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CHAPITRE 2 : Les régimes permanents
Plan
1. Milieu conductif sans source interne 2. Milieu conductif sans source externe 3. Bilan thermique de type " ailette "
Il s’agit de résoudre le système d’équations linéaires(*) :
représente la surface de la frontière extérieure i, l’indice i est au maximum égal à 6.
(*) Pour un milieu conductif répondant à l’hypothèse de " barre thermique ", on
obtient l’équation . Les techniques de résolution sont transposables directement à cette équation.
Ce système d’équations est décomposable, par superposition rendue possible par la linéarité des équations, en deux systèmes notés 1 et 2 :
système 1 système 2
Le champ de température est alors égal à Le système 1 correspond à un milieu conductif sans source interne soumis à au moins une source externe, le système 2 correspond à un milieu conductif sans source externe soumis à des sources internes.
1. Milieu conductif sans source interne (système 1)
1.1. Résistance thermique
1.1.1. Définition
On considère deux surfaces isothermes S1 et
S2de températures et . Ces deux surfaces sont correspondantes c’est à dire que toute ligne de flux quittant la surface S1 atteint la surface S2 .Pour un milieu conductif en régime permanent sans source interne, le bilan thermique
s’écrit .
Appliquons, sur le volume fermé délimité par les deux surfaces isothermes S1 et S2 et la surface latérale constituée de toutes les lignes de flux s’appuyant sur le contour fermé délimitant les deux surfaces isothermes, le théorème d’Ostrogradsky,
Entre surfaces isothermes correspondantes le flux de chaleur est conservé.
Pour une surface isotherme quelconque S du tube de
courant
Le calcul de la circulation de suivant une ligne de flux quelconque joignant
les surfaces isothermes S1 et S2 conduit à :
La multiplication de par un coefficient quelconque entraine la multiplication par le même coefficient de . On obtient donc la relation :
R est appelée résistance thermique, c’est l’analogue thermique de la résistance électrique. Elle est inversement proportionnelle à la conductivité du milieu et augmente avec la longueur des lignes de flux.
112 Résistances thermiques en série, en parallèle
Tubes de flux de chaleur en série Tubes de flux de chaleur en parallèle
Les surfaces isothermes S1 S2 d’une part, S2S3 d’autre part se correspondent, leurs
températures respectives sont . Entre S1 et S2 , le milieu conductif est noté A, entre S2 et S3 le milieu conductif est noté B.
Par suite Les deux milieux sont en série, la
résistance thermique équivalente est la somme des résistances de chacun des milieux. Si le contact entre les deux milieux n’est pas parfait en S2 , il conviendrait d’ajouter dans la résistance équivalente la résistance de contact.
Les surfaces isothermes S1 S2 d’une part, S’1 S’2d’autre part se correspondent, leurs
températures respectives sont pour S1 et
S’1 , pour S2 et S’2 . Entre S1 et S2 , le milieu conductif est noté A, entre S’1 et S’2 le milieu conductif est noté B.
Les deux milieux sont en parallèle, l’inverse
de la résistance équivalente est égale à la somme des inverses des résistances de chacun des milieux.
1.1.3. Résistance thermique relative à un coefficient d’échange h
Remarque : on retrouve les relations classiques de l’électrocinétique des courants continus sur l’association de résistances.
1.2. Les problèmes monodimensionnels
1.2.1. Le mur
En Thermique, on appelle " mur " un milieu dont les évolutions de température dépendent de la seule variable cartésienne x (les gradients dans tout plan perpendiculaire à l’axe Ox sont nuls).
Examinons le cas d’un mur en régime permanent sans sources internes
et .
représente la résistance thermique pour une section transversale S et le flux de chaleur.
Retour sur la notion de " résistance thermique de contact "
Examinons, en régime permanent, le cas de deux murs " accolés " (de même section avec une face commune) sans sources internes
Un bilan thermique entre deux sections quelconques prises dans chacun des deux murs conduit à :
puisque les sections transversales ont même surface. Par suite,
;
Le problème posé est celui de l’écart .
