-
8/18/2019 Exemple 2 - 2 - Met Gauss-Seidel.pdf
1/6
REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DE ECUAȚ II
1
2. Metoda Gauss-Seidel
Problema
Fie sistemul de n ecua\ii cu n necunoscute:
=⋅++⋅+⋅
=⋅++⋅+⋅
=⋅++⋅+⋅
nnnnnn
nn
nn
b xa xa xa
b xa xa xa
b xa xa xa
L
LL
L
L
2211
22222121
11212111
[n care: i x ( )ni ,,1L=
- necunoscutele,iia ( )n ji ,,1, L=
- coeficien\ii necunoscutelor,
ib ( )ni ,,1L= - termenii liberi ai
ecua\iilor.
Se cunoaște o primă estimare a necunoscutelor:)0(
i x , ni L,3,2,1= .
Se calculează valorile neconoscutelor, cu o eroarea
relativă aproximativă de calcul
mai mică decât o valoare impusă.
Principiul metodei
o
Se efectuează un calcul iterativ în care rădăcinile
din iterația curentă secalculează în funcție de ultima
valoarea calculată a rădăcinilor (din
interația curentă sau anterioară),
după formula:
⋅−⋅−⋅= ∑∑
+=
−
=
++
n
i j
k
jij
i
j
k
jiji
ii
k
i xa xaba
x1
)(1
1
)1()1( 1 , ni L,3,2,1=
unde : )1( +k i x este valoarea
necunoscutei j x în iterația curentă,
)(k
j x este valoarea necunoscutei j x
în iterația anterioară.
o Calculul iterativ se repetă până când
eroarea relativă aproximativă de
calcul a fiecărei necunoscute este mai mică decât cea
impusă.
o Condiții de aplicabilitate a metodei:
- să nu se anuleze numitorul: 0≠iia , ni L,3,2,1=
- sistemul să fie diagonal: ∑≠
=
>
n
i j j
ijii aa1
, ni L,3,2,1=
Observa ț ie:
Ordinea ecuațiilor în sistem poate fi schimbată astfel
încât condițiile să fie satisf ăcute.
-
8/18/2019 Exemple 2 - 2 - Met Gauss-Seidel.pdf
2/6
REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DE ECUAȚ II
2
Exemplu de calcul
Problemă:
Să se rezolve sistemul de mai jos prin metoda Iacobi:
−=−−
−=+−−
=−+
1552
927
23
321
321
321
x x x
x x x
x x x
Se cunoaște o primă estimare a necunoscutelor:
=
=
=
0
0
0
)0(3
)0(
2
)0(
1
x
x
x
Eroarea relativă aproximativă de calcul a rădăcinii
trebuie să fie mai mică de 0,1%.
Date problemă:
−=−−
−=+−−
=−+
1552
927
23
321
321
321
x x x
x x x
x x x
;
=
=
=
0
0
0
)0(3
)0(
2
)0(
1
x
x
x
%1,0=admε
Cerință:
=
=
=
?
?
?
3
2
1
x
x
x
pentru admε ε <
Rezolvare:
Verificarea condițiilor de aplicabilitate a metodei:
- să nu se anuleze numitorul:
03 ≠ (coeficientul lui 1 x din prima ecuație
diferit de zero)
07 ≠− (coeficientul lui 2 x din a doua
ecuație diferit de zero);
05 ≠− (coeficientul lui3
x din a treia ecuație diferit de zero).
⇒ condiție îndeplinită
-
8/18/2019 Exemple 2 - 2 - Met Gauss-Seidel.pdf
3/6
REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DE ECUAȚ II
3
- sistemul să fie diagonal:
pentru prima ecuație: 113 −+>
pentru a doua ecuație: 217 +−>−
pentru a treia ecuație: 125 −+>−
⇒ condiție îndeplinită
Determinarea formulelor iterative de calcul a necunoscutelor
(din fiecare ecuație se
explicitează câte o necunoscută):
−
+−−=
−
−+−
=
+−=
+
+
+
5
215
7
29
3
2
)(
2
)(
1)1(
3
)(
3
)(
1)1(
2
)(
3
)(
2)1(
1
k k k
k k
k
k k
k
x x x
x x
x
x x x
Calculul iterativ:
o Itera ț ia 1:
1=k
Calculul necunoscutelor:
=
−
+⋅−−=
−
+−−=
=
−
⋅−+−=
−
−+−=
=+−
=+−
=
0286,35
1905,16667,0215
5
215
1905,17
026667,09
7
29
6667,03
002
3
2
)0(
2
)0(
1)1(
3
)0(
3
)0(
1)1(
2
)0(
3
)0(
2)1(
1
x x x
x x x
x x x
Verificarea condiției de oprire a calculului iterativ:
>=⋅−
=⋅−
=
>=⋅−
=⋅−
=
>=⋅−
=⋅−
=
%1,0%1001000286,3
00286,3100
%1,0%1001001905,1
01905,1100
%1,0%1001006667,0
06667,0100
)1(
3
)0(
3
)1(
3)1(
