Exercices Corriges Suites Reelles

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  • Suites

    Exercice 1 :

    Dans cet exercice toutes les rcurrences devront tre faites sans considrer quelles sont videntes ;

    Soit ()0 la suite de nombres rels dfinie par 0 ]0,1] et par la relation de rcurrence

    +1 =2+()

    2

    4

    1. Montrer que : , > 0.

    2. Montrer que : , 1.

    3. Montrer que la suite est monotone. En dduire que la suite est convergente.

    4. Dterminer la limite de la suite ()0.

    Allez : Correction exercice 1 :

    Exercice 2 :

    Dans cet exercice toutes les rcurrences devront tre faites sans considrer quelles sont videntes ;

    Soit ()0 la suite de nombres rels dfinie par 0 ]1,2] et par la relation de rcurrence

    +1 =()

    2

    4+3

    4

    1. Montrer que : , > 1.

    2. Montrer que : , 2.

    3. Montrer que la suite est monotone. En dduire que la suite est convergente.

    4. Dterminer la limite de la suite ()0.

    Allez : Correction exercice 2 :

    Exercice 3 :

    Soient 0, et trois rels. On considre la suite ()0 de nombres rels dfinie par 0 et la relation

    de rcurrence :

    +1 = +

    1. Comment appelle-t-on la suite ()0 lorsque = 1 ? Lorsque que = 0 et 1 ?

    2. Exprimer dans les deux cas particulier de la question 1.

    3. Dans le cas gnral, calculer 1, 2 et 3 en fonction de 0, et .

    4. Dmontrer par rcurrence que le terme gnral de la suite est donn par :

    = 0 +

    =1

    ,

    5. On suppose que 1. Dmontrer que

    =1

    = 1

    1

    6. Dduire de ce qui prcde que pour tout .

    =(1 0)

    1

    7. On suppose dans cette question que > 1 et que 0 + > 0. Montrer que la limite de la suite

    () a pour limite +.

    8. On suppose dans cette question que 0 < < 1, montrer que ()0 converge et que sa limite ne

    dpend pas de 0.

    Allez : Correction exercice 3 :

    Exercice 4 :

    Soit () une suite dfinie par la relation de rcurrence

  • +1 =1

    2 + 1

    Et la donne de 0

    1.

    1.1. Montrer que si 0 2 alors pour tout 0, 2 et que la suite est monotone.

    1.2. En dduire que la suite est convergente et dterminer sa limite.

    2.

    2.1. Montrer que si 0 2 alors pour tout 0, 2 et que la suite est monotone.

    2.2. En dduire que la suite est convergente et dterminer sa limite.

    3.

    3.1. On pose = 2. Montrer que la suite () est une suite gomtrique de raison 1

    2.

    3.2. En dduire une expression de en fonction de et 0. Retrouver le rsultat des deux

    premires questions.

    3.3. En dduire

    lim+

    =0

    Allez : Correction exercice 4 :

    Exercice 5 :

    1. Dterminer la limite de la suite () dont le terme gnral est dfini par

    =2 + 42 + 1

    + 2 + 1

    2. En dduire la limite de la suite de terme gnral dfini par

    =2 42 + 1

    2 + 1

    Allez : Correction exercice 5 :

    Exercice 6 :

    1. On pose que =()

    ; pour tout , montrer que

    lim+

    = 0

    2. On pose que =(())

    2

    ; pour tout , montrer que la suite () converge et

    dterminer sa limite.

    Allez : Correction exercice 6 :

    Exercice 7 :

    On considre la suite () dfinie par 0 = 0 et par la relation de rcurrence

    +1 =1

    62 +

    3

    2

    1. Montrer que pour tout , > 0.

    2. Calculer la limite ventuelle de la suite ().

    3. Montrer que pour tout , < 3.

    4. Montrer que la suite est croissante, que peut-on en conclure ?

    Allez : Correction exercice 7 :

    Exercice 8 :

    On considre la suite de nombre rel dfinie par son premier terme 0 = 0 et par la relation de

    rcurrence :

  • +1 = 22 +

    1

    8

    Montrer que la suite () est convergente et dterminer sa limite.

    Allez : Correction exercice 8 :

    Exercice 9 :

    Montrer que la suite () de terme gnral dfinie par :

    =2 + 1

    32 + 1+2 + 1

    32 + 2+ +

    2 + 1

    32 +

    Est convergente et dterminer sa limite.

    Allez : Correction exercice 9 :

    Exercice 10 :

    Montrer que la suite () de terme gnral dfinie par :

    =1 3 (2 + 1)

    3 6 (3 + 3)

    Est convergente et dterminer sa limite.

    Allez : Correction exercice 10 :

    Exercice 11 :

    1. Montrer que pour tout 1

    ( + 1)=1

    1

    + 1

    2. Soit () la suite relle dfinie pour tout > 0 par

    =1

    ( + 1)

    =1

    =1

    1 2+

    1

    2 3+ +

    1

    ( + 1)

    A laide de la question 1. Montrer que () est convergente et dterminer sa limite.

