Exercices géophysique

8/10/2019 Exercices gophysique

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Anne 2011-2012

LICENCE

STE232 - Gravimtrie, Godsie et Gothermie

TRAVAUX DIRIGES


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Licence Gophysique 2011 / 2012

Travaux dirigs de godsie

1 Mesure du rayon de la Terre par Eratosthne

Eratosthne estima la longueur du rayon terrestre partir dobservations dans les villes deSyne (aujourdhui appel Assouan) et Alexandrie (situe plus au Nord) en Egypte, lheurede midi, le jour du solstice dt. Il observa que le soleil ne formait aucune ombre au fond dunpuits Syne (rayons du soleil la vertical) tandis quune oblisque Alexandrie formait uneombre (voir figure 1). Eratosthne supposa dune part que Syne et Alexandrie appartiennentau mme mridien et dautre part que le soleil est suffisamment loign pour que les rayonssolaires atteignant Syne et Alexandrie soient parallles. A laide de la longueur de lombreforme par loblisque, il estima que linclinaison des rayons solaires avec la verticale Alexan-drie est gale 7.2. Il valua par ailleurs la distance entre Alexandrie et Syne (AS), sachantque celle-ci tait parcourue par une caravane de chameaux en 50 jours qui parcourait environ100 longueurs de stade par jours. Retrouvez son estimation du rayon terrestre en vous aidantde la figure 1 et sachant que la longueur dun stade est denviron 157.5 m.

Figure 1 Estimation de la longueur du rayon terrestre partir dobservation Syne etAlexandrie par Eratosthne

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2 Chiffres significatifs

Vous souhaitez donner un ami minralogiste quip dun GPS les coordonnes gographiques

dun filon orifre bien cach de quelques dcimtres de large que vous avez trouv par hasardlors dune balade dans le massif de Belledonne. Le plus simple est de lui donner la latitude etla longitude du lieu au format degrs dcimal. De combien de chiffres significatifs avez vousbesoin ?

3 Paramtres de lellipsode

Lapplatissementfest dfini par :

f=a b

a

La premire excentricit e est dfinie par :

e=

a2 b2

a2

Remplir les cases vide du tableau suivant :

nom de lellipsode a b 1/f e

Clarke 1880 6378249.145 6356514.870 .................. ......................

Airy 6377563.396 .................... 299.324965 ........................

ED50 ................... 6356911.946 297.00 .....................

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4 Calcul de godsiques sur la sphre

Une godsique la surface dune sphre correspond au chemin le plus court entre deux points.

On assimile la Terre une sphre de rayon R= 6400 km. Les formules de trigonomtriesphrique sont donnes en annexe.

Problme direct :

SoitUun point sur la sphre de coordonnes gographiques

U

U= 30

U= 10

On donne lazimut et la distance DUV

sur la sphre de Pvers le point V :

AzUV= 150grades etDUV = 40 km

Calculer les coordonnes gographiques de V .

Problme inverse

Soient U etV deux points de coordonnes gographiques :

U

U= 30

U = 10V

V = 45

V = 30

Calculer la distance DUVsur la sphre et les azimuts AzUV etAzUV

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5 Passage des coordonnes gographiques aux coordonnes car-

tsiennes.

SoitMun point quelconque de lespace de coordonnes cartsiennes (x,y ,z)et de coordonnesgographiques (,,h) et M0 le point correspondant sa projection normale sur lellipsodede coordonnes cartsiennes (x, y, z) et de coordonnes gographiques (,, 0). (voir figure2). On cherche exprimer (x,y ,z) en fonction de (,,h) et des paramtres delellipsode.

Figure2 coordonnes gographiques du point M

On rappelle quil existe plusieurs types de latitude : la latitude gographique, latitudegocentrique, et latitude paramtrique (voir figure 3), et que puisque M0 est la projection

normale sur lellipsode, alorsM0M=h n, avech la hauteur de Mau dessus de lellipsode

etnla normale lellipsode au point M0 pouvant sexprimer ainsi dans le repre cartsien :

n

cos cos

sin cos

sin

1) Sachant que le passage de la sphre lellipsode aplatti aux ples (figure 3), correspondmathmatiquement une affinit daxe OZet de rapport k= b/a, (cest dire quezellipsoide=

bazsphre),

Vrifiez que lon a bien M0

x = a cos cos

y = a sin cos

z = b sin

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Figure3 Les diffrents types de latitudes

Puis, sachant que

cos = w cos

sin = abw sin

avec aetb le petit et grand axe de lellipsode et w =

1 e2 sin2 o e est lexcentricit.

Montrez que M0

x = Ncos cos

y

= Nsin cos z = N(1 e2)sin

avec N=a/w

2) Pour finir, en vous aidant de la relationM0M=h nexprimez la formule de transformation

donnant (x,y,z) en fonction de (,,h)et de N ete.

Notez que N correspond en fait au rayon de courbure principale dans la direction du parallle.N est la distance entre M et I suivant les notations de la figure 3.

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6 Sommet du Monde

Le point dont laltitude est la plus grande la surface de la Terre est le mont EVEREST (8848

m) dans lHimalaya. Cependant, la trs srieuse Revue de Gographie de la rpublique dEqua-teur (Amrique du Sud) revendique pour le CHIMBORAZO (6267 m), dans la Cordilire desAndes, le record de distance au centre de la Terre.

Justifier cette revendication en utilisant comme modle ellipsodique de la Terre lellipsodeWGS84 dfini par :

a= 6378137 m et 1f= 298.2572236

Les coordonnes gographiques des deux lieux sont donnes dans le tableau ci-dessous :

Longitude LatitudeEVEREST 86 28

CHIMBORAZO 282 -1

Une grille de hauteur du gode par hauteur lellipsode vous est donne en annexe.

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Travaux dirigs de gravimtrie

1 Rappels et petits calculs

Lobjectif de ce TD est de faire des rvisions de gomtrie et de mcanique laide dexp-riences historiques effectues par Kepler et Galile ayant permis dvaluer la masse de la Terreet lacclration de la pesanteur la surface de la Terre.

1.1 Loi de Kepler et masse de la Terre

1. On considre un satellite de massem orbitant autour dune plante de masse M avec,pour simplifier, une orbite circulaire de rayon r. Comment scrit la force de gravitationFexerce par la plante sur le satellite ? On pourra faire un petit schma.

