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C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, S~rie |1 b, p. 539-546, 1998 M~canique des fluides/Fluid mechanics P Etude param trique de la thermogravitation en milieu poreux Manuel MARCOUX, Marie-Catherine CHARRIER-MOJTABI Institut de m~canique des fluides de Toulouse, UMR CNRS/INP/UPS, 5502, universit6 Paul-Sabatier, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse, France E-mail : [email protected] (Requ le 16 octobre 1997, accept6 apr~s r6vision le 30 mars 1998) R~sum~. Abstract. Cette note constitue une 6tude num6rique du ph6nom~ne de thermogravitation existant dans un milieu poreux satur6 par un fluide binaire et soumis hun gradient horizontal de temp6rature. Elle vise h analyser l'influence des diff6rents param&res adimensionnels caract6ristiques sur la s6paration des constituants. Nous proposons une r6solution num6rique par m6thode spectrale du probl~me bidimensionnel. Nous retrouvons l'exis- tence d'un nombre de Rayleigh optimal, correspondant ~ une perm6abilit~ optimale, pour laquelle la s6paration des constituants est maximale. Les r6sultats de cette 6tude sont ensuite compar6s ~ des r6sultats analytiques et exp6rimentaux ant6rieurs. © Aca- d6mie des Sciences/Elsevier, Paris thermogravitation / effet Soret / milieu poreux / m61ange biuaire / s6paration Parametrical stud), of thermogravitational diffusion in porous media This note reports on a numerical study of the thermogravitational diffusion existing in a porous medium saturated with a binary mixture and subjected to a horizontal thermal gradient. It deals with a stud), of the influence of the dimensionless characteristic parameters on the species separation, using a two-dimensional numerical code based on a spectral method. The existence of a maximum separation ratio corresponding to an optimal Rayleigh number, associated to an optimal permeability, is shown. The results are also compared with analytical and experimental results coming from previous works. © Acad~mie des Sciences~Elsevier, Paris thermogravitational diffusion / Soret effect / porous media / binary mixture / separa- tion i iiii!iiii!ii;: !i!!!ii!i!!iiii!iiil ¸ !ii~i)!~iii!ii~iiiil ~'=,~i~!iiii!ii~i~ii!i!i~i!~ii~ Abridged English version A fluid mixture under gravity field exposed to a uniform thermal gradient is subject not only to convective transfer, but also to thermodiffusion, corresponding to a concentration gradient associated to the Soret effect. The coupling of these two phenomena is called thermogravitational diffusion and leads to species separation. This phenomenon, well known for more than 100 years, has lately been under investigation because of its implication in several natural physical processes in geophysics and mineralogy, where the fluid mixture saturates a porous media [1]. Note pr~sen@e par Michel COMBARNOUS. 1251-8069/98/03260539 © Acad6mic des Sciences/Elsevier,Paris 539

Étude paramétrique de la thermogravitation en milieu poreux

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Page 1: Étude paramétrique de la thermogravitation en milieu poreux

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, S~rie |1 b, p. 539-546, 1998 M~canique des fluides/Fluid mechanics

P

Etude param trique de la thermogravitation en milieu poreux Manuel MARCOUX, Marie-Catherine CHARRIER-MOJTABI

Institut de m~canique des fluides de Toulouse, UMR CNRS/INP/UPS, 5502, universit6 Paul-Sabatier, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse, France E-mail : [email protected]

(Requ le 16 octobre 1997, accept6 apr~s r6vision le 30 mars 1998)

R~sum~.

Abstract.

Cette note constitue une 6tude num6rique du ph6nom~ne de thermogravitation existant dans un milieu poreux satur6 par un fluide binaire et soumis hun gradient horizontal de temp6rature. Elle vise h analyser l'influence des diff6rents param&res adimensionnels caract6ristiques sur la s6paration des constituants. Nous proposons une r6solution num6rique par m6thode spectrale du probl~me bidimensionnel. Nous retrouvons l'exis- tence d'un nombre de Rayleigh optimal, correspondant ~ une perm6abilit~ optimale, pour laquelle la s6paration des constituants est maximale. Les r6sultats de cette 6tude sont ensuite compar6s ~ des r6sultats analytiques et exp6rimentaux ant6rieurs. © Aca- d6mie des Sciences/Elsevier, Paris

