exercice corrigé

FACULTE DES SCIENCES APPLIQUEES

QUESTIONS POSEES AUX EXAMENS D'ADMISSION

Edition 2008-2012

Grande Traverse, 12 – Bâtiment B37 – 4000 Liège Tél. +32-4-366 94 36 – Fax +32-4-366 95 75 – www.ulg.ac.be/facsa

Les détails pratiques liés à cet examen ainsi que les questions et les réponses à certaines matières sont disponibles sur les sites suivants :

Faculté des Sciences appliquées : www.facsa.ulg.ac.beExamen d’admission : www.facsa.ulg.ac.be/Admission

Simulation de l’examen d’admission : www.facsa.ulg.ac.be/testablanc

Université de Liège Faculté des Sciences appliquées

Grande Traverse, 12 – Bâtiment B37 – 4000 LIEGE Tél. 04 366 94 36 – Fax. 04 366 95 75

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BOURSES FERNAND PISART DE MOBILITE D’ENTREE

Etudiant(e)s qui allez entreprendre des études d’ingénieur civil à l’Université de Liège… 30 bourses seront attribuées à des rhétoricien(ne)s qui vont entreprendre des études d’ingénieur à l’Université de Liège (Faculté des Sciences appliquées). Le montant variera entre 800€ et 2000€ selon l’éloignement géographique du domicile du candidat. Comment poser votre candidature ? En complétant le formulaire à votre disposition auprès de la direction ou du représentant de votre école également disponible sur le site www.facsa.ulg.ac.be/pisart ou à demander au Secrétariat du Jury Pisart ([email protected]). Ce formulaire de candidature doit être transmis au Secrétariat du Jury Pisart pour le 29 mars 2013. Sélection des candidats Ces bourses seront attribuées conjointement par un jury spécial composé de représentants des établissements de l’enseignement secondaire, des professeurs de bachelier ingénieurs et des membres du Jury Pisart. Le Jury de Sélection accordera ces bourses en fonction des résultats scolaires, d’une motivation pour les études d’ingénieur et de critères sociaux. Présidente du Jury PISART Madame le Professeur Jacqueline LECOMTE-BECKERS UNIVERSITE DE LIEGE – Institut de Mécanique et de Génie civil Chemin des Chevreuils, 1 - Bât. B52 - 4000 LIEGE Email : [email protected] Secrétariat du Jury Pisart : 04.366.27.01

Examens de 2008 3

EXAMENS DE 2008

JUILLET 2008

ALGEBRE

1. Resoudre l’inequation49x3 +126x2 +44x−24 ≤ 0

sachant que le polynome du premier membre admet trois racines reelles en progressionarithmetique.

2. a) Calculer toutes les racines sixiemes du nombre complexe i et evaluer la somme deleurs carres.

b) Soient n et p deux entiers plus grands que 1. Evaluer la somme des piemes

puissances des racines niemes de i.

3. Les nombres de Catalan1 interviennent frequemment en analyse combinatoire. Pourtout entier naturel n, le nombre cn est defini comme le nombre de manieres de placerdes parentheses dans un produit de n + 1 facteurs ; par exemple, c3 = 5 puisque leproduit des quatre facteurs a, b, c et d admet les cinq groupements suivants : a(b(cd)),a((bc)d), (ab)(cd), (a(bc))d et ((ab)c)d. Nous admettons sans demonstration leresultat suivant :

cn =1

n+1Cn

2n . (1)

Demontrer que, pour tout n > 0, on a

a) cn = Cn2n −Cn−1

2n ;

b) (n+1)cn = (4n−2)cn−1 ;

c) cn =n−1

∑i=0

cicn−i−1.

1Eugene-Charles Catalan a ete professeur a l’universite de Liege.

4 Examens de 2008

Suggestion : Il n’est pas necessaire de raisonner par recurrence ; l’usage direct de ladefinition et du resultat (1) suffit.

Notation : L’ecriture Cpn designe le coefficient binomial ; c’est le coefficient de degre

p dans le developpement de (1+x)n. C’est aussi le nombre de sous-ensembles de taillep d’un ensemble de n elements.

ANALYSE

1. Soit la fonction

f (x) = x+ exp

(−ax

)

ou a est un parametre reel positif ou nul. En discutant en fonction de a s’il y a lieu,

a) determiner le domaine de definition de f ;

b) determiner les eventuelles asymptotes du graphe de f ;

c) determiner et caracteriser les eventuels extrema de f ;

d) etudier la concavite du graphe de f et en situer les eventuels points d’inflexion ;

e) esquisser le graphe de f .

2. A. Selon la theorie lineaire des vagues en eaux peu profondes, les particules d’eausituees a la surface de la mer et participant a la propagation des vagues de periodeT sont animees d’une vitesse dont les composantes horizontale et verticale sontdecrites respectivement par

u(t) = U sin(ωt) et v(t) =2πHU

λcos(ωt)

ou t designe le temps, ou ω = 2π/T est une constante caracterisant la pulsationdes vagues et ou U , H et λ sont des constantes strictement positives decrivantrespectivement la vitesse horizontale maximale, la profondeur et la longueurd’onde des vagues.

A.1 Determiner le deplacement horizontal x(t) des particules en fonction dutemps sachant que celui-ci est donne par

x(t) =∫

u(t) dt

Examens de 2008 5

A.2 Determiner la hauteur des vagues ζ(t) en fonction du temps sachant quecelle-ci verifie

ζ′(t) = v(t) et∫ T

0ζ(t) dt = 0 ou T =

2πω

A.3 Calculer l’energie cinetique moyenne (la composante v de la vitesse estnegligee)

Ecin =1T

∫ T

0

12

ρu2(t) dt ou T =2πω

et ou ρ designe la masse par unite de volume de l’eau.

B. On considere maintenant le cas ou

u(t) = U1 sin(ωt)+U2 sin(4ωt) ou T =2πω

(ou U1 et U2 sont des constantes). Ceci traduit la presence simultanee de vaguesde periodes T et T/4. Montrer que l’energie cinetique moyenne correspondanteest egale a la somme des energies cinetiques moyennes associees aux deuxcomposantes U1 sin(ωt) et U2 sin(4ωt) considerees separement.

TRIGONOMETRIE ET CALCUL NUMERIQUE

1. Montrer que, dans un triangle ABC, on a toujours

cos2A + cos2B + cos2C = −1 − 4 cosA cosB cosC

2. Resoudre l’equation suivante :

sinx + sin2x + sin3x =√

2 (1 + cosx + cos2x)

Representer les solutions sur le cercle trigonometrique.

3. Dans un demi-cercle de rayon R, on trace trois cordes C1, C2 et C3 paralleles a la baserectiligne du demi-cercle. La distance h entre C1 et C2 est egale a la distance entre C2

et C3.On mesure C1= 8 m, C2 = 16 m et C3 = 20 m.Quel est le rayon R du demi-cercle ?

6 Examens de 2008

Determiner les angles α1, α2, et α3 representes sur la figure 1.

Donner vos reponses avec 4 chiffres apres la virgule.

h

h

a1

a2

a3

C1

C2

C3

R

FIG. 1 Demi-cercle de rayon R avec ses trois cordes C1, C2, C3

GEOMETRIE ET GEOMETRIE ANALYTIQUE

Resoudre trois des cinq questions suivantes.