2. Kepler a observ que le carr de la priode de rotation T dun satellite autour duneplante est proportionnel au cube du rayon de lorbite. Montrer que la constante deproportionnalit est 42/ (GM) (avec G la constante de gravitation universelle G =6.67 1011Nm2kg2). Pour cela, on appliquera le principe fondamental de la dyna-mique au satellite. Rappel : lacclration dun point en mouvement circulaire uniforme la vitesse angulaire et avec un rayonr est centripte (oriente vers le centre) et gale r2.

3. On observe que la Lune tourne autour de la Terre en 28 jours et que la distance Terre-Lune est de 385 000 km. A partir de ces observations, en dduire la masse de la Terre.

4. A quelle altitude orbite un satellite gostationnaire, cest dire un satellite qui reste la verticale du mme point la surface de la Terre (en rotation sur elle-mme) ?

1.2 Chute libre et mesure de la gravit par Galile

1. Un objet effectue une chute libre sur une hauteurh. Exprimez le temps de chute enfonction de la gravit g .

2. On prte Galile la ralisation de la mesure de la gravit en lchant des objets depuisla tour de Pise. En pratique, il aurait plutt travaill sur un plan inclin dun angle , enlchant une bille dune hauteur h. Exprimez de nouveau le temps de chute en fonctionde la gravit. Quelle serait lerreur commise sur g en fonction de si on applique laformule prcdemment obtenue pour la chute libre ?

3. La pertinence de cette exprience va au del de la mesure de la gravit. En effet, en

plaant un autre plan P

inclin dun angle

en regard du prcdent, Galile observaque quel que soit, la bille parcourait une distance sur P telle que la hauteur atteintesoit gale h. Ceci le conduisit faire une des premires expriences de pense (enfaisant tendre vers 0) et noncer le principe dinertie. Expliquer.

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2 Champ de gravit de la Terre sphrique

Lobjectif de ce TD est dappliquer le thorme de Gauss la Terre pour en dduire les champs

de gravit et de pression de la Terre.

2.1 Champ de gravit de la Terre

On suppose tout dabord que la Terre est parfaitement sphrique de rayon RTavec une masseMT uniformment distribue en volume (Terre homogne) et une masse volumique (enkg/m3).

1. Quelle est la direction du champ de gravit g en un point M situ une distance rdu centre de la Terre ? De quelle(s) variable(s) dpend le champg lorsquon choisit unsystme de coordonnes sphriques ?

2. Calculer lexpression du champ de gravitg lextrieur et lintrieur de la Terre en

utilisant le thorme de Gauss. Il sera utile dexprimer g lextrieur de la Terre enfonction de la masse totale de la Terre. Reprsenter qualitativement la fonction g enfonction du rayon r .

On suppose maintenant que la Terre est constitue de deux enveloppes homognes : un man-teau de densit Met un noyau de rayon RNet de densit N.

3. A partir des grandeurs fournies la fin de lnonc, calculer la densit moyenne du noyauNet du manteau M.

4. Exprimer lacclration de la gravitg dans le manteau et dans le noyau.

Rappel : thorme de Gauss

Le flux du champ de gravit g travers la surface ferme est gale la somme des massesintrieures multiplie par le facteur 4G :

g dS= 4GMint

dSsortant

2.2 Champ de pression lintrieur de la Terre

On suppose que la Terre est en quilibre hydrostatique lchelle des temps gologiques. Cest--dire que la pression est la mme que si la Terre tait un fluide. La pression Pvarie avec ladistancer au centre de la Terre telle que :

dP = (r)g(r)dr1. Exprimer la pressionP(r)en fonction de la distancer au centre de la Terre en intgrant

lquation ci-dessus pour une Terre homogne. Dduisez-en une estimation de la pressionau centre de la Terre.

2. En considrant un modle deux couches, exprimer la pressionP(r) dans le manteaupuis dans le noyau en intgrant lquation ci-dessus. Dduisez-en une estimation de lapression la limite noyau-manteau et au centre de la Terre.

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2.3 Comparaison avec le modle PREM

Ltude de la vitesse des ondes sismiques lintrieur de la Terre permet de connatre plus

prcisment les variations de la densit avec la profondeur. Le profil de densit (figure 4b)fourni par le modle PREM (Primary Reference Earth Model, modle symtrie radiale) per-met dvaluer plus prcisment le profil de gravit et de pression avec la distance r au centrede la Terre (figure 4a).

Comparez vos profils de gravit et de pression valus en supposant une Terre homogne etun modle deux couches avec les profils obtenus laide du modle PREM (figure 4a).

01000200030004000500060000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

Acclrationdelagravit(cm/s2)

01000200030004000500060000

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

Pression(kbar)

01000200030004000500060000

5

10

15

Distance au centre de la Terre r (km)

Densit(g/cm

3)

GraineNoyau liquideManteau Inf.

ManteauSup.

Z.

Transition

a)

b)

Figure4 (a) Profils de gravit (ligne continue) et de pression (tirets). (b) Profil de densit

daprs le modle PREM. Daprs Dziewonski et Anderson (1981).

Grandeurs utiles

Constante de gravitation universelle : G = 6.67 1011 Nm2kg2Masse de la Terre : MT = 5.97 1024 kgRayon de la Terre : RT= 6370kmMasse du noyau : MN= 1.95 1024 kgRayon du noyau :RN= 3470 km

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3 Moment dinertie

Lobjectif de ce TD est de comprendre comment ltude du moment dinertie des plantes

permet den dduire des informations sur la structure interne de celles-ci.

Le moment dinertieCdun corps (occupant un volume Vde forme quelconque) par rapport un axe scrit :

C=

V

s2dm

o s est la distance laxe .

3.1 Moment dinertie dune porte

Calculer le moment dinertie dune porte de masse M, hauteurh, largeurl et paisseur e parrapport laxe de ses gonds.

3.2 Moment dinertie des plantes

1. Exprimer le moment dinertieCdune plante homogne par rapport un axe passantpar son centre en fonction de sa masse M, de son rayon a et dun coefficient .

2. Comparer la valeur thorique de ce coefficient avec les valeurs relles obtenues pourdiffrents ob jets du systme solaire (table 1). Que pouvez-vous en conclure ?

