Thme : Equations diffrentielles. Une tude sur le comportement d'organismes vivants placs dans une enceinte close dont le milieu nutritif est renouvel en permanence, a conduit stipuler que l'volution de la population suit l'quation diffrentielle suivante : (E1) : N '(t) = 2 N(t) 0,0045 [N(t)] (t u 0)

o le temps t est exprim en heures et N(t) reprsente le nombre d'individus prsents dans l'enceinte l'instant t. Le nombre initial d'individus ( l'instant t = 0) est N0 = 103. 1 On pose Y (t ) ! 1 N (t )

a) Calculer la drive de la fonction Y. b) Montrer que Y vrifie l'quation diffrentielle : (E2) Y '(t) = -2 Y(t) + 0,0045 (t u 0) c) Rsoudre cette quation diffrentielle (E2). (on cherchera une solution particulire constante). d) Montrer alors que, compte tenu de la condition initiale, on a : N (t ) ! 2 Soit la fonction f dfinie pour t [0, +w[ par :f (t ) ! 2 0.0025e2 t

2 0.0045 0.0025 e 2 t

0.0045

a) Etudier les variations de f sur [0, +w [.r r b) Dans le plan rapport un repre orthogonal ( o, i, j ) (units graphiques : 5 cm pour une heure sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 100 individus sur l'axe des ordonnes) reprsenter graphiquement f.

c) En admettant que N(t) = f(t), au bout de combien de temps la population initiale aura-t-elle diminu de moiti ?

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Thme : Equations diffrentielles. On fait absorber une substance S, dose 2 mg de principe actif, un animal. Cette substance libre peu peu le principe actif qui passe dans le sang. On appelle f(t) la quantit de principe actif, exprime en mg, prsente dans le sang l'instant t (t u 0, donn en heures). Aprs tude on constate que la fonction f est solution de l'quation diffrentielle :(E) dy 0.5 y ! 0.5e 0.5t dt

et qu'elle vrifie : f(0) = 0. 1 Rsoudre l'quation diffrentielle :dy 0.5 y ! 0 dt

2 Dterminer le nombre rel E tel que la fonction : t p E te 0.5t soit solution de l'quation diffrentielle (E). 3 Dterminer la solution gnrale de (E). En dduire la solution de (E) satisfaisant la condition initiale. 4 On admet que la quantit totale Q(x) de principe actif libre par le produit S dans le sangx

au bout de x heures est donne (en mg) par : Q (t ) ! f (t ) dt0

En admettant que la fonction F dfinie pour t u 0 par F (t ) ! (t 2)e 0.5t soit une primitive de f, calculer la quantit de principe actif libre par le produit S au bout de 5 heures (donner la valeur exacte puis une valeur approche 10-1 prs).

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Thme : Equations diffrentielles. Un transporteur, s'occupant de voyages organiss, achte un instant initial t = 0, un autocar haut de gamme ncessitant un investissement initial de 1 200 milliers de francs. PARTIE A. Cet investissement se dprcie. Sa dprciation cumule, en milliers de francs, l'instant t, mesur en annes, est note f(t). On suppose que f est solution sur [0 ; 13] de l'quation diffrentielle : (E1) : y ' + 0,086 y = 103,2 et f(0) = 0. 1 Rsolution de l'quation (E1). a) Rsoudre l'quation diffrentielle : y ' + 0,086 y = 0. b) Dterminer la fonction constante, solution particulire de l'quation (E1). c) En dduire la solution gnrale de l'quation (E 1 ). d) Dterminer la solution f de (E1) qui s'annule pour t = 0. 2 Utilisation de la fonction f. On pose f(t) = 1 200 (1 - e - 0,086 t ) pour tout rel t de l'intervalle [0 ; 13]. La courbe reprsentative de la fonction f est trace dans un repre orthogonal sur la feuille annexe ; la reprer. Units graphiques : sur l'axe des abscisses : 1,5 cm reprsente 1 an ; sur l'axe des ordonnes, :1 cm reprsente 100 milliers de francs. a) Dterminer graphiquement au bout de combien d'annes l'investissement aura perdu 60 % de sa valeur ; faire apparatre sur l'annexe les tracs qui permettent d'obtenir la rponse. b) Retrouver le rsultat prcdent en rsolvant dans l'intervalle [0 ; 13] l'inquation f(t) u 720. PARTIE B. On estime que les recettes cumules (en milliers de francs) procures par l'exploitation de cet autocar, tous frais dduits, hors dprciation du vhicule, sont donnes l'instant t rel de l'intervalle [0 ; 13] par : g(t) = 900 (5 + t - 5 e 0,1 t ). 1 a) Calculer la drive g' de g ; tudier son signe sur [0 ; 13] et construire le tableau de variation de la fonction g. b) En dduire que les recettes cumules sont maximales pour une valeur t0 de t dont on donnera la valeur exacte puis une valeur approche arrondie 1 prs. Mathmatiques A.BENHARI