1. Soit ABC un triangle isocele en A (c’est-a-dire tel que les cotes [A,B] et [A,C] sontde meme longueur). On considere deux points E et F distincts situes a l’interieur dusegment [B,C]. Les paralleles a AB menees par E et par F coupent respectivement[A,C] en G et H. Les paralleles a AC menees par E et F coupent respectivement [A,B]en I et J.

a) Demontrer que les segments [I,J] et [G,H] sont de meme longueur.

b) Enoncer et demontrer une condition necessaire et suffisante sur les positions de Eet F pour que les droites JG et IH soient paralleles.

2. On considere un cercle C de centre O et deux droites perpendiculaires d1 et d2 passantpar O. On note A une des intersections de d1 avec C et B une des intersections de d2

Examens de 2008 7

avec C . Par A on mene une droite variable d qui coupe C en un point M distinct de B.La droite AM coupe d2 en B′ et la droite BM coupe d1 en A′. Demontrer que le produitdes longueurs des segments [A,A′] et [B,B′] reste constant lorsque d varie.

3. Soit un tetraedre ABCD de l’espace.

a) Demontrer les relations

|−→AB|2 + |−→CD|2 −|−→BC|2 −|−→DA|2 = 2−→AC ·−→DB,

|−→AC|2 + |−→BD|2−|−→BC|2 −|−→DA|2 = 2−→AB ·−→DC.

b) En deduire que les aretes opposees d’un tetraedre sont orthogonales si et seulementsi les sommes des carres des longueurs de chacune de ses paires d’aretes opposeessont egales.

4. Dans l’espace, on considere un tetraedre ABCD dont les aretes opposees sont deux adeux de meme longueur. Demontrer que les droites joignant les milieux de deux aretesopposees sont perpendiculaires deux a deux.

Suggestion : Demontrer d’abord qu’elles sont secantes.

5. Dans l’espace, on considere un cube ABCDA′B′C′D′, avec−→AA′ =

−→BB′ =

−→CC′ =

−−→DD′ et−→

AB =−→DC. On note G le centre de gravite du carre ABCD et K le point d’intersection

de la droite A′G et du plan AB′D′.

a) Determiner la position de K sur le segment [A′,G].

b) Demontrer que K appartient a la mediane issue de A du triangle AD′B′.

8 Examens de 2008

SEPTEMBRE 2008

ALGEBRE

1. Resoudre dans R l’inequation suivante :√

x2 + x+1 +√

x2 − x+1 ≤√

2(x+1)

2. Resoudre le systeme suivant, dans lequel a est un parametre reel :

ax − ay + 3az = a+1(a−1)x + ay + (a+1)z = 2a2

3ax + (3a+1)y + (3a+2)z = 9a+5

3. En evaluant (1 + x2)2n de deux manieres differentes, montrer que, pour tout entiernaturel n, on a :

Cn2n =

∣∣∣∣(C0

2n

)2−

(C1

2n

)2+

(C2

2n

)2−·· ·+

(C2n

2n

)2∣∣∣∣

ANALYSE

1. Soit la fonction f definie par

f (x) =e−ax

x2

ou a est un parametre reel non nul.

a) Dans le cas ou a est une constante strictement positive,

i. determiner le domaine de definition de f ;

ii. determiner les eventuelles asymptotes du graphe de f ;

iii. determiner et caracteriser les eventuels extrema ;

iv. etudier la concavite du graphe et situer les eventuels points d’inflexion ;

v. esquisser le graphe de f .

Examens de 2008 9

b) Des resultats du point i., deduire l’allure du graphe de f dans le cas ou a < 0.

c) Dans le cas ou a = 1, determiner la(les) valeur(s) de α pour laquelle(lesquelles) ladroite y = αx est tangente au graphique de la fonction f .

2. On considere l’expression

Im,n =

∫ π/2

0sinm x cosn x dx

ou m et n sont des entiers positifs ou nuls.

a) Calculer I1,1.

b) Calculer I1,n.

c) Calculer I2,0.

d) Montrer que Im,n = In,m.

e) Par le biais d’une integration par parties, determiner une relation entre Im,n etIm−2,n+2 valable dans le cas ou m ≥ 2.


1. Montrer que, dans un triangle ABC, on a toujours

sin2A + sin2B + sin2C = 4 sinA sinB sinC

2. Un pentagone convexe irregulier ABCDE est inscrit dans une circonference de rayon5 cm (voir Figure 2).

Quel est le perimetre du pentagone ABCDE ?

Quelle est la surface du pentagone ABCDE ?

10 Examens de 2008

FIG. 2 Pentagone convexe irregulier ABCDE

3. On desire calculer EXACTEMENT (sans calculatrice) cos 2π5 et cos 4π

5 . A cette fin, onprocedera comme suit :

a) Montrer que chacun de ces deux angles verifie l’equation

cos3θ = cos2θ (2)

b) Chercher l’ensemble des solutions de l’equation (2) verifiant 0 ≤ θ < π. Parmicelles-ci, il en est une, que nous noterons θ1, dont le cosinus est connu de maniereevidente.

c) Exprimer l’equation (2) en termes de cosθ. On obtient une equation du troisiemedegre.

d) En divisant cette equation par le binome (cosθ−cosθ1), on peut se ramener a uneequation du second degre, dont on calculera les racines cosθ2 et cosθ3.

e) Determiner, parmi ces deux racines, laquelle correspond a 2π5 et laquelle correspond

a 4π5 . Justifier ce choix.

Examens de 2008 11



1. On considere un polygone regulier convexe A1A2 . . .An, avec n ≥ 3, et un cercle Cpassant par le centre de gravite G de ce polygone. Les droites A1G, A2G, . . . , AnGrencontrent C en G, ainsi qu’en un certain nombre m de points distincts de G notesB1,B2, . . . ,Bm (sans ordre particulier).Demontrer que les points B1,B2, . . . ,Bm font partie des sommets d’un meme polygoneregulier convexe a n cotes.

Suggestion : Commencer par etablir une condition necessaire et suffisante pour qu’unensemble de points fassent partie des sommets d’un polygone regulier convexe a ncotes.

2. On considere un cercle C de centre O et deux diametres perpendiculaires [A,B] et [C,D]de ce cercle. Un point variable P parcourt C . On note Q l’intersection des droites APet CD.Determiner le lieu de l’orthocentre (c’est-a-dire le point de rencontre des troishauteurs) du triangle OPQ.

3. Soient un cercle C de centre O et un point fixe quelconque P.a) Une droite variable d issue de O rencontre C en deux points A et B. Demontrer que

la valeur de−→PA ·−→PB reste constante lorsque d varie.

b) Une droite variable d′ issue de P rencontre C en deux points M et N. En utilisantla propriete etablie en a), demontrer que la valeur de

−→PM · −→PN reste constante

lorsque d′ varie.

4. On place une sphere S de rayon 1 a l’interieur d’un tetraedre regulier ABCD, de facona ce qu’elle soit tangente aux trois faces issues de A.a) Calculer la distance separant le sommet A du centre O de S .

b) Pour quelle longueur des aretes du tetraedre ABCD la sphere S est-elle tangente ases quatre faces ?

5. Dans l’espace a trois dimensions muni d’un repere orthonorme :a) Determiner une equation du plan π issu du point de coordonnees (1,1,1) et incluant

la droite d d’equations {2x+ y = 5y+2z = −3.

12 Examens de 2008

b) En fonction d’un ou de plusieurs parametres de votre choix, donner une equationpour les plans perpendiculaires a π qui passent par l’origine du repere.

c) Parmi les plans evoques au point (b), donner une equation pour celui dontl’intersection avec π est parallele a d.