3
)1(
2
)0(
2
)1(
2)1(
2
)1(
1
)0(
1
)1(
1)1(
1
x
x x
x
x x
x
x x
ε
ε
ε
⇒ condiția de oprire a calcului iterativ nu este
îndeplinită
-
8/18/2019 Exemple 2 - 2 - Met Gauss-Seidel.pdf
4/6
REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DE ECUAȚ II
4
o Itera ț ia 2: 2=k
Calculul necunoscutelor:
=
−
+⋅−−=
−
+−−=
=
−
⋅−+−=
−
−+−=
=
+−
=
+−
=
1181,35
9683,12794,215
5
215
9683,17
0286,322794,19
7
29
2794,13
0286,31905,12
3
2
)1(
2
)1(
1)2(
3
)1(
3
)1(
1)2(
2
)1(
3
)1(
2)2(
1
x x x
x x x
x x
x
Verificarea condiției de oprire a calculului iterativ:
>=⋅−
=⋅−
=
>=⋅−
=⋅−
=
>=⋅
−
=⋅
−
=
%1,0%8711,21001181,3
0286,31181,3100
%1,0%5161,391009683,1
1905,19683,1100
%1,0%8908,471002794,1
6667,02794,1
100
)2(
3
)1(
3
)2(
3)2(
3
)2(
2
)1(
2
)2(
2)2(
2
)2(
1
)1(
1
)2(
1)2(
1
x
x x
x
x x
x
x x
ε
ε
ε
⇒ condiția de oprire a calcului iterativ nu este
îndeplinită
o Itera ț ia 3: 3=k
Calculul necunoscutelor:
=
−
+⋅−−=
−
+−−=
=
−
⋅−+−=
−
−+−=
=+−
=+−
=
0147,35
0266,20499,1215
5
215
0266,27
1181,320499,19
7
29
0499,13
1181,39683,12
3
2
)2(
2
)2(
1)3(
3
)2(
3
)2(
1)3(
2
)2(
3
)2(
2)3(
1
x x x
x x x
x x x
Verificarea condiției de oprire a calculului iterativ:
>=⋅−
=⋅−
=
>=⋅−
=⋅−
=
>=⋅−
=⋅−
=
%1,0%4312,31000147,3
11815,30147,3100
%1,0%8797,21000266,2
9683,10266,2100
%1,0%8504,211000499,1
2794,10499,1100
)3(
3
)2(
3
)3(
3)3(
3
)3(
2
)2(
2
)3(
2)3(
2
)3(
1
)2(
1
)3(
1)3(
1
x
x x
x
x x
x
x x
ε
ε
ε
⇒ condiția de oprire a calcului iterativ nu este
îndeplinită
-
8/18/2019 Exemple 2 - 2 - Met Gauss-Seidel.pdf
5/6
REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DE ECUAȚ II
5
o Itera ț ia 4: 4=k
Calculul necunoscutelor:
=
−
+⋅−−=
−
+−−=
=
−
⋅−+−=
−
−+−=
=
+−
=
+−
=
9975,25
0048,29960,0215
5
215
0048,27
0147,329960,09
7
29
9960,03
0147,30266,22
3
2
)3(
2
)3(
1)4(
3
)3(
3
)3(
1)4(
2
)3(
3
)3(
2)4(
1
x x x
x x x
x x
x
Verificarea condiției de oprire a calculului iterativ:
>=⋅−
=⋅−
=
>=⋅−
=⋅−
=
>=⋅
−
=⋅
−
=
%1,0%5739,01009975,2
0147,39975,2100
%1,0%0899,11000048,2
9687,10048,2100
%1,0%4146,51009960,0
0499,19960,0
100
)4(
3
)3(
3
)4(
3)4(
3
)4(
2
)3(
2
)4(
2)4(
2
)4(
1
)3(
1
)4(
1)4(
1
x
x x
x
x x
x
x x
ε
ε
ε
⇒ condiția de oprire a calcului iterativ nu este
îndeplinită
o Itera ț ia 5: 5=k
Calculul necunoscutelor:
=
−
+⋅−−=
−
+−−=
=
−
⋅−+−=
−
−+−=
=+−
=+−
=
9991,25
9996,19976,0215
5
215
9996,17
9975,229976,09
7
29
9976,03
9975,20048,22
3
2
)4(
2
)4(
1)5(
3
)4(
3
)4(
1)5(
2
)4(
3
)4(
2)5(
1
x x x
x x x
x x x
Verificarea condiției de oprire a calculului iterativ:
>=⋅−
=⋅−
=
>=⋅−
=⋅−
=
>=⋅−
=⋅−
=
%1,0%0549,01009991,2
9975,29991,2100
%1,0%2569,01009996,1
0048,29996,1100
%1,0%1553,01009976,0
9960,09976,0100
)5(
3
)4(
3
)5(
3)5(
3
)5(
2
)4(
2
)5(
2)5(
2
)5(
1
)4(
1
)5(
1)5(
1
x
x x
x
x x
x
x x
ε
ε
ε
⇒ condiția de oprire a calcului iterativ nu este
îndeplinită
-
8/18/2019 Exemple 2 - 2 - Met Gauss-Seidel.pdf
6/6
REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DE ECUAȚ II
6
o Itera ț iile 6,7:
Calculele se fac la fel în continuare, obținându-se rezultatele
din tabelul de mai jos.
Tabel. Rezultate pentru itera ț iile
6,7
Iterația Necunoscutele Eroarea
relativă aproximativă
k )(1
k x )(2k x )(3
k x )(1
k ε )(2
k ε )(3
k ε
6 0,9998 1,9998 3,0000 0,2261 0,0074 0,0292
7 1,0001 2,0000 3,0000 0,0242 0,0108 0,0018
După cea de-a 10-a iterație condiția de oprire a calcului
iterativ este îndeplinită:
