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Exercices résolus de mathématiques.

GSE 7

EXGSE070 – EXGSE079

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Jacques Collot

Benoit Baudelet – Steve Tumson

Septembre 08

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EXGSE070 – Louvain, juillet 2005, série 2.

Un diabolo est conçu à partir d’un cylindre plein de diamètre D et de hauteur

L = 2D, et de deux cônes pleins de diamètre de base D’ et de hauteur h = 3D’.

Le cylindre et les deux cônes sont constitués de la même matière. Pour réaliser

ce diabolo, on coupe la tête des deux cônes afin de pouvoir les ajuster

parfaitement aux deux extrémités du cylindre. Les trois pièces sont collées

bout-à-bout. Afin d’obtenir un bon diabolo, il convient que la masse du

cylindre central soit égale à 1/8 de la masse totale du diabolo. Sachant que l’on

dispose de cônes dont le diamètre est D’ = 4, on demande d’évaluer le diamètre

du cylindre qu’il faut choisir pour réaliser le diabolo.

hD

h = 3 D’

D D’

2 2 3 3 3

2 2 3

Evaluons le volume du tronc de cône tel que définit ci-dessus.

On a immédiatement : 3' 3 ' '

' 3 ' 3 '

Le volume du cylindre est : .2

Le volu

D DD

TC D

cy

h hD Dh D

h D D D

V D h D h D D D D

V D L D D D

3 3 3 3

me du cylindre doit être le 1/8 du volume total du diabolo

'8 2 '

2

DD D D D D

D =

D’/2

L = 2 D

h = 3 D’

D’

Le 9 mars 05

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EXGSE071 – Louvain, septembre 2005.

Un triangle quelconque tourne autour de la droite qui joint les milieux de deux

de ses côtés. Les deux parties du triangle, situées de part et d’autre de la droite,

engendrent chacune un volume. On vous demande de déterminer le rapport de

ces deux volumes en expliquant votre démarche au moyen d’un dessin précis.

A B

CD

h

r

2

Préambule

Soit un rectangle . Il engendre un cylindre de volume en tournant autour de

1. De même le triangle engendre un cône de volume .

3

On en déduit aue le triangle engendre en

ABCD r h

DC ADC r h

ABC

2

tournant autour de engendre un

2volume :

3

DC

r h

A

B

NM A’ B’

C

C’

P

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Méthode 1

Soit qui joint le milieu de et , et qui joint le milieu de et

Il est immédiat que l'on détermine ainsi 4 triangles égaux. (même base et même hauteur)

Le triangle engendre un

MP AC CB NP AB CB

MNP volume égal à celui engendré par le triangle

Les triangles et engendrent eux des volumes doubles (voir préambule)

Vol engendré par On conclut : 5

Vol engendré par

AMN

CMP PNB

CMNB

MAN

Méthode 2

De , et on abaisse les perpendiculaires qur l'axe

Les triangles ' et ' sont égaux. De même les triangles ' et '

sont aussi égaux.

' est un rectangle qui engendre un volume

A B C MN

MA A CC M NAA NB N

CB BC2

2

: ' .2

1Le triangle engendre un cône de volume : ' .

3

Et comme ' ' , on déduit

Vol engendré par ' Vol engendré par ' et '5

Vol engendré par

CC MN

AMN AA MN

CC AA

CB BC CMC MB B

AMN

Le 9 mars 05

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EXGSE072 – Liège, juillet 2005.

Soit SABC un tétraèdre tel que SA soit perpendiculaire à ABC. On note A’ la projection orthogonale de

A sur SBC. Démontrer la relation

'

SBC ABC

ABC A BC

A A

A A

Où A(XYZ) désigne l’aire du triangle XYZ.

S

A’

A

B

C

A’’

Exprimons le volume du tétraèdre de deux façons différentes :

.1

'' .

Soit '' la projection orthogonale de ' sur le plan

Exprimons le volume du tétraèd

SABC

SABC

SABC

V SA ABC SASBC

ABC AAV AA SBC

A A ABC

A A

AA

'

'

re ' de deux façons différentes :

' . ' '2

' ' ''' '' .