L’extrapolation jusqu’au contact du champ de température dans le milieu 1 conduit à la valeur qui est différente de température d’extrapolation jusqu’au contact dans le milieu 2 si la couche de transition est notable c’est à dire s’il existe un phénomène de constriction entrainant un allongement des lignes de flux. Ceci explique l’introduction d’une résistance thermique supplémentaire appelée résistance thermique de contact puisque la résistance thermique augmente avec la longueur des lignes de flux.
les milieux composites
Exemple 1 : brique creuse
La dimension transversale de la brique est égale à H. Dans la cavité d’air, coexistent, en parallèle, des échanges par rayonnement et par conduction si on considère que les dimensions sont suffisamment faibles pour empêcher les mouvements convectifs. La résistance pour la cavité d’air est égale à :
La résistance pour la partie centrale sera :
La résistance pour les " parties pleines " est égale à :
Ces deux résistances sont en parallèle si bien que la résistance globale de la brique sera :
en introduisant une conductivité
équivalente pour le matériau composite considéré alors comme un matériau conductif homogéne.
Application numérique :
Exemple 2 : milieu poreux
Les transferts série ou parallèle sont mal définis. On appelle la porosité c’est à dire la proportion en volume des cavités. Pour le schéma série,
Pour le schéma parallèle,
Généralement, on considère qu’il y a autant de schémas séries
et parallèles
1.2.2. Symétrie de révolution autour d’un axe
; où r est la distance à l’axe et L une longueur axiale arbitraire.
et .
représente la résistance thermique ( ).
1.2.3 Symétrie sphèrique
; où r est la distance au centre de symétrie.
et
représente la résistance thermique ( ).
1.2.4. Milieu semi-infini
La surface du milieu semi-infini est supposée isotherme, sa température est prise comme température de référence. Sur la figure le milieu semi-infini s’étend vers le bas, à une profondeur l existe une canalisation de grande longueur L, de rayon r0 et de températureT0 . Pour trouver le champ de température en un point M, on associe, vers le haut, un milieu semi-infini identique dans lequel on place une canalisation identique à température -T0 . L’application des solutions du paragraphe 1.2.3. donne :
.
Les surfaces isothermes sont données par r’/r = Cste cylindres de longueur L (cercles dans le plan de la figure). D’autre part r = r’ plan médiateur tel que T = 0 . L’application de cet exercice est le cas d’une canalisation enterrée. L’hypothèse d’un sol isotherme est discutable, aussi il convient que la chute de température à partir de la canalisation soit suffisante ce qui implique l >> r0 .
Sur la canalisation, on aura r = r0 , et .
Pour apprécier la validité du calcul, nous envisageons un rapport et calculons l’isotherme .
La résistance thermique est égale à
Le lecteur pourra envisager, sans difficulté, le calcul d’un réservoir
sphérique enterré. Il trouvera, par un calcul identique, On trouve, dans la littérature, les résistances thermiques de canalisations et
de cuves enterrés de formes diverses. Les méthodes de calcul sont approchées.
La méthode de calcul que nous avons employée est connue, en électrostatique, sous le nom de " méthode des images ".
1.2.5. Les barres ou " ailettes "
Quand le transfert thermique entre une surface et un fluide est faible, on place sur celle-la des ailettes conductrices pour augmenter les échanges. Ces ailettes qui pénètrent dans le fluide dans une direction Ox sur une profondeur L peuvent être à section uniforme ou non. L’approximation dite de la " barre " consiste à dire que le gradient de température est essentiellement dans une direction Ox c’est à dire que dans une section x = Cste le champ de température est, en première approximation, uniforme. Toutefois, et contrairement à l’hypothèse de " mur thermique ", on ne néglige pas les échanges de chaleur dans les directions transversales, on en tient compte par l’intermédiaire d’un coefficient h traduisant les échanges par convection et rayonnement.
