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Exercices Identit s Remarquablescol58-renecassin.ac-dijon.fr/IMG/pdf/exercices_identites... · Recopier et compléter pour que les égalités soient vraies pour toutes ... donc, d’après

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☺ Exercice p 42, n° 38 : Développer, puis réduire chaque expression :

a) ( )22x + ; b) ( )2

5a + ; c) ( )27 a+ ;

d) ( )23 5x + ; e) ( )2

6 5a+ ; f) 2

13

2x

+

.

Correction :

a) ( )22A x= + b) ( )2

5B a= + c) ( )27C a= +

2 22 2 2A x x= + × × + 2 22 5 5B a a= + × × + 2 27 2 7C a a= + × × + 2 4 4A x x= + + . 2 10 25B a a= + + . 249 14C a a= + + .

d) ( )23 5D x= + e) ( )2

6 5E a= + f) 2

13

2F x

= +

( )2 23 2 3 5 5D x x= + × × + ( )226 2 6 5 5E a a= + × × + 2

21 12 3 3

2 2F x x

= + × × +

29 30 25D x x= + + . 236 60 25E a a= + + . 213 9

4F x x= + + .

☺ Exercice p 42, n° 39 : Développer, puis réduire chaque expression :

a) ( )23x − ; b) ( )2

4 a− ; c) ( )27b − ;

d) ( )26 7x − ; e) ( )2

3 4b− ; f) ( )24 3b − .

Correction :

a) ( )23A x= − b) ( )2

4B a= − c) ( )27C b= −

2 22 3 3A x x= − × × + 2 24 2 4B a a= − × × + 2 22 7 7C b b= − × × + 2 6 9A x x= − + . 216 8B a a= − + . 2 14 49C b b= − + .

d) ( )26 7D x= − e) ( )2

3 4E b= − f) ( )24 3F b= −

( )2 26 2 6 7 7D x x= − × × + ( )223 2 3 4 4E b b= − × × + ( )23 4F b= −

236 84 49D x x= − + . 29 24 16E b b= − + . 29 24 16F b b= − + . ☺ Exercice p 42, n° 40 : Développer, puis réduire chaque expression : a) ( )( )5 5x x+ − ; b) ( ) ( )3 3x x+ − ; c) ( )( )8 8x x− + ; d) ( )( )4 4a a− + .

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Correction : a) ( )( )5 5A x x= + − b) ( )( )3 3B x x= + − c) ( )( )8 8C x x= − + d) ( )( )4 4D a a= − +

2 25A x= − 2 23B x= − 2 28C x= − 2 24D a= − 2 25A x= − . 29B x= − . 2 64C x= − . 2 16D a= − . ☺ Exercice p 42, n° 41 : Développer, puis réduire chaque expression : a) ( )( )3 1 3 1x x+ − ; b) ( )( )4 7 4 7x x− + ; c) ( )( )2 5 2 5x x+ − ; d) ( )( )5 2 5 2x x+ − .

Correction : a) ( )( )3 1 3 1A x x= + − b) ( ) ( )4 7 4 7B x x= − +

( )2 23 1A x= − ( )224 7B x= −

29 1A x= − . 216 49B x= − . c) ( ) ( )2 5 2 5C x x= + − d) ( )( )5 2 5 2D x x= + −

( )2 22 5C x= − ( )225 2= −D x

24 25C x= − . 225 4D x= − . ☺ Exercice p 42, n° 47 : Factoriser chaque expression : a) 2 8 16x x+ + ; b) 2 2 1x x+ + ; c) 2 10 25x x+ + ; d) 29 6 1x x+ + . Correction : a) 2 8 16A x x= + + b) 2 2 1B x x= + + 2 22 4 4A x x= + × × + 2 22 1 1B x x= + × × +

( )24A x= + . ( )2

1B x= + .

c) 2 10 25C x x= + + d) 29 6 1D x x= + +

2 22 5 5C x x= + × × + ( )2 23 2 3 1 1D x x= + × × +

( )25C x= + . ( )2

3 1D x= + .

☺ Exercice p 42, n° 48 : Factoriser chaque expression : a) 2 6 9x x− + ; b) 2 4 4x x− + ; c) 24 12 9x x− + ; d) 29 30 25x x− + .

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Correction : a) 2 6 9A x x= − + b) 2 4 4B x x= − + 2 22 3 3A x x= − × × + 2 22 2 2B x x= − × × +

( )23A x= − . ( )2

2B x= − .

c) 24 12 9C x x= − + d) 29 30 25D x x= − +

( )2 22 2 2 3 3C x x= − × × + ( )2 23 2 3 5 5D x x= − × × +

( )22 3C x= − . ( )2

3 5D x= − .