    Allez : Correction exercice 11 :

    Exercice 12 :

    Soit () la suite valeurs relles dfinie par la donne de 0, 1 et la relation de rcurrence

    , 2+2 5+1 + 2 = 0

    Soient () et () les suite valeurs relles dfinies, pour tout , par

    = 3 3

    2+1 et =

    3

    4 +

    3

    2+1

    1. Montrer que () est une suite gomtrique de raison 1

    2. En dduire une expression de en

    fonction de , de 0 et de 1.

    2. Montrer que () est une suite gomtrique de raison 2. En dduire une expression de en

    fonction de , de 0 et de 1.

    3. Calculer + de deux faons diffrentes et en dduire en fonction de , de 0 et de 1.

    4. Selon les valeurs de 0 et de 1 dterminer si la suite () converge et le cas chant dterminer

    sa limite.

    Allez : Correction exercice 12 :

    Exercice 13 :

    On considre la suite de nombres rels dfinie par son premier terme 0 =11

    4 et par la relation de

    rcurrence :

  • +1 =5

    2+

    7

    4

    Montrer que la suite () est bien dfinie, convergente et dterminer sa limite.

    Allez : Correction exercice 13 :

    Exercice 14 :

    1. Calculer, si cette limite existe.

    lim+

    + 1

    2 + + 2

    2. Etudier la suite () de nombres rels dfinie par la donne de :

    0 < 0 < 1 et = 1 (1)2

    Allez : Correction exercice 14 :

    Exercice 15 :

    Calculer, si elle existe, la limite, lorsque tend vers linfini, de lexpression

    2 + + 1 2 + 1

    Allez : Correction exercice 15 :

    Exercice 16 :

    Calculer

    1.

    lim+

    ln()

    ln()

    2.

    lim+

    2 + + 1

    Allez : Correction exercice 16 :

    Exercice 17 :

    On considre les suites ()1 et ()1 de nombres rels dfinies pour tout 1 par

    = 1 +1

    23+1

    33++

    1

    3 et = +

    1

    2

    Montrer que ces deux suites sont convergentes et ont la mme limite (que lon ne cherchera pas

    calculer).

    Allez : Correction exercice 17 :

    Exercice 18 :

    Soient 0 et 0 deux rels tels que 0 < 0. On dfinit par rcurrence les suites () et () par

    {+1 =

    2 + 3

    +1 = + 2

    3

    1. Montrer que la suite ( ) est une suite gomtrique, et lexprimer en fonction de , 0 et 0.

    2. Montrer que ces suites sont adjacentes.

    3. En calculant + , montrer quelles convergent vers 0+0

    2.

    Allez : Correction exercice 18 :

    Exercice 19 :

  • On considre la suite ()0 de nombres rels dont le terme gnral est dfini par rcurrence en

    posant :

    0 = 2 et +1 = 2 1

    1. Montrer que, pour tout , 1 .

    2. Montrer que la suite ()0 est dcroissante.

    3. En dduire que la suite ()0 est convergente et dterminer sa limite.

    Allez : Correction exercice 19 :

    Exercice 20 :

    On considre la suite ()1 de nombres rels dfinie pour tout 1 par :

    =1

    ()

    Montrer quelle est convergente et prciser sa limite.

    Allez : Correction exercice 20 :

    Exercice 21 :

    1. Montrer que la relation de rcurrence +1 =1

    5(1 1 ) et la donne initiale 0 =

    1

    5

    permet de dfinir une suite () de nombres rels appartement lintervalle ]0,1[.

    2. Montrer que la suite est dcroissante.

    3. Montrer que la suite est convergente et dterminer sa limite.

    Allez : Correction exercice 21 :

    Exercice 22 :

    Soit ]0,1[ un rel. On considre la suite () dfinie par 0 = , et pour tout 0,

    +1 = + + 1

    1. Montrer que pour tout , 0 < < 1.

    2. Montrer que la suite est croissante.

    3. Montrer que pour tout ,

    +1 1 = 1

    + 1

    4. Montrer que pour tout ,

    = 1 + 1

    !

    On rappelle que 0! = 1

    Allez : Correction exercice 22 :

    Exercice 23 :

    Pour tout entier > 0, on considre la fonction : [0,1] dfinie par () = (1 )2

    1. Dans cette question, lentier est fix.

    a) La fonction est-elle strictement monotone ?

    b) Montrer quil existe un unique ]0,1[ tel que () = 0.

    c) Quel est le signe de +1() ?

    2. On considre la suite de terme gnral ()1.

    a) Montrer laide de la question prcdente que la suite ()1 est croissante.

    b) En dduire que la suite est convergente, on notera sa limite.

    c) supposons que < 1.

    i) Montrer qualors

  • lim+

    () = 0

    ii) A laide de la relation () = 0, en dduire que 1 = 0, conclure.

