EXERCICES PROBLEMES PHYSIQUE MPSI PCSI PTSI · HPRÉPA PHYSIQUE MPSI/PCSI/PTSI Jean-MarieBRÉBEC TaniaCHABOUD ThierryDESMARAIS AlainFAVIER MarcMÉNÉTRIER RégineNOËL EXERCICESET

H PRPA

1ANNE

RE

POUR SENTRANER ET RUSSIR SA PRPA Plus de 300 exercices et extraits de concours corrigs Un rappel des connaissances essentielles Conseils, astuces et mthodes

EXERCICES ETPROBLMES

PHYSIQUEMPSI/PCSI/PTSI

H PRPA

PHYSIQUEMPSI/PCSI/PTSI

Jean-Marie BRBECTania CHABOUDThierry DESMARAISAlain FAVIERMarc MNTRIERRgine NOL

EXERCICES ETPROBLMES1

ANNE

RE

Composition et mise en page : Laser Graphie

Maquette intrieure : Vronique Lefebvre

Maquette de couverture : Guylaine Moi

Relecture : Anne Panaget

Hachette Livre 2010, 43 quai de Grenelle, 75905 Paris Cedex 15www.hachette-education.com

Tous droits de traduction, de reproduction et dadaptation rservs pour tous pays.

Le Code de la proprit intellectuelle nautorisant, aux termes des articles L. 122-4 et L. 122-5 dune part, queles copies ou reproductions strictement rserves lusage priv du copiste et non destines une utilisationcollective, et, dautre part, que les analyses et les courtes citations dans un but dexemple et dillustration, toute reprsentation ou reproduction intgrale ou partielle, faite sans le consentement de lauteur ou de sesayants droit ou ayants cause, est illicite .Cette reprsentation ou reproduction par quelque procd que ce soit, sans autorisation de lditeur ou du Centrefranais de lexploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris), constituerait donc unecontrefaon sanctionne par les articles 425 et suivants du Code pnal.

I.S.B.N. 978-2-0118-1306-0

Quel est lobjet de cet ouvrage?Nous avons labor cet ouvrage dexercices de premire anne de classes prparatoires auxgrandes coles avec deux objectifs principaux, lassimilation du cours par la mise en pratique,et la prparation aux interrogations crites et orales, pendant lanne et aux concours : Les rappels de cours complets permettent de voir rapidement les rsultats importants conna-tre pour toute prparation dpreuves oralse ou crites, que ce soit une colle, ou un concours depremire ou deuxime Anne. Les exercices, choisis pour leur contenu, prparent toutes ces preuves.

Comment travailler de manire optimale avec cet ouvrage? la suite de lnonc, il existe une partie conseils ; les solutions sont prsentes aprs len-semble des noncs. Comment utiliser de manire optimale cette disposition? Comme pour une preuve dcrit, il faut commencer par lire entirement un nonc : pourrsoudre une question donne certaines informations peuvent tre prsentes dans les questionssuivantes. Aprs une priode de rflexion correcte , fructueuse ou non, il est possible de lire la partie conseils : cette partie peut se prsenter ainsi :

soit une ide de rsolution est propose ; soit une question est pose pour la mise en vidence dun phnomne ; soit un thorme est nonc,.

Si laide ne permet pas de rsoudre lexercice, il faut alors saider de la solution, quil ne suf-fit pas de lire : aprs lecture il faut essayer de refaire lensemble de lexercice seul.

Dans un souci daide maximale ces prparations, et cette mthode de travail : Les exercices choisis sont conformes aux nouveaux programmes. Nous avons choisi des exercices ralistes :

ayant une application en physique, soit fondamentale, soit industrielle, ou tant en relation avec lexplication dun phnomne observable.

Lors de la rsolution dun exercice, nous avons privilgi les arguments physiques, les sch-mas et simulations (en faisant appel la mmoire visuelle), aux arguments mathmatiques ; maislorsque les calculs sont ncessaires, lensemble des tapes intermdiaires est prsent. Lorsquun exercice peut tre rsolu par plusieurs mthodes intressantes, ces mthodes sontprsentes et dveloppes. Pour certains exercices nous mettons le lecteur en garde contre certaines erreurs que nousvoyons trop souvent lors dpreuves crites ou orales de concours.

Nous souhaitons que cet ouvrage puisse aider de manire efficace une majorit dtudiants

Les auteurs

vant-proposA

PARTIE 1 MCANIQUEChapitre 1 Cinmatique du point Changement de rfrentiel ..... 9Chapitre 2 Dynamique du point matriel................................................... 18Chapitre 3 Puissance et nergie en rfrentiel galilen ....................... 28Chapitre 4 Oscillateurs ....................................................................................... 40Chapitre 5 Thorme du moment cintique ............................................. 59Chapitre 6 Forces centrales conservatives

Interaction newtonienne ............................................................ 69Chapitre 7 Mcanique en rfrentiel non galilen ................................. 83Chapitre 8 Rfrentiels non galilens usuels ............................................ 95Chapitre 9 Systme de deux points matriels .......................................... 111

PARTIE 2 OPTIQUEChapitre 1 Les bases de loptique gomtrique

Rflexion et rfraction ................................................................ 125Chapitre 2 Formation dimages ..................................................................... 134Chapitre 3 Miroirs et lentilles ......................................................................... 142Chapitre 4 Instruments dobservation ........................................................ 164Chapitre 5 Focomtrie ....................................................................................... 181Chapitre 6 Le prisme, utilisation en spectroscopie ................................ 190

PARTIE 3 THERMODYNAMIQUEChapitre 1 quation dtat dun fluide........................................................ 201Chapitre 2 Statique des fluides ...................................................................... 215Chapitre 3 Premier principe de la thermodynamique.

