conservation Les quations de conservation (II.21-II.24), autrement dit l'quation sous la forme gnrale (III.1) a t intgre sur le volume de contrle V = 1.X . Y (figure III.2).

    L'intgration de l'quation (III.1), donne:

    Le terme convectif : Le terme diffusif : Le terme source :

    ( ) ( ) ( )2.2 IIIddSddVdivVV

    +=

    ( ) ( )

    ( )3.IIIddSdddd

    ddVddU

    n

    s

    e

    w

    n

    s

    e

    w

    n

    s

    e

    w

    n

    s

    e

    w

    n

    s

    e

    w

    +

    +

    =

    +

    ( ) [ ] ( ) ( )[ ]

    ( )

    ( ) [ ] ( ) ( )[ ]==

    ==

    sn

    n

    s

    e

    w

    n

    s

    e

    w

    we

    e

    w

    n

    s

    n

    s

    e

    w

    VVdVddV

    III

    UUdUddU

    4.

    ( )

    =

    =

    =

    =

    sn

    e

    w sn

    n

    s

    e

    w

    we

    n

    s we

    n

    s

    e

    w

    ddd

    III

    ddd

    5.

    ( )6.IIISddSn

    s

    e

    w

    =

    Chapitre III Modlisation numrique

    31

  • L'quation (III.2), s'crira alors:

    Le terme soure dans chaque quation de conservation doit tre linaris afin que tout le

    systme d'quations prenne la forme linaire et la rsolution devient ainsi simplifie. Donc le

    terme peut se mettre sous la forme suivante :

    doit tre ngatif afin de rpondre aux rgles de la mthode des volumes finis

    (Patankar 1980) [25], et faciliter ainsi la convergence du systme (la diagonale de la matrice

    du systme rsoudre devient dominante).

    O:

    SP : est le coefficient de

    Sc : est la partie constante de qui ne dpend pas de

    ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

    ( )7.IIIS

    VVUU

    snwe

    Snwe

    +

    +

    =+

    pS

    p

    S p

    ( )8.IIISSS pc +=

    Chapitre III Modlisation numrique

    S

    S

    32

  • (, P)

    i, j P

    Ue e Uw w

    Vs s

    X

    E i+1, j

    W i+1, j

    S

    i, j-1

    N

    i, j+1

    Xe

    Xw

    Y

    s

    Vn n

    Y

    Y

    n

    Figure III.2 : Volume de contrle typique

    Chapitre III Modlisation numrique

    33

  • (i, j) P

    e Ue w Uw

    W (i-1,j)

    E (i+1, j)

    S (i, j-1) X(i)

    X(i-1)

    X(i)

    X(i+1)

    Y

    (J)

    Y

    (j-1

    )

    Y(j

    )

    Figure III.3 : Volume de contrle dcal vers la droite

    Vn n

    (i, j ) P

    (i-1, j ) W

    (i+1, j ) E

    (i, j +1) N

    (i, j-1 ) S

    X(i-1)

    X(i)

    X(i+1) X(i)

    X(i+1)

    Y

    (j)

    Y

    (j-1

    )

    Y(j

    -1)

    Y

    (j)

    Figure III.4 : Volume de contrle dcal vers le haut

    Chapitre III Modlisation numrique

    N (i, j+1)

    34

  • Pour valuer les aux interfaces des volumes de contrle on utilise un des schmas

    de discrtisation (upwind, exponentiel, power law, hybride, quick,). Ces schmas diffrent

    par la faon avec laquelle, on prend en compte les termes de convection et de diffusion. Pour

    les flux aux interfaces des volumes de contrle on choisit une interpolation entre les nuds

    voisins. Pour simplifier l'qaution (III.7) nous appliquons un schma centr d'ordre deux pour

    remplacer les drivs premires sur les facettes du volume de contrle.

    Dans notre tude, on utilisera le schma numrique de la loi puissance (power law ).

    L'importance d'utiliser ce schma est d'obtenir une meilleure stabilit de la solution

    numrique.

    III.5.1 Application d'un schma numrique quelconque La discrtisation des quations permet d'obtenir un systme d'quations dont la forme algbrique gnrale est :

    Ou sous la forme quivalente : Tels que : est la variable dans l'quation concerne .

    Les indices (nb) reprsentent les nuds voisins du nud principal dsign par la lettre P.

    Les coefficients et sont calculs avec l'une des mthodes aux problmes de

    convection-diffusion (upwind, exponentiel, power law, hybride, quick, ).

