Évaluation auditive de sons rayonnés par une plaque ...theses.insa-lyon.fr/publication/2009ISAL0062/these.pdf · Table des matières Introduction 1 I Une revue des diﬀérentes

N d’Ordre : 2009 ISAL Année 2009

Thèse

Évaluation auditive de sons rayonnés parune plaque vibrante à l’intérieur d’unecavité amortie : ajustement des efforts

de calcul vibro-acoustique

présentée devantL’Institut National des Sciences Appliquées de Lyon

pour obtenirLe grade de docteur

Ecole doctorale : Mécanique, Énergétique, Génie civil et AcoustiqueEcole Centrale de Lyon - Université Claude Bernard-Lyon I - INSA Lyon

Spécialité : Acoustique

parArnaud TROLLÉ

Soutenue le 17 Juillet 2009 devant la Commission d’Examen composée de :Antoine CHAIGNE RapporteurReinhard WEBER RapporteurSabine MEUNIER Membre du juryÉtienne PARIZET Membre du juryNacer HAMZAOUI Directeur de ThèseCatherine MARQUIS-FAVRE Directrice de ThèsePascale NEPLE Invitée

Cette thèse a été préparée au Département Génie Civil et Bâtiment (ura cnrs 1652) deL’École Nationale des Travaux Publics de l’État et au Laboratoire Vibrations Acoustique del’Institut National des Sciences Appliquées de Lyon

“ Le moyen le plus sûr de ne pas se tromper est de minercertitude après certitude.”

Emil Cioran

III

IV

Remerciements

Tout d’abord, je remercie mes directeurs de thèse, Catherine Marquis-Favre et Nacer Ham-zaoui, pour la confiance et la liberté qu’il m’ont accordés dans la réalisation de ces travaux,pour le soutien qu’ils m’ont témoigné dans les moments difficiles et qui m’a amené à bon port.Je les remercie pour tous les précieux conseils qu’ils ont pus me donner pour m’aiguiller toutau long de ce sinueux parcours.

Je remercie ensuite Gérard Guarracino et Marc Fontoynont, successivement directeursdu LAboratoire des Sciences de l’Habitat, et Jean-Louis Guyader, directeur du LaboratoireVibrations Acoustique, pour m’avoir accueilli au sein de leurs laboratoires respectifs.

Je suis très reconnaissant à Messieurs Antoine Chaigne et Reinhard Weber pour avoir ac-cepté de relire et juger ces travaux. Je remercie également Monsieur Étienne Parizet, MadameSabine Meunier et Madame Pascale Neple d’avoir accepté de participer au jury d’évaluation.

Un grand merci à toutes les personnes, étudiants de l’ENTPE et de l’INSA, membres duLASH et du LVA, et extérieurs, qui ont pu prendre un peu de leur temps (voire beaucoup pourcertains d’entre eux ...) pour participer aux tests d’écoute, et sans qui les résultats présentésdans ces travaux n’auraient pas lieu d’être.

Je remercie vivement toutes les personnes qui m’ont prodigué leurs conseils avisés et/ouapporté leur participation active, contribuant ainsi pleinement à l’avancement de ces travaux.Je pense notamment à Luc et François-Xavier pour les nombreuses et diverses discussionsscientifiques (et leur patience ...), les mesures réalisées au Tube de Kundt et leurs relecturesoccasionnelles, Étienne pour ses précieux conseils sur l’utilisation des outils psychométriques,Christophe pour ses séances “Probabilities for dummies”, Joachim pour son aide à la pro-grammation sous Labview, Charles et Céline pour leur aide à l’utilisation de Sysnoise etIDEAS, Fred pour son aide tout au long de l’expérimentation sur le banc d’essai plaque-cavité,Quentin et Nicolas pour leur aide à l’utilisation du vibromètre laser, Vincent pour son aideà l’utilisation de la méthode d’évaluation “mixte”, et toutes les personnes contactées par mailou “rencontrées” sur les forums internet qui ont pris le temps de répondre à mes nombreux etdivers questionnements.

Merci à tous ceux que j’ai croisés au cours de ces années de thèse pour leur camaraderie.Je pense notamment à mes “compagnons” Nes, Amélie, CôtCôt, Fafa et Samy. Je n’oublie pas

V

Remerciements

non plus les Anciens Tit’, Wannab’, Disciple, Caribou, Grenouille, Camille, Poungi la Racaille,FX, Thorynx, Blanche-Neige, Bassam et Talal.

Je remercie également mes colocataires — de bureau et d’appartement — Laurent, Jérôme,Luc et Nathalie pour m’avoir supporté (et la musique à forts décibels...) durant ces années dethèse.

Un grand merci à Samy pour avoir relu ce manuscrit avec application et dans un courtlaps de temps.

Enfin, je remercie ma famille et mes amis pour leur soutien et leurs encouragements ; jepense entre autres à Seb’, Arnaud, Sandra, Fra, Aurel’, Sophie, Titi et Ber’.

VI

Table des matières

Introduction 1

I Une revue des différentes composantes du problème 5

1 Le comportement vibro-acoustique d’une plaque couplée à une cavité amor-tie 71.1 Les principales avancées dans la compréhension des phénomènes régissant le

couplage vibro-acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Les effets de la variation de paramètres physiques sur le comportement vibro-

acoustique du système plaque-cavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Synthèse et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 La perception auditive : les sensations et leur mesure 192.1 Les sensations liées à la perception auditive : quelques éléments de psychoa-

coustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.1 Perception de l’intensité sonore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1.1 Sonie d’un son pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.1.2 Sonie d’un son complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.2 Perception de la hauteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.2.1 Hauteur tonale des sons purs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.2.2 Hauteur tonale des sons complexes . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.3 Les métriques psychoacoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.3.1 La sonie et l’acuité de sons stationnaires . . . . . . . . . . . . . 222.1.3.2 Le centre de gravité spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.3.3 La hauteur fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.3.4 La rugosité et la force de fluctuation . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 La mesure des sensations liées à la perception auditive : quelques éléments depsychométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.1 Les dispositifs d’observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.1.1 Le dispositif de présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.1.2 Le dispositif de réponse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

VII

Table des matières

2.2.1.3 Exemples de dispositifs d’observation . . . . . . . . . . . . . . 272.2.2 Les modèles de choix probabilistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2.1 Généralités sur les modèles RUM . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.2.2 La loi du jugement comparatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.2.3 Le modèle de Bradley-Terry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.2.4 Construction d’une échelle de préférence . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.3 Les modèles d’échelonnement multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . 342.2.3.1 Modèles d’échelonnement de données de type dissimilarité . . . 34

2.2.3.1.a Le modèle de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2.3.1.b Les modèles prenant en compte les différences indivi-

duelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2.3.2 Un exemple de modèle d’échelonnement de données de type

score . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 La perception de sons rayonnés par des structures vibrantes 393.1 Influence de la variation de paramètres physiques sur la perception auditive . . 40

3.1.1 Cas d’une simple plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.1.1.1 Sons non-stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.1.1.2 Sons stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.1.1.3 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.2 Cas d’une plaque couplée à une cavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Ajustement des paramètres de simulation aux besoins de la synthèse sonore et

de l’évaluation auditive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.1 Cas d’une simple plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.2 Cas d’une plaque couplée à une cavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

II Élaboration d’un corpus de sons réels via l’expérimentation 53

4 La mise en œuvre de l’expérimentation 554.1 Définition du dispositif expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.1.1 Les caractéristiques du système plaque-cavité . . . . . . . . . . . . . . . 564.1.2 Choix de la position de l’excitation mécanique . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Élaboration des configurations structurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2.1 Définition des paramètres structuraux variables et de leurs modalités . . 594.2.2 Usage des plans d’expériences factoriels fractionnaires . . . . . . . . . . 60

4.3 Campagne de mesures expérimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3.1 Vue d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

VIII

Table des matières

4.3.2 Protocoles de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3.2.1 Mesures vibratoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3.2.2 Mesures acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3.3 Formation des stimuli sonores pour l’évaluation auditive . . . . . . . . . 634.3.4 Analyse des effets de la variation des paramètres structuraux sur la

réponse vibro-acoustique du système plaque-cavité . . . . . . . . . . . . 654.3.4.1 Remarques préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3.4.1.a Indicateurs vibro-acoustiques . . . . . . . . . . . . . . 654.3.4.1.b Analyse modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3.4.2 Effets de la variation des propriétés en absorption de la cavitésur la réponse vibro-acoustique du système plaque-cavité . . . 67

4.3.4.3 Effets de la variation de l’épaisseur de la plaque sur la réponsevibro-acoustique du système plaque-cavité . . . . . . . . . . . . 70

4.3.4.4 Effets de la variation des conditions de serrage de la plaque surla réponse vibro-acoustique du système plaque-cavité . . . . . . 72

4.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5 Évaluation des effets de la dispersion de la mesure acoustique sur la per-ception auditive 755.1 Mise en œuvre du test d’écoute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.1.1 Sujets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.1.2 Stimuli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.1.3 Protocole de test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.1.3.1 Dispositif expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.1.3.2 Choix du stimulus de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2 Appréciation des effets de la dispersion de la mesure sur la perception auditivepar l’analyse de variance (ANOVA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.2.1 Élaboration d’un schéma d’analyse adapté à notre cas d’étude . . . . . . 82

5.2.1.1 Les points importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.2.1.1.a La prise en compte des différences inter-sujets : incur-

sion d’un facteur sujets (S) et fusion des trois facteursα, β, γ en un facteur unique ps . . . . . . . . . . . . . 82

5.2.1.1.b La nature des facteurs S, ps et D . . . . . . . . . . . . 845.2.1.1.c La nature des relations entre les facteurs S, ps et D . 84

5.2.1.2 Formulation du schéma d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2.1.2.a Analyse globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2.1.2.b Analyse des effets simples de la dispersion de la mesure 885.2.1.2.c Interprétation des résultats des tests d’hypothèse . . . 90

5.2.2 Résultats des analyses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

IX

Table des matières

5.2.2.1 Analyse globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.2.2.2 Analyse des effets simples de la dispersion de la mesure . . . . 92

5.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

III Ajustement de paramètres fréquentiels des sons en vue d’une étudede la qualité sonore du système plaque-cavité à partir de simulationsvibro-acoustiques 95

6 Établissement de tendances qualitatives originales relatives à l’influence dela variation de paramètres structuraux d’un système plaque-cavité 976.1 Mise en œuvre du test d’écoute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.1.1 Sujets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.1.2 Stimuli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.1.3 Protocole de test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.1.3.1 Évaluation de la dissimilarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.1.3.2 Évaluation de la préférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.1.3.3 Dispositif expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.1.4 Traitement et analyse des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.1.4.1 Analyse en clusters des sujets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.1.4.1.a Calcul des dissemblances entre sujets . . . . . . . . . . 1036.1.4.1.b Construction du dendrogramme . . . . . . . . . . . . 1046.1.4.1.c Détermination du nombre optimal de classes . . . . . 105

6.1.4.2 Analyse des données de dissimilarité . . . . . . . . . . . . . . . 1056.1.4.2.a Choix du modèle E.M.D. et évaluation du niveau réel

de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.1.4.2.b Détermination de la dimensionnalité de l’espace per-

ceptif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.1.4.2.c Détermination des attributs auditifs saillants . . . . . 1076.1.4.2.d Construction des ellipsoïdes de confiance par la mé-

thode du Bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.1.4.3 Analyse des jugements de préférence . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.1.4.3.a Analyse multidimensionnelle de la préférence par MD-PREF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.1.4.3.b Analyse unidimensionnelle de la préférence par unmodèle de choix probabiliste . . . . . . . . . . . . . . 111

6.2 Résultats relatifs à l’établissement des tendances qualitatives originales . . . . . 1136.2.1 Analyse en clusters des sujets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.2.2 Établissement des tendances qualitatives originales . . . . . . . . . . . . 116

6.2.2.1 Espace perceptif de dissimilarité . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

X

Table des matières

6.2.2.2 Espace perceptif de préférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.2.2.3 Valeurs de mérite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.3 Synthèse et commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7 Ajustement de la fréquence de coupure des sons 1257.1 Démarche méthodologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.1.1 Vue d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.1.2 Filtrage passe-bas des sons réels originaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.1.2.1 Synthèse d’un filtre passe-bas adapté . . . . . . . . . . . . . . . 1287.1.2.2 Calcul des sons filtrés par convolution . . . . . . . . . . . . . . 129

7.1.3 Appréciation de l’adéquation entre les tendances qualitatives . . . . . . 1327.1.3.1 Définition de priorités dans la préservation des tendances qua-

litatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.1.3.2 Formulation de critères de “bonne adéquation” entre les ten-

dances qualitatives relatives aux valeurs de mérite . . . . . . . 1337.2 Résultats du processus d’ajustement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7.2.1 Détermination d’une fréquence de coupure ajustée f∗max . . . . . . . . . 1337.2.2 Confrontation étendue des tendances qualitatives originales et approxi-

mées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.2.2.1 Espace perceptif de dissimilarité . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.2.2.2 Espace perceptif de préférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.2.2.3 Valeurs de mérite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.3 Comment expliquer l’ajustement de fmax à 2500 Hz ? . . . . . . . . . . . . . . . 1417.3.1 Lien entre f∗max et la conservation de caractéristiques globales des sons

originaux ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.3.1.1 D’un point de vue perceptif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.3.1.1.a Avant-propos : comment influe le filtrage passe-bassur l’évaluation de la préférence ? . . . . . . . . . . . . 142

7.3.1.1.b Lien entre f∗max et la conservation des écarts relatifsentre les sonies des stimuli ? . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.3.1.2 D’un point de vue physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457.3.2 Lien entre f∗max et des caractéristiques fréquentielles des sons originaux ? 147

7.3.2.1 D’un point de vue perceptif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.3.2.2 D’un point de vue physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7.3.2.2.a Avant-propos : quelle(s) caractéristique(s) fréquentielle(s)du comportement vibro-acoustique du système ? . . . 149

7.3.2.2.b Lien entre f∗max et la plus haute fréquence limite dechamp diffus d’un sous-système ? . . . . . . . . . . . . 149

7.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

XI

Table des matières

8 Ajustement du pas fréquentiel des sons 155

8.1 Démarche méthodologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8.1.1 Vue d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8.1.2 Procédé de formation des stimuli filtrés modifiés . . . . . . . . . . . . . 158

8.2 Définition d’un panel de valeurs de ∆f à tester . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

8.2.1 Méthode du stimulus constant pour la détermination du Point d’ÉgalitéSubjective (P.E.S.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

8.2.1.1 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

8.2.1.2 Sujets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8.2.1.3 Stimuli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8.2.1.4 Dispositif expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8.2.2 Résultats des expériences de discrimination . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8.2.3 Définition du panel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

8.3 Appréciation des approximations dues à l’usage des différents pas fréquentielsvia l’évaluation auditive d’un corpus partiel de stimuli “représentatifs” . . . . . 164

8.3.1 Mise en œuvre du test d’écoute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

8.3.1.1 Sujets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

8.3.1.2 Stimuli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

8.3.1.3 Protocole de test, traitement et analyse de données . . . . . . . 165

8.3.2 Résultats du test d’écoute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.3.2.1 Confrontation des tendances qualitatives relatives aux valeursde mérite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.3.2.1.a Classements de préférence . . . . . . . . . . . . . . . . 166

8.3.2.1.b Qualités d’ajustement du modèle de préférence . . . . 167

8.3.2.2 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8.4 Appréciation des approximations dues à l’usage d’un pas fréquentiel ∆fp = 4Hzvia l’évaluation auditive du corpus complet de stimuli . . . . . . . . . . . . . . 168

8.4.1 Mise en œuvre du test d’écoute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

8.4.1.1 Sujets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

8.4.1.2 Stimuli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

8.4.1.3 Protocole de test, traitement et analyse des données . . . . . . 168

8.4.2 Résultats du test d’écoute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

8.4.2.1 Espace perceptif de dissimilarité . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8.4.2.2 Espace perceptif de préférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

8.4.2.3 Valeurs de mérite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

8.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

XII

Table des matières

Conclusion générale 177

Bibliographie 181

Références personnelles 191

XIII

Table des matières

XIV

Table des figures

1.1 Configuration classique d’une plaque bafflée homogène couplée à une cavitéparallélépipédique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1 Schéma illustratif d’un espace de représentation fourni par MDPREF. Soit lecas d’un espace 2D dans lequel sont représentés trois stimuli A, B et C et troissujets 1, 2 et 3. Dans cet exemple, les projections respectives des points A, Bet C sur les vecteurs 1, 2 et 3 reproduisent les scores de préférence donnés parles 3 sujets aux 3 stimuli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1 Les différentes échelles possibles de traitement de la problématique d’ajuste-ment d’un paramètre de simulation aux contraintes perceptives (les échellessont matérialisées par les contours tracés à main levée). . . . . . . . . . . . . . 51

3.1 Les différentes échelles possibles de traitement de la problématique d’ajuste-ment d’un paramètre de simulation aux contraintes perceptives (les échellessont matérialisées par les contours tracés à main levée). (suite et fin) . . . . . . 52

4.1 Le système plaque-cavité expérimental. S : position de l’excitation mécanique,M1 et M2 : position des microphones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Vue d’ensemble sur le banc de mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3 Influence de la position de la force ponctuelle (xexcit, yexcit) sur le nombre demodes de plaque excités sur le domaine [0, 2000] Hz et la puissance acoustiquerayonnée par la plaque (étude réalisée sous le logiciel ADNR © Mecanum Inc.). : position choisie de la force ponctuelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.4 Spectres de puissance acoustique rayonnée calculés sous ADNR © Mecanum Inc.

pour 3 positions représentatives de l’excitation mécanique. —– : position ex-centrée (xexcit, yexcit) = (0.05, 0.05), – – : position choisie (xexcit, yexcit) =(0.10, 0.075), — - : position quasi-centrale (xexcit, yexcit) = (0.25, 0.20). . . . . 59

XV

Table des figures

4.5 Spectres de niveau de pression mesurés au point M2 pour les modalités extré-males des propriétés en absorption de la cavité (et pour une épaisseur de plaquede 3 mm de fortes conditions de serrage de la plaque). —– : pas de couche dematériau absorbant (stimulus I1), — - : une couche de mousse réticulée (sti-mulus K1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.6 Spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne de la plaque mesurés pourles valeurs extrémales d’épaisseur de la plaque (et pour de fortes conditions deserrage de la plaque). —– : épaisseur 1.5 mm (configuration C), — - : épaisseur3 mm (configuration I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.7 Spectres de niveau de pression mesurés au point M2 pour les valeurs extrémalesd’épaisseur de la plaque (et pour de fortes conditions de serrage de la plaqueet de fortes propriétés en absorption de la cavité). —– : épaisseur 1.5 mm(stimulus C1), — - : épaisseur 3 mm (stimulus K1). . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.8 Spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne de la plaque mesurés pour lesmodalités extrémales des conditions de serrage de la plaque, pour une épaisseurde plaque égale à 2 mm. —– : C = 20 N.m (configuration D), — - : C = 80N.m (configuration F ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.9 Spectres de niveau de pression mesurés au point M2 pour de moyennes et fortesconditions de serrage de la plaque, pour une épaisseur de plaque égale à 3 mm.—– : C = 50 N.m (stimulus H1), — - : C = 80 N.m (stimulus K1). . . . . . . 73

5.1 Instructions données aux auditeurs au début du test. . . . . . . . . . . . . . . . 785.2 Interface de présentation et de réponse “mixte” développée par Koehl [Koe05]. . 795.3 Espace perceptif de dissimilarité 2D dressé pour les stimuli A1 à K1. – – :

alternatives possibles pour le choix du stimulus de référence. . . . . . . . . . . . 805.4 Distances entre chaque stimulus de référence pressenti et les autres stimuli,

recalculées à partir des coordonnées dans l’espace perceptif de dissimilarité. . . 815.5 Scores de dissimilarité moyens, dans leur intervalle de confiance à 95%, obtenus

par les stimuli A1 à I1 et A2 à I2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.6 Schéma des inter-relations entre les 3 facteurs S, ps et D, tiré de la référence

[Dag06]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.1 Interface de présentation et de réponse développée par Faure [Fau03]. . . . . . . 1006.2 Instructions données au début de chaque session de test. . . . . . . . . . . . . . 1016.3 Exemple de diagramme des valeurs propres exprimées en fonction du numéro

du facteur principal associé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.4 Résultats de la Classification Ascendante Hiérarchique appliquée sur la matrice

de dissemblances D2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.5 Résultats de la Classification Ascendante Hiérarchique appliquée sur la matrice

de dissemblances D3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

XVI

Table des figures

6.6 Bilan des différences inter-individuelles à partir de l’espace perceptif de préfé-rence 5D (plan factoriel 1-2) dressé via MDPREF sur la base des réponses detous les sujets. : extrémités des vecteurs sujets, • : extrémité du vecteur sujet“moyen”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.7 Espace perceptif de dissimilarité 2D des stimuli, dans leur ellipse de confiance à95%. Les combinaisons des modalités des paramètres structuraux associées auxstimuli sont rappelées dans le tableau de droite, reproduction du tableau 4.2. . 116

6.8 Plan factoriel 1-2 de l’espace perceptif de préférence. : stimuli, : extrémitésdes vecteurs sujets, • : extrémité du vecteur sujet “moyen”, → : vecteurs métriques.118

6.9 Valeurs de mérite des stimuli. En gris : préférence mesurée, I : intervalle deconfiance à 95%, En rouge : modèle de préférence. . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.10 Schéma récapitulatif des différentes opérations de traitement des réponses autest d’écoute. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.1 Vue d’ensemble sur la démarche méthodologique adoptée. Cadre en traits pleins :établissement des tendances qualitatives originales (réalisé au chapitre 6). Cadreen traits pointillés : boucle itérative du processus d’ajustement. . . . . . . . . . 127

7.2 Paramètres requis pour la synthèse de filtres FIR passe-bas par l’intermédiairede l’algorithme de Parks-McClellan sous Matlab © Mathworks. . . . . . . . . . 129

7.3 Fonction de transfert Hpb du filtre FIR passe-bas synthétisé pour fmax = 2500Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.4 Réponse impulsionnelle hpb(t) du filtre FIR passe-bas synthétisé pour fmax =2500Hz. A droite, zoom sur l’intervalle de temps [0.2350, 0.2374] s. . . . . . . . 131

7.5 Filtrage passe-bas à 2500 Hz de la voie gauche du stimulus A1. . . . . . . . . . 132

7.6 Espace perceptif de dissimilarité 2D des stimuli, dans leur ellipse de confianceà 95%. En traits pleins : configuration approximée obtenue pour un filtragepasse-bas à f∗max, en traits pointillés : configuration originale. La numérotationdes dimensions est celle correspondant à la configuration originale. . . . . . . . 136

7.7 Plan factoriel 1-2 de l’espace perceptif de préférence. : stimuli filtrés passe-bas à f∗max, : extrémités des vecteurs sujets approximés, • : extrémité duvecteur sujet “moyen” approximé, → : vecteurs métriques approximés, ? : stimulioriginaux, 4 : extrémités des vecteurs sujets délimitant le faisceau original devecteurs sujets, N : extrémité du vecteur sujet “moyen” original, 99K : vecteursmétriques originaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7.8 Comparaison des valeurs de mérite mesurées obtenues par les stimuli originauxet filtrés passe-bas à f∗max. En gris : valeurs de mérite mesurées approximées,en rouge : valeurs de mérite mesurées originales, I : intervalle de confiance à 95%.140

XVII

Table des figures

7.9 Comparaison des valeurs de mérite prédites obtenues par les stimuli originauxet filtrés passe-bas à f∗max. En gris : valeurs de mérite prédites approximées, enrouge : valeurs de mérite prédites originales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.10 Courbes d’évolution de la valeur centrée-réduite zN de la sonie en fonction dela fréquence de coupure fcp du pattern de sonie, pour les différents stimuli. Enbleu : configurations structurales du groupe de tête ; en noir : configurationsstructurales du groupe intermédiaire ; en rouge : configurations structurales dugroupe de queue. Dans le tableau au-dessous du graphique, reproduction dutableau 6.1, est rappelée la composition de ces trois groupes de configurationsstructurales, dressés à partir du classement de préférence original des stimuliselon leur valeur de mérite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.11 Courbes d’évolution des niveaux de pression acoustique globaux Lp1G et Lp2G

en fonction de la fréquence de coupure fcp des spectres de niveau de pressionacoustique Lp1(f) et Lp2(f). — : Lp1G, – – : Lp2G. . . . . . . . . . . . . . . . . 146

7.12 Diagrammes Frequency Tracks calculés pour différents stimuli originaux. . . . . 148

7.13 Facteur de perte par amortissement moyen d’un mode de cavité situé dans lesdifférentes bandes (de fréquences centrales fcent) [Ryu02]. . . . . . . . . . . . . 151

7.14 Courbes d’évolution de scm et ∆f c

−3 dB en fonction de la bande de fréquences.–– : sc

m, –– : ∆f c−3 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

8.1 Vue d’ensemble sur la démarche méthodologique adoptée. . . . . . . . . . . . . 156

8.2 Mise en parallèle des étapes sous-jacentes à (a) la synthèse d’un bruit roseartificiel à partir de spectres d’amplitude de la pression acoustique calculéssous simulations aux deux points de réception M1 et M2 jusqu’à une fréquencemaximale f∗max et avec un pas fréquentiel ∆f , et à (b) la formation d’un stimulusfiltré modifié.∗De l’anglais Symmetric addition of complex conjugates [HGS+99]. 160

8.3 Expériences de discrimination : interface de présentation et de réponse, déve-loppée par Faure [Fau03]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

8.4 Valeurs de P.E.S. pour les différents stimuli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

8.5 Confrontation des valeurs de mérite mesurées des stimuli filtrés modifiés auxvaleurs de mérite mesurées des stimuli originaux, pour les différentes valeurs ∆fi

(i = 1 à 4) du pas fréquentiel. En gris : valeurs de mérite mesurées des stimulifiltrés modifiés, en rouge : valeurs de mérite mesurées des stimuli originaux, I :intervalle de confiance à 95%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

8.6 Espace perceptif de dissimilarité 2D des stimuli, dans leur ellipse de confiance à95%. En traits pleins : configuration approximée obtenue pour les stimuli filtrésmodifiés, en traits pointillés : configuration originale. . . . . . . . . . . . . . . . 169

XVIII

Table des figures

8.7 Plan factoriel 1-2 de l’espace perceptif de préférence. : stimuli filtrés modifiés, : extrémités des vecteurs sujets approximés, • : extrémité du vecteur sujet“moyen” approximé, → : vecteurs métriques approximés, ? : stimuli originaux,4 : extrémités des vecteurs sujets délimitant le faisceau de vecteurs sujets origi-naux, N : extrémité du vecteur sujet “moyen” original, 99K : vecteurs métriquesoriginaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

8.8 Confrontation des valeurs de mérite mesurées des stimuli filtrés modifiés auxvaleurs de mérite mesurées des stimuli originaux. En gris : valeurs de méritemesurées des stimuli filtrés modifiés, en rouge : valeurs de mérite mesurées desstimuli originaux, I : intervalle de confiance à 95%. . . . . . . . . . . . . . . . . 172

8.9 Confrontation des valeurs de mérite prédites des stimuli filtrés modifiés auxvaleurs de mérite prédites des stimuli originaux. En gris : valeurs de mériteprédites des stimuli filtrés modifiés, en rouge : valeurs de mérite prédites desstimuli originaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

XIX

Table des figures

XX

Liste des tableaux

1.1 Récapitulatif des paramètres physiques importants et des effets associés. . . . . 17

4.1 Définition des modalités des paramètres structuraux . . . . . . . . . . . . . . . 604.2 Plan d’expériences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3 Récapitulatif des différentes mesures réalisées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4 Désignation des stimuli associés aux configurations. . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.1 Tableau de données pour l’analyse globale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.2 Tableaux de données pour l’analyse des effets simples de la dispersion de la

mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.3 Tableau résumé. ddl : nombre de degrés de liberté, SCE : somme des carrés

des écarts, CM : carrés moyens, F : statistique-test, p : seuil de significationobservé, ω2 : indicateur de la grandeur de l’effet expérimental. . . . . . . . . . . 91

5.4 Résultats de la procédure ANOVA réalisée isolément pour chaque configurationstructurale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.1 Groupes de configurations structurales érigés à partir du classement de préférence.120

7.1 Comparaison entre le classement de préférence original et les classements depréférence approximés établis pour les différentes valeurs de fmax testées : 5000Hz, 2500 Hz et 1500 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.2 Comparaison de la qualité d’ajustement (exprimée en termes de proportion devariance expliquée, i.e. r2) du modèle de préférence original et des modèles depréférence approximés construits pour les différentes valeurs de fmax testées. . . 135

7.3 Valeurs de fplim pour la plaque d’épaisseur 3 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

8.1 Qualité d’ajustement (exprimée en termes de proportion de variance expliquée,i.e. r2) des modèles de préférence basés sur la sonie de Zwicker, construits pourles différentes valeurs ∆fi étudiées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

XXI

Introduction

Contexte et problématiques générales

Dans divers secteurs industriels (automobile, électro-ménager, etc.), un nombre croissantde manufacturiers visent à améliorer la qualité sonore de leur produit, et planifient dansleur cahier des charges une étude qualitative des sons émis par leur produit dès le stade de saconception. Au sens large, la qualité sonore d’un produit est un descripteur de l’adéquation duson qu’il émet avec diverses exigences pré-établies [BJ97] (fonctions qu’il doit remplir, attentesde l’utilisateur, image de la marque, ...). Au stade de la conception, la problématique consistegénéralement à déterminer un design structural du produit qui permette d’améliorer sa qualitésonore. Dans une approche psychoacoustique de la perception auditive1, les investigationsrecourent typiquement à des évaluations auditives basées sur des méthodes psychométriquespour mesurer la qualité sonore de plusieurs modèles du produit différant structurellement.Dans cette approche, la qualité sonore est définie comme un attribut global, quantitativementrelié à des paramètres acoustiques ou psychoacoustiques dûment sélectionnés. L’adoption d’unetelle démarche s’est montrée efficace pour améliorer le confort acoustique d’un produit (e.g.[Wid97]).

En se calquant sur cette démarche, des travaux académiques se sont intéressés à éva-luer l’influence de la variation de paramètres physiques de divers systèmes vibro-acoustiquessimples sur la perception des sons qu’ils génèrent. Au rang des systèmes étudiés, figurentnotamment la barre, la plaque simplement bafflée, et la plaque couplée à une cavité parallélé-pipédique. Leur comportement vibro-acoustique étant bien connu et maîtrisé, les auteurs ontpu — en couplant vibro-acoustique et psychoacoustique — examiner précisément les relationsentre des paramètres physiques des systèmes et les attributs auditifs des sons générés. Denombreux paramètres physiques ont été étudiés, parmi lesquels des paramètres structuraux etdes paramètres d’excitation. La plupart des travaux ont typiquement investigué l’influence desattributs auditifs sur la qualité perçue des sons générés, appréhendée en termes de préférenceou d’agrément. Leurs résultats se sont avérés particulièrement utiles afin de dresser des recom-mandations à même d’améliorer la qualité sonore des systèmes vibro-acoustiques dès l’étape

1On pourra se référer à [LSWM07] pour un état de l’art sur les différentes approches de la perceptionauditive.

1

Introduction

de leur conception, alors que ces systèmes constituent les éléments de base des structures quel’on retrouve dans les domaines des transports et du bâtiment.

Par ailleurs, à l’étape de la conception, la priorité est fréquemment donnée — pour desraisons de flexibilité et de coût — aux simulations vibro-acoustiques pour mener l’étude pa-ramétrique sur le système physique. Aussi, une nouvelle problématique se pose lorsque l’onsouhaite conduire une étude de qualité sonore à partir de sons synthétisés : comment définirles paramètres de simulation en conséquence ? Les exigences peuvent varier suivant l’approchede la qualité sonore qui est adoptée, avec toutefois une contrainte pratique invariante : le ca-ractère raisonnable des efforts de calcul vibro-acoustique engendrés (ressources informatiqueset temps de calcul). Notamment, dans une approche écologique, la définition des paramètresde simulation doit être opérée de telle sorte que le réalisme des sons synthétisés et le caractèreraisonnable des efforts de calcul vibro-acoustique soient assurés. Dans une autre approche, onpeut procéder à une définition des paramètres de simulation avec comme principale préoc-cupation — et c’est bien là le minimum requis — d’établir à partir de l’évaluation de sonssynthétisés des recommandations relatives au design structural du système fidèles à celles quiseraient établies à partir de l’évaluation de sons réels.

Cadre et objectifs de ces travaux

En continuité avec de précédentes études académiques couplant vibro-acoustique et psy-choacoustique, ces travaux traitent de l’influence de la variation de paramètres structurauxsur la perception de sons rayonnés par une plaque vibrante à l’intérieur d’une cavité amortie.En se basant sur un tel système physique, l’objectif à terme consiste à établir des tendancesde recommandation pouvant être adaptées à différentes structures vibrantes de notre envi-ronnement composées d’éléments couplés à des espaces clos. Nous verrons dans l’état de l’artque l’attention ne s’est portée que récemment sur le système plaque-cavité ; les travaux acadé-miques concernant le système plaque-cavité sont encore relativement peu nombreux. Ainsi, cetravail vise à apporter une contribution supplémentaire à l’amélioration de la qualité sonored’un tel système vibro-acoustique. Notamment, il est question d’évaluer les effets de la varia-tion simultanée de trois paramètres structuraux — les propriétés en absorption de la cavité,l’épaisseur et les conditions de serrage de la plaque — sur la perception auditive des sonsrayonnés à l’intérieur de la cavité.

En outre, pour le cas d’étude d’une plaque vibrante couplée à une cavité amortie, cestravaux se concentrent plus particulièrement sur la problématique d’ajustement des efforts decalcul vibro-acoustique vis-à-vis d’une étude de qualité sonore recourant à l’utilisation de sonssynthétisés.

Pour traiter cette problématique, nous proposons d’opérer une définition de paramètresde simulation qui permette d’établir, à partir de l’évaluation auditive de sons synthétisés, des

2

tendances qualitatives similaires à celles qui seraient établies à partir d’une évaluation auditivede sons réels. Nous considérons une source mécanique stationnaire avec un spectre large bandede type bruit rose ; ce spectre se rapproche de celui de sources de bruit environnementales.Dans le cas d’excitations stationnaires, la réponse vibro-acoustique d’un système est com-munément calculée dans le domaine fréquentiel ; à cet effet, l’usage de méthodes numériquesd’éléments finis (FEM) ou d’éléments de frontière (BEM) est courant. Dans le cadre d’uti-lisation de méthodes de calcul fréquentiel, les efforts de calcul vibro-acoustique apparaissentcomme intimement liés aux valeurs prises par deux paramètres de calcul importants : toutd’abord la fréquence maximale de calcul, puis le pas fréquentiel de calcul. Ce lien — bienconnu des vibro-acousticiens — a été mis en relief au travers d’une étude menée en préalableaux présents travaux (Cf. annexe A) ; cette étude traitait de la modélisation du comporte-ment vibro-acoustique d’un système plaque-cavité et visait à l’optimisation et la comparaisond’outils de calcul vibro-acoustique. D’un point de vue perceptif, la définition de la fréquencemaximale détermine l’étendue du contenu fréquentiel des sons synthétisés ; la définition du pasfréquentiel influe sur leur enveloppe spectrale. Une définition hasardeuse de ces paramètres estdonc susceptible d’entraîner à terme des divergences entre les tendances qualitatives dresséesà partir de l’évaluation auditive respectivement de sons synthétisés et de sons réels.

Notre objectif est donc de déterminer des valeurs appropriées pour ces deux paramètres quipermettent — outre une réduction importante des efforts de calcul vibro-acoustique — d’éviterl’écueil mentionné ci-dessus. Dans le cadre de l’approche proposée, une première étape consisteà établir des tendances qualitatives de référence, dressées à partir de l’évaluation auditive desons réels. Pour former le corpus de sons réels, une expérimentation sur un banc d’essaiplaque-cavité est menée ; dans la pratique, les sons réels correspondent au son rayonné par laplaque vibrante à l’intérieur de la cavité, enregistré dans différentes configurations structuralesdu système expérimental. L’évaluation auditive, fondée sur la méthode de comparaison parpaires, demande à prononcer des jugements de dissimilarité et de préférence. Il sera ainsipossible d’extraire des informations sur la manière dont les variations structurales influencentla perception auditive et sur les configurations structurales préférées par les auditeurs.

Puis, pour procéder à l’ajustement des deux paramètres fréquentiels étudiés, on se pro-pose de travailler à partir des sons réels, plutôt qu’à partir de sons synthétisés, et ce afin des’affranchir d’autres approximations telles que celles liées à la modélisation du système. Pourchaque paramètre fréquentiel, un procédé est proposé pour modifier les sons réels de façon àretranscrire l’effet lié à sa définition lors de simulations vibro-acoustiques. De ce fait, il serapossible a priori d’apprécier les approximations engendrées sur les tendances qualitatives duesuniquement à la définition de ces paramètres lors de simulations.

Organisation du document

Le présent document est organisé en trois parties.

3

Introduction

La première partie, composée de trois chapitres, propose une revue bibliographique desdifférentes composantes du problème. Le premier chapitre est consacré à un état de l’art desdifférents travaux relatifs au comportement vibro-acoustique d’une plaque couplée à une cavitéamortie ; il est notamment question de décrire les phénomènes qui régissent le couplage vibro-acoustique entre la plaque et la cavité. Le second chapitre introduit des éléments quant auxsensations liées à la perception auditive et à leur mesure. Le dernier chapitre — qui dresseun pont entre les deux premiers chapitres — présente un état de l’art des différents travauxacadémiques relatifs à la perception de sons rayonnés par des structures vibrantes.

La seconde partie, composée de deux chapitres, concerne l’élaboration du corpus de sonsréels via l’expérimentation sur le banc de mesure plaque-cavité. Le premier chapitre détaillela phase de mise en œuvre de l’expérimentation. Le second chapitre propose une évaluationdes effets de la dispersion de la mesure acoustique sur la perception auditive.

La troisième partie, composée de trois chapitres, est consacrée à l’ajustement des para-mètres fréquentiels en vue d’une étude de la qualité sonore du système plaque-cavité à partir desimulations vibro-acoustiques. Le premier chapitre présente l’établissement — à partir de l’éva-luation auditive des sons réels — des tendances qualitatives originales relatives à l’influence dela variation des paramètres structuraux du système plaque-cavité étudié. Les second et dernierchapitres détaillent l’ajustement des deux paramètres fréquentiels étudiés, respectivement lafréquence maximale de calcul et le pas fréquentiel de calcul.

Le lecteur pourra trouver dans le document joint les annexes auxquelles il est fait référencedans le présent document. Les annexes (et tous leurs éléments constitutifs) sont référencéespar une lettre majuscule.

4

Première partie

Une revue des différentes composantesdu problème

5

Chapitre 1

Le comportement vibro-acoustique d’uneplaque couplée à une cavité amortie

Dans l’étude d’une structure couplée à un espace clos, la configuration souvent abordée estune plaque bafflée homogène couplée à une cavité parallélépipédique (Cf. figure 1.1) ; la cavitépeut comporter éventuellement des matériaux absorbants apposés sur ses parois rigides (i.e.cavité “amortie”). La problématique consiste en général à évaluer les effets de la cavité sur i)les vibrations de la plaque, ii) la transmission du son à travers la plaque.

Dans ce qui suit, nous exposerons différentes approches adoptées pour étudier le comporte-ment vibro-acoustique d’un tel système. Certaines études se concentrent sur la compréhensiondes phénomènes régissant le couplage entre la plaque et la cavité (Cf. section 1.1). D’autresplus récentes, complémentaires, s’intéressent à l’influence de la variation de paramètres phy-siques de la plaque et de la cavité sur le comportement du système couplé (Cf. section 1.2) :nous essaierons d’en dégager les points importants, utiles pour la suite de nos travaux (Cf.section 1.3).

7

Chapitre 1. Le comportement vibro-acoustique d’une plaque couplée à une cavité amortie

Plaque

Baffle rigide

Cavité fluide

Matériau absorbant

Fig. 1.1 – Configuration classique d’une plaque bafflée homogène couplée à une cavité paral-lélépipédique.

1.1 Les principales avancées dans la compréhension des phéno-mènes régissant le couplage vibro-acoustique

Parmi les premiers travaux, on peut citer ceux de Dowell et Voss [DV63] et de Lyon [Lyo63].Pour la résolution du problème d’interaction fluide-structure, Dowell et Voss ont utilisé uneapproche modale tandis que Lyon a utilisé une méthode énergétique de type S.E.A. Dowellet Voss ont mis en évidence que, pour des panneaux (plaques) courants et des cavités assezprofondes, le couplage intervient surtout en dessous de la première fréquence propre non nullede la cavité ; seul le premier mode du panneau est véritablement modifié par la présence de lacavité dont l’effet s’apparente à un effet de raideur. Cet effet de raideur est dû au mode rigidede la cavité1 (q, r, s) = (0, 0, 0).

Par la suite, certains travaux [Pre65, Pre66, BC69, GB73, DGS77, Guy79] ont permisd’améliorer la compréhension des phénomènes ainsi que la précision des modèles.

En particulier, Pretlove [Pre65, Pre66] a utilisé une approche (semi-analytique) basée surla décomposition du champ de déplacement de la structure et de pression dans la cavitérespectivement sur la base des modes propres de la structure in vacuo2 et de la cavité rigide3.L’approche adoptée par l’auteur conduit à un système d’équations modales de structure danslequel le couplage modal avec la cavité est représenté par une matrice de raideur acoustique.Les termes diagonaux, appelés raideurs acoustiques directes4, quantifient le couplage entre unmode de plaque et un mode de cavité ; les termes non-diagonaux, appelés raideurs acoustiques

1Les indices q, r et s sont respectivement associés aux axes x, y et z (Cf. figure 1.1).2i.e. découplée de la cavité.3i.e. la cavité avec 6 parois rigides.4Si le terme est négatif, la cavité agit alors comme une masse virtuelle plutôt qu’une raideur.

8

1.1. Les principales avancées dans la compréhension des phénomènes régissant le couplage

vibro-acoustique

transversales, traduisent le couplage entre deux modes de plaque par l’intermédiaire des modesde cavité [Pre65]. Le problème aux valeurs propres est ensuite résolu à l’aide d’une méthodeitérative. L’auteur distingue deux configurations pour lesquelles l’importance du couplageentre la plaque et la cavité diffère. Pour une cavité profonde couplée à une plaque flexible5,les termes non-diagonaux de la matrice de raideur acoustique sont négligeables par rapportaux termes diagonaux. Seul le premier mode de plaque est légèrement affecté par l’effet de laraideur acoustique directe (sa fréquence propre est augmentée de 3% environ) ; les fréquencespropres des autres modes de plaque sont très proches de leurs valeurs in vacuo. Si, de plus,la raideur acoustique directe est négligeable par rapport à la raideur mécanique de la plaque,alors on peut considérer que les vibrations du panneau ne sont pas affectées par la cavité. Dansce cas, le champ acoustique dans la cavité peut être calculé directement à partir des vibrationsin vacuo du panneau. Au contraire, pour une cavité peu profonde couplée à un panneau trèsflexible6, l’effet de la cavité sur la réponse vibratoire du panneau est très important. Les termesnon diagonaux de la matrice de raideur acoustique ne sont plus négligeables par rapport auxtermes diagonaux. Le premier mode de plaque est très affecté par la présence de la cavité(sa fréquence propre est augmentée de plus de 900%). Plusieurs modes d’ordre supérieur lesont également ; ces modes sont ceux qui “déplacent” le volume de la cavité (volume-displacingmodes en anglais [Pre65]), ce sont des modes symétriques (i.e. impair-impair).

Les études menées par Bhattacharya et Crocker [BC69], Guy [Guy79] et Guy et Bhatta-charya [GB73] ont utilisé une approche basée sur une combinaison de transformées en cosinuset sinus sur les variables d’espace et d’une transformée de Laplace sur la variable temps.Ces auteurs obtiennent ainsi une solution purement analytique de l’équation d’onde avec desconditions aux limites non homogènes, valable pour une excitation acoustique stationnaire outransitoire. Bhattacharya et Crocker [BC69], Guy et Bhattacharya [GB73] ont traité en détaille problème de transmission du son à travers la plaque couplée à la cavité. Le comportementen transmission est gouverné principalement par trois facteurs : i) l’impédance acoustiqued’un mode individuel de cavité, ii) l’impédance mécanique d’un mode individuel de plaque,et iii) le coefficient de couplage qui est donné par l’intégrale sur la surface d’interaction duproduit des déformées modales non-couplées des deux sous-systèmes. Plusieurs phénomènessont ainsi mis en évidence sur le spectre d’indice d’affaiblissement de la plaque. Une forterésonance, qui se traduit sur le spectre par des valeurs négatives de l’indice d’affaiblissement(i.e. la pression acoustique à l’intérieur de la cavité est supérieure à la pression extérieure), seproduit lorsque les impédances d’un mode de plaque et d’un mode de cavité sont égales enamplitude mais opposées en signe. Le phénomène est particulièrement visible pour les couples

5L’auteur considère le cas d’une plaque en aluminium d’épaisseur 1.6 mm. Cette plaque est couplée à unecavité de profondeur z telle que le rapport de z à la plus grande dimension de la plaque est égal à 1

2.

6L’auteur considère toujours le cas d’une plaque en aluminium, mais d’épaisseur 0.5 mm. Cette plaque estcouplée à une cavité de profondeur z telle que le rapport de z à la plus grande dimension de la plaque estinférieur à 1

8.

9


de modes composés des modes de cavité d’indices q et r égaux à 0 et du mode de plaque7

(m, n) = (1, 1). Bhattacharya et Crocker [BC69] spécifient d’autre part le phénomène de coïn-cidence pour une plaque couplée à une cavité comme suit. La coïncidence intervient lorsque lesconditions suivantes sont réunies : i) l’impédance du mode de plaque est nulle, ii) l’impédancedu mode de cavité tend vers l’infini, iii) le coefficient de couplage est maximal. A la fréquencede coïncidence, les pressions intérieures et extérieures à la cavité sont sensiblement égales etle déplacement de la plaque tend vers 0 ; la cavité agit comme un absorbeur des vibrationsde la plaque. Guy et Bhattacharya [GB73] ont validé le modèle théorique par une mesureexpérimentale des fréquences propres de la plaque et de son indice d’affaiblissement.

Dowell et al. [DGS77] ont proposé une approche modale, améliorée, pour résoudre le pro-blème de couplage plaque-cavité8. Le champ de déplacement de la structure et le champ depression dans la cavité sont respectivement décomposés sur la base des modes propres dela structure in vacuo et de la cavité rigide. L’équation d’onde est transformée en un sys-tème d’équations généralisées pour le domaine fluide en appliquant le théorème de Green eten utilisant les propriétés d’orthogonalité des modes propres de la cavité rigide. Le systèmed’équations généralisées structurales est classiquement obtenu à partir de l’équation de mou-vement de la structure en utilisant les propriétés d’orthogonalité des modes in vacuo de lastructure. Le couplage modal entre la plaque et la cavité est traduit par l’intermédiaire descoefficients de couplage (définis dans le paragraphe précédent [BC69, GB73]), figurant dans lesecond membre des équations généralisées. L’auteur propose des modèles simplifiés pratiquesqui précisent le comportement du système à certaines fréquences caractéristiques (fréquencede résonance de la cavité et/ou fréquence de résonance de la structure).

Plus récemment, Pan et Bies [PB90a, PB90b], par une approche modale, ont mené uneinvestigation théorique et expérimentale sur le comportement transitoire et stationnaire d’unsystème plaque appuyée - cavité. Ils ont notamment étudié l’effet du couplage fluide-structuresur les temps de réverbération de la cavité9. Les auteurs expliquent le phénomène de couplagemodal comme suit. Un mode du système plaque-cavité couplé résulte de la combinaison entredes modes de la cavité rigide et des modes de la plaque in vacuo. On parle néanmoins de modecontrôlé par la cavité et de mode contrôlé par la plaque : dans le premier cas, la plus grandepart de l’énergie du mode couplé est principalement emmagasinée dans la cavité sous formed’énergie potentielle ; dans le second cas, la plus grande part de l’énergie du mode couplé estprincipalement emmagasinée dans la plaque sous forme d’énergie cinétique. La coïncidenceou la non-coïncidence spatiale des modes des deux sous-structures découplées au niveau dela surface d’interaction — quantifiée par le coefficient de couplage — détermine le transferténergétique potentiel entre les modes. Lorsque le coefficient de couplage est non nul, l’écart

7Les indices m et n sont respectivement associés aux axes x et y (Cf. figure 1.1).8Cette approche est traitée en détail au travers de la section A.3.1.9Les temps de réverbération caractérisent le comportement transitoire du système.

10

1.2. Les effets de la variation de paramètres physiques sur le comportement vibro-acoustique du

système plaque-cavité

entre les fréquences de résonance de ces modes détermine ensuite le taux effectif de transferténergétique. Aussi, un mode de structure aura tendance à modifier la fréquence de résonancedu mode de cavité avec lequel il interagit, comme un mode de cavité aura tendance à modifierla fréquence de résonance du mode de plaque avec lequel il interagit ; cette modification serad’autant plus importante que le facteur de transfert énergétique entre les deux modes sera fort(condition de fort couplage).

Enfin, de nombreux travaux ont eu recours à des méthodes numériques (FEM, BEM) pourmodéliser le comportement en basses et moyennes fréquences du système plaque - cavité couplé.La plupart se rapportent à des domaines d’application industriels (automobile, aéronautique).Tous ces travaux ont contribué à une amélioration de la précision des modèles numériques et àune meilleure compréhension du comportement vibro-acoustique des habitacles par exemple.Parmi ces travaux, on peut citer ceux de Craggs [Cra71], Unruh [Unr80] et Nefske et al.[NWH82], qui utilisent un modèle d’éléments finis à la fois pour la structure et la cavité. Onpeut également citer ceux de Sestieri et al. [SDVL84] et Suzuki et al. [SMI89], qui s’appuientsur une méthode d’éléments de frontière pour prédire le champ de pression dans la cavité.Les modèles développés dans les études les plus récentes permettent de prendre en comptedes conditions aux limites plus complexes, et plus particulièrement la présence de matériauxabsorbants sur les parois (pour exemple, Cf. [SMI89]).

1.2 Les effets de la variation de paramètres physiques sur lecomportement vibro-acoustique du système plaque-cavité

Certaines études [Che89, CL89a, CL89b, NS81a, NS81b, PB90b], basées sur une méthodemodale (avec tri des modes), ont étudié plus précisément l’influence de la variation de para-mètres de la plaque et de la cavité sur le comportement du système couplé.

Narayanan et Shanbag [NS81a, NS81b] se sont intéressés au problème de transmissiondu son à travers un panneau sandwich couplé à une cavité et ont notamment mené uneétude paramétrique sur les caractéristiques du matériau viscoélastique constituant l’âme dupanneau. Les auteurs ont montré que l’amélioration des capacités amortissantes du matériau(augmentation du facteur de perte β de 0.1 à 1) permet de réduire significativement le bruittransmis dans la cavité aux premières fréquences de résonance du panneau. L’augmentationde l’amortissement de la cavité est quant à elle bénéfique aux fréquences de résonance dela cavité, où l’amortissement du panneau n’a pas d’effet. D’autre part, le comportement entransmission du système est affecté en très basses fréquences par les conditions aux limites dupanneau ; la variation de la raideur en translation sur deux bords du panneau (initialementsimplement appuyés) influe tout particulièrement sur la réduction du bruit dans ce domainede fréquences. Enfin, les auteurs soulignent qu’un choix judicieux du paramètre géométriquecaractéristique du panneau sandwich, qui correspond au rapport entre l’épaisseur de l’âme et

11


du parement, et du facteur de cisaillement du matériau viscoélastique permet également deréduire le bruit dans la cavité.

Pan et Bies [PB90b] se sont intéressés à l’effet de la variation de l’épaisseur de la plaquesur le comportement vibro-acoustique du système couplé. Cette variation agit à la fois sur ladensité modale de la plaque et la position de ses fréquences de résonance. Par conséquent, lafréquence critique de la plaque est également modifiée, ce qui entraîne une modification de lapuissance rayonnée [Les88]. Le nombre moyen de modes de plaque présents dans le voisinaged’un mode résonant de cavité détermine la nature générale du phénomène de couplage tandisque la position de ses fréquences propres détermine les détails du phénomène de couplage.Ainsi, quand la densité modale est faible, seuls quelques modes de plaque sont susceptibles dese trouver dans le voisinage d’un mode résonant de cavité. Le transfert énergétique du mode decavité vers la plaque est généralement dominé par un seul mode de plaque. Aussi, si ce modene satisfait pas la condition de fort couplage (définie dans la section 1.1), le couplage entre lemode de cavité et la plaque sera très faible. Quand la densité modale augmente, un nombreplus important de modes de plaque participe au couplage avec le mode de cavité considéré ;le transfert énergétique du mode de cavité vers la plaque est ainsi réparti sur plusieurs modesde plaque d’importance équivalente.

Cheng et Lesueur se sont intéressés dans un premier temps [CL89a] à l’influence des mo-dèles d’amortissement des deux sous-systèmes, plaque et cavité, sur la réponse vibro-acoustiquedu système couplé. Le système est excité par un champ acoustique extérieur aléatoire. Pourrésoudre le problème d’interaction fluide-structure, les auteurs ont utilisé une approche mo-dale similaire à celle développée par Dowell et al. [DGS77] ; toutefois, la réaction du fluidesur la structure est négligée (i.e. hypothèse de fluide léger). Deux modèles d’amortissementsont étudiés : le modèle structural et le modèle visqueux. Pour rappel, en régime sinusoïdal,l’énergie dissipée par cycle est i) proportionnelle à la fréquence, pour le modèle visqueux, et ii)indépendante de la fréquence, pour le modèle structural. Dans cette étude, ces deux modèlesglobaux sont adoptés pour représenter i) les effets de dissipation intrinsèques du fluide et auxparois (phénomène de couche limite) pour la cavité, et ii) les effets d’amortissement intrin-sèques du matériau et aux limites, pour la plaque. Les différents indicateurs vibro-acoustiquescalculés sont le niveau de pression quadratique moyenne < Lp >, le facteur de rayonnementσ, la puissance rayonnée Wray et l’énergie cinétique de la plaque Ep. Les auteurs ont examinétout d’abord l’influence du modèle d’amortissement de la cavité10. Ils ont notamment constatéque :

i) Le spectre de < Lp > — où apparaissent toutes les résonances de cavité et de structure—n’est pas influencé par le modèle d’amortissement de la cavité.

ii) Le spectre de σ — où n’apparaissent que les résonances de cavité — est influencé par

10Pour cet examen, le modèle d’amortissement utilisé pour la plaque est un modèle visqueux.

12

1.2. Les effets de la variation de paramètres physiques sur le comportement vibro-acoustique du


le modèle en-deçà de la première fréquence de résonance de la cavité, compte tenu dumode acoustique (0, 0, 0) de fréquence nulle : dans le cas de l’amortissement structural,le mode (0, 0, 0) intervient (i.e. dissipation non nulle), σ est réduit par rapport au casde l’amortissement visqueux.

Aucune modification notable due au modèle d’amortissement, structural ou visqueux, de laplaque n’a été constatée sur les différents indicateurs vibro-acoustiques11.

Ensuite, en optant pour un modèle d’amortissement structural pour la cavité et visqueuxpour la plaque, les auteurs ont étudié l’influence de la variation du facteur de perte paramortissement structural ηA de la cavité sur les différents indicateurs vibro-acoustiques. Deuxvaleurs extrêmes de ηA sont étudiées : ηA = 0.02 et ηA = 0.1. Notamment, les auteurs ont puobserver que :

i) Globalement, l’augmentation de ηA provoque une diminution de < Lp >.

ii) ηA ne joue un rôle significatif sur < Lp > qu’au niveau des fréquences de résonancede la cavité. En hautes fréquences, où la densité modale est importante, l’ensemble duspectre de < Lp > est affecté par ηA.

iv) Ep, dont le spectre ne contient que les fréquences de résonance de la structure, n’estpratiquement pas influencée par ηA.

v) L’augmentation de ηA provoque une diminution de σ au voisinage des fréquences derésonance de la cavité, une augmentation de σ en dehors de ces fréquences.

Ces mêmes auteurs [CL89b] ont également étudié le cas d’une excitation mécanique ponc-tuelle de la plaque (avec un spectre de type bruit blanc tronqué). Les auteurs montrent que,pour une configuration du système plaque-cavité identique à celle utilisée dans leurs précédentstravaux [CL89a], le type d’excitation influe fortement sur la réponse vibro-acoustique du sys-tème. Notamment, l’excitation mécanique conduit à un rendement vibro-acoustique inférieur àl’excitation acoustique étudiée dans le papier précédent [CL89a]. Néanmoins, les auteurs abou-tissent à des conclusions identiques à celles obtenues pour une excitation acoustique concernantl’influence sur les différents indicateurs vibro-acoustiques ii) du modèle d’amortissement dela cavité, et ii) — en choisissant, de même que pour le cas d’une excitation acoustique, unmodèle d’amortissement structural pour la cavité et visqueux pour la plaque — de la variationdu facteur de perte par amortissement structural ηA de la cavité.

Par la suite, les auteurs ont examiné la sensibilité du modèle à différents paramètres : laposition du point d’excitation sur la plaque, les conditions aux limites de la plaque, le moduled’Young du matériau de la plaque et les facteurs de perte par amortissement. Les résultatsmontrent qu’une modification légère de la position du point d’excitation, de l’ordre de quelquescentimètres, influe très peu sur < Lp > et Ep, sauf au niveau des anti-résonances de la plaque.Les conditions aux limites jouent quant à elles un rôle important sur Ep et Lp, le niveau de

11Pour cet examen, le modèle d’amortissement utilisé pour la cavité est un modèle visqueux.

13


pression en un point de la cavité. Lorsque l’on passe de conditions aux limites du type appuyéà des conditions aux limites du type encastré, on note un glissement des spectres vers leshautes fréquences, une répartition différente des fréquences de résonance de la plaque et unemodification du couplage vibro-acoustique par l’intermédiaire des coefficients de couplage. Surle spectre de Lp, les variations les plus importantes se situent au niveau des anti-résonancesde plaque et de cavité. Par ailleurs, les conséquences d’une erreur de 20% sur le moduled’Young du matériau de la plaque sont identiques à celles de la variation de ses conditionsaux limites, décrites ci-avant. Enfin, l’influence des facteurs de perte par amortissement surla réponse du système est étudiée à travers trois configurations différentes : i) les facteursde perte par amortissement de la structure et de la cavité mesurés expérimentalement sontinjectés dans les modèles d’amortissement respectivement de plaque et de cavité, ii) le facteurde perte par amortissement de la cavité mesuré expérimentalement est injecté dans le modèled’amortissement structural de cavité, le facteur de perte par amortissement visqueux de lastructure est pris égal à 0, et iii) le facteur de perte par amortissement structural de la cavité estpris égal à 0, le facteur de perte par amortissement de la structure mesuré expérimentalementest injecté dans le modèle d’amortissement visqueux de la plaque. Les résultats montrentque, si l’on néglige l’amortissement de la plaque, les effets seront très importants au voisinagedes fréquences de résonance de la plaque. Aussi, si l’on néglige l’amortissement de la cavité,les effets seront également importants au voisinage des fréquences de résonance de la cavitéet dans la zone où la densité modale acoustique devient importante. En outre, les auteursmontrent que, l’amortissement de la structure étant supérieur à celui de la cavité, les effets dedissipation de la plaque ne peuvent être en aucun cas négligés.

Outre l’influence de la variation du facteur de perte par amortissement de la cavité —qui retranscrit les effets de dissipation intrinsèques du fluide et aux parois (phénomène decouche limite) pour la cavité nue —, les travaux de Cheng [Che89] ont aussi traité l’influencede la présence d’un matériau absorbant sur un mur rigide de la cavité sur la réponse vibro-acoustique du système plaque-cavité. Le comportement mécanique et acoustique du matériauest caractérisé par son impédance acoustique spécifique normale Z (Cf. section A.1.2). Pourrésoudre le problème d’interaction fluide-structure, l’auteur a utilisé une approche modalesimilaire à celle mentionnée ci-avant ; mais, par rapport aux papiers [CL89a, CL89b] citésprécédemment, la réaction du fluide sur la structure n’est ici pas négligée. En outre, de par lechoix des caractéristiques géométriques, acoustiques et mécaniques du système plaque-cavitéétudié, le couplage entre la plaque et la cavité est faible. À partir des équations généraliséespour le domaine fluide dissipatif12, deux types d’effets dûs à la présence du matériau absorbantpeuvent être identifiés :

– Des effets de masse ajoutée, liés à sa réactance.

12Ces équations généralisées sont données dans la section A.3.1.2.e, par l’expression (A.50).

14

1.3. Synthèse et perspectives

– Des effets d’amortissement équivalent13, liés à sa résistance.

Sur le spectre de Lp — le niveau de pression en un point intérieur à la cavité —, les effetsde masse ajoutée se traduisent par un décalage des fréquences de résonance de la cavité vers lesbasses fréquences (l’auteur note par exemple une chute de 6% pour la première fréquence derésonance de la cavité). Les effets d’amortissement équivalent se traduitent par une diminutiondu niveau de pression au niveau des fréquences de résonance de la cavité en basses fréquences,où les fréquences de résonance sont encore nettement séparées. En plus hautes fréquences, oùla réponse de la cavité est dominée par un nombre important de modes, la diminution duniveau de pression est plus importante. Ainsi, si le champ de pression acoustique est pertubépar la présence du matériau absorbant, l’auteur relève par contre, à travers la comparaison desspectres de Ep — l’énergie cinétique de la plaque —, que la présence du matériau absorbantn’influence quasiment pas la réponse vibratoire de la plaque lorsque le couplage entre la plaqueet la cavité est faible.

Il est à noter que les effets de la présence de matériau absorbant sur le champ de pressionacoustique à l’intérieur d’une cavité ont été étudiés au travers de nombreux travaux dans ledomaine de l’acoustique des salles14, sur lesquels nous ne nous étendrons pas ici. Toutefois, pourseul exemple, on peut citer les travaux de Morse [Mor39], précurseurs dans ce domaine. Morse[Mor39] a étudié le cas d’une cavité rigide dont les parois sont uniformément recouvertes d’unmatériau absorbant (qui peut être différent d’une paroi à l’autre). De même que précédemment,le comportement du matériau, supposé à réaction localisée, est caractérisé par son impédanceacoustique spécifique normale Z. Pour résoudre l’équation d’onde, l’auteur a également utiliséune approche modale ; il s’est alors intéressé à étudier l’influence de la variation de l’impédancedu matériau absorbant sur les constantes d’amortissement modales, en considérant deux paroisparallèles données15. Notamment, pour une impédance donnée, l’auteur a montré que lesondes acoustiques se propageant dans la cavité quasi-parallèlement à une paroi recouverte dematériau absorbant (ondes en incidence quasi-rasante) étaient moins absorbées par cette paroique les ondes acoustiques arrivant en incidence oblique sur cette paroi.

1.3 Synthèse et perspectives

Dans cet état de l’art sur le comportement vibro-acoustique d’une plaque couplée à unecavité parallélépipèdique amortie, nous avons discuté des principaux phénomènes régissant lecouplage vibro-acoustique. Tout d’abord, nous avons pu voir que la nature du couplage (forteou faible) dépend du rapport de la longueur de la plaque à la profondeur de la cavité et de la

13Même s’il n’en a pas été fait mention précédemment, ces effets ont également été étudiés par Dowell et al.[DGS77].

14Ces travaux sont d’ailleurs antérieurs aux travaux mentionnés ci-avant. Généralement, dans ces travaux,la cavité est considérée comme entièrement rigide.

15La constante d’amortissement modale quantifie, pour un mode donné, l’effet d’amortissement équivalentdû à la présence de matériau absorbant sur les deux parois parallèles.

15


densité volumique du fluide. Nous nous intéresserons au cas du fluide léger (air), et au cas où lacavité est relativement profonde par rapport à la plus grande dimension de la plaque16, i.e. laconfiguration que nous traiterons présentera des caractéristiques géométriques et mécaniquestelles que le couplage entre la plaque et la cavité sera faible. Dans ce cas précis, nous avonsvu que le couplage intermodal se manifeste principalement à travers : i) un effet de raideuracoustique ajoutée (dû au mode rigide de la cavité) pour les premiers modes symétriquesrésonants de structure, dont les fréquences de résonance sont en conséquence augmentées, ii)un fort transfert énergétique entre les modes de cavité et de plaque qui réunissent les conditionsde fort couplage, transfert qui se traduit par une modification réciproque des fréquences derésonance de la plaque et de la cavité. Dans les configurations usuelles, ce dernier phénomèneintervient notamment en basses fréquences entre un mode de plaque symétrique et le premiermode longitudinal de la cavité (q, r, s) = (0, 0, 1).

Nous avons ensuite passé en revue les principaux travaux portant sur l’influence de la va-riation de paramètres physiques sur le comportement du système plaque-cavité. Nous pouvonsen dégager les paramètres importants d’un point de vue vibro-acoustique, qu’il serait a prioriintéressant d’étudier d’un point de vue perceptif. Ces paramètres structuraux et leurs effetsphysiques sur le comportement du système sont répertoriés dans le tableau 1.1.

Plusieurs paramètres n’apparaissent pas dans cette liste : i) les modèles d’amortissement dela plaque et de la cavité car il a été montré [CL89a, CL89b] qu’ils n’influent pas sur le niveaude pression à l’intérieur de la cavité, ii) la position de l’excitation lorsqu’il s’agit d’une forcemécanique ponctuelle, car ses effets sur la réponse vibro-acoustique du système apparaissentcomme étant du second ordre [CL89a, CL89b], pour un décalage de cette position de l’ordrede quelques centimètres.

16Cette configuration peut être trouvée dans les domaines des transports et du bâtiment.

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1.3. Synthèse et perspectives

Paramètres variables Effets physiques

Type d’excitation de la plaque[CL89a, CL89b]

• Rendement vibro-acoustique de la plaque différent

Facteur de per-te par amortis-sement [CL89a,CL89b, NS81a,NS81b]

Plaque • Réduction de l’amplitude des pics de résonancestructuraux en BF

Cavité • Réduction de l’amplitude des pics de résonanceacoustiques en BF• Niveau de pression affecté dans la zone de forte den-sité modale

Épaisseur de la plaque [Les88,PB90b]

• Modification de la densité modale, de la distributiondes fréquences propres et de la fréquence critique de laplaque entraînant une modification du couplage vibro-acoustique entre la plaque et la cavité

Conditions aux limites de laplaque [CL89a, CL89b, NS81a,NS81b]

• Décalage vers les HF des fréquences propres dela plaque (pour une augmentation de la rigidité surson contour), entraînant une modification du cou-plage vibro-acoutique par l’intermédiaire des facteursde couplage• Différences de niveau de pression en un point inté-rieur à la cavité importantes aux anti-résonances deplaque et de volume

Module d’Young du matériau dela plaque [CL89a, CL89b]

• Effets analogues à ceux induits par une variation desconditions aux limites de la plaque

Présence de matériau absorbant • Décalage vers les BF des fréquences propres de lacavité [Che89] (effets de masse ajoutée liés à la réac-tance du matériau)• Diminution de l’amplitude des pics de résonanceacoustiques en BF et diminution du niveau de pressiondans la zone de forte densité modale [Che89, DGS77](effets d’amortissement équivalent liés à la résistancedu matériau)

Tab. 1.1 – Récapitulatif des paramètres physiques importants et des effets associés.

17


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Chapitre 2

La perception auditive : les sensations et leurmesure

Dans une première section, nous rappellerons quelques éléments de psychoacoustique néces-saires à la compréhension de ce travail. Nous présenterons notamment les métriques psychoa-coustiques utilisées pour décrire les attributs auditifs des sons. De manière systématique, leurcalcul implique une modélisation, plus ou moins simplifiée, du comportement du système au-ditif.

Dans une seconde section, nous présenterons quelques éléments de psychométrie. Nouspasserons en revue différentes méthodes de collecte d’information, applicables au domaine dela perception auditive. Nous décrirons également, d’un point de vue théorique, plusieurs outilsd’analyse de données, notamment certains modèles de choix probabiliste et modèles d’échelon-nement multidimensionnel.

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Chapitre 2. La perception auditive : les sensations et leur mesure

2.1 Les sensations liées à la perception auditive : quelques élé-ments de psychoacoustique

La psychoacoustique est définie comme la science traitant des rapports entre les para-mètres de la stimulation acoustique et la qualité de la sensation auditive [BCDS89]. Nousallons introduire dans cette section les principales grandeurs de sensation liées à la perceptionauditive.

2.1.1 Perception de l’intensité sonore

L’intensité subjective d’un son, appelée sonie, est reliée à son intensité physique via diffé-rents processus de codage et de traitement de l’information par le système auditif [BCDS89],mais dépend également d’autres facteurs acoustiques tels que sa durée et sa fréquence.

2.1.1.1 Sonie d’un son pur

La sonie d’un son pur a été mesurée selon une méthode développée par Stevens1. Cetteméthode consiste à demander à des sujets de choisir des nombres proportionnels à la soniedes sons présentés successivement, correspondant à un son pur de fréquence 1000 Hz varianten niveau de pression acoustique. Il en ressort que la sonie peut s’écrire sous la forme d’unefonction puissance de la pression acoustique :

L = kp0.6 (2.1)

où L est la valeur de la sonie en sones, k = 0.01 et p la pression acoustique en µPa. Parconvention, la valeur 1 sone est la sonie d’un son binaural de fréquence 1000 Hz à 40 dB.L’expression (2.1) est valable pour des niveaux de pression compris entre 30 dB et 120 dB etégalement pour des sons purs de fréquence supérieure à 1000 Hz.

2.1.1.2 Sonie d’un son complexe

Dans l’évaluation expérimentale de la sonie de sons complexes, les travaux ont généralementrecours à une méthode de comparaison qui consiste à demander à des sujets de comparer lasonie d’un son étalon à celle d’un son complexe dont on fait varier la composition spectrale.Notamment, certaines études ont montré que deux sons purs de fréquence différente et de mêmeniveau, présentés simultanément, ont une sonie constante tant que leur écart en fréquence nedépasse pas une certaine valeur, appelée bande critique [BCDS89] ; leur sonie est égale à lasonie qu’aurait un seul son pur de fréquence égale à la fréquence centrale de la bande critique.Pour un écart entre les deux sons supérieur à la bande critique, leur sonie devient supérieure àcelle d’un seul son pur à la fréquence centrale de la bande critique. Ces expériences ont permis

1S. S. Stevens. The direct estimation of sensory magnitudes - Loudness. American Journal of Psychology,69 :1-25, 1956 (cité dans [BCDS89]).

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2.1. Les sensations liées à la perception auditive : quelques éléments de psychoacoustique

de présumer que, dans son mode de fonctionnement, notre système auditif périphérique seraitéquivalent à une série de filtres passe-bandes, dont les bandes passantes auraient la largeur desbandes critiques. Si l’énergie portée par les composantes spectrales du son complexe se répartitsur plusieurs bandes critiques, l’excitation totale équivaut alors à la somme des excitationsinduites dans ces différentes bandes critiques [BCDS89]. Plusieurs modèles de calcul de la soniede sons complexes ont été développés à partir de ces constatations [MG96, ZF99]. Le modèleproposé par Zwicker (présenté dans [ZF99]) est abordé dans la section 2.1.3.1.

2.1.2 Perception de la hauteur

En général, par hauteur on entend la position d’un son sur une échelle. Ce terme estemployé au sens de la physique, il est associé à la fréquence du son. La grandeur sensoriellequi exprime la sensation de hauteur est la hauteur tonale [ZF81].

2.1.2.1 Hauteur tonale des sons purs

La norme AFNOR2 définit la hauteur tonale comme “le caractère de la sensation auditiveliée à la fréquence d’un son périodique, qui fait dire que le son est aigu ou grave selon quecette fréquence est plus ou moins élevée”. Plus précisément, on peut dire pour un son purque la hauteur tonale est l’attribut auditif sur la base duquel il est possible de lui apparierpar ajustement de fréquence un autre son pur différant par le niveau d’intensité [BCDS89].Toutefois, certaines études révèlent que la qualité “grave/aigü”, aussi appelée tonie, ne suffitpas à représenter en totalité la hauteur tonale d’un son pur ; l’existence d’une seconde qualitéde hauteur tonale, le chroma, qui peut se voir comme un élément constituant de la mélodie,est soutenue pour expliquer l’impression d’équivalence perceptive entre deux sons purs séparéspar une octave3 [McA94].

2.1.2.2 Hauteur tonale des sons complexes

La hauteur tonale d’un son quelconque correspond à la hauteur tonale d’un son pur subjec-tivement apparié au son quelconque [McA94]. L’expérience montre que différentes sensationsde hauteur peuvent être évoquées à l’écoute d’un son complexe.

Pour un son complexe périodique4 (SCP), deux qualités de hauteur tonale sont évoquéesspontanément (i.e. leur appréhension ne nécessite pas un effort d’attention élevé dans l’écoute5)[BCDS89] :

2AFNOR. Recueil Des Normes Françaises de L’acoustique, Tome 1 (Vocabulaire), NF S 30-107. AFNORÉditions, Saint-Denis La Plaine, France, 1977 (cité dans [BCDS89]).

3i.e. entre deux sons purs dont le rapport de fréquences est 2.4De nombreux bruits environnementaux sont des sons complexes périodiques.5On parle également d’écoute synthétique.

21


i) la hauteur brute comme qualité “grave/aigü ”6 ou qualité de brillance liée au centre degravité de son spectre.

ii) la hauteur fondamentale ou virtuelle (virtual pich en anglais) comme élément consti-tuant de sa mélodie7. Pour un SCP harmonique, la hauteur fondamentale est étroitementliée à la valeur de sa fréquence fondamentale physique. Par contre, pour un SCP inhar-monique, la hauteur fondamentale est éloignée de la sensation de hauteur évoquée parun son pur à la fréquence fondamentale physique du son complexe.

A la différence de la hauteur brute, la perception de la hauteur fondamentale fait l’objet d’unapprentissage [BCDS89].

En outre, au prix d’un effort d’attention plus important dans l’écoute8, il est possibleà l’auditeur de discerner au sein d’un son complexe certains sons purs qui le composent,présentant leur propre hauteur tonale. Pour qualifier la hauteur tonale évoquée par un sonpur qui est une composante spectrale du son complexe, on utilise l’expression hauteur spectrale[BCDS89].

La hauteur fondamentale de sons complexes (harmoniques ou inharmoniques), ainsi queles hauteurs spectrales, peuvent être extraites à l’aide d’un algorithme développé par Terhardtet al. [TSS82] (Cf. section 2.1.3.3). Cet algorithme est basé sur un modèle de codage spectralde la hauteur tonale des sons ; d’autres modèles ont recours à un codage temporel ou spectro-temporel, plus approprié pour évaluer la hauteur tonale de bruits modulés en amplitude parexemple. Pour une revue des différents modèles avec leurs avantages et inconvénients, onpourra se référer à [McA94].

2.1.3 Les métriques psychoacoustiques

Nous allons décrire ici les métriques que nous serons amenés à calculer afin d’aider àl’identification des attributs auditifs pouvant expliquer pertinemment les résultats des testsd’écoute (Cf. section 6.1.4).

2.1.3.1 La sonie et l’acuité de sons stationnaires

Le modèle de la sonie de Zwicker (présenté dans [ZF99]) pour des sons complexes estspécifié dans la norme ISO532B. Le modèle repose sur les principales hypothèses suivantes : i)l’étendue et l’amplitude de l’excitation induite par un son de fréquence donnée, présenté seul,peut être déduite du pattern de masquage exercé par ce son sur d’autres sons de fréquencedifférente, ii) la quantité d’excitation induite par un son détermine sa sonie [BCDS89]. Le calculde la sonie se décompose en plusieurs grandes étapes. Tout d’abord, un filtre est appliqué pourprendre en compte la fonction de transfert entre l’oreille externe et l’oreille moyenne. Puis, à

6La hauteur brute d’un SCP s’apparente à la qualité tonie de la hauteur tonale d’un son pur.7La hauteur fondamentale d’un SCP s’apparente à la qualité chroma de la hauteur tonale d’un son pur.8On parle alors d’écoute analytique.

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2.1. Les sensations liées à la perception auditive : quelques éléments de psychoacoustique

partir des niveaux physiques en bandes de tiers d’octave, le pattern d’excitation est déterminéen composant les patterns de masquage exercés par les niveaux physiques dans les différentesbandes, et ce en respectant les règles de masquage9. L’échelle physique de fréquence (en Hz)est ensuite transformée en une échelle fréquentielle non linéaire, appelée échelle des barks,les barks correspondant aux différentes bandes critiques (au nombre de 24). Puis, la soniespécifique est calculée à partir du niveau d’excitation suivant une loi de puissance. Enfin, lasonie du son est calculée en intégrant la sonie spécifique sur la totalité du spectre.

L’acuité est un indicateur de la balance spectrale entre les basses et les hautes fréquences.Aussi, elle est souvent employée pour décrire l’attribut “brillance” du timbre [VB74]. Cettemétrique est calculée à partir du pattern de sonie :

S = 0.11

∫ 24 Bark

0N ′g(z)z dz∫ 24 Bark

0N ′ dz

(2.2)

où S est l’acuité en acums, z est la fréquence exprimée en barks, N ′ est la sonie spécifiqueen sones/bark. g(z) est une fonction de pondération favorisant les bandes critiques en hautesfréquences. Une acuité de 1 acum correspond à l’acuité d’un bruit à bande étroite de niveauglobal 60 dB, de fréquence centrale 1000 Hz et avec une largeur de bande inférieure à 150 Hz.

Le modèle d’acuité (2.2) ne permet pas de tenir compte de l’influence de la sonie (N)sur l’acuité ; en effet, du fait de l’apparition de la sonie spécifique (N ′) au numérateur et audénominateur, l’acuité varie très peu en fonction de la sonie. Aussi, une modification a étéproposée par Aures [Aur85] pour mieux prendre en compte dans le modèle d’acuité l’influencede la sonie sur l’acuité :

S = 0.11

∫ 24 Bark

0N ′g′(z)z dz

ln(

N + 2020

) (2.3)

où N est la sonie en sones, g′(z) est définie par :

g′(z) = 0.066e0.171z (2.4)

Nous utiliserons par la suite cette expression de l’acuité.

2.1.3.2 Le centre de gravité spectral

Le centre de gravité spectral (CGS) est un paramètre analytique également souvent utilisépour décrire l’attribut “brillance” du timbre. De manière générale, le CGS est défini comme la

9Notamment, un son masque l’excitation due à un autre son uniquement dans la zone où son propre patternd’excitation présente un niveau supérieur à celui de l’autre son.

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moyenne des fréquences du spectre fi (exprimées en Hz [Rou99] ou en barks [Fre90]) pondéréespar leur amplitude Ai :

CGS (Hz ou barks) =

∑i

Aifi∑i

Ai

(2.5)

2.1.3.3 La hauteur fondamentale

Terhardt et al. [TSS82] proposent une procédure d’extraction de la hauteur fondamentalebasée sur la théorie, exposée dans la section 2.1.2.2, selon laquelle la sensation de hauteurdépend à la fois d’une perception analytique (décomposition en hauteurs spectrales) et d’uneperception synthétique du son, i.e. les composantes spectrales dominantes du son sont regrou-pées et coordonnées pour former une image sonore unique, caractérisée par une seule hauteur,i.e. la hauteur fondamentale. Ainsi, l’algorithme produit deux types de patterns, complémen-taires. Le pattern des hauteurs spectrales représente les poids affectés aux hauteurs spectralesassociées aux différentes composantes tonales dominantes du spectre ; les poids renseignentsur la prépondérance relative des hauteurs spectrales en présence. Ce pattern est déterminévia un processus d’analyse spectrale spécifique basé sur des critères psychoacoustiques dont lemasquage fréquentiel et la dominance spectrale (phénomène qui traduit la sensibilité accrue del’oreille humaine dans une certaine zone de fréquences). A partir du pattern des hauteurs spec-trales, le pattern des hauteurs fondamentales est déterminé en partant du principe suivant :la hauteur fondamentale peut être vue comme la mieme sous-harmonique (m = 1...M) d’unehauteur spectrale prépondérante i (i = 1...R) du pattern des hauteurs spectrales. Au total,l’algorithme teste R × M hauteurs fondamentales possibles et évalue pour chacune d’entreelles un “poids”, qui renseigne sur sa pertinence. Notamment, le pattern des hauteurs fonda-mentales représente les différentes hauteurs tonales qui seraient indiquées par des sujets lorsde tests d’écoute.

2.1.3.4 La rugosité et la force de fluctuation

La rugosité (R) traduit une sensation liée à l’enveloppe temporelle des sons et plus pré-cisément la sensation de modulation en amplitude d’un son, cette fréquence de modulationétant comprise entre 15 et 300 Hz [ZF99]. La rugosité s’exprime en aspers ; un son pur à1000 Hz, de niveau de pression acoustique 60 dB, modulé en amplitude avec une fréquencede modulation de 70 Hz et un taux de modulation égal à 1, a une rugosité égale à 1 asper.Pour des fréquences de modulation inférieures à 15 Hz, la sensation de modulation est plutôtreflétée par la force de fluctuation (F ) [ZF99]. La force de fluctuation est exprimée en vacils ;un son pur à 1000 Hz, de niveau de pression acoustique 60 dB, modulé en amplitude avec unefréquence de modulation de 4 Hz et un taux de modulation égal à 1, a une force de fluctuation

24

2.2. La mesure des sensations liées à la perception auditive : quelques éléments de psychométrie

égale à 1 vacil.

Les modèles avancés pour le calcul de la rugosité se basent sur les différences de niveaud’excitation provoquées par la modulation ; les modèles les plus couramment utilisés sont ceuxde Aures10, Zwicker et Fastl [ZF99] et Daniel et Weber [DW97]. Ces derniers proposent plu-sieurs modifications substantielles du modèle d’Aures qui permettent d’améliorer l’adéquationdes prédictions de la rugosité aux données subjectives, notamment pour des bruits blancs ;pour une revue des différences existant entre les différents modèles, on pourra se référer à[DW97].

Dans leur ensemble, les modèles de rugosité et de force de fluctuation mentionnés ci-avant ne permettent pas de retranscrire de manière satisfaisante les sensations de modulationévoquées à l’écoute de sons complexes autres que des sons purs modulés en amplitude ou enfréquence, des bruits passe-bande et des bruits blancs.

2.2 La mesure des sensations liées à la perception auditive :quelques éléments de psychométrie

La psychométrie est définie comme l’ensemble des théories et des méthodes de la mesureen psychologie [DTFK94]. Ces méthodes permettent en particulier d’évaluer, de quantifier lesréactions ressenties par les personnes vis-à-vis d’un stimulus, d’une opinion, d’un concept,etc. L’évaluation de sensations comporte trois grandes étapes. La première étape consiste àcollecter l’information brute, c’est à dire à récolter les observations données par des sujetssur des items11. Nous verrons ainsi succinctement les différents dispositifs d’observation ex-périmentaux qui peuvent être mis en place dans cette perspective (Cf. section 2.2.1). Puis laseconde étape consiste à transformer ces observations en données. Selon le dispositif employé,les observations peuvent directement constituer des données analysables ; dans le cas contraire,elles doivent être prétraitées pour devenir des données exploitables, dont la forme se prête àl’analyse [TD93]. La dernière étape consiste à transformer les données pour l’interprétationen appliquant un modèle de mesure ou d’analyse de données (Cf. sections 2.2.2 et 2.2.3).

2.2.1 Les dispositifs d’observation

Tout dispositif d’observation est composé d’un dispositif de présentation et d’un dispositifde réponse ; l’activité du sujet est orientée et contrainte par les modalités de ces deux dispositifset par les consignes qui apportent des spécifications supplémentaires [TD93].

10W. Aures. Ein Berechnungsverfahren der Rauhigkeit. Acustica, 66(1) :268-281, 1985 (cité dans [DW97]).11Le terme “item” regroupe les notions d’“excitant”, de “stimulus”.

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2.2.1.1 Le dispositif de présentation

Le dispositif de présentation comprend la façon dont les stimuli sont présentés au sujet etle contenu des items. Il existe plusieurs types de présentation ; certains sont décrits ci-après[TD93] :

– Présentation par stimulus unique. Le sujet fait face à un seul stimulus à la fois : la tâchedemandée au sujet ne requiert aucune mise en relation avec les autres stimuli. Les testsd’écoute avec présentation par stimulus unique ont l’avantage d’être relativement courts.Cependant, l’inconvénient majeur est l’absence de stimulus de référence qui peut rendrela tâche de jugement difficile pour le sujet.

– Présentation des stimuli par paires. La présentation des stimuli par paires sollicite de lapart du sujet un jugement comparatif entre les deux membres de la paire. L’un des deuxstimuli peut servir de référence ; il sera possible de construire, seulement, une échelleunidimensionnelle de la sensation. Il peut aussi être demandé au sujet de considérer lapaire de stimuli dans son ensemble comme un stimulus unique et d’émettre un jugementde (dis)similarité sur la paire ; il sera alors possible d’obtenir l’espace perceptif à partirde l’analyse des réponses au test. Le nombre total de paires présentées au sujet est égalà n(n−1)

2 (avec n, nombre d’éléments), ce type de présentation est donc beaucoup pluslourd que la présentation par stimulus unique.

– Présentation de l’ensemble des stimuli. Le sujet dispose de l’ensemble des stimuli poureffectuer sa tâche de jugement. Il peut être amené à les ordonner selon un critère donné,à les trier en catégories ou encore à en choisir un ou plusieurs parmi l’échantillon.

2.2.1.2 Le dispositif de réponse

Par dispositif de réponse on entend tous les supports qui conservent la trace des réactionsdes sujets. Les dispositifs de réponse peuvent être répertoriés selon la qualité mathématiquedes réponses des sujets ; l’observation peut être de niveau nominal (catégoriel), ordinal oumétrique [TD93] :

– L’observation est nominale (catégorielle). Le sujet exprime une réponse qualitative entermes de catégories. Suivant le protocole expérimental, le choix entre plusieurs caté-gories pré-établies ou la possibilité de constituer ses propres catégories peuvent êtreproposées au sujet.

– L’observation est ordinale. Le sujet donne une réponse qui exprime un ordre ; celui-cipeut découler de l’ordination d’un ensemble de stimuli ou de l’expression d’une domi-

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nance entre deux éléments.

– L’observation est métrique. La réponse du sujet exprime une information d’intervallesou de rapports. Les échelles d’intervalles ne comportent pas d’origine absolue et peuventsubir toute transformation du type y = ax+ b (a 6= 0) tandis que les échelles de rapporten comportent une et peuvent subir toute transformation du type y = ax (a 6= 0).

2.2.1.3 Exemples de dispositifs d’observation

Nous abordons ici quelques exemples de dispositifs d’observation découlant de l’associa-tion d’un dispositif de présentation et d’un dispositif de réponse. Le lecteur pourra trouver àtravers les références citées des illustrations concrètes d’utilisation de ces différents dispositifsdans des domaines de recherche liés à la qualité sonore ou à la gêne sonore.

– Méthode d’estimation directe des grandeurs. Les stimuli sonores sont présentés un à unet aléatoirement aux sujets, qui évaluent pour chaque stimulus la magnitude d’un attri-but par un nombre proportionnel à la sensation liée à cet attribut. Pour une meilleurefiabilité des résultats, il peut être demandé aux sujets d’effectuer deux fois le test. Lesvaleurs jugées sont du niveau des rapports, les résultats de chaque sujet sont norma-lisés avant d’être moyennés. On peut éviter cette normalisation en présentant un sonde référence aux sujets avant le test ; dans ce cas, les sujets doivent juger la sensationproduite par l’écoute des stimuli proportionnellement à la sensation produite par le sonde référence. Cette méthode est souvent utilisée pour obtenir une évaluation directe del’agrément/désagrément ou de la gêne sonore [BHP94, HMCM02, IM06, ZES04].

– Méthode de comparaison par paires. Le dispositif d’observation de la méthode de compa-raison par paires a été développé par Thurstone [Thu27b]. Les stimuli sont présentés parpaires aux sujets qui doivent donner un jugement de dominance entre les deux stimuli(réponse de niveau ordinal). La tâche des sujets reste assez simple, malgré le nombre im-portant de jugements. Ce type de procédure est souvent utilisé pour évaluer un attributdes sons (la préférence ou l’agrément/désagrément par exemple) sur une échelle unidi-mensionnelle métrique [EMD04, FMF05, HSP+02, MHC01] (voir aussi section 2.2.2).Il est également possible de demander aux sujets d’évaluer la dissimilarité entre lesdeux stimuli de la paire. Ce type d’information, particulièrement recherché [CHMD04,FMF05, HSA02, MCR04, SMW99], permet de construire l’espace perceptif multidimen-sionnel d’un panel de sons (via l’utilisation de techniques d’échelonnement multidimen-sionnel, Cf. section 2.2.3) et de déterminer ainsi les attributs auditifs qui influent sur laperception. L’échelle d’évaluation présentée aux sujets peut être une droite réprésentantle continuum subjectif dont les extrémités désignent des sons jugés très similaires ou trèsdifférents ; dans ce cas, l’observation est du niveau métrique des rapports. Cette échelle

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peut aussi être une échelle de catégories numériques ou verbales. Selon que la taille dechaque échelon est perçue comme identique ou non par les sujets, les données serontrespectivement considérées comme du niveau métrique ou du niveau ordinal.

– Méthode d’évaluation directe multidimensionnelle. Les stimuli sont présentés un à un etaléatoirement aux sujets. Il leur est demandé d’évaluer chaque stimulus selon un nombreimportant d’attributs d’ordre perceptif (e.g. sonie, brillance, clarté, etc.) ou d’ordre af-fectif (e.g. désagrément, monotonicité, stress, etc.), susceptibles de caractériser les sti-muli du corpus étudié. Les échelles d’évaluation associées aux différents attributs sontprésentées simultanément ; par rapport à la méthode d’évaluation directe unidimension-nelle, où un seul attribut est évalué sur une seule échelle, la combinaison possible desréponses sur les différentes échelles pour former un index fait que l’on qualifie cette mé-thode de multidimensionnelle [Gus97]. Comme mentionné à l’alinéa précédent, il peuts’agir de droites réprésentant le continuum subjectif des attributs (échelles métriques)ou d’échelles à plusieurs catégories ordonnées verbales ou numériques avec des labelsaux extrémités12,13. En outre, chaque attribut à évaluer peut être décrit par un adjectifseul ; l’échelle est alors unipôlaire [BRTM02, Ber06, BL05, GHBKL90]. Chaque attributpeut aussi être décrit par deux adjectifs de sens opposé (e.g. “agréable/désagréable”) ;l’échelle est alors bipôlaire14 [Bis97, BCSF00, Rai02, Que01, ZH01].Par leurs réponses, les sujets dressent ainsi un profil sensoriel15 ou sémantique16 pourchaque stimulus, selon que que les échelles sont unipôlaires ou bipôlaires. Les réponsessont alors, si nécessaire, transformées en données numériques. Puis, typiquement, uneanalyse factorielle des réponses est réalisée afin de déterminer les facteurs importantsvis-à-vis de la qualité sonore. Chaque facteur saillant peut être associé à plusieurs ad-jectifs (ou couples d’adjectifs) corrélés entre eux.

– Méthode du tri subjectif (ou de catégorisation). Tous les stimuli sont présentés simul-tanément au sujet. Il lui est demandé de les trier en différentes catégories. Le nombrede catégories peut être fixé au préalable par l’expérimentateur ou alors laissé à l’appré-ciation du sujet lors du test. On peut préciser dans une consigne le(s) critère(s) selonle(s)quel(s) le sujet doit effectuer son tri. L’inconvénient de cette méthode réside dansla faiblesse du niveau de l’information recueillie (niveau catégoriel) ; l’utilisation de cedispositif est néanmoins avantageuse dans les études où le nombre d’éléments à analyserest important. Dans le domaine de la qualité sonore, cette technique est souvent em-

12Un nombre de catégories compris entre 5 et 9 est conseillé [CI80].13De même, les échelles de catégories peuvent être assimilées à des échelles d’intervalles si la taille de chaque

échelon est perçue comme identique.14Pour ce type d’échelle, on parle de méthode du différentiel sémantique.15Sensory profile ou attribute profile en anglais, Cf. [Ber06, BL05].16Polarity profile en anglais, Cf. [BCSF00].

28


ployée dans le but de différencier des sons suivant leur signature sonore (i.e. leur timbre)[GCG97, Hou03, Koe05, LSWM03].

– Méthode d’évaluation “mixte”. Tous les stimuli sont également présentés de manière si-multanée au sujet. Il lui est demandé d’évaluer chaque stimulus suivant un attributspécifié par l’expérimentateur, et ce sur une échelle métrique associée à chaque stimu-lus. Dans le domaine de la qualité sonore, cette procédure a été utilisée pour évaluerl’agrément de sons [BHL98] ; cette procédure donne dans cette situation des résultatssemblables à ceux obtenus par une procédure de comparaison par paires [PHS05]. Parla suite, cette procédure a été adaptée pour permettre l’évaluation de la dissimilarité desons par rapport à un son de référence [KP06]. Le terme “mixte” traduit la possibilitélaissée à l’auditeur de combiner évaluation absolue et évaluation comparative dans lepremier cas d’utilisation, et de procéder à une double évaluation comparative (compa-raison des sons par rapport à la référence et comparaison des sons entre eux) dans lesecond cas.

2.2.2 Les modèles de choix probabilistes

Dans le champ de la psychologie expérimentale, diverses et multiples théories probabilistesont été développées pour modéliser le comportement d’un individu dans une situation de choix[LS65]. Dans le domaine de la qualité sonore, il est souvent recherché une mesure unidimen-sionnelle d’un attribut donné sur la base de jugements de dominance prononcés sur des pairesde stimuli. A cet effet, les chercheurs recourent souvent à certains modèles probabilistes ; cesderniers peuvent se répertorier dans la famille des modèles à utilité aléatoire [LS65] — RandomUtility Models (RUM) en anglais. Dans ce qui suit, nous commencerons par rappeler quelquesgénéralités sur les modèles RUM, notamment leurs principales hypothèses. Puis, nous présen-terons la loi du jugement comparatif de Thurstone et le modèle de Bradley-Terry, des modèlesde mesure unidimensionnelle souvent utilisés dans le domaine de la qualité sonore.