c) En utilisant la courbe reprsentative de la fonction g, reprer sur l'annexe, recopier et complter le tableau de valeurs suivant o l'on arrondira g(t) l'entier le plus proche. t g(t) 0 1 2 3 1126 4 5 6 7 8 9 1532 10 11 12 359 13

2 A tout instant, la diffrence g(t) - f(t) reprsente l'exploitation e(t) de l'autocar. Utiliser le graphique et les tableaux de valeurs de f et de g pour rpondre aux questions suivantes : a) Au cours de quelle anne l'exploitation de cet autocar est-elle la plus profitable ? b) Au cours de quelles annes l'exploitation de cet autocar conduit-elle un dficit ?

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Thme : quations diffrentielles Partie A. On considre l'quation diffrentielle : (E) : y'' + 3y' + 2y = t e-t o y est une fonction de la variable relle t deux fois drivable sur IR. 1 Rsoudre l'quation diffrentielle (E0) : y'' + 3y' + 2y = 0. 2 Dterminer les rels a et b pour que la fonction g dfinie sur IR par : g(t) = (at + bt) e-t soit solution de l'quation (E). 3 Dterminer la solution gnrale de l'quation (E). 4 Quelle est la solution f de (E) qui vrifie f(0) = 1 et f '(0) = - 2 ? Partie B. Soit la fonction f dfinie sur IR par : f(x) = ( t - t + 1) e-t. La courbe reprsentative (C) de f dans un repre orthogonal est jointe en page 4/4. 1 Dterminer le dveloppement limit d'ordre 2 de f au voisinage de 0. En dduire l'quation de la tangente T (C) au point d'abscisse 0 et la position de T par rapport (C) au voisinage de ce point. 2 Soit P un rel strictement positif et A(P ) l'aire du domaine plan limit par la courbe (C), l'axe des abscisses, et les deux droites d'quations t = 0 et t = P . a) Calculer A(P ). (On pourra utiliser deux intgrations par parties successives). b) Dterminer la limite de A(P ) lorsque P tend vers +w . reprsentation graphique de f :

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Thme : Equations diffrentielles. On considre les quations diffrentielles (E0) et (E) suivantes : (E0) :( E ) xy ' y !

x.y' + y = 01 1 x2

o y reprsente une fonction de la variable relle x, dfinie et drivable sur l'intervalle ] 0 ; + w [ et y' reprsente la fonction drive de la fonction y. 1 Rsoudre l'quation diffrentielle (E0). 2 Vrifier que la fonction h dfinie sur l'intervalle ]0 ; +w [ par x p de l'quation diffrentielle (E). 3 Donner l'ensemble des solutions de l'quation diffrentielle (E). 4 Dterminer la solution f de (E) qui satisfait la condition f (1) !T 2 arctan x est une solution x

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Thme : Equations diffrentielles L'un des objectifs de cet exercice est la comparaison des variations, en fonction du temps, de la tension aux bornes d'un condensateur (pralablement charg l'aide d'un gnrateur), lorsque celui ci se dcharge, d'abord dans une rsistance, puis dans une bobine. N.B. : La page 4/4 du prsent sujet devra tre rendue, aprs avoir t complte, avec la copie. Les parties A et B peuvent, dans une trs large mesure, tre traites de manire indpendante. A -Dcharge d'un condensateur dans une rsistance. Dans le circuit ci-dessous, la capacit du condensateur est C = 10-4 F, la rsistance est R = 1;.