    Dans l'quation (III. 9) on a :

    ( )9.IIIbSSNNEEWWPP ++++=

    ( ) ( )10.IIIbnbnbPP +=

    ( )11.IIIS pnbP =

    ( ) ( ) ( )12.0,max IIIFPD eeeE +=

    ( ) ( ) ( )13.0,max IIIFPD wwwW +=

    P nb

    Chapitre III Modlisation numrique

    35

  • o la fonction A(|P|) dcrit le schma utilis.

    Le schma de la loi puissance (power-law) est donn par la fonction suivante :

    (i = e, w, n, s)

    Les coefficients de l'quation (III.9) contiennent une combinaison du flux convectif F

    et de diffusion D aux interfaces de volume de contrle. Les valeurs de F et D pour chaque

    interface w, e, s et n du volume de contrle sont donnes par les relations suivantes :

    et

    ( ) ( ) ( )14.0,max IIIFPD nnnN +=

    ( ) ( ) ( )15.0,max IIIFPD sssS +=

    ( )16.IIISb c =

    ( ) ( )[ ] ( )17.1.0.1,.0max 5 IIIPP ii =

    ( )===

    =

    ss

    nn

    ww

    ee

    VFIIIVF

    UFUF

    18.

    ( )

    =

    =

    =

    =

    s

    ss

    n

    nn

    w

    ww

    e

    ee

    D

    IIID

    D

    D

    19.

    Chapitre III Modlisation numrique

    36

  • : coefficients correspondants, respectivement, aux nuds est, ouest, nord, sud et centre du volume de contrle b : est un terme de source et : termes convectifs correspondants, respectivement, aux faces est,

    ouest, nord et sud

    et : diffusifs correspondants, respectivement, aux faces est, ouest, nord et

    sud

    et : rapports du flux convectif au flux diffusif aux diffrentes faces du volume de contrle

    Si l'on exprime l'quation (III. 9) en fonction du nouveau systme de coordonnes (de

    numrotation des nuds, figure (III. 1)), l'quation gnrale (III. 9) s'crit donc sous forme

    indice.

    ( )

    s

    ss

    n

    nn

    w

    ww

    e

    ee

    DF

    P

    IIIDF

    P

    DF

    P

    DF

    P

    =

    =

    =

    =

    20.

    PSNWE et ,,,

    nwe FFF ,, sF

    nwe DDD ,, sD

    nwe PPP ,, sP

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )jibjijijijiIII

    jijijijijiji

    SN

    WEP

    ,1,,1,,21.

    ,1,,1,,,

    ++++

    ++=

    Chapitre III Modlisation numrique

    37

  • Equations de quantit de mouvement

    Selon (OX) Avec : Les flux convectifs :

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )jibjiUjijiUjiIII

    jiUjijiUjijiUji

    SN

    WEP

    ,1,,1,,22.

    ,1,,1,,,

    ++++

    ++=

    ( ) ( ) ( ).0,max, eeeE FPDji +=

    ( ) ( ) ( )( )23.

    .0,max,III

    FPDji wwwW +=

    ( ) ( ) ( ).0,max, nnnN FPDji +=

    ( ) ( ) ( ).0,max, sssS FPDji +=

    ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )24.cos,1,5.0

    ,1,,IIIjiRijiji

    jjiPjiPjib++

    ++=

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )25.,,,,, IIIjijijijiji SNWEP +++=

    ( ) ( )[ ] ( )ijiVjiVFn ++= ,,121

    ( ) ( )[ ] ( )( )26.

    ,,121

    III

    jjiUjiUFw +=

    ( ) ( )[ ] ( )jjiUjiUFe ++= ,,121

    ( ) ( )[ ] ( )ijiVjiVFs ++= 1,1,121

    Chapitre III Modlisation numrique

    38

  • Les flux diffusifs :

    Selon (OY) Avec :

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )jibjiVjijiVjiIII

    jiVjijiVjijiVji

    SN

    WEP

    ,1,,1,,28.

    ,1,,1,,,

    ++++

    ++=

    ( )( )1Re

    1+

    =

    ijDe

    ( )( )

    ( )27.Re1

    IIIijDw

    =

    ( )( )jiDn

    =

    Re1

    ( )( )1Re

    1

    =

    jjDs

    ( ) ( ) ( ).0,max, eeeE FPDji +=

    ( ) ( ) ( ) ( )29..0,max, IIIFPDji nnnN +=

    ( ) ( ) ( ).0,max, wwwW FPDji +=

    ( ) ( ) ( ).0,max, sssS FPDji +=

    ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )30.sin1,,5.0

    1,,,IIIjiRijiji

    ijiPjiPjib++

    ++=

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )31.,,,,, IIIjijijijiji SNWEP +++=

    Chapitre III Modlisation numrique

    39

  • Les flux convectifs : Les flux diffusifs : Equation d'nergie

    ( ) ( )[ ] ( )jjiUjiUFe ++= ,1,21

    ( ) ( )[ ] ( )( )32.