Corps Masse (kg) Diamtre (km)

Mercure 3.30

1023 4880 0.33

Vnus 4.87 1024 12103 0.33Terre 5.97 1024 12756 0.3308Lune 7.35 1022 3476 0.394Mars 6.42 1023 6794 0.366

Jupiter 1.90 1027 142980 0.254Saturne 5.68 1026 120540 0.21Uranus 8.68 1025 51118 0.225

Neptune 1.03 1026 49528 0.29

Table1 Masse, diamtre et coefficient dobjets du systme solaire.

3. On considre une plante deux couches (un noyau et un manteau). Montrer que lemoment dinertie Cet la masse Mde cette plante sont donns par :

C=8

15

NR

5N+ M

a5 R5N

M=4

3

NR

3N+ M

a3 R3N

oN etrNsont la densit et le rayon du noyau, Mla densit du manteau eta le rayonde la plante.

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4. Simplifier les expressions ci-dessus en posant : RN = x a et N = y M et exprimerle moment dinertie C en fonction de la masse totale M, du rayon a et dun nouveaucoefficientdpendant de x ety .

5. Les masses volumiques moyennes du manteau et du noyau de la Terre ainsi que le rayondu noyau terrestre sont estims laide de la sismologie :

RN= 3470 km, N= 12000kg m3, M= 4300 kg m

3

Dterminer le coefficient de la Terre. Expliquer la diffrence entre cette valeur thoriqueet la valeur pratique dans la table 1.

6. On souhaite dterminer le rayon du noyau de fer de la plante Mars. La figure 5 reprsentele coefficient en fonction de x pour diffrentes valeurs ralistes de y. Quelles sont lessolutions acceptables pour le rayon du noyau de Mars ?

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.3

0.31

0.32

0.33

0.34

0.35

0.36

0.37

0.38

0.39

0.4

x

y=2.0

y=2.2

y=2.4

y=2.6

y=2.8

Figure5 Evolution du coefficient en fonction de x pour diffrentes valeurs de y .

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4 La forme de la Terre

Lobjectif de ce TD est de comprendre comment est dfinie la forme de la Terre et quels sont

les paramtres qui linfluencent.

4.1 Gradient et surfaces isovaleurs (quipotentielles)

Montrer que le gradient dun champ scalaire T est perpendiculaire aux surfaces isovaleursde T. Rappel : ces surfaces sont appeles surfaces quipotentielles dans le cas o T est unpotentiel.

4.2 Potentiel gravitationnel cr par des plantes

1. Donner lexpression du potentiel gravitationnel Vcr par une masse m.

2. Dessiner quelques surfaces quipotentielles pour la plante sphrique sur la figure 6.Justifier votre dessin.

3. Exprimer lacclration de la gravitg en fonction du potentiel V .

4. Reprsenter g au point E sur la figure 6. Comment g est-il orient par rapport auxsurface quipotentielles.

O

E

Figure6 Cas dune plante sphrique.

5. Soient maintenant deux plantes P1 etP2 de masses respectives M1 etM2. La figure 7reprsente les lignes quipotentielles (intersections des surfaces quipotentielles avec leplan de votre feuille) du potentiel gravitationnel d P1etP2. Chaque ligne correspond une valeur donne du potentiel (unit arbitraire). La variation du potentiel est constanteen passant dune ligne lautre, dans les trois cas a, b et c. Le seul paramtre variant

entre ces trois cas est la masse M2 de la plante P2. Quel cas correspond M2 > M1?A M1> M2? Justifier vos rponses.

6. Reprsenter le plus prcisment possible lacclration de la gravit au point F de lafigure 7.

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P2 P2

P2

P1

P1

P1

a b

c

F

Figure7 Cas de deux plantes P1 etP2 de masses respectives M1 etM2.

4.3 Acclration et potentiel centrifuge

Admettons lexpression de lacclration centrifuge g subie par une masse repre par saposition r par rapport au centre de la Terre :

g = ( r) (1)o est la vitesse angulaire de rotation de la Terre sur elle-mme et est le symbole duproduit vectoriel.

1. Nous allons travailler dans le systme de coordonnes sphriques, en notant (er, e, e)les vecteurs de la base. Exprimer les trois composantes de g sur cette base.

2. De quel potentiel drive cette acclration ?

3. Du fait de la force centrifuge, la forme de la Terre est proche dun ellipsode. Calculezle rapport g/g lquateur et dduisez en une valeur approche de laplatissement dela Terre. On donne le rayon de la Terre : RT= 6370km.

Rappel : En coordonnes sphriques,

T = gradT = Tr

er+1

r

T

e+

1

r sin

T

e (2)

4.4 Le gode

1. Quelles mthodes satellitaires permettent de connatre les ondulations du gode repr-sentes sur les figures 8 et 9 ?

2. On sintresse tout dabord aux ondulations du gode de grande longueur donde visiblessur la figure 8. Situer les maxima et minima du gode. Comparer leur localisation avec larpartition des points chauds et les cartes de tomographie sismiques reprsentes figure10. Proposer une hypothse pour lorigine de ces ondulations de grande longueur donde.

3. Quelle est lorigine des ondulations du gode de courte longueur donde visibles sur lafigure 9 ?

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Figure8 Ondulations du goide reprsentes avec une exagration de 15000 :1 ( gauche)et courbes isovaleurs ( droite, source : http ://www.aviso.oceanobs.com/).

80

72

64

56

48

40

32

24

16

8

0

-8

-16

-24

-32

-40

-48

-56

-64

-72

-80

80N120E

0

40E40W180E

120W

80S120E

40E

40W

180E 120W

80N

40N

0

40S

80S

40N

40W mtres

Figure 9 Carte de haute rsolution des ondulations de la surface moyenne des ocans parrapport un ellipsoide de rfrence, ralise partir de 10 ans de mesures altimtriques des sa-tellites GEOSAT, ERS-1 et TOPEX/POSEIDON. Source : http ://www.aviso.oceanobs.com/.

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Figure 10 Cartes des anomalies de vitesse (en %) des ondes de cisaillement 100 km(daprs Debayle et al., 2005) et 2850 km de profondeur (daprs Ritsema et al., 1999).Les cercles correspondent aux volcans associs des points chauds. Source : http ://planet-terre.ens-lyon.fr/

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5 Corrections gravimtriques et anomalies gravimtriques

Lobjectif de ce TD est de redmontrer lexpression des diffrentes corrections gravimtriques

et de voir quels sont les effets de ces corrections sur les donnes.