On montre en sciences physiques que la tension u aux bornes du condensateur pendant la du dcharge vrifie la relation : u RC !0 dt ce qui revient dire que u est une fonction du temps t (exprim en secondes), dfinie et drivable sur [ 0 ; + g [, solution de l'quation diffrentielle. (1) : u ' + 100 u = 0

1 a) Rsoudre sur [0 ; + g[ l'quation diffrentielle (1). b) En dduire, en utilisant la condition initiale u(0) = 50, que la tension aux bornes du condensateur est dfinie sur [0 ; + g [ par u(t) = 50 e - 100 t. 2 Soit f la fonction dfinie sur [0, + g[ par f(t) = 50 e - 100 t. Le graphique ci-joint, page 4/4, donne la reprsentation graphique Cf de la fonction f dans le plan rapport un repre orthogonal . a) Dterminer lim f (t ) partir de l'expression de f(t).t pg

b) Calculer f '(t) o f ' est la fonction drive de f. En dduire le tableau de variation de f. c) Vrifier qu'au bout de 0,05 seconde, la tension est devenue infrieure 1 % de sa valeur initiale.

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B -Dcharge d'un condensateur dans une bobine. Dans le circuit ci-contre, la capacit du condensateur est C = 10-4 F, l'inductance de la bobine est L = 0,5 H et la rsistance est R = 100 ;.

Dans ces conditions, on montre en sciences physiques que la tension u aux bornes du d u du condensateur pendant la dcharge vrifie la relation : C RC u ! 0 dt dt ce qui revient dire que u est une fonction du temps t (exprim en secondes), dfinie et deux fois drivable sur [ 0 ; + g [, solution de l'quation diffrentielle (2) : u '' + 200 u ' + 20 000 u = 0 1 a) Rsoudre sur [0 ; + g[ l'quation diffrentielle (2). b ) En dduire, en utilisant les conditions initiales : u(0) = 50 et u'(0) = - 5000, que la tension aux bornes du condensateur est dfinie sur [0 ; + g [ par u(t) = 50 e - 100 t cos 100 t. 2 Soit g la fonction dfinie sur [0 ; +g[ par g(t) = 50 e - 100 t cos 100 t. On appelle Cg sa reprsentation graphique dans le repre prcdent. a) Montrer que, pour tout t positif ou nul, on a : - f(t) < g(t) < f(t) o f est la fonction dfinie au A 2. En dduire lim g (t )t pg

b) Sur le graphique de la page 4/4, tracer sans explication la courbe reprsentative C-f de la fonction - f. c) Sans tracer Cg , dduire de ces ingalits la position relative de Cg par rapport Cfet C-f . 3 a) Calculer g'(t) o g' est la fonction drive de g. b) On admet que, sur l'intervalle [0 ; 0,04], le signe de g' (t) est donn par le tableau cidessous, o t0 est la solution de l'quation sin (100 t + T /4 ) = 0 sur cet intervalle. Dterminer la valeur exacte du nombre t0 . t g' ( t ) 0 t0 0 + 0,04

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4 a) Vrifier que Cf et Cg ont la mme tangente T au point A d'abscisse O. b) Donner le dveloppement limit d'ordre 3, au voisinage de 0, de e-x cos x. c) En dduire le dveloppement limit d'ordre 3 de g au voisinage de 0. d) tudier, grce ce dveloppement limit, la position de C g par rapport T au voisinage du point A. En dduire les positions relatives de Cf , Cg et T au voisinage du point A. 5 Tracer T et Cg sur le graphique de la page 4/4, pour t lment de l'intervalle [0 ; 0,04]. On pourra admettre : t0 = 0,0236.f(t) 5045 40 35 30 25 20 15 10 5