    ,11,121

    III

    jjiUjiUFw ++=

    ( ) ( )[ ] ( )ijiVjiVFn ++= ,1,21

    ( ) ( )[ ] ( )ijiVjiVFs += ,1,21

    ( )( )ijDe

    =

    Re1

    ( )( )

    ( )33.1Re

    1

    IIIi

    jDw

    =

    ( )( )1Re

    1+

    =

    jiDn

    ( )( )jiDs

    =

    Re1

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )jibjijijijiIII

    jijijijijiji

    SN

    WE

    ,1,,1,,34.

    ,1,,1,,,

    ++++

    ++=

    Chapitre III Modlisation numrique

    40

  • Avec : Les flux convectifs : Les flux diffusifs :

    ( ) ( ) ( ).0,max, eeeE FPDji +=

    ( ) ( ) ( )( )35.

    .0,max,III

    FPDji wwwW +=

    ( ) ( ) ( ).0,max, nnnN FPDji +=

    ( ) ( ) ( ).0,max, sssS FPDji +=

    ( ) ( )36..0, IIIjib =

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )37.,,,,, IIIjijijijiji SNWEP +++=

    ( ) ( )jjiUFe = ,

    ( ) ( )( )38.

    ,1III

    jjiUFw =

    ( ) ( )ijiVFn = ,

    ( ) ( )ijiVFs = 1,

    ( )( )i

    jDe

    =PrRe

    1

    ( )( )

    ( )39.1PrRe

    1

    IIIi

    jDw

    =

    ( )( )jiDn

    =

    PrRe1

    ( )( )1PrRe

    1

    =

    jiDs

    Chapitre III Modlisation numrique

    41

  • III.6 Rsolution numrique Les quations diffrentielles ont t intgres et discrtises l'aide de la mthode des

    volumes finis. La rsolution de ce systme prsente quelques difficults, parce que:

    Les coefficients des quations dpendent des valeurs des variables; le systme n'est

    donc pas linaire.

    Les termes source des quations de quantit de mouvement font intervenir le gradient

    de pression.

    Cette difficult pourra tre rsolue par un traitement itratif du systme d'quation

    (Algorithme TDMA) [25].

    Les quations (III.22) et (III.28) ne pourront tre rsolues que si la pression P est

    connue ou estime. Si la pression correcte est connue, le champ de vitesse obtenu aprs la

    rsolution du systme algbrique satisfera l'quation de continuit. Comme la pression n'est

    pas connue, il est ncessaire une procdure pour calculer la pression.

    III.6.1 L'algorithme SIMPLE L'algorithme SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equation) a t

    cre par Patankar et Spalding [25]. Il est une procdure itrative pour calculer la pression en

    utilisant le maillage dplac. La procdure itrative commence par lestimation de la pression.

    Soit P* le champ de pression estim. Les quations (III.22) et (III.28) sont rsolues pour

    obtenir le champ de vitesse associ U* et V* :

    O

    bU et bV sont les termes de source ne contenant pas le terme de pression.

    On dfinit la correction de la pression P' comme la diffrence entre la pression correcte

    P et la pression estime P* :

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )40.,1,,,, ***,,,

    * IIIjjiPjiPjibUjiUji UnbSNWEnbnbP +++=

    =

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )41.1,,,,, ***,,,

    * IIIijiPjiPjibVjiVji VnbSNWEnbnbP +++=

    =

    Chapitre III Modlisation numrique

    42

  • De faon similaire on dfinit la correction des vitesses U ' et V ' comme la diffrence

    entre les vitesses correctes U, V et les vitesses estimes U* et V * :

    La substitution du champ de pression correct, P, dans les quations de conservation de

    la quantit de mouvement donne le champ de vitesse correct (U, V). Les quations discrtises

    (III.22) et (III.28) lient le champ de vitesse correct avec le champ de pression correct.

    La soustraction des quations (III.40) et (III.41) des quations (III.22) et (III.28)

    respectivement, donne :

    En utilisant les formules de correction (III.42-III.44) les quations (III.45) et (III.46)

    peuvent tre rcrites ainsi :

