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Nom : ................................................... Prénom : ................................................... Examen de culture générale à l’École de Culture Générale Juin 2021 MATHÉMATIQUES 3C Durée : 240 minutes Matériel autorisé : Formulaire usuel fourni avec l’épreuve. Calculette : TI-30 ECO RS, TI-30X II S, Casio fx-85 ES (PLUS) ou HP 10s+ Scientific Calculator Règle, équerre, rapporteur et compas. Consignes : 1. Le candidat met son nom sur toutes les feuilles, y compris celles de brouillon. 2. Les points attribués à chaque problème sont indiqués à droite du numéro du pro- blème. 3. Après avoir si nécessaire travaillé sur un brouillon, le candidat rédige à l’encre les solutions sur les feuilles officielles. La rédaction doit être soignée. Les calculs et les raisonnements doivent être détaillés. La réponse est clairement mise en évidence à la fin du problème. Les feuilles de brouillon sont jointes aux feuilles officielles mais ne sont pas corri- gées. Si la rédaction est insuffisante, le problème ne sera pas corrigé et aucun point ne sera attribué. Nombre de points obtenus : Note finale : Page 1 sur 8 Gymnase d’Yverdon Examen de l’Ecole de Culture Générale 2021 Mathématiques 3C

Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

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Page 1: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Nom : ................................................... Prénom : ...................................................

Examen de culture générale

à l’École de Culture Générale

Juin 2021

MATHÉMATIQUES 3C

Durée : 240 minutes

Matériel autorisé : Formulaire usuel fourni avec l’épreuve.

Calculette : TI-30 ECO RS, TI-30X II S, Casio

fx-85 ES (PLUS) ou HP 10s+ Scientific

Calculator

Règle, équerre, rapporteur et compas.

Consignes :

1. Le candidat met son nom sur toutes les feuilles, y compris celles de brouillon.

2. Les points attribués à chaque problème sont indiqués à droite du numéro du pro-

blème.

3. Après avoir si nécessaire travaillé sur un brouillon, le candidat rédige à l’encre les

solutions sur les feuilles officielles. La rédaction doit être soignée.

Les calculs et les raisonnements doivent être détaillés.

La réponse est clairement mise en évidence à la fin du problème.

Les feuilles de brouillon sont jointes aux feuilles officielles mais ne sont pas corri-

gées.

Si la rédaction est insuffisante, le problème ne sera pas corrigé et aucun point ne

sera attribué.

Nombre de points obtenus : Note finale :

Page 1 sur 8 Gymnase d’Yverdon

Examen de l’Ecole de Culture Générale 2021

Mathématiques

3C

Page 2: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Problème 1 (15 points)

L’opérateur téléphonique Pepper propose 3 abonnements différents pour la connexion

au réseau de données mobiles.

A) Abonnement Free : CHF 60.- par mois pour un volume illimité.

B) Abonnement Flex : 30.- par mois pour 4 Giga de données et CHF 20.- pour chaque

Giga supplémentaire consommé.

C) Abonnement Eco : 10.- par Giga consommé.

Représentation graphique des différents abonnements :

1 2 3 4 5 6 7

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

a) Nommer les axes.

b) Faire correspondre chaque abonnement avec sa représentation graphique.

c) Remplir le tableau ci-après :

Page 2 sur 8 Gymnase d’Yverdon

Examen de l’Ecole de Culture Générale 2021

Mathématiques

3C

Page 3: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

nombre de Giga Abonnement coût par moisconsommés par mois le meilleur marché avec cet abonnement

(sous forme d’intervalle)

[0;3[

[3;5[

[5;6[

[6;+∞[

d) Déterminer l’expression fonctionnelle de l’abonnement Free (A) et de l’abonnement

Eco (C) en fonction du nombre de Giga consommés.

Juliette consomme 4 Giga par mois.

e) Combien devra-t-elle payer pour chaque abonnement? Quel est l’abonnement le moins

cher ?

L’opérateur Yellow propose un abonnement uniquement pour les jeunes personnes telle

que Juliette.

L’abonnement Young pour la consommation des données mobiles coûte CHF 10.- par

mois pour 2 Giga et chaque Giga supplémentaire consommé coûte CHF 15.-.

f) Représenter graphiquement ci-avant (page précédente) l’abonnement Young.

g) Juliette doit-elle choisir cette abonnement Young ?

Page 3 sur 8 Gymnase d’Yverdon

Examen de l’Ecole de Culture Générale 2021

Mathématiques

3C

Page 4: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Problème 2 (13 points)

Quelques questions diverses et indépendantes.

A) Une personne investit CHF 5’000.- à un taux annuel de 2.4%. Cette personne sou-

haite retirer son investissement lorsqu’il aura atteint les CHF 8’000.-. Dans combien

de temps, pourra-t-elle retirer son argent ?

B) Un petit fleuriste vend 4 sortes de fleurs : des lys, des roses, des tulipes et des tourne-

sols.

i) Combien de bouquets de 3 fleurs différentes peut-on former ?

ii) Quelle est la probabilité d’avoir une rose dans un tel bouquet ?

C) Soient deux nombres réels positifs tels que la somme du premier et du double du se-

cond donne 16. Trouver ces 2 nombres pour que leur produit soit maximal.

D) Soit un parallélogramme ABC D dont le côté AB vaut 10 et le côté BC vaut 4 et l’angle

en B vaut 60◦. Déterminer la longueur des deux diagonales de ce parallélogramme

ABC D.

E) Déterminer l’équation de la parabole croisant l’axe O y en -20 et l’axe Ox en -5 et 2.

Page 4 sur 8 Gymnase d’Yverdon

Examen de l’Ecole de Culture Générale 2021

Mathématiques

3C

Page 5: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Problème 3 (6 points)

Considérons le schéma du développement du prisme ci-dessous.

xy

z

x

h

h

h

y

z

H

L

Ce prisme est de base triangulaire quelconque. Nous connaissons deux angles et un côté

de la base triangulaire : l’angle formé par les côtés x et z du triangle vaut 30◦, celui formé

par les côtés y et z vaut 45◦ et le côté z est de longueur 4 cm.

Les parois du prismes sont des rectangles (comme illustré sur le développement). La hau-

teur h du prisme est de 5 cm.

a) Calculer les longueurs de x et y .

(Si vous ne trouvez pas les valeurs de x et y, utiliser x = 3.12 cm et y = 1.98 cm pour la

suite de l’exercice)

b) Calculer le volume du prisme.

c) Calculer les longueurs L et H .

Page 5 sur 8 Gymnase d’Yverdon

Examen de l’Ecole de Culture Générale 2021

Mathématiques

3C

Page 6: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Problème 4 (21 points)

Les deux parties A et B de cet exercice sont indépendantes et peuvent se résoudre de ma-

nière séparée.

A. (11 points)

Nous regardons la répartition des 620 élèves d’un Gymnase par âge.

âge fréquences effectifs fréquences cumulées

15 5%

16 30%

17 25%

18 20%

19 15%

20 5%

Total

a) Compléter le tableau ci-dessus.

b) Calculer l’âge modal et l’âge moyen du Gymnase.

c) Calculer les 3 quartiles.

d) Esquisser la boîte à moustaches.

B. (10 points)

Les 620 élèves sont répartis en 3 volées. 45% en 1ère année, 30% en deuxième année

et 25% en 3ème annnée.

a) Calculer le nombre d’élèves pour chaque volée (1ère, 2ème et 3ème année).

Les 124 élèves âgés de 18 ans se répartissent dans les différentes volées de la ma-

nière suivante :

la moitié en 3ème année, un quart en 2ème et un quart en 1ère année.

b) Déterminer le nombre d’élèves âgés de 18 ans dans chaque volée.

c) Si nous prenons au hasard un élève de 1ère année, quelle est la probabilité qu’il ait

18 ans?

d) Si nous prenons un élève au hasard, quelle est la probabilité qu’il n’ait pas 18 ans?

e) Si la personne a 18 ans, quelle est la probabilité qu’elle se trouve en 3ème année?

f) Si la personne n’a pas 18 ans, quelle est la probabilité qu’elle se trouve en 2ème

année?

Page 6 sur 8 Gymnase d’Yverdon

Examen de l’Ecole de Culture Générale 2021

Mathématiques

3C

Page 7: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Problème 5 (12 points)

La population de lapins dans un élevage est donnée par la fonction

P (t ) = 20 ·ekt

avec t en jours.

a) Déterminer la valeur de k si la population initiale est de 20 lapins et la population après

6 jours est de 180 lapins.

(Si vous ne trouvez pas la valeur de k, utiliser k = 0.32 pour la suite de l’exercice.)

b) Quelle est la population après 3 jours?

c) Quelle est la population après 10h ?

d) Après combien de temps aura-t-on 500 lapins?

e) Représenter, ci-dessous, le graphe de la fonction pour 0 # t # 10.

Page 7 sur 8 Gymnase d’Yverdon

Examen de l’Ecole de Culture Générale 2021

Mathématiques

3C

Page 8: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Problème 6 (6 points)

La loterie Suisse romande édite les billets TRIBOLO par série de 1 million de billets. Il

s’agit de billets à gratter qui coûtent 2.- pièce. Les gains possibles et le nombre de billets

correspondants pour chaque série sont les suivants :

nombre de billets gain

6 10’000.-

52 1’000.-

66 500.-

254 200.-

1’048 100.-

2’134 50.-

3’250 20.-

5’200 10.-

7’800 6.-

76’000 4.-

150’000 2.-

a) Calculer la probabilité d’avoir un billet qui permet de compenser exactement le prix

du billet.

b) Calculer la probabilité de faire un bénéfice avec un billet.

c) Calculer l’espérance de gain d’un billet de TRIBOLO.