Validité de l’hypothèse de barre
On considére un mur en contact avec un fluide.
Si le nombre de Biot est faible, on peut considérer que le gradient de température est nul en première approximation dans la direction considérée.
Mise en équation
Le bilan thermique entre la section x et la sectionx + dx conduit à :
sont respectivement la section et le périmètre en x. La température extérieure sera prise comme
température de référence soit .
Ailettes à section uniforme (rectangulaire ou circulaire)
Pour la section rectangulaire,
Pour la section circulaire,
Le système d’équations à résoudre s’écrit :
La solution est si :
Le flux de chaleur évacué par l’ailette peut être calculé de deux manières : - en calculant le flux de chaleur du aux coefficients d’échanges suivant les éléments de surface en contact avec l’extérieur, - en calculant (plus agréable) le flux de chaleur entrant par conduction dans l’ailette.
Pour une ailette très longue (semi-infinie), on obtient :
(le lecteur reprendra la résolution avec ou fera tendre L vers l’infini dans les résultats de l’ailette finie ;
dans ce dernier cas, il obtiendra la condition ).
La surface sans ailette, supposée à température et échangeant avec l’extérieur
par un coefficient h, évacue un flux de chaleur .
On appelle efficacité d’une ailette le rapport du flux de chaleur évacué par l’ailette au flux de chaleur évacué par la surface sans ailette.
Pour l’ailette semi-infinie Une ailette sera performante si sa conductivité est élevée et son épaisseur (ou son rayon) faible.
Pour une ailette de longueur finie, remarquerons que la température se rapproche de celle extérieure lorsqu’on s’approche de l’extrémité x = L . De plus la surface d’échange à l’extrémité (eH) est plus faible que celle latérale (2LH) si bien qu’il est tout à fait raisonable de négliger les échanges à l’extrémité (mathématiquement
faire ).
On obtient L’ailette de longueur finie se comporte comme celle infinie
si .
Ailettes à section rectangulaire non uniforme (profils triangulaire ou parabolique)
La profondeur des ailettes est égale à .
Pour l’ailette à profil triangulaire,
et .
Pour l’ailette à profil parabolique,
et . Les conditions aux limites sont identiques pour les deux
ailettes, à savoir .
- Le champ de température et le flux de chaleur évacué de l’ailette à profil triangulaire sont respectivement égaux à
où sont les fonctions de Bessel modifiées de 1ère espèce d’ordre zéro et un.
- Le champ de température et le flux de chaleur évacué par l’ailette à profil parabolique sont respectivement égaux à
Ailette de révolution d’épaisseur uniforme
Pour cette ailette . Le bilan thermique conduit à :
Les conditions aux limites s’écrivent :
La résolution donne
pour le champ de température.
Le flux de chaleur évacué par cette ailette sera :
où sont les fonctions de Bessel modifiées de 2ème espèce d’ordre zéro et un.
Ailette en forme d’épine conique
Le bilan thermique conduit à :
Les conditions aux limites s’écrivent :
La solution est .
Le flux de chaleur évacué par cette ailette s’écrit :
Remarque
Lorsque, pour un système donné, on doit concevoir un système d’ailettes, il conviendra, outre la détermination du champ de température et du flux de chaleur
évacué par une ailette, d’étudier les aspects coût, quantité de matière ou poids, encombrement, perte de charge, rendement thermique ou nombre d’ailettes que l’on peut fixer sur la paroi mère, etc.
1.3. Les problèmes pluridimensionnels
Nous avons à résoudre le système 1 d’équations où le champ de température dépend de plusieurs variables d’espace.
La linéarité des équations permet de chercher une solution sous la forme,
avec ; on rappelle que i est, au maximum, égal à 6
La résolution sera faite par la technique de séparation de variables avec développement en série de fonctions orthogonales. Nous présentons cette méthode à partir d’un exemple.
1.3.1. Exemple
Dans un premier temps, la methode consiste à chercher une solution à variables séparées, c’est à dire sous la
forme .
