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Loi de comportement développée 201 Chapitre VII Loi de comportement développée : loi MMC

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Loi de comportement développée

201

Chapitre VII

Loi de comportement développée : loi MMC

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Loi de comportement développée

202

Table des matières I. INTRODUCTION ................................................................................................................................... 203

II. FONDEMENTS DE LA LOI MMC ...................................................................................................... 203

III. DESCRIPTION DES COMPOSANTES DU MODÈLE DÉVELOPPÉ ............................................ 203

III.1. COMPORTEMENT ÉLASTIQUE INCRÉMENTAL..................................................................................... 204 III.2. CRITÈRE DE RUPTURE ....................................................................................................................... 205 III.3. RÈGLE D’ÉCOULEMENT..................................................................................................................... 205 III.4. DÉFINITION DE LA SURFACE DE CHARGE........................................................................................... 206 III.5. LA SURFACE DE CHARGE DE LA LOI MMC ........................................................................................ 207 III.6. CALCUL DE LA DÉFORMATION EN CHARGEMENT PRIMAIRE .............................................................. 211 III.7. CALCUL DU MULTIPLICATEUR PLASTIQUE ........................................................................................ 211 III.8. DÉTERMINATION DE L’ÉTAT DE DÉCHARGEMENT- RECHARGEMENT................................................. 213

III.8.1. Module en déchargement ............................................................................................................ 214 III.8.2. Module en rechargement............................................................................................................. 215

IV. IDENTIFICATION DES PARAMÈTRES DE LA LOI MMC........................................................... 216

IV.1. DÉTERMINATION DES PARAMÈTRES D’ÉLASTICITÉ............................................................................ 216 IV.1.1. Paramètre Kc et n. ....................................................................................................................... 216 IV.1.2. Paramètre Kd............................................................................................................................... 218 IV.1.3. Paramètre ν................................................................................................................................. 219

IV.2. DÉTERMINATION DES PARAMÈTRES DE PLASTICITÉ .......................................................................... 220 IV.2.1. Paramètre ϕ. ............................................................................................................................... 220 IV.2.2. Paramètres ψ1, ψr ....................................................................................................................... 221 IV.2.3. Paramètre SLψ............................................................................................................................ 222 IV.2.4. Paramètre C0............................................................................................................................... 222

V. CONCLUSIONS SUR LA LOI MMC................................................................................................... 222

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Loi de comportement développée

203

I. Introduction Afin de représenter le comportement du sol analogique bidimensionnel de Schneebeli utilisé dans notre expérimentation une loi de comportement bidimensionnelle spécifique a été développée. Ce modèle de comportement a été implanté dans un code de calcul en différences finies FLAC. (Cundall [1980]). Vu la nature et le comportement du matériau utilisé, ainsi que la nature des sollicitations dans le creusement des tunnels la loi développée doit être strictement bidimensionnelle. Le comportement en cisaillement écrouissable et fortement dilatant doit correctement simuler les cycles de déchargement et de rechargement. A la rupture il n’y a pas de comportement radoucissant. La loi développée sera appelée loi MMC. Les essais mécaniques (biaxial et oedométrique) réalisés avec des cycles de chargement et de déchargement sur les éprouvettes de matériaux analogiques nous ont permis de déterminer de manière expérimentale les relations caractérisant la rhéologie de ce matériau.

II. Fondements de la loi MMC Le modèle que nous développons provient de deux origines différentes : l’élastoplasticité basée sur un seul mécanisme écrouissable avec un critère de rupture défini de type Mohr-Coulomb pour le chargement primaire et l’élasticité incrémentale pour le déchargement- rechargement. Le modèle de comportement développé est caractérisé par: Chargement primaire : • Pas de comportement élastique réversible • La dilatance doit pouvoir être prise en compte dès le début de la sollicitation • Un écrouissage isotrope • Une surface de charge ouverte avec un mécanisme plastique déviatorique • Une règle d’écoulement non-associée Déchargement-réchargement • A l’intérieur de la surface de charge le comportement est élastique non linéaire

incrémental de type hypoélastique • Le comportement est distingué entre le déchargement et le rechargement, l’effet de rochet

observé dans l’expérience est décrit. La rupture • Le critère de rupture de type Mohr-Coulomb

III. Description des composantes du modèle développé En chargement primaire nous avons décomposé la déformation totale en la somme d’une déformation élastique et d’une déformation plastique (Figure 1):

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Loi de comportement développée