Examens de 2009 13

EXAMENS DE 2009

JUILLET 2009

ALGEBRE

1. a) Calculer le produit AB des matrices A et B suivantes :

1 1 1m 1 1m m 1

et

m m m2 m m2 2 m

.

b) Resoudre le systeme suivant sur R, dans lequel m est un parametre reel :

(m+4)x + 2(m+1)y + 3mz = 12m+2 ;

(m2 +4)x + (m2 +m+2)y + m(m+2)z = m+2 ;(m2 +2m+2)x + 2(m2 +1)y + m(2m+1)z = 2m+1 .

2. Soit P(x) un polynome sur R. Le reste de la division de P(x) par x−1 est 1 et le restede la division de P(x) par x+1 est −1.

a) Quel est le reste de la division de P(x) par x2 −1 ?

b) Soient Q(x) et R(x) les polynomes quotient et reste de P(x2) par x2 +1. Determinerle polynome R(x).

c) Determiner le polynome reste de la division de Q(x) par x2 −1.

3. Resoudre dans C l’equationz2(1− z2) = 16 .

14 Examens de 2009

ANALYSE

1. A. Soit la fonction

f (x) = xe−a x2(

ce qui se note egalement f (x) = xexp(−a x2))

ou a est un parametre reel non nul. En discutant s’il y a lieu en fonction de a,


b) determiner la parite eventuelle de f ;

c) determiner les eventuelles asymptotes du graphe de f ;

d) determiner et caracteriser les eventuels extrema ;

e) etudier la concavite du graphe et situer les eventuels points d’inflexion ;

f) esquisser le graphe de f .

B. En se basant sur l’etude precedente, determiner la(les) condition(s) que doiventremplir les parametres reels non nuls α et β pour que la fonction

arcsin(

α xe−β2 x2)

soit definie sur R.

2. a) Calculer ∫ π

0x dx

b) Calculer ∫ π

0xcosx dx

c) Calculer ∫ π

0xcos2 x dx

d) Pour quelles valeurs de n ∈ N a-t-on∫ π

0xcosn x dx < 0 ?

Justifier sans effectuer explicitement le calcul de l’integrale.

Examens de 2009 15


1. Soit un triangle ABC, dont les deux cotes [AB] et [AC] ont la meme longueur l. Par lesommet C, on trace la perpendiculaire CH a AB. On constate alors que les longueurs|AH| et |BC| sont egales. Que vaut l’angle A ?

2. Resoudre l’equation suivante :

tgx + tg3x + sin2x = 0


3. Montrer que dans tout triangle ABC de cotes a, b, c, on a la relation :

a b cosC − a ccosB = b2 − c2



1. Dans un triangle ABC, on note respectivement A′ et B′ les pieds des hauteurs issues dessommets A et B. On note H le point d’intersection de ces hauteurs. On trace le cercleC circonscrit au triangle A′B′C et, par les points A′ et B′, on mene respectivement lestangentes dA et dB a ce cercle.

a) Demontrer que [CH] est un diametre de C .

b) On note P l’intersection des droites AB et dA. Demontrer que le triangle PA′B estisocele.

c) En deduire que le point P est situe au milieu du cote [AB].

d) En deduire que la droite dB passe par P.

2. Dans un repere orthonorme du plan, on donne la parabole P par son equationcartesienne

x2 = 4y.

a) Determiner l’equation cartesienne d’une tangente quelconque a la courbe P .

16 Examens de 2009

b) Determiner le lieu des points a partir desquels les tangentes menees a la courbe Psont orthogonales entre elles.

3. On note O le centre du cercle circonscrit a un triangle ABC, et A′ le pied de la medianeissue de A de ce triangle. On note G le centre de gravite du triangle AA′B.Demontrer que les droites AA′ et OG sont perpendiculaires si et seulement si le triangleABC est isocele en B.

Suggestion : Calculer−→AA′.

−→OG

4. On considere deux plans secants π et π′, et une droite d perpendiculaire a π. Demontrerque la projection orthogonale de d sur π′ est perpendiculaire a l’intersection de π et deπ′.

Rappel : La projection orthogonale de d sur π′ est l’intersection de π′ et du planperpendiculaire a π′ incluant d.

5. On donne un cube de sommets A,B,C,D,A′,B′,C′,D′ (voir figure).

a) Demontrer que les plans AB′D′ et C′DB sont paralleles.

b) Demontrer que la droite A′C est perpendiculaire au plan AB′D′.

c) Si on designe par T la projection orthogonale du point C sur le plan AB′D′ (c’est-a-dire le pied de la droite perpendiculaire a ce plan issue de C), demontrer que lalongueur du segment [A′T ] est egale au tiers de la longueur du segment [A′C].

D′

D

C′

C

A′

A B

B′

��

��

��

��

��

��

��

��

Examens de 2009 17

SEPTEMBRE 2009

ALGEBRE

1. Resoudre et discuter le systeme suivant, dans lequel a est un parametre reel :

2ax+(a+1)y+(a−1)z = 2a+32x+(1+a)y+(1−a)z = 4a+1(a+1)x+(a+1)y = 3a+2

2. Trouver dans C les racines du polynome P tel que

P(z) = (1− z2)3 − (1− z)3

3. On note a et b les racines du polynome

x2 −√

2+

√3−

√5 x+

√3−

√5

Donner un polynome du second degre dont les racines sont a2 + b2 et 2 + ab. Lescoefficients de ce polynome doivent etre ecrits sous une forme aussi simple quepossible.

ANALYSE

1. A. Soit la fonction f definie par

f (x) = lnax

1+ x2

ou a est un parametre reel strictement positif.

En discutant s’il y a lieu en fonction de a,


b) determiner la parite eventuelle de f ;

c) determiner les eventuelles asymptotes du graphe de f ;

18 Examens de 2009

d) determiner et caracteriser les eventuels extrema ;

e) etudier la concavite du graphe et situer les eventuels points d’inflexion ;

f) esquisser le graphe de f .

B. Discuter le nombre de solutions de f (x) = 0 dans le cas a > 0.

C. Sans effectuer de calculs supplementaires, esquisser le graphe de f si a < 0.

2. On considere une particule initialement deposee sans vitesse a la surface d’un milieuresistif et qui penetre dans celui-ci sous l’action de la pesanteur. La loi de variation dela vitesse en fonction du temps t est donnee par

v(t) = t e−t +t

(t2 +1)2 pour t ≥ 0

et est esquissee ci-dessous :

t

v(t)

0

a) Calculer la profondeur de penetration

x(t) =

∫ t

0v(τ)dτ

de la particule dans le milieu resistif en fonction du temps.

b) Montrer par le calcul que la profondeur de penetration de la particule dans le milieuresistif reste finie si t tend vers l’infini. Que vaut cette profondeur maximale depenetration ?


1. Montrer que dans un triangle ABC quelconque, on a toujours

cotgA cotgB + cotgB cotgC + cotgC cotgA = 1

Examens de 2009 19

2. Resoudre l’equationtgx + tg2x + tg3x = 0

Expliciter les conditions d’existence. Representer les solutions sur le cercletrigonometrique.