Page 8 sur 8 Gymnase d’Yverdon

Examen de l’Ecole de Culture Générale 2021

Mathématiques

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Page 9: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Nom : ................................................... Prénom : ...................................................

Examen de culture générale

à l’École de Culture Générale

Août 2020

MATHÉMATIQUES 3C

Durée : 240 minutes

Matériel autorisé : Formulaire usuel fourni avec l’épreuve.Calculette : TI-30 ECO RS, TI-30X II S,Casio fx-85 ES (PLUS) ou HP 10s+ ScientificCalculatorRègle, équerre, rapporteur et compas.

Consignes :

1. Le candidat met son nom sur toutes les feuilles, y compris celles de brouillon.

2. Les points attribués à chaque problème sont indiqués à droite du numéro du problème.

3. Après avoir si nécessaire travaillé sur un brouillon, le candidat rédige à l’encre les so-lutions sur les feuilles officielles. La rédaction doit être soignée.

Les calculs et les raisonnements doivent être détaillés.La réponse est clairement mise en évidence à la fin du problème.Les feuilles de brouillon sont jointes aux feuilles officielles mais ne sont pas corrigées.Si la rédaction est insuffisante, le problème ne sera pas corrigé et aucun point ne seraattribué.

Nombre de points obtenus : Note finale :

Page 1 sur 6 Gymnase d’YverdonExamen de l’Ecole de Culture Générale 2020

Mathématiques3C

Page 10: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Problème 1 [10 pts]

Les temps (en minutes) des participants à une course de 20 km sont représentés dans letableau suivant.

Classes Milieux Effectifs Fréquences Fréquences cumulées

[bi−1; bi[ xi ni fi Fi fixi fix2

i

[60; 80[ 42 0.0525

[80; 100[ 0.4825

[100; 120[ 0.93

[120; 140[

[140; 160[ 9

Total

a) Compléter le tableau ci-dessus (les deux dernières colonnes sont à laisser libres pour voséventuels calculs futurs).On demande de ne pas arrondir les résultats inscrits dans le tableau. En revanche, les

réponses à donner ci-dessous devront être arrondies au centième.

b) Calculer la moyenne, la variance et l’écart-type.

c) Calculer la médiane, ainsi que les premier et troisième quartiles.

d) Dessiner la boîte à moustache correspondant à ces données dans le graphe ci-dessous.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170

Page 2 sur 6 Gymnase d’YverdonExamen de l’Ecole de Culture Générale 2020

Mathématiques3C

Page 11: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Problème 2 [10 pts]

On souhaite faire un smoothie à base de pommes et d’ananas. On veut faire au moins 3litres de smoothie, et on estime que 1 kg de fruits permet d’obtenir 1 litre de jus. De plus,le smoothie ne devra pas contenir plus de 750 g de glucides. Enfin, dans le but de privilégierles produits locaux, le nombre de kg de pommes utilisées doit être au moins le double decelui d’ananas.Le tableau ci-dessous indique la contenance en glucide et en vitamine C de 1 kg de pommeset d’ananas.

Pommes (1 kg) Ananas (1 kg)

Vitamine C 0,4 g 3,6 g

Glucides 75 g 150 g

a) Écrire les contraintes sous la forme d’un système d’inéquations.

b) Représenter le polygone des contraintes dans le système d’axes ci-après.

c) Combien de kilos de pommes et d’ananas faut-il utiliser pour maximiser la quantité totalede vitamine C contenue dans le smoothie (en tenant évidemment compte de toutes lescontraintes) ? Justifier.

d) Quelle est alors la quantité de vitamine C?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

2

3

4

5

6

7

8

Page 3 sur 6 Gymnase d’YverdonExamen de l’Ecole de Culture Générale 2020

Mathématiques3C

Page 12: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Problème 3 [12 pts]

Une partie d’un jeu se déroule en deux étapes :— pour commencer, le joueur lance une pièce de monnaie équilibrée ;— si la pièce tombe sur Pile, le joueur tire au hasard une boule d’une urne qui contient

3 boules blanches et 2 boules noires ;— si la pièce tombe sur Face, le joueur tire au hasard une boule d’une urne qui contient

1 boule noire et 3 boules rouges.

1. Un joueur joue une fois à ce jeu.

a) Calculer la probabilité qu’il tire une boule rouge.

b) Calculer la probabilité qu’il tire une boule noire.

c) Calculer la probabilité qu’il tire une boule noire, sachant que la pièce est tombée surFace.

d) S’il tire une boule noire, calculer la probabilité que la pièce soit tombée sur Face.

Le joueur gagne ou perd de l’argent en fonction des tirages qu’il obtient selon le descriptifsuivant :

— s’il tire une boule blanche, il gagne 1 franc ;— s’il tire une boule rouge, il perd 4 francs ;— s’il tire une boule noire après avoir obtenu Pile au lancer de la pièce, il gagne 3 francs.— s’il tire une boule noire après avoir obtenu Face au lancer de la pièce, il gagne 10

francs.

2. Un joueur joue une fois à ce jeu.

e) Calculer la probabilité qu’il gagne de l’argent.

f) Calculer l’espérance de ce jeu.

3. Un joueur joue deux fois à ce jeu.

h) Calculer la probabilité qu’il gagne 2 francs en tout.

i) Calculer la probabilité qu’il gagne 6 francs en tout.

Page 4 sur 6 Gymnase d’YverdonExamen de l’Ecole de Culture Générale 2020

Mathématiques3C

Page 13: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Problème 4 [11 pts]

D

A

B

G

F

E

C

H

ABCDHG est un prisme droit de hauteur 2 cm dont la base ABC est un triangle rectangleen C, avec AB = 5 cm et AC = 4 cm.

a) Calculer la longueur BC.

b) Calculer le volume du solide ABCDHG.

c) Dessiner un développement de la figure ABCDHG, en taille réelle.

On retire la pyramide EFBH pour obtenir le solide ABCDEFG. On sait que FH = 1.5 cmet que EH = 2 cm.

d) Calculer les longueurs des côtés du triangle BEF .

Si vous n’avez pas calculé tous les côtés de BEF , vous pouvez utiliser les valeurs fictivesBE = 2.81 cm, EF = 1.75 cm et BF = 2.40 cm pour la suite.

e) Calculer une mesure de l’angle EFB.

Page 5 sur 6 Gymnase d’YverdonExamen de l’Ecole de Culture Générale 2020

Mathématiques3C

Page 14: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Problème 5 [7 pts]

Alphonse et Bérénice partent du même endroit, et au même moment, pour une balade à vélode 40 kilomètres. Ils empruntent la même route, mais chacun roule à son propre rythme. Legraphique ci-dessous indique leur distance parcourue en fonction du temps écoulé.

1 2 3 4 5

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40Distanceen km

Tempsen heures

AlphonseBérénice

La distance parcourue (en km) par Bérénice est décrite par la fonction f définie par

f(t) = 3t − 1,

où t est le temps écoulé (en heures).

Sauf mention explicite, aucun calcul n’est nécessaire pour répondre aux questions ci-dessous.

a) Quelle distance Alphonse a-t-il parcourue après 1h ?

b) Calculer la distance parcourue par Bérénice après 2h30.

c) Alphonse a-t-il fait une pause ? Justifier.

d) Alphonse avançait-il plus vite au début ou à la fin de la balade ? Justifier.

e) Lequel des deux cyclistes a dépassé l’autre ? Combien de temps après le départ a eu lieule dépassement ?S’il n’y a pas eu de dépassement, l’indiquer clairement.

f) Qui a terminé en premier la balade ? Justifier.

g) Après combien de temps Bérénice a-t-elle parcouru 16 km?Calculer la réponse en heure, avec arrondi au centième.

Page 6 sur 6 Gymnase d’YverdonExamen de l’Ecole de Culture Générale 2020

Mathématiques3C

Page 15: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Nom : ................................................... Prénom : ...................................................

Examen de culture générale

à l’École de Culture Générale

Juin 2019

MATHÉMATIQUES 3C

Durée : 240 minutes

Matériel autorisé : Formulaire usuel fourni avec l’épreuve.

Calculette : TI-30 ECO RS, TI-30X II S, Casio

fx-85 ES (PLUS) ou HP 10s+ Scientific

Calculator

Règle, équerre, rapporteur et compas.

Consignes :

1. Le candidat met son nom sur toutes les feuilles, y compris celles de brouillon.

2. Les points attribués à chaque problème sont indiqués à droite du numéro du problème.

3. Après avoir si nécessaire travaillé sur un brouillon, le candidat rédige à l’encre les solu-

tions sur les feuilles officielles. La rédaction doit être soignée.

Les calculs et les raisonnements doivent être détaillés.

La réponse est clairement mise en évidence à la fin du problème.

Les feuilles de brouillon sont jointes aux feuilles officielles mais ne sont pas corrigées.

Si la rédaction est insuffisante, le problème ne sera pas corrigé et aucun point ne sera at-

tribué.