204

pij

eijij ddd ε+ε=ε

Figure 1 : Illustration schématique des déformations élastiques et plastiques pour un essai triaxial

Ces déformations sont calculées séparément. La déformation élastique est obtenue en utilisant la loi de Hooke. La déformation plastique, par contre, nécessite l’existence d’une surface de charge, d’une règle d’écoulement et d’une loi d’écrouissage durcissant. La formulation que nous proposons correspond à la logique de différences finies, où d’élément finis, dont la variable de base est le déplacement. Les déformations plastiques sont obtenues par dérivation et les contraintes sont calculées en utilisant la loi rhéologique. Afin de présenter les séquences logiques de développement nous décrivons les composantes dans l’ordre suivant : Comportement élastique, critère de rupture, règle d’écoulement, surface de charge, comportement en déchargement-rechargement.

III.1. Comportement élastique incrémental L’élasticité est fondée sur l’élasticité de Hooke, avec un module de Young dépendant de la contrainte principale mineure σ2. Les nouvelles contraintes élastiques sont calculées à partir des déformations dans les axes globaux OX et OY :

xyxy

xx2yy1yy

yy2xx1xx

G2 ε=τ

εα+εα=σ

εα+εα=σ

Avec : α1 = E0 le module oedométrique α2 = K0E0, avec K0 le coefficient des terres au repos Dans des conditions bidimensionnelles, on obtient les valeurs suivantes en élasticité isotrope :

201 ν−

=EE ν=0K

La valeur de ν est constante ( 0<ν<1, ν=1 correspond à un matériau incompressible).

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Loi de comportement développée

205

Le module tangent initial E est variable. Il est calculé à partir de la formule proposée par Janbu [1963] :

n

atm

2i P

KE ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ=

avec : K coefficient adimensionnel Patm la pression atmosphérique de référence Les 4 paramètres définissent l’élasticité isotrope : Kc, Kd, ν, n. Le paramètre Kd sera défini plus loin.

III.2. Critère de rupture Dans la loi MMC le critère de rupture est celui de Mohr-Coulomb, il est parfaitement adapté à notre modèle 2D car il ne dépend que de deux contraintes principales. Il est exprimé sous la forme suivante:

0)sin1()sin1()(F 21ij ≤ϕ+σ−ϕ−σ=σ

Avec : σ1 et σ2 respectivement les contraintes principales (σ1>σ2>0). ϕ l’angle de frottement du matériau (paramètre) Dans le plan des axes principaux, la surface de rupture est présentée par deux droites qui sont asymétriques par rapport à l’axe hydrostatique. Le critère de rupture passe par l’origine des axes principaux ce qui représente l’absence de cohésion dans notre matériau (Figure 2).

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 10 20 30 40 50σ2 (kPa)

σ1 (k

Pa)

Critère de rupture par compression

Critère de rupture par extension

Figure 2 : Critère de rupture dans l’espace des axes principaux σ1 et σ2.

III.3. Règle d’écoulement En utilisant la règle d’écoulement plastique, l’incrément du tenseur des déformations plastiques (dεi

p) est colinéaire aux dérivées partielles du potentiel plastique, il va donc être déterminé de la manière suivante :

σ1/σ2=tg2(π/4+ϕ/2)

σ1/σ2=tg2(π/4-ϕ/2)

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Loi de comportement développée

206

1,2iGddi

ppi =

σ∂∂

λ=ε

où G est le potentiel plastique dλp est un scalaire représentant à la longueur de la déformation plastique Le potentiel plastique G pour un matériau granulaire est en générale différent de la surface de charge et les règles d’écoulement non-associées sont appliquées (Figure 3). Le potentiel plastique utilisé s’écrit sous la forme suivante:

te21ij C)sin1()sin1()(G +ψ+σ−ψ−σ=σ

où ψ l’angle de dilatance variable (0<ψ<ϕ) d’où les incréments de déformations plastiques:

)sin1(dd sp1 ψ−λ=ε

)sin1(dd sp2 ψ+λ=ε

p1dε et p

2dε étant les incréments de déformation plastique principale. ψ=ψr=Cte à la rupture

Figure 3 : Direction de l’incrément de déformation plastique

Les 2 paramètres de la loi définissant la rupture sont : ϕ, ψr.