thermogravitation / effet Soret / milieu poreux / m61ange biuaire / s6paration

Parametrical stud), of thermogravitational diffusion in porous media This note reports on a numerical study of the thermogravitational diffusion existing in a porous medium saturated with a binary mixture and subjected to a horizontal thermal gradient. It deals with a stud), of the influence o f the dimensionless characteristic parameters on the species separation, using a two-dimensional numerical code based on a spectral method. The existence of a maximum separation ratio corresponding to an optimal Rayleigh number, associated to an optimal permeability, is shown. The results are also compared with analytical and experimental results coming from previous works. © Acad~mie des Sciences~Elsevier, Paris

thermogravitational diffusion / Soret effect / porous media / binary mixture / separa- tion

i iiii!iiii!ii;: !i!!!ii!i!!iiii!iiil ¸ !ii~i)!~iii!ii~iiiil ~'=,~i~!iiii!ii~i~ii!i!i~i!~ii~

Abridged English version A fluid mixture under gravity field exposed to a uniform thermal gradient is subject not only to

convective transfer, but also to thermodiffusion, corresponding to a concentration gradient associated to the Soret effect. The coupling of these two phenomena is called thermogravitational diffusion and leads to species separation. This phenomenon, well known for more than 100 years, has lately been under investigation because of its implication in several natural physical processes in geophysics and mineralogy, where the fluid mixture saturates a porous media [1].

Note pr~sen@e par Michel COMBARNOUS.

1251-8069/98/03260539 © Acad6mic des Sciences/Elsevier, Paris 539

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M. Marcoux, M.-C. Charrier-Mojtabi

We consider a thermogravitational cell bounded by temperature-imposed vertical walls and adiabatic horizontal walls. The cell is filled with a homogeneous isotropic porous medium saturated by a two-component incompressible fluid. The whole porous medium (solid matrix and fluid) can be modelled as a fictitious isotropic and homogeneous medium whose properties 2", (pCp)*, D* and D T can be obtained by composing laws or taking the tortuosity z of the pore structure into account. The Dufour effect is neglected and the mixture is assumed to be a Boussinesq fluid, i.e. all thermo-physical properties of the medium are assumed constant, except the density of the mixture which depends linearly on temperature and concentration [equation (1)]. The equations modelling the problem are the conservation of mass [equation (2)], momentum in the Darcy regime [equa- tion (3)], energy [equation (4)] and solute concentration [equation (5)]. Their reduction to dimen- sionless form leads to five parameters: the thermal Rayleigh number, RaT, the buoyancy ratio, N, the normalised porosity, e*, the Lewis number, Le, and the dimensionless Soret number, S T. The main purpose of this note is to study numerically the influence of each one of these parameters in the species separation.

This problem was earlier solved analytically by Lorenz and Emery in 1959 [3], using rather strong presumptions concerning the fluid behaviour. They showed the existence of a maximum separation ratio, qmax, obtained for a corresponding optimal permeability, evaluated as functions of the different physical parameters, which reads formulas (7), under dimensionless form. All the comparisons of this solution with several experiments carried out 'with this phenomena [2] present systematically an important shift of the optimal Rayleigh number, while qmax is preserved (figure 1).

We solved the complete governing equations (2-6) via a spectral collocation method, with no other assumptions than those usually used on fluid modelling. The collocation points chosen for the spatial discretization are the Gauss-Lobatto-Legendre points whose distribution squeezes near the bounds, and the temporal integration is made by a backward Adams-Bashforth/Euler scheme, a second order discretization that solves implicitly and explicitly the diffusion and convection terms, respectively.

While studying the influence of the Rayleigh number, we should first recall that the thermogravita- tional effect results from a balance between convection, generating a global movement of the fluid, and thermodiffusion, a horizontal matter migration whose direction depends on the Soret number's sign. Figure 2 represents the separation ratio q = Cbottom/Ctop in relation with the Rayleigh number (i.e. permeability). The numerical curve shows the expected existence of a maximal separation corre- sponding to an optimal Rayleigh number.

Different plots of the concentration distribution for stationary fields (figure 2) show that except for Raopt, figure 2c, where concentration is clearly stratified, excessive convection for high Rayleigh numbers, figure 2d, or thermodiffusion for small Rayleigh numbers, figure 2a-b, disturb separation.