D'autre part, ' et sont parallèles puisque perpendiculaires au même plan

Les angles ' et ' ''

AA BC

AA BC

AA BC

V AA A BC AAABC

A BC A AV A A ABC

AA SA ABC

SAA AA A

A A

AA

sont donc des angles alternes-internes, et ils sont égaux.

' Les triangles rectangles ' et '' ' sont semblables

' '' '

Ce qui signifie que 1 2'

SA A ASA A AA A

AA A A

SBC ABC

ABC A BC

A A

A A

Le 19 juillet 2006

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EXGSE073 – Liège, juillet 2005.

On considère un tétraèdre OABC et on note G le centre de gravité de la face ABC. On note

respectivement A1, B1, C1 les milieux de [ B,C ] , [ C,A ], [ A,B ].

Un plan π parallèle à ABC coupe OA, OB et OC en respectivement A’,B’, C’

1. Démontrer qu’il existe une unique position de π pour laquelle les droites A’A1, B’B1 et C’C1

sont parallèle à OG

2. Démontrer que pour toutes les autres positions, ces droites sont concourantes en un point P de

la droite OG

O

A

B

C

A1

C1

B1

A’

B’

C’

G

Fig 1

1Dans le plan , on ne peut tracer qu'une et une seule parallèle à par .

Cette parallèle coupe en '. De même, on trouve ' et ' (Voir fig 1)

Montrons que ' ' ' déterminent un plan parallèle

OAG OG A

AO A A C

A B C

1 1

1 1

1 1

1 1

à .

' 3Les triangles ' et sont semblables '

2

puisque est le centre de gravité du triangle

3De même : ' '

2

' ' est un parallélogramme ' ' est parallèle à

ABC

A A AAAA A AOG A A OG

OG AG

G ABC

B B C C OG

B A A B B A

1 1

1 1 1 1

De même : ' '// et ' '//

Le plan ' ' ' est donc le plan cherché et comme les points ', ', ' sont

uniques le plan est unique

B A

B C B C C A C A

A B C A B C

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O

A

B

C

A1

C1

B1

A’

B’

C’

G

P

Fig 2

1 1 1

1 1

1 1 1 1

Les médianes , et se coupent au point .

Considérons les plans et . Ils ont les points et en commun

leur intersection est

est parallèle à puisque et sont milieux

AA BB CC G

AAO BB O O G

OG

B A AB B A

1 1 1 1

de leurs segments respectifs.

' ' est parallèle à puisque le plan est coupé par deux plans parallèles.

' ' est un parallélogramme dont les diagonales ' et ' se coupent

en un point .

C

A B AB OAB

A B A B A A B B

P

1 1 1 1

1 1

e point appartient à puisque ' plan et puisque ' plan

c'est-à-dire que est situé sur l'intersection des plans et

On recommence le même raisonnement en prenant les plans

P OG A A AAO B B BB O

P AAO BB O

1 1

1 1 1 1

et .

On arrive alors au parallèlogramme ' ' , dont les diagonales ' et C'C se coupent

au même point .

Conclusion : les droites ', ' et ' sont concourantes en un point situé sur

OAA OCC

A C AC A A

P

AA BB CC P OG

Le 19 juillet 06

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EXGSE074 - Bruxelles – Juillet 2006

Dans l’espace euclidien rapporté à un trièdre orthonormé O et d’axes x,y et z,

on donne le point A(1,1,1). Soit le cube de côté 1 dont une face est dans le

plan Oxy et dont O et A sont deux sommets. On demande de déterminer un plan

qui sépare le cube en deux parties de même volume et dont l’intersection avec

le cube est un hexagone régulier. Formez une équation cartésienne de ce plan et

déterminez les coordonnées des points d’intersection entre ce plan et les arêtes

du cube

A(1,1,1)

C(0,0,1) H2(0,1/2,1)