3. Soit une tour de hauteur h dont le pied est inaccessible, mais dans le meme planhorizontal que les pieds d’un observateur. L’oeil de ce dernier se trouve a 1,50 mdu sol. A une distance |AD| de la tour, l’observateur en voit le sommet sous un angleα = 24◦36′ par rapport a l’horizontale. Apres s’etre rapproche de 32 m de la tour,l’observateur la voit sous un angle β = 40◦12′ par rapport a l’horizontale. Quelle est lahauteur de la tour ?

FIG. 3 Mesure de la hauteur d’une tour



1. On place trois points distincts A, B et C sur un cercle C de facon a ce que B et Cne soient pas diametralement opposes. Par A, B et C, on mene respectivement les

20 Examens de 2009

tangentes tA, tB et tC a C . On note P l’intersection de tB et de tC, et d la droite parallelea tA issue de P. Les droites AB et AC rencontrent d en deux points notes respectivementD et E.

a) Demontrer que le triangle BPD est isocele.

b) En deduire que les points B, C, D et E appartiennent a un meme cercle de centre P.

2. Dans un repere orthonorme du plan, on donne la parabole d’equation cartesienne

y = (x+1)2.

Determiner le lieu du milieu de la corde decoupee sur cette parabole par une droitevariable issue de l’origine des axes.

3. Soit G le centre de gravite du triangle ABC. Demontrer que l’on a

|AB|2 + |BC|2 + |CA|2|GA|2 + |GB|2 + |GC|2 = 3.

4. Demontrer que dans un tetraedre quelconque, les trois droites reliant les milieux desaretes opposees sont concourantes.

5. Dans un repere orthonorme de l’espace, on donne les quatre points A, B, C et D decoordonnees cartesiennes

A(1,2,−1), B(−1,1,0), C(0,1,2), D(0,1,1).

a) Determiner l’aire du triangle ABC.

b) Les points A, B, C et D appartiennent-ils a un meme plan ?

Examens de 2010 21

EXAMENS DE 2010

JUILLET 2010

ALGEBRE

1. Demontrer l’egalite suivante, dans laquelle n ≥ 1 est un nombre entier :

1C1n +4C2

n + · · ·+n2 Cnn = n(n+1)2n−2 .

Suggestion : Developper (1+ x)n et deriver deux fois.

2. Trouver dans C les racines du polynome P tel que

P(z) = (1− z3)3 − (1− z)3 .

3. Le polynome√

2x4 − 2(2+√

2+√

6)x3 + 2(2+3√

2+4√

3+2√

6)x2

−2(6+3√

2+4√

3+3√

6)x + 3(4+3√

2)

admet deux racines reelles doubles distinctes a et b.Determiner la paire {a,b}.

ANALYSE

1. A. Soit la fonction f definie par

f (x) = x

(ln

x1+a2

)3

ou a designe un parametre reel quelconque.

22 Examens de 2010

En discutant s’il y a lieu en fonction de a,


b) calculer les limites de f aux frontieres de son domaine de definition etdeterminer les eventuelles asymptotes du graphe de f ;

c) determiner et caracteriser les eventuels extrema ;

d) etudier la concavite du graphe et situer les eventuels points d’inflexion ;

e) dresser un tableau recapitulatif des proprietes de f et esquisser son graphe.

B. En exploitant les resultats obtenus au point precedent, sans effectuer aucun calculsupplementaire, esquisser le graphe de

fa(x) = a x

(ln

x1+a2

)3

en discutant s’il y a lieu en fonction de la valeur du parametre reel a.

2. On considere une fonction g definie et deux fois derivable sur R. On definit la fonctionh par

h(x) = g

(1x

)

a) Quel est le domaine de definition de h ?

b) Que vaut h′(x) ?

c) Que vaut h′′(x) ?

3. On appelle “coefficients de Fourier” d’une fonction f , les reels a0, a1, a2. . . et b1,b2. . . definis par

ak =1π

∫ π

−πf (x)cos(kx)dx, k = 0,1,2, . . .

bk =1π

∫ π

−πf (x)sin(kx)dx, k = 1,2, . . .

(lorsque ces integrales existent).

a) Calculer les coefficients de Fourier a0, a1 et b1 de f (x) = x2.

b) Generaliser les resultats precedents en calculant les coefficients ak et bk (k ∈ N0)de f (x) = x2.

Examens de 2010 23


1. Montrer que l’on a

4(cos6 a− sin6 a) = cos2a(4− sin2 2a)

2. Resoudre l’equationsin4 x+ cos4 x = sinxcosx

3. Calculer l’angle A d’un triangle, sachant que les cotes adjacents b et c sont de memelongueur et que l’aire du triangle vaut 3 fois celle du cercle dont le troisieme cote a estle diametre.

4. Calculer la valeur de l’expression (sans l’aide de la calculatrice)

E = tg9◦− tg27◦− tg63◦ + tg81◦



1. On considere un cercle passant par les extremites B et C de l’hypotenuse d’un trianglerectangle ABC. Ce cercle coupe la droite AB en B et en un autre point note B′. Dememe, il coupe la droite AC en C et en un autre point note C′. Les points B′ et C′ sontdistincts de A.Demontrer que la mediane issue de A du triangle ABC est confondue avec la hauteurissue de A du triangle AB′C′.

2. On fixe un repere orthonorme du plan. Quel est le lieu des points du premier quadrantpar lesquels passe une et une seule droite determinant, avec les axes, un trianglecontenu dans le premier quadrant et d’aire egale a 4 ?

3. Un point P appartient a la diagonale BD d’un carre ABCD. Demontrer l’egalite

−→BP.

−→DP = |AP|2− c2

24 Examens de 2010

ou c designe la longueur d’un cote du carre et ou |XY | represente la longueur dusegment [XY ].

4. Un plan π coupe les aretes [AB], [AC] et [AD] d’un cube en trois points notesrespectivement B′, C′ et D′. Dans le triangle AB′C′, on note H le pied de la hauteurissue de A.

a) Demontrer, en justifiant soigneusement toutes les etapes de votre raisonnement, quela droite B′C′ est perpendiculaire au plan AD′H.

b) En deduire que le plan AD′H est perpendiculaire au plan π.

c) En deduire que la projection orthogonale de A sur le plan π coıncide avecl’orthocentre du triangle B′C′D′.

5. Dans un repere orthonorme de l’espace, on donne les droites da et db par leursequations cartesiennes

da :

{x− z−a = 0y+3z+1 = 0

db :

{x+2y+ z−2b = 03x+3y+2z−7 = 0

ou a et b sont des parametres reels.

a) Montrer que ces droites ne sont pas paralleles, quels que soient a et b.

b) Determiner la condition necessaire et suffisante sur a et b pour que les droites soientconcourantes.

c) Sous la condition determinee au point precedent, determiner alors l’equation duplan contenant ces droites.

SEPTEMBRE 2010

ALGEBRE

1. Resoudre et discuter le systeme suivant, dans lequel a est un parametre reel :

(a+6)x+2y+a(a+4)z = 1−a2x− (a+1)y−2az = 17+a(a+10)x+(a2−15)y+a2z = 35+a

Examens de 2010 25

2. Resoudre dans C l’equationi(1+ z)4 = 1 .

3. Resoudre dans R\{a,−a−1} l’inequation parametrique

xx−a

+x+1

x+a+1≥ 0 ,

ou a ∈ [0 : +∞[.

ANALYSE

1. On considere la fonction

f (x) = sinx

1− x

En utilisant unecalculatrice graphique, on obtient larepresentation ci-contre.