Barème :5 · (nombre de points)

47+1

Nombre de points obtenus : Note finale :

Page 1 sur 5 Gymnase d’YverdonExamen de l’Ecole de Culture Générale 2019

Mathématiques3C

Page 16: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Problème 1 [12 pts]

Lors d’un test, un enseignant obtient les résultats suivants pour sa classe :

note 2,5 3 4 4,5 5 6effectif 2 4 5 6 3 4

a) (2 points)

Donner la variable statistique observée et établir le tableau des distributions des effectifs,

des fréquences et des fréquences cumulées de cette variable statistique.

b) (2 points)

Calculer la moyenne, la médiane et le mode.

c) (2 points)

Calculer les premier et troisième quartile de la série.

d) (1.5 point)

Construire la boîte à moustaches de la série.

e) (1.5 point)

Calculer le variance et l’écart-type de la série

On décide de faire 3 groupes de notes : insuffisant < 4, correct entre 4 et 5, et bon   5.

f) (3 points)

Effectuer l’histogramme de la nouvelle répartition.

Pour tout l’exercice, si une valeur est obtenue sans calcul, il faut justifier le résultat donné.

Problème 2 [7 pts]

h

41˚ 48˚32˚

18 m

La figure ci-dessus schématise un phare au sommet d’une colline. En observant le sommet du

phare depuis le pied de la colline, l’angle d’élévation est de 48˚. Si on l’observe à 18 m de la base

de la colline, l’angle d’élévation du sommet du phare est de 41˚. La colline forme un angle de

32˚par rapport à l’horizontale. Calculer la hauteur du phare.

Page 2 sur 5 Gymnase d’YverdonExamen de l’Ecole de Culture Générale 2019

Mathématiques3C

Page 17: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Problème 3 [8 pts]

Lors d’une visite, un vendeur de téléphonie propose un nouvel abonnement à un client. La

probabilité que le client signe le contrat du nouvel abonnement est de 20%. S’il ne signe pas, le

vendeur lui propose de le revoir une fois pour lui faire une offre plus adaptée. Dans ce cas, la

probabilité que le client signe est de 30%.

a) (1 point)

Etablir l’arbre décrivant la situation.

b) (1 point)

Calculer la probabilité qu’un contrat soit finalement conclu.

c) (1 point)

Calculer la probabilité qu’un contrat soit signé sachant que le client a refusé la première fois.

d) (2 points)

Calculer la probabilité que le client ait refusé de signer la première fois sachant qu’un contrat

a été conclu.

Le vendeur va rendre visite à cinq clients (il ne retourne pas s’il ne signe pas de contrat).

e) (1 point)

Calculer la probabilité que les cinq contrats soient signés.

f) (2 points)

Calculer la probabilité qu’exactement trois contrats soient signés.

Page 3 sur 5 Gymnase d’YverdonExamen de l’Ecole de Culture Générale 2019

Mathématiques3C

Page 18: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Problème 4 [10 pts]

Dans un carré de côté 4 cm (voir croquis ci-contre),

I est le milieu du segment [BC ] et AM = DN = x.

A

B

C

D

I

M

4 cm

x

N

x

On considère la fonction f qui exprime l’aire du triangle M N I en fonction de x.

a) (2 points)

Calculer l’aire du triangle pour x = 2 et x = 3.

b) (4 points)

Montrer que la fonction qui détermine l’aire du triangle en fonction de x est donnée par

f (x) = 12

x

2 °3x +8.

c) (2 points)

Déterminer à l’aide du graphe de f (x) la valeur de x pour laquelle l’aire est minimale.

d) (2 points)

Tracer soigneusement le graphe de cette fonction dans le système d’axes ci-dessous.

°8 °6 °4 °2 2 4 6 8 10

°8

°6

°4

°2

2

4

6

8

0

Page 4 sur 5 Gymnase d’YverdonExamen de l’Ecole de Culture Générale 2019

Mathématiques3C

Page 19: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Problème 5 [10 pts]

Aline, Benoît et Carole sont trois copains qui construisent des meubles ensemble. Ils fabriquent

des chaises et des tables. Ils participent tous à la confection de chaque meuble. Aline peut tra-

vailler au maximum pendant 24 heures par semaine, Benoît 30 heures et Carole 46 heures.

Le temps nécessaire pour produire chaque type de meuble ainsi que leur coût et leur prix de

vente sont donnés dans le tableau ci-dessous :

Chaise Table

Aline 1h 2h

Benoît 1h 3h

Carole 2h 3h

Coût 11 frs 14 frs

Prix de vente 16 frs 26 frs

a) (5 points)

Modéliser les contraintes et résoudre graphiquement le système d’inéquations obtenu.

b) (2 points)

Donner le chiffre d’affaire hebdomadaire maximal ainsi que le plan de production qui le

réalise. (Un plan de production est le nombre de chaque type d’objet fabriqués.)

c) (2 points)

Donner le bénéfice hebdomadaire maximal ainsi que le plan de production qui le réalise.

d) (1 point)

Pour chacun des deux plans ci-dessus, nommer la personne qui ne travaille pas au maxi-

mum de sa disponibilité.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0

Page 5 sur 5 Gymnase d’YverdonExamen de l’Ecole de Culture Générale 2019

Mathématiques3C

Page 20: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Nom : ................................................... Prénom: ...................................................

Examens de certificatà l’École de Culture Générale

Juin 2018

MATHÉMATIQUES 3C

Durée : 240 minutes

Matériel autorisé : Formulaire Polymaths fourni avecl’épreuve.Calculette sans écran graphique ne per-mettant pas le calcul formel, la résolutionautomatique d’équations, le calcul intégralou le calcul matriciel.Règle, équerre, rapporteur et compas.

Consignes :

1. Le candidat met son nom sur toutes les feuilles, y compris celles de brouillon.

2. Les points attribués à chaque problème sont indiqués à droite du numéro duproblème.

3. Après avoir si nécessaire travaillé sur un brouillon, le candidat rédige à l’encre lessolutions sur les feuilles officielles. La rédaction doit être soignée.

Les calculs et les raisonnements doivent être détaillés.

Les feuilles de brouillon sont jointes aux feuilles officielles mais ne sont pas cor-rigées.

Gymnase d’YverdonCertificat 2018

Page 1/6Mathématiques

3C

Page 21: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Nom : ................................................... Prénom: ...................................................

Problème 1 [15 pts]

Un sac contient 5 billes rouges, 2 billes jaunes et 1 bille bleue. Chacun leur tour,deux joueurs (nommés J1 et J2) tirent des billes dans ce sac, une par une et sans re-mise. Si un joueur tire la bille bleue, il gagne et le jeu s’arrête. S’il tire une bille jaune,le jeu continue et c’est au tour de l’autre joueur de tirer une bille. Finalement, s’il tireune bille rouge, il perd et le jeu s’arrête. Il y a donc forcément un gagnant à ce jeu.Le joueur J1 commence le jeu.

1. Réaliser un arbre de probabilité correspondant à ce jeu.

2. Calculer la probabilité de gagner du joueur J1.

3. Calculer la probabilité de gagner du joueur J2.

4. Calculer la probabilité que J1 ait gagné, sachant qu’il a tiré une boule jaune.

5. En admettant que le joueur J1 commence chaque partie, combien de fois doit-iljouer à ce jeu pour que sa probabilité de gagner au moins une fois soit supérieureou égale à 90% ?

Problème 2 [5 pts]

Les questions suivantes sont indépendantes.

1. Résoudre les équations :

a) 600 = 50 · a8

b) 0,5 · 2 5x+4 = 2 · 4 x−3

2. Quel capital peut-on espérer obtenir si on place 21′430.- CHF pendant 14 ans surun compte épargne affichant un taux annuel de 0,75 %?

Gymnase d’YverdonCertificat 2018

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3C

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Nom : ................................................... Prénom: ...................................................

Problème 3 [15 pts]

Lors d’un travail pratique, un groupe d’élèves doit déterminer la température d’ébul-lition en degré Celsius ( C) d’un liquide inconnu. Les vingt mesures réalisées sontexploitées pour l’étude statistique de cette température d’ébullition.

1. Compléter le tableau de l’étude statistique (les colonnes vides sont à dispositionpour les calculs ultérieurs).

Classes (en C) ni xi fi Fi

[105; 106[ 0,05

[106; 107[ 1 0,10

[107; 108[ 3

[108; 109[ 0,60

[109; 110[ 0,25

[110; 111[ 0,95

[111; 112[

Totaux

2. Représenter ci-dessous le diagramme des fréquences cumulées croissantes (les gra-duations des axes sont à ajouter !). En déduire la médiane graphiquement.

3. Calculer la moyenne

4. Calculer la médiane et les quartiles Q1 et Q3 puis réaliser la boîte à moustaches.

5. Calculer la variance et l’écart-type.

Représentations graphiques

Gymnase d’YverdonCertificat 2018

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Page 23: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Nom : ................................................... Prénom: ...................................................

Problème 4 [9 pts]

On considère un cône dont la baseest un cercle de rayon r = 3 cm. Ladistance entre le sommet S et un pointA du cercle est d = 10 cm.

1. Calculer le volume Vcône ducône.

On tronque ce cône en découpant sapartie supérieure (un petit cône dehauteur z est enlevé).

2. Montrer que le volume du cônetronqué en fonction de z s’écritVtronqué = Vcône −

3π91z3.