    ( )42.'* IIIPPP +=

    ( )43.'* IIIUUU +=

    ( )44.'* IIIVVV +=

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )45.,1,1,,,,,

    **

    *

    ,,,

    *

    IIIjjiPjiPjiPjiP

    UUjiUjiUji nbnbSNWEnbnbP

    ++

    +

    =

    =

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )46.1,1,,,,,,

    **

    *

    ,,,

    *

    IIIijiPjiPjiPjiP

    VVjiVjiVji nbnbSNWEnbnbP

    ++

    +

    =

    =

    ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )47.,1,,, ''',,,

    ' IIIjjiPjiPUjiUji nbSNWEnbnbP ++=

    =

    ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )48.1,,,, ''',,,

    ' IIIijiPjiPVjiVji nbSNWEnbnbP ++=

    =

    Chapitre III Modlisation numrique

    43

  • ce moment une approximation est introduite: les termes et

    sont ngligs pour simplifier les quations (III.47) et (III.48). Lomission de ces termes est la

    principale approximation de lalgorithme SIMPLE. On obtient :

    Les quations (III.49) et (III.50) dcrivent les corrections qui doivent tre appliques

    aux vitesses travers les formules (III.43) et (III.44), ce qui donne les vitesses aux niveaux

    des faces du volume de contrle :

    Jusqu maintenant on a considr les quations de conservation de la quantit de

    mouvement, mais le champ de vitesse, en mme temps doit satisfaire lquation de continuit

    (II.21).

    L'quation de continuit discrtise, obtenue par l'intgration de l'quation (II.21) sur

    le volume de contrle prsent la (Fig III.2), est :

    '

    ,,,nb

    SNWEnbnb V

    =

    ',,,

    nbSNWEnbnb U

    =

    ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )49.,1,,, ''' IIIjjiPjiPjiUjiP +=

    ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )50.1,,,, ''' IIIijiPjiPjiVjiP +=

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )51.,,,''

    * IIIji

    jPPjiUjiU E

    +=

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )52.,1,1,1''

    * IIIji

    jPPjiUjiU W

    +=

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )53.,,,''

    * IIIji

    iPPjiVjiV N

    +=

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )54.1,1,1,''

    * IIIji

    iPPjiVjiV S

    +=

    ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )55.01,,,1, IIIijiVjiVjjiUjiU =+

    Chapitre III Modlisation numrique

    44

  • La substitution des quations corriges (III.51III.54) dans lquation de continuit

    discrtise (III.55) donne :

    En regroupant les termes, on obtient l'quation de la correction de pression P' sous la

    forme gnrale suivante :

    O

    Lquation (III.57) reprsente lquation de continuit discrtise comme une quation

    de correction de pression P'. Le terme source apparat cause du fait quon utilise un

    champ de vitesse incorrect U* et V*. Si celui-ci implique plus de correction de

    pression ncessaire. Par la rsolution de lquation (III.57) on obtient la correction de pression

    pour tous les points du maillage et alors la pression correcte peut tre calcule laide de la

    formule (III.42) et les composantes de la vitesse avec les formules de correction (III.43) et

    ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( ) ( )56.01,1,,,

    ,1,1

    ,,

    ''*

    ''*

    ''*

    ''*

    IIIiji

    iPPjiVji

    iPPjiV

    jji

    jPPjiUji

    jPPjiU

    SN

    WE

    =

    +

    +

    +

    ( )57.'''''' IIISPPPPP PSSNNWWEEPP ++++=

    'PS

    0' =PS

    ( )( ) ( ) ( )58., IIIjji

    j

    PE

    =

    ( )( ) ( ) ( )61.1, IIIiji

    i

    PS

    =

    ( )62.IIISNWEP +++=

    ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )63.1,,,1, ****' IIIijiVjiVjjiUjiUSP +=

    ( )( ) ( ) ( )59.,1 IIIjji

    j

    PW

    =

    ( )( ) ( ) ( )60., IIIiji

    i

    PN

    =

    Chapitre III Modlisation numrique

    45

  • (III.44). Lomission du terme ne doit pas affecter la solution finale parce que

    les corrections de pression et de vitesse seront nulles la convergence.

    Il est possible que le processus itratif soit divergent. Pour remdier cet inconvnient,

    pendant le processus itratif on peut utiliser la sous-relaxation :

    O 0 < P < 1 est facteur de sous-relaxation.

    Les composantes de la vitesse doivent aussi tre sous-relaxes en utilisant les relations :

    O : aU et aV sont les facteurs de sous-relaxation pour les composantes de la vitesse, U et V

    sont les composantes corriges sans relaxation tandis que U(n-1) et V(n-1) reprsentent leurs

    valeurs litration prcdente.

    III.6.2 Lalgorithme SIMPLER

    Lalgorithme SIMPLER (SIMPLE Revised), mise au point par Patankar (1980), [25],

    est une version amliore de lalgorithme SIMPLE. Selon cet algorithme lquation de

    continuit discrtise (III.55) est utilise pour obtenir une quation discrtise pour la

    pression au lieu dune quation de correction de pression comme dans lalgorithme SIMPLE.