III.4. Définition de la surface de charge La construction de la surface de charge se fait généralement à partir de résultats expérimentaux en considérant certaines hypothèses simplificatrices. La plupart des modèles élastoplastiques développés pour les géomatériaux sont généralement basés sur deux notions théoriques : le travail plastique et la surface de charge. Tous les modèles de la famille Cam Clay sont basés sur la première notion. Le modèle MMC se base sur la deuxième notion. L’expression mathématique de la surface de charge peut être obtenue à partir de la surface de rupture. Au cours de la sollicitation, la surface de charge évolue de façon isotrope vers la surface de rupture jusqu’à ce que les deux surfaces soient confondues. Pour déterminer la surface de charge nous avons utilisé la forme de la surface de rupture définie par le critère de Mohr-Coulomb. L’idée est basée sur le fait qu’en utilisant la surface

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Loi de comportement développée

207

de rupture, par exemple Fr(σij)=r, où r est une constante. Une fonction de charge Fc, peut être déterminée par :

0)(H)(F),(F iric =α−σ=ασ

Où α représente la variable d’écrouissage et H une fonction qui vaut à la rupture H(α)=r. On augmente la taille de la surface de charge vers la surface de rupture selon une loi d’écrouissage isotrope.

III.5. La surface de charge de la loi MMC Afin de déterminer notre surface de charge, nous avons adopté la démarche suivante : La variable SL (Niveau de contrainte) est le rapport du rayon du cercle de Mohr actuel et du rayon du cercle de Mohr à la rupture calculé avec la même contrainte principale mineure σ2. (Figure 4).

0

5

10

15

20

25

30

0 10 20 30 40 50 60

σ (kPa)

τ (k

Pa)

Cercle de Mohr actuel

Cercle de Mohr à la rupture

Critère MC

Ract

Rrup=(σ1−σ2)/2

φ

σ2 =

Figure 4 : Représentation de la variable SL dans le plan τ-σ

ϕσϕ−σ−σ

=sin

)sin1(2

)(SL

2

21 0 ≤ SL ≤ 1

Avec SL niveau de contrainte actuel. SLmax est la plus grande valeur de SL obtenue au cours du chargement. A chaque incrément de calcul n la valeur de SLmax de l’étape précédente est réajustée en fonction de la nouvelle valeur de σ2 :

m

n2

1n21n

maxmaxn SLSL ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

σ

σ=

−−

m est une constante dépendant de la nature de matériau (dans la loi m=0.25 pour les petits rouleaux) La variable SL, définie précédemment, avec 0<SL<1, ne permet pas de faire la distinction entre l’extension et la compression et une forte valeur de SL obtenue en extension empêcherait le retour au chargement primaire en compression.

SL=Ract/Rrup

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Loi de comportement développée

208

Figure 5 : Chemin de contrainte et la courbe contrainte-déformation pour un essai triaxial Afin de distinguer le comportement en compression du comportement en extension (Figure 5) nous avons donc créé la variable SLV :

ϕσσϕ−σ−σ

=sin),min()sin1(

2)(

SLji

jiv

où σi et σj sont les contraintes principales non classées SLv est comprise entre –1 et +1 : • SLV = -1 correspond à la rupture par extension avec une forte baisse du premier invariant

de contrainte I1 = σ1+σ2. • SLV = +1 correspond à la rupture par compression avec augmentation de la variable I1 Le calcul du signe de SLV sera basé sur l’inversion brutale de l’inclinaison des axes principaux et contrôler par l’évolution de premier invariant. La Figure 6 montre la variation de la variable SL dans un essai triaxial. La variable SL ne distingue pas le comportement en extension.

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Pas de calcul (*1E+03)

SL

Figure 6 : Variation de SL correspondant à l’essai biaxial

Critère de rupture parcompression

Critère de rupture parextension

σ1/σ2=tg2(π/4+ϕ/2)

σ1/σ2=tg2(π/4-ϕ/2)

Déchargement Rechargement

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Loi de comportement développée

209

La variation de la variable SLv dans un essai biaxial est présentée sur la Figure 7.

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Pas de calcul (*1E+03)

SLv

Figure 7 : Variation de SLv correspondant à l’essai biaxial

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Pas de calcul (*1E+03)

I1 (k

Pa)

Figure 8 : Variation de I1 correspondant à l’essai biaxial

Le sens de variation de SLV sera contrôlé par la variation de I1 (Figure 8). Si I1 diminue, SLV peut devenir négatif et diminue même si SL augmente (car |SLv|=SL). De même si I1 augmente, SLV augmente. La surface de charge s’écrit sous la forme :

m

n2

1n21n

maxvSLF ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

σ

σ=

−−

Avec F=±1 a la rupture L’évolution de la surface de charge tenant compte de la compression et de l’extension présentée sur les Figure 9 et Figure 10. Dans les deux représentations les surfaces de charge sont des courbes et ne sont pas des droites.

