MAT6240 - Projet finalEvaluation dune option amricaine sous un processus NIG

Hassan ChoueibL. Alexia Imokoyend

April 27, 2014

Rsum

Lobjectif moyen terme de ce travail est dexplorer quelques formulations des problmesdvaluation des produits drivs, et plus prcisment, lvaluation dune option amricainequi se place parmi les produits drivs les plus importants dans le march financier. Dansce rapport, nous prparons le terrain pour la simulation de la valeur dune options am-ricaine par la mthode de moindres carrs de Monte Carlo, en commenant tout dabordpar la dfinition dune option amricaine, et les domaines dapplication de ces produitsdans les marchs financiers, pour passer ensuite la prsentation de lun des modles sto-chastiques les plus importants et efficaces pour dcrire lvaluation des options, qui est leprocessus normal inverse gaussien. Pour cela, on va faire une petite revue sur la littraturedes processus gnraliss hyperboliques, leurs caractristiques, et leurs avantages pour laprsentation des options. Sans oublier bien sur, laspect numrique pour limplmentationdes trajectoires des processus cits prcdemment. Aprs avoir prparer le terrain "tho-rique" de notre tude, on passe lintroduction de la mthode des moindres carrs, ainsique ltude thorique de cette mthode, et la convergence de lalgorithme vers la valeurexacte de loption. Et finalement limplmentation de cette mthode pour des fonctions deLaguerre allant jusqu L3, et ensuite pour un nombre arbitraire n de ces fonctions.

1 Introduction

Dans ce qui suit, nous allons prsenter une nouvelle approche pour lapproxi-mation par simulation de la valeur dune option Amricaine qui nadmet pas engnrale des solutions analytiques sous des processus de Lvy, et qui reste lundes problmes les plus importants dans lvaluation des produits drivs. En effet,on trouve les options amricaines dans un grand nombre de marchs financierscomme les marchs de crdit, dassurance, dchange tranger, dnrgie, dhypo-thque, etc. Lorsque la valeur de loption est affecte par plus quun seul facteur,les mthodes binomiale et de diffrence finie nauront aucune utilit. La simula-tion, par sa nature, est une alternative prometteuse aux mthodes de diffrencefinie et binomiale, et a plusieurs avantages dans le cadre dvaluation, de gestionde risque et dexercice optimal doptions amricaines. Cette approche est la m-thode de moindres carrs (Least Squares Monte Carlo LSM). Pour comprendrelintuition derrire cette mthode, il suffit de savoir que le titulaire dune optionamricaine, compare le payoff de lexercice immdiat avec le payoff estim parcontinuation. Il exerce si le payoff actuel est plus grand. La statgie de lexerciceest dtrmin par lesprance conditionnelle du payoff par continuation, et cette

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esprance peut tre facilement estime par la mthode de moindres carrs.

Dans notre modle, on va utiliser des variables alatoires Normales Inverses Gaus-siennes NIG qui offrent un compromis entre la prcision statistique offerte par ladistribution hyperbolique gnralise et la traabilit des processus de Wiener.

Hassan Choueib sest charg des sections 1 et 2, savoir : lintroduction ltude thorique de la distribution NIG limplmentation des trajectoires simules NIG.

Alexia Imokoyend sest charge des sections 3 et 4 comprenant : ltude thorique de la mthode des moindres carrs de Longstaff Schwartz limplmentation de cette mthode pour des fonctions de bases allant jusquL3 et pour un nombre n de fonctions de bases choisies par lutilisateur

la conclusion.

2 Distribution NIG

La distribution Normale Inverse Gaussienne NIG est une classe des distribu-tions hyperboliques gnralises qui ont fourni dexcellents ajustements aux don-ns des sries chronologiques financires.On dfinit dabord la fonction densit des distributions hyperboliques gnralisesGH :

GH(x;, , , , ) = a(, , , )(2 + (x )2)( 1

2)

2 K 12 (2 + (x )2)exp((x )),

a(, , , ) =(2 + 2)

2

2pi12 K(

2 2)

o K est la fonction de Bessel de troisime ordre avec indice .

En 1999 Prause a dfinit dautres paramtres utiles pour la caractrisation desdistributions GH :

= 2 2

= (1 + )1/2, =

= , = .

Ces paramtres ont les interprtations suivantes : resprsente la localisation reprsente le scale reprsente lasymtrie reprsente la lourdeur les queues , , reprsentent lapplatissement.