    Le champ de pression est obtenu directement, sans correction de pression, mais le champ de

    vitesse est obtenu laide de la correction en utilisant les quations (III.51-III.54).

    Selon l'algorithme SIMPLER, on dfinit les pseudo-vitesses

    ainsi :

    ( ) ( ) ( )65.1 1 IIIUUU nUUnouv +=

    ( ) ( ) ( )66.1 1 IIIVVV nVVnouv +=

    ( )64.'* IIIPPP Pnouv +=

    '

    ,,,nb

    SNWEnbnb UA

    =

    snwe VetVUU ,,

    Chapitre III Modlisation numrique

    46

  • bU et bV sont les termes de source ne contenant pas le terme de pression.

    Les vitesses aux niveaux des faces du volume de contrle s'crivent

    comme suit :

    Avec :

    En remplaant les vitesses donnes par les

    relations (III.71-III.74) dans l'quation de continuit discrtise (III.55) on obtient:

    ( ) ( )67.,,,

    IIIbUUSNWEnb e

    Unbnbe

    =

    +

    =

    ( ) ( )68.,,,

    IIIbUUSNWEnb w

    Unbnbw

    =

    +

    =

    ( ) ( )69.,,,

    IIIbVVSNWEnb n

    Vnbnbn

    =

    +

    =

    ( ) ( )70.,,,

    IIIbVVSNWEnb s

    Vnbnbs

    =

    +

    =

    snwe VetVUU ,,

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )71.,,, IIIjijPP

    jiUjiUUp

    Epe

    +==

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )72.,1,,1 IIIjijPPjiUjiUU

    p

    PWw

    +==

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )73.,,, IIIjiiPP

    jiVjiVVp

    Npn

    +==

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )74.1,1,1, IIIjiiPPjiVjiVV

    p

    PSs

    +==

    ( )

    = eUjiU , ( )

    = wUjiU ,1 ( )

    = nVjiV , ( ) .1,

    = sVjiV

    ( ) ( ) ( ) ( ).1,,,,1,, ==== jietjijiji PsPnPwPe

    ( ) ( ) ( ) ( )1,,,,1,, jiVetjiVjiUjiU

    Chapitre III Modlisation numrique

    47

  • En regroupant les termes dans l'quation (III.75) on obtient l'quation de pression

    discrtise :

    o

    La solution numrique dans nos calculs est obtenue avec l'algorithme SIMPLER. Les

    squences de calcul sont les suivantes :

    1. On commence par lestimation (choix initial) du champ de vitesses, du champ de

    pression et de la temprature.

    2. Calculer les pseudo-vitesses laide des relations (III.67-III.70)

    3. Calculer les coefficients et rsoudre lquation de la pression (III.76) pour obtenir le champ

    de pression P.

    ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( ) ( )75.01,1,,,

    ,1,1

    ,,

    IIIijiA

    iPPjiVjiA

    iPPjiV

    jjiA

    jPPjiUjiA

    jPPjiU

    P

    PS

    P

    NP

    P

    PW

    P

    EP

    =

    +

    +

    +

    ( )76.IIISPAPAPAPAPA PSSNNWWEEPP ++++=

    snwe VetVUU ,,

    ( )( ) ( ) ( )77., IIIjjiA

    jAP

    E

    =

    ( )81.IIIAAAAA SNWEP +++=

    ( )( ) ( ) ( )78.,1 IIIjjiA

    jAP

    W

    =

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )82.1,,,1, IIIijiVjiVjjiUjiUSP

    +

    =

    ( )( ) ( ) ( )80.1, IIIijiA

    iAP

    S

    =

    ( )( ) ( ) ( )79., IIIijiA

    iAP

    N

    =

    Chapitre III Modlisation numrique

    48

  • 4. Initialiser le champ de pression initial P* avec le nouveau champ de pression obtenu

    ltape 3 (P* = P) et rsoudre les quations de conservation de la quantit de mouvement

    (III.40) et (III.41) pour obtenir U*(i, j) et V*(i, j)

    5. Calculer les coefficients et le terme-source et puis rsoudre lquation de correction de

    pression (III.57) pour obtenir la correction de pression P' ;

    6. Corriger le champ de vitesses laide des relations (III.51-III.54), mais sans corriger la

    pression ;

    7. Calculer les coefficients et le terme-source et puis rsoudre lquation de lnergie;

    8. Rinitialiser toutes les variables calcules aux tapes 3, 6, et 7 (P* = P, U* = U, V* = V,

    =) et puis retour ltape 2 ;

    9. Rpter les tapes 2 8 jusqu lobtention de la convergence.

    III.6.3 Mthode itrative de rsolution Il existe plusieurs mthodes de rsolution des systmes d'quations algbriques, essentiellement les mthodes directes (par exemple Gauss-jordan) et les mthodes itratives

    (par exemple Gauss-seidel).