Déchargement Rechargement

Déchargement

Rechargement

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Loi de comportement développée

210

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 20 40 60 80 100

p=(σi+σj)/2

q=( σ

i - σj )

Critère MCen compression

SLv=0

SLv=0,5

SLv=1Chemin de contrainte pour

σ2=30kPA

Critère MCen extension

SLv=-1

SLv=-0,5

Figure 9 : L’évolution de la surface de charge en plan p-q avec σ2=Cte

0

20

40

60

80

100

0 20 40 60 80 100σj (kPa)

σi (k

Pa)

SLv=1Critère de rupture par compression

Critère de rupture par extension

SLv=0,5

SLv=-0,5

SLv=-1

Axe hydrostatique

Figure 10 : L’évolution de la surface de charge en plan σi-σj.

L’évolution de la surface de charge utilisée dans notre loi de comportement est en accord avec les résultats expérimentaux effectués par Tatsuoka et Ishihara [1974] pour les essais triaxiaux avec trois densités différentes. En analysant les résultats présentés sur la Figure 11 on constate que la surface de charge est convexe et contient l’origine. Dans le cas du sable lâche la surface de charge à tendance à se fermer sur l’axe hydrostatique, par contre ce phénomène est moins significatif pour le sable dense.

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Loi de comportement développée

211

Figure 11 : Observation de la surface de charge pour le sable lâche (a), sable moyennement dense (b)

et très dense (c). (D’après Tatsuoka et Ishihara [1974])

III.6. Calcul de la déformation en chargement primaire Si la condition d’irréversibilité est satisfaite: 0d p

ijij ≥εσ le matériau est en chargement

primaire. La direction de déformation plastique est normale au potentiel plastique et la variation de déformation plastique est donnée par:

( )00 C1SLCC −+=

où C est un paramètre d’écrouissage. C0 est le paramètre de la loi (0<C0<1). Il exprime du pourcentage de

déformations plastiques dès le départ de la sollicitation, il est fixé pour l’état SL=0 La proportion de la déformation plastique C évolue avec SL. A la rupture C=1 quand SL=1. ce qui permet de trouver la longueur de la déformation plastique et de calculer dεp:

ij

mp

pij

G)C(ddσ∂∂

λ=ε

Où : m est fixé en fonction de la nature de sol. Ce qui définit complètement l’état de déformation à partir de l’état de contrainte.

L’angle de dilatance diminue au cours du chargement de ψ1 au début du chargement à ψr à la rupture. Le passage entre les deux angles est contrôlé par la valeur de SLψ (paramètre de la loi) compris entre 0 et 1, donnant la valeur de SL à partir de laquelle l’angle de dilatance passera progressivement de ψ1 de ψr. Les trois paramètres du modèle MMC définissant la plasticité avant rupture : C0, SLψ, ψ1.

III.7. Calcul du multiplicateur plastique Le multiplicateur plastique s’obtient à partir de la condition de consistance:

( ) 0d,dF =α+ασ+σ

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Loi de comportement développée

212

On fait un développement limité selon Taylor (D’après Monnet [1983]):

( ) { } 0FdFd),(Fd,dF T =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

α∂∂

α+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

σ∂∂

σ+ασ=α+ασ+σ

Or :

{ } [ ]{ } { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

σ∂∂

λ−=ε−=σGEddEd p

p

{ } { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ε∂

α∂ε=ε

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ε∂

α∂=α

p

TPPT

pddd

Donc :

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ε∂

α∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

σ∂∂

λ=αp

T

pGdd

D’où on peut trouver :

( ) [ ] 0FGdGEGd,Fp

T

p

T

p =α∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ε∂

α∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

σ∂∂

λ+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

σ∂∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

σ∂∂

λ−ασ

Soit la longueur de la déformation plastique :

( )

[ ]α∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ε∂

α∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

σ∂∂

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

σ∂∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

σ∂∂

ασ=λ

FGGEG

,Fd

p

TTp

Dans notre loi de comportement le tenseur de contraintes (initialement calculé élastiquement F[σ]E) doit être modifié par les contraintes dues aux déformations plastiques:

∆σ1p = α1ε1

p+α2ε2p = α1dλp(1-sinψ)-α2dλp(1+sinψ)

∆σ2p = α1ε2

p+α2ε1p = α2dλp(1-sinψ)-α1dλp(1+sinψ)