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La distribution NIG est un cas particulier des distributions GH, avec = 12:

NIG(x;, , , ) =

pi(2 2 + (x ))K1(g(x ))

g(x ) x R

g(x) =2 + x2

Et la famille des distributions hyperboliques gnralises GH peut tre dfiniecomme la convulution dun normal avec une distribution Gnerale Inverse Gaus-sienne GIG :

GH(, , , , ) = N(+ z, z) GIG(z;, , 2 2).Cette famille est infiniment divisible, et donc gnre un processus de Lvy qui a desaccroissements indpendants et stationnaires. Par construction, les accroissementsqui ont un cart dune seule unit de temps ont une distribution GH, tandis queceux qui ont un cart diffrent de 1 nont pas ncessairement une distribution GH.La seule exception est lorsque = 1/2, o le processus NIG a des accroissementsqui sont toujours NIG.

Xt+t Xt NIG(, , t, t)Pour = 1/2 la distribution GIG se rduit la distribution Inverse GaussienneIG. Et dans les problmes de finance qui suivent une GH, lon a besoin de prendreune convolution des distributions GH, qui peut donner une distribution dans uneclasse diffrente. La solution de ce problme sera de se restreindre sur la classedes distributions NIG, qui est la seule classe ferme sous covolution de la familleGH. Un autre problme important pour toutes les classes de la distribution GHest que la densit risque neutre utilise dans lvaluation des produits nest pasun membre de la famille GH. Une seule exeption est la distribution NIG o leparamtre de localisation est gale zro.

2.1 Code Matlab dune distribution NIG

On gnre dabord une fonction Inverse Gaussienne Z partir des paramtres, , et .Ensuite on construit la distribution NIG X partir de Z et une distributionNormale(0,1) Y tel que

X = + Z + YZ

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Figure 1 Codes Matlab genIG et genNIG

3 La mthode de Longstaff-Schwartz (LSM)

Longstaff et Schwartz prsentent une mthode simple dvaluation dune op-tion amricaine par simulation.A la section prcdente, nous avons prcis que loption amricaine peut tre exer-ce en tout temps jusqu la date dexpiration. Ainsi, chaque temps dexercice,le dtenteur dune option amricaine compare dune faon optimale son gain aprsun exercice immdiat et son gain espr sil choisi de ne pas exercer loption autemps dexercice courant. Sa stratgie dexercice optimal est dtermine par les-prance conditionnelle du gain ralis si on fait le choix de ne pas exercer loptionimmdiatement. Il faut dterminer la fonction desprance conditionnelle en fai-sant une rgression du payoff issus de la continuation sur les fonctions des valeursdes variables dtats considres.

3.1 Formalisation du problme

Considrons un espace de probabilit (,F , P ) et un horizon de temps fini[0, T ]. On suppose lexistence dune mesure martingale quivalente Q, impliquant

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Figure 2 Exemple dune trajectoire NIG

que le march est sans arbitrage.Nous cherchons valuer une option amricaine, avec des cash-flows alatoiresentre [0, T ]. On suppose que loption amricaine peut tre exerce K temps dis-crets 0 < t1 t2 t3 . . . tk = T , et considrons une politique darrt optimal chaque temps dexercice.A la date dexpiration, linvestisseur choisi dexercer loption si elle est dans lamonnaie, et de la laisser expirer sinon. Pour loption amricaine, au temps dexer-cice tk < T , le dtenteur de loption choisi de lexercer immdiatement ou decontinuer et de prendre sa dcision un autre temps dexercice.Au temps tk, le cash flow dexercice immdiat est connu par linvestisseur parcontre, les cash flows si on choisi de continuer ne sont pas connus au temps tk.Par la thorie dvaluation sans arbitrage, la valeur de continuation F (; tk) peuttre exprime comme :

F (; tk) = EQ

[K

j=k+1

exp

( tjtk

r (, s) ds

)C (, tj; tk, T )

Ftk]

o C (, s; tk, T ) reprsente les flux escompts sous la mesure Q et r (, t) le tauxdescompte sans risque.

3.2 Convergence de lalgorithme LSM

Soit V (X), la vraie valeur de loption amricaine.

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Proposition 1Pour chaque choix fini de M, K et un vecteur RM(K1) reprsentant lescoefficients des M fonctions de bases chacune des K1 dates dexercices, posonsLSM(;M,K) le cash-flow escompt obtenu par lalgorithme de moindres carrsMonte-Carlo. On a lingalit suivante :

V (X) limN

1

N

Ni=1

LSM(i;M,K)

Ce rsultat nest valide que lorsque loption est continuement exerable et per-met de dterminer le nombre de fonctions de bases quil faut pour obtenir uneapproximation prcise. Il suffit daugmenter M jusqu ce que la valeur obtenuepar la mthode LSM naugmente plus.

Proposition 2Supposons que la valeur dune opton amricaine dpende dune variable dtat Xavec un support sur (0,), qui suit un processus de Markov. Supposons galementque cette option ne peut tre exerce au temps t1 et t2, que la fonction F (; t1)est absolument continue, et que :

0

eXF 2 (; t1) dX < 0

eXF 2X (; t1) dX <

Alors, pour chaque > 0, il existe un M ]

= 0.