    La rsolution directe du systme d'quations algbriques est complique, pour cela, on utilise la technique de balayage qui est une mthode de rsolution semi-itrative. Elle consiste

    dterminer les valeurs de la variable sur chaque ligne du domaine d'tude

    indpendamment des autres lignes, donc le systme se transforme d'un systme d'quations

    algbriques multidimensionnelles en un systme unidimensionnel, en ajoutant la source de

    la dimension choisie des termes des autres dimensions. Le systme d'quations obtenu est

    reprsent par une matrice tridiagonale et peut tre rsolu par l'algorithme de Thomas [25].

    'S

    Chapitre III Modlisation numrique

    49

  • Dveloppement de la mthode (TDMA)

    L'quation algbrique s'crit pour le nud P du maillage comme suit :

    Le systme d'quations obtenu peut se mettre sous la forme : O : matrice de (IL-2) (JL-2) lments. vecteur des inconnues i = 2, IL -1

    j = 2, JL -1

    Pour dterminer les valeurs de sur une colone (i) on suppose que les valeurs de cette dernire sont connues sur les colonnes (i -1) et (i+1). L'quation algbrique (III.84)

    crire pour chaque nud de la colonne (i) est alors rduire une quation qui contient

    seulement trois inconnues

    Pour le nud (i, j) du maillage, l'quation peut tre crite sous la forme d'une quation unidimensionnelle :

    Et en posant :

    ( )84.IIISSSNNWWEEPP ++++=

    [ ] [ ] [ ] ( )85.IIIS =

    [ ]

    [ ] ( )ji,

    ( ).,, SN

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )86.,,1,

    ,1,1,,1,,,,

    IIIjiSjiji

    jijijijijijijiji

    WW

    EENNSSPP

    ++

    +=+

    ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )jiSjijijijid

    jic

    jibjia

    WWEEj

    sj

    nj

    Pj

    ,,1,,1,

    ,

    ,;

    +++=

    =

    =

    =

    Chapitre III Modlisation numrique

    50

  • On obtient l'quation (III.87) sous la forme suivante :

    avec :

    Pour tous les nuds (j=2, JL-1) de la colonne (i), l'quation (III.87) donne un systme de la forme :

    Les valeurs de et sont connues (conditions aux limites).

    La matrice associe au systme est tridiagonale. On utilisera l'algoritheme TDMA (algorithme de Thomas) [25] pour la rsolution en rarrangeant toutes les quations du

    systme (III.88) sous la forme :

    On obtient ce qui suit :

    ( )87.11 IIIdbac jjjjjjj =+ +

    001 == JLbetc

    2322212 dbac =+

    JLJLJLJLJLJLJL dbac =+ + 11

    ( )88.11 IIIdbac jjjjjjj =+ +

    1 JL

    ( )89.11 IIIad

    ab

    ac

    j

    jj

    j

    jj

    j

    jj ++= +

    ( )90.2

    23

    2

    21

    2

    22 IIIa

    dab

    ac

    ++=

    ( )91.3

    34

    3

    32

    3

    33 IIIa

    dab

    ac

    ++=

    ( )92.11 IIIad

    ab

    ac

    JL

    JLJL

    JL

    JLJL

    JL

    JLJL ++= +

    Chapitre III Modlisation numrique

    51

  • Et puisque est connue, on limine de l'quation (III.91) puis de l'quation (III.92) et

    ainsi de suite, on obtient une relation de rcurrence pour telle que :

    Dtermination de et :

    Pour le nud (i, j-1), on a :

    En remplaant (III.94) dans (III.88) on trouve :

    D'o on a :

    De (III.93) et (III.97) on a :

    Pour j=1 on a :

    Donc l'quation (III.97) pour j=1 se rduit :

    2 31

    ( )93.1 IIIQP jjjj += +

    jP jQ

    ( )94.111 IIIQP jjjj +=

    ( ) ( )95.111 IIIdbaQPc jjjjjjjjj =++ +

    ( ) ( )96.111 IIIbcdPca jjjjjjjjj + ++=

    ( )97.1

    11

    1

    IIIPca

    cdPca

    b

    jjj

    jjjj

    jjj

    jj

    +

    +

    =

    ( )98.1

    IIIPca

    bP

    jjj

    jj

    =

    ( )99.1

    1 IIIPca

    cdQ

    jjj

    jjjj

    =

    01 =c

    J

    Chapitre III Modlisation numrique

    52

  • Ce qui correspond la forme de l'quation (III.89).

