Exemple 2Exemple 2 PGCD(210;126)

Exercice 1Exercice 1 PGCD(1085;837)

Exercice 2Exercice 2 Les billes

Exercice 3Exercice 3 Le patchwork

Exercice 4Exercice 4 Nombres premiers entre eux

Exercice 5Exercice 5 Vrai ou Faux ?

Exercice 6Exercice 6 La collection

Exercice 7Exercice 7 Le coffret de CD

Exercice 8Exercice 8 Les palindromes

1. 2. 3.

Donc PGCD (210 ; 126) = 42

210Plus grand a Plus petit b a - b

1268442

126844242

8442420

ExerciceExercice Déterminer le PGCD de 210 et 126avec l’algorithme des différences.

Exercice 1Exercice 1

Déterminer le PGCD de 1085 et 837 par la méthode de votre choix.

- Algorithme des différences

- Algorithme d’Euclide

1085Plus grand a Plus petit b a - b

837589341

837248248248

24858934193

248 93 155155 93 6293 62 3162 31 3131 31 0

Donc PGCD (1085 ; 837)= 31

1085Plus grand a Plus petit b Reste

83724893

8372489362

248936231

Donc PGCD (1085 ; 837) = 31

PGCD de 1085 et 837

62 31 0

Exercice 2Exercice 2 Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires. Il veut faire des paquets tels que : tous les paquets contiennent lemême nombre de billes rouges ; tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires ; toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées. Quel nombre maximal de paquetspourra-t-il réaliser ?

tous les paquets contiennent lemême nombre de billes rouges,

108 billes rouges et 135 billes noires.

Le nombre de paquets doit êtreun diviseur de 108.

toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées.

Il faut que :

108 billes rouges et 135 billes noires.

tous les paquets contiennent lemême nombre de billes noires,

Le nombre de paquets doit êtreun diviseur de 135.

toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées.

Il faut que :

108 billes rouges et 135 billes noires.

Le nombre de paquets doit êtreun diviseur commun 135.Quel nombre maximal de paquetspourra-t-il réaliser ?

Il faut que

à 108 et

le diviseur commun à 108 et 135 soit le plus grandpossible : c’est PGCD (108 ; 135)

Déterminons le PGCD(108 ; 135) avec l’algorithme des différences :

135Plus grand a Plus petit b a - b

1088154

108272727

27815427

27 27 0Donc PGCD (108 ; 135) = 27Marc pourra réaliser au maximum 27 paquets.

Combien y aura-t-il alors de billesrouges et de billes noires danschaque paquet ?

108 billes rouges et 135 billes noires.

Nombre de billes rouges par paquet :108 27 = 4

Nombre de billes noires par paquet : 135 27 = 5

Exercice 3Exercice 3 Sophie veut faire une couverture en patchwork en cousant ensemble des carrés de tissu de grandeurs identiques, mais de motifs différents.Les dimensions de la couverture doivent être 210 cm sur 135 cm.1. Sachant que le côté des carrés doit être le plus grand possible, combien doit il mesurer ? Expliquer votre démarche.

Sophie veut faire une couverture en patchwork en cousant ensemble des carrés de tissu de grandeurs identiques, mais de motifs différents.Les dimensions de la couverture doivent être 210 cm sur 135 cm.

2. Combien de carrés devra-t-elle utiliser ?

1. Sachant que le côté des carrés doit être le plus grand possible, combien doit il mesurer ? Expliquer votre démarche.

210 cm

135 cm

Pour que les carrés soient tous entiers, il faut que le côté soit un diviseur de la longueur 210 cm

et de la largeur 135 cm.

210 cm

135 cm

210 cm

135 cm

De plus, il faut que le côté des carrés soit le plus grand possible.On cherche donc le plus grand diviseur commun de 210 et 135.

Donc PGCD (210 ; 135) = 15

210Plus grand a Plus petit b Reste

1357560

135756015

7560150

Déterminons le PGCD de 210 et 135 avec l’algorithme d’Euclide.

La dimension de chaque carré devra être 15 cm.

2. Combien de carrés devra-t-elle utiliser ?

210 15 = 14Il y aura 14 carrés sur la longueur.

135 15 = 9Il y aura 9 carrés sur la largeur.

14 × 9 = 126 Elle devra utiliser 126 carrés.

Exercice 4Exercice 4

1. Les nombres 682 et 496 sont-ils premiers entre eux ? Justifier.

2. Rendre irréductible la fraction la fraction .682

496

1. Les nombres 682 et 496 sont-ils premiers entre eux ?

682 et 496 sont divisibles par 2 doncils ne sont pas premiers entre eux.

2. Rendre irréductible la fraction la fraction .682

496Pour rendre irréductible la fraction on la simplifie par le PGCD de 682 et 496.

Donc PGCD (682 ; 496) = 62

Recherche du PGCD de 682 et 496

682Plus grand a Plus petit b a - b

496310186

496186186124

18631012462

124 62 6262 62 0

682496 =

62 62

118 =

11

8

2. Rendre irréductible la fraction la fraction .682

496

Exercice 5Exercice 5 Vrai ou Faux ?Vrai ou Faux ?

Préciser si les affirmationssuivantes sont vraies ou fausses. Justifier.

1. est un nombre décimal.