Le tenseur des contraintes modifié est égal à :

[σ]M=[σ]E-[σ]P

∆σ1M = ∆σ1

E - dλp[(1-sinψ)-α2(1+sinψ)] ∆σ2

M = ∆σ2E - dλp[(1-sinψ)-α1(1+sinψ)]

dλp et [σ]M ne sont pas connus. En utilisant la condition de consistance F(σM)=0, la longueur de la déformation plastique est égale à:

( )( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( ){ }11

E2

E1

p sin1sin1sin1sin1sin1sin1,Fd

ϕ+ψ+α−ψ−β−ϕ−ψ+β−ψ−ασσ

La variable α dans notre loi est l’angle ϕ1 sous lequel on voit le point de la surface de charge passant par l’origine (Figure 12) :

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Loi de comportement développée

213

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

ε1(%)

σ (k

Pa)

ϕrupture

ϕ1

Figure 12 : Angle ϕ1

La Figure 13 présente le schéma de calcul avec la prévision élastique initiale.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

ε1(%)

σ (k

Pa) dσ

dεp

Point calculé élastiquement

Point calculé après la correction

Courbe réelle

dεe

Figure 13 : Relation entre dσ et dε.

III.8. Détermination de l’état de déchargement- rechargement Si la condition 0d p

ijij ≤εσ est vérifiée, l’état de contrainte actuel SLn est à l’intérieur de la surface de charge, le matériau est en état de déchargement-rechargement. Le comportement en déchargement – rechargement est traité en hypoélasticité incrémentale. C’est à dire que l’incrément de contrainte dépend non seulement de l’incrément de déformation, mais également de la contrainte elle-même. La forme générale de ce type de comportement est la suivante (Collins [1989]):

ijrsijklij d)(Ed εσ=σ

Le calcul est effectué avec le module d’Young suivant définie dans la partie VIII.3.1: n

atm

3i P

KE ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ=

La valeur de K est différente suivant l’état étudié : En chargement primaire K=Kc En déchargement – rechargement Kc<K<Kd

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Loi de comportement développée

214

D’après les essais expérimentaux réalisés, nous avons constaté que le module en déchargement est différent de celui en rechargement. Dans la loi MMC le coefficient K distingue ces deux comportements. Un critère de déchargement-rechargement tenant compte des ces variations déviatoriques, ainsi que des variations de la contrainte mineure a été utilisé :

2vcrit SLSS σ=

La valeur maximale de SScrit est notée SScrit(max). • Lorsque SScrit

n = SScrit(max)

n-1 l’état de contrainte actuel est en chargement et la valeur de K =Kc est constante.

• Lorsque SScritn < SScrit(max)

n-1 l’état de contrainte est en déchargement–rechargement. (Figure 14)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Déformation verticale (%)

Con

trai

nte

(kPa

) SScrit = SScrit(max) SScrit < SScrit(max)

Chargement primaire Dechargement-Rechargement

Figure 14 : Critère de décharge-recharge dans un essai oedométrique

III.8.1. Module en déchargement Suite à l’analyse d’essais biaxiaux et oedométriques, nous avons constaté que lors d’un déchargement, la pente de la courbe est constante jusqu’à un seuil de σ2 qui a été déterminé dans la partie expérimentale:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ

−π

σ=σ24

tg 2max21cri2

σ2max est la plus grande valeur de la contrainte atteinte par le matériau (Figure 15) ϕ est l’angle de frottement interne du matériau étudié

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Loi de comportement développée

215

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25Déformation verticale (%)

Con

trai

nte

(kPa

)K = Kd

σ2max

Chargement primaire Déchargement

Kc<K < Kd

Figure 15 : Schéma de variation du module en déchargement

Lorsque σ2cri1<σ2<σ2max, le coefficient K est constant et égale à Kd. Lorsque σ2<σ2cri1 le coefficient K sera interpolé linéairement à l’aide d’une loi en puissance entre Kd et Kc qui sont les paramètres de la loi MMC en fonction de la valeur σ2 variant entre σ2max et σ2cri2 pris proche de zéro. A la fin du déchargement la valeur de K ne pourra être égale à la valeur de Kc que si la rupture par extension est atteinte.