2.2.2.1 Généralités sur les modèles RUM

Soit un attribut A donné (quantitatif ou qualitatif). Un modèle RUM implique les princi-pales hypothèses suivantes [LS65, Dav88] :

i) Il existe une échelle (ou continuum) psychologique de A sur laquelle tout stimulus Si

possède une valeur “vraie” Ai. Un stimulus Si domine un autre stimulus Sj selon l’attri-but A (i.e. “Si > Sj”) si, sur cette échelle, Ai > Aj .

ii) La valeur “vraie” Ai, telle que ressentie par un sujet, varie d’une présentation à l’autredu stimulus Si et peut être représentée par une variable aléatoire yi.

iii) Dans une comparaison par paires des stimuli Si et Sj , “Si > Sj” si yi > yj . Le jugement

29


“Si > Sj” intervient avec une probabilité πij , donnée par :

πij = Prob yi > yj (2.6)

πij = Prob yj − yi < 0 (2.7)

où la différence yj − yi, notée ci-après yj−i, est également une variable aléatoire. SoitHyj−i(x) la fonction de répartition de la variable aléatoire yj−i définie par :

Hyj−i(x) = Prob yj−i < x

On peut ré-écrire l’expression (2.7) comme suit :

πij = Hyj−i(0) (2.8)

2.2.2.2 La loi du jugement comparatif

La loi du jugement comparatif a été proposée par Thurstone [Thu27a]. Elle est originelle-ment associée à la technique de comparaison par paires [Thu27b]. Sur la base de jugements dedominance prononcés sur les paires de stimuli, elle permet d’obtenir, pour l’attribut A étudié,une échelle unidimensionnelle métrique du niveau d’intervalles.

Reprenons les éléments mentionnés dans la section précédente. Thurstone considère que i)les variables aléatoires yi et yj suivent respectivement les lois normales N (Ai, σi) et N (Aj , σj),et ii) la variable yj−i suit une loi normale N (Aj−i, σj−i), i.e. de moyenne :

Aj−i = Aj −Ai (2.9)

et d’écart-type :σj−i =

√σ2

i + σ2j − 2rijσiσj (2.10)

où rij est la corrélation entre les variables aléatoires yi et yj .

Dans l’équation (2.8), Hyj−i dénote désormais la fonction de répartition de la loi normaleN (Aj−i, σj−i). L’équation (2.8) peut encore se ré-écrire comme suit :

πij = Φ(−Aj−i

σj−i

)(2.11)

où Φ est la fonction de répartition de la loi normale centrée-réduite N (0, 1).

Ainsi, en composant les deux membres de l’équation (2.11) par la fonction de répartitioninverse de la loi normale centrée-réduite N (0, 1), i.e. Φ−1(x), on obtient l’expression suivante :

Φ−1 (πij) =−Aj−i

σj−i(2.12)

30


où Φ−1 (πij) est la valeur de la fonction Φ−1(x) au point d’abscisse πij , appelée score centré-réduit (zij).

En injectant (2.9) et (2.10) dans (2.12), l’équation fondamentale de la loi du jugementcomparatif s’écrit alors :

Ai −Aj = zij

√σ2

i + σ2j − 2rij σi σj (2.13)

D’un point de vue pratique, l’équation (2.13) est inutilisable. En effet, l’expérience permetseulement de disposer d’une estimation pij de la probabilité πij que “Si > Sj” (voir ci-aprèspour son obtention). Ainsi, dans l’équation (2.13), seule la quantité zij peut être estimée.Pour la comparaison de n stimuli par paires, le système des n(n−1)

2 équations (2.13) formuléespour les n(n−1)

2 différentes paires de stimuli Si et Sj possibles ne peut être résolu car tropd’inconnues subsistent (i.e. n termes Ai, n termes σi et n(n−1)

2 termes rij).Aussi, Thurstone [Thu27a] a développé différents cas, en introduisant des postulats sup-

plémentaires qui permettent d’obtenir une solution au problème. Notamment, le cas V, à lafois le plus simple et le plus utilisé, suppose que i) les variables aléatoires yi et yj sont indé-pendantes, i.e. les corrélations rij sont nulles, et ii) l’écart-type de la distribution normale dela variable aléatoire yj−i est constant et égal à 1, ∀(i, j). Pour ce cas, l’équation fondamentalede la loi du jugement comparatif (2.13) s’écrit alors :

Ai −Aj = zij (2.14)

Désormais, la quantité zij exprime directement la différence entre les valeurs “vraies” Ai et Aj

des stimuli Si et Sj , i.e. une estimation pij de la probabilité πij que “Si > Sj” est suffisantepour résoudre le problème. Dans la pratique, cette estimation est donnée par la proportion“observée” de jugements “Si > Sj”, définie comme le rapport entre le nombre de sujets ayantémis le jugement “Si > Sj” et le nombre total de sujets ayant participé au test de comparaisonpar paires.

2.2.2.3 Le modèle de Bradley-Terry

Bradley et Terry17 ont avancé un autre modèle, tout aussi répandu que le modèle deThurstone, qui conduit pour l’attribut A à une échelle unidimensionnelle métrique du niveaudes rapports. Notamment, la probabilité πij que “Si > Sj” est donnée par :

πij =πi

πi + πj(2.15)

où les termes πi et πj sont les valeurs “vraies” des stimuli Si et Sj sur l’échelle du niveau desrapports.

17R.A. Bradley and M.E. Terry. The rank analysis of incomplete bock designs. I. The method of pairedcomparisons. Biometrika, 39 :324-345, 1952 (cité dans [Dav88]).

31


La relation (2.15) peut être retrouvée en reprenant le développement introduit dans lasection 2.2.2.1.

Le modèle de Bradley-Terry postule que les variables aléatoires yi et yj suivent des loisdouble-exponentielle (ou de Laplace) respectivement de moyenne Ai et Aj . Aussi, la fonctionde répartition Hyj−i(x) de la variable aléatoire yj−i — dont la distribution a pour moyenneAj−i — est donnée par (d’après [Dav88]) :

Hyj−i(x) =∫ x

−∞sech2(

12

(x−Aj−i) dx (2.16)

où la fonction sech(x) équivaut à1

cosh(x).

Ainsi, après calcul de Hyj−i(0), l’équation (2.8) devient :

πij =12

[1 + tanh

(12(Ai −Aj)

)](2.17)

On obtient alors :Ai −Aj = ln

(πij

1− πij

)(2.18)

On observe ainsi que la différence entre les valeurs “vraies” Ai et Aj s’exprime simplementcomme une fonction logit18 de la probabilité πij . En posant Ai = ln πi, on retrouve l’expression(2.15).

2.2.2.4 Construction d’une échelle de préférence

Considérons que l’attribut étudié, dénoté A ci-avant, est la préférence. Un corpus de n

stimuli sonores est présenté à un jury de N sujets selon la méthode de comparaison par paires(soit n(n−1)

2 paires). Pour chaque paire, les sujets donnent un jugement de dominance entreles deux stimuli selon la préférence, i.e. expriment un choix dichotomique entre le premier etle second son de la paire. Les réponses sont conditionnées dans une matrice de proportions“observées” P de dimension n× n [Dav88] :

P =

p11 p12 . . . p1j . . . p1n

p21 p22 . . . p2j . . . p2n

......

. . .... . . .

...pi1 pi2 . . . pij . . . pin

...... . . .

.... . .

...pn1 pn2 . . . pnj . . . pnn

18La fonction logit, i.e. notée logit(x), est définie comme suit :

logit(x) = lnx

1− x

32


où les proportions “observées” pij sont données par :

pij =fij

N(2.19)

où fij indique le nombre de sujets ayant préféré le son Si au son Sj et N le nombre total desujets ayant participé au test. Dans le cas où il est demandé au sujet d’évaluer la préférence surune échelle à 3 catégories (i.e. “premier son préféré”, “second son préféré”, “pas de préférence”),la proportion “observée” pij s’écrit [Dav88] :

pij =fij + 0.5 f∗ij

N(2.20)

où fij indique le nombre de sujets ayant préféré le son Si au son Sj , f∗ij indique le nombrede sujets n’ayant préféré aucun des 2 sons et N est le nombre total de sujets ayant participéau test. Les valeurs de la diagonale sont prises égales à 0.5 et les jugements sont supposéssymétriques, soit pij = 1 − pji. Ensuite, les proportions “observées” pij sont converties en i)scores réduits centrés zij (matrice Z), si le cas V de la loi du jugement comparatif est utilisé,ou en ii) valeurs logit lij (matrice L), si le modèle de Bradley-Terry est utilisé19. Les élémentszij ou lij expriment la différence entre les valeurs de mérite20 des stimuli Si et Sj . Cependant,la solution du système d’équations (2.14) ou (2.18) est surdéterminée (i.e. plus d’équations qued’inconnues). Aussi, ces équations peuvent être satisfaites “en moyenne” en posant [Dav88] :

ai =1n

n∑j=1

δij (2.21)

où δij désigne zij ou lij , selon le modèle utilisé ; les termes ai sont des estimations optimales,au sens des moindres carrés, des valeurs de mérite Ai (i = 1 à n) [Dav88]. Ainsi, dans lapratique, les valeurs de mérite estimées ai sont déterminées en moyennant les vecteurs colonnede la matrice Z ou L. Le continuum des valeurs de mérite estimées ai représente une échelleunidimensionnelle de l’attribut A, métrique du niveau d’intervalles21.

19Lorsque les proportions “observées” pij sont égales à 0 ou 1, les scores centrés réduits zij et les valeurs logitlij sont indéterminées (respectivement −∞ ou +∞) ; David [Dav88] recommande de les remplacer respective-ment par 1

2Net 1− 1

2N(N : nombre de sujets).

20Lorsque l’attribut étudié est la préférence (ou un autre attribut qualitatif comme l’agrément, le désagré-ment, ...), le terme valeurs de mérite est souvent employé, notamment dans le domaine de la qualité sonoredes habitacles automobiles [OAEL01], pour désigner les valeurs “vraies” des stimuli sur l’échelle psychologique ;par la suite, nous ferons usage de ce terme de manière récurrente.

21En fait, cette remarque est, d’une façon générale, valable pour tout modèle RUM pour lequel les variablesaléatoires yi (i = 1 à n) sont indépendantes et suivent une même loi de distribution, symétrique.

33


Concernant le modèle de Bradley-Terry, les estimations pi des valeurs de mérite πi — duniveau des rapports — peuvent être obtenues comme suit :

pi =eai

n∑j=1

eaj

(2.22)

Dans l’expression (2.22), la division par la sommen∑

j=1

eaj est introduite afin de respecter la

condition imposée par le modèle de Bradley-Terry, i.e.n∑

i=1

πi = 1 [Dav88].

2.2.3 Les modèles d’échelonnement multidimensionnel

Les modèles d’échelonnement multidimensionnel (E.M.D.) sont des modèles de représenta-tion spatiale [TD93]. Ces modèles effectuent une transformation sur des données de proximité22

pour les représenter dans un espace de dimensionnalité minimale. Communément, on peutdistinguer trois notions fondamentales : les données, la transformation, le type de modèle[Cox82].

– les données se présentent sous la forme d’une ou plusieurs matrices, symétriques ouasymétriques, carrées ou rectangulaires, etc.

– la transformation appliquée aux données est étroitement liée au niveau de la mesure (no-minal, ordinal, d’intervalles ou de rapports, Cf. section 2.2.1.2) ; elle peut être monotone,linéaire ou logarithmique.

– le type de modèle (de distance ou de produit scalaire) conditionne la façon selon laquelleles données pourront être interprétées.

Tout croisement des modalités prises par ces 3 notions donne un modèle E.M.D. différent ; lepanel de modèles d’échelonnement résultant est ainsi très large ; aussi, nous ne présenterons icique quelques exemples choisis de modèles, néanmoins assez illustratifs des jeux de combinaisonpossibles des 3 caractéritiques mentionnées ci-avant. Pour plus de lisibilité, les modèles sontrépertoriés suivant le type de données traité, dissimilarité (Cf. section 2.2.3.1) ou score (Cf.section 2.2.3.2).

2.2.3.1 Modèles d’échelonnement de données de type dissimilarité

Les modèles d’échelonnement traitant ce type de données sont des modèles de distance :les objets sont des points positionnés dans un espace euclidien et les distances euclidiennes

22Il peut s’agir de similarités, dissimilarités, scores, co-occurences, corrélations, etc.

34


entre les points représentent les données de dissimilarité. L’obtention d’une solution optimalepeut nécessiter l’utilisation d’un processus itératif.

Dans cette section, nous nous bornerons à décrire le modèle de base non métrique, pourillustrer le principe de fonctionnement d’un modèle E.M.D., et à aborder des modèles prenanten compte les différences individuelles, plus complexes, qui sont des extensions du modèle debase.

2.2.3.1.a Le modèle de base

Le modèle de base de Kruskal [Kru64a, Kru64b] porte sur des données ordinales (échelon-nement dit non-métrique). Ces données se présentent sous la forme d’une matrice carrée symé-trique (2 entrées23, 1 mode24), dont chacun des éléments indique la dissimilarité entre l’objet(ou stimulus) en ligne et l’objet en colonne.

La transformation monotone sur laquelle repose le modèle suppose que l’information signi-ficative se limite au seul ordre hiérarchique des éléments de la matrice de données. Comme lesdonnées sont toujours entachées d’une certaine erreur, il n’est en général pas possible de cal-culer des distances reflétant parfaitement l’ordre des dissimilarités ; Kruskal emploie le termede “disparités” pour qualifier les valeurs approchées des distances.

Ainsi, l’objectif du modèle est de trouver une configuration de points dans l’espace de re-présentation, pour laquelle les distances inter-points reflètent au mieux l’ordre hiérarchique desdonnées. Les deux grandeurs “disparités” et “distances” sont reliées par l’expression suivante :

D = D+E (2.23)

où D est la matrice des disparités, D la matrice des distances et E la matrice d’erreurs.L’écart moyen entre les distances et les disparités, mesuré par le stress, permet d’évaluer laqualité de la solution obtenue. L’algorithme itératif proposé par Kruskal [Kru64b] chercheainsi à déterminer une solution (i.e une configuration de points), pour laquelle le stress estminimal.

2.2.3.1.b Les modèles prenant en compte les différences individuelles

A partir du modèle de base, des modèles permettant l’étude simultanée de plusieurs ma-trices individuelles de données à 2 entrées et 1 mode25 sont vite apparus.

L’un des plus répandus, nommé INDSCAL (INdividual Difference Scaling), a été développépar Carroll et Chang [CC70]. INDSCAL prend en compte les différences individuelles dans leséchelonnements, en postulant que les sujets (au nombre de N) ont utilisé les mêmes dimensionspour effectuer les jugements de (dis)similarité sur les paires de stimuli (au nombre de n). Le

23Le nombre d’entrées d’une matrice de données est simplement égal à sa dimensionnalité.24Le nombre de modes est le nombre d’ensembles d’objets distincts auxquels les données se réfèrent.25Ce qui équivaut à l’étude d’une matrice à 3 entrées et 2 modes ; l’un des modes est alors l’entité “stimulus”,

l’autre est l’entité “individu”.

35


modèle produit les coordonnées xjt des n stimuli dans l’espace commun à p dimensions (j = 1à n, t = 1 à p), ainsi que les pondérations wit des sujets (i = 1 à N , t = 1 à p) qui montrentl’importance que chaque sujet accorde à chacune des dimensions. Le modèle requiert des don-nées d’entrée métriques (i.e. du niveau d’intervalles ou des rapports). L’utilisation d’INDSCALn’a intérêt que si la dimensionnalité de l’espace est supérieure à 1 ; le cas échéant, le modèlen’apporte pas d’amélioration notable par rapport au modèle de base de Shepard-Kruskal.L’avantage majeur d’INDSCAL par rapport au modèle de base est de donner une significationpsychologique aux dimensions de l’espace perceptif de dissimilarité ; leur interprétation s’entrouve ainsi simplifiée. En effet, dans le modèle classique, les distances ne dépendent pas dessujets, le choix des axes est fait de manière arbitraire, le modèle est invariant en rotation ;par conséquent, les axes de l’espace n’ont pas obligatoirement de signification psychologiquedirecte. Dans le modèle INDSCAL, la pondération des distances, calculées à partir des coor-données des stimuli dans l’espace commun, par le poids “psychologique” accordé par les sujets àchaque dimension rend les axes directement interprétables comme dimensions psychologiques.Aussi, l’espace commun est souvent appelé “espace perceptif” dans les études de qualité sonore(Cf. par exemple [PHS05]). Pour plus de détails concernant l’algorithme itératif d’INDSCAL,on se reportera à la référence [CC70].

Ultérieurement, Takane et al. ont proposé le modèle ALSCAL26 (Alternating Least SquaresScaling) ; ce modèle repose sensiblement sur les mêmes postulats qu’INDSCAL, mais, parrapport à INDSCAL, il permet aussi de traiter des données de niveau ordinal ou nominal. Enoutre, à la différence de l’algorithme itératif d’INDSCAL dont le critère d’arrêt des moindrescarrés porte sur des produits scalaires, celui de l’algorithme d’ALSCAL porte sur les carrésdes disparités (dans le sens employé par Kruskal) et des distances euclidiennes pondérées.

Certaines études basées sur des simulations de Monte Carlo se sont intéressées à compa-rer INDSCAL et ALSCAL quant à leur aptitude à recouvrer la structure vraie de donnéesde dissimilarité tandis que différents facteurs sont variés (e.g. la transformation monotonedes distances vraies en dissimilarités, le pourcentage d’erreur adjoint à la transformation, lenombre de sujets, le nombre de stimuli).

Notamment, Weinberg et Menil [WM93] mesurent le recouvrement à l’aide de deux indi-cateurs, portant sur les deux jeux de paramètres produits par ces modèles, i.e. les coordonnéesdes stimuli dans l’espace perceptif et la matrice des poids des sujets. Parmi les transformationstestées, une première est une transformation linéaire (satisfaisant les hypothèses d’INDSCAL),une seconde est une tranformation ordinale, les trois dernières sont des transformations nonlinéaires. Leurs résultats montrent que, pour chaque transformation étudiée, INDSCAL sur-classe ALSCAL de manière significative, et ce quelque soit les modalités prises par les autresfacteurs ; les auteurs soulignent la robustesse de l’algorithme INDSCAL vis-à-vis d’une viola-

26Y. Takane, F.W. Young, and J. De Leeuw. Nonmetric individual differences multidimensional scaling :An alternating least squares method with optimal scaling features. Psychometrika, 42 :7-67, 1977 (cité dans[CC01]).

36


tion de l’hypothèse de données du niveau d’intervalles et son utilisation possible pour traiterdes données de niveau ordinal.

2.2.3.2 Un exemple de modèle d’échelonnement de données de type score

Les modèles d’échelonnement traitant ce type de données peuvent être des modèles de dis-tance ou de produit scalaire. Les données se présentent (ou peuvent être réduites) sous la formed’une matrice rectangulaire à 2 entrées et 2 modes. Cette matrice, notée S, renferme des scores— nous supposerons dans la suite du propos qu’il s’agit de scores de préférence27 — donnéspar un jury d’auditeurs (N sujets, en lignes) à un ensemble de stimuli (n stimuli, en colonnes).

MDPREF28 appartient à la famille des modèles de produit scalaire [Cox82]. L’objectif dumodèle est de représenter dans un espace conjoint les stimuli et les sujets. Plus précisément,le modèle fournit une configuration de n points, représentant les stimuli, et de N vecteursunitaires passant par l’origine, représentant les sujets. Ces entités sont placées dans l’espaceles unes par rapport aux autres de manière à ce que les projections orthogonales29 des pointssur chaque vecteur soient en adéquation maximale avec les scores de préférence donnés parchaque sujet aux stimuli (Cf. figure 2.1). Les scores de préférence augmentent de manièrecontinue dans la direction du vecteur sujet ; plus un stimulus se projette “loin” sur le vecteur,plus il est préféré par le sujet.

L’algorithme de MDPREF repose sur la décomposition en valeurs singulières de la ma-trice de scores S suivant la procédure d’Eckart-Young30 ; en ce sens, MDPREF s’apparentefortement à l’Analyse en Composantes Principales (ACP) [EP98]. En effet, l’algorithme dé-termine par diagonalisation les valeurs propres des matrices de covariance majeure (i.e. leproduit SSt ) et mineure (i.e. le produit StS) et leurs vecteurs propres associés ; la magnitudedes valeurs propres, communes aux deux matrices de covariance, permet d’estimer le nombrer de facteurs principaux à retenir (Cf. section 6.1.4.3.a). Dans l’espace de représentation dedimensionnalité r, les composantes des vecteurs sujets sont déterminées en calculant le produitde la matrice des r premiers vecteurs propres de SSt par la matrice diagonale des r premièresvaleurs propres ; les coordonnées des points stimuli sont données par les composantes des r

premiers vecteurs propres de StS [New81].

27Il peut aussi s’agir de toute autre sorte de score, traduisant un jugement prononcé sur les stimuli par lessujets suivant un attribut donné (désagrément, force sonore, etc.).

28J. D. Carroll. Individual differences and multidimensional scaling. In R. N. Shepard, A. K. Romney, et S.B. Nerlove, éditeurs, Multidimensional Scaling : Theory and Applications in the Behavioral Sciences, volume1, pages 105-155. Seminar Press, New York and London, 1972 (cité dans [Cox82]).

29D’ou l’appellation “modèle de produit scalaire”.30C. Eckart and G. Young. The approximation of one matrix by another of lower rank. Psychometrika,

1 :211-218, 1936 (cité dans [Cox82]).

37


A

B C

1

2

3

Facteur 1

Facteur 2

Fig. 2.1 – Schéma illustratif d’un espace de représentation fourni par MDPREF. Soit le casd’un espace 2D dans lequel sont représentés trois stimuli A, B et C et trois sujets 1, 2 et 3.Dans cet exemple, les projections respectives des points A, B et C sur les vecteurs 1, 2 et 3reproduisent les scores de préférence donnés par les 3 sujets aux 3 stimuli.

2.3 Conclusions

Dans ce chapitre, nous avons rappelé les principales notions de psychoacoustique nécés-saires à la compréhension de la suite de ce travail et défini notamment les différentes métriquespsychoacoustiques auxquelles nous pourrons avoir recours pour expliquer les jugements pro-noncés par les sujets lors des tests d’écoute. Nous avons également exposé différentes méthodesd’évaluation en psychométrie couramment utilisées dans le domaine de la perception auditive,et spécifié leurs avantages et inconvénients. Enfin, plusieurs outils d’analyse ont été présentés(notamment des modèles de choix probabiliste, avec la loi du jugement comparatif et le modèlede Bradley-Terry, et des modèles d’échelonnement multidimensionnel). Certains de ces outilsseront utilisés pour exploiter les réponses récoltées lors des tests d’écoute basés sur la méthodede comparaison par paires (Cf. section 6.1).

38

Chapitre 3

La perception de sons rayonnés par desstructures vibrantes

Durant cette dernière décennie, de concert avec l’essor de la qualité sonore [BJ97] dansdivers domaines industriels, certaines études académiques, couplant vibro-acoustique et psy-choacoustique, se sont intéressées à examiner les relations entre les paramètres physiques destructures vibrantes simples, au comportement vibro-acoustique bien connu, et les attributs au-ditifs des sons rayonnés par ces structures. Ces études recourent notamment à l’utilisation deméthodes psychométriques issues du domaine de la psychologie expérimentale (vues dans lasection 2.2) pour mesurer les sensations auditives induites par la variation de ces paramètres.

Aussi, dans une première section, nous exposerons un état de l’art sur les effets de lavariation de paramètres physiques de structures vibrantes simples sur la perception auditive.Notamment, les premières études ont concerné des barres ou des plaques vibrantes ; nous nousbornerons ici à l’évocation des seules plaques. Les études les plus récentes sont relatives au casd’une plaque couplée à une cavité, auquel nous nous intéressons dans le cadre de ces travaux.Ces différents travaux diffèrent selon la nature du son (son stationnaire ou non-stationnaire)et selon le type d’excitation (mécanique ou acoustique) considérés.

Au-delà d’une évaluation des effets de la variation des paramètres physiques des structuresvibrantes sur la perception auditive, plusieurs de ces études couplant vibro-acoustique et psy-choacoustique ont particulièrement visé à optimiser la définition de paramètres de simulation(inhérente à l’utilisation d’outils de prédiction vibro-acoustique pour la génération des sons)vis-à-vis des besoins de la synthèse sonore et de l’évaluation auditive. Ces travaux, portant surune simple plaque bafflée ou sur une plaque couplée à une cavité, seront présentés dans uneseconde section.

39

Chapitre 3. La perception de sons rayonnés par des structures vibrantes

3.1 Influence de la variation de paramètres physiques sur laperception auditive

3.1.1 Cas d’une simple plaque

De nombreuses études couplant l’analyse du comportement vibro-acoustique d’une struc-ture et l’analyse de la perception des sons qu’elle rayonne se sont concentrées sur le cas d’unesimple plaque car cet élément constitue un composant de base d’un grand nombre de struc-tures (bardage, vitrage, tôle en acier ...). L’objectif de ces travaux a notamment été de dresserde premières tendances qualitatives pouvant servir de base pour l’étude de structures pluscomplexes.

3.1.1.1 Sons non-stationnaires

Roussarie [Rou99] s’intéresse à la perception de sons rayonnés par une plaque — infinie —,frappée par un maillet. Quinze stimuli sont construits à partir d’un modèle de synthèse quipermet de contrôler les différentes pertes énergétiques qui contribuent au phénomène d’amor-tissement (i.e. pertes viscoélastiques, thermoélastiques et par rayonnement). Deux paramètresmécaniques sont variés simultanément : l’amortissement et l’élasticité de la plaque ; de par laplage de variation choisie pour l’amortissement, les matériaux simulés constituant les diffé-rentes plaques sont des matériaux hybrides, entre l’aluminium et le verre.

L’analyse multidimensionnelle des jugements de dissemblance obtenus lors d’une premièreexpérience montre un espace perceptif à deux dimensions. La dimension 1 est liée à l’amortis-sement et corrélée au paramètre analytique P 0.3

α (Pα étant la pente de la droite du coefficientde décroissance de l’enveloppe temporelle α exprimé en fonction de la fréquence). La dimen-sion 2 est corrélée à la fréquence de l’émergence de niveau le plus élevé. À travers une secondeexpérience d’identification, l’auteur montre que l’amortissement structural est le paramètreprépondérant utilisé par les auditeurs pour reconnaître le matériau constitutif des plaques.

Meunier et al. [MHC01] étudient la relation entre les caractéristiques psychoacoustiquesdes sons émis par une plaque bafflée immergée dans un fluide lourd et l’agrément porté surles sons. L’étude traite également de l’influence de certains paramètres physiques des signauxacoustiques sur leur qualité sonore. Les auteurs ont synthétisé 15 sons harmoniques, pourlesquels la pression acoustique rayonnée par la plaque a été calculée à partir de l’accélérationvibratoire imposée à sa surface.

Dans un premier temps, deux séries de stimuli sont soumises successivement à un juryd’auditeurs qui estiment le désagrément des sons selon la méthode d’estimation directe desgrandeurs. Pour la première série, le niveau original des sons a été conservé (variation maximaleen sonie de 33.5 sones) ; pour la seconde série, les niveaux des sons ont été corrigés de manièreà ce que la variation en sonie soit réduite (9.3 sones). Les valeurs d’agrément obtenues sontcorrélées aux valeurs des métriques psychoacoustiques et physiques calculées (sonie, acuité,

40

3.1. Influence de la variation de paramètres physiques sur la perception auditive

niveaux de pression acoustique en dB et dB(A)). Il apparaît que, pour la série comportant defortes variations en sonie, la sonie et le désagrément induit par les sons sont très fortementcorrélés (r = 0.96). Cependant, les résultats obtenus pour la série comportant de faiblesvariations en sonie montrent que la sonie n’est pas la seule cause de désagrément : l’acuitésemble également influer sur le désagrément.

Pour explorer cette voie, les auteurs mettent en place une seconde expérience : les 15 sti-muli sont égalisés en sonie et soumis à des tests de similarité et de préférence selon la méthodede comparaison par paires. Il est également demandé aux auditeurs de juger l’agrément dessons selon la méthode d’estimation directe des grandeurs. L’espace perceptif issu de l’ana-lyse multidimensionnelle des données de similarité comporte trois dimensions : la premièredimension est fortement corrélée à la hauteur des sons (r = −0.93) ; la seconde dimension estcorrélée à leur balance spectrale1 (r = −0.82). La balance spectrale est estimée en calculantla différence entre le niveau de pression acoustique à la fréquence fondamentale et le niveaude pression acoustique de la somme des harmoniques. Cette métrique est bien corrélée à lamétrique acuité (r = −0.72) ainsi qu’aux valeurs de mérite (r = 0.86). Les valeurs d’agré-ment sont fortement corrélées aux valeurs de mérite (r = 0.96). Cette expérience montre que,en l’absence de variation de sonie, les paramètres prépondérants de l’espace perceptif sont labalance spectrale et la hauteur des stimuli sonores.

Canévet et al. [CHMD04] s’intéressent aux attributs auditifs et à la qualité de sons généréspar une plaque vibrante bafflée, excitée par une force mécanique impulsionnelle.

Les vibrations de la plaque et le champ de pression rayonné sont respectivement calculésselon la méthode de décomposition modale dans le domaine temporel et la formule intégrale deRayleigh-Kirchhoff. Dix-sept sons sont synthétisés, correspondant à différentes combinaisonsdes trois paramètres suivants : l’amortissement structural, le point d’impact de l’excitation etla durée de l’excitation. Une analyse temps-fréquence des signaux montre deux parties biendistinctes : une partie “transitoire”, qui constitue la réponse à la force excitatrice et une partie“résonante”, que les auteurs comparent à la partie réverbérante d’un signal dans une salle.Ces sons sont soumis à un test de dissimilarité selon la méthode de comparaison par paires.D’autre part, l’amortissement perçu et l’agrément des sons sont évalués par les auditeurs selonla méthode d’estimation directe des grandeurs.

L’analyse multidimensionnelle de la matrice de dissimilarité révèle un espace perceptif àtrois dimensions. La dimension 1 est associée à un attribut auditif des sons lié à l’amortisse-ment temporel de l’amplitude des signaux dans leur partie “résonante”, lui-même résultant del’amortissement structural de la plaque. De plus, la dimension 1 est clairement corrélée à lasonie partielle des composantes hautes-fréquences des signaux (barks 17 à 24). Tous ces élé-ments sont liés : l’augmentation de l’amortissement structural contribue à la fois à réduire ladurée et l’énergie en hautes-fréquences des signaux. La dimension 2 est liée au caractère tonal

1spectral balance en anglais dans le texte.

41


(tonality en anglais) des sons, qui dépend lui-même de la durée de l’excitation. La dimension3 est liée à un attribut du timbre des sons dans leur partie “transitoire” (brillance ou acuité).Enfin, les valeurs d’agrément des sons estimées sont fortement corrélées à l’amortissementstructural, négativement ou positivement selon les auditeurs : ceux qui n’ont considéré que lessons en eux-mêmes, sans chercher à caractériser la source, ont jugé les sons les moins amortiscomme étant les plus agréables ; les autres auditeurs ont plutôt jugé la structure à l’originedes sons et ont considéré les sons les plus amortis comme étant les plus agréables.

3.1.1.2 Sons stationnaires

Hamzaoui et al. [HSP+02] étudient l’influence de la variation de paramètres structurauxde plaques minces en acier sur la perception auditive.

Dans la première partie de l’étude, la plaque est excitée par une force mécanique ponc-tuelle avec un spectre de type bruit blanc dans la plage de fréquence [0,2000] Hz. La pressionrayonnée, calculée par la méthode intégrale de Rayleigh-Kirchhoff, est fonction des paramètresgéométriques et mécaniques de la plaque. Au total, 12 sons stationnaires variant simultané-ment en épaisseur (1 mm, 1.5 mm, 2 mm), amortissement (10−3, 10−2) et conditions auxlimites (simplement appuyée et encastrée), sont synthétisés et soumis à un test de préférenceselon la méthode de comparaison par paires. Les résultats montrent que l’amortissement struc-tural est un paramètre déterminant dans l’établissement de la préférence : les sons préféréssont les sons émis par les structures les plus amorties. L’épaisseur apparaît aussi comme unparamètre important ; un modèle de préférence basé sur ces deux paramètres explique lesvaleurs de mérite obtenues (R2=0.74).

Dans une seconde partie, les auteurs enregistrent avec un mannequin artificiel les sonsrayonnés par des plaques et des structures embouties, composées de matériaux différents. Cessons sont soumis à des tests de similarité et de préférence. Il est observé que la première di-mension de l’espace perceptif issu de l’analyse multidimensionnelle des données de similaritéest corrélée à la sonie (r2 = 0.90), ainsi qu’à la masse surfacique de la plaque (r2 = 0.80).D’autre part, les valeurs de mérite sont également corrélées à la sonie, ainsi qu’à l’amortisse-ment structural de la plaque. Cette étude met en relief l’effet prépondérant de l’amortissementsur la sonie des sons rayonnés, et la préférence des sujets pour les sons stationnaires les moins“forts”, émis par les structures les plus amorties.

Faure et Marquis-Favre [FMF05, MFF08] s’intéressent à la relation entre le comportementphysique d’une plaque et les attributs auditifs des sons qu’elle transmet.

Faure et Marquis-Favre étudient tout d’abord l’effet de la variation de paramètres structu-raux d’une plaque en acier sur la perception auditive, et en particulier l’épaisseur, le moduled’Young et l’amortissement structural [FMF05]. La plaque, incorporée dans un baffle infini etconsidérée comme simplement appuyée, est excitée par une onde acoustique incidente oblique

42


avec un spectre de type bruit blanc. Sa réponse vibro-acoustique est calculée pour plusieursvaleurs de chaque paramètre étudié, un seul paramètre variant à la fois. Les sons sont syn-thétisés par Transformée de Fourier Inverse à partir de leur spectre de module de pressionaffecté d’un spectre de phase aléatoire. Chaque série de sons, correspondant à la variationd’un paramètre, est soumise à un jury d’auditeurs auquel il est à la fois demandé de donnerun jugement de dissimilarité sur les paires de sons et d’exprimer leur préférence pour l’un desdeux sons de la paire.

Pour l’amortissement structural, il apparaît que l’espace perceptif issu de l’échelonnementmultidimensionnel des données de dissimilarité comporte une seule dimension. Cette dimensionest fortement corrélée à la sonie de Zwicker (r = −0.992). La préférence est également expliquéepar la variation de sonie : les auditeurs ont préféré les sons de plus faible intensité subjective,correspondant aux plus fortes valeurs d’amortissement. Pour le module d’Young, l’analysemultidimensionnelle révèle un espace perceptif à une seule dimension, corrélée au logarithmede N.F.D (r = 0.985), lui-même corrélé à la première fréquence de résonance de la plaque. Lamétrique physique N.F.D. (Natural Frequency Deviation) quantifie le phénomène de décalagedes fréquences de résonance de la plaque lié aux variations du module d’Young. Pour lesjugements de préférence, l’analyse en clusters des sujets montre deux groupes. Des valeurs demérite sont calculées pour les stimuli, et ce séparément pour les deux groupes. Les classementsdes stimuli selon leur valeur de mérite montrent que le premier groupe de sujets préfère lessons avec plus d’aigus (correspondant à des valeurs élevées de N.F.D., i.e. à des valeurs élevéesdu module d’Young) tandis que le second préfère les sons avec plus de graves. Ces résultatsne permettent pas de statuer sur une valeur optimale du module d’Young à utiliser pourla conception de ces plaques en verre. Pour l’épaisseur, pour une petite plage de variation(entre 1 et 3 mm), l’analyse de la matrice de dissimilarité montre l’existence d’une seuledimension perceptive, corrélée à la sonie de Zwicker et au logarithme de N.F.D. (R = 0.997).Le classement des stimuli selon leur valeur de mérite indique que les sujets ont préféré les sonscorrespondant aux plus hautes valeurs de l’épaisseur. L’ensemble des résultats montre, d’unpoint de vue perceptif, l’importance de la précision à accorder aux valeurs d’épaisseur de laplaque.

Marquis-Favre et Faure [MFF08] étudient les effets des conditions aux limites viscoélas-tiques (uniformes et non-uniformes) d’une plaque en verre, excitée par une onde acoustiqueincidente oblique avec un spectre de type bruit rose, sur la perception des sons transmis àtravers une fenêtre. Plus précisément, l’auteur s’intéresse à l’influence de la variation des ca-ractéristiques des joints d’étanchéité et des conditions de montage du vitrage dans son châssissur la perception des sons qu’elle transmet.

Pour l’étude des C.L. viscoélastiques uniformes, les différents joints d’étanchéité sont modé-lisés par quatre sous-structures de masse négligeable dont les propriétés de raideur en rotationet de raideur en translation varient. Au total, 13 stimuli correspondant à différentes combi-

43


naisons de ces deux paramètres (y compris les cas de conditions aux limites classiques : libre,simplement appuyé, encastré) sont synthétisés. Pour l’étude des C.L. viscolélastiques non uni-formes, deux types de châssis sont retenus : le châssis à la française et le châssis oscillo-battant.Pour chacun, les cas suivants sont envisagés : a) deux cas avec calage latéral du vitrage parun joint d’étanchéité (un avec de fortes valeurs des raideurs en translation et en rotation etun avec de faibles valeurs), b) un cas avec cales latérales ponctuelles en bois, c) un cas aveccales latérales ponctuelles en matériau viscoélastique, d) un cas avec cales latérales conti-nues en bois ; soit au total 10 stimuli. Les deux séries de stimuli sont soumises à un test dedissimilarité et à un test de préférence selon la méthode de comparaison par paires.

Pour la variation des C.L. uniformes, l’échelonnement multidimensionnel des jugementsde dissimilarité révèle un espace perceptif à deux dimensions. La première dimension estfortement corrélée avec le logarithme de N.F.D. (r = 0.94), ainsi qu’avec la tonie de la premièrefréquence propre de la plaque (r = −0.92) ; ces corrélations s’expliquent par l’accroissement dela rigidité globale de la plaque entre les cas extrêmes, libre et encastré. La seconde dimensionest fortement corrélée à la sonie de Zwicker (r = 0.97). Les valeurs de sonie sont maximalespour les cas de C.L. “mixtes” (c’est-à-dire les cas avec des valeurs intermédiaires des raideursen translation et en rotation). Un modèle de régression basé sur les deux métriques N.F.D. etsonie explique de manière satisfaisante les notes de préférence (R = 0.96). Les auditeurs ontpréféré les cas se rapprochant du cas C.L. libre. Il apparaît aussi qu’il est préférable d’avoirune plaque encastrée plutôt qu’une solution de C.L. intermédiaire. Pour la variation des C.L.non uniformes, l’espace perceptif comporte également deux dimensions. De manière générale,les deux types de châssis étudiés n’ont pas été différenciés par les sujets. La dimension 1est corrélée à la sonie (r = 0.92). Les stimuli correspondant à des cales latérales continueset à des cales latérales ponctuelles sont différenciés : ils forment distinctement deux groupesselon la dimension 1. La dimension 2 est fortement corrélée avec la tonie de la premièrefréquence propre de la plaque (r = 0.99), étroitement liée à la rigidité de la plaque. Unmodèle de préférence basé sur la sonie et la tonie de la première fréquence propre de la plaquepermet d’expliquer à 95% les notes estimées par les auditeurs. Il apparaît que les conditionsde montage préférées sont celles avec cales latérales ponctuelles, et en particulier celles aveccales en matériau viscoélastique. Parmi les montages avec calage latéral par joint élastomère,les structures les plus contraintes sont préférées.

Les auteurs donnent ainsi une tendance générale de l’importance de chacun des paramètressur la perception pour des sons stationnaires transmis par une plaque excitée par une ondeplane en incidence oblique et pour un spectre large bande : les paramètres prépondérants sontl’amortissement (variation entre 5× 10−3 et 8× 10−2) et l’épaisseur (variation sur une grandeplage de valeurs : 4 à 19 mm) ; les conditions aux limites (CL uniformes et conditions demontage) ont une influence non négligeable sur la perception auditive, supérieure à celle dela variation de l’épaisseur sur une petite plage de valeurs (de 3.8 à 6.2 mm). Cette tendancegénérale est confirmée par les résultats d’un test d’écoute mettant en jeu simultanément toutes

44


ces variations [FMF04].

3.1.1.3 Synthèse

Les études menées sur la perception des sons émis par des plaques soumises à une ex-citation mécanique impulsionnelle [Rou99, MHC01, CHMD04] montrent que la variation dedifférents paramètres physiques fait naître deux voire trois sensations principales chez les per-sonnes, selon les spécificités de l’étude. Une première sensation semble liée à un attribut dutimbre de la partie “résonante” des stimuli sonores, correspondant à la perception de l’amor-tissement [Rou99, CHMD04]. Une seconde sensation est liée à la hauteur tonale des sons, quipeut dépendre des caractéristiques spatio-temporelles de la source [MHC01, CHMD04], desvariations de la densité ou du module d’Young de la plaque [Rou99]. Enfin, l’étude de Canévetet al. [CHMD04] révèle une sensation liée à un attribut du timbre (acuité) dans la partie“initiale” des sons ; l’étude de Meunier et al. [MHC01], qui traite de sons harmoniques, montreégalement une sensation liée à un attribut du timbre (balance spectrale).

Il ressort également des études menées pour des sons stationnaires rayonnés par desplaques que l’amortissement est un paramètre prépondérant vis-à-vis de la perception au-ditive [HSP+02, FMF05] ; la sensation induite semble plus liée à la sonie qu’à un attribut dutimbre des sons. Pour ce même type de son, il apparaît que la variation de l’épaisseur de laplaque influe également [HSP+02, FMF05] ; les sensations induites sont à la fois en rapportavec la hauteur tonale et la sonie des sons rayonnés [FMF05]. Enfin, la variation des condi-tions aux limites de la plaque a des effets non négligeables sur la perception auditive [MFF08] ;elle provoque des sensations également liées à la sonie des sons et à la tonie de la premièrefréquence propre de la plaque.

3.1.2 Cas d’une plaque couplée à une cavité

Les études récentes couplant vibro-acoustique et psychoacoustique se sont penchées sur lecas d’une plaque vibrante couplée à une cavité d’air parallélépipédique. En se basant sur un telsystème physique, leur objectif consiste à établir des tendances de recommandation pouvantêtre adaptées à différentes structures vibrantes de notre environnement composées d’élémentscouplés à des espace clos. Aussi, ces études partagent certains traits avec de précédents travauxdans les domaines de l’acoustique des salles (e.g. Réfs. [SGS74, BL86, Bar88, SB95]) et del’acoustique des habitacles automobiles (e.g. Réfs. [Bis97, BHL98, SMW99, Web99]) traitantdes aspects qualitatifs des sons.

Tout comme Marquis-Favre et Faure [MFF08], Girardin [Gir04] s’intéresse à l’influence dela variation des conditions aux limites viscoélastiques uniformes d’une plaque en verre sur laperception auditive, mais lorsque celle-ci est couplée à une cavité rigide aux parois parfaitementréfléchissantes. La plaque est également excitée par une onde plane en incidence oblique, avec

45


un spectre de type bruit rose. Pour 11 cas de conditions aux limites2, variant selon les raideursen translation et en rotation des joints placés sur le pourtour de la plaque, la pression rayonnéepar la plaque en deux points intérieurs à la cavité est calculée. Les 11 stimuli synthétisés sontsoumis à un test de dissimilarité et à un test de préférence, selon le protocole utilisé par Faure[Fau03]. L’analyse multidimensionnelle des données de dissimilarité fait ressortir un espaceperceptif à une seule dimension. Celle-ci est liée à l’acuité (r = −0.99), dont la variation estrégie par les variations antagonistes de la sonie spécifique dans le bark 1 d’une part, et de lasonie totale3 dans les barks 3 à 5 d’autre part. D’un point de vue physique, la variation del’acuité est reliée à deux phénomènes vibro-acoustiques : i) le décalage des fréquences propresde la plaque dû à la variation des raideurs en translation et en rotation des joints périphériques,et — en conséquence du premier phénomène — ii) la modification du couplage entre la plaqueet la cavité.

L’analyse en clusters des sujets révèle l’existence de deux groupes avec des logiques diffé-rentes. Toutefois, les classements de préférence établis pour les deux groupes de sujets com-portent un aspect en commun : les sons les plus appréciés sont ceux correspondant à une plaqueavec des C.L. “mixtes”, ce qui est en contradiction avec les résultats obtenus par Marquis-Favreet Faure [MFF08] pour une plaque seule bafflée4. Ces résultats différents peuvent s’expliquerpar l’intervention du couplage vibro-acoustique entre la plaque et la cavité.

Marquis-Favre et al. [MFFH05] examinent les relations entre les propriétés acoustiquesde différents matériaux absorbants couvrant successivement l’une des parois rigides d’unechambre réverbérante et les attributs auditifs des bruits à large bande enregistrés à l’intérieurde la chambre. Le son est rayonné par une plaque en métal, encastrée dans une autre paroirigide et mécaniquement excitée par un pot vibrant injectant un effort avec un spectre à largebande. Parmi les matériaux testés figurent des mousses automobiles (d’épaisseur 20 mm ou 40mm, avec ou sans plénum), une moquette, des dalles de plafond acoustique (d’épaisseur 15 mm,avec ou sans plénum) et une laine minérale de 100 mm d’épaisseur. Les bruits enregistrés sontprésentés par paires à un panel d’auditeurs auxquels il est demandé d’évaluer la dissimilaritéentre les bruits et d’exprimer un jugement de dominance selon la préférence. Les auteursmontrent que la perception auditive des stimuli est principalement contrôlée par la sonieglobale (r2 = 0.93, p < .001 entre la dimension 1 de l’espace perceptif révélé et la soniede Zwicker) et la balance spectrale entre graves et aigus (r2 = 0.62, p = 0.004 entre ladimension 2 de l’espace perceptif révélé et l’acuité d’Aures). La variation de la sonie apparaîtreliée aux différences de propriétés globales d’absorption parmi les matériaux ; néanmoins,cette plausible relation ne se reflète pas dans la corrélation entre la sonie de Zwicker et l’indiced’évaluation de l’absorption αw, qui se révèle comme non significative. La variation de la

2Les 11 cas de C.L. étudiés figurent parmi les 13 cas étudiés par Marquis-Favre et Faure [MFF08].3La sonie totale dans les barks 3 à 5 est calculée par sommation des sonies spécifiques dans les barks 3, 4

et 5.4Pour rappel, les sons correspondant à une plaque avec des C.L. “mixtes” étaient les moins appréciés.

46

3.2. Ajustement des paramètres de simulation aux besoins de la synthèse sonore et de l’évaluation

auditive

balance spectrale entre graves et aigus est associée aux différences relevées entre les matériauxquant à l’évolution de leur propriétés d’absorption (i.e. leur coefficient d’absorption α) enfonction de la fréquence. Par ailleurs, la sonie apparaît également comme un attribut influantfortement sur la préférence, mais ne suffisant pas à expliquer complètement les valeurs demérite obtenues. La balance spectrale entre graves et aigus joue également sur la préférence,à la manière d’une variable d’ajustement.

Guibert et al. [GHPG06] étudient, pour un système plaque-cavité modélisé, l’influence dela variation de paramètres de nature différente sur la perception de sons rayonnés à l’intérieurde la cavité. Parmi les paramètres étudiés figurent le couple point d’impact sur la plaque /points d’écoute dans la cavité et le coefficient de réflexion R des murs rigides de la cavité. Laplaque est excitée par une force mécanique ponctuelle transitoire. Quinze sons, correspondantà différentes combinaisons des modalités prises par les paramètres étudiés, sont générés puissoumis par paires à un jury d’auditeurs auxquels il est demandé d’évaluer la dissemblance entreles sons. Tout d’abord, les auteurs mettent en parallèle les positions des stimuli dans l’espaceperceptif avec les combinaisons initiales des paramètres du modèle physique. Ainsi, le couplepoint d’impact / points d’écoute apparaît comme le paramètre de premier plan influant surla perception auditive ; suit ensuite le coefficient de réflexion R. L’analyse psychoacoustiquemenée montre que les deux premières dimensions perceptives sont corrélées à des caracté-ristiques fréquentielles des sons ; la première dimension perceptive est reliée à leur caractèretonal / bruité, la seconde à leur brillance (décrite par le centre de gravité spectral, r = 0.872entre les coordonnées suivant la dimension 2 et les valeurs du CGS). La troisième dimensionperceptive révélée est en rapport avec un attribut temporel des sons : la présence ou l’absencede modulation d’amplitude.

3.2 Ajustement des paramètres de simulation aux besoins de lasynthèse sonore et de l’évaluation auditive

3.2.1 Cas d’une simple plaque

Pour une plaque impactée, Demirdjian et al. [DMHC05] se sont appliqués à déterminer l’in-tervalle de fréquences devant être considéré dans les simulations afin que des sons synthétisésà partir d’un modèle physique (basé sur une méthode de décomposition modale) soient aussiproches que possible, d’un point de vue perceptif, des sons enregistrés. À cette fin, le principede l’expérience psychoacoustique adoptée consiste à évaluer la dissimilarité entre un son en-registré filtré passe-bas selon différentes fréquences de coupure (14 valeurs entre 300 et 8000Hz) et ce même son non filtré, utilisé comme stimulus de référence. Au total, trois expériencespsychoacoustiques sont lancées, concernant trois sons dont les configurations d’enregistrementdifférent suivant le lieu de l’impact sur la plaque expérimentale. Les résultats des trois tests dedissimilarité montrent que les sons filtrés à 8000 Hz sont perçus comme très similaires au son

47


de référence. En-deçà de cette valeur de fréquence de coupure, les dissimilarités augmententprogressivement, indiquant ainsi que les composantes fréquentielles dès lors supprimées sontimportantes au sens de la perception. Les auteurs définissent en conséquence le nombre demodes de structure à prendre en compte dans leurs simulations vibro-acoustiques pour per-mettre par la suite une synthèse adéquate des sons (i.e. incorporant toutes les composantesperceptibles, jusqu’à 8000 Hz).

Faure et Marquis-Favre [FMF05] se sont intéressés à évaluer les effets de la variation deparamètres de simulation sur la perception de sons rayonnés par une plaque excitée acous-tiquement (par onde plane d’incidences normale ou oblique). Plus précisément, les auteursvisent à ajuster deux paramètres du calcul fréquentiel de la réponse acoustique de la plaque,i.e. la fréquence maximale fmax et le pas fréquentiel ∆f , de façon à ce que leur valeur n’in-flue pas sur la perception des sons générés, évitant ainsi toute interférence avec l’évaluationauditive des effets de variations structurales (Cf. section 3.1.1.2). Pour chacun des deux pa-ramètres de simulation étudiés, les auteurs mènent deux tests de discrimination (i.e. un parincidence considérée pour l’onde plane excitatrice) fondés sur la méthode du stimulus constantavec paradigme “Identique/Différent” [Bon86]. Pour une configuration structurale de la plaquedonnée, les sujets comparent au cours de chaque expérience psychoacoustique 6 sons “test”,chacun correspondant à une valeur “test” du paramètre étudié (1 Hz ≤ ∆f ≤ 64 Hz, 8000Hz ≤ fmax ≤ 16000 Hz), à un son de référence, présentant la valeur de référence du para-mètre (0.25 Hz pour ∆f , 22050 Hz pour fmax). Afin de s’affranchir du moindre effet sur laperception auditive qui serait lié à la définition de ces paramètres de simulation, les auteursadoptent un critère plus contraignant que le Point d’Égalité Subjective [Bon86] ; ils retiennentcomme valeur optimale de ces paramètres à utiliser pour le calcul des sons la valeur pourlaquelle aucun sujet n’a perçu de différence entre le son “test” et le son de référence. Ainsi, lafréquence maximale de calcul fmax est prise égale à 15000 et 16000 Hz respectivement pourune incidence normale et pour une incidence oblique, le pas fréquentiel de calcul ∆f égal à 4et 6 Hz respectivement pour une incidence normale et pour une incidence oblique.

3.2.2 Cas d’une plaque couplée à une cavité

Dans leur étude d’un système plaque-cavité modélisé (Cf. section 3.1.2), Guibert et al.[GHPG06] ont également retenu comme paramètre variable un paramètre intrinsèque à laméthode adoptée pour la résolution du problème vibro-acoustique : le nombre de termesutilisés dans la fonction de Green employée pour le calcul de la pression à l’intérieur dela cavité. L’espace perceptif construit montre notamment que les effets de la variation de ceparamètre sur la perception sont faibles devant ceux induits par les autres paramètres variablesde l’étude ; ses effets sont avant tout visibles lorsque le coefficient de réflexion R est élevé, i.e.proche de 1. Néanmoins, les auteurs tirent parti de ces observations pour définir le nombreadéquat de termes à prendre en compte dans le calcul de la fonction de Green, i.e. requis afin

48

3.3. Conclusions

de s’affranchir du moindre effet sur la perception auditive.

3.3 Conclusions

Dans ce chapitre, un état de l’art sur les phénomènes liés à la perception de sons rayon-nés par des structures vibrantes a été présenté ; plus précisément, notre intérêt s’est portésur les études couplant vibro-acoustique et psychoacoustique dans le dessein d’évaluer leseffets de la variation de paramètres physiques de structures simples sur la perception dessons qu’elles rayonnent. Nous avons pu voir que le cas d’une plaque simple a fait l’objet denombreux travaux. Ces travaux ont couvert un large panel de paramètres physiques, i.e. desparamètres structuraux (épaisseur de plaque, amortissement et élasticité du matériau, condi-tions aux limites), d’excitation (type, localisation), et ce pour des sons de nature stationnaireou non-stationnaire. Puis, nous avons passé en revue certaines études, plus récentes, moinsnombreuses, traitant du cas d’une plaque couplée à une cavité parallélépipédique. Ces étudesse sont pêle-mêle intéressées à évaluer les effets liés à la variation des propriétés en absorptionde la cavité et à un déplacement conjoint du point d’application de l’excitation sur la plaqueet du point d’écoute dans la cavité.

Pour ces deux structures simples, au comportement vibro-acoustique bien connu, ces tra-vaux ont permis d’établir des liens entre les différents paramètres physiques étudiés et lesattributs auditifs des sons rayonnés. Aussi, la plupart de ces études ont mené une investiga-tion sur l’influence des attributs auditifs de ces sons sur leur qualité perçue, mesurée en termesde préférence ou d’agrément. Leurs résultats se sont avérés particulièrement utiles pour fournirdes tendances de recommandation en mesure d’améliorer la qualité sonore de ces structuresdès l’étape de leur conception.

Les éléments rassemblés via cet état de l’art sur la perception des sons rayonnés parune plaque (simple ou couplée à une cavité) viennent compléter les informations recueilliesrelativement à l’influence de paramètres physiques sur le comportement vibro-acoustique d’unsystème plaque-cavité (Cf. section 1.3), en renseignant sur les paramètres également influentsd’un point de vue perceptif. Ces enseignements seront pris en considération au moment dedécider des paramètres physiques variables à retenir dans le cadre de notre expérimentation(Cf. section 4.2.1).

Dans une seconde partie de ce chapitre, nous nous sommes concentrés sur certaines desétudes qui, en vue de l’utilisation d’outils de prédiction vibro-acoustique pour créer les sons,se sont intéressées en outre à la problématique d’ajustement de paramètres de simulation (no-tamment fréquentiels) vis-à-vis des besoins mêmes de la synthèse sonore et de l’évaluationauditive. Cette problématique a été abordée à des échelles différentes selon les études. No-tamment, certains travaux [DMHC05, FMF05] ont traité cette problématique à l’échelle d’unson5 (Cf. figure 3.1(a)), référant à un état structural donné du système étudié. L’objectif est

5Ou de plusieurs sons considérés séparément.

49


alors de sélectionner, parmi un panel de valeurs possibles, une valeur optimale du paramètrede simulation, qui n’entraîne aucune différence dans la perception de ce son. Nous avons ainsivu que cette sélection était opérée à partir des résultats à un test de dissimilarité ou de dis-crimination avec comparaison de différents sons (renvoyant à différentes valeurs du paramètrede simulation) à un son de référence (renvoyant à une valeur de référence du paramètre desimulation). D’autres travaux [GHPG06] ont abordé la problématique différemment, à l’échelled’un ensemble de sons (Cf. figure 3.1(b)). Chaque son se voit attribuer une valeur différentedu paramètre de simulation ; chaque son renvoie par ailleurs à une combinaison différente demodalités d’autres paramètres variables étudiés, liés à la structure même. L’objectif reste lemême que précédemment, mais la valeur optimale du paramètre de simulation est cette fois-ci déterminée en examinant l’espace perceptif dressé à partir de l’analyse de jugements dedissimilarité, issus d’un test de comparaison par paires portant sur l’ensemble de sons.

L’ajustement de paramètres fréquentiels de simulation vis-à-vis des contraintes perceptivesconstitue la problématique majeure des travaux présentés dans ce mémoire. En comparai-son des précédents travaux, cette problématique sera abordée à une autre échelle encore, i.e.l’échelle de plusieurs ensembles de sons (Cf. figure 3.1(c)). Les sons des différents ensemblesréféreront à un même lot de combinaisons de modalités de paramètres structuraux du systèmeplaque-cavité, mais les sons d’un même ensemble renverront à une seule valeur du paramètrede simulation, différente selon l’ensemble considéré. L’objectif est ainsi d’ajuster la valeur duparamètre de simulation de manière à ce que les tendances qualitatives6 issues de l’évaluationauditive des sons ne diffèrent pas significativement d’un ensemble à l’autre. Ce type d’ajus-tement devrait conduire à des valeurs de paramètre de simulation à même de réduire plusencore les ressources informatiques requises et les temps de calcul vibro-acoustique. En ef-fet, le critère d’absence d’effet du paramètre de simulation sur les tendances qualitatives estmoins contraignant qu’un critère d’absence d’effet de ce paramètre sur la perception auditive ;notamment, tant que la modification du paramètre de simulation n’agit pas de manière trophétérogène sur les sons, le maintien des tendances qualitatives d’un ensemble de sons à l’autrepeut être envisagé, et ce même si les sons renvoyant à une même combinaison de modalitésde paramètres structuraux et issus d’ensembles différents ne sont pas similaires d’un point devue perceptif. Néanmoins, cette procédure d’ajustement est plus lourde du fait que plusieursensembles de sons sont à évaluer de manière indépendante. Il sera indispensable de cibler lesvaleurs du paramètre de simulation à tester.

6Par “tendances qualitatives”, nous entendons des informations d’ordre perceptif, notamment quant auxattributs auditifs utilisés par les auditeurs pour différencier les sons et exprimer des jugements de préférencesur ces sons. Nous entendons également des informations à propos des relations existant entre ces attributsauditifs et les paramètres structuraux variables du système plaque-cavité et des configurations structurales lesplus à même d’améliorer la qualité des sons à l’intérieur de la cavité (Cf. chapitre 6).

50

3.3. Conclusions

Son

Val. 5

Par.

Val. 7

Par.

Val. 1

Par.Val. 8

Par.

Val. 4

Par.

Val. 2

Par.

Val. 6

Par.

Val. 3

Par.

(a) À l’échelle d’un son :pour cet exemple, 8 valeursdu paramètre de simulationsont testées sur le son, quirenvoie à un état structu-ral donné du système étudié.L’évaluation auditive vise àdéterminer l’influence du pa-ramètre de simulation sur laperception de ce son.

Son 2

Val. 5 Par.

Val. 7 Par.

Val. 1 Par.

Val. 8 Par.

Val. 4 Par.

Val. 2 Par.

Val. 3 Par.

Son 3

Son 5

Son 6

Son 4

Son 8

Son 7

Son 1

Val. 6 Par.

(b) À l’échelle d’un ensemble de sons : pour cet exemple, à cha-cun des 8 sons est attribuée une valeur différente du paramètrede simulation ; chacun des 8 sons renvoie également à une com-binaison différente de modalités d’autres paramètres variablesdu système. L’évaluation auditive porte sur l’ensemble de sonset vise à déterminer simultanément les effets du paramètre desimulation et des autres paramètres sur la perception.

Fig. 3.1 – Les différentes échelles possibles de traitement de la problématique d’ajustementd’un paramètre de simulation aux contraintes perceptives (les échelles sont matérialisées parles contours tracés à main levée).

51


Son 2

Son 3

Son 5

Son 6

Son 4

Son 8

Son 7

Son 1

Son 2

Son 3

Son 5

Son 6

Son 4

Son 8

Son 7

Son 1

Val. 1 Par. Val. 2 Par.

(c) À l’échelle de plusieurs ensembles de sons : pour cet exemple, les sons des deux ensembles (séparéspar le trait en pointillés) réfèrent à un même lot de combinaisons de modalités de paramètres structu-raux du système ; mais une même valeur du paramètre de simulation est assignée aux sons de chaqueensemble, différente d’un ensemble à l’autre. On cherchera à comparer les tendances qualitatives issuesd’évaluations auditives réalisées séparément sur les deux ensembles de sons.

Fig. 3.1 – Les différentes échelles possibles de traitement de la problématique d’ajustementd’un paramètre de simulation aux contraintes perceptives (les échelles sont matérialisées parles contours tracés à main levée). (suite et fin)

52

Deuxième partie

Élaboration d’un corpus de sons réelsvia l’expérimentation

53

Chapitre 4

La mise en œuvre de l’expérimentation

Le processus d’ajustement des paramètres fréquentiels des sons vis-à-vis des contraintesperceptives vise expressément la conservation de tendances qualitatives obtenues à partir del’évaluation auditive de sons réels. Ce processus d’ajustement est mené pour des sons rayon-nés par une plaque vibrante à l’intérieur d’une cavité parallélépipédique, et ce dans différentesconfigurations structurales. Ce chapitre vise ainsi à décrire l’expérimentation menée pour ac-quérir les sons réels.

Dans une première section, nous présenterons le dispositif expérimental retenu ; nous spéci-fierons notamment les caractéristiques du système plaque-cavité et le type d’excitation appliquéà la plaque.

L’élaboration des configurations structurales, proposée dans une seconde section, s’appuiesur un plan d’expériences factoriel fractionnaire. Nous exposerons précisément les paramètresstructuraux retenus comme facteurs∗ variant d’une configuration à l’autre ainsi que le typede plan employé afin de définir les combinaisons de modalités∗ des paramètres structurauxassignées aux différentes configurations.

Dans une dernière section, nous présenterons la campagne de mesures expérimentales,acoustiques et vibratoires, pratiquées sur les différentes configurations. Nous spécifierons leprotocole suivi pour chaque type de mesure. Puis, nous discuterons de l’élaboration des stimulià partir des enregistrements sonores réalisés ; ces stimuli forment le terreau pour l’ensembledes tests d’écoute réalisés dans le cadre de ces travaux. Enfin, nous proposerons une analysedes effets de la variation des paramètres structuraux sur la réponse vibro-acoustique du systèmeplaque-cavité.

∗Cf. définition donnée dans la section D.1.

55

Chapitre 4. La mise en œuvre de l’expérimentation

4.1 Définition du dispositif expérimental

4.1.1 Les caractéristiques du système plaque-cavité

La cavité est une cuve en béton de dimensions intérieures, en m, (Lx, Ly, Lz)= (0.6,0.5, 0.7). L’utilisation du matériau béton pour les parois de la cavité permet d’approcher aumieux les conditions de paroi rigide théoriques (i.e. vitesse particulaire nulle sur la paroi).Le système plaque-cavité est schématisé sur la figure 4.1 ; le repère de la plaque (O X Y Z),ultérieurement pris comme référence pour exprimer la position des points d’excitation et deréception, est reporté sur la figure. La plaque en acier, de surface “mouillée”1 SV égale à Lx

X

YO

SyS

xS

Lx

Ly

(a) Vue de dessus.

Lz

Ly

zM

1

= zM

2

YO

Z

M1

M2

yM

1

yM

2

matériau absorbant (si nécessaire)

plaque

mors

(b) Vue en coupe verticale.

Fig. 4.1 – Le système plaque-cavité expérimental. S : position de l’excitation mécanique, M1

et M2 : position des microphones.

× Ly, est posée sur la face supérieure de la cuve et maintenue en place par des mors en aciervissés sur le bâti de la cuve à l’aide d’une clé dynamométrique (Cf. figure 4.2).

4.1.2 Choix de la position de l’excitation mécanique

L’excitation mécanique ponctuelle est appliquée à la plaque à l’aide d’un pot vibrant (Cf.figure 4.2), au point S de coordonnées (en m) : (xS , yS , zS) = (0.10, 0.425, 0) ; la position del’excitation mécanique est reportée sur la figure 4.1(b). Le spectre d’excitation est un spectrelarge bande ([0, 20000]Hz) de type bruit rose, proche de celui de sources de bruit environne-mentales. Le choix du point d’application de l’excitation a fait l’objet d’une étude préalable

1i.e. surface en contact avec le fluide interne.

56

4.1. Définition du dispositif expérimental

Fig. 4.2 – Vue d’ensemble sur le banc de mesure.

sous le logiciel ADNR © Mecanum Inc. : cette étude — qualitative — est réalisée pour uneplaque bafflée en acier, de dimensions Lx × Ly, d’épaisseur 1.5 mm, simplement appuyée etexcitée par une force mécanique ponctuelle harmonique d’amplitude 1 N. La position sélection-née répond à un compromis entre un nombre élevé de modes de plaque excités dans le domainemodal [0, 2000] Hz2 et une puissance acoustique rayonnée importante. Les figures 4.3(a) et (b)montrent l’influence de la position de l’excitation mécanique respectivement sur le nombre demodes de plaque excités et sur la puissance acoustique rayonnée. Sur les graphiques, xexcit

et yexcit représentent les coordonnées du point d’excitation dans un repère centré sur un coinquelconque de la plaque ; les valeurs des deux indicateurs sont calculées par pas de 0.025 m.La position choisie, i.e. (xexcit, yexcit) = (0.10, 0.075)3, est repérée par un cercle sur les gra-phiques. En outre, la figure 4.4 montre les spectres de puissance acoustique rayonnée calculéspour 3 positions représentatives de l’excitation mécanique, i.e. une position excentrée (xexcit,yexcit) = (0.05, 0.05), la position choisie et une position quasi-centrale (xexcit, yexcit) = (0.25,0.20).

2La fréquence limite de champ diffus calculée pour la plaque étudiée s’élève à 2194 Hz.3Ce qui correspond aux coordonnées (xS , yS , zS) = (0.10, 0.425, 0) dans le repère de la plaque (O X Y Z).

57


55

60

65

70

75

80

Nb Modes

[0-2000 Hz]

0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.05

0.10

0.15

0.20

xexcit (m)

yex

cit (m

)

(a) Nombre de modes excités entre 0 et 2000 Hz.

106.5

107

107.5

108

108.5

109

109.5

110

Puissance

rayonnée (dB)

0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.05

0.10

0.15

0.20

xexcit (m)

yex

cit (m

)

(b) Puissance acoustique rayonnée.

Fig. 4.3 – Influence de la position de la force ponctuelle (xexcit, yexcit) sur le nombre demodes de plaque excités sur le domaine [0, 2000] Hz et la puissance acoustique rayonnée par laplaque (étude réalisée sous le logiciel ADNR © Mecanum Inc.). : position choisie de la forceponctuelle.

58

4.2. Élaboration des configurations structurales

0 500 1000 1500 200030

40

50

60

70

80

90

Fréquence (Hz)

Puissance

aco

ustique rayonnée

(dB, réf.= 2x10-5 Pa)

Fig. 4.4 – Spectres de puissance acoustique rayonnée calculés sous ADNR © Mecanum Inc.pour 3 positions représentatives de l’excitation mécanique. —– : position excentrée (xexcit,yexcit) = (0.05, 0.05), – – : position choisie (xexcit, yexcit) = (0.10, 0.075), — - : positionquasi-centrale (xexcit, yexcit) = (0.25, 0.20).

4.2 Élaboration des configurations structurales

4.2.1 Définition des paramètres structuraux variables et de leurs modalités

Le choix des paramètres structuraux variant d’une configuration à l’autre a été guidé parles résultats des études précédentes portant sur la perception auditive des sons rayonnés pardes structures vibrantes (Cf. chapitre 3). Notamment, nous avons sélectionné trois paramètresstructuraux déjà identifiés comme prééminents d’un point de vue perceptif. Deux premiersparamètres concernent la plaque en acier ; il s’agit de son épaisseur et de ses conditions demontage (il s’agira plus précisément de ses conditions de serrage dans le cadre de notre expé-rimentation). Leurs effets sur la perception auditive ont été mis en exergue dans les cas d’uneplaque simple bafflée [FMF05, HSP+02, MFF08] et d’une plaque couplée à une cavité [Gir04].Nous adjoignons à ces deux premiers paramètres les propriétés en absorption de la cavité, dontles effets sur la perception auditive ont été montrés comme importants au travers des étudestraitant d’une plaque couplée à une cavité [GHPG06, MFFH05].

Ainsi, le choix de ces paramètres structuraux n’est pas à proprement parler original. Toute-fois, leur association n’a pas encore été étudiée ; il sera donc intéressant d’estimer leur influencerelative sur la perception des sons rayonnés, et ce pour le domaine d’étude choisi, défini parles modalités extrêmes retenues pour ces trois paramètres (voir ci-après). En outre, par cechoix (des paramètres et de leurs modalités), le parti-pris affiché est de s’assurer que des effetsliés aux variations structurales contrôlées seront “observables” d’un point de vue perceptif ;après quoi, nous pourrons nous pencher sur la problématique qui nous intéresse : ajuster des

59


paramètres de simulation d’outils de calcul vibro-acoustique de manière à réduire les temps decalcul et les ressources informatiques nécessaires tout en conservant les tendances qualitativesrelatives à l’influence de la variation des paramètres structuraux du système.

Pour chaque paramètre structural, trois modalités sont définies pour permettre l’évaluationdes effets de sa variation. Les modalités des trois paramètres structuraux sont reportées dansle tableau 4.1.

Label Paramètre Modalité1 2 3

αÉpaisseur dela plaque 1.5×10−3 m 2×10−3 m 3×10−3 m

β

Propriétés enabsorption dela cavité

faibles (pas decouche absorbante)

moyennes (unecouche de moquetted’épaisseur 5 mm)

fortes (une couchede mousse d’épais-seur 2 cm)

γ

Conditions deserrage de laplaque

faibles(C = 20 N.m)

moyennes(C = 50 N.m)

fortes(C = 80 N.m)

Tab. 4.1 – Définition des modalités des paramètres structuraux

Les épaisseurs de plaque retenues (α) sont des épaisseurs de tôle en acier dont la com-mercialisation est très répandue. Les modalités des propriétés en absorption de la cavité (β)résultent de l’application (ou non) d’une couche de matériaux absorbants différents sur le fondde la cuve en béton (Cf. figure 4.1). Les matériaux sélectionnés sont des matériaux couram-ment utilisés dans le secteur automobile : une mousse réticulée (à réseau de pores connectés)d’épaisseur 2 cm et une moquette synthétique d’épaisseur 5 mm. La courbe d’évolution de leurcoefficient d’absorption acoustique en incidence normale αθ=0 en fonction de la fréquence (entiers d’octave) est présentée sur la figure B.3. Enfin, les modalités des conditions de serragede la plaque (γ) correspondent à différentes valeurs du couple de serrage C, relevées sur laclé dynamométrique ; les trois conditions de serrage résultantes équivalent pour la plaque àdes conditions aux limites se répartissant de façon relativement uniforme entre des conditionsthéoriques d’appui simple et d’encastrement.

4.2.2 Usage des plans d’expériences factoriels fractionnaires

Un plan d’expériences factoriel complet, où toutes les combinaisons possibles entre lesmodalités des facteurs contrôlés (i.e. les paramètres structuraux variables) sont étudiées, paraîtdifficilement réalisable en raison du nombre trop important d’essais4 engendré (33 = 27 essais).

4Un essai désigne dans notre cas une configuration structurale du système plaque-cavité.

60

4.3. Campagne de mesures expérimentales

Dans le cadre de cette étude expérimentale, on cherchera plutôt à retenir un nombre réduitde combinaisons entre les modalités des facteurs, permettant néanmoins une évaluation deseffets des variations structurales sur la perception auditive. A cette fin, les plans d’expériencesfactoriels fractionnaires [Pil97] sont particulièrement utiles ; pour 3 facteurs à 3 modalités,nous adoptons la table standard de Taguchi L9(34), qui permet de définir 9 premières confi-gurations structurales du système plaque-cavité (Cf. tableau 4.2, configurations A à I).

Config. α β γ

A 1 1 1B 1 2 2C 1 3 3D 2 3 1E 2 1 2F 2 2 3G 3 2 1H 3 3 2I 3 1 3J 1 1 3K 3 3 3

Tab. 4.2 – Plan d’expériences.

Deux configurations complémentaires (Cf. tableau 4.2, configurations J et K) sont ajoutéespour disposer au final d’un plus grand nombre de stimuli.

4.3 Campagne de mesures expérimentales

4.3.1 Vue d’ensemble

L’ensemble des mesures réalisées sur le banc de mesure est récapitulé dans le tableau 4.3.Pour les 9 essais du plan fractionnaire L9, des mesures de la vitesse vibratoire de la plaque

sont réalisées, selon le protocole décrit dans la section 4.3.2.1.En outre, une première mesure acoustique est réalisée pour l’intégralité des configurations,

en suivant le protocole décrit dans la section 4.3.2.2.Pour les 9 essais du plan fractionnaire L9, une seconde mesure acoustique est accomplie,

en suivant un protocole en tout point identique à celui observé pour la réalisation de lapremière mesure. Dans la pratique, pour chacun des essais concernés, cette seconde mesureest lancée à la suite de la première, après qu’il est procédé à un démontage/remontage deladite configuration. La réalisation de cette seconde série de mesures a été décidée aprèsl’observation, lors d’essais préliminaires de répétabilité, de disparités, mesurées malgré tout,entre les signaux acoustiques justement acquis avant et après un démontage/remontage d’unemême configuration expérimentale. Ainsi, la répétition de la mesure acoustique pour ces 9configurations est destinée à rendre possible une évaluation auditive de la fiabilité du banc de

61


Config. Mesures 1ere mesure 2nde mesurevibratoires acoustique acoustique

A X X XB X X XC X X XD X X XE X X XF X X XG X X XH X X XI X X XJ XK X

Tab. 4.3 – Récapitulatif des différentes mesures réalisées.

mesure. Nous chercherons plus précisément à évaluer l’influence de la dispersion de la mesureacoustique sur la perception des sons rayonnés (Cf. chapitre 5).

4.3.2 Protocoles de mesure

4.3.2.1 Mesures vibratoires

Les mesures de vitesse vibratoire normale de la plaque sont réalisées à l’aide d’un vibro-mètre laser à balayage Polytec PSV-400 (Cf. figure 4.2).

On adopte un maillage vibratoire fin constitué de 5185 points de mesure, commun à toutesles séries de mesures (i.e. inchangé quelque soient l’épaisseur et les conditions de serrage de laplaque). Le nombre de points fixé suivant chacune des dimensions (85 suivant l’axe (O X), 61suivant l’axe (O Y )) répond à un critère de maillage théorique utilisé dans les modélisationspar éléments finis afin de définir le nombre minimal d’éléments nécessaires pour représenter demanière adéquate la déformée du mode structural de plus petite longueur d’onde ; ce critèrestipule que le nombre d’éléments doit être choisi de façon à ce que la longueur des éléments soit6 fois inférieure à la plus petite longueur d’onde étudiée (Cf. section A.4.1.1). Le nombre depoints ici retenu permet de prendre en compte convenablement les modes de structure jusqu’à5000 Hz, et ce dans le cas le plus défavorable (plaque d’épaisseur 1.5 mm avec les conditionsde serrage les plus proches de conditions d’appui simple).

4.3.2.2 Mesures acoustiques

Le son rayonné par la plaque vibrante est enregistré à l’aide de microphones 1/2 poucesomnidirectionnels B&K (avec un angle de 0) placés en deux points de réception intérieurs àla cuve M1 et M2, de coordonnées respectives (xM1 , yM1 , zM1) = (0.22, 0.26, 0.145) et (xM2 ,yM2 , zM2) = (0.22, 0.38, 0.145) ; la position des micros est reportée sur la figure 4.1(b).

62


L’acquisition du son (d’une durée de 30 secondes environ) est réalisée à l’aide d’un PCéquipé d’une carte son haute qualité LynxONE © Lynx Studio Technology et du logicielSound Quality © M.T.S., avec une fréquence d’échantillonnage égale à 44100 Hz et unerésolution de 16 bits.

4.3.3 Formation des stimuli sonores pour l’évaluation auditive

Chaque séquence sonore enregistrée est réduite à un échantillon court de quatre secondes.Un fade-in et un fade-out de 20 ms sont appliqués respectivement au début et à la fin dechaque échantillon pour éviter la présence de “clics” (produits par des valeurs de pression nonnulles) à la restitution sonore. Puis, les échantillons sont stockés dans des fichiers de donnéesau format UNV, afin de conserver une information absolue (i.e. en Pa) sur les valeurs depression.

Par la suite, les échantillons sont corrigés par la fonction de transfert inverse du casqueouvert Sennheiser HD6005 utilisé lors des tests d’écoute. Dans la pratique, cette correction estréalisée sous Matlab © Mathworks : après lecture des fichiers de données au format UNV, lessignaux stéréophoniques sont déconvolués par la réponse impulsionnelle du casque d’écoute.Puis, les signaux corrigés ainsi obtenus sont encodés dans des fichiers audio au format WAVavec une fréquence d’échantillonnage égale à 44100 Hz et une résolution de 16 bits. SousMatlab, le codage sur 16 bits des valeurs d’amplitude est réalisé dans l’intervalle [-1, +1](soit 216 − 1 valeurs d’amplitude possibles comprises entre -1 et +1). Aussi, pour réaliser uncodage optimal6 tout en conservant les différences relatives de niveau existant entre les signauxcorrigés, les valeurs de pression de chaque signal sont, juste avant encodage, divisées par lavaleur maximale détectée sur l’ensemble des signaux corrigés.

La désignation des stimuli sonores ainsi formés (20 au total), à laquelle nous nous référeronsdans la suite de ces travaux, est donnée dans le tableau 4.4.

5La mesure de la fonction de transfert du casque en position d’écoute a été réalisée en suivant une démarchesimilaire à celle utilisée par Faure ; celle-ci est détaillée dans [Fau03].

6i.e. pour i) éviter la saturation du signal, et ii) utiliser toute la dynamique offerte.

63


Config. 1er enregistrement 2nd enregistrementsonore sonore

A A1 A2

B B1 B2

C C1 C2

D D1 D2

E E1 E2

F F1 F2

G G1 G2

H H1 H2

I I1 I2J J1 -K K1 -

Tab. 4.4 – Désignation des stimuli associés aux configurations.

64


4.3.4 Analyse des effets de la variation des paramètres structuraux sur laréponse vibro-acoustique du système plaque-cavité

4.3.4.1 Remarques préliminaires

4.3.4.1.a Indicateurs vibro-acoustiques

Les effets de la variation des paramètres structuraux sur la réponse vibro-acoustique dusystème plaque-cavité étudié7 sont illustrés à partir de l’examen des spectres des indicateursvibro-acoustiques disponibles à partir des mesures réalisées, soit :

i) Le spectre de niveau de vitesse quadratique moyenne de la plaque :

Lv(f) = 10 × log10

(〈|vn(Ms, f)|2〉SV

v2ref

)(4.1)

où vref est la vitesse vibratoire de référence, égale 5× 10−8 m/s, et 〈|vn(Ms, f)|2〉SVest

le spectre de vitesse quadratique moyenne8 donné par :

〈|vn(Ms, f)|2〉SV=

1SV

∫SV

|vn(Ms, f)|2 dSV (4.2)

où SV est la surface “mouillée” de la plaque ; |vn(Ms, f)| correspond, pour un point Ms

du maillage vibratoire, à la moyenne des modules des spectres calculés par Transforméede Fourier à Court Terme [OSB99] — Short-Time Fourier Transform en anglais (STFT)— à partir du signal vn(Ms, t) enregistré avec le vibromètre laser. Le paramétrage utilisépour le calcul de la STFT9 est détaillé dans la section C.1.

Rappelons que les mesures vibratoires ont été réalisées pour les seules 9 configurations duplan fractionnaire L9, ce qui ne rend a priori pas possible une évaluation indépendantedes effets liés à la variation de chaque paramètre structural sur la réponse vibratoire dela plaque. Néanmoins, d’après les éléments présentés dans la section 1.2 (Cf. travaux deCheng [Che89]), on peut arguer que sa réponse vibratoire n’est quasiment pas affectéepar la variation des propriétés en absorption de la cavité car le couplage entre la plaqueet la cavité est, pour le système plaque-cavité expérimental étudié, faible. De ce fait, ilsera possible, à partir de l’examen des spectres de niveau de vitesse quadratique moyenneappropriés, d’évaluer séparément les effets sur la réponse vibratoire de la plaque liés à i)la variation de son épaisseur (Cf. section 4.3.4.3), et à ii) la variation de ses conditionsde serrage (Cf. section 4.3.4.4).

ii) Les spectres de niveau de pression acoustique aux points M1 et M2 intérieurs à la

7Ces effets ont été évoqués dans la revue bibliographique sur le comportement vibro-acoustique d’une plaquecouplée à une cavité amortie exposée au chapitre 1.

8Le symbole (<>) est généralement utilisé pour indiquer une moyenne sur des variables d’espace.9Réalisé avec le logiciel PSV-400 © Polytec.

65


cavité :

Lp1(f) = 10 × log10

|p (M1, f)|2

p20

(4.3)

Lp2(f) = 10 × log10

|p (M2, f)|2

p20

(4.4)

où p0 est la pression acoustique de référence, égale à 2.10−5 Pa ; |p(M1, f)| et |p(M2, f)|correspondent à la moyenne des modules des spectres calculés par STFT à partir deséchantillons stéréophoniques de 4 secondes issus de la première série de mesures acous-tiques, non corrigés par la fonction de transfert inverse du casque. Le paramétrage utilisépour le calcul de la STFT10 est détaillé dans la section C.1. En exemple, le spectre Lp2(f)mesuré pour le stimulus K1 ([0, 20000] Hz) est donné sur la figure C.1.

4.3.4.1.b Analyse modale

En vue de l’illustration, une analyse modale sommaire est réalisée dans le domaine desbasses et moyennes fréquences. Aux plus hautes fréquences, l’analyse modale devient impos-sible en raison des amortissements moyens et du couplage inter-modal élasto-acoustique. Toutd’abord, il est procédé à la détermination des modes couplés contrôlés par la plaque (notésS1, S2, etc.) pour les configurations A à I : en balayant en fréquence les spectres de niveaude vitesse quadratique moyenne de la plaque11, les modes couplés contrôlés par la plaquesont déterminés à partir de la reconnaissance des déformées modales de la plaque12 ; leurscaractéristiques, indices13 (m,n) et fréquences propres fmn, sont reportées dans le tableauC.1.

La détermination des modes couplés contrôlés par la cavité (notés A1, A2, etc.) à partirde la reconnaissance des déformées modales de la cavité ne peut être réalisée ; en effet, lesmesures acoustiques ont été limitées à l’enregistrement du son rayonné par la plaque aux deuxpoints intérieurs à la cavité M1 et M2 (Cf. section 4.3.2.2). Nous disposons seulement desfréquences propres théoriques f theo

qrs des modes14 (q,r,s) de la cavité nue rigide (Cf. tableauC.2) ; leur calcul est réalisé sous Plaqcav (Cf. section A.3.1 pour une description de ce codesemi-analytique).

Aussi, sur les spectres des deux indicateurs vibro-acoustiques, lorsque les fréquences derésonance des modes couplés contrôlés par la cavité et des modes couplés contrôlés par la plaquesont relativement bien distinctes, les pics de résonance liés à des modes couplés contrôlés parla cavité peuvent être identifiés avec l’appui des fréquences propres théoriques précédemment

10Réalisé avec le logiciel dBSonic © Cortex Instruments - 01dB Metravib Technologies [Cor04].11Jusqu’à une fréquence maximale allant de 700 à 950 Hz environ, suivant la configuration considérée.12Cette opération est réalisée à l’aide de la Laser ToolBox développée par Quentin Leclerc (LVA) sous

Matlab © Mathworks.13Les indices m et n sont respectivement associés aux axes (O X) et (O Y ) (Cf. figure 4.1).14Les indices q, r et s sont respectivement associés aux axes O X), (O Y ) et (O Z) (Cf. figure 4.1).

66


calculées, et ce après identification des pics de résonance liés à des modes couplés contrôléspar la plaque.

Par contre, dans le cas où les fréquences de résonance d’un mode couplé contrôlé parla cavité et d’un mode couplé contrôlé par la plaque sont très proches, leur contributionrespective au pic de résonance observé est plus ou moins appréciable selon l’indicateur vibro-acoustique. Sur les spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne, la contribution dumode couplé contrôlé par la plaque au pic de résonance est vraisemblablement prééminente.En effet, pour un faible couplage entre la plaque et la cavité, la réponse vibratoire de la plaquen’est pratiquement pas affectée par la présence de la cavité ; la réponse vibratoire de la plaqueest gouvernée par les modes couplés contrôlés par la plaque. A contrario, sur les spectres deniveau de pression locale, à défaut d’autres indicateurs vibro-acoustiques tels que la puissanceacoustique rayonnée par la plaque15 et le niveau de pression quadratique moyenne16, on nepeut proprement apprécier la contribution de chaque mode au pic de résonance.

Notons que le tableau C.3 propose, pour les stimuli A1 à K1, une identification de modescouplés à l’origine de pics de résonance visibles sur les spectres de niveau de pression auxpoints intérieurs à la cavité M1 et M2

17.

4.3.4.2 Effets de la variation des propriétés en absorption de la cavité sur laréponse vibro-acoustique du système plaque-cavité

La figure 4.5 porte à la comparaison les spectres de niveau de pression mesurés au pointM2 pour les stimuli I1 et K1, i.e. pour les modalités extrémales des propriétés en absorptionde la cavité (pas de couche de matériau absorbant et une couche de mousse réticulée au fondde la cuve), l’épaisseur et les conditions de serrage de la plaque restant inchangées (épaisseurde 3 mm et fortes conditions de serrage).

On peut observer les deux types d’effet caractéristiques dûs à la présence de la couche demousse réticulée sur le fond de la cuve :

• Les effets de masse ajoutée, qui se traduisent par un décalage vers les basses fréquencesdes pics de résonance liés à des modes couplés contrôlés par la cavité18 : par exemple,

15Utile à la détermination des modes de vibration de la plaque qui rayonnent acoustiquement à l’intérieurde la cavité.

16Utile à la détermination des modes de cavité excités par les vibrations de la plaque.17Jusqu’à une fréquence maximale allant de 700 à 900 Hz environ, suivant le stimulus considéré.18Dans la réalité, deux types d’effets entrent en jeu : i) les effets de masse ajoutée liés à la réactance de la

mousse absorbante, et ii) les effets de raideur ajoutée dus à la diminution du volume d’air à la suite de l’insertionde la mousse absorbante (pour rappel, son épaisseur est égale à 2 cm). Les premiers effets se traduisent parun décalage vers les basses fréquences des fréquences propres des modes contrôlés par la cavité, les secondspar un décalage vers les hautes fréquences. Dans l’ensemble, les premiers effets dominent les seconds, i.e. lesfréquences propres des modes contrôlés par la cavité sont décalées vers les basses fréquences. Par exemple,pour le premier mode contrôlé par la cavité A1 (0,0,1), les premiers effets se traduisent par une diminutionthéorique de 242.8 Hz à 233.6 Hz (en utilisant la formule (4.9) donnée dans [Che89]) ; les seconds effets setraduisent par une augmentation théorique de la fréquence propre de 242.8 Hz à 250 Hz (Cf. formule (A.21)dans la section A.3.1.2). Au final adviennent des effets de masse ajoutée qui se traduisent par un décalagethéorique de la fréquence propre du mode A1 de 2 Hz vers les basses fréquences. Ce décalage n’est pas visible

67


en basses fréquences, pour les pics de résonance liés aux modes A2 à A4, ce décalage estrespectivement égal à 6, 8 et 7 Hz environ (Cf. figure 4.5(a)).

• Les effets d’amortissement équivalent, qui se traduisent par :– en basses fréquences, une diminution de l’amplitude des pics de résonance liés à des

modes couplés contrôlés par la cavité : par exemple, pour les pics de résonance liésaux modes A1 à A4, la diminution de niveau de pression acoustique est respectivementégale à 12, 14, 7 et 5 dB environ (Cf. figure 4.5(a)).

– en plus hautes fréquences, où la réponse de la cavité est dominée par un nombreimportant de modes, une diminution systématique du niveau de pression acoustique,et ce au-delà de 800 Hz environ (Cf. figure 4.5(b)).

Notons que des observations analogues peuvent être émises à partir des spectres de niveaude pression acoustique mesurés au point M1 (non présentés ici).

sur la figure 4.5(a) en raison des effets d’amortissement équivalent.

68


0

10

20

30

40

50

60

70

80

Niv

eau d

e p

ressio

n (

dB

, réf.=

2x

10

-5 P

a)

0 100 200 300 400 500 600

Fréquence (Hz)

90

S1

S2

S3

S5

A1

A2

S6

S7

A3 S8 S9

A4

(a) Zoom sur les basses fréquences [0, 600] Hz.

600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Niv

eau d

e p

ressio

n (

dB

, réf.=

2x

10

-5 P

a)

90

Fréquence (Hz)

(b) Zoom sur les plus hautes fréquences [600, 2000] Hz.

Fig. 4.5 – Spectres de niveau de pression mesurés au point M2 pour les modalités extrémalesdes propriétés en absorption de la cavité (et pour une épaisseur de plaque de 3 mm de fortesconditions de serrage de la plaque). —– : pas de couche de matériau absorbant (stimulus I1),— - : une couche de mousse réticulée (stimulus K1).

69


4.3.4.3 Effets de la variation de l’épaisseur de la plaque sur la réponse vibro-acoustique du système plaque-cavité

La figure 4.6 montre les spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne de la plaquemesurés pour les configurations C et I, i.e. pour les valeurs extrémales d’épaisseur de la plaque(1.5 mm et 3 mm), et ce pour de fortes conditions de serrage de la plaque.

20

30

40

50

60

70

Niv

eau

de v

itesse q

uad

rati

qu

e m

oy

en

ne

(d

B,

réf.=

5x

10

-8 m

/s)

100 200 300 400 500 600

Fréquence (Hz)

S1

S2

S3S5

S4

0

A1

Fig. 4.6 – Spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne de la plaque mesurés pourles valeurs extrémales d’épaisseur de la plaque (et pour de fortes conditions de serrage de laplaque). —– : épaisseur 1.5 mm (configuration C), — - : épaisseur 3 mm (configuration I).

À partir de ces spectres, on peut observer les deux effets caractéristiques liés à une aug-mentation de l’épaisseur sur la réponse vibratoire de la plaque [Les88] :

– Un décalage des fréquences propres de la plaque vers les hautes fréquences19 : parexemple, pour les pics de résonance liés aux modes couplés contrôlés par la plaque S1 àS5, l’augmentation de l’épaisseur de 1.5 à 3 mm provoque un décalage respectivementégal à 25, 53, 62, 90 et 96 Hz environ.

– Une diminution de l’amplitude des déplacements modaux20 : par exemple, pour les picsde résonance liés aux modes couplés contrôlés par la plaque S1 à S5, l’augmentation de

19L’épaisseur h de la plaque figure à la fois dans les expressions du module de rigidité de flexion D et dela masse surfacique MP de la plaque (Cf. section A.2.2), dont le ratio intervient dans l’expression (A.30) desfréquences propres de la plaque (Cf. section A.3.1.2.b). D’après cette expression, les valeurs des fréquencespropres sont théoriquement proportionnelles à la valeur de h.

20Dans l’équation généralisée (A.47) (Cf. section A.3.1.2.d), on peut observer que l’amplitude du déplacementmodal est inversement proportionnelle à la masse généralisée structurale, dans l’expression de laquelle (Cf.expression (A.28) dans la section A.3.1.2.b) la masse surfacique MP de la plaque, i.e. l’épaisseur h, intervient.Autrement dit, d’un point de vue théorique, l’amplitude du déplacement modal est inversement proportionnelleà la valeur de h.

70


l’épaisseur de 1.5 à 3 mm provoque une diminution du niveau de vitesse quadratiquemoyenne respectivement égale à 5, 10, 7, 11 et 10 dB environ.

Notons que des effets analogues sont également visibles à partir des spectres de niveau devitesse quadratique moyenne de la plaque calculés pour les configurations A et G (conditionsde serrage de la plaque faibles), ou encore pour les configurations B et H (conditions de serragede la plaque moyennes), non présentés ici.

La figure 4.7 présente les spectres de niveau de pression mesurés au point M2 pour lesstimuli C1 et K1, i.e. pour les valeurs extrémales d’épaisseur de la plaque (1.5 mm et 3 mm),et ce pour de fortes conditions de serrage de la plaque et de fortes propriétés en absorption dela cavité.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Niv

eau

de p

ressio

n (

dB

, réf.=

2x

10

-5 P

a)

0 100 200 300 400 500 600

Fréquence (Hz)

90

A1

A2

A3

A4

S1

S2

S3

S1

S3

S5

S4S6

S7

S8

S9

S10

S11

S5

A1

A2

S6

S7

A3 ?

S16 ?

S8 S9

A4 ?

S17 ?

S13?

S14

S2

Fig. 4.7 – Spectres de niveau de pression mesurés au point M2 pour les valeurs extrémalesd’épaisseur de la plaque (et pour de fortes conditions de serrage de la plaque et de fortespropriétés en absorption de la cavité). —– : épaisseur 1.5 mm (stimulus C1), — - : épaisseur3 mm (stimulus K1).