    Allez : Correction exercice 23 :

    Exercice 24 :

    Soit () la suite de nombres rels dfinie par

    = (1 +1

    1)

    Montrer que la suite () converge et que sa limite est 1

    2.

    Allez : Correction exercice 24 :

    Exercice 25 :

    On considre la suite () de nombres rels dfinie par

    =1

    + 1+

    1

    + 2+

    1

    + 3++

    1

    2

    1. Montrer que la suite () est croissante.

    2. Montrer que la suite () est convergente et que sa limite vrifie 1

    2 1

    Allez : Correction exercice 25 :

    Exercice 26 :

    On considre la suite () de nombres rels dfinie par

    =1

    3 + |sin(1)|1+

    1

    3 + |sin(2)|2++

    1

    3 + |sin()|

    Montrer que

    lim+

    = +

    Allez : Correction exercice 26 :

    Exercice 27 :

    On considre la suite () de nombres rels dfinie par la donne de son premier terme 0 = 0 et

    par la relation de rcurrence

    +1 =1

    16+ 4

    2

    Montrer quelle est croissante, convergente et dterminer sa limite.

    Allez : Correction exercice 27 :

    Exercice 28 :

    On considre la suite () de nombres rels dfinie par

    = ((1)

    +sin(2)

    2)

    1. Montrer quil existe un entier naturel 0, tel que pour tout 0, on ait :

    |(1)

    +sin(2)

    2| 1 un rel et par la relation de rcurrence +1 = 1 + ln()

    1. Montrer que pour tout , > 1

    2. Etudier la fonction dfinie sur [1, +[ par () = ln() + 1 et en dduire son signe sur ]1,+[.

    3. Montrer que la suite () est monotone.

    4. En dduire quelle converge, et dterminer sa limite.

    Allez : Correction exercice 31 :

    Exercice 32 :

    Pour chacune des assertions ci-dessus :

    Si vous estimez quelle est vraie, donner en justification.

    Si vous estimez quelle est fausse, justifiez-le en exhibant un contre-exemple.

    1. Si une partie de est non vide et minore, sa borne infrieure est un lment de

    2. Si () est une suite de nombres rels telle que la limite de en + est +, alors elle est

    croissante partir dun certain rang.

    3. Si () est une suite de Cauchy de nombres rels, alors est borne.

    4. Si () est une suite de nombres rels ne vrifiant pas

    lim+

    || = +

    Alors elle est borne.

    Allez : Correction exercice 32 :

    Exercice 33 :

    On considre la suite ()2 la suite de nombres rels dont le terme gnral est dfini pour 2

    par :

    =1

    2+1

    3++

    1

    Montrer que

    lim+

    = +

    On pourra montrer que ()2 nest pas une suite de Cauchy.

    Allez : Correction exercice 33 :

    Exercice 34 :

  • Pour tout , on pose :

    = 1 +1

    2+1

    3++

    1

    1. Montrer que ()1 est une suite divergente.

    2. Pour tout , on pose :

    =1

    a) Montrer que,

    Pour tout :

    1

    + 1 2( + 1 )

    1

    b) En dduire que, pour tout :

    2 + 1 2 2 1

    c) Montrer que ()1 est convergente et prcisez sa limite.

    Allez : Correction exercice 34 :

    Exercice 35 :

    1. Soit () la proposition suivante.

    , ,1

    ( + 1)2++

    1

    ( + )2 0. Montrons que > 0 entraine

    que +1 > 0.

    +1 =2+()

    2

    4> 0

    Donc pour tout , > 0.

    2. Faisons un raisonnement par rcurrence, 0 [0,1] donc 0 1. Montrons que 1 entraine

    que +1 1.

    +1 =2+()

    2

    41

    2+(1)2

    4=3

    4 1

    Donc pour tout , 1.

    3. Calculons

    +1 =2+()

    2

    4 =

    2+()

    2

    4=4(2 + )

    Comme 0 < 1, on a 2 2 + 1 < 0, par consquent

  • +1 =4(2 + ) < 0

    Ce qui montre que la suite est strictement dcroissante.

    Autre mthode, comme la suite est valeur strictement positive, on peut regarder le quotient de

    +1 par :

    +1

    =

    2 +

    ()2

    4

    =1

    2+41

    2+1

    4< 1

    Ce qui montre aussi que la suite est strictement dcroissante.

    4. La suite est strictement dcroissante et minore par 0 donc elle converge vers une limite note ,

    cette limite appartient [0,1] et cette valeur vrifie

    =

    2+2

    4 0 =

    2+2

    4 2 + 2 = 0 (2 + ) = 0 {

    = 0ou = 2

    Par consquent = 0.

    Allez : Exercice 1 :

    Correction exercice 2 :

    1. Faisons un raisonnement par rcurrence, 0 ]1,2] donc 0 1. Montrons que > 1 entraine

    que +1 > 1.