III.8.2. Module en rechargement La loi conserve les informations sur le point de charge maximale σ2max avant le cycle de déchargement-rechargement, et les informations sur le point correspondant à la plus petite valeur de σ2 pendant le déchargement σ2min. Nous avons constaté que quelle que soit l’importance du déchargement, au début du rechargement le coefficient K est constant et vaut Kd. Cette valeur est constante jusqu’à une certaine valeur de σ2 correspondant à peu près au 1/3 de la remontée (Figure 16) . Nous nous sommes basés sur le seuil déterminé expérimentalement:

σ2cri3 = 0.7σ2min+0.3σ2max

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Déformation verticale (%)

Con

trai

nte

(kPa

)

σ2max

Chargement primaire Rechargement

K = Kd

σ2cri3=0,7σ2max +0,3σ2min

Kc<K < Kd

σ2min

Figure 16 : Schéma de variation du module en rechargement

σ2cri1=σ2maxtg2(π/4-ϕ/2)

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Loi de comportement développée

216

A partir de cette valeur de σ2 le coefficient K sera interpolé linéairement variant entre σ2cri3 et σ2cri4=max[σ2mintg2(π/4+ϕ/2), σ2max]. Pour que la valeur de K=Kc il faut que la rupture par compression soit obtenue au début des cycles déchargement et la rupture par extension à la fin de cycle déchargement.

IV. Identification des paramètres de la loi MMC L’identification des paramètres d’une loi de comportement peut être effectuée à partir d’essais mécaniques simples réalisés en laboratoire. Ces essais fournissent des informations sur les relations entre les tenseurs de contraintes et de déformations. L’identification des paramètres peut être obtenue par deux chemins (Maleki [1998]) : 1. Les paramètres se déterminent à partir d’essais simples sur un échantillon homogène où ils

sont liés aux résultats d’essais par des relations mathématiques. 2. Les paramètres ne se déterminent que par calage sur les courbes expérimentales. Dans la plupart des lois de comportement il existe des paramètres appartenant à ces deux groupes, notre loi ne fait pas l’exception. On peut résumer de la manière suivante les paramètres de la loi MMC : • Quatre paramètres déterminant l’élasticité : Kc, Kd, ν, n. (déterminés à partir des relations

mathématiques) • Trois paramètres décrivent l’état de chargement primaire : C0, SLψ, ψ1. (les paramètres C0

et SLψ sont déterminés par calage sur les courbes expérimentales) • Deux paramètres déterminant la rupture : ψr, ϕ. (déterminés à partir des relations

mathématiques)

IV.1. Détermination des paramètres d’élasticité. Pour déterminer les paramètres élastiques nous avons besoin d’au moins deux essais biaxiaux de déchargement – rechargement. La connaissance d’un essai oedométrique permet de vérifier les paramètres définis par des essais biaxiaux. Les paramètres étant interdépendants ils ne seront pas déterminés dans l’ordre de présentation et des aller-retour peuvent être nécessaire.

IV.1.1. Paramètre Kc et n. Pour déterminer ces deux paramètres nous avons utilisé la technique suivante, comprenant deux étapes : • Détermination de la valeur des modules initiaux Ei pour chaque essai triaxial. • Report de ces valeurs dans un diagramme (Logσ2, LogEi) qui donne les paramètres

cherchés (Figure 17).

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Loi de comportement développée

217

0

10

20

30

40

50

60

70

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Déformation axiale (%)

Dév

iate

ur (k

Pa)

20kPa30kPa40kPa50kPa

y = 1,38E-07

y = 1,85E-07

y = 1,49E-07

1/E= 1,51E-07

0,00E+00

2,00E-07

4,00E-07

6,00E-07

8,00E-07

1,00E-06

1,20E-06

1,40E-06

1,60E-06

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0,045

ε1

ε1/( σ

1-σ2

)

20kPa30kPa40kPa50kPa

Figure 17 : Détermination du module Ei pour notre matériau à partir des essais biaxiaux Le module Ei pour chaque contrainte σ2 est présenté dans le Tableau 1 :

σ2 (kPa) 1/Ei 20 1,85E-7 30 1,39E-7 40 1,48E-7 50 1,51E-7

Tableau 1 : Module Ei Lorsque la valeur du module initial Ei a été déterminée on construit un diagramme [Log(σ2/Pa), Log(Ei/Pa)] qui permettra de déterminer les paramètres Kc et n (Figure 18).