De même que sur les spectres Lv(f), on peut observer le décalage vers les hautes fréquencesdes pics de résonance liés aux modes couplés contrôlés par la plaque. En outre, nous avonspu noter dans la section 1.3 (Cf. tableau 1.1) que la modification de la densité modale etde la distribution des fréquences propres de la plaque, du fait de la variation de l’épaisseur,entraînait une modification du couplage inter-modal. Sur les spectres Lp2(f), ceci se traduitpar des différences dans le niveau de réponse des modes couplés contrôlés par la cavité : parexemple, la réponse des modes A1 et A2 est moins importante pour une valeur d’épaisseurégale à 3 mm que pour une valeur d’épaisseur égale à 1.5 mm (différence de niveau de pression

71


égale à 16 et 22 dB environ respectivement pour les modes A1 et A2).

4.3.4.4 Effets de la variation des conditions de serrage de la plaque sur la réponsevibro-acoustique du système plaque-cavité

La figure 4.8 présente les spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne de la plaquemesurés pour les configurations D et F , i.e. pour les modalités extrémales des conditions deserrage de la plaque (C = 20 N.m et C = 80 N.m), l’épaisseur de la plaque restant inchangéeet égale à 2 mm.

20

30

40

50

60

70

Niv

eau

de v

itesse q

uad

rati

qu

e m

oy

en

ne

(d

B,

réf.=

5x

10

-8 m

/s)

100 200 300 400 500 600

Fréquence (Hz)

0

S1

S2

S4

S5

S6

S7

Fig. 4.8 – Spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne de la plaque mesurés pour lesmodalités extrémales des conditions de serrage de la plaque, pour une épaisseur de plaqueégale à 2 mm. —– : C = 20 N.m (configuration D), — - : C = 80 N.m (configuration F ).

On peut observer l’effet caractéristique dû à une augmentation de la rigidité sur le contourde la plaque, à savoir un décalage des fréquences propres de la plaque vers les hautes fréquences.Toutefois, on peut noter que le décalage provoqué par une augmentation du couple de serrage C

de 20 N.m à 80 N.m est dans l’ensemble moins important que celui induit par une augmentationde l’épaisseur de 1.5 mm à 3 mm : par exemple, pour les pics de résonance liés aux modescouplés contrôlés par la plaque S1, S2, S4 et S5, le décalage est respectivement égal à 7, 13, 5et 17 Hz environ.

Notons qu’un effet analogue est aussi visible à partir des spectres Lv(f) calculés pour lesconfigurations G, H et I (Cf. figure C.2), mais dans une moindre mesure : le décalage desfréquences propres vers les hautes fréquences est très faible pour certains modes (e.g. S1, S3,S6 et S7).

72


La figure 4.9 montre les spectres de niveau de pression mesurés au point M2 pour lesstimuli H1 et K1, i.e. pour de moyennes et fortes conditions de serrage de la plaque, et ce pourune épaisseur de plaque égale à 3 mm21 et de fortes propriétés en absorption de la cavité.

Outre le décalage vers les hautes fréquences des pics de résonance liés aux modes cou-plés contrôlés par la plaque, on observe sur les spectres Lp2 l’autre effet caractéristique dû àune variation des conditions aux limites de la plaque, i.e. la modification du couplage vibro-acoustique entre la plaque et la cavité (Cf. tableau 1.1). Cet effet se traduit par des différencesdans le niveau de réponse de certains modes couplés contrôlés par la cavité : par exemple, laréponse des modes A1 et A3 est plus importante pour un couple de serrage C égal à 80 N.mque pour un couple de serrage C égal à 50 N.m (différence de niveau de pression égale 7 et 6dB environ respectivement pour les modes A1 et A3).

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Niv

eau

de p

ressio

n (

dB

, réf.=

2x

10

-5 P

a)

0 100 200 300 400 500 600

Fréquence (Hz)

90

S1

A1

S2

S3

S4

S5

A2

S6

S7

A3

A4

S8S9

Fig. 4.9 – Spectres de niveau de pression mesurés au point M2 pour de moyennes et fortesconditions de serrage de la plaque, pour une épaisseur de plaque égale à 3 mm. —– : C = 50N.m (stimulus H1), — - : C = 80 N.m (stimulus K1).

Enfin, il est à noter que, pour la plaque de plus faible épaisseur (i.e. 1.5 mm), sur lesspectres des deux indicateurs vibro-acoustiques, on ne retrouve pas en basses fréquences lephénomène de décalage des fréquences propres de la plaque vers les hautes fréquences dû àune augmentation du couple de serrage C de 20 N.m à 80 N.m (Cf. figures C.3 et C.4). Eneffet, on observe pour les premiers modes couplés contrôlés par la plaque un léger décalage desfréquences propres vers les basses fréquences (e.g. S1 à S9). Au regard des mesures réalisées et

21N.B. : Le plan d’expériences sélectionné ne permet pas une comparaison de spectres Lp2(f) pour uneépaisseur de plaque égale à 2 mm.

73


de la revue bibliographique menée, nous ne pouvons fournir de façon certaine une explicationà ce phénomène singulier.

4.4 Conclusions

L’expérimentation mise en oeuvre pour enregistrer des sons rayonnés par une plaque vi-brante à l’intérieur d’une cavité dans des configurations structurales du système différentes aété définie dans ce chapitre. Nous avons notamment spécifié les caractéristiques du systèmeplaque-cavité expérimental, i.e. une cuve en béton surmontée d’une plaque en acier, et le typed’excitation utilisé pour mettre la plaque en vibration, i.e. une force mécanique ponctuelleexcentrée avec un spectre de type bruit rose.

Nous nous sommes ensuite penchés plus précisément sur l’élaboration des configurationsstructurales. Pour l’essentiel, ces dernières résultent de la combinaison des modalités prises partrois paramètres structuraux (l’épaisseur de la plaque, les propriétés en absorption de la cavitéet les conditions de serrage de la plaque), dont le choix a été justifié. Neuf de ces combinaisonsont été définies via l’utilisation d’un plan fractionnaire de Taguchi (L9), deux l’ont été par nossoins.

Puis nous avons passé en revue les protocoles suivis pour la réalisation des différentes me-sures, vibratoires et acoustiques, sur les configurations du système plaque-cavité. À partir desenregistrements sonores réalisés, nous avons procédé à la formation de stimuli, des échantillonsde 4 secondes corrigés par la fonction de transfert inverse du casque utilisé pour la restitutionsonore lors des évaluations auditives.

Par la suite, nous avons illustré les effets de la variation des différents paramètres struc-turaux sur la réponse vibro-acoustique du système plaque-cavité au travers de l’analyse desspectres de deux indicateurs vibro-acoustiques, le niveau de vitesse quadratique moyenne dela plaque et le niveau de pression acoustique aux points M1 et M2 intérieurs à la cavité.

Enfin, concernant les mesures acoustiques, nous avons vu qu’il était procédé pour les 9configurations du plan fractionnaire à une répétition (incluant un montage/démontage de laconfiguration) de l’enregistrement des sons rayonnés par la plaque à l’intérieur de la cavité,après avoir préliminairement observé une certaine dispersion de la mesure, imputable auxmanipulations requises pour la mise en place d’une configuration. Aussi, avant toute chose,nous souhaitons au cours du chapitre suivant évaluer l’effet de la dispersion de la mesure surla perception auditive en usant des stimuli issus de cette répétition de la mesure.

74

Chapitre 5

Évaluation des effets de la dispersion de lamesure acoustique sur la perception auditive

Dans la pratique, la mise en place d’une configuration sur le banc de mesure nécessite dif-férentes manipulations telles que l’établissement de la liaison collée entre la plaque et le potvibrant, la mise en position de la plaque sur la face supérieure de la cavité, ou encore le serrageà la clé dynamométrique des écrous. Malgré le soin pris à réaliser ces manipulations1, l’en-semble des incertitudes qui sont inhérentes à ces manipulations est susceptible d’engendrer dela dispersion dans le comportement vibratoire de la plaque. Cette dispersion, sujette à fluctuerde manière assez aléatoire et qui plus est dans des proportions différentes selon la configurationconsidérée, peut par la suite provoquer de la dispersion dans la pression acoustique rayonnéepar la plaque, mesurée aux deux points de réception à l’intérieur de la cavité. Par conséquent,cette dispersion est susceptible d’affecter à terme la perception auditive des sons enregistrés,en sus de la variation des paramètres structuraux, dont les effets font proprement l’objet del’étude.

Ainsi, un test d’écoute est en premier lieu lancé dans le but d’évaluer les effets liés à ladispersion de la mesure sur la perception des sons rayonnés à l’intérieur de la cavité. Cettepremière évaluation permet de juger de la fiabilité du banc de mesure vis-à-vis de l’usage auquelil est voué : évaluer les effets sur la perception auditive liés à la variation des paramètresstructuraux du système plaque-cavité.

La répétition de la mesure acoustique pour les 9 configurations structurales issues de latable de Taguchi — impliquant un montage/démontage de la configuration (Cf. section 4.3)— a été réalisée spécifiquement pour rendre possible l’évaluation auditive des effets liés à ladispersion de la mesure ; cette répétition nous procure pour chaque configuration deux niveauxde dispersion.

Dans une première section, nous aborderons la mise en œuvre du test d’écoute ; notamment,nous préciserons les stimuli soumis à évaluation et présenterons le protocole adopté, reposant

1Notons que, suivant l’ordre des configurations donné par le plan d’expériences, certaines manipulationssont requises et d’autres non lors du passage d’une configuration à l’autre.

75

Chapitre 5. Évaluation des effets de la dispersion de la mesure acoustique sur la perception auditive

sur une procédure d’évaluation “mixte” de la dissimilarité par rapport à un son de référence.Le traitement des données de dissimilarité recueillies, basé sur l’analyse de variance (ANO-

VA), sera exposé dans une seconde section. Nous spécifierons le schéma d’analyse retenu,formulé en adéquation avec les spécificités liées à l’expérimentation présentée au chapitre 4 età l’évaluation auditive des sons rayonnés. Puis, nous procéderons à l’examen des résultats del’analyse, et statuerons sur l’influence de la dispersion de la mesure sur la perception des sonsrayonnés, i.e. sur la fiabilité du banc de mesure expérimental utilisé.

76

5.1. Mise en œuvre du test d’écoute

5.1 Mise en œuvre du test d’écoute

5.1.1 Sujets

Trente sujets, 7 femmes et 23 hommes, d’âge compris entre 20 et 60 ans, ont pris part autest d’écoute. Ces auditeurs sont principalement des étudiants de l’INSA et de l’ENTPE oudes membres du LVA. Aucun n’a reporté de problème auditif particulier.

5.1.2 Stimuli

Les stimuli issus des deux enregistrements sonores réalisés pour les 9 configurations struc-turales du plan d’expériences fractionnaire, i.e. A1, B1, ..., I1 et A2, B2, ..., I2, sont retenus.Les stimuli provenant de l’unique enregistrement sonore réalisé pour les configurations complé-mentaires, i.e. J1 et K1, sont également considérés. Ainsi, 20 stimuli sont soumis à l’évaluationauditive par les auditeurs.

5.1.3 Protocole de test

Nous optons pour une procédure d’évaluation “mixte” [KP06], autorisant la présentationsimultanée de tous les stimuli à l’auditeur. La tâche proposée consiste à évaluer la dissimilaritéentre chaque stimulus mentionné ci-dessus et un stimulus de référence. Nous avons vu dans lasection 2.2.1.3 que, pour cette tâche, la procédure laisse la possibilité à l’auditeur de procéderà une double évaluation comparative, i.e comparaison des sons par rapport au son de référenceet comparaison des sons entre eux. De ce fait, le score de dissimilarité donné par l’auditeurà un stimulus sur l’échelle unidimensionnelle peut être vu comme le fruit d’une combinaisonentre i) la distance psychologique qu’il évalue entre ce stimulus et le stimulus de référence,et ii) les distances psychologiques qu’il évalue entre ce stimulus et les autres stimuli du test.Notamment, l’accès de l’auditeur à cette seconde évaluation permet d’arguer qu’une égalitéentre deux scores de dissimilarité évalués par l’auditeur pour deux sons différents (i.e. deuxpositions de curseur analogues, Cf. section 5.1.3.1) signifie que ces deux sons ont été trèsvraisemblablement perçus comme similaires par l’auditeur. Cette correspondance autorise àdresser, à partir des résultats de l’analyse de variance que nous mènerons sur les scores dedissimilarité (Cf. section 5.2), des conclusions opportunes quant à la problématique qui nousintéresse, i.e. l’appréciation des effets de la dispersion de la mesure, liée aux manipulations,sur la perception des sons rayonnés.

5.1.3.1 Dispositif expérimental

Le test d’écoute se déroule dans la salle de test du LVA. Les sons sont restitués parun casque ouvert Sennheiser HD600 via une carte son haute qualité Gina3G © Echo. Lemode de restitution stéréophonique par casque est adéquat à la technique d’enregistrementadoptée pour les mesures acoustiques expérimentales (i.e. enregistrement simultané aux points

77


M1 et M2 dans la cavité). Le niveau moyen de diffusion est égal à 72 dB(A). La procédured’évaluation est entièrement régie par un programme développé sous Matlab © Mathworks parKoehl [Koe05]. Au début du test, une écoute préalable de l’ensemble des stimuli est proposéeaux auditeurs. Puis, des instructions leur sont données à l’écran (Cf. figure 5.1).

Fig. 5.1 – Instructions données aux auditeurs au début du test.

Après lecture des instructions, l’interface de présentation et de réponse s’affiche, avecl’ensemble des stimuli à évaluer ainsi que le stimulus de référence (Cf. Figure 5.2). Pourchaque auditeur, les stimuli sont présentés dans un ordre initial différent, i.e. la numérotationdes sons (dans la partie gauche de l’interface, Cf. Figure 5.2) est définie de manière aléatoire.

Pour évaluer la dissimilarité entre les stimuli et le stimulus de référence, l’auditeur peutdéplacer un curseur propre à chaque stimulus, positionné par défaut à l’extrémité “identiqueà la référence”. L’échelle de réponse est quasi-continue ; les réponses sont codées entre 0 (pourun son jugé identique au son de référence) et 1 (pour un son jugé très différent du son deréférence).

Afin de faciliter la tâche à l’auditeur et de lui permettre d’affiner son évaluation, il luiest laissé la possibilité de réorganiser les sons à tout moment du test suivant leur différencecroissante par rapport au son de référence.

Pour un nombre relativement important de stimuli à évaluer (i.e. 20), la procédure d’éva-luation “mixte”, i.e. avec présentation simultanée des stimuli, présente l’avantage de permettredes durées de test raisonnables (entre 15 et 25 minutes suivant les auditeurs).

78


Fig. 5.2 – Interface de présentation et de réponse “mixte” développée par Koehl [Koe05].

5.1.3.2 Choix du stimulus de référence

La sélection du stimulus de référence, opérée parmi les stimuli, requiert une attention touteparticulière. En effet, ce choix conditionne a priori la gamme des distances psychologiques quipourront alors exister entre le stimulus de référence et les stimuli du test2. Ce choix peut doncavoir une influence non négligeable à terme sur la dynamique d’échelle utilisée par les auditeurspour l’ensemble de leurs jugements. En outre, dans le cas où cette dynamique d’échelle seraitréduite, le potentiel de notre analyse s’en trouverait fortement affaibli ; aussi, avons-nous toutintérêt à favoriser l’utilisation de la pleine échelle par les auditeurs ; le choix du stimulus deréférence doit pleinement s’inscrire dans cette logique.

Notre quête est guidée par la vue de l’esprit selon laquelle l’évaluation de la distancepsychologique existant entre le stimulus de référence et un stimulus du test3 résulte d’unprocessus d’évaluation, propre à chaque auditeur, des distances existant entre les deux sonsselon différents attributs auditifs saillants. De ce point de vue, nous proposons de sélectionnercomme stimulus de référence un stimulus qui présente simultanément des valeurs extrémalesde ces attributs auditifs saillants. Ce choix devrait permettre d’accroître a priori la dynamiqued’échelle utilisée par les auditeurs.

Ainsi, un test d’écoute préliminaire4, basé sur la méthode de comparaison par paires (in-troduite dans la section 2.2.1.1), est lancé dans le but spécifique de repérer le(s) son(s) pouvantprésenter les caractéristiques recherchées. Le test porte uniquement sur les stimuli A1 à K1. En

2Distances dont l’évaluation par l’auditeur rentre en ligne de compte dans l’établissement final de son scorede dissimilarité, comme nous avons pu le voir précédemment.

3Ainsi que l’évaluation de la distance psychologique existant entre deux stimuli du test.4Le protocole suivi est présenté en détail dans la section 6.1.3.

79


effet, pour parvenir à des durées de test raisonnables, il est nécessaire de restreindre le nombrede stimuli à présenter ; en outre, la sélection des 11 sons issus du premier enregistrement so-nore permet de préserver l’étendue des disparités existant entre les 20 sons du corpus initial.La tâche demandée à chaque auditeur participant au test (33 auditeurs au total) consiste àévaluer pour chaque paire la dissimilarité entre les deux stimuli. Le traitement des donnéesde dissimilarité via le modèle E.M.D. INDSCAL5 (introduit dans la section 2.2.3) mène àl’établissement de l’espace perceptif de dissimilarité (à 2 dimensions) des stimuli A1 à K1,qui rend compte des distances psychologiques pouvant exister entre eux (Cf. figure 5.3). Lesaxes de cet espace désignent les attributs auditifs saillants des sons vraisemblablement utiliséspar les sujets pour les différencier6 ; leur identification précise n’est pas recherchée ici, noussouhaitons seulement nous enquérir des positions relatives des stimuli dans l’espace perceptifde dissimilarité. À partir de la figure 5.3, on peut arguer que les stimuli C1, H1, I1 et J1

(entourés en traits pointillés sur la figure), présentant simultanément des coordonnées (quasi-)extrémales suivant les deux dimensions de l’espace, constituent les alternatives possibles pourle choix du stimulus de référence.

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1J

1

K1

Dimension 1

Dim

ensi

on 2

Fig. 5.3 – Espace perceptif de dissimilarité 2D dressé pour les stimuli A1 à K1. – – : alternativespossibles pour le choix du stimulus de référence.

Pour aider à notre choix final parmi ces quatre alternatives, nous dressons pour chaquestimulus de référence pressenti un profil des distances existant entre lui et les autres stimuli,

5L’analyse E.M.D. est réalisée conformément aux points de méthodologie présentés dans les sections 6.1.4.2.aet 6.1.4.2.b.

6Le modèle INDSCAL suppose que les auditeurs utilisent les mêmes attributs auditifs saillants, ce quiconstitue une hypothèse simplificatrice.

80


classées par ordre croissant (Cf. figure 5.4) ; ces distances sont recalculées à partir de leurscoordonnées respectives dans l’espace.

B1

A1

J1

I1

F1

E1

K1

G1

H1

D1

Stimulus

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Dis

tance

s à

par

tir

du s

tim

ulu

s C

1

(a) Stimulus de référence : C1.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Dis

tan

ces

à p

arti

r d

u s

tim

ulu

s H

1

B1

A1

C1

I1

F1

E1

K1

G1

J1

D1

Stimulus

(b) Stimulus de référence : H1.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Dis

tan

ces

à p

arti

r d

u s

tim

ulu

s I 1

B1

A1

C1

J1

F1

E1

K1

G1

H1

D1

Stimulus

(c) Stimulus de référence : I1.

B1

A1

C1

I1

F1

E1

K1

G1

H1

D1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Stimulus

Dis

tan

ces

à p

arti

r d

u s

tim

ulu

s J 1

(d) Stimulus de référence : J1.

Fig. 5.4 – Distances entre chaque stimulus de référence pressenti et les autres stimuli, recal-culées à partir des coordonnées dans l’espace perceptif de dissimilarité.

Parmi les quatre profils affichés sur la figure 5.4, celui associé au stimulus J1 apparaîtcomme le plus intéressant : les distances s’étendent sur un large intervalle, et l’accroissementde la distance d’un stimulus à l’autre est assez régulier. Ces éléments favorables nous amènentà retenir le stimulus J1 comme stimulus de référence.

81


5.2 Appréciation des effets de la dispersion de la mesure sur laperception auditive par l’analyse de variance (ANOVA)

En préalable à la présentation du schéma d’analyse élaboré pour notre cas d’étude (Cf.section 5.2.1) et des résultats de cette analyse (Cf. section 5.2.2), un lexique de terminologieest proposé dans la section D.1. L’usage de l’ANOVA est très répandu dans le domaine dela psychologie expérimentale. Fondamentalement, cette analyse statistique permet de testerles différences entre plusieurs moyennes d’échantillon de réponses, classifiées suivant un ouplusieurs facteurs sous-jacents au plan d’expériences mis en oeuvre pour collecter les réponses.

5.2.1 Élaboration d’un schéma d’analyse adapté à notre cas d’étude

En premier lieu, on peut considérer comme échantillon de réponses un ensemble de scores dedissimilarité donnés par les auditeurs à un seul et même son testé. Pour l’analyse de variance,nous ne retenons finalement que les échantillons de réponses correspondant aux stimuli A1 à I1

et A2 à I2. Ainsi, tous les échantillons peuvent, dans une première esquisse, se classifier suivantles quatre facteurs variables du plan d’expériences : l’épaisseur de la plaque (α), les propriétésen absorption de la cavité (β), les conditions de serrage de la plaque (γ) et la dispersion dela mesure (D). Dans ce qui suit, nous commencerons par spécifier certains points importantsrelatifs à l’expérimentation (Cf. chapitre 4) et à l’évaluation auditive des stimuli selon laprocédure “mixte” (Cf. section 5.2.1.1), en considération desquels nous avons procédé par lasuite à la formulation du schéma d’analyse (Cf. section 5.2.1.2).

5.2.1.1 Les points importants

5.2.1.1.a La prise en compte des différences inter-sujets : incursion d’un fac-teur sujets (S) et fusion des trois facteurs α, β, γ en un facteur uniqueps

La figure 5.5 représente les scores de dissimilarité moyens (dans leur intervalle de confianceà 95%) obtenus par les stimuli A1 à I1 et A2 à I2. On peut observer que la largeur des intervallesde confiance à 95% est substantielle.

Dans l’analyse de variance, lorsque les différences inter-individuelles sont substantiellementà l’origine de variabilité à l’intérieur des échantillons, il devient nécessaire de “contrôler” leseffets dûs à ces différences, ceci afin de ne pas fausser l’issue du test des hypothèses nullesconcernant l’absence d’effets liés aux facteurs étudiés (i.e. ici les paramètres structuraux etla dispersion de la mesure) ou aux interactions entre ces facteurs [How98]. Dans la pratique,on a recours à la formation d’un facteur propre aux sujets (S), ayant pour effet d’enlever dela composante d’erreur les différences inter-individuelles. Ce “contrôle” n’est toutefois envisa-geable que dans le cadre de mesures répétées, cadre dans lequel nous nous plaçons puisque lesdifférents échantillons de scores de dissimilarité proviennent de l’évaluation des différents sons

82

5.2. Appréciation des effets de la dispersion de la mesure sur la perception auditive par l’analyse de

variance (ANOVA)

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

StimulusA

2B

2C

2D

2E

2G

2H

2I2

F2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Scor

e de

dis

sim

ilari

té m

oyen

Fig. 5.5 – Scores de dissimilarité moyens, dans leur intervalle de confiance à 95%, obtenus parles stimuli A1 à I1 et A2 à I2.

par un même groupe de sujets.En outre, cette pratique nécessite que nous disposions des réponses des sujets pour toutes

les combinaisons possibles entre les niveaux des facteurs en présence [How98] (i.e. α, β, γ et D).Or, de par notre utilisation d’un plan fractionnaire7 pour la définition des combinaisons entreles modalités des trois paramètres structuraux (α, β et γ), cette condition ne peut être remplie.Néanmoins, pour pallier ce problème, une solution consiste à transformer pour l’analyse le planfactoriel fractionnaire à trois facteurs α, β et γ (à trois niveaux chacun) en un plan factorielcomplet à un seul facteur à neuf niveaux ; en d’autres termes, cette transformation revient doncà “mettre à plat” les 9 cellules pleines8 du plan factoriel fractionnaire d’origine. Cette miseà plat sous-entend que la comparaison entre les moyennes des cellules du plan fractionnaireest permise ; dans notre cas de figure, cette comparaison est sensée puisque les trois facteurssous-jacents au plan fractionnaire sont de la même nature (ce sont tous trois des paramètresstructuraux). Aussi, le facteur unique résultant de cette transformation peut se voir commele paramétrage structural (ps) du système plaque-cavité, ses différents niveaux correspondantaux 9 configurations structurales de la table L9 (configurations A à I).

En contre-partie, l’adoption de cette solution ne permet plus l’évaluation des effets surla perception auditive liés à chacun des paramètres structuraux α, β et γ. Toutefois, cetteévaluation n’est pas indispensable puisque notre principale préoccupation dans cette partiereste l’évaluation des effets de la dispersion de la mesure (D) sur la perception auditive, ceque rend possible l’analyse de variance sur les observations finalement classifiées suivant les

7Dont le principe ne consiste à retenir qu’un nombre réduit de combinaisons.8Pour un plan factoriel à 3 facteurs à 3 niveaux, le nombre total de cellules est égal à 27 ; toutes les cellules

sont pleines, i.e. comportent des observations, si le plan factoriel est complet ; seulement 9 cellules sont pleinessi le plan factoriel est un plan fractionnaire L9.

83


facteurs S, ps et D. L’évaluation des effets de la variation des différents paramètres structurauxsur la perception des sons rayonnés figurera au premier plan de nos préoccupations dans lasuite de ces travaux (Cf. chapitre 6 : établissement de tendances qualitatives originales relativesà l’influence de la variation de paramètres structuraux d’un système plaque-cavité).

5.2.1.1.b La nature des facteurs S, ps et D

La nature des facteurs est étroitement liée au processus selon lequel leurs niveaux sontobtenus ; aussi, leur nature influe sur l’espérance mathématique des carrés moyens associésaux différentes sources de variabilité, et donc sur la formation des statistiques-test [How98].

Parce que les configurations structurales, i.e. les niveaux du paramétrage structural, ontété choisies par nos soins, le facteur ps est un facteur fixe.

Communément, le facteur sujets S est un facteur aléatoire9 ; les sujets participant à l’ex-périence sont toujours considérés comme étant choisis au hasard parmi une quasi-infinité desujets possibles.

Enfin, la dispersion de la mesure n’est pas contrôlée lors de l’expérimentation ; ainsi, lesdeux niveaux obtenus pour chaque configuration structurale peuvent se voir comme deux étatsde dispersion de la mesure tirés au hasard parmi une quasi-infinité d’états possibles. Le facteurD est donc également aléatoire.

5.2.1.1.c La nature des relations entre les facteurs S, ps et D

En ce qui concerne ps et D, comme nous avons pu le mentionner dans l’introduction de cechapitre, la dispersion de la mesure (D) est sujette à fluctuer dans des proportions différentesselon la configuration structurale considérée (i.e. le niveau considéré du paramétrage structuralps) ; les deux niveaux du facteur D sont ainsi propres à chaque configuration, i.e. il n’existeaucune correspondance entre les premiers niveaux de dispersion de la mesure associés auxdifférentes configurations structurales et de même aucune correspondance entre les secondsniveaux : le facteur D est subordonné au facteur ps [Dag06].

Le facteur sujets S est quant à lui croisé à la fois avec le facteur ps et avec le facteur D,puisque les mêmes sujets évaluent les effets liés au paramétrage structural et les effets liés àla dispersion de la mesure à l’intérieur des différentes configurations structurales.

Les inter-relations entre les trois facteurs ps, D et S sont résumées à travers le schémaprésenté sur la figure 5.6, tiré de la référence [Dag06]. Chaque ligne représente un facteur ; uneligne parallèle (et incluse) à une autre désigne un facteur subordonné à un autre, deux lignesintersectées désignent deux facteurs croisés.

9Nous spécifions ici les règles de casse utilisées jusqu’ici implicitement pour les facteurs [Dag06] : une lettreminuscule désigne un facteur fixe ; une lettre majuscule désigne un facteur aléatoire (valable également pourtoute variable à caractère aléatoire).

84


variance (ANOVA)

S ps D

Fig. 5.6 – Schéma des inter-relations entre les 3 facteurs S, ps et D, tiré de la référence[Dag06].

5.2.1.2 Formulation du schéma d’analyse

Dans cette section, nous présentons le schéma d’analyse formulé afin de traiter les scoresde dissimilarité classifiés, comme vu précédemment, suivant i) le facteur sujets S, à N =30 niveaux, ii) le facteur paramétrage structural ps, à nps = 9 niveaux10, et iii) le facteurdispersion de la mesure D, à nD = 2 niveaux11.

Ce schéma comporte deux phases : i) l’analyse globale (Cf. section 5.2.1.2.a), ii) l’analysedes effets simples de la dispersion de la mesure pour les différentes configurations structurales(Cf. section 5.2.1.2.b).

5.2.1.2.a Analyse globale

Dans cette première phase, la procédure ANOVA porte sur l’ensemble des données récoltées(Cf. tableau de données 5.1) ; nous cherchons à analyser les effets dûs aux différentes sourcesde variabilité afférentes aux facteurs S, ps et D, i.e. les facteurs eux-mêmes et les possiblesinteractions existant entre eux.

Modèle théorique Le modèle théorique est un modèle partiellement hiérarchisé, mixte,à 3 facteurs ; il est défini comme suit [Dag06] :

Xijk = m... + Si + psj + (Sps)ij + Dk|j + (SD)ik|j + Eijk (5.1)

où :– Xijk est une réponse donnée par un sujet i,– m... est la moyenne générale,– les termes Si sont les effets principaux du facteur S,– les termes psj sont les effets principaux du facteur ps,

10Niveau 1 = configuration A, ..., niveau 9 = configuration J .11Niveau 1 = état de dispersion correspondant à la première mesure acoustique, niveau 2 = état de dispersion

correspondant à la seconde mesure acoustique (NB : après démontage/remontage de la configuration).

85


ps

1 · · · j · · · 9D · · · D · · · D Moy.

S 1 2 Moy. · · · 1 2 Moy. · · · 1 2 Moy.1 x111 x112 x11. · · · x1j1 x1j2 x1j. · · · x191 x192 x19. x1..

......

......

......

......

......

...i xi11 xi12 xi1. · · · xij1 xij2 xij. · · · xi91 xi92 xi9. xi..

......

......

......

......

......

...30 x30 11 x30 12 x30 1. · · · x30 j1 x30 j2 x30 j. · · · x30 91 x30 92 x30 9. x30..

Moy. x.11 x.12 x.1. · · · x.j1 x.j2 x.j. · · · x.91 x.92 x.9. x...

Tab. 5.1 – Tableau de données pour l’analyse globale.

– les termes (Sps)ij sont les termes d’interaction entre les facteurs S et ps,– les termes Dk|j sont les effets principaux du facteur D, pour les différentes modalités du

facteur ps ; ces termes remplacent les termes Dk et (psD)jk qui seraient présents si lemodèle était croisé12,

– les termes (SD)ik|j sont les termes d’interaction entre le facteur S et le facteur D, pourles différentes modalités du facteur ps ; ces termes prennent la place des termes (SD)ik

et (SpsD)ijk qui seraient présents si le modèle était croisé,– Eijk est l’erreur expérimentale associée au sujet i pour le keme niveau du facteur D à

l’intérieur du j eme niveau du facteur ps.Les interactions présentes dans le modèle sont indiquées par les intersections des lignes qui

apparaissent dans le schéma de la figure 5.6.

Hypothèses nulles et statistiques-test associées L’hypothèse nulle que nous sou-haitons tester en premier lieu concerne l’absence d’effet principal de la dispersion de la mesureà l’intérieur des différentes configurations structurales :

H0 : σ2D|ps

= 0 (5.2)

On peut remarquer que, pour une source de variabilité à caractère aléatoire13, ici D|ps,l’énonciation de l’hypothèse nulle fait intervenir la composante de la variance totale qui luiest associée, ici σ2

D|ps. Cette énonciation renvoie au fait que l’hypothèse nulle porte sur les

moyennes d’une quasi-infinité de populations14, et non pas sur les moyennes d’un nombre fini

12Cf. rubrique “Modèle croisé / hiérarchisé” dans la section D.1.13Toute source de variabilité impliquant au moins un facteur aléatoire revêt également un caractère aléatoire.

Ainsi, D et S étant des facteurs aléatoires, Sps, D|ps et SD|ps sont des sources de variabilité à caractèrealéatoire.

14Concernant la source D|ps, nous disposons de deux échantillons de N réponses pour chaque configurationstructurale, i.e. un par niveau de dispersion de la mesure ; ces échantillons sont prélevés dans deux populations,tirées au hasard parmi une quasi-infinité de populations possibles renvoyant à une quasi-infinité d’états possibles

86


variance (ANOVA)

de populations comme il est le cas pour les sources de variabilité à caractère fixe15. Dansce dernier cas, l’énonciation de l’hypothèse nulle fait directement intervenir les moyennes depopulation, i.e. les effets principaux s’il s’agit d’un facteur (Cf. ci-après le cas du facteur fixe ps)ou les termes d’interaction s’il s’agit d’une interaction entre facteurs (Cf. exemple D.3 dans lasection D.1).

Une autre hypothèse nulle intéressante à tester concerne l’absence d’effet principal duparamétrage structural :

H ′0 : ps1 = ps2 = · · · = ps9 = 0 (5.3)

En effet, le test de cette hypothèse nulle procure un moyen de vérifier, via son hypothétiquerejet, que les différences de paramétrage structural entre les configurations expérimentées sonteffectivement à l’origine de différences dans la perception des sons rayonnés par la plaque àl’intérieur de la cavité.

La procédure ANOVA permet de tester deux autres hypothèses nulles qui concernentrespectivement l’absence d’effet principal des sujets et l’absence de terme d’interaction entreles sujets et le paramétrage structural :

H ′′0 : σ2

S = 0 (5.4)

H ′′′0 : σ2

Sps= 0 (5.5)

où σ2S et σ2

Spssont les composantes de la variance totale respectivement liées au facteur S et à

l’interaction entre les facteurs S et ps. Ces hypothèses nulles revêtent une importance moindrerelativement aux problématiques qui nous intéressent directement16.

Les statistiques-test FD|ps, FS et FSps , respectivement associées au test des hypothèses

nulles H0, H ′′0 et H ′′′

0 , s’écrivent :

FD|ps=

CMD|ps

CMSD|ps

(5.6)

FS =CMS

CMSD|ps

(5.7)

FSps =CMSps

CMSD|ps

(5.8)

de dispersion de la mesure.15Toute source de variabilité n’impliquant que des facteurs fixes revêt également un caractère fixe.16D’après Howell [How98], l’interaction Sps renverrait au fait que différents sujets puissent réagir différem-

ment aux stimuli correspondant à différentes configurations structurales, et ainsi classifier ces stimuli diffé-remment suivant leur dissimilarité avec le stimulus de référence. Le facteur S, quant à lui, dénoterait le faitque les auditeurs puissent avoir une conception différente du niveau de dissimilarité requis pour donner unscore donné, i.e. que les auditeurs, lorsqu’ils sont d’accord pour dire quels stimuli sont les plus dissimilairesdu stimulus de référence (et les plus similaires), puissent ne pas être d’accord sur l’ampleur de la dissimilaritéconstatée.

87


où CMD|ps, CMS , CMSps et CMSD|ps

sont les carrés moyens respectivement associés auxsources de variabilité D|ps, S, Sps et SD|ps. Ces trois statistiques-test sont formées en sui-vant la règle de base énoncée dans la section D.1, rubrique “Variable de Fisher-Snedecor -Statistique-test”. Les espérances mathématiques des carrés moyens, dont l’examen guide laformation des statistiques-test, sont reportées dans le tableau D.1.

Concernant le test de l’hypothèse nulle H ′0, on ne peut constituer de statistique-test satis-

faisant à la règle de base17. Toutefois, à condition que l’hypothèse nulle H0 (i.e. σ2D|ps

= 0)ne puisse être rejetée à un risque de première espèce α élevé, e.g. α = 0.25 comme préconisépar Montgomery [Mon97], on pourra utiliser la variable Fps suivante :

Fps =CMps

CMSps

(5.9)

où CMps est le carré moyen associé au facteur ps.

Dans la pratique, les différents carrés moyens CMS , CMps , CMSps , CMSD|pset CMSD|ps

sont calculés à partir de leurs sommes des carrés des écarts respectives18, i.e. SCES , SCEps ,SCESps , SCESD|ps

et SCESD|ps. L’équation de la variance19 correspondante est présentée

dans la section D.2.2.

Enfin, on pourra remarquer qu’une hypothèse nulle n’a pas été abordée ici, celle concernantl’absence de terme d’interaction entre les sujets et la dispersion de la mesure à l’intérieur desdifférentes configurations structurales (i.e. SD|ps). En effet, la procédure ANOVA adoptéerend impossible son test20.

5.2.1.2.b Analyse des effets simples de la dispersion de la mesure

Dans cette seconde phase, nous cherchons à analyser les effets simples de la dispersionde la mesure pour les différentes configurations structurales, i.e. l’effet de la dispersion dela mesure, configuration structurale par configuration structurale. À cet égard, pour chaqueconfiguration structurale, on procède isolément à une ANOVA sur les réponses récoltées pourles deux stimuli renvoyant à ses deux niveaux de dispersion21 (Cf. tableau 5.2). La procédureANOVA appliquée à chaque niveau j du paramétrage structural est spécifiée ci-après.

17L’absence d’effet principal du facteur ps ne peut être proprement testée, du fait de la présence de lacomposante de la variance liée à la source de variabilité D|ps (i.e. σ2

D|ps) dans l’expression de l’espérance

mathématique du carré moyen associé au facteur ps (Cf. tableau D.1).18Cf. section D.1, rubrique “Carrés moyens”.19Cf. section D.1, rubrique “Sommes des carrés des écarts”.20La composante de la variance totale liée à cette interaction, i.e. σ2

SD|psest indissociable de la variance de

l’erreur Eijk, i.e. σ2 (Cf. tableau D.1), dont l’estimation n’est pas accessible [How98].21Ce qui revient à procéder à un test t sur échantillons appariés [How98].

88


variance (ANOVA)

D

S 1 2 Moy.

1 x111 x112 x11.

......

......

i xi11 xi12 xi1.

......

......

30 x30 11 x30 12 x30 1.

Moy. x.11 x.12 x.1.

Tableau 1 : Niveau 1 de ps.

· · ·

D

S 1 2 Moy.

1 x1j1 x1j2 x1j.

......

......

i xij1 xij2 xij.

......

......

30 x30 j1 x30 j2 x30 j.

Moy. x.j1 x.j2 x.j.

Tableau j : Niveau j de ps.

· · ·

D

S 1 2 Moy.

1 x191 x192 x19.

......

......

i xi91 xi92 xi9.

......

......

30 x30 91 x30 92 x30 9.

Moy. x.91 x.92 x.9.

Tableau 9 : Niveau 9 de ps.

Tab. 5.2 – Tableaux de données pour l’analyse des effets simples de la dispersion de la mesure.

Modèle théorique Le modèle théorique est un modèle croisé, aléatoire, à 2 facteurs ; ilest défini comme suit [Dag06] :

X(j)ik = m(j)

.. + S(j)i + D

(j)k + (SD)(j)ik + E

(j)ik (5.10)

où :– X

(j)ik est une réponse donnée par un sujet i,

– m(j).. est la moyenne générale,

– les termes S(j)i sont les effets principaux du facteur S,

– les termes D(j)k sont les effets principaux du facteur D, i.e. les effets simples de la

dispersion de la mesure pour le niveau j considéré du paramétrage structural,– les termes (SD)(j)ik sont les termes d’interaction entre le facteur S et le facteur D,– E

(j)ik est l’erreur expérimentale associée au sujet i pour le keme niveau du facteur D.

Hypothèse nulle et statistique-test associée Notre attention se porte sur une seulehypothèse nulle, celle concernant l’absence d’effet simple de la dispersion de la mesure pourla configuration structurale considérée :

H(j)0 : σ

(j) 2

D = 0 (5.11)

où σ(j) 2

D est la composante de la variance totale liée au facteur D.La statistique-test F

(j)D associée au test de l’hypothèse nulle H

(j)0 s’écrit :

F(j)D =

CM(j)D

CM(j)SD

(5.12)

où CM(j)D et CM

(j)SD sont les carrés moyens respectivement associés au facteur D et à l’interac-

tion entre les facteurs S et D. Les espérances mathématiques des carrés moyens sont reportéesdans le tableau D.2. L’équation de la variance et les différentes sommes des carrés des écarts

89


sont présentées dans la section D.2.2.

5.2.1.2.c Interprétation des résultats des tests d’hypothèse

Les formules de calcul des seuils de signification observés22 p associés au test des différenteshypothèses nulles énoncées dans les deux phases de l’analyse sont fournies dans la section D.2.3.

Le choix de la valeur du risque de première espèce23 α est subjectif ; néanmoins, α estgénéralement pris égal à 0.01 et 0.05 [Poi04]. Aussi communément, une autre approche, plusgraduelle, est possible pour apprécier le degré de significativité des valeurs de p calculées ; c’estcette approche que nous emploierons par la suite. Notamment, l’hypothèse nulle pourra êtrerejetée pour trois niveaux de significativité de p : i) pour p inférieur à α = 0.001, le résultatdu test d’hypothèse sera déclaré hautement significatif ; ii) pour p inférieur à α = 0.01, lerésultat sera déclaré très significatif ; iii) pour p inférieur à α = 0.05, le résultat sera déclarésignificatif. Pour p supérieur à α = 0.05, le résultat sera considéré comme non significatif etl’hypothèse nulle ne pourra être rejetée.

En outre, pour chaque hypothèse nulle, le résultat du test d’hypothèse indique seulementsi la source considérée est à l’origine ou non de variabilité dans les données qui ne peut êtreimputée à l’erreur. Ce résultat ne renseigne pas vraiment sur l’importance de l’effet expéri-mental dû à cette source. Aussi, en prolongement du test d’hypothèse, comme recommandépar certains auteurs [Poi04], la grandeur de l’effet expérimental24 dû à la source de variabilitésera mesurée via le calcul du coefficient ω2. Les formules de calcul des coefficients ω2 associésaux effets expérimentaux dûs aux différentes sources de variabilité considérées dans les deuxphases de l’analyse sont fournies dans la section D.2.4.

Par ailleurs, il faut noter que, en théorie, l’analyse des effets simples de la dispersion de lamesure pour les différentes configurations structurales (Cf. section 5.2.1.2.b) n’est normalementnécessaire que si, dans l’analyse globale (Cf. section 5.2.1.2.a), l’hypothèse nulle H0 concernantl’absence d’effet principal de la dispersion de la mesure est rejetée lors de son test. Toutefois,l’analyse des effets simples sera conduite même si cette hypothèse nulle ne peut être rejetée.En effet, le cas échéant, dans l’analyse des effets simples, nous ne serons pas tant intéresséspar les résultats des tests de signification25 (aspect inférentiel) que par la mesure, pour lesdifférentes configurations structurales, de la grandeur de l’effet expérimental dû à la dispersionde la mesure (aspect descriptif) : nous pourrons ainsi détecter d’éventuelles configurations pourlesquelles l’effet expérimental dû à la dispersion de la mesure serait, tout en restant limité,plus important.

22Cf. section D.1, rubrique “Seuil de signification observé p”.23Cf. section D.1, rubrique “Risque de première espèce α”.24Cf. section D.1, rubrique “Grandeur de l’effet expérimental”.25A priori non significatifs si le résultat du test de l’hypothèse nulle H0 est non significatif.

90


variance (ANOVA)

5.2.2 Résultats des analyses

Les calculs inhérents à l’application des procédures ANOVA sont réalisés sous Matlab ©Mathworks.

5.2.2.1 Analyse globale

Les résultats de la procédure ANOVA sont présentés dans le tableau résumé 5.3.

Source ddl SCE CM F p ω2

S 29 3.898 0.134 10.095 <.001 0.076ps 8 20.882 2.610 40.510 <.001 0.481

Sps 232 14.949 0.064 4.840 <.001 0.290D|ps 9 0.143 0.016 1.196 0.298 <.001

SD|ps 261 3.475 0.013Total 539 43.346

Tab. 5.3 – Tableau résumé. ddl : nombre de degrés de liberté, SCE : somme des carrés desécarts, CM : carrés moyens, F : statistique-test, p : seuil de signification observé, ω2 : indicateurde la grandeur de l’effet expérimental.

Tout d’abord, pour les sujets (S) et l’interaction entre les sujets et le paramétrage structural(Sps), les résultats des tests d’hypothèse sont tous deux hautement significatifs (p < 0.001).Les valeurs de ω2 associées (respectivement 0.076 et 0.290) confirment la présence de différencesde jugement entre les sujets26.

Ensuite — point le plus important —, concernant la source de variabilité D|ps, le résultatdu test d’hypothèse est non significatif (p = 0.298) ; ainsi, l’analyse ne permet pas d’inférerl’existence d’un effet lié à la dispersion de la mesure à l’intérieur des différentes configura-tions structurales. En outre, on peut observer que la grandeur de l’effet expérimental dû à ladispersion de la mesure est très faible (ω2 < 0.001).

Étant donné que l’hypothèse nulle H0 concernant l’absence d’effet dû la source de va-riabilité D|ps ne peut être rejetée à un risque de première espèce α élevé égal à 0.25 (Cf.section 5.2.1.2.a), l’hypothèse nulle H ′

0 concernant l’absence d’effet principal du paramétragestructural (ps) a pu être testée en recourant à la statistique Fps définie par l’expression (5.9).Le résultat du test se révèle hautement significatif (p < 0.001) ; on peut donc conclure àl’existence d’un effet dû au paramétrage structural. La grandeur de l’effet expérimental vientconforter cette conclusion : la composante de variance liée au facteur ps représente près de50% de la variance totale (ω2 = 0.481).

26La valeur de ω2 associée à l’interaction Sps est en outre plus importante ; les différences observées semblentainsi s’expliquer en plus grande partie par le fait que les sujets aient réagi différemment aux stimuli correspon-dant à différentes configurations structurales (Cf. note de pied de page n16, page 87).

91


5.2.2.2 Analyse des effets simples de la dispersion de la mesure

Le tableau 5.4 montre les résultats de la procédure ANOVA réalisée isolément pour chaqueconfiguration structurale ; dans le tableau sont reportées les valeurs de statistique-test F

(j)D

et de seuil de signification observé p(j)D associées aux tests de l’hypothèse nulle concernant

l’absence d’effet simple de la dispersion de la mesure, ainsi que les valeurs de ω(j) 2

D correspon-dantes. Les configurations sont classées par ordre croissant de la valeur de p

(j)D .

Config. F(j)D p

(j)D ω

(j) 2

D

A 3.471 0.073 0.040H 1.675 0.214 0.008C 1.067 0.310 <.001I 0.762 0.390 <.001B 0.406 0.529 <.001E 0.324 0.574 <.001D 0.288 0.596 <.001F 0.058 0.810 <.001G 0.050 0.825 <.001

Tab. 5.4 – Résultats de la procédure ANOVA réalisée isolément pour chaque configurationstructurale.

En cohérence avec le résultat non significatif observé pour le test de l’hypothèse nulle H0

(Cf. section 5.2.2.1), les résultats des tests d’hypothèse se révèlent ici tous non significatifs(au minimum p = 0.073). Néanmoins, on peut remarquer que l’effet expérimental dû à ladispersion de la mesure semble, tout en restant très faible, légèrement plus important pourcertaines configurations, i.e. A et H (respectivement ω

(j) 2

D = 0.04 et ω(j) 2

D = 0.008).En outre, les commentaires formulés ci-dessus concernant la valeur de ω

(j) 2

D relative àchaque configuration structurale, qui relèvent donc de seules considérations statistiques, sontconfortés par les impressions laissées après une écoute minutieuse des différents couples destimuli renvoyant à une même configuration structurale, i.e. (A1, A2), ..., (I1, I2) : les couples destimuli (A1, A2) et (H1, H2), pour lesquels les valeurs de ω

(j) 2

D se distinguent, sont les couplesau sein desquels apparaissent effectivement à l’écoute des différences légèrement perceptiblesentre les deux stimuli ; pour les autres couples, il est réellement difficile à l’écoute de faire unedistinction entre les deux stimuli.

5.3 Conclusions

Ce chapitre visait à évaluer qualitativement la fiabilité du banc de mesure en regard del’usage auquel il est destiné : la génération de sons réels, renvoyant à différentes configura-tions structurales du système, destinés à l’étude de l’influence de la variation de paramètres

92

5.3. Conclusions

structuraux sur la perception auditive. Notamment, de par les manipulations nécessitées parla mise en place des configurations structurales, l’existence d’effets liés à la dispersion de lamesure induite par ces manipulations sur la perception des sons rayonnés n’était pas à écarter.

Ainsi, les sons issus de la répétition de la mesure opérée pour chacune des configurations duplan fractionnaire ont été soumis à une première évaluation auditive menée auprès d’un juryd’auditeurs. Un protocole de test d’écoute fondé sur une évaluation “mixte” de la dissimilaritépar rapport à un son de référence a été adopté. Les effets de la dispersion de la mesure surla perception des sons rayonnés à l’intérieur de la cavité ont ainsi pu être évalués au traversde l’analyse de variance des réponses récoltées au test. Notamment, un schéma d’analyse, endeux phases, a été établi en réponse à certaines spécificités liées à l’expérimentation même età l’évaluation auditive :

– la présence d’importantes différences de jugement entre auditeurs, qui a notammentimpliqué de considérer trois facteurs : les sujets (S), le paramétrage structural (ps) et ladispersion de la mesure (D) ;

– le caractère aléatoire de la dispersion de la mesure ;– la subordination de la dispersion de la mesure au paramétrage structural.

De l’examen des résultats des analyses ont été tirés les principaux enseignements suivants :

i) il existe assurément un effet dû au paramétrage structural ; l’effet expérimental associéest très important ;

ii) on ne peut inférer l’existence d’un effet dû à la dispersion de la mesure pour les diffé-rentes configurations structurales ; l’effet expérimental associé est très faible ;

iii) l’effet expérimental dû à la dispersion de la mesure apparaît, tout en restant limité,relativement plus important pour les configurations A et H.

Les trois paramètres structuraux variables de l’étude (α, β et γ) avaient été initialementsélectionnés afin de s’assurer que des effets sur la perception auditive liés aux variations struc-turales contrôlées seraient bien “observables” (Cf. section 4.2.1) ; le choix des modalités de cesparamètres est en outre validé par le fait que les effets du paramétrage structural, variantdans le domaine d’étude défini par les modalités extrêmes des paramètres, apparaissent trèsimportants d’un point de vue perceptif (point i).

Le fait que l’on ne puisse inférer l’existence d’un effet dû à la dispersion de la mesurepour les différentes configurations structurales (point ii) laisse présager d’une fiabilité satis-faisante du banc de mesure, i.e. de la bonne aptitude du banc de mesure à générer de façonrépétée, pour chaque configuration structurale, des sons très proches perceptivement. Dansle cadre de l’expérimentation, la dispersion de la mesure semble rester globalement dans uneproportion telle, que les sons obtenus à partir de la répétition de la mesure sur une configura-tion structurale donnée demeurent, d’un point de vue perceptif, représentatifs du paramétragestructural imputé à cette configuration. Aussi, pour la suite de ces travaux, ceci signifie quel’établissement des tendances qualitatives relatives à l’influence de la variation des paramètres

93


structuraux sur la perception auditive (Cf. chapitre 6) pourra être réalisé en ayant l’assuranceque ces tendances seront essentiellement le fait de la variation contrôlée de ces paramètres (etnon liées à l’intervention d’un facteur parasite telle que la dispersion de la mesure).

Le fait que l’effet expérimental dû à la dispersion de la mesure soit, tout en demeurantfaible, relativement plus important pour certaines configurations telles que A et H (point iii)incite toutefois à la prudence. Pour ces configurations en particulier, il semble à propos deconfirmer les conclusions dressées au paragraphe précédent ; cette confirmation peut passerpar l’évaluation de la dissimilarité entre les stimuli via un autre protocole de test. A cet égard,on peut envisager d’incorporer les couples de stimuli concernés (A1, A2) et (H1, H2) au corpusde stimuli sur la base duquel seront établies les tendances qualitatives relatives aux effets de lavariation des paramètres structuraux sur la perception auditive, établissement qui passe parl’évaluation de la dissimilarité via la méthode de comparaison par paires (Cf. section 6.1.3.1).

94

Troisième partie

Ajustement de paramètres fréquentielsdes sons en vue d’une étude de la

qualité sonore du systèmeplaque-cavité à partir de simulations

vibro-acoustiques

95

Chapitre 6

Établissement de tendances qualitativesoriginales relatives à l’influence de lavariation de paramètres structuraux d’unsystème plaque-cavité

Dans ce chapitre, il est question d’étudier la qualité sonore du système plaque-cavité expéri-mental1 ; nous cherchons à dresser des tendances qualitatives originales relatives à l’influencede la variation des paramètres structuraux sur la perception des sons rayonnés par la plaqueà l’intérieur de la cavité ; ces tendances qualitatives sont qualifiées d’ “originales” car ellesémanent de l’évaluation auditive d’un corpus de sons réels, i.e. enregistrés pour différentesconfigurations structurales du système plaque-cavité expérimental.

En vue d’une étude de la qualité sonore du système plaque-cavité à partir de simulations desa réponse vibro-acoustique dans le domaine fréquentiel (e.g. simulations FEM/BEM), notreobjectif sera d’ajuster certains paramètres fréquentiels inhérents au calcul vibro-acoustique defaçon à ce que i) les efforts de calcul vibro-acoustique (ressources informatiques et temps decalcul) nécessaires restent raisonnables, et ii) les tendances qualitatives issues de l’évaluationauditive du corpus de sons synthétisés puissent refléter convenablement ces tendances qualita-tives originales, qui font office de référence. L’ajustement de ces paramètres fréquentiels seraabordé au travers des chapitres 7 et 8.

Dans une première section, nous décrirons les caractéristiques du test d’écoute mis enoeuvre. Notamment, nous préciserons le corpus de stimuli sonores adopté et le protocole ex-périmental utilisé pour collecter des informations subjectives sur ces stimuli auprès d’un juryd’auditeurs ; ce protocole, fondé sur la méthode de comparaison par paires, propose une doubleévaluation à l’auditeur, i.e. évaluation de la dissimilarité entre les sons et évaluation de lapréférence. En outre, nous détaillerons les outils utilisés pour traiter et analyser les réponses

1Plus précisément, il est question d’étudier la qualité des sons rayonnés par la plaque à l’intérieur de lacavité.

97

Chapitre 6. Établissement de tendances qualitatives originales relatives à l’influence de la variationde paramètres structuraux d’un système plaque-cavité

données par les sujets. Dans cette analyse, 3 grandes phases sont planifiées : i) l’analyse enclusters des sujets, ii) l’analyse des jugements de dissimilarité, et iii) l’analyse des jugementsde préférence. Nous préciserons leurs objectifs.

La seconde section est dédiée à la présentation des résultats des différentes analyses pro-posées. À partir de leur interprétation, nous dégagerons les tendances qualitatives relatives àl’influence de la variation des paramètres structuraux du système plaque-cavité sur la percep-tion auditive. Par “tendances qualitatives”, nous entendons des informations d’ordre perceptiftelles que i) les attributs auditifs utilisés par les auditeurs pour différencier les sons réels etexprimer des jugements de préférence sur ces sons, ii) les relations existant entre ces attributsauditifs et les paramètres structuraux variables du système plaque-cavité, et iii) les configura-tions structurales les plus à même d’améliorer la qualité des sons à l’intérieur de la cavité.

98


6.1 Mise en œuvre du test d’écoute

6.1.1 Sujets

Trente-trois sujets (12 femmes et 21 hommes), âgés de 20 à 55 ans, ont participé autest d’écoute. Ces auditeurs sont des membres du LASH ou des étudiants et personnels del’ENTPE.

6.1.2 Stimuli

Selon les conclusions établies au chapitre 5 relativement aux effets de la dispersion dela mesure sur la perception auditive, on peut choisir indifféremment les stimuli issus de lapremière ou de la seconde série de mesures acoustiques, ou bien un mélange de stimuli issusdes deux séries, pour évaluer l’influence de la variation des paramètres structuraux sur laperception des sons rayonnés par la plaque à l’intérieur de la cavité. Les stimuli A1 à K1 ontété choisis pour former le socle du corpus de stimuli soumis à l’évaluation auditive. Sur la basedes mêmes conclusions, les stimuli A2 et H2, pour lesquels de légères différences perceptivesavec leur associé respectif (A1 et H1) avaient pu toutefois être soulignées, sont ajoutés aucorpus de stimuli. Leur sélection offre ainsi l’opportunité de confirmer, via une autre méthoded’évaluation, la proximité des sons au sein de ces deux couples, i.e. la faiblesse de l’effetdû à la dispersion de la mesure comparativement à ceux dûs aux variations structurales dusystème expérimental. Ainsi, au total, 13 stimuli sont soumis à l’évaluation auditive par lejury d’auditeurs.

6.1.3 Protocole de test

Le protocole de test d’écoute utilisé, développé au LASH par Faure [Fau03], repose surla méthode de comparaison par paires. Afin d’éviter tout biais méthodologique, l’ordre deprésentation des paires et l’ordre des sons dans la paire sont déterminés aléatoirement pourchaque sujet. Le protocole permet l’évaluation simultanée de la dissimilarité et de la préférencepour chaque paire de sons jouée. Ses caractéristiques principales sont détaillées ci-après.

6.1.3.1 Évaluation de la dissimilarité

Les sujets se voient poser la question suivante : “Comment jugez-vous ces deux sons ?”. Lesjugements de dissimilarité sont récoltés sur une échelle numérique à catégories allant de 0 à 6.Des indications verbales sont associées aux extrémités de l’échelle : “Très semblables” pour lacatégorie “0” et “Très différents” pour la catégorie “6”. Le nombre de sept catégories apparaîtcomme un bon compromis entre une échelle avec plus de de catégories qui risquerait de rendrela tâche de jugement assez difficile et une échelle avec moins de catégories qui donnerait uneinformation moins précise sur les dissimilarités [Ram06].

99


78

Fig. 6.1 – Interface de présentation et de réponse développée par Faure [Fau03].

L’échelle est présentée aux sujets comme une échelle métrique, i.e. une note de 4 impliquedes sons deux fois plus différents qu’une note de 2. Nous évaluerons a posteriori à l’aide d’uncalcul fondé sur la méthode des intervalles successifs si cette échelle a réellement été interprétéecomme une échelle métrique (Cf. section 6.1.4.2.a).

6.1.3.2 Évaluation de la préférence

Un jugement de dominance selon la préférence est demandé aux sujets à la suite de la ques-tion portant sur la dissimilarité. La question posée est : “Quel son préférez-vous ?”. L’échellede réponse à choix forcé comporte deux catégories : “Son 1” et “Son 2”. Les sujets ayant jugédeux sons très semblables (catégorie “0”) n’ont pas à faire ce choix.


Le test se déroule dans la chambre semi-anéchoïque du LASH. Les sons sont restitués parun casque ouvert Sennheiser HD600 via une carte son haute qualité LynxONE © Lynx Studio

Technology. Le niveau moyen de diffusion est égal à 72 dB(A).Les dispositifs de présentation et de réponse sont regroupés sur une même interface, dé-

veloppée par Faure [Fau03] sous Labview © National instruments (Cf. figure 6.1). Cetteinterface guide les sujets tout le long du test et permet d’enregistrer les réponses. Les sujetspeuvent écouter chacun des sons de la paire autant de fois qu’ils le désirent en cliquant surl’icône “Son 1” ou “Son 2”.

Au début du test, des instructions sont présentées à l’écran (Cf. figure 6.2). À la suitede la lecture des instructions, un panel de 3 sons, choisis au préalable par nos soins comme

100


représentatifs de la série de sons à tester, est soumis à l’écoute des auditeurs. Les sujets peuventainsi se familiariser au type de son du test en cours et s’approprier l’interface et la dynamiquede l’échelle de réponse. La possibilité de réécouter ces sons représentatifs à tout moment dutest est laissée aux sujets.

Fig. 6.2 – Instructions données au début de chaque session de test.

6.1.4 Traitement et analyse des données

Cette section vise à définir les outils retenus pour l’analyse des données issues du testd’écoute et également à fixer le cadre de leur utilisation.

6.1.4.1 Analyse en clusters des sujets

L’analyse en clusters des sujets suit deux objectifs :

i) Le premier objectif est de repérer a priori des sous-groupes de sujets répondant avecdes logiques clairement différentes :

– Concernant les jugements de dissimilarité, le modèle INDSCAL sera utilisé pour repré-senter les stimuli dans un espace perceptif multidimensionnel (Cf. section 6.1.4.2) ; cemodèle renseigne sur le poids accordé par chacun des sujets à chacune des dimensionsde l’espace (Cf. section 2.2.3.1.b). Aussi, si l’espace perceptif représente un compro-mis entre des configurations relatives à des sous-groupes de sujets avec des logiques depondération foncièrement différentes, il ne pourra alors être interprété correctement[Cox82]. L’analyse en clusters des sujets apparaît utile en préalable à l’analyse IND-SCAL pour repérer ces éventuels sous-groupes. Le cas échéant, l’analyse INDSCALdevra alors être réalisée séparément pour chaque sous-groupe.

101


– Concernant les jugements de préférence, un modèle de mesure unidimensionnelle serautilisé pour calculer les valeurs de mérite des stimuli (Cf. section 6.1.4.3.b). Quelquesoit le modèle utilisé (cas V de la loi du jugement comparatif ou modèle de Bradley-Terry), celui-ci suppose que les variables aléatoires yi, qui représentent les valeursde mérite Ai des différents stimuli, suivent une loi de distribution de même forme,unimodale (Cf. section 2.2.2.1). Dans la pratique, les différentes réalisations d’unevariable yi dénotent ici l’appréciation d’une valeur de mérite Ai par différents sujets. Lapropriété d’unimodalité de la distribution sous-entend que, même si cette appréciationpeut varier d’un sujet à l’autre, tous les sujets localisent néanmoins le stimulus Si

“à peu près” à un même endroit sur l’échelle unidimensionnelle de la préférence. Acontrario, i.e. en la présence de sous-groupes de sujets montrant, d’un sous-groupe àl’autre, une appréciation très différente de la valeur de mérite Ai, la variable yi nesuit plus une loi de distribution unimodale mais plutôt multimodale ; en outre, cettedifférence d’appréciation peut s’étendre simultanément à plusieurs stimuli. Là encore,l’analyse en clusters des sujets apparaît nécéssaire pour détecter la présence éventuellede sous-groupes en préalable à l’application du modèle de mesure. Si des sous-groupessont mis à jour, une utilisation adéquate du modèle de mesure passera alors par untraitement séparé des jugements de préférence prononcés par les sujets des différentssous-groupes.

ii) Le second objectif est de détecter a priori la présence de sujets avec des réponses anor-malement extrémales sur l’ensemble du test (i.e. des “outliers”). Reprenons les élémentsmentionnés au point i).

– Concernant les jugements de dissimilarité, dans l’analyse INDSCAL, un sujet “outlier”se caractérise, par une logique de pondération anormalement différente de celle desautres sujets. Certes, la présence de sujets “outliers” n’influera pour ainsi dire pas surle positionnement des stimuli dans l’espace perceptif (et ce en raison du principe depondération) ; toutefois, l’espace perceptif obtenu ne rendra pas compte correctementdes distances entre stimuli perçues par ces sujets “outliers”. Pour cette raison, nouspréférons ne pas intégrer leurs réponses dans l’analyse INDSCAL.

– Concernant les jugements de préférence, dans l’analyse unidimensionnelle, un sujet“outlier” se caractérise par une appréciation d’une ou plusieurs valeurs de mérite Ai

anormalement éloignées du reste des autres appréciations. Aussi, les réponses des“outliers” ne seront pas prises en compte dans le calcul de valeurs de mérite.

Pour la réalisation de l’analyse en clusters des sujets, nous avons recours à la méthodede Classification Ascendante Hiérarchique2 (CAH). La CAH permet de construire un arbrehiérarchique indicé, aussi appelé dendrogramme, sur la base d’une matrice de dissemblancesentre objets (ici les sujets). Le dendrogramme correspond à “un système de classes emboîtées

2Cette méthode est développée sous Matlab © Mathworks.

102


dont l’hétérogénéité augmente avec la taille des classes” [NC05]. Les différentes étapes del’application de la méthode CAH aux données sont détaillées ci-après.

6.1.4.1.a Calcul des dissemblances entre sujets

Les dissemblances entre sujets sont calculées à partir de leurs réponses données sur lesdifférentes paires de stimuli. La mesure de dissemblance adoptée dépend de la nature desréponses.

Les notes de dissimilarité sont considérées comme étant du niveau d’intervalles3. Parailleurs, dans le calcul des dissemblances, nous souhaitons seulement prendre en compte lesdifférences de perception individuelle et nous affranchir des différences de stratégie dans l’uti-lisation de l’échelle de catégories. À cet effet, la mesure d1(k, l) adoptée pour quantifier ladissemblance entre deux sujets k et l est définie comme suit [Ste04] :

d1(k, l) = 1− r(k, l) (6.1)

où r(k, l) est le coefficient de corrélation linéaire de Bravais-Pearson [Sap90] entre les notes dedissimilarité prononcées par le sujet k et celles prononcées par le sujet l.

Concernant les jugements de préférence, deux mesures de dissemblance sont sélectionnées,i.e. deux dendrogrammes seront dressés et portés à la comparaison afin d’affiner notre analyseen clusters des sujets.

La première mesure porte sur les jugements de dominance, i.e. les données de préférencebrutes, du niveau nominal4 ; la mesure de dissemblance d2(k, l) adoptée est définie comme suit[NC05] :

d2(k, l) =Np −m(k, l)

Np(6.2)

où Np est le nombre de paires ; m(k, l) est le nombre de paires pour lesquelles les sujets k et l

ont prononcé un jugement identique.La seconde mesure porte sur les scores individuels, i.e. les données de préférence après

application d’une transformation ; ces scores sont déterminés à partir des jugements de domi-nance comme suit :

s(k)i =

n∑j=1

ϕ(k)ij (6.3)

où s(k)i est le score d’un stimulus i donné pour le sujet k ; n est le nombre de stimuli ; les termes

ϕ(k)ij désignent les jugements de dominance prononcés par le sujet k sur les différentes paires

3Nous considérons ici que les notes de dissimilarité sont du niveau d’intervalles car, en utilisant la procéduredécrite ultérieurement dans la section 6.1.4.2.a, il a été systématiquement vérifié que les sujets ont globalementperçu l’échelle à 7 catégories comme une échelle métrique du niveau d’intervalles.

4Pour rappel, les sujets peuvent prononcer les jugements “premier son préféré”, “second son préféré”, etindirectement “pas de préférence” s’ils ont considéré les deux sons d’une paire comme identiques.

103


de stimuli i et j et peuvent prendre les valeurs suivantes : 1 si le stimulus i est préféré austimulus j, -1 si le stimulus j est préféré au stimulus i, 0 si aucune préférence n’est exprimée.La mesure de dissemblance d3(k, l) adoptée est la distance euclidienne, définie comme suit[NC05] :

d3(k, l) =

√√√√ n∑i=1

(s(k)i − s

(l)i

)2(6.4)

où s(k)i et s

(l)i sont les scores d’un stimulus i donné, respectivement pour le sujet k et le sujet

l ; n est le nombre de stimuli.

Les indices de dissemblance d1(k, l), d2(k, l) et d3(k, l) sont calculés pour tous les couplesde sujets (k, l) puis respectivement reportés dans des matrices symétriques D1, D2 et D3, detaille N sujets ×N sujets, traitées séparément par l’algorithme de classification.

6.1.4.1.b Construction du dendrogramme

Pour chaque matrice de dissemblances entre sujets, le dendrogramme est construit en sui-vant un processus algorithmique. Initialement, sont définies autant de classes que de sujets(i.e. les éléments terminaux du dendrogramme). Dans une première étape, les deux sujetsles plus proches, au sens de la mesure de dissemblance adoptée, sont agrégés en une nou-velle classe ; sur le dendrogramme, des deux éléments terminaux partent deux branches quise rejoignent pour former un noeud. Puis, il est procédé à une mise à jour de la matrice desdissemblances ; les dissemblances entre la classe nouvellement formée et les autres sujets res-tants sont calculées en utilisant un critère d’agrégation (voir paragraphe ci-après). Dès lors,on recherche à nouveau les deux classes les plus proches, que l’on agrège, et ainsi de suite jus-qu’à l’agrégation de tous les sujets en une seule classe [NC05]. L’algorithme produit au finalune matrice de dissemblances entre sujets, appelées distances ultramétriques, qui représententles niveaux d’agrégation des différentes classes ; ces niveaux sont reportés en ordonnée sur ledendrogramme.

Plusieurs critères d’agrégation usuels sont ici testés : le critère du saut minimal, le critère dudiamètre, le critère de la moyenne non pondérée, le critère de la moyenne pondérée, le critère deWard5 [Gor99, NC05]. Est finalement retenu le critère pour lequel le degré d’adéquation entreles distances ultramétriques calculées et les dissemblances originales est le plus élevé. Ce degréd’adéquation est mesuré via le coefficient de corrélation cophénétique rcoph [SR62, Gor99] etle coefficient de Goodman-Kruskal γ [Gor99] ; plus les valeurs prises par ces coefficients sontproches de 1, plus le degré d’adéquation est élevé.

5Ce critère ne peut être utilisé que lorsque la mesure de dissemblance est la distance euclidienne ; il est doncseulement testé pour le traitement de la matrice D3.

104


6.1.4.1.c Détermination du nombre optimal de classes

Le dendrogramme procure un nombre important de partitions en classes possibles6, allantde la partition la plus fine, composée d’autant de classes que de sujets, à la partition la plusgrossière, composée d’une seule classe rassemblant tous les sujets. Parmi toutes ces partitions,la partition optimale, i.e. avec un nombre optimal de classes, est la partition la “meilleure entermes de compacité et de séparabilité des classes”7 [NC05]. Afin de déterminer le nombrem optimal de classes, un indice de qualité est calculé pour chaque partition présentant unnombre de classes m différent. L’indice de qualité est défini comme suit [NC05] :

Q(m) =1N

m∑x=1

nx sx (6.5)

où Q(m) est l’indice de qualité d’une partition quelconque en m classes (compris entre 0 et1) ; N est le nombre total de sujets ; nx est le nombre de sujets dans la classe Cx et sx estla moyenne des valeurs “silhouette” dans la classe Cx. La valeur “silhouette” sk d’un sujet k

quelconque donne une indication sur la qualité de sa classification ; notamment, le calcul decette valeur repose sur la comparaison de la distance moyenne entre le sujet k et tous les autressujets de la classe à laquelle il appartient, avec la distance moyenne entre lui et les sujets dela classe la plus voisine [NC05].

Au final, la partition optimale est celle pour laquelle on observe, dans l’idéal, un pic sur lacourbe d’évolution de l’indice de qualité en fonction du nombre de classes m. Selon l’effectifdes classes, faible ou important, celles-ci dénotent respectivement des sujets “outliers” ou dessous-groupes de sujets8.

6.1.4.2 Analyse des données de dissimilarité

Après l’analyse en clusters des sujets, l’analyse des jugements de dissimilarité est menée.À cet effet, nous avons recours à la technique d’échelonnement multidimensionnel (Cf. section2.2.3.1) pour dresser l’espace perceptif de dissimilarité et ainsi rendre compte des distancesperceptives existant entre les stimuli.

6.1.4.2.a Choix du modèle E.M.D. et évaluation du niveau réel de la mesure

Il est demandé aux sujets de considérer l’échelle à 7 catégories qui leur est présentéecomme une échelle métrique (Cf. section 6.1.3.1). Dans les faits, un sujet peut effectivementl’avoir considérée comme telle ; tout autrement, il peut avoir borné sa signification à celle d’uneéchelle de catégories, éventuellement du fait de la difficulté éprouvée à produire une estimation

6Toute coupure du dendrogramme par une droite horizontale fournit une partition possible.7Du moins s’il en existe une.8On se propose d’adopter la convention suivante : i) pour un effectif inférieur ou égal à 3 (NB : ce nombre

correspond à 10% environ du nombre total de sujets participant au test d’écoute), la classe dénote des sujets“outliers”, et ii) pour un effectif supérieur à 3, la classe dénote un sous-groupe de sujets.

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métrique de la dissimilarité. Ainsi, selon la façon dont l’échelle a été considérée par le sujet,les données de dissimilarité recueillies peuvent être respectivement i) métriques (du niveaudes rapports, ou du niveau d’intervalles9), ou ii) ordinales. Pour pallier ces deux alternatives,le choix du modèle E.M.D. prenant en compte les différences individuelles INDSCAL10 paraîtadapté, d’après la discussion présentée dans la section 2.2.3.1.b quant à sa robustesse vis-à-visdu niveau des données traitées [WM93].

Pour autant, nous souhaitons évaluer le niveau réel de la mesure afin d’apprécier le degréde violation de l’hypothèse de données du niveau d’intervalles présumée par INDSCAL11.La procédure d’évaluation adoptée permet seulement de juger si les sujets ont globalementconsidéré l’échelle à 7 catégories comme une échelle métrique du niveau d’intervalles. Cetteprocédure, basée sur la méthode des intervalles successifs [Edw52], est présentée en détail dansl’annexe E.

Dans l’hypothèse où les sujets considèrent l’échelle à 7 catégories comme une échelle mé-trique du niveau d’intervalles, ils doivent percevoir toutes les catégories avec une largeuridentique. La méthode des intervalles successifs permet d’évaluer la largeur des intervallessous-tendant le continuum subjectif des dissimilarités, correspondant à la largeur des catégo-ries perçue par les sujets. Dans la pratique, afin d’estimer le niveau réel de la mesure (entreordinal et métrique du niveau d’intervalles) procurée par l’échelle à 7 catégories, le coefficientde corrélation r2

bornes [Fau03] entre les valeurs “vraies” des bornes supérieures des catégoriescalculées sur le continuum subjectif par la méthode des intervalles successifs12 et les valeurs“ciblées” des bornes supérieures des catégories13 est utilisé.

6.1.4.2.b Détermination de la dimensionnalité de l’espace perceptif

Communément, le choix de la dimensionnalité est basé sur la comparaison des valeurs d’unindicateur de l’ajustement du modèle aux données initiales, calculé pour chaque dimensionna-lité. Pour INDSCAL, un indicateur possible est le pourcentage cumulé de variance expliquée(donné en sortie du programme, Cf. Réf. [Smi06]). Plus le nombre de dimensions augmente,plus la valeur de cet indicateur tend vers 100%. Toutefois, une configuration de dimensionna-

9Le fait de considérer les données comme étant métriques du niveau des rapports sous-entend que le sujeta bien utilisé la catégorie “0” comme origine absolue de l’échelle de dissimilarité. Ce point peut être vérifié enintroduisant dans le test de dissimilarité n paires supplémentaires présentant deux fois le même son, n étantle nombre de sons. Toutefois, nous n’avons pas suivi cette démarche, jugeant le nombre de paires présentantdes stimuli différents déjà conséquent (78 paires de sons différents constituées à partir de 13 sons à évaluer,Cf. section 6.1.2) ; à défaut de vérification, il est donc plus juste d’affirmer que, si les données sont métriques,elles sont au minimum du niveau d’intervalles.

10Dans la pratique, l’analyse est réalisée à l’aide du programme sindscal.exe, téléchargeable sur :http://www.netlib.org/mds/sindscal.dos/

11Pour rappel, INDSCAL est initialement destiné au traitement de données métriques, aussi bien du niveaud’intervalles que du niveau des rapports (Cf. section 2.2.3.1.b).

12Ces valeurs ne peuvent être calculées par la méthode des intervalles successifs que pour les catégories “0”,“1”, “2”, “3”, “4” et “5” (Cf. annexe E).

13i.e. 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5 et 5.5 respectivement pour les catégories “0”, “1”, “2”, “3”, “4” et “5” (Cf. annexeE).

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http://www.netlib.org/mds/sindscal.dos/


lité trop importante par rapport au nombre de stimuli à représenter n’est pas significative ;il faut donc retenir une configuration de dimensionnalité minimale, pour laquelle la valeur decet indicateur reste acceptable [TD93]. On peut déterminer de manière graphique la dimen-sionnalité la plus vraisemblable de l’espace perceptif en traçant l’évolution de la proportioncumulée de variance expliquée en fonction du nombre de dimensions ; la dimensionnalité laplus vraisemblable est alors celle pour laquelle, dans l’idéal, on peut détecter un coude sur lacourbe [Ste02] (procédure analogue à la méthode du scree test utilisée en analyse factorielle,Cf. section 6.1.4.3.a).

6.1.4.2.c Détermination des attributs auditifs saillants

Les dimensions de l’espace perceptif de dissimilarité données par le modèle INDSCALont une signification psychologique ; elles représentent les attributs auditifs saillants des sonsvraisemblablement utilisés par les sujets pour les différencier.

Une écoute minutieuse des sons ordonnés suivant leur coordonnée sur la dimension percep-tive étudiée permet dans un premier temps de discerner l’attribut auditif lié à cette dimension[SMW99]. Puis, parmi les métriques acoustiques et psychoacoustiques calculées sur les sonset susceptibles de décrire cet attribut, nous retenons la métrique pour laquelle l’analyse sta-tistique (menée sous Statitica © Statsoft) montre que ses valeurs sont les plus corréléesavec les coordonnées des sons sur cette dimension, i.e. la métrique pour laquelle le coefficientde corrélation linéaire de Bravais-Pearson, r, est, en valeur absolue, le plus proche de 1 (et leseuil de signification observé p associé14 le plus proche de 0).

6.1.4.2.d Construction des ellipsoïdes de confiance par la méthode du Boots-trap

Des ellipsoïdes de confiance à 95% sont calculés sur les positions des stimuli dans l’espaceINDSCAL selon la méthode du Bootstrap [WCC84]. L’objectif est double : i) estimer le degréde confiance que l’on peut accorder à l’interprétation des dimensions de l’espace perceptif, ii)identifier, via le recouvrement des ellipsoïdes de confiance, les stimuli perçus comme identiques— ou au contraire comme distincts — par les sujets.

Originellement, le bootstrap est une technique de rééchantillonnage introduite par Efron15

qui permet de calculer l’erreur standard d’un paramètre estimé dont la loi de probabilité estinconnue. Le principe du bootstrap consiste à créer, à partir d’un échantillon original de N

observations, K nouveaux échantillons (appelés échantillons bootstrap) de N observations,14Dans le cadre de l’étude des corrélations, p est le seuil de signification observé associé au test de l’hypo-

thèse nulle selon laquelle la variable indépendante étudiée, i.e. une métrique, et la variable dépendante, i.e.la dimension perceptive, sont linéairement indépendantes. À l’instar de l’analyse de variance, le résultat dutest d’hypothèse peut être déclaré i) hautement significatif si p < 0.001, ii) très significatif si p < 0.01, et iii)significatif si p < 0.05. Dans les trois cas, l’hypothèse nulle peut être rejetée et on peut conclure qu’il existeune relation linéaire entre les deux variables.

15B. Efron. Bootstrap methods : Another look at the jacknife. Annals of Statistics, 7 :1-26, 1979 (cité dans[Pal02, WCC84]).

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tirées aléatoirement et avec remise dans l’échantillon original. L’erreur standard est estiméepar l’écart-type des K valeurs du paramètre calculées pour les K échantillons bootstrap. Unnombre K important d’échantillons bootstrap est nécessaire à une estimation correcte del’erreur standard.

Les paramètres estimés sont, ici, les vecteurs de coordonnées “vraies” des stimuli dansl’espace perceptif ; une observation correspond à un ensemble complet de notes de dissimilaritéexprimées par un sujet. Pour chaque échantillon bootstrap, les vecteurs de coordonnées sontobtenus après traitement (par l’algorithme E.M.D. INDSCAL) des réponses de N sujets, tirésaléatoirement et avec remise dans l’échantillon original des N sujets. Pour chaque stimulus,l’ellipsoïde de confiance à 95% est construit à partir de la matrice de covariance des vecteursde coordonnées bootstrap16 [WCC84]. L’estimation est réalisée sur la base de 250 échantillonsbootstrap (nombre jugé suffisant à la lecture de la référence [Pal02] et notamment utilisé parRoussarie [Rou99] et Faure [Fau03]).

6.1.4.3 Analyse des jugements de préférence

Deux variantes d’analyse, i.e. une analyse multidimensionnelle (Cf. section 6.1.4.3.a) et uneanalyse unidimensionnelle (Cf. section 6.1.4.3.b), aux desseins complémentaires, sont proposéespour traiter les jugements de dominance selon la préférence.

6.1.4.3.a Analyse multidimensionnelle de la préférence par MDPREF

Les jugements de préférence exprimés par les sujets sont analysés suivant le modèle d’éche-lonnement MDPREF17 (Cf. section 2.2.3.2). Ce modèle offre la possibilité d’inspecter graphi-quement les différences inter-individuelles à partir de l’espace perceptif de préférence fourni.En outre, il est possible de procéder à l’identification des attributs auditifs des sons pouvantexpliquer les jugements de préférence prononcés par les sujets.

Pré-taitement des données Par défaut, l’algorithme prend en charge des donnéesde type score (rangées dans une matrice rectangulaire à 2 entrées et 2 modes, Cf. section2.2.3.2). Une fonctionnalité présente dans MDPREF permet la transformation des matricesde dominance individuelles en une matrice de scores, appelée matrice de scores primaires[New81] ; le codage utilisé offre la possibilité de tenir compte des jugements de préférence“neutres” relatifs aux paires jugées très semblables (catégorie “0” sur l’échelle de dissimilarité).

Choix de la dimensionnalité de l’espace de préférence Le nombre de facteursprincipaux à retenir peut être déterminé au moyen de la méthode du scree test [Cat66],

16Dans la pratique, la construction de l’ellipsoïde est réalisée à l’aide d’une routine développée sousMatlab © Mathworks par Johnson. Cette routine est téléchargeable sur :http://www.mathworks.com/matlabcentral/files/4705/error_ellipse.m

17Dans la pratique, l’analyse est réalisée à l’aide du programme MDPREF.exe, téléchargeable sur :http://www.newmdsx.com/MDPREF/mdpref.htm

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http://www.mathworks.com/matlabcentral/files/4705/error_ellipse.m

http://www.newmdsx.com/MDPREF/mdpref.htm


utilisée en analyse factorielle. Le test porte sur le diagramme des valeurs propres des matricesde covariance SSt et StS (Cf. section 2.2.3.2) exprimées en fonction du numéro du facteurprincipal associé ; un diagramme illustratif est présenté sur la figure 6.3. Selon cette méthode,la dimensionnalité appropriée peut être estimée par le numéro du facteur dont la valeur propreassociée se situe à l’extrémité de la droite pouvant relier d’un seul trait un nombre maximalde faibles valeurs propres18. Sur le diagramme illustratif (Cf. figure 6.3), une droite passantpar les valeurs propres 3 à 10 peut être tracée ; d’après la méthode décrite ci-dessus, le nombrede facteurs à retenir est vraisemblablement égal à 3.

N° Facteur principal

Vale

ur p

ro

pre (

s.u

.)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fig. 6.3 – Exemple de diagramme des valeurs propres exprimées en fonction du numéro dufacteur principal associé.

Dans le cadre d’un bilan des différences inter-individuelles (Cf. paragraphe suivant), onpeut, en sus de la méthode globale du scree test, déterminer le nombre de facteurs principauxapproprié via la consultation des qualités de représentation des vecteurs sujets obtenues pourdes espaces de dimensionnalité différente. Pour un espace de dimensionnalité donnée, la qualitéde représentation de chaque vecteur sujet est fournie en sortie du programme MDPREF autravers du coefficient de corrélation entre les projections des stimuli sur le vecteur sujet et lesscores primaires initialement calculés pour ce même sujet [New81] ; plus la valeur du coefficientest proche de 1, meilleure est la représentation des scores primaires du sujet dans l’espace dedimensionnalité choisie. Au final, on aura plutôt tendance à retenir la dimensionnalité pourlaquelle la qualité de représentation de l’ensemble des vecteurs sujets est élevée. En minimisantde la sorte les distortions dans la représentation des scores primaires, on pourra procéder àmoindre risque au bilan des différences inter-individuelles.

Bilan des différences inter-individuelles À partir de l’espace perceptif de préférence,il est procédé à un bilan des différences inter-individuelles en inspectant les positions relatives

18Les valeurs propres les plus faibles désignent les facteurs qui représentent du “bruit” de mesure.

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des vecteurs sujets. En effet, le cosinus de l’angle de séparation entre deux vecteurs sujetsfournit une mesure de la concordance entre les scores primaires calculés pour les deux sujets19

[Cox82]. Ce bilan est confronté avec les résultats de l’analyse en clusters des sujets (i.e. avecles résultats de la CAH appliquée respectivement sur les matrices de dissemblance D2 et D3,Cf. section 6.1.4.1). Cette confrontation vise à entériner l’identification des sujets “outliers”et des sous-groupes de sujets. Pour l’interprétation de l’espace perceptif de préférence quisuit, l’analyse MDPREF est relancée après élimination des réponses des sujets jugés comme“outliers”.

Interprétation de l’espace perceptif de préférence Il est procédé à l’examen desliaisons entre les vecteurs sujets et les axes de l’espace. La direction dans laquelle pointe unvecteur sujet laisse présager de la façon dont le sujet combine les caractéristiques des stimulidans l’établissement de ses jugements de préférence20 [Cox82], à supposer que les facteurs ontune signification psychologique et renvoient à des caractéristiques des sons (voir paragrapheci-après). Aussi, une situation dans laquelle les vecteurs sont très fortement liés à un axe,et situés d’un même côté de cet axe, dénote un facteur de consensus parmi les préférencesexprimées par les sujets ; au contraire, une situation dans laquelle les vecteurs sujets présententà la fois des composantes positives et négatives le long d’un axe dénote un facteur de différencesindividuelles [SGS74].

Pour investiguer l’hypothèse selon laquelle les facteurs ont une signification psychologique,il est procédé à l’examen des liaisons entre les facteurs, représentés par les axes, et les mé-triques calculées sur les sons, représentées dans l’espace comme des vecteurs en utilisant uneprocédure PREFMAP21,22. Un vecteur métrique pointe dans une direction telle que les projec-tions des stimuli sur le vecteur sont en adéquation maximale avec les valeurs de la métrique ;la longueur du vecteur (non normé), équivalant au coefficient de corrélation linéaire entre lesprojections et les valeurs de la métrique, indique la qualité de représentation de la métriquedans l’espace [SGS74]. Ainsi, un vecteur métrique très proche d’un axe laisse présager que lefacteur se rapporte fortement à l’attribut auditif décrit par la métrique ; cet attribut auditifest vraisemblablement utilisé par les sujets dans l’établissement des jugements de préférence.Il est en outre procédé à une écoute minutieuse des stimuli ordonnés suivant leur projectionsur le vecteur métrique afin de vérifier que la métrique traduit bien un attribut auditif dont

19Lorsque les deux vecteurs sont parfaitement représentés dans l’espace, le cosinus de l’angle équivaut aucoefficient de corrélation entre les deux séries de scores primaires ; lorsqu’ils ne sont pas parfaitement représentésdans l’espace, le cosinus de l’angle est toujours inférieur au coefficient de corrélation entre les deux séries descores primaires.

20Le cosinus de l’angle que le vecteur forme avec l’axe fournit une mesure de l’importance accordée par cesujet au facteur.

21J. D. Carroll. Individual differences and multidimensional scaling. In R. N. Shepard, A. K. Romney, et S.B. Nerlove, éditeurs, Multidimensional Scaling : Theory and Applications in the Behavioral Sciences, volume1, pages 105-155. Seminar Press, New York and London, 1972 (cité dans [Cox82]).

22Dans la pratique, l’analyse est réalisée à l’aide du programme PREFMAP.exe, téléchargeable sur :http://www.newmdsx.com/PREFMAP/prefmap.htm

110

http://www.newmdsx.com/PREFMAP/prefmap.htm


la variation parmi les stimuli est perceptible, et ce de façon saillante.

Au final, sur la base des éléments établis précédemment, il est procédé à une typologie desstimuli, conjointement en fonction des préférences exprimées par les sujets23 et des attributsauditifs24 identifiés comme pouvant expliquer ces préférences.

6.1.4.3.b Analyse unidimensionnelle de la préférence par un modèle de choixprobabiliste

Après leur analyse multidimensionnelle par MDPREF, les réponses des sujets au test depréférence sont analysées suivant un modèle de choix probabiliste afin de construire une échelleunidimensionnelle de la préférence (Cf. section 2.2.2.4). Ce type d’analyse est très utilisé dansle domaine de la qualité sonore car il permet, via le calcul des valeurs de mérite, d’obtenir unclassement des sons selon la préférence, très pratique pour dégager la ou les solutions techniquesplus à même d’améliorer la qualité acoustique d’un produit ou le confort acoustique en général.

Prise en compte des paires jugées très semblables Afin de prendre en compte lespaires jugées très semblables (i.e. les paires notées “0” sur l’échelle à catégories de dissimilarité),les éléments de la matrice de proportions P (Cf. section 2.2.2.4) sont déterminés en utilisantla formule de calcul (2.20) des proportions dans le cas d’une échelle à 3 catégories [Dav88],selon le schéma détaillé dans la référence [Fau03].

Évaluation de la qualité d’ajustement et choix du modèle de mesure Dans lasection 2.2.2, nous avons évoqué deux modèles de mesure, i.e. le cas V de la loi du jugementcomparatif de Thurstone et le modèle de Bradley-Terry. Ces modèles sont couramment utilisésdans le secteur automobile [OAEL01] ; tous deux sont pris en considération dans cette étude.Après comparaison de leur qualité d’ajustement, nous ne retiendrons au final qu’un seul deces modèles pour établir le classement de préférence sur lequel reposera l’interprétation.

La procédure suivie pour évaluer la qualité d’ajustement des modèles aux données expé-rimentales est fondée sur la comparaison des proportions “observées” pij à des proportions“théoriques” p′ij reconstruites à partir des valeurs de mérite ai calculées [Dav88] (Cf. section2.2.2.4).

Dans un premier temps, des différences “théoriques” entre les valeurs de mérite ai sontcalculées, puis reportées dans une matrice ∆’ :

23i.e. de leurs projections sur les vecteurs sujets.24i.e. de leurs projections sur les vecteurs métriques.

111


∆’=

a′1−1 a′1−2 . . . a′1−j . . . a′1−n

a′2−1 a′2−2 . . . a′2−j . . . a′2−n...

.... . .

... . . ....

a′i−1 a′i−2 . . . a′i−j . . . a′i−n...

... . . ....

. . ....

a′n−1 a′n−2 . . . a′n−j . . . a′n−n

où les éléments a′i−j sont donnés par :

a′i−j = ai − aj (6.6)

où ai et aj sont les valeurs de mérite respectivement calculées pour les stimuli Si et Sj .La matrice ∆’ correspond à i) la matrice Z’ des scores centrés réduits “théoriques” dans

le cas où le modèle de Thurstone est utilisé, ou ii) la matrice L’ des valeurs logit “théoriques”dans le cas où le modèle de Bradley-Terry est utilisé.

Ensuite, les éléments p′ij de la matrice P’ des proportions “théoriques” sont calculés enutilisant i) la fonction de répartition de la loi normale centrée-réduite N (0, 1) si le modèlede Thurstone est utilisé, ou ii) l’expression (2.17) si le modèle de Bradley-Terry est employé[Dav88], soit :

p′ij =12

[1 + tanh (

12

l ′ij)]

(6.7)

où l′ij est la valeur logit “théorique” calculée pour la paire de stimuli Si et Sj .Les proportions étant symétriques, seuls les éléments (non diagonaux) pij et p′ij placés

dans la partie triangulaire supérieure (ou inférieure) respectivement des matrices de propor-tions observées et de proportions “théoriques” sont portés à la comparaison. Les proportions“théoriques” p′ij sont alors tracées en fonction des proportions “observées” pij . Ainsi, la dis-persion du nuage de points sur le diagramme permet d’apprécier la qualité d’ajustement dumodèle aux données expérimentales. Cette première évaluation qualitative est complétée parle calcul du coefficient de corrélation r2 entre les deux séries de proportions.

La confrontation des résultats (i.e. diagramme proportions “théoriques” vs proportionsobservées et valeur de r2 associée) obtenus pour les deux modèles permet ainsi de déterminerlequel est le plus adéquat.

Construction des intervalles de confiance par la méthode du Bootstrap Desintervalles de confiance à 95 % sont calculés sur les valeurs de mérite des stimuli par laméthode du Bootstrap. L’objectif est de repérer si des configurations structurales peuventêtre considérées comme similaires en termes de préférence ; le chevauchement des intervallesde confiance rend compte de cette similitude.

Si l’on reprend les points théoriques du Bootstrap énoncés dans la section 6.1.4.2.d, lesparamètres estimés sont ici les valeurs de mérite des stimuli ; une observation correspond à un

112

6.2. Résultats relatifs à l’établissement des tendances qualitatives originales

ensemble complet de jugements de préférence exprimés par un sujet. Pour chaque échantillonbootstrap, les valeurs de mérite sont estimées, en utilisant le modèle de mesure désigné ci-avantcomme le plus adéquat, à partir des réponses de N sujets, tirés aléatoirement et avec remisedans l’échantillon original des N sujets. Les intervalles de confiance à 95% sont calculés surles valeurs de mérite des stimuli suivant la méthode de l’erreur standard [Pal02]. Un nombrede 250 échantillons bootstrap est retenu comme dans le cas de l’analyse des dissimilarités (Cf.section 6.1.4.2.d).

Construction d’un modèle prédictif de la préférence L’un des principaux objectifsde l’analyse unidimensionnelle de la préférence est de fournir un modèle de préférence capablede prédire les valeurs de mérite mesurées. Le modèle est construit à partir de la régressionlinéaire entre les valeurs de mérite mesurées et les valeurs d’une ou plusieurs métriques misesen avant lors de l’analyse multidimensionnelle de la préférence par MDPREF (Cf. section6.1.4.3.a).

6.2 Résultats relatifs à l’établissement des tendances qualita-tives originales

6.2.1 Analyse en clusters des sujets

Pour illustration, seule l’analyse en clusters des sujets réalisée pour les jugements de pré-férence est développée ici. L’analyse en clusters des sujets réalisée pour les jugements dedissimilarité est présentée dans la section F.1.1.