3. Déterminer z de pour obtenir unvolume Vtronqué = 60 cm3.

Gymnase d’YverdonCertificat 2018

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Page 24: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Nom : ................................................... Prénom: ...................................................

Problème 5 [9 pts]

Après un don du sang, la concentration C de globules rouges dans le sang du donneur(en millions/mm3) s’écrit :

C(t) =5

1 + 0,2 · e−0,14·t, où t est le nombre de jours écoulés depuis le

don.

1. Quelle est la concentration immédiatement après le don ?

2. Quelle est la concentration limite (quand t devient très grand) ?

3. Après combien de temps la concentration est-elle exactement de 4,6 millions/mm3 ?(réponse en jours, heures et minutes)

4. Calculer la concentration après 2 jours, ainsi qu’après 12 jours.

5. Représenter graphiquement la concentration et interpréter par une phrase enfrançais.

Gymnase d’YverdonCertificat 2018

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3C

Page 25: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Nom : ................................................... Prénom: ...................................................

Problème 6 [9 pts]

Des gabarits viennent d’être érigés sur une parcelle, suite à un avis de construction d’unbâtiment (voir figure ci-dessous). Un habitant du village se demande si les distances delimite de propriété, ainsi que de hauteur maximale sont respectées. Il se place sur laroute à la limite de la propriété au point A et mesure à l’aide de capteurs lasers l’angleα = BAC = 57 ainsi que les distances b = 5,20 m, c = 4,30 m et d = 14,50 m.

1. Déterminer la hauteur du petit gabarit.

2. Calculer la distance horizontale à laquelle se situe le petit gabarit par rapport aupoint A où se trouve l’observateur.

3. Déterminer la hauteur du grand gabarit sachant que l’observateur voit son som-met D avec un angle d’élévation de 42 par rapport à l’horizontale.

A

B

C

D

c

b

α

d

petit gabarit

grand gabarit

route

Gymnase d’YverdonCertificat 2018

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Page 26: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

GYMNASE DE NYON Session d’août 2020

Mathématiques(École de culture générale)

Examen de certificat Durée : 4 heures

Matériel autorisé : calculatrice (sans couvercle) parmi les modèles suivants :TI 30 ECO RS, TI 30 XII S, TI 30 XII B, Casio Fx 82 solaire ;formulaire officiel mis à disposition ;matériel de géométrie usuel.

Problème 1 (13 points)

On a représenté ci-dessous le parallélépipède rectangle ABCDEFGH dont on connaît lesdimensions : AB = 8 cm, AE = 3 cm et AD = 6 cm. On définit I comme le point milieude [EF] et J comme celui de [EH].

AB

CD

EF

GHJ

I

(1) Vérifier que le triangle AIJ est isocèle.

(2) Montrer que l’aire du triangle AIJ vaut environ 9,60 cm

2.

(3) Tracer un développement du tétraèdre AEIJ (échelle 1 : 1).

(4) Vérifier que le volume du tétraèdre AEIJ est de 6 cm

3.

(5) Calculer la longueur de la hauteur du tétraèdre AEIJ issue de E.

(6) On donne la longueur IC =

p61 cm. Calculer l’angle en I du triangle AIC.

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Problème 2 (16 points)Albert est un savant fou qui aime observer les phénomènes autour de lui et les modéliserpar des fonctions. Aujourd’hui il décide de se rendre à la piscine et d’observer les plongeurssauter des différents plongeoirs.

Partie (A)Un premier plongeur s’élance. Albert estime que la hauteur (en mètres) de la tête duplongeur au-dessus de l’eau en fonction du nombre de secondes écoulées depuis son sautpeut être modélisée par la fonction du 2e degré f donnée par f(x) = �3

2x2+ 2x+ 5.

(1) Après combien de secondes le plongeur a-t-il atteint une hauteur maximale au-dessusde l’eau ?

(2) Quelle est cette hauteur maximale au-dessus de l’eau ?

(3) Après combien de secondes est-il arrivé dans l’eau ?

Partie (B)Albert observe un deuxième plongeur. Il n’a pas réussi à trouver la fonction quadratiquemodélisant la hauteur de sa tête par rapport au nombre de secondes écoulées, mais il aréussi à noter les informations suivantes : le plongeur s’est élancé d’un autre plongeoir,il a atteint sa hauteur maximale de 4 mètres après exactement 1 seconde et il est arrivédans l’eau après exactement 3 secondes.

(4) Déterminer l’expression de la fonction du 2e degré g qui modélise le saut de ceplongeur.

Partie (C)Un troisième plongeur s’élance. Cette fois-ci Albert esquisse la courbe ci-dessous, toujoursreprésentant la hauteur de la tête du plongeur par rapport au niveau de l’eau en fonctiondu nombre de secondes écoulées depuis le saut, mais en incluant la partie sous l’eau (avecune hauteur négative).

1 2 3 4 5 6

�4

�2

2

4

6

8

10

12 (5) Faire le tableau des signes de la fonc-tion représentée ci-contre. À quels mo-ments le plongeur était-il sous l’eau ?

(6) Quelle doit être la profondeur minimalede la piscine pour que le plongeur ne secogne pas la tête ?

(7) À quels moments le plongeur était-il enphase d’ascension ? Répondre avec desintervalles.

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Problème 3 (14 points)

On a reporté les émissions de CO2 (en g/km) de 150 voitures neuves dans le graphe desfréquences relatives cumulées ci-dessous.

(1) Compléter le tableau de distribution ci-dessous.

Émissions de CO2

(g/km)Nombre devoitures

Fréquence relative(%)

Fréquence relativecumulée (%)

[80 ; 110[

[110 ; 140[

[140 ; 170[

[170 ; 200[

[200 ; 230]

Total 150 100%

(2) Vérifier que la moyenne des émissions de CO2 est de 140 g/km.

(3) Estimer la médiane sur la courbe des fréquences relatives cumulées.

(4) Calculer la valeur exacte de la médiane.

(5) Vérifier que la variance vaut 1305 g

2/km

2.

(6) La Suisse s’est fixé comme objectif une émission moyenne de CO2 de 130 g/km

par véhicule. Peut-on affirmer à un niveau de confiance de 95% que cet objectif estatteint ? Justifier.On peut considérer que la taille de l’échantillon est assez grande pour estimer l’écarttype de la population par celui de l’échantillon.

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Problème 4 (16 points)Bernadette achète dans un magasin un sac de 25 bonbons colorés de forme identique : elleen compte 9 verts, 6 violets et 10 rouges.

(1) De combien de manières différentes peut-elle les aligner tous devant elle ?

(2) Elle les remet tous dans le sac. Elle en tire alors 7 au hasard simultanément parmiles 25. Quelle est la probabilité qu’elle en ait tiré 3 verts et 4 rouges ?

Elle remet maintenant tous les bonbons dans le sac. Elle en tire un au hasard et le goûte.Ce qu’elle ne sait pas, c’est que les bonbons sont piégés : parmi les verts, seuls deux tiersont un goût de pomme, les autres sont au goût d’épinards. La moitié des bonbons violetsa un goût de myrtille, l’autre moitié un goût d’aubergine. Enfin, 80% des bonbons rougesont un goût de fraise et 20% un goût de tomate.

(3) Représenter ces informations à l’aide d’un diagramme de représentation approprié.

(4) Calculer la probabilité que Bernadette ait tiré un bonbon au goût de pomme.

(5) Vérifier que la probabilité qu’elle ait tiré un bonbon au goût de fruits (donc pomme,myrtille, fraise) vaut 17

25 .

(6) Sachant qu’elle a tiré un bonbon au goût de légumes (donc épinards, aubergine,tomate), quelle est la probabilité que le bonbon ait le goût d’aubergine ?

Bernadette retourne au magasin et rachète un sac de bonbons, identique au premier (mêmenombre de bonbons, même proportion de goûts). Elle propose à sa copine Claudette lejeu suivant : Claudette doit tirer un bonbon au hasard dans le sac et, selon le goût surlequel elle tombe, les règles suivantes s’appliquent :

• Si Claudette tombe sur un bonbon au goût de pomme, alors Bernadette doit luidonner 10 CHF.

• Si Claudette tombe sur un bonbon au goût fruité autre que pomme (donc myrtilleou fraise), alors Bernadette doit lui donner 5 CHF.

• Si Claudette tombe sur un bonbon au goût d’épinards, elle doit donner 15 CHF àBernadette.

• Enfin, si Claudette tombe sur un bonbon au goût d’aubergine ou de tomate, elledoit donner 5 CHF à Bernadette.

(7) À l’aide d’un calcul d’espérance, déterminer si le jeu est plus avantageux pour Ber-nadette ou pour Claudette. On demande de justifier précisément la réponse.

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Page 30: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Problème 5 (8 points)

Le niveau sonore N d’un son d’intensité x est donné par la relation

N(x) = 10 log(x) + 120

où N est mesuré en décibels (dB) et x en watts par mètre carré (W/m2).

(1) Une voix humaine émet en moyenne un son d’une intensité de 10

�6 W/m2. Quelest son niveau sonore ?

(2) Le seuil de douleur lors d’une exposition à un son très fort est atteint à partir de120 dB. Calculer la valeur de l’intensité correspondante.

(3) Vérifier que doubler l’intensité d’un son de 0, 001 W/m2 produit une augmentationdu niveau sonore d’environ 3 dB.