3,5

3,75

4

4,25

4,5

-1,8 -1,6 -1,4 -1,2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0

Log(σ2/Patm)

Log(Ec/Patm)Log (Ec/Patm)=0,25Log(σ2/Patm)+4,3

n1

Figure 18 : Détermination des paramètres Ktotal et n

La pente de la droite est égale au paramètre n et la valeur de exp(A) vaut Ktotal. Pour calculer la valeur de Kc il faut tenir en compte de la partie de déformation plastique dès le début de sollicitation qui sera fixé par utilisateur. Cette proportion de déformation plastique est le paramètre de la loi appelé C0 (0<C0<1), sera déterminée plus loin. Le coefficient Kc vaut :

Kc=Ktotal/(1-C0) Au final on obtient :

n=0,25 et Ktotal=exp(4.3)≈65.

A

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Loi de comportement développée

218

Dans notre cas Kc=Ktotal/(1-C0)=65/(1-0,6)=160 A partir d’un essai oedométrique ou isotrope on pourra vérifier une valeur de n (Figure 19) :

0,0E+00

1,0E+02

2,0E+02

3,0E+02

4,0E+02

5,0E+02

0 10 20 30 40 50 60 70 80

σ (kPa)

E oe

d (k

Pa)

E = 208,26σ0,17

Figure 19 : Détermination du paramètre n à partir d’un essai oedométrique

Donc la valeur de n varie entre 0.19 et 0.25.Une bonne identification de ces paramètres peut être obtenue par calage sur les courbes d’essais.

IV.1.2. Paramètre Kd. Pour déterminer le paramètre Kd qui correspond à la pente en déchargement, nous avons au moins besoin de 2 essais triaxiaux avec un cycle de déchargement - rechargement, et un essai oedométrique. La procédure de détermination Kd est le même que pour Kc avec Edech qui représente la pente en déchargement (Figure 20 et Figure 21).

-5

5

15

25

35

45

55

65

75

0 0,5 1 1,5 2 2,5Déformation axiale (%)

Dév

iate

ur (k

Pa)

Pente initiale EC

Domaine élastique

Pente de déchargement Ed

Figure 20 : Essai biaxial avec un cycle de déchargement-rechargement pour déterminer le paramètre Kd.

Eoed=208.3σ0.19

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Loi de comportement développée

219

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

0 1 2 3 4

Déformation axiale (%)

Dév

iate

ur (k

Pa)

σ=20kPa

σ=30kPa

σ=40kPa

σ=50kPay = 1,1E+08x

y = 1,08E+08x

y = 8,47E+07x

y = 1,05E+08x

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

0,01 0,012 0,014 0,016 0,018 0,02 0,022 0,024

Déformation axiale

Dév

iate

ur (P

a)

Figure 21 : Détermination du module Ed pour notre matériau à partir des courbes biaxiaux Le Tableau 2 réunit les modules Ed pour les essais biaxiaux.

σ2 (kPa) Ed 20 8,47E+7 30 1,06E+8 40 1.08E+8 50 1.10E+8

Tableau 2 : Module Ed Une estimation initiale du paramètre Kd a été obtenue à partir de la Figure 22 :

6,5

6,75

7

7,25

7,5

-2 -1,5 -1 -0,5 0

Log(σ2/Patm)

Log (Ed/Patm)

Log (Ed/Patm)=0,28Log(σ2/Patm)+7,22

Figure 22 : Détermination de paramètre Kd.

Le paramètre Kd est obtenu directement Kd=exp(7.53)=1380, soit 9 fois Kc. Afin d’éviter des problèmes numériques nous avons décidé de limiter le module Kd à 10 fois Kc.

IV.1.3. Paramètre ν Le paramètre ν est le coefficient du Poisson qui caractérise le comportement élastique du matériau. Il se détermine sur un essai triaxial en identifiant les pentes initiales dans le cas où il existe un domaine élastique initial (Figure 23):

Log (Kd)

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Loi de comportement développée

220

Figure 23 : Courbe de déformation volumique d’un essai triaxial

En conditions triaxiales on trouve :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −ν+

ν−σ+σ=ε

0

0311 E

12E2

E1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ν−−

ν−σν++εν−=ε

0

031v E

21E21)1(2)21(

La pente dεv/dε1 devient

ν−=εε

21dd

1

v

Dans notre cas le domaine d’élasticité initiale n’existe pas et la valeur de dεv/dε1 dépend aussi du paramètre C0. La pente de la courbe oedométrique σ-ε est liée au module du chargement primaire Kc, mais aussi à la valeur de C0, l’expression mathématique est complexe. Il est plus simple de déterminer ce paramètre par calage sur les courbes expérimentales.

20i

oed 1)C,E(E

Eν−

= avec n

atm

2ci P

KE ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ=

Premièrement on détermine le module Kc et puis par calage sur une courbe oedométrique nous déterminons la valeur de ν.