Les figures 6.4 et 6.5 présentent les résultats de la Classification Ascendante Hiérarchiqueappliquée respectivement sur les matrices de dissemblances entre sujets D2 et D3 (Cf. section6.1.4.1.a).

Pour les deux CAH, deux partitions se démarquent des autres de par leur indice de qualitéplus élevé : tout d’abord la partition en 2 classes, puis la partition en 3 classes. Cette démarca-tion est plus prononcée pour la CAH appliquée à la matrice de dissemblances D3 (Cf. figures6.4(b) et 6.5(b)). Pour la première partition, l’une des deux classes est composée d’un seulsujet, i.e. le sujet n17 ; on peut le considérer comme un “outlier”. Pour la seconde partition,deux des trois classes sont composées d’un seul sujet, i.e. respectivement le sujet n17 et lesujet n29 ; de même, chacun peut être considéré comme un “outlier”. En outre, dans leurensemble, les résultats montrent qu’il n’existe pas de sous-groupes de sujets.

La figure 6.6 montre le plan factoriel 1-2 de l’espace perceptif de préférence 5D dressé vial’analyse MDPREF des réponses de tous les sujets (l’étude de la dimensionnalité de l’espaceperceptif de préférence est présentée dans la section F.1.2). Seuls les vecteurs sujets, suffisants àun bilan des différences inter-individuelles, sont représentés ; pour plus de lisibilité, seules leurs

113


10 32 5 11 6 12 13 3 27 24 4 7 22 33 19 25 30 28 9 21 15 26 14 31 8 18 20 23 2 1 16 29 17

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

Niv

eau d

'agrégati

on

N° Sujet

2 classes

3 classes

(a) Dendrogramme des sujets.

2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nombre de classes

In

dic

e d

e q

uali

té(b) Valeurs de l’indice de qualité expriméesen fonction du nombre de classes.

Fig. 6.4 – Résultats de la Classification Ascendante Hiérarchique appliquée sur la matrice dedissemblances D2.

10 32 11 3 5 27 4 33 19 7 23 22 12 13 6 24 9 25 30 20 28 15 16 26 2 31 14 1 21 8 18 29 17

5

10

15

20

25

30

35

Niv

eau

d'a

grég

ati

on

N° Sujet

2 classes

3 classes


2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nombre de classes

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

In

dic

e d

e q

uali

té

(b) Valeurs de l’indice de qualité expriméesen fonction du nombre de classes.

Fig. 6.5 – Résultats de la Classification Ascendante Hiérarchique appliquée sur la matrice dedissemblances D3.

114


1

21

14

16

15

24

20

18

8

29

17

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.2

0.2

0.4

0.6

Facteur 1

Facte

ur 2

0.8

-0.8

-1

1

-0.8-1 0.8 1

-0.4

0

III

III IV

Fig. 6.6 – Bilan des différences inter-individuelles à partir de l’espace perceptif de préférence5D (plan factoriel 1-2) dressé via MDPREF sur la base des réponses de tous les sujets. :extrémités des vecteurs sujets, • : extrémité du vecteur sujet “moyen”.

extrémités sont reportées sur la figure. Est également représenté le vecteur sujet “moyen”25

(son extrémité est marquée par un point noir sur la figure).

La représentation du plan factoriel 1-2 suffit pour rendre compte des différences inter-individuelles. Sur la figure 6.6, on peut observer que le vecteur sujet n17 pointe dans unezone (quadrant II) marginale par rapport à la zone dans laquelle pointent les autres vecteurs(quadrants I et IV) ; dans le quadrant IV, la direction du vecteur sujet n29 diffère légèrementde celle des autres vecteurs. Par ailleurs, on peut remarquer que les vecteurs sujets sontdans l’ensemble bien représentés dans le plan factoriel 1-2 (i.e. leur extrémité est proche ducercle unitaire), excepté quelques uns, dont les vecteurs sujets n17 et n29. À partir de cesobservations, on peut considérer les sujets n17 et n29 comme des sujets “outliers”.

Au final, de la confrontation des résultats des deux CAH avec le bilan des différences inter-individuelles réalisé à partir de l’espace perceptif de préférence, il ressort que i) on peut consi-dérer à la fois le sujet n17 et le sujet n29 comme des sujets “outliers”, et ii) des sous-groupesde sujets ne se sont pas formés. Pour l’établissement des tendances qualitatives originales (Cf.section 6.2.2), les jugements de préférence prononcés par les sujets n17 et n29 seront écartésde l’analyse.

25Le vecteur sujet “moyen” est la somme vectorielle de tous les vecteurs sujets, divisée par sa norme.

115


6.2.2 Établissement des tendances qualitatives originales

6.2.2.1 Espace perceptif de dissimilarité

Les données de dissimilarité ont été échelonnées dans un espace perceptif à deux dimensions(Cf. figure 6.7) ; l’évaluation du niveau réel de la mesure et l’étude de la dimensionnalité del’espace perceptif de dissimilarité sont proposées respectivement dans les sections F.2.1.1 etF.2.1.2. Les proportions de variance expliquées par les dimensions 1 et 2 sont toutes deuxégales à 23%.

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Dimension 1

Dim

ensi

on 2

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

J1

K1

H2

A2

Config. α β γ

A 1 1 1B 1 2 2C 1 3 3D 2 3 1E 2 1 2F 2 2 3G 3 2 1H 3 3 2I 3 1 3J 1 1 3K 3 3 3

Fig. 6.7 – Espace perceptif de dissimilarité 2D des stimuli, dans leur ellipse de confiance à95%. Les combinaisons des modalités des paramètres structuraux associées aux stimuli sontrappelées dans le tableau de droite, reproduction du tableau 4.2.

Liens avec les paramètres structuraux

La première dimension de l’espace perceptif semble être reliée à la fois aux propriétésen absorption de la cavité (α) et aux conditions de serrage de la plaque (γ). L’influence dupremier paramètre apparaît nettement au premier plan. En effet, les stimuli correspondant àune configuration qui implique de fortes propriétés en absorption de la cavité (i.e. C, D, H,K) sont tous localisés dans la partie droite de l’espace ; les autres stimuli, renvoyant à desconfigurations qui impliquent de plus faibles propriétés en absorption de la cavité obtiennentdes coordonnées plus basses le long de cette dimension. L’influence du second paramètreapparaît plutôt à l’arrière-plan. En l’occurrence, parmi les stimuli pour lesquels la configurationsous-jacente implique les deux plus faibles niveaux de propriétés en absorption, ceux pour

116


lesquels la configuration renferme également de faibles conditions de serrage de la plaque (e.g.A1) obtiennent des coordonnées plus élevées le long de la dimension, en comparaison desstimuli pour lesquels la configuration implique de fortes conditions de serrage (e.g. I1 et J1).

La seconde dimension perceptive apparaît contrôlée par l’épaisseur de la plaque (β). Lesstimuli qui se rapportent à une configuration comprenant la plaque de plus faible épaisseur1.5 mm (A, B, C, J) présentent les coordonnées les plus basses le long de cette dimension ;au contraire, les stimuli qui se rapportent à une configuration comprenant la plaque de plusforte épaisseur 3 mm (G, H, I, K) obtiennent les coordonnées les plus élevées.

Analyse psychoacoustique

L’analyse psychoacoustique révèle que la première dimension perceptive est liée à la soniedes sons : plus la coordonnée d’un stimulus le long de cette dimension est importante, moinssa sonie est élevée. La sonie de Zwicker26 [ZF99] apparaît comme la métrique la plus corréléeavec cette dimension (r = −0.936, p < .001) ; le diagramme des coordonnées des stimuli lelong de la dimension 1 exprimées en fonction des valeurs de la sonie de Zwicker est présentésur la figure F.5.

La seconde dimension se rapporte à la balance spectrale des stimuli : plus la coordonnéed’un stimulus le long de cette dimension est importante, plus l’énergie acoustique aux plushautes fréquences est importante par rapport à celle aux basses fréquences. Cet attribut peutse décrire par le Centre de Gravité Spectral27 (r = 0.905, p < .001) ; de même, le diagrammedes coordonnées des stimuli le long de la dimension 2 exprimées en fonction des valeurs duCGS est présenté sur la figure F.6.

Retour sur l’effet de la dispersion de la mesure

On peut remarquer que les stimuli A2 et H2 sont très proches dans l’espace perceptif de leurassocié respectif (A1 et H1). Pour les deux couples de stimuli, les ellipses de confiance à 95%calculées sur les positions des deux stimuli se chevauchent en grande partie, montrant ainsique la distance perceptive entre les deux stimuli est très réduite ; ceci confirme les conclusionsdressées au chapitre 5 quant à la faiblesse de l’effet de la dispersion de la mesure sur laperception des sons rayonnés et quant au fait que les distances perçues entre stimuli peuventêtre essentiellement imputées à la variation des paramètres structuraux.

6.2.2.2 Espace perceptif de préférence

Les données de préférence ont été échelonnées dans un espace perceptif à 4 dimensions(Cf. étude de la dimensionnalité présentée dans la section F.2.2). Les proportions d’inertie

26La métrique “sonie de Zwicker” est calculée à l’aide du logiciel Sound Quality © M.T.S.27La métrique “CGS” est calculée selon l’expression (2.5) (Cf. section 2.1.3.2), à partir du spectre auditif

calculé à l’aide du logiciel dBSonic © Cortex Instruments - 01dB Metravib Technologies [Cor04] (Cf.section G.1).

117


expliquées par les facteurs28 1,2,3 et 4 sont respectivement égales à 80%, 7%, 4% et 2%. Seulsles deux premiers facteurs ont finalement été retenus dans l’interprétation car les facteurs 3et 4 n’ont pu donner lieu à une interprétation claire [EP98]. Le plan factoriel 1-2 de l’espaceperceptif de préférence est présenté sur la figure 6.8. Notons que le plan factoriel 3-4 estprésenté sur la figure F.8.

CGS

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

J1

K1

H2

A2

1

8

Sonie Z.

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.2

0.2

0.4

0.6

Facteur 1

Facte

ur 2

0.8

-0.8

-1

1

-0.8-1 0.8 1

-0.4

0

Fig. 6.8 – Plan factoriel 1-2 de l’espace perceptif de préférence. : stimuli, : extrémités desvecteurs sujets, • : extrémité du vecteur sujet “moyen”, → : vecteurs métriques.

Pour revenir sur les différences inter-individuelles, on peut noter que, dans le plan factoriel1-2 (Cf. figure 6.8), la dispersion des extrémités des vecteurs sujets sur le cercle unitaireapparaît dans l’ensemble limitée, i.e. l’angle que forme les deux vecteurs extrêmes (n1 et n8)ne dépasse pas 90 ; ceci indique un consensus élevé parmi les préférences des sujets [Cox82].

Les vecteurs sujets sont tous situés du côté droit de l’axe 1 ; ainsi, le premier facteurcorrespond à un facteur de consensus. On peut observer, qui plus est, que le vecteur sujet“moyen” coïncide avec l’axe 1. Au contraire, selon l’axe 2, certains vecteurs sujets présententune composante positive et d’autres une composante négative ; le second facteur est ainsi unfacteur de différences inter-individuelles ; ces différences inter-individuelles restent néanmoinsmodérées, aucun vecteur sujet n’étant réellement proche de l’axe.

Des métriques testées, seules la sonie de Zwicker et le CGS sont représentées dans le planfactoriel 1−2 (Cf. figure 6.8) ; ces métriques possèdent une qualité de représentation élevée

28La proportion de variance expliquée par un facteur est définie comme le rapport entre la valeur propreassociée à ce facteur et la trace de la matrice des valeurs propres.

118


(respectivement r = 0.991, p < .001 et r = 0.943, p < .001) et décrivent des attributs auditifssaillants à l’écoute. Notamment, la proximité du vecteur associé à la sonie de Zwicker avecl’axe 1 fournit la présomption selon laquelle le facteur de consensus se rapporte à la sonie dessons ; de même, la proximité du vecteur associé au CGS avec l’axe 2 donne à penser que lefacteur de différences inter-individuelles est lié à la balance spectrale des sons.

Sur la base des éléments précédents, les coordonnées des stimuli dans le plan factorielpeuvent s’interpréter comme suit.

Les stimuli situés tout à gauche de l’axe 1 (i.e. B1, E1, F1, I1 et J1), de sonie importante,sont les stimuli qui ne sont pas appréciés par les sujets à l’unanimité. Pour rappel, ces stimulicorrespondent à des configurations structurales impliquant les propriétés en absorption de lacavité faibles ou moyennes ainsi que des conditions de serrage de la plaque moyennes ou fortes.Les stimuli situés au milieu de l’axe 1 (i.e. A1, A2 et G1), de sonie moyenne, sont des stimuliqui ne suscitent pas, sur l’ensemble des sujets, de préférence ou d’antipathie prononcée. Cesstimuli correspondent à des configurations renfermant, outre des propriétés en absorption dela cavité faibles ou moyennes, les conditions de serrage de la plaque les plus faibles. Les stimulisitués du côté droit de l’axe 1 (i.e. C1, D1, H1, H2 et K1), de sonie peu élevée, sont les stimulipréférés à l’unanimité par les sujets. Ces stimuli renvoient aux configurations avec les plusfortes propriétés en absorption de la cavité.

Par ailleurs, pour une sonie quasi-équivalente, les stimuli situés sur le côté bas de l’axe 2,présentant une balance spectrale penchant vers les hautes fréquences, sont les stimuli préféréspar les sujets pour lesquels le vecteur présente une composante négative le long de cet axe ; cesstimuli correspondent à des configurations structurales impliquant la plaque de plus grandeépaisseur, i.e. 3 mm. Par exemple, le sujet n8 préfère le stimulus H1 au stimulus C1. Aucontraire, toujours pour une sonie quasi-équivalente, les stimuli situés sur le côté haut de l’axe2, avec une balance spectrale penchant vers les basses fréquences, sont les stimuli préférés parles sujets pour lesquels le vecteur présente une composante positive le long de cet axe. Cesstimuli correspondent à des configurations structurales impliquant la plaque de plus faibleépaisseur, i.e. 1.5 mm. Par exemple, le sujet n1 préfère, au contraire du sujet n8, le stimulusC1 au stimulus H1.

6.2.2.3 Valeurs de mérite

La figure 6.9 montre les valeurs de mérite mesurées29 des stimuli, classées par ordre crois-sant. Ces valeurs de mérite sont calculées en utilisant la loi du jugement comparatif de Thurs-tone (cas V ) ; l’évaluation de la qualité d’ajustement du modèle aux données est présentéedans la section F.2.3.1. Toutes les réponses des sujets considérées ci-dessus pour l’établisse-

29Le terme “mesurées” désigne le fait que les valeurs de mérite sont calculées à partir des jugements depréférence recueillis lors du test d’écoute ; a contrario, le terme “prédites” sera par la suite employé pourdésigner les valeurs de mérite données par le modèle de préférence, i.e. calculées à partir des valeurs desmétriques jugées pertinentes.

119


ment de l’espace perceptif de préférence sont prises en compte dans le calcul des valeurs demérite.

Vale

ur d

e m

érit

e

B1

A2

C1

I1

F1

E1

K1

G1

H1

D1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Stimulus

-1

-1.5

J1

A1

H2

Fig. 6.9 – Valeurs de mérite des stimuli. En gris : préférence mesurée, I : intervalle de confianceà 95%, En rouge : modèle de préférence.

On peut observer que la position des stimuli dans le classement de préférence respecte leurposition le long de l’axe 1 de l’espace perceptif de préférence (notamment r = 0.998, p < .001entre les valeurs de mérite et les coordonnées le long de cet axe). Ainsi, l’influence au premierplan des propriétés en absorption de la cavité (β) est également visible au travers du classementde préférence ; les configurations impliquant de fortes propriétés en absorption de la cavitéoccupent les premières places du classement. On retrouve ensuite les deux autres groupes deconfigurations déjà distingués le long de l’axe 1 de l’espace perceptif de préférence : i) en milieude classement, le groupe des configurations renfermant en sus de propriétés en absorption dela cavité faibles ou moyennes les conditions de serrage de la plaque (γ) les plus faibles, ii) enqueue de classement, le groupe des configurations structurales impliquant les propriétés enabsorption de la cavité faibles ou moyennes ainsi que des conditions de serrage de la plaquemoyennes ou fortes. Ces groupes sont reportés dans le tableau 6.1. Notons que la frontièreentre les groupes de tête et intermédiaire est nette ; on n’observe pas de chevauchement desintervalles de confiance calculés sur les valeurs de mérite du stimulus K1, en dernière positiondans le groupe de tête, et du stimulus G1, en première position dans le groupe intermédiaire.

Groupe Modalités des paramètres structuraux Configurations

α β γ

de tête 1 ou 2 ou 3 3 1 ou 2 ou 3 C, D, H et K

intermédiaire 1 ou 2 ou 3 1 ou 2 1 A et G

de queue 1 ou 2 ou 3 1 ou 2 2 ou 3 B, E, F , I et J

Tab. 6.1 – Groupes de configurations structurales érigés à partir du classement de préférence.

120

6.3. Synthèse et commentaires

Un modèle de régression linéaire simple basé sur les seules valeurs de la sonie de Zwickersuffit à prédire les valeurs de mérite (r2 = 0.93, p < .001) ; le diagramme des valeurs demérite mesurées exprimées en fonction des valeurs de la sonie de Zwicker est présenté sur lafigure F.10. Les valeurs prédites sont reportées sur la figure 6.9 (en rouge).

6.3 Synthèse et commentaires

Dans une première partie de ce chapitre, la procédure expérimentale utilisée pour l’éva-luation auditive des sons rayonnés à l’intérieur de la cavité pour différentes configurationsstructurales étudiées du système plaque-cavité a tout d’abord été définie. Cette procédure,similaire à celle utilisée dans de précédents travaux [Fau03], est basée sur la méthode de com-paraison par paires : les sons sont soumis par paires à un jury d’auditeurs. Pour chaque paire,le sujet évalue la dissimilarité entre les deux sons sur une échelle à 7 catégories puis prononceun jugement de dominance selon la préférence. Ensuite, ont été présentés les outils utilisés pourl’analyse des données issues du test d’écoute. Cette analyse comporte trois grandes phases :i) l’analyse en clusters des sujets, ii) l’analyse multidimensionnelle des jugements de dissimi-larité, iii) l’analyse multidimensionnelle puis unidimensionnelle des jugements de préférence.Les différentes opérations de traitement des réponses au test d’écoute sont récapitulées sur lafigure 6.10.

Puis, dans une seconde partie, les tendances qualitatives originales ont été dégagées del’interprétation des résultats de l’analyse des jugements de dissimilarité et de préférence. Re-venons ici sur quelques points importants.

En rapprochant les espaces perceptifs de dissimilarité et de préférence (plan factoriel 1-2)issus de l’analyse multidimensionnelle des jugements de dissimilarité et de préférence (menéerespectivement via INDSCAL et MDPREF), on a pu noter que la configuration spatiale desstimuli était relativement similaire (notamment r = 0.988, p < .001 entre les coordonnées desstimuli le long des premiers axes, r = −0.877, p < .001 entre leurs coordonnées le long desseconds axes). En outre, l’analyse psychoacoustique a montré que les jugements de dissimilaritéet de préférence étaient basés sur les mêmes attributs saillants des sons, i.e. leur sonie et leurbalance spectrale. Cette stabilité dans les attributs utilisés par les sujets, indifféremment de latâche demandée, a déjà été mise en évidence dans de précédents travaux, traitant notammentde la qualité sonore de systèmes de ventilation de voiture [PHS05] ou d’unités d’air conditionnédans le bâtiment [SMW+04]. En fait, dans le cas présent, l’évaluation de la dissimilarité et dela préférence dans un même test d’écoute force quelque peu le constat30.

Par ailleurs, nous avons pu noter que la variation de la sonie le long des premiers axesdes espaces perceptifs était vraisemblablement reliée d’abord à la variation des propriétés enabsorption de la cavité puis à la variation des conditions de serrage de la plaque. La relation

30Dans les deux études citées ci-dessus, l’évaluation de la dissimilarité et de la préférence n’était pas menéedans un même test d’écoute.

121


entre les propriétés en absorption de la cavité et la sonie est bien connue dans le domaine del’acoustique des salles [Bar93]. Par ailleurs, ce résultat est aussi en accord avec ceux de pré-cédentes études couplant vibro-acoustique et psychoacoustique (Cf. section 3.1). Notamment,Marquis-Favre et al. [MFFH05], s’intéressant à l’évaluation auditive de sons rayonnés par uneplaque en acier dans une salle comportant successivement différents matériaux absorbants, ontidentifié la sonie comme étant un attribut auditif de premier plan. En outre, Marquis-Favreet Faure [MFF08], traitant d’une plaque en verre bafflée, ont pu souligner que la sonie étaitaussi l’un des attributs auditifs sur lequel une variation des conditions aux limites uniformesde la plaque agissait.

La variation de la balance spectrale le long des seconds axes des espaces perceptifs estapparue comme liée à la variation de l’épaisseur de la plaque. Concernant le rôle de l’épais-seur d’une plaque en acier bafflée sur la perception, les travaux de Faure [Fau03] ont montréque la variation de ce paramètre31, en induisant un décalage des fréquences propres de laplaque, occasionnait principalement des différences de hauteur et de niveau perçu entre lessons rayonnés, mais également des différences de balance spectrale. Néanmoins, la métriquepsychoacoustique utilisée pour traduire la balance spectrale entre graves et aigüs, i.e. l’acuitéd’Aures, apparaissait corrélée dans une moindre mesure aux résultats des tests d’écoute. Parailleurs, pour des sons harmoniques rayonnés par une plaque dont le champ d’accélérationprésentait des variations imposées, Meunier et al. [MHC01] ont relié l’une des dimensions del’espace perceptif 3D obtenu à la balance spectrale des sons. Dans leur étude, cet attribut étaitdéfini comme le ratio entre l’amplitude de la fréquence fondamentale et celles des harmoniques.

Enfin, des valeurs de mérite ont été calculées pour les différents stimuli en appliquant unmodèle de mesure unidimensionnelle, le cas V de la loi du jugement comparatif de Thurstone,sur les jugements de préférence prononcés par l’ensemble des sujets (hormis ceux prononcéspar les deux sujets identifiés comme “outliers”). D’un point de vue perceptif, nous avons punoter que le classement de préférence donné par les valeurs de mérite était gouverné par lefacteur de consensus révélé par l’analyse MDPREF : la sonie. Il a été noté également que leseffets du facteur de différences inter-individuelles, la balance spectrale entre graves et aigus, surla préférence exprimée ne transparaissaient plus à travers le classement de préférence. Ainsi,d’un point de vue physique, seule la variation des propriétés en absorption de la cavité, et dansune moindre mesure la variation des conditions de serrage de la plaque, a une influence sur leclassement de préférence. Trois groupes de configurations structurales ont été érigés à partirde ce classement ; il est à retenir principalement que les configurations avec les plus fortespropriétés en absorption de la cavité composent le groupe de tête, i.e. apparaissent comme lesconfigurations les plus à même d’améliorer la qualité des sons à l’intérieur de la cavité.

31Dans un intervalle quasiment identique à celui étudié ici : entre 1 et 3 mm.

122

6.3. Synthèse et commentaires

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Elimination des réponses

des sujets ``outliers''

Fig. 6.10 – Schéma récapitulatif des différentes opérations de traitement des réponses au testd’écoute.

123


124

Chapitre 7

Ajustement de la fréquence de coupure dessons

En vue d’une étude de la qualité sonore du système plaque-cavité à partir de simulationsvibro-acoustiques menées dans le domaine fréquentiel (e.g. simulations FEM/BEM), un pre-mier paramètre fréquentiel à ajuster, inhérent au calcul vibro-acoustique, est la fréquence maxi-male de calcul. Sa définition joue de façon prééminente sur les efforts de calcul vibro-acoustiquenécessaires (ressources informatiques et temps de calcul), et constitue un point critique dans laperspective d’une étude de qualité sonore puisqu’elle détermine l’étendue du contenu fréquentieldes sons synthétisés. Aussi, de concert avec la contrainte de limiter les efforts de calcul vibro-acoustique, il est impératif de s’assurer que, en dépit de l’élimination du contenu fréquentielau-delà de la fréquence maximale de calcul sélectionnée, les tendances qualitatives issues del’évaluation auditive des sons synthétisés représentent adéquatement les tendances qualitativesoriginales qui seraient dressées à partir de l’évaluation auditive des sons réels correspondants.

Au chapitre précédent, nous avons dressé les tendances qualitatives originales relatives àl’influence de la variation de paramètres structuraux d’un système plaque-cavité, à partir del’évaluation auditive de sons réels enregistrés pour différentes configurations structurales dusystème plaque-cavité expérimental. Aussi, dans ce chapitre, nous visons à définir une fréquencemaximale de calcul qui permette de répondre aux deux objectifs cités au paragraphe précédent,et ce en continuant à opérer à partir des sons réels. Dans ce contexte, en usant du filtragepasse-bas, la tâche d’ajustement consiste alors à déterminer, au sein du contenu fréquentieldes sons réels, une fréquence de coupure fmax minimale pour laquelle les tendances qualitativesissues de l’évaluation auditive des sons réels filtrés passe-bas à cette fréquence restent similairesaux tendances qualitatives originales.

Dans une première section, nous présenterons la démarche méthodologique adoptée pour dé-terminer une fréquence de coupure des sons qui permette de conserver les tendances qualitativesoriginales. Dans une seconde section, seront exposés les résultats du processus d’ajustement ;notamment, nous procéderons à une confrontation entre les tendances qualitatives originales etles tendances qualitatives issues de l’évaluation auditive du corpus des sons réels filtrés passe-

125

Chapitre 7. Ajustement de la fréquence de coupure des sons

bas à la fréquence de coupure ajustée. Dans une dernière section, nous tenterons d’expliquerl’ajustement réalisé.

126

7.1. Démarche méthodologique

7.1 Démarche méthodologique


La figure 7.1 présente une vue d’ensemble sur la démarche méthodologique adoptée pourdéterminer une fréquence de coupure des sons qui permette de conserver les tendances qualita-tives originales relatives à l’influence de la variation de paramètres structuraux d’un systèmeplaque-cavité, établies au chapitre 6 (cadre à gauche en traits pleins) et tenant lieu de réfé-rence ; le processus d’ajustement suit un schéma itératif (cadre à droite en traits pointillés).

Sons réels

[0 - 22050] Hz

Evaluation

auditive

Filtrage passe-bas

(Fpass

= fmax

)

Sons réels

[0 - fmax

] Hz

Tendances

qualitatives

de référence

Tendances

qualitatives

approximées

Adéquation ?

(selon les critères

définis)

Adéquation ?

(selon les critères

définis)

fmax

oui

non

fmax

ajustée

= valeur testée lors de

la boucle précédente

Evaluation

auditive

Fig. 7.1 – Vue d’ensemble sur la démarche méthodologique adoptée. Cadre en traits pleins :établissement des tendances qualitatives originales (réalisé au chapitre 6). Cadre en traitspointillés : boucle itérative du processus d’ajustement.

Pour chaque valeur de fréquence de coupure fmax testée (i.e. au sein de chaque boucleitérative), un corpus de 13 sons réels artificiellement limités en fréquence (i.e. avec un contenufréquentiel limité à l’intervalle de fréquences [0, fmax] Hz) est obtenu en appliquant un filtrepasse-bas aux 13 sons réels originaux (i.e. avec un contenu fréquentiel étendu sur l’intervallede fréquences [0, 22050] Hz) du corpus utilisé pour établir les tendances qualitatives origi-nales. Puis, le corpus formé est soumis à l’évaluation auditive par un jury d’auditeurs viaun protocole de test basé sur la méthode de comparaison par paires, identique à celui décritdans la section 6.1.3. Enfin, les tendances qualitatives dressées à partir de l’analyse des ré-ponses de dissimilarité et de préférence (Cf. section 6.1.4), qualifiées ci-après d’ “approximées”car émanant de l’évaluation auditive de sons filtrés passe-bas, sont confrontées aux tendancesqualitatives originales.

Dans ce qui suit, nous préciserons l’opération de filtrage passe-bas des sons réels originauxet l’orientation prise pour apprécier l’adéquation entre les tendances qualitatives approximéeset originales lors de leur confrontation.

127


7.1.2 Filtrage passe-bas des sons réels originaux

7.1.2.1 Synthèse d’un filtre passe-bas adapté

Pour le filtrage passe-bas des sons réels originaux, nous optons pour un filtre digital àRéponse Impulsionnelle Finie (RIF) à phase linéaire ; ce type de filtre est couramment utiliséen audiologie, notamment car l’effet “secondaire” d’une phase linéaire se réduit à un simpledécalage temporel pour le signal filtré, i.e. aucun effet de distortion de phase sur le signaltemporel n’est induit par la sélection fréquentielle, ce qui adviendrait si le filtre était à phasenon-linéaire [OSB99].

Parmi les méthodes utilisées pour la synthèse de filtres RIF à phase linéaire, deux sontparticulièrement répandues : la méthode de fenêtrage de Kaiser1 et la procédure algorith-mique d’approximation optimale de Parks-McClellan2. Contrairement à la seconde méthode,la première méthode est non-itérative, la synthèse de filtres est alors plus rapide via cette mé-thode. Néanmoins, la seconde méthode permet d’obtenir des filtres légèrement plus optimisés,i.e. légèrement plus proches du filtre passe-bas idéal. Pour des cas comparables, à longueurde réponse impulsionnelle fixée, l’algorithme de Parks-McClellan permet de réduire l’erreurd’approximation d’environ 5 dB par rapport à la méthode de fenêtrage de Kaiser [OSB99].Pour cette raison, nous optons finalement pour un calcul du filtre passe-bas par l’algorithmede Parks-McClellan, la lourdeur de la procédure n’étant en outre pas un obstacle grâce auxressources informatiques actuellement à disposition.

La synthèse des filtres passe-bas est réalisée sous Matlab © Mathworks. Les paramètresd’entrée requis pour le calcul sont reportés sur la figure 7.2, qui présente le module de lafonction de transfert du filtre RIF passe-bas |Hpb|. Leur définition est la suivante :

• Fs est la fréquence d’échantillonnage du filtre. Elle est prise égale à la fréquence d’échan-tillonnage des sons réels enregistrés, i.e. 44100 Hz.

• Fpass est la dernière fréquence non atténuée de la bande passante ; elle est prise égale àla valeur de fmax testée.

• Fstop est la première fréquence atténuée de la bande d’arrêt ; elle est choisie de tellemanière à ce que la bande de transition ∆F = Fstop − Fpass soit la plus faible possible,et ce afin de reproduire au mieux la coupure brute à fmax d’un spectre d’un son calculélors de simulations vibro-acoustiques. Dans notre étude, tous les filtres passe-bas sontcalculés avec une bande de transition ∆F égale à 10 Hz, i.e. la plus petite valeur permisepar les ressources de notre PC de calcul.

• Apass est l’amplitude maximale, crête à crête, de l’ondulation de la réponse en fréquence

1J. F. Kaiser. Nonrecursive digital filter design using the I0-sinh window function. In Proc. of IEEE In-ternational Symposium on Circuits and Systems 1974, pages 20-23, San Francisco, CA, USA, 1974 (cité dans[OSB99]).

2T. W. Parks and J. H. McClellan. A program for the design of linear phase finite impulse response filters.IEEE Trans. Audio Electroacoustics, AU-20(3) :195-199, 1972 (cité dans [OSB99]).

128


du filtre dans la bande passante. La plus petite valeur possible est préconisée ; elle estprise égale à 0.01 dB.

• Astop est l’atténuation d’amplitude entre la bande passante et la bande d’arrêt. Elle estprise égale à 100 dB, garantissant ainsi l’inaudibilité du contenu fréquentiel présent dansla bande d’arrêt.

Apass

Fpass Fstop Fs/20

0

Fréquence (Hz)

|Hpb| (dB)

Astop

Fig. 7.2 – Paramètres requis pour la synthèse de filtres FIR passe-bas par l’intermédiaire del’algorithme de Parks-McClellan sous Matlab © Mathworks.

Pour illustration, la fonction de transfert Hpb du filtre FIR passe-bas synthétisé pour unevaleur de fmax égale à 2500 Hz est présentée sur la figure 7.3. La réponse impulsionnelle hpb

de ce filtre, causal (hpb(t) = 0 pour t < 0), est donnée sur la figure 7.4. Sa longueur L,en nombre d’échantillons, est égale à l’ordre du filtre M plus un, soit ici L = M + 1 =20830 + 1 = 20831, ce qui équivaut à une durée, en secondes, égale à L

Fs= 20831

44100 = 0.4724.L’ordre du filtre est déterminé automatiquement lors du calcul, en adéquation avec les valeursdes paramètres d’entrée renseignées. Pour un ordre pair, la réponse impulsionnelle du filtreFIR causal à phase linaire satisfait à la condition de symétrie par rapport à l’abscisse M

2 , soitici à l’abscisse temporelle t = M

2×Fs= 20830

2×44100 = 0.2362 s (Cf. figure 7.4).

7.1.2.2 Calcul des sons filtrés par convolution

Pour chaque valeur de fmax testée, des stimuli filtrés passe-bas sont calculés en convoluantles stimuli originaux par la réponse impulsionnelle du filtre passe-bas synthétisé :

yi[n] = xi[n] ⊗ hpb[n] (7.1)

où n est l’indice d’échantillon, xi[n] est le signal d’entrée de longueur X (0 ≤ n ≤ X − 1)correspondant à la voie i (i = 1 à 2)3 d’un stimulus original donné, hpb[n] est la réponseimpulsionnelle du filtre synthétisé de longueur L = M + 1 (M étant l’ordre du filtre, 0 ≤n ≤ M) et yi[n] est le signal filtré passe-bas à fmax de longueur Y = X + L − 1 = X + M

3Voie 1, i.e. voie gauche : signal enregistré au point M1. Voie 2, i.e. voie droite : signal enregistré au pointM2.

129


0 0.5 1.51 2 2.5 3.5 4.53 4 5

Fréquence (kHz)

|Hpb| (

dB

)

0

-20

-40

-60

-80

-100

-120

(a) Module de la fonction de transfert |Hpb|.

-3500

-3000

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

Hp

b (

rad

ian

s)

0 0.5 1.51 2 2.5 3.5 4.53 4 5

Fréquence (kHz)

(b) Phase de la fonction de transfert ∠Hpb.

Fig. 7.3 – Fonction de transfert Hpb du filtre FIR passe-bas synthétisé pour fmax = 2500 Hz.

130


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

t (seconde)

hp

b(t

) (s

.u.)

t = 0.2362

Fig. 7.4 – Réponse impulsionnelle hpb(t) du filtre FIR passe-bas synthétisé pour fmax =2500Hz. A droite, zoom sur l’intervalle de temps [0.2350, 0.2374] s.

(0 ≤ n ≤ X + M − 1) résultant de l’opération de convolution [OSB99]. Le signal filtré yi[n]est retardé de M

2 échantillons par rapport au signal non-filtré xi[n] ; yi[n] est non nul pourM2 ≤ n ≤ X + M

2 − 1 [OSB99]. La partie non nulle des signaux y1[n] et y2[n] est extraite pourformer le stimulus filtré proprement dit, présenté à l’évaluation auditive.

Pour illustration, le filtrage passe-bas à 2500 Hz de la voie gauche du stimulus A1 estprésenté sur la figure 7.5. Le signal d’entrée x1[n] de longueur X = 176400 échantillonsest convolué par la réponse impulsionnelle du filtre passe-bas hpb[n] de longueur L = 20831échantillons ; on obtient un signal filtré y1[n] de longueur Y = 197230 échantillons, dontl’intervalle [10415, 186814] (d’une durée de 4 s) est extrait pour former la voie gauche dustimulus A1 filtré. Il est procédé à la même opération pour obtenir la seconde voie filtrée, etles autres stimuli filtrés passe-bas à 2500 Hz.

Dans la pratique, le calcul des sons filtrés passe-bas est également réalisé sous Matlab ©Mathworks. Après lecture des 13 fichiers audio originaux, pour chaque valeur de fmax testée,on exécute les opérations mentionnées ci-avant (i.e. convolution / extraction). Les 13 signauxstéréophoniques filtrés passe-bas ainsi obtenus sont encodés dans des fichiers audio au formatWAV avec une fréquence d’échantillonnage égale à 44100 Hz et une résolution de 16 bits. Al’instar de la création des fichiers audio originaux (Cf. section 4.3.3), afin de réaliser un codageoptimal tout en conservant les différences relatives de niveau existant entre les signaux filtréspasse-bas à une même fréquence de coupure fmax, les valeurs de pression de chaque signalfiltré passe-bas à fmax sont, juste avant encodage, divisées par la valeur maximale détectéesur l’ensemble des signaux filtrés passe-bas à fmax.

131


0 88200 132300

-0.3

0

-0.1

-0.2

0.1

0.2

0.3

0.4

n

x [

n]

(s.u

.)

-0.417639944100

1

⊗

0 4410 8820 13230 17640 20830

-0.02

0

0.02

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hp

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] (s

.u.)

=

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n] (

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.)

-0.417640044100 197229

1

Voie 1 du stimulus A1 filtré

Fig. 7.5 – Filtrage passe-bas à 2500 Hz de la voie gauche du stimulus A1.

7.1.3 Appréciation de l’adéquation entre les tendances qualitatives

7.1.3.1 Définition de priorités dans la préservation des tendances qualitatives

Les tendances qualitatives originales rassemblent des informations d’ordre perceptif, àpropos notamment i) des attributs auditifs utilisés par les auditeurs pour différencier les sonsréels originaux et exprimer des jugements de préférence sur ces sons (identifiés via l’analysepsychoacoustique menée à partir des espaces perceptifs de dissimilarité et de préférence), ii)des relations existant entre ces attributs auditifs et les paramètres physiques variables dusystème plaque-cavité (mises en relief via l’examen des positions relatives des stimuli dansles espaces), et iii) des configurations structurales les plus à même d’améliorer globalement laqualité des sons à l’intérieur de la cavité (identifiées à partir du classement des stimuli selonleur valeur de mérite).

A priori, il est difficile de prévoir exactement comment l’ajustement de la fréquence decoupure va affecter les tendances qualitatives ; notamment, il est envisageable que le filtragepasse-bas des sons affecte diversement les différents aspects mentionnés ci-dessus. Aussi, nousconcentrons nos efforts à préserver en premier lieu les tendances qualitatives afférentes auxvaleurs de mérite. La raison qui motive ce choix de priorités est le souhait de se placer dansla lignée d’études de qualité sonore du secteur industriel recourant aux simulations vibro-acoustiques, dont les préoccupations résident dans l’obtention d’un indicateur pratique de la

132

7.2. Résultats du processus d’ajustement

préférence des clients pour une ou plusieurs solutions techniques proposées4. Notre objectifprincipal consiste donc à s’assurer que les recommandations avancées à partir du classementselon la préférence des sons réels filtrés passe-bas, quant à des configurations structurales plusaptes à améliorer la qualité des sons à l’intérieur de la cavité, reflètent bien celles avancées àpartir du classement des sons réels originaux.

7.1.3.2 Formulation de critères de “bonne adéquation” entre les tendances qua-litatives relatives aux valeurs de mérite

Lors de la confrontation des tendances qualitatives afférentes aux valeurs de mérite ap-proximées et originales, nous souhaitons que les deux critères suivants soient remplis afin dedécréter leur “bonne adéquation” :

i) L’ordre d’apparition des stimuli dans le classement de préférence est globalement conser-vé. Surtout, les premières places du classement (i.e. les sons préférés, i.e. les configura-tions structurales du système plaque-cavité préférées) sont inchangées.

ii) L’attribut auditif sur lequel se base le modèle de préférence (i.e. la sonie) reste le même,la qualité d’ajustement du modèle de régression linéaire ne s’est pas détériorée.

Si ces conditions sont remplies, le processus d’ajustement est poursuivi ; une autre boucleitérative est lancée pour une nouvelle valeur, abaissée, de fmax. Dans le cas contraire, lestendances qualitatives relatives aux valeurs de mérite sont considérées comme perdues ; leprocessus d’ajustement a été trop loin ; il est stoppé. La valeur de fmax testée à la boucleprécédente, i.e. la dernière valeur pour laquelle les tendances approximées se sont révélées êtreune bonne approximation des tendances originales, est considérée comme la valeur ajustée(dénotée dans ce qui suit f∗max).

Du fait même de sa nature itérative, le processus d’ajustement adopté ici est plutôt lourd àmettre en oeuvre (une évaluation auditive par valeur de fmax testée). Aussi, afin de minimiserautant que possible le nombre de boucles pour converger vers f∗max, la sélection de chaquevaleur à tester est guidée par un examen des spectres auditifs des sons réels originaux. Cetexamen aide à repérer les parties supérieures des spectres des sons susceptibles d’être peuimportantes d’un point de vue perceptif et dont l’élimination ne serait pas à même de causer,à terme, une perte des tendances qualitatives.

7.2 Résultats du processus d’ajustement

7.2.1 Détermination d’une fréquence de coupure ajustée f ∗max

Le tableau 7.1 montre les rangs des stimuli au sein du classement de préférence original etdes classements de préférence approximés établis pour les différentes valeurs de fmax testées :

4Ici, l’indicateur pratique est la valeur de mérite.

133


5000 Hz, 2500 Hz et 1500 Hz.

Stimulus Rangoriginal

Rang approximé

5000 Hz 2500 Hz 1500 HzD1 1 1 1 1C1 2 4 2 2H2 3 2 4 4H1 4 3 3 3K1 5 5 5 6†

G1 6 8 8 7A1 7 7 7 8A2 8 6 6 5†

F1 9 10 9 9B1 10 9 10 10I1 11 13 13 13J1 12 12 12 11E1 13 11 11 12†modification significative du rang au sein du classement.

Tab. 7.1 – Comparaison entre le classement de préférence original et les classements de pré-férence approximés établis pour les différentes valeurs de fmax testées : 5000 Hz, 2500 Hz et1500 Hz.

Au sein des deux premiers classements de préférence approximés établis pour fmax =5000Hz et fmax = 2500 Hz, aucune modification significative des rangs des stimuli n’apparaît5 ;on peut arguer que les classements approximés concordent avec le classement original.

Au sein du classement de préférence approximé établi pour fmax = 1500 Hz, les stimuliA2 et K1 occupent des rangs significativement différents de ceux qu’ils occupaient dans leclassement original (A2 passe du 8eme au 5eme rang, K1 du 5eme au 6eme rang). Ainsi, legroupe de tête du classement original, qui rassemblait tous les stimuli correspondant à desconfigurations structurales avec de fortes propriétés en absorption de la cavité (dont K1),s’est disloqué ; la relation existant entre ce paramètre physique et la préférence exprimée,précédemment mise en relief à travers le classement original, ne tient plus pour ce classementapproximé. À cet égard, le premier critère de “bonne adéquation” est clairement outrepassé.

En outre, le tableau 7.2 affiche la qualité d’ajustement (exprimée en termes de proportionde variance expliquée, i.e. r2) du modèle de préférence original et des modèles de préférenceapproximés, construits pour les différentes valeurs de fmax testées à partir de la régressionlinéaire entre les valeurs de la sonie de Zwicker calculées sur les sons filtrés passe-bas corres-pondants et les valeurs de mérite approximées obtenues par ces mêmes sons.

5Pour juger d’une modification significative de rang d’un stimulus au sein d’un classement approximé,on procède indépendamment à l’étude des intervalles de confiance à 95% calculés sur les valeurs de mériteoriginales et à l’étude des intervalles de confiance à 95% calculés sur les valeurs de mérite approximées.

134


fmax Qualité d’ajustement

r2 p

22050 Hz† 0.93 < .001

5000 Hz 0.93 < .001

2500 Hz 0.92 < .001

1500 Hz 0.82 < .001†valeur de référence.

Tab. 7.2 – Comparaison de la qualité d’ajustement (exprimée en termes de proportion devariance expliquée, i.e. r2) du modèle de préférence original et des modèles de préférenceapproximés construits pour les différentes valeurs de fmax testées.

Pour fmax = 5000 Hz et fmax = 2500 Hz, la qualité d’ajustement des modèles de préférenceapproximés apparaît équivalente à celle du modèle original. Par contre, pour fmax = 1500Hz,même s’il est vrai que la valeur de p reste inchangée, on peut noter une réduction de plus de10% de la proportion de variance r2 expliquée par le modèle.

Cette dernière observation, et surtout les anomalies déjà relevées quant à la position desstimuli dans le classement de préférence, signifient la perte des tendances qualitatives afférentesaux valeurs de mérite pour une coupure des sons à 1500 Hz. Ainsi, la valeur fmax = 2500 Hz,i.e. la dernière valeur pour laquelle les tendances qualitatives approximées sont trouvées enbon accord avec les tendances originales, est désignée comme f∗max, la fréquence de coupureajustée des sons.

7.2.2 Confrontation étendue des tendances qualitatives originales et ap-proximées

Seules les tendances qualitatives approximées relatives aux stimuli filtrés passe-bas àf∗max = 2500 Hz sont ici présentées et confrontées aux tendances originales. Cette confron-tation sous-entend la comparaison entre les espaces perceptifs de dissimilarité (Cf. section7.2.2.1), entre les espace perceptifs de préférence (Cf. section 7.2.2.2) et entre les valeurs demérite (Cf. section 7.2.2.3). L’analyse préliminaire en clusters des sujets est présentée dansla section H.1.1. En outre, les tendances qualitatives relatives aux stimuli filtrés passe-bas àfmax = 5000 Hz et à fmax = 1500 Hz sont présentées et confrontées aux tendances originalesdans les sections H.2 et H.3.


Les données de dissimilarité ont été échelonnées dans un espace perceptif à deux dimen-sions ; l’évaluation du niveau réel de la mesure et l’étude de la dimensionnalité de l’espaceperceptif de dissimilarité sont proposées respectivement dans les sections H.1.2.1.a et H.2.2.1.b.

135


La figure 7.6 porte à la comparaison l’espace approximé (tracé en traits pleins) et l’espaceoriginal (tracé en traits pointillés). Pour rendre possible cette comparaison, l’espace approximé

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1I

1

J1

K1

H2

A2

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Dimension 1

Dim

ensio

n 2

-0.6

Fig. 7.6 – Espace perceptif de dissimilarité 2D des stimuli, dans leur ellipse de confiance à 95%.En traits pleins : configuration approximée obtenue pour un filtrage passe-bas à f∗max, en traitspointillés : configuration originale. La numérotation des dimensions est celle correspondant àla configuration originale.

a été ajusté à l’espace original en utilisant l’analyse procrustéenne [CC01]. De manière générale,l’analyse procrustéenne est une méthode utilisée afin d’ajuster un nuage de points à un autre.Les deux nuages de points sont souvent définis par un ensemble de variables mesurées sur lesmêmes individus ; les individus sont ici les stimuli et les variables les dimensions perceptives[Koe05]. L’ajustement implique ici, pour l’espace approximé, une rotation à 90 dans le sensdes aiguilles d’une montre puis une symétrie par rapport à l’axe horizontal6.

Les attributs auditifs auxquels les dimensions perceptives de l’espace approximé se réfèrentrestent inchangés ; la dimension 1 est reliée à la balance spectrale des sons filtrés passe-bas(r = 0.940, p < .001 entre les coordonnées des stimuli et les valeurs du CGS) et la dimension2 à leur sonie (r = −0.929, p < .001 entre les coordonnées des stimuli et les valeurs de la soniede Zwicker). Les diagrammes des coordonnées des stimuli filtrés passe-bas à f∗max suivantles dimensions 1 et 2 de l’espace approximé respectivement exprimées en fonction des valeurs

6L’orientation des axes de l’espace perceptif donné par INDSCAL est déterminée de manière unique, auxpermutations et réflections d’axes près [WCC84] ; aussi, la rotation à 90, la symétrie axiale ou la dilatationuniforme sont les seules transformations procrustéennes permises pour l’ajustement d’un espace INDSCAL àun autre [Car06]. Dans le cas présent, une dilatation des axes ne permet pas d’améliorer l’adéquation entre lesespaces original et approximé.

136


du CGS et de la sonie de Zwicker sont présentés respectivement sur les figures H.7 et H.8.Par ailleurs, les proportions de variance expliquées par deux dimensions coïncidentes restentrelativement proches (respectivement 23% et 21% pour la dimension des espaces original etapproximé reliée à la sonie ; respectivement 23% et 29% pour la dimension des espaces originalet approximé reliée à la balance spectrale).

Malgré cette approximation, l’adéquation entre les deux espaces se révèle plutôt bonne(r = 0.985, p < .001 entre la dimension 1 de l’espace approximé et la dimension 2 de l’espaceoriginal, r = 0.977, p < .001 entre la dimension 2 de l’espace approximé et la dimension 1 del’espace original). De surcroît, les positions approximée et originale de chaque stimulus se ré-vèlent être similaires, au vu du chevauchement de leurs ellipses de confiance à 95% respectives :ceci signifie que les distances perceptives relatives existant entre les stimuli originaux n’ontpas été modifiées. En aucun cas ceci ne signifie que les versions originale et filtrée passe-basd’un même stimulus sont proches d’un point de vue perceptif ; en effet, à l’écoute des versionsoriginale et filtrée passe-bas d’un même stimulus, on peut entendre des différences de timbreentre les deux sons, liées à la réduction du contenu fréquentiel par le filtrage passe-bas.

Ainsi, on peut déduire de cette confrontation des espaces perceptifs de dissimilarité quel’élimination du contenu fréquentiel au-delà de 2500 Hz n’a pas eu d’effet significatif sur lacartographie perceptive par les sujets des sons rayonnés par la plaque dans les différentesconfigurations structurales du système plaque-cavité.


Les données de préférence ont été échelonnées dans un espace perceptif à 3 dimensions(Cf. étude de la dimensionnalité présentée dans la section H.1.2.2). Les proportions d’inertieexpliquées par les facteurs 1, 2 et 3 sont respectivement égales à 84%, 6% et 3%, i.e. lesproportions d’inertie expliquées par les facteurs 1 et 2 restent du même ordre de grandeurque celles relevées pour l’espace original7. À l’instar des facteurs 3 et 4 de l’espace original, lefacteur 3 de l’espace approximé n’a pu donner lieu à une interprétation claire ; le plan factoriel2-3 de l’espace approximé est présenté sur la figure H.10.

La figure 7.7 porte à la comparaison les plans factoriels 1-2 des espaces approximé et ori-ginal. À cette fin, la configuration approximée 3D des stimuli filtrés à f∗max a tout d’abordété ajustée à la configuration 4D des stimuli originaux par le biais d’une analyse procrus-téenne8,9 [CC01]. Puis, afin d’ajuster la configuration approximée 3D des vecteurs sujets à laconfiguration originale 4D, une rotation rigide a été appliquée à la première en utilisant la ma-

7Pour rappel, égales à 80% et 7%.8Pour la comparaison d’une configuration de stimuli fournie par MDPREF à une autre, toutes les trans-

formations linéaires non-singulières rendues possibles par l’analyse procrustéenne (notamment toute rotationrigide ou toute dilatation uniforme) sont permises [Car06].

9L’analyse procrustéenne est réalisée à l’aide d’une routine développée sous Matlab © Mathworks parKoehl [Koe05]. Pour utiliser cette routine, les tableaux de données à ajuster doivent avoir le même nombrede dimensions. Dans le cas contraire — comme ici —, on complète le tableau avec le plus faible nombre dedimensions par des colonnes de zéros.

137


A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

J1

K1

H2

A2

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.2

0.2

0.4

0.6

Facteur 1

Facte

ur 2

0.8

-0.8

-1

1

-0.8-1 0.8 1

-0.4

0

CGS

Sonie Z.

Fig. 7.7 – Plan factoriel 1-2 de l’espace perceptif de préférence. : stimuli filtrés passe-bas à f∗max, : extrémités des vecteurs sujets approximés, • : extrémité du vecteur sujet“moyen” approximé, → : vecteurs métriques approximés, ? : stimuli originaux, 4 : extrémitésdes vecteurs sujets délimitant le faisceau original de vecteurs sujets, N : extrémité du vecteursujet “moyen” original, 99K : vecteurs métriques originaux.

138


trice de rotation orthogonale issue de l’analyse procrustéenne précédemment réalisée [Car06].Dans un souci de lisibilité, pour la configuration originale, seules les extrémités des vecteurssujets délimitant le faisceau de vecteurs et celle du vecteur sujet “moyen” sont reportées surla figure 7.7. Enfin, la configuration approximée 3D des vecteurs métriques a été ajustée à laconfiguration originale 4D en suivant une procédure analogue à celle utilisée pour l’ajustementdes configurations de vecteurs sujets.

L’adéquation entre les configurations de stimuli est satisfaisante (après ajustement, r =0.978, p < .001 entre les coordonnées des stimuli originaux et filtrés le long de l’axe 1, r =0.883, p < .001 entre leurs coordonnées le long de l’axe 2). Par ailleurs, le faisceau approximéde vecteurs sujets concorde relativement bien, en termes de dispersion et de direction moyenne,avec son homologue original : un consensus élevé apparaît toujours parmi les préférences dessujets. La sonie et la balance spectrale des stimuli filtrés passe-bas à f∗max sont, comme pour lesstimuli originaux, les attributs dont la variation a vraisemblablement affecté les sujets dansl’expression de leur préférence. Notamment, on peut relever une qualité de représentationencore satisfaisante des vecteurs métriques approximés associés, i.e. la sonie de Zwicker et leCGS, dans l’espace approximé10 (respectivement r = 0.992, p < .001 et r = 0.926, p < .001) ;ces vecteurs coïncident pratiquement avec leur semblable original respectif.

L’ensemble des points de concordance relevés ci-avant entre les espaces perceptifs de préfé-rence approximé et original laisse à penser que le filtrage passe-bas à f∗max opéré sur les stimulin’a pas vraiment perturbé les sujets dans leur évaluation de la préférence.


La figure 7.8 montre les valeurs de mérite mesurées obtenues par les stimuli filtrés passe-basà f∗max (en gris), classées par ordre croissant. Notons que les valeurs de mérite approximées sontcalculées en utilisant la loi du jugement comparatif de Thurstone (cas V ), à l’instar du calculdes valeurs de mérite originales (Cf. section 6.2.2.3). L’évaluation de la qualité d’ajustementdu modèle aux données est présentée dans la section H.1.2.3.a. Les valeurs de mérite mesuréesobtenues par les stimuli originaux sont également reportées sur la figure 7.8 (en rouge). Lesdeux séries de valeurs de mérite mesurées sont fortement corrélées (r = 0.965, p < .001).

Au travers du classement approximé, on retrouve les groupes de configurations structu-rales érigés à partir du classement original (Cf. tableau 6.1) : hormis le groupe de tête11, quicomprend les stimuli renvoyant aux configurations structurales avec les plus fortes propriétésen absorption de la cavité12, on retrouve i) le groupe intermédiaire, avec les stimuli qui cor-

10Cf. section 6.1.4.3.a pour l’évaluation de la qualité de représentation d’un vecteur métrique projeté avecPREFMAP.

11Groupe dont la conservation équivaut au premier critère de “bonne adéquation” sur la base duquel l’ajus-tement fréquentiel a été réalisé.

12N.B. : Alors que les valeurs de mérite mesurées des stimuli A1 et K1 originaux sont significativementdistinctes, on pourra remarquer que les valeurs de mérite mesurées des stimuli A1 et K1 filtrés passe-bas àf∗max sont ici équivalentes (à la vue du chevauchement de leurs intervalles de confiance à 95%). Toutefois, au

139


Vale

ur d

e m

érit

e m

esu

rée

B1

A2

C1

I1

F1

E1

K1

G1

H2

D1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Stimulus

-1

-1.5

J1

A1

H1

Fig. 7.8 – Comparaison des valeurs de mérite mesurées obtenues par les stimuli originaux etfiltrés passe-bas à f∗max. En gris : valeurs de mérite mesurées approximées, en rouge : valeursde mérite mesurées originales, I : intervalle de confiance à 95%.

respondent aux configurations renfermant des propriétés en absorption de la cavité faibles oumoyennes et les conditions de serrage de la plaque les plus faibles, ii) le groupe de queue, avecles stimuli associés aux configurations structurales impliquant les propriétés en absorption dela cavité faibles ou moyennes et des conditions de serrage de la plaque moyennes ou fortes.

Les valeurs de mérite prédites par le modèle de préférence approximé sont présentées surla figure 7.9 (en gris) ; le diagramme des valeurs de mérite mesurées approximées expriméesen fonction des valeurs de la sonie de Zwicker calculées sur les sons filtrés est présenté surla figure H.12. Les valeurs de mérite prédites approximées restent relativement proches desoriginales (reportées en rouge sur la figure 7.9).

Dans la suite de ce chapitre, nous tenterons de trouver une signification à la valeur trou-vée pour f∗max, cette valeur qui permet une bonne approximation des tendances qualitativesoriginales.

sein du classement de préférence approximé, on n’observe pas de modification significative de rang pour lesstimuli A1 et K1. Aussi, on peut considérer que le groupe de tête est encore conservé.

140

7.3. Comment expliquer l’ajustement de fmax à 2500 Hz ?

Vale

ur d

e m

érit

e p

réd

ite

B1

A2

C1

I1

F1

E1

K1

G1

H2

D1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Stimulus

-1

-1.5

J1

A1

H1

Fig. 7.9 – Comparaison des valeurs de mérite prédites obtenues par les stimuli originaux etfiltrés passe-bas à f∗max. En gris : valeurs de mérite prédites approximées, en rouge : valeursde mérite prédites originales.

7.3 Comment expliquer l’ajustement de fmax à 2500 Hz ?

Dans notre effort d’interprétation de l’ajustement de fmax à 2500 Hz, nous adopteronsdeux approches complémentaires. Tout d’abord, nous suivrons une approche holistique, i.e.nous tenterons de dresser un lien entre f∗max et la conservation de caractéristiques globales dessons originaux (Cf. section 7.3.1). Puis, nous adopterons une approche analytique, i.e. nouschercherons à établir s’il existe un lien entre f∗max et des caractéristiques fréquentielles dessons originaux (Cf. section 7.3.2).

7.3.1 Lien entre f ∗max et la conservation de caractéristiques globales des

sons originaux ?

Dans un premier temps, cette question sera traitée d’un point de vue perceptif (Cf. section7.3.1.1) ; notamment, nous étudierons l’hypothèse d’un lien entre f∗max et la conservation desécarts relatifs entre les sonies des stimuli.

Dans un second temps, la question sera traitée d’un point de vue physique (Cf. section7.3.1.2) ; nous examinerons l’éventualité d’un lien entre f∗max et la conservation de différentescaractéristiques globales des réponses vibro-acoutiques du système plaque-cavité.

141


7.3.1.1 D’un point de vue perceptif

7.3.1.1.a Avant-propos : comment influe le filtrage passe-bas sur l’évaluationde la préférence ?

De la confrontation des différents espaces perceptifs de préférence approximés à l’espaceoriginal13,14,15, il ressort que, malgré le filtrage passe-bas, les attributs auditifs saillants desstimuli restent les mêmes. Le spectre basses et moyennes fréquences apparaît ainsi commeporteur de ces attributs saillants.

On peut penser que, pour ces bruits roses rayonnés par la plaque dans la cavité, le filtragepasse-bas agit donc sur l’évaluation de la préférence selon le mode suivant. À l’intérieur desdifférentes séries de stimuli filtrés, les magnitudes des attributs auditifs des différents stimulisont plus ou moins affectées par l’opération de filtrage passe-bas. Tant que ces magnitudesdemeurent relativement inchangées les unes par rapport aux autres, les sujets semblent éva-luer comparativement les stimuli filtrés de la même façon qu’ils évaluent comparativement lesstimuli originaux. Par contre, dans le cas où ces magnitudes varient substantiellement les unespar rapport aux autres, de telle sorte qu’elles s’intervertissent, les sujets sont vraisemblable-ment amenés à établir une nouvelle “hiérarchie” des stimuli selon les magnitudes modifiées deleurs attributs auditifs saillants, et en conséquence à modifier leurs jugements de préférencevis-à-vis des stimuli.

7.3.1.1.b Lien entre f∗max et la conservation des écarts relatifs entre les soniesdes stimuli ?

Il a été relevé que la sonie, l’attribut auditif prééminent dans l’évaluation de la préférence,régissait à elle seule le classement des stimuli selon leur valeur de mérite (Cf. section 6.2.2.3). Enreprenant les éléments évoqués dans la section précédente, on peut avancer que la préservationdes groupes de configurations structurales érigés à partir du classement de préférence original16

est essentiellement conditionnée par la conservation de la hiérarchie entre les sonies des stimuliissus de groupes différents. La conservation ou la perte de cette hiérarchie est étroitement liéeau degré d’altération par le filtrage passe-bas des écarts relatifs existant initialement entre lessonies des stimuli originaux. Dans ce qui suit, nous allons examiner cette dépendance présuméedes tendances qualitatives vis-à-vis des écarts relatifs entre les sonies des stimuli.

La figure 7.10 présente, pour chaque stimulus, la courbe d’évolution de la valeur centrée-réduite zN de sa sonie (Cf. équation (7.2)) en fonction de la fréquence de coupure fcp du patternde sonie17 calculé à partir du signal original (i.e. non-filtré passe-bas), fcp variant de 100 à

13Stimuli filtrés passe-bas à 5000 Hz : Cf. figure H.23.14Stimuli filtrés passe-bas à 2500 Hz : Cf. figure 7.7.15Stimuli filtrés passe-bas à 1500 Hz : Cf. figure H.38.16Ce que sous-entend a posteriori la conservation des tendances qualitatives relatives aux valeurs de mérite

(Cf. section 7.2.2.3).17Il s’agit en fait d’un pattern moyen de sonie ; ce pattern correspond à la moyenne des 2000 patterns de

sonie calculés, sous le logiciel dBSonic © Cortex Instruments - 01dB Metravib Technologies [Cor04], sur

142


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

fcp (kHz)

-2.0

-1.0

1.0

2.0

0.0z N

-3.0

3.0

2.5

kH

z

1.5

kH

z

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

A2

H2

J1

K1

2.2

kH

z

Groupe Modalités des paramètres structuraux Configurations

α β γ

de tête 1 ou 2 ou 3 3 1 ou 2 ou 3 C, D, H et K

intermédiaire 1 ou 2 ou 3 1 ou 2 1 A et G

de queue 1 ou 2 ou 3 1 ou 2 2 ou 3 B, E, F , I et J

Fig. 7.10 – Courbes d’évolution de la valeur centrée-réduite zN de la sonie en fonction de la fré-quence de coupure fcp du pattern de sonie, pour les différents stimuli. En bleu : configurationsstructurales du groupe de tête ; en noir : configurations structurales du groupe intermédiaire ;en rouge : configurations structurales du groupe de queue. Dans le tableau au-dessous dugraphique, reproduction du tableau 6.1, est rappelée la composition de ces trois groupes deconfigurations structurales, dressés à partir du classement de préférence original des stimuliselon leur valeur de mérite.

10000 Hz. Notons que, au-delà de 10000Hz, on n’observe strictement plus aucune évolutionde zN . Sur la figure 7.10, les courbes d’une même couleur renvoient à des configurationsstructurales d’un même groupe dans le classement de préférence original (la composition desgroupes est rappelée dans le tableau au bas de la figure 7.10, reproduction du tableau 6.1).

Dans la pratique, le calcul de zN est réalisé tous les ∆fcp = 100 Hz. À chaque incrémentde fcp, la valeur centrée-réduite zN de la sonie d’un stimulus donné est calculée comme suit :

zN =N − N

σN(7.2)

les 4 secondes de signal (soit un pattern calculé toutes les 2 millisecondes).

143


où :

– N est la sonie du stimulus considéré, calculée comme suit :

N =nfcp∑k=1

N ′k ×∆z (7.3)

où nfcp est le nombre de points de calcul du pattern de sonie compris dans le domaine[0, fcp ] Hz ; N ′

k est la sonie spécifique calculée au point k, exprimée en sones/bark ; ∆z

est le pas de calcul du pattern de sonie, égal à 0.1 bark.

– N est la moyenne des sonies des différents stimuli, calculées suivant l’expression (7.3) ;σN est l’écart-type de ces sonies.

Les patterns de sonie ainsi tronqués à une fréquence fcp donnée sont voués à approximerles patterns de sonie des stimuli qui résulteraient du filtrage passe-bas des stimuli originaux àla fréquence dite18. Au final, en procédant de la sorte, on peut plus finement i) appréhenderpour chaque stimulus l’évolution de sa sonie en fonction du filtrage passe-bas, relativementà l’évolution de la sonie des autres stimuli, et ii) ainsi juger du degré d’altération des écartsrelatifs entre les sonies des stimuli en fonction du filtrage passe-bas.

De la figure 7.10, il ressort principalement que :

i) Pour un filtrage passe-bas à fcp = 5000Hz, les écarts relatifs entre les sonies des stimulifiltrés passe-bas sont tous quasi-identiques aux écarts relatifs existant entre les soniesdes stimuli originaux. La hiérarchie initiale des stimuli selon leur sonie est entièrementconservée.

ii) Pour un filtrage passe-bas à fcp = 2500Hz, seuls les écarts relatifs entre les soniesdes stimuli compris dans un même groupe sont substantiellement modifiés. Notamment,dans le groupe de queue, la sonie du stimulus B1 est intervertie avec les sonies des stimuliE1 et I1 ; dans le groupe de tête, la sonie du stimulus C1 est intervertie avec celles desstimuli H1 et H2. Toutefois, la hiérarchie initiale entre les sonies des stimuli provenantde groupes différents reste inchangée.

iii) Pour un filtrage passe-bas à fcp = 1500Hz, les sonies des stimuli K1 et A2 (initialementassez proches, Cf. courbes en trait épais sur la figure 7.10), issus respectivement dugroupe de tête et du groupe intermédiaire, sont interverties ; la hiérarchie qui s’établissaitinitialement entre les sonies de stimuli issus de groupes différents est perdue à cettefréquence fcp.

iv) L’interversion entre les sonies des stimuli K1 et A2, i.e. la perte de la hiérarchie initiale

18Le verbe “approximer” est utilisé car, pour un filtrage passe-bas à fcp qui serait réalisé par convolution dessignaux temporels originaux à la réponse impulsionnelle du filtre, les patterns de sonie spécifique calculés pourles stimuli ainsi filtrés seraient non nuls dans une zone fréquentielle immédiatement adjacente à fcp, et ce enraison du phénomène de masquage fréquentiel [ZF99].

144


entre les sonies de stimuli issus de groupes différents, adviendrait dès lors que les stimulioriginaux seraient filtrés passe-bas à une fréquence de coupure fcp inférieure à 2200 Hz.

Afin de proposer valablement à partir d’un classement de préférence approximé des re-commandations pour des configurations structurales plus aptes à améliorer la qualité des sonsà l’intérieur de la cavité, il apparaît dans notre étude nécessaire que l’ajustement fréquen-tiel ne modifie pas l’ordre entre les groupes de configurations structurales (groupe de tête,intermédiaire, de queue) révélés par le classement de préférence original. Cet ordre sembledonné par la hiérarchie entre les sonies des stimuli rattachés aux différents groupes de confi-gurations structurales. Le résultat graphique évoqué au point iv) fait apparaître que f∗max

s’apparente fortement à la dernière fréquence de coupure qui peut garantir la préservation decette hiérarchie.

7.3.1.2 D’un point de vue physique

En premier lieu, on se propose d’étudier l’hypothèse d’un lien entre f∗max et la conservationdes niveaux de pression acoustique globaux des stimuli originaux. Ceci revient à s’intéresserà la question qui suit : f∗max ne délimite-t-elle pas un domaine fréquentiel au sein duquel laquasi-totalité de l’énergie acoustique contenue dans les sons originaux est comprise ?

Les figures 7.11 et H.43 présentent, pour chaque stimulus pris séparément, les courbesd’évolution des niveaux de pression acoustique globaux Lp1G et Lp2G — respectivement voiegauche et voie droite — en fonction de la fréquence de coupure fcp des spectres de niveau depression acoustique Lp1(f) et Lp2(f), fcp variant entre 100 et 5000 Hz19. Les spectres Lp1(f)et Lp2(f) ont été définis dans la section 4.3.4.1.a (Cf. expressions (4.3) et (4.4)) ; pour rappel,ces spectres sont calculés à partir des échantillons stéréophoniques originaux de 4 secondes,non corrigés par la fonction de transfert inverse du casque de restitution.

Dans la pratique, le calcul de Lp1G et Lp2G est réalisé tous les ∆fcp = 100 Hz ; pour chaquestimulus, ils sont calculés à chaque incrément de fcp comme suit :

Lp1G = 10 × log10

(nfcp∑k=1

10Lp1,k

10

)(7.4)

Lp2G = 10 × log10

(nfcp∑k=1

10Lp2,k

10

)(7.5)

où nfcp est le nombre de points FFT compris dans le domaine [0, fcp ] Hz ; Lp1,k et Lp2,k sontles niveaux de pression acoustique (exprimés en dB) calculés au point FFT d’indice k.

On peut observer qu’au-delà d’une fréquence de coupure fcp égale à 2500 Hz, les niveaux depression acoustique globaux n’évoluent quasiment plus, et ce pour l’ensemble des stimuli. Pourcertains stimuli, le palier est atteint très en-deçà de 2500 Hz ; par exemple, pour les stimuli

19On n’observe strictement plus aucune évolution des niveaux globaux au-delà de 5000 Hz.

145


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

fcp (kHz)

70

75

80

85

90

95

100

Lp

1G

et L

p2G

(dB

, ré

f =

2× 1

0-5

Pa)

(a) Stimulus B1.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

fcp (kHz)

70

75

80

85

90

95

100

Lp

1G

et L

p2G

(dB

, ré

f =

2× 1

0-5

Pa)

(b) Stimulus J1.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

fcp (kHz)

70

75

80

85

90

95

100

Lp

1G

et L

p2G

(dB

, ré

f =

2× 1

0-5

Pa)

(c) Stimulus E1.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

fcp (kHz)

70

75

80

85

90

95

100

Lp

1G

et L

p2G

(dB

, ré

f =

2× 1

0-5

Pa)

(d) Stimulus G1.

Fig. 7.11 – Courbes d’évolution des niveaux de pression acoustique globaux Lp1G et Lp2G enfonction de la fréquence de coupure fcp des spectres de niveau de pression acoustique Lp1(f)et Lp2(f). — : Lp1G, – – : Lp2G.

146


B1 et J1 (Cf. figures 7.11(a) et (b)), les niveaux de pression acoustique globaux demeurentinchangés à partir d’une fréquence de coupure fcp égale à 300 ou 400 Hz. Pour d’autres, lepalier est atteint dans le voisinage proche de 2500 Hz ; par exemple, pour les stimuli E1 etG1 (Cf. figures 7.11(c) et (d)), les niveaux de pression acoustique globaux restent inchangés àpartir d’une fréquence de coupure fcp comprise entre 2100 et 2500 Hz.

Ainsi, les observations émises précédemment laissent à penser que f∗max peut effectivementcorrespondre à la borne supérieure du domaine fréquentiel au sein duquel la quasi-totalité del’énergie acoustique portée par les différents stimuli originaux est présente.

En second lieu, nous nous penchons sur l’éventualité d’un lien entre f∗max et la conservationdes niveaux de vitesse quadratique moyenne globaux de la plaque. La problématique peuts’énoncer plus précisément ainsi : f∗max ne délimite-t-elle pas un domaine fréquentiel au seinduquel la plaque présente la quasi-totalité de son énergie vibratoire, et ce pour ses différentesconfigurations ? Ce lien apparaît a priori moins vraisemblable puisque les aspects acoustiquessont éludés ; l’investigation menée, présentée dans la section H.4.2, abonde a posteriori dansce sens.

7.3.2 Lien entre f ∗max et des caractéristiques fréquentielles des sons origi-

naux ?

Selon le même schéma qu’à la section 7.3.1, cette question sera tout d’abord traitée d’unpoint de vue perceptif (Cf. section 7.3.2.1) : on se propose d’étudier l’éventualité d’un lienentre f∗max et la préservation des composantes tonales auditivement pertinentes des stimulioriginaux.

Puis, cette question sera abordée d’un point de vue physique (Cf. section 7.3.2.2) : nousserons amenés à examiner l’hypothèse d’un lien entre f∗max et les plus hautes fréquences limitesde champ diffus de la plaque et de la cavité.

7.3.2.1 D’un point de vue perceptif

Nous avons pu voir au travers de la section 4.3.4 que le spectre des stimuli originauxprésentait, surtout en basses et moyennes fréquences, de fortes émergences fréquentielles, sus-ceptibles de représenter des composantes tonales auditivement pertinentes20 ; ces composantestonales jouent un rôle important dans la perception des stimuli originaux, dans le sens où ellesconcourent à former leur image sonore (Cf. travaux de Terhardt [TSS82] présentés dans lasection 2.1.3.3). Aussi, nous nous penchons sur la question suivante : f∗max ne délimiterait-ellepas un domaine fréquentiel minimal commun aux stimuli originaux où serait comprise la quasi-totalité de leurs composantes tonales auditivement pertinentes, cette présence permettant ainside se forger une image sonore d’eux non erronée ?

20De l’anglais aurally relevant tonal components [TSS82].

147


2500 Hz

(a) Stimulus C1 (voie gauche).

2500 Hz

(b) Stimulus D1 (voie droite).

2500 Hz

(c) Stimulus H1 (voie droite).

Fig. 7.12 – Diagrammes Frequency Tracks calculés pour différents stimuli originaux.

Afin de détecter les composantes tonales auditivement pertinentes, un diagramme Fre-quency Tracks est calculé pour chaque stimulus original à l’aide du logiciel dBSonic © Cortex

Instruments - 01dB Metravib Technologies (Cf. figures 7.12 et H.45). Un complémentd’information sur le diagramme Frequency Tracks est fourni dans la section G.3. Pour l’essen-tiel, le diagramme Frequency Tracks représente sous forme de pistes les composantes tonalesauditivement pertinentes (leur amplitude est exprimée en dB) ; le reste de l’information conte-nue dans les sons, assimilé à du bruit, est éliminé de la représentation [Cor04].

Sur l’ensemble des diagrammes, on observe peu, voire pas, de pistes au-delà de 2500 Hz ; lesdiagrammes jugés les plus défavorables, i.e. avec quelques pistes détectées au-delà de 2500 Hz,sont reportés sur la figure 7.12. D’après ces observations, f∗max peut effectivement coïncideravec la borne supérieure d’un domaine fréquentiel minimal commun aux stimuli originauxenglobant leurs composantes tonales auditivement pertinentes.

148


7.3.2.2 D’un point de vue physique

7.3.2.2.a Avant-propos : quelle(s) caractéristique(s) fréquentielle(s) du com-portement vibro-acoustique du système ?

Les émergences fréquentielles observées sur les spectres des stimuli originaux (e.g. spectresdes stimuli I1 et K1 présentés sur la figure 4.5) peuvent être rattachées à la forte réponse decertains modes couplés du système plaque-cavité (Cf. section 4.3.4). On peut ainsi émettrel’hypothèse d’un lien entre la présence d’émergences fréquentielles — in fine de composantestonales auditivement pertinentes — et la nature modale du champ acoustique à l’intérieur dela cavité. Toutefois, comme il a été noté dans la section 4.3.4.1.b, dans le cas où les fréquencesde résonance de modes couplés contrôlés par la cavité et de modes couplés contrôlés parla plaque sont très proches, l’identification des modes couplés responsables des émergencesfréquentielles est souvent entachée d’incertitudes. Au final, les émergences fréquentielles sont-elles dues i) principalement à la réponse de modes couplés contrôlés par la cavité (hypothèseI) ? ii) principalement à la réponse de modes couplés contrôlés par la cavité (hypothèse II) ?iii) pêle-mêle à la réponse de modes couplés contrôlés par la cavité et de modes contrôléspar la plaque ? Relativement aux deux premières hypothèses, on peut respectivement se poserles deux questions qui suivent : i) f∗max ne correspond-elle pas à la plus haute fréquencelimite de champ diffus de la cavité f c

lim ? ii) f∗max ne correspond-elle pas à la plus hautefréquence limite de champ diffus de la plaque fp

lim ? Dans ces deux hypothèses, la présence decomposantes tonales auditivement pertinentes pourrait s’expliquer ainsi : en-deçà de f∗max, lesmodes couplés contrôlés par la cavité (hypothèse I) ou par la plaque (hypothèse II) sont encorebien séparés, leur nombre n’est pas très élevé, de telle sorte que la réponse d’un mode particulierpeut provoquer une émergence fréquentielle suffisamment forte pour donner une composantetonale auditivement pertinente. A contrario, l’absence de composantes tonales auditivementpertinentes — i.e. le caractère “bruité” des stimuli originaux — au-delà de f∗max, pourraits’expliquer ainsi : la séparation entre les modes couplés contrôlés par la cavité (hypothèseI) ou par la plaque (hypothèse II) est très faible, leur nombre est élevé, de telle sorte quela réponse par paquets des modes présents dans une bande d’excitation ne peut provoquerune émergence fréquentielle suffisamment importante pour donner une composante tonaleauditivement pertinente.

Dans le paragraphe qui suit, on se propose d’étudier ce lien possible entre f∗max et la plushaute fréquence limite de champ diffus de l’un des deux sous-systèmes.

7.3.2.2.b Lien entre f∗max et la plus haute fréquence limite de champ diffusd’un sous-système ?

La fréquence limite de champ diffus flim est définie — indifféremment pour une structurevibrante ou une cavité d’air — en utilisant des critères fondés sur la comparaison entre laséparation modale sm et la bande passante à -3 dB des modes, notée ∆f−3 dB. Nous considérons

149


le critère, couramment utilisé, selon lequel flim est la fréquence vérifiant l’égalité [?] :

sm(flim) = ∆f−3 dB(flim) (7.6)

La séparation modale sm(f) est définie comme suit :

sm(f) =1

n(f)(7.7)

où n(f) est la densité modale du sous-système considéré.La bande passante à -3 dB d’un mode de fréquence propre f , ∆f−3 dB(f), peut être définie

comme suit :∆f−3 dB(f) = η(f)× f (7.8)

où η(f) est le facteur de perte par amortissement du mode.

Lien entre f∗max et la plus haute fréquence limite de champ diffus de la cavité ?Parmi les différentes configurations de cavité, la fréquence limite de champ diffus la plus élevéeest obtenue dans le cas de la cavité nue ; son calcul est abordé ci-après.

La densité modale de la cavité nue nc(f) est donnée approximativement par [?] :

nc(f) =4πf2V

c3(7.9)

où V est le volume de la cavité et c est la célérité des ondes acoustiques dans la cavité.Pour le calcul de la bande passante à -3 dB d’un mode de cavité, ∆f c

−3dB, nous utilisonsles valeurs expérimentales de facteur de perte par amortissement ηc mesurées par Ryu [Ryu02]pour la même cavité d’air. La mesure de ηc a été réalisée selon la méthode du lâcher21 surl’intervalle de fréquences [0,4000] Hz, par bande de fréquences de largeur égale à 400 Hz. Ainsi,les valeurs de ηc mesurées correspondent au facteur de perte par amortissement moyen d’unmode situé dans les différentes bandes (de fréquences centrales fcent) ; ces valeurs sont reportéessur la figure 7.13.

Ainsi, les calculs de scm et ∆f c

−3 dB sont réalisés ici par bande de fréquences de 400 Hz, detelle sorte que les expressions (7.7) et (7.8) se déclinent respectivement comme suit :

scm(fcent) =

1nc(fcent)

(7.10)

où scm(fcent) et nc(fcent) désignent respectivement la séparation modale moyenne et la densité

modale moyenne dans une bande de 400 Hz de fréquence centrale fcent ;et :

∆f c−3 dB(fcent) = ηc(fcent)× fcent (7.11)

21R. H. Lyon and R. G. Dejong. Theory and Application of Statistical Energy Analysis. Second Edition.Butterworth-Heinemann, Boston, MA, USA, 1995 (cité dans [Ryu02]).

150


200 600 1000 1400 1800 2200 2600 3000 3400 38000

1

2

3

4

5

6

7

5.53

2.62

2.282.46

1.73

6.52

1.381.401.30

1.03

x 10-3

ηc (

s.u

.)

fcent (Hz)

Fig. 7.13 – Facteur de perte par amortissement moyen d’un mode de cavité situé dans lesdifférentes bandes (de fréquences centrales fcent) [Ryu02].

où ∆f c−3 dB(fcent) et ηc(fcent) désignent respectivement la bande passante à -3 dB moyenne

et le facteur de perte par amortissement moyen d’un mode de cavité situé dans une bande de400 Hz de fréquence centrale fcent.

On peut alors déterminer graphiquement (Cf. figure 7.14) la fréquence limite de champdiffus f c

lim de la cavité nue vérifiant l’égalité (7.6). Le cas le plus critique se présente : l’abscisse

0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000

100

101

102

sm

(H

z)

Fréquence (Hz)

∆f-3dB

(H

z)

100

101

102

c c

Fig. 7.14 – Courbes d’évolution de scm et ∆f c

−3 dB en fonction de la bande de fréquences. –– :scm, –– : ∆f c

−3 dB.

du point d’intersection entre les courbes d’évolution de scm et de ∆f c

−3 dB en fonction de la

151


bande de fréquences coïncide avec une limite entre deux bandes de fréquences successives, i.e.2000 Hz. Ainsi, dans le cas le plus défavorable, f c

lim serait comprise dans le domaine [1600-2000] Hz ; dans le cas le plus favorable, f c

lim serait comprise dans le domaine [2000-2400] Hz.Seulement dans ce dernier cas, l’existence d’un lien entre f∗max et f c

lim paraîtrait plausible.Pour statuer sur ce point, il serait nécessaire de réaliser à nouveau une mesure expérimentalede ηc, mais en utilisant une bande d’analyse plus fine, donnant la possibilité d’approximerplus finement f c

lim et d’établir avec précision un lien entre f∗max et f clim. Mais, dans les deux

cas cités précédemment, f∗max est atteinte après que le champ acoustique est devenu diffus, i.e.homogène, sans présence marquée de modes. Ce constat rejoint les conclusions de la section7.3.2.1 selon lesquelles f∗max délimite une partie basse-fréquence et moyenne-fréquence avecémergences fréquentielles (dues au modes) et une partie haute-fréquence sans émergencesassimilée à du bruit.

Lien entre f∗max et la plus haute fréquence limite de champ diffus de la plaque ?La densité modale np(f) de la plaque22 est définie approximativement — indépendammentdes conditions aux limites de la plaque — comme suit [?] :

np(f) =S

2

(ρs h

D

) 12

(7.12)

où S est la surface de la plaque, ρs la masse volumique de l’acier, h l’épaisseur de la plaqueet D la rigidité de flexion de la plaque définie comme suit :

D =E h3

12 (1− ν2)(7.13)

où E et ν sont respectivement le module d’Young et le coefficient de Poisson de l’acier.Pour le calcul de la bande passante à -3 dB d’un mode de plaque, ∆fp

−3dB, nous nedisposons pas de valeurs expérimentales de facteur de perte par amortissement ηp de l’acier.Aussi, nous procédons à un calcul théorique de ∆fp

−3dB (avec des valeurs théoriques de ηp).En injectant les expressions (7.7) et (7.8) dans l’expression (7.6), la fréquence limite de champdiffus de la plaque fp

lim est alors donnée analytiquement par [?] :

fplim =

1ηp np(f)

(7.14)

où ηp est ici le facteur de perte par amortissement visqueux.La plus haute fréquence limite de champ diffus est obtenue pour la plaque de plus grande

épaisseur, i.e. 3 mm. Le calcul est réalisé pour 2 valeurs de ηp : 7 × 10−3 et 1.2 × 10−2 ; lesvaleurs de fp

lim calculées23 pour ces 2 valeurs de ηp sont présentées dans le tableau 7.3.

22La plaque est considérée comme étant mince et en flexion pure.23A.N. : S = 0.3 m2, ρs = 7520 kg/m3, E=2.068×1011 Pa et ν = 0.29.

152

7.4. Conclusions

ηp fplim (Hz)

7× 10−3 4432

1.2× 10−2 2585

Tab. 7.3 – Valeurs de fplim pour la plaque d’épaisseur 3 mm.

On observe que, pour un acier avec un facteur de perte par amortissement visqueux ηp =1.2 × 10−2, on obtient une valeur de fp

lim égale à 2585 Hz pour la plaque d’épaisseur 3 mm,proche de la valeur de f∗max. Néanmoins, il n’est pas possible d’affirmer que cette valeurde ηp reflète réellement les propriétés d’amortissement de la plaque en acier utilisée lors del’expérimentation. En outre, comme on peut le voir dans le tableau 7.3, une incertitude surla valeur de ηp provoque d’importants écarts sur la valeur calculée de fp

lim. Sur la base de ceséléments, l’existence d’un lien effectif entre f∗max et fp

lim est difficile à affirmer.

7.4 Conclusions

Dans une première partie, a été exposée la démarche méthodologique retenue afin dedéterminer une fréquence de coupure ajustée des sons f∗max, pour laquelle, malgré la réductionde l’étendue du contenu fréquentiel, les tendances qualitatives approximées, i.e. issues del’évaluation auditive d’un corpus de sons réels limités en fréquence, restent en adéquationavec les tendances qualitatives originales établies au chapitre 6.

Cette démarche implique un processus d’ajustement par itération. À chaque itération, esttestée une valeur de fréquence de coupure fmax : les sons réels originaux sont filtrés passe-bas à fmax en utilisant un filtre RIF à phase linéaire ; puis, les sons filtrés passe-bas à fmax

sont soumis à l’évaluation auditive par un jury d’auditeurs en utilisant un protocole de testidentique à celui utilisé au chapitre 6 ; enfin, les tendances qualitatives approximées dresséesà partir de l’analyse des réponses au test d’écoute sont confrontées aux tendances qualitativesoriginales.

Dans la détermination de f∗max, notre attention s’est portée exclusivement sur la préserva-tion des tendances qualitatives relatives aux valeurs de mérite. Notamment, pour décréter deleur préservation, deux critères à remplir nécessairement ont été arrêtés : i) les sons préférés,i.e. les configurations structurales préférées du système plaque-cavité, restent inchangés, et ii)l’attribut auditif sur lequel se base le modèle de préférence original (i.e. la sonie) reste le même(et la qualité d’ajustement du modèle de régression linéaire n’est pas dégradée).

Dans une seconde partie, les résultats du processus d’ajustement fréquentiel ont été pré-sentés.

Notamment, parmi les différentes valeurs de fmax testées itération après itération, la valeurfmax = 2500 Hz, i.e. la dernière valeur pour laquelle les tendances qualitatives approximéesrelatives aux valeurs de mérite se sont révélées être en “bonne” adéquation avec les tendances

153


originales (conformément aux 2 critères arrêtés), a été désignée comme la fréquence de coupureajustée f∗max.

Par la suite, nous avons procédé à la confrontation des espaces perceptifs de dissimilaritéet de préférence originaux et approximés dressés pour un filtrage passe-bas à f∗max. Cetteconfrontation a montré que l’élimination du contenu fréquentiel au-delà de f∗max affectait peules mécanismes de différentiation et d’évaluation de la préférence. Notamment, les auditeursont vraisemblablement utilisé les même attributs saillants des sons, i.e. leur sonie et leurbalance spectrale ; les configurations structurales ont été cartographiées de façon similairedans les espaces perceptifs de dissimilarité et de préférence approximés et originaux.

Dans une dernière partie, nous avons tenté d’expliquer l’ajustement de fmax à 2500 Hz.Plusieurs pistes ont été explorées, suivant deux approches complémentaires, holistique et ana-lytique ; les pistes a posteriori les plus crédibles sont récapitulées ci-après.

Suivant une approche holistique, nous avons pu noter que i) d’un point de vue perceptif,f∗max s’apparentait fortement à la dernière fréquence de coupure qui peut garantir la préser-vation de la hiérarchie entre les sonies des stimuli afférents aux différents groupes de configu-rations structurales érigés à partir du classement de préférence original, et ii) d’un point devue physique, f∗max pouvait coïncider avec la borne supérieure du domaine fréquentiel au seinduquel la quasi-totalité de l’énergie acoustique portée par les différents stimuli originaux estincluse.

Suivant une approche analytique, nous avons pu relever que, d’un point de vue perceptif,f∗max pouvait délimiter un domaine fréquentiel minimal commun où est présente la quasi-totalité des composantes tonales auditivement pertinentes des stimuli originaux, leur présencepermettant de se forger une image sonore d’eux non erronée. Notons que le diagramme Fre-quency Tracks s’est révélé comme un outil particulièrement utile pour détecter ces compo-santes tonales auditivement pertinentes. D’un point de vue physique, nous avons pu noterque, sous certaines conditions, l’existence d’un lien entre f∗max et la plus haute fréquence li-mite de champ diffus de la cavité f c

lim paraissait envisageable, cette piste nécessitant toutefoisune investigation expérimentale supplémentaire pour être confirmée.

154

Chapitre 8

Ajustement du pas fréquentiel des sons

En vue d’une étude de la qualité sonore du système plaque-cavité à partir de simulationsdans le domaine fréquentiel de sa réponse vibro-acoustique, un second paramètre de calcul àajuster est le pas fréquentiel de calcul. Sa définition joue également sur les efforts de cal-cul vibro-acoustique en déterminant le nombre de points de calcul dans l’intervalle fréquentield’étude, et — point important dans le cadre d’une étude de qualité sonore — influe sur l’en-veloppe des spectres de pression calculés. Notamment, plus le pas fréquentiel est grossier, plusl’enveloppe spectrale est lissée, i.e. moins les émergences fréquentielles sont prononcées1. Aussi,il faut veiller à ce que, en dépit de la modification de l’enveloppe spectrale causée par la sélec-tion d’un pas fréquentiel grossier, les tendances qualitatives issues de l’évaluation auditive ducorpus de sons synthétisés reflètent les tendances qualitatives dressées à partir de l’évaluationauditive du corpus de sons réels.

Dans ce chapitre, nous visons à définir un pas fréquentiel de calcul qui permet de remplirles deux objectifs évoqués ci-dessus. Comme précédemment pour l’ajustement de la fréquencemaximale de calcul, on opère à partir des sons réels. L’enveloppe spectrale des sons réels estmodifiée de façon à simuler l’enveloppe de spectres de sons synthétisés qui seraient calculés avecun pas fréquentiel ∆f . Dès lors, la tâche d’ajustement consiste à déterminer un pas fréquentiel∆f ajusté pour lequel les tendances qualitatives issues de l’évaluation auditive du corpus dessons modifiés restent une bonne approximation des tendances qualitatives originales.

Dans une première section, nous préciserons les aspects méthodologiques ; notamment, nousjustifierons le choix du processus d’ajustement adopté, qui appelle à trois phases successivesd’expérimentation perceptive. Aussi, dans les trois sections qui suivent, nous présenterons leursrésultats respectifs.

1Cf. section A.4.2 pour une illustration.

155

Chapitre 8. Ajustement du pas fréquentiel des sons

8.1 Démarche méthodologique


La figure 8.1 présente une vue d’ensemble sur la démarche méthodologique adoptée afinde déterminer un pas fréquentiel ∆f ajusté qui permet de conserver les tendances qualitativesoriginales relatives à l’influence de la variation des paramètres structuraux du système plaque-cavité et définies au chapitre 6.

Phase 1

Appréciation des approximations dues à

l'usage de ∆fp via l'évaluation auditive

du corpus complet de stimuli

Appréciation des approximations dues à l'usage

de ∆f1, ..., ∆fi, ..., ∆fn via l'évaluation auditive

d'un corpus partiel de stimuli ''représentatifs''

Détermination du Point d'Egalité Subjective des

stimuli via des expériences de discrimination

Définition d'un panel de valeurs à tester :

∆f1, ..., ∆fi, ..., ∆fn

Phase 2

Proposition d'une valeur de ∆f potentiellement ajustée :

∆fp = ∆f1 ou ... ou ∆fi ou ... ou ∆fn

Phase 3

∆fp ajustée ?

Pro

céd

é d

e f

orm

ati

on

des

stim

uli

fil

trés

pa

sse-b

as

avec u

ne

en

velo

pp

e s

pectr

ale

mo

dif

iée

Fig. 8.1 – Vue d’ensemble sur la démarche méthodologique adoptée.

L’ajustement de ∆f est réalisé en prenant en compte les résultats de l’ajustement de lafréquence de coupure fmax des sons, i.e. les stimuli présentés lors des différentes expériencesperceptives mises en œuvre au travers de la démarche proposée sont par défaut filtrés passe-bas à la fréquence de coupure ajustée f∗max. Dans la section 8.1.2, est décrit le procédé utilisépour former des stimuli filtrés passe-bas à f∗max dont l’enveloppe spectrale calque l’enveloppede spectres de stimuli synthétisés qui seraient calculés jusqu’à une fréquence maximale f∗max

et avec un pas fréquentiel ∆f donné. Dans ce qui suit, dans un souci d’allègement du texte,nous emploierons souvent l’expression “stimuli filtrés modifiés” pour désigner des stimuli filtrés

156


passe-bas à f∗max dont l’enveloppe spectrale aura été modifiée.

Le processus d’ajustement proposé demande trois phases successives d’expérimentationperceptive, et diffère ainsi du processus adopté pour ajuster la fréquence de coupure dessons, de nature itérative (Cf. section 7.1.1). Plusieurs raisons expliquent ce changement deméthodologie.

Une première raison concerne le choix des valeurs à tester. Pour l’ajustement de fmax, ilétait possible de présumer a priori, à partir d’un examen des spectres auditifs des sons ori-ginaux, des contenus haute-fréquence vraisemblablement peu importants d’un point de vueperceptif et dont l’élimination par filtrage-passe bas n’aurait pas été à même de causer uneperte des tendances qualitatives2. Concernant l’ajustement de ∆f , il apparaît plus difficile,à partir de ces mêmes représentations, d’appréhender a priori les effets d’une modificationde l’enveloppe spectrale des sons sur leur perception, et par là-même de présager des ré-percussions d’une telle modification sur les tendances qualitatives. Aussi, une première phased’expérimentation perceptive est jugée nécessaire pour définir un panel pertinent de valeurs de∆f (∆f1, ..., ∆fi, ..., ∆fn) à tester (Cf. section 8.2). Dans cette perspective, pour chacun des13 stimuli (A1, ..., K1, A2, H2), une expérience de discrimination est lancée afin de déterminerle Point d’Égalité Subjective (P.E.S.) en termes de pas fréquentiel. Pour des valeurs situéesen-deçà du P.E.S., ∆f n’influe pas sur la perception du stimulus ; ainsi, à la connaissance desdifférentes valeurs du P.E.S. (i.e. déterminées pour les différents stimuli), il sera possible dedéfinir la valeur limite inférieure en-deçà de laquelle il ne sera assurément pas utile de porterla recherche de la valeur ajustée de ∆f , et de définir un panel de valeurs à tester adapté enconséquence.