Bilans dnergie .............................................................................. 227Chapitre 4 Second principe. Bilans dentropie.......................................... 250Chapitre 5 Corps pur diphas .......................................................................... 266Chapitre 6 Machines thermiques ................................................................... 279

Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSILa photocopie non autorise est un dlit.4

OMMAIRES

PARTIE 4 LECTRICITChapitre 1 Rseaux linaires en rgime continu ..................................... 301Chapitre 2 Rseaux linaires en rgime variable .................................... 320Chapitre 3 Rseaux linaires en rgime sinusodal forc..................... 346Chapitre 4 Amplificateur oprationnel........................................................ 363Chapitre 5 Fonctions de transfert .................................................................. 383

PARTIE 5 LECTROMAGNTISMEChapitre 1 Distributions, champ et potentiel lectrostatiques ......... 413Chapitre 2 Le champ magntique permanent ......................................... 438Chapitre 3 Diples lectrique et magntique .......................................... 462Chapitre 4 Force de Lorentz ............................................................................ 485

Annexes...................................................................................................................... 510

Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSILa photocopie non autorise est un dlit. 5

7

1 Mcanique

1 Cinmatique du point Changement de rfrentiel ........................ 9

2 Dynamique du point matriel.................................................................... 18

3 Puissance et nergie en rfrentiel galilen ........................................ 28

4 Oscillateurs ........................................................................................................ 40

5 Thorme du moment cintique .............................................................. 59

6 Forces centrales conservatives Interaction newtonienne ................. 69

7 Mcanique en rfrentiel non galilen .................................................. 83

8 Rfrentiels non galilens usuels ............................................................. 95

9 Systme de deux points matriels ........................................................... 111

PARTIE

Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSILa photocopie non autorise est un dlit.

1 Cinmatique du pointChangement derfrentiel

ESSENTIEL

9 Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSILa photocopie non autorise est un dlit.

LES OBJECTIFS Prciser les caractristiques dun mouvement :

vitesse, acclration, trajectoire dans un rfrentieldonn.

Apprendre choisir le bon systme de coordonnesen fonction du problme tudi.

LES PRREQUIS Notions sur lintgration des vecteurs vitesse et acc-

lration en tenant compte de conditions initiales.

LES OUTILS MATHMATIQUES Notions sur lintgration vues en mathmatiques.

Systmes usuels de coordonnes

Coordonnes cartsiennes Coordonnes cylindriquesOM

= x ex + y e

y + z e

z ; base (e

x , e

y , e

z) (doc. 1). OM

= r er + z e

z ; base (e

r , e

q , e

z) (doc. 2).

x

y

erH

z

x

yr

ex

eyez

ezez

er

erH

M

O

r

e

e

e

zz

x

x

yyex

eyez

M

O

Doc. 1. Coordonnes cartsiennes (x , y , z) :OM

= x ex + y e

y + z e

z .Doc. 2. Coordonnes cylindriques (r , q , z) :

OH

= r er ; OM

= r er + z e

z .

ESSENTIEL Cinmatique du point Changement de rfrentiel1

10 Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI

La photocopie non autorise est un dlit.

Coordonnes sphriques: OM

= r er ; base (e

r , e

q , e

j ) (doc. 3).

Reprsentations du mouvement La trajectoire est constitue de lensemble des positions successives OM

(t) = r (t) du point mobile M

tudi.

Dans lespace des vitesses, lensemble des positions successives ON

(t) = v(t) constitue lhodogra-phe du mouvement.

Dans lespace des phases, le point P repr par OP

= (OM

, ON

) dcrit la trajectoire de phase dumobile. Pour un mouvement un degr de libert, le point de phase P se dplace dans le plan de phase :OP

= (x(t), v(t)).

Vitesse dun pointSoit O un point fixe du rfrentiel . Le vecteur vitesse de M par rapport ce rfrentiel est :

v(M)/ = /

Expression en coordonnes cartsiennes : v(M)/ = x ex + y ey + z ez .

Expression en coordonnes cylindriques : v(M)/ = r er + rqeq + z e

z .

Acclration dun pointLe vecteur acclration de M par rapport ce rfrentiel est :

Expression en coordonnes cartsiennes : a(M)/ = x ex + y ey + z ez .

Expression en coordonnes cylindriques : a(M)/ = (r rq 2) er + (rq + 2 r

q )eq + z e

z ;

ou encore : a(M)/ = (r rq2) er + (r2

q)eq + z e

z .

Mouvement circulaireLe point M se dplace sur un cercle de centre O , de rayon R , daxe (Oz) . Il est repr par ses coor-donnes polaires sur le cercle (r = R , q ) .OM

= R er ;

1r

ddt

a( )d2

d/M

OMt2 / //

=d

d

v (M)

t/

= .

dOM

dt

ez

O

z

x

y

rM

H

er

ex

ey

u

e

e

er

u

u

ee

e

r sin

y

H

H

M

x

z

r

Doc. 3.b. Plans : z = 0 et j = cte .Doc. 3.a.

ESSENTIELCinmatique du point Changement de rfrentiel 1


v(M)/ = Rqeq = w

OM

, o w = w ez ;a(M)/ = R

q2 er + Rq e

q (doc. 4).Si le mouvement est circulaire uniforme, v = R

q est constante, donc a (M)/ est dirige suivant e

r ;elle est centripte (doc. 5).

ex

er

a(M)

e

ey

= ezez = ex ey

y

xz

vM

A

M

O

M

a

v

Doc. 5. Si |v| = cte , lacclration du point M est

dirige suivant OM

: a = er .v 2

R

Doc. 4. Mouvement circulaire dun point M dansun cercle de rayon a :

v = R q eq et a = Rq 2er + Rq eq .