    +1 =()

    2

    4+3

    4>1

    4+3

    4= 1

    Donc pour tout , > 1.

    2. Faisons un raisonnement par rcurrence, 0 ]1,2] donc 0 2. Montrons que 2 entraine

    que +1 2.

    +1 =()

    2

    4+3

    4(2)2

    4+3

    4=7

    4 2

    Donc pour tout , 2.

    3. Calculons

    +1 =()

    2

    4+3

    4 =

    1

    4(2 4 + 3) =

    1

    4( 1)( 3)

    Comme 1 < 2, on a 1 > 0 et 2 1 < 0, par consquent

    +1 =1

    4( 1)( 3) < 0

    Ce qui montre que la suite est strictement dcroissante. De plus elle est minore par 1 donc elle converge.

    Autre mthode, comme la suite est valeur strictement positive, on peut regarder le quotient de +1 par

    :

    +1

    =

    ()2

    4 +34

    =4+

    3

    4

    Il faut alors tudier la fonction : ]1,2] dfinie par

    () =

    4+3

    4

    () =1

    4

    3

    42=2 3

    4

    1 3 2

    () 0 +

    () 1 7

    8

    3

    2

    Cela montre que

  • ]1,2], () < 1

    Et que donc

    ,+1

    < 1

    Ce qui montre aussi que la suite est strictement dcroissante. De plus elle est minore par 1 donc elle

    converge.

    4. On note cette limite, elle appartient [1,2] et cette valeur vrifie

    =2

    4+3

    4 0 =

    2

    4 +

    3

    4 2 4 + 3 = 0 {

    = 1ou = 2

    Par consquent = 1

    Allez : Exercice 2 :

    Correction exercice 3 :

    1. Lorsque = 1 alors +1 = + , la suite () est une suite arithmtique de raison .

    Lorsque = 0 et 1 alors +1 = , la suite () est une suite gomtrique de raison ,

    2. Lorsque = 1 alors = 0 +

    Lorsque = 0 et 1 alors = 0(remarque, si = 1 cela ne change rien).

    3.

    1 = 0 +

    2 = 1 + = (0 + ) + = 20 + ( + 1)

    3 = 2 + = (20 + ( + 1) + =

    30 + (2 + + 1)

    4. Pour = 1 lgalit est vrifie (cest mme la dfinition de 1), on peut aussi remarqu que la

    relation est aussi vrifie pour = 2 et = 3 daprs 3.

    Montrer que lgalit au rang entraine celle au rang = 1

    +1 = + = (0 +

    =0

    ) + = (0 + ( + 1 ++ + 1)) +

    = +10 + (+1 + ++ 2 + ) +

    = +10 + (+1 + ++ 2 + + 1) = +10 +

    +1

    +1

    =0

    Donc pour tout , on a

    = 0 +

    =0

    5.

    =1

    = 1 + 1 ++ + 1 = 1 + + + 1 =1

    1 = 1

    1

    Autre mthode, on pose = , si = 1 alors = 1 et si = alors = 0

    =1

    =

    1

    =0

    =1

    1 = 1

    1

    6. Daprs 4. Pour tout 1

    = 0 +

    =0

    = 0 + 1

    1=0( 1) + (

    1)

    1

    =(0 0 + )

    1=(1 0)

    1

    7. Comme > 1, + lorsque + et 0 + > 0 quivaut 1 0 > 0, on reprend

    lexpression du 7. Il est clair que +

  • 8. Comme 0 < < 1, 0 donc (1 0) lorsque + par consquent

    lim+

    =

    1

    Et effectivement cette limite ne dpend pas de 0.

    Allez : Exercice 3 :

    Correction exercice 4 :

    1.

    1.1. Par rcurrence 0 2 et montrons que 2 entraine +1 2

    +1 =1

    2 + 1

    1

    2 2 + 1 = 2

    Donc pour tout 0, 2

    +1 =1

    2 + 1 = 1

    1

    2 =

    2 2

    0

    Donc la suite () est croissante.

    1.2. La suite est croissante et majore par 2 donc elle converge vers une limite qui vrifie

    =1

    2 + 1

    1

    2 = 1 = 2

    2.

    2.1 Par rcurrence 0 2 et montrons que 2 entraine +1 2

    +1 =1

    2 + 1

    1

    2 2 + 1 = 2

    Donc pour tout 0, 2

    +1 =1

    2 + 1 = 1

    1

    2 =

    2 2

    0

    Donc la suite () est dcroissante.

    2.2 La suite est dcroissante et minore par 2 donc elle converge vers une limite qui vrifie

    =1

    2 + 1

    1

    2 = 1 = 2

    3.

    3.1

    +1 = +1 2 =1

    2 + 1 2 =

    1

    2 1 =

    1

    2( 2) =

    1

    2

    Donc () est une suite gomtrique de raison 1

    2.