Ensuite, dans l’optique de réduire la durée de l’expérimentation perceptive, la recherchede la valeur ajustée de ∆f (opérée parmi les valeurs du panel précédemment constitué) estscindée en deux phases. Ainsi, une seconde phase est tout d’abord consacrée à l’appréciationdes approximations dues à l’usage des différentes valeurs de ∆f via l’évaluation auditived’un corpus partiel de stimuli “représentatifs” (Cf. section 8.3). Une valeur de pas fréquentielpotentiellement ajustée ∆fp est alors extraite ; ∆fp équivaut au pas fréquentiel le plus grossierpour lequel les tendances qualitatives dressées relativement aux valeurs de mérite restentencore une bonne approximation des tendances originales. Puis, dans une troisième et dernièrephase sont appréciées les approximations dues à l’usage de ∆fp via l’évaluation auditive ducorpus complet de stimuli (Cf. section 8.4). Cette appréciation permet de statuer quant àl’ajustement — effectif ou non — de ∆fp. En adoptant cette procédure en deux phases, lenombre total de sessions de test à mettre en oeuvre est a priori réduit par rapport à celuique nécessiterait l’application d’une procédure consistant à conduire une évaluation auditivedu corpus complet de stimuli pour chaque valeur de ∆f du panel (une évaluation auditive ducorpus complet demande une session de test).

2Cf. section 7.1.3.2.

157


8.1.2 Procédé de formation des stimuli filtrés modifiés

Dans le processus d’ajustement de ∆f , le procédé adopté pour former un stimulus filtrémodifié a été élaboré en cherchant à se caler — autant que possible — sur la méthode3 quiserait utilisée pour synthétiser un bruit rose artificiel à partir de spectres d’amplitude de lapression acoustique calculés aux deux points de réception intérieurs à la cavité M1 et M2, etce jusqu’à une fréquence maximale f∗max et avec un pas fréquentiel ∆f . Les différentes étapesde la synthèse sonore seraient les suivantes4 :

i) Les spectres d’amplitude calculés sur [0, f∗max] avec un pas fréquentiel ∆f sont interpolés

avec un taux R de manière à obtenir un pas fréquentiel ∆f0 égal à1T

, où T est la durée

du son à synthétiser ; R est donc égal à∆f

∆f0. Pour une durée T égale à 4 secondes, ∆f0

est égal à 0.25 Hz. Les valeurs de ∆f utilisées sous simulations étant généralement del’ordre du hertz, R est un nombre entier positif.

ii) Il est procédé à du “Zero padding” sur ]f∗max,Fs

2], où Fs est la fréquence d’échantillon-

nage des sons à synthétiser (égale à 44100 Hz) : des zéros (i.e. 0 Pa) sont rajoutés à

la fin des spectres d’amplitude jusqu’à la fréquence de NyquistFs

2, incluse. On obtient

ainsi des spectres d’amplitude définis sur [0,Fs

2], avec un pas fréquentiel ∆f0.

iii) Il est procédé à la reconstruction de spectres complexes sur [0,Fs

2], en introduisant

une phase aléatoire à chaque échantillon.

iv) Il est procédé à la reconstruction des spectres complexes sur [0, Fs[ en utilisant la pro-priété de symétrie conjuguée de la Transformée de Fourier Discrète — Discrete FourierTransform en anglais (DFT) — d’une séquence réelle à durée finie5. Dans la pratique,pour la partie réelle des spectres complexes, il est opéré une symétrie des valeurs de

l’intervalle ]0,Fs

2[ par rapport à l’axe vertical passant par l’abscisse

Fs

2; pour la partie

imaginaire des spectres complexes, il est opéré une symétrie des valeurs de l’intervalle

]0,Fs

2[ par rapport au point de coordonnées (

Fs

2, 0). Les spectres ainsi reconstruits com-

portent N = Fs × T échantillons, soit N = 176400.

v) Un signal stéréophonique, de durée T (i.e. de longueur N), est synthétisé à partir des3Cette méthode est fondée sur celle adoptée par Faure [Fau03] pour synthétiser un bruit rose artificiel

transmis par une plaque bafflée, modélisée.4Si l’on se reporte aux travaux de Faure [Fau03], on pourra remarquer que les étapes présentées ci-après

diffèrent légèrement de celles mentionnées par l’auteur ; toutefois, les résultats produits, i.e. les sons synthétisés,suivant les deux méthodes de synthèse sonore sont identiques. Aussi, notons que les étapes iv) et v) sont dérivéesde la méthode utilisée dans [HGS+99] pour construire la réponse impulsionnelle acoustique d’une plaque baffléeà partir de sa fonction de transfert acoustique calculée.

5Pour une séquence réelle à durée finie x[n] d’une longueur égale à N échantillons (n ∈ [0, N − 1]), lapropriété de symétrie conjuguée de sa DFT X[k] s’écrit [OSB99] :

X[k] = X∗[N − k] , k ∈ [0, N − 1]

158


spectres complexes reconstitués par application d’une Transformée de Fourier DiscrèteInverse — Inverse Discrete Fourier Transform en anglais (IDFT).

Ces différentes étapes sont récapitulées sur la figure 8.2(a).

Ainsi, relativement aux étapes de la synthèse sonore, les différentes étapes de la formationd’un stimulus filtré modifié ont été définies comme suit :

i) Les spectres complexes (voies gauche et droite) sont calculés par application d’une DFTsur le stimulus filtré passe-bas à f∗max. Ces spectres sont définis sur [0, Fs[ — où Fs

est la fréquence d’échantillonnage utilisée pour l’enregistrement sonore — avec un pas

fréquentiel ∆f0 égal à1T

, où T est la durée du stimulus filtré passe-bas à f∗max. PourT = 4 s, ∆f0 = 0.25 Hz.

ii) Les spectres d’amplitude sont dissociés des spectres de phase. En effet, la modificationde l’enveloppe spectrale concerne les seuls spectres d’amplitude ; les spectres de phasesont conservés intacts pour l’étape ultérieure de reconstruction des spectres complexes(Cf. étape vii)).

iii) Les valeurs de l’intervalle ]Fs

2, Fs[ sont supprimées : on obtient des spectres d’amplitude

définis sur [0,Fs

2], avec un pas fréquentiel ∆f0.

iv) On procède à une “décimation” des spectres d’amplitude avec un taux R égal à∆f

∆f0.

Dans la pratique, une valeur sur R est conservée, en commençant par la composante

nulle6,7. On obtient des spectres d’amplitude définis sur [0,Fs

2], avec un pas fréquen-

tiel ∆f . On peut considérer ces spectres d’amplitude comme les pendants des spectresd’amplitude qui auraient été calculés sur [0, f∗max] avec un pas fréquentiel ∆f .

v) On procède à une “interpolation” des spectres d’amplitude avec un taux R, de manièreà obtenir de nouveau des spectres d’amplitude avec un pas fréquentiel ∆f0. Dans lapratique, on opère une interpolation linéaire entre les valeurs précédemment conservéestous les ∆f .

vi) On procède à la reconstruction des spectres d’amplitude sur [0, Fs[ en utilisant lapropriété de symétrie conjuguée de la DFT. Dans la pratique, on opère une symétrie des

valeurs de l’intervalle ]0,Fs


Fs

2.

vii) On procède à la reconstruction des spectres complexes sur [0, Fs[ en ré-introduisantles spectres de phase précédemment conservés.

viii) Un signal stéréophonique, de durée T (i.e. de longueur N), est synthétisé à partir des

6La composante nulle est la valeur de pression à 0 Hz.7En procédant de la sorte, il se peut que, suivant la valeur de R, la valeur de pression à l’abscisse

Fs

2soit

supprimée. Cependant, afin de pouvoir procéder à l’ “interpolation” des spectres d’amplitude sur l’intervalle

[Fs

2− ∆f ,

Fs

2] (Cf. étape v)), il est indispensable de disposer de la valeur de pression à la borne

Fs

2. Ainsi,

cette valeur est conservée quelque soit la valeur de R.

159


Spectres d'amplitude

calculés sur [0,f*

max]

avec ∆f

''Interpolation'' avec

un taux R


[0,Fs/2] avec

∆f0 = 0.25 Hz

Reconstruction

par adjonction symétrique

des conjugués complexes*

IDFT

Son synthétisé

''Zero padding'' sur

]f*

max,F

s/2]


[0,f*

max] avec

∆f0 = 0.25 Hz

Spectres complexes [0,Fs[

avec ∆f0 = 0.25 Hz

Spectres de phase

aléatoire [0,Fs/2]

avec ∆f0 = 0.25 Hz

Spectres complexes [0,Fs/2]

avec ∆f0 = 0.25 Hz

(a)

Stimulus filtré

passe-bas à f*

max

DFT


avec ∆f0 = 0.25 Hz

''Décimation''

avec un taux R


[0,Fs/2] avec

∆f = R x ∆f0

''Interpolation'' avec

un taux R


[0,Fs/2] avec

∆f0 = 0.25 Hz

Reconstruction par

adjonction symétrique

Spectres de phase

[0,Fs[ avec

∆f0 = 0.25 Hz


[0,Fs[ avec

∆f0 = 0.25 Hz


[0,Fs/2] avec

∆f0 = 0.25 Hz


[0,Fs[ avec

∆f0 = 0.25 Hz

IDFT

Stimulus filtré modifié


avec ∆f0 = 0.25 Hz

(b)

Fig. 8.2 – Mise en parallèle des étapes sous-jacentes à (a) la synthèse d’un bruit rose artificielà partir de spectres d’amplitude de la pression acoustique calculés sous simulations aux deuxpoints de réception M1 et M2 jusqu’à une fréquence maximale f∗max et avec un pas fréquentiel∆f , et à (b) la formation d’un stimulus filtré modifié.∗De l’anglais Symmetric addition ofcomplex conjugates [HGS+99].

160

8.2. Définition d’un panel de valeurs de ∆f à tester

spectres complexes reconstitués par application d’une IDFT.

Ces différentes étapes sont récapitulées sur la figure 8.2(b). La figure I.1 propose uneillustration des étapes sous-jacentes à la modification de l’enveloppe d’un spectre d’amplituded’un stimulus filtré passe-bas à f∗max (encadrées en traits pointillés sur la figure 8.2(b)), pourun taux de “décimation”/“interpolation” R égal à 2.

8.2 Définition d’un panel de valeurs de ∆f à tester

8.2.1 Méthode du stimulus constant pour la détermination du Point d’Éga-lité Subjective (P.E.S.)

L’expérience de discrimination lancée pour chaque stimulus (A1, ..., K1, A2, H2) afin dedéterminer le Point d’Égalité Subjective (P.E.S.) repose sur la méthode du stimulus constantavec paradigme “Identique / Différent” [Bon86]. Le principe de la méthode est brièvementrappelé ci-après.

8.2.1.1 Principe de la méthode

Au cours de l’expérience de discrimination, plusieurs paires de sons sont présentées dansun ordre aléatoire à un panel de sujets. Chaque paire comporte un son de référence et un sontesté. Les sons testés correspondent à différents pas fréquentiels ∆f . Pour chaque paire, lessujets évaluent si le son testé est identique ou différent du son de référence. Les sujets peuventrépéter plusieurs fois l’expérience. Ainsi, pour chaque paire, la probabilité estimée pi(D) quele ieme son testé soit différent du son de référence est donnée par :

pi(D) =Ni(D)

N(8.1)

où Ni(D) est le nombre de réponses “le ieme son testé est différent du son de référence” et N

est le nombre total de réponses.

La probabilité estimée pi(S) que le ieme son testé soit similaire au son de référence estalors donnée par :

pi(S) = 1− pi(D) (8.2)

Dans le cas d’un paradigme “Identique / Différent”, le P.E.S. est déterminé graphiquement,i.e. le P.E.S. est donné par l’abscisse du point d’intersection des courbes d’évolution de pi(D)et pi(S) en fonction de ∆f8 [Bon86].

8L’ordonnée du point d’intersection est systématiquement égale à 0.5, de par la relation de complémentaritéexistant entre pi(D) et pi(S) (Cf. équation (8.2)).

161


8.2.1.2 Sujets

Onze sujets, 3 femmes et 8 hommes, âgés entre 20 et 30 ans, ont effectué les 13 expériencesde discrimination ; les sujets ont répété deux fois chaque expérience. Ces auditeurs sont desdoctorants ou chercheurs permanents du LASH.

8.2.1.3 Stimuli

Au sein d’une expérience de discrimination, le son de référence est un stimulus filtré passe-bas à f∗max (A1, ..., K1, A2, H2) ; les différents sons testés correspondent à ce même stimulus,mais modifié selon le procédé décrit dans la section 8.1.2 pour différentes valeurs de pasfréquentiel ∆f : 1 Hz, 2 Hz, 4 Hz, 8 Hz, 10 Hz et 12 Hz. Ces valeurs ont été pré-sélectionnéesen se référant aux travaux de Faure [Fau03] (Cf. section 3.2.1). Afin de réaliser un codageoptimal tout en conservant les différences relatives de niveau existant entre les 7 sons d’unemême expérience (i.e. le son de référence et les 6 sons testés), les valeurs de pression acoustiquesont, juste avant encodage dans des fichiers audio au format WAV9, divisées par la valeurmaximale détectée sur l’ensemble des 7 sons.


Le test se déroule dans la chambre semi-anéchoïque du LASH. Les sons sont restitués parun casque ouvert Sennheiser HD600 via une carte son haute qualité LynxONE © Lynx Studio

Technology. Pour chaque expérience de discrimination, le volume est réglé de façon à ce quele niveau de diffusion du stimulus filtré passe-bas à f∗max (i.e. le son de référence) soit identiqueau niveau auquel il était diffusé lors du test de comparaison par paires portant sur la série destimuli filtrés passe-bas à f∗max (Cf. chapitre 7).

Une interface graphique permet l’écoute des 6 paires de sons et la saisie des réponses des su-jets (Cf. figure 8.3). Cette interface a été développée par Faure [Fau03] sous Labview © National

instruments.

8.2.2 Résultats des expériences de discrimination

Les réponses données par les sujets au cours des 13 expériences de discrimination sontprésentées dans le tableau récapitulatif I.1. Certains sujets ont donné des réponses incohérentes(e.g. le sujet n3 pour le stimulus D1) ; leurs réponses n’ont pas été prises en compte dans ladétermination du P.E.S.

La détermination graphique du P.E.S. pour les différents stimuli est présentée sur la figureI.2. Les valeurs de P.E.S. sont reportées sur la figure 8.4.

9L’encodage est réalisé avec une fréquence d’échantillonnage égale à 44100 Hz et une résolution de 16 bits.

162

8.2. Définition d’un panel de valeurs de ∆f à tester

Fig. 8.3 – Expériences de discrimination : interface de présentation et de réponse, développéepar Faure [Fau03].

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

J1

K1

Stimulus

A2

H2

3.25

1

2

3

4

5

6

0

P.E

.S. (H

z)

2.7

2.3

3.3

1.75

5.5

4.3

5.1

2.5

5.5

4.8

2.8

5.3

Fig. 8.4 – Valeurs de P.E.S. pour les différents stimuli.

163


8.2.3 Définition du panel

À partir des résultats précédents, nous avons jugé pertinent de focaliser la recherche de lavaleur ajustée de ∆f sur un panel limité à 4 valeurs ; ces valeurs, qui sont de nature à êtreutilisées sous simulations, sont les suivantes :

• ∆f1 = 2 Hz : cette valeur correspond approximativement à la plus petite valeur deP.E.S. obtenue10. ∆f1 n’a ainsi que très peu d’influence sur la perception des 13 stimuli.

• ∆f2 = 4 Hz et ∆f3 = 5 Hz : autour de ces valeurs se concentrent près de la moitié desvaleurs de P.E.S. obtenues. Dans les deux cas, pour certains stimuli, le pas fréquentiel aune influence sur leur perception, pour d’autres non.

• ∆f4 = 10 Hz : cette valeur est supérieure à toutes les valeurs de P.E.S. obtenues. ∆f4

influe ainsi sur la perception des 13 stimuli.

8.3 Appréciation des approximations dues à l’usage des diffé-rents pas fréquentiels via l’évaluation auditive d’un corpuspartiel de stimuli “représentatifs”

Pour chaque valeur ∆fi (i = 1 à 4) du panel précédemment défini, nous allons maintenantchercher à apprécier les approximations que son usage induit sur les tendances qualitativesrelatives aux valeurs de mérite ; cette appréciation est réalisée à partir de l’évaluation auditived’un corpus partiel de stimuli “représentatifs”.

8.3.1 Mise en œuvre du test d’écoute

8.3.1.1 Sujets

Trente-quatre sujets (17 femmes et 17 hommes), âgés de 20 à 55 ans, ont participé autest d’écoute. Ces auditeurs sont des membres du LASH ou des étudiants et personnels del’ENTPE.

8.3.1.2 Stimuli

Le corpus “partiel” ne comprend plus que 6 stimuli (contre 13 pour le corpus “complet”).Ainsi, pour un test de comparaison par paires (Cf. section 8.3.1.3), le nombre de paires quien découle est réduit (15 au lieu de 78) ; la durée nécessaire à l’évaluation d’un corpus partielde stimuli est substantiellement réduite en comparaison de celle nécessaire à l’évaluation d’uncorpus complet de stimuli, de telle sorte que les 4 corpus partiels de stimuli peuvent être évaluéssuccessivement au cours d’un même test d’écoute (soit 60 paires au total, pour une durée detest qui ne dépasse pas 15 à 20 minutes). Une première appréciation rapide des approximationsliées à l’usage des 4 valeurs de ∆f retenues est ainsi possible. Toutefois, pour pouvoir juger

10Cette valeur, i.e. 1.75 Hz, est obtenue pour le stimulus E1 (Cf. figure 8.4).

164

8.3. Appréciation des approximations dues à l’usage des différents pas fréquentiels via l’évaluation

auditive d’un corpus partiel de stimuli “représentatifs”

valablement de l’adéquation entre les tendances qualitatives originales et approximées relativesaux valeurs de mérite, les 6 stimuli doivent être suffisamment “représentatifs” du classement depréférence. Notamment, la sélection doit être orientée de telle façon à ce que la dislocation dugroupe de tête, qui serait du fait d’approximations trop importantes sur les valeurs de méritemesurées, soit constatable le cas échéant. Au final, nous avons sélectionné :

• 4 stimuli dans le groupe de tête : D1, en première position, et H1, H2 et K1, qui occupentles trois dernières positions.

• 1 stimulus dans le groupe intermédiaire : A1, en position intermédiaire.

• 1 stimulus dans le groupe de queue : I1, en dernière position.

Pour chaque valeur ∆fi étudiée, les 6 stimuli filtrés modifiés sont formés en utilisant leprocédé décrit dans la section 8.1.2. Afin de réaliser un codage optimal tout en conservant lesdifférences relatives de niveau existant entre les 6 stimuli, les valeurs de pression acoustiquesont, juste avant encodage dans des fichiers audio au format WAV11, divisées par la valeurmaximale détectée sur l’ensemble des 6 sons.

8.3.1.3 Protocole de test, traitement et analyse de données

Le protocole de test utilisé, fondé sur la méthode de comparaison par paires, est identiqueà celui décrit dans la section 6.1.3. Les 4 séries indépendantes de 15 paires sont évaluéessuccessivement. Au début de chaque série, les 6 sons sont présentés aux auditeurs.

Seuls les jugements de préférence sont traités et analysés. L’analyse comprend l’analyse enclusters des sujets (Cf. section 6.1.4.1) et l’analyse unidimensionnelle (Cf. section 6.1.4.3.b).

8.3.2 Résultats du test d’écoute

Les résultats de l’analyse en clusters des sujets sont présentés dans la section I.3.1.

8.3.2.1 Confrontation des tendances qualitatives relatives aux valeurs de mérite

Dans ce qui suit, les tendances qualitatives approximées dressées à partir de l’évaluationauditive des différents corpus partiels de stimuli filtrés modifiés sont confrontées aux tendancesqualitatives originales (Cf. section 6.2.2.3). En fait, pour chaque valeur ∆fi, les approximationscumulées liées à l’usage du pas fréquentiel ∆f et à l’usage de la fréquence maximale de calculf∗max peuvent être dégagées de cette confrontation.

Dans la section I.3.2, est proposée une confrontation des tendances qualitatives approxi-mées dressées à partir de l’évaluation auditive des différents corpus partiels de stimuli filtrésmodifiés aux tendances qualitatives approximées dressées à partir de l’évaluation auditive ducorpus de stimuli filtrés passe-bas à f∗max (Cf. section 7.2.2.3). Pour chaque valeur ∆fi du pas


165


fréquentiel, les approximations dues uniquement à l’usage du pas fréquentiel ∆f peuvent êtredégagées de cette confrontation.

8.3.2.1.a Classements de préférence

Pour les différentes valeurs ∆fi (i = 1 à 4) du pas fréquentiel, la figure 8.5 porte à lacomparaison les valeurs de mérite mesurées des stimuli filtrés modifiés et celles des stimulioriginaux.

Vale

ur d

e m

érit

e m

esu

rée

I1

K1

H2

D1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Stimulus

-1

-1.5

A1

H1

(a) ∆f1 = 2 Hz.

Vale

ur d

e m

érit

e m

esurée

I1

K1

H2

D1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Stimulus

-1

-1.5

A1

H1

(b) ∆f2 = 4 Hz.

Vale

ur d

e m

érit

e m

esu

rée

I1

K1

H2

D1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Stimulus

-1

-1.5

A1

H1

(c) ∆f3 = 5 Hz.

Vale

ur d

e m

érit

e m

esurée

I1

K1

H2

D1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Stimulus

-1

-1.5

A1

H1

(d) ∆f4 = 10 Hz.

Fig. 8.5 – Confrontation des valeurs de mérite mesurées des stimuli filtrés modifiés aux valeursde mérite mesurées des stimuli originaux, pour les différentes valeurs ∆fi (i = 1 à 4) du pasfréquentiel. En gris : valeurs de mérite mesurées des stimuli filtrés modifiés, en rouge : valeursde mérite mesurées des stimuli originaux, I : intervalle de confiance à 95%.

Quelque soit la valeur de ∆f , on peut remarquer que les valeurs de mérite mesuréesdes stimuli A1 et K1 filtrés modifiés sont équivalentes (à la vue du chevauchement de leursintervalles de confiance à 95%) alors que les valeurs de mérite mesurées des stimuli A1 et K1

166

8.3. Appréciation des approximations dues à l’usage des différents pas fréquentiels via l’évaluation

auditive d’un corpus partiel de stimuli “représentatifs”

originaux étaient significativement distinctes. Notons que cette observation était déjà valablepour les stimuli A1 et K1 filtrés passe-bas à f∗max (Cf. figure 7.8).

Par rapport au classement de préférence original, on n’observe pas, au sein des quatre clas-sements approximés, d’inversion significative de rang (i.e. avec une absence de chevauchementdes intervalles de confiance) entre le stimulus K1 et les stimuli A1 et I1, qui serait synonymed’une dislocation du groupe de tête (configurations structurales relatives à la cavité la plusamortie).

8.3.2.1.b Qualités d’ajustement du modèle de préférence

La qualité d’ajustement (exprimée en termes de proportion de variance expliquée, i.e. r2)des modèles de préférence basés sur la sonie de Zwicker, construits pour les différentes valeurs∆fi étudiées, est donnée dans le tableau 8.1.

Pour ∆f1 = 2 Hz et ∆f2 = 4 Hz, la qualité d’ajustement du modèle de préférence estéquivalente à celle du modèle original (pour rappel : r2 = 0.92, p < .001).

Pour ∆f3 = 5 Hz et ∆f4 = 10 Hz, la qualité d’ajustement du modèle de préférence estdégradée par rapport à celle du modèle original.

Qualité d’ajustement∆f r2 p

2 Hz 0.90 0.0044 Hz 0.93 0.0025 Hz 0.69 0.0410 Hz 0.63 0.04

Tab. 8.1 – Qualité d’ajustement (exprimée en termes de proportion de variance expliquée,i.e. r2) des modèles de préférence basés sur la sonie de Zwicker, construits pour les différentesvaleurs ∆fi étudiées.

8.3.2.2 Synthèse

Nous avons pu noter que i) quelque soit la valeur de ∆f , le premier critère de préservationdes tendances qualitatives relatives aux valeurs de mérite, i.e. la conservation des configura-tions structurales avec la cavité la plus amortie en tête du classement de préférence, étaitrespecté, et ii) a contrario, pour une valeur de ∆f supérieure ou égale à 5 Hz, le secondcritère de préservation des tendances qualitatives relatives aux valeurs de mérite, i.e. la non-détérioration de la qualité d’ajustement du modèle de préférence basé sur la sonie de Zwicker,n’était plus rempli.

Ainsi, sur la base des résultats de cette série de confrontations, on peut considérer la valeur∆f2 = 4 Hz, i.e. la valeur de ∆f la plus grossière pour laquelle les tendances qualitatives

167


approximées reflètent encore les tendances originales (et ce conformément aux deux critèresretenus), comme la valeur potentiellement ajustée, notée ci-après ∆fp.

8.4 Appréciation des approximations dues à l’usage d’un pasfréquentiel ∆fp = 4 Hz via l’évaluation auditive du corpuscomplet de stimuli

8.4.1 Mise en œuvre du test d’écoute

8.4.1.1 Sujets

Trente-quatre sujets (12 femmes et 22 hommes), âgés de 20 à 65 ans, ont participé autest d’écoute. Ces auditeurs sont des membres du LASH ou des étudiants et personnels del’ENTPE.

8.4.1.2 Stimuli

De nouveau, on considère un corpus complet de 13 stimuli, i.e. composé des stimuli A1 àK1, A2 et H2. Les 13 stimuli filtrés modifiés sont formés en utilisant le procédé présenté dansla section 8.1.2. Toujours afin de réaliser un codage optimal tout en conservant les différencesrelatives de niveau existant entre les 13 stimuli, les valeurs de pression acoustique sont diviséespar la valeur maximale détectée sur l’ensemble des 13 sons avant encodage dans des fichiersaudio au format WAV12.

8.4.1.3 Protocole de test, traitement et analyse des données

Le corpus des 13 stimuli filtrés modifiés est soumis à l’évaluation auditive par le jury d’au-diteurs via le protocole de test fondé sur la méthode de comparaison par paires précédemmentutilisé (Cf. section 6.1.3). Les jugements de dissimilarité et de préférence prononcés par lesauditeurs sont traités et analysés selon le protocole décrit dans la section 6.1.4.

8.4.2 Résultats du test d’écoute

Dans cette section, les tendances qualitatives approximées relatives aux stimuli filtrés mo-difiés sont présentées et confrontées aux tendances originales. Comme dans la section 7.2.2,cette confrontation comprend la comparaison entre les espaces perceptifs de dissimilarité (Cf.section 8.4.2.1), entre les espaces perceptifs de préférence (Cf. section 8.4.2.2) et entre les va-leurs de mérite (Cf. section 8.4.2.3). L’analyse préliminaire en clusters des sujets est exposéedans la section I.4.1. Par ailleurs, dans les sections I.4.2.1.d, I.4.2.2.b et I.4.2.3.c, il est procédé


168

8.4. Appréciation des approximations dues à l’usage d’un pas fréquentiel ∆fp = 4Hz via l’évaluation

auditive du corpus complet de stimuli

à une confrontation entre les tendances qualitatives approximées relatives aux stimuli filtrésmodifiés et aux stimuli filtrés passe-bas à f∗max.


Les données de dissimilarité ont été échelonnées dans un espace perceptif à deux dimen-sions ; l’évaluation du niveau réel de la mesure et l’étude de la dimensionnalité de l’espaceperceptif sont présentées respectivement dans les sections I.4.2.1.a et I.4.2.1.b.

La figure 8.6 porte à la comparaison l’espace approximé (tracé en traits pleins) et l’es-pace original (tracé en traits pointillés) ; leur comparaison ne nécessite aucune transformationprocrustéenne préalable.

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

J1

K1

H2

A2

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Dimension 1

Dim

ensio

n 2

-0.6

Fig. 8.6 – Espace perceptif de dissimilarité 2D des stimuli, dans leur ellipse de confiance à95%. En traits pleins : configuration approximée obtenue pour les stimuli filtrés modifiés, entraits pointillés : configuration originale.

À l’instar de l’espace original, les deux dimensions perceptives de l’espace approximé sontreliées respectivement à la sonie (r = −0.828, p = 0.001 entre les coordonnées le long dela dimension 1 et les valeurs de la sonie de Zwicker) et à la balance spectrale (r = 0.905,p < .001 entre les coordonnées le long de la dimension 2 et les valeurs du CGS) des stimulifiltrés modifiés. Toutefois, on peut noter que la relation entre la sonie et la dimension 1 estici moins forte13. Les diagrammes des coordonnées des stimuli filtrés modifiés le long des

13Pour rappel, pour l’espace original : r = −0.936, p < .001 entre les coordonnées le long de la dimension 1et les valeurs de la sonie de Zwicker.

169


dimensions 1 et 2 de l’espace approximé respectivement exprimées en fonction des valeursde la sonie de Zwicker et du GCS sont présentés respectivement sur les figures I.26 et I.27.En outre, les proportions de variance expliquées par les dimensions des espaces original etapproximé sont proches (23% et 25% pour la dimension 1 respectivement de l’espace originalet de l’espace approximé ; 23% et 24% pour la dimension 2 respectivement de l’espace originalet de l’espace approximé).

Par ailleurs, l’adéquation entre les deux espaces s’avère globalement satisfaisante (r =0.911, p < .001 entre les dimensions 1 des espaces original et approximé ; r = 0.992, p < .001les dimensions 2 des espaces original et approximé). Toutefois, on peut noter que les positionsapproximée et originale des stimuli A1 et G1 apparaissent différentes au vu de l’absence dechevauchement de leurs ellipses de confiance à 95 % respectives.

En résumé, de cette confrontation des espaces perceptifs de dissimilarité, il ressort quela modification opérée sur leur enveloppe spectrale, en sus de l’élimination de leur contenufréquentiel au-delà de 2500 Hz, a eu un effet limité sur la cartographie perceptive par lesauditeurs des sons rayonnés par la plaque dans les différentes configurations structurales dusystème plaque-cavité.


Les données de préférence ont été échelonnées dans un espace perceptif à 3 dimensions(Cf. étude de la dimensionnalité présentée dans la section I.4.2.2.a). Les proportions d’inertieexpliquées par les facteurs 1 et 2 — les facteurs auxquels il est donné une interprétation —restent relativement proches de celles relevées pour l’espace original (85% et 6% pour l’espaceapproximé contre 80% et 7% pour l’espace original).

La figure 8.7 porte à la comparaison les plans factoriels 1-2 des espaces approximé etoriginal. La procédure utilisée pour ajuster l’espace approximé à l’espace original est similaireà celle décrite dans la section 7.2.2.2.

L’adéquation entre les configurations de stimuli reste globalement satisfaisante (après ajus-tement, r = 0.956, p < .001 entre les coordonnées des stimuli originaux et celles des stimulifiltrés modifiés le long de l’axe 1 ; r = 0.827, p = 0.001 entre leurs coordonnées respectives lelong de l’axe 2). Cependant, on peut observer pour plusieurs stimuli (A1, C1, H1, I1 et J1)des écarts assez importants entre leurs positions originale et approximée.

En outre, le faisceau approximé de vecteurs sujets s’écarte, en termes de direction moyenne,légèrement du faisceau original, davantage que ne s’en écartait le faisceau approximé obtenupour un filtrage passe-bas à f∗max (Cf. figure 7.7). En termes de dispersion, les faisceauxapproximé et original restent relativement similaires ; un consensus élevé règne toujours parmiles préférences des sujets.

Aussi, comme pour les stimuli originaux, la sonie et la balance spectrale apparaissentcomme les attributs des stimuli filtrés modifiés dont la variation a vraisemblablement guidéles sujets dans l’expression de leur préférence. Toutefois, même si elle reste encore élevée, la

170

8.4. Appréciation des approximations dues à l’usage d’un pas fréquentiel ∆fp = 4Hz via l’évaluation

auditive du corpus complet de stimuli

CGS

Sonie Z.

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.2

0.2

0.4

0.6

Facteur 1

Facte

ur 2

0.8

-0.8

-1

1

-0.8-1 0.8 1

-0.4

0

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

J1

K1

H2

A2

Fig. 8.7 – Plan factoriel 1-2 de l’espace perceptif de préférence. : stimuli filtrés modifiés, :extrémités des vecteurs sujets approximés, • : extrémité du vecteur sujet “moyen” approximé,→ : vecteurs métriques approximés, ? : stimuli originaux, 4 : extrémités des vecteurs sujetsdélimitant le faisceau de vecteurs sujets originaux, N : extrémité du vecteur sujet “moyen”original, 99K : vecteurs métriques originaux.

171


qualité de représentation des vecteurs métriques approximés associés, i.e. la sonie de Zwicker etle CGS, est légèrement inférieure à celle des vecteurs métriques originaux (r = 0.941, p < .001et r = 0.881, p < .001 pour les vecteurs métriques approximés contre r = 0.991, p < .001 etr = 0.943, p < .001 pour les vecteurs métriques originaux14). Dans le plan factoriel 1-2, lesvecteurs métriques approximés restent encore proches de leur semblable original respectif.

En bref, à l’image des conclusions précédemment tirées de la confrontation des espacesperceptifs de dissimilarité, il ressort de cette confrontation des espaces perceptifs de préfé-rence que la modification de l’enveloppe spectrale des sons, ajoutée à leur filtrage passe-bas à2500Hz, a affecté, de façon mesurée, les auditeurs dans leur évaluation de la préférence.


La figure 8.8 montre les valeurs de mérite mesurées des stimuli filtrés modifiés (en gris),classées par ordre croissant ; l’évaluation de la qualité d’ajustement du modèle de Thurstone(cas V ) aux données est présentée dans la section I.4.2.3.a. Les valeurs de mérite mesuréesdes stimuli originaux sont reportées sur la figure 8.8 (en rouge). Les deux séries de valeurs demérite mesurées sont corrélées (r = 0.918, p < .001).

Vale

ur d

e m

érit

e m

esurée

-0.5

0

0.5

1

1.5

Stimulus

-1

-1.5

B1

A2

C1

I1

F1

E1

K1

G1

H2

D1

J1

A1

H1

Fig. 8.8 – Confrontation des valeurs de mérite mesurées des stimuli filtrés modifiés aux valeursde mérite mesurées des stimuli originaux. En gris : valeurs de mérite mesurées des stimuli filtrésmodifiés, en rouge : valeurs de mérite mesurées des stimuli originaux, I : intervalle de confianceà 95%.

Au sein du classement approximé, on peut à nouveau relever une inversion de rang entre lesstimuli A1 et K1 par rapport au classement original, qui reste cependant non-significative à lavue du chevauchement des intervalles de confiance à 95% calculés sur leurs valeurs de méritemesurées approximées respectives. Ainsi, le groupe de tête des configurations structurales

14Cf. section 6.1.4.3.a pour l’évaluation de la qualité de représentation d’un vecteur métrique projeté avecPREFMAP.

172

8.5. Conclusions

avec la cavité la plus amortie est conservé, i.e. le premier critère de préservation des tendancesqualitatives relatives aux valeurs de mérite est rempli.

La figure 8.9 présente les valeurs de mérite des stimuli filtrés modifiés, prédites par lemodèle de préférence approximé (en gris). Le diagramme des valeurs de mérite mesuréesapproximées exprimées en fonction des valeurs de la sonie de Zwicker calculées sur les stimulifiltrés modifiés est présenté sur la figure I.32. Les valeurs de mérite prédites par le modèleoriginal sont reportées sur la figure 8.9 (en rouge). La qualité d’ajustement du modèle depréférence approximé s’avère être inférieure à celle du modèle original (r2 = 0.84, p < .001contre r2 = 0.92, p < .001). Cette constatation concorde avec les moindres corrélationsprécédemment relevées entre les premières dimensions des espaces perceptifs de dissimilarité(Cf. section 8.4.2.1) et de préférence (Cf. section 8.4.2.2) et la sonie de Zwicker. Au final, onne peut arguer que le second critère de préservation des tendances qualitatives relatives auxvaleurs de mérite soit ici pleinement satisfait.

Vale

ur d

e m

érit

e p

rédit

e

-0.5

0

0.5

1

1.5

Stimulus

-1

-1.5

B1

A2

C1

I1

F1

E1

K1

G1

H2

D1

J1

A1

H1

-2

-2.5

Fig. 8.9 – Confrontation des valeurs de mérite prédites des stimuli filtrés modifiés aux valeursde mérite prédites des stimuli originaux. En gris : valeurs de mérite prédites des stimuli filtrésmodifiés, en rouge : valeurs de mérite prédites des stimuli originaux.

8.5 Conclusions

Au début de ce chapitre, ont été précisés les aspects méthodologiques relatifs à l’ajuste-ment du pas fréquentiel ∆f . Un procédé a été avancé pour retoucher l’enveloppe des spectresd’amplitude des sons enregistrés filtrés passe-bas à f∗max (calculés par FFT) de manière àsimuler l’enveloppe de spectres d’amplitude calculés jusqu’à une fréquence maximale f∗max etavec un pas fréquentiel ∆f . Ce procédé a été calé sur une méthode utilisée pour la synthèsede bruits roses artificiels à partir de spectres d’amplitude calculés. Un processus d’ajuste-ment de ∆f avec trois phases successives d’expérimentation perceptive a été proposé afin de

173


déterminer un pas fréquentiel ∆f ajusté pour lequel les tendances qualitatives approximéesissues de l’évaluation auditive des stimuli filtrés modifiés restent une bonne approximation destendances qualitatives originales.

La première phase d’expérimentation perceptive a visé à restreindre un champ large devaleurs de ∆f possibles à un panel pertinent de quelques valeurs de ∆f où porter la recherchede la valeur ajustée. À cet effet, une expérience de discrimination, fondée sur la méthodedu stimulus constant avec paradigme “Identique / Différent”, a été réalisée pour chacun des13 stimuli ; le Point d’Égalité Subjective (P.E.S.) en termes de pas fréquentiel a alors étédéterminé graphiquement. À partir de la connaissance des 13 valeurs de P.E.S., nous avonsopté pour concentrer la recherche de la valeur ajustée de ∆f sur un panel limité à 4 valeurs, denature à être utilisées sous simulations : ∆f1 = 2 Hz, ∆f2 = 4 Hz, ∆f3 = 5 Hz et ∆f4 = 10Hz.

Dans une seconde phase d’expérimentation perceptive, pour chacune des 4 valeurs de ∆f

du panel précédemment constitué, nous avons cherché à apprécier les approximations corres-pondantes via l’évaluation auditive d’un corpus partiel de stimuli “représentatifs” (au nombrede 6). Concernant les évaluations auditives, nous avons eu recours au protocole de test fondésur la méthode de comparaison par paires. Seuls les jugements de préférence ont été traités etanalysés ; en outre, seule l’analyse unidimensionnelle suivant le cas V de la loi du jugementcomparatif de Thurstone a été réalisée. En effet, à ce stade, nous nous sommes bornés à appré-cier les approximations induites sur les tendances qualitatives relatives aux valeurs de mérite.Pour la constitution du corpus partiel de stimuli “représentatifs”, il a été pris soin d’opérer unesélection de stimuli qui permette de constater, en cas d’approximations trop importantes surles valeurs de mérite mesurées, la dislocation du groupe de tête des configurations structuralesprésentant la cavité la plus amortie. Après confrontation des tendances qualitatives approxi-mées dressées à partir de l’évaluation auditive des différents corpus partiels de stimuli filtrésmodifiés aux tendances qualitatives originales, la valeur ∆f2 = 4 Hz s’est révélée comme lavaleur de ∆f la plus grossière qui permet de préserver les tendances qualitatives originales(conformément aux deux critères déjà utilisés lors de l’ajustement de fmax), i.e. comme unevaleur de ∆f potentiellement ajustée.

La dernière phase d’expérimentation perceptive a visé à statuer quant à l’ajustement d’unpas fréquentiel égal à 4 Hz. À cet effet, il a été procédé à l’évaluation auditive du corpuscomplet de 13 stimuli filtrés modifiés, en utilisant le protocole de test fondé sur la méthodede comparaison par paires. L’ensemble des réponses au test d’écoute (i.e. jugements de dis-similarité et jugements de préférence) a été traité et analysé. De la confrontation entre lesespaces perceptifs de dissimilarité et de préférence respectivement originaux et approximés, ilest ressorti que la modification de l’enveloppe spectrale des sons enregistrés due à l’usage d’unpas fréquentiel égal à 4 Hz, ajoutée à leur filtrage passe-bas à 2500 Hz, a davantage affectéles mécanismes de différentiation et d’évaluation de la préférence que ne les avait affectés leseul filtrage passe-bas à 2500Hz. La sonie et la balance spectrale ont été à nouveau iden-

174

8.5. Conclusions

tifiés comme les attributs saillants des stimuli vraisemblablement utilisés par les auditeurspour émettre leurs jugements ; toutefois, nous avons pu noter que la relation entre la sonieet la première dimension des espaces perceptifs de dissimilarité et de préférence approximésétait moins prononcée. En outre, nous avons pu constater davantage de disparités entre lescartographies des configurations structurales dans les espaces perceptifs de dissimilarité etde préférence respectivement originaux et approximés. De la confrontation des classementsde préférence approximé et original, il est ressorti que le premier critère de préservation destendances qualitatives relatives aux valeurs de mérite, i.e. la conservation du groupe de têtedes configurations structurales présentant la cavité la plus amortie, était satisfait. Cependant,le second critère de préservation des tendances qualitatives relatives aux valeurs de mérite,i.e. la conservation de la qualité d’ajustement du modèle de préférence basé sur la sonie deZwicker, s’est avéré ne pas être vérifié de façon satisfaisante. En ce sens, on ne peut arguerqu’une valeur de ∆f égale à 4 Hz soit bien ajustée. On peut alors présumer que la valeur de∆f immédiatement inférieure dans le panel, i.e. 2 Hz, puisse l’être ; le cas échéant, la valeurajustée de ∆f correspondrait ainsi, approximativement, à la plus petite valeur de P.E.S. obser-vée sur l’ensemble des 13 stimuli. Toutefois, pour s’en assurer, il serait nécessaire d’apprécierles approximations dues à l’usage d’un pas fréquentiel égal à 2 Hz via l’évaluation auditive ducorpus complet de stimuli filtrés modifiés.

175


176

Conclusion générale

Pour le cas académique d’une plaque vibrante couplée à une cavité amortie, ces travaux ontporté sur la problématique d’ajustement des efforts de calcul vibro-acoustique en vue d’uneétude de qualité sonore recourant à l’utilisation de sons synthétisés. En effet, cette probléma-tique se pose dès lors que l’on souhaite mener à partir de simulations vibro-acoustiques uneétude paramétrique sur le système physique qui prenne en compte les aspects qualitatifs dessons rayonnés ; il est nécessaire de définir les paramètres de simulation plus ou moins finementde telle manière à simultanément i) réduire ces efforts de calcul, et ii) répondre aux contraintesd’ordre perceptif.

Se fondant sur une approche psychoacoustique de la perception auditive, l’ajustement desefforts de calcul a été mené lors de l’évaluation des effets de la variation de paramètres struc-turaux du système plaque-cavité sur la perception auditive des sons rayonnés à l’intérieurde la cavité ; les paramètres structuraux étudiés étaient les propriétés en absorption de lacavité, l’épaisseur et les conditions de serrage de la plaque. L’évaluation a conduit à dési-gner les configurations structurales les plus à même d’améliorer la qualité des sons rayonnés.Considérant des sons stationnaires, l’ajustement a porté sur deux paramètres de calcul fré-quentiel importants, la fréquence maximale et le pas fréquentiel, dont la définition joue demanière prédominante — outre sur les efforts de calcul vibro-acoustique — sur la perceptiondes sons synthétisés à partir des simulations vibro-acoustiques. L’ajustement a été mené avecla contrainte que l’évaluation auditive de sons synthétisés aboutisse à des recommandations— relatives au design structural du système — analogues à celles qui seraient établies à partirde l’évaluation auditive des sons réels.

Synthèse des résultats

Disposant d’un banc d’essai pour ce système vibro-acoustique, nous avons pu constituerun corpus de sons réels, qui correspondent au son rayonné par la plaque vibrante à l’intérieurde la cavité amortie pour différentes configurations structurales. Ces configurations renvoientà différentes combinaisons des modalités prises par les trois paramètres structuraux étudiés ;elles ont été sélectionnées en s’appuyant sur un plan d’expériences fractionnaire.

Tout d’abord, les résultats d’un test d’écoute préliminaire ont montré que l’influence de

177


la dispersion de la mesure — inhérente à l’opération de différentes manipulations requises —sur la perception auditive était faible devant celle du paramétrage structural contrôlé.

Puis, nous avons proprement procédé à l’évaluation auditive du corpus de sons réels afinde dresser les tendances qualitatives originales, tenant lieu de référence au sein du processusd’ajustement des deux paramètres fréquentiels. Cette évaluation auditive est fondée sur laméthode de comparaison par paires ; pour chaque paire de stimuli, il a été demandé auxauditeurs de prononcer des jugements de dissimilarité et de préférence. Les jugements dedissimilarité ont été analysés suivant l’E.M.D. INDSCAL afin de dresser un espace perceptifde dissimilarité. Les jugements de préférence ont été analysés suivant l’E.M.D. MDPREF, afinde dresser l’espace perceptif de préférence, et suivant le cas V de la loi du jugement comparatifde Thurstone, afin de dresser un classement de préférence des configurations structurales surla base des valeurs de mérite calculées pour les stimuli associés. À partir de ces analyses, nousavons pu, entre autres :

i) déterminer les attributs saillants vraisemblablement utilisés par les auditeurs pour dif-férencier les sons et évaluer leur préférence : la sonie et la balance spectrale entre graveset aigus.

ii) déterminer les configurations structurales préférées par les auditeurs : les configurationsstructurales présentant de fortes propriétés en absorption de la cavité.

iii) construire un modèle de préférence — via l’analyse de régression linéaire — basé surles valeurs de la sonie de Zwicker, suffisant à prédire les valeurs de mérite mesurées.

Ensuite, il a été procédé à l’ajustement de la fréquence maximale de calcul fmax. Cettetâche a été réalisée en travaillant à partir des sons réels, afin de s’affranchir d’approximationsinhérentes à la modélisation du système plaque-cavité mise en place pour générer des sonssynthétisés. Aussi, pour retranscrire la réduction du contenu fréquentiel des sons synthétisésliée à la définition de fmax lors de simulations vibro-acoustiques, nous avons eu recours aufiltrage passe-bas des sons réels. Dès lors, le processus d’ajustement – itératif – a consisté àrechercher quelle fréquence de coupure de filtre passe-bas pourrait permettre une réduction ducontenu fréquentiel des sons tout en préservant les tendances qualitatives originales relativesaux valeurs de mérite. Plusieurs fréquences de coupure ont été testées. Dans les conditions denotre cas d’étude de système plaque-cavité, il est ressorti qu’une fréquence de coupure égale à2500 Hz était convenable pour obtenir des tendances qualitatives approximées similaires auxoriginales, car :

i) les premières places du classement de préférence sont restées inchangées ; notamment,les liens précédemment établis avec le design structural du système plaque-cavité sontrespectés.

ii) la qualité d’ajustement du modèle de préférence basé sur les valeurs de la sonie deZwicker n’a pas été détériorée.

178

A posteriori, les autres résultats (espaces perceptifs de dissimilarité et de préférence) se sontrévélés être également préservés. On peut donc avancer que la fréquence de coupure retenueremplit les conditions nécessaires à une évaluation auditive correcte des effets des variationsstructurales considérées. Par la suite, nous avons tenté d’expliquer l’ajustement de fmax à 2500Hz ; plusieurs pistes de réflexion ont été dégagées. Notamment, d’un point de vue physique,nous avons pu relever que f∗max s’apparentait fortement à la borne supérieure du domainefréquentiel au sein duquel la quasi-totalité de l’énergie acoustique portée par les différentsstimuli originaux est présente. D’un point de vue perceptif, nous avons pu en outre noterque f∗max pouvait délimiter un domaine fréquentiel où sont présentes la quasi-totalité descomposantes tonales auditivement pertinentes des stimuli originaux.

Enfin, nous avons mené l’ajustement du pas fréquentiel de calcul ∆f , en travaillant àpartir des sons réels filtrés passe-bas à 2500 Hz. La définition de ∆f lors de simulations vibro-acoustiques influe sur l’enveloppe spectrale des sons synthétisés ; aussi, nous avons procédéà une modification de l’enveloppe spectrale des sons réels de façon à simuler l’enveloppe despectres des sons synthétisés qui seraient calculés avec un pas fréquentiel ∆f . Alors, le pro-cessus d’ajustement a consisté à déterminer un pas fréquentiel ∆f pour lequel les tendancesqualitatives approximées relatives aux valeurs de mérite — issues de l’évaluation auditive ducorpus des sons réels modifiés — restent analogues aux originales.

Le processus d’ajustement retenu a compté trois phases successives d’expérimentationperceptive.

Une première phase, basée sur des expériences de discrimination visant à déterminer leP.E.S. des stimuli en termes de pas fréquentiel, a abouti à la concentration de la recherche dela valeur ajustée de ∆f sur un panel pertinent de 4 valeurs.

Puis, dans une seconde phase d’expérimentation perceptive, pour chacune des 4 valeursde ∆f du panel constitué, nous avons dressé les tendances qualitatives approximées relativesaux valeurs de mérite à partir de l’évaluation auditive d’un corpus partiel de 6 stimuli “re-présentatifs”. Le protocole de test était à nouveau fondé sur la méthode de comparaison parpaires. Nous avons pu ainsi apprécier les approximations induites sur les tendances qualitativesoriginales par l’usage des différentes valeurs de ∆f , en sus du filtrage passe-bas à 2500 Hz. Ilest ressorti qu’une valeur de ∆f égale à 4 Hz permettait de préserver les tendances qualita-tives originales (et ce conformément aux deux critères i) et ii) énoncés précédemment pourl’ajustement de fmax), cette valeur constituait une valeur de ∆f potentiellement ajustée.

Dans une dernière phase d’expérimentation, nous avons tenté de corroborer l’ajustementréalisé précédemment en procédant à l’évaluation auditive du corpus complet de 13 stimuli. Lasonie et la balance spectrale sont à nouveau apparus comme les attributs saillants des stimulivraisemblablement utilisés par les auditeurs pour émettre leurs jugements. Des approximationsplus importantes ont été constatées quant à la cartographie des configurations structuralesdans les espaces perceptifs de dissimilarité et de préférence. La confrontation des classements

179


de préférence approximé et original a montré que i) le premier critère de conservation destendances qualitatives relatives aux valeurs de mérite — la préservation des premières placesdu classement de préférence — était satisfait, ii) le second critère de conservation des tendancesqualitatives relatives aux valeurs de mérite — la préservation de la qualité d’ajustement dumodèle de préférence basé sur la sonie de Zwicker — s’est cependant révélé ne pas être vérifiéde manière satisfaisante. Aussi, à partir des observations et des critères fixés, nous n’avons paspu affirmer que la valeur de ∆f égale à 4 Hz était ajustée ; un test d’écoute complémentaireserait nécessaire pour s’en assurer.

Perspectives

Comme nous avons déjà pu le mentionner, l’ajustement de la fréquence maximale fmax

et du pas fréquentiel ∆f a été mené en travaillant à partir des sons réels, plutôt qu’à par-tir de sons synthétisés, et ce en vue de s’affranchir dans un premier temps d’approximationsliées à la modélisation du système plaque-cavité. Ces approximations, relatives au contenufréquentiel des sons synthétisés, seraient entre autres consécutives aux hypothèses de modéli-sation physique du système (e.g. modèle de plaque, ...). Aussi, afin de corroborer les résultatsprésentés dans ces travaux, la suite logique consisterait à lancer une évaluation auditive desons synthétisés à partir de simulations vibro-acoustiques menées avec les valeurs ajustées desdeux paramètres fréquentiels de calcul. Pour ce faire, il faudrait tout d’abord compléter lesmesures vibratoires réalisées dans ces travaux ; en effet, ces mesures n’ont pas été réaliséespour les configurations J et K. Dès lors, 11 stimuli pourraient être synthétisés à partir dela pression acoustique rayonnée aux deux points de réception intérieurs de la cavité ; cettepression serait calculée en imposant les vitesses vibratoires mesurées correspondantes sur laplaque modélisée. En s’assurant ainsi que les tendances qualitatives approximées dressées sontanalogues aux originales, l’ajustement réalisé dans ces travaux serait définitivement validé.

Ensuite, il pourrait être intéressant d’évaluer plus précisément l’influence d’autres para-mètres de simulation sur les tendances qualitatives, e.g. la nature du couplage vibro-acoustiqueentre la plaque et la cavité, le critère de troncature modale, ou encore — pour des simulationsFEM — le critère de convergence sur le maillage de la plaque et de la cavité (Cf. annexeA). L’ajustement de ces paramètres permettrait de réduire plus encore les efforts de calculvibro-acoustiques dans la perspective d’adopter une démarche de qualité sonore dès le stadede conception de la structure.

180

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Thèse soutenue devant l’Institut National des Sciences Appliquées de LyonNom : TROLLÉ Date de soutenance : le 17 Juillet 2009Prénoms : ArnaudTitre : Évaluation auditive de sons rayonnés par une plaque vibrante à l’intérieur d’unecavité amortie : ajustement des efforts de calcul vibro-acoustiqueNature : Doctorat Numéro d’ordre : 09 ISALÉcole doctorale : Mécanique, Énergétique, Génie civil et AcoustiqueSpécialité : AcoustiqueCote B.I.U.-Lyon :Résumé : Les travaux traitent de l’ajustement des efforts de calcul vibro-acoustique dansle cadre d’une étude de qualité sonore sur un système vibro-acoustique dès le stade de laconception. Cette recherche d’ajustement est appliquée au système vibro-acoustique constituéd’une plaque vibrante couplée à une cavité amortie. Pour un calcul fréquentiel, un premierpas dans ce sens demande à ajuster deux paramètres de simulation importants : la fréquencemaximale de calcul, puis le pas fréquentiel de calcul. En termes de contraintes perceptives, oncherche pour ces paramètres une valeur ajustée permettant de conserver les tendances qua-litatives originellement établies à partir d’une évaluation auditive portant sur les sons réelsrayonnés par la plaque dans la cavité. Les sons réels sont collectés via l’expérimentation surun banc d’essai constitué d’une plaque en acier couplée à une cavité parallélépipédique ; cessons correspondent au son rayonné par la plaque vibrante à l’intérieur de la cavité, enregistrédans diverses configurations structurales du système. Ces configurations impliquent différentescombinaisons des modalités prises par les 3 paramètres structuraux variables retenus : l’épais-seur de la plaque, les conditions de serrage de la plaque et les propriétés en absorption de lacavité. Les sons enregistrés sont ensuite soumis par paires à un jury d’auditeurs auxquels ilest demandé d’évaluer leur dissimilarité et de donner un jugement de préférence. À partir del’analyse des informations recueillies, des tendances qualitatives de référence sont établies, entermes d’espace perceptif de dissimilarité, d’espace perceptif de préférence et de classementde préférence. Dès lors, en travaillant à partir des sons enregistrés, le processus d’ajustementconsiste, i) à déterminer, à partir d’un filtrage passe-bas appliqué aux sons, la fréquence decoupure ajustée qui permet de préserver les tendances qualitatives de référence, ii) à recher-cher le pas fréquentiel ajusté, à imposer aux spectres des sons avant synthèse, qui permet demaintenir les tendances qualitatives précédemment établies.Mots-clés : système plaque-cavité, couplage fluide-structure, rayonnement acoustique, bruit inté-rieur, absorption acoustique, épaisseur de plaque, conditions aux limites, simulations vibro-acoustiquesavec contraintes perceptives, fréquence maximale de calcul, pas fréquentiel de calcul, perception audi-tive, évaluation auditive, dissimilarité, préférence, espaces perceptifs, valeurs de mériteLaboratoires de recherche : Laboratoire Vibrations Acoustique (Institut National desSciences Appliquées de Lyon) / Département Génie Civil et Bâtiment URA CNRS 1652 (ÉcoleNationale des Travaux Publics de L’État)Directeurs de Thèse : Catherine MARQUIS-FAVRE et Nacer HAMZAOUIPrésident du jury : Xxxxx XXXXXComposition du jury : Xxxxx XXXXX

Xxxxx XXXXXXxxxx XXXXXNacer HAMZAOUI Directeur de ThèseCatherine MARQUIS-FAVRE Directrice de ThèsePascale NEPLE Invitée

N d’Ordre : 2009 ISAL Année 2009

Thèse

Évaluation auditive de sons rayonnés parune plaque vibrante à l’intérieur d’unecavité amortie : ajustement des efforts

de calcul vibro-acoustiqueprésentée devant

L’Institut National des Sciences Appliquées de Lyonpour obtenir

Le grade de docteur

Ecole doctorale : Mécanique, Énergétique, Génie civil et AcoustiqueEcole Centrale de Lyon - Université Claude Bernard-Lyon I - INSA Lyon

Spécialité : Acoustique

parArnaud TROLLÉ

Annexes

Soutenue le 17 Juillet 2009 devant la Commission d’Examen composée de :Antoine CHAIGNE RapporteurReinhard WEBER RapporteurSabine MEUNIER Membre du juryÉtienne PARIZET Membre du juryNacer HAMZAOUI Directeur de ThèseCatherine MARQUIS-FAVRE Directrice de ThèsePascale NEPLE Invitée

Cette thèse a été préparée au Département Génie Civil et Bâtiment (ura cnrs 1652) deL’École Nationale des Travaux Publics de l’État et au Laboratoire Vibrations Acoustique del’Institut National des Sciences Appliquées de Lyon

Table des matières

A Rapport préliminaire : Modélisation du comportement vibro-acoustiqued’un système plaque-cavité. Optimisation et comparaison d’outils de calculvibro-acoustique. 1A.1 Généralités sur le problème fluide-structure intérieur . . . . . . . . . . . . . . . 2

A.1.1 Pose du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2A.1.2 Équations du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3A.1.3 Méthodes de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

A.1.3.1 Méthodes analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4A.1.3.1.a Méthodes de séparation des variables . . . . . . . . . 4A.1.3.1.b Méthodes intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

A.1.3.2 Méthodes semi-analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5A.1.3.3 Méthodes numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

A.1.3.3.a Méthode des Éléments Finis - Finite Element Method(FEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

A.1.3.3.b Méthode des Éléments de Frontière - Boundary Ele-ment Methods (BEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

A.2 Description du système plaque-cavité étudié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12A.2.1 Configuration du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12A.2.2 Équations régissant la réponse vibro-acoustique du système . . . . . . . 12

A.3 Présentation des outils de calcul vibro-acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . 13A.3.1 Plaqcav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

A.3.1.1 Descriptif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13A.3.1.2 Équations de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

A.3.1.2.a Problème acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13A.3.1.2.b Problème structural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15A.3.1.2.c Couplage vibro-acoustique . . . . . . . . . . . . . . . 16A.3.1.2.d Prise en compte de l’amortissement intrinsèque aux

deux sous-systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17A.3.1.2.e Prise en compte de la présence d’un matériau absor-

bant sur une paroi rigide . . . . . . . . . . . . . . . . 17

III

Table des matières

A.3.2 Sysnoise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18A.3.2.1 Descriptif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18A.3.2.2 Maillages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18A.3.2.3 Équations de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

A.3.2.3.a Approche FEM-FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19A.3.2.3.b Approche FEM-BEM indirecte variationnelle . . . . . 20A.3.2.3.c Approche FEM-BEM directe . . . . . . . . . . . . . . 20

A.3.3 Translp2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21A.3.3.1 Descriptif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21A.3.3.2 Maillages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21A.3.3.3 Équations de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

A.3.3.3.a Équations discrétisées du système couplé . . . . . . . 22A.3.3.3.b Équations généralisées du système couplé . . . . . . . 22A.3.3.3.c Prise en compte de l’amortissement intrinsèque aux

deux sous-systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23A.3.4 Synthèse des hypothèses et possibilités de calcul . . . . . . . . . . . . . . 25A.3.5 Indicateurs vibro-acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

A.4 Optimisation des paramètres de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27A.4.1 Optimisation des critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

A.4.1.1 Remarques préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27A.4.1.2 Plaqcav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

A.4.1.2.a Configuration de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . 28A.4.1.2.b Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28A.4.1.2.c Discussion sur l’influence de la position de la force

ponctuelle sur la valeur optimale du critère de tron-cature modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

A.4.1.2.d Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33A.4.1.3 Sysnoise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

A.4.1.3.a Approche FEM-FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33A.4.1.3.b Approche FEM-BEM indirecte . . . . . . . . . . . . . 35A.4.1.3.c Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

A.4.1.4 Translp2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40A.4.1.4.a Critère de troncature modale . . . . . . . . . . . . . . 40A.4.1.4.b Critère de convergence sur le maillage . . . . . . . . . 40A.4.1.4.c Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

A.4.2 Optimisation du pas fréquentiel de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . 46A.4.2.1 Configuration de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46A.4.2.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46A.4.2.3 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

IV

Table des matières

A.4.3 Augmentation de la fréquence maximale de calcul . . . . . . . . . . . . . 51

A.4.3.1 Plaqcav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

A.4.3.1.a Configuration de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

A.4.3.1.b Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

A.4.3.1.c Diminution des temps de calcul par une méthode detri sélectif des termes de couplage . . . . . . . . . . . 53

A.4.3.1.d Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

A.4.3.2 Translp2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

A.4.4 Conclusions et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

A.5 Comparaison des réponses vibro-acoustiques calculées par les différents outils . 60

A.5.1 Définition du cas test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

A.5.2 Confrontation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

A.5.2.1 Fréquences propres des sous-systèmes découplés et du systèmecouplé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

A.5.2.2 Indicateurs de la réponse vibro-acoustique . . . . . . . . . . . . 60

A.5.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

A.5.4 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

B Mesure du coefficient d’absorption acoustique en incidence normale 69

B.1 Principe de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

B.2 Protocole expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

B.3 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

C Compléments relatifs à l’analyse des effets de la variation des paramètresstructuraux sur la réponse vibro-acoustique du système plaque-cavité 73

C.1 Paramétrages utilisés pour le calcul de la STFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

C.2 Éléments d’analyse modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

C.3 Effets de la variation des conditions de serrage de la plaque sur la réponsevibro-acoustique du système plaque-cavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

D Compléments relatifs à l’appréciation des effets de la dispersion de la me-sure sur la perception auditive par l’analyse de variance (ANOVA) 93

D.1 Lexique de terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

D.2 Compléments relatifs à l’élaboration du schéma d’analyse . . . . . . . . . . . . 101

D.2.1 Espérances mathématiques des carrés moyens . . . . . . . . . . . . . . . 101

D.2.2 Équations de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

D.2.3 Calcul des seuils de signification observés p . . . . . . . . . . . . . . . . 103

D.2.4 Calcul des coefficients ω2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

V

Table des matières

E Évaluation du niveau réel de la mesure de dissimilarité par l’intermédiairede la méthode des intervalles successifs 107E.1 Les bases théoriques : la loi du jugement catégoriel de Thurstone . . . . . . . . 107E.2 Application de la méthode des intervalles successifs aux jugements de dissimilarité108

E.2.1 Construction du continuum subjectif des dissimilarités . . . . . . . . . . 108E.2.2 Définition d’un indicateur du niveau réel de la mesure . . . . . . . . . . 110

E.3 Évaluation de la qualité d’ajustement aux données de dissimilarité de la mé-thode des intervalles successifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

F Compléments sur l’établissement des tendances qualitatives originales rela-tives à l’influence de la variation de paramètres structuraux d’un systèmeplaque-cavité 113F.1 Analyse en clusters des sujets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

F.1.1 Jugements de dissimilarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113F.1.2 Jugements de préférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

F.2 Établissement des tendances qualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115F.2.1 Espace perceptif de dissimilarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

F.2.1.1 Évaluation du niveau réel de la mesure de dissimilarité . . . . . 115F.2.1.2 Détermination de la dimensionnalité . . . . . . . . . . . . . . . 116F.2.1.3 Analyse psychoacoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

F.2.2 Espace perceptif de préférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119F.2.3 Valeurs de mérite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

F.2.3.1 Qualité d’ajustement des modèles de mesure unidimensionnelleaux données de préférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

F.2.3.2 Construction du modèle prédictif de la préférence . . . . . . . 121

G Quelques éléments complémentaires sur l’analyse auditive réalisée sous dB-Sonic 123G.1 Le spectrogramme auditif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123G.2 Le diagramme de contours auditifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124G.3 Le diagramme Frequency Tracks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

H Compléments relatifs à l’ajustement de la fréquence de coupure des sons 127H.1 Résultats complémentaires relatifs à l’analyse des données issues de l’évaluation

auditive des stimuli filtrés passe-bas à f∗max = 2500 Hz . . . . . . . . . . . . . . 127H.1.1 Analyse en clusters des sujets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

H.1.1.1 Jugements de dissimilarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127H.1.1.2 Jugements de préférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

H.1.2 Établissement des tendances qualitatives approximées . . . . . . . . . . 131H.1.2.1 Espace perceptif de dissimilarité . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

VI

Table des matières

H.1.2.1.a Évaluation du niveau réel de la mesure de dissimilarité 131H.1.2.1.b Détermination de la dimensionnalité . . . . . . . . . . 131H.1.2.1.c Analyse psychoacoustique . . . . . . . . . . . . . . . . 132

H.1.2.2 Espace perceptif de préférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133H.1.2.3 Valeurs de mérite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

H.1.2.3.a Qualité d’ajustement du modèle de Thurstone (CasV ) aux données de préférence . . . . . . . . . . . . . . 134

H.1.2.3.b Construction du modèle de préférence . . . . . . . . . 134H.2 Résultats de l’analyse des données issues de l’évaluation auditive des stimuli

filtrés passe-bas à fmax = 5000 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135H.2.1 Analyse en clusters des sujets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135



H.2.2.1.a Évaluation du niveau réel de la mesure de dissimilarité 140H.2.2.1.b Détermination de la dimensionnalité . . . . . . . . . . 140H.2.2.1.c Analyse psychoacoustique . . . . . . . . . . . . . . . . 141H.2.2.1.d Confrontation des espaces approximé et original . . . 142

H.2.2.2 Espace perceptif de préférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143H.2.2.2.a Détermination de la dimensionnalité . . . . . . . . . . 143H.2.2.2.b Confrontation des espaces approximé et original . . . 144

H.2.2.3 Valeurs de mérite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145H.2.2.3.a Qualité d’ajustement du modèle de Thurstone (Cas

V ) aux données de préférence . . . . . . . . . . . . . . 145H.2.2.3.b Construction du modèle de préférence . . . . . . . . . 145H.2.2.3.c Confrontation des valeurs de mérite approximées et

originales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146H.3 Résultats de l’analyse des données issues de l’évaluation auditive des stimuli

filtrés passe-bas à fmax = 1500 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147H.3.1 Analyse en clusters des sujets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147



H.3.2.1.a Évaluation du niveau réel de la mesure de dissimilarité 151H.3.2.1.b Détermination de la dimensionnalité . . . . . . . . . . 151H.3.2.1.c Analyse psychoacoustique . . . . . . . . . . . . . . . . 152H.3.2.1.d Confrontation des espaces approximé et original . . . 153

VII

Table des matières

H.3.2.2 Espace perceptif de préférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154H.3.2.2.a Détermination de la dimensionnalité . . . . . . . . . . 154H.3.2.2.b Confrontation des espaces approximé et original . . . 155

H.3.2.3 Valeurs de mérite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156H.3.2.3.a Qualité d’ajustement du modèle de Thurstone (Cas

V ) aux données de préférence . . . . . . . . . . . . . . 156H.3.2.3.b Construction du modèle de préférence . . . . . . . . . 156H.3.2.3.c Confrontation des valeurs de mérite approximées et

originales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157H.4 Compléments relatifs à la recherche d’un lien entre f∗max et les caractéristiques

globales des sons originaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158H.4.1 lien entre f∗max et la conservation des niveaux de pression acoustique

globaux des stimuli originaux ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158H.4.2 Lien entre f∗max et la conservation des niveaux de vitesse quadratique

moyenne globaux de la plaque ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160H.5 Compléments relatifs à la recherche d’un lien entre f∗max et des caractéristiques

fréquentielles des sons originaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

I Compléments relatifs à l’ajustement du pas fréquentiel des sons 165I.1 Compléments relatifs au procédé de formation des stimuli filtrés modifiés . . . . 166I.2 Résultats complémentaires relatifs aux expériences de discrimination . . . . . . 169I.3 Résultats complémentaires relatifs à l’appréciation des approximations dues

à l’usage des différents pas fréquentiels via l’évaluation auditive d’un corpuspartiel de stimuli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176I.3.1 Analyse en clusters des sujets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

I.3.1.1 Corpus de stimuli filtrés modifiés formés pour ∆f1 = 2 Hz . . . 176I.3.1.2 Corpus de stimuli filtrés modifiés formés pour ∆f2 = 4 Hz . . . 180I.3.1.3 Corpus de stimuli filtrés modifiés formés pour ∆f3 = 5 Hz . . . 184I.3.1.4 Corpus de stimuli filtrés modifiés formés pour ∆f4 = 10 Hz . . 188

I.3.2 Confrontation des tendances qualitatives relatives aux valeurs de mérite 192I.4 Résultats complémentaires relatifs à l’appréciation des approximations dues à

l’usage d’un pas fréquentiel ∆fp = 4 Hz via l’évaluation auditive du corpuscomplet de stimuli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193I.4.1 Analyse en clusters des sujets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

I.4.1.1 Jugements de dissimilarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193I.4.1.2 Jugements de préférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

I.4.2 Établissement des tendances qualitatives approximées . . . . . . . . . . 197I.4.2.1 Espace perceptif de dissimilarité . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

I.4.2.1.a Évaluation du niveau réel de la mesure de dissimilarité 197

VIII

Table des matières

I.4.2.1.b Détermination de la dimensionnalité . . . . . . . . . . 197I.4.2.1.c Analyse psychoacoustique . . . . . . . . . . . . . . . . 198I.4.2.1.d Confrontation des espaces approximés . . . . . . . . . 199

I.4.2.2 Espace perceptif de préférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200I.4.2.2.a Détermination de la dimensionnalité . . . . . . . . . . 200I.4.2.2.b Confrontation des espaces approximés . . . . . . . . . 201

I.4.2.3 Valeurs de mérite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202I.4.2.3.a Qualité d’ajustement du modèle de Thurstone (Cas

V ) aux données de préférence . . . . . . . . . . . . . . 202I.4.2.3.b Construction du modèle de préférence . . . . . . . . . 202I.4.2.3.c Confrontation des valeurs de mérite approximées . . . 203

Bibliographie 204

IX

Table des matières

X

Table des figures

A.1 Géométrie du système vibro-acoustique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2A.2 Panorama des principales méthodes analytiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4A.3 Les principales approches semi-analytiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6A.4 Panorama non-exhaustif de méthodes numériques. . . . . . . . . . . . . . . . . 6A.5 Les grandes étapes de la méthode des éléments finis. . . . . . . . . . . . . . . . 7A.6 Les différentes méthodes des éléments de frontière. . . . . . . . . . . . . . . . . 9A.7 Configuration du problème étudié. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12A.8 Spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne de la plaque calculés pour

les différentes valeurs de α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29A.9 Spectres de niveau de pression quadratique moyenne dans la cavité calculés

pour les différentes valeurs de α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29A.10 Spectres de niveau de pression au point intérieur à la cavité M1 calculés pour

les différentes valeurs de α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30A.11 Temps de calcul CPU relatifs aux différentes valeurs de α testées sous Plaqcav. 30A.12 Spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne de la plaque calculés pour

les différentes valeurs de α dans le cas d’une excitation mécanique excentrée. . . 31A.13 Spectres de niveau de pression quadratique moyenne dans la cavité calculés

pour les différentes valeurs de α dans le cas d’une excitation mécanique excentrée. 32A.14 Spectres de niveau de pression au point intérieur à la cavité M1 calculés pour

les différentes valeurs de α dans le cas d’une excitation mécanique excentrée. . . 32A.15 Comparaison des spectres calculés pour les deux valeurs du critère de troncature

modale étudiées : 1.2 et 1.5. Les maillages de plaque et de cavité correspondentà un critère de convergence en λ

8 . Approche FEM-FEM sous Sysnoise. . . . . . 34A.16 Comparaison des spectres calculés pour des maillages de plaque et de cavité cor-

respondant à un critère de convergence respectivement en λ8 et en λ

6 . ApprocheFEM-FEM sous Sysnoise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

A.17 Comparaison des spectres calculés pour des maillages de plaque et de cavité cor-respondant à un critère de convergence respectivement en λ

8 et en λ6 . Approche

FEM-BEM indirecte sous Sysnoise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

XI

Table des figures

A.18 Temps de calcul CPU relatifs à la variation du critère de troncature modale αsous Sysnoise (méthode FEM-FEM seulement). Les maillages de plaque et decavité correspondent à un critère de convergence en λ

8 . . . . . . . . . . . . . . . 38A.19 Temps de calcul CPU relatifs à la variation du critère de convergence sur le

maillage de la plaque et de la cavité sous Sysnoise (méthodes FEM-FEM etFEM-BEM Indirecte). Le critère de troncature modale α est pris égal à 1.5. . . 39

A.20 Comparaison des spectres calculés pour les deux valeurs du critère de troncaturemodale étudiées : 1.2 et 1.5. Les maillages de plaque et de cavité correspondentà un critère de convergence respectivement en λ

6 et λ4 . . . . . . . . . . . . . . . 41

A.21 Comparaison des spectres calculés pour deux maillages différents de la cavitécorrespondant aux critères de convergence en λ

4 et λ3 . Le maillage de la plaque

correspond à un critère en λ6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

A.22 Comparaison des spectres calculés pour deux maillages différents de la plaquecorrespondant aux critères de convergence en λ

6 et λ4 . Le maillage de la cavité

correspond à un critère en λ4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

A.23 Temps de calcul CPU relatifs aux différents cas étudiés sous Translp2. . . . . . 45A.24 Spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne calculés pour les différentes

valeurs de ∆f . Zoom sur les basses fréquences [0, 600] Hz. . . . . . . . . . . . . 47A.25 Spectres de niveau de pression au point intérieur à la cavité M1 calculés pour

les différentes valeurs de ∆f . Zoom sur les basses fréquences [0, 600] Hz. . . . . 48A.26 Spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne calculés pour les différentes

valeurs de ∆f . Zoom sur les plus hautes fréquences [600, 2000] Hz. . . . . . . . 49A.27 Spectres de niveau de pression au point intérieur à la cavité M1 calculés pour

les différentes valeurs de ∆f . Zoom sur les plus hautes fréquences [600, 2000] Hz. 50A.28 Temps de calcul CPU en fonction du pas fréquentiel ∆f . . . . . . . . . . . . . . 51A.29 Spectres des différents indicateurs vibro-acoustiques calculés pour une fréquence

maximale de calcul fmax = 5000Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52A.30 Temps de calcul CPU en fonction de la fréquence maximale fmax. . . . . . . . . 53A.31 Comparaison des spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne obtenus

pour un calcul complet, pour un calcul avec hypothèse de fluide léger et pour uncalcul avec tri sélectif des termes de couplage. Zoom sur les basses fréquences[0, 600] Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

A.32 Comparaison des spectres de niveau de pression au point intérieur à la cavitéM1 obtenus pour un calcul complet, pour un calcul avec hypothèse de fluideléger et pour un calcul avec tri sélectif des termes de couplage. Zoom sur lesbasses fréquences [0, 600] Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

A.33 Temps de calcul CPU pour les différents cas testés avec Plaqcav. . . . . . . . . 58A.34 Spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne de la plaque calculés pour

les différentes approches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

XII

Table des figures

A.35 Spectres de niveau de pression au point intérieurM1 calculés pour les différentesapproches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

A.36 Spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne de la plaque calculés pourles différentes approches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

A.37 Spectres de niveau de pression au point intérieurM1 calculés pour les différentesapproches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

B.1 Schéma illustratif du principe de mesure de αθ=0 au tube d’impédance. . . . . 69B.2 Tube d’impédance de diamètre 46 mm de l’ENTPE. . . . . . . . . . . . . . . . 71B.3 Courbes d’évolution du coefficient d’absorption acoustique αθ=0 en fonction

de la fréquence (en tiers d’octave). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

C.1 Spectre de niveau de pression mesuré au point M2 pour le stimulus K1 ([0,20000] Hz). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

C.2 Spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne de la plaque mesurés pour lesdifférentes modalités des conditions de serrage de la plaque, pour une épaisseurde plaque égale à 3 mm. —– : C = 20 N.m (configuration G), – – : C = 50N.m (configuration H), — - : C = 80 N.m (configuration I). . . . . . . . . . . 89

C.3 Spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne de la plaque mesurés pour lesdifférentes modalités des conditions de serrage de la plaque, pour une épaisseurde plaque égale à 1.5 mm. —– : C = 20 N.m (configuration A), – – : C = 50N.m (configuration B), — - : C = 80 N.m (configuration C). . . . . . . . . . . 90

C.4 Spectres de niveau de pression mesurés au point M2 pour les modalités extré-males des conditions de serrage de la plaque, pour une épaisseur de plaque égaleà 1.5 mm. —– : C = 20 N.m (stimulus A1), — - : C = 80 N.m (stimulus J1). . 91

F.1 Classification Ascendante Hiérarchique réalisée à partir de la matrice de dis-semblances D1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

F.2 Étude de la dimensionnalité de l’espace perceptif de préférence dressé via MD-PREF à partir des réponses de tous les sujets. On opte pour une dimensionnalitéégale à 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

F.3 Proportion cumulée de variance expliquée en fonction du nombre de dimensions. 116F.4 Espace perceptif de dissimilarité 3D des stimuli, dans leur ellipsoïde de confiance

à 95%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117F.5 Diagramme des coordonnées des stimuli le long de la dimension 1 de l’espace

perceptif de dissimilarité exprimées en fonction des valeurs de la sonie de Zwi-cker. — : droite de régression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

F.6 Diagramme des coordonnées des stimuli le long de la dimension 2 de l’espaceperceptif de dissimilarité exprimées en fonction des valeurs du Centre de GravitéSpectral. — : droite de régression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

XIII

Table des figures

F.7 Détermination de la dimensionnalité de l’espace perceptif de préférence. Unedimensionnalité égale à 4 apparaît appropriée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

F.8 Plan factoriel 3-4 de l’espace perceptif de préférence. : stimuli, : extrémitésdes vecteurs sujets, • : extrémité du vecteur sujet “moyen”. . . . . . . . . . . . . 119

F.9 Proportions “théoriques” vs proportions “observées”. . . . . . . . . . . . . . . . . 120F.10 Diagramme des valeurs de mérite mesurées des stimuli exprimées en fonction

des valeurs de la sonie de Zwicker. — : droite de régression. . . . . . . . . . . . 121

G.1 Exemple d’ASP calculé sous dBSonic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124G.2 Exemple de maxigramme calculé sous dBSonic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

H.1 Résultats de la Classification Ascendante Hiérarchique réalisée à partir de lamatrice de dissemblances D1. Ces résultats ne révèlent pas de sujets “outliers”ou de sous-groupes de sujets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

H.2 Résultats de la Classification Ascendante Hiérarchique appliquée sur la matricede dissemblances D2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

H.3 Résultats de la Classification Ascendante Hiérarchique appliquée sur la matricede dissemblances D3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

H.4 Etude de la dimensionnalité de l’espace perceptif de préférence dressé via MD-PREF à partir des réponses de tous les sujets. On opte pour une dimensionnalitéégale à 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

H.5 Bilan des différences inter-individuelles à partir de l’espace perceptif de préfé-rence 4D dressé via MDPREF sur la base des réponses de tous les sujets. :extrémités des vecteurs sujets, • : extrémité du vecteur sujet “moyen”. × : sujetsfinalement considérés comme des “outliers” après recoupement avec les résultatsdes deux CAH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

H.6 Proportion cumulée de variance expliquée par le modèle INDSCAL en fonctiondu nombre de dimensions. On opte pour une dimensionnalité de l’espace égaleà 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

H.7 Diagramme des coordonnées des stimuli filtrés passe-bas à f∗max le long de ladimension 1 de l’espace perceptif de dissimilarité approximé exprimées en fonc-tion des valeurs du CGS calculées sur ces stimuli. — : droite de régression. . . . 132

H.8 Diagramme des coordonnées des stimuli filtrés passe-bas à f∗max le long de ladimension 2 de l’espace perceptif de dissimilarité approximé exprimées en fonc-tion des valeurs de la sonie de Zwicker calculées sur ces stimuli. — : droite derégression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

H.9 Détermination de la dimensionnalité de l’espace perceptif de préférence. Unedimensionnalité égale à 3 apparaît appropriée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

H.10 Plan factoriel 2-3 de l’espace perceptif de préférence approximé. : stimuli, :extrémités des vecteurs sujets, • : extrémité du vecteur sujet “moyen”. . . . . . 133

XIV

Table des figures

H.11 Proportions “théoriques” vs proportions “observées” pour le modèle de Thurs-tone (cas V ). Le coefficient de corrélation r2 entre les deux séries de proportionsest égal à 0.973 (p < .001). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

H.12 Diagramme des valeurs de mérite mesurées des stimuli filtrés passe-bas à f∗max

exprimées en fonction des valeurs de la sonie de Zwicker calculées sur ces stimuli.— : droite de régression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

H.13 Résultats de la Classification Ascendante Hiérarchique réalisée à partir de lamatrice de dissemblances D1. Le sujet n23 est considéré comme un sujet “ou-lier”, dont les réponses de dissimialrité ne sont pas prises en compte. . . . . . . 135



H.16 Etude de la dimensionnalité de l’espace perceptif de préférence dressé via MD-PREF à partir des réponses de tous les sujets. Sur la figure (a), la droite estsectionnée en deux parties avec deux pentes distinctes (la rupture de pente in-tervient pour le facteur 8). Dans ce cas particulier, selon la méthode du screetest, la règle est d’ignorer la partie basse de la droite [Cat66]. La dimension-nalité appropriée peut être estimée par le numéro du facteur dont la valeurpropre associée se situe à l’extrémité de la partie haute de la droite, i.e. ladimensionnalité appropriée est ici égale à 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138


H.18 Proportion cumulée de variance expliquée par le modèle INDSCAL en fonc-tion du nombre de dimensions. On opte pour une dimensionnalité de l’espaceégale à 2. Les proportions de variance expliquées par les facteurs 1 et 2 sontrespectivement égales à 26% et 22%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

H.19 Diagramme des coordonnées des stimuli filtrés passe-bas à 5000 Hz le long dela dimension 1 de l’espace perceptif de dissimilarité approximé exprimées enfonction des valeurs du CGS calculées sur ces stimuli. — : droite de régression. 141

H.20 Diagramme des coordonnées des stimuli filtrés passe-bas à 5000 Hz le long dela dimension 2 de l’espace perceptif de dissimilarité approximé exprimées enfonction des valeurs de la sonie de Zwicker calculées sur ces stimuli. — : droitede régression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

XV

Table des figures

H.21 Espace perceptif de dissimilarité 2D des stimuli, dans leur ellipse de confiance à95%. En traits pleins : configuration approximée obtenue pour un filtrage passe-bas à 5000 Hz, en traits pointillés : configuration originale. L’espace approximéa été ajusté à l’espace original en appliquant une rotation à 90 dans le sensdes aiguilles d’une montre puis une symétrie horizontale. L’adéquation entre lesdeux espaces est bonne : r = 0.981, p < .001 entre la dimension 1 de l’espaceapproximé et la dimension 2 de l’espace original, r = 0.990, p < .001 entre ladimension 2 de l’espace approximé et la dimension 1 de l’espace original. . . . . 142

H.22 Détermination de la dimensionnalité de l’espace perceptif de préférence. Unedimensionnalité égale à 3 apparaît appropriée. Les proportions d’inertie expli-quées par les facteurs 1, 2 et 3 sont respectivement égales à 83%, 7% et 3.% . . 143

H.23 Plan factoriel 1-2 de l’espace perceptif de préférence. : stimuli filtrés passe-bas à 5000 Hz, : extrémités des vecteurs sujets approximés, • : extrémité duvecteur sujet “moyen” approximé, → : vecteurs métriques approximés, ? : sti-muli originaux, 4 : extrémités des vecteurs sujets délimitant le faisceau originalde vecteurs sujets, N : extrémité du vecteur sujet “moyen” original, 99K : vec-teurs métriques originaux. L’adéquation entre les configurations de stimuli estsatisfaisante : après ajustement, r = 0.988, p < .001 entre les coordonnées desstimuli originaux et filtrés le long de l’axe 1, r = 0.916, p < .001 entre leurscoordonnées le long de l’axe 2. La qualité de représentation des vecteurs mé-triques approximés dans l’espace approximé est satisfaisante : respectivementr = 0.984, p < .001 et r = 0.925, p < .001 pour la sonie de Zwicker et le CGS. . 144


H.25 Diagramme des valeurs de mérite mesurées des stimuli filtrés passe-bas à 5000Hz exprimées en fonction des valeurs de la sonie de Zwicker calculées sur cesstimuli. — : droite de régression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

H.26 Comparaison des valeurs de mérite mesurées obtenues par les stimuli originauxet filtrés passe-bas à 5000 Hz. En gris : valeurs de mérite mesurées approximées,en rouge : valeurs de mérite mesurées originales, I : intervalle de confiance à95%. Les deux séries de valeurs de mérite mesurées sont fortement corrélées :r = 0.973, p < .001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

H.27 Comparaison des valeurs de mérite prédites obtenues par les stimuli originauxet filtrés passe-bas à 5000 Hz. En gris : valeurs de mérite prédites approximées,en rouge : valeurs de mérite prédites originales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

H.28 Résultats de la Classification Ascendante Hiérarchique réalisée à partir de lamatrice de dissemblances D1. Ces résultats ne révèlent pas de sujets “outliers”ou de sous-groupes de sujets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

XVI

Table des figures



H.31 Etude de la dimensionnalité de l’espace perceptif de préférence dressé via MD-PREF à partir des réponses de tous les sujets. On opte pour une dimensionnalitéégale à 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150


H.33 Proportion cumulée de variance expliquée par le modèle INDSCAL en fonc-tion du nombre de dimensions. On opte pour une dimensionnalité de l’espaceégale à 2. Les proportions de variance expliquées par les facteurs 1 et 2 sontrespectivement égales à 31% et 22%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

H.34 Diagramme des coordonnées des stimuli filtrés passe-bas à 1500 Hz le long dela dimension 1 de l’espace perceptif de dissimilarité approximé exprimées enfonction des valeurs de la sonie de Zwicker calculées sur ces stimuli. — : droitede régression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

H.35 Diagramme des coordonnées des stimuli filtrés passe-bas à 1500 Hz le long dela dimension 2 de l’espace perceptif de dissimilarité approximé exprimées enfonction des valeurs du CGS calculées sur ces stimuli. — : droite de régression. 152

H.36 Espace perceptif de dissimilarité 2D des stimuli, dans leur ellipse de confianceà 95%. En traits pleins : configuration approximée obtenue pour un filtragepasse-bas à 1500 Hz, en traits pointillés : configuration originale. Aucune trans-formation n’a été nécessaire pour ajuster l’espace approximé à l’espace original.L’adéquation entre les deux espaces est satisfaisante : r = 0.951, p < .001 entreles dimensions 1, r = 0.979, p < .001 entre les dimensions 2. Toutefois, les posi-tions approximée et originale des stimuli A2 et B1 se révèlent ici être différentes,au vu du non-chevauchement de leurs ellipses de confiance à 95% respectives. . 153

H.37 Détermination de la dimensionnalité de l’espace perceptif de préférence. Unedimensionnalité égale à 4 apparaît appropriée. Les proportions d’inertie expli-quées par les facteurs 1, 2, 3 et 4 sont respectivement égales à 84%, 6%, 3% et2%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

XVII

Table des figures

H.38 Plan factoriel 1-2 de l’espace perceptif de préférence. : stimuli filtrés passe-bas à 1500 Hz, : extrémités des vecteurs sujets approximés, • : extrémité duvecteur sujet “moyen” approximé, → : vecteurs métriques approximés, ? : sti-muli originaux, 4 : extrémités des vecteurs sujets délimitant le faisceau originalde vecteurs sujets, N : extrémité du vecteur sujet “moyen” original, 99K : vec-teurs métriques originaux. L’adéquation entre les configurations de stimuli estsatisfaisante : après ajustement, r = 0.966, p < .001 entre les coordonnées desstimuli originaux et filtrés le long de l’axe 1, r = 0.939, p < .001 entre leurscoordonnées le long de l’axe 2. La qualité de représentation des vecteurs mé-triques approximés dans l’espace approximé est satisfaisante : respectivementr = 0.988, p < .001 et r = 0.984, p < .001 pour la sonie de Zwicker et le CGS.On peut observer que la direction du vecteur approximé associé à la sonie deZwicker diffère de celle du vecteur original. Aussi, l’éloignement de ce vecteurde l’axe 1 peut indiquer que la sonie n’est plus assurément l’attribut auditifauquel se rapporte le facteur de consensus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155


H.40 Diagramme des valeurs de mérite mesurées des stimuli filtrés passe-bas à 1500Hz exprimées en fonction des valeurs de la sonie de Zwicker calculées sur cesstimuli. — : droite de régression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

H.41 Comparaison des valeurs de mérite mesurées obtenues par les stimuli originauxet filtrés passe-bas à 1500 Hz. En gris : valeurs de mérite mesurées approximées,en rouge : valeurs de mérite mesurées originales, I : intervalle de confiance à 95%.Les deux séries de valeurs de mérite mesurées sont corrélées : r = 0.946, p <.001. Néanmoins, les rangs des stimuli A2 et K1 dans le classement appromixé(respectivement 5eme et 6eme) sont significativement différents de ceux qu’ilsoccupaient dans le classement original (respectivement 8eme et 5eme). . . . . . . 157

H.42 Comparaison des valeurs de mérite prédites obtenues par les stimuli originauxet filtrés passe-bas à 1500 Hz. En gris : valeurs de mérite prédites approximées,en rouge : valeurs de mérite prédites originales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

H.43 Courbes d’évolution des niveaux de pression acoustique globaux Lp1G et Lp2G

en fonction de la fréquence de coupure fcp des spectres de niveau de pressionacoustique Lp1(f) et Lp2(f). — : Lp1G, – – : Lp2G. . . . . . . . . . . . . . . . . 158

H.43 Courbes d’évolution des niveaux de pression acoustique globaux Lp1G et Lp2G

en fonction de la fréquence de coupure fcp des spectres de niveau de pressionacoustique Lp1(f) et Lp2(f). — : Lp1G, – – : Lp2G. (suite et fin) . . . . . . . . . 159

XVIII

Table des figures

H.44 Courbes d’évolution du niveau de vitesse quadratique moyenne global LvG enfonction de la fréquence de coupure fcp du spectre de niveau de vitesse quadra-tique moyenne Lv(f), pour les différentes configurations de plaque. . . . . . . . 160

H.44 Courbes d’évolution du niveau de vitesse quadratique moyenne global LvG enfonction de la fréquence de coupure fcp du spectre de niveau de vitesse quadra-tique moyenne Lv(f), pour les différentes configurations de plaque. (suite) . . . 161

H.44 Courbes d’évolution du niveau de vitesse quadratique moyenne global LvG enfonction de la fréquence de coupure fcp du spectre de niveau de vitesse qua-dratique moyenne Lv(f), pour les différentes configurations de plaque. (suite etfin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

H.45 Diagrammes Frequency Tracks calculés pour différents stimuli originaux. . . . . 163

H.45 Diagrammes Frequency Tracks calculés pour différents stimuli originaux. (suiteet fin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

I.1 Illustration des étapes sous-jacentes à la modification de l’enveloppe d’un spectred’amplitude d’un stimulus filtré passe-bas à f∗max (encadrées en traits pointilléssur la figure 8.2(b)). On considère R, le taux de “décimation”/“interpolation”,égal à 2. L’enveloppe d’un spectre d’amplitude d’un stimulus synthétisé calculéavec un pas fréquentiel ∆f = 0.5 Hz est ainsi simulée. . . . . . . . . . . . . . . 166

I.1 Illustration des étapes sous-jacentes à la modification de l’enveloppe d’un spectred’amplitude d’un stimulus filtré passe-bas à f∗max (encadrées en traits pointilléssur la figure 8.2(b)). On considère R, le taux de “décimation”/“interpolation”,égal à 2. L’enveloppe d’un spectre d’amplitude d’un stimulus synthétisé calculéavec un pas fréquentiel ∆f = 0.5 Hz est ainsi simulée. (suite) . . . . . . . . . . 167

I.1 Illustration des étapes sous-jacentes à la modification de l’enveloppe d’un spectred’amplitude d’un stimulus filtré passe-bas à f∗max (encadrées en traits pointilléssur la figure 8.2(b)). On considère R, le taux de “décimation”/“interpolation”,égal à 2. L’enveloppe d’un spectre d’amplitude d’un stimulus synthétisé calculéavec un pas fréquentiel ∆f = 0.5 Hz est ainsi simulée. (suite et fin) . . . . . . . 168

I.2 Détermination graphique du P.E.S pour les différents stimuli. —x— : pi(S),- -x- - : pi(D). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

I.2 Détermination graphique du P.E.S pour les différents stimuli. —x— : pi(S),- -x- - : pi(D). (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

I.2 Détermination graphique du P.E.S pour les différents stimuli. —x— : pi(S),- -x- - : pi(D). (suite et fin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

I.3 Résultats de la Classification Ascendante Hiérarchique appliquée sur la matricede dissemblances D2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

I.4 Résultats de la Classification Ascendante Hiérarchique appliquée sur la matricede dissemblances D3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

XIX

Table des figures

I.5 Etude de la dimensionnalité de l’espace perceptif de préférence dressé via MD-PREF à partir des réponses de tous les sujets. En dépit du scree test, qui indiqueune dimensionnalité optimale égale à 3, on opte plutôt pour une dimensionnalitéégale à 4, pour laquelle on obtient des qualités de représentation des vecteurssujets dans l’espace substantiellement plus élevées. . . . . . . . . . . . . . . . . 178

I.6 Bilan des différences inter-individuelles à partir de l’espace perceptif de préfé-rence 4D dressé via MDPREF sur la base des réponses de tous les sujets. :extrémités des vecteurs sujets, • : extrémité du vecteur sujet “moyen”. × : sujetsfinalement non retenus pour l’établissement des tendances qualitatives relativesaux valeurs de mérite, après recoupement avec les résultats des deux CAH. . . . 179







I.13 Etude de la dimensionnalité de l’espace perceptif de préférence dressé via MD-PREF à partir des réponses de tous les sujets. La méthode du scree test est dif-ficilement applicable de par l’allure atypique du diagramme des valeurs propres.Néanmoins, on opte pour une dimensionnalité égale à 4, pour laquelle on ob-tient des qualités de représentation des vecteurs sujets dans l’espace substan-tiellement plus élevées que pour une dimensionnalité inférieure, e.g. 3. . . . . . 186


XX

Table des figures





I.19 Confrontation des valeurs de mérite mesurées des stimuli filtrés modifiés auxvaleurs de mérite mesurées des stimuli filtrés passe-bas à f∗max, pour les diffé-rentes valeurs ∆fi (i = 1 à 4) du pas fréquentiel. En gris : valeurs de méritemesurées des stimuli filtrés modifiés, en rouge : valeurs de mérite mesurées desstimuli filtrés passe-bas à f∗max, I : intervalle de confiance à 95%. . . . . . . . . 192

I.20 Résultats de la Classification Ascendante Hiérarchique réalisée à partir de lamatrice de dissemblances D1. Le sujet n23 est considéré comme un sujet “out-lier”, dont les réponses de dissimilarité ne sont pas prises en compte. . . . . . . 193



I.23 Etude de la dimensionnalité de l’espace perceptif de préférence dressé via MD-PREF à partir des réponses de tous les sujets. On opte pour une dimensionnalitéégale à 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

I.24 Bilan des différences inter-individuelles à partir de l’espace perceptif de préfé-rence 3D dressé via MDPREF sur la base des réponses de tous les sujets. :extrémités des vecteurs sujets, • : extrémité du vecteur sujet “moyen”. × : sujetsfinalement considérés comme des “outliers” après recoupement avec les résultatsdes deux CAH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

I.25 Proportion cumulée de variance expliquée par le modèle INDSCAL en fonctiondu nombre de dimensions. La dimensionnalité de l’espace est vraisemblablementégale à 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

XXI

Table des figures

I.26 Diagramme des coordonnées des stimuli filtrés modifiés le long de la dimension1 de l’espace perceptif de dissimilarité approximé exprimées en fonction desvaleurs de la sonie de Zwicker calculées sur ces stimuli. — : droite de régression. 198

I.27 Diagramme des coordonnées des stimuli filtrés modifiés le long de la dimension2 de l’espace perceptif de dissimilarité approximé exprimées en fonction desvaleurs du CGS calculées sur ces stimuli. — : droite de régression. . . . . . . . . 198

I.28 Espace perceptif de dissimilarité 2D des stimuli, dans leur ellipse de confiance à95%. En traits pleins : configuration approximée obtenue pour les stimuli filtrésmodifiés, en traits pointillés : configuration approximée obtenue pour les stimulifiltrés passe-bas à f∗max. Le premier espace approximé a été ajusté au second enappliquant une rotation à 90 dans le sens des aiguilles d’une montre puis unesymétrie horizontale. L’adéquation entre les deux espaces est bonne : r = 0.943,p < .001 entre la dimension 1 de l’espace approximé des stimuli filtrés modifiéset la dimension 2 de l’espace approximé des stimuli filtrés passe-bas à f∗max ;r = 0.981, p < .001 entre la dimension 2 de l’espace approximé des stimuli filtrésmodifiés et la dimension 1 de l’espace approximé des stimuli filtrés passe-basà f∗max. Toutefois, les deux positions approximées du stimulus B1 se révèlentici être différentes, au vu du non-chevauchement de leurs ellipses de confiancerespectives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

I.29 Détermination de la dimensionnalité de l’espace perceptif de préférence. Unedimensionnalité égale à 3 apparaît appropriée. Les proportions d’inertie expli-quées par les facteurs 1, 2 et 3 sont respectivement égales à 85%, 6% et 2%. . . 200

I.30 Plan factoriel 1-2 de l’espace perceptif de préférence. : stimuli filtrés modi-fiés, : extrémités des vecteurs sujets approximés obtenus pour une modificationavec ∆fp = 4 Hz, • : extrémité du vecteur sujet “moyen” approximé obtenu pourune modification avec ∆fp = 4 Hz, → : vecteurs métriques approximés obtenuspour une modification avec ∆fp = 4 Hz, ? : stimuli filtrés passe-bas à f∗max,4 : extrémités des vecteurs sujets délimitant le faisceau approximé de vecteurssujets obtenu pour un filtrage passe-bas à f∗max, N : extrémité du vecteur sujet“moyen” approximé obtenu pour un filtrage passe-bas à f∗max, 99K : vecteursmétriques approximés obtenus pour un filtrage passe-bas à f∗max. L’adéquationentre les configurations de stimuli est globalement satisfaisante : après ajuste-ment, r = 0.962, p < .001 entre les coordonnées des stimuli originaux et filtrésmodifiés le long de l’axe 1, r = 0.944, p < .001 entre leurs coordonnées le longde l’axe 2. Localement, on peut observer pour plusieurs stimuli (notammentE1, I1 et J1) des écarts entre leurs deux positions approximées. . . . . . . . . . 201

I.31 Proportions “théoriques” vs proportions “observées” pour le modèle de Thurs-tone (cas V ). Le coefficient de corrélation r2 entre les deux séries de proportionsest égal à 0.972 (p < .001). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

XXII

Table des figures

I.32 Diagramme des valeurs de mérite mesurées des stimuli filtrés modifiés expriméesen fonction des valeurs de la sonie de Zwicker calculées sur ces stimuli. — : droitede régression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

I.33 Comparaison des valeurs de mérite mesurées obtenues par les stimuli filtrésmodifiés et par les stimuli filtrés passe-bas à f∗max. En gris : valeurs de méritemesurées obtenues par les stimuli filtrés modifiés, en rouge : valeurs de mé-rite mesurées obtenues par les stimuli filtrés passe-bas à f∗max, I : intervalle deconfiance à 95%. Les deux séries de valeurs de mérite mesurées sont fortementcorrélées : r = 0.958, p < .001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

I.34 Comparaison des valeurs de mérite prédites obtenues par les stimuli filtrés mo-difiés et par les stimuli originaux. En gris : valeurs de mérite prédites obtenuespar les stimuli filtrés modifiés, en rouge : valeurs de mérite prédites obtenuespar les stimuli filtrés passe-bas à f∗max. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

XXIII

Table des figures

XXIV

Liste des tableaux

A.1 Récapitulatif des hypothèses et possibilités de calcul des différents codes. . . . . 25

A.2 Plus grands modes de plaque (m,n) et de cavité (q, r, s) pris en compte enfonction de la valeur du critère α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

A.3 Fréquences propres des sous-systèmes découplés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

A.3 Fréquences propres des sous-systèmes découplés. (suite et fin) . . . . . . . . . . 62

A.4 Fréquences propres couplées calculées par Sysnoise. . . . . . . . . . . . . . . . 63

C.1 Caractéristiques — indices (m,n) et fréquences propres fmn — des modes cou-plés d’origine structurale pour les configurations A à I (entre parenthèses, sontrappelées respectivement les modalités des facteurs α, β et γ). Un tiret (-) in-dique un mode non détecté. Un point d’interrogation ( ?) indique une incertitudesur la fréquence propre du mode concerné. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

C.1 Caractéristiques — indices (m,n) et fréquences propres fmn — des modes cou-plés d’origine structurale pour les configurations A à I (entre parenthèses, sontrappelées respectivement les modalités des facteurs variables α, β et γ). Untiret (-) indique un mode non détecté. Un point d’interrogation ( ?) indique uneincertitude sur la fréquence propre du mode concerné. (suite et fin) . . . . . . . 76

C.2 Fréquences propres théoriques f theoqrs des modes propres de la cavité nue, consi-

dérée comme entièrement rigide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

C.3 Identification de modes couplés à l’origine de pics de résonance visibles sur lesspectres de niveau de pression aux points M1 et M2. Un point d’interrogation( ?) indique une incertitude sur l’identité du mode à l’origine du pic de résonanceobservé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

C.3 Identification de modes couplés à l’origine de pics de résonance visibles sur lesspectres de niveau de pression aux points M1 et M2. Un point d’interrogation( ?) indique une incertitude sur l’identité du mode à l’origine du pic de résonanceobservé. (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

XXV

Liste des tableaux









C.3 Identification de modes couplés à l’origine de pics de résonance visibles sur lesspectres de niveau de pression aux points M1 et M2. Un point d’interrogation( ?) indique une incertitude sur l’identité du mode à l’origine du pic de résonanceobservé. (suite et fin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

XXVI

Liste des tableaux

D.1 Espérances mathématiques des carrés moyens et nombres de degrés de liberté(ddl) associés aux différentes sources de variabilité considérées dans l’analyseglobale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

D.2 Espérances mathématiques des carrés moyens et nombres de degrés de libertéassociés aux différentes sources de variabilité considérées dans l’analyse deseffets simples de la dispersion de la mesure pour chaque configuration structurale.101

E.1 Tableau des correspondances entre le continuum psychologique construit par laméthode des intervalles successifs et le continuum subjectif “ciblé”, découlantde l’hypothèse d’une échelle à catégories du niveau d’intervalles. . . . . . . . . . 110

F.1 Indicateur r2bornes du niveau de la mesure et indicateur r2valid de la qualité d’ajus-tement aux données de la méthode des intervalles successifs. . . . . . . . . . . . 115

H.1 Indicateur r2bornes du niveau de la mesure et indicateur r2valid de la qualité d’ajus-tement aux données de la méthode des intervalles successifs. Sur la base desvaleurs élevées des deux indicateurs, proches de 1, on peut avancer que les su-jets ont relativement bien perçu globalement l’échelle de catégories comme uneéchelle métrique du niveau d’intervalles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131



I.1 Réponses des sujets aux expériences de discrimination. “1” : son perçu différentdu son de référence, “0” : son perçu identique au son de référence, en caractèresgras : les réponses incohérentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

I.1 Réponses des sujets aux expériences de discrimination. “1” : son perçu différentdu son de référence, “0” : son perçu identique au son de référence, en caractèresgras : les réponses incohérentes. (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

I.1 Réponses des sujets aux expériences de discrimination. “1” : son perçu différentdu son de référence, “0” : son perçu identique au son de référence, en caractèresgras : les réponses incohérentes. (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

XXVII

Liste des tableaux

I.1 Réponses des sujets aux expériences de discrimination. “1” : son perçu différentdu son de référence, “0” : son perçu identique au son de référence, en caractèresgras : les réponses incohérentes. (suite et fin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

I.2 Indicateur r2bornes du niveau de la mesure et indicateur r2valid de la qualité d’ajus-tement aux données de la méthode des intervalles successifs. . . . . . . . . . . . 197

XXVIII

Annexe A

Rapport préliminaire : Modélisation ducomportement vibro-acoustique d’un systèmeplaque-cavité. Optimisation et comparaisond’outils de calcul vibro-acoustique.