The following numerical curves on figure 3a and b show the influence on Raop t and the maximum separation ratio, qmax, of the Lewis number and the Soret number, respectively, which are in very good agreement with the analytical solution [equation (7)]. A study of aspect ratio influence also confirms this result. The analytical solution is finally quite accurate for predicting optimal separating condi- tions. Furthermore, analytical and numerical solutions, being quite the same, are still different from experimental results. As the Lewis number affects precisely the optimal Rayleigh number (figure 3a), the shift that remains may be attributed to the lack of accuracy in the prediction of the effective isother- mal diffusion coefficient D*, a conclusion also revealed by other authors [4]. These authors have also recently worked on the determination of the effective transport coefficients, D* and D T [5]. Never- theless, as the effect of the solutal contribution in the convective motion, the so-called lost-effect, be- cause it has been neglected in the analytical resolution, is almost present (figure 4), the validity domain of the analytical solution has to be restricted to small values of the parameter N.

540

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I~tude param~trique de la thermogravitation en milieu poreux

1. Introduction

Un m61ange fluide multiconstituant, plac6 dans le champ de pesanteur et soumis h u n gradient thermique horizontal, est non seulement le si~ge de mouvements convectifs mais aussi thermodiffusifs, li6s h u n gradient de concentration induit par le gradient thermique, ph6nom~ne connu sous le nora d'effet Soret, Le couplage de ces deux ph6nom~nes, appel6 diffusion thermogravitationnelle ou thermogravitation, conduit ~ une s6paration des composants du m61ange.

L'6tude de ce ph6nom6ne conna~t actuellement un regain d'int6r~t de par son implication dans de nombreux probl6mes concernant notamment la g6ophysique, comme par exemple l'6tat actuel des gisements p6troliers [1], ofa la configuration peut &re assimil6e hun milieu poreux satur6 par un fluide multiconstituant. I1 existe de nombreux r6sultats exp6rimentaux concernant ce sujet [2], qui ont 6t6 confront6s h des solutions analytiques ant6rieures [3], ou plus r6cemment h des simulations num&iques [4], qui n'ont pas permis de simuler de mani~re enti6rement satisfaisante les exp6riences de laboratoire. Jamet et al. ont cependant par la suite apport6 des 616ments de r6ponse concernant ces 6carts [5].

Cette note a pour objet de compl6ter les 6tudes pr6c6dentes sur la thermogravitation en milieu poreux par une approche num6rique du probl~me et, principalement, de d6gager l'influence que peuvent avoir les diff6rents param~tres adimensionnels caract6ristiques de ce ph6nom~ne sur la s6paration des esp~ces, ceci en comparaison avec les r6sultats analytiques existants.

2. Formulation du probl~me

On se propose d'6tudier, dans le champ de pesanteur, le comportement d'un m61ange fluide binaire saturant un milieu poreux contenu dans une colonne de thermodiffusion de hauteur H et d'Epaisseur e dont les parois verticales sont maintenues ~ des temp6ratures uniformes diff6rentes, les parois horizon- tales 6tant adiabatiques.

Le milieu poreux peut ~tre caract6ris6 par un substrat solide de propri6t6s physico-chimiques (e, K, (pc)~, Zs, r), satur6 par un fluide binaire caract6ris6 par (v, (pCp)f, 2f, D, DT). L'ensemble peut Etre assimil6 h un fluide fictif isotrope et homog6ne de propri6t6s 6quivalentes ((pc)*, 2", D*, DT). Ces coefficients effectifs peuvent etre obtenus par diff6rentes lois de composi- tion utilisant la porosit6 e ou, pour les coefficients de transport, en faisant intervenir la tortuosit6 r du garnissage poreux : D* = D/z 2 et DT = DT/Z 2.

La dissipation visqueuse et l'effet Dufour sont n6glig6s, et nous restons dans le cadre de l'approxi- mation de Boussinesq : les caract6ristiques thermophysiques sont constantes, except6 la densit6 du fluide dans le terme g6n6rateur de convection. Nous prendrons ici une densit6 du fluide binaire variant linEairement en fonction de T et de C, concentration du constituant le plus lourd :

p(T, C) =p0E1 - a ( T - / ' ) - p ( C - Co)] (1)

Les 6quations de continuit6, de Darcy et de conservation de l'6nergie et de masse du solut6 sont adimensionnalis6es par les grandeurs de r6f&ence suivantes :

L=H/2, Vo=)~*]L(pcp) f, to=(pc)*L2/2 *,

Po=aVpoB¢, ST=AT, 8 C = C o ( 1 - C o)

Elles donnent, dans le cas g6n6ral et en utilisant les notations vectorielles, le syst6me suivant :

541

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M. Marcoux, M.-C. Charrier-Mojtabi

• = 0

~" = - ~7 P + RaT( T + NC ) ~z

__~ ( ~ . ~ ) T = V 2 T

e, OC_.~ + ( ~]. V ) C = -~e ( V2C + ST* V2T)