IV.2. Détermination des paramètres de plasticité Les paramètres plastiques du modèle MMC sont l’angle de frottement interne ϕ et les angles de dilatance ψ1 et ψr. Ils peuvent être déterminés à partir un essai triaxial.

IV.2.1. Paramètre ϕ. Pour déterminer l’angle de frottement ϕ nous avons besoin d’essais triaxiaux. Au cours de la sollicitation la contrainte principale majeure croit de manière monotone tandis que la contrainte mineure reste constante. Lors de la phase plastique le chemin de chargement aboutit à un point du critère de rupture. Pour chaque essai, la valeur de la contrainte axiale σ1 à la rupture et la valeur de la pression de confinement sont reportées dans un diagramme [(σ1+σ2)/2, (σ1-σ2)/2]. Un ensemble de points est obtenu, dans lequel on peut inscrire une droite passant par l’origine par la méthode des moindres carrés. La pente de cette droite donne la valeur de l’angle de frottement interne (Figure 24).

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Loi de comportement développée

221

0

5

10

15

20

25

30

35

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

(σ1+σ2)/2

( σ1-σ2

)/2

sin φ

Figure 24 : Détermination de ϕ

A partir des essais expérimentaux nous avons déterminé la valeur de ϕ égale à 22°.

IV.2.2. Paramètres ψ1, ψr La direction des déformations plastiques est donnée sous la forme suivante :

)sin1(sp1 ψ−λ=ε

)sin1(sp2 ψ+λ=ε

De ces relations il est possible de déduire les déformations volumiques : [ ])sin1()sin1(s

pv ψ−+ψ+λ=ε

Le rapport est égal :

ψ−ψ−

εsin1sin2

p1

pv

Figure 25 : Détermination de l’angle de dilatance

Cette quantité caractérise la variation de volume au cours de la phase plastique, l’angle ψ peut être déterminer par:

=-2sinψ/1-sinψ

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Loi de comportement développée

222

p1

pv

pv

d2d

dsin

ε−ε

ε=ψ

Dans la loi MMC nous avons deux angles de dilatance : ψr et ψ1. L’angle ψr correspond à l’angle à la rupture et ψ1 l’angle de dilatance pendant la phase d’écrouissage jusqu’à la rupture. Le schéma (Figure 26) montre la différence entre deux angles:

-0,5

-0,3

-0,1

0,1

0,3

0,5

0,7

0,9

0 1 2 3 4 5

déformation axiale (%)

défo

rmat

ion

volu

miq

ue (%

)

tgα1=-2sinψ1/1-sinψ1

tgαr= -2sinψr/1-sinψr

αr

α1

βDéformation élastique tgβ=1−2ν

Figure 26 : Définition d’angles de dilatance ψ1 et ψr

IV.2.3. Paramètre SLψ Le paramètre SLψ caractérise le seuil SL (le rapport entre le tenseur actuel des contraintes et à la rupture) à partir duquel l’angle de dilatance passera progressivement de ψ1 à ψr. Cette valeur de SLψ est comprise entre 0 et 1. Il peut être déterminé à partir de calage sur les courbes expérimentales.

IV.2.4. Paramètre C0 Le paramètre C0 caractérise la proportion de déformation plastique dès le début du chargement. Il permet de calculer la variable d’écrouissage C.

( )00 C1SLCC −+= Il peut être déterminé à partir de calage sur les courbes expérimentales. Ce paramètre varie entre 0 et 1.

V. Conclusions sur la loi MMC Dans cette partie nous avons présenté le modèle de comportement développé dans le cadre de ce travail. Nous avons essayé en se basant sur le critère de rupture de Mohr-Coulomb (le plus utilisé en géotechnique) de décrire et surtout prédire au mieux le comportement du sol

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Loi de comportement développée

223

analogique. En faisant une appelle à la plasticité, notre modèle décrit la principale caractéristique du matériau utilisé : la dilatance dès le début de la sollicitation. En utilisant l’hypoélasticité à l’intérieur de la surface de charge, nous avons réussi d’écrire l’effet du rochet pour les cycles « déchargement-rechargement ». La technique de détermination des paramètres est également présentée. Cette technique donne des relations entre les paramètres et des fourchettes. La détermination fine de tous les paramètres nécessite au moins un calage sur soit 2 triaxiaux, soit 1 essai triaxial et 1 essai oedométrique.

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Loi de comportement développée

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