-10 -5 5 10

-1.0

-0.5

0.5

1.0

a) Etudier le graphe de la fonction g(x) =x

1− x:

– determiner le domaine de definition ;– determiner les asymptotes eventuelles ;– etudier la croissance/decroissance et determiner les extrema eventuels ;– esquisser le graphique.

b) Determiner le domaine de definition de f . Justifier.

c) Determiner l’ensemble des valeurs de f . Justifier.

d) Preciser le comportement de f au voisinage de x = 1. Que vaut limx→1

f (x) ?

e) Determiner les asymptotes eventuelles du graphe de f .

f) Calculer f ′(x).

g) Determiner tous les extrema locaux en precisant la nature de ceux-ci ainsi que lesabscisses et les ordonnees correspondantes.

26 Examens de 2010

2. Soit

In =

∫ 1

0xn e−x dx, n ∈ N

a) Calculer I0.

b) Calculer I1.

c) Etablir une relation de recurrence du type In = n In−1−α (valable pour tout n entier≥ 1) ou α designe une constante a determiner.

d) Sans calculer explicitement les integrales, montrer, en effectuant un changementde variable, que l’integrale ∫ β

1

(lnx)n

x2 dx

est egale a In pour une valeur adequate de β a determiner.

e) Montrer que In ≤1

1+n.


1. Verifier quetg3a− tg2a− tga = tga tg2a tg3a

2. Resoudre l’equation

2 cos3 x+2 sin2 x cosx = 5sinx cos2 x


3. Soient trois nombres reels a, b, c qui sont des elements consecutifs d’une progressionarithmetique. Montrer que, en general, on a

sina+ sinb+ sinccosa+ cosb+ cosc

= tgb

Pour quelles valeurs de la raison la proposition est-elle en defaut ?

Etudier la reciproque.

Examens de 2010 27

4. Un avion s’approche de sa base. On suppose qu’il vole a une altitude constante et unevitesse constante par rapport au sol de 800 km/h. L’angle d’elevation de l’avion parrapport a la base est de 16◦. Une minute plus tard, il est percu par la base avec un anglede 37◦. Calculer l’altitude de vol de l’avion.

a=16° b=37°

h=?

FIG. 4 Calcul de l’altitude d’un avion



1. On considere un triangle ABC rectangle en A (c’est-a-dire, tel que l’angle BAC soitdroit). Le centre du cercle inscrit a ce triangle est note O. Ce cercle rencontre les cotes[AB], [AC] et [BC] du triangle en trois points notes respectivement P, Q et R. Dans letriangle PQR, le pied de la hauteur issue de Q est note H.

a) Determiner la valeur de l’angle PRQ.

b) Demontrer que les points O, C et H sont alignes.

2. On se place dans le plan muni d’un repere orthonorme d’origine O, et on considereles points P d’abscisse 1, Q d’ordonnee 1 tels que les droites OP et OQ soientperpendiculaires. Determiner le lieu de la projection orthogonale M de l’origine Osur la droite PQ.

3. Le centre O d’un cercle de rayon r est situe a l’intersection des diagonales d’unparallelogramme ABCD. Un point P parcourt ce cercle.

a) Demontrer que la valeur de

|PA|2 + |PB|2 + |PC|2 + |PD|2,

28 Examens de 2010

ou |XY | represente la longueur du segment [XY ], ne depend pas de la position deP sur le cercle.

b) Exprimer cette valeur en fonction de r et des longueurs |AB| et |BC| des cotes duparallelogramme.

4. Dans un repere orthonorme de l’espace, on donne les plans Π1, Π2, Π3 et Π4 par leurequation cartesienne :

Π1 : x+ y−1 = 0, Π2 : y+ z−1 = 0,Π3 : z+ x−1 = 0, Π4 : x− y+ z = 0.

On donne aussi le point A de coordonnees (1,1,λ), ou λ est un parametre reel.

Determiner une condition necessaire et suffisante sur λ pour que les projectionsorthogonales de A sur les plans Π1, Π2, Π3 et Π4 soient coplanaires.

5. On considere un cube ABCDA′B′C′D′, avec−→AB =

−→DC =

−−→A′B′ =

−−→D′C′ et

−→BC =

−→AD =−−→

B′C′ =−−→A′D′, et un plan π perpendiculaire a la droite AC′. La longueur d’une arete du

cube est notee ℓ.On note respectivement H1, H2, H3, H4, H5 et H6 les projections orthogonales dessommets B, C, D, D′, A′ et B′ du cube sur π.

a) Demontrer que l’hexagone H1H2H3H4H5H6 est regulier.

Suggestion : Utiliser les proprietes de symetrie du cube.

b) Determiner l’aire de cet hexagone en fonction de ℓ.

Examens de 2011 29

EXAMENS DE 2011

JUILLET 2011

ALGEBRE

1. Sachant que les nombres reels a et b verifient a4 +b4 = 7 et ab = −1, on demande demontrer que les nombres a2 +b2, a6 +b6, a8 +b8 et a10 +b10 sont tous entiers et d’encalculer les valeurs.Existe-t-il une technique simple pour calculer f (n) = a2n + b2n pour tout entiernaturel n ?Est-ce que f (n) est toujours entier ?Peut-on determiner les reels a2, b2, a et b ?

2. Resoudre dans C l’equationz4 + |z| = 0

3. Demontrer l’egaliten

∑k=1

C2k+1 = C3

n+2

valable pour tout entier n strictement positif.

ANALYSE

1. On considere la fonction f (x) = lnx3

4− x2

a) Determiner le domaine de definition de f .

b) Calculer

limx→−2

f (x), limx→0

f (x), limx→1

f (x) et limx→2

f (x)

c) Determiner les equations des eventuelles asymptotes du graphe de f .

30 Examens de 2011

2. On decoupe dans une feuille de papier un secteur circulaire de rayon R et d’ouverture θcomme represente ci-contre. En appliquant l’un sur l’autre les points A et B, on formeensuite un cone de sommet O.

a) Montrer que le volume du cone est donne parune expression du type

V (θ) = αR3θ2√

4π2 −θ2

ou α est une constante positive a determineret ou θ est exprime en radians.

b) Le rayon R etant fixe, determiner le volumemaximum du cone pouvant etre construit dela sorte.Justifier.

R

OA

B

θ

3. On pose

cn =∫ π

0(x+a)n cosx dx et sn =

∫ π

0(x+a)n sinx dx

ou n designe un entier positif ou nul et a est un reel quelconque.

a) Calculer c0 et s0.

b) Calculer c1 et s1.

c) Montrer que, pour tout n entier non nul, cn = −nsn−1.

d) Montrer que, pour tout n entier strictement superieur a 1,

sn = (π+a)n +an −n(n−1)sn−2

e) Montrer que, pour tout n pair superieur ou egal a 2,∫ π

0

[(x−π)n − xn]sinx dx = 0

Examens de 2011 31


1. Montrer que si a+b+ c = π, on a

cosa− cosb+ cosc+1 = 4 cosa2

sinb2

cosc2

2. Deux observateurs, B et C, distants de 1750 m sur une horizontale BC, observent aumeme instant un avion A dans le ciel (voir Fig.5). Cet avion est dans le plan verticalde la base d’observation BC et les angles d’elevation sont B = 70◦ et C = 84◦.

Quelle est la hauteur |AD| de l’avion par rapport aux deux observateurs s’il se trouveentre ceux-ci ? (Arrondir au metre le plus proche).