Cette annexe constitue un travail préliminaire aux travaux de thèse ; elle vise à procéder àl’ajustement des efforts de calcul d’un point de vue uniquement vibro-acoustique ; cet ajuste-ment est nécessaire lorsque l’on a recours à la modélisation du comportement physique d’unsystème vibro-acoustique tel que le système plaque-cavité.

Dans cet objectif, nous présenterons dans une première section le problème intérieur quise pose dans l’étude du comportement vibro-acoustique d’une structure vibrante couplée à unespace clos. Nous rappellerons les équations générales régissant la réponse vibro-acoustique dusystème et dresserons un panorama des différentes méthodes de résolution de ce type de pro-blème. Ce panorama ne saurait être exhaustif ; nous expliciterons les domaines d’application,hypothèses et déclinaisons de certaines méthodes traditionnelles.

Dans une seconde section, nous définirons le système vibro-acoustique étudié sous simu-lations, une plaque rectangulaire couplée à une cavité parallélépipédique. Nous décrirons plusprécisément ses différentes caractéristiques demeurant inchangées, et spécifierons les équationsqui régissent la réponse vibro-acoustique d’un tel système.

Dans une troisième section, nous présenterons les différents outils de calcul vibro-acoustiqueutilisés pour simuler la réponse vibro-acoustique du système plaque-cavité : Plaqcav, Translp2et Sysnoise © LMS International. Le premier est un code semi-analytique tandis que lesdeux derniers sont des outils de calcul numérique. Nous ferons un point sur les hypothèsesintrinsèques à leur utilisation et leurs possibilités de calcul ; ce point sera utile pour la confron-tation ultérieure des résultats.

La quatrième section présente l’étude d’optimisation des paramètres de simulation menéepour chacun des outils de calcul. Dans un premier temps, il a été question d’optimiser les

1

Annexe A. Rapport préliminaire : Modélisation du comportement vibro-acoustique d’un systèmeplaque-cavité. Optimisation et comparaison d’outils de calcul vibro-acoustique.

critères de convergence de calcul relatifs à chaque méthode. Puis, une investigation a été menéesur l’influence de paramètres de simulation tels que la fréquence maximale de calcul ou le pasfréquentiel de calcul sur les temps de calcul.

Dans une dernière section, nous comparerons pour un cas test les réponses vibro-acoustiquescalculées par les différents codes.

A.1 Généralités sur le problème fluide-structure intérieur

A.1.1 Pose du problème

La figure A.1 présente la géométrie d’un système vibro-acoustique consistant en une struc-ture mécanique vibrante couplée à un espace clos, i.e. une cavité. Aucune hypothèse n’estémise à ce stade sur la forme de la structure et de la cavité.

pext

Fext

Ωa

SR

SV

n

SA

Ωs

Ωe

Fig. A.1 – Géométrie du système vibro-acoustique.

avec :

Ωe : milieu acoustique extérieur,

Ωa : milieu acoustique intérieur supposé homogène,

Ωs : structure mécanique, supposée élastique linéaire, de frontière ∂Ωs,

SR : surface rigide sans absorbant,

SA : surface rigide avec absorbant,

SV : surface vibrante,

∂Ωa = SR ∪ SA ∪ SV : frontière du domaine Ωa,

n : normale à ∂Ωa orientée vers l’extérieur,

F ext : excitation ponctuelle appliquée en Me ∈ ∂Ωs,

pext : excitation répartie sur ∂Ωs.

2

A.1. Généralités sur le problème fluide-structure intérieur

A.1.2 Équations du problème

Les équations générales qui régissent la réponse vibro-acoustique du système sont :

– Équations de mouvement des différents milieux :

Ku(Ms, t)+M ∂2

∂t2u(Ms, t) = F (Ms, t) Ms ∈ Ωs (A.1)

∆p(Ma, t)−1c2∂2

∂t2p(Ma, t) = 0 Ma ∈ Ωa (A.2)

– Conditions aux limites :

∂

∂np(Ma, t) = 0 Ma ∈ SR (A.3)

∂

∂np(Ma, t) = − ρ0

Z(ω,Ma)∂

∂tp(Ma, t) Ma ∈ SA (A.4)

∂

∂np(Ma, t) = −ρ0

∂2

∂t2un(Ma, t) Ma ∈ SV (A.5)

+ Conditions aux limites mécaniques de la structure vibrante Ωs

où K est l’opérateur d’élasticité de la structure, M est l’opérateur de masse de la structure,u(Ms, t) est le champ de déplacement de la structure, p(Ma, t) est la pression interne à la cavité,c est la célérité du son dans le milieu intérieur, Z(ω,Ma) est l’impédance acoustique spécifiquenormale du matériau absorbant, un(Ma, t) est le déplacement vibratoire de la structure suivantla normale n,

et :

F (Ms, t) = p(Ms, t).n− F ext(t) . δ(Ms −Me) + pext(Ms, t).n Me ∈ Ωe (A.6)

L’objectif est de déterminer le champ de déplacement vibratoire de la structure et le champde pression interne résultant du rayonnement acoustique de la structure dans la cavité.

Il est à noter que le comportement mécanique et acoustique du matériau absorbant de sur-face SA est ici caractérisé par son impédance acoustique spécifique normale Z(ω,Ma), définiecomme le rapport entre la pression acoustique p(Ma, t) et la vitesse normale des particulesde fluide va(Ma, t) à la surface du matériau (modèle d’impédance à réaction localisée). Z estune grandeur complexe, de la forme R + jX (R est la résistance, X est la réactance), quidépend de la pulsation ω et du point Ma considéré mais est supposée ici indépendante del’angle d’incidence des ondes acoustiques. Pour cette modélisation (simple et approximative),la présence du matériau est ainsi traduite au travers de la condition aux limites (A.4) dumilieu acoustique Ωa.

3


D’autres types de modèles — que nous n’aborderons pas ici —, plus complexes et plusréalistes, existent pour décrire le comportement du matériau absorbant : modèles de fluideéquivalent, modèles poroélastiques. Ces derniers impliquent alors d’écrire l’équation de mou-vement du matériau absorbant, avec ses conditions aux limites.

A.1.3 Méthodes de résolution

Parmi les méthodes traditionnelles utilisées pour résoudre des problèmes fluide-structure1,on peut distinguer deux grandes familles : les méthodes analytiques et les méthodes numéri-ques. Par définition, les méthodes analytiques donnent des solutions exactes mais sont seule-ment applicables à des problèmes relativement simples. A contrario, les méthodes numériques,par le biais d’approximations, permettent de traiter une large variété de problèmes complexes(avec une géométrie complexe et/ou des conditions aux limites complexes) [AB94].

A.1.3.1 Méthodes analytiques

La figure A.2 montre un panorama des principales méthodes analytiques utilisées pourtraiter du problème fluide-structure.

Développement en série

de fonctions propres

Somme pondéree de

fonctions spéciales

(Bessel, Hankel…)

Méthodes de séparation des variablesMéthodes intégrales

Équations intégrales aux frontières

Formulations intégrales

Méthodes des

résidus pondérés

Méthodes

variationnelles

Méthodes analytiques

Fig. A.2 – Panorama des principales méthodes analytiques.

A.1.3.1.a Méthodes de séparation des variables

Ces méthodes permettent de résoudre les équations aux dérivées partielles associées à unproblème dont la géométrie et les conditions aux limites peuvent se projeter facilement dans unsystème de coordonnées orthogonal. En général, la solution s’exprime sous la forme d’une sériede fonctions propres2, ou bien d’une somme pondérée de fonctions spéciales (Bessel, Hankel...) dont les poids respectifs sont déterminés en utilisant des transformations de type Fourier,Laplace ...

1La plupart de ces méthodes peuvent traiter à la fois des problèmes intérieurs et extérieurs.2Fonction propre est un terme mathématique, on emploiera plutôt par la suite le terme de mode propre,

plus approprié au problème vibro-acoustique posé.

4


A.1.3.1.b Méthodes intégrales

Formulations intégrales Cette famille regroupe tout un ensemble de techniques utili-sées pour obtenir une forme intégrale sur le domaine d’étude des équations régissant la réponsedu système.

Dans les méthodes de résidus pondérés, une fonctionnelle appelée résidu est construite àpartir des équations aux dérivées partielles associées au problème ; le principe consiste ensuite àrechercher la solution qui annule sur le domaine l’intégrale du résidu pondéré par une fonctiontest. Le choix de la fonction test détermine le type de méthode (Galerkin, collocation, moindrescarrés).

Dans la méthode variationnelle, la forme intégrale associée au problème est obtenue eninvoquant la stationnarité d’une fonctionnelle énergétique (énoncé variationnel), lorsque celle-ci existe. Une méthode dérivée (Rayleigh-Ritz) consiste à introduire une solution postulée dansla fonctionnelle énergétique et à calculer les coefficients qui rendent la fonctionnelle extrémale.

Généralement, les formulations intégrales peuvent être utilisées pour simplifier le problèmecar une partie des conditions aux limites (les conditions aux limites dites géométriques) estcontenue dans la formulation même [AB94].

Équations intégrales aux frontières Ces méthodes simplifient le problème en expri-mant les équations du fluide et ses conditions aux limites en terme d’équations intégrales desurface (2D). Cependant, les applications analytiques restent limitées : l’intégration analytiquedes expressions obtenues n’est possible que pour un nombre très réduit de problèmes fluide-structure. Aussi, ces méthodes se prêtent plutôt à une approche numérique ; on trouvera plusde précisions sur ces méthodes dans la section A.1.3.3.b.

A.1.3.2 Méthodes semi-analytiques

La recherche d’une solution exacte des équations aux dérivées partielles entraîne des calculsfastidieux. Ainsi, il est courant d’introduire des approximations numériques lors de l’étapede résolution3 : les méthodes analytiques qui recourent à ces approximations sont appeléesméthodes semi-analytiques. Le type d’approximation utilisé dépend souvent de l’intervalle defréquences étudié (Cf. figure A.3).

A.1.3.3 Méthodes numériques

La figure A.4 présente un panorama non exhaustif de méthodes numériques. Nous pré-senterons par la suite plus en détail les deux méthodes les plus répandues : la méthode deséléments finis et la méthode des éléments de frontière.

3A la différence des méthodes numériques où des approximations numériques sont introduites dès l’étapede formulation du problème.

5


Méthodes semi-analytiques

Introduction d’approximations numériques dans les méthodes analytiques à l’étape de calcul de la solution

• Décomposition modale

finie

• Hypothèse de fluide

incompressible

Basses

fréquences

• Approximation par ondes

planes

• Statistical Energy Analysis Haute

s

fréquences

Fig. A.3 – Les principales approches semi-analytiques.

Méthodes numériques

Approximations pour la résolution de problèmes complexes à l’aide d’outils numériques

Méthode des Eléments Finis

(FEM)

Méthode des Eléments de Frontière

(BEM)

Autres méthodes

• Différences finies

• Tir de rayons acoustiques

• Développements asymp-

totiques

Fig. A.4 – Panorama non-exhaustif de méthodes numériques.

A.1.3.3.a Méthode des Éléments Finis - Finite Element Method (FEM)

La figure A.5 présente schématiquement les différentes étapes de la méthode des élémentsfinis.

Formulation de base Les méthodes d’éléments finis reposent sur une formulation va-riationnelle des équations gouvernant le système. Les premières études4 [Cra72] utilisent uneformulation (u, p), i.e. l’inconnue pour la structure est le champ de déplacement, l’inconnuepour le fluide est le champ de pression acoustique.

En régime harmonique, la forme intégrale faible des équations relatives à la structuresoumise aux actions de pression du fluide et à une excitation mécanique ponctuelle de pulsationω s’écrit [Ata01] :

∫Ωs

σ(u) : ε(δu) dΩs −∫

Ωs

ρsω2 u.δu dΩs −

∫SV

p n . δu dSV =∫

∂Ωs

F ext.δu dΓs (A.7)

où σ est le tenseur des contraintes de la structure, ε est le tenseur de déformation de lastructure et δu est une variation admissible quelconque de u.

4G. M. L. Gladwell. A variational formulation of damped acousto-structural vibration problems. Journalof Sound and Vibration, 4(2) :172-186, 1966 (cité dans [AB94]).

6


Méthode des éléments finis

Formulation variationnelle des problèmes structural et acoustique

Discrétisation de la géométrie (fluide et structure) en éléments finis

Assemblage des matrices

d’approximation

élémentaires

Conditions d’équilibre

aux interfaces entre

éléments

Approximation des variables par des fonctions d’approximation polynomiales

et calcul des matrices élémentaires

Continuité des flux à

l’interface

fluide/structure

Principe de stationnarité

et résolution

Imposition des C.L.

Méthode de superposition

modale

Méthode

directe Synthèse

modale

Fig. A.5 – Les grandes étapes de la méthode des éléments finis.

La forme intégrale faible des équations relatives au fluide soumis aux déplacements de lastructure s’écrit [Ata01] :∫

Ωa

1ρ0

(∇p .∇ δp) dΩa − ω2

∫Ωa

1ρ0c2

p . δp dΩa − ω2

∫SV

(u.n) δp dSV = 0 (A.8)

où ∇p est le gradient de p et δp est une variation admissible de p.

D’autres types de formulation existent dans la littérature ; nous en ferons mention dans lasuite de l’exposé.

Mise en œuvre numérique La première étape consiste à discrétiser de manière ap-proximative chaque domaine par un ensemble de sous-domaines appelés éléments finis. Surchaque élément, on définit une fonction approchée de la solution exacte ; cette fonction estappelée fonction d’approximation nodale.

Ensuite, on procède au calcul de matrices élémentaires. Cette étape consiste à évaluersur chaque élément l’approximation nodale de la forme intégrale des équations du domaineconsidéré.

Ces matrices élémentaires sont ensuite assemblées dans une matrice globale. La formeintégrale est ainsi évaluée pour l’ensemble du domaine étudié. L’assemblage doit satisfaireles conditions d’équilibre aux interfaces entre éléments et la continuité des flux à l’interfacefluide-structure. Les fonctions d’approximation et les matrices élémentaires obtenues sont indé-

7


pendantes de la fréquence5. Cette caractéristique constitue l’un des avantages de la méthodedes éléments finis : pour un calcul de la réponse en fréquence du système, les matrices nesont pas régénérées à chaque fréquence de calcul. Ces matrices sont des matrices bandes etsymétriques ; ces propriétés permettent de réduire significativement les temps de calcul.

Après imposition des conditions aux limites, le principe de stationnarité est ensuite invoquépour obtenir un système d’équations algébriques.

Méthodes de résolution numérique Le système obtenu peut être résolu directementavec les méthodes classiques d’intégration directe. Cependant, ces méthodes sont assez coû-teuses en ressources informatiques car le système complet (avec le nombre maximal de degrésde liberté) est traité.

La résolution peut s’effectuer par la méthode de superposition modale. Le principal avan-tage de cette méthode réside dans le remplacement du système initial par un système de pluspetite taille obtenu en effectuant une troncature de la base modale ; le gain d’espace mémoireet de temps est conséquent. Notons que cette méthode se limite à l’étude de problèmes oùseuls les premiers modes du système interviennent dans le comportement dynamique ; cecinécessite également que le contenu fréquentiel de l’excitation soit limité à ces premiers modesdu système. Les solutions modales peuvent être obtenues en résolvant le problème aux valeurspropres associé. Malheureusement, ce système aux valeurs propres est plein et non symétrique ;on doit alors faire appel à des techniques de symétrisation assez coûteuses en temps de cal-cul. L’utilisation du champ de déplacement du fluide comme inconnue dans la formulationvariationnelle6 conduit directement à un système symétrique, mais cette approche produit unsystème d’équations de dimensions importantes. De plus, la nécessité d’imposer la conditiond’irrotationnalité du déplacement dans le domaine fluide comme une condition aux limitescomplique la formulation. Une autre alternative consiste à utiliser le potentiel des vitessescomme inconnue7 ; cependant le système obtenu devient à variables complexes. Enfin, dans lecas d’un fluide léger, la résolution du problème aux valeurs propres peut être évitée ; on peutdécoupler le système d’équations et utiliser les bases modales de la structure in vacuo et de lacavité fluide rigide. La méthode consiste alors à projeter le système d’équations sur ces basesmodales pour obtenir la réponse du système.

Une autre technique de résolution couramment utilisée en analyse structurale est la syn-thèse modale ou sous-structuration dynamique8. Elle consiste à décomposer la structure en unensemble de sous-structures. Pour chacune des sous-structures, une étude modale est réalisée ;

5Ceci est vrai en l’absence de matériau absorbant sur les parois ou lors de l’utilisation d’un modèle d’im-pédance indépendant de la fréquence pour décrire le comportement du matériau.

6M. A. Hamdi. Étude des vibrations élasto-acoustiques par une méthode d’éléments finis aux déplacements.PhD thesis, Université de Technologie de Compiègne, Compiègne, France, 1978 (cité dans [AB94]).

7G. C. Everstine. A symmetric potential formulation for fluid-structure interactions. Journal of Sound andVibration, 79(1) :157-160, 1981 (cité dans [AB94]).

8R. R. Craig Jr. A review of time-domain and frequency-domain component-mode synthesis methods.Journal of Modal Analysis, 2 :59-72, 1987 (cité dans [AB94]).

8


les modes de ces sous-structures sont ensuite assemblés par continuité afin d’obtenir les modesde la structure globale. Cette technique présente deux avantages majeurs. Le premier est laréduction de la mémoire nécessaire pour traiter des problèmes de grande taille, puisque cesystème initial est morcelé en sous-systèmes de plus petite taille ; le second est la réduction dutemps de calcul des modes de la structure globale, notamment lorsque les paramètres d’uneseule sous-structure changent.

A.1.3.3.b Méthode des Éléments de Frontière - Boundary Element Methods(BEM)

Comme nous l’avons déjà mentionné dans la section A.1.3.1.b, ces méthodes permettentde simplifier les problèmes en exprimant les équations du fluide et ses conditions aux limitesen termes d’intégrales surfaciques, via l’application du théorème de Green. La principale dif-ficulté réside dans la détermination d’une fonction de Green vérifiant l’équation d’onde et lesconditions aux limites. L’utilisation de la solution élémentaire, fonction de Green en champlibre, conduit à la résolution des problèmes acoustiques via deux méthodes : directe et indirecte[AB94] (Cf. figure A.6). La méthode directe découle directement de la formulation intégralede l’équation d’Helmholtz ; la méthode indirecte découle de la théorie des potentiels de coucheappliquée à la résolution des équations intégrales. Pour l’une ou l’autre, une technique de réso-lution peut être utilisée afin de pallier les difficultés numériques majeures lors de la résolution :la méthode variationnelle.

Méthode des éléments de frontière

Méthode directe Méthode variationnelle Méthode indirecte

• Champ acoustique exprimé

en termes de pression et de

vitesse sur la surface

• Inconnues de surface

déterminées par un processus

de collocation

• Méthode basée sur la

théorie des potentiels

• Champ acoustique ex-

primé en termes de poten-

tiel de simple couche et/ou

de potentiel de double

couche

Élimination des difficultés

liées à l’emploi des

méthodes classiques :

• évaluation des termes

singuliers

• matrices non

symétriques

Fig. A.6 – Les différentes méthodes des éléments de frontière.

Le principal avantage de ces méthodes est la réduction de la dimensionnalité du problème(3D à 2D) et donc du nombre de degrés de liberté. Cependant, elles comportent de nom-breuses difficultés. Ces difficultés comprennent notamment l’évaluation de termes singuliers etla non-unicité de la solution dans certains cas. De plus, les formulations directes et indirectesproduisent des matrices non-symétriques, pleines et dépendantes de la fréquence. La méthodevariationnelle produit des matrices symétriques mais l’évaluation numérique de ces matrices

9


est très onéreuse en temps de calcul. Le principal avantage des méthodes FEM sur les mé-thodes BEM réside dans la possibilité de calculer pour des problèmes intérieurs les fréquencespropres et les déformées modales du fluide. Pour les BEM, une analyse modale classique estimpossible à cause de la dépendance fréquentielle des matrices. Néanmoins, des formulationsont été proposées pour déterminer les fréquences propres acoustiques du système.

Abordons maintenant chacune des trois méthodes.

Méthode directe L’équation intégrale d’Helmholtz s’écrit pour un problème intérieur[CS63, Sch68, SSRS85] :

C(M)P (M) =∫

∂Ωa

[G(M,Q)

∂P (Q)∂nQ

− P (Q)∂G(M,Q)∂nQ

]dΓa (A.9)

où P (M) est la pression au point M ∈ Ωa (point de calcul), P (Q) la pression au pointQ ∈ ∂Ωa (Q mobile sur ∂Ωa), nQ la normale rentrante au point Q et G(M,Q) la fonction deGreen en champ libre donnée par :

G(M,Q) =e−ikr

4πr(A.10)

où r est la distance entre les points M et Q et k le nombre d’onde acoustique.C(M) est un coefficient qui dépend de la position de M : en dehors du domaine Ωa, C(M)

est égal à 0 ; à l’intérieur du domaine Ωa, C(M) est égal à 1 ; sur la frontière ∂Ωa, C(M) estdonné par :

C(M) = 1− Ω4π

(A.11)

où Ω est l’angle solide extérieur au point M de la frontière.La première étape de la mise en œuvre numérique consiste à discrétiser la frontière ∂Ωa

du domaine Ωa en éléments de frontière. Pour chaque élément de frontière, les variables desurface sont approchées par une fonction d’approximation polynômiale.

On évalue ensuite la forme intégrale ainsi discrétisée ; on obtient ainsi une équation algé-brique pour chaque point de calcul du domaine en termes de pression et vitesse sur les élémentsdiscrétisés de la frontière.

Aussi, les variables inconnues sur les éléments de frontières sont déterminées au préalableen utilisant un processus de collocation : le point de calcul M est déplacé en une positiondiscrétisée de la frontière (point de collocation). Le processus est répété autant de fois quede points de collocation définis (noeuds du maillage en général). Le système d’équations al-gébriques ainsi obtenu est résolu en imposant les conditions aux limites connues du problème(Neumann ou Dirichlet).

Méthode indirecte Pour des problèmes courants présentant des conditions aux limitesmixtes (conditions combinées de pression et vitesse ou conditions d’impédance), le champ

10


acoustique rayonné par la frontière ∂Ωa en un point M du domaine Ωa est exprimé à l’aidede potentiels de simple couche et de potentiels de double couche9 :

P (M) =∫

∂Ωa

[µ(Q)

∂G(M,Q)∂nQ

− σ(Q)G(M,Q)]dΓa (A.12)

où µ(Q) représente la densité de potentiel de double couche au point Q ∈ ∂Ωa, nQ lanormale à ∂Ωa au point Q, σ(Q) la densité de potentiel de simple couche au point Q etG(M,Q) la fonction de Green en espace libre définie par l’équation (A.10).

Tout comme pour la méthode directe, l’implémentation numérique débute par la discrétisa-tion de la frontière en éléments de frontière. Sur chaque élément, la distribution de potentielsest approchée par des fonctions d’approximation polynômiales.

On obtient pour chaque pointM du domaine Ωa une forme intégrale discrétisée qui exprimela pression au point sous la forme d’une somme pondérée de valeurs discrètes de densités depotentiels disposés sur des éléments de la frontière discrétisée. Les densités de potentiels decouche sont détermineés en appliquant les conditions aux limites sur la frontière.

Méthode variationnelle Les méthodes d’éléments de frontière décrites précédemmentsouffrent de deux difficultés majeures. La première est liée à l’évaluation numérique de termessinguliers et la seconde au fait que ces formulations produisent des matrices non symétriques.Pour éliminer ces deux difficultés, on utilise une formulation variationnelle qui consiste à mul-tiplier l’équation intégrale d’Helmholtz10 ou l’équation intégrale indirecte11 par une fonctiontest admissible et à intégrer le résultat sur la frontière du domaine.

L’implémentation numérique de l’approche variationnelle est similaire à celle des méthodesauxquelles elle se rapporte ; à la différence des deux premières méthodes, une double intégrationde surface est cependant nécessaire.

On peut noter également que, contrairement aux méthodes BEM classiques de colloca-tion, l’approche variationnelle n’utilise pas de points de collocation ; en effet, le système finald’équation algébriques est obtenu directement à partir de la discrétisation de la fonction-nelle construite qui prend explicitement en compte les conditions aux limites imposées sur lafrontière du domaine.

9P. Filippi. Layer potentials and acoustic diffraction. Journal of Sound and Vibration, 54(4) :473-500, 1977(cité dans [AB94]).

10A. D. Pierce. Variational formulations in acoutic radiation and scattering. Physical Acoustics, XXII, 1993(cité dans [AB94]).

11M. A. Hamdi. Formulation variationnelle par équations intégrales pour le calcul de champs acoustiqueslinéaires proches et lointains. PhD thesis, Université de Technologie de Compiègne, Compiègne, France, 1982(cité dans [AB94]).

11


A.2 Description du système plaque-cavité étudié

A.2.1 Configuration du problème

La figure A.7 montre la configuration du problème étudié.

Z

X

Y0 Ly

Plaque vibrante

Lz

Lx

Fig. A.7 – Configuration du problème étudié.

Les données géométriques, mécaniques et acoustiques du problème sont les suivantes :

• Milieu acoustique extérieur : air,• Cavité acoustique parallélépipèdique (domaine V ) :

– 5 murs rigides (de surface SR) et 1 paroi vibrante (de surface SV ),– dimensions Lx = 0.6 m, Ly = 0.4 m et Lz = 0.8 m,– fluide : air (ρ0 = 1.2 kg/m3, c = 340 m/s, ηf = 10−2).

• Plaque rectangulaire vibrante (domaine Ωs) simplement appuyée en z = 0 de surface“mouillée”12 SV :– dimensions Lx = 0.6 m, Ly = 0.4 m.– matériau : acier (E = 2× 1011 N.m−2, ηs = 7× 10−3, ν = 0.32, ρs = 7870 kg/m3).

A.2.2 Équations régissant la réponse vibro-acoustique du système

Dans cette configuration, le système d’équations (A.1) à (A.5) se réduit à :

– Équations de mouvement dans les différents milieux supposés non dissipatifs :

(D∇4 +MP

∂2

∂t2

)w(Ms, t) = F (Ms, t) Ms ∈Ωs (A.13)

∆p (Ma, t)−1c2∂2

∂t2p (Ma, t) = 0 Ma ∈V (A.14)

12i.e. en contact avec le fluide interne.

12

A.3. Présentation des outils de calcul vibro-acoustique

– Conditions aux limites :

∂

∂np (Ma, t) = 0 Ma ∈ SR (A.15)

∂

∂np (Ma, t) = −ρ0

∂2

∂t2w(Ma, t) Ma ∈ SV (A.16)

où :

w est la déformée de la plaque,

MP = ρs h est la masse surfacique de la plaque,

D = Eh3

12(1−ν2)est le module de rigidité de flexion de la plaque,

ρs est la masse surfacique de la plaque,

h est l’épaisseur de la plaque,

E est le module d’Young de la plaque.

A.3 Présentation des outils de calcul vibro-acoustique

A.3.1 Plaqcav

A.3.1.1 Descriptif

Plaqcav est un code semi-analytique développé par F. Sgard et N. Atalla ; ce code per-met une résolution du problème d’interaction fluide-structure (spécifiquement pour une plaquerectangulaire couplée à une cavité parallélépipédique) par une méthode semi-analytique de sé-paration des variables avec décomposition modale finie (Cf. section A.1.3.2), telle que proposéepar Dowell et al. [DGS77] et également utilisée par Cheng [Che89]. Deux variantes du codeexistent ; l’une permet de calculer la réponse du système pour une excitation mécanique ponc-tuelle normale à la plaque, l’autre considère une excitation ponctuelle acoustique (monopôle)intérieure à la cavité. Sa présentation se concentre sur la première variante.

A.3.1.2 Équations de couplage

Dans ce qui suit, nous rappelons les principaux éléments théoriques de l’approche modaleimplémentée sous Plaqcav.

A.3.1.2.a Problème acoustique

Considérons la cavité entièrement rigide sur sa frontière ∂V = SR ∪ SV . Les modes propresde la cavité rigide Fn sont solutions de l’équation d’onde (A.14) et satisfont les conditionssuivantes :

∆Fn(Ma) = −(ωn/c)2 Fn(Ma) (A.17)

13


∂

∂nFn(Ma) = 0 sur ∂V = SR ∪ SV (A.18)

1V

∫VFr(Ma)Fn(Ma) dV ≡Mn, r = n (A.19)

= 0, r 6= n

où ωn est la nieme pulsation propre de la cavité rigide, Fn le mode propre associé et Mn lamasse généralisée acoustique.

Les modes propres Fn de la cavité rigide sont donnés par :

Fn(Ma) = Fqrs(x, y, z) = cos(qπx

Lx) cos(

rπy

Ly) cos(

sπz

Lz) (A.20)

et les pulsations propres ωn par :

ωn = ωqrs = c

√(qπ

Lx

)2

+(rπ

Ly

)2

+(sπ

Lz

)2

(A.21)

La pression interne p (Ma, t) est décomposée sur la base des n premiers modes propres dela cavité rigide :

p (Ma, t) =∑n

ρ0 c2

Mnpn(t)Fn(Ma) (A.22)

où pn(t) est l’amplitude modale du mode n :

pn(t) =1V

∫Vp (Ma, t)Fn(Ma) dV (A.23)

En appliquant le théorème de Green sous la forme

∫V

[p(Ma, t) ∆Fn(Ma)− Fn(Ma) ∆p(Ma, t)] dV =∫∂V

[p(Ma, t)∂

∂nFn(Ma)− Fn(Ma)

∂

∂np(Ma, t)] d(∂V ), (A.24)

et en utilisant les équations (A.14), (A.15), (A.16), (A.17), (A.18), (A.19) et (A.22), onpeut obtenir les équations généralisées acoustiques :

p′′n(t) + ω2n pn(t) = −w′′

n(t)SV

V(A.25)

avec :wn(t) =

1SV

∫SV

w(Ms, t)Fn(Ms) dSV (A.26)

14


A.3.1.2.b Problème structural

Considérons la plaque in vacuo. Les modes propres structuraux ψm vérifient l’équation auxvaleurs propres associées à l’équation (A.13) :

D∇4ψm(Ms)−MP ω2m ψm(Ms) = 0 (A.27)

et la condition d’orthogonalité :

∫Ωs

MP ψm(Ms)ψr(Ms) dΩs ≡Mm, m = r (A.28)

= 0, m 6= r

où ωm est la mieme pulsation propre de la plaque, ψm le mode propre associé et Mm la massegénéralisée structurale.

Pour une plaque simplement appuyée, les modes propres structuraux ψm sont donnés par :

ψm(Ms) = ψmn(x, y) = sin(mπx

Lx) sin(

nπy

Ly) (A.29)

et les pulsations propres ωm par :

ωm = ωmn =√

D

MP

[(mπ

Lx

)2

+(nπ

Ly

)2]

(A.30)

On décompose w(Ms, t) le déplacement transversal de la plaque sur la base de ses m

premiers modes propres in vacuo :

w(Ms, t) =∑m

qm(t)ψm(Ms) (A.31)

En substituant l’équation (A.31) dans l’équation (A.13) et en utilisant l’équation (A.27),on obtient13 :

∑m

Mm[q′′m(t) + ω2

m qm(t)]ψm(Ms) = p(Ms, t)− Fext(t) . δ(x− x0) . δ(y − y0) (A.32)

Après multiplication par ψm, intégration sur Ωs et utilisation de la propriété d’orthogonalité(A.28), l’équation (A.32) devient :

Mm[q′′m(t) + ω2

m qm(t)]

= Qintm (t) +Qext

m (t) (A.33)

13On considère une excitation mécanique ponctuelle au point de coordonnées (x0, y0) de la plaque.

15


où :Qint

m (t) =∫

SV

p(Ms, t)ψm(Ms) dSV (A.34)

et :Qext

m (t) = −∫

Ωs

Fext(t) δ(x− x0) . δ(y − y0)ψm(Ms) dΩs (A.35)

A.3.1.2.c Couplage vibro-acoustique

Si on remplace p(Ma, t) et w(Ms, t) dans les équations (A.26) et (A.23) par leurs expressionsrespectives (A.22) et (A.31), les équations (A.25) et (A.33) peuvent se réécrire :

p′′n(t) + ω2n pn(t) = −SV

V

∑m

Lnm q′′m(t) (A.36)

q′′m(t) + ω2m qm(t) = ρ0 c

2 SV

∑n

pn(t)Lnm

MmMn+Qext

m (t)Mm

(A.37)

où :

Lnm =1SV

∫SV

Fn(Ms)ψm(Ms) dSV (A.38)

Le système d’équations (A.36) et (A.37) traduit le couplage fluide-structure ; le coefficientde couplage Lnm traduit la coïncidence spatiale ou non des déformées modales du fluide et dela plaque au niveau de la surface d’interaction SV .

Si l’on se place en régime harmonique, alors :

Fext(t) = F0 ejωt (A.39)

pn(t) = pn(ω) ejωt (A.40)

qm(t) = qm(ω) ejωt (A.41)

où F0 est l’amplitude de l’excitation mécanique appliquée, pn(ω) est l’amplitude complexede la pression modale et qm(ω) est l’amplitude complexe du déplacement modal.

La force généralisée donnée par l’expression (A.35) devient :

Qextm (t) = Qext

m ejωt (A.42)

avec :Qext

m = −F0 ψm(x0, y0) (A.43)

16


Les équations généralisées du système (A.36) et (A.37) peuvent se réécrire :

pn(ω)(ω2

n − ω2)

=SV

Vω2∑m

Lnm qm(ω) (A.44)

qm(ω)(ω2

m − ω2)

= ρ0 c2 SV

∑n

pn(ω)Lnm

MmMn+Qext

m

Mm(A.45)

A.3.1.2.d Prise en compte de l’amortissement intrinsèque aux deux sous-systèmes

Plaqcav utilise un modèle d’amortissement structural à la fois pour la plaque et le fluide.L’amortissement est injecté dans l’expression de la célérité pour le fluide, dans l’expressiondu module d’Young du matériau en ce qui concerne la plaque. Les équations (A.44) et (A.45)deviennent pour un système amorti :

pn(ω)[ω2

n − ω2(1− jηf )]

=SV

Vω2∑m

Lnm qm(ω) (A.46)

qm(ω)[ω2

m(1 + jηs)− ω2]

= ρ0 c2 SV

∑n

pn(ω)Lnm

MmMn+Qext

m

Mm(A.47)

où ηf est le facteur de perte par amortissement structural du fluide et ηs le facteur deperte par amortissement structural du matériau constitutif de la plaque.

A.3.1.2.e Prise en compte de la présence d’un matériau absorbant sur uneparoi rigide

Plaqcav utilise un modèle d’impédance à réaction localisée (Cf. section A.1.2) pour prendreen compte la présence d’un matériau absorbant réparti uniformément sur une paroi rigide dela cavité (i.e. l’impédance acoustique spécifique normale Z est supposée indépendante du pointMa considéré sur la surface SA du matériau). En introduisant la condition aux limites (A.4),les équations généralisées pour le milieu fluide dissipatif (A.46) deviennent :

pn(ω)

[ω2

n − ω2 + j

(ηfω

2 +SA

Vρ0c

2ω∑r

Cnr

Mr

)]=

SV

Vω2∑m

Lnm qm(ω) (A.48)

avec :

Cnr =1

SA Z(ω)

∫SA

Fn(Ma)Fr(Ma) dSA

=Z∗(ω)|Z(ω)|2

Gnr (A.49)

17


où Z∗(ω) et |Z(ω)| sont respectivement le conjugué complexe et le module de l’impédanceacoustique spécifique normale du matériau absorbant, et :

Gnr =1SA

∫SA

Fn(Ma)Fr(Ma) dSA

Les termes croisés Cnr (n 6= r) traduisent un couplage entre les modes de la cavité dû à laprésence du matériau absorbant. Toutefois, l’hypothèse d’un faible couplage est généralementadmise [DGS77, Che89], i.e. les termes croisés Cnr (n 6= r) sont faibles par rapport auxtermes diagonaux Cnn. Avec cette hypothèse, et en introduisant l’expression complexe del’impédance Z(ω) (i.e. Z(ω) = R(ω) + jX(ω), Cf. section A.1.2), les équations généralisées(A.48) deviennent :

pn(ω)[ω2

n − ω2

(1 − SA

V ωρ0c

2 X(ω)Gnn

Mn |Z(ω)|2

)+ jω

(ηfω +

SA

Vρ0c

2 R(ω)Gnn

Mn |Z(ω)|2

)]=

SV

Vω2∑m

Lnm qm(ω)

(A.50)

A.3.2 Sysnoise

A.3.2.1 Descriptif

Sysnoise © LMS International est un logiciel d’analyse vibro-acoustique, dans lequelsont implémentées les méthodes numériques traditionnelles FEM-BEM (Cf. section A.1.3.3).L’analyse peut être réalisée dans le domaine temporel ou dans le domaine fréquentiel. Pource dernier cas qui nous intéresse plus particulièrement, les approches proposées par Sysnoisepour traiter les problèmes fluide-structure sont variées :

– FEM Structure - FEM fluide,

– FEM Structure - BEM indirecte variationnelle.

– FEM Structure - BEM directe,

Sysnoise utilise la méthode FEM en offrant la possibilité de résoudre les équations soitpar la méthode directe, soit par la méthode de superposition modale.

A.3.2.2 Maillages

Sysnoise dispose d’un module de maillage qui permet de discrétiser les surfaces en élé-ments isoparamétriques quadrilatéraux à 4 nœuds (QUAD4), dont les fonctions d’interpolationsont de type Lagrange linéaire, et les volumes en éléments linéaires hexaédriques à 8 noeuds(HEXA8). Sysnoise permet d’autre part de réaliser des maillages non-coïncidents, i.e. les

18


topologies nodales des surfaces de couplage entre les modèles de la structure et du fluide sontdifférentes. Les procédures de maillage sont décrites dans [LMSb].


Nous allons présenter succinctement les équations de couplage (non amorties) traitées parSysnoise dans chaque approche. Pour des informations complémentaires, concernant notam-ment l’introduction de l’amortissement intrinsèque aux deux sous-systèmes14, on pourra sereporter à [LMSa].

A.3.2.3.a Approche FEM-FEM

Après discrétisation des formes intégrales faibles des équations de mouvement de la struc-ture (A.7) et du fluide (A.8) puis imposition des conditions aux limites, l’invocation de lastationnarité conduit au système forcé :[

Ks − ω2Ms Cω2Ct Kf − ω2Mf

](up

)=

(Fs

Fa

)(A.51)

où Ks et Ms sont les matrices de raideur et de masse structurales, C est la matrice decouplage entre la plaque et la cavité, Kf et Mf sont les matrices de raideur et de masseacoustiques, u est le vecteur des déplacements nodaux de la plaque, p est le vecteur despressions nodales de la cavité, Fs et Fa sont les vecteurs de chargement structural et acoustiquequi comprennent les excitations mécaniques ou acoustiques ou encore certaines conditions auxlimites définies sur la structure et le volume acoustique (e.g. respectivement des déplacementsimposés et des valeurs d’admittance).

Ce système peut être résolu par la méthode directe. Il peut être également résolu par laméthode de superposition modale. Dans ce cas, le système d’équations (A.51) devient aprèsprojection sur la base modale couplée :[


](as

af

)=

(Fs

Fa

)(A.52)

où le symbole (∧) indique la projection sur la base modale et as et af sont respectivementles facteurs de participation modaux structuraux et acoustiques.

Parce que la taille du système modal est plus faible — et par conséquent les temps decalcul correspondants sont plus faibles —, nous avons privilégié cette méthode de résolutiondans la suite de nos travaux.

14Sysnoise propose les deux modèles d’amortissement courants : structural et visqueux.

19


A.3.2.3.b Approche FEM-BEM indirecte variationnelle

A partir des conditions aux limites connues sur la frontière ∂V du domaine V , les inconnuesde la structure (déplacements) et du fluide (potentiels à simple et double couche) sont d’aborddéterminées. Puis, à partir de ces résultats primaires, il est possible de calculer le champ depression dans la cavité (pressions et vitesses acoustiques) en n’importe quel point de la cavité.La procédure de calcul construit puis résout un système couplé d’équations dans lequel figurentcomme inconnues les déplacements structuraux et les sauts de pression acoustique :[

Ks − ω2Ms Ct

C H(ω)ρ0ω2

](uµ

)=

(Fs

Faρ0ω2

)(A.53)

où H(ω) est la matrice d’influence de la BEM indirecte, Ks et Ms sont les matrices deraideur et de masse structurales, C est la matrice de couplage spatial entre la plaque et lacavité, u est le vecteur des déplacements nodaux de la plaque, µ est le vecteur des sautsde pression nodaux de la cavité, et Fs et Fa sont les vecteurs de chargement structural etacoustique.

De même que pour l’approche FEM-FEM, ce système peut être résolu par la méthodedirecte ou par la méthode de superposition modale ; dans ce dernier cas, le système d’équations(A.53) devient après projection dans la base modale structurale :[

Ks − ω2Ms Ct

C H(ω)ρ0ω2

](as

µ

)=

(Fs

Faρ0ω2

)(A.54)

où le symbole (∧) indique la projection sur la base modale de la structure et as sont lesfacteurs de participation modaux structuraux.

Pour les mêmes raisons que précédemment, nous avons privilégié cette méthode de résolu-tion pour la suite de nos travaux.

A.3.2.3.c Approche FEM-BEM directe

A partir des conditions aux limites connues sur la frontière ∂Ωa du domaine Ωa, les incon-nues de la structure (déplacements) et du fluide (pressions et vitesses normales acoustiquessur la frontière) sont d’abord déterminées. Puis, à partir de ces résultats primaires, il estpossible d’évaluer le champ de pression dans la cavité (pressions et vitesses acoustiques). Laprocédure de calcul construit puis résout un système couplé d’équations dans lequel figurentcomme inconnues les déplacements structuraux et les pressions acoustiques :[

Ks − ω2Ms Ct

ρ0ω2 B(ω) A(ω)

](up

)=

(Fs

Fa

)(A.55)

où A(ω) et B(ω) sont les matrices d’influence de la BEM directe, Ks et Ms sont lesmatrices de raideur et de masse structurales, C est la matrice de couplage spatial entre la

20


plaque et la cavité, u est le vecteur des déplacements nodaux de la plaque, p est le vecteurdes pressions nodales de la cavité et Fs et Fa sont les vecteurs de chargement structural etacoustique.

Ce système peut être résolu suivant la méthode directe ou la méthode de superpositionmodale. Dans ce dernier cas, le système d’équations (A.55) devient :

[Ks − ω2Ms Ct

ρ0ω2 B(ω) A(ω)

](as

p

)=

(Fs

Fa

)(A.56)

où le symbole (∧) indique la projection sur la base modale de la structure et as sont lesfacteurs de participation modaux structuraux.

A.3.3 Translp2

A.3.3.1 Descriptif

Translp2 est une version révisée du code Trans développé initialement par O. Chiello[Chi00] pour étudier les problèmes d’isolation en basses fréquences. Ce code associe une mé-thode d’analyse modale par sous-structuration dynamique à une méthode d’éléments finis (Cf.section A.1.3.3.a). Ce code permet en particulier de prendre en compte des sous-structuresde masse nulle de type joint de jonction. Parmi les configurations possibles, figure le systèmeplaque-cavité couplé qui nous intéresse. La version révisée apporte la possibilité de calculer leniveau de pression en un point intérieur de la cavité (Cf. section A.3.5).

A.3.3.2 Maillages

Pour la plaque, il est possible d’utiliser des éléments quadrilatéraux isoparamétriques à 4nœuds (QUAD4), 8 nœuds (QUAD8) ou 9 nœuds (QUAD9) dont les fonctions d’interpolationsont respectivement de type Lagrange linéaire, Lagrange quadratique incomplet et Lagrangequadratique.

Pour le fluide intérieur, la discrétisation peut être effectuée avec des éléments linéaireshexaédriques à 8 nœuds ou quadratiques hexaédriques à 20 nœuds.

Dans ces travaux, nous avons choisi des éléments quadratiques à 8 nœuds et des élémentsquadratiques hexaédriques à 20 nœuds pour modéliser respectivement la plaque et le fluideintérieur. Notons que les maillages doivent être choisis de façon à ce que, au niveau de la surfaced’interaction, chaque nœud du maillage de la cavité coïncide avec un nœud du maillage dela plaque ; ainsi le rapport du nombre d’éléments de plaque au nombre d’éléments de fluidesuivant les directions x et y doit être un nombre entier.

21



A.3.3.3.a Équations discrétisées du système couplé

L’invocation de la stationnarité des fonctionnelles fluide et structure aboutit à un sys-tème d’équations similaire à (A.51), ce système comporte néanmoins des particularités liées àl’approche par sous-structuration dynamique [Chi00] :[


](up

)=

(f + fe

s

)(A.57)

où Ks et Ms sont les matrices de raideur et de masse de l’assemblage de sous-structures15,Kf et Mf sont les matrices de raideur et de masse acoustiques, u est le vecteur des déplace-ments nodaux de la structure, p est le vecteur des pressions nodales de la cavité, s est levecteur source dûs aux sources acoustiques internes.

f est le vecteur force dû aux forces mécaniques donné par :

f =Nsub∑c=1

D(c)t

f(c) (A.58)

où Nsub est le nombre de sous-structures, D(c)test la matrice booléenne de localisation et f

(c)

est le vecteur force agissant sur la sous-structure c dus aux forces mécaniques.

fe est le vecteur force dû aux pressions extérieures donné par :

fe =Nsub∑c=1

D(c)t

f(c)e (A.59)

où f(c)e est le vecteur force agissant sur la sous-structure c dus aux pressions extérieures.

C est la matrice de couplage entre la structure et la cavité fluide donnée par :

C =Nsub∑c=1

D(c)t

C(c) (A.60)

où C(c) est la matrice de couplage entre la sous-structure c et le fluide.

A.3.3.3.b Équations généralisées du système couplé

La résolution du problème aux valeurs propres associé à (A.57) est évitée. La réponse dusystème est calculée en projetant le système d’équations (A.57) sur les bases modales de lastructure in vacuo et de la cavité rigide (Cf. théorie développée dans la section A.3.1.2). En

15Dans le cas présent, la plaque est la seule sous-structure.

22


utilisant les réductions modales provenant respectivement de la sous-structuration dynamiqueet de l’analyse modale des sous-systèmes découplés, on aboutit ainsi au système d’équationsgénéralisées suivant [Chi00] :[

Ωs − ω2Is Cm

ω2Cmt Ωf − ω2If

](qs

qf

)=

(fm + fme

sm

)(A.61)

où Ωs est la matrice diagonale des pulsations propres de la structure, Ωf est la matricediagonale des pulsations propres du fluide, Is et If sont des matrices identités respectivementde dimensions ms × ms (ms modes structuraux) et mf × mf (mf modes acoustiques), qs

est le vecteur inconnu des coordonnées modales de la structure, qf est le vecteur inconnu descoordonnées modales de fluide, et d’autre part :

fm =Nsub∑c=1

f(c)m =

Nsub∑c=1

Φ(c)s

tf(c) (A.62)

fme =Nsub∑c=1

f(c)me =

Nsub∑c=1

Φ(c)s

tfe

(c) (A.63)

Cm =Nsub∑c=1

C(c)m =

Nsub∑c=1

Φ(c)s

tC(c) Φf (A.64)

sm = Φft s (A.65)

où Φ(c)s sont les vecteurs propres de la sous-structure c et Φf sont les vecteurs propres du

fluide.

A.3.3.3.c Prise en compte de l’amortissement intrinsèque aux deux sous-systèmes

Translp2 utilise tout comme Plaqcav un modèle d’amortissement structural pour la plaqueet le fluide (Cf. section A.3.1.2.d). Le système d’équations (A.61) devient pour un systèmeamorti [Chi00] : [

Ωs − ω2Is Cm

ω2Cmt Ωf − ω2If

](qs

qf

)=

(fm + fme

sm

)(A.66)

où :

Ωs = (1 + jηs)Ωs (A.67)

et :

23


If = (1− jηf ) If (A.68)

24


A.3.4 Synthèse des hypothèses et possibilités de calcul

Le tableau A.1 compare les différentes hypothèses et possibilités de calcul liées à chacundes codes.

Code semi-analytique

PLAQCAV TRANSLP2 SYSNOISE

Mil

ieu

exté

rieu

r

Hypothèse fluide léger

extérieurOUI OUI OUI

Type modèle

amortissementStructural Structural Structural / Visqueux

Type parois Rigide Rigide / Flexible Rigide / Flexible

OUI OUI

- Modèle d'impédance à

réaction localisée (Delany-

Bazley)

- Modèle fluide-équivalent

Excitation acoustique

ponctuelle interneOUI OUI OUI

Hypothèses Modèle

Plaque

Kirchhoff-Love (Plaques

minces)Mindlin (Plaques épaisses) Coques

Type modèle

amortissementStructural Structural Structural / Visqueux

Conditions aux limites Simplement Appuyée Quelconques Quelconques

- Mécanique (force ponctuelle)

- Mécanique (force ponctuelle,

déplacement ou vitesse

imposés, pression pariétale

imposée)

- Acoustique (monopôle, onde

plane)

- Acoustique (monopôle, onde

plane, champ diffus)

Hyp

oth

èses

/ p

oss

ibil

ités

So

us-

syst

ème

Cavit

é

NONOUI (par résolution du

problème d'oscillations libres)

Syst

ème

cou

plé

pla

qu

e-ca

vit

é

Prise en compte de

matériau absorbant

sur les parois

Modèle d'impédance à réaction

localisée (Delany-Bazley)

So

us-

syst

ème

Pla

qu

e

Codes numériques

LOGICIELS

Calcul des fréquences

couplées

Excitation externe Mécanique (force ponctuelle)

NON

NON

Tab. A.1 – Récapitulatif des hypothèses et possibilités de calcul des différents codes.

25


A.3.5 Indicateurs vibro-acoustiques

Pour analyser la réponse vibro-acoustique du système plaque-cavité, nous utiliserons lesindicateurs suivants, disponibles pour les 3 outils de calcul utilisés :

• Niveau de vitesse quadratique moyenne de la plaque :

Lv(f) = 10 × log10

(〈|vn(Ms, f)|2〉SV

v2ref

)(A.69)

où vref est la vitesse vibratoire de référence, égale 5× 10−8 m/s, et :

〈|vn(Ms, f)|2〉SV=

1SV

∫SV

|vn(Ms, f)|2 dSV (A.70)

où vn(Ms, f) est la vitesse vibratoire normale à la surface, prise au point Ms et pourune fréquence f donnée.

• Niveau de pression quadratique moyenne dans la cavité :

Lpq(f) = 10 × log10

(⟨|p(Ma, f)|2

⟩V

p20

)(A.71)

où p0 est la pression acoustique de référence, égale à 2.10−5 Pa, et :

〈|p(Ma, f)|2〉V =1V

∫V|p (Ma, f)|2 dV (A.72)

où p (Ma, f) est la pression acoustique en un point Ma intérieur à la cavité, pour unefréquence f donnée.

• Niveau de pression au point M1 intérieur à la cavité, de coordonnées en m, (x1, y1, z1) =(0.4, 0.12, 0.5) :

Lp(M1, f) = 10 × log10

|p (M1, f)|2

p20

(A.73)

26

A.4. Optimisation des paramètres de simulation

A.4 Optimisation des paramètres de simulation

A.4.1 Optimisation des critères de convergence

A.4.1.1 Remarques préliminaires

Pour le code Plaqcav basé sur une approche modale, cette phase d’optimisation se réduità déterminer la valeur du critère de troncature modale α nécessaire pour obtenir une solutionconvergée de la réponse vibro-acoustique du système. Le déplacement de la plaque et la pressioninterne à la cavité sont calculés jusqu’à une pulsation maximale 2πfmax en sommant d’unepart la contribution de tous les modes de plaque in vacuo (m,n) et d’autre part la contributionde tous les modes de cavité rigide (q, r, s) jusqu’à ce que les pulsations ωmn et ωqrs des derniersmodes de plaque et de cavité pris en compte soient supérieures ou égales à α fois la pulsationmaximale ; les valeurs maximales correspondantes des couples d’indices (m,n) et (q, r, s) sontà indiquer dans le code.

Pour les codes basés sur une approche numérique FEM-FEM ou FEM-BEM, on chercheà la fois à déterminer le nombre de modes ainsi que le nombre d’éléments finis de plaque etde cavité nécessaires pour obtenir une solution convergée de la réponse vibro-acoustique dusystème. Sur ce second point, le critère classique utilisé en vibro-acoustique consiste à choisirle nombre d’éléments de plaque et de fluide de façon à ce que la longueur des éléments soitrespectivement bM et bN fois inférieure à la plus petite longueur d’onde. Ce critère peut setraduire dans la base des vecteurs d’onde par :

– Plaque :

λx,m =2πkx,m

=2Lx

m> bM × δMlx =⇒ nbMx =

Lx

δMlx>bM2m

λy,n =2πky,n

=2Ly

n> bM × δMly =⇒ nbMy =

Ly

δMly>bM2n

(A.74)

où nbMx et nbMy sont les nombres d’éléments de plaque respectivement suivant la directionx et y, δMlx et δMly sont les dimensions de l’élément suivant x et y.

– Cavité :

λx,q =2πkx,q

=2Lx

q> bN × δNlx =⇒ nbNx =

Lx

δNlx>bN2q

λy,r =2πky,r

=2Ly

r> bN × δNly =⇒ nbNy =

Ly

δNly>bN2r

λz,s =2πkz,s

=2Lz

s> bN × δNlz =⇒ nbNz =

Lz

δNlz>bN2s

(A.75)

27


où nbNx , nbNy et nbNz sont les nombres d’éléments de fluide respectivement suivant ladirection x, y et z, δNlx , δNly et δNlz sont les dimensions de l’élément suivant x, y et z.

En vibro-acoustique, bM et bN sont couramment pris égaux à 6 (pour des éléments finislinéaires).

A.4.1.2 Plaqcav

A.4.1.2.a Configuration de calcul

On considère la plaque excitée par une force ponctuelle d’amplitude F0 = 1 N placée aupoint M0 de coordonnées (x0, y0, z0) = (0.25, 0.18, 0).

Les calculs sont effectués pour un pas fréquentiel ∆f = 2Hz et une fréquence maximalefmax = 1000Hz.

Les valeurs du critère de troncature modale α étudiées sont : 1, 1.2, 1.5, 2. Les plus grandsmodes de plaque (m,n) et de cavité (q, r, s) pris en compte sont donnés dans le tableau A.2.

α (m,n) (q, r, s)1 (9,6) (3,2,4)

1.2 (10,7) (4,2,5)1.5 (12,8) (5,3,7)2 (14,6) (7,4,9)

Tab. A.2 – Plus grands modes de plaque (m,n) et de cavité (q, r, s) pris en compte en fonctionde la valeur du critère α.

A.4.1.2.b Résultats

La figure A.8 montre les spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne de la plaquecalculés pour les différentes valeurs du critère α étudiées. On peut observer que tous les spectresse confondent ; ainsi, pour la valeur la plus faible de α, le calcul de la réponse vibratoire de laplaque a déjà convergé.

La figure A.9 présente les spectres de niveau de pression quadratique moyenne dans lacavité calculés pour les différentes valeurs du critère α étudiées. Les spectres sont quasimentconfondus ; de même qu’auparavant, la variation du critère de troncature α dans l’intervalleétudié n’a pas d’influence sur l’allure du spectre.

La figure A.10 montre les spectres de niveau de pression au point M1 calculés pour lesdifférentes valeurs de α. En hautes fréquences ([850-1000] Hz), on peut observer que le spectrecorrespondant à α = 1 se différencie légèrement des autres spectres ; le calcul a donc toutjuste convergé. Pour s’assurer de la convergence du calcul de la pression acoustique en unpoint de la cavité, il semble ainsi prudent d’opter pour une valeur de α égale à 1.2. Qui plusest, l’emploi de cette valeur n’entraîne qu’une augmentation très légère du temps de calculCPU par rapport à l’emploi une valeur de α égale à 1 (Cf. figure A.11).

28


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100080

90

100

110

120

130

140

Fréquence (Hz)

α = 1

α = 1.2

α = 1.5

α = 2

Niv

eau

de v

itesse q

uad

rati

qu

e m

oy

en

ne (

dB

, réf.=

5x

10

-8 m

/s)

Fig. A.8 – Spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne de la plaque calculés pour lesdifférentes valeurs de α.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100060

70

80

90

100

110

120

130

140

Fréquence (Hz)

α = 1

α = 1.2

α = 1.5

α = 2

Niv

eau

de p

ressio

n q

uad

rati

qu

e m

oy

en

ne (

dB

, réf.=

2x

10

-5 P

a)

Fig. A.9 – Spectres de niveau de pression quadratique moyenne dans la cavité calculés pourles différentes valeurs de α.

29


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100040

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

Fréquence (Hz)

Niv

eau

de p

ressio

n (

dB

, réf.=

2x

10

-5 P

a)

α = 1

α = 1.2

α = 1.5

α = 2

Fig. A.10 – Spectres de niveau de pression au point intérieur à la cavité M1 calculés pour lesdifférentes valeurs de α.

0

100

200

300

400

500

1 1.2 1.5 2

Tem

ps d

e c

alc

ul

CP

U (

s)

α

Fig. A.11 – Temps de calcul CPU relatifs aux différentes valeurs de α testées sous Plaqcav.

30


A.4.1.2.c Discussion sur l’influence de la position de la force ponctuelle surla valeur optimale du critère de troncature modale

On cherche à s’assurer que la position de la force ponctuelle sur la plaque n’a pas d’influencesur le choix de la valeur du critère de troncature modale α. On s’intéresse plus particulièrementà une position excentrée de l’excitation mécanique — l’excitation est appliquée au point M0

de coordonnées (x0, y0, z0) = (0.12, 0.075, 0) — pour laquelle un nombre plus important demodes de plaque est excité [CHMD04].

Les figures A.12 et A.13 montrent les spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne dela plaque et de niveau de pression quadratique moyenne à l’intérieur de la cavité calculés pourles différentes valeurs du critère α étudiées. Pour ces deux indicateurs, on arrive aux mêmesconclusions que pour la position de l’excitation mécanique utilisée dans la section A.4.1.2.b.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100050

60

70

80

90

100

110

120

130

Fréquence (Hz)

α = 1

α = 1.2

α = 1.5

α = 2

Niv

eau

de v

itesse q

uad

rati

qu

e m

oy

en

ne (

dB

, réf.=

5x

10

-8 m

/s)

Fig. A.12 – Spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne de la plaque calculés pour lesdifférentes valeurs de α dans le cas d’une excitation mécanique excentrée.

Si on s’intéresse aux spectres de niveau de pression locale au point M1 (Cf. figure A.14),on retrouve en hautes fréquences de légères différences entre le spectre correspondant à α = 1et les autres spectres. On observe d’autre part que, sur l’ensemble du domaine fréquentiel,la variation du critère α entraîne des variations d’amplitude au niveau des anti-résonances ;les anti-résonnances sont plus marquées pour α = 1. Ces résultats viennent conforter le choixd’une valeur de α égale à 1.2.

31


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100060

70

80

90

100

110

120

130

Fréquence (Hz)

α = 1

α = 1.2

α = 1.5

α = 2

Niv

eau d

e p

ressio

n q

uadrati

que m

oyenne (

dB

, réf.=

2x

10

-5 P

a)

Fig. A.13 – Spectres de niveau de pression quadratique moyenne dans la cavité calculés pourles différentes valeurs de α dans le cas d’une excitation mécanique excentrée.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100030

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

Fréquence (Hz)

α = 1

α = 1.2

α = 1.5

α = 2

Niv

eau d

e p

ressio

n (

dB

, réf.=

2x

10

-5 P

a)

Fig. A.14 – Spectres de niveau de pression au point intérieur à la cavité M1 calculés pour lesdifférentes valeurs de α dans le cas d’une excitation mécanique excentrée.

32


A.4.1.2.d Synthèse

Pour obtenir un calcul convergé de la réponse vibro-acoustique du système plaque-cavitécouplé, il apparaît opportun de prendre le critère de troncature modale α égal à 1.2. Laposition de l’excitation mécanique ponctuelle sur la plaque n’a pas d’influence sur le choix decette valeur.

A.4.1.3 Sysnoise

A.4.1.3.a Approche FEM-FEM

Critère de troncature modale On considère la plaque excitée par une force ponctuelled’amplitude F0 = 1N placée au point M0 de coordonnées (x0, y0, z0) = (0.24, 0.20, 0). Lescalculs sont effectués pour un pas fréquentiel ∆f = 2Hz et une fréquence maximale fmax =1000Hz.

La plaque et la cavité sont discrétisées en éléments finis linéaires respectivement à 4 nœudset à 8 nœuds. Pour les deux sous-systèmes, on choisit un maillage correspondant à un critèrede convergence en λ

8 , supérieur à celui couramment utilisé, i.e. en λ6 (Cf. section A.4.1.1). Les

valeurs du critère de troncature modale α étudiées sont 1.2 et 1.5.Sur la figure A.15, on peut observer à partir de 350 − 400Hz un décalage fréquentiel du

spectre de niveau de vitesse quadratique correspondant à un critère α = 1.2 par rapport àcelui obtenu pour α = 1.5. D’autre part, des écarts assez importants apparaissent égalemententre les spectres de niveau de pression au point intérieur M1 et notamment dans le domainedes plus hautes fréquences ([700, 1000]Hz), où l’allure du spectre obtenu pour α = 1.2 sedémarque fortement de celle obtenue pour α = 1.5. Un critère de troncature modale égal à1.2 ne permet donc pas d’obtenir une solution convergée.

33


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100080

90

100

110

120

130

140

Fréquence (Hz)

α = 1.5

α = 1.2

Niv

eau

de v

itesse q

uad

rati

qu

e m

oy

en

ne (

dB

, réf.=

5x

10

-8 m

/s)

(a) Niveau de vitesse quadratique moyenne de la plaque.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100040

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

Fréquence (Hz)

α = 1.5

α = 1.2

Niv

eau

de p

ressio

n (

dB

, réf.=

2x

10

-5 P

a)

(b) Niveau de pression au point intérieur à la cavité M1.

Fig. A.15 – Comparaison des spectres calculés pour les deux valeurs du critère de troncaturemodale étudiées : 1.2 et 1.5. Les maillages de plaque et de cavité correspondent à un critèrede convergence en λ

8 . Approche FEM-FEM sous Sysnoise.

34


Critère de convergence sur le maillage On utilise un critère de troncature modaleégal à 1.5. On teste un critère de convergence en λ

8 à la fois pour le maillage de la plaque etde la cavité, puis un critère de convergence en λ

6 .On peut observer sur la figure A.16, à partir de 350 − 400Hz, que le spectre de niveau

de vitesse quadratique correspondant à un critère de convergence en λ6 se décale par rapport

à celui correspondant à un critère de convergence en λ8 . On remarque d’autre part entre les

spectres de niveau de pression des différences importantes, et ceci dès 400Hz. Un critère deconvergence en λ

6 n’est donc pas suffisant pour représenter correctement les déformées desmodes d’ordre élevé et ainsi assurer la convergence du calcul.

A.4.1.3.b Approche FEM-BEM indirecte

On considère toujours la plaque excitée par une force ponctuelle placée au point M0 decoordonnées (x0, y0, z0) = (0.24, 0.20, 0). Les calculs sont effectués pour un pas fréquentiel∆f = 2Hz et une fréquence maximale fmax = 1000Hz. Sur la base des résultats obtenus pourl’approche FEM-FEM, nous choisissons d’emblée un critère de troncature modale égal à 1.5.

Nous cherchons alors à déterminer la valeur optimale du critère de convergence sur lemaillage. On étudie à nouveau pour les maillages de la plaque et de la cavité les valeurs ducritère de convergence suivantes : λ

8 et λ6 .

A partir des spectres obtenus par cette approche FEM-BEM indirecte (Cf. figure A.17),on peut dresser les mêmes conclusions qu’à partir de ceux obtenus par l’approche FEM-FEM,à savoir qu’il faut retenir au final un critère de convergence au minimum en λ

8 .

A.4.1.3.c Synthèse

Sous Sysnoise, de manière générale, la méthode de résolution par superposition modalerequiert la sommation de la contribution de tous les modes jusqu’à ce que la pulsation dudernier mode pris en compte soit supérieure ou égale à 1.5 fois la pulsation maximale decalcul. D’autre part, les maillages de la plaque et de la cavité doivent répondre au minimum àun critère de convergence en λ

8 . Pour information, les temps de calcul CPU correspondant auxdifférents cas étudiés sont présentés sur les figures A.18 et A.19 ; la méthode FEM-FEM estnettement moins coûteuse en termes de temps de calcul que la méthode FEM-BEM Indirecte(Cf. figure A.19).

L’approche FEM-BEM directe n’a finalement pas fait l’objet d’une étude d’optimisation,les temps de calcul étant beaucoup trop longs (10 fréquences calculées en 15 heures).

35


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100080

90

100

110

120

130

140

Fréquence (Hz)

Maillage plaque et cavité en λ/8


Niv

eau

de v

itesse q

uad

rati

qu

e m

oy

en

ne (

dB

, réf.=

5x

10

-8 m

/s)


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100040

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

Fréquence (Hz)

Niv

eau d

e p

ressio

n (

dB

, réf.=

2x

10

-5 P

a)




Fig. A.16 – Comparaison des spectres calculés pour des maillages de plaque et de cavitécorrespondant à un critère de convergence respectivement en λ

8 et en λ6 . Approche FEM-FEM

sous Sysnoise.

36


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100090

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

Fréquence (Hz)

´



Niv

eau

de v

itesse q

uad

rati

qu

e m

oy

en

ne (

dB

, réf.=

5x

10

-8 m

/s)


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100030

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

Fréquence (Hz)



Niv

eau

de p

ressio

n (

dB

, réf.=

2x

10

-5 P

a)


Fig. A.17 – Comparaison des spectres calculés pour des maillages de plaque et de cavitécorrespondant à un critère de convergence respectivement en λ

8 et en λ6 . Approche FEM-BEM

indirecte sous Sysnoise.

37


0

50

100

150

200

250

300

Tem

ps d

e c

alc

ul

CP

U (

s)

α1.5 1.2

Fig. A.18 – Temps de calcul CPU relatifs à la variation du critère de troncature modale α sousSysnoise (méthode FEM-FEM seulement). Les maillages de plaque et de cavité correspondentà un critère de convergence en λ

8 .

38


0

50

100

150

200

250

300

Tem

ps d

e c

alc

ul

CP

U (

s)

λ/8 λ/6

Critère de convergence sur le maillage (plaque et cavité)

(a) Méthode FEM-FEM.

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

λ/8 λ/6

Critère de convergence sur le maillage (plaque et cavité)

Tem

ps d

e c

alc

ul

CP

U (

s)

(b) Méthode FEM-BEM Indirecte.

Fig. A.19 – Temps de calcul CPU relatifs à la variation du critère de convergence sur lemaillage de la plaque et de la cavité sous Sysnoise (méthodes FEM-FEM et FEM-BEMIndirecte). Le critère de troncature modale α est pris égal à 1.5.

39


A.4.1.4 Translp2

A.4.1.4.a Critère de troncature modale

Configuration de calcul On considère la plaque excitée par une onde plane acoustiqueoblique d’inclinaison (θ, φ) = (45, 30). Ce choix a été fait afin de faciliter la comparaison desrésultats obtenus pour les différents (et nombreux) cas testés sous Translp216.

Les calculs sont effectués pour un pas fréquentiel ∆f = 2Hz et une fréquence maximalefmax = 1000Hz. Les deux sous-systèmes sont discrétisés en éléments finis quadratiques (Quad8pour la plaque, Brick20 pour le fluide). On choisit un maillage pour la cavité et la plaquecorrespondant à un critère de convergence respectivement en λ

4 et λ6

17. Les valeurs du critèrede troncature modale étudiées sont : 1.2 et 1.5.

Résultats Sur la figure A.20, on peut observer une bonne concordance entre les deuxspectres de niveau de vitesse quadratique de la plaque. Les deux spectres de niveau de pressionau point M1 sont également assez semblables ; quelques légers écarts en amplitude sont visiblesau niveau des anti-résonances. Néanmoins, on peut retenir au final un critère de convergenceégal à 1.2, qui permettra de réduire notablement les temps de calcul CPU (Cf. figure A.23).

A.4.1.4.b Critère de convergence sur le maillage

Configuration de calcul On utilise la valeur optimale du critère de troncature modale,i.e. 1.2. On teste dans un premier temps les critères de convergence en λ

4 et λ3 pour le maillage

de la cavité, puis les critères en λ6 et λ

4 pour le maillage de la plaque.

Résultats La figure A.21 montre les spectres de niveau de vitesse quadratique moyennede la plaque et de niveau de pression au point intérieur M1 à la cavité calculés pour deuxmaillages de la cavité correspondant à un critère de convergence respectivement en λ

4 et enλ3 ; le maillage de la plaque reste inchangé et répond à un critère de convergence en λ

6 . Onpeut observer une très bonne concordance entre les spectres de niveau de vitesse quadratique.Cependant, pour un maillage en λ

3 , on remarque sur les spectres de niveau de pression desdifférences importantes dans le domaine des plus hautes fréquences ([500, 1000]Hz) par rap-port à un maillage en λ

4 ; pour un critère en λ3 , le calcul n’a apparemment pas convergé. On

conservera donc un critère de convergence en λ4 pour mailler la cavité par la suite.

La figure A.22 présente les spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne de la plaqueet de niveau de pression au point intérieur à la cavité M1 calculés pour deux maillages de laplaque correspondant à un critère de convergence respectivement en λ

6 et en λ4 ; le maillage de

16L’excitation mécanique ponctuelle nécessite d’être placée en un nœud du maillage de la plaque ; le nombred’éléments variant d’un cas à l’autre, il devient vite fastidieux et contraignant de vouloir trouver une positioncommune de la force pour tous les maillages que l’on veut tester.

17Avec ces tailles de maillage et un critère de troncature modale égal à 1.5, on atteint le nombre maximalde degrés de liberté pouvant être traités par Translp2 pour la configuration géométrique du problème étudié.

40


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100050

60

70

80

90

100

110

120

Fréquence (Hz)

α = 1.5

α = 1.2

Niv

eau

de v

itesse q

uad

rati

qu

e m

oy

en

ne (

dB

, réf.=

5x

10

-8 m

/s)


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100030

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

Fréquence (Hz)

α = 1.5

α = 1.2

Niv

eau

de p

ressio

n (

dB

, réf.=

2x

10

-5 P

a)


Fig. A.20 – Comparaison des spectres calculés pour les deux valeurs du critère de troncaturemodale étudiées : 1.2 et 1.5. Les maillages de plaque et de cavité correspondent à un critèrede convergence respectivement en λ

6 et λ4 .

41


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100050

60

70

80

90

100

110

120

Fréquence (Hz)Niv

eau d

e v

itesse q

uadrati

que m

oyenne (

dB

, réf.=

5x10

-8 m

/s)

Maillage cavité en λ/4



0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100020

40

60

80

100

120

140

Fréquence (Hz)



Niv

eau

de p

ressio

n (

dB

, réf.=

2x

10

-5 P

a)


Fig. A.21 – Comparaison des spectres calculés pour deux maillages différents de la cavitécorrespondant aux critères de convergence en λ

4 et λ3 . Le maillage de la plaque correspond à

un critère en λ6 .

42


la cavité correspond à un critère de convergence en λ4 . Sur les spectres de niveau de vitesse

quadratique, on observe pour un maillage de la plaque correspondant à un critère de conver-gence en λ

4 un décalage des pics de résonance à partir de 700Hz. Sur les spectres de niveaude pression, on relève également des différences notables entre les deux maillages étudiés dansle domaine de fréquences [720, 820]Hz. Pour ces raisons, on conservera pour le maillage de laplaque un critère de convergence en λ

6 .

A.4.1.4.c Synthèse

Le calcul de la réponse vibro-acoustique du système plaque-cavité couplé doit être réaliséavec les valeurs de critères suivantes :

– Critère de troncature modale : 1.2,

– Critère de convergence sur le maillage : λ6 pour la plaque, λ

4 pour la cavité.

Notons que les temps de calcul CPU relatifs aux différents cas étudiés sont présentés surla figure A.23.

43


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100050

60

70

80

90

100

110

120

Fréquence (Hz)Niv

eau

de v

itesse q

uad

rati

qu

e m

oy

en

ne (

dB

, réf.=

5x

10

-8 m

/s)

Maillage plaque en λ/6



0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100020

40

60

80

100

120

140

Fréquence (Hz)

Niv

eau d

e p

ressio

n (

dB

, réf.=

2x

10

-5 P

a)




Fig. A.22 – Comparaison des spectres calculés pour deux maillages différents de la plaquecorrespondant aux critères de convergence en λ

6 et λ4 . Le maillage de la cavité correspond à

un critère en λ4 .

44


0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

α1.5 1.2

Tem

ps d

e c

alc

ul

CP

U (

s)

(a) Variation du critère de troncature modale α. Les maillages deplaque et de cavité correspondent à un critère de convergence res-pectivement en λ

6et en λ

4.

λ/4

λ/3

0

500

1000

1500

2000

2500

Critère de convergence

sur le maillage de la cavité

Critère de convergence

sur le maillage

de la plaque

λ/4

λ/6

Tem

ps d

e c

alc

ul

CP

U (

s)

(b) Variation du critère de convergence sur le maillage de la plaque etde la cavité. Le critère de troncature modale α est pris égal à 1.2.

Fig. A.23 – Temps de calcul CPU relatifs aux différents cas étudiés sous Translp2.

45


A.4.2 Optimisation du pas fréquentiel de calcul

Cette étude a seulement été réalisée pour le code semi-analyique Plaqcav dont les tempsde calcul sont les plus faibles pour la configuration du problème traité.

On cherche à déterminer la valeur du pas fréquentiel de calcul ∆f qui permet de répondreà ces deux besoins :

– une bonne restitution des phénomènes régissant le comportement vibro-acoustique dusystème,

– des temps de calcul faibles.

A.4.2.1 Configuration de calcul

On considère la plaque excitée par une force ponctuelle d’amplitude F0 = 1 N placée aupoint M0 de coordonnées (x0, y0, z0) = (0.25, 0.18, 0). Les calculs sont effectués pour unefréquence maximale fmax = 2000Hz. Le critère de troncature modale est pris égal à 1.2 ; lesplus grands modes de plaque in vacuo et de cavité rigide pris en compte sont respectivement(m,n) = (15, 10) et (q, r, s) = (8, 5, 11). Les différentes valeurs du pas de calcul fréquentiel ∆fétudiées sont : 1, 2 et 5 Hz.

A.4.2.2 Résultats

L’analyse est effectuée à partir des spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne dela plaque et des spectres de niveau de pression locale au point intérieur M1.

On peut observer sur les figures A.24 et A.25 que l’effet du pas fréquentiel ∆f sur l’al-lure de la réponse vibro-acoustique du système couplé plaque-cavité est important en bassesfréquences. Pour un pas fréquentiel grossier ∆f = 5Hz, on relève par rapport à un pas fréquen-tiel plus fin de légers décalages fréquentiels et des différences d’amplitude assez importantesaux fréquences de résonance. Par exemple, sur les spectres de niveau de vitesse quadratiquemoyenne (Cf. figure A.24), on note pour les pics de résonance liés aux modes couplés contrôléspar la plaque S1, S2 et S4 des décalages fréquentiels de 1 à 2Hz mais surtout des écarts d’am-plitude de l’ordre de 15 dB. On retrouve des tendances similaires pour les pics de résonanceliés aux modes S1 et S4 figurant également sur les spectres de niveau de pression locale (Cf.figure A.25). Pour un pas fréquentiel égal à 2Hz, les différences par rapport à un pas fréquen-tiel plus fin sont moins marquées. On ne relève pas de phénomène de décalage fréquentiel despics de résonance ; des différences d’amplitude subsistent, elles sont moindres néanmoins : onpeut noter par exemple sur les spectres des deux indicateurs un écart de 4 dB pour le pic derésonance lié au mode S4.

On peut voir sur les figures A.26 et A.27 que l’effet du pas fréquentiel ∆f sur l’allure desspectres est minime en plus hautes fréquences, où les densités modales des deux sous-systèmes,et plus particulièrement celle de la cavité, sont grandes.

46


∆ f = 1Hz

∆ f = 2Hz

∆ f = 5Hz

S1

A1

S2S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

S11

S12

S13

S14

S16

S15

Mode couplé contrôlé par la cavité

Mode couplé contrôlé par la plaque

0 100 200 300 400 500 600

80

90

100

110

120

130

140

Fréquence (Hz)

Niv

eau d

e v

itesse q

uadrati

que m

oyenne (

dB

, réf.=

5x10

-8

m/s

)

Fig. A.24 – Spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne calculés pour les différentesvaleurs de ∆f . Zoom sur les basses fréquences [0, 600] Hz.

47


0 100 200 300 400 500 600

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

Fréquence (Hz)

∆ f = 1Hz

∆ f = 2Hz

∆ f = 5Hz

S1

S4

S7

S8

A1

S9

A2

A3

S14

S15

S16

S2



Niv

eau d

e p

ressio

n (

dB

, réf.=

2x

10

-5

Pa)

Fig. A.25 – Spectres de niveau de pression au point intérieur à la cavité M1 calculés pour lesdifférentes valeurs de ∆f . Zoom sur les basses fréquences [0, 600] Hz.

48


∆ f = 1Hz

∆ f = 2Hz

∆ f = 5Hz

600 800 1000 1200 1400 1600 1800

80

90

100

110

120

130

140

Fréquence (Hz)

Niv

eau

de v

itesse q

uad

rati

qu

e m

oy

en

ne (

dB

, réf.=

5x

10

-8

m/s

)

2000

Fig. A.26 – Spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne calculés pour les différentesvaleurs de ∆f . Zoom sur les plus hautes fréquences [600, 2000] Hz.

49


∆ f = 1Hz

∆ f = 2Hz

∆ f = 5Hz

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

Niv

eau d

e p

ressio

n (

dB

, réf.=

2x

10

-5

Pa)

600 800 1000 1200 1400 1600 1800

Fréquence (Hz)

2000

Fig. A.27 – Spectres de niveau de pression au point intérieur à la cavité M1 calculés pour lesdifférentes valeurs de ∆f . Zoom sur les plus hautes fréquences [600, 2000] Hz.

50


Les temps de calcul CPU correspondant aux différentes valeurs de ∆f sont donnés sur lafigure A.28.

0

1000

2000

3000

4000

5000

1 2 5

Tem

ps d

e c

alc

ul

CP

U (

s)

∆f (Hz)

Fig. A.28 – Temps de calcul CPU en fonction du pas fréquentiel ∆f .

Par rapport à ∆f = 1 Hz, le temps de calcul CPU est divisé par 2 pour ∆f = 2Hz, parplus de 4 pour ∆f = 5Hz.

A.4.2.3 Synthèse

D’un point de vue vibro-acoustique, un pas fréquentiel de calcul de 5 Hz n’est pas satis-faisant en basses et moyennes fréquences ; certes les temps de calcul sont très faibles, maiscette valeur ne permet pas de restituer correctement l’amplitude importante des premierspics de résonance en basses fréquences. Si on veut mettre en évidence les phénomènes liés aucomportement vibro-acoustique du système couplé, il paraît ainsi nécessaire de choisir un pasfréquentiel plus fin égal à 1 ou 2 Hz. Si l’on souhaite faire le choix de la rigueur, on opteraplutôt pour un pas fréquentiel égal à 1 Hz.

A.4.3 Augmentation de la fréquence maximale de calcul

A.4.3.1 Plaqcav

A.4.3.1.a Configuration de calcul

La force ponctuelle reste appliquée au pointM0 de coordonnées (x0, y0, z0) = (0.25, 0.18, 0).Le calcul est effectué avec un pas fréquentiel ∆f = 2Hz ; on augmente la fréquence maximale decalcul fmax à 5000Hz. Le critère de troncature modale est pris égal à 1.2 ; les plus grands modesde plaque in vacuo et de cavité rigide pris en compte sont respectivement (m,n) = (24, 16) et(q, r, s) = (21, 14, 28).

51


A.4.3.1.b Résultats

Les spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne et de niveau de pression au pointM1 sont présentés sur la figure A.29.

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 500080

90

100

110

120

130

140

Fréquence (Hz)

0

Niv

eau d

e v

itesse q

uadrati

que m

oyenne (

dB

, réf.=

5x10

-8 m

/s)

(a) Niveau de nitesse quadratique moyenne de la plaque.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 500020

40

60

80

100

120

140

Fréquence (Hz)

Niv

eau

de p

ressio

n (

dB

, réf.=

2x

10

-5 P

a)

(b) Niveau de pression au point intérieur M1.

Fig. A.29 – Spectres des différents indicateurs vibro-acoustiques calculés pour une fréquencemaximale de calcul fmax = 5000Hz.

52


La figure A.30 récapitule les temps de simulation relatifs aux 3 valeurs de fmax testées :1000, 2000 et 5000Hz. Le temps de calcul CPU croît de façon exponentielle avec fmax ; pour

1000 2000 5000

fmax (Hz)

0

101

102

103

104

105

106

Tem

ps d

e c

alc

ul

CP

U (

s)

Fig. A.30 – Temps de calcul CPU en fonction de la fréquence maximale fmax.

fmax = 5000Hz, le temps de calcul est considérable (384300 s, soit 4 j, 10 h et 45 min). Ladiminution des temps de calcul est indispensable si l’on veut calculer de manière répétitive laréponse vibro-acoustique du système pour des fréquences maximales de calcul élevées.

A.4.3.1.c Diminution des temps de calcul par une méthode de tri sélectif destermes de couplage

Hypothèses L’une des possibilités pour diminuer les temps de calcul est d’opérer unesélection sur les termes de couplage. La configuration de notre problème (plaque en aciercouplée à une cavité assez profonde) nous autorise à faire l’hypothèse d’un couplage faible, i.e.on peut se limiter à ne prendre en compte que les termes qui traduisent les principaux effetsdus au couplage vibro-acoustique (Cf. section 1.1), à savoir :

– l’effet de raideur acoustique ajoutée sur les premiers modes symétriques de plaque,

– le transfert énergétique important entre deux modes de plaque et de cavité fortementcouplés.

Concrètement, cette double sélection s’appuie respectivement sur les indicateurs adimen-sionnels suivants :

– le ratio de raideur ajoutée p [DGS77] :

p =ρ0c

2S2L20m

MmV ω2m

(A.76)

où Mm est la masse généralisée structurale, ωm est la pulsation propre du mode destructure ψm et L0m est le coefficient de couplage entre le mode rigide de cavité et le

53


mode de structure ψm.

– le facteur de transfert énergétique Fm,n [PB90] :

Fm,n =

[1 +

[(ωn − ωm)

2

]2 [ 1B(m,n)2

]]−1

(A.77)

où ωm et ωn sont respectivement les pulsations propres du mode de cavité Fn et du modede structure ψm et :

B(m,n) =[ρ0c

2V

MmMn

]1/2

Lnm (A.78)

où Mm et Mn sont respectivement la masse généralisée structurale et la masse généraliséeacoustique et Lnm est le coefficient de couplage entre le mode de cavité Fn et le modede structure ψm.