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06 t

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Thme : Equations diffrentielles. L'enregistrement d'un phnomne, dbut avant l'instant t = 0, figure sur le graphique donn dans l'annexe rendre avec la copie. On se propose de prolonger le trac par l'arc de courbe dcrit lorsque t varie de 0 T . Les trois parties de cette tude sont, dans une large mesure, indpendantes. I - Soit (E1 ) l'quation diffrentielle : 2 x'(t) - x(t) = 0, dans laquelle x dsigne une fonction, dfinie et drivable sur IR, de la variable relle t et x' la drive de x. 1 Rsoudre l'quation diffrentielle (E1). 2 Dterminer la solution de (E1) vrifiant la condition initiale : x(0) = 1. II - Soit ( E2 ) l'quation diffrentielle : y''(t) - 2 y'(t) + 2 y(t) = sin t - 2 cos t dans laquelle y dsigne une fonction, dfinie et deux fois drivable sur IR, de la variable relle t, y' et y'' tant les fonctions drives premire et seconde de y. 1 Vrifier que y(t) = sin t est une solution particulire de l'quation diffrentielle (E2 ). 2 Rsoudre l'quation diffrentielle (E2) . 3 Dterminer la solution de (E2) vrifiant les conditions : y(0) = 0 et y( T /2) = 1. III - Dans le plan rapport un repre orthonormal, d'units graphiques : 5 cm, on considre t ! f (t ) ! e 2 x la courbe (C) dfinie par les quations paramtriques : ! g (t ) ! sin t y o t est un paramtre rel. 1 Etudier les variations des fonctions f et g pour t variant de 0 T et rassembler les rsultats obtenus dans un mme tableau. 2 On appelle A le point de (C) de paramtre 0. Ecrire une quation de la tangente (C) au point A. 3 La courbe (C) est partiellement reprsente sur l'annexe rendre avec la copie. Prolonger, sur cette feuille, cette reprsentation par l'arc (C1) de (C) correspondant aux valeurs de t dans l'intervalle [0 ; T ]. Tracer la tangente ( C ) en A. Annexe :

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Thme : Equations diffrentielles. BTS Informatique de Gestion 1997, exercice 3 (10 points) Dure totale de l'preuve : 4 heures. PARTIE A : On considre les quations diffrentielles :x

( E1 ) 2 y ' y ! 2e 2( E2 ) 2 y y ! 0

o y dsigne une fonction numrique de la variable relle x dfinie et drivable sur IR, o y ' est sa fonction drive. 1 Rsoudre l'quation diffrentielle (E2).x

2 Vrifier que la fonction numrique N dfinie pour tout x rel par N ( x) ! xe 2 est une solution particulire de (E1). 3 En dduire la solution gnrale de (E1). 4 Dterminer la solution g1 de (E1) dont la drive s'annule pour x ! PARTIE B :1 x Soit g la fonction dfinie pour tout x rel par g ( x ) ! ( x ) e 2 2 5 2

On note (C) la courbe reprsentative de la fonction g dans un repre orthonormal (units graphiques : 2 cm sur chaque axe). 1 a) Dterminer la limite de g en w . b) Dterminer la limite de g en w (on pourra poser X ! 2 a) Calculer g'(x) pour tout x rel. b) En dduire le tableau de variations de la fonction g. 3 a) Dterminer les coordonnes du point d'intersection de la courbe (C) avec l'axe des abscisses du repre. 1 b) Montrer que pour tout x u , g(x) est positif. 2r r 4 Tracer la courbe (C) dans le repre orthonormal (O, i, j) x ). 2

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1 2 a) En utilisant une intgration par parties, calculer en fonction de P , l'intgrale P 1 x ( x )e 2 dx 12 2

5P est un rel strictement suprieur

b) On note A(P ) l'aire exprime en cm de la partie de plan limite par (C), l'axe des abscisses 1 et les droites d'quations x ! et x ! P 2 Calculer A(P ) en fonction de P . c) Quelle est la limite A de A(P ) lorsque P tend vers w ? Donner un encadrement de A d'amplitude 10-1.