2. Les nombres 570 et 795 sont premiers entre eux.

3. La somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 5.

325

1. est un nombre décimal.325

325 = 0,12

La partie décimale de 0,12 contientun nombre fini de chiffres après

la virgule donc 325

est un nombre décimal.

VRAIVRAI

2. Les nombres 570 et 795 sont premiers entre eux.

570 et 795 sont divisibles par 5 donc ils ne sont pas premiers

entre eux.

FAUXFAUX

3. La somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 5.

- Preuve arithmétique

- Preuve algébrique

Donc la somme est aussi un multiple de 5.

3. La somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 5.

Preuve arithmétique :Les multiples de 5 se terminent par 0 ou 5.1er cas : avec deux multiples de 5 se terminant par 0 …0 + ….0 = …0

3. La somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 5.

Preuve arithmétique :Les multiples de 5 se terminent par 0 ou 5.2ème cas : avec un multiples de 5 se terminant par 0 et l’autre par 5.…0 + ….5 = …5Donc la somme est aussi un multiple de 5.

3. La somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 5.

Preuve arithmétique :Les multiples de 5 se terminent par 0 ou 5.3ème cas : avec deux multiples de 5 se terminant par 5.…5 + ….5 = …0 (avec une retenue)Donc la somme est aussi un multiple de 5. VRAIVRAI

3. La somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 5.

Preuve algébrique :Un multiple de 5 s’écrit sous la forme : 5 × …

1er multiple de 5 : 5 × a = 5a

2ème multiple de 5 : 5 × b = 5b

Somme des 2 multiples de 5 :5a + 5b

3. La somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 5.

Preuve algébrique :Somme des 2 multiples de 5 :5a + 5bPour montrer que la somme est un multiple de 5, on factorise par 5 :5a + 5b = 5 × (a + b)La somme est bien un multiple de 5.

VRAIVRAI

Exercice 6Exercice 6 La collectionLa collection

Otto, le fils de M. Coland, collectionne les autocollants.

Il demande à ses copains de deviner combien il en possède et leur donne les informations suivantes :

- Mon nombre d’autocollants est inférieur à 100 ;

- Mon nombre d’autocollants est impair ; -Mon nombre d’autocollants est divisible par 9  ;-Si je les mettais par paquets de 5, il m’en resterait 3.

A vous de trouver combien Otto possède d'autocollants. Expliquez la réponse.

- Mon nombre d’autocollants est inférieur à 100 ;

On cherche un nombre de deux chiffres : … …

- Mon nombre d’autocollants est impair ;

Le chiffre des unités est :1; 3 ; 5 ; 7 ou 9. …1 - …3 - …5 - …7 - …9

…1 - …3 - …5 - …7 - …9

-Mon nombre d’autocollants est divisible par 9 ;

La somme des chiffres doit être divisible par 9  :

…1 - …3 - …5 - …7 - …98 6 4 2 0 - …99

81 - 63 - 45 - 27 – 9 - 99-Si je les mettais par paquets de 5, il m’en resterait 3.

81 = 16 × 5 + 163 = 12 × 5 + 345 = 9 × 5 + 027 = 5 × 5 + 29 = 1 × 5 + 4

99 = 19 × 5 + 4

Donc Otto Collandpossède 63

autocollants.

Exercice 7Exercice 7 Le coffret de CD Le coffret de CD

Pour les fêtes de fin d’année, la maison de disque “ Cool music ” veut lancer un coffret de CD d’artistes variés.

Pour approvisionner tous les magasins, la maison de disque livrera ses coffrets dans des caisses de 80 cm de longueur, 60 cm de largeur, 40 cm de hauteur.

La maison de disque veut réaliser des coffrets cubiques, les plus grands possibles, qui permettent de remplir entièrement la caisse.

Quelle doit être l’arête de ces coffrets et combien de tels coffrets pourra-t-on placer dans chaque caisse ?

Les coffrets doivent remplir entièrement la caisse. Donc l’arête d’un coffret doit être un diviseur de la longueur, de la largeur et de la hauteur de la caisse.

Arête 80 cm 60 cm

40 cm

Les coffrets doivent être les plus grands possibles donc il faut trouver le plus grand diviseur commun à 80, 60 et 40. Il faut donc calculer PGCD (80 ; 60 ; 40) avec la méthode de votre choix.

Arête 80 cm 60 cm

40 cm

Diviseurs de 80 :1–2–4–5–8–10–16–20–40–80

Diviseurs de 60 :1–2–3–4–5–6–10–12–15–20–30–60Diviseurs de 80 :1–2–4–5–8–10–20–40

Diviseurs communs à 20, 60 et 80 :1–2–4–5–8–10–20

Donc PGCD (80 ; 60 ; 40) = 20

80 20 = 4 coffrets sur la longueur

60 20 = 3 coffrets sur la largeur

4 × 3 × 2 = 24

On pourra placer 24 coffrets dans chaque caisse.

40 20 = 2 coffrets sur la hauteur

Exercice 8Exercice 8 Les palindromes Les palindromes

Les nombres 272 ou 19 591 sont des palindromes. Cela signifie qu’en les lisant de gauche à droite ou de droite à gauche, on a le même nombre.

Déterminer tous les palindromes des nombres de 4 chiffres divisibles par 9.

Solutions :

1881 2772366345545445633672278117