(4) L’affirmation « doubler l’intensité d’un son produit une augmentation du niveausonore de 3 dB » est-elle vraie pour n’importe quelle intensité ? Justifier par calcul.

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Gymnase de Morges

Examen ECGC Juin 2021 3C

Mathématiques

Durée : 240 minutes.

Consignes : Résoudre chaque problème sur une feuille double différente.À l’exception des figures d’étude et des graphiques, l’épreuve doitêtre rédigée à l’encre.Les annotations sur les feuilles d’énoncé sont autorisées, maiselles ne seront pas prises en considération.

Matériel autorisé : Calculatrice sans écran graphique, sans calcul symbolique et nonprogrammable.Formulaire mathématique de base (avec annotations uniquementsur les deux pages centrales).

Problème 1 (12 points)

Une infirmerie doit se fournir en petit matériel. Il lui faut 110 compresses, 294 masqueset 120 paires de gants. L’infirmerie contacte deux fournisseurs A et B .

Le fournisseur A propose des lots contenant chacun 20 compresses, 28 masques et10 paires de gants.

Le fournisseur B propose des lots contenant chacun 10 compresses, 42 masques et30 paires de gants.

Quel que soit le fournisseur, le lot coûte 30 fr.

1.1 Combien de lots l’infirmerie doit-elle commander à chaque fournisseur afin deminimiser les coûts, tout en s’assurant qu’elle ne manquera pas de matériel ?

1.2 Combien cela va-t-il coûter à l’infirmerie?

1/5

Page 32: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Problème 2 (21 points)

2.1 Un jet d’eau sort du mur d’une fontaine. L’eau suit alors la trajectoire d’une paraboledont la fonction, qui donne (en mètres) la hauteur du jet au-dessus du bassin en

fonction de la distance horizontale au mur, est f (x) =°19

(5x2 °4x °9).

(a) A quelle distance du mur l’eau arrive-t-elle dans le bassin?

(b) A quelle hauteur au-dessus du bassin l’eau sort-elle du mur de la fontaine?

mur de la fontaine

bassin

jet d’eau

2.2 Dans une planche de bois rectangulaire de 50 cm de large sur 4,5 m de long, Evadésire découper les parois verticales d’un futur enclos pour ses hamsters et sescochons d’Inde. La partie de l’enclos réservée aux cochons d’Inde doit être deuxfois plus grande que celle réservée aux hamsters (voir le modèle ci-dessous).

50 cm

2x x

(a) Quelles sont les dimensions de l’enclos permettant de maximiser sa surface?

(b) Quelle est alors la surface dont Eva disposera pour ses cochons d’Inde?

GYMNASE DE MORGES – ECGC – MATHÉMATIQUES – JUIN 2021 2/5

Page 33: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

2.3 Résoudre les équations suivantes :

(a) 42x°7 =µ

18

∂3x

(b) 10°e°2x = 5

2.4 Une heptathlonienne a mesuré tous ses sauts en longueur au cours d’une année.La distribution des longueurs (en mètres) obtenues suit un modèle normal demoyenne 5,85 et d’écart-type 0,35.

(a) Quelle est la proportion de ses sauts qui sont supérieurs à 6 m?

(b) Elle considère que son saut est manqué s’il se situe dans les 20% de sessauts les plus courts. A quelle longueur cela correspond-il ?

Problème 3 (17 points)

Une étude sur la répartition des salaires mensuels (en milliers de francs) dans uneentreprise est résumée par le tableau ci-dessous.

Salaires [ 5 ;6[ [ 6 ;7[ [ 7 ;8[ [ 8 ;9[ [ 9 ;14[

Effectif ni 120 190 240 100 50

3.1 Déterminer la population, la variable statistique et son type.

3.2 Effectuer le tableau des distributions des effectifs et des fréquences.

Indication : les valeurs indiquées dans le tableau devront être arrondies à 2 décimales. Par exemple, une

fréquence de 0,18852 devra être proposée sous la forme : 18,85%

3.3 Tracer l’histogramme, le polygone des fréquences et le diagramme des fréquencescumulées.

3.4 Calculer la valeur de la médiane.

3.5 Que vaut x dans la phrase suivante : « 50% des employés ont un salaire inférieurou égal à x francs »?

3.6 Calculer la cote z d’un employé gagnant 6’200 fr. par mois, sachant que la moyennede la variable statistique vaut 7,31 et que sa variance vaut 2,21.

3.7 Représenter la boite à moustaches de cette distribution.

3.8 Estimer le nombre d’employés qui perçoivent un salaire compris entre 6’500 et8’500 fr. par mois.

GYMNASE DE MORGES – ECGC – MATHÉMATIQUES – JUIN 2021 3/5

Page 34: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Problème 4 (14 points)

Dans le tout petit village de Poligletsch comptant 52 habitants, il y a 36 personnesparlant le romanche, 31 personnes parlant le suisse-allemand, 26 personnes parlantl’italien, 19 personnes parlant à la fois le suisse-allemand et le romanche, 17 per-sonnes parlant à la fois le suisse-allemand et l’italien, 15 personnes parlant à la foisl’italien et le romanche et 10 personnes parlant les 3 langues.

4.1 Un comité d’organisation doit être nommé pour organiser un festival culinaire. Lecomité sera formé de trois personnes choisies au hasard.

(a) Représenter les données du problème dans un diagramme de Venn et mon-trer que tous les habitants du village parlent au moins l’une de ces troislangues.

(b) Combien y a-t-il de possibilités de créer ce comité?

(c) Quelle est la probabilité qu’exactement deux des trois membres du comitéparlent l’italien?

(d) Quelle est la probabilité que les trois membres du comité parlent une seule etmême langue?

(e) Quelle est la probabilité qu’au moins l’un des membres du comité parle lestrois langues?

(f) Quelle est la probabilité que tous les membres du comité parlent aussi l’italien,sachant qu’ils parlent tous le romanche?

4.2 Le comité décide qu’il y aura 9 stands alignés dont 4 portant sur des spéciali-tés suisses-allemandes, 2 sur des spécialités tessinoises et 3 sur des spécialitésgrisonnes. Même s’ils représentent la même région, chacun des stands est biendifférencié des autres.

(g) De combien de manières peut-on placer ces stands?

(h) De combien de manières peut-on placer ces stands si l’on souhaite que lepremier et le dernier soient ceux des spécialités tessinoises?

(i) Si l’on décide de répartir les stands au hasard, quelle est la probabilité qu’ilssoient regroupés par région?

GYMNASE DE MORGES – ECGC – MATHÉMATIQUES – JUIN 2021 4/5

Page 35: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Problème 5 (15 points) On considère un parallélépipède rectangle ABC DEFG Hdont les dimensions sont données dans la figure ci-dessous.

AB

CD

EF

GH

6 cm4 cm

2 cm

On observe que la pyramide P de base AC H et de sommet F peut être obtenue enretirant de ce parallélépipède 4 pyramides à base triangulaire.

5.1 Calculer le volume de P .

5.2 Déterminer le périmètre du triangle AC H (solution exacte).

5.3 Proposer un développement en vraie grandeur de P (nommer chaque sommetdu développement).

5.4 Par calcul, déterminer l’angle en A du triangle AC H .

5.5 Par calcul, déterminer l’aire du triangle AC H .

5.6 Dans la pyramide P , déterminer la hauteur h issue de F .

Indication : Utiliser la formule donnant la volume d’une pyramide.

GYMNASE DE MORGES – ECGC – MATHÉMATIQUES – JUIN 2021 5/5

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Examen ECG

Juin 2019

Mathématiques

Prénom : Nom :

Classe : Maître :

Durée : 4 heures.

Matériel autorisé : formulaire officiel non annoté,formulaires et tables CRM non annoté,calculatrice TI-30 ECO RS.

Examens – session 2018 - 2019�

GYMNASE DE LA CITELAUSANNE

� /61

Page 37: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Examen ECG Mathématiques juin 2019

Problème 1 (8 points)

Calculer en utilisant les valeurs exactes et donner des réponses arrondies à deux décimales.

Soit ABCDEFGH un cube et T un point situé sur la face AEHD. On souhaite trouver le chemin le plus court entre les points F et T, en passant par l’arête AE, sachant que AT = 3 cm, AF = 5 cm et ! . Pour déterminer la position exacte du point P situé sur l'arête AE, on a dessiné le développement du cube. Sur le développement, le point P est l’intersection des segments TF et AE.

!

!

Dans le triangle ATF, nommons ! l’angle en A et ! l’angle en T.

1.1 Calculer la longueur de l’arête du cube;

1.2 Montrer que la mesure de l’angle ! est égale à 120°;

1.3 Calculer la longueur TF;

1.4 Calculer la mesure de l’angle ! ;

1.5 Calculer la longueur AP.

!TAD = 15°

α θ

α

θ

� /62

Page 38: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Examen ECG Mathématiques juin 2019

Problème 2 (11 points)

Un fabricant produit des meubles de type A et B, à partir de bois de chêne, de sapin et de noyer.

Le tableau ci-dessous exprime (en kg) les quantités de bois nécessaires pour produire un meuble de chaque type:

Le fabricant dispose de 800 kg de bois de chêne, de 900 kg de bois de sapin et de 360 kg de bois de noyer. La vente de 1 meuble de type A rapporte CHF 500.- et celle de 1 meuble de type B CHF 500.- également.