(2)

(3)

(4)

(5)

Les param~tres adimensionnels caractEristiques du probl~me pose sont alors le nombre de Rayleigh thermique, RaT, la porositE normalisEe, e*, le nombre de Lewis, Le, le rapport des contributions solutale et thermique, Net le nombre de Soret adimensionnel, S r * •

( pCp )f )~* fl~C DT Ra = aglC L ST e* = e Le = N = ST* ST, va (pc )* O*(pcp)f aST = -D

Ces cinq param~tres adimensionnels, complEtEs par le rapport de forme A = H/e, permettent de dEcrire compl~tement l'influence des caractEristiques physico-chimiques et gEomEtriques dans le phEnom~ne de thermogravitation.

Toutes les parois sont indEformables et impermEables et les parois verticales sont h temperature imposEe, alors que les parois horizontales sont adiabatiques, ce qui se traduit par les conditions limites suivantes :

( V C + S . r * ~TT) .~=O et V . ~ = 0 s u r a l 2 , (6)

aT = 0 Tlx=+_l/a=+_0,5 et -~z:_+l

Notons que, comme dans ce probl~me les vitesses de filtration sont de l'ordre de 10-6m.s -1 (Repore << 1 ), le module de Darcy est suffisant pour dEcrire la dynamique du syst~me. I~tant donne que cela induit de faibles nombres de PEclet (= 10-2), les phEnom~nes de dispersion hydrodynamiques sont donc nEgligEs dans le present travail.

3. REsuitats analytiques

A partir de la thEorie phEnomEnologique du transport dans les colonnes ~ garnissage poreux, Lorenz et Emery ont montrE, en 1959 [3], qu'il existe un maximum de separation associE ~ une valeur optimale de la permEabilitE x du garnissage poreux. Ils ont pour cela repris la demarche analytique raise en place par Fury, Jones et Onsager en 1939 [6], pour des milieux fluides libres, en simplifiant le syst~me d'Equations prEcEdent ~ l'aide de diffErentes hypotheses sur le comportement du melange. Parmi ces hypotheses, les plus fortes consistent ~ considErer une vitesse uniquement verticale, une distribution de temperature identique ~ celle du regime conductif et une variation de densitE due uniquement aux variations de temperature (effet << oubli6 >>). Cela leur permet alors de determiner un profil de concentration suivant la hauteur de la cellule et d'exprimer un facteur de separation q, dEfini comme le rapport de concentration entre le has et le haut de la colonne : q = Cba~/Chaut. Ils obtiennent alors les conditions optimales de separation, qui peuvent s'Ecrire sous forme adimen- sionnelle de la maniEre suivante :

A ~/~-O ST* A V'3-O Ra°pt - Le In qm~ - 12 (7)

542

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I~tude param~trique de la thermogravitation en milieu poreux

Figure 1. Comparaison entre rgsultats analytiques, exp6rimentaux et num6riques issus du pr6sent travail

pour le m61ange HDO-H/O ( A = 1 0 0 , L e = 6 8 0 , S T * = I , 2 1 0 -3, N = 0 , 8 " = 0 , 4 ) .

Figure 1. Comparison between analytical, experimental and present numerical results for on HDO-H20 mixture

(A = 100, L e = 6 8 0 , ST* = 1.2 10 -3 , N = 0, ~* = 0.4).

1.06

O" 1.05 =

I 04

"~ t.o3

1.02

o Ex-pmm'lental f ~ . , m

'I' Numer, qt]e ~ ~,' ",,

1,0l

I )e4)°

0,0I 0, l 1 10 Rayleigh thermique RaT

100

Sachant toutes les approximations simplificatrices utilis6es par ces auteurs, la valeur quantitative des r6sultats d6duits reste encore controvers6e. Par allleurs, ces r6sultats ont 6t6 confront6s ~ bon nombre de r6sultats exp6rimentaux [2], et se sont av6r6s syst6matiquement d6cal6s (figure 1). Notons que la plupart de ces exp6rimentations ont 6t6 r6alis6es dans des colonnes annulaires, mais les modifications qu'entra~ne la courbure restent cependant n6gligeables dans la plupart des cas [7].

Nous pr6sentons dans cette 6tude une r6solution num6rique des 6quations de thermogravitation (2)-(6), sans autres hypotheses suppl6mentalres que celles classiquement utilis6es dans la mod61isation du fluide.