Conseils et piges viter

La vitesse (ou lacclration) dun point M dans un rfrentiel R donn peut sexprimer sur dif-frents vecteurs de projections, mais cest toujours la mme vitesse (ou la mme acclration) !

Lors dune trajectoire courbe, il existe toujours une composante de lacclration dirige verslintrieur de la concavit de la trajectoire.

yN1

yN2

M2

M1

ya(M1)ya(M2)


Ascension dun ballon sondeUn ballon sonde a une vitesse dascension verticale v 0 ind-pendante de son altitude. Le vent lui communique une vitesse

horizontale v x = proportionnelle laltitude z atteinte.

1 Dterminer les lois du mouvement x(t) et z(t) ainsi quelquation de la trajectoire x(z).

2 Calculer le vecteur acclration du ballon.

Trajectoire et hodographedun mouvement plan

Un point M se dplace dans le plan (xOy) la vitesse :v = v0(e

x + e

q), o e

q est le vecteur orthoradial de la base

locale des coordonnes polaires (r,q ).

1 tablir les quations polaire et cartsienne de la trajec-toire caractriser.

2 Faire de mme pour lhodographe.

3 Faire le lien entre langle q = (jex ,r ) et langle

j = (jex ,v ).

Aller et retour sur un fleuveUn rameur sentrane sur un fleuve en effectuant le parcoursaller et retour entre deux points A et B , distants de . Ilrame vitesse constante v par rapport au courant. Le fleuvecoule de A vers B la vitesse u . Son entraneur lac-compagne pied le long de la rive en marchant la vitessev sur le sol, il fait lui aussi laller et retour entre A et B .

z

tc

5

4

3

Une course automobileDeux pilotes amateurs prennent le dpart dune courseautomobile sur un circuit prsentant une longue ligne droi-te au dpart. Ils slancent de la mme ligne. Le premier, A,dmarre avec une acclration constante de 4 m .s2, ledeuxime, B, a une voiture lgrement plus puissante etdmarre avec une acclration constante de 5 m .s2. A acependant plus de rflexes que B et dmarre une secondeavant.

1 Quelle dure faudra-t-il B pour rattraper A?

2 Quelle distance auront-ils parcourue quand B dou-blera A?

3 Quelle seront les vitesses cet instant-l ?

4 Reprsenter x(t ) et v(t) et la trajectoire de phase de Aet B, en prcisant la position de lvnement B dpasseA sur ces reprsentations des mouvements.

Mouvement dun point matrielsur une parabole

Un point matriel M dcrit la courbe dquation polaire

o a est une constante positive, qvariant

de + .

1 Montrer que la trajectoire de M est une parabole. Laconstruire.

2 On suppose de plus que le module du vecteur vitesseest toujours proportionnel r : v = kr , o k est une cons-tante positive.

a. Calculer, en fonction de q , les composantes radiale etorthoradiale du vecteur vitesse de M .

b. Dterminer la loi du mouvement q (t) en supposantque q est nul linstant t = 0 et que q crot.

On donneq

0

dqq

qcos

ln tan .= +

2 4

r acos22

q

=

2

1

12

ExercicesConseils

Dterminer lquation horaire du mouvement dechaque voiture.

Conseils

Il suffit de passer du systme de coordonnes cart-siennes (x, y) au systme de coordonnes polaires(r,q ), et inversement, pour obtenir lune ou lautre desquations recherches.

Conseils

1) Penser remplacer cos2 q2

par 12

(1 + cosq ) et

utiliser les relations entre (x , y) et (r , q ) pour don-ner lquation de la trajectoire en coordonnes cart-siennes.2) La condition v = kr permet dexprimer q enfonction de q , donc de ne plus faire apparatre expli-citement le temps dans les quations, mais seule-ment q .


Seront-ils de retour en mme temps au point de dpart ? Sinon, lequel des deux (rameur ou entraneur) arrivera le pre-mier en A? Commenter.

Chasseur et oiseauUn oiseau se trouve sur une branche darbre, une hauteurH au dessus du niveau du sol. Un chasseur se trouve sur lesol la distance D du pied de larbre. Il vise loiseau ettire. Au moment du coup de feu, loiseau, voyant la ballesortir du canon, prend peur et se laisse tomber instantan-ment en chute libre. chaque instant, lacclration de laballe et de loiseau dans un rfrentiel fixe est g ez (laxe(Oz) est la verticale ascendante). Loiseau est-il touch ?Ltude sera faite :a. dans le rfrentiel fixe ;b. dans le rfrentiel li loiseau.

Quand il faut aller vitePour aller au secours dun nageur en dtresse, un matre-nageur part du poste de secours situ au point A pour allerjusquau nageur situ en B. Sachant que le sauveteur court v 1 = 2 m .s 1 sur la plage et nage v 2 = 1 m .s 1 dans

7

6

leau, en quel point M doit-il entrer dans leau pour attein-dre au plus vite le nageur? On situera ce point laidedune relation entre v 1, v 2, i1 et i2 indiqus sur le schma.