2.1 Poser le système des contraintes qui correspond au problème;

2.2 Dessiner le domaine admissible du problème; (graduation des axes: 1 carré ! 10 unités )

2.3 Calculer les coordonnées des sommets du domaine admissible;

2.4 Etablir la fonction objectif du problème;

2.5 Déterminer le nombre de meubles de chaque type que le fabricant doit produire pour maximiser son profit et calculer ce profit maximal.

A B

Chêne 4 8

Sapin 10 6

Noyer 0 4

� /63

Page 39: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Examen ECG Mathématiques juin 2019

Problème 3 (11 points)

Un personnage est situé à 11 m d’un bassin de longueur 3 m et de hauteur 1 m. Depuis sa position, ce personnage lance deux cailloux en direction du centre du bassin. Le dessin ci-dessous représente la trajectoire du premier jet :

!

La trajectoire du premier jet est donnée par la fonction ! .

3.1 Le point A est le point de la trajectoire au moment où le caillou quitte la main du lanceur. Quelle est sa hauteur au-dessus du sol ?

3.2 Le point S est le sommet de la trajectoire. Quelle est sa hauteur au-dessus du sol ?

3.3 Le point B se trouve à la verticale du bord du bassin. Quelle est sa hauteur au-dessus du bord du bassin ?

3.4 Le point C est le point d’impact du caillou avec l’eau du bassin. Calculer sa première coordonnée, sachant que le niveau de l’eau dans le bassin est à 80 cm.

La trajectoire du deuxième jet est donnée par la fonction ! .

3.5 Le caillou parcourant cette seconde trajectoire finit-il sa course dans le bassin ? Justifier par calculs.

3.6 Esquisser sur papier quadrillé la courbe représentative de la fonction g en tenant compte de son sommet, de son axe de symétrie et des intersections avec les axes Ox et Oy. (unité: 2 carrés)

f (x) = −0,05x2 + 0,5x +1,75

g(x) = −0,2x2 +1,8x +1,2

� /64

Page 40: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Examen ECG Mathématiques juin 2019

Problème 4 (11 points)

Les deux parties de ce problème peuvent être résolues séparément.

Un château propose une riche exposition. De plus, ce château est entouré d’un magnifique jardin botanique, accessible aux visiteurs.

— Partie A L’exposition du château ne peut être visitée qu’avec un guide. Le même jour, cinq personnes – Anne, Bernard, Céline, David et Ella – veulent visiter l’exposition du château. Ce jour-là, le château organise huit visites guidées. On suppose que le nombre de places pour chaque visite n’est pas limité.

4.1 De combien de manières différentes ces cinq personnes peuvent-elles choisir les visites si :

a) il n’y a aucune restriction; b) Céline et Ella ont acheté leur billet pour la visite de 14h30; c) Anne et Bernard veulent visiter l’exposition du château ensemble; d) l’une au moins de ces cinq personnes visite l’exposition du château avec le groupe

de 10h30.

4.2 Calculer la probabilité que ces cinq personnes visitent l’exposition du château dans le même groupe.

— Partie B Si les visiteurs ne peuvent découvrir l’exposition du château que dans le cadre d’une visite guidée, ils ont par contre le choix de visiter le jardin botanique librement ou avec un guide. Selon les statistiques établies par la billetterie, 80% des visiteurs participent à une visite guidée de l’exposition du château. Parmi ceux-ci, 20% ne visitent que l’exposition du château, 50% achètent aussi un billet pour une visite guidée du jardin botanique, et les autres se promènent librement dans le jardin. Parmi les personnes qui ne visitent pas l’exposition du château, 65% découvrent le jardin botanique avec un guide.

4.3 Représenter cette situation à l’aide d’un arbre, en utilisant les événements suivants: A: « participer à une visite guidée de l’exposition du château » B: « participer à une visite guidée du jardin botanique » C: « se promener librement dans le jardin botanique » D: « renoncer à se rendre dans le jardin botanique »

4.4 Calculer la probabilité qu’un visiteur pris au hasard :

e) se contente d’une visite guidée de l’exposition du château, sans promenade dans le jardin;

f) ne visite pas l’exposition du château, sachant qu’il effectue une visite guidée du jardin.

� /65

Page 41: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Examen ECG Mathématiques juin 2019

Problème 5 (14 points)

Dans la Permanence Médicale du Sud, on peut se présenter pour une consultation médicale sans rendez-vous préalable. Dans ce cas, il y a toujours un temps d’attente avant la consultation.

On a demandé à 125 patients qui se sont présentés sans rendez-vous à cette permanence le temps qu’ils ont dû attendre avant d’être pris en consultation.

Voici l’histogramme que l’on a réalisé à partir de leurs réponses :

!

5.1 Quel est le type de la variable statistique de ce problème : qualitative ? quantitative ? discrète ? continue ?

5.2 Etablir à partir de l’histogramme le tableau des effectifs ni , des fréquences relatives fi et des fréquences cumulées Fi.

5.3 Calculer les valeurs approximatives de la médiane, de la moyenne et de l’écart-type de la variable statistique.

5.4 Calculer et interpréter le coefficient de variation CV de la variable statistique.

5.5 Réaliser une boîte à moustaches représentant cette situation.

5.6 Quelle sont les proportions des patients qui ont attendu :

a) entre 10 et 40 minutes ? b) moins de 50 minutes ? c) 30 minutes et plus ?

� /66

Page 42: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Gymnase de Chamblandes

Av. des Desertes 29Case Postale 1751009 Pully

Examens ecritsSession de juin 2021

Ecole de culture generale

Epreuve de

MATHEMATIQUES

Nom :

Prenom :

Classe :

Duree de l’epreuve : 240 minutes.

Materiel autorise : Formulaire officiel non annote et calculatrices agreees selon la liste officielle.

Consigne : Les problemes doivent etre presentes et rediges soigneusement.Les calculs doivent etre detailles.On demande la reponse exacte et la reponse arrondie au centieme.

Gymnase de Chamblandes 1/5

Page 43: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Loi normale centrée réduite : Φ(z) = P(Z ! z), où Z ∼ N (0, 1)

0 z

P(Z ! z)

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,53590,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,57530,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,61410,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,65170,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,68790,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,72240,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,75490,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,78520,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,81330,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,83891,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,86211,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,88301,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,90151,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,91771,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,93191,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,94411,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,95451,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,96331,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,97061,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,97672,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,98172,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,98572,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,98902,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,99162,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,99362,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,99522,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,99642,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,99742,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,99812,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,99863,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,99903,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,99933,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,99953,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,99973,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998

ECG Chamblandes 2021 mathématiques page 2/5

Page 44: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Problème 1 (14 points)Dans une petite entreprise, trois machines M1, M2 et M3 permettent de produire des jouets enplastique pour les enfants : des avions et des bateaux. Le temps de fabrication est reporté dansle tableau suivant (temps en heures) :

M1 M2 M3

avions 3 2 2bateaux 3 3 6

La machine M1 est disponible 210 heures, la machine M2 est disponible 160 heures et la ma-chine M3 est disponible 280 heures. La vente d’avions génère un bénéfice de 30 fr. par unité, alorsque la vente de bateaux génère un bénéfice de 40 fr. par unité. Pour des raisons de stockage, iln’est pas possible de produire plus de 60 avions ni plus de 40 bateaux.

a) Exprimer mathématiquement toutes les contraintes liées à cette situation.

b) Représenter le polygone des solutions (échelle suggérée : 1 cm équivaut à 10 unités).

c) Combien faut-il fabriquer d’avions et de bateaux pour dégager un bénéfice maximal ? Justifier.

Problème 2 (13 points)

La parabole ci-contre illustre la trajectoired’une puce qui saute depuis la tête d’unsympathique garçon prénommé Albert. Lesvaleurs sont indiquées en centimètres.

a) Donner la valeur de l’ordonnée à l’ori-gine. Comment peut-on l’interpréter ?

b) Indiquer les coordonnées du point le plushaut atteint par la puce.

c) À quelle distance des pieds d’Albert lapuce a-t-elle atterri ?

d) A l’aide de ces données, déterminer l’ex-pression de la fonction f qui décrit latrajectoire de la puce.

e) Déterminer graphiquement et algé-briquement l’endroit où la puce est à1,2 m du sol. 0 50 100

50

100

150

ECG Chamblandes 2021 mathématiques page 3/5

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Problème 3 (12 points)Nous sommes le 15 mai 2012 au pied de l’Everest, au camp 4 (8016 m d’altitude), et il faitmauvais. Ueli et son sherpa Tenzing organisent leur montée finale vers le sommet, à 8850 md’altitude. Ils se sont fixé pour objectif d’effectuer celle-ci au plus tard le 18 mai. Toutefois, ilsdoivent impérativement attendre un jour de beau.

Les statistiques météorologiques de cette région, à cette période de l’année, permettent à Ueliet Tenzing de déduire les probabilités suivantes :

— S’il fait mauvais un jour, la probabilité qu’il fasse mauvais le lendemain est de 75%.— S’il fait beau un jour, la probabilité qu’il fasse beau le lendemain est de 60%.

a) Représenter par un arbre la situation météorologique des 16, 17 et 18 mai 2012.

b) Vérifier que la probabilité que Ueli et Tenzing effectuent leur montée le 18 mai (c’est-à-direla probabilité qu’il ait fait mauvais le 16 et le 17, et beau le 18) vaut 14, 0625%.

c) Calculer la probabilité que Ueli et Tenzing puissent effectuer leur montée au plus tard le18 mai (c’est-à-dire la probabilité qu’il fasse beau au moins un des trois jours).

d) Quelle est la probabilité qu’il fasse beau le 18 mai sachant qu’il a fait mauvais le 16 mai ?