    3.2

    On dduit de 3.1. que pour tout 0 :

    =1

    20 =

    1

    2(0 2)

    Alors pour tout 0 :

    = + 2 =02

    1

    21+ 2

    lim+

    (02

    1

    21) = 0 lim

    + = 2

    3.3

  • =0

    =( + 2)

    =0

    = (0 + 2) + (1 + 2) ++ ( + 2) = 0 + 1 ++ + 2( + 1)

    = 0 +1

    20 +

    1

    220 ++

    1

    20 + 2( + 1)

    = 0 (1 +1

    2++

    1

    2) + 2( + 1) = 0

    1 12+1

    1 12

    + 2( + 1)

    = 20 (1 1

    2+1) + 2( + 1) = 20

    02+ 2( + 1)

    Ce qui entraine que

    =0

    =20

    02 + 2

    ( + 1)

    =20

    02

    +2( + 1)

    0 + 2 = 2

    Allez : Exercice 4 :

    Correction exercice 5 :

    1. Le numrateur et le dnominateur tendent tous les deux vers +, il sagit donc dune forme

    indtermine.

    Premire mthode

    On va multiplier en haut et en bas par la quantit conjugue

    =2 + 42 + 1

    + 2 + 1=(2 + 42 + 1)(2 42 + 1)( 2 + 1)

    ( + 2 + 1)( 2 + 1)(2 42 + 1)

    =(42 (42 + 1))( 2 + 1)

    (2 (2 + 1))(2 42 + 1)=

    ( 2 + 1)

    (2 42 + 1)=

    + 2 + 1

    2 + 42 + 1

    Il sagit dune forme encore plus indtermine que la prcdente, il sagit donc dune mauvaise ide.

    Deuxime mthode

    =2 + 42 + 1

    + 2 + 1=2 + 42 (1 +

    142

    )

    + 2 (1 +12)

    =2 + 21 +

    142

    + 1 +12

    =

    2 (1 + 1 +142

    )

    (1 + 1 +12)

    = 21 + 1 +

    142

    1 + 1 +12

    lim+

    = lim+

    21 + 1 +

    142

    1 + 1 +12

    = 2

    2. Le numrateur est une forme indtermine + et le dnominateur est une forme indtermine

    +, donc est une forme indtermine.

    Premire mthode

    On va multiplier en haut et en bas par la quantit conjugue

    =2 42 + 1

    2 + 1=(2 42 + 1)(2 + 42 + 1)( + 2 + 1)

    ( 2 + 1)( + 2 + 1)(2 + 42 + 1)

    =(42 (42 + 1))( + 2 + 1)

    (2 (2 + 1))(2 + 42 + 1)=

    ( + 2 + 1)

    (2 + 42 + 1)=

    + 2 + 1

    2 + 42 + 1=1

    Donc la limite de est 1

    2

  • Deuxime mthode

    =2 42 + 1

    2 + 1=2 42 (1 +

    142

    )

    2 (1 +12)

    =2 21 +

    142

    1 +12

    =

    2 (1 1 +142

    )

    (1 1 +12)

    = 21 1 +

    142

    1 1 +12

    Le numrateur et le dnominateur tendent vers 0 donc il sagit dune forme indtermine, cest une

    mauvaise ide.

    Allez : Exercice 5 :

    Correction exercice 6 :

    1. Pour tout il existe un unique = () tel que

    < + 1

    Donc

    2 < ( + 1)2

    Do lon dduit que

    1

    ( + 1)2 0, car 1

    ( + 1)2 0

  • 2. Si la suite () admet une limite alors

    =1

    62 +

    3

    2 2 6 + 9 = 0 ( 3)2 = 0 = 3

    3. Encore une fois, faisons un raisonnement par rcurrence, 0 = 0 < 3, montrons que < 3

    entraine que +1 < 3.

    +1 =1

    62 +

    3

    2 0

    La suite () est strictement croissante, comme elle est borne par 3, elle convergente vers

    la seule valeur qui vrifie =1

    62 +

    3

    2, cest--dire = 3.

    Allez : Exercice 7 :

    Correction exercice 8 :

    On va dabord voir si la suite est monotone :

    +1 = 22 +

    1

    8

    Lquation 22 +1

    8 a pour discriminant = 1 4 2

    1

    8= 0, il sagit donc, un coefficient prs

    dune identit remarquable

    22 +1

    8= 2(2

    1

    2 +

    1

    16) = 2(

    1

    4)2

    Donc

    +1 = 22 +

    1

    8= 2 (

    1

    4)2

    0

    La suite est croissante, montrons par rcurrence, quelle est majore par 1

    4

    0 = 0 0

    < 4 4 < 0

  • 52<

    5

    2 < 0

    5

    2

    7

    4< 0

    Par consquent +1 > 0, la suite est croissante

    Cest fait, la suite () est croissante et majore donc elle converge vers la seule limite possible =

    4.