5.1 Corrections gravimtriques

Nous allons ici calculer les corrections apporter une mesure gravimtrique effectue aupointP daltitudeh (voir figure 11). De manire pouvoir comparer cette mesure la valeurthorique de la pesanteur au pointP0sur lellipsode de rfrence (situ directement laplombdu point P), on effectue plusieurs corrections dont la correction lair libre (ou correctiondaltitude) et la correction de plateau. On supposera par ailleurs que la hauteur h est petitedevant le rayon de la Terre R0.

P

P0

h

ellipsode de rfrencez

s1

s2

z1

z2

dsdz

dz

ds

sd

sz

topographie

Figure 11 Calcul de la correction lair libre et de plateau pour un point P situ unealtitude h au dessus de lellipsode de rfrence.

On nglige dans un premier temps, la masse des roches comprises entre les points P et P0.Soitr la distance au centre de la Terre.

1. Exprimezg (r= R0+ h)(la gravit au point P) en fonction deg (r= R0)(la gravit aupointP0),R0 eth, en effectuant un dveloppement de Taylor lordre 1.

2. Dduisez-en lexpression et la valeur en mGal/m de la correction lair libre.

On souhaite maintenant calculer leffet gravimtrique dun plateau dextension horizontaleinfinie et dont la base se situe au point P0 et le sommet au point P. Pour cel, on se placedans un rfrentiel cylindrique (es, e, ez) dont lorigine est le point P.

3. Calculez tout dabord lacclration de la gravit dg et sa composante verticale dgzproduites au pointPpar un petit lment de volume de dimensions ds dz sd et dedensit.

4. Intgrez ensuite cette expression pour obtenir lexpression degz d un volume de rochesitu entre s = s1 ets = s2, entre= 1 et = 2 et entre z = z1 etz = z2.

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5. Dduisez engz produit par le plateau infini situ entre P etP0.

6. Calculez la valeur de la correction de plateau en mGal/m pour une masse volumique

= 2670kg/m

3

.

Rappels

100 Gal = 1 m s2

Constante de gravitation universelle : G = 6.67 1011Nm2kg2

5.2 Les anomalies de gravit en France

Les figures 12c-f prsentent diffrentes cartes obtenues laide des mesures de lacclration dela pesanteur effectues en France mtropolitaine. Lobservation de ces cartes va nous permettrede revoir les principes des diffrentes corrections apportes aux mesures gravimtriques et

lorigine des variations spatiales de lacclration de la pesanteur.1. Pourquoi est-il important de consulter la figure 12b lorsque lon sintresse aux anomalies

de gravit dans une rgion de France ? Quen dduisez-vous pour les zones reprsentesen bleu fonc ?

2. Indiquer les structures majeures que vous observez dans les mesures de lacclrationde la pesanteur reprsentes sur la figure 12c et lorigine de ces variations. Indiquercomment varie la pesanteur avec la latitude.

3. Rappeler le principe de la correction lair libre. Quelles diffrences constatez-vous entrela figure 12c et 12d. Comment varie lanomalie lair libre avec laltitude ?

4. Rappeler le principe de la correction de Bouguer. Localiser les structures majeures ob-

serves sur la carte des anomalies de Bouguer (figure 12e) et expliquer leur origine.5. Quelles sont les structures mises en vidence dans la carte du gradient vertical des

anomalies de Bouguer (figure 12f) ?

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(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figure 12 (a) Relief de la France. (b) Densit moyenne de stations gravimtriques parkm2. (c) Acclration de la pesanteur en mGal (ou 105 m/s2) laquelle on a retranchla valeur constante de 980 000 mGal . (d) Anomalie lair libre en mGal. (e) Anomaliede Bouguer en mGal. (f) Gradient vertical de lanomalie de Bouguer en mGal/m. Source :http ://sigminesfrance.brgm.fr/ et GeoFrance 3D (2000).

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6 Interprtation des anomalies gravimtriques

Lobjectif de ce TD est de calculer lanomalie de gravit produite par un objet de gomtrie

simple et dutiliser ce modle simple pour interprter un lev gravimtrique.

6.1 Anomalie gravimtrique cre par une sphre

Nous souhaitons ici calculer lanomalie gravimtrique induite par la prsence, en profondeur,dune boule de densit diffrente de celle des roches encaissantes (figure 13). On appellera 0la masse volumique de ces roches, et0+ celle de la boule ; le signe de est arbitraire.Le centreB de la boule de rayon a se trouve une profondeurh de la surface de la Terre. Onnoteg0 le champ de pesanteur de rfrence, loin de lanomalie. Cette pesanteur est verticale,et pointe vers le bas. Le champ total de gravit peut tre vu comme la superposition de cechamp de rfrence avec le champ de gravit g cr par une boule de masse volumique .

a0+

00

00

00

h

B

O

g0 g0

x

zM(x, z)

Figure13 Sphre de masse volumique 0+ enfouie une profondeurh dans des rochesencaissantes de masse volumique0.

1. Justifier cette dernire assertion.

2. Nous allons travailler dans le plan y = 0. Exprimerg au point M, en fonction de ,

a,M B,MB, etG.

3. Calculergz(x, z), la projection de g selon la verticale z (cest cette anomalie quonva mesurer en pratique). Cette expression doit faire apparatre explicitement x,z eth.

4. Reprsentergz(x) pourz= 0. Prciser la distance x1/2 pour laquelle :

gz(x= x1/2) =12

gz(x= 0) (3)

6.2 Un exemple de campagne gravimtrique

Les donnes prsentes ici correspondent aux mesures obtenues le long dun profil lors dunstage de terrain Garchy. Lobjectif de ces mesures taient de localiser et dvaluer le volumedun objet enfoui dans le sol.

Ces mesures ont t effectues laide dun gravimtre contenant un ressort en silice sou-tenant une petite masse. Ce gravimtre est dit "relatif", cest--dire que celui-ci permet de

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mesurer la diffrence de gravit entre deux points de faon trs prcise, cependant celui-ci nepermet pas de connatre la valeur absolue de la gravit en un point. Ceci est d au fait quecet instrument prsente une drive instrumentale due des variations de la raideur du ressortavec la temprature, lors des dplacements de linstrument ou simplement au cours du temps.Avant dinterprter les donnes releves, il faut donc tenir compte de la drive instrumentaledu gravimtre.

