Examen partiel #2

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Examen partiel #2. Mardi le 9 novembre de 19h30 à 21h20 Salles 2880 (Gr.A) et 3860 (Gr. B) du pavillon Vachon. Matière de l'examen: - Livre de Lay: sections 2.6, 2.8, 2.9, 3.1, 3.2, 3.3, 5.1, 5.2. - Notes de cours (guide d'études): sections 6 à 10. - Devoirs: 5 à 8. Rappel. - PowerPoint PPT Presentation

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  • Examen partiel #2

    Mardi le 9 novembre de 19h30 21h20

    Salles 2880 (Gr.A) et 3860 (Gr. B) du pavillon Vachon.

    Matire de l'examen:- Livre de Lay: sections 2.6, 2.8, 2.9, 3.1, 3.2, 3.3, 5.1, 5.2.- Notes de cours (guide d'tudes): sections 6 10.- Devoirs: 5 8.

  • Rappel...

    Dterminants:dfinition;proprits;rgle de Cramer;calcul de linverse dune matrice;aire et volume;transformations linaires.

  • AujourdhuiValeurs propres et vecteurs propres.Dfinitions;Proprits;quations aux diffrences;quation caractristique;Matrices similaires;Applications aux systmes dynamiques.

  • 10. Valeurs propres etvecteurs propres

  • Dfinition: Vecteur propreUn vecteur propre dune matrice A n n est un vecteur non nul x tel queAx = lx pour un scalaire l quelconque.

  • Dfinition: Valeur propreUn scalaire l est appel une valeur propre de A sil existe une solution non triviale x du systme Ax = lx; un tel x est appel vecteur propre correspondant l.

  • Matlab: eigx = eig(A): x est un vecteur colonne contenant les valeurs propres de A.

    [U V] = eig(A): U est une matrice diagonale contenant les valeurs propres de A et V est une matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres de A.

  • quation (A - lI)x = 0Lensemble de toutes les solutions est le noyau de la matrice (A - lI).

    Cest donc un sous-espace de Rn.

    On appelle ce sous-espace lespace propre correspondant l.

  • Valeurs propres dune matrice triangulaireSoit A une matrice triangulaire. Alors les valeurs propres de A sont les lments de la diagonale principale de A.

  • Suite du thorme des matrices inversiblesSoit A une matrice n n. Alors A est inversible si et seulement si

    Le nombre 0 nest pas une valeur propre de A.

  • Vecteurs propres correspondants des valeurs propres distinctesSi v1,...,vr sont des vecteurs propres correspondants des valeurs propres distinctes l1,...,lr dune matrice A n n, alors lensemble {v1,...,vr} est linairement indpendant.

  • quations aux diffrencesquations reprsentant des systmes dynamiques.

    quation du premier ordre:xk+1= A xk, k = 0,1,2,...

  • Lquation caractristiqueLquation caractristique est une quation scalaire une inconnue nous permettant de calculer les valeurs propres.

  • Proprits des dterminantsSoit A et B des matrices n n.a.A est rversible si et seulement si det A 0.b.det AB = (det A)(det B).c.det AT = det A.

  • Proprits des dterminants (suite) d.Si A est une matrice triangulaire, alors det A est le produit des lments de la diagonale principale de A.

  • Proprits des dterminants (suite)e.- Une opration de remplacement dune ligne de A ne change pas le dterminant.- Un change de deux ligne change le signe du dterminant. - La multiplication dune ligne par un scalaire multiplie le dterminant par le mme scalaire.

  • Dfinition: quation caractristique(A - lI)x = 0 a une solution non triviale si et seulement si A - lI est non inversible (thorme sur les matrices inversibles).

    A - lI est non inversible si et seulement si det(A - lI) = 0.

  • Dfinition: quation caractristique (suite)Ceci nous amne donc dfinir lquation caractristique de A.det(A - lI) = 0

  • Dfinition: matrice similaireSi A et B sont des matrices similaires, alors A est similaire B sil existe une matrice rversible P telle que P-1AP = B ou, de manire quivalente, A = PBP-1.

  • Matrice similaire (suite)Si on remplace P-1 par Q on a Q-1BQ = A. B est donc similaire A, et nous disons simplement que A et B sont similaires.

  • Thorme: Matrices similaires et valeurs propresSi A et B, des matrices n n, sont similaires, alors elles ont le mme polynme caractristique et donc les mmes valeurs propres (avec les mmes multiplicits).

  • Prochain cours...

    Diagonalisation et transformations linaires.