H1(1/2,0,1)

B(1,0,1)

O(0,0,0)H

6(1,0,1/2)

B’(1,0,0) H5(1,1/2,0) A’(1,1,0)

H4(1/2,1,0)

C’(0,1,0)

H3(0,1,1/2)

D(0,1,1)

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Hexagone

Le cube est représenté à la figure ci dessus. On choisit un répère : étant l'origine, et (1,1,1)

Soit une des diagonales du cube. Considérons le plan médiateur du segment

Ce plan cou

O A

OA OA

1

1 1 1 1

1

pe le cube en deux volumes égaux vu la symétrie du cube.

De plus coupe en qui est donc équidistant de et .

Dés lors les triangles rectangles et sont égaux

Autrement dit,

BC H O A

H CO H BA H C H B

H

2 3 4 5 6

1 6 1 2 6 1 1 2

6 1

est le milieu de .

On recommence le même raisonnement pour les points , , , ,

Considérons les triangles rectangles et . Ils sont égaux

On déduit de la même façon que :

CB

H H H H H

BH H CH H H H H H

H H

1 2 2 3 3 4 4 5 5 6

1 2 3 4 5 6Finalement, est un hexagone qui est régulier vu la symétrie du cube.

H H H H H H H H H H

H H H H H H

6

Equation du plan

Les coordonnées de tous les points sont indiqués sur la figure.

Méthode 1

le plan étant médiateur de : 1,1,1 0

1 3 31 0 0 0

2 2 2

Méthode 2

Si on connaît

OA n x y z d

H d d x y z

6 1 2

trois points , , du plan, son équation est donnée par :

1

1.

1

1

Prenons, par exemple, les points , et

1

1 0 1/ 2 1 30

1/ 2 0 1 1 2

0 1/ 2 1 1

A B C

A B C

A B C

A B C

x y z

x x x

y y y

z z z

H H H

x y z

x y z

28 décembre 2006

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EXGSE075 - Liège – septembre 2006

On considère un tétraèdre ABCD dont la base BCD est équilatérale, et tel que la

droite déterminée par A est le centre de gravité de cette base est perpendiculaire

au plan BCD.

Soit P un point intérieur au triangle BCD, et et ’ deux plans s’appuyant sur

la droite AP et respectivement parallèles aux droites BC et BD. Les plans et

’ rencontrent l’arête [C,D] en deux points respectifs Q et R. Les distances du

point P aux arêtes [B,C], [B,D] et [C,D] sont respectivement dénotées , et .

La longueur de l’arête [B,C] est dénotée .

a) Montrer que le triangle PQR est équilatéral

b) Exprimer la longueur d’un côté du triangle PQR en fonction de , et

.

c) Montrer que la valeur + + ne dépend pas de la position de P.

d) En déduire que la somme des distances de P aux quatre faces du

tétraèdre ABCD est indépendante de P.

P

R

Q

C

D

B

A

G

C

Q

R

D

P

B

a) Le schéma de la base est repris séparément

// 60 car angles correspondants

// 60 car angles correspondants.

Le triangle est donc équilatéral car ces trois angles valent 6

PR BD QPR CBD

PQ BC PQR BCD

PQR

0°.

2 3b)

sin 60 sin 60 3QR CD CQ RD

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2 2

223

c) Dans le triangle 2 4

3 2 3

2 3

On remplace dans l'expression trouvée au point b)

2 3 2 3 3

3 3 2

Cette expression qui est indépendante de la position de

QR QRPQR PQ

QR QR

P

P

C

D

B

A

G

'

'

'

d) Puisque la droite passant par et le centre de gravité la base est perpendiculaire

au plan , le tétraèdre possède comme axe de symétrie.

De plus, les angles des dièdres formés par les trois f

A G

BCD GA

aces du tétraèdre et la base sont

tous égaux. Soit cet angle.

La distance du point à la base est nulle, puisque que appartient à cette base.

Soit ', ' et ' , les distances de aux trois autres

P P

P

faces du tétraèdre.