    Donc, on a :

    Aussi, pour j= JL on a : bJL=0 donc PJL =0

    Et de l'quation (III.94) on a :

    Rsum de l'algorithme de Thomas

    1. Calculer de l'quation (III.101).

    2. Calculer partir de la relation (III.98) et la relation (III.99) les coefficients et avec : j= 2, 3, , JL.

    3. On pose .

    4. On utilise l'quation (III.93) pour j=JL-1, JL-2, , 3, 2, 1 afin d'obtenir les valeurs

    III.7 Algorithme de calcul Pour rsoudre le problme de la prsente tude, on suit les tapes de l'algorithme

    suivant :

    ( )102.IIIQJLJL =

    11 QetP

    jP jQ

    JLJL Q=

    .,,...,,, 12321 JLJL

    ( )101.,1

    11

    1

    11 IIIa

    dQabP ==

    ( )100.1

    12

    1

    11 IIIa

    dab

    +=

    Chapitre III Modlisation numrique

    53

  • Lecture des donnes

    Maillage

    Estimation initiale des champs de pression, de vitesses et de temprature.

    DBUT

    Calcul des pseudo-vitesses, aprs le calcul des coefficients des quations de quantit de mouvement.

    Calcul des coefficients et rsoudre l'quation de pression

    Rsoudre les quations de conservation de quantit de mouvement

    Calcul des coefficients et puis rsoudre l'quation de correction de pression

    Corriger le champ de vitesses

    Convergence?

    Calcul des coefficients de l'quation de l'nergie et rsoudre l'quation de l'nergie

    FIN

    Oui

    Actualiser P* =P ; U* =UV* =V ; * =

    Boucle d'itrations

    Non

    Figure III.5 : Algorithme de calcul.

    Chapitre III Modlisation numrique

    54

  • CHAPITRE IV RESULTATS ET DISCUSSION

  • IV.1 Description des objectifs de notre tude

    Dans ce chapitre, nous prsentons les rsultats de l'tude numrique de la

    convection mixte, stationnaire et bidimensionnelle d'un coulement du fluide sur une plaque

    plane isotherme et incline d'un angle par rapport la verticale. L'tude est axe, d'une part,

    sur les influences du nombre de Richardson (Ri=GrL/ReL2) et de l'inclinaison sur l'aspect

    thermique et dynamique de l'coulement le long de plaque. Pour cette tude nous avons utilis

    les quations de Navier-Stockes et de la chaleur dans un domaine avoisinant la surface de la

    plaque avec lide de mettre en vidence le dveloppement dune couche limite.

    Pour avoir une ide globale du comportement des diffrents fluides nous avons choisi,

    comme rfrence, l'air (Pr=0.72 premier cas) et l'eau (Pr=7.0 deuxime cas) qui traduisent

    respectivement le comportement gnral des gaz et des liquides.

    Le phnomne de la convection mixte est tudi par la variation du nombre Ri entre

    les valeurs 0 5 pour lair et 0 10 pour leau.

    Le domaine de variation de l'angle d'inclinaison est compris entre 0 et 90. Cette

    tude engendre le cas d'une convection mixte favorable, c--d la convection naturelle et

    force sont dans le mme sens et la convection mixte dfavorable o la convection naturelle

    agit dans le sens inverse de la convection force.

    IV.2 Validation numrique du modle. Pour valider nos rsultats numriques, nous les avons confronts, d'une part, ceux de

    Wickern [11] et N.H.Saeid [16] qui ont travaill sur le mme sujet, en considrant une plaque

    plane dont la temprature est constante. Notons que ces deux auteurs ont utiliss l'approche de

    la couche limite. La mthode numrique de rsolution suivie par Wickern est celle de Keller's

    box tandis que Saeid a appliqu la mthode des diffrences finies. Nous avons collect les

    rsultats propres la position verticale de la plaque de ces deux tudes et avons adopts des

    conditions analogues celles prises par les deux auteurs. Ces conditions se rsument la

    fixation du nombre de Reynolds, de l'angle d'inclinaison 0 (position verticale) et la

    variation du nombre de Richardson entre 0 et 1. La variation de ce dernier paramtre

    Chapitre IV Rsultats et discussion

    55

  • adimensionnel s'effectue par l'intermdiaire du nombre de Grashof. Les rsultats d'volution

    du nombre de Nusselt local (NuLReL-1/2), en fonction du nombre de Richardson, qui sont

    illustrs sur la figure IV.1 montrent un bon accord entre nos rsultats et ceux obtenus par les

    deux auteurs.