Les donnes du tableau 2 (gmes) ont t dj corriges de la drive instrumentale. Ces donnessont exprimes en Gal (pour Galileo) qui est une unit hrite du systme C.G.S. La conver-sion en m s2 (du systme M.K.S.A.) se fait selon : 100 Gal = 1 m s2. Au premier ordre, lechamp de gravit dans lequel nous baignons a donc une amplitude de 980 Gal.

Pour cette campagne de mesure, la gravit de rfrence (mesure loin de la structure enfouiedans le sol) est gref= 61.007 mGal. Je vous demande de :

1. Calculer la correction lair libregal pour chaque mesure.

2. Calculer lanomalie lair libregal.

3. Calculer la correction de Bouguer simple gb pour trois masses volumiques diffrentes :1= 1000kg/m

3, 2 = 2000 kg/m3 et3= 2700kg/m

3.

4. Calculer lanomalie de Bouguer correspondante gb.

Vous remplirez au fur et mesure le tableau 2 (en utilisant un tableur si vous le souhaitez).Identifiez les diffrentes anomalies parmi les courbes dans la figure 14.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100position (m)

-0.25

-0.2-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

mGal

________________________________________________________

Figure14 Anomalies lair libre et de Bouguer le long dun profil gravimtrique Garchy.

Dcrire les anomalies que vous obtenez, et proposer une interprtation de la structure dusous-sol base sur ces rsultats.

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Position

h

gmes

gal

gal

gb

(1

)

gb

(1

)

gb

(2

)

gb

(2

)

gb

(3

)

gb

(3

)

(m)

(m)

(mGal)

(mGal)

(mGal)

(mGal)

(mGal)

(mGa

l)

(mGal)

(mGal)

(m

Gal)

0.0

00

-0.1

57306

1.1

00

10.0

00

-0.2

44706

1.1

90

20.0

00

-0.2

42406

1.2

50

30.0

00

0.2

88306

1.1

30

40.0

00

2.4

220

6

0.4

90

46.0

00

3.8

170

6

0.0

70

50.0

00

3.5

110

6

0.1

10

56.0

00

3.9

050

6

0.0

10

60.0

00

3.5

390

6

0.1

40

70.0

00

1.4

630

6

0.8

90

80.0

00

-0.1

36906

1.1

30

90.0

00

-0.3

19406

1.1

60

100.0

0

-0.2

13006

1.1

70

Table2

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7 Isostasie

Lobjectif de ce TD est dappliquer le principe disostasie dans diffrents contextes gologiques.

7.1 Iceberg B-15 en Antarctique

Le 17 mars 2000, un grand iceberg appel B-15 sest dtach de Ross Ice Shelf en Antartique,prs de Roosevelt Island. Il sest form partir de la glace scoulant du continent Antartiquevers la mer et sest dissoci le long de fractures prexistantes dans lIce Shelf de Ross. Ceticeberg reprsente un des plus gros observs. Il est long d peu prs 295 km et large de 37km. La surface de liceberg est estim 11000 km2, ce qui est peu prs de la taille de troisdpartements franais. La hauteur de liceberg au dessus du niveau de la mer est denviron 30m.

1. La densit dun corps ltat solide est-elle gnralement suprieure ou infrieure celle

du mme corps ltat liquide ? Expliquer pourquoi un iceberg flotte sur la mer.2. En supposant liceberg de forme rectangulaire, et en utilisant le principe dArchimde,

calculer lpaisseur de liceberg sachant que la densit de liceberg est de 920 kg m3 etla densit de leau est de 1028 kg m3.

3. Calculer le pourcentage de lpaisseur situe sous le niveau de la mer ainsi que le volumede liceberg sous le niveau de la mer.

4. Que se passe-t-il si une paisseur de glace de 5 m fond (on suppose que la surface deliceberg ne change pas).

5. Liceberg fond approximativement un tauxk = 3.76km3 par mois. En supposant quece taux reste constant, quel sera le volume de liceberg au bout dun an ? Calculer la

nouvelle hauteur de liceberg submerg et le volume merg au bout dun an ( surfaceconstante). Combien de temps faudra-t-il pour que liceberg fonde jusqu atteindre lamoiti de son volume original ?

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7.2 Altitude moyenne des continents

On considre dans cet exercice une crote continentale accole une crote ocanique. On

considre la structure suivante pour la crote continentale : de laltitude h la profondeur 20 km : = 2750kg m3

de 20 35 km : = 2950kg m3

au del de 35 km := 3310kg m3

On considre la structure suivante pour la crote ocanique : de 0 4 km : = 1000kg m3

de 4 5 km : = 1500kg m3

de 5 11 km : = 2850kg m3

de 11 35 km : = 3310kg m3

1. Quest ce que la profondeur de compensation ? A quelle profondeur minimum se trouve-t-elle dans la cas prsent ?

2. A quel type de roche correspond chaque couche ?

3. Dans le cas dun systme lquilibre hydrostatique, quelle serait laltitude moyennehdes continents ? Pour rpondre cette question, un schma est vivement recommand.

7.3 Equilibre isostatique dune structure gologique

La crote a une paisseur de 30 km dans une rgion o laltitude est nulle. A quelques distancesse trouve un grand plateau daltitude moyenne 1000 m.

1. En admettant que la crote est homogne de masse volumique 2.8 g/cm3, alors que lemanteau a une masse volumique de 3.3 g/cm3, calculez quelle devrat tre lpaisseur dela crote sous le plateau dans une hypothse de compensation isostatique.

2. On dispose dune donne gravimtrique fiable au niveau du plateau. A partir dune me-sure en puit sur le gode, on a calcul directement la diffrence entre cette valeur mesureet la valeur thorique. La diffrence obtenue est de -218 mGal. Calculez lanomalie deBouguer.

3. Quest-ce que lanomalie isostatique ? Quelle information nous apporterait-elle ?

4. On veut prendre en compte lexistance au niveau du plateau dune couche de sdimentsde 500 m dpaisseur en moyenne et dont la densit est seulement de 2.4. Refaites lecalcul de lpaisseur de la crote sous les mmes hypothses quen 1, mais en considrantlexistance de sdiments.

5. Calculez lanomalie de Bouguer en considrant la prsence de sdiments.

Rappels : G = 6.671011 unots S.I. (G= 6.67108 unots c.g.s.) et 1 Gal = 1 cm/s2.