3' ' ' sin sin sin sin sin

2

Expression qui est aussi indépendante de la position de .P

26 décembre 2006

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EXGSE076 - Liège – septembre 2006

On considère une droite d de l’espace et un point P n’appartenant pas à d. Pour

tout plan contenant d , on note X la projection orthogonale de P sur .

Déterminer le lieu géométrique décrit par le point X quand varie.

Suggestion : si on procède par géométrie analytique, on choisira un système

d’axes où d est l’un des axes.

P

P’X

'

d

d'

Soit le plan ' passant par et perpendiculaire à .

Soit ' le point de percée de dans '.

Les plans et ' se coupent selon la droite ' qui passe par '.

La projection orthogonale de sur se

P d

P d

d P

X P

trouve sur la droite ' et donc

dans le plan '.

Quand la position de varie, reste dans le plan ' et l'angle ' 90 .

Conclusion : Le lieu de est le cercle situé dans le plan ' et de diamètre

d

X PXP

X PP

'.

26 décembre 2006

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EXGSE077 - Louvain, série 1 – juillet 2006

Des enfants réalisent un château de sable de forme conique de hauteur h et de

rayon r = h, voir figure. Pour ce faire, ils creusent autour du château une

tranchée de profondeur l et de largeur l, dont la section est également

représentée sur la figure. Le sable constituant le château est intégralement

prélevé de la tranchée. On vous demande de calculer la hauteur du château de

sable pour une tranchée de profondeur l = 1. (Note : les longueurs des segments

sur la figure ne correspondent pas à la solution du problème !)

y

A

B DO

CE

x

h

r = h l

l = 1

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2 2

2

Méthode 1

Volume du cylindre engendré par la rotation du rectangle autour de l'axe :

1

Volume du tronc de cône engendré par la rotation du trapèze autour de l'axe :

3

C

TC

ODCE OA

V h l l h

OBCE OA

lV h h

2 22

2

2 2 2 2

1 13

3 3 13

Volume engendré par la rotation du triangle autour de l'axe :

1 3 3 1 3 6 3 3 3 13 3

3 23

Ce dernier volume doit être égal au volume du

T C TC

h l h l h h h h

h h

BDC OA

V V V h h h h h h h

h

3 3

23 2

cône engendré par le triangle

3 2 3 2 03 3

1 3 2

On factorise par Horner : 1 1 1 2

1 1 2 0

3 2 0 1 2 1 2 0

1 0 à rejeter

2

Conclusion 2

OAB

h h h h

h h h h h h h

h

h

h

y

B DO

C

x

BC f x h x

h

x

h + 1

f (x

)

dx

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Méthode 2

Méthode alternative pour le calcul de

La droite a pour équation :

Considérons un élément de largeur et de hauteur . Ce rectangle engendre par

rotation un volume assimila

T

T

V

BC BC f x h x

dx f x

dV

La longueur La largeur

La hauteur

ble à celui d'un parallélépipède rectangle :

2 . .

Il reste à intégrer de à 1. On prendra la valeur absolue de l'intégrale puisque la

surface est en d

TdV x h x dx

h h

BDC

1 1 12

1 13 2

3 23 2

3

essous de l'axe des .

2 2

12 2 1 1

3 2 3 2

23

h h h

Th h h

h h

h h

x

V x h x dx x dx h xdx

x x hh h h h h

h

2 33 3 1h h h 23h h 22 1h h 26

3h

26 2 6h h 3 3 2

3h h

30 juin 2007

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EXGSE078 - Louvain, série 2 – juillet 2006

