Exemple: Poutre mixte secondaire sur deux appuis

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FEUILLE DE CALCUL

Exemple: Poutre mixte secondaire sur deux appuis

Réf. Eurocode EN 1994-1-1Réalisé par Arnaud LEMAIRE Date Août 2005 Vérifié par Alain BUREAU Date Août 2005

Exemple: Poutre mixte secondaire sur deux appuis Cet exemple traite d’une poutre mixte secondaire sur deux appuis soumise à une charge uniformément répartie. Les charges uniformément réparties suivantes sont appliquées à la poutre.

• poids propre de la poutre

• poids de la dalle en béton

• charges d'exploitation

La poutre est un profilé en I laminé, en flexion par rapport à son axe fort. Cet exemple comprend :

- la classification de la section transversale,

- le calcul de la largeur efficace de la semelle en béton,

- le calcul de la résistance au cisaillement d’un goujon à tête,

- le calcul du degré de connexion,

- le calcul de la résistance à la flexion,

- le calcul de la résistance au cisaillement,

- le calcul de la résistance au cisaillement longitudinal de la dalle,

- le calcul de la flèche à l’état limite de service.

Cet exemple ne comprend pas la vérification de la résistance de l’âme au voilement par cisaillement.

Coefficients partiels

• γG = 1,35 (charges permanentes)

• γQ = 1,50 (charges variables)

• γM0 = 1,0

• γM1 = 1,0

• γV = 1,25

• γC = 1,5

EN 1990

EN 1993-1-1 § 6.1 (1)

EN 1994-1-1 § 6.6.3.1

EN 1992-1-1

http://www.access-steel.com/discovery/linklookup.aspx?id=EC005



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Données Calcul d’une poutre de plancher mixte d’un bâtiment multi-étagé en fonction des données fournies ci-dessous. La poutre est supposée être complètement étayée pendant la construction.

Les nervures du bac acier sont perpendiculaires à la poutre.

• Portée : 7,50 m

• Largeur de la travée : 3,00 m

• Epaisseur de la dalle : 12 cm

• Cloisons : 0,75 kN/m2

• Charge d'exploitation : 2,50 kN/m2

• Densité du béton armé : 25 kN/m3

• Nuance d'acier : S355

Calcul avec un IPE 270

Hauteur ha = 270 mm

Largeur b = 135 mm

Epaisseur de l’âme tw = 6,6 mm

Epaisseur de la semelle tf = 10,2 mm

Congé de raccordement r = 15 mm

Masse linéique 36,1 kg/m

z

z

y y

tf

tw

b

ha

Euronorme

19-57

Aire de la section Aa = 45,95 cm2

Inertie par rapport à l’axe y-y Iy = 5790 cm4

Module élastique par rapport à l’axe y-y Wel,y = 428,9 cm3

Module plastique par rapport à l’axe y-y Wpl.y = 484,0 cm3

Module d’élasticité de l’acier E = 210000 N/mm2


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Bac acier

Epaisseur de la tôle t = 0,75 mm

Epaisseur de la dalle h = 120 mm

Hauteur totale du bac acier hp = 58 mm

b1 = 62 mm b2 = 101 mm e = 207 mm

Connecteurs

Diamètre d = 19 mm

Hauteur totale nominale hsc = 100 mm

Résistance ultime en traction fu = 450 N/mm2

Nombre de goujons n = 7500 / e = 36

Nombre de goujons par nervure nr = 1

0,5hp

hp

hsc

h

h0

b1 b2

e

Paramètres du béton : C 25/30

Valeur de la résistance à la compression à 28 jours fck = 25 N/mm2

Module d’élasticité sécant du béton Ecm = 33 000 N/mm2

EN 1992-1-1

§ 3.1.3

Tableau 3.1

Afin de prendre en compte les nervures du bac acier, le poids de la dalle est calculé comme suit :

25 × 3,0 × (0,12 – 5 × 2

06201010 ,, + × 0,058) = 7,2 kN/m

Poids propre de la poutre : (36,1 × 9,81) × 10-3 = 0,354 kN/m




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Charges permanentes :

G = 0,354 + 7,2 + 0,75 × 3,0 = 9,80 kN/m

Charges variables (charges d'exploitation) :