    Allez : Exercice 13 :

    Correction exercice 14 :

    1. Il sagit dune forme indtermine, on mettre en facteur, au numrateur et au dnominateur les

    termes qui tendent le plus vite vers linfini

    + 1

    2 + + 2=

    (1

    1 +

    1)

    (2

    + 1 +

    2)=

    1

    1 +

    1

    2

    + 1 +

    2

    lim+

    + 1

    2 + + 2= lim+

    1

    1 +

    1

    2

    + 1 +

    2

    = 1

    1= 1

    2. Si () admet une limite , celle-ci vrifie

    = 2 = 0

    Regardons si la suite est monotone, pour tout 1

    1 = (1)2 0

    Donc la suite est dcroissante.

    Montrons par rcurrence que pour tout 0. 0 < 0 < 1, puis montrons que pour tout 1

    0 < 1 < 1 entraine que 0 < < 1.

    = 1 (1)2 = 1(1 1)

    0 < 1 < 1 entraine que 0 < 1 1 < 1 et le produit de deux nombres compris entre 0 et

    1 est compris entre 0 et 1, donc 0 < < 1. En particulier () est minore par 0, comme

    elle est dcroissante, elle converge vers la seule limite possible = 0.

    Allez : Exercice 14 :

    Correction exercice 15 :

    2 + + 1 2 + 1 =2 + + 1 (2 + 1)

    2 + + 1 + 2 + 1=

    2

    2 (1 +1 +

    12) + 2 (1

    1 +

    12)

    =2

    1 +1 +

    12+ 1

    1 +

    12

    =2

    1 +1 +

    12+1

    1 +

    12

    Donc cette expression admet une limite et

    lim+

    (2 + + 1 2 + 1) = lim+

    2

    1 +1 +

    12+1

    1 +

    12

    =2

    2= 1

    Allez : Exercice 15 :

    Correction exercice 16 :

    1.

    ln()

    ln()=ln()ln()

    ln(())= ln()ln()ln(()) =

    ((ln())2

    ln(()))

  • (ln())2

    0 et ln(()) +

    Donc

    ((ln())2

    ln(()))

    Et

    lim+

    ln()

    ln()= 0

    2.

    2 + + 1 =(2 + + 1) 2

    2 + + 1 + =

    + 1

    2 + + 1 + =

    (1 +1)

    2 (1 +1+12) +

    = (1 +

    1)

    (1 +1+12+ 1)

    =1 +

    1

    1 +1+12+ 1

    1

    2

    Allez : Exercice 16 :

    Correction exercice 17 :

    Nous allons utiliser le thorme sur les suites adjacentes

    +1 = 1 +1

    23+1

    33++

    1

    3+

    1

    ( + 1)3 (1 +

    1

    23+1

    33++

    1

    3) =

    1

    ( + 1)3> 0

    Donc la suite ()1 est croissante

    +1 = +1 +1

    ( + 1)2

    1

    2=

    1

    ( + 1)3+

    1

    ( + 1)21

    2=2 + 2( + 1) ( + 1)3

    ( + 1)32

    =2 + 3 + 2 (3 + 32 + 3 + 1)

    ( + 1)32=

    2 + 3 + 1

    ( + 1)32< 0

    Donc la suite ()1 est dcroissante

    =1

    2 0

    Donc les deux suites convergent vers une mme limite.

    Allez : Exercice 17 :

    Correction exercice 18 :

    1.

    +1 +1 =2 +

    3 + 2

    3= 3

    =1

    3( )

    Donc la suite ( ) est une suite gomtrique de raison 1

    3, par consquent

    =1

    3(0 0)

    2.

    +1 =2 +

    3 =

    2 + 33

    = 3

    = 1

    3+1(0 0) > 0

    Car 0 < 0

    Donc la suite () est croissante.

    +1 = + 2

    3 =

    3

    =1

    3+1(0 0) < 0

    Car 0 < 0

    Donc la suite () est dcroissante.

  • lim+

    ( ) = lim+

    1

    3(0 0) = 0

    En appliquant le thorme des suites adjacentes on en conclut que ces deux suites convergent vers une

    mme limite not .

    3.

    +1 + +1 =2 +

    3+ + 2

    3=3 + 3

    3= +

    La suite ( + ) est constante donc, pour tout

    + = 0 + 0

    En faisant tendre vers linfini dans cette expression, on trouve que

    + = 0 + 0

    Ce qui implique que

    =0 + 02

    Allez : Exercice 18 :

    Correction exercice 19 :

    1. 1 < 0, montrons que 1 < entraine que 1 < +1

    +1 = 2 1 > 2 1 1 = 1

    Cela montre que la suite est bien dfinie car si 0 et 2 1 > 0 donc

    = 2 1 2 = 2 1 2 2 + 1 = 0 ( 1)2 = 0 = 1

    Allez : Exercice 19 :

    Correction exercice 20 :

    On a

    () < () + 1

    Donc

    1 < ()

    On divise par > 0

    1

    0 mais mme si ces drives avaient t nulle cela naura pas

    changer la conclusion.

    b) (0) = 1 et (1) = 1, daprs 1.a) est une bijection croissante de ]0,1[ sur ]1,1[,

    donc 0 ]1,1[ admet un unique antcdent ]0,1[, cest--dire tel que () = 0.

    c)

    () = 0 (1 )

    2 = 0 = (1 )

    2

    +1() = +1 (1 )

    2 = +1

    = ( 1) < 0

    Car > 0 et 1 < 0.