Mouvement calcul partir dela trajectoire et de lhodographe(Daprs ENAC 02)

Dans le plan (xOy) du rfrentiel (O, ex, e

y , e

z ) un mobi-le ponctuel P dcrit la parabole dquation cartsienne :y2 = 2px avec p constante positive.Sa vitesse v (P/R), de composantes X, Y est telle que len-semble des points N(X, Y), hodographe du mouvement deple O, a pour quation cartsienne : X2 = 2qY avec q cons-tante positive.

1 Exprimer X et Y en fonction de y.

2 Exprimer lacclration a (P/R) du point P en fonctiondu vecteur position

OP. Prciser la nature du mouvement

de P.

3 tablir les expressions de x et y en fonction du tempst, sachant que le mobile passe en O linstant initial t = 0.

8

yux

yuy

i2

i1

M

A

B

O

EXERCICESCinmatique du point Changement de rfrentiel 1

13

Conseils

Utiliser la composition des vitesses en faisant atten-tion au sens des vecteurs vitesse.

Conseils Dterminer les trajectoires de loiseau et de la balle

dans le rfrentiel choisi et dterminer leur intersec-tion.



Mouvement dun point matrielsur une parabole

1 Sachant que cos2 = (1 + cosq ), lquation polaire

scrit : r = 2a r cosq ; avec x = r cosq et y = r sinq, et enlevant au carr : r2 = x2 + y2 = (2a x)2, ce qui donne :

x = ,

parabole reprsente ci-dessous.

2 a.

et

II reste liminerq en utilisant :

.

q ] ; + [ , est positif et q est positif par hypo-

thse, donc :

q = k cos et v r = ka ; vq = .

a. q

2

+

= +2

4 4ln tan .

q k ctet

=

=k kdcoscos

qq22

dt

q2

sin q2

cos2 q2

ka

cos q2

cosq2

v = = + =

kr r ra2 2 2

3

2

qq

qcos

vq q qq= =

ra

cos

.2

2

vr

rdr

da= = =

q

q

qq

sin

cos

2

23

y

2a

2a

a x

y 2 + 4a2

4a

q2

12

Corrigs

Une course automobile1 Nous avons :

xA(t) = aAt 2 et xB(t) = aB(t t 0)2,

cette deuxime expression tant applicable t t 0 = 1 s.Les deux voitures sont au mme niveau linstant t1, soit :

aAt12 = aB(t1 t 0)2

ce qui donne :

t1 = t 0 . 9,5 s.

2 linstant t1 :

d = xA(t1) = xB(t1) = aAt12 1,8 . 102 m.

3 vA(t1) = aAt 1 38 m .s 1 et vB(t1) = aB(t1 t 0) 42 m .s 1.

4

B

AvB(t1)

vA(t1)

O

v

xd

t0 t1

vB(t)

vB(t1)vA(t1)

vA(t)

O

v

t

t0 t1

xB(t) xA(t)

O

x

d

t

12

1

1 2aaA

B

12

12

1

q

do sa tangente est positive.Si q = 0 t = 0 , la constante est nulle.

Donc

Ascension dun ballon sonde

1 En coordonns cartsiennes, v = ux +uz avec

et = v 0.

Soit z = v 0 t car t = 0, z = 0 (le ballon dcolle).

= v 0 donne x = en supposant qu t = 0, x = 0.

En liminant le temps t, on obtient :

x = .

La trajectoire est une parabole.

2 a = ux +uz.

Do a = ux.

Trajectoire et hodographedun mouvement plan

1 v = v0(e

x + eq) = v0(cosq e

r + (1 sinq ) e

q).

Le dplacement lmentaire dOM

= d(rer) = dr.e

r + rdq .eq

du point M est colinaire au vecteur vitesse, donc :

= , soit : = = d ln .

ce qui donne lquation en coordonnes polaires :

r = r0 =

o r est un paramtre (longueur) caractristique de la trajec-toire.

On en dduit : r = r + r sin q, soit, avec x = r cos q ety = r sinq, en levant au carr : r2 = x 2 + y 2 = (r + y)2, ce quidonne finalement :

y =

qui est lquation dune parabole daxe (Oy).

2

0vz

tc

1

2

ttc

x 2 r2

2r

1 sinq 01 sinq

r1 sinq

drrdq

cosq1 sinq

drr

cosq dq1 sinq

1 sinq 01 sinq

4

v0t

c

d

d

2

2

x

t

d

d

2

2

z

t

d

d

x

t

1

2 0

2

vt

tc

d

d

x

t

z

tc

= dd

z

t

d

d

x

t

d

d

z

t

3

ln tan . 4 4 2

+ =

kt

+ + ] ; [ ] ; [ donc4 4

02

2 v = v0(e

x + eq ) = v0((1 sinq )e

x + cosq e

y), ce qui

donne lquation cartsienne de lhodographe :(v x v0)2 + v2y = v0

2

qui permet didentifier le cercle de rayon v0 et de centre decoordonnes (v0, 0).

On remplace v x = v cosj et v y = v sinj dans lquation car-tsienne de lhodographe, il vient :

v = 2 v0 cosjqui est lquation polaire de lhodographe.

3 On vite des calculs trigonomtriques en faisant un sch-ma :

Le vecteur = ex + eq est dirig selon la bissectrice des

axes (O, ex) et (O, eq), donc : 2j = + q, soit : j = + .

Aller et retour sur un fleuveLe rameur effectue laller la vitesse v + u et le retour lavitesse v u par rapport au sol.v doit donc tre videmment suprieur u pour que le rameurpuisse remonter le courant et ainsi revenir son point de dpart.La dure de son trajet aller et retour est :

tr = + = .v + u v u

2 vv 2 u2

5

2

4

q2

v

v0

ye

yex

yv

xj

jq

y

O

yv

N yev

vxv0

vy

y

x

r/2

r r

ye

yr

yer

CORRIGSCinmatique du point Changement de rfrentiel 1


Son entraneur effectue laller et retour la vitesse v par rap-

port au sol donc la dure de son trajet est te = . Donc :

tr = te te .