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Travaux dirigs de gothermie

1 Bilans thermiques

1.1 Flux de chaleur et radioactivit

Des mesures du flux de chaleur la surface des diffrentes rgions continentales et ocaniquesde la Terre aboutissent aux valeurs compiles dans le tableau 3.

Continents Flux de chaleur [mW/m2] Ocans Flux de chaleur [mW/m2]

Afrique 49.8 Atlantique Nord 67.4Amrique du Sud 52.7 Atlantique Sud 59.0

Amrique du Nord 54.4 Ocan Indien 83.3Australie 63.6 Pacifique Nord 95.4

Eurasie 60.2 Pacifique Sud 77.4Bassins marginaux 71.1

Moyenne continents 56.1 Moyenne ocans 75.6

Table 3 Flux de chaleur mesurs la surface de la Terre

1. Quest-ce que le flux de chaleur ? Comment le mesure-t-on ?

2. A partir des valeurs du tableau 3, calculez la puissance dgage par les continents et lesocans, en sachant que la surface des continents correspond 2/5 de la surface de laTerre. Dduisez-en la puissance totale dissipe la surface de la Terre.

Pour expliquer ces valeurs, nous considrons maintenant les sources internes de chaleur. En

particulier, nous nous intressons la dsintgration des isotopes radioactifs dans la crote etle manteau.

Crote continentale Crote ocanique Manteau

Uranium 1.6 1010 W/kg 0.9 1010 W/kg 0.02 1010 W/kgThorium 1.6 1010 W/kg 0.7 1010 W/kg 0.03 1010 W/kg

Potassium 0.7 1010 W/kg 0.1 1010 W/kg 0.007 1010 W/kgMasse volumique 2700 kg/m3 2900 kg/m3 3200 kg/m3

Epaisseur moyenne 30 km 10 km 2900 km

Table4 Puissances par unit de masse produites par la dsintgration des diffrents isotopesdans la crote continentale, la crote ocanique et le manteau ; masse volumique et paisseur

moyenne de chaque couche.

3. Comment a-t-on pu estimer les valeurs donnes dans le tableau 4 ?

4. Calculez les puissances produites dans chacune des couches et commentez les rsultats(en particulier en regard des mesures de flux de chaleur).

5. Calculez la puissance totale produite par la radioactivit. Comparez cette valeur et lapuissance dissipe la surface de la Terre (question 2). Quen concluez-vous ?

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1.2 Cristallisation de la graine

Une autre source possible de chaleur interne la Terre sont les changements dtat (et de

phase). Un changement dtat se produit dans le noyau. Celui-ci se refroidit et cristalliseformant ainsi la graine solide. Nous allons estimer la puissance dgage par cette cristallisation.On suppose que la masse Mde la graine augmente de faon constante au cours du temps. Sonrayon actuel est de 1220 km et sa masse volumique de 12000 kg/m3. On peut raisonnablementlui donner lge de 3 Ga.

1. Donnez le taux de croissance massiquedM/dtde la graine.

2. En prenant une chaleur latente L de cristallisation gale 5105 J/kg, calculez lapuissance totale dgage par la cristallisation de la graine.

1.3 Refroidissement sculaire

Les sources de chaleur autres que la radioactivit contribuent faiblement au bilan total. Ladiffrence entre la puissance produite et la puissance dgage indique donc que la Terre serefroidit.

1. En supposant que la puissance de refroidissement de la Terre est la diffrence entrela puissance produite par la radioactivit et celle dgage la surface (question 5 delexercice 1) et que cette puissance a t constante tout au long de son histoire, calculezla baisse de temprature subie par la Terre. On prendra une capacit calorifique moyenneC= 1 kJkg1 K1.

2. La Terre se refroidissant, elle change de volume. Son rayon augmente-t-il ou diminue-t-il ? Calculez la variation du rayon induite par une baisse de temprature de 1 K. Onprendra un coefficient de dilatation thermique moyen = 2

105 K1.

Rappel : Lge de la Terre est de 4.5 Ga et sa masse de 5.95 1024 kg.

1.4 Temprature moyenne la surface

On peut estimer la temprature moyenne la surface de la Terre cause par le rayonnementsolaire laide dun bilan nergtique simple. Pour cela, on utilise la loi de Stfan

E=T4,

o Eest la puissance mise par unit de surface, = 5.67 108 Wm2 K4 la constante deStfan, etT la temprature.

1. La temprature la surface du Soleil est de 5800 K. Calculez la puissance mise parunit de surface.

2. En vous aidant de la figure 1, dterminez la constante solaire, cest--dire la puissancereue par unit de surface par une surface perpendiculaire aux rayons du soleil au sommetde latmosphre terrestre. On rappelle que le rayon du Soleil est rS= 695000 km et quela distance Terre-Soleil estd= 150 106 km.

3. Connaissant la constante solaire et lalbdo = 0.3 (cest--dire le pouvoir rflecteur)de la Terre, calculez la puissance absorbe par la Terre par unit de surface.Vous vousaiderez pour cela de la figure 2. Comparez votre rsultat au flux de chaleur dorigineinterne (exercice 1).

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4. Dduisez-en la temprature moyenne de la Terre. Comment expliquer la diffrence avecla temprature moyenne mesure (13 o C) ?

d

rs

Soleil

Terre

Figure1 La puissance mise par le soleil se rpartie sur une sphre de rayon d.

rTrT

Terre

Energie solaire

Figure2 Lnergie solaire reue au sein du disque de rayonrT(rayon de la Terre) se rpartitsur toute la surface de la Terre.

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2 Conduction thermique

2.1 Loi de Fourier et chauffage domestique

Vous habitez au premier tage dune maison de surface 10 m 10 m. La pice est haute de2.5 m. Il fait 0o dehors et 20o chez vous, chez vos voisins du dessus et du dessous. Les murs de30 cm dpaisseur sont faits dans un matriau de conductivit thermique k = 2Wm1K1.

1. Faites un schma du problme et dessinez-y le vecteur flux de chaleur.

2. Quelle puissance calorifique doit dbiter votre pole ?

2.2 Mesure de la conductivit thermique dune roche

Cette mesure seffectue selon le principe dtaill sur la figure 3. Des thermcouples permettentde mesurer les tempratures Tc et Tf (imposes grce des courants deau), ainsi que les

tempratures T1 et T2 lextrmit des couches de mtal au contact de lchantillon. Lescontacts entre la roche et le mtal (via une couche dair par exemple) mettent en jeu unersistance au flux de chaleur inconnue sur des des paisseurs 1 et2.