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Thme : Equations diffrentielles. Partie A : rsolution d'une quation diffrentielle. On considre l'quation diffrentielle (E) dfinie sur IR par : (E) : y '' - 3 y ' + 2 y = - 4 e 2 x . 1 Donner la forme gnrale des solutions de l'quation (E ' ) : (E ' ) : y '' - 3 y ' + 2 y = 0. 2 Dterminer le rel a pour que la fonction g dfinie sue IR par g(x) = a x e 2 x soit solution de l'quation (E). 3 a) Dduire des questions prcdentes la solution gnrale de l'quation (E). b) Dterminer la solution f de l'quation (E) dont la courbe reprsentative passe par le point S(0 ; 2) et admet en ce point une tangente parallle l'axe des abscisses. Partie B : tude d'une solution particulire de l'quation diffrentielle (E) Soit f la fonction dfinie sur IR par : f(x) = 2 e 2 x (1 - 2 x).r r On appelle C la courbe reprsentative de f dans un repre orthonormal ( o, i, j ) ; unit graphique 2 cm.

1 a) tudier la limite de f en -w . b) tudier la limite de f en +w . En dduire que C admet une asymptote (que l'on prcisera). Prciser la position de C par rapport cette asymptote. 2 tudier les variations de la fonction f sur IR. 3 Tracer la courbe C. 4 A l'aide d'une intgration par parties, dterminer l'aire, exprime en cm, du domaine limit par C, l'axe des abscisses et les droites d'quations x = - 2 et x = 0. Donner la valeur de cette aire arrondie au mm.

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Thme : Equations diffrentielles.rsis tan ce R ! 4; Un solnode possde les caractristiques suivantes : induc tan ce L ! 0.2,

Il est parcouru par un courant continu d'intensit I0 = 0,5 A. On ouvre alors le circuit l'instant t = 0. Le courant ne s'annule pas instantanment, mais diminue rapidement en fonction du temps. On note I(t) l'intensit du courant, exprime en ampre, l'instant t u 0, exprim en seconde. 1 On admet que la fonction I vrifie l'quation diffrentielle y 'R y!0 L a) Quelle est la solution gnrale de cette quation diffrentielle ? b) Quelle est la solution qui vrifie la condition initiale y(0) = 0,5 ?

2 Dans toute la suite de l'exercice, on pose : I(t) = 0,5 e - 20 t. a) Calculer la limite de I(t) quand t tend vers +w . b) Calculer la drive I '(t). c) Dresser alors le tableau de variation de la fonction I quand t dcrit [0 ; + w [. 3 a) Recopier et complter le tableau suivant : t en seconde I(t) en ampre 0 0,01 0,41 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,12 0,08

On donnera des valeurs approches 10 -2 prs de I(t). b) Construire avec soin la courbe de la fonction I en respectant les chelles suivantes : en abscisse : 2 cm pour 0,01 s ; en ordonne : 4 cm pour 0,1 A. 4 a) Dterminer graphiquement une valeur approche de l'instant t o l'intensit du courant est gale la moiti de sa valeur initiale. 1 b) Retrouver le rsultat prcdent par rsolution de l'quation I (t ) ! I 0 . 2 5 Calculer la quantit d'lectricit vhicule durant toute la phase d'annulation du courant, c'est dire quand T tend vers +w de QT, o QT ! I (t )dt0 T

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Thme : Equations diffrentielles. Les parties I, II, III peuvent tre traites indpendamment. I On se propose de rsoudre l'quation diffrentielle : (E) : y '' + 2 y ' + y = - x.