Le report dans l’équation aux dérivées partielles conduit à en tenant compte du fait que le premier terme ne dépend que de x et que le second ne dépend que de y. Les trois dernières équations aux limites pour lesquelles le second membre est nul
s’écrivent puisqu’elles doivent être vérifiées quelque soit y ou quelque soit x. Par intégration on obtient : * qui, après application des conditions aux limites, devient
(les valeurs possibles conduisent à la même solution et ne sont donc pas à considérer) * en tenant compte de la condition aux limites .
La condition aux limites (sauf cas particulier) n’est pas assurée pour une valeur particulière de .
Dans un deuxième temps, on remarque que, le système d’équations étant linéaire, on peut chercher une solution sous la forme d’une combinaison linéaire.
où tous les sont possibles. Cette combinaison est connue sous le nom de développement en série de Fourier. La dernière condition aux limites à vérifier s’écrit alors :
Le dernier temps consiste à déterminer les coefficients par la méthode des fonctions orthogonales. Pour cela, nous multiplions chacun des membres par et intégrons sur l’intervalle de variation de y. La variable d’intégration étant " muette ", nous l’appelerons y’ plutôt que y qui est attribuée, dans l’exemple, à une variable cartésienne d’espace.
Le lecteur vérifiera sans peine que, dans notre exemple,
, que
et qu’en conséquence
Le champ de température s’écrit alors :
1.3.2. Quelques remarques et conséquences générales
Une équation aux dérivées partielles sans second membre est dite homogène.
Une condition aux limites de type est dite homogène.
Une condition aux limites de type est dite non-homogène.
Une direction où existe une condition aux limites non-homogène est dite non-homogène.
Une direction où il n’existe que des conditions aux limites homogènes est dite homogène.
La méthode exposée est applicable si l’équation aux dérivées partielles est homogène, s’il existe une seule condition aux limites non-homogène (c’est à dire une direction non-homogène, les autres directions étant homogènes).
Le choix du signe devant est tel que l’on doit être conduit à une infinité de valeurs positives, appelées valeurs propres qui vont permettre un développement en série de Fourier. L’équation qui permet de trouver les valeurs est appelée équation transcendante.
Les fonctions orthogonales sont appelées les fonctions propres du système. L’orthogonalisation des fonctions est traitée dans le paragraphe suivant.
Les problèmes où seule la condition non-homogène est changée font apparaitre les mêmes fonctions propres (la même fonction K).
L’équation aux dérivées partielles doit être linéaire pour permettre la séparation des variables.
La méthode se généralise à trois variables d’espace et à la variable temps. Il apparait alors plusieurs équations transcendantes, la solution se présentant
avec plusieurs sommations discrètes. Les problèmes avec la variable temps feront l’objet d’un chapitre spécifique.
1.3.3. Orthogonalisation (problème de Sturm-Liouville)
Soit l’équation différentielle avec les conditions
aux limites et L’équation transcendante détermine une infinité de valeurs et la solution u est traitée comme une fonction de x et de .
est solution de
est solution de où nous considérons deux valeurs quelconques possibles de qui sont identiques si et différentes si .
En multipliant respectivement par et ces deux dernières équations, en retranchant les deux équations obtenues et en intégrant sur l’intervalle
En intégrant par partie, on obtient
Le membre de droite s’annule pour les cas particuliers :
ou pour des conditions aux
limites homogènes : et
Par suite,
On dit que les fonctions propres u sont orthogonales sur l’intervalle suivant la fonction de pondération .
Détermination des fonctions
Il s’agit d’identifier l’équation différentielle à résoudre avec l’équation
générale .
Ainsi, dans l’exemple étudié,
Remarquons que a été obtenu à partir de .
Si, par la méthode du bilan thermique, on cherche à établir l’équation , il convient de définir un élément de volume où S peut être pris arbitrairement égal à 1.
L’identification conduit pareillement à .