4. R6solution num6rique

L'int6gration spatio-temporelle des 6quations (2)-(6) est r6alis6e par une m6thode spectrale de collocation, particuli~rement adapt6e pour des probl~mes aux dEriv6es partielles dans des g6om6tries simples. Cette m6thode se fonde, dans notre cas, sur la formule de quadrature de Gauss-Lobatto- Legendre, dont la r6partition des points est plus resserr6e sur les bords. La discr6tisation temporelle des 6quations de transport instationnaires est r6alis6e ~ l'alde du sch6ma d'Adams-Bashforth-Euler retard6, d'ordre deux, qui traite implicitement le terme de diffusion et explicitement le terme de convection. Le traitement des 6quations (2)-(6) se ram~ne alors h la r6solution de deux types de probl~mes diff6rentiels classiques. D'une part, un probl~me de type Helmholtz pour les 6quations de conservation (4) et (5), dont les inconnues sont respectivement T et C. D'autre part, les 6quations (2) et (3) qui repr6sentent le probl~me de Darcy, oh les inconnues sont U, Wet P, sont r6solues par l'algorithme d'Uzawa [8].

5. R6sultats et discussion

Dans le ph6nom6ne de thermogravitation, le recyclage permanent, li6 ~ la convection, des mol6cules s6par6es par la thermodiffusion entre les couches fluides ascendantes chaudes et les couches fluides descendantes froides amplifie consid6rablement la s6paration 616mentaire produite par la thermodiffu- sion, et aboutit h l'enrichissement d'un des constituants du m61ange en bas de la colonne, et h son appauvrissement dans le haut de la colonne. Le couplage de ces deux ph6nom6nes peut conduire, lorsque ces deux ph6nom~nes interagissent de faqon optimale, ~ une s6paration remarquable des constituants. La balance entre ces deux effets peut 8tre caract6ris6e par le nombre de Rayleigh thermique (figure 2).

La figure 2 repr6sente les s6parations obtenues dans une s6rie d'6tats stationnaires pour diff6rentes valeurs du nombre de Rayleigh. L'influence du nombre de Rayleigh (donc de la perm6abilit6 x) sur la

543

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M. Marcoux, M.-C. Charrier-Mojtabi

I._25

~1.15

I.|

~,~ 1,05

. . . . . . . . . . . Anah'tlque --g~'[l~

10 100 1000 Rayle~h thermique Rzr

}

(a) Ra=l (b) Ra=10 (c) Ra=55

i i? ii i i ',ii i

(d) Ra=400

Figure 2. Influence du nombre de Rayleigh sur la stparation (A = 50, Le = 5, S T * = 0,01, N = - 0 , 5 , e* = 0,4). Champs de concentration pour difftrentes valeurs du nombre de Rayleigh.

Figure 2. Rayleigh number's influence on separation ratio (A = 50, Le = 5, ST* = 0.01, N = -0.5 , e* = 0.4). Concentration field for different Rayleigh number values.

stparation est de type gaussienne ; on retrouve ainsi la prtsence d'une stparation maximale pour un nombre de Rayleigh optimal, phtnombne caracttristique de l'effet thermogravitationnel.

La visualisation des champs de concentration pour difftrentes valeurs du nombre de Rayleigh (figure 2a-d) nous montre l'influence de la convection et de la thermodiffusion sur le rtgime station- naire. En effet, nous retrouvons tout d'abord en (c) les conditions optimales de couplage (ici RaT = 55) pour lequel la stparation est maximale, et off le constituant lourd se trouve darts ce cas pratiquement 1,6 fois plus concentr6 en bas de la cellule qu'en haut. En amont de ce nombre de Rayleigh optimal, la thermodiffusion est prEpondtrante, la convection &ant alors insuffisante pour que l ' t tat stationnaire obtenu prtsente une stratification vraiment horizontale de la concentration (figure 2b), la stparation est alors moindre. Cela se rtduit ratine, lorsque le Rayleigh est trts faible (figure 2a), ~un rtgime off la rtpartition de la concentration est verticale et proche de celle de la temptrature en diffusion pure, c'est-h-dire ol) les transferts de masse sont pratiquement horizontaux, l'effet Soret 6tant l'effet prtpondtrant dans la cellule. Inversement, en aval du nombre de Rayleigh optimal, lorsque celui-ci devient important (figure 2d), le rtgime de convection s'intensifie et tend entra~ner le mtlange dans un mouvement d'ensemble, rtduisant ainsi la stparation.