Lentraneur est arriv avant le rameur.Le rameur perd plus de temps au retour quil nen gagne laller. Dans le cas extrme o la vitesse v est peine sup-rieure u , le trajet du retour pour le rameur sera trs long.

Chasseur et oiseaua. On dtermine les trajectoires de loiseau et de la balle dansle rfrentiel li au sol.

Oiseau : zo = g , do zo(la vitesse initiale de loiseau est nulle) ;

xo = 0 , do xo = D .

Balle : zb = g , + v0 sina t ;

xb = 0 , do xb = v0 cosa t ,o v 0 est la vitesse initiale de la balle et a langle de tir : le

chasseur visant loiseau, tan a

Les deux trajectoires se rencontrent-elles? Si oui, au point derencontre xb = D , donc la rencontre a lieu linstant :

cet instant, zb zo = D tana H = 0 : loiseau est touch !Attention: pour que loiseau soit effectivement touch, il fautque la porte de la balle soit suprieure D (sinon les deuxtrajectoires ne se coupent pas). Pour cela, il faut une vitesse v0suffisante.

Plus prcisment, la balle touche le sol linstant

donc en Il faut que x1 D donc que :

v0

Cette condition correspond z(tf ) 0 .

b. Dans le rfrentiel li loiseau, la balle a une acclration

gD

sin( ).

2

xv

g102 2

=sin( )

.

tg1

02=v sin

tD

f=

v0 cos.

. = HD

d'o z gtb

= 1

22

0

0,5

1

1,5

2

54321 x

position initialede loiseau

point de rencontre

y

= +1

22gt H

6

1

1 uv2

2

2v

nulle donc une trajectoire rectiligne uniforme la vitesse v0,toujours dirige vers loiseau qui est donc touch.Conclusion : il faut dire aux oiseaux de toujours se percher surdes branches basses.

Quand il faut aller vite

Le matre-nageur parcourt AM en t1 = et

MB en t2 = .

AM = [(x xA)2 + y2A]

1/2

BM = [(x xB)2 + y2B]

1/2

La dure totale du trajet est :T = t1 + t2.

T = [(x xA)2 + y2A]

1/2 + [(x xB)2 + y2B]

1/2.

On cherche x tel que T soit minimale.

= 0

Soit = 0

Si on introduit i1 et i2, il vient :

.

scrit alors .

Remarque: la valeur de x trouve correspond bien un minimumpour T. La dernire relation crite est analogue la loi deDescartes pour la rfraction en optique : n1 sin i1 = n2 sin i2.

Mouvement calcul partir dela trajectoire et de lhodographe(daprs ENAC 02)

1 v (P/ ) = Xex + Ye

y avec

y 2 = 2px.On peut driver par rapport au temps lquation de la trajec-toire.

Il vient : = soit yY = pX

Dautre part : .

Si Y 0, on obtient , soit

avec y 0.Si Y = 0, X = 0.Si y = 0, X = 0 et puisque X 2 = 2qY Y = 0.

X qYy

pY

2

2= =

2 2 px

t

d

d

22

2q

y

pY Y= = 2 2

2

2Y Y

qp

yX

qp

y= = =et

X q2 2= =

2 2yy

t

d

d=

Xx

tY

y

t= =d

det

d

d

8

sin sini i1

1

2

2v v=

sin

sin

ix x

AMi

x x

BMA B

1 2= =et

x x

AM

x x

BMA B

v v1 2+

d

d

T

x

x x

x x y

x x

x xA

A A

B

B

+

++

[( ) ]

[( )/v v1

2 2 1 22

2 yyB

2 1 2] /

1

1v

1

2v

MB

v2

AM

v1

7

CORRIGS Cinmatique du point Changement de rfrentiel1



2 a (P/ ) = ex + e

y. On se place en dehors du

point O.

et

et

Or donc

On peut alors crire : a (P/ ) =OP.

Le mouvement du point P est acclration centrale par rap-port O.

d

d

Y

t

qp

yY

q p

y

q p

yy= = = =2 4 8 8

2

3

2 4

5

2 4

6 .

dX

dt

qp

y

dy

dt

qp

yY

q p

y= = = =2 2 2 4

2 2

2 3

4

8 2 4

6

q p

y

xy

p=

2

2

dX

dt

q p

yx= .8

2 4

6

Yqp

y= =2 4

2

2

Xqp

y= =2 2

d

d

X

t

d

d

Y

t3 donc y2dy = 2qp2dt .

On intgre en tenant compte des conditions initiales t = 0y = x = 0.

Il vient do

y = (6qp2t)1/3

xy

p pqp t= =

22 2 3

2

2

26( ) /

1

323 2y qp t=

Ydy

dt

qp

y= = 2

2

2

CORRIGSCinmatique du point Changement de rfrentiel 1


2 Dynamique du pointmatrielLES OBJECTIFS Utiliser les lois de Newton pour :

dterminer les caractristiques dun mouvement ; calculer certaines forces.

LES PRREQUIS Expressions des vecteurs vitesse et acclration dans

divers systmes de coordonnes.

LES OUTILS MATHMATIQUES Notions sur lintgration vues en mathmatiques.

ESSENTIEL


Quantit de mouvement (ou impulsion)La quantit de mouvement par rapport au rfrentiel R dun point matriel M, de masse m, est :

p(M)/ = mv(M) / .