Dans les problèmes à symétrie de révolution, on traite l’équation différentielle
Pour établir l’équation différentielle , il convient de définir un élément de volume où peuvent être pris égaux à 1 (souvent, on fait ). L’identification conduit à .
1.3.4 Cas d’une direction homogène avec des conditions aux limites de 2ème espèce
L’exemple du paragraphe 1.3.1. est repris et modifié en ce qui concerne les conditions aux limites suivant la direction y.
; ;
conduit à
Par intégration, on obtient : * qui, après application des conditions aux limites [
] devient avec et
* en tenant compte de
La différence avec l’exemple du paragraphe 1.3.1. est la possibilité k = 0 qui entraine . Pour , les équations différentielles, après séparation des variables, s’écrivent et . Compte tenu des conditions aux limites, on obtient .
Le développement en série de Fourier devient :
Il doit vérifier ce qui
implique et
La solution s’écrit :
1.3.5. Des exemples pour se perfectionner
1.3.5.1. Champ de température avec une condition de 3ème espèce
; ; ;
La méthode est identique à celle suivie lors de l’exemple du paragraphe 1.3.1. On obtient et, après application de la condition aux limites
en , .
La condition en y = e conduit à l’équation transcendante . est inchangé.
Par suite, , les coefficients
sont calculés pour vérifier ce qui
entraine .
La suite est une question de calcul.
En fait dans le cas présent, il était intéressant d’utiliser et
d’écrire .
Remarque : une série de ce type est appelée série de Fourier si les coefficients sont équidistants les uns des autres; la série ci-dessus n’est pas une série de Fourier, elle se traite cependant de manière analogue
1.3.5.2. Champ de température
Les directions y et z sont homogènes.
L’écriture des conditions aux limites conduit à :
* ; ;
*
*
La méthode est généralisable à n variables sans difficulté particulière.
1.3.5.3. Champ de température à symétrie de révolution
La direction z est homogène
; ;
Remarque : nous avons écrit que la température reste finie sur l’axe de révolution, on montre que la condition flux de chaleur nul est équivalente. La séparation de variables conduit aux équations
différentielles et
Après intégration et application des conditions aux
limites où
La fonction est la fonction de Bessel modifiée de première espèce d’ordre 0, la fonction de Bessel modifiée de deuxième espèce d’ordre 0 n’apparait pas dans la solution car elle devient infinie pour r= 0 (on se rapportera à l’annexe 1 sur les fonctions de Bessel).
La direction r est homogène
; ;
La séparation de variables conduit aux équations
différentielles et
Après intégration et application des conditions aux
limites où est l’équation transcendante. La fonction est la fonction de Bessel de première espèce d’ordre 0, la fonction de Bessel de deuxième espèce d’ordre 0 n’apparait pas dans la solution car elle devient infinie pour r = 0 (on se rapportera à l’annexe 1 sur les fonctions de Bessel).
1.3.5.4. Champ de température à coordonnées cylindriques
Pour cette équation aux dérivées partielles, les valeurs caractéristiques sont toujours fournies par la " direction ".
La séparation de variables conduit à :
L’étude des conditions aux limites de est singulière.
1)
2)
L’écriture d’une condition de type n’est pas possible à cause du terme r qui ne s’élimine pas. Les seules conditions possibles sont celles de première ou de deuxième
espèce et/ou .
Le cas est possible si les deux conditions aux limites sont de deuxième espèce. On est, encore, conduit à . Le cas particulier du cylindre plein (r = 0) conduit à B = 0 c’est à dire
à
Pour illustrer ces propos, on considère deux exemples
Exemple 1 :
exemple 2 :
;
1.3.5.6. Champ de température à coordonnées cylindriques
La séparation de variables conduit à
On retrouve la discussion du paragraphe précédent sur la direction , la
direction z doit être homogène [ ] pour fournir la suite de valeurs .
où sont les fonctions de Bessel modifiées d’ordre de première espèce et de deuxième espèce.
