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Examen de Mecanique des fluides´ - Accueilhebergement.u-psud.fr/.../uploads/2016/06/exam_hydro_151.pdfLicences L3 de Physique et Applications et de M´ecanique M´ecanique des Fluides

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  • Licences L3 de Physique et Applications et de MecaniqueMecanique des Fluides - Phys-A311

    Universite Paris-SudAnnee universitaire 2015-2016

    Examen de Mecanique des fluidesMardi 5 janvier 2016, duree 3h

    I. Evolution dun jet deau sous laction de la pesanteur

    On propose dans ce probleme detudier une situation que lon experimente quotidiennement : quelle est la loidevolution dun jet deau lorsque lon ouvre un robinet ? On considere un robinet de rayon a qui laisse couler de leau, de masse volumique , a lair libre a la pressionatmospherique p0. Le jet qui en resulte est oriente vers le bas et accelere sous leffet de la pesanteur. On supposeque leau est un fluide parfait en ecoulement stationnaire incompressible et que la vitesse du jet est independantedu rayon et est decrite par U(z). Nous souhaitons determiner la loi devolution du rayon r(z) du jet et sa vitesseU(z) avec la distance a lorifice. On oriente laxe Oz vers le haut et lorigine des axes est pris a la sortie delorifice.

    z

    g

    a

    p0

    p0

    U0

    U(z)

    A

    Br(z)

    1. On souhaite determiner les lois devolution dun jet deau a lair libre sous laction de la pesanteur.

    (a) Determiner la loi devolution du rapport des vitesses U(z)/U0 en fonction de la coordonnee z parapplication du theoreme de Bernoulli.

    (b) En deduire la loi devolution du rapport des rayons r(z)/a. Commenter vos resultats.

    2. On souhaite retrouver ces resultats a partir de lequation de Navier-Stokes. On utilise le systeme decoordonnees cartesiennes.

    (a) Rappeler lexpression de lequation de Navier-Stokes sous forme vectorielle et preciser la significa-tion de chacun de ses termes.

    (b) Projeter lequation de Navier-Stokes dans la direction du mouvement. Justifier quels sont les termesqui disparaissent.

    1

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    (c) Integrer cette equation differentielle et montrer que vous retrouvez bien la meme loi devolutionpour le rapport des vitesses qua la question 1a. Pour vous aider a integrer, rappeler quelle est laderivee de f2(x) par rapport a x ou f(x) est une fonction quelconque de x.

    II. Le paradoxe de Stevin

    On considere deux recipients (disons deux verres) de meme contenance V et de meme hauteur h. Le premierest un cylindre de rayon R, tandis que le deuxieme a une forme de tronc de cone de rayons R1 et R2 commeschematise sur la figure ci-dessous et tel que R1 < R < R2. La generatrice forme un angle avec la verticale.On remplit ces deux recipients deau, de masse volumique , a ras bord. Les parois du fond de ces deux verresest a lair libre.

    h

    R

    R2

    R1

    p0

    p0

    r(z)ez

    er0

    g

    1. On souhaite exprimer la resultante des forces de pression (de lensemble eau + air) qui sexerce sur laparoi du fond des deux recipients.

    (a) Rappeler la loi de lhydrostatique et determiner la pression de leau a une profondeur h.

    (b) Exprimer les forces de pression resultantes que subissent les parois du fond de ces deux recipients.Ces forces de pression correspondent-elles au poids de leau contenue dans chacun des deux recipients ?

    (c) Si on place ces deux verres sur une balance. La balance mesurera-t-elle la meme masse deau dansles deux cas ? Justifier votre reponse.

    2. On cherche maintenant a exprimer la composante verticale des forces de pression (de lensemble eau +air) qui sexercent sur la paroi laterale du verre en forme de tronc de cone.

    (a) Soit dS un element de surface de la surface laterale du recipient. Representer sur un schema levecteur

    dS. Projeter cet element de surface

    dS, sans chercher a exprimer la norme dS, dans la base

    (e r,e z) du systeme de coordonnees cylindriques.(b) Lelement de surface de la surface laterale du verre en forme de tronc de cone est donne par

    dS = r(z) d du, ou le rayon est r(z) = R2 z tan et ou lon a pose du = dz/ cos.Exprimer la composante verticale des forces de pression sur la surface laterale du verre.

    3. Exprimer la composante verticale des forces de pression que subie la surface totale du verre en formede tronc de cone. Correspond-elle au poids du volume deau contenu dans le verre ? On rappelle queh tan = R2R1 et le volume dun tronc de cone est donne par la formule V = h3

    (R21 +R

    22 +R1R2

    ).