Au final, cette méthode de tri conduit donc à remplacer les termes de couplage non sé-lectionnés par des 0 dans les équations généralisées de la structure (A.47). La résolution dusystème d’équations généralisées est alors moins coûteuse en temps de calcul.

Validation Le calcul est mené pour fmax = 2000Hz et ∆f = 1Hz18. Sur la base desvaleurs calculées du ratio de raideur ajoutée p, on prend en compte les termes de couplageentre les trois premiers modes symétriques de plaque S1 (1,1), S4 (3,1) et S8 (1,3), et le moderigide de cavité A0 (0,0,0). On retient ensuite les termes de couplage entre les modes de plaqueet les modes de cavité pour lesquels le facteur de transfert énergétique Fm,n est supérieur ouégal à 0.219 ; parmi ces couples figure notamment le couple composé du mode de structure S8(1,3) et du mode de cavité A1 (0,0,1) pour lequel Fm,n est le plus élevé (Cf. section 1.1).

Les figures A.31 et A.32 présentent les spectres de niveau de vitesse quadratique moyennede la plaque et de niveau de pression au point intérieur M1 calculés pour un couplage complet,i.e. avec prise en compte de tous les termes de couplage, et pour un couplage “partiel”, i.e.avec sélection des termes de couplage définis ci-avant.

Pour comparaison, les spectres sont également tracés pour l’hypothèse de fluide léger20.Dans ce cas précis, on ne retrouve effectivement pas sur les spectres les principaux effets dûsau couplage vibro-acoustique : d’une part, on n’observe pas l’augmentation des fréquencespropres des premiers modes de plaque liée à l’effet de raideur acoustique (les premiers picsde résonance interviennent aux fréquences propres in vacuo de la plaque) ; d’autre part, onne retrouve pas le pic de résonance lié au mode de cavité longitudinal A1 (0,0,1), lequel est

18On choisit un pas fréquentiel égal à 1Hz pour une meilleure visualisation des phénomènes.19Critère jugé satisfaisant après essais.20Rappelons que, dans cette hypothèse, l’effet de la cavité sur la réponse de la plaque est négligé, i.e. tous

les termes de couplage sont nuls dans les équations généralisées de la structure (A.47).

54


S1

A1

S2S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

S11

S12

S13

S14

S16

S15



Couplage complet

Hypothèse de fluide léger

Méthode de tri sélectif

0 100 200 300 400 500 600

80

90

100

110

120

130

140

Fréquence (Hz)

Niv

eau d

e v

itesse q

uadrati

que m

oyenne (

dB

, réf.=

5x10

-8

m/s

)

Fig. A.31 – Comparaison des spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne obtenus pourun calcul complet, pour un calcul avec hypothèse de fluide léger et pour un calcul avec trisélectif des termes de couplage. Zoom sur les basses fréquences [0, 600] Hz.

55


Couplage complet

Hypothèse de fluide léger

Méthode de tri sélectif

S1

S4

S7

S8A1

S9

A2

A3

S14

S15

S16

S2



0 100 200 300 400 500 600

40

20

60

80

100

120

140

Fréquence (Hz)

Niv

eau d

e p

ressio

n (

dB

, réf.=

2x

10

-5

Pa)

Fig. A.32 – Comparaison des spectres de niveau de pression au point intérieur à la cavitéM1 obtenus pour un calcul complet, pour un calcul avec hypothèse de fluide léger et pour uncalcul avec tri sélectif des termes de couplage. Zoom sur les basses fréquences [0, 600] Hz.

56


fortement couplé avec le mode de plaque symétrique S8 (1,3) (i.e. on observe ainsi un picsingulier au lieu de deux pics normalement).

A contrario, on retrouve ces effets dûs au couplage vibro-acoustique sur les spectres calcu-lés avec la méthode de tri sélectif. Par rapport aux spectres obtenus pour un calcul complet,on observe néanmoins quelques petits écarts en amplitude au niveau des premiers pics de réso-nance (1.5 dB au plus pour le premier pic de résonance lié au mode S1, à 36Hz). Ces résultatssatisfaisants valident la méthode proposée. Intéressons-nous maintenant à ses répercussionssur les temps de calcul.

Comparaison des temps de calcul Pour fmax = 2000Hz et fmax = 5000Hz21, lestemps de calcul CPU correspondant à un calcul complet, à un calcul avec sélection des termesde couplage et à un calcul avec hypothèse de fluide léger sont présentés sur la figure A.3322.

Lorsque l’on utilise la méthode de tri sélectif, les temps de calcul sont divisés par aumoins 3 pour fmax = 2000Hz, par au moins 9 pour fmax = 5000Hz ; le gain de temps estainsi considérable. Pour fmax = 2000Hz, le temps de calcul correspondant à un calcul avecsélection des termes de couplage est sensiblement équivalent à celui correspondant à un calculavec hypothèse de fluide léger. Pour des valeurs de fmax élevées, on pourra donc à l’aide decette méthode prendre en compte les principaux effets liés au couplage sans rallonger les tempsde calcul.

A.4.3.1.d Synthèse

Pour des fréquences maximales de calcul élevées, les temps de calcul deviennent consi-dérables en raison du nombre important de degrés de liberté du problème. L’emploi d’uneméthode de sélection des termes de couplage permet de réduire significativement ces tempsde calcul.

A.4.3.2 Translp2

On utilise les valeurs optimales du critère de troncature modale et du critère de convergencesur le maillage définies dans la section A.4.1.4.c. On cherche à augmenter progressivement lafréquence maximale de calcul. La première valeur testée est fmax = 1500Hz. Le calcul eststoppé à l’étape de calcul des modes de propres de la cavité ; le nombre de degrés de libertéest trop important pour Translp2.

21Pour ces 2 valeurs de fmax, ∆f = 2 Hz.22Pour fmax = 5000Hz, le calcul avec hypothèse de fluide léger n’a pu être effectué.

57


0

500

1000

1500

2000

2500

Calcul complet Calcul avec méthode de

tri sélectif

Calcul avec hypothèse

fluide léger

Tem

ps d

e c

alc

ul

CP

U (

s)

(a) fmax = 2000Hz.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Calcul complet Calcul avec méthode de tri sélectif

x 104

Tem

ps d

e c

alc

ul

CP

U (

s)

(b) fmax = 5000Hz.

Fig. A.33 – Temps de calcul CPU pour les différents cas testés avec Plaqcav.

58


A.4.4 Conclusions et perspectives

Nous avons déterminé dans un premier temps les valeurs optimales des critères de conver-gence propres à chaque code.

Nous avons pu voir que, pour obtenir une représentation correcte des phénomènes liés aucouplage vibro-acoustique, un pas fréquentiel de calcul assez fin (1 ou 2 Hz) est nécessaire.

Enfin, nous avons cherché à accroître, lorsque cela était possible, l’étendue de l’informationfréquentielle en augmentant la fréquence maximale de calcul. Les codes numériques montrentvite certaines limites. Concernant Plaqcav, nous avons pu observer que les temps de calculcroissent de manière exponentielle avec fmax ; nous avons pu montrer qu’ils peuvent êtrenotablement réduits en utilisant une méthode de tri des termes de couplage.

Nous avons jusqu’à maintenant considéré le problème d’optimisation uniquement d’unpoint de vue vibro-acoustique ; il faut aussi prendre en compte la dimension perceptive duproblème, qui a toute son importance dans le choix définitif des valeurs des différents para-mètres de simulation. D’un point de vue perceptif, on doit en effet s’assurer que i) soit cechoix n’a pas d’influence sur la perception auditive d’un quelconque son rayonné par la plaquedans la cavité, ii) soit ce choix n’introduit pas un biais dans les tendances dégagées quant àl’influence des paramètres géométriques et mécaniques du système sur la perception des sonsrayonnés par la plaque dans la cavité.

59


A.5 Comparaison des réponses vibro-acoustiques calculées parles différents outils

A.5.1 Définition du cas test

On considère la plaque excitée par une force ponctuelle d’amplitude F0 = 1 N placée aupoint M0 de coordonnées (x0, y0, z0) = (0.24, 0.20, 0). Les calculs sont effectués avec un pasfréquentiel ∆f = 2Hz et une fréquence maximale fmax = 1000Hz. On utilise pour chaquecode les valeurs optimales des critères de convergence définies dans la section A.4.

On confronte les résultats obtenus dans les cas suivants : Plaqcav, Sysnoise FEM-FEM,Sysnoise FEM-BEM indirecte, Translp2.

A.5.2 Confrontation des résultats

A.5.2.1 Fréquences propres des sous-systèmes découplés et du système couplé

Les valeurs des fréquences propres des sous-systèmes découplés calculées par Sysnoise etTranslp2 sont comparées à leurs valeurs théoriques (calculées par Plaqcav) dans le tableauA.3.

L’utilisation d’éléments finis quadratiques permet une meilleure approximation de ces fré-quences : sur les fréquences propres in vacuo de la plaque, l’erreur maximale commise est de0.18% pour Translp2 contre 5.72% pour Sysnoise ; sur les fréquences propres de la cavitérigide, l’erreur maximale commise est de 0.16% contre 2.44%.

Pour information, les fréquences propres couplées du système calculées par Sysnoise23

sont données dans le tableau A.4.On retrouve comme prévu un décalage important (9.51%) de la fréquence propre du premier

mode couplé C1 par rapport à la fréquence propre du mode de plaque in vacuo S1 (1,1) etune modification légère des fréquences propres des modes couplés C8 (0.47%) et C9 (0.98%)par rapport aux fréquences propres du mode de cavité rigide A1 (0,0,1) et du mode de plaquein vacuo S8 (1,3), auxquels ils sont respectivement liés.

A.5.2.2 Indicateurs de la réponse vibro-acoustique

La figure A.34 montre les spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne. Sur le gra-phique, sont identifiés les premiers pics de résonance correspondant au calcul semi-analytique(Plaqcav). On observe une bonne adéquation entre les spectres calculés par Plaqcav etTranslp2 (seuls quelques légers écarts en amplitude apparaissent au niveau des anti-résonances).Cependant, les spectres fournis par Sysnoise (FEM-FEM et FEM-BEM indirecte) se différen-cient nettement des deux premiers spectres : un décalage fréquentiel se produit dès les bassesfréquences (vers 350 Hz), il devient très important en plus hautes fréquences. On peut observer

23Par résolution du problème d’oscillations libres.

60

A.5. Comparaison des réponses vibro-acoustiques calculées par les différents outils

Valeur (Hz)Ecart Théorie

(%) Valeur (Hz)Ecart Théorie

(%)

S1 1 1 32,67 32,70 0,10 32,64 0,11

S2 2 1 62,83 62,95 0,19 62,75 0,13

S3 1 2 100,53 101,07 0,54 100,47 0,06

S4 3 1 113,10 113,68 0,52 112,99 0,10

S5 2 2 130,69 131,25 0,43 130,53 0,13

S6 3 2 180,96 181,87 0,51 180,69 0,15

S7 4 1 183,47 185,36 1,03 183,34 0,07

S8 1 3 213,63 216,44 1,32 213,54 0,04

S9 2 3 243,79 246,52 1,12 243,56 0,10

S10 4 2 251,33 253,39 0,82 250,97 0,15

S11 5 1 273,95 278,64 1,71 273,79 0,06

S12 3 3 294,06 296,97 0,99 293,64 0,14

S13 5 2 341,81 346,48 1,37 341,36 0,13

S14 4 3 364,43 368,24 1,05 363,83 0,16

S15 1 4 371,97 381,00 2,43 371,81 0,04

S16 6 1 384,53 394,41 2,57 384,34 0,05

S17 2 4 402,13 410,94 2,19 401,81 0,08

S18 3 4 452,39 461,00 1,90 451,84 0,12

S19 6 2 452,39 461,15 1,93 451,88 0,11

S20 5 3 454,91 462,02 1,56 454,14 0,17

S21 7 1 515,23 532,08 3,27 515,03 0,04

S22 4 4 522,77 533,78 2,11 521,95 0,16

S23 6 3 565,49 576,14 1,88 564,58 0,16

S24 1 5 575,55 597,93 3,89 575,32 0,04

S25 7 2 583,09 601,09 3,09 582,53 0,10

S26 2 5 605,71 624,39 3,09 605,30 0,07

S27 5 4 613,25 627,69 2,36 612,17 0,18

S28 3 5 655,97 677,58 3,29 655,29 0,10

S29 8 1 666,02 698,08 4,81 665,89 0,02

S30 7 3 696,18 714,73 2,66 695,17 0,15

S31 6 4 723,83 738,96 2,09 722,53 0,18

S32 4 5 726,34 748,07 2,99 725,34 0,14

S33 8 2 733,88 765,06 4,25 733,36 0,07

S34 5 5 816,82 839,81 2,81 815,50 0,16

S35 1 6 824,36 871,52 5,72 824,15 0,03

S36 9 1 836,93 876,88 4,77 837,00 0,01

S37 8 3 846,98 878,13 3,68 845,96 0,12

S38 2 6 854,52 888,95 4,03 853,08 0,17

S39 7 4 854,52 901,05 5,44 854,11 0,05

S40 3 6 904,79 950,56 5,06 904,06 0,08

S41 9 2 904,79 953,65 5,40 904,44 0,04

S42 6 5 927,41 955,54 3,03 925,83 0,17

S43 4 6 975,16 1020,50 4,65 974,08 0,11

S44 8 4 1005,32 1039,48 3,40 1003,88 0,14

N° Mode

Modes de plaque in vacuo Fréquences propres f mn

Valeur théorique

(Hz)

Sysnoise Translp2

m n

(a) Fréquences propres de la plaque in vacuo.

Tab. A.3 – Fréquences propres des sous-systèmes découplés.

61


Valeur (Hz)Ecart Théorie

(%)Valeur (Hz)

Ecart Théorie

(%)

A0 0 0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

A1 0 0 1 212,50 212,72 0,10 212,50 0,00

A2 1 0 0 283,33 283,62 0,10 283,34 0,00

A3 1 0 1 354,17 354,53 0,10 354,17 0,00

A4 0 1 0 425,00 426,75 0,41 425,02 0,01

A5 0 0 2 425,00 427,74 0,64 425,05 0,01

A6 0 1 1 475,16 477,71 0,54 475,19 0,00

A7 1 1 0 510,79 512,40 0,32 510,81 0,00

A8 1 0 2 510,79 513,23 0,48 510,83 0,01

A9 1 1 1 553,23 555,56 0,42 553,25 0,00

A10 2 0 0 566,67 569,00 0,41 566,81 0,03

A11 0 1 2 601,04 604,21 0,53 601,09 0,01

A12 2 0 1 605,20 607,46 0,37 605,34 0,02

A13 0 0 3 637,50 643,41 0,93 637,83 0,05

A14 1 1 2 664,48 667,47 0,45 664,52 0,01

A15 1 0 3 697,63 703,15 0,79 697,94 0,04

A16 2 1 0 708,33 711,25 0,41 708,47 0,02

A17 2 0 2 708,33 711,84 0,50 708,48 0,02

A18 2 1 1 739,52 742,95 0,46 739,65 0,02

A19 0 1 3 766,18 772,62 0,84 766,48 0,04

A20 1 1 3 816,89 823,03 0,75 817,17 0,03

A21 2 1 2 826,05 829,96 0,47 826,19 0,02

A22 3 0 0 850,00 857,89 0,93 850,67 0,08

A23 0 2 0 850,00 858,92 1,05 851,06 0,12

A24 0 0 4 850,00 864,04 1,65 851,36 0,16

A25 2 0 3 852,95 871,98 2,23 853,32 0,04

A26 3 0 1 876,16 883,86 0,88 876,81 0,07

A27 0 2 1 876,16 897,55 2,44 877,19 0,12

A28 1 2 0 895,98 909,40 1,50 896,62 0,07

A29 1 0 4 895,98 916,95 2,34 897,28 0,14

A30 1 2 1 920,83 941,30 2,22 921,46 0,07

A31 3 1 0 950,33 958,17 0,82 950,97 0,07

A32 3 0 2 950,33 958,61 0,87 951,30 0,10

A33 0 2 2 950,33 959,53 0,97 951,32 0,10

A34 0 1 4 950,33 964,12 1,45 951,58 0,13

A35 2 1 3 952,97 970,81 1,87 953,32 0,04

A36 3 1 1 973,80 981,92 0,83 974,75 0,10

A37 1 2 2 991,67 1004,97 1,34 992,28 0,06

A38 1 1 4 991,67 1011,39 1,99 992,87 0,12

A39 2 2 0 1021,57 1034,57 1,27 1022,25 0,07

A40 2 0 4 1021,57 1041,21 1,92 1022,86 0,13

Fréquences propres fqrsModes propres de la cavité rigide

N° Mode q r s

Sysnoise Translp2Valeur théorique

(Hz)

(b) Fréquences propres de la cavité rigide.

Tab. A.3 – Fréquences propres des sous-systèmes découplés. (suite et fin)

62


Modes acoustiques et

structuraux découplés

Fréquence

découplée (Hz)Modes couplés

Fréquence

couplée

Influence

couplage (%)

A0 0,00 C0 0,00 0,00

S1 32,70 C1 35,81 9,51

S2 62,95 C2 62,62 0,53

S3 101,07 C3 100,77 0,30

S4 113,68 C4 113,48 0,18

S5 131,25 C5 130,98 0,21

S6 181,87 C6 181,65 0,12

S7 185,36 C7 185,04 0,17

A1 212,72 C8 211,71 0,47

S8 216,44 C9 218,57 0,98

S9 246,52 C10 246,18 0,14

S10 253,39 C11 253,20 0,08

S11 278,64 C12 278,57 0,02

A2 283,62 C13 284,20 0,20

S12 296,97 C14 296,82 0,05

S13 346,48 C15 346,37 0,03

A3 354,53 C16 355,11 0,16

S14 368,24 C17 368,29 0,01

S15 381,00 C18 380,72 0,07

S16 394,41 C19 394,46 0,01

S17 410,94 C20 410,78 0,04

A4 426,75 C21 427,46 0,17

A5 427,74 C22 428,12 0,09

S18 461,00 C23 460,96 0,01

S19 461,15 C24 461,02 0,03

S20 462,02 C25 461,86 0,03

A6 477,71 C26 478,40 0,14

A7 512,40 C27 512,97 0,11

A8 513,23 C28 513,48 0,05

S21 532,08 C29 532,01 0,01

S22 533,78 C30 533,59 0,04

A9 555,56 C31 556,12 0,10

A10 569,00 C32 569,30 0,05

S23 576,14 C33 576,11 0,00

S24 597,93 C34 597,82 0,02

S25 601,09 C35 600,75 0,06

Tab. A.4 – Fréquences propres couplées calculées par Sysnoise.

63


par ailleurs la présence incongrue de pics de résonance liés à des modes de structure d’indicen pair (par exemple le mode S3 (1, 2) à 100Hz ou le mode S6 (3, 2) à 180 Hz) alors que leurforce généralisée est théoriquement nulle (excitation sur un nœud).

La figure A.35 présente les spectres de niveau de pression au point M1 intérieur à lacavité fournis par les différentes approches. En basses fréquences, les spectres sont relativementproches ; on peut tout de même relever des différences d’amplitude au niveau de plusieurspics de résonance (liés au modes S8 (1,3) et A2 (1,0,0) par exemple). Cependant, à partirde 400 Hz environ, les spectres calculés avec Sysnoise (FEM-FEM et FEM-BEM indirecte)se démarquent nettement des spectres obtenus pour Plaqcav et Translp2. Entre ces deuxderniers, des divergences apparaissent seulement au niveau d’une anti-résonance vers 700 Hzet dans le domaine des plus hautes fréquences [900, 1000] Hz.

S1

A1

S2

S4S6

S7

S8

S9S12

S14S16

Mode résonant d'origine Acoustique

Mode résonant d'origine Structurale

Plaqcav

Sysnoise FEM-FEM

Sysnoise FEM-BEM indirecte

Translp2

0 100 200 300 400 500 600

Fréquence (Hz)

700 800 900 1000

80

90

100

110

120

130

140

Niv

eau d

e v

itesse q

uadrati

que m

oyenne (

dB

, réf.=

5x10

-8

m/s

)

Fig. A.34 – Spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne de la plaque calculés pour lesdifférentes approches.

64


Plaqcav

Sysnoise FEM-FEM

Sysnoise FEM-BEM indirecte Translp2

S1

A1

S2

S4

S6

S7

S8

S9

S12

S14

S16

Mode résonant d'origine Acoustique

Mode résonant d'origine Structurale

A2A3

0 100 200 300 400 500 600

40

20

60

80

100

120

140

Fréquence (Hz)

Niv

eau d

e p

ressio

n (

dB

, réf.=

2x

10

-5

Pa)

700 800 900 1000

Fig. A.35 – Spectres de niveau de pression au point intérieur M1 calculés pour les différentesapproches.

65


A.5.3 Discussion

Nous avons pu constater que les spectres fournis par Sysnoise diffèrent fortement desautres spectres, ce qui était prévisible à la vue des écarts entre les fréquences propres calculéespar Sysnoise et les fréquences propres théoriques.

Aussi, il est fortement probable que le maillage en éléments finis linéaires, et le type defonction d’interpolation associé, soit à l’origine des différences observées. Il faudrait doncutiliser des éléments quadratiques dans Sysnoise pour obtenir des résultats plus fiables. Lelogiciel ne permettant pas de manier directement ce type d’éléments, les maillages de la cavitéet de la plaque doivent être réalisés sous IDEAS © M.T.S.. Ce dernier propose les élémentsfinis quadratiques. Ces maillages doivent être ensuite importés dans Sysnoise afin de lancerle calcul de la réponse vibro-acoustique du système plaque-cavité avec ce type de maillage.

A.5.4 Compléments

A la suite des observations faites ci-dessus, on procède à la modélisation par éléments finisquadratiques du système plaque-cavité sous IDEAS. Les maillages de la plaque et de la cavitésont identiques aux maillages optimaux définis sous Translp2, i.e. le maillage de la plaquerépond à un critère de convergence en λ

6 , celui de la cavité à un critère en λ4 . La réponse

vibro-acoustique du système est ensuite calculée sous Sysnoise.Sur la figure A.36 sont comparés les spectres de niveau de vitesse quadratique de la plaque

calculés sous Plaqcav, Sysnoise (éléments quadratiques) et Translp2. Cette fois-ci, le spectrecalculé sous Sysnoise concorde avec les deux autres spectres ; l’important décalage fréquentielrelevé auparavant pour une modélisation par éléments finis linéaires a été éliminé.

La figure A.37 compare les spectres de niveau de pression au point M1 calculés suivant lesdifférentes approches. On peut observer que les spectres obtenus par les 2 codes numériquesSysnoise et Translp2 sont quasi-identiques. Ce constat supplémentaire permet de valider ladémarche de calcul alliant modélisation par éléments finis quadratiques sous IDEAS et calculvibro-acoustique sous Sysnoise.

66


Plaqcav

Sysnoise FEM-FEM Elts quadratiques

Translp2

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Fréquence (Hz)

80

90

100

110

120

130

140

Niv

eau d

e v

itesse q

uadrati

que m

oyenne

(dB

, réf.=

5x10

-8 m

/s)

Fig. A.36 – Spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne de la plaque calculés pour lesdifférentes approches.

Plaqcav

Sysnoise FEM-FEM Elts quadratiques

Translp2

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

40

20

60

80

100

120

140

Fréquence (Hz)

Niv

eau d

e p

ressio

n (

dB

, réf.=

2x

10

-5 P

a)

Fig. A.37 – Spectres de niveau de pression au point intérieur M1 calculés pour les différentesapproches.

67


68

Annexe B

Mesure du coefficient d’absorption acoustiqueen incidence normale

Le coefficient d’absorption en incidence normale αθ=0 des deux matériaux utilisés lors del’expérimentation (i.e. mousse réticulée et moquette synthétique, Cf. section 4.2.1) est mesuréau tube d’impédance ; la méthode adoptée est la méthode du doublet microphonique, adaptéede la norme ISO 10534-2 [ISO01]. Le principe de la mesure et le protocole expérimental utilisésont respectivement présentés dans les sections B.1 et B.2 ; cette présentation est largementinspirée des références [Oln99, Tea07]. Les résultats de la mesure réalisée sur les deux matériauxsont exposés dans la section B.3.

B.1 Principe de la mesure

Le principe de la mesure de αθ=0 au tube d’impédance est illustré au travers de la figureB.1.

Haut-Parleur

fond rigide

Paroi de

Microphones

Onde (1)

de matériau

Echantillon

Onde (2)

x=0x=L

A B

d l

x

Fig. B.1 – Schéma illustratif du principe de mesure de αθ=0 au tube d’impédance.

Un échantillon de matériau est placé à une extrémité, rigide, du tube ; l’abscisse du plandéfini par la surface du matériau est prise comme origine de l’axe de symétrie x du tube(abscisse x = 0 sur la figure B.1). Le système est excité par un Signal sinusoïdal Pseudo-

69

Annexe B. Mesure du coefficient d’absorption acoustique en incidence normale

Aléatoire (SPA)1, émis par un haut-parleur placé à l’autre extrémité du tube (abscisse x = L

sur la figure B.1). En supposant une dépendance temporelle en ej2πft, le champ de pressionrésultant de la superposition de l’onde plane incidente (1) et de l’onde plane réfléchie (2)s’écrit :

P (x, f) = P1(x, f) + P2(x, f) = C(ejkx + Re−jkx

)(B.1)

où C est l’amplitude complexe de l’onde incidente, k est le nombre d’onde et R le coefficientde réflexion du matériau.

Le coefficient de réflexion R peut être déterminé en résolvant le système d’équations consti-tué à partir de la connaissance du champ de pression en deux points de mesure A et B (Cf.figure B.1) :

P (d+ l, f) = C(ejk(d+l) + Re−jk(d+l)

)= PA(f)

P (l, f) = C(ejkl + Re−jkl

)= PB(f)

(B.2)

où d est la distance qui sépare les points A et B, l est la distance qui sépare le point B dela surface du matériau (d’abscisse x = 0), et PA(f) et PB(f) sont les pressions mesurées auxpoints A et B.

Si le système est inversible, le coefficient de réflexion R peut être exprimé comme suit :

R(f) =HAB(f) − e−jkd

ejkd − HAB(f)e2jk(d+l) (B.3)

où HAB(f) est la fonction de transfert entre les pressions mesurées aux points A et B définiepar :

HAB(f) =PB(f)PA(f)

(B.4)

Finalement, le coefficient d’absorption en incidence normale αθ=0 du matériau est déter-miné à partir de la connaissance de son coefficient de réflexion R, comme suit :

αθ=0(f) = 1 − |R(f)|2 (B.5)

B.2 Protocole expérimental

La mesure est réalisée au tube d’impédance de diamètre 46 mm de l’ENTPE (Cf. figureB.2) ; l’utilisation de ce dispositif permet de mesurer le coefficient d’absorption acoustiqueαθ=0 dans l’intervalle de fréquences [100, 4200] Hz. Des microphones 1/4” B&K 4187 sontutilisés pour l’acquisition des signaux sonores.

L’échantillon à tester est découpé de telle sorte qu’il n’y ait pas de vide d’air au niveaudes jointures avec la paroi latérale du tube ; il est aussi prêté attention à ce que l’échantillonsoit bien apposé contre la paroi de fond rigide (pas de plénum).

1Le SPA est un bruit à large bande, consistant en une superposition de signaux sinusoïdaux auxquels il estaffecté une phase choisie aléatoirement.

70

B.3. Résultats

Fig. B.2 – Tube d’impédance de diamètre 46 mm de l’ENTPE.

Les différentes étapes du protocole expérimental (i.e. génération du SPA par le haut-parleur, calibration des microphones, acquisition des signaux acoustiques aux points A et B,détermination du coefficient d’absorption) sont pilotées automatiquement par un programmedéveloppé par Olny [Oln99] sous Labview © National instruments.

B.3 Résultats

Les figures B.3(a) et (b) présentent les courbes d’évolution du coefficient d’absorptionacoustique αθ=0 en fonction de la fréquence (en tiers d’octave) respectivement mesurées pourla mousse réticulée d’épaisseur 2 cm et la moquette synthétique d’épaisseur 5 mm2.

Étant donné son épaisseur, assez faible, la mousse présente globalement un bon coefficientd’absorption (Cf. figure B.3(a)) ; la courbe obtenue est typique du comportement en absorptiond’une mousse réticulée avec une forte porosité et une faible résistivité au passage de l’air,pour laquelle la dissipation de l’énergie acoustique est principalement due aux effets visco-thermiques [All93].

Concernant la moquette (Cf. figure B.3(b)), le coefficient d’absorption reste globalementfaible ; il ne dépasse pas 0.15 (à 100 Hz).

2La courbe mesurée pour la moquette synthétique d’épaisseur 5 mm est tirée de la référence [Goe04].

71

Annexe B. Mesure du coefficient d’absorption acoustique en incidence normale

100

125

160

200

250

315

400

500

630

800

1000

1250

1600

2000

2500

3150

4000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fréquence (Hz)

αθ

=0

° (

s.u

.)

0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

(a) Mousse réticulée d’épaisseur 2 cm.

100

125

160

200

250

315

400

500

630

800

1000

1250

1600

2000

2500

3150

4000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fréquence (Hz)

αθ

=0° (

s.u

.)

0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

(b) Moquette synthétique d’épaisseur 5 mm (tirée de la référence[Goe04]).

Fig. B.3 – Courbes d’évolution du coefficient d’absorption acoustique αθ=0 en fonction de lafréquence (en tiers d’octave).

72

Annexe C

Compléments relatifs à l’analyse des effets dela variation des paramètres structuraux sur laréponse vibro-acoustique du systèmeplaque-cavité

C.1 Paramétrages utilisés pour le calcul de la STFT

Sous le logiciel PSV-400 © Polytec, la STFT d’un signal temporel enregistré avec levibromètre laser est calculée avec le paramétrage suivant :

• Fenêtre temporelle :– Type : Hanning,– Longueur : 8192 points (soit 640 ms pour une fréquence d’échantillonnage égale à

12800 Hz),– Recouvrement temporel (“Overlap”) : 75%,

• Taille de la Transformée de Fourier Rapide — Fast Fourier Transform en anglais (FFT)—: 8192 points (soit un pas fréquentiel de calcul égal à 1.56 Hz, pour une fréquenced’échantillonnage égale à 12800 Hz).

Sous le logiciel dBSonic © Cortex Instruments - 01dB Metravib Technologies [Cor04],la STFT d’un échantillon sonore est calculée avec le paramétrage suivant :

• Fenêtre temporelle :– Type : Hanning,– Longueur : 16384 points (soit 371.5 ms pour une fréquence d’échantillonnage égale à

44100 Hz),– Recouvrement temporel (“Overlap”) : 75%,

• Taille de la FFT : 65536 points (soit un pas fréquentiel de calcul égal à 0.67 Hz, pourune fréquence d’échantillonnage égale à 44100 Hz).

73

Annexe C. Compléments relatifs à l’analyse des effets de la variation des paramètres structuraux surla réponse vibro-acoustique du système plaque-cavité

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 104

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Fréquence (Hz)

Niv

eau d

e p

ressio

n (

dB

, réf.=

2x

10

-5 P

a)

Fig. C.1 – Spectre de niveau de pression mesuré au point M2 pour le stimulus K1 ([0, 20000]Hz).

74

C.2. Éléments d’analyse modale

C.2 Éléments d’analyse modale

N° Mode m n A(1,1,1) B(1,2,2) C(1,3,3) D(2,3,1) E(2,1,2) F(2,2,3) G(3,2,1) H(3,3,2) I(3,1,3)

S1 1 1 50,63 50,63 48,75 55,63 60,63 62,50 71,25 71,88 73,75

S2 2 1 85,00 84,38 82,50 99,38 108,75 111,88 128,13 131,25 135,63

S3 1 2 101,88 103,13 100,00 112,50 114,38 115,00 161,88 161,25 161,88

133,75 ? 131,88 ? 160,00 ?

135,63 ? 133,13 ? 161,25 ?

S5 3 1 142,50 140,00 139,38 165,63 175,63 183,13 225,63 228,75 235,00

184,38 ?

185,63 ?

228,13 ? 318,75 ?

229,38 ? 320,00 ?

213,13 ? 210,63 ?

214,38 ? 212,50 ?

S9 4 1 219,38 219,00 216,25 254,38 264,38 272,50 - 361,25 370,00

433,13 ? 439,38 ?

443,13 ? 453,13 ?

454,38 ? 457,50 ?

309,38 ? 443,13 ? 457,50 ?

321,25 ? 454,38 ? 467,50 ?

290,00 ?

293,75 ?

361,88 ? 387,50 ?

373,13 ? 400,00 ?

373,13 ? 370,63 ?

388,13 ? 387,50 ?

388,13 ? 580,00 ?

400,00 ? 598,63 ?

426,25 ? 604,38 ?

426,25 ? 426,88 ? 616,25 ? 617,50 ?

432,50 ? 433,13 ? 636,25 ? 639,38 ?

374,00 ? 373,75 ? 371,88 ? 432,50 ? 636,25 ?

396,88 ? 399,38 ? 398,13 ? 448,75 ? 660,00 ?

481,25 ?

493,13 ?

498,13 ?

S19 6 1 431,88 426,25 430,63 503,13 520,00 531,88 - 735,63 744,38

503,13 ?

517,50 ?

526,88 ?

758,13 ? 761,25 ? 764,80 ?

775,63 ? 780,00 ? 782,50 ?

S22 2 5 458,75 460,63 456,88 536,88 543,75 539,00 - - -

472,50 ? 561,25 ? 564,38 ? 573,75 ? 826,25 ?

488,75 ? 587,50 ? 590,00 ? 581,88 ? 828,75 ?

590,00 ? 594,38 ?

615,00 ? 620,00 ?

631,25 ? 636,25 ? 646,25 ?

641,88 ? 644,38 ? 649,38 ?

650,00 ? 646,25 ? 650,63 ?

951,88544,00 ?

550,00 ?

536,25 ?

540,00 ?

520,00525,00

935,63 944,38

861,88858,75859,38612,60

478,00 475,00 823,75 824,38

526,88454,38449,38

476,63 ?

491,25 ?

761,25 764,38

--

531,82 ?

543,75 ?443,13 440,63 536,25 758,13

725,63 721,25 726,88

438,00 456,88 639,38 643,75

491,25 ?

496,25 ?

393,13

406,25

400,00 ?

427,50 ?

432,50 424,38

442,00 613,75

582,50573,13

321,25324,00

354,38 353,13

342,50343,00

305,00 309,38 443,13

547,50545,00541,25-

-

256,88 ?

268,75 ?256,90 310,00

286,88

453,13315,63318,75267,50

487,50331,00329,38328,13

527,50 532,50

484,38481,88

318,13 316,25 382,50 520,63

232,50223,13190,00192,50

359,38 358,75 358,13

319,38317,50

216,85 248,75 251,88 254,38

156,88136,88

299,38299,38301,25206,25205,63 206,25179,38

53S24

26S23

45S25

42S14

25S16

34S15

51S18

43S17

44S21

35S20

Modes propres Fréquences propres fmn

S4 2 2 223,13223,13219,38162,50

S6 1 3

S7 3 2

S8 2 3

S10 4 2

S11 33

328,75

319,3815S13

41S12

522,50

191,26

540,00

453,75

343,75

427,50

357,50

271,25

183,13

253,75

286,88

448,13

Tab. C.1 – Caractéristiques — indices (m,n) et fréquences propres fmn — des modes couplésd’origine structurale pour les configurations A à I (entre parenthèses, sont rappelées respec-tivement les modalités des facteurs α, β et γ). Un tiret (-) indique un mode non détecté. Unpoint d’interrogation ( ?) indique une incertitude sur la fréquence propre du mode concerné.

75


554,38 ?

561,25 ?

561,25 ? 695,00 ?

568,13 ? 698,13 ?

688,75 ?

690,00 ?

695,00 ?

671,25 ? 673,13 ?

688,13 ? 688,75 ?

607,50 ? 603,75 ? 753,75 ?

621,25 ? 612,00 ? 755,63 ?

616,00 ? 621,25 ? 724,38

620,00 ? 632,50 ? 731,25

648,75 ? 775,60 ? 777,50 ?

666,25 ? 781,25 ? 783,13 ?

666,88 ?

677,50 ?

681,82 ?

661,88 ? 802,50 ?

676,25 ? 808,75 ?

S35 7 3 688,13 696,88 680,00 809,38 825,00 830,00

S36 8 1 710,63 710,00 713,13 845,00 862,50 869,38

801,25797,50-

577,50 ?

585,00 ?

661,88 781,25 - -

723,75

785,63646,25666,88

734,38731,25

615,63 720,00

576,25 - -

- 585,00 689,38

560,00 565,00 671,25 681,25

567,50 549,38 650,00 660,60 665,6336S26

54S28

17S27

27S30

61S29

6S32

62S31

55S34

63S33

4

616,00 ?

683,00

666,25 ?

677,50 ?

608,13

594,38

N° Mode m n A(1,1,1) B(1,2,2) C(1,3,3) D(2,3,1) E(2,1,2) F(2,2,3) G(3,2,1) H(3,3,2) I(3,1,3)

Modes propres Fréquences propres fmn

Tab. C.1 – Caractéristiques — indices (m,n) et fréquences propres fmn — des modes couplésd’origine structurale pour les configurations A à I (entre parenthèses, sont rappelées respec-tivement les modalités des facteurs variables α, β et γ). Un tiret (-) indique un mode nondétecté. Un point d’interrogation ( ?) indique une incertitude sur la fréquence propre du modeconcerné. (suite et fin)

76


A0 0 0 0 0,00

A1 0 0 1 242,86

A2 1 0 0 283,33

A3 0 1 0 340,00

A4 1 0 1 373,17

A5 0 1 1 417,83

A6 1 1 0 442,58

A7 0 0 2 485,71

A8 1 1 1 504,83

A9 1 0 2 562,31

A10 2 0 0 566,67

A11 0 1 2 592,89

A12 2 0 1 616,51

A13 1 1 2 657,11

A14 2 1 0 660,84

A15 0 2 0 680,00

A16 2 1 1 704,05

A17 0 2 1 722,07

A18 0 0 3 728,57

A19 1 2 0 736,67

A20 2 0 2 746,34

A21 1 2 1 775,67

A22 1 0 3 781,73

A23 0 1 3 804,00

A24 2 1 2 820,14

A25 0 2 2 835,65

A26 3 0 0 850,00

A27 1 1 3 852,46

A28 1 2 2 882,38

A29 3 0 1 884,01

A30 2 2 0 885,16

A31 3 1 0 915,48

A32 2 2 1 917,87

A33 2 0 3 923,00

A34 3 1 1 947,14

A35 0 0 4 971,43

A36 3 0 2 978,99

A37 2 1 3 983,63

A38 0 2 3 996,60

A39 2 2 2 1009,67

Fréquences propres

théoriques fqrs (Hz)

Modes propres

N° Mode q r stheo

Tab. C.2 – Fréquences propres théoriques f theoqrs des modes propres de la cavité nue, considérée

comme entièrement rigide.

77


Fréquence (Hz) Mode Mode

47,10 S1 (1,1) 47,10 S1 (1,1)

78,10 S2 (2,1) 78,10 S2 (2,1)

97,60 S3 (1,2) 97,60 S3 (1,2)

128,50 S4 (2,2) 128,50 S4 (2,2)

135,30 S5 (3,1) 135,30 S5 (3,1)

174,30 S6 (1,3)? 172,90 S6 (1,3)?

189,10 S7 (3,2) 189,10 S7 (3,2)

218,70 S8 (2,3);S9 (4,1) 218,70 S8 (2,3);S9 (4,1)

249,00 A1 (0,0,1) 249,00 A1 (0,0,1)

282,00 A2 (1,0,0)?;S12 (1,4)? 284,60 A2 (1,0,0)?;S12 (1,4)?

290,00 A2 (1,0,0)?;S12 (1,4)? 289,40 A2 (1,0,0)?;S12 (1,4)?

347,90A3 (0,1,0)?;S15 (4,3)

S16 (5,2)348,60

A3 (0,1,0)?;S15 (4,3)

S16 (5,2)

383,60 A4 (1,0,1)?;S17 (3,4)? 383,60 A4 (1,0,1)?;S17 (3,4)?

395,00 A4 (1,0,1)?;S17 (3,4)? 395,00 A4 (1,0,1)?;S17 (3,4)?

425,30A5 (0,1,1)?;S18(1,5)

S19 (6,1)428,60

A5 (0,1,1)?;S18(1,5)

S19 (6,1)

454,90A6 (1,1,0);S20 (5,3)

S22 (2,5)454,20

A6 (1,1,0);S20 (5,3)

S22 (2,5)

494,60 A7 (0,0,2)?;S23 (6,2)? 493,90 A7 (0,0,2)?;S23 (6,2)?

517,50 A8 (1,1,1)?;S24 (3,5) 518,10 A8 (1,1,1)?;S24 (3,5)

547,10 S25 (5,4) 549,10 S25 (5,4)

557,80S26 (6,3)?;S27 (7,1)?

A9 (1,0,2)?;A10 (2,0,0)?557,20

S26 (6,3)?;S27 (7,1)?

A9 (1,0,2)?;A10 (2,0,0)?

582,70 A11 (0,1,2)? 581,40 A11 (0,1,2)?

607,00 S28 (4,5) 604,90 S28 (4,5)

614,40 S30 (7,2);S31(2,6)? - -

633,20 A12 (2,0,1)? 633,90 A12 (2,0,1)?

683,70S33 (3,6)?;A13 (1,1,2)?

S34 (5,5)?;A14 (2,1,0)?679,00

S33 (3,6)?;A13 (1,1,2)?

S34 (5,5)?;A14 (2,1,0)?

695,80 A15 (0,2,0) ? 698,50 A15 (0,2,0) ?

Voie 1 (Gauche) Voie 2 (Droite)

Fréquence (Hz)

(a) Stimulus A1.

Tab. C.3 – Identification de modes couplés à l’origine de pics de résonance visibles sur lesspectres de niveau de pression aux points M1 et M2. Un point d’interrogation ( ?) indique uneincertitude sur l’identité du mode à l’origine du pic de résonance observé.

78


Mode Mode

46,40 S1 (1,1) 46,40 S1 (1,1)

79,40 S2 (2,1) 79,40 S2 (2,1)

96,20 S3 (1,2) 95,60 S3 (1,2)

133,20 S4 (2,2);S5 (3,1) 133,90 S4 (2,2);S5 (3,1)

174,30 S6 (1,3)? 171,60 S6 (1,3)?

186,40 S7 (3,2) 187,10 S7 (3,2)

212,00 S8 (2,3) 212,00 S8 (2,3)

247,60 A1 (0,0,1) 247,60 A1 (0,0,1)

- - 261,10 S10 (4,2)?

277,20 S11 (3,3);A2 (1,0,0)? 277,20 S11 (3,3);A2 (1,0,0)?

295,40 A2 (1,0,0)?;S12 (1,4)? 295,40 A2 (1,0,0)?;S12 (1,4)?

311,60 S13 (5,1) 311,60 S13 (5,1)

327,70 S14 (2,4) 327,70 S14 (2,4)

347,90A3 (0,1,0)?;S15 (4,3)

S16 (5,2)347,90

A3 (0,1,0)?;S15 (4,3)

S16 (5,2)

388,90 A4 (1,0,1) 389,60 A4 (1,0,1)

421,20 S19 (6,1) 421,20 S19 (6,1)

- - 427,30 A5 (0,1,1)?;S18 (1,5)

456,90 A6 (1,1,0)? 452,20 A6 (1,1,0)?

461,60 S22 (2,5) 463,60 S22 (2,5)

485,80 S23 (6,2)? 486,50 S23 (6,2)?

493,20 A7 (0,0,2)? 493,20 A7 (0,0,2)?

512,10 A8 (1,1,1)? 512,80 A8 (1,1,1)?;S24 (3,5)

517,50 S24 (3,5) - -

554,50S25 (5,4)?;A9 (1,0,2)?

A10 (2,0,0)?553,80

S25 (5,4)?;A9 (1,0,2)?

A10 (2,0,0)?

581,40 S28 (4,5) 580,70 S28 (4,5)

603,60 A11 (0,1,2)?;S30(7,2) ? 601,60 A11 (0,1,2)?;S30(7,2) ?

625,10A12 (2,0,1)?;S30 (7,2)?

S31 (2,6)?625,10

A12 (2,0,1)?;S30(7,2)?

S31 (2,6)?

672,20A13 (1,1,2)?;S32 (6,4)

A14 (2,1,0)?;S33 (3,6)?672,20

A13 (1,1,2)?;S32 (6,4)

A14 (2,1,0)?;S33 (3,6)?

693,80 A15 (0,2,0)?;S35 (7,3) - -


Fréquence (Hz)Fréquence (Hz)

(b) Stimulus B1.

Tab. C.3 – Identification de modes couplés à l’origine de pics de résonance visibles sur lesspectres de niveau de pression aux points M1 et M2. Un point d’interrogation ( ?) indique uneincertitude sur l’identité du mode à l’origine du pic de résonance observé. (suite)

79


Mode Mode

45,80 S1 (1,1) 45,80 S1 (1,1)

78,70 S2 (2,1) 78,70 S2 (2,1)

95,60 S3 (1,2) 95,60 S3 (1,2)

127,90 S4 (2,2) 128,50 S4 (2,2)

135,30 S5 (3,1) 135,30 S5 (3,1)

171,60 S6 (1,3) 172,30 S6 (1,3)

185,10 S7 (3,2) 185,10 S7 (3,2)

207,30 S8 (2,3) 207,30 S8 (2,3)

212,60 S9 (4,1) 212,60 S9 (4,1)

251,70 A1 (0,0,1);S10 (4,2) 251,70 A1 (0,0,1);S10 (4,2)

262,40 S11 (3,3) 262,40 S11 (3,3)

282,60 S12 (1,4);A2 (1,0,0)? 282,60 S12 (1,4);A2 (1,0,0)?

301,50 S13 (5,1) ? 301,50 S13 (5,1) ?

311,60 S13 (5,1) ? 311,60 S13 (5,1) ?

348,60 A3 (0,1,0)?;S15 (4,3) 348,60 A3 (0,1,0)?;S15 (4,3)

362,00 S16 (5,2) 360,70 S16 (5,2)

394,30 A4 (1,0,1)?;S17 (3,4)? 394,30 A4 (1,0,1)?;S17 (3,4)?

426,00A5 (0,1,1)?;S18 (1,5) S19

(6,1)426,00

A5 (0,1,1)?;S18 (1,5) S19

(6,1)

- - 442,10 S20 (5,3);A6 (1,1,0)?

- - 447,50 S21 (4,4);A6 (1,1,0)?

462,30 S22 (2,5);A6 (1,1,0)? 463,00 S22 (2,5);A6 (1,1,0)?

485,80 A7 (0,0,2)?;S23 (6,2) 485,80 A7 (0,0,2)?;S23 (6,2)

515,50 A8 (1,1,1)?;S24 (3,5) 515,50 A8 (1,1,1)?;S24 (3,5)

546,40 S26 (6,3) - -

562,60A9 (1,0,2)?;A10 (2,0,0)?

S27 (7,1)559,90

A9 (1,0,2)?;A10 (2,0,0)?

S27 (7,1)

598,20 A11 (0,1,2)?;S30 (7,2)? 598,90 A11 (0,1,2)?;S30 (7,2)?

619,10 A12 (2,0,1)?;S31 (2,6) 619,10 A12 (2,0,1)?;S31 (2,6)

659,50 S33 (3,6);S34 (5,5)? 659,50 S33 (3,6);S34 (5,5)?

672,20A13 (1,1,2)?;S34 (5,5)?

A14 (2,1,0);S35 (7,3)?671,60

A13 (1,1,2)?;S34 (5,5)?

A14 (2,1,0);S35 (7,3)?

707,90 A16 (2,1,1)? 708,60 A16 (2,1,1)?



(c) Stimulus C1.


80


Mode Mode

56,50 S1 (1,1) 56,50 S1 (1,1)

101,60 S2 (2,1) 101,60 S2 (2,1)

114,40 S3 (1,2) 114,40 S3 (1,2)

157,50 S4 (2,2) 158,80 S4 (2,2)

168,90 S5 (3,1) 168,90 S5 (3,1)

207,30 S6 (1,3) 207,30 S6 (1,3)

225,40 S7 (3,2) 225,40 S7 (3,2)

251,70 S8 (2,3);A1 (0,0,1) ? 251,70 S8 (2,3);A1 (0,0,1) ?

258,40 S9 (4,1);A1 (0,0,1) ? 258,40 S9 (4,1);A1 (0,0,1) ?

285,30 A2 (1,0,0) 285,30 A2 (1,0,0)

303,50 S10 (4,2) 303,50 S10 (4,2)

331,70 S12 (1,4) 331,70 S12 (1,4)

340,50 A3 (0,1,0) 339,80 A3 (0,1,0)

366,10 S13 (5,1)? - -

376,20S13 (5,1)?;S14 (2,4)?

A4 (1,0,1)?376,80

391,00S14 (2,4)?;S15 (4,3)?

A4 (1,0,1)?391,00

430,70A5 (0,1,1)?;S15 (4,3)?

S16 (5,2)?;S17 (3,4)?430,00

A5 (0,1,1)?;S15 (4,3)?

S16 (5,2)?;S17 (3,4)?

479,80 A7 (0,0,2)?;S18 (1,5)? 473,10 A7 (0,0,2)?;S18 (1,5)?

491,20S18 (1,5)?;S19 (6,1)

S20(5,3)?493,20

S18 (1,5)?;S19 (6,1)

S20(5,3)?

511,40 A8 (1,1,1)? 510,10 A8 (1,1,1)?

563,90A9 (1,0,2)?;A10 (2,0,0)?

S23 (6,2)?565,20

A9 (1,0,2)?;A10 (2,0,0)?

S23 (6,2)?

590,10 A11 (0,1,2)?;S23 (6,2)? 589,50 A11 (0,1,2)?;S23 (6,2)?

616,40 A12 (2,0,1)?;S24 (3,5) 616,40 A12 (2,0,1)?;S24 (3,5)

675,60A15 (0,2,0)?;S27 (7,1)

S29 (1,6)?675,60

691,80 S29 (1,6)?;A16 (2,1,1) ? 691,10 S29 (1,6)?;A16 (2,1,1) ?

727,40S31 (2,6)?;A17 (0,2,1)?

S30 (7,2);A18 (0,0,3)? - -

- - 734,10S30 (7,2);S31 (2,6)?

A19 (1,2,0)?

744,90 A20 (2,0,2)? 744,20 A20(2,0,2)?

800,80 A23 (0,1,3)?;S34 (5,5) 800,80 A23 (0,1,3)?;S34 (5,5)

817,60 A24 (2,1,2)?;S35 (7,3) 815,60 A24 (2,1,2)?;S35 (7,3)


S13 (5,1)?;S14 (2,4)?

A4 (1,0,1)?

S14 (2,4)?;S15 (4,3)?

A4 (1,0,1)?

A15 (0,2,0)?;S27 (7,1)

S29 (1,6)?


(d) Stimulus D1.


81


Mode Mode

61,90 S1 (1,1) 61,90 S1 (1,1)

110,40 S2 (2,1);S3 (1,2) 110,40 S2 (2,1);S3 (1,2)

161,50 S4 (2,2) 162,20 S4 (2,2)

177,60 S5 (3,1) 177,60 S5 (3,1)

207,90 S6 (1,3) 207,90 S6 (1,3)

- - 230,80 S7 (3,2)

249,70 A1 (0,0,1)?;S8 (2,3)? 249,70 A1 (0,0,1)?;S8 (2,3)?

252,30 S8 (2,3)?;A1 (0,0,1)? 252,30 S8 (2,3)?;A1 (0,0,1)?

267,80 S9 (4,1) 267,80 S9 (4,1)

291,40 A2 (1,0,0) 291,40 A2 (1,0,0)

331,10 S12 (1,4) 331,70 S12 (1,4)

349,20 A3 (0,1,0) 349,20 A3 (0,1,0)

383,60 S13 (5,1);A4 (1,0,1)? 384,20 S13 (5,1);A4 (1,0,1)?

395,70 S15 (4,3)?;A4 (1,0,1)? 395,70 S15 (4,3)?;A4 (1,0,1)?

428,60 A5 (0,1,1)?;S16 (5,2)? 429,30 A5 (0,1,1)?;S16 (5,2)?

434,00A5 (0,1,1)?;S16 (5,2)?

S17 (3,4)434,00

A5 (0,1,1)?;S16 (5,2)?

S17 (3,4)

- - 453,50 A6 (1,1,0) ?

492,60 S18 (1,5)?;A7 (0,0,2)? 493,20 S18 (1,5)?;A7 (0,0,2)?

522,20 S19 (6,1) 520,20 S19 (6,1)

536,30 S22 (2,5);S20 (5,3)? 537,00 S22 (2,5);S20 (5,3)?

567,90A9 (1,0,2)?;A10 (2,0,0)?

S23 (6,2)?567,30

A9 (1,0,2)?;A10 (2,0,0)?

S23 (6,2)?

591,50S23 (6,2)?;S24 (3,5)?

A11 (0,1,2)?591,50

617,70 A12 (2,0,1)?;S24 (3,5)? 617,70 A12 (2,0,1)?;S24 (3,5)?

633,90 A12 (2,0,1)?;S25 (5,4)? 634,60 A12 (2,0,1)?;S25 (5,4)?

665,50S26 (6,3);A13 (1,1,2)?

A14(2,1,0)?663,50

S26 (6,3);A13 (1,1,2)?

A14(2,1,0)?

- - 680,30 S27 (7,1)

687,00 S29 (1,6);A15 (0,2,0)? - -

697,10 A16 (2,1,1)? - -

720,70 S31 (2,6);A17 (0,2,1)? 723,40 S31 (2,6);A17 (0,2,1)?

736,20 S30 (7,2);A19 (1,2,0)? 737,50 S30 (7,2);A19 (1,2,0)?

751,00 A20 (2,0,2)? 747,60 A20 (2,0,2)?

800,80 A23 (0,1,3)?;S34 (5,5) 800,10 A23 (0,1,3)?;S34 (5,5)

819,60 A24 (2,1,2)? 818,90 A24 (2,1,2)?

Voie 2 (Droite)Voie 1 (Gauche)

S23 (6,2)?;S24 (3,5)?

A11 (0,1,2)?


(e) Stimulus E1.


82


Mode Mode

62,60 S1 (1,1) 62,60 S1 (1,1)

112,40 S2 (2,1);S3 (1,2) 112,40 S2 (2,1);S3 (1,2)

162,20 S4 (2,2) 162,80 S4 (2,2)

184,40 S5 (3,1) 183,70 S5 (3,1)

206,60 S6 (1,3) 205,90 S6 (1,3)

- - 233,50 S7 (3,2)

249,00 A1 (0,0,1) 249,00 A1 (0,0,1)

254,40 S8 (2,3) 254,40 S8 (2,3)

273,90 S9 (4,1) 273,90 S9 (4,1)

290,70 A2 (1,0,0) 290,70 A2 (1,0,0)

327,70 S12 (1,4) 331,70 S12 (1,4)

348,60 A3 (0,1,0) 347,90 A3 (0,1,0)

372,80 S14 (2,4)?;A4 (1,0,1)? 372,10 S14 (2,4)?;A4 (1,0,1)?

388,30S13 (5,1)?;S14 (2,4)?

A4 (1,0,1)?388,30

402,40 S13 (5,1)?;S15 (4,3)? 402,40 S13 (5,1)?;S15 (4,3)?

427,30 A5 (0,1,1)?;S15 (4,3)? - -

436,00 A6 (1,1,0) 436,00 A6 (1,1,0)

482,50 A7 (0,0,2)?;S18 (1,5)? - -

493,90 S18 (1,5)?;A7 (0,0,2)? 493,90 S18 (1,5)?;A7 (0,0,2)?

520,20 A8 (1,1,1) - -

532,90 S19 (6,1)?;S20 (5,3) - -

572,60 A10 (2,0,0)?;S23 (6,2)? 572,60 A10 (2,0,0)?;S23 (6,2)?

597,50 A11 (0,1,2)?;S23 (6,2)? 594,20 A11 (0,1,2)?;S23 (6,2)?

621,80 A12 (2,0,1)?;S24 (3,5)? 621,80 A12 (2,0,1)?;S24 (3,5)?

674,90S29 (1,6)?;A13 (1,1,2)?

A14 (2,1,0)?674,90

S29 (1,6)?;A13 (1,1,2)?

A14 (2,1,0)?

697,10S27 (7,1)?;S28 (4,5)?

A16 (2,2,1)?- -

724,10S31 (2,6);A17 (0,2,1)?

A18 (0,0,3)?723,40

S31 (2,6);A17 (0,2,1)?

A18 (0,0,3)?

740,20 A19 (1,2,0) ? 738,90 A19 (1,2,0) ?


S13 (5,1)?;S14 (2,4)?

A4 (1,0,1)?


(f) Stimulus F1.


83


Mode Mode

70,70 S1 (1,1) 70,70 S1 (1,1)

128,50 S2 (2,1) 128,50 S2 (2,1)

162,20 S3 (1,2) 161,50 S3 (1,2)

220,70 S4 (2,2) 220,70 S4 (2,2)

226,80 S5 (3,1) 226,80 S5 (3,1)

247,60 A1 (0,0,1) 247,60 A1 (0,0,1)

290,70 A2 (1,0,0) 290,70 A2 (1,0,0)

299,40 S6 (1,3) 299,40 S6 (1,3)

318,30 S7 (3,2) 319,00 S7 (3,2)

- - 347,20 A3 (0,1,0)

360,70 S8 (2,3) 360,00 S8 (2,3)

383,60 A4 (1,0,1) 383,60 A4 (1,0,1)

- - 428,00 A5 (0,1,1)?;S10 (4,2)?

435,40 A5 (0,1,1)?;S10 (4,2)? - -

- - 446,10A6 (1,1,0)?;S10 (4,2)?

S11(3,3)?

453,50A6 (1,1,0)?;S10 (4,2)?

S11 (3,3)?452,90

A6 (1,1,0)?;S10 (4,2)?

S11 (3,3)?

485,20 S12 (1,4);A7 (2,0,1)? 485,20 S12 (1,4);A7 (2,0,1)?

522,90 S13 (5,1);A8 (1,1,1)? 520,80 S13 (5,1);A8 (1,1,1)?

543,70 S14 (2,4) 543,00 S14 (2,4)

575,30A9 (1,0,2)?;A10 (2,0,0)?

S15 (4,3)575,30

A9 (1,0,2)?;A10 (2,0,0)?

S15 (4,3)

611,70 A11 (0,1,2)? 604,90 A11 (0,1,2)?

617,70 S16 (5,2)?;A12 (2,0,1)? 618,40 S16 (5,2)?;A12 (2,0,1)?

632,50 S16 (5,2)?;S17 (3,4)? 630,50 S16 (5,2)?;S17 (3,4)?

675,60 A15 (0,2,0)? 677,60 A15 (0,2,0)?

696,50 A16 (2,1,1) ? 698,50 A16 (2,1,1) ?

728,80A17 (0,2,1)?;A18 (0,0,3)?

S18 (1,5)728,80

A17 (0,2,1)?;A18 (0,0,3)?

S18 (1,5)

740,20 A19 (1,2,0)? 742,20 A19 (1,2,0)?

757,70A20 (2,0,2)?; S20 (5,3)

S21 (4,4)?- -

799,40 A23 (0,1,3)? 798,70 A23 (0,1,3)?

816,20 S23 (6,2) 817,60 S23 (6,2)

860,00A26 (3,0,0)?;A27 (1,1,3)?

S24 (3,5)860,00

A26 (3,0,0)?;A27 (1,1,3)?

S24 (3,5)



(g) Stimulus G1.


84


Mode Mode

72,70 S1 (1,1) 72,70 S1 (1,1)

133,20 S2 (2,1) 133,20 S2 (2,1)

162,80 S3 (1,2) 162,20 S3 (1,2)

224,10 S4 (2,2) 224,80 S4 (2,2)

232,20 S5 (3,1) 232,20 S5 (3,1)

245,60 A1 (0,0,1) 245,60 A1 (0,0,1)

288,00 A2 (1,0,0) 286,70 A2 (1,0,0)

300,10 S6 (1,3) 300,80 S6 (1,3)

319,00 S7 (3,2) 319,60 S7 (3,2)

347,20 A3 (0,1,0)? 345,20 A3 (0,1,0) ?

363,40 S8 (2,3);S9 (4,1) 363,40 S8 (2,3);S9 (4,1)

373,50 A4 (1,0,1) 373,50 A4 (1,0,1)

442,10 A6 (1,1,0)?;S10 (4,2) 442,10 A6 (1,1,0)?;S10 (4,2)

456,90 S11 (3,3) 455,60 S11 (3,3)

483,80 S12 (1,4);A7 (2,0,1)? 482,50 S12 (1,4);A7 (2,0,1)?

530,90 S13 (5,1) 530,90 S13 (5,1)

548,40 S14 (2,4) 551,10 S14 (2,4)

- - 574,00 A9 (1,0,2)?;A10 (2,0,0)?

582,70 S15 (4,3) 581,40 S15 (4,3)

622,40 S16 (5,2)?;A12 (2,0,1)? 621,10 S16 (5,2)?;A12 (2,0,1)?

639,90 S17 (3,4) 642,00 S17 (3,4)

704,50 A16 (2,1,1) ? 704,50 A16 (2,1,1) ?

716,00 A17 (0,2,1) ? 715,30 A17 (0,2,1) ?

738,90 A19 (1,2,0)?;S19 (6,1) 739,50 A19 (1,2,0)?;S19 (6,1)

768,50S20 (5,3);S21 (4,4)?

A21 (1,2,1)?768,50

825,70 S23 (6,2);A24 (2,1,2)? 827,00 S23 (6,2);A24 (2,1,2)?

- - 860,00S24 (3,5);A26 (3,0,0)?

A27 (1,1,3)?

864,70S24 (3,5);A26 (3,0,0)?

A27 (1,1,3)?- -

908,40A31 (3,1,0)?;A32 (2,2,1)?

A33 (2,0,3)? 908,40

A31 (3,1,0)?;A32 (2,2,1)?

A33 (2,0,3)?


S20 (5,3);S21 (4,4)?

A21 (1,2,1)?


(h) Stimulus H1.


85


Mode Mode

74,70 S1 (1,1) 74,70 S1 (1,1)

137,90 S2 (2,1) 137,90 S2 (2,1)

162,20 S3 (1,2) 162,20 S3 (1,2)

- - 224,10 S4 (2,2)

237,50 S5 (3,1) 237,50 S5 (3,1)

248,30 A1 (0,0,1) 248,30 A1 (0,0,1)

291,40 A2 (1,0,0) 290,70 A2 (1,0,0)

300,10 S6 (1,3) 300,10 S6 (1,3)

321,70 S7 (3,2) 322,30 S7 (3,2)

- - 347,90 A3 (0,1,0)

360,70 S8 (2,3) 360,00 S8 (2,3)

374,80 S9 (4,1) 374,80 S9 (4,1)

384,20 A4 (1,0,1) 384,20 A4 (1,0,1)

427,30 A5 (0,1,1) 428,00 A5 (0,1,1)

443,40 A6 (1,1,0)?;S10 (4,2)? 444,10 A6 (1,1,0)?;S10 (4,2)?

453,50 S10 (4,2)?;S11 (3,3)? 452,90 S10 (4,2)?;S11 (3,3)?

485,20 S12 (1,4);A7 (2,0,1)? 484,50 S12 (1,4);A7 (2,0,1)?

534,30 S13 (5,1) 534,30 S13 (5,1)

550,40 S14 (2,4) 553,80 S14 (2,4)

582,70 S15 (4,3)?;A11 (0,1,2)? 582,70 S15 (4,3)?;A11 (0,1,2)?

608,30 S15 (4,3)?;A11 (0,1,2)? 604,90 S15 (4,3)?;A11 (0,1,2)?

618,40 S16 (5,2);A12 (2,0,1)? 618,40 S16 (5,2);A12 (2,0,1)?

677,60 A15 (0,2,0)? 679,00 A15 (0,2,0)?

697,10 A16 (2,1,1) ? 704,50 A16 (2,1,1) ?

728,10A17 (0,2,1)?;S18 (1,5)

A18 (0,0,3)? 727,40

A17 (0,2,1)?;S18 (1,5)

A18 (0,0,3)?

742,20 S19 (6,1);A19 (1,2,0)? 742,20 S19 (6,1);A19 (1,2,0)?

755,70 A20 (2,0,2)? - -

763,10 S20 (5,3)?;S21 (4,4)? 764,40 S20 (5,3)?;S21 (4,4)?

801,40 A23 (0,1,3) ? 796,70 A23 (0,1,3) ?

- - 818,90 A24 (2,1,2)?

833,10 S23 (6,2)?;A25 (0,2,2)? 834,40 S23 (6,2)?;A25 (0,2,2)?

- - 864,00 A26 (3,0,0)?;A27 (1,1,3)?

872,80 S24 (3,5)? 872,10 S24 (3,5)?

909,80A31 (3,1,0)?;A32 (2,2,1)?

A33 (2,0,3)? 909,10

A31 (3,1,0)?;A32 (2,2,1)?

A33 (2,0,3)?

Voie 2 (Droite)Voie 1 (Gauche)


(i) Stimulus I1.


86


Mode Mode

43,70 S1 (1,1) 43,70 S1 (1,1)

76,70 S2 (2,1) 76,70 S2 (2,1)

93,50 S3 (1,2) 92,90 S3 (1,2)

- - 127,90 S4 (2,2)

132,60 S5 (3,1) 132,60 S5 (3,1)

- - 166,90 S6 (1,3)

181,00 S7 (3,2) 181,70 S7 (3,2)

205,20 S8 (2,3);S9 (4,1) 205,20 S8 (2,3);S9 (4,1)

248,30 A1 (0,0,1);S10 (4,2)? 248,30 A1 (0,0,1);S10 (4,2)?

275,90 S10 (4,2)?;S11 (3,3)? 275,90 S10 (4,2)?;S11 (3,3)?

296,40 S12 (1,4);A2 (1,0,0)? 296,40 S12 (1,4);A2 (1,0,0)?

308,20 S13 (5,1) ? 308,20 S13 (5,1) ?

323,70 S13 (5,1) ? 324,30 S13 (5,1) ?

344,50 A3 (0,1,0)?;S15 (4,3) 344,50 A3 (0,1,0)?;S15 (4,3)

348,60 A3 (0,1,0)?;S16 (5,2) 348,60 A3 (0,1,0)?;S16 (5,2)

383,60 A4 (1,0,1)?;S17 (3,4)? 382,90 A4 (1,0,1)?;S17 (3,4)?

388,30 A4 (1,0,1)?;S17 (3,4)? 388,30 A4 (1,0,1)?;S17 (3,4)?

421,90 A5 (0,1,1)?;S18 (1,5) 421,20 A5 (0,1,1)?;S18 (1,5)

- - 428,00 A5 (0,1,1)?;S19 (6,1)

458,90 S22 (2,5);A6 (1,1,0)? 459,60 S22 (2,5);A6 (1,1,0)?

481,10 A7 (0,0,2)?;S23 (6,2)? 484,50 A7 (0,0,2)?;S23 (6,2)?

494,60 A7 (0,0,2)?;S23 (6,2)? 494,60 A7 (0,0,2)?;S23 (6,2)?

508,70 A8 (1,1,1)? 509,40 A8 (1,1,1)?;S24 (3,5)

519,50 S24 (3,5) 518,10 S24 (3,5)

540,30 S25 (5,4) ? - -

556,50A9 (1,0,2)?;S26(6,3)

A10 (2,0,0)?556,50

572,60 S27 (7,1);S28 (4,5)? 571,30 S27 (7,1);S28 (4,5)?

583,40 S28 (4,5)?;S29 (1,6) 583,40 S28 (4,5)?;S29 (1,6)

595,50 A11 (0,1,2)? 596,90 A11 (0,1,2)?;S30 (7,2)?

604,30 S30 (7,2)? 604,30 S30 (7,2)?

618,40 A12 (2,0,1)?;S31 (2,6) 618,40 A12 (2,0,1)?;S31 (2,6)

664,20A13 (1,1,2)?;S33 (3,6)

A14 (2,1,0)?;S34 (5,5)?664,20

A13 (1,1,2)?;S33 (3,6)

A14 (2,1,0)?;S34 (5,5)?

672,20A15 (0,2,0)?;S34 (5,5)?

S35 (7,3)671,60

A15 (0,2,0)?;S34 (5,5)?

S35 (7,3)

697,10 A16 (2,1,1)? 703,90 A16 (2,1,1)?

- - 713,30 S36 (8,1)


A9 (1,0,2)?;S26(6,3)

A10 (2,0,0)?


(j) Stimulus J1.


87


Mode Mode

75,40 S1 (1,1) 75,40 S1 (1,1)

140,00 S2 (2,1) 139,30 S2 (2,1)

166,90 S3 (1,2) 166,20 S3 (1,2)

238,20 S5 (3,1);A1 (0,0,1) 238,20

286,00 A2 (1,0,0) 285,30 A2 (1,0,0)

304,20 S6 (1,3) 304,80 S6 (1,3)

325,70 S7 (3,2) 325,70 S7 (3,2)

- 339,80 A3 (0,1,0) ?

366,10 S8 (2,3) 366,10 S8 (2,3)

370,10 S9 (4,1) 370,10 S9 (4,1)

377,50 A4 (1,0,1)? 377,50 A4 (1,0,1)?

453,50A6 (1,1,0)?;S10 (4,2)?

S11 (3,3)?452,20

491,20 S12 (1,4);A7 (2,0,1)? 489,90 S12 (1,4);A7 (2,0,1)?

509,40 A8 (1,1,1)? 510,10 A8 (1,1,1)?

538,30 S13 (5,1)?;S14 (2,4)? 539,00 S13 (5,1)?;S14 (2,4)?

557,80 A9 (1,0,2)?;A10 (2,0,0)? 560,50 A9 (1,0,2)?;A10 (2,0,0)?

590,80 S15 (4,3)?;A11 (0,1,2)? 590,10 S15 (4,3)?;A11 (0,1,2)?

623,10 S16 (5,2);A12 (2,0,1)? 623,80 S16 (5,2);A12 (2,0,1)?

712,60 A16 (2,1,1) ? 711,30 A16 (2,1,1) ?

755,70A20 (2,0,2)?;S20 (5,3)?

S21 (4,4)?755,00

A20 (2,0,2)?;S20 (5,3)?

S21 (4,4)?

773,20A21 (1,2,1)?;S20 (5,3)?

S21 (4,4)?773,20

A21 (1,2,1)?;S20 (5,3)?

S21 (4,4)?

806,80 A23 (0,1,3) ? 806,10 A23 (0,1,3) ?

K(3,3,3)


A6 (1,1,0)?;S10 (4,2)?

S11 (3,3)?

S5 (3,1);A1 (0,0,1)


(k) Stimulus K1.

Tab. C.3 – Identification de modes couplés à l’origine de pics de résonance visibles sur lesspectres de niveau de pression aux points M1 et M2. Un point d’interrogation ( ?) indique uneincertitude sur l’identité du mode à l’origine du pic de résonance observé. (suite et fin)

88

C.3. Effets de la variation des conditions de serrage de la plaque sur la réponse vibro-acoustique du


C.3 Effets de la variation des conditions de serrage de la plaquesur la réponse vibro-acoustique du système plaque-cavité

20

30

40

50

60

70

Niv

eau

de v

itesse q

uad

rati

qu

e m

oy

en

ne

(d

B,

réf.=

5x

10

-8 m

/s)

100 200 300 400 500 600

Fréquence (Hz)

0

S1

S3

S4

S5

S6

S7

S2

Fig. C.2 – Spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne de la plaque mesurés pourles différentes modalités des conditions de serrage de la plaque, pour une épaisseur de plaqueégale à 3 mm. —– : C = 20 N.m (configuration G), – – : C = 50 N.m (configuration H),— - : C = 80 N.m (configuration I).

89


20

30

40

50

60

70

Niv

eau

de v

itesse q

uad

rati

qu

e m

oy

en

ne

(d

B,

réf.=

5x

10

-8 m

/s)

100 200 300 400 500 600

Fréquence (Hz)

0

S1

S2S3

S4

S5

S7

S8

S9

Fig. C.3 – Spectres de niveau de vitesse quadratique moyenne de la plaque mesurés pourles différentes modalités des conditions de serrage de la plaque, pour une épaisseur de plaqueégale à 1.5 mm. —– : C = 20 N.m (configuration A), – – : C = 50 N.m (configuration B),— - : C = 80 N.m (configuration C).

90

C.3. Effets de la variation des conditions de serrage de la plaque sur la réponse vibro-acoustique du


0

10

20

30

40

50

60

70

80

Niv

eau

de p

ressio

n (

dB

, réf.=

2x

10

-5 P

a)

0 100 200 300 400 500 600

Fréquence (Hz)

90

S1

A1

S2 S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S12

A1

Fig. C.4 – Spectres de niveau de pression mesurés au point M2 pour les modalités extrémalesdes conditions de serrage de la plaque, pour une épaisseur de plaque égale à 1.5 mm. —– :C = 20 N.m (stimulus A1), — - : C = 80 N.m (stimulus J1).

91


92

Annexe D

Compléments relatifs à l’appréciation deseffets de la dispersion de la mesure sur laperception auditive par l’analyse de variance(ANOVA)

D.1 Lexique de terminologie

Réponse ou observation

La réponse, aussi appelée observation, est la grandeur mesurée au cours de l’expérience ;cette grandeur doit être continue.

Population / Échantillon

Une population est un ensemble d’évènements qui intéressent l’expérimentateur (scoresde sujets, revenus de salariés, poids de personnes ...). Un échantillon d’observations est unprélèvement d’évènements dans la population, utilisé pour inférer quelque chose à propos descaractéristiques de cette population.

Paramètre / Statistique

On appelle paramètre une mesure qui se réfère à l’ensemble d’une population (e.g. unemoyenne, médiane ...). Cette mesure est appelée statistique lorsqu’elle est calculée à partird’un échantillon.

Espérance mathématique

L’espérance mathématique d’une statistique (E( )) est sa valeur moyenne à long terme,i.e. la valeur moyenne que cette statistique prendrait si l’expérimentateur procédait à unéchantillonnage répété, et donc la meilleure approximation quant à sa valeur pour tout essaiparticulier.

93

Annexe D. Compléments relatifs à l’appréciation des effets de la dispersion de la mesure sur laperception auditive par l’analyse de variance (ANOVA)

Échantillons indépendants / dépendants

On parle d’échantillons indépendants lorsque les différents échantillons de réponses forméslors de l’expérience impliquent des groupes différents de sujets. L’analyse de variance diteclassique suppose de tels échantillons.

A contrario, on parle d’échantillons dépendants lorsque les échantillons de réponses forméslors de l’expérience impliquent un seul et même groupe de sujets. On peut parler aussi demesures répétées.

Facteurs ou critères de classification

On appelle facteurs ou critères de classification les variables indépendantes suivant lesniveaux (Cf. rubrique “Niveaux ou modalités” ci-après) desquelles les échantillons de réponsespeuvent être classifiés ou séparés.

Niveaux ou modalités

On appelle niveaux ou modalités d’un facteur les valeurs pouvant être prises par ce dernierau cours de l’expérience.

Cellule

On appelle cellule toute combinaison possible entre modalités de facteurs.

Facteurs fixes / aléatoires

Un facteur fixe est un facteur pour lequel l’expérimentateur choisit délibérément les ni-veaux qu’il souhaite étudier ; a contrario, un facteur aléatoire est un facteur dont les niveauxsont tirés au hasard parmi une quasi-infinité de niveaux possibles.

Effet principal

L’effet principal d’un facteur est l’effet de ce facteur à l’un de ses niveaux, sans tenircompte des niveaux des autres facteurs.

Interaction

Une interaction entre deux facteurs désigne le fait que l’effet d’un facteur à l’un de sesniveaux dépend du niveau de l’autre facteur.

Effet simple

L’effet simple d’un facteur est l’effet de ce facteur à l’un de ses niveaux, à un niveau donnédes autres facteurs.

94

D.1. Lexique de terminologie

Modèle théorique / observé

L’analyse de variance est sous-tendue par un modèle théorique selon lequel toute réponseobservée est une variable aléatoire qui peut être considérée comme le résultat de l’addition i)d’une moyenne générale, ii) des effets principaux des facteurs pris en considération, iii) destermes d’interaction éventuels entre ces facteurs1 et iv) d’une composante d’erreur (ou résidu)(Cf. exemple D.1).

Le remplacement des paramètres de population du modèle théorique par les statistiquesd’échantillon correspondantes donne le modèle observé.

Modèle fixe / aléatoire / mixte

Un modèle fixe est un modèle théorique n’impliquant que des facteurs fixes ; le modèle fixene porte ainsi que sur un nombre limité de populations2, pour chacune desquelles peut êtreprélevé un échantillon (Cf. exemple D.1).

Un modèle aléatoire est un modèle théorique n’impliquant que des facteurs aléatoires ; lemodèle aléatoire porte sur une quasi-infinité de populations, pour toutes lesquelles il n’est pasenvisageable de prélever un échantillon ; un échantillon est prélevé seulement pour un nombrefini d’entre elles3, choisies aléatoirement.

Un modèle mixte est un modèle impliquant à la fois des facteurs fixes et des facteursaléatoires. Tout comme le modèle aléatoire, le modèle mixte porte sur une quasi-infinité depopulations. Aussi, pour chaque facteur aléatoire, un nombre fini de modalités est choisi auhasard (Cf. rubrique “Facteurs fixes / aléatoires”) puis les modalités des facteurs fixes leursont associées. Pour chaque population ainsi définie4, un échantillon de réponses peut alorsêtre prélevé.

Modèle croisé / hiérarchisé

Un modèle d’analyse de variance est dit croisé lorsque les facteurs sous-jacents sont placéssur un pied d’égalité, i.e. lorsque toutes leurs modalités peuvent être croisées (Cf. exempleD.1).

Un modèle est dit complètement hiérarchisé lorsque les facteurs sont subordonnés les unsaux autres. La subordination d’un facteur à un autre signifie que les niveaux du premier facteursont choisis au hasard et indépendamment à l’intérieur de chaque niveau du second facteur ; iln’y a aucune correspondance entre les niveaux du premier facteur pour les différents niveauxdu second facteur. Aussi, les facteurs subordonnés sont en général des facteurs aléatoires.

Un modèle est dit partiellement hiérarchisé lorsque à la fois des croisements et des subor-dinations entre les facteurs interviennent.

1Dans le cas de plusieurs facteurs, les termes d’interaction peuvent être retenus dans le modèle théoriqueou écartés, selon que l’expérimentateur juge a priori ces interactions comme non négligeables ou négligeables.

2Ce nombre est égal au produit des nombres de modalités choisis pour les facteurs fixes.3Ce nombre est égal au produit des nombres de modalités choisis pour les facteurs aléatoires.4Le nombre de populations est égal au produit des nombres de modalités choisis pour les facteurs fixes et

aléatoires.

95


Considérons le cas simple d’échantillons indépendants de n réponses formés lors de la réa-lisation d’un plan d’expériences factoriel à deux facteurs fixes a et b avec respectivement pet q niveaux. On suppose ainsi que les p q échantillons sont prélevés dans p q populationsdifférentes. Dans ce cas de figure, le modèle théorique, fixe et croisé, qui sous-tend l’analysede variance classique s’écrit (avec interaction supposée) [Dag06] :

Xijk = m.. + ai + bj + (ab)ij + Eijk (D.1)

où :

– Xijk représente la réponse donnée par un sujet quelconque k,

– m.. est la moyenne générale, donnée par :

m.. =1p q

p∑i=1

q∑j=1

mij

où les mij sont les moyennes des p q populations.

– les termes ai sont les effets principaux du facteur a, définis comme suit :

ai = mi. − m..

où :

mi. =1q

q∑j=1

mij

– les termes bj sont les effets principaux du facteur b, définis comme suit :

bj = m.j − m..

où :

m.j =1p

p∑i=1

mij

– les quantités (ab)ij sont les termes de l’interaction entre les facteurs a et b, définies par :

(ab)ij = mij −mi. − m.j + m..

– Eijk est le résidu associé à la réponse Xijk ; Eijk représente ici la variabilité de la réponsede chaque sujet k autour de la moyenne des réponses obtenues pour les niveaux i et j desfacteurs a et b [How98]. Les composantes d’erreur Eijk sont des variables aléatoires qui,dans les conditions d’application de l’analyse de variance, sont normales, indépendantes,de moyenne nulle et de même variance σ2 [Dag06].

Exemple D.1: Modèle théorique, fixe et croisé, sous-tendant une ANOVA classique à deuxfacteurs fixes a et b.

96


Source de variabilité

Le terme source de variabilité est un terme générique utilisé pour désigner toute sourcepouvant être à l’origine de différences entre les moyennes de population, i.e. un facteur, uneinteraction entre facteurs ou une composante d’erreur. On peut parler de source de variabilitéfactorielle pour désigner plus spécifiquement un facteur ou une interaction entre facteurs.

Sommes des carrés des écarts

Les sommes des carrés des écarts constituent des mesures globales des variations imputéesaux différentes sources de variabilité ; elles vérifient l’équation de la variance, dérivée à partirdu modèle observé (Cf. exemple D.2).

Pour le modèle théorique (D.1) présenté à l’exemple D.1, l’équation de la variance quidécoule du modèle observé correspondant s’écrit :

SCEt = SCEa + SCEb + SCEab + SCEr (D.2)

où SCEt représente la somme des carrés des écarts totale ; SCEa, SCEb, SCEab et SCEr

sont les sommes des carrés des écarts respectivement liées aux facteurs a et b, à l’interactionentre a et b et à l’erreur résiduelle.Ces différentes sommes se calculent à partir des données récoltées comme suit :

SCEt =p∑

i=1

q∑j=1

n∑k=1

(xijk − x...)2

SCEa = q × n×p∑

i=1

(xi.. − x...)2

SCEb = p× n×q∑

j=1

(x.j. − x...)2

SCEab = n×p∑

i=1

q∑j=1

(xij. − xi.. − x.j. + x...)2

SCEr =p∑

i=1

q∑j=1

n∑k=1

(xijk − xij.)2

où xijk est une réponse donnée par un sujet quelconque k, x... est la moyenne généralecalculée sur l’ensemble des réponses recueillies, xi.. est la moyenne des réponses obtenueslorsque le facteur a est à son ieme niveau ; x.j. est la moyenne des réponses obtenues lorsquele facteur b est à son j eme niveau, xij. est la moyenne des réponses obtenues lorsque lesfacteurs a et b sont respectivement à leur ieme et j eme niveau.

Exemple D.2: Équation de la variance dérivée à partir du modèle observé correspondant aumodèle théorique (D.1) présenté dans l’exemple D.1.

97


Nombre de degrés de liberté

Pour un modèle croisé, le nombre de degrés de liberté associé à un facteur est égal aunombre de modalités du facteur moins un ; le nombre de degrés de liberté associé à uneinteraction entre facteurs est égal au produit des nombres de degrés de liberté associés auxfacteurs.

Carrés moyens

Comme les sommes des carrés des écarts, les carrés moyens constituent des mesures glo-bales des variations imputées aux différentes sources de variabilité, mais homogènes à unevariance ; le calcul de leur espérance mathématique montre que les carrés moyens consistenten des sommations de composantes de la variance totale, i.e. de variances, liées à différentessources de variabilité (Cf. exemple D.3).

Dans la pratique, les carrés moyens sont calculés en divisant les sommes des carrés desécarts par les nombres de degrés de liberté respectivement associés.

Hypothèse nulle / alternative

Au sens général, l’hypothèse nulle (H0) est une affirmation émise sur un paramètre relatifà une ou plusieurs populations, paramètre dont l’expérimentateur dispose d’estimations (i.e.les statistiques d’échantillon) ; il s’agit en général d’une hypothèse de non différence formuléede façon à être rejetée lors de son test. Dans le cas de son rejet, l’hypothèse alternative (H1),qui correspond à l’hypothèse de différence que le chercheur souhaiterait prouver, est acceptée.

En analyse de variance, les hypothèses nulles sont émises sur les paramètres du modèlethéorique. En particulier, chaque hypothèse nulle concerne l’absence d’effet lié à une source devariabilité factorielle donnée, supposée être à l’origine de différences entre plusieurs moyennesde population. L’hypothèse alternative renvoie à l’existence d’au moins une différence significa-tive parmi ces moyennes de population, i.e. à l’existence d’un effet dû à la source de variabilitéfactorielle prise en considération. Le test d’une hypothèse nulle appelle à un test d’égalité entredeux carrés moyens (Cf. rubrique “Variable de Fisher-Snedecor - Statistique-test” ci-après).

Variable de Fisher-Snedecor F - Statistique-test

En ANOVA, la variable de Fisher-Snedecor F tient lieu de statistique-test pour le testd’hypothèse nulle ; cette statistique-test se définit comme un rapport entre deux carrés moyens.

La formation de la statistique-test respecte la règle de base suivante : les carrés moyensà placer au numérateur et au dénominateur sont sélectionnés de façon à ce que l’espérancemathématique du carré moyen placé au numérateur ne contienne qu’un terme en plus, i.e. lacomposante de la variance totale liée à la source de variabilité dont on souhaite tester l’absenced’effet, par rapport à l’espérance mathématique du carré moyen placé au dénominateur (Cf.exemple D.3).

98


Pour le modèle théorique (D.1) présenté à l’exemple D.1, les deux premières hypothèsesnulles concernent l’absence d’effet principal des deux facteurs a et b :

H0 : m1. = m2. = · · · = mp. ou a1 = a2 = · · · = ap = 0H ′

0 : m.1 = m.2 = · · · = m.q ou b1 = b2 = · · · = bq = 0

La troisième concerne l’absence de terme d’interaction entre les deux facteurs :

H ′′0 : (ab)11 = (ab)12 = · · · = (ab)pq = 0

Les variables de Fisher-Snedecor Fa, Fb et Fab respectivement associées au test des hypo-thèses nulles H0, H ′

0 et H ′′0 s’écrivent :

Fa =CMa

CMr, Fb =

CMb

CMret Fab =

CMab

CMr

où CMa, CMb et CMab sont les carrés moyens factoriels respectivement liés au facteur a,au facteur b et à l’interaction entre a et b ; CMr est le carré moyen résiduel. Ces carrésmoyens sont calculés à partir des sommes des carrés des écarts correspondantes, présentéesà l’exemple D.2. Leur espérance mathématique s’écrit :

E(CMa) =σ2 + q n

p∑i=1

a2i

p − 1(D.3)

E(CMb) =σ2 + p n

q∑j=1

b2j

q − 1(D.4)

E(CMab) =σ2 + n

p∑i=1

q∑j=1

(ab)2ij

(p − 1) (q − 1)(D.5)

E(CMr) =σ2 (D.6)

Les rapports dans les seconds termes des expressions (D.3), (D.4) et (D.5) représententles composantes de la variance totale respectivement liées au facteur a (cette composanteéquivaut à la variance des p moyennes mi.), au facteur b (cette composante équivaut à lavariance des q moyennes m.j) et à l’interaction entre ces facteurs. Pour cet exemple, lesespérances mathématiques montrent que les carrés moyens factoriels (i.e CMa, CMb etCMab) sont égaux, en moyenne, à la variance de l’erreur σ2 lorsque l’hypothèse nulle quileur est associée (respectivement H0, H ′

0 et H ′′0 ) est vraie. Dans tous les autres cas, ces

carrés moyens sont, en moyenne, supérieurs à σ2, i.e. les rapports de carrés moyens sontsupérieurs à 1.

Exemple D.3: Les hypothèses nulles émises sur les paramètres du modèle théorique (D.1),présenté dans l’exemple D.1, et leur statistique-test associée.

99


Risque de première espèce α

Le risque de première espèce α est la probabilité de commettre une erreur de premièreespèce (appelée aussi erreur de type I ), i.e. la probabilité de rejeter l’hypothèse nulle alors quecette hypothèse est vraie.

Seuil de signification observé p

Le seuil de signification observé p (p-value en anglais) est la probabilité d’observer, l’hypo-thèse nulle étant vraie, une valeur de statistique-test aussi extrême que celle obtenue, à causedu seul hasard. p est calculé à l’aide de la fonction de répartition de la variable de Fisher-Snedecor F . Les paramètres de la fonction de répartition sont donnés par les nombres de degrésde liberté associés aux carrés moyens respectivement placés aux numérateur et dénominateurde la statistique-test [Sap90].

Dans la pratique, lorsqu’un seuil de signification observé p est inférieur au risque de pre-mière espèce α préalablement fixé par l’expérimentateur, le résultat du test est déclaré signi-ficatif et l’hypothèse nulle testée est rejetée ; on peut conclure à l’existence de l’effet supposé[Poi04]. Dans le cas contraire (i.e. p ≥ α), le résultat du test est déclaré non significatif etl’hypothèse nulle ne peut être rejetée ; on ne peut inférer l’existence de l’effet supposé.

Grandeur de l’effet expérimental

La grandeur de l’effet expérimental désigne l’importance de l’effet dû à une source devariabilité. Cette importance est mesurée en calculant la part de la variabilité globale observéepouvant être attribuée à l’effet considéré.

Parmi les indicateurs possibles de cette grandeur, l’un des moins biaisés est le coefficient ω2,défini comme le rapport entre la composante de la variance totale liée à la source de variabilitéconsidérée et la variance totale [How98] ; plus ω2 est proche de 1, plus l’effet considéré estimportant.

100

D.2. Compléments relatifs à l’élaboration du schéma d’analyse

D.2 Compléments relatifs à l’élaboration du schéma d’analyse

D.2.1 Espérances mathématiques des carrés moyens

Les espérances mathématiques des carrés moyens impliquées par les modèles théoriques(5.1) et (5.10), respectivement associés à l’analyse globale (Cf. section 5.2.1.2.a) et à l’analysedes effets simples de la dispersion de la mesure pour chaque configuration structurale (Cf.section 5.2.1.2.b), sont respectivement reportées dans les tableaux D.1 et D.2. Les nombres dedegrés de liberté associés aux différentes sources de variabilité considérées dans chacune desdeux phases sont également indiqués. Ces espérances mathématiques sont établies en suivantles règles énoncées par Dagnélie [Dag06].

Source ddl E(CM)S N − 1 σ2 + σ2

SD|ps+ nD nps σ

2S

ps nps − 1 σ2 + σ2SD|ps

+ N σ2D|ps

+ nD σ2Sps

+ nD N

nps∑j=1

p2sj

nps − 1Sps (N − 1) (nps − 1) σ2 + σ2

SD|ps+ nD σ

2Sps

D|ps nps (nD − 1) σ2 + σ2SD|ps

+ N σ2D|ps

SD|ps nps (N − 1) (nD − 1) σ2 + σ2SD|ps

Tab. D.1 – Espérances mathématiques des carrés moyens et nombres de degrés de liberté(ddl) associés aux différentes sources de variabilité considérées dans l’analyse globale.

Source ddl E(CM)

S N − 1 σ(j) 2+ σ

(j) 2

SD + nD σ(j) 2

S

D nD − 1 σ(j) 2+ σ

(j) 2

SD + N σ(j) 2

D

SD (N − 1) (nD − 1) σ(j) 2+ σ

(j) 2

SD

Tab. D.2 – Espérances mathématiques des carrés moyens et nombres de degrés de libertéassociés aux différentes sources de variabilité considérées dans l’analyse des effets simples dela dispersion de la mesure pour chaque configuration structurale.

D.2.2 Équations de la variance

Pour l’analyse globale, l’équation de la variance s’écrit :

SCEt = SCES + SCEps + SCESps + SCED|ps+ SCESD|ps

(D.7)

101


avec :

SCEt =N∑

i=1

nps∑j=1

nD∑k=1

(xijk − x...)2

SCES = nD × nps ×N∑

i=1

(xi.. − x...)2

SCEps = nD ×N ×nps∑j=1

(x.j. − x...)2

SCESps = nD ×N∑

i=1

nps∑j=1

(xij. − xi.. − x.j. + x...)2

SCED|ps= N ×

nps∑j=1

nD∑k=1

(x.jk − x.j.)2

SCESD|ps=

N∑i=1

nps∑j=1

nD∑k=1

(xijk − xij. − x.jk + x.j.)2

Concernant l’analyse des effets simples de la dispersion de la mesure pour les différentesconfigurations structurales, l’équation de la variance s’écrit :

SCE(j)t = SCE

(j)S + SCE

(j)D + SCE

(j)SD (D.8)

avec :

SCE(j)t =

N∑i=1

nD∑k=1

(xijk − x.j.)2

SCE(j)S = nD ×

N∑i=1

(xij. − x.j.)2

SCE(j)D = N ×

nD∑k=1

(x.jk − x.j.)2

SCE(j)SD =

N∑i=1

nD∑k=1

(xijk − xij. − x.jk + x.j.)2

Pour rappel, xijk est une réponse donnée par le sujet i, x... est la moyenne générale calculéesur l’ensemble des réponses recueillies, xi.. est la moyenne des réponses données par le sujet i ;x.j. est la moyenne des réponses pour la j eme configuration structurale, xij. est la moyenne desréponses données par le sujet i pour la j eme configuration structurale et x.jk est la moyenne desréponses pour le keme niveau de dispersion de la mesure à l’intérieur de la j eme configurationstructurale (Cf. tableaux de données 5.1 et 5.2).

102


Notons que, par rapport à l’équation (D.2) donnée dans l’exemple D.2 (Cf. section D.1),la somme des carrés des écarts résiduelle SCEr n’apparaît pas dans les équations (D.7) et(D.8) ; en effet, pour notre cas d’étude, les échantillons ne contiennent à proprement parlerqu’une seule observation5, de par la présence du facteur sujets S (Cf. tableaux de données 5.1et 5.2) ; aussi, dans cette situation précise, la variation résiduelle n’a pas lieu d’être.