Problème 4 (17 points)Dans une forêt finlandaise, on mesure la hauteur de 50 sapins, en centimètres.Le tableau ci-dessous résume les résultats obtenus.

Classes Effectifs Centres des Fréquences Fréquences(cm) ni classes xi fi cumulées Fi

[0 ; 40[ 3[40 ; 80[ 5[80 ; 120[ 8[120 ; 160[ 14[160 ; 200[ 12[200 ; 240[ 6[240 ; 280[ 2

a) Compléter le tableau ci-dessus. Les deux dernières colonnes sont là pour d’éventuels résultatsintermédiaires, mais il n’est pas obligatoire de les remplir.

b) Calculer la hauteur moyenne de ces sapins.

c) Calculer l’écart-type de cet échantillon.

d) Calculer le mode M.

e) Calculer le premier quartile Q1.

Cette dernière question est indépendante des précédentes.

f) On considère une variable aléatoire X ∼ N (14; 36).Calculer c pour que la probabilité P(X > c) soit égale à 3,01 %.

ECG Chamblandes 2021 mathématiques page 4/5

Page 46: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Problème 5 (11 points)Jean place un capital de 20 000 fr. à un taux annuel de 3%, où les intérêts sont composésannuellement.

a) Quelle somme aura-t-il sur son compte après 12 ans ?

b) Combien d’années supplémentaires devra-t-il attendre pour avoir 36 000 fr. sur son compte ?

c) Si Jean voulait doubler son capital en 10 ans, à quel taux annuel aurait-il dû placer les20 000 fr. ?

Problème 6 (14 points)On considère le cube ABCDEFGH dont l’arête mesure 12 cm. On y inscrit la pyramide ABCS,où S désigne le milieu du segment [GH].

a) Calculer le volume de cette pyra-mide.

b) Vérifier que l’arête AS mesure18 cm.

c) Construire le développement de lapyramide. On suggère d’employerl’échelle 1 : 2.

d) Calculer l’angle CSA.

e) Calculer l’aire du triangle ACS.

f) Calculer l’aire totale de la pyra-mide. D

A

B

C

H

E

F

G

S

C

Formulaire de statistiques

Moyenne x =1n

k∑

i=1

nixi

Variance σ2 =1n

k∑

i=1

ni(xi − x)2 =

(

1n

k∑

i=1

nix2

i

)

− x2

Écart-type σ =√

σ2

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Gymnase de Burier Case postale 96 Rte de Chailly 170 1814 La Tour-de-Peilz

EXAMEN ÉCRIT DE L’ÉCOLE DE CULTURE GÉNÉRALE

JUIN 2021

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

__________________________________________________________________ Nom : ___________________ Prénom : _________________ Classe : ________ __________________________________________________________________

Durée de l’épreuve : 4 heures

Consignes : La rédaction de vos réponses (avec détails des calculs) se

fait en-dessous de chaque question. Si vous manquez de

place, trois pages quadrillées sont à votre disposition à la

fin de ce document.

Matériel autorisé : Formulaires officiels non annotés

Calculatrice Texas Instruments TI 30 ECO RS

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Gymnase de Burier École de Culture Générale

Problème 1 (11 points)

Un sondage a été effectué auprès des élèves mangeant au restaurant du gymnase :

• 60% des élèves choisissent le repas A « Street food »

• 25% des élèves choisissent le repas B « Classique »

• 15% des élèves choisissent le repas C « Pâtes »

• 50% des élèves choisissant le repas A prennent une boisson sucrée

• 10% des élèves choisissant le repas B prennent une boisson sucrée

• 20% des élèves choisissant le repas C prennent une boisson sucrée

a) Illustrer cette situation à l’aide d’un diagramme en arbre :

On choisit au hasard un élève ayant répondu au sondage. Quelle est la probabilité

b) qu’il prenne le repas C « Pâtes » et une boisson sucrée ?

Mathématiques, juin 2021 Page 2/15

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Gymnase de Burier École de Culture Générale

c) qu’il prenne une boisson sucrée ?

d) qu’il prenne une boisson sucrée, sachant qu’il prend un repas B « Classique » ?

e) qu’il prenne un repas A « Street food », sachant qu’il prend une boisson sucrée ?

Mathématiques, juin 2021 Page 3/15

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Gymnase de Burier École de Culture Générale

Problème 2 (11 points)

On cherche à estimer la proportion de la population d’un pays de 8,5 millions d’habitantsayant dans leur sang le gène lié à une maladie.

Pour le faire, on choisit au hasard 10’000 personnes, et on détermine à l’aide d’une prise desang si les personnes possèdent le gène ou non.

On attribue à la variable X la valeur 1 si la personne possède ce gène et la valeur 0 si ellene le possède pas.

Le tableau ci-dessous résume les résultats :

Valeur (X) Effectif

0 9’260

1 740

Total 10’000

a) Calculer la moyenne x de cet échantillon :

b) Quel pourcentage de l’échantillon testé possède le gène ?

Mathématiques, juin 2021 Page 4/15

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Gymnase de Burier École de Culture Générale

Pour la suite du problème, on admettra que l’écart-type corrigé de cet échantillon vaut 0,26.

c) Construire un intervalle de confiance à 95% pour déterminer le pourcentage de la po-pulation du pays entier possédant le gène :

d) Compléter la phrase suivante :

Il y a ············ % de chances que le pourcentage réel de la population possédant

ce gène se situe entre ············ % et ············ %.

e) Quelle est la probabilité que le taux réel de présence du gène soit supérieur aux valeurscontenues dans cet intervalle ?

Mathématiques, juin 2021 Page 5/15

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Gymnase de Burier École de Culture Générale

Problème 3 (11 points)

Afin de pouvoir visualiser leurs parcelles, des agriculteurs réalisent une cartographie aériennepar drone.

Deux agriculteurs A et B sont placés face à face à 100 mètres de distance. Ils observentle drone (point C) en vol stationnaire au dessus d’eux. Le premier le voit sous un angled’élévation de 40� et le deuxième, sous un angle de 75�.A, B et C sont dans un même plan vertical.

100 m

A B

40˚75˚

C

H

h

a) Quelle est la distance entre le drone et chacun des agriculteurs ?

Mathématiques, juin 2021 Page 6/15

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Gymnase de Burier École de Culture Générale

b) À quelle hauteur h se trouve le drone ?

Après quelques minutes, le drone change de position. Les deux agriculteurs le voient main-tenant sous les mêmes angles d’élévation qu’avant, mais désormais, leurs regards s’oriententdans la même direction.

c) Faire un schéma de la nouvelle situation :

d) À quelle hauteur se trouve alors le drone ?

Mathématiques, juin 2021 Page 7/15

Page 54: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Gymnase de Burier École de Culture Générale

Problème 4 (9 points)

Une classe ECG compte 20 élèves.

a) On veut former un comité de trois élèves choisis parmi les 20 élèves de la classe.Combien y a-t-il de comités possibles ?

b) On veut former un comité de trois élèves choisis parmi les 20 élèves de la classe.Combien y a-t-il de comités possibles, sachant qu’il faut un responsable du comité, unresponsable du courrier et un responsable de l’ordre ?

Un sondage a été effectué dans cette classe ECG de 20 élèves :

• 10 élèves lisent régulièrement• 8 élèves suivent l’actualité régulièrement• 3 élèves lisent régulièrement et suivent l’actualité régulièrement

c) Illustrer cette situation à l’aide d’un diagramme de Venn :

d) On veut former un comité de trois élèves, comprenant :

• un élève lisant régulièrement mais ne s’intéressant pas régulièrement à l’actualité• un élève s’intéressant régulièrement à l’actualité mais ne lisant pas régulièrement• un élève lisant régulièrement et s’intéressant régulièrement à l’actualité

Combien y a-t-il de comités possibles ?

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Problème 5 (10 points)

Un ébéniste fabrique deux modèles de meubles, un modèle de style traditionnel et un modèlede style design.

Pour chacun des meubles qu’il fabrique, il doit utiliser deux types de bois : du hêtre et dufrêne, dont il dispose sous forme de planches.

Dans le cas d’un meuble de style traditionnel, il lui faut 1,5 planches de hêtre et 1 planchede frêne. Pour un meuble de style design, il utilise 1 planche de hêtre et 3 planches de frêne.

Il commande 11 planches de hêtre et 12 planches de frêne, qu’il utilisera durant 1 mois detravail.

L’ébéniste sait qu’il vendra tous les meubles qu’il peut fabriquer, en réalisant un profit de200 francs sur chaque meuble de style traditionnel et un profit de 300 francs sur chaquemeuble de style design.

a) Déterminer les contraintes du problème, en posant x pour le nombre de meubles destyle traditionnel et y pour le nombre de meubles de style design :

b) Déterminer la fonction objectif permettant de maximiser le profit :

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Gymnase de Burier École de Culture Générale

c) Représenter le polygone des contraintes et la fonction objectif :

d) Combien de meubles de style traditionnel et combien de meubles de style design

devrait-il fabriquer ce mois, s’il veut maximiser son profit ?