    2

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    III. Turbine dans une conduite

    On considere lecoulement dun fluide, de masse volumique et de viscosite dynamique , dans une conduitede section rectangulaire, de longueur L, de largeur 2a et de profondeur (normale au plan de la figure selonOz) tres grande devant sa largeur, de sorte que lecoulement puisse etre considere comme bidimensionnel. Levecteur vitesse est donne par v = v(y)e x. Lecoulement est assure par un gradient de pression longitudi-nal constant dp/dx = G. Le fluide incompressible secoule en regime permanent. On neglige le role de lapesanteur.

    L

    0 x

    a

    -a

    L/2 L/2

    A BB

    a) b)

    y

    A0

    x

    a

    -a

    B

    y

    A

    1. On etudie lecoulement dans la conduite en labsence de turbine dans un premier temps (voir figure a).

    (a) Ecrire lequation de Navier-Stokes et la projeter dans les directions Ox et Oy. En deduire que lapression est constante selon la largeur de la conduite 2a.

    (b) Determiner lexpression du champ de vitesse v(y) en fonction du gradient de pression G a laidedes conditions aux limites. En deduire lexpression de la vitesse maximale vM . Quel est le signe dugradient de pression G si lecoulement va du point A au point B ?

    (c) Determiner le debit volumique Q de cet ecoulement. En deduire la vitesse moyenne v sur une sectionde conduite. Quelle est la relation qui relie v a vM ?

    (d) Determiner le coefficient de pertes de charge p par application du theoreme de Bernoulli sur toutela longueur de la canalisation entre les points A et B.On rappelle la loi de Poiseuille

    Q =2p a3

    3L.

    En deduire lexpression du debit volumique de lecoulement dans la conduite en labsence de turbineQST . Comparer son expression au debit de la question 1c.

    2. On decide a present de placer une turbine (voir figure b) au centre de la conduite (entre les points A

    et B) dont on negligera lepaisseur. La difference de presion entre les points A et B est maintenueconstante par rapport au cas en labsence de turbine. On note P < 0 la puissance cedee par le fluide ala turbine et QAT le nouveau debit dans la conduite avec turbine.

    (a) Exprimer les pressions aux points A et B en tenant compte des pertes de charge p et de la loi dePoiseuille.

    (b) Comparer pA et pB en tenant compte du signe de P . Tracer levolution de la pression en fonctionde x sur toute la longueur L de la conduite.

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    (c) Exprimer la difference de pression pA pB entre lentree et la sortie de la conduite. En deduire quele debit avec turbine QAT est inferieur au debit dans cette meme conduite sans turbine QST .

    IV. Loi dechelle pour les animaux volants

    Certains oiseaux ou insectes parviennent a rester immobiles dans lair en battant des ailes a une frequence fsuffisamment importante pour compenser leurs poids. On va chercher dans cet exercice a caracteriser la loidechelle reliant la frequence de battement des ailes a lenvergure de lanimal volant.Le battement des ailes en vol stationnaire a pour but de mettre lair immobile situe au-dessus de lanimal enmouvement vers le bas. Il existe alors sous lanimal un jet dair secoulant vers le bas comme schematise surla figure ci-dessous. On considere que les particules fluides sur lesquelles lanimal a une action secoulent dansun domaine qui sappuie sur le contour delimite par les surfaces S1, S2, la surface laterale SL et le contour delanimal constitue de deux surfaces SA et SB . Laire balayee par lanimal est S0, tel que SA SB S0.

    S2

    U2

    S1

    p0

    S0

    SL

    SL

    p0

    p0

    p0

    SA

    SB

    U0

    U0g

    ez

    On considere lecoulement dair, de masse volumique et suppose parfait, comme stationnaire, incompressibleet non pesant. Le long des frontieres du domaine (S1, S2 et SL), la pression est egale a la pression atmospheriquep0. On note pA et pB respectivement la pression au-dessus et en-dessous de lanimal, respectivement en SA etSB . Les vitesses sont uniformes dans chacune des sections du domaine. Lair autour de lanimal dans lessections SA et SB est anime dune vitesse U0, et dune vitesse U2 dans la section S2. Enfin, la section S1 etanttres grande devant S0, la vitesse U1 est negligeable. On oriente laxe vertical vers le haut.

    1. On souhaite determiner les forces de pression que lair exerce sur lanimal.

    (a) Appliquer le theoreme de Bernoulli sur une ligne de courant entre les sections S1 et SA, ainsiquentre les sections S2 et SB .

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    (b) Exprimer lecart de pression pB pA en fonction de U2. En deduire lexpression de la force depression Fp exercee par lair sur lanimal. Quelle est la direction de

    F p ?

    2. On rappelle lexpression du theoreme de transport de Reynolds applique a la quantite de mouvement

    t

    V C

    v d +

    SCv (v .n ) dS =

    SC

    pn dS,

    ou VC designe le volume de controle et SC la surface de controle.