Ce rsultat signifie que si on slectionne un M suffisamment large et un grandnombre de trajectoires (N ), alors lalgorithme des moindres carrs permetdobtenir une valeur proche de la vraie valeur de loption amricaine ( prs).

3.3 Lalgorithme des moindres carrs Monte-Carlo (LSM)

La mthode utilise des moindres carrs pour approximer la fonction desp-rance conditionnelle tK1, tK2, . . . , t1. On commence la rcursion de tk1 t1.Seules les trajectoires dans la monnaie sont utilises, car la dcision darrter ode continuer na de sens que si loption est dans la monnaie.Nous allons utiliser comme fonctions de base lensemble des polynomes de La-guerre jusqu L3 dfinis comme suit :

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L0(X) = exp(X/2)L1(X) = exp(X/2)(1X)L2(X) = exp (X/2)

(1 2X +X2/2)

L3(X) = exp (X/2)(

1 3X + 32X2 1

6X3)

Ln(X) = exp (X/2) eX

n!

dn

dXn(XneX

)o :

F (; tK1) =j=0

aj Lj(X)

Lalgorithme LSM est dfini comme suit :

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Algorithme 1 Moindres carrs Monte-Carlo LSMPour t = T 1, ..., t1

Pour les trajectoires i dans la monnaie linstant t

Dfinir X, Y deux vecteurs tels que :

X est le vecteur du prix de laction pour les trajectoires dans la mon-naie

Y est le vecteur des valeurs de cash flows escompts linstant t, pourles trajectoires dans la monnaie

Faire la rgression de Y sur L0 (X) , L1 (X) , L2 (X) , L3 (X) pour trou-ver les paramtres aj, j = 0, ..., 3.

Obtenir lesprance conditionnelle de la continuation

F (, t) = a0L0 (X) + a1L1(X) + a2L2 (X) + a3L3 (X)

Comparer la valeur dexercice immdiat avec la valeur espre de conti-nuation

Si valeur dexercice immdiat > valeur espre de continuation

cash_flow (i, t) = valeur dexercice immdiat

Mettre jour cash_flow (i, tk) = 0 o tk (i, T )Sinon

cash_flow (i, t) = 0

cash_flow (i, tk) reste inchang

Pour toutes les trajectoires

Escompter les cash flows t = 0

Retourner la valeur de loption amricaine qui est la moyenne des cash-flowsescompts.

Cet algorithme a t implment dans la fonction LSM_L_3.m en annexe.

RemarqueIl est crucial de mettre jour les colonnes de cash-flow pour viter davoir deuxvaleurs positives sur la mme ligne. Loption amricaine ne pouvant tre exercequune seule fois, il serait abrrant davoir plusieurs rsultats positifs par lignepour la matrice de cash flow t = t1.

Le fait de garder une approche matricielle nous permet davoir des rsultats quisont cohrents avec une matrice de rgle darrt, o il y a au plus une valeur 1

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par ligne pour reprsenter un cash-flow positif.

3.3.1 Implmentation de lalgorithme LSM dans MATLAB pour le caso la rgression est faite jusqu L3

Pour le cas o la rgression est faite jusqu L3, nous avons crit une fonctiondataRegress_L3 qui retourne une matrice de dimension (length(X),4) qui serautilise pour faire la rgression de Y sur L0 (X) , L1 (X) , L2 (X) , L3 (X).

Figure 3 Fonction dataRegress_L3(X)

Ensuite, il suffit de faire appel la fonction dataRegress_L3(X) dans la fonc-tion LSM_L_3(S_temp,K, r).

3.3.2 Implmentation de lalgorithme LSM dans MATLAB o le degrn du polynme de Laguerre Ln est spcifi par lutilisateur

Dans ce cas-ci, lutilisateur spcifie jusqu quel degr n il souhaite faire largression. Nous avons exploit les fonctions de calcul symbolique de MATLABpour calculer L0, . . . , Ln dans une fonction symbolic_laguerre(x, n).

Figure 4 Fonction symbolic_Laguerre(x,n)

Nous utilisons une fonction dataRegress_Ln(X) qui utilise la fonctionsymbolic_Laguerre(x, n) et retourne une matrice de dimension (length(X), n+ 1)qui sera utilise pour faire la rgression de Y sur L0 (X) , L1 (X) , . . . , Ln (X).

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Figure 5 Fonction dataRegress_Ln(X,x,n)

Comme prcdemment, il faut simplement faire appel la fonction dataRegress_Ln(X, x, n)dans la fonction LSM_L_n(S_temp,K, r, x, n). Cette dernire fonction lamme structure que la fonction LSM_L_3 dfinie prcdemment.