Remarques :
*
* doit être considéré pour
Il n’est pas donné d’exemple.
1.3.5.7. Champ de température à coordonnées sphériques
Pour cette équation aux dérivées partielles, les valeurs caractéristiques sont toujours fournies par la " direction ". La séparation de variables conduit à :
Le traitement mathématique présente quelques particularités.
On pose et on fait le changement de variables pour obtenir :
où sont les polynomes de Legendre d’ordre n de première espèce et de seconde espèce (le lecteur se reportera à l’annexe sur les polynomes de Legendre).
Les valeurs à considérer pour n sont [ est possible puisque , cependant l’écriture générale de g reste valide pour ] .
si bien que, dans tout problème où sont inclus, le coefficient B est nul et le polynome n’apparait pas dans les solutions. En fait, nous limitons nos propos à et utilisons les
propriétés et . Avec quelques complications, il est possible d’envisager d’autres intervalles de variation pour
Pour les conditions précisées,
Exemple :
1.3.5.8 Champ de température à coordonnées sphériques
La résolution de ce type de problème qui fait apparaitre les Polynômes associés de Legendre n’est pas envisagée dans cet ouvrage.
1.3.6. Remarques
En Conduction de la Chaleur, les fonctions propres nécessaires sont : - les fonctions trigonométriques cosinus ou sinus (ou combinaison linéaire), les variables sont soient les variables cartésiennes soit la distance à un point dans le cas de la symétrie sphérique, la fonction w est égal à 1, - les fonctions de Bessel dans le cas de la symétrie de révolution et la fonction w est égal à r distance à l’axe, - les polynomes de Legendre dans le cas des coordonnées sphériques et la fonction w est égal à 1, la variable étant .
1.3.7. Equation type " ailette " à deux dimensions
Nous reprenons l’exemple de l’ailette à section rectangulaire. Nous admettons que cette ailette répond à l’hypothèse de " barre " dans son épaisseur e et que cette hypothèse n’est pas valide dans la hauteur Hque nous prenons comme direction y . La méthode du bilan thermique conduit à l’équation aux dérivées partielles,
Compte tenu d’un choix de l’axe y " central ", les conditions aux limites s’écrivent :
* en se limitant à une ailette semi-infinie,
* en supposant H suffisamment grand.
La solution recherchée sous la forme conduit
à .
Après intégration et en tenant compte des conditions aux limites, on obtient :
;
soit
A partir de , on calcule le coefficient .
Le champ de température s’écrit :
Le cas particulier courant conduit à :
Note sur la fonction de Dirac
Applications de la fonction de Dirac aux sources instantanées ou localisées
Source de chaleur instantanée
La source de chaleur produit par unité de volume une quantité de chaleur Q au
temps .
dim[ = Energie/Volume]
Source de chaleur ponctuelle
La source est localisée en un point de coordonnées
dim[ ] = Puissance
Source de chaleur surfacique (localisée sur le plan )
dim[ ] = Puissance/Surface]
Source de chaleur surfacique de révolution (localisée sur le cylindre de
rayon )
dim[ ] = Puissance/Longueur
Source de chaleur surfacique à symétrie sphérique (localisée en )
dim[ ] = Puissance
2. Milieu conductif sans source externe (système 2)
Nous avons à résoudre le système 2 d’équations :
Contrairement au cas des milieux conductifs sans source interne, la notion de résistance thermique n’est plus valide puisque le flux de chaleur n’est pas conservatif. Chaque problème est particulier du point de vue thermique. Au niveau des résolutions mathématiques la technique de séparation de variables avec développement en série de fonctions orthogonales est performante. Cependant nous allons voir qu’il est possible d’appliquer deux méthodologies, - transformation du système 2 en système 1 - ou utilisation des fonctions de Green.
2.1. Transformation du système 2 en système 1
Nous cherchons une solution pour le système 2 sous la forme où est une solution particulière du système 2
est solution d’un système de type 1.