1. Que peut-on dire du flux de chaleur le long du dispositif exprimental ?

2. Etablissez la relation suivante

T2 T1Tc T2 =

kld

krl+

kll

2k2

+1k1

3. Dduisez-en comment dterminerkr exprimentalement en saffranchissant des indter-minations dues aux contacts.

Figure3 Schma du dispositif de mesure de la conductivit thermique dun chantillon.

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3 Gothermes

3.1 Temprature et flux de chaleur la base de la crote

Lors dun forage profond de 250 m effectu dans un socle granitique ancien, on constatequentrez1= 50 m etz2= 250 m le gradient de temprature est quasi-constant. On mesure lestempratures suivantes :T(z1) = 11

oC etT(z2) = 16oC. La valeur moyenne de la conductivit

thermique mesure entre ces deux profondeurs est k = 3.0 Wm1K1. On appliquera cettevaleur pour toute la crote. Le taux de production de chaleur (ou puissance produite par unitde volume) en surface est H0= 4.8Wm

3. La crote est dcrite par un modle plan dont lesproprits ne varient que verticalement (en z).

1. Calculez la valeur du gradient gothermique (en o C). Dduisez-en la temprature T0 etle flux de chaleur q0 la surface. Comment est orient q0?

2. On se place en rgime stationnaire. Ecrivez lquation de la chaleur dans ce cas.

3. On suppose que le taux de production de chaleur est constant dans toute la crote.Rsolvez lquation de la chaleur dans ces conditions. DessinezT(z).

4. Calculez la temprature prdite par ce modle la base de la crote (z = 40km)?

5. Pour amliorer un peu la description du gotherme, on suppose maintenant que le tauxde production de chaleur dcrot avec la profondeur selon la loi

H(z) =H0exp( zD

) avec D= 10km

Rsolvez lquation de la chaleur dans ces conditions.

6. Dduisez-enT(z) et q(z).

7. De nouveau, calculez la temprature prdite la base de la crote. Quelle est la valeur

du flux de chaleur cette profondeur ?

3.2 Temprature au centre de la Terre

On considre que la Terre est une sphre homogne de rayon a qui se refroidit par conductionen rgime stationnaire. En appelant Hla puissance produite par unit de volume,k la conduc-tivit thermique de la Terre, lquation rsoudre pour trouver le profil radial de tempratureT(r) lintrieur de la Terre sphrique est

k1

r2d

dr

r2

dT

dr

+ H= 0.

1. Do vient cette quation ?

2. Rsolvez-la sous la condition que la temprature doit tre finie au centre. On note T0 latemprature la surface de la Terre (en r = a).

3. Dduisez-en que le flux de chaleurq un rayon r donn est

q(r) =Hr

3 .

4. On mesure le flux de chaleur la surface q(a) = 70 mW/m2. Quelle valeur de H estcompatible avec cette observation ?

5. En prenant k = 4 Wm1K1, calculez la temprature au centre de la Terre pour cemodle. Critiquez le rsultat.

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4 Variation priodique de la temprature

On considre un sol de conductivit thermiquek = 0.75Wm1K1 et de diffusivit thermique

= 6 107 m2s1. Il ny a pas de source de chaleur.1. Le flux de chaleur mesur en surface est q0 = 49 mWm

2. Quel est le gradient detemprature en surface (en o C/100 m) ?

2. Vrifiez que la variation de temprature la profondeur z et au temps tpeut scrire

T(z, t) = T0ez cos(t z) avec =

2,

o est la pulsation correspondant une variation priodique de la temprature lasurface du sol dcrite parT(0, t) = T0cos(t).

3. On sintresse aux variations diurnes (sur 24 h) de la temprature. Sachant que la tem-

prature du sol est de +5oC le jour et 5oC la nuit, calculezh = 2/ la profondeur depntration de la perturbation de temprature. Quelle est la variation maximale de latemprature cette profondeur ? Quel est le dphasage entreT(h, t) = T(0, t) ?

4. On veut installer une ligne conductrice mtallique de coefficient de dilatation thermique = 1.7 105K1. La longueur l de ce fil ne doit pas subir de variations relativessuprieures 105. A quelle profondeur minimale doit-on enterrer la ligne ? Le filobit la loi de dilatation l= l0(1 + T).

5. Cette profondeur est-elle suffisante pour que la ligne ne subisse pas galement leffet desvariations saisonnires damplitude 20oC ?

6. Avec un fil en invar de coefficient = 8.0 107K1, partir de quelle variation detemprature doit-on enterrer le fil ?

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5 Convection

5.1 Mouvement de convection

On se propose dtudier un modle simple de convection constitu dune couche de fluidedpaisseurL chauffe la base. Le fluide est homogne et se caractrise par sa masse volu-mique , son coefficient de dilatation thermique et sa viscosit dynamique .

On considre une particule de fluide, cest--dire une petite sphre de volume unit et derayon r. Cette petite sphre est plus chaude de T que le fluide environnant. Elle est doncplus lgre, ce qui tend la faire monter. Les forces de frottement visqueux exerces parle fluide environnant freinent cependant la remonte de la particule. La force de frottementvisqueux fv subie par la particule est proportionnelle sa vitesse v

fv =

6rv.

1. Quelles sont les forces qui sappliquent sur la particule ? En appliquant le principe fon-damental de la dynamique pour une vitesse de remonte constante, exprimez la vitessev de la particule.

2. On peut dfinir le temps caractristique de la convectiontv comme le temps mis par laparticule pour traverser la couche de fluide. Ecrivez tv suivant cette dfinition.

3. De mme, il est possible de dfinir un temps caractristique de la conductiontc. Celui-cidoit tre proportionnel la surface de la sphre. Proposez une criture de tc. On pourrasaider dune analyse dimensionnelle de lquation de diffusion.

4. En raisonnant avec tv et tc, quelle condition y-a-t-il convection ? Faites apparatrele nombre de Rayleigh (on rappelle que la viscosit cinmatique est dfinie telle que=/).