o y est une fonction de la variable relle x, dfinie et deux fois drivable sur IR. 1 Rsoudre l'quation diffrentielle : y '' + 2 y ' + y = 0. 2 Trouver la fonction g solution particulire de l'quation (E), dfinie sur IR par g(x) = a x + b, o a et b sont des rels dterminer. 3 Rsoudre l'quation diffrentielle (E). 4 Trouver la fonction f, solution de l'quation diffrentielle (E) vrifiant : f(0) = 2 et f '(0) = - 1 + e.

II Soit la fonction f dfinie sur IR par f(x) = x e1 x + 2 x.

1 Calculer lim f ( x ) et lim f ( x ) .x pg x pg

Pour faciliter la deuxime tude, on peut crire f ( x ) ! e x (ex xe x 2 e x ) 2 f ' tant la drive de la fonction f, le signe de f '(x) est donn par le tableau suivant : x f '(x) avec a } 0,43 et f(a) } 2,33. 3 En dduire que l'quation f(x) = 0 admet deux solutions relles E et F (E < F ). Donner une valeur approche 10-2 prs de E et de F . 4 Dresser le tableau de variations de f. -w + a 0 +w

r r III Soit la courbe C dfinie dans le repre orthonormal ( o, i, j ) (unit graphique 4 cm), pour t appartenant l'intervalle [-1 ; 3] par les quations paramtriques :

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f 1 (t ) ! (t 1) t f 2 (t ) ! t e 1 Calculer f1'(t) o f1' est la drive de f1 puis calculer f2'(t) o f2' est la drive de f2. Etudier le signe de f1'(t) et de f2'(t) sur [-1 ; 3]. 2 Grouper dans un mme tableau les variations des fonctions f1 et f2. Prciser les coordonnes des points de la courbe correspondant aux valeurs de t suivantes : 0, 1, 2 ; dterminer pour chacun de ces points un vecteur directeur de la tangente (C). Dterminer les tangentes (C) aux points de paramtres : - 1, 0, 1, 2, 3. 3 Tracer la courbe (C). (On admet que les points de paramtres E et F sont confondus). On tracera en particulier les trois points de (C) obtenus la question III 2 ainsi que les tangentes en ces points.

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Thme : Equations diffrentielles. A Rsolution d'une quation diffrentielle. Soit (E) l'quation diffrentielle : x (x + 1) y ' + y = 1 + x + ln x o x appartient l'intervalle ]0 ; +w [, o y reprsente une fonction dfinie, drivable sur ]0 ; +w [ de drive y ' et o ln est la fonction logarithme nprien. 1 Sachant que pour tout rel de l'intervalle ]0 ; +w [ on a : dterminer la solution gnrale de l'quation x (x + 1) y ' + y = 0. 2 Vrifier que la fonction g dfinie sur l'intervalle ]0 ; +w [ par g(x) = ln x est une solution de (E). 3 En dduire la solution gnrale de l'quation (E) sur ]0 ; +w [ et la fonction f, solution de (E) qui vrifie la condition f(1) = 2.1 1 1 ! x( x 1) x x 1

B Etude d'une fonction. Soient f la fonction dfinie sur ]0; + w [ par : f ( x ) !x 1 ln x x

et (C) la courbe reprsentative de f dans un repre orthonorm d'unit graphique 2 cm. 1 Dterminer les limites de f quand x tend vers zro et plus l'infini. 2 Etudier les variations de f et tablir le tableau de variations de f. 3 Dterminer le point A de la courbe (C) o la tangente a pour coefficient directeur le nombre 1/4. Dterminer une quation de la tangente (C), note (T), au point A. 4 Le but de cette question est d'tudier les positions relatives de (C) et (T). x 1 x Pour cela, on considre la fonction g dfinie sur ]0 ; +w [ par : g ( x ) ! ln 2 x 4 a) Calculer g'(x) sur l'intervalle ]0 ; +w [. b) Tracer le tableau de variations de g (on ne demande pas les limites aux bornes du domaine de dfinition). Calculer g(2). c) En dduire le signe de g(x) sur ]0 ; + w [. d) Prciser alors les positions relatives de (T) et de (C). Mathmatiques A.BENHARI