    2. a) La fonction +1 est une bijection croissante donc

    0 = +1(+1) > +1() +1 >

    Par consquent la suite () est croissante.

    b) la suite est croissante et majore par 1, donc elle converge.

    c) i) La suite est croissante alors

    0 <

    Cela entraine que

    0 <

    Or, si 0 < 1 alors la limite de est nulle, on en dduit, daprs le thorme des gendarmes

    que

    lim+

    = 0

    ii) On a vu au 1. c) que

    () = 0 = (1 )

    2

    Ce qui entraine, daprs 2. c) i) que

    lim+

    (1 )2 = 0

    Autrement dit que

    lim+

    = 1

    Ce qui signifie que = 1, (comme 0 < < 1 et que ()+ admet une limite entraine

    que 0 1), il y a une contradiction avec lhypothse < 1, par consquent = 1.

  • Allez : Exercice 23 :

    Correction exercice 24 :

    =1 +

    1 1

    1

    = (1

    )

    Avec

    () =1 + 1

    Si admet une limite lorsque 0, avec 0 alors cette limite est la mme que celle de .

    Il sagit dune forme indtermine.

    Premire mthode

    Rgle de LHospital, on pose

    () = 1 + 1 et () =

    Alors

    () =1

    21 + et () = 1

    ()

    ()=

    1

    21 +

    lim00

    ()

    ()= lim00

    1

    21 + =1

    2

    On en dduit que

    lim00

    1 + 1

    = lim00

    ()

    ()=1

    2

    Et alors

    lim+

    =1

    2

    Deuxime mthode

    On pose

    () = 1 +

    1 + 1

    =() (0)

    0

    Il sagit du taux de variation, en 0, de la fonction , sa limite est (0). Comme () =1

    21+ :

    lim00

    1 + 1

    = (0) =

    1

    2

    Et alors

    lim+

    =1

    2

    Troisime mthode

    (1 +1

    1) =

    (1 +1 1)(

    1 +1 + 1)

    1 +1 + 1

    = 1 +

    1 1

    1 +1 + 1

    =

    1

    1 +1 + 1

    =1

    1 +1 + 1

    lim+

    = lim+

    1

    1 +1 + 1

    =1

    2

    Allez : Exercice 24 :

  • Correction exercice 25 :

    1.

    +1 =1

    + 2+

    1

    + 3+

    1

    + 4++

    1

    2+

    1

    2 + 1+

    1

    2 + 2

    (1

    + 1+

    1

    + 2+

    1

    + 3++

    1

    2) =

    1

    2 + 1+

    1

    2 + 2

    1

    + 1

    =2( + 1) + 2 + 1 2(2 + 1)

    2(2 + 1)( + 1)=

    1

    2(2 + 1)( + 1)< 0

    Donc la suite () est croissante.

    2. {1,2, , } 1

    2

    1

    + 1

    2.

    1, () =1

    1 =

    1

    0

    Car 1

    La fonction est strictement dcroissante, de plus (1) = ln(1) 1 + 1 = 0 donc pour tout > 1,

    () < 0.

    3.

    +1 = 1 + ln() = () < 0

    Car pour tout , > 1. Ce qui montre que la suite () est dcroissante.

    4. La suite est dcroissante et minore par 1 donc elle converge vers 1 telle que

    = 1 + ln() () = 0

    Or pour tout > 1 () < 0 et (1) = 0 donc la seule limite possible est = 1.

    Allez : Exercice 31 :

    Correction exercice 32 :

    1. Cest faux, par exemple = ]0,1] est minore, sa borne infrieure est 0 et 0 ]0,1].

    2. Cest faux, par exemple la suite ()0 la suite de nombres rels dfinit par :

    = + (1)

    En transformant , pour > 0 :

    = (1 +(1)

    )

  • Il est clair que

    lim+

    = +

    +1 = + 1 + (1)+1 + 1 ( + (1)) = 1 + (1)+1( + + 1)

    Donc pour = 2, 2+1 < 2, ce qui montre que la suite nest pas croissante mme partir dun

    certain rang. En fait la suite augmente entre 21 et 2 et elle diminue un peu moins entre 2 et

    2+1.