Mathématiques, juin 2021 Page 10/15

Page 57: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Gymnase de Burier École de Culture Générale

Problème 6 (11 points)

Aux guichets de la poste d’une ville de la région, on a noté le temps d’attente de 25 per-sonnes. Ce temps est compris entre 1 et 5 minutes. On a établi ci-dessous une partie de ladistribution de cette variable, pour l’échantillon concerné :

Temps xi (en min) Effectif ni Fréquence fi (%)

1 12

2 5

3 2

4 4

5 2

Total 25

a) Compléter le tableau ci-dessus.

b) Calculer la moyenne de cette distribution :

c) Calculer l’écart-type de cette distribution :

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Gymnase de Burier École de Culture Générale

d) Calculer les quartiles de cette distribution :

e) Dessiner la boîte à moustaches (boxplot) de cette distribution :

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GYMNASE DE BEAULIEU

Examen de l’école de culture générale

Session de juin 2021

Mathématiques

Nom : Prénom : Classe :

Durée : 240 minutes Nombre de pages : 8 pages (dont 1 page de table numérique) Matériel autorisé : Calculatrice agréée, formulaire distribué et matériel de

dessin géométrique. Consignes : Une présentation propre et soignée est demandée.

Il est indispensable de poser tous les calculs permettant la résolution d’un problème. Commencer chaque problème en haut d'une page.

Total : 62 points Note :

Page 63: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Nom : Prénom : Classe :

Problème 1 - Etude de graphe 10.5 points

En se basant sur le graphe ci-dessous, répondre aux questions suivantes :

a) Pourquoi ce graphe est-il celui d’une fonction ? Expliquer. (Pour la suite onva noter cette fonction par f)

b) Quelles sont approximativement les solutions de l’équation f(x) = 2 ?c) Quelles sont approximativement les solutions de l’équation f(x) = 4 ?d) Construire le tableau des signes de la fonction g(x) = f(x)− 4.e) Donner approximativement les coordonnées des extrema locaux de f ainsique leur nature.

f) Donner approximativement l’ensemble des solutions de l’équation f(x) = 2x.(Indication : Tracer sur le même système d’axes la droite d’équation y = 2x.)

La fonction f représente la variation pendant 12 heures (de minuit à midi) de laprofondeur de l’eau (en mètres) d’un tout petit port sur la mer Méditerranée.

g) Donner approximativement la profondeur minimale et maximale de l’eau pen-dant la période en question.

h) Un bateau dont la partie immergée mesure 3 mètres de hauteur s’approchedu port. Quelle est, approximativement, la plage horaire pendant laquelle lebateau peut entrer au port ?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12−1−1

1

2

3

4

5

6

x

y

f

0

Gymnase de Beaulieu, examen de l’école de culture générale, session de juin 2021Mathématiques 2/8

Page 64: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Nom : Prénom : Classe :

Problème 2 - Fonction quadratique 7 points

Brenda aimerait construire un abri en bois pour ses tortues. L’abri (voir croquis)aura la forme d’un parallélépipède rectangle d’une longueur de 6 m. Afin delimiter les coûts, elle a décidé d’utiliser deux murs de son jardin. Ainsi, elle nedevra ajouter que deux parois : une horizontale pour le toit et une verticale.La dernière face est laissée ouverte pour que les tortues puissent entrer etsortir à leur guise. Sur la paroi verticale, il doit y avoir une ouverture surtoute la longueur représentant

1

3de la hauteur, qui sera couverte par une grille

métallique.

On sait que le bois utilisé coûte CHF 20.00 le m2, que la grille métallique coûteCHF 80.00 le m2 et que Brenda dispose de CHF 240.00 pour l’achat du matériel.

Le but de ce qui suit est de déterminer les dimensions de l’abri qui assurent sonvolume maximal.

a) En posant x et y comme sur le croquis et en utilisant les informations ci-dessus, montrer que :

y =1

2(2− x)

b) Montrer que le volume de l’abri est donné par :

V (x) = −3x2 + 6x

c) Quelles sont les dimensions de l’abri ayant un volume maximal ?d) Quel est ce volume maximal ?

x

y

6 m

Gymnase de Beaulieu, examen de l’école de culture générale, session de juin 2021Mathématiques 3/8

Page 65: Examendeculturegénérale Juin 2021 àl

Nom : Prénom : Classe :

Problème 3 - Exponentielle 6 points

Un apprenti artisan produit des pièces en bois. Il s’améliore chaque jour et saproduction quotidienne augmente.Le nombre de pièces qu’il produit le nème jour est donné par la fonction :

f(n) = 4 + 21 ·(1− e−0.1·n)

a) Combien de pièces produit-il le 3ème et le 10ème jour ?b) Quel jour sa production journalière atteindra-t-elle au moins 23 pièces ?c) Quelle est la production maximale journalière qu’il peut espérer atteindre ?

Problème 4 - Combinatoire 5.5 points

Pour ouvrir un coffre, on utilise un code à six chiffres. Combien y a-t-il de codesdifférents si :

a) On n’utilise que des chiffres impairs ?

b) On utilise au moins une fois le chiffre “7” ?

c) On utilise deux fois le chiffre “3” et quatre fois le chiffre “7” ?

d) Les chiffres “1” et “2” ne sont utilisés qu’une seule fois et doivent se suivredans cet ordre ?

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Problème 5 - Probabilités 10.5 points

Les deux parties du problème ci-dessous sont indépendantes l’une de l’autre.

Partie 1On vaccine 70% d’une population contre une maladie M. On sait que seulement10% des personnes vaccinées tombent malades, alors que 80% des personnesnon vaccinées contractent la maladie M.

a) Illustrer la situation par un diagramme en arbre.

b) Calculer la probabilité qu’une personne ne tombe pas malade.

c) Calculer la probabilité qu’une personne ne soit pas vaccinée si l’on sait qu’elleest tombée malade.

Partie 2Les deux symptômes les plus fréquents d’une maladie N sont la fièvre et la toux.Dans une clinique où on dénombre 300 patients tous atteints de la maladie N,on constate que 200 d’entre eux ont de la fièvre, 150 toussent et seulement 20patients n’ont aucun de ces symptômes.

On choisit un patient de cette clinique au hasard. Quelle est la probabilité :

d) que le patient ait de la fièvre et tousse ?

e) que le patient n’ait qu’un seul de ces symptômes ?

f) que le patient tousse alors qu’on sait qu’il a de la fièvre ?

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Problème 6 - Géométrie 9.5 points

Une serre, appelée « serre tunnel », (voir figure ci-dessous) est construite à partirde six arceaux métalliques identiques en forme de demi-cercle ancrés au sol etsupportant une bâche en plastique formant ainsi le « tunnel ».

Un côté du « tunnel » est fermé par un demi-cône droit, couvert du même typede bâche, dont le sommet S se trouve sur le sol. L’autre côté est fermé par uneparoi verticale en forme de demi-cercle, couverte aussi du même type de bâche.Les dimensions de la serre sont données sur la figure.

Donner les réponses arrondies au centième.

a) Calculer la longueur de la génératrice (= apothème) et l’angle du développe-ment de la partie demi-cônique de la bâche, puis dessiner un développementà la l’échelle 1 : 100 de cette partie demi-cônique.

b) Calculer l’aire totale de la bâche en plastique.

c) Calculer le volume de la serre.

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Problème 7 - Statistique descriptive 6 points

Un producteur de pommes bio a relevé la masse de pommes produites par chacunde ses pommiers en une année. Les résultats sont dans le tableau suivant :

Milieu FréquenceClasse de classe Effectif Fréquence cumulée[bi−1; bi[ xi ni fi Fi fi · xi fi · x2

i

[180 ;190[ 185 7 0.056 0.056 10.360 1916.600

[190 ;200[ 195 16 0.184 24.960 4867.200

[200 ;210[ 205 20 0.160 0.344 32.800 6724.000

[210 ;220[ 215 0.216 0.560 9984.600

[220 ;230[ 225 24 0.192 43.200 9720.000

[230 ;240[ 33.840 7952.400

[240 ;250[ 245 13 0.104 1.000 25.480 6242.600

Totaux 125 1 217.080 47407.400

a) Compléter le tableau ci-dessus (arrondir à 3 chiffres après la virgule).

b) Calculer la moyenne, la médiane et l’écart-type de cette variable statistique.

Problème 8 - Statistique 7 points

On a demandé aux 400 élèves d’une école le nombre d’heures qu’ils ont consa-crées à l’étude en dehors des heures de cours du samedi 12 au vendredi 18septembre 2020. La distribution de ces temps d’étude suit un modèle normal demoyenne 8.5 et d’écart-type 2.83.

Indication : La table numérique pour la loi normale centrée réduite se trouve àla dernière page.

a) Quel pourcentage d’élèves de cette école ont étudié moins de 3 heures cettesemaine-là ?

b) Quel pourcentage d’élèves de cette école ont étudié entre 7 et 14 heurescette semaine-là ?

c) Jordan a beaucoup travaillé cette semaine-là. Seuls 5% des élèves de l’écoleont travaillé plus que lui. Combien de temps a-t-il étudié ?

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Table numérique pour la loi normale centrée réduite Z ∼ N (0; 1)

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