2.2. Méthode générale des fonctions de Green
Soit le système auxiliaire 2a associé au système 2 :
est la fonction de Green du problème [on montre que ] .
est la fonction de Dirac.
La linéarité des équations permet d’écrire :
Par suite
2.3. Exemple
;
2.3.1. Résolution par la méthode des fonctions de Green
On pose le système auxiliaire 2a
;
Dans un premier temps, la methode consiste à chercher une solution à variables séparées, c’est à dire sous la forme .
Le report dans l’équation aux dérivées partielles conduit
à .
Cette fois, les directions x et y sont homogènes et doivent être traitées de manière
équivalente si bien que .
Après intégration et en tenant compte des conditions aux limites, on obtient
Le deuxième temps consiste à chercher la fonction de Dirac suivant un développement en série de Fourier des fonctions orthogonales,
soit
et
Le report dans l’équation différentielle et la fonction de Green
Le troisième temps consiste à calculer
Dans le cas particulier , le lecteur vérifiera sans peine que
2.3.2. Résolution par transformation du système 2 en système 1
Cette méthode nécessite la connaissance d’une solution particulière. Elle n’est donc pas envisageable si la fonction n’est pas exprimée explicitement. Sa portée est moins générale que la méthode avec les fonctions de Green, cependant nous l’employons chaque fois qu’elle est possible. Prenons le cas particulier .
Une solution particulière est qui conduit au système 1 :
;
;
Suivant la direction y, les deux conditions aux limites sont non-homogènes.
Cependant la symétrie du problème permet d' écrire et seule une condition aux limites n’est pas homogène.
La recherche de la solution sous la forme conduit
à et à .
Après intégration, en tenant compte des conditions aux limites et en développant en série, on obtient
L’orthogonalisation à partir de conduit à
Remarque : cette solution est identique à celle trouvée par la méthode des fonctions de Green.
2.4. Quelques exemples pour se perfectionner
2.4.1. Les problèmes monodimensionnels
En fait, il s’agit de trouver la solution d’un équation différentielle. On comprendra, à travers l’exemple ci-après, en quoi l’utilisation d’une fonction de Green est " excessive " sur un cas aussi élémentaire.
Soit, dont la solution est immédiate.
Par la méthode de la fonction de Green associée, on écrit :
Après intégration, en tenant compte des conditions aux limites et en développant en série,
soit
et
Remarque : on démontre que
2.4.2. Cas où l’une des dimensions est infinie
Le problème auxiliaire s’écrit :
La direction x est homogène et
Nous avons vu que .
En reportant dans l’équation aux dérivées partielles pour G , on obtient :
Nous avons un problème de puissance localisée en y’ = y qui nous transformons en un problème de flux imposé au même endroit. Par commodité, on fait le changement de variable u = y - y’ et, par raison de symétrie, on considère l’espace u > 0 .
On obtient le système d’équations
En intégrant et en remplaçant
et
Dans le cas particulier , le lecteur vérifiera
que
Ce dernier résultat obtenu pour une puissance uniforme est significatif de l’importance de l’analyse pour simplifier au mieux un problème.
3. Bilan thermique de type " ailette "
Il s’agit de résoudre le système d’équations linéaires :
représente la surface de la frontière extérieure i, l’indice i est au maximum égal à 4.
Ce système d’équations est décomposable, par superposition rendue possible par la linéarité des équations, en deux systèmes notés 1’ et 2’ :
système 1’ système 2’
Le champ de température est alors égal à
Dans l’exemple du paragraphe 1.3.4. nous avons pu constater que le système 1’ se traite suivant la même méthodologie que le système 1. En ce qui concerne le système 2’, la première méthodologie consiste à le transformer en un système 1’ à l’aide d’une solution particulière ; la deuxième méthode plus générale consiste à appliquer la méthode des fonctions de Green .
Nous introduisons le problème auxiliaire 3’a
La linéarité des équations permet d’écrire
Par suite,