5.2 Gotherme mantellique

La figure 4 propose une approximation du gotherme dans le manteau terrestre. La tempra-ture T(r) correspondant ce profil suit la loi

T(r) =1

2

Ta+ Tc+ (Ta Tc)exp

r aa

+ (Tc Ta)exp

c rc

,

aveca le rayon de la Terre, c le rayon du noyau, Ta la temprature la surface de la Terre, Tcla temprature la limite noyau-manteau,aet c deux chelles caractristiques du problme,

de lordre de la centaine de km. Nous allons dduire de ce profil et de quelques mesures desurface la valeur de Tc.

1. Le profil de la figure 4 met en vidence trois rgions distinctesR1, R2 et R3 (sparessur la figure par les lignes en pointill). Nommez ces rgions et dcrivez le mcanismede transport de la chaleur qui domine dans chacune delles.

2. Que reprsentent, du point de vue thermique, les rgions R1 et R3 ?

3. Proposez une valeur pourTa (en Kelvin).

4. Rappelez la loi de Fourier (on notek la conductivit thermique).

5. Dessinez le flux de chaleur conductifqdans chacune des rgions.

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Figure4 Profil de tempratureT(r)dans le manteau (droite) avec des agrandissements ausommet et la base du manteau (gauche).

6. De mme queT =T(r), on a aussi pour ce modle q= q(r). Exprimez le flux de chaleurconductif (i.e., calcul partir de la loi de Fourier) q(r)dans le manteau.

7. Montrez qu la surface (enr= a), on peut crire

q(a) k Tc Ta2a

Rappelez-vous lordre de grandeur de a etc.

8. En dduire la signification physique de a. Estimez graphiquement sa valeur. Quellescontraintes gophysiques pourrait-on avoir sur cette quantit dans la Terre relle ?

9. Le flux convectif mesur la surface de la Terre est q(a) = 80 mWm2. En prenantk = 4 W m1 K1, calculez la valeur de Tc prdite par ce modle.

10. Ce modle propose une temprature constante dans la rgionR2. Est-ce le cas dans laTerre relle ?

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6 Evolution de la lithosphre ocanique

Nous allons (re)travailler le modle simple de refroidissement de la lithosphre ocanique vu

en cours. On rappelle que dans ce modle, du matriel mantellique chaud la tempratureTm est amen au niveau du plancher ocanique la temprature Ts sur laxe de la dorsale. Cematriel scarte ensuite de la dorsale la vitesse v en se refroidissant, sa surface suprieurerestant cependant la temprature Ts (figure 5).

Figure5 Schma illustrant le modle simple de refroidissement par conduction de la litho-sphre ocanique .

On suppose que la lithosphre est de dimension infinie horizontalement. On peut alors secontenter de considrer la conduction dans la direction verticale uniquement. Le problme serduit ainsi au refroidissement dun demi-espace initialement la temprature Tm et brus-quement refroidi en imposant sa surface une temprature Ts au temps t = 0. Dans cesconditions, la temprature dpend uniquement de la profondeurz et du temps t (qui est aussilge de la lithosphre). On prendra z= 0en surface.

1. Vrifiez que lon peut bien ngliger la conduction horizontale.2. En labsence de source de chaleur interne, quelle quation doit satisfaireT(z, t) ?

La solution de cette quation est de la forme

T(z, t) =A + Berf z

2

t

,

avecAetB des constantes et erf(s)la fonction erreur

erf(s) = 2

s0

e2

d

dont les variations sont rappeles sur la figure 6.3. Dterminez les constantesA et B et donnez lexpressionT(z, t).

4. Dans la suite, on prendraTs = 0o . Pourquoi est-ce possible ?

5. En convertissant lget en une position horizontale x, montrez que

T(z, x) =Tmerf z

2

x/v

.

6. Tracez dans le plan (x, z)lisotherme T =Tm. Cette isotherme dfinit la profondeur dela lithosphre (thermique).

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Figure6 Fonction erf(s)

7. A partir de T(z, t) et en drivant la fonction erf(s), montrez que le flux de chaleur lasurface est

q= q(0, t) = kTmt

.

Tracezq(0, x).

La lithosphre se refroidissant avec lge, elle devient plus lourde et on sattend ainsi ce quellesenfonce avec lge. Il est possible de dterminer h(t)(ou h(x)) la variation de la profondeurde locan en fonction de lge de la lithosphre en appliquant le principe disostasie. Pour

cela, on considre deux colonnes verticales. Lune est au niveau de la dorsale et ne contientque du manteau de masse volumique m. Lautre est situe une distance x correspondant un ge t. Elle contient une couche deau dpaisseur h(t) et de masse volumique w, unecouche de lithosphre dpaisseur e(t)de masse volumique (z, t), et une couche de manteau.Ces deux colonnes doivent squilibrer une certaine profondeur.

8. Avec quel modle disostasie cherchons-nous expliquer la variation de la profondeur delocan ?

9. Ecrivez la masse volumique dans la lithosphre (z, t) en fonction du coefficient dedilatation , dem, Tm etT(z, t).

10. Ecrivez lquilibre isostatique pour en dduire une expression deh(t)faisant apparatrelintgrale

e(t)

01 erf

z

2

t

dz.

11. Si on se place suffisamment loin de la dorsale, il est possible de faire tendre e(t) verslinfini dans lexpression de h(t)(pourquoi ?). Sachant que

0[1 erf(s)]ds = 1/,

montrez alors que

h(t) = 2

t

mTm(m w) .

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Figure7 Modles et donnes de lvolution thermique de la lithosphre ocanique : (gauche)isothermes des deux modles les plus utiliss et (droite) comparaison entre les valeurs prditespar ces modles et les observations de la profondeur des ocans, du flux de chaleur et de la

pente du gode.

La figure 7 prsente des observations moyennes faites le long de plaques ocaniques et les pr-dictions de deux modles de refroidissement de la lithosphre. Elle montre aussi les variationsde temprature dans la lithosphre suivant ces deux modles.

13. Avec lequel des deux modles tests avons-nous travaill ?

14. Essayer dexpliquer ce que lautre modle pourrait considrer en plus.

15. Quel phnomne peut expliquer les diffrences entre le flux de chaleur observ et prditpour les ges plus jeunes que 50 Ma ?

16. Quelle contrainte gophysique pourrait-on avoir directement sur lpaisseur de la plaquelithosphrique ?

Note : lensemble des figures de ce TD sont extraites de Stein S. & Wysession M., An intro-

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Exercices géophysique