Lois de NewtonLes trois lois de Newton sont les lois fondamentales de la mcanique du point matriel.

Premire loi : principe dinertieIl existe une classe de rfrentiels, appels rfrentiels galilens par rapport auxquels un pointmatriel isol est en mouvement rectiligne uniforme.

Deuxime loi : relation fondamentale de la dynamiqueDans un rfrentiel galilen, la somme vectorielle des forces appliques un point M de massem et son acclration sont lies par :

F M = = ma(M) .

Troisime loi : principe des actions rciproquesLes forces dinteraction exerces par deux points matriels M1 et M2 lun sur lautre sont oppo-ses et colinaires laxe (M1M2).

d p(M)dt

ESSENTIELDynamique du point matriel 2


volution dun systme mcaniqueLes systmes mcaniques ont une volution unique pour des conditions initiales donnes (dter-minisme mcanique).

Pour un systme autonome (ou libre), deux trajectoires de phase ne peuvent se couper.


Il faut toujours bien tudier les forces qui sexercent sur un systme, ici un point matriel.

19


2 On rajoute une poulie.La poulie P2 est fixe, la poulie P1 se dplace paralllementau plan inclin. Le fil est attach en A .Dterminer lacclration du solide S2 et les tensions desfils.

tude dun pendule simple,raction au point dattache

Un pendule simple (masse m, longueur ) est lch sans

vitesse initiale partir de la position q = : point matriel

M(m) et point de suspension sont alors dans le mme planhorizontal. (IOM = ej t = 0). On demande de dterminerles ractions Rx (q ) et Ry (q ) en O. Le fil est sans masse etinextensible.

Un jeu denfantUn enfant esquimau joue sur le toit de son igloo. Lenfantse laisse glisser sans frottement depuis le sommet S deligloo, qui a la forme dune demi-sphre de rayon a et decentre O. La position de lenfant, assimil un point mat-riel M , de masse m, est repre par langle q = (Oz, OM),(Oz) tant la verticale ascendante.

1 partir de quelle position (repre par langle q 0 )lenfant perd-il le contact avec ligloo (on nglige bien srles frottements).

4

S2

S1

S2

P2 P1

S1

3

2

Un peintre ingnieuxUn peintre en btiment (de masse M = 90 kg) est assis surune chaise le long du mur quil doit peindre. Sa chaise estsuspendue une corde relie une poulie parfaite. Pourgrimper, le peintre tire sur lautre extrmit de la cordeavec une force de 680 N. La masse de la chaise estm = 15 kg.

1 Dterminer lacclration du peintre et de la chaise.Commenter son signe.

2 Quelle force le peintre exerce-t-il sur la chaise ?

3 Quelle quantit de peinture peut-il hisser avec lui ?

Plan inclin et pouliesLe solide S1 , de masse m1 , glisse sans frottements sur leplan inclin. Le solide S2 , de masse m2 , se dplace verti-calement. Les solides en translation sont considrscomme des points matriels. Les poulies sont idales, lesfils sont inextensibles et sans masse.Donnes : m1 = 400 g, m2 = 200 g et a = 30.

1 On considre le dispositif ci-aprs en haut :Dterminer lacclration du solide S2 et la tension du fil.

2

1

20

ExercicesConseils

Faire un bilan des forces extrieures pour le systme{peintre + chaise}, puis pour le systme {chaise seule}.

Conseils

1) Les deux solides ont la mme acclration (ennorme).1) et 2) En utilisant le caractre parfait des poulies(sans masse) et linextensibilit des fils, chercher unerelation simple entre les tensions des fils aux pointsdattache sur chacun des deux solides.


2 Quel est le mouvement ultrieur de lenfant ? Quelleest sa vitesse quand il retombe sur le sol ? Effectuerlapplication numrique avec m = 30 kg, a = 2 m etg = 9,8 m . s 2. Commenter.

quilibre dun pointUn point M de masse m est li un cercle fixe dans le planvertical, de centre O et de rayon R . La liaison est supposesans frottements. Le point M est attir par lextrmit A dudiamtre horizontal AB par une force toujours dirige versA et dont le module est proportionnel la distance AM . Laposition du point M est repre par langle q = (AB, OM) .

1 Dterminer les positions q = qe dquilibre du point Msur le cercle.

2 Quand le point nest pas en quilibre, dterminerlquation diffrentielle vrifie par q en utilisant la rela-tion fondamentale de la dynamique, puis le thorme dumoment cintique en O .

3 On suppose que q reste proche de qe et on poseq = qe + u avec u


Le fil tant inextensible, donner la relation entre , 0 , Ret q .2 Exprimer les composantes de IOM suivant les vecteursunitaires eur et euq (cf. figure), en fonction de 0 , R et q .3 En dduire les composantes de la vitesse ev de la parti-cule M suivant les vecteurs eur et euq .

4 Montrer que la norme v de la vitesse reste constante aucours du mouvement.

5 Dduire des questions 3) et 4) la relation entre q , q ,0 , R et v0 .

6 Exprimer q en fonction de t , 0 , R et v 0 .7 Dterminer linstant final tf pour lequel le fil est enti-rement enroul autour du cylindre. Effectuer lapplicationnumrique.

8 a) Dterminer la tension T du fil en fonction de t , m ,0 , R et v 0 .

b) En ralit, il y a rupture du fil ds que sa tension dpas-se la valeur Trup = 5 . 10 3 N. Dterminer linstant trup etlangle qrup lorsquintervient la rupture du fil. Effectuerlapplication numrique.

est fixe une particule M de masse m , astreinte glissersans frottement sur le plan horizontal (Oxy) . La partieI0M non enroule du fil est tendue.