La figure 2 comporte aussi les valeurs du facteur de stparation issues de la solution analytique de Lorenz et Emery [3]. Nous constatons un excellent accord entre les r6sultats analytiques et numtriques. Ce r6sultat est confirm6 par les figures 3a et b, reprtsentant l'influence du nombre de Lewis et du coefficient de Soret adimensionnel sur les conditions optimales de s6paration, issues de la rtsolution numtrique et compartes aux formules analytiques (7). Ici aussi, les r6sultats sont en tr~s bon accord. L'ftude de l'influence du rapport d'aspect A corrobore par ailleurs cette concordance. Notons que nos rEsultats numtriques sont plus proches des rtsultats analytiques que ceux obtenus par les 6tudes numtriques anttrieures de Jamet et al. [4], r6alistes avec le code METSOR.

I1 rtsulte de cet accord entre les approches analytique et numtrique, d'une part, que la solution (7), malgr6 les hypotheses utilis6es dans son obtention, est pertinente et permet de dtcrire de faqon satisfaisante l'influence des difftrents param~tres sur la stparation, et cela dans une large gamme de paramttres adimensionnels. Par ailleurs, le fait que les rtsultats numtriques et analytiques, issus de la rtsolution du m~me systtme d'6quations par des mtthodes difftrentes, soient identiques, et dEcal6s des rtsultats exptrimentaux, soul~ve des interrogations sur la modtlisation du probl~me et sur les valeurs

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I~tude param6trique de la thermogravitation en milieu poreux

1,6

1.5

1,4

~" 1,3 o

~ l , 2 o,.

l . l

a)

.,IP I

.i ~. m:

~." ~ :"

.£ ~ .a

/ ",." , , . ~ ¢ " j , I r " 'it. •

M- A.. A

10 100 1000 Rayleigh thermique RaT

le+00

le-01

le-02

~ l e - 0 3

le-.04

le-05

le416

b) i

10 100 Rayleigh thermique RaT

1000

F i g u r e 3. Influence des nombres de Lewis (a) et de Sorer (b) sur la sdparation (A = 50, Le = 5 (b), S r * = 0,02 (a),

N = - 0 , 5 , t* = 0,4).

F i g u r e 3. Lewis (a) and Soret (b) number's influence on separation ratio (A = 50, Le = 5 (b), S T * = 0.02 (a),

N = - 0 . 5 , e* = 0.4).

des diffdrents coefficients. En particulier, l'incertitude ou l'imprrcision sur la drtermination des coefficients de transport effectifs peut etre directement mise en cause, comme cela a aussi 6t6 remarqu6 par d'autres auteurs [4]. En effet, une modification du coefficient de diffusion isotherme D*, dont drpend le nombre de Lewis, dont l'influence se retrouve directement sur la valeur du Rayleigh optimal sans altrrer la srparation, permettrait de retrouver les rrsultats expdrimentaux. La prise en compte de la dispersion hydrodynamique pour l'6valuation de ces coefficients semble permettre, par ailleurs, un recalage avec les rrsultats exprrimentaux [5]. I1 n'en reste pas moins que le statut rrel de la dependance, en particulier du coefficient de thermodiffusion DT *, avec la vitesse de filtration reste h ~tre confirmr.

Notons enfin que la contribution solutale dans le gradient de masse sprcifique, caractrrisre ici par le param~tre N, a 6t6 nrgligre dans la rrsolution analytique. Une 6tude des rrgimes obtenus pour diffErentes valeurs de ce param~tre montre que celui-ci a aussi une influence sur la srparation des constituants (figure 4). Cette influence n'est cependant perceptible qu'h partir de valeurs relativement

1.3

~l~ 1.25

Figure 4. Influence du rapport des contributions soluta le et thermique N sur la s6paration ~ 1.2

(A = 50, L e = 5, ST* = 0 , 0 1 , e* = 0 , 4 ) .

F i g u r e 4. Solutal to thermal contribution ratio N's ~ 1.15

influence on separation ratio ( A = 50, Le = 5, e~ S r * = 0.01, e* = 0.4). 1. 1

~a

1.05

- c z - .N=50

10 100 1000

Rayleigh thermique 1 ~ T

545

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importantes de N ; la solution analytique pr6c6dente (7) reste donc efficace pour des valeurs mod6r6es de N. Pour des valeurs plus importantes de ce param~tre, l'hypothbse d'effet oubli6 n'est plus valable et il faut alors apporter une correction au Raop t tenant compte de la contribution solutale au mouvement convectif.

Remerciements. La plupart des r6sultats num6riques proviennent de calculs r6alis6s au CNUSC de Mont- pellier.

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