    Pour justifier, une fois de plus, l'exactitude de nos rsultats numriques nous les avons

    confronts ceux obtenus par J.a. Souza [15]. Ce dernier a tudi le problme de frottement

    de l'air qui s'coule sur une plaque plane, de longueur finie, en oscillation par rapport un axe

    parallle sa surface et qui est aussi en mouvement. On note que cette tude a t effectue,

    partir des quations gnralises tout comme notre approche. Le glissement des rsultats de

    cet auteur sur les ntres est obtenu par une simple fixation de l'angle d'inclinaison de la plaque

    et du nombre de Reynolds. La figure IV.2 montre un trs bon accord entre nos rsultats et

    ceux de Souza dans tout le domaine de variation du nombre de Richardson que nous avons

    explor (0-5). Dans ce cas, le Nusselt tudi est le Nusselt local (NuL ReL-1/2).

    Chapitre IV Rsultats et discussion

    56

  • 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,2

    0,3

    0,4

    0,5

    Wickern[11] ; N. H. Saeid [16] prsent travail

    Nu L

    Re L

    -1/2

    Ri

    Pr = 0.72

    Figure IV.1 : Variation de NuL ReL-1/2 en fonction du nombre de Richardson de l'air sur une plaque verticale

    0 1 2 3 4 50,2

    0,4

    0,6

    0,8

    Pr=0.72

    Nu L

    Re L

    -1/2

    Ri

    J.a. Souza[15] prsent travail

    Figure IV.2 : Variation de NuL ReL-1/2 en fonction du nombre de Richardson

    Chapitre IV Rsultats et discussion

    57

  • IV.3 Rsultats de la convection mixte dans le cas favorable

    IV.3.1 Cas de l'air (Pr = 0.72)

    IV.3.1.1 Influence du nombre de Richardson sur la convection

    (0Ri5)

    Cas d'une plaque plane verticale (=0)

    Champ dynamique La figure IV.3 (a) prsente la variation du profil de la vitesse longitudinale

    adimensionnelle en fonction du coordonne adimensionnelle Y pour diffrentes valeurs du

    nombre de Richardson la position X=0.9, voisine du bord de sortie. La composante de la

    vitesse locale, due la convection naturelle, est maximale en cette abscisse. En effet, cette

    abscisse et au voisinage de la surface la temprature du fluide est trs leve. Ce gradient de

    temprature amplifie le phnomne de la convection naturelle. On remarque que

    l'augmentation du nombre de Richardson Ri acclre l'coulement au voisinage de la paroi. Le

    profil de vitesse prsente un maximum dans le domaine de coordonne Y 0-0.01. Ce rsultat

    s'explique par le fait que la convection naturelle, apparaissant dans ce cas, augmente la vitesse

    des particules fluides au voisinage de la paroi. Cette acclration conduit une diminution de

    l'paisseur de la couche limite dynamique et donc des gradients de vitesse paritaux

    importants d'o des transferts thermiques paritaux accrus. Sachant qu la valeur Ri=0

    lcoulement est due une convection force pure. Pour les faibles valeurs de Ri l'coulement

    forc reste prpondrant sur toute la plaque. Nous avons observ que la convection mixte

    napparat qu partir de Ri 0.5 o l'on remarque que la vitesse, dans cette abscisse, devient

    plus importante que la vitesse impose l'entre.

    La figure IV.4 illustre, pour divers nombres de Richardson Ri, la variation de la vitesse

    longitudinale adimensionnelle en fonction du coordonne adimensionnelle Y le long de la

    plaque (X=0.1-1). Nous observons que l'accroissement du nombre de Richardson favorise

    l'apparition prcoce de la convection mixte le long de la plaque. Ce phnomne se gnralise

    sur toute la plaque partir de Ri 5. Pour cette raison, cette valeur de Ri=5 est prise comme

    limite dans notre tude.

    Chapitre IV Rsultats et discussion

    58

  • Champ thermique

    La figure IV.3 (b) reprsente l'volution de la temprature adimensionnelle en fonction

    de la coordonne transversale Y pour diverses valeurs de Ri. Pour cette position verticale de la

    plaque, l'augmentation du nombre de Richardson Ri, provoque une diminution de l'paisseur

    de la couche limite thermique. Ceci s'explique par des gradients thermiques paritaux

    importants. Pour Ri=0, nous obtenons une couche limite thermique dont l'paisseur est

    voisine de celle dynamique. Ce rsultat numrique est en bon accord avec la relation classique t/=Pr-1/3 [3]. Ce rsultat est aussi confirm par les courbes de la figure IV.5.

    La figure IV.6 reprsente les variations des paisseurs, au bord de sortie X=0.9, de la

    couche limite dynamique et thermique adimensionnelles en fonction de Ri. On remarque que

    l'augmentation de Ri, diminue les paisseurs de la couche limite dynamique et thermique. Ce

    rsultat montre que la convection naturelle contribue acclrer l'