EXERCICE 1

Partie A - Etude de fonctions :

Soit la fonction numérique f définie dans [0 ; 20] par : f (x) = 1. Calculer f '( x ), où f ' désigne la fonction dérivée de f.Etablir le tableau de variations de f sur [0 ; 20] et en déduire le signe de f(x) sur cet intervalle.

Partie B - Application économique :Pour une entreprise dont la production peut varier de 0 à 300 unités, le coût total de fabrication, exprimé en francs, de x unités est

donné par la fonction : C (x) = On appelle coût marginal la dépense occasionnée par la production d'un objet supplémentaire.On choisit comme modélisation de ce coût marginal Cm (x) = C’(x ). On suppose que toute la production est vendue à un prix de 84 000 francs par unité. La recette totale R(x)est exprimée en milliers de francs . 1. Calculer la recette totale R(x) , exprimée en milliers de francs, pour la vente de x unités.2. On appelle recette marginale l'augmentation de recette procurée par la vente d'un objet supplémentaire. On modélise cette recette marginale par : Rm( x ) = R’ (x) où R’ est la fonction dérivée de R. a) Montrer que Rm (x) = 84 b) Pour quelle valeur de x la recette marginale est-elle égale au coût marginal ?

3. a) Montrer que le bénéfice, exprimé en milliers de francs, pour la production et la vente de x unités

est donné par : B(x) =

b) Etudier le signe de B(x) sur [0 , 20]. Interpréter le résultat. c) Calculer B’(x) , où B’ représente la fonction dérivée de B. d) En déduire que le bénéfice est maximum quand la recette marginale est égale au coût marginal. Que vaut ce bénéfice maximum ? Donner le résultat au franc près

EXERCICE 2

Une entreprise fabrique des appareils de trois types différents : L, C, V. Pour un appareil de type L on a besoin de 10kg d’acier, 2kg de peinture et 10 heures de travail. Pour un appareil de type C, il faut 4kg d’acier, 1kg de peinture et 6 heures de travail. Pour un appareil de type V, il faut 10kg d’acier 1kg de peinture et 12 heures de travail.On appelle respectivement x, y, z les quantités d’appareils de type L, C, V fabriqués et x’ y’ , z’ les quantités d’acier (en kg) , de peinture(en kg) et de travail (en heures) nécessaires pour leur fabrication. Exprimer chacune des quantités x’, y’, z’ en fonction de x, y, z.

1) On considère les matrices suivantes :

M=(10 4 102 1 1

10 6 12 )

X=( xyz )

Y=( x '

y '

z ' )a)Monter que Y=M.Xb) Monter que M est inversible.c) En déduire la matrice X en fonction de l’inverse de M et de Y puis déterminer l’inverse de M.

3) Calculer les quantités d’appareils de chaque type L, C, V fabriqués en un mois sachant que 4200kg d’acier, 800kg de peinture et 5000 heures de travail ont été nécessaires.

EXERCICE 3

M. KONDO désire acheter une automobile qui, au 1erjuillet 2008, coûte 9 000 000 F. N’ayant à sa disposition que 7 700 000 F et ne voulant pas prendre de crédit, il décide de placer cette somme. Un organisme financier lui assure un placement, (à intérêts composés, au taux annuel de 7 %.On se propose de calculer en quelle année M. KONDO pourra acheter la voiture dont il rêve.Pour tout entier n, on note un le capital dont dispose M. KONDO au 1er juillet de l’année (2008+n).1. Calculer u1 et u2.2. Montrer que la suite (un), avec n € N, est une suite géométrique dont on précisera la raison.Exprimer un en fonction de n.3. Le prix de l’automobile que veut acheter M. KONDO augmente régulièrement de 3 % au 1er juillet dechaque année.Pour tout entier n, on note vn le prix de l’automobile au 1er juillet de l’année (2008+n). Exprimer vn en fonction de n.

4. Déterminer à partir de quelle année M. KONDO pourra acheter cette voiture .