    3. Une suite de Cauchy valeurs relle converge vers une limite donc

    > 0, , > , | | <

    Prenons = 1 (nimporte quelle valeur convient) alors | | < 1 ce qui quivaut

    , > ,1 < < 1

    Ou encore

    , > , 1 < < + 1

    Ensuite lensemble {0, 1, , } est un ensemble fini, il admet donc un minimum et un maximum,

    notons les respectivement 0 et 1, ce qui signifie que

    {0,1, ,}, 0 1

    Par consquent

    ,min( 1, 0) max( + 1, 1)

    Donc la suite () est borne.

    Remarque : cela signifie nullement que lensemble {, } admet un maximum et un minimum,

    cela peut tre le cas ou pas.

    4. On fait comme si on navait rien vu.

    Commenons par crire ce que signifie :

    lim+

    || = +

    , , , > || >

    Puis crivons la ngation de cette proposition, attention, il y a un pige, la ngation de

    > , || > est ou ||

    , , , > et || (1)

    Car la ngation de () () est : () et non()

    L, il ne faut pas senthousiasmer en se disant que || veut bien dire que () est borne.

    Rappelons ce que signifie quune suite est borne

    , , || (2)

    Ou strictement infrieure si on veut.

    Dans (1) il y a un et dans (2) il y a un , cela pose problme parce que lon

    ne voit pas bien comment on pourrait faire pour transformer le il existe en pour tout . Il y a

    sans doute un truc que lon a pas vu, et si la proposition 4 tait fausse malgr les apparences

    trompeuses. Si par exemple () admettait une sous-suite tendant vers linfini et que les autres

    termes restent borns, on serait dans le cadre de la proposition 4 et pourtant la suite nest pas borne,

    donnons un exemple dune telle suite : pour tout

    2 = et 2+1 = 0

    La limite de la suite (||) = () cette suite nest pas + car il existe une sous-suite

    constante (et gale 0) et pourtant () nest pas borne car il existe une sous-suite tendant vers

    linfini. Et voil !

    Allez : Exercice 32 :

    Correction exercice 33 :

    On rappelle quune suite () est une suite de Cauchy si elle vrifie

    > 0, , , , | | <

  • Ou encore

    > 0, , , , et 0 |+ | <

    Nions cette proposition

    > 0, , , , et 0 et |+ | > (1)

    + =1

    2+1

    3+ +

    1

    +

    1

    + 1++

    1

    + (

    1

    2+1

    3++

    1

    ) =

    1

    + 1++

    1

    +

    |+ | =1

    + 1++

    1

    + >

    1

    + ++

    1

    +

    =

    +

    Ensuite on choisit de faon ce que |+ | ne tende pas vers 0, = convient

    Revenons (1), prenons =1

    2, quelconque (ici il ny a pas besoin den prendre un en particulier, cela

    marche avec tous !) et = , cela montre que (1) est vrai, autrement dit que ()2 nest pas une suite

    de Cauchy.

    Malheureusement cela ne suffit pas pour montrer que ()2 tend vers linfini, par exemple la suite de

    terme gnral (1) nest pas une suite de Cauchy et elle ne tend pas vers .

    Il faut rajouter que la suite ()2 est croissante. Pour tout 2

    +1 =1

    2+1

    3++

    1

    +

    1

    + 1= +

    1

    + 1

    Ce qui entraine que

    +1 >

    La suite est croissante et elle nest pas de Cauchy donc elle tend vers +.

    Remarque :

    Si ce rsultat ne vous parait pas vident, dmontrons-le, nous savons que si

    ()2 est croissante et majore alors elle converge, donc cest une suite de Cauchy.

    La contrapose de cette phrase mathmatique est

    Si ()2 nest pas de Cauchy alors elle nest pas croissante ou elle nest pas majore.

    Comme elle est croissante, elle nest pas majore.

    Allez : Exercice 33 :

    Correction exercice 34 :

    1. Nous allons montrer que ()1 nest pas une suite de Cauchy.

    Pour montrer que la suite ()1 nest pas une suite de Cauchy on va montrer

    > 0, , , , et 0 et |+ | > (1)

    |+ | = |1 +1

    2+1

    3+ +

    1

    +

    1

    + 1+ +

    1

    + (1 +

    1

    2+1

    3++

    1

    )|

    = |1

    + 1++

    1

    + | =

    1

    + 1++

    1

    + >

    1

    + + +

    1

    +

    =

    +

    Ensuite on choisit de faon ce que |+ | ne tende pas vers 0, = convient

    |+ | >

    + =

    2>1

    2

    Revenons (1), prenons =1

    2, quelconque (ici il ny a pas besoin den prendre un en particulier,

    cela marche avec tous !) et = , cela montre que (1) est vrai, autrement dit que ()1 nest pas une

    suite de Cauchy. Par consquent

  • lim+

    = +

    2.

    a)

    + 1 =( + 1 )( + 1 + )

    + 1 + =

    + 1

    + 1 + =

    1

    + 1 +

    Dautre part

    < + 1 2 < + 1 + < 2 + 1 1

    2 + 1