On demande à des ingénieurs de concevoir un réservoir fermé destiné à

contenir un liquide dangereux. Le réservoir conique est creusé dans le sol avec

le sommet en bas et la base en haut. La hauteur du réservoir est notée h, et le

rayon de la base est rc = h/2. Pour pouvoir contrôler que la contenance de ce

réservoir ne dépasse jamais un certain niveau critique, les ingénieurs ont

imaginé le système de contrôle suivant. Un ballon sphérique de rayon r = rc/5

et de densité égale à la moitié de la densité du liquide est introduit dans le

réservoir (le ballon s’enfonce donc de moitié dans le liquide). Grâce à un

système de capteurs, le remplissage s’arrête lorsque le ballon entre en contact

avec la plaque supérieure du réservoir. On vous demande d’estimer la fraction

volumique de liquide dans le réservoir, càd le rapport du volume de liquide sur

le volume total du réservoir.

r’C

rC = h/2

r

h’

h

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2

3

Sa hauteur

Son rayon

'

Soit la capacité totale du réservoir : 13 2 12

Quand le réservoir est remplit à son maximum, la hauteur de liquide est alors '

9'

5 10 10

Soit la ca

C C

C

C

hV V h h

h

r hh h r h h h

V

' '

''

2 3 3'

3

3 33

3

pacité du cône correspondant à la hauteur ' : ' 23

9

' ' 910Or : 2 20

9 9 9Donc : 2 3

3 10 20 12 10

4 4 4Le volume de la sphère est : 4

3 3 10 3 10

Le

C C

CC C

C

C

S

h V h r

hr h h h

r r hr h h h

h h hV

h hV r

3 3 3 3' 3

3 3 3

33

3

3

volume de liquide dans le réservoir est alors :

9 4De 3 et 4 9 8 5

2 12 10 6 10 12.10

La fraction volumique de liquide dans le réservoir est finalement

9 812.10De 1 et 5

12

SL C

L

C

V h h hV V

hV

Vh

39 8 729 80.721

1000 1000

30 juin 2007

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EXGSE079 - Louvain, septembre 2006

Un producteur de liqueurs traditionnelles vend des carafes coniques contenant

non seulement la liqueur mais également un fruit, ce dernier conférant deux

avantages : un aspect esthétique apprécié des clients et une économie sur la

quantité de liquide à y introduire. La technique consiste à faire grandir le fruit

dans la carafe. Le fruit grandit en gardant toujours la même forme et atteint sa

taille finale lorsque les parois de la carafe l’empêchent de grandir davantage.

Le producteur chercher à savoir s’il doit préférer des fruits de forme sphérique

ou de forme cubique* pour optimiser son gain. Les carafes ont le diamètre de la

base de longueur égale à la génératrice du cône. La question revient donc à

comparer les volumes des deux fruits. (Sans calculette, il vous sera nécessaire

de réaliser un calcul approximatif pour décider.)

O

RS

A B

C

Figure 1

Le rayon de la sphère inscriptible est égal au tiers de la hauteur du cône.

En effet, la section du cône par un plan vertical est un triangle équilatérale puisque le

diamètre de la base est égale à la g

3

3 3 3

énératrice du cône, et, dans un triangle équilatérale

la hauteur est en même temps bissectrice, médiatrice et médiane.

3

6

4 4 3 3Le volume de la sphère : 0.1

3 3 6 54

S

S S

R d

V R d d d

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Figure 2

C

O

M

N

P

Q

A

B

Le cas du cube est plus compliqué car comme le montre la figure 2, le cube touche le cône

aux quatre sommets.

La longueur limitante sera la diagonale d'une des faces du cube.

Considérons le plan eCMOQPN t soit 2 la longueur de l'arête du cube.

Prenons comme axes et . Voir figure 3OP Ox OC Oy

3C 0,2

d

y

M

O Q

N 2 ,2

P 0,2d

Figure 3

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3 3

2 3Dans ce repère, 1 2

33

2 2

Le sommet du cube 2 , 2 appartient à

2 3 32 2 2 0.195

3 6 2 4 3

Le volume du cube est alors : 2 0.195 0.059

Il nous reste à faire le rapport des vo

C

x yCP CP x y d

d d

N CP

dd d

V d d

3

3

lumes :

0.11.7

0.059

La sphère est donc manifestement la forme qui permet d'économiser le plus de liquide.

S

C

V d

V d

30 juin 2007