☺ Exercice p 42, n° 49 : Factoriser chaque expression : a) 2 16x − ; b) 2 1x − ; c) 24 x− ; d) 2100 y− ; e) 2169 b− ; f) 20,01 a− . Correction : a) 2 16A x= − b) 2 1B x= − c) 24C x= − 2 24A x= − 2 21B x= − 2 22C x= − ( ) ( )4 4A x x= + − . ( )( )1 1B x x= + − . ( ) ( )2 2C x x= + − .

d) 2100D y= − e) 2169E b= − f) 20,01F a= −

2 210D y= − 2 213E b= − 2 20,1F a= −

( )( )10 10D y y= + − . ( )( )13 13E b b= + − . ( )( )0,1 0,1F a a= + − .

☺ Exercice p 42, n° 50 : Factoriser chaque expression : a) 24 1x − ; b) 216 25a − ; c) 225 9b− ;

d) 24 36a− ; e) 249 1x− + ; f) 2 36

49y − .

Correction : a) 24 1A x= − b) 216 25B a= − c) 225 9C b= −

( )2 22 1A x= − ( )2 24 5B a= − ( )225 3C b= −

( )( )2 1 2 1A x x= + − . ( )( )4 5 4 5B a a= + − . ( )( )5 3 5 3C b b= + − .

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d) 24 36D a= − e) 249 1E x= − + f) 2 36

49F y= −

( )222 6D a= − ( )221 7E x= − 2

2 6

7F y

= −

( ) ( )2 6 2 6D a a= + − . ( )( )1 7 1 7E x x= + − . 6 6

7 7F y y

= + −

.

Remarque : factorisation de D au maximum :

24 36D a= − 24 1 4 9D a= × − ×

( )24 1 9D a= −

( )224 1 3D a = −

( )( )4 1 3 1 3D a a= + − .

☺ Exercice p 42, n° 42 : Développer, puis réduire chaque expression :

a) ( )22 3x + ; b) ( )2

2 3x − ;

c) ( ) ( )2 3 2 3x x+ − ; d) ( ) ( )2 22 3 2 3x x− + + .

Correction :

a) ( )22 3A x= + b) ( )2

2 3B x= −

24 12 9A x x= + + . 24 12 9B x x= − + .

c) ( ) ( )2 3 2 3C x x= + − d) ( ) ( )2 22 3 2 3D x x= − + +

24 9C x= − . 24 12D x x= − 29 4 12x x+ + + 9+

28 18D x= + . ☺ Exercice p 42, n° 46 : Recopier et compléter :

a) ( ) ( )2 22 10 25 ...... 2 ...... ...... ......x x+ + = + × × +

( )22 10 25 ...... ......x x+ + = + .

b) ( ) ( )2 224 12 9 ...... 2 ...... ...... ......x x− + = − × × +

( )224 12 9 ...... ......x x− + = − .

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Correction :

a) ( ) ( )2 22 10 25 2 5 5+ + = + × × +x xx x

( )22 10 2 55+ + = +xx x .

b) ( ) ( )2 22 2 2 3 34 12 9 2− + = − × × +x xx x

( )224 1 22 39− + = −xx x .

☺ Exercice p 44, n° 65 : (Brevet, Centres étrangers 2002) Recopier et compléter pour que les égalités soient vraies pour toutes les valeurs de x :

1) ( )2...... ...... 6 ......x x+ = + + ;

2) ( )2 2...... ...... 4 ... ...... 25x− = + ;

3) ( )( )...... 64 7 ...... ...... ......x− = − + .

Correction :

1) ( ) 2263 9+ = + +x xx .

2) ( )2 25 24 252 0−− = +xx x .

3) ( )( )2 64 749 8 7 8− = − +xx x .

☺ Exercice p 44, n° 73 : (Brevet, Rennes 2002) 1) Développer et réduire l’expression : ( )( )12 2P x x= + + .

2) Factoriser l’expression : ( )27 25Q x= + − .

3) ABC est un triangle rectangle en A et x désigne un nombre positif. On donne 7BC x= + et 5AB = . Faire un schéma et montrer que : 2 2 14 24AC x x= + + . Correction : 1) Développement de P :

( )( )12 2P x x= + + 2 2 12 24P x x x= + + + 2 14 24P x x= + + .

2) Factorisation de Q :

( )27 25Q x= + −

( )2 27 5Q x= + −

( ) ( )7 5 7 5Q x x = + + + −

( )( )12 2Q x x= + + .

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3) Schéma : RAS. Le triangle ABC est rectangle en A, donc, d’après le théorème de Pythagore, on a :

2 2 2BC AB AC= + donc 2 2 2AC BC AB= −

( )22 27 5AC x= + −

donc 2AC Q= .

Or, d’après la question 2, ( )( )12 2Q x x= + + , donc Q P= .

Et, d’après la question 1 : 2 14 24P x x= + + . On en déduit que : 2 2 14 24AC x x= + + .