Donnes : R = 0,2 m ; m = 0,04 kg ; 0 = I0 M = 0,5 m ;v0 = 0,1 m . s 1.

1 linstant t = 0 , on communique la particule M unevitesse v0 horizontale perpendiculaire I0M et orientecomme lindiquent les deux figures ci-dessous :

On admet que le fil reste tendu au cours du mouvement. linstant t , on appelle q langle dont sest enroul le fil et

la longueur IM du fil non encore enroul.

y

xz R

v0

uru

Vue de dessus linstant t

tracedu fil t = 0

I0

I

M (t = 0)M (t)

x

z

y

O

v0

Vue en perspective linstant t = 0

0

I0

M (t = 0)

EXERCICES Dynamique du point matriel2

22

Conseils

4) Projeter la relation fondamentale de la dynamiquesur eur aprs avoir soigneusement inventori les for-ces qui agissent sur le point matriel ainsi que leurdirection.5) Attention au signe des diffrentes expressions.6) En intgrant la relation obtenue la question 5),tablir lquation du second degr vrifie par q .La rsoudre en remarquant quune seule des deuxracines de cette quation correspond une fonctionq (t) croissante.8) Projeter la relation fondamentale de la dynamiquesur eur .

Un peintre ingnieux1 Les forces appliques au systme {chaise + peintre} sontle poids de lensemble, laction du fil sur la chaise et lactiondu fil sur le peintre ; ces forces sont indiques en bleu sur leschma ci-dessous.Le fil tant inextensible et la poulie sans masse, les deux for-ces T

1 sont gales et sont, en norme, gales la force que lepeintre exerce sur la corde (on notera T leur norme).De mme, T = Ffil-chaise.

La relation fondamentale de la dynamique applique ce sys-tme scrit, en projection sur la verticale ascendante (Oz) :

(m + M)a = (m + M)g + 2T

Cette acclration est positive : partant du niveau du sol, lepeintre slve.

2 Les forces appliques la chaise seule sont son poids,laction du fil et laction du peintre (F

= Fez) . La relation

fondamentale de la dynamique applique la chaise seule,projete sur (Oz) , donne :

ma = mg + F + T F = m(a + g) T = T = 486 N.

F < 0 : cette force est bien dirige vers le bas, le peintre appuie sur la chaise (il exerce une force quivalente aupoids dune masse de 49,6 kg environ).

3 Le peintre et la chaise de masse m (peintures comprises)

montent si a 0, soit m M = 49 kg, donc la peinture

nexcde pas 34 kg, ce qui est raisonnable.(Dautre part, il faut aussi obtenir F 0, sinon le peintrerisque de monter sans la chaise et la peinture, soit m M, cequi est une condition moins contraignante que la prcdente).

.2m.s

2Tg

m Mm + M

= ++

=a gT

m M ,

23 15

uT1

uMg uF

uT1

uFfil-chaisez

O

uFfil-peintre

uFpeintre-fil

uFRmg

1 Plan inclin et poulies1

En utilisant la relation fondamentale de la dynamique, en pro-jection sur z1 ou z2 pour chaque mobile, il vient (en notant T1et T2 les tensions du fil, les normes de T1 et T2) :

m1z1 = m1g sina + T1m2z2 = m2g T2 .

Le fil tant inextensible, on a :.z1 =

.z2.

Le fil tant de masse ngligeable, et la poulie idale : T1 = T2.Finalement, il vient :

z1 = z2 = g

T2 = g (1 + sina ).

Avec les valeurs numriques proposes : z1 = z2 = 0 (il y adonc quilibre si la vitesse initiale est nulle), et T2 = 1,96 N.

2

En reprenant les critures prcdentes, on a ici encore :m1z1 = m1 g sina + T1m2z2 = m2g T2

Le fil 2 est inextensible, donc.z2 =

.z1(poulie mobile), et le fil 1

tant inextensible, il vient encore.z1(poulie mobile) = .

Dautre part, ngliger les inerties des fils et poulies conduit crire : T2 = T2 et T2 = T1 + T1 et T1 = T1, soit : T2 = 2T1.On obtient donc :

2m1z2 = m1 g sina + T1 et m2z2 = m2g 2T1 .

Soit encore : z2 = g

T2 = (2 + sina)g

et numriquement : z2 = 1,1 m.s2 et T2 = 2,2 N.

2m1m2m2 + 4m1

m2 2m1 sinam2 + 4m1

z1

2

2

m1 yg

m2 yg

iR1iT1 iT 1

iT 2

iT2 z1

z2a

S2 S1

m1m2m1 + m2

m2 m1 sinam2 + m1

m1yg

m2yg

iR1iT1iT2 z1

z2a

S2S1

23

Corrigs


La relation fondamentale de la dynamique

ma(M) = P

+ R

projete sur er et e

q donne :

maq 2 = R mg cosq (1)

maq = mg sinq . (2)Lenfant esquimau quittera le contact avec ligloo quand Rsera nul. Il faut donc exprimer R en fonction de q et, pourcela, dterminer pralablement la relation entre

q 2 et q : onmultiplie la relation (2) par q :

maqq = mg q sinq

o A est une constante dtermine par les conditions initia-les q (0) = 0 et q (0) = 0 , donc A = mg .La relation recherche est ma

q 2 = 2mg(1 cosq) . On lareporte dans lquation (1) : R = mg(3 cosq 2) .R est positif tant que q reste infrieur :

2 Quand lenfant a quitt ligloo, il nest plus soumis qu sonpoids. On choisit cet instant comme nouvelle origine des temps.Les conditions initiales de ce nouveau mouvement sont :

x(0) = a sinq0 = x0 , z(0) = a cosq0 = z0 (point M0)v(0) = a q 0e

0 = a

q 0 (cosq0 e

x sinq0 e

z)

= 3 ex 1 ez = v0x ex + v0 z ezLe mouvement est parabolique, tangent ligloo au pointM0 . Les lois horaires du mouvement sont :

.