A

B C

D

FIG. 5 Quelle est la hauteur de l’avion ?

3. Dans le trapeze isocele ABCD, on donne les bases a et b et la hauteur h (voir Fig.6).

On demande

a) La longueur l des cotes [AD] et [BC].

b) Les angles A et D en radians, avec 4 chiffres apres la virgule.

c) Le rayon R du cercle circonscrit.

On rappelle que, dans un triangle quelconque XYZ, on a

x

sin X=

y

sinY=

z

sin Z= 2R

32 Examens de 2011

b

a

h

l

A B

CD

H

FIG. 6 Trapeze isocele ABCD

4. Resoudre l’inequation

sin3 x sin(π

2−3x

)+ cos3 x cos

(π2−3x

)≥ 3

√3

8

Dessiner l’ensemble des solutions sur le cercle trigonometrique.



1. On considere un parallelogramme ABCD et une droite d issue de A qui coupe ladiagonale [BD] en un point P, le cote [BC] en un point Q et la droite CD en un point R.

Demontrer que l’on a|AP| =

√|PQ|.|PR|,

ou |XY | designe la longueur du segment [XY ].

2. On se place dans un repere orthonorme du plan. Pour tout λ∈R, on considere le cercleCλ de centre (λ,0) tangent a l’axe Y et le cercle Γλ de centre (λ,λ) tangent a l’axe X .Demontrer que le lieu des points d’intersection de Cλ et Γλ est une union de deuxdroites et donner les equations cartesiennes de celles-ci.

Examens de 2011 33

3. Soient deux cercles concentriques C (interieur) et C ′ (exterieur). Un point P fixe estsitue sur C . Une droite mobile d issue de P rencontre C ′ en deux points notes A et B.La droite perpendiculaire a d issue de P rencontre C en P et en un autre point note C.Demontrer que la position du centre de gravite G du triangle ABC est independante duchoix de d.

Suggestion : calculer le vecteur−→OG, ou O est le centre de C et de C ′.

4. Dans un repere orthonorme de l’espace, on considere la droite d1, passant par les pointsA et B respectivement de coordonnees (1,2,3) et (−1,0,2), et la droite d2, passant parles points C,D respectivement de coordonnees (0,1,7) et (2,0,5).

a) Determiner l’equation cartesienne du plan Π parallele a la droite d1 et contenantla droite d2.

b) Determiner la distance entre la droite d1 et le plan Π .

c) Determiner des equations parametriques et des equations cartesiennes de la droited3 passant par C et orthogonale a d1 et d2.

d) Determiner un point P1 de d1 et point P2 de d2 tels que le vecteur joignant P1 aP2 soit orthogonal a d1 et a d2.

5. On considere une pyramide droite a base carree SABCD (en d’autres termes, la baseABCD de cette pyramide est un carre et le pied H de la hauteur issue de S est le centrede ce carre). Cette pyramide est telle que |AB|= |SH|, ou |XY | designe la longueur dusegment [XY ]. Cette pyramide est egalement inscrite dans une sphere (c’est-a-dire queles points A, B, C, D et S sont situes a la surface de cette sphere). Si V et V ′ designentrespectivement le volume de la pyramide et de la sphere, calculer la valeur du rapportV ′

Vet en donner une expression independante du rayon de la sphere et du cote de la

base de la pyramide.

34 Examens de 2011

SEPTEMBRE 2011

ALGEBRE

1. Resoudre le systeme suivant, dans lequel a est un parametre reel

2x+3y+(a−1)z = 24x+3ay+az = 4(6−3a)y+(a−2)z = 0

2. Resoudre dans R l’equation

2(logx)3 +log

(x20

)

10−

[log

(x√

20)]2

4= 0

La notation log designe le logarithme en base 10.

3. Resoudre dans R l’inequation

x+

√x+1

2√x+1

2

≤ x+1

ANALYSE

Introduction.

L’installation d’une eolienne sur un site particulier est generalement precedee d’uneetude de longue duree destinee a recueillir les statistiques decrivant la variation du vent acet endroit. Ignorant l’information sur la direction du vent, puisque les eoliennes peuventpivoter autour de leur axe vertical pour s’aligner avec celui-ci, la distribution statistique dela vitesse du vent est generalement decrite par une loi de Weibull de la forme

f (v) = αv exp

(−v2

λ2

)

Examens de 2011 35

ou v designe la vitesse du vent et ou α et λ sont des parametres constants strictement positifsdetermines en fonction des mesures effectuees a l’endroit considere. La fonction f (v) est ladensite de probabilite. Elle permet d’exprimer la probabilite que le vent souffle a une vitessecomprise entre va et vb par

P(va ≤ v ≤ vb) =∫ vb

va

f (v)dv

1. Etudier le graphe de la fonction f (v) sur le domaine utile constitue des valeurs dev ≥ 0. En particulier,

a) determiner les asymptotes eventuelles ;

b) etudier la croissance/decroissance et determiner les extrema eventuels ;

c) etudier la concavite et determiner les points d’inflexion eventuels ;

d) determiner les equations des tangentes au graphe de f en l’abcisse v = 0 ainsiqu’aux eventuels extrema et points d’inflexion du graphe de f ;

e) esquisser le graphique de f et les tangentes determinees ci-dessus.

2. a) Sachant que (condition de normalisation)

P(0 < v ≤ +∞) =∫ +∞

0f (v)dv = 1

montrer que

α =2λ2

Dans la suite, on utilisera cette valeur de α.

b) Calculer en fonction de u (et de λ) la probabilite F(u) que la vitesse du vent soitinferieure a une valeur u > 0 fixee.

c) Montrer que les moments successifs

µn =

∫ ∞

0vn f (v)dv (n ≥ 0)

verifient une relation de recurrence du type

µn = β n µn−2 pour tout n ≥ 2

ou β designe une constante a determiner.

36 Examens de 2011

d) Sachant que (integrale de Poisson)

∫ ∞

0e−ax2

dx =12

√πa

(a > 0)

calculer la moyenne µ1 de la vitesse du vent

µ1 =

∫ +∞

0v f (v)dv

e) Calculer la puissance moyenne theorique P

P = η Cp µ3 = η Cp

∫ +∞

0v3 f (v)dv

(ou η et Cp sont des parametres fixes, η ≈ 0.59 designant le rendement theoriquemaximum de l’eolienne et Cp etant le coefficient de puissance) pouvant etreproduite par une eolienne placee a cet endroit.


1. Dans un triangle ABC, on a la relation suivante entre les angles B et C

1+ cotgB2

+ cotgC2

= cotgB2

cotgC2

Que vaut l’angle A ?

2. Resoudre l’equationsin2 3x− cos2 x = 1

3. On se donne un cercle de rayon r. Par le centre, on fait passer des rayons de gauchea droite, distants chacun d’un angle α, 0 < α < 90◦. Soit A0 le point de concours dupremier rayon avec la circonference. A partir de ce point, on trace le segment [A0A1]perpendiculaire au deuxieme rayon en A1. A partir de A1, on trace le segment [A1A2]perpendiculaire au troisieme rayon en A2, et ainsi de suite (voir Fig.7).

a) Appelons Ln la longueur |A0A1| + |A1A2| + . . . + |An−1An|. Que vaut cettelongueur ?

Examens de 2011 37

FIG. 7 Construction de la ligne A0 . . .A6

b) Montrer que la limite pour une infinite de segments est donnee par

L∞ = r1+ cosα

sinα.

c) Dans le cas ou α = 30◦, montrer que L∞ est la somme du diametre du cercle etdu cote du triangle equilateral inscrit a ce cercle.