3.3.3 Test de lalgorithme LSM avec une rgression sur une constante,X et X2

Pour nous assurer que notre implmentation est fonctionnelle, nous avons tentde reproduire les rsultats de lexemple simple qui a t fait dans larticle deLongstaff et Schwartz. La seule nuance, est que nous avons utilis une fonc-tion dataRegress_X2(X) afin de faire la rgression sur une constante, X et X2comme dans larticle. Pour obtenir les rsultats, il suffit de faire appel la fonctionLSM_X_2 (S_temp,K, r) qui est similaire aux fonctions prcdentes mais quiutilise la fonction dataRegress_X2(X) pour faire la rgression.

Figure 6 Fonction dataRegress_X2(X)

Les rsultats que nous avons obtenus en excutant test_LSM_simple.m sont :Cash -flow matrix at time 3:Cash_flow =

0 0 00 0 00 0 0.07000 0 0.18000 0 0

10

0 0 0.20000 0 0.09000 0 0

Cash -flow matrix at time 2:Cash_flow =

0 0 00 0 00 0 0.07000 0.1300 00 0 00 0.3300 00 0.2600 00 0 0

Cash -flow matrix at time 1:Cash_flow =

0 0 00 0 00 0 0.0700

0.1700 0 00 0 0

0.3400 0 00.1800 0 00.2200 0 0

val_put =0.1144

Les matrices des cash-flows sont les mmes que ceux obtenus dans larticle deLongstaff-Schwartz, et nous pouvons en dduire que notre mthode fonctionne.

3.4 Evaluation dune option amricaine sous un processus NIG

Afin dvaluer loption amricaine, nous crons une fonction qui gnre destrajectoires NIG. Puis nous faisons appel la fonction LSM_L_3.m pour avoirla valeur du put amricain.

3.4.1 Algorithme

Algorithme 2 Evaluation dune option amricaine sous un processus NIGGnrer une matrice de prix St dont les trajectoires suivent un processus NIGObtenir la valeur du put avec la fonction LSM_L_3

3.4.2 Implmentation et rsultats

Nous avons implment la mthode de moindres carrs Monte Carlo pour destrajectoires suivants une distribution NIG avec les paramtres = 94.7257, =8.6670, = 0.0012, = 0.0115, pris dans Di Cesare (figure 3.3). Nous prenons

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galement S0 = 100, r = 6%, T = 50 et n_paths = 1000.Nous calculons des valeurs doptions avec n fonctions de base allant de L0, . . . , L2 L0, . . . , L5 pour diffrents prix dexercice :K = 100, 105, 110, 115. Nous comparonsaussi ces rsultats avec le cas o nous faisons une rgression sur une constante, Xet X2.Les rsultats obtenus pour cette excution sont les suivants :

a+ bx+ cx2 L0, . . . , L2 L0, . . . , L3 L0, . . . , L4 L0, . . . , L5K = 100 0.9654 0.9846 0.9914 0.9796 0.9788K = 105 4.7102 4.7118 4.7172 4.7111 4.7123K = 110 9.4190 9.4179 9.4190 9.4190 9.4190K = 115 14.1278 14.1244 14.1278 14.1278 14.1278

Table 1 Rsultats de la mthode LSM avec n = 2, 3, 4, 5

Cette analyse montre quil nest pas ncessaire davoir plus que quatre fonctionsde base L0, L1, L2, L3. En effet, lapport de fonctions de bases supplmentaires L4et L5 ne semble pas changer considrablement les valeurs doptions calcules.Par contre, nous notons que les rsultats obtenus avec les fonctions de Laguerresont sensiblement diffrents de ceux obtenus avec la rgression sur X et X2 saufpour le cas o le prix dexercice est gal 110 et 115.

En utilisant la proposition 1 de convergence de lalgorithme LSM, nous pouvonsen dduire quil est suffisant davoir quatre fonctions de base pour obtenir unebonne approximation de loption.

4 Conclusion

La mthode de moindres carrs Monte Carlo propose par Longstaff et Schwartzsemble tre une mthode intuitive, prcise et facile dapplication pour lvaluationdoptions amricaines. Elle est aussi applicable des options dont les sous-jacentsont des trajectoires NIG, donnant des rsultats cohrents.Cette mthodes des proprits de convergence robustes, permettant lutili-sateur davoir le niveau de prcision voulu. Cependant, le choix des fonctions debases un impact sur la valeur finale de loption que lon obtient, et cela demandeune certitude dans ce choix.

Rfrences[1] F. Longstaff & E. Schwartz (2001) Valuing American Options by Simulation : A Simple Least-SquaresApproach. The Review of Financial Studies, Spring 2001 Vol. 14, No. 1, pp. 113-147.[2] Joe DiCesare, Applications of the Normal Inverse Gaussian Lvy process to finance.[3] W Schoutens (2004) Exotic Options under Lvy Models : An Overview, Journal of Computationaland Applied Mathematics, Volume 189, Issues 1-2, pp. 526-538.

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