Lenfant touche le sol linstant tf tel que z(tf) = 0 . On obtient :

(lautre racine est ngative).

Sa vitesse, quand il arrive sur le sol, est donc :

vf = v0 xe

x + (v0 z gtf)e

z .

tg

v v gzf z z

= + +( )1 20 02 0

x t v t x

z tgt

v t z

x

z

( )

( )

= +

= + +

0 0

2

0 02

2ga3

23

59

q02

348=

=arccos .

= +1

22ma mg Aq q cos ,

=dd

d

dtma

tmg

1

22q q( cos )

z

x

erR

mg

e

M

CORRIGS Dynamique du point matriel2



tude dun pendule simple,raction au point dattache

Au point O, le fil tant sans masse, on a :R

+ ( T

) = 0

.

Pour la masse m situe au point M, on peut apliquer le prin-cipe fondamental de la dynamique dans la rfrentiel galileno se fait lexprience.

Soit : ma(M) = mg + T

avec a =

q 2 ur + q u

q

T

= Tur.

On en dduit mq 2 = mg cos q T

m q = mg sin q .En multipliant lquation par

q , il vient :m

qq = mg sin q q

m .

Les conditions initialesq = 0 pour q = permettent dobte-

nir K = 0.Do R

= T

= 3 mg cos q ur.

Rx(q ) = 3 mg cos2 qRy(q ) = 3 mg sin q cos q.

Un jeu denfant1 Les forces qui sexercent sur lenfant sont son poidsP

= mgez et la raction de ligloo R

= Rer (en labsencede frottements).

yex

yurm yg

yuq

yey

yR

yT

y

x

O

M

q

4

2

1

22m mg Kq q= +cos .

d

dtd mg

1

22q q

= ( cos )

3

CORRIGSDynamique du point matriel 2


A.N. : v0 x = 2,41 m.s 1 ; v0 z = 2,69 m.s 1 ;z0 = 1,33 m ; tf = 0,315 s ; v

f = 2,41 e

x 5,78 e

z

et vf = 6,26 m .s 1 = 22,5 km .h 1 .

Cette vitesse a la mme norme que celle quau-

rait lenfant sil tombait en chute libre depuis le sommet deligloo : le thorme de lnergie cintique (cf. chapitre sui-vant) donne ce rsultat immdiatement.

quilibre dun point1 Les forces appliques au point M sont :

son poids P

= mg = mg(sinq er + cosq e

q) ;

la raction du cercle N

= N er (pas de frottements) ; la force de rappel F

= k MA

:

F

Quand le point M est lquilibre, P

+ N

+ F

= 0 .La force N

tant inconnue, on projette cette quation sur eq :

Il y a donc deux positions dquilibre :

q q q1 2 1=

= +arc ettan .mg

kR

=tan .qmg

kR

cos cos sinmg kRqq q

+

=22 2

0

ere

M

A R BO

2

2

z

yx

=

cos cos sink R e er

22 2 2

q q qq

.

5

vf

ga=( )2

2 La relation fondamentale de la dynamique scrit :ma = P

+ N

+ F

. Comme la question prcdente, on la

projette sur eq pour liminer N :

3 qe = q1 ou q2 .q = qe + u avec u

CORRIGS Dynamique du point matriel2



La solution de lquation du mouvement est :

u = Aew t + Be w t .Compte tenu des conditions initiales,

u(0) = u0 = A + B et u(0) = 0 = w(A B) ,on obtient u(t) = u0ch(w t) : si on carte lgrement le pointde sa position dquilibre, il sen loigne encore plus, lqui-libre est donc instable.Pour qe = q2 , cosq2 et sinq2 sont ngatifs. On pose alors :

Comme pour q1 , on obtient :

w 2 = = +12 .

La solution de lquation du mouvement est :

u = Acosw t + Bsinw t avec A = u0 et B = 0en tenant compte des conditions initiales, do u(t) = u0cosw t :si on carte lgrement le point de sa position dquilibre, il yrevient : lquilibre est donc stable.

Mouvement dune masseaccroche un ressort, impactau point dattache (oral TPE)

lquilibre, les forces qui agissent sur m sont laction duressort, le poids et la ration du support, parallle Oy enlabsence de frottements.En projection sur Ox : 0 = k(xe L0) + mg sin .Au cours du mouvement : mx = k(x L0) + mg sin

mx = k(x xe).

En introduisant 0 , on obtient :

x + 02x = 0

2 xe.do x(t) = A cos 0 t + B sin 0 t + xe.A t = 0 x(0) = A + xe = xe A = 0

x(0) = B 0 = v0 B =

Donc x(t) = sin 0 t + xe.

xe

t1 T0T02

w0

O

x(t)

y

v0

0

v

0

0

=k

m

6

km cosq 2

k 2

m2g2

R2

cos sin .w q q2 2 2= +k

m

g

R

x(t) peut sannuler si 0

v0 xe 0.

On a impact en O t1 avec t1 .

= soit .

La vitesse au