5 Tracer (C) et (T) dans le repre dfini ci-dessus. C Calcul d'intgrale.2

1 Calculer l'intgrale J ! ln xdx en utilisant une intgration par parties.1 2

2 En dduire la valeur de l'intgrale I ! f ( x)dx1

Donner une interprtation gomtrique de la valeur de I.

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Thme : Equations Diffrentielles.2 1 y! 3 x x o y est une fonction de la variable relle x, dfinie sur ]0 ; +w [ et y' sa drive.

I - Soit l'quation diffrentielle (E) : y '

1 a) Rsoudre sur l'intervalle ]0 ; +w [ l'quation diffrentielle : y '

2 y!0 x

b) Dterminer une fonction z de la variable relle x, dfinie et drivable sur l'intervalle 1 ]0 ; +w [, telle que y ! z ( x) soit solution de (E). En dduire une solution de l'quation x diffrentielle (E). c) Rsoudre sur ]0 ; +w [ l'quation diffrentielle (E). d) Dterminer la solution f qui vrifie f(1) = 0. 2 Soit la fonction f de la variable relle x dfinie sur ]0 ; +w [ par f ( x ) !ln x x

r r On dsigne par (C) sa courbe reprsentative dans un repre orthonormal ( o, i, j ) o les units graphiques sont 3 cm sur l'axe des abscisses et 10 cm sur l'axe des ordonnes.

(C) est reprsente ci-dessous :

a) En utilisant une intgration par parties, calculer la valeur exacte de l'intgrale

e

1

ln x dx x

b) Calculer la valeur exacte a en cm de l'aire du domaine plan compris entre les droites d'quations x = 1, x = e, l'axe Ox et la courbe (C). Donner une valeur dcimale approche 10-3 prs par dfaut de a.

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Thme : Equations diffrentielles.

Partie A. On considre l'quation diffrentielle (E) : x y ' 2 (x + 1) y = 2 e2x o y dsigne une fonction de la variable relle x, dfinie et drivable sur ]0 ; +w [. 1 Rsoudre sur ]0 ; +w [ l'quation diffrentielle (E') : x y ' 2 (x + 1) y = 0. 2 Dterminer le rel E tel que la fonction g dfinie par g(x) = E e2x soit solution de (E). 3 En dduire, sur ]0 ; +w [, la solution gnrale de (E). 4 Dterminer la solution f de (E) vrifiant f (1) ! Partie B.r r Le plan est muni d'un repre orthogonal ( o, i, j ) o les units graphiques sont 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnes. 3e 4

Soit f la fonction dfinie sur [-1 ; +w[ par f ( x ) ! ( dans (C) est reprsente ci-dessous :

x 1)e 2 x et (C) sa courbe reprsentative 4

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1 Dterminer le dveloppement limit de f l'ordre 2 au voisinage de 0. 2 En dduire une quation de la tangente T (C) au point A d'abscisse 0 ; puis tudier la position de (C) par rapport T au voisinage du point A. Partie C. On se propose de calculer la valeur exacte en cm de l'aire A de la partie du plan limite par (C), l'axe des abscisses et les droites d'quation respective x = 0 et x = 2. 1 Calculer l'intgrale

2

0

(

x 1)e 2 x dx 4

On pourra dterminer les rels a, b, c tels que la fonction F dfinie sur [-1 ; +w [ par F(x) = (a x + b x + c) e 2 x soit une primitive de f. 2 Donner la valeur exacte de A. 3 Donner une valeur approche de A 0,1 prs. Les parties A, B et C sont indpendantes.

Mathmatiques

A.BENHARI