D.2.3 Calcul des seuils de signification observés p

Pour les hypothèses nulles énoncées dans le cadre de l’analyse globale, i.e. H0 , H ′0, H ′′

0 etH ′′′

0 , les seuils de signification observés pD|ps, pps , pS et pSps associés à leur test respectif se

calculent comme suit :

pD|ps= F(FD|ps

|ddlD|ps, ddlSD|ps

)

pps = F(Fps |ddlps , ddlSps)

pS = F(FS |ddlS , ddlSD|ps)

pSps = F(FSps |ddlSps , ddlSD|ps)

où F désigne la fonction de répartition de la variable aléatoire F de Fisher-Snedecor [Sap90] ;FD|ps

, Fps , FS et FSps sont les statistiques-test respectivement associées aux tests des hypo-thèses nulles H0, H ′

0, H ′′0 et H ′′′

0 ; ddlD|ps, ddlps , ddlS , ddlSps et ddlSD|ps

sont les nombres dedegrés de liberté respectivement associés aux carrés moyens CMD|ps

, CMps , CMS , CMSps etCMSD|ps

(Cf. tableau D.1).

Pour l’hypothèse nulle H(j)0 énoncée dans le cadre de l’analyse des effets simples de la

dispersion de la mesure pour chaque configuration structurale, le seuil de signification observép(j)D associé à son test se calcule comme suit :

p(j)D = F(F (j)

D |ddlD, ddlSD) (D.9)

où F(j)D est la statistique-test associée au test de l’hypothèse nulle H(j)

0 ; ddlD et ddlSD sontles nombres de degrés de liberté respectivement associés aux carrés moyens CM (j)

D et CM (j)SD

(Cf. tableau D.2).

D.2.4 Calcul des coefficients ω2

Dans l’analyse globale, les coefficients ω2D|ps

, ω2ps

, ω2S et ω2

Sps respectivement associés auxeffets expérimentaux dûs aux sources de variabilité D|ps, ps, S et Sps sont calculés comme

5Pour l’ANOVA classique sur échantillons indépendants traitée en exemple dans la section D.1, chaqueéchantillon comporte n réponses données par n sujets, des sujets qui différent d’un échantillon à l’autre.

103


suit :

ω2D|ps

=σ2

D|ps

σ2D|ps

+ σ2ps

+ σ2S + σ2

Sps+ σ2

SD|ps+ σ2

ω2ps

=σ2

ps

σ2D|ps

+ σ2ps

+ σ2S + σ2

Sps+ σ2

SD|ps+ σ2

ω2S =

σ2S

σ2D|ps

+ σ2ps

+ σ2S + σ2

Sps+ σ2

SD|ps+ σ2

ω2Sps

=σ2

Sps

σ2D|ps

+ σ2ps

+ σ2S + σ2

Sps+ σ2

SD|ps+ σ2

où σ2D|ps

, σ2ps

, σ2S , σ2

Sps, σ2

SD|pset σ2 sont les composantes de la variance totale respectivement

liées aux sources de variabilité D|ps, ps, S, Sps, SD|ps et à l’erreur expérimentale, définiescomme suit :

σ2D|ps

=CMD|ps

− CMSD|ps

N

σ2ps

=CMps − CMD|ps

− CMSps + CMSD|ps

nD N

σ2S =

CMS − CMSD|ps

nD nps

σ2Sps

=CMSps − CMSD|ps

nD

σ2SD|ps

+ σ2 = CMSD|ps

où CMD|ps, CMps , CMS , CMSps et CMSD|ps

sont les carrés moyens respectivement associésaux sources de variabilité D|ps, ps, S, Sps et SD|ps.

Dans l’analyse des effets simples de la dispersion de la mesure pour chaque configurationstructurale, le coefficient ω(j) 2

D associé à l’effet expérimental dû à la dispersion de la mesureest calculé comme suit :

ω(j) 2

D =σ

(j) 2

D

σ(j) 2

D + σ(j) 2

S + σ(j) 2

SD + σ(j) 2

où σ(j) 2

D , σ(j) 2

S , σ(j) 2

SD et σ(j) 2 sont les composantes de la variance totale respectivement liéesaux sources de variabilité D, S, SD, et à l’erreur expérimentale, définies come suit :

σ(j) 2

D =CM

(j)D − CM

(j)SD

N

σ(j) 2

S =CM

(j)S − CM

(j)SD

nD

104


σ(j) 2

SD + σ(j) 2= CM

(j)SD

où CM(j)D , CM (j)

S et CM (j)SD sont les carrés moyens respectivement associés aux sources de

variabilité D, S et SD.

105


106

Annexe E

Évaluation du niveau réel de la mesure dedissimilarité par l’intermédiaire de laméthode des intervalles successifs

L’évaluation a posteriori du niveau réel de la mesure fournie par l’échelle de dissimilaritéà 7 catégories est réalisée dans le but d’apprécier le degré de violation de l’hypothèse dedonnées du niveau d’intervalles présumée par INDSCAL, utilisé pour traiter les données dedissimilarité (Cf. section 6.1.4.2.a).

Rappelons que la procédure adoptée permet seulement de juger si les sujets ont globalementconsidéré cette échelle de catégories comme une échelle métrique du niveau d’intervalles. Cetteprocédure, qui repose sur la méthode des intervalles successifs [Edw52], est détaillée ci-après.Nous commencerons par rappeler dans une première section la loi du jugement catégoriel deThurstone, sur laquelle repose la méthode des intervalles successifs ; puis, dans une secondesection, nous décrirons la construction du continuum subjectif des dissimilarités par la méthodedes intervalles successifs et spécifierons l’indicateur formé afin d’évaluer le niveau réel de lamesure ; enfin, dans une dernière section, nous exposerons la procédure suivie pour apprécierla qualité d’ajustement aux données de dissimilarité de la méthode des intervalles successifs.

E.1 Les bases théoriques : la loi du jugement catégoriel deThurstone

La loi du jugement catégoriel de Thurstone pose les bases théoriques pour la constructiond’un continuum psychologique de l’attribut étudié à partir de jugements catégoriels. Pourdifférentes présentations d’un même stimulus Sj à un sujet, le modèle du jugement catégorielspécifie que [Bon86] :

i) le continuum subjectif est divisé en un nombre fini de catégories ordonnées,ii) la limite d’une catégorie g de l’échelle se distribue normalement avec une moyenne tg

et un écart-type σg,

107

Annexe E. Évaluation du niveau réel de la mesure de dissimilarité par l’intermédiaire de la méthodedes intervalles successifs

iii) le sujet juge que le stimulus Sj est en-dessous d’une limite donnée uniquement si lavaleur subjective sj de ce stimulus est inférieure à celle de la limite.

La loi du jugement catégoriel peut alors s’écrire, en appliquant des hypothèses analoguesà celles du cas V de la loi du jugement comparatif (Cf. section 2.2.2.2) :

tg − sj = zjg (E.1)

où tg est la valeur moyenne de la limite de la gième catégorie, sj est la valeur subjective dustimulus Sj , zjg est le score centré réduit correspondant à la fréquence avec laquelle le stimulusSj est placé en-dessous de la limite g.

E.2 Application de la méthode des intervalles successifs auxjugements de dissimilarité

A partir de jugements catégoriels prononcés sur différents stimuli Sj selon un attributdonné s, la méthode des intervalles successifs, introduite par Edwards [Edw52], vise à construireun continuum psychologique de l’attribut s et à déterminer pour chacun des stimuli Sj sa va-leur d’échelle sur le continuum défini. Le coeur de la méthode réside dans la détermination desbornes des intervalles sous-tendant le continuum subjectif ; la largeur des intervalles corres-pond à la largeur des catégories, telle que réellement perçue par les sujets. Ici, dans le cadre dutest de dissimilarité, les stimuli Sj sont les paires de sons et non les sons eux-mêmes, l’attributs étudié est la dissimilarité entre les deux sons d’une paire, évaluée sur l’ échelle à 7 catégories(allant de “0” à “6”).

E.2.1 Construction du continuum subjectif des dissimilarités

Intrinsèquement, la méthode des intervalles successifs permet d’évaluer les bornes des in-tervalles sous-tendant le continuum subjectif des dissimilarités, excepté la borne inférieure del’intervalle correspondant à la première catégorie (i.e. “0”) et la borne supérieure de l’intervallecorrespondant à la dernière catégorie (i.e. “6”), i.e. la méthode permet d’estimer les bornessupérieures des intervalles correspondant aux catégories “0”, “1”, “2”, “3”, “4” et “5”, et donc lalargeur des intervalles correspondant aux catégories “1”, “2”, “3”, “4” et “5”.

Dans un premier temps, à partir de la fréquence des réponses dans chacune des 7 catégoriesobservée pour chaque paire de sons, la matrice P(c) des proportions cumulées est calculée1 :

1De par les restrictions intrinsèques à la méthode évoquées ci-avant, les paires de sons pour lesquelles plus de50% des jugements de dissimilarité tombent dans la première ou la dernière catégorie sont écartées de l’analysecar les valeurs de dissimilarité sur le continuum psychologique ne peuvent être calculées pour ces paires ; lenombre de paires prises en compte dans l’analyse est noté n.

108

E.2. Application de la méthode des intervalles successifs aux jugements de dissimilarité

P(c) =

p(c)11 p

(c)12 . . . p

(c)1g . . . p

(c)17

p(c)21 p

(c)22 . . . p

(c)2g . . . p

(c)27

......

. . .... . . .

...p(c)j1 p

(c)j2 . . . p

(c)jg . . . p

(c)j7

...... . . .

.... . .

...p(c)n1 p

(c)n2 . . . p

(c)ng . . . p

(c)n7

où p(c)jg est la proportion des sujets ayant rangé le stimulus Sj dans les catégories inférieures

ou égales à la gième catégorie, définie par :

p(c)jg =

g∑i=1

Nji

Nf(E.2)

où Nji est le nombre de sujets ayant placé le stimulus Sj dans la iième catégorie (i 6 g) et Nf

le nombre total de sujets dont les réponses ont été jugées fiables (Cf. section 6.1.4.1). Pourles catégories g = 1 à 6 (i.e. “0” à “5”), les proportions cumulées p(c)

jg sont ensuite transforméesen scores centrés réduits zjg en suivant la loi normale centrée-réduite N (0, 1)2. Les valeurs dezjg représentent les distances, en unité d’écart-réduit, entre les valeurs subjectives moyennesdes stimuli et les bornes supérieures des intervalles [Bon86] ; en d’autres termes, chaque valeurde zjg correspond à une estimation de la borne supérieure de l’intervalle correspondant à lacatégorie g, fournie par le stimulus Sj . Aussi, la meilleure estimation de la borne supérieurede l’intervalle correspondant à la catégorie g est donnée par la moyenne des scores zjg calculéspour les différents stimuli Sj :

tg =1n

n∑j=1

zjg (E.3)

où tg correspond à la borne supérieure de l’intervalle correspondant à la catégorie g et n estle nombre de paires de stmuli prises en compte dans l’analyse.

Les largeurs lg des intervalles successifs sont alors données par :

lg = tg − tg−1 , g ∈ [2, 6] (E.4)

Pour un stimulus Sj , la valeur subjective de la dissimilarité sj est obtenue en déterminant,par interpolation linéaire, la médiane de la distribution des proportions cumulées p(c)

jg desjugements sur le continuum psychologique [Edw52] :

sj = tg + (0.5− p(c)jg )× tg+1 − tg

p(c)jg+1 − p

(c)jg

, avec p(c)jg+1 > 0.5 > p

(c)jg (E.5)

2De même que pour la construction de l’échelle de préférence suivant la loi du jugement comparatif (Cf.section 2.2.2.4), les valeurs de proportions égales à 0 ou 1 sont remplacées respectivement par 1

2Nfet 1− 1

2Nfoù

Nf est le nombre total de sujets dont les réponses ont été jugées cohérentes et prises en compte dans l’analyse.

109


E.2.2 Définition d’un indicateur du niveau réel de la mesure

Les largeurs des intervalles sous-tendant le continuum subjectif des dissimilarités construitpar la méthode des intervalles successifs représentent les largeurs “vraies” des catégories, tellesqu’elles sont réellement perçues par les sujets. On cherche à évaluer le degré de similitude entreles largeurs “vraies” des intervalles ; cette évaluation est permise par la confrontation des valeurs“vraies” des bornes supérieures des catégories, telles qu’elles sont réellement interprétées parles sujets, et leurs valeurs “ciblées”, telles qu’elles devraient être interprétées par les sujets dansl’hypothèse d’une échelle du niveau d’intervalles.

Les valeurs “vraies” des bornes supérieures des catégories sont obtenues en suivant la procé-dure de calcul présentée dans la section précédente. Dans l’hypothèse d’une échelle du niveaud’intervalles, l’échelle à catégories désigne à proprement parler un continuum psychologiqueà intervalles apparemment égaux. En considérant que les labels des catégories de l’échelle deréponse représentent les valeurs centrales des intervalles, la distance qui sépare les valeurscentrales de deux intervalles successifs est égale à 1, i.e. la largeur de chaque intervalle, cor-respondant à la largeur “ciblée” pour chaque catégorie, est égale à 1. Les valeurs “ciblées” desbornes supérieures des catégories “0”, “1”, “2”, “3”, “4” et “5” sont alors respectivement égales à0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5 et 5.5 (Cf. tableau E.1).

Catégorie de l’échelle de réponse 0 1 2 3 4 5 6Numéro g de la catégorie 1 2 3 4 5 6 7Valeurs “vraies” des bornes supérieures descatégories sur le continuum subjectif

t1 t2 t3 t4 t5 t6

Largeurs “vraies” des catégories sur lecontinuum subjectif

l2 l3 l4 l5 l6

Largeurs “ciblées” des catégories sur lecontinuum subjectif

1 1 1 1 1

Valeurs “ciblées” des bornes supérieuresdes catégories sur le continuum subjectif

0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5

Tab. E.1 – Tableau des correspondances entre le continuum psychologique construit par laméthode des intervalles successifs et le continuum subjectif “ciblé”, découlant de l’hypothèsed’une échelle à catégories du niveau d’intervalles.

Aussi, dans la pratique, le calcul du coefficient de corrélation linéaire r2bornes entre les valeurs“ciblées” et “vraies” des bornes supérieures des catégories permet de fournir une indication surle degré de similitude entre les largeurs “vraies” des catégories [Fau03]. La valeur de r2bornes

permet ainsi d’apprécier le niveau réel de la mesure de dissimilarité ; dans l’idéal, si l’échellede catégories a été parfaitement perçue par l’ensemble des sujets comme une échelle du niveaud’intervalles, alors la valeur de r2bornes est égale à 1.

110

E.3. Évaluation de la qualité d’ajustement aux données de dissimilarité de la méthode des intervalles

successifs

E.3 Évaluation de la qualité d’ajustement aux données de dis-similarité de la méthode des intervalles successifs

La pertinence de l’indicateur r2bornes pour estimer le niveau réel de la mesure dépend étroi-tement de la qualité d’ajustement aux données de dissimilarité de la méthode des intervallessuccessifs. La procédure d’évaluation de la qualité d’ajustement consiste à confronter les pro-portions cumulées “observées” p(c)

jg à des proportions cumulées “théoriques” p(c)jg reconstruites

à partir des valeurs de dissimilarité calculées sur le continuum psychologique [Edw52].Tout d’abord, des scores centrés réduits “théoriques” zjg sont calculés par soustraction des

valeurs de dissimilarité sj sur le continuum aux bornes supérieures tg des intervalles, puisreportés dans une matrice, désignée Z :

Z =

z11 z12 . . . z1g . . . z16

z21 z22 . . . z2g . . . z26...

.... . .

... . . ....

zj1 zj2 . . . zjg . . . zj6

...... . . .

.... . .

...zn1 zn2 . . . zng . . . zn6

où les éléments zjg sont donnés par :

zjg = tg − sj , j ∈ [1, n] , g ∈ [1, 6] (E.6)

où sj est la valeur de dissimilarité calculée sur le continuum psychologique pour le stimulusSj et tg est la borne supérieure de l’intervalle correspondant à la catégorie g.

Ensuite, les éléments p(c)jg de la matrice P(c) de proportions cumulées “théoriques” sont cal-

culés en utilisant la fonction de répartition de la loi normale centrée-réduite N (0, 1). Les pro-portions cumulées “théoriques” p(c)

jg de la matrice P(c) et les proportions cumulées “observées”

p(c)jg placées dans les six premières colonnes de la matrice P(c) sont portées à la comparaison3.

La valeur du coefficient de corrélation r2valid entre les deux séries de proportions cumuléesdonne une mesure de la qualité d’ajustement aux données de dissimilarité de la méthode desintervalles successifs. Ainsi, plus la valeur de r2valid sera proche de 1, plus l’indicateur r2bornes

sera pertinent pour évaluer à propos le niveau réel de la mesure de dissimilarité.

3En fait, seules les entrées indépendantes des matrices P(c) et P(c) sont alors portées à la comparaison ; pourP(c), les éléments rangés dans la 7eme colonne ne constituent pas des entrées indépendantes car ils “doivent”être tous égaux à 1 [Edw52].

111


112

Annexe F

Compléments sur l’établissement destendances qualitatives originales relatives àl’influence de la variation de paramètresstructuraux d’un système plaque-cavité

F.1 Analyse en clusters des sujets

F.1.1 Jugements de dissimilarité

La figure F.1 présente les résultats de la Classification Ascendante Hiérarchique appliquéesur la matrice de dissemblances entre sujets D1. La partition en 2 classes se démarque desautres partitions de par son indice de qualité plus élevé. Pour cette partition, l’une des deuxclasses est composée d’un seul sujet, i.e. le sujet n2 ; on peut considérer ce sujet comme un“outlier”. Ces résultats montrent qu’il n’existe pas de sous-groupes de sujets avec des logiquesclairement différentes.

Pour l’établissement des tendances qualitatives originales (Cf. section 6.2.2), les jugementsde dissimilarité prononcés par le sujet n2 seront écartés de l’analyse.

113

Annexe F. Compléments sur l’établissement des tendances qualitatives originales relatives àl’influence de la variation de paramètres structuraux d’un système plaque-cavité

18 32 31 6 8 4 13 30 15 16 21 24 29 17 25 20 23 5 19 26 10 11 27 12 7 9 22 28 1 3 33 14 2

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

N° Sujet

Niv

eau d

'agrégati

on

2 classes


2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nombre de classes

In

dic

e d

e q

uali

té


Fig. F.1 – Classification Ascendante Hiérarchique réalisée à partir de la matrice de dissem-blances D1.

F.1.2 Jugements de préférence

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Vale

ur p

ro

pre (

s.u

.)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

x 104

6.015

(a) Diagramme des valeurs propres expriméesen fonction du numéro du facteur principal as-socié.

1 6 11 16 21 26 310

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rang Sujet

r2

(b) Valeurs du coefficient de corrélation r (élevéau carré) entre les projections des stimuli surle vecteur sujet et les scores primaires initia-lement calculés, pour les différents sujets. — :espace 4D, – – : espace 5D.

Fig. F.2 – Étude de la dimensionnalité de l’espace perceptif de préférence dressé via MDPREFà partir des réponses de tous les sujets. On opte pour une dimensionnalité égale à 5.

114

F.2. Établissement des tendances qualitatives

F.2 Établissement des tendances qualitatives

F.2.1 Espace perceptif de dissimilarité

F.2.1.1 Évaluation du niveau réel de la mesure de dissimilarité

Les valeurs de l’indicateur r2bornes du niveau de la mesure et de l’indicateur r2valid de laqualité d’ajustement aux données de la méthode des intervalles successifs (Cf. annexe E) sontreportées dans le tableau F.1.

r2bornes r2valid

0.997 (p < .001) 0.980 (p < .001)

Tab. F.1 – Indicateur r2bornes du niveau de la mesure et indicateur r2valid de la qualité d’ajus-tement aux données de la méthode des intervalles successifs.

La valeur élevée de l’indicateur r2valid autorise à utiliser r2bornes comme un indicateur per-tinent du niveau réel de la mesure. Aussi, la valeur élevée de r2bornes montre que les sujets ontglobalement perçu l’échelle de catégories comme une échelle métrique, i.e. comme une échelleà intervalles apparemment égaux. Ainsi, sous INDSCAL, l’analyse multidimensionnelle seramenée dans des conditions relativement proches des conditions initiales d’utilisation du modèle(données en entrée du niveau d’intervalles).

115


F.2.1.2 Détermination de la dimensionnalité

Le tracé de la proportion cumulée de variance expliquée par INDSCAL en fonction dunombre de dimensions est présenté sur la figure F.3. On peut observer que la proportionvarie “doucement” en fonction du nombre de dimensions ; un coude, peu prononcé, apparaîtsur la courbe entre les dimensionnalités égales à 2 et 3 ; ainsi, la dimensionnalité de l’espaceperceptif de dissimilarité est vraisemblablement égale à 2 ou 3. La taille importante des ellipsesde confiance à 95% calculées sur les positions des stimuli dans l’espace à 3 dimensions (Cf.figure F.4) donne à penser que la solution INDSCAL est relativement instable pour cettedimensionnalité. Aussi, une dimensionalité égale à 2 est finalement retenue.

1

Nombre de dimensionsPro

po

rtio

n c

um

ulé

e d

e v

aria

nce

ex

pli

quée

(%

)

20

30

40

50

60

70

2 3 4 5

Fig. F.3 – Proportion cumulée de variance expliquée en fonction du nombre de dimensions.

116


-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Dimension 1

Dim

ensi

on 2

0.8-0.8 1-1

-0.8

-1

0.8

1

A1

B1

C1

D1E

1

F1

G1

H1I

1

J1

K1

H2

A2

(a) Dimensions 1-2.

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Dimension 1

Dim

ensi

on 3

0.8-0.8 1-1

-0.8

-1

0.8

1

A1

B1

C1

D1E

1F

1

G1

H1

I1

J1

K1

H2A

2

(b) Dimensions 1-3.

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Dimension 2

Dim

ensi

on 3

0.8-0.8 1-1

-0.8

0.8

1

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

J1

K1

H2

A2

(c) Dimensions 2-3.

Fig. F.4 – Espace perceptif de dissimilarité 3D des stimuli, dans leur ellipsoïde de confianceà 95%.

117


F.2.1.3 Analyse psychoacoustique

22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Sonie de Zwicker (SoneGF)

Dim

ensio

n 1

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

J1

K1H

2

A2

0

y =

1.7

153 - 0

.0574x

r = -0.936, p < .001

Fig. F.5 – Diagramme des coordonnées des stimuli le long de la dimension 1 de l’espaceperceptif de dissimilarité exprimées en fonction des valeurs de la sonie de Zwicker. — : droitede régression.

3 4 5 6 7 8

CGS (Bark)

Dim

en

sio

n 2

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

J1

K1

H2

A2

y = -0.8

743 + 0

.1567x

r = 0.905, p < .001

Fig. F.6 – Diagramme des coordonnées des stimuli le long de la dimension 2 de l’espaceperceptif de dissimilarité exprimées en fonction des valeurs du Centre de Gravité Spectral.— : droite de régression.

118


F.2.2 Espace perceptif de préférence

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Vale

ur p

ropre (

s.u

.)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

x 104

6.001

(a) Diagramme des valeurs propres exprimées enfonction du numéro du facteur principal associé.

1 6 11 16 21 26 310

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rang Sujetr

2

(b) Valeurs du coefficient de corrélation r (élevéau carré) entre les projections des stimuli sur levecteur sujet 4D et les scores primaires initiale-ment calculés, pour les différents sujets.

Fig. F.7 – Détermination de la dimensionnalité de l’espace perceptif de préférence. Une di-mensionnalité égale à 4 apparaît appropriée.

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

J1

K1

H2

A2

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.2

0.2

0.4

0.6

Facteur 3

Facte

ur 4

0.8

-0.8

-1

1

-0.8-1 0.8 1

-0.4

0

Fig. F.8 – Plan factoriel 3-4 de l’espace perceptif de préférence. : stimuli, : extrémités desvecteurs sujets, • : extrémité du vecteur sujet “moyen”.

119


F.2.3 Valeurs de mérite

F.2.3.1 Qualité d’ajustement des modèles de mesure unidimensionnelle aux don-nées de préférence

Le tracé des proportions “théoriques” en fonction des proportions “observées”, réalisé pourles modèles de Thurstone (cas V ) et de Bradley-Terry, est présenté sur la figure F.9.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Proportion observée

Pro

po

rti

on

théo

riq

ue

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(a) Modèle de Thurstone (cas V ).

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Pro

po

rti

on

théo

riq

ue

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(b) Modèle de Bradley-Terry.

Fig. F.9 – Proportions “théoriques” vs proportions “observées”.

Pour les deux modèles de mesure, la faible dispersion du nuage de points indique unebonne qualité d’ajustement du modèle aux données expérimentales ; en outre, le coefficient decorrélation r2 entre les deux séries de proportions est égal à 0.96 pour les deux modèles ; laqualité d’ajustement que ces deux modèles affichent est équivalente. Nous décidons d’utiliserle modèle de Thurstone (cas V ) pour établir le classement des stimuli selon leur valeur demérite.

120


F.2.3.2 Construction du modèle prédictif de la préférence

22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5


Vale

ur d

e m

érit

e m

esu

rée

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

J1

K1

H2

A2

y = 5.2929 - 0.1771x

r = -0.963, p < .001

Fig. F.10 – Diagramme des valeurs de mérite mesurées des stimuli exprimées en fonction desvaleurs de la sonie de Zwicker. — : droite de régression.

121


122

Annexe G

Quelques éléments complémentaires surl’analyse auditive réalisée sous dBSonic

L’analyse auditive proposée sous dBSonic © Cortex Instruments - 01dB Metravib

Technologies repose principalement sur l’approche de Terhardt du traitement de l’informa-tion auditive par les systèmes auditif et cognitif humains1,2 [Hei88, Ter87, Ter92].

G.1 Le spectrogramme auditif

Le spectrogramme auditif (ASP) est une représentation temps-fréquence auditivement adé-quate des signaux. L’ASP d’un son est calculé par application sur le signal temporel d’uneTransformée de Fourier à Court Terme — Short-Time Fourier Transform en anglais (STFT)— modifiée [Cor04]. Contrairement à une STFT classique [OSB99], pour cette transforméemodifiée, l’échelle fréquentielle est non linéaire (exprimée en Barks) ; la largeur de banded’analyse fréquentielle est non constante, et ce en adéquation avec la sélectivité fréquentiellede l’oreille humaine. Les valeurs utilisées pour les deux principaux paramètres de calcul sont :

– Pas fréquentiel : 0.05 Bark3,

– Période d’échantillonnage (espace temporel entre deux trames spectrales) : 1 ms4.

Un exemple d’ASP est présenté sur la figure G.1.

Le spectre auditif d’un stimulus, à partir duquel est calculée la métrique CGS (Cf. section6.2.2.1), correspond à la moyenne des 4000 trames spectrales de l’ASP calculées sur les 4secondes de signal.

1E. Terhardt. Psychophysics of audio signal processing and the role of pitch in speech. In M. E. H. Schouten,éditeur, The Psychophysics of Speech Perception, pages 271-283. M. Nijhoff Publ., Dordrecht, Netherlands, 1987(cité dans [Cor04]).

2E. Terhardt. Akustische Kommunikation. Grundlagen mit Hörbeispielen. Springer Verlag, Berlin - Heidel-berg, Germany, 1998 (cité dans [Cor04]).

3Cette valeur correspond à la résolution fréquentielle de l’oreille [Cor04].4Cette valeur correspond à la résolution temporelle de l’oreille [Cor04].

123

Annexe G. Quelques éléments complémentaires sur l’analyse auditive réalisée sous dBSonic

Fig. G.1 – Exemple d’ASP calculé sous dBSonic.

G.2 Le diagramme de contours auditifs

Le diagramme de contours auditifs, aussi appelé maxigramme, est la représentation gra-phique du profil temporel des partiels d’un son — Part-Tone-Time-Pattern (PTTP) en anglais[Hei88]. La base psychophysique du PTTP est le modèle de perception des hauteurs spectralesproposé par Terhardt. Dans ce modèle, les hauteurs spectrales jouent le rôle de contours au-ditifs. Au sein du PTTP, le partiel est l’équivalent physique du percept de hauteur spectrale.Dans la pratique, les partiels sont extraits de l’ASP par un algorithme de détection de pic ;pour plus de précisions sur le paramétrage de la procédure d’extraction, on pourra se reporterà la référence [Cor04].

Un exemple de maxigramme est présenté sur la figure G.2.

G.3 Le diagramme Frequency Tracks

Le diagramme Frequency Tracks — on se propose de traduire Frequency Tracks en françaispar Pistes Fréquentielles — d’un stimulus est déterminé à partir de son maxigramme : les pistesfréquentielles (dont l’amplitude est exprimée en dB), qui représentent les composantes tonalesauditivement pertinentes du stimulus, sont formées par connexion des éléments de contourfréquentiel, et ce suivant des critères qui reposent sur les principes de la théorie Gestalt. LaGestalt est, au sens large, une théorie des formes et des organisations ; ses principes, énoncésinitialement dans le cadre de la perception visuelle puis transposés au domaine de la perception

124

G.3. Le diagramme Frequency Tracks

Fig. G.2 – Exemple de maxigramme calculé sous dBSonic.

auditive, sont précisés dans la référence [Par07]. Aussi, en dehors des composantes tonalesauditivement pertinentes, le reste de l’information contenue dans les sons, assimilé à du bruit,est éliminé de la représentation graphique.

Dans la pratique, les valeurs utilisées pour les deux principaux critères de connexion sontles suivantes :

– Intervalle de recherche en fréquence : 0.15 Bark. Ce critère représente l’espacementfréquentiel maximal entre éléments de contour fréquentiel voisins en-deçà duquel ceux-cipeuvent être connectés.

– Intervalle de recherche en niveau : 10 dB. Pour des éléments de contour fréquentieltombant dans l’intervalle de recherche en fréquence, ce critère représente la différencede niveau de pression maximale en-deçà de laquelle ceux-ci sont connectés.

125

Annexe G. Quelques éléments complémentaires sur l’analyse auditive réalisée sous dBSonic

126

Annexe H

Compléments relatifs à l’ajustement de lafréquence de coupure des sons

H.1 Résultats complémentaires relatifs à l’analyse des donnéesissues de l’évaluation auditive des stimuli filtrés passe-basà f ∗max = 2500 Hz

H.1.1 Analyse en clusters des sujets

H.1.1.1 Jugements de dissimilarité

8 21 30 11 26 7 12 13 17 16 27 23 25 29 18 20 3 14 24 1 10 2 22 4 28 5 15 6 9 19

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

N° Sujet

Niv

eau d

'agrégati

on


2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nombre de classes

In

dic

e d

e q

uali

té


Fig. H.1 – Résultats de la Classification Ascendante Hiérarchique réalisée à partir de la matricede dissemblances D1. Ces résultats ne révèlent pas de sujets “outliers” ou de sous-groupes desujets.

127

Annexe H. Compléments relatifs à l’ajustement de la fréquence de coupure des sons

H.1.1.2 Jugements de préférence

22 27 25 7 18 1 21 29 10 23 3 2 14 26 30 15 5 24 13 20 11 16 28 8 9 12 4 6 17 19

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

N° Sujet

Niv

eau

d'a

grég

ati

on

2 classes

3 classes

4 classes

5 classes

(a) Dendrogramme des sujets. Pour chaque partition pertinente, lessujets jugés comme étant des “outliers” sont surlignés. Les couleursde surlignage respectent les couleurs utilisées ci-dessous pour repérerles différentes partitions pertinentes.

2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nombre de classes

Indic

e d

e q

uali

té

(b) Valeurs de l’indice de qualité exprimées en fonc-tion du nombre de classes. Les partitions jugéescomme pertinentes sont repérées par un cercle co-loré.

Fig. H.2 – Résultats de la Classification Ascendante Hiérarchique appliquée sur la matrice dedissemblances D2.

128

H.1. Résultats complémentaires relatifs à l’analyse des données issues de l’évaluation auditive des

stimuli filtrés passe-bas à f∗max = 2500 Hz

7 22 18 1 10 27 16 23 25 21 29 26 28 2 8 3 24 5 11 13 30 15 20 14 9 12 4 6 17 19

5

10

15

20

25

30

35

40

N° Sujet

Niv

eau

d'a

grég

ati

on

2 classes

3 classes

4 classes


2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nombre de classes

Indic

e d

e q

uali

té


Fig. H.3 – Résultats de la Classification Ascendante Hiérarchique appliquée sur la matrice dedissemblances D3.

129


5.864

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Vale

ur p

ro

pre (

s.u

.)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

x 104


1 6 11 16 21 260

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rang Sujet

r2


Fig. H.4 – Etude de la dimensionnalité de l’espace perceptif de préférence dressé via MDPREFà partir des réponses de tous les sujets. On opte pour une dimensionnalité égale à 4.

64

19

17

20

13

12

9

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.2

0.2

0.4

0.6

Facteur 1

Facte

ur 2

0.8

-0.8

-1

1

-0.8-1 0.8 1

-0.4

0

III

III IV

(a) Plan factoriel 1−2.

4

6

19

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.2

0.2

0.4

0.6

Facteur 3

Facte

ur 4

0.8

-0.8

-1

1

-0.8-1 0.8 1

-0.4

0

III

III IV

17

(b) Plan factoriel 3−4.

Fig. H.5 – Bilan des différences inter-individuelles à partir de l’espace perceptif de préférence4D dressé via MDPREF sur la base des réponses de tous les sujets. : extrémités des vecteurssujets, • : extrémité du vecteur sujet “moyen”. × : sujets finalement considérés comme des“outliers” après recoupement avec les résultats des deux CAH.

130



H.1.2 Établissement des tendances qualitatives approximées

H.1.2.1 Espace perceptif de dissimilarité

H.1.2.1.a Évaluation du niveau réel de la mesure de dissimilarité

r2bornes r2valid

0.996 (p < .001) 0.977 (p < .001)

Tab. H.1 – Indicateur r2bornes du niveau de la mesure et indicateur r2valid de la qualité d’ajus-tement aux données de la méthode des intervalles successifs. Sur la base des valeurs élevéesdes deux indicateurs, proches de 1, on peut avancer que les sujets ont relativement bien perçuglobalement l’échelle de catégories comme une échelle métrique du niveau d’intervalles.

H.1.2.1.b Détermination de la dimensionnalité

1


po

rti

on

cu

mu

lée d

e v

aria

nce e

xp

liq

uée (

%)

20

30

40

50

60

70

2 3 4 5

Fig. H.6 – Proportion cumulée de variance expliquée par le modèle INDSCAL en fonction dunombre de dimensions. On opte pour une dimensionnalité de l’espace égale à 2.

131


H.1.2.1.c Analyse psychoacoustique

3 4 5 6 7 8

CGS (bark)

Dim

ensio

n 1

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

J1

K1H

2

A2

y = -0.9

587 + 0

.1838x

r = 0.940, p < .001

Fig. H.7 – Diagramme des coordonnées des stimuli filtrés passe-bas à f∗max le long de ladimension 1 de l’espace perceptif de dissimilarité approximé exprimées en fonction des valeursdu CGS calculées sur ces stimuli. — : droite de régression.

18 20 22 24 26 28 30 32 34


-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Dim

en

sio

n 2

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

J1

K1

H2

A2

y =

1.6

345 - 0

.0633x

r = -0.929, p < .001

Fig. H.8 – Diagramme des coordonnées des stimuli filtrés passe-bas à f∗max le long de ladimension 2 de l’espace perceptif de dissimilarité approximé exprimées en fonction des valeursde la sonie de Zwicker calculées sur ces stimuli. — : droite de régression.

132



H.1.2.2 Espace perceptif de préférence

5.702

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Vale

ur p

ro

pre (

s.u

.)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

x 104


1 6 11 16 21 260

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rang Sujetr

2


Fig. H.9 – Détermination de la dimensionnalité de l’espace perceptif de préférence. Une di-mensionnalité égale à 3 apparaît appropriée.

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.2

0.2

0.4

0.6

Facteur 2

Facte

ur 3

0.8

-0.8

-1

1

-0.8-1 0.8 1

-0.4

0

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

J1

K1

H2

A2

Fig. H.10 – Plan factoriel 2-3 de l’espace perceptif de préférence approximé. : stimuli, :extrémités des vecteurs sujets, • : extrémité du vecteur sujet “moyen”.

133


H.1.2.3 Valeurs de mérite

H.1.2.3.a Qualité d’ajustement du modèle de Thurstone (Cas V) aux donnéesde préférence

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Pro

po

rti

on

théo

riq

ue

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Fig. H.11 – Proportions “théoriques” vs proportions “observées” pour le modèle de Thurstone(cas V ). Le coefficient de corrélation r2 entre les deux séries de proportions est égal à 0.973(p < .001).

H.1.2.3.b Construction du modèle de préférence

22 24 26 28 30 32 3418 20

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5


Vale

ur d

e m

érit

e m

esurée

2

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

J1

K1

H2

A2

y = 5.6891 - 0.2204x

r = -0.961, p < .001

Fig. H.12 – Diagramme des valeurs de mérite mesurées des stimuli filtrés passe-bas à f∗max

exprimées en fonction des valeurs de la sonie de Zwicker calculées sur ces stimuli. — : droitede régression.

134

H.2. Résultats de l’analyse des données issues de l’évaluation auditive des stimuli filtrés passe-bas à

fmax = 5000 Hz

H.2 Résultats de l’analyse des données issues de l’évaluationauditive des stimuli filtrés passe-bas à fmax = 5000 Hz



22 29 10 14 2 3 33 30 31 18 26 32 8 1 6 9 20 27 24 5 12 4 16 17 11 13 19 21 7 15 25 28 23

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

N° Sujet

Niv

eau

d'a

grég

ati

on

2 classes

(a) Dendrogramme des sujets. Le sujet jugé comme étantun “outliers” est surligné. La couleur de surlignage res-pecte la couleur utilisée ci-dessous pour repérer la parti-tion pertinente.

2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nombre de classes

In

dic

e d

e q

uali

té

(b) Valeurs de l’indice de qualité expriméesen fonction du nombre de classes. La par-tition jugée comme pertinente est repéréepar un cercle coloré.

Fig. H.13 – Résultats de la Classification Ascendante Hiérarchique réalisée à partir de lamatrice de dissemblances D1. Le sujet n23 est considéré comme un sujet “oulier”, dont lesréponses de dissimialrité ne sont pas prises en compte.

135



8 24 31 7 1 30 33 2 3 20 27 10 12 14 17 25 32 26 23 29 11 13 16 28 18 21 5 6 19 4 15 22 9

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

N° Sujet

Niv

eau

d'a

grég

ati

on

2 classes

6 classes


2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nombre de classes

Indic

e d

e q

uali

té

(b) Valeurs de l’indice de qualité exprimées enfonction du nombre de classes. Les partitions ju-gées comme pertinentes sont repérées par un cerclecoloré.

Fig. H.14 – Résultats de la Classification Ascendante Hiérarchique appliquée sur la matricede dissemblances D2.

136


fmax = 5000 Hz

30 33 3 20 27 25 1 2 24 7 31 26 8 10 17 14 5 16 12 32 21 28 18 23 29 6 4 11 13 15 19 22 9

5

10

15

20

25

30

35

N° Sujet

Niv

eau

d'a

grég

ati

on

2 classes

3 classes

4 classes


2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nombre de classes

Indic

e d

e q

uali

té



137


6.061

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Vale

ur p

ro

pre (

s.u

.)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

x 104


1 6 11 16 21 26 310

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rang Sujet

r2


Fig. H.16 – Etude de la dimensionnalité de l’espace perceptif de préférence dressé via MD-PREF à partir des réponses de tous les sujets. Sur la figure (a), la droite est sectionnée endeux parties avec deux pentes distinctes (la rupture de pente intervient pour le facteur 8).Dans ce cas particulier, selon la méthode du scree test, la règle est d’ignorer la partie basse dela droite [Cat66]. La dimensionnalité appropriée peut être estimée par le numéro du facteurdont la valeur propre associée se situe à l’extrémité de la partie haute de la droite, i.e. ladimensionnalité appropriée est ici égale à 4.

138


fmax = 5000 Hz

9

22

15

4

19

29

13

11

16

21

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.2

0.2

0.4

0.6

Facteur 1

Facte

ur 2

0.8

-0.8

-1

1

-0.8-1 0.8 1

-0.4

0

III

III IV


4

22

15

19

9

18

6

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.2

0.2

0.4

0.6

Facteur 3

Facte

ur 4

0.8

-0.8

-1

1

-0.8-1 0.8 1

-0.4

0

III

III IV



139





r2bornes r2valid

0.998 (p < .001) 0.978 (p < .001)



1


po

rtio

n c

um

ulé

e d

e v

aria

nce

ex

pli

quée

(%

)

20

30

40

50

60

70

2 3 4 5

Fig. H.18 – Proportion cumulée de variance expliquée par le modèle INDSCAL en fonction dunombre de dimensions. On opte pour une dimensionnalité de l’espace égale à 2. Les proportionsde variance expliquées par les facteurs 1 et 2 sont respectivement égales à 26% et 22%.

140


fmax = 5000 Hz


3 4 5 6 7 8

CGS (bark)

Dim

en

sio

n 1

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

J1

K1

H2

A2

r = 0.955, p < .001

y = -0.9

07 + 1

.1621x

Fig. H.19 – Diagramme des coordonnées des stimuli filtrés passe-bas à 5000 Hz le long de ladimension 1 de l’espace perceptif de dissimilarité approximé exprimées en fonction des valeursdu CGS calculées sur ces stimuli. — : droite de régression.

22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


Dim

en

sio

n 2

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

J1

K1

H2

A2

0

r = -0.930, p < .001

y =

1.7

093 - 0

.057x

Fig. H.20 – Diagramme des coordonnées des stimuli filtrés passe-bas à 5000 Hz le long de ladimension 2 de l’espace perceptif de dissimilarité approximé exprimées en fonction des valeursde la sonie de Zwicker calculées sur ces stimuli. — : droite de régression.

141


H.2.2.1.d Confrontation des espaces approximé et original

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

J1

K1 H

2

A2

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Dimension 1

Dim

ensio

n 2

-0.6

Fig. H.21 – Espace perceptif de dissimilarité 2D des stimuli, dans leur ellipse de confiance à95%. En traits pleins : configuration approximée obtenue pour un filtrage passe-bas à 5000Hz, en traits pointillés : configuration originale. L’espace approximé a été ajusté à l’espaceoriginal en appliquant une rotation à 90 dans le sens des aiguilles d’une montre puis unesymétrie horizontale. L’adéquation entre les deux espaces est bonne : r = 0.981, p < .001entre la dimension 1 de l’espace approximé et la dimension 2 de l’espace original, r = 0.990,p < .001 entre la dimension 2 de l’espace approximé et la dimension 1 de l’espace original.

142


fmax = 5000 Hz


H.2.2.2.a Détermination de la dimensionnalité

5.956

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Vale

ur p

ropre (

s.u

.)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

x 104


1 6 11 16 21 260

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rang Sujet

r2


Fig. H.22 – Détermination de la dimensionnalité de l’espace perceptif de préférence. Unedimensionnalité égale à 3 apparaît appropriée. Les proportions d’inertie expliquées par lesfacteurs 1, 2 et 3 sont respectivement égales à 83%, 7% et 3.%

143


H.2.2.2.b Confrontation des espaces approximé et original

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.2

0.2

0.4

0.6

Facteur 1

Facte

ur 2

0.8

-0.8

-1

1

-0.8-1 0.8 1

-0.4

0

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1I

1

J1

K1

H2

A2

CGS

Sonie Z.

Fig. H.23 – Plan factoriel 1-2 de l’espace perceptif de préférence. : stimuli filtrés passe-bas à5000 Hz, : extrémités des vecteurs sujets approximés, • : extrémité du vecteur sujet “moyen”approximé, → : vecteurs métriques approximés, ? : stimuli originaux, 4 : extrémités des vec-teurs sujets délimitant le faisceau original de vecteurs sujets, N : extrémité du vecteur sujet“moyen” original, 99K : vecteurs métriques originaux. L’adéquation entre les configurations destimuli est satisfaisante : après ajustement, r = 0.988, p < .001 entre les coordonnées desstimuli originaux et filtrés le long de l’axe 1, r = 0.916, p < .001 entre leurs coordonnées lelong de l’axe 2. La qualité de représentation des vecteurs métriques approximés dans l’espaceapproximé est satisfaisante : respectivement r = 0.984, p < .001 et r = 0.925, p < .001 pourla sonie de Zwicker et le CGS.

144


fmax = 5000 Hz



0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Pro

po

rti

on

théo

riq

ue

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1



22 24 26 28 30 32 34 36 38

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5


Vale

ur d

e m

érit

e m

esurée

2

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

J1

K1

H2

A2

r = -0.963, p < .001

40

y = 5.8263 - 0.1943x

Fig. H.25 – Diagramme des valeurs de mérite mesurées des stimuli filtrés passe-bas à 5000 Hzexprimées en fonction des valeurs de la sonie de Zwicker calculées sur ces stimuli. — : droitede régression.

145


H.2.2.3.c Confrontation des valeurs de mérite approximées et originales

Vale

ur d

e m

érit

e m

esu

rée

B1

A2

C1

I1

F1

E1

K1

G1

H2

D1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Stimulus

-1

-1.5

J1

A1

H1

Fig. H.26 – Comparaison des valeurs de mérite mesurées obtenues par les stimuli originauxet filtrés passe-bas à 5000 Hz. En gris : valeurs de mérite mesurées approximées, en rouge :valeurs de mérite mesurées originales, I : intervalle de confiance à 95%. Les deux séries devaleurs de mérite mesurées sont fortement corrélées : r = 0.973, p < .001.

Vale

ur d

e m

érit

e p

rédit

e

B1

A2

C1

I1

F1

E1

K1

G1

H2

D1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Stimulus

-1

-1.5

J1

A1

H1

Fig. H.27 – Comparaison des valeurs de mérite prédites obtenues par les stimuli originaux etfiltrés passe-bas à 5000 Hz. En gris : valeurs de mérite prédites approximées, en rouge : valeursde mérite prédites originales.

146


fmax = 1500 Hz

H.3 Résultats de l’analyse des données issues de l’évaluationauditive des stimuli filtrés passe-bas à fmax = 1500 Hz



7 15 29 5 20 12 11 13 17 1 4 16 28 10 14 21 18 25 22 3 19 2 6 30 27 9 23 8 24 26

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

N° Sujet

Niv

eau

d'a

grég

ati

on


2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nombre de classes

Indic

e d

e q

uali

té

(b) Valeurs de l’indice de qualité exprimées enfonction du nombre de classes.

Fig. H.28 – Résultats de la Classification Ascendante Hiérarchique réalisée à partir de lamatrice de dissemblances D1. Ces résultats ne révèlent pas de sujets “outliers” ou de sous-groupes de sujets.

147



5 16 20 1 11 14 25 3 29 6 28 9 15 2 8 12 13 30 19 4 17 26 18 21 22 10 24 27 23 7

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

N° Sujet

Niv

eau

d'a

grég

ati

on

2 classes

(a) Dendrogramme des sujets. Le sujet jugé comme étant un “outlier”est surligné. La couleur de surlignage respecte la couleur utilisée ci-dessous pour repérer la partition pertinente.

2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nombre de classes

Indic

e d

e q

uali

té

(b) Valeurs de l’indice de qualité exprimées enfonction du nombre de classes. La partition jugéecomme pertinente est repérée par un cercle coloré.


148


fmax = 1500 Hz

4 5 20 25 26 1 11 16 14 12 30 19 3 29 22 6 15 28 8 9 24 10 21 2 27 13 23 17 18 7

5

10

15

20

25

30

35

40

N° Sujet

Niv

eau

d'a

grég

ati

on

2 classes


2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nombre de classes

Indic

e d

e q

uali

té



149


6.028

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Vale

ur p

ro

pre (

s.u

.)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

x 104


1 6 11 16 21 260

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rang Sujet

r2


Fig. H.31 – Etude de la dimensionnalité de l’espace perceptif de préférence dressé via MD-PREF à partir des réponses de tous les sujets. On opte pour une dimensionnalité égale à 3.

7

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.2

0.2

0.4

0.6

Facteur 1

Facte

ur 2

0.8

-0.8

-1

1

-0.8-1 0.8 1

-0.4

0

III

III IV

13

17

18


7

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.2

0.2

0.4

0.6

Facteur 2

Facte

ur 3

0.8

-0.8

-1

1

-0.8-1 0.8 1

-0.4

0

III

III IV



150


fmax = 1500 Hz




r2bornes r2valid

0.998 (p < .001) 0.980 (p < .001)



1


po

rti

on

cu

mu

lée d

e v

aria

nce e

xp

liq

uée (

%)

20

30

40

50

60

70

2 3 4 5

Fig. H.33 – Proportion cumulée de variance expliquée par le modèle INDSCAL en fonction dunombre de dimensions. On opte pour une dimensionnalité de l’espace égale à 2. Les proportionsde variance expliquées par les facteurs 1 et 2 sont respectivement égales à 31% et 22%.

151



14 16 18 20 22 24 26 28

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


Dim

en

sio

n 1

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

J1

K1

H2

A2

0

r = -0.950, p < .001

y =

1.4

645 - 0

.0728x

Fig. H.34 – Diagramme des coordonnées des stimuli filtrés passe-bas à 1500 Hz le long de ladimension 1 de l’espace perceptif de dissimilarité approximé exprimées en fonction des valeursde la sonie de Zwicker calculées sur ces stimuli. — : droite de régression.

3 4 5 6

CGS (bark)

Dim

en

sio

n 2

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

J1

K1

H2

A2

r = 0.947, p < .001

y = -1.0

296 + 0

.2379x

Fig. H.35 – Diagramme des coordonnées des stimuli filtrés passe-bas à 1500 Hz le long de ladimension 2 de l’espace perceptif de dissimilarité approximé exprimées en fonction des valeursdu CGS calculées sur ces stimuli. — : droite de régression.

152


fmax = 1500 Hz

H.3.2.1.d Confrontation des espaces approximé et original

A1

B1

D1

C1

E1

F1

G1

H1

I1

J1

K1

H2

A2

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Dimension 1

Dim

ensio

n 2

-0.6

Fig. H.36 – Espace perceptif de dissimilarité 2D des stimuli, dans leur ellipse de confiance à95%. En traits pleins : configuration approximée obtenue pour un filtrage passe-bas à 1500Hz, en traits pointillés : configuration originale. Aucune transformation n’a été nécessairepour ajuster l’espace approximé à l’espace original. L’adéquation entre les deux espaces estsatisfaisante : r = 0.951, p < .001 entre les dimensions 1, r = 0.979, p < .001 entre lesdimensions 2. Toutefois, les positions approximée et originale des stimuli A2 et B1 se révèlent iciêtre différentes, au vu du non-chevauchement de leurs ellipses de confiance à 95% respectives.

153



H.3.2.2.a Détermination de la dimensionnalité

5.960

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Vale

ur p

ro

pre (

s.u

.)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

x 104


1 6 11 16 21 260

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rang Sujet

r2


Fig. H.37 – Détermination de la dimensionnalité de l’espace perceptif de préférence. Unedimensionnalité égale à 4 apparaît appropriée. Les proportions d’inertie expliquées par lesfacteurs 1, 2, 3 et 4 sont respectivement égales à 84%, 6%, 3% et 2%.

154


fmax = 1500 Hz

H.3.2.2.b Confrontation des espaces approximé et original

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.2

0.2

0.4

0.6

Facteur 1

Facte

ur 2

0.8

-0.8

-1

1

-0.8-1 0.8 1

-0.4

0

CGS

Sonie Z.

A1

B1

C1

D1E

1

F1

G1

H1

I1

J1

K1

H2

A2

Fig. H.38 – Plan factoriel 1-2 de l’espace perceptif de préférence. : stimuli filtrés passe-bas à1500 Hz, : extrémités des vecteurs sujets approximés, • : extrémité du vecteur sujet “moyen”approximé, → : vecteurs métriques approximés, ? : stimuli originaux, 4 : extrémités des vec-teurs sujets délimitant le faisceau original de vecteurs sujets, N : extrémité du vecteur sujet“moyen” original, 99K : vecteurs métriques originaux. L’adéquation entre les configurations destimuli est satisfaisante : après ajustement, r = 0.966, p < .001 entre les coordonnées desstimuli originaux et filtrés le long de l’axe 1, r = 0.939, p < .001 entre leurs coordonnées lelong de l’axe 2. La qualité de représentation des vecteurs métriques approximés dans l’espaceapproximé est satisfaisante : respectivement r = 0.988, p < .001 et r = 0.984, p < .001 pourla sonie de Zwicker et le CGS. On peut observer que la direction du vecteur approximé associéà la sonie de Zwicker diffère de celle du vecteur original. Aussi, l’éloignement de ce vecteur del’axe 1 peut indiquer que la sonie n’est plus assurément l’attribut auditif auquel se rapportele facteur de consensus.

155




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Pro

po

rti

on

théo

riq

ue

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1



14 16 18 20 22 24 26-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5


Vale

ur d

e m

érit

e m

esu

rée

2

28

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1 J

1

K1

H2

A2

r = -0.904, p < .001

y = 4.5366 - 0.2254x

Fig. H.40 – Diagramme des valeurs de mérite mesurées des stimuli filtrés passe-bas à 1500 Hzexprimées en fonction des valeurs de la sonie de Zwicker calculées sur ces stimuli. — : droitede régression.

156


fmax = 1500 Hz

H.3.2.3.c Confrontation des valeurs de mérite approximées et originales

Vale

ur d

e m

érit

e m

esu

rée

B1

A2

C1

I1

F1

E1

K1

G1

H1

D1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Stimulus

-1

-1.5

J1

A1

H2

Fig. H.41 – Comparaison des valeurs de mérite mesurées obtenues par les stimuli originaux etfiltrés passe-bas à 1500 Hz. En gris : valeurs de mérite mesurées approximées, en rouge : valeursde mérite mesurées originales, I : intervalle de confiance à 95%. Les deux séries de valeurs demérite mesurées sont corrélées : r = 0.946, p < .001. Néanmoins, les rangs des stimuli A2 et K1

dans le classement appromixé (respectivement 5eme et 6eme) sont significativement différentsde ceux qu’ils occupaient dans le classement original (respectivement 8eme et 5eme).

Vale

ur d

e m

érit

e p

rédit

e

B1

A2

C1

I1

F1

E1

K1

G1

H1

D1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Stimulus

-1

-1.5

J1

A1

H2

Fig. H.42 – Comparaison des valeurs de mérite prédites obtenues par les stimuli originaux etfiltrés passe-bas à 1500 Hz. En gris : valeurs de mérite prédites approximées, en rouge : valeursde mérite prédites originales.

157


H.4 Compléments relatifs à la recherche d’un lien entre f ∗max etles caractéristiques globales des sons originaux

H.4.1 lien entre f ∗max et la conservation des niveaux de pression acoustique

globaux des stimuli originaux ?

70

75

80

85

90

95

100

Lp

1G

et L

p2G

(dB

, ré

f =

2× 1

0-5

Pa)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

fcp (kHz)

(a) Stimulus A1.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

fcp (kHz)

70

75

80

85

90

95

100

Lp

1G

et L

p2G

(dB

, ré

f =

2× 1

0-5

Pa)

(b) Stimulus C1.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

fcp (kHz)

70

75

80

85

90

95

100

Lp

1G

et L

p2G

(dB

, ré

f =

2× 1

0-5

Pa)

(c) Stimulus D1.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

fcp (kHz)

70

75

80

85

90

95

100

Lp

1G

et L

p2G

(dB

, ré

f =

2× 1

0-5

Pa)

(d) Stimulus F1.

Fig. H.43 – Courbes d’évolution des niveaux de pression acoustique globaux Lp1G et Lp2G enfonction de la fréquence de coupure fcp des spectres de niveau de pression acoustique Lp1(f)et Lp2(f). — : Lp1G, – – : Lp2G.

158

H.4. Compléments relatifs à la recherche d’un lien entre f∗max et les caractéristiques globales des

sons originaux

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

fcp (kHz)

70

75

80

85

90

95

100

Lp

1G

et L

p2G

(dB

, ré

f =

2× 1

0-5

Pa)

(e) Stimulus H1.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

fcp (kHz)

70

75

80

85

90

95

100

Lp

1G

et L

p2G

(dB

, ré

f =

2× 1

0-5

Pa)

(f) Stimulus I1.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

fcp (kHz)

70

75

80

85

90

95

100

Lp

1G

et L

p2G

(dB

, ré

f =

2× 1

0-5

Pa)

(g) Stimulus K1.

Fig. H.43 – Courbes d’évolution des niveaux de pression acoustique globaux Lp1G et Lp2G enfonction de la fréquence de coupure fcp des spectres de niveau de pression acoustique Lp1(f)et Lp2(f). — : Lp1G, – – : Lp2G. (suite et fin)

159


H.4.2 Lien entre f ∗max et la conservation des niveaux de vitesse quadratique

moyenne globaux de la plaque ?

La figure H.44 présente, pour chaque configuration de plaque, la courbe d’évolution duniveau de vitesse quadratique moyenne global LvG en fonction de la fréquence de coupure fcp

du spectre de niveau de vitesse quadratique moyenne Lv(f), fcp variant entre 100 et 5000 Hz.Le spectre Lv(f) a été défini dans la section 4.3.4.1.a (Cf. expression (4.1)).

Dans la pratique, le calcul de LvG est réalisé tous les ∆fcp = 100 Hz ; pour chaque confi-guration de plaque, il est calculé à chaque incrément de fcp comme suit :

LvG = 10 × log10

(nfcp∑k=1

10Lv,k10

)(H.1)

où nfcp est le nombre de points FFT compris dans le domaine [0, fcp ] Hz ; Lv,k est le niveaude vitesse quadratique moyenne (exprimé en dB), calculé au point FFT d’indice k.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 570

75

80

85

90

95

Lv

G (

dB

, ré

f =

5×

10-8

m/s

)

fcp (kHz)

(a) Configuration A.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 570

75

80

85

90

95

fcp (kHz)

LvG

(dB

, ré

f =

5×

10-8

m/s

)

(b) Configuration B.

Fig. H.44 – Courbes d’évolution du niveau de vitesse quadratique moyenne global LvG enfonction de la fréquence de coupure fcp du spectre de niveau de vitesse quadratique moyenneLv(f), pour les différentes configurations de plaque.

Globalement, on peut remarquer que, quelque soit la configuration de plaque, le niveaude vitesse quadratique moyenne global n’évolue plus au-delà d’une fréquence de coupure fcp

située très en-deçà de 2500 Hz, i.e. située entre 700 et 1300 Hz selon la configuration de plaque.Ainsi, du fait de l’éloignement important entre f∗max et la fréquence de coupure maximale à

partir de laquelle l’ensemble des niveaux de vitesse quadratique moyenne globaux est conservé,i.e. 1300 Hz, on ne peut vraiment établir un lien de causalité entre la conservation des ten-dances qualitatives et la conservation de l’énergie vibratoire de la plaque pour ses différentesconfigurations.

160

H.4. Compléments relatifs à la recherche d’un lien entre f∗max et les caractéristiques globales des

sons originaux

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 570

75

80

85

90

95

fcp (kHz)

Lv

G (

dB

, ré

f =

5×

10-8

m/s

)

(c) Configuration C.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 570

75

80

85

90

95

fcp (kHz)

Lv

G (

dB

, ré

f =

5×

10-8

m/s

)

(d) Configuration D.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 570

75

80

85

90

95

fcp (kHz)

LvG

(dB

, ré

f =

5×

10-8

m/s

)

(e) Configuration E.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 570

75

80

85

90

95

fcp (kHz)

Lv

G (

dB

, ré

f =

5×

10-8

m/s

)

(f) Configuration F .

Fig. H.44 – Courbes d’évolution du niveau de vitesse quadratique moyenne global LvG enfonction de la fréquence de coupure fcp du spectre de niveau de vitesse quadratique moyenneLv(f), pour les différentes configurations de plaque. (suite)

161


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 570

75

80

85

90

95

fcp (kHz)

Lv

G (

dB

, ré

f =

5×

10-8

m/s

)

(g) Configuration G.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 570

75

80

85

90

95

fcp (kHz)

LvG

(dB

, ré

f =

5×

10-8

m/s

)

(h) Configuration H.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 570

75

80

85

90

95

fcp (kHz)

Lv

G (

dB

, ré

f =

5×

10-8

m/s

)

(i) Configuration I.

Fig. H.44 – Courbes d’évolution du niveau de vitesse quadratique moyenne global LvG enfonction de la fréquence de coupure fcp du spectre de niveau de vitesse quadratique moyenneLv(f), pour les différentes configurations de plaque. (suite et fin)

162

H.5. Compléments relatifs à la recherche d’un lien entre f∗max et des caractéristiques fréquentielles

des sons originaux

H.5 Compléments relatifs à la recherche d’un lien entre f ∗max etdes caractéristiques fréquentielles des sons originaux

2500 Hz

(a) Stimulus A1 (voie gauche).

2500 Hz

(b) Stimulus B1 (voie gauche).

2500 Hz

(c) Stimulus E1 (voie gauche).

2500 Hz

(d) Stimulus F1 (voie droite).

Fig. H.45 – Diagrammes Frequency Tracks calculés pour différents stimuli originaux.

163


2500 Hz

(e) Stimulus G1 (voie gauche).

2500 Hz

(f) Stimulus I1 (voie droite).

2500 Hz

(g) Stimulus J1 (voie gauche).

2500 Hz

(h) Stimulus K1 (voie gauche).

2500 Hz

(i) Stimulus A2 (voie gauche).

2500 Hz

(j) Stimulus H2 (voie gauche).

Fig. H.45 – Diagrammes Frequency Tracks calculés pour différents stimuli originaux. (suiteet fin)

164

Annexe I

Compléments relatifs à l’ajustement du pasfréquentiel des sons

165

Annexe I. Compléments relatifs à l’ajustement du pas fréquentiel des sons

I.1 Compléments relatifs au procédé de formation des stimulifiltrés modifiés

|p[k]|

N/2

k

0 1 2 3 4 N-1N-2N-3N-4N

2-2 N

2-1 N

2+1 N

2+2

∆f0

(a) Spectre d’amplitude sur [0, Fs[ avec ∆f0 = 0.25 Hz.

|p[k]|

N/2

k

0 1 2 3 4 N2

-2 N2

-1

∆f0

(b) Spectre d’amplitude sur [0,Fs

2]

avec ∆f0 = 0.25 Hz.

Fig. I.1 – Illustration des étapes sous-jacentes à la modification de l’enveloppe d’un spectred’amplitude d’un stimulus filtré passe-bas à f∗max (encadrées en traits pointillés sur la figure8.2(b)). On considère R, le taux de “décimation”/“interpolation”, égal à 2. L’enveloppe d’unspectre d’amplitude d’un stimulus synthétisé calculé avec un pas fréquentiel ∆f = 0.5 Hz estainsi simulée.

166

I.1. Compléments relatifs au procédé de formation des stimuli filtrés modifiés

|p[k]|

N/2

k

0 1 2 3 4 N2

-2 N2

-1

(c) “Décimation” du spectre d’ampli-tude avec un taux R = 2.

|p[k]|

N/4

k

0 1 2 N4

-1

∆f=∆f0x2

(d) Spectre d’amplitude obtenu sur [0,Fs

2] avec ∆f = ∆f0 × 2 = 0.5 Hz.

|p[k]|

N/2

k

0 1 2 3 4 N2

-2 N2

-1

(e) “Interpolation” du spectre d’ampli-tude avec un taux R = 2.

Fig. I.1 – Illustration des étapes sous-jacentes à la modification de l’enveloppe d’un spectred’amplitude d’un stimulus filtré passe-bas à f∗max (encadrées en traits pointillés sur la figure8.2(b)). On considère R, le taux de “décimation”/“interpolation”, égal à 2. L’enveloppe d’unspectre d’amplitude d’un stimulus synthétisé calculé avec un pas fréquentiel ∆f = 0.5 Hz estainsi simulée. (suite)

167


|p[k]|

N/20 1 2 3 4 N2

-2 N2

-1

k∆f0

(f) Spectre d’amplitude obtenu sur [0,Fs

2] avec ∆f0 = 0.25 Hz.

|p[k]|

N/2

k

0 1 2 3 4 N

2-2

N

2-1 N-1N-2N-3N-4N

2+1 N

2+2

∆f0

(g) Reconstruction du spectre d’amplitude sur [0, Fs[ avec ∆f0 = 0.25Hz par adjonction symétrique (i.e. on opère une symétrie des valeurs

de l’intervalle ]0,Fs


Fs

2).

Fig. I.1 – Illustration des étapes sous-jacentes à la modification de l’enveloppe d’un spectred’amplitude d’un stimulus filtré passe-bas à f∗max (encadrées en traits pointillés sur la figure8.2(b)). On considère R, le taux de “décimation”/“interpolation”, égal à 2. L’enveloppe d’unspectre d’amplitude d’un stimulus synthétisé calculé avec un pas fréquentiel ∆f = 0.5 Hz estainsi simulée. (suite et fin)

168

I.2. Résultats complémentaires relatifs aux expériences de discrimination

I.2 Résultats complémentaires relatifs aux expériences de dis-crimination

A1 B1 C1 D1

n1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 10 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1

n2 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 10 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1

n3 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1

n4 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 10 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

n5 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

n6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 10 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

n7 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 10 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

n8 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 10 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1

n9 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 10 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1

n10 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

n11 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 10 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

(a) Stimuli A1 à D1.

Tab. I.1 – Réponses des sujets aux expériences de discrimination. “1” : son perçu différent duson de référence, “0” : son perçu identique au son de référence, en caractères gras : les réponsesincohérentes.

169


E1 F1 G1 H1

Suj. 1 2 4 8 10 12 1 2 4 8 10 12 1 2 4 8 10 12 1 2 4 8 10 12

n1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 10 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1

n2 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 10 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1

n3 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 10 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1

n4 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 10 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1

n5 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 10 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

n6 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 10 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1

n7 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 10 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1

n8 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 10 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1

n9 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 10 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1

n10 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1

n11 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 10 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1

(b) Stimuli E1 à H1.

Tab. I.1 – Réponses des sujets aux expériences de discrimination. “1” : son perçu différent duson de référence, “0” : son perçu identique au son de référence, en caractères gras : les réponsesincohérentes. (suite)

170


I1 J1 K1 A2

Suj. 1 2 4 8 10 12 1 2 4 8 10 12 1 2 4 8 10 12 1 2 4 8 10 12

n1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 10 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1

n2 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 10 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1

n3 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 10 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1

n4 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 10 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1

n5 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

n6 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 10 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

n7 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 10 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1

n8 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 10 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1

n9 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 10 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1

n10 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

n11 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1

(c) Stimuli I1 à K1 et A2.

Tab. I.1 – Réponses des sujets aux expériences de discrimination. “1” : son perçu différent duson de référence, “0” : son perçu identique au son de référence, en caractères gras : les réponsesincohérentes. (suite)

171


H2

Suj. 1 2 4 8 10 12

n1 0 0 0 1 1 10 0 0 1 1 1

n2 0 0 0 1 1 10 0 0 1 1 1

n3 1 0 0 1 1 10 0 0 1 1 1

n4 0 0 0 1 1 10 0 0 1 1 1

n5 0 0 0 1 1 10 0 0 1 1 1

n6 0 0 0 1 1 10 0 1 1 1 1

n7 0 0 1 1 1 10 0 0 1 1 1

n8 0 0 1 1 1 10 0 0 1 1 1

n9 0 0 0 1 1 10 0 0 1 1 1

n10 0 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1

n11 0 0 0 1 1 10 0 0 1 1 1

(d) Stimulus H2.

Tab. I.1 – Réponses des sujets aux expériences de discrimination. “1” : son perçu différent duson de référence, “0” : son perçu identique au son de référence, en caractères gras : les réponsesincohérentes. (suite et fin)

172


0 1 2 3 4 5 6 7 80

20

40

60

80

100

∆f (Hz)

Pro

bab

ilit

é (%

)

(a) Stimulus A1.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

20

40

60

80

100

∆f (Hz)

Pro

bab

ilit

é (%

)

(b) Stimulus B1.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

20

40

60

80

100

∆f (Hz)

Pro

babi

lité

(%)

(c) Stimulus C1.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

20

40

60

80

100

∆f (Hz)

Pro

bab

ilit

é (%

)

(d) Stimulus D1.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

20

40

60

80

100

∆f (Hz)

Pro

bab

ilit

é (%

)

(e) Stimulus E1.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

20

40

60

80

100

∆f (Hz)

Pro

bab

ilit

é (%

)

(f) Stimulus F1.

Fig. I.2 – Détermination graphique du P.E.S pour les différents stimuli. —x— : pi(S), - -x- - :pi(D).

173


0 1 2 3 4 5 6 7 80

20

40

60

80

100

∆f (Hz)

Pro

bab

ilit

é (%

)

(g) Stimulus G1.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

20

40

60

80

100

∆f (Hz)

Pro

bab

ilit

é (%

)

(h) Stimulus H1.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

20

40

60

80

100

∆f (Hz)

Pro

bab

ilit

é (%

)

(i) Stimulus I1.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

20

40

60

80

100

∆f (Hz)

Pro

bab

ilit

é (%

)

(j) Stimulus J1.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

20

40

60

80

100

∆f (Hz)

Pro

bab

ilit

é (%

)

(k) Stimulus K1.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

20

40

60

80

100

∆f (Hz)

Pro

bab

ilit

é (%

)

(l) Stimulus A2.

Fig. I.2 – Détermination graphique du P.E.S pour les différents stimuli. —x— : pi(S), - -x- - :pi(D). (suite)

174


0 1 2 3 4 5 6 7 80

20

40

60

80

100

∆f (Hz)

Pro

bab

ilit

é (%

)

(m) Stimulus H2.

Fig. I.2 – Détermination graphique du P.E.S pour les différents stimuli. —x— : pi(S), - -x- - :pi(D). (suite et fin)

175


I.3 Résultats complémentaires relatifs à l’appréciation des ap-proximations dues à l’usage des différents pas fréquentielsvia l’évaluation auditive d’un corpus partiel de stimuli

I.3.1 Analyse en clusters des sujets

I.3.1.1 Corpus de stimuli filtrés modifiés formés pour ∆f1 = 2 Hz

14 26 12 7 6 24 13 17 2 16 19 28 30 18 4 22 10 23 3 32 9 11 29 1 5 25 27 8 15 33 34 20 31 210

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

N° Sujet

Niv

eau

d'a

grég

ati

on

2 classes

(a) Dendrogramme des sujets. Les sujets jugés commeétant des “outliers” sont surlignés. La couleur de surli-gnage respecte la couleur utilisée ci-contre pour repérerla partition pertinente.

2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nombre de classes

Ind

ice d

e q

uali

té


Fig. I.3 – Résultats de la Classification Ascendante Hiérarchique appliquée sur la matrice dedissemblances D2.

176

I.3. Résultats complémentaires relatifs à l’appréciation des approximations dues à l’usage des

différents pas fréquentiels via l’évaluation auditive d’un corpus partiel de stimuli

14 26 12 7 6 2 9 11 10 17 30 13 24 16 19 28 29 33 34 3 32 15 4 18 22 25 23 5 27 1 20 8 31 210

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

N° Sujet

Niv

eau

d'a

grég

ati

on

2 classes

3 classes

8 classes

(a) Dendrogramme des sujets. Pour chaque partition pertinente,les sujets jugés comme étant des “outliers” sont surlignés ; les sous-groupes de sujets secondaires sont repérés par un point. Les couleursde surlignage et de point respectent les couleurs utilisées ci-dessouspour repérer les différentes partitions pertinentes.

2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nombre de classes

Indic

e d

e q

uali

té



177


0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Vale

ur p

ropre (

s.u

.)

x 10

1 2 3 4 5 6

3

5.598


1 6 11 16 21 26 310

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rang Sujet

r2


Fig. I.5 – Etude de la dimensionnalité de l’espace perceptif de préférence dressé via MDPREFà partir des réponses de tous les sujets. En dépit du scree test, qui indique une dimensionnalitéoptimale égale à 3, on opte plutôt pour une dimensionnalité égale à 4, pour laquelle on obtientdes qualités de représentation des vecteurs sujets dans l’espace substantiellement plus élevées.

178



20

21

8

31

1

5

2725

2218

4

III

III IV

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.2

0.2

0.4

0.6

Facteur 1

Facte

ur 2

0.8

-0.8

-1

1

-0.8-1 0.8 1

-0.4

0


8

21

1

205

28

33

15

27

III

III IV

31

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.2

0.2

0.4

0.6

Facteur 3

Facte

ur 4

0.8

-0.8

-1

1

-0.8-1 0.8 1

-0.4

0


Fig. I.6 – Bilan des différences inter-individuelles à partir de l’espace perceptif de préférence4D dressé via MDPREF sur la base des réponses de tous les sujets. : extrémités des vecteurssujets, • : extrémité du vecteur sujet “moyen”. × : sujets finalement non retenus pour l’éta-blissement des tendances qualitatives relatives aux valeurs de mérite, après recoupement avecles résultats des deux CAH.

179



19 24 17 6 9 30 14 4 13 22 10 3 26 32 16 12 1 18 2 7 23 11 33 5 25 27 8 29 20 15 28 34 21 310

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

N° Sujet

Niv

eau

d'a

grég

ati

on

2 classes

(a) Dendrogramme des sujets. Les sujets jugés comme étant des“outliers” sont surlignés. La couleur de surlignage respecte la cou-leur utilisée ci-dessous pour repérer la partition pertinente.

2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nombre de classes

In

dic

e d

e q

uali

té

(b) Valeurs de l’indice de qualité exprimées enfonction du nombre de classes. La partition ju-gée comme pertinente est repérée par un cerclecoloré.


180



19 24 17 6 9 30 14 10 4 13 22 2 3 26 33 32 12 23 16 7 11 18 27 1 29 8 15 28 20 5 25 21 31 340

2

4

6

8

10

N° Sujet

Niv

eau

d'a

grég

ati

on

2 classes

(a) Dendrogramme des sujets. Les sujets jugés comme étant des“outliers” sont surlignés. La couleur de surlignage respecte la couleurutilisée ci-dessous pour repérer la partition pertinente.

2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nombre de classes

Indic

e d

e q

uali

té



181


0

0.5

1.5

2.5

3


Vale

ur p

ropre (

s.u

.)

x 10

1 2 3 4 5 6

3

5.778

2

1


1 6 11 16 21 26 310

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rang Sujet

r2



182



31

20

34

255 21

III

III IV

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.2

0.2

0.4

0.6

Facteur 1

Facte

ur 2

0.8

-0.8

1

-0.8-1 0.8 1

-0.4

0

-1


21

5

25

31

20

34

III

III IV

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.2

0.2

0.4

0.6

Facteur 2

Facte

ur 3

0.8

-0.8

1

-0.8-1 0.8 1

-0.4

0

-1



183



13 23 12 7 3 6 19 2 10 29 24 4 14 30 33 11 32 26 9 28 17 18 25 22 27 1 16 5 20 21 31 8 34 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

N° Sujet

Niv

eau

d'a

grég

ati

on

4 classes

(a) Dendrogramme des sujets. Les sujets jugés comme étant des“outliers” sont surlignés ; les sous-groupes de sujets secondairessont repérés par un point. La couleur de surlignage et de pointrespecte la couleur utilisée ci-dessous pour repérer la partitionpertinente.

2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nombre de classes

Indic

e d

e q

uali

té

(b) Valeurs de l’indice de qualité exprimées enfonction du nombre de classes. La partition ju-gée comme pertinente est repérée par un cerclecoloré.


184



13 23 12 7 3 6 32 11 19 2 30 33 10 29 24 4 14 26 9 28 17 18 25 22 27 1 16 15 5 20 21 8 31 340

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

N° Sujet

Niv

eau

d'a

grég

ati

on

10 classes

(a) Dendrogramme des sujets. Les sujets jugés comme étant des“outliers” sont surlignés ; les sous-groupes de sujets secondaires sontrepérés par un point. La couleur de surlignage et de point respectela couleur utilisée ci-dessous pour repérer la partition pertinente.

2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nombre de classes

Indic

e d

e q

uali

té



185


0

0.5

1.5

2.5

3


Vale

ur p

rop

re (

s.u

.)

x 10

1 2 3 4 5 6

3

5.805

2

1


1 6 11 16 21 26 310

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rang Sujet

r2


Fig. I.13 – Etude de la dimensionnalité de l’espace perceptif de préférence dressé via MDPREFà partir des réponses de tous les sujets. La méthode du scree test est difficilement applicablede par l’allure atypique du diagramme des valeurs propres. Néanmoins, on opte pour unedimensionnalité égale à 4, pour laquelle on obtient des qualités de représentation des vecteurssujets dans l’espace substantiellement plus élevées que pour une dimensionnalité inférieure,e.g. 3.

186



3421

31

20 8

5

15

26

1 27

16

25

22

III

III IV

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.2

0.2

0.4

0.6

Facteur 1

Facte

ur 2

0.8

-0.8

-1

1

-0.8-1 0.8 1

-0.4

0


27

22

16

1

15

21

20

5

25

34

31

8

III

III IV

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.2

0.2

0.4

0.6

Facteur 3

Facte

ur 4

0.8

-0.8

-1

1

-0.8-1 0.8 1

-0.4

0



187



10 13 6 24 3 9 12 30 14 4 19 5 7 11 29 32 2 17 33 28 16 27 26 18 23 1 21 22 31 8 20 25 34 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

N° Sujet

Niv

eau

d'a

grég

ati

on

2 classes

3 classes

(a) Dendrogramme des sujets. Pour chaque partition pertinente,le cas échéant, les sujets jugés comme étant des “outliers” sontsurlignés ; les sous-groupes de sujets secondaires sont repérés parun point. Les couleurs de surlignage et de point respectent lescouleurs utilisées ci-dessous pour repérer les différentes partitionspertinentes.

2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nombre de classes

Indic

e d

e q

uali

té

(b) Valeurs de l’indice de qualité exprimées enfonction du nombre de classes. Les partitionsjugées comme pertinentes sont repérées par uncercle coloré.


188



10 13 3 9 12 30 5 11 14 4 16 19 29 32 6 24 7 2 17 33 23 26 28 1 18 25 27 22 31 34 8 20 21 150

2

4

6

8

10

N° Sujet

Niv

eau

d'a

grég

ati

on

2 classes

(a) Dendrogramme des sujets. Les sous-groupes de sujets secondairessont repérés par un point. La couleur de point respecte la couleurutilisée ci-dessous pour repérer la partition pertinente.

2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nombre de classes

Indic

e d

e q

uali

té



189


0

0.5

1.5

2.5

3


Vale

ur p

ropre (

s.u

.)

x 10

1 2 3 4 5 6

3

4.998

2

1


1 6 11 16 21 26 310

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rang Sujet

r2



190



118

2725

3122

34

21

8

20

15

26

28

237

6

17

33

2

III

III IV

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.2

0.2

0.4

0.6

Facteur 1

Facte

ur 2

0.8

-0.8

-1

1

-0.8-1 0.8 1

-0.4

0


28

18

23

34

1626

15

1

2021

8

7

22

31

III

III IV

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.2

0.2

0.4

0.6

Facteur 3

Facte

ur 4

0.8

-0.8

-1

1

-0.8-1 0.8 1

-0.4

025



191


I.3.2 Confrontation des tendances qualitatives relatives aux valeurs de mé-rite

Vale

ur d

e m

érit

e m

esurée

I1

K1

H2

D1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Stimulus

-1

-1.5

A1

H1

(a) ∆f1 = 2 Hz.

Vale

ur d

e m

érit

e m

esu

rée

I1

K1

H2

D1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Stimulus

-1

-1.5

A1

H1

(b) ∆f2 = 4 Hz.

Vale

ur d

e m

érit

e m

esu

rée

I1

K1

H2

D1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1

-1.5

A1

H1

Stimulus

(c) ∆f3 = 5 Hz.

Vale

ur d

e m

érit

e m

esu

rée

I1

K1

H2

D1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Stimulus

-1

-1.5

A1

H1

(d) ∆f4 = 10 Hz.

Fig. I.19 – Confrontation des valeurs de mérite mesurées des stimuli filtrés modifiés auxvaleurs de mérite mesurées des stimuli filtrés passe-bas à f∗max, pour les différentes valeurs ∆fi

(i = 1 à 4) du pas fréquentiel. En gris : valeurs de mérite mesurées des stimuli filtrés modifiés,en rouge : valeurs de mérite mesurées des stimuli filtrés passe-bas à f∗max, I : intervalle deconfiance à 95%.

192

I.4. Résultats complémentaires relatifs à l’appréciation des approximations dues à l’usage d’un pas

fréquentiel ∆fp = 4 Hz via l’évaluation auditive du corpus complet de stimuli

I.4 Résultats complémentaires relatifs à l’appréciation des ap-proximations dues à l’usage d’un pas fréquentiel ∆fp = 4 Hzvia l’évaluation auditive du corpus complet de stimuli

I.4.1 Analyse en clusters des sujets

I.4.1.1 Jugements de dissimilarité

6 15 10 16 30 24 27 5 9 28 13 11 34 17 22 31 18 1 21 14 4 8 33 20 26 2 3 12 7 29 19 25 32 23

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

N° Sujet

Niv

eau

d'a

grég

ati

on

2 classes

(a) Dendrogramme des sujets. Les sujet jugé comme étantun “outlier” est surligné. La couleur de surlignage respectela couleur utilisée ci-contre pour repérer la partition per-tinente.

2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nombre de classes

In

dic

e d

e q

uali

té


Fig. I.20 – Résultats de la Classification Ascendante Hiérarchique réalisée à partir de lamatrice de dissemblances D1. Le sujet n23 est considéré comme un sujet “outlier”, dont lesréponses de dissimilarité ne sont pas prises en compte.

193


I.4.1.2 Jugements de préférence

16 28 30 27 7 12 34 3 11 4 9 24 31 6 17 13 1 14 20 19 2 26 8 25 33 18 22 32 5 23 21 10 15 29

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50N

iveau d

'agrégati

on

N° Sujet

2 classes


2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nombre de classes

Indic

e d

e q

uali

té



194



28 30 12 6 34 8 7 27 2 3 9 11 22 16 31 13 17 4 18 24 19 33 26 32 5 25 1 14 20 23 21 10 15 29

5

10

15

20

25

30

N° Sujet

Niv

eau

d'a

grég

ati

on

2 classes

(a) Dendrogramme des sujets. Les sujet jugé comme étant un “out-lier” est surligné. La couleur de surlignage respecte la couleur utiliséeci-dessous pour repérer la partition pertinente.

2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nombre de classes

Indic

e d

e q

uali

té



195


6.464

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Vale

ur p

ro

pre (

s.u

.)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

x 104


1 6 11 16 21 26 310

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rang Sujet

r2


Fig. I.23 – Etude de la dimensionnalité de l’espace perceptif de préférence dressé via MDPREFà partir des réponses de tous les sujets. On opte pour une dimensionnalité égale à 3.

1029 15

21

23

1

2

III

III IV

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.2

0.2

0.4

0.6

Facteur 1

Facte

ur 2

0.8

-0.8

-1

1

-0.8-1 0.8 1

-0.4

0


10

15

29

21

2

1

23

III

III IV

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.2

0.2

0.4

0.6

Facteur 2

Facte

ur 3

0.8

-0.8

-1

1

-0.8-1 0.8 1

-0.4

0


Fig. I.24 – Bilan des différences inter-individuelles à partir de l’espace perceptif de préférence3D dressé via MDPREF sur la base des réponses de tous les sujets. : extrémités des vecteurssujets, • : extrémité du vecteur sujet “moyen”. × : sujets finalement considérés comme des“outliers” après recoupement avec les résultats des deux CAH.

196



I.4.2 Établissement des tendances qualitatives approximées

I.4.2.1 Espace perceptif de dissimilarité

I.4.2.1.a Évaluation du niveau réel de la mesure de dissimilarité

r2bornes r2valid

0.999 (p < .001) 0.979 (p < .001)

Tab. I.2 – Indicateur r2bornes du niveau de la mesure et indicateur r2valid de la qualité d’ajus-tement aux données de la méthode des intervalles successifs.

I.4.2.1.b Détermination de la dimensionnalité

1


po

rtio

n c

um

ulé

e d

e v

aria

nce

ex

pli

quée

(%

)

20

30

40

50

60

70

2 3 4 5

Fig. I.25 – Proportion cumulée de variance expliquée par le modèle INDSCAL en fonction dunombre de dimensions. La dimensionnalité de l’espace est vraisemblablement égale à 2.

197


I.4.2.1.c Analyse psychoacoustique

16 18 20 22 24 26 28 30 32

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


Dim

en

sio

n 1

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

J1

K1

H2

A2

0

-0.6

-0.7

y = 1.3703 - 0.0615x

r = -0.828, p < .001

Fig. I.26 – Diagramme des coordonnées des stimuli filtrés modifiés le long de la dimension 1de l’espace perceptif de dissimilarité approximé exprimées en fonction des valeurs de la soniede Zwicker calculées sur ces stimuli. — : droite de régression.

3 4 5 6 7 8

CGS (bark)

Dim

en

sio

n 2

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.6

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

J1

K1

H2

A2

0.5

-0.6

y = -0.9

089 + 0

.182x

r = 0.905, p < .001

Fig. I.27 – Diagramme des coordonnées des stimuli filtrés modifiés le long de la dimension2 de l’espace perceptif de dissimilarité approximé exprimées en fonction des valeurs du CGScalculées sur ces stimuli. — : droite de régression.

198



I.4.2.1.d Confrontation des espaces approximés

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Dimension 1

Dim

ensi

on

2

-0.6

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

J1

K1

H2

A2

Fig. I.28 – Espace perceptif de dissimilarité 2D des stimuli, dans leur ellipse de confiance à95%. En traits pleins : configuration approximée obtenue pour les stimuli filtrés modifiés, entraits pointillés : configuration approximée obtenue pour les stimuli filtrés passe-bas à f∗max.Le premier espace approximé a été ajusté au second en appliquant une rotation à 90 dansle sens des aiguilles d’une montre puis une symétrie horizontale. L’adéquation entre les deuxespaces est bonne : r = 0.943, p < .001 entre la dimension 1 de l’espace approximé des stimulifiltrés modifiés et la dimension 2 de l’espace approximé des stimuli filtrés passe-bas à f∗max ;r = 0.981, p < .001 entre la dimension 2 de l’espace approximé des stimuli filtrés modifiéset la dimension 1 de l’espace approximé des stimuli filtrés passe-bas à f∗max. Toutefois, lesdeux positions approximées du stimulus B1 se révèlent ici être différentes, au vu du non-chevauchement de leurs ellipses de confiance respectives.

199


I.4.2.2 Espace perceptif de préférence

I.4.2.2.a Détermination de la dimensionnalité

6.439

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Vale

ur p

ro

pre (

s.u

.)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

x 104


1 6 11 16 21 26 310

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rang Sujet

r2


Fig. I.29 – Détermination de la dimensionnalité de l’espace perceptif de préférence. Unedimensionnalité égale à 3 apparaît appropriée. Les proportions d’inertie expliquées par lesfacteurs 1, 2 et 3 sont respectivement égales à 85%, 6% et 2%.

200



I.4.2.2.b Confrontation des espaces approximés

CGS

Sonie Z.

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.2

0.2

0.4

0.6

Facteur 1

Facte

ur 2

0.8

-0.8

-1

1

-0.8-1 0.8 1

-0.4

0

A1

B1

C1

D1E

1 F1

G1

H1

I1

J1

K1

H2

A2

Fig. I.30 – Plan factoriel 1-2 de l’espace perceptif de préférence. : stimuli filtrés modifiés, :extrémités des vecteurs sujets approximés obtenus pour une modification avec ∆fp = 4 Hz,• : extrémité du vecteur sujet “moyen” approximé obtenu pour une modification avec ∆fp = 4Hz, → : vecteurs métriques approximés obtenus pour une modification avec ∆fp = 4 Hz,? : stimuli filtrés passe-bas à f∗max, 4 : extrémités des vecteurs sujets délimitant le faisceauapproximé de vecteurs sujets obtenu pour un filtrage passe-bas à f∗max, N : extrémité du vecteursujet “moyen” approximé obtenu pour un filtrage passe-bas à f∗max, 99K : vecteurs métriquesapproximés obtenus pour un filtrage passe-bas à f∗max. L’adéquation entre les configurationsde stimuli est globalement satisfaisante : après ajustement, r = 0.962, p < .001 entre lescoordonnées des stimuli originaux et filtrés modifiés le long de l’axe 1, r = 0.944, p < .001entre leurs coordonnées le long de l’axe 2. Localement, on peut observer pour plusieurs stimuli(notamment E1, I1 et J1) des écarts entre leurs deux positions approximées.

201


I.4.2.3 Valeurs de mérite

I.4.2.3.a Qualité d’ajustement du modèle de Thurstone (Cas V) aux donnéesde préférence

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Pro

po

rti

on

théo

riq

ue

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Fig. I.31 – Proportions “théoriques” vs proportions “observées” pour le modèle de Thurstone(cas V ). Le coefficient de corrélation r2 entre les deux séries de proportions est égal à 0.972(p < .001).

I.4.2.3.b Construction du modèle de préférence

18 20 22 24 26 28 30 32 34


16

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Vale

ur d

e m

érit

e m

esu

rée

2

-2.5

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

J1

K1

H2

A2

y = 4.9412 - 0.221x

r = -0.919, p < .001

Fig. I.32 – Diagramme des valeurs de mérite mesurées des stimuli filtrés modifiés exprimées enfonction des valeurs de la sonie de Zwicker calculées sur ces stimuli. — : droite de régression.

202



I.4.2.3.c Confrontation des valeurs de mérite approximées

Vale

ur d

e m

érit

e m

esurée

-0.5

0

0.5

1

1.5

Stimulus

-1

-1.5

B1

A2

C1

I1

F1

E1

K1

G1

H2

D1

J1

A1

H1

Fig. I.33 – Comparaison des valeurs de mérite mesurées obtenues par les stimuli filtrés modifiéset par les stimuli filtrés passe-bas à f∗max. En gris : valeurs de mérite mesurées obtenues parles stimuli filtrés modifiés, en rouge : valeurs de mérite mesurées obtenues par les stimulifiltrés passe-bas à f∗max, I : intervalle de confiance à 95%. Les deux séries de valeurs de méritemesurées sont fortement corrélées : r = 0.958, p < .001.

Vale

ur d

e m

érit

e p

rédit

e

-0.5

0

0.5

1

1.5

Stimulus

-1

-1.5

B1

A2

C1

I1

F1

E1

K1

G1

H2

D1

J1

A1

H1

-2

-2.5

Fig. I.34 – Comparaison des valeurs de mérite prédites obtenues par les stimuli filtrés modifiéset par les stimuli originaux. En gris : valeurs de mérite prédites obtenues par les stimuli filtrésmodifiés, en rouge : valeurs de mérite prédites obtenues par les stimuli filtrés passe-bas à f∗max.

203


204

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207

Thèse soutenue devant l’Institut National des Sciences Appliquées de LyonNom : TROLLÉ Date de soutenance : le 17 Juillet 2009Prénoms : ArnaudTitre : Évaluation auditive de sons rayonnés par une plaque vibrante à l’intérieur d’unecavité amortie : ajustement des efforts de calcul vibro-acoustiqueNature : Doctorat Numéro d’ordre : 09 ISALÉcole doctorale : Mécanique, Énergétique, Génie civil et AcoustiqueSpécialité : AcoustiqueCote B.I.U.-Lyon :Résumé : Les travaux traitent de l’ajustement des efforts de calcul vibro-acoustique dansle cadre d’une étude de qualité sonore sur un système vibro-acoustique dès le stade de laconception. Cette recherche d’ajustement est appliquée au système vibro-acoustique constituéd’une plaque vibrante couplée à une cavité amortie. Pour un calcul fréquentiel, un premierpas dans ce sens demande à ajuster deux paramètres de simulation importants : la fréquencemaximale de calcul, puis le pas fréquentiel de calcul. En termes de contraintes perceptives, oncherche pour ces paramètres une valeur ajustée permettant de conserver les tendances qua-litatives originellement établies à partir d’une évaluation auditive portant sur les sons réelsrayonnés par la plaque dans la cavité. Les sons réels sont collectés via l’expérimentation surun banc d’essai constitué d’une plaque en acier couplée à une cavité parallélépipédique ; cessons correspondent au son rayonné par la plaque vibrante à l’intérieur de la cavité, enregistrédans diverses configurations structurales du système. Ces configurations impliquent différentescombinaisons des modalités prises par les 3 paramètres structuraux variables retenus : l’épais-seur de la plaque, les conditions de serrage de la plaque et les propriétés en absorption de lacavité. Les sons enregistrés sont ensuite soumis par paires à un jury d’auditeurs auxquels ilest demandé d’évaluer leur dissimilarité et de donner un jugement de préférence. À partir del’analyse des informations recueillies, des tendances qualitatives de référence sont établies, entermes d’espace perceptif de dissimilarité, d’espace perceptif de préférence et de classementde préférence. Dès lors, en travaillant à partir des sons enregistrés, le processus d’ajustementconsiste, i) à déterminer, à partir d’un filtrage passe-bas appliqué aux sons, la fréquence decoupure ajustée qui permet de préserver les tendances qualitatives de référence, ii) à recher-cher le pas fréquentiel ajusté, à imposer aux spectres des sons avant synthèse, qui permet demaintenir les tendances qualitatives précédemment établies.Mots-clés : système plaque-cavité, couplage fluide-structure, rayonnement acoustique, bruit inté-rieur, absorption acoustique, épaisseur de plaque, conditions aux limites, simulations vibro-acoustiquesavec contraintes perceptives, fréquence maximale de calcul, pas fréquentiel de calcul, perception audi-tive, évaluation auditive, dissimilarité, préférence, espaces perceptifs, valeurs de mériteLaboratoires de recherche : Laboratoire Vibrations Acoustique (Institut National desSciences Appliquées de Lyon) / Département Génie Civil et Bâtiment URA CNRS 1652 (ÉcoleNationale des Travaux Publics de L’État)Directeurs de Thèse : Catherine MARQUIS-FAVRE et Nacer HAMZAOUIPrésident du jury : Xxxxx XXXXXComposition du jury : Xxxxx XXXXX

Xxxxx XXXXXXxxxx XXXXXNacer HAMZAOUI Directeur de ThèseCatherine MARQUIS-FAVRE Directrice de ThèsePascale NEPLE Invitée

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Évaluation auditive de sons rayonnés par une plaque ...theses.insa-lyon.fr/publication/2009ISAL0062/these.pdf · Table des matières Introduction 1 I Une revue des diﬀérentes