4. On considere le pentagone irregulier ABCDE represente a la figure Fig.8. On placeen A un systeme d’axes orthonormes XY avec l’axe X selon l’horizontale AE et l’axevertical Y pointant vers le point B.

On donne les longueurs et les angles suivants

(i) l1 = 40 cm, l2 = 35 cm, l3 = 50 cm, l4 = 30 cm

(ii) α = 70◦, β = 84◦, γ = 62◦

On demande de calculer, avec quatre chiffres apres la virgule, les donnees suivantes

a) Les coordonnees X et Y des points A, B, C, D.

b) La longueur l5, distance le long de l’axe des X entre A et E.

c) Les angles δ et ε.

38 Examens de 2011

B

C

D

EAx

y

l =401

l =352

l =503

l =304

l =?5

a=70°

b=84°g=62°

d=?

e=?

FIG. 8 Pentagone irregulier ABCDE



1. On considere un triangle ABC et trois points A′, B′ et C′ tels que−→CA′ = −1

3−→CA,

−→AB′ = −1

3−→AB et

−→BC′ = −1

3−→BC. Demontrer que l’aire du triangle A′B′C′ vaut les sept

tiers de celle du triangle ABC.

2. On se place dans un repere orthonorme du plan et on donne les points A(−a,0) etB(a,0) (avec a > 0). On considere un cercle C variable passant par A et B. On demandede determiner le lieu des points de C en lesquels la tangente a C est parallele a l’axedes ordonnees (c’est-a-dire l’axe Y ).

3. On donne quatre points A,B,C et D.

a) Montrer que le vecteur

4−→MA+3

−→MB−5

−→MC−2

−−→MD

est independant du point M.

Examens de 2011 39

b) Notons v le vecteur dont il est question au point precedent. Montrer que si celui-ciest nul, alors le nombre reel

4‖−→MA‖2 +3‖−→MB‖2 −5‖−→MC‖2 −2‖−−→MD‖2

est independant du point M.

4. Dans un repere orthonorme de l’espace, on considere le point P de coordonnees(1,1,1) et la droite d d’equations cartesiennes

{2x+ y = 5y+2z = −3

a) Montrer que le plan Π d’equation cartesienne

3x+2y+ z−6 = 0

passe par P et contient la droite d.

b) Determiner l’equation generale des plans orthogonaux a Π qui passent parl’origine du repere.

c) Parmi les plans evoques au point precedent, determiner celui dont l’intersectionavec Π est parallele a la droite d.

d) Determiner la distance entre P et d.

5. Dans un tetraedre ABCD, on nomme hA, hB, hC et hD les hauteurs respectivementissues des sommets A, B, C et D.

a) Demontrer, en justifiant soigneusement toutes les etapes, que, si les droites hA ethB sont secantes, alors les aretes [AB] et [CD] du tetraedre sont orthogonales.

b) Demontrer la reciproque de cette propriete.

c) En deduire que, si les droites hA et hB sont secantes, alors les droites hC et hD lesont egalement.

40 Examens de 2011

Examens de 2012 41

EXAMENS DE 2012

JUILLET 2012

ALGEBRE

1. Resoudre dans C l’equation

4z5 −12z2 +9z

= 0.

On donnera la forme algebrique et la forme trigonometrique de chaque solution.

2. La suite f et la matrice Φ de Fibonacci sont definies par les egalites

f0 = 0 , f1 = 1 , fn = fn−1 + fn−2 pour n = 2,3, . . . ; Φ =

(1 11 0

).

Demontrer que, pour tout entier naturel n > 0, on a

Φn =

(fn+1 fn

fn fn−1

).

En deduire l’egalitef2n+1 = f 2

n+1 + f 2n .

3. Determiner la valeur de k sachant que le polynome

x4 −2√

2x3 + k x2 +(

2+5√

2)

x−2√

2

admet quatre racines reelles x1,x2,x3,x4 telles que x1 +x2 = x3 +x4 ; on calculera aussiles racines.

Remarque : On peut souvent simplifier√

a±b√

2 en cherchant x,y tels que

(x± y

√2)2

= a±b√

2.

42 Examens de 2012

ANALYSE

1. On considere la fonctionf (x) = 2

3√

x2 −2β (x+1)

ou β designe un parametre reel non nul en fonction duquel les proprietes de f serontdiscutees.

a) Determiner le domaine de definition de f .

b) Calculer les limites de f aux frontieres de son domaine de definition et determinerles eventuelles asymptotes.

c) Identifier et caracteriser les eventuels extrema locaux de f .

d) Etudier la concavite du graphe et situer les eventuels points d’inflexion.

e) Dresser un tableau recapitulatif des proprietes de f et esquisser son graphe.

f) Determiner toutes les valeurs de β pour lesquelles f ≤ 0 sur [0,+∞[.

2. A partir d’une fonction f0 continue sur l’intervalle ]0,1[, on definit la sequence defonctions f1, f2, . . . , elles-memes definies sur ]0,1[, par la relation de recurrence

fn(x) =1x

∫ x

0fn−1(t)dt ∀n ∈ N0

a) On considere d’abord f0(t) = t2.

i. Calculer f1 et f2.

ii. Donner l’expression generale de fn.

b) Calculer f1 dans le cas ou f0(t) = t exp(t) (ce qui peut aussi etre note sous laforme f0(t) = t et).

c) Montrer que, quelle que soit la fonction f0 choisie pour initier la sequence defonctions, on a

fn′(x) =

fn−1(x)− fn(x)x

∀n ∈ N0

d) Si la fonction f1 est strictement croissante sur ]0,1[, situer les graphes desfonctions f0 et f1 l’un par rapport a l’autre sur cet intervalle.

3. On considere les courbes

x2 − y2 = γ et xy = δ

ou γ et δ designent des constantes strictement positives.

Examens de 2012 43

a) Sur base de l’etude des pentes des tangentes a leur intersection, montrer que cescourbes se coupent a angle droit dans le premier quadrant dans le cas particulierou γ = 1 et δ =

√2.

b) Les courbes se coupent-elles a angle droit dans le premier quadrant quelles quesoient les valeurs strictement positives de γ et δ ? Justifier.


1. Montrer que1+ sinx1− sinx

= 2

(1+ tg x

2

1− tg x2

)2

.

2. Resoudre1

cosx+

1sinx

= 2√

6.


3. Deux bateaux initialement situes en A1 et B1 naviguent en direction du point C (voirFig.9). On mesure la distance A1B1 = 50 km et les angles α1 = 85◦ et β1 = 65◦.Au temps t2, les deux bateaux se trouvent en A2 et B2 ayant parcouru respectivementA1A2 = 30 km et B1B2 = 50 km. On mesure les angles α2 et β2 entre les trajectoires etle segment de droite entre les bateaux.

a) Demontrer que les angles satisfont α1 + β1 = α2 + β2.

b) Determiner l’angle C et les distances A1C et B1C.c) Calculer la distance A2B2 entre les bateaux en t2 et les angles α2 et β2.

Donner les resultats numeriques avec 4 chiffres apres la virgule.

A1

B1

C

A2

B2

a2

b1

b2

a1

FIG. 9 Deux bateaux

44 Examens de 2012



1. On considere un quadrilatere convexe ABCD inscrit dans un cercle de centre O. Onnote P, Q, R et S les points symetriques a O par rapport aux cotes respectifs de cequadrilatere. Demontrer que le quadrilatere PQRS est un parallelogramme.