Q = 2,5 × 3,0 = 7,50 kN/m

Combinaison à l’ELU (Etat Limite Ultime) :

γG G + γQ Q = 1,35 × 9,80 + 1,50 ×7,50 = 24,48 kN/m

EN 1990

§ 6.4.3.2

Diagramme du moment

M

172,13 kNm Moment maximal à mi-portée :

My,Ed = 0,125 × 24,48 × 7,502 = 172,13 kNm

Diagramme de l'effort tranchant

V

91,80 kN

Effort tranchant maximal aux appuis :

Vz,Ed = 0,5 × 24,48 × 7,50 = 91,80 kN

Limite d’élasticité

Nuance d'acier S355

L’épaisseur maximale est de 10,2 mm < 40 mm, donc : fy = 355 N/mm2

NB : L’Annexe Nationale peut imposer soit les valeurs de fy tirées du Tableau 3.1, soit celles de la norme du produit.

EN 1993-1-1 Tableau 3.1





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Classification de la section :

Le paramètre ε est fonction de la limite d'élasticité : 0,81 ][N/mm

235 2y

==f

ε

NB : La classification est faite pour la poutre non mixte. La classification est plus favorable pour la poutre mixte.

EN 1993-1-1 Tableau 5.2

(feuille 2 sur 3)

Semelle en console : semelle soumise à un effort de compression uniforme

c = (b – tw – 2 r) / 2 = (135 – 6,6 – 2 × 15)/2 = 49,2 mm

c/tf = 49,2 / 10,2 = 4,82 ≤ 9 ε = 7,29 Classe 1

Partie interne comprimée :

c = h – 2 tf – 2 r = 270 – 2 × 10,2 – 2 × 15 = 219,6 mm

c / tw = 219,6 / 6,6 = 33,3 < 72 ε = 58,3 Classe 1

La classe de la section transversale est la classe la plus élevée (c’est à dire la moins favorable) entre l’aile et l’âme, en l’occurrence : Classe 1

Ainsi, les vérifications à l’ELU doivent reposer sur la résistance plastique de la section transversale, puisque celle-ci est de classe 1.

EN 1993-1-1 Tableau 5.2

(feuille 1 sur 3)

Largeur efficace de la semelle en béton

À mi-portée, la largeur efficace totale peut être déterminée par :

∑+= ei0eff,1 bbb

b0 est l’entraxe des connecteurs en saillie, en l’occurrence :

b0 = 0 ;

bei est la valeur de la largeur efficace de la semelle en béton de chaque côté de l’âme; elle est donnée par bei = Le / 8 mais ≤ bi = 3,0 m

beff,1 = 0 + 7,5 / 8 = 0,9375 m, alors beff = 2 × 0,9375 = 1,875 m < 3,0 m

EN 1994-1-1 Figure 5.1

Aux extrémités, la largeur efficace totale est déterminée par :

∑+= eii0eff,0 bbb β

Avec βi = (0,55 + 0,025 Le / bei) mais ≤ 1,0

= (0,55 + 0,025 × 7,5 / 0,9375) = 0,75

beff,0 = 0 + 0,75 × 7,5 / 8 = 0,703 m, alors beff = 2 × 0,703 = 1,406 m < 3,0 m

EN 1994-1-1 Figure 5.1










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Résistance au cisaillement d’un goujon à tête La résistance au cisaillement doit être déterminée par :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×=

V

cmck2

V

2u

tRd29,0

;4/8,0Minγ

αγπ EfddfkP

hsc / d = 100 / 19 = 5,26 > 4, par conséquent α = 1

EN 1994-1-1

§ 6.6.3.1

Coefficient de réduction (kt)

Pour les bacs dont les nervures sont perpendiculaires à la poutre d’appui, le coefficient de réduction pour la résistance au cisaillement est calculé à partir de :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 17,0

p

sc

p

0

rt h

hhb

nk mais ≤ ktmax

EN 1994-1-1

§ 6.6.4.2

Tableau 6.2.

Où : nr = 1

hp = 58 mm

b0 = 82 mm

hsc = 100 mm

Donc, 717,0158

1005882

17,0

t =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=k ≤ ktmax = 0,75

Pour les bacs acier pré-percés.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×××××××=

25,131000 2519 1 29,0;

25,14/19 450 8,0Min717,0

22

RdπP 3.10−

( )kN73,73;kN66,81Min717,0 ×=

PRd = 52,86 kN





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Degré de connexion Le degré de connexion est défini par :

fc,

c

NN

=η

Où : Nc est la valeur de calcul de l’effort normal de compression dans la semelle en béton

Nc,f est la valeur de calcul de l’effort normal de compression dans la semelle en béton avec connexion totale

EN 1994-1-1

§ 6.2.1.3 (3)

A mi-portée :

L’effort normal en compression dans la semelle en béton représente l’intégralité de la connexion.

Ac est l’aire de la section transversale de béton, si bien qu’à mi-portée Ac = beff hc

avec hc = h - hp = 120 – 58 = 72 mm, Ac = 1875 × 62 = 116300 mm2

Donc, =××=== −3

c

ckccdcfc, 10

5,125116300 85,085,085,0

γfAfAN 1647 kN

La résistance des connecteurs limite l’effort normal, au plus, à :

Nc = 0,5 n PRd = 0,5 × 36 × 52,86 = 952 kN

Donc, 578,01647952

fc,

c ===NNη

Le rapport η étant inférieur à 1,0, la connexion est partielle.

Vérification de la résistance en flexion

Degré minimal de connexion Le degré minimal de connexion pour une section en acier symétrique (semelles identiques) est donné par :

( ey

min 030750355-1 L,-,f ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=η ) avec Le ≤ 25

EN 1994-1-1

§ 6.6.1.2




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Le est la longueur de la zone de moment positif entre points de moment nul, exprimée en mètres; dans cet exemple : Le = 7,5 m

Donc, ηmin = 1 – (355 / 355) (0,75 – 0,03 × 7,50) = 0,475

Alors, ηmin = 0,475 < η = 0,578 OK

Moment de résistance plastique à mi-portée

La valeur de calcul de l’effort normal dans la section en acier est donnée par :

Npl,a = Aa fy / γM0 = 4595 × 355 × 10-3 / 1,0 = 1631 kN

Donc, Npl,a > Nc = η Nc,f = 952 kN

EN 1994-1-1

§ 6.6.1.2 et

§ 6.2.1.3

Avec les connecteurs ductiles et la section de la poutre en acier de Classe 1, le moment de résistance MRd de la section transversale critique de la poutre à mi-portée est calculé à l’aide de la théorie rigide-plastique, sauf qu'une valeur réduite de l’effort de compression Nc dans la semelle en béton est utilisée au lieu de l’effort Ncf.

La distribution des contraintes plastiques est donnée ci-dessous :

MRd

+

-Nc=η Nc,f = 952 kN

Na = 1291 kN hn

hp 339 kN

La position de l’axe neutre est : hn = 263 mm

La résistance de calcul en flexion de la section transversale mixte est donc :

MRd = 301,7 kNm

Donc, My,Ed / MRd = 172,2 / 301,7 = 0,57 < 1 OK




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Résistance au cisaillement La résistance plastique au cisaillement dépend de l’aire de cisaillement de la poutre en acier, qui est donnée par :

Av,z = A – 2 b tf + (tw + 2 r) tf

Av,z = 4595 – 2 × 135 × 10,2 + (6,6 + 2 × 15) × 10,2 = 2214 mm2

EN 1993-1-1

§ 6.2.6 (3)

Résistance plastique au cisaillement

8453 10 01

)3 / 355(2214 )3 / (

3

M0

yzv,Rdz,pl, ,

,fA

V - =×

==γ

kN

Vz,Ed / Vpl,z,Rd = 91,80 / 453,8 = 0,202 < 1 OK

EN 1994-1-1

§ 6.2.2.2

La vérification du voilement par cisaillement n’est pas requise lorsque :

hw / tw ≤ 72 ε / η

Par sécurité, on peut prendre η = 1,0

hw / tw = (270 – 2 × 10,2) / 6,6 = 37,8 < 72 × 0,81 / 1,0 = 58,3 OK

EN 1993-1-1

§ 6.2.6 (6)

Résistance de la dalle au cisaillement longitudinal Les contraintes plastiques de cisaillement longitudinal sont données par :

xh

FvΔ

Δ=

f

dEd

Où Δx = 7,5 / 2 = 3,75 m

EN 1992-1-1

§ 6.2.4

Figure 6.7

La valeur de Δx est la moitié de la distance entre la section où le moment est nul et la section où le moment est maximal et nous avons deux aires pour la résistance au cisaillement.

ΔFd = Nc / 2 = 951,56 / 2 = 475,8 kN

hf = h - hp = 120 – 58 = 62 mm

=×

×==

375062108,475 3

f

dEd xh

FvΔ

Δ 2,05 N/mm2

Afin d’empêcher l’écrasement des éléments comprimés dans la semelle en béton, la condition suivante doit être satisfaite :

ffcdEd cossin θθνfv < avec [ ]250/16,0 ckf−=ν et θf = 45°







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5,45,05,1

252502516,0Ed =××⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −×<v N/mm2 OK

L’inégalité suivante doit être satisfaite pour l’armature transversale :

Asf fyd / sf ≥ vEd hf / cot θf où fyd = 500 / 1,15 = 435 N/mm2

On suppose que l’espacement des barres est sf = 250 mm et qu’il n’y a aucune contribution de la tôle du bac acier.

Asf ≥ =×

××0,14352506205,2 73,05 mm2

On peut prendre des barres de 10 mm de diamètre (78,5 mm2) espacées de 250 mm entre elles et s’étendant sur toute la largeur efficace du béton.

Vérification à l’Etat Limite de Service

Combinaison à l’ELS G + Q = 9,80 + 7,50 = 17,30 kN/m

Flèche résultant de G+Q : 384

) ( 5 y

4

IELQGw +

=

EN 1990

§ 6.5.3

Où Iy dépend du coefficient d’équivalence acier/béton (n), lequel est fonction du type de charge. Par simplification, on peut prendre :

n0 = Ea / Ecm = 210 000 / 33 000 = 6,36 pour les effets primaires (Q)

Ainsi Iy = 24 540 cm4 à mi-portée

Et n = 3Ea / Ecm = 19,08 pour les charges permanentes (G)

Ainsi Iy = 18 900 cm4

1024540

5071018900

809210000384

575 88

4=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

×+

×××

= −−,,

, w 16 mm



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Réf. Eurocode EN 1994-1-1Réalisé par Arnaud LEMAIRE Date Août 2005

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Vérifié par Alain BUREAU Date Août 2005

La flèche résultante sous (G+Q) est de L/469

Remarque 1 : Il convient que le client spécifie la flèche maximale tolérée. L’Annexe Nationale peut préciser quelques valeurs limites. Dans le cas présent, on peut considérer que les résultats sont pleinement satisfaisants.

Remarque 2 : L’Annexe Nationale peut spécifier les limites relatives à la fréquence de vibration. Dans le cas présent, la flèche est faible et la masse plutôt élevée; l’expérience indique qu’il n’y a pas de problème de vibration.

EN 1994-1-1

§ 7.3.1

EN 1994-1-1

§ 7.3.2



Exemple: Poutre mixte secondaire sur deux appuis SX014a-FR-EU

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TITRE DE LA RESSOURCE Exemple: Poutre mixte secondaire sur deux appuis

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Nom Société Date

Créé par Arnaud LEMAIRE CTICM 14/06/05

Contenu technique vérifié par Alain BUREAU CTICM 14/06/05

Contenu rédactionnel vérifié par D C Iles SCI 16/9/05

Contenu technique approuvé par les partenaires STEEL :

1. Royaume-Uni G W Owens SCI 16/9/05

2. France A Bureau CTICM 16/9/05

3. Allemagne A Olsson SBI 15/9/05

4. Suède C Müller RWTH 14/9/05

5. Espagne J Chica Labein 16/9/05

Ressource approuvée par le Coordonnateur technique

G W Owens SCI 10/7/06

DOCUMENT TRADUIT

Traduction réalisée et vérifiée par : eTeams International Ltd. 05/03/06

Ressource traduite approuvée par : P-O. Martin CTICM 15/02/05

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