2. Dans un repere orthonorme du plan, on considere les trois points A(1,1), B(0,0),C(2,0). Pour tout point P de la droite BC, on note Q la projection orthogonale deP sur la droite AB et R la projection orthogonale de P sur la droite AC.

a) En fonction de l’abscisse de P, evaluer le rapport de l’aire du triangle PQR a celledu triangle ABC.

b) Pour quelle(s) valeur(s) de cette abscisse ce rapport est-il egal a14

?

3. On considere un triangle ABC isocele en A (c’est-dire que l’on a |AB| = |AC|, ou |XY |designe la longueur d’un segment [XY ]). Soit P un point situe sur le cote [AB] de cetriangle. Demontrer que l’on a

|PC|2−|PB|2 =|AP||AB| |BC|2.

4. Dans l’espace muni d’un repere orthonorme, on considere les points A, B et Crespectivement de coordonnees

(0,2,4), (2,0,−2), (1,−1,3).

a) Determiner l’equation du plan mediateur π du segment [AB].

b) Determiner les coordonnees de la projection orthogonale P du point C sur ladroite AB.

c) Determiner le cosinus de l’angle BAC.

d) Determiner l’aire du triangle ABC.

5. On considere un tetraedre ABCD et un plan parallele a sa base ABC, qui coupe lesaretes [AD], [BD] et [CD] en des points notes respectivement A′, B′ et C′. Dans letriangle ABC, les milieux des cotes [BC], [AC] et [AB] sont respectivement notes P, Qet R.Demontrer que les droites A′P, B′Q et C′R sont concourantes.

Examens de 2012 45

SEPTEMBRE 2012

ALGEBRE

1. Resoudre dans C l’equation

x2n +2xn cosα+1 = 0

si n est un parametre entier strictement positif et α un parametre reel.

2. Soit a un reel non nul et P(x) un polynome sur R tel que le reste de la division de P(x)par 2x+1 est a et le reste de la division de P(x) par ax+1 est 2.Peut-on determiner le reste de la division de P(x) par (2x + 1)(ax + 1) ? Si oui, quelest-il ?

3. Resoudre dans R l’inequation√

3x2 +5x+7−√

3x2 +5x+2 > 1.

ANALYSE

1. On considere la famille de fonctions

f (x) = αx

x+βarctgx+ γ

ou α, β et γ designent trois parametres reels.Le graphique donne en fin de question a ete obtenu par logiciel en choisissant desvaleurs particulieres non nulles pour les parametres.

a) Retrouver les valeurs particulieres de α, β et γ utilisees pour tracer ce graphiquesachant que le graphe de f presente• une asymptote horizontale y = π en +∞ ;• une asymptote horizontale y = 0 en −∞ ;• des extrema locaux en x = 0 et en x = 1.

b) Pour les valeurs des parametres identifiees au point precedent, determinerl’equation de l’asymptote verticale visible sur le graphique.

46 Examens de 2012

c) De facon generale, determiner pour quelles valeurs des parametres le graphepresente un maximum local en x = 0.

1 x

f (x)

AH : y = π

AH : y = 0

2. a) Determiner toutes les primitives des deux fonctions ci-dessous et en preciser lesdomaines de definition :

• x2

1− x• xex

b) Calculer les deux integrales suivantes :

•∫ 3

2

x1− x2 dx

•∫ π/4

0

sinx cosx1− sinx

dx

3. On determine experimentalement la deformation d d’un absorbeur de chocs enfonction de la vitesse v de l’impact. Les mesures etant realisees a differentes vitessesnon nulles, on dispose d’un ensemble de n points experimentaux (vi,di) (i = 1, . . . ,n).

Suspectant une dependance quadratique de la deformation par rapport a la vitesse, onsouhaite ajuster le parametre α pour representer aussi bien que possible les donneesexperimentales par une loi theorique de la forme

d = αv2.

Examens de 2012 47

Pour ce faire, on determine la valeur de α permettant de minimiser l’erreur quadratique

e(α) =n

∑i=1

[di −αv2

i

]2

calculee en sommant les carres des ecarts entre les donnees experimentales et lesvaleurs predites par le modele theorique.

v

d

(vi,di)d = αv2

××

×

×× ×

×

×

×

a) Dans le cas ou on dispose seulement de deux mesures (n = 2), determiner,en fonction des donnees experimentales (v1, d1, v2 et d2), la valeur de αcorrespondant au minimum de l’erreur quadratique

e(α) =[d1 −αv2

1

]2+

[d2 −αv2

2

]2.

b) Determiner la valeur optimale de α dans le cas general ou on dispose d’un nombren > 0 quelconque de points experimentaux.


1. Soient A, B et C, les angles d’un triangle. Montrer que le triangle ABC est rectanglesi et seulement si

sin2 A + sin2 B + sin2C = 2.

2. Resoudre √3cos2x + sin2x = 2.


48 Examens de 2012

3. Soit le triangle ABC. On designe par α, β et γ la mesure des angles respectivementaux sommets A, B et C et par a, b et c, la mesure des longueurs des cotes opposes. Onappelle m la mesure de la mediane AM, θ la mesure de l’angle AMB et S la mesure dela surface du triangle ABC.

a) Dessiner une esquisse de la situation.

b) Demontrer les relations

4 m2 −a2 = 4 b c cosα et S =a m2

sinθ

c) Si on donne les valeurs numeriques suivantes

c = 3,45m α = 48◦ et β = 73◦

que valent a, b, m, θ et S ?

Donner les resultats numeriques avec 4 chiffres apres la virgule.



1. On considere un quadrilatere convexe ABCD inscrit dans un cercle, dont les diagonalesAC et BD sont perpendiculaires. On note O le point d’intersection de ces diagonales etP, Q, R et S les projections orthogonales respectives du point O sur les droites AB, BC,CD et DA.

a) Demontrer que la droite OQ est bissectrice de l’angle PQR.

b) Demontrer que le quadrilatere PQRS est inscriptible dans un cercle.

2. Soient ABC un triangle rectangle en A et d une droite passant par A. On note G laprojection orthogonale de B sur d et E la projection orthogonale de C sur d. On noteegalement d1 la droite parallele a AC menee par G et d2 la droite parallele a AB meneepar E.

a) Demontrer que les droites d1,d2 et BC sont concourantes.

b) Determiner le lieu geometrique du point d’intersection de d1 et d2 lorsque d varie.

Examens de 2012 49

3. On considere deux triangles equilateraux ABC et ABD partageant le meme cote [AB](les points C et D etant situes de part et d’autre de la droite AB) et un point quelconqueP du plan.Demontrer la relation

|PC|2 + |PD|2 = |PA|2 + |PB|2 + |AB|2,

ou |XY | designe la longueur du segment [XY ].

4. On considere une droite d de l’espace et un point P n’appartenant pas a d. Pour toutplan π contenant d, on designe par Q la projection orthogonale du point P sur le planπ. Determiner le lieu geometrique decrit par le point Q lorsque π varie.

5. Soit un tetraedre ABCD dont les aretes AD, BD et CD sont perpendiculaires deux adeux. Demontrer que la projection orthogonale du sommet D sur le plan ABC coıncideavec l’orthocentre du triangle ABC.





FACULTE DES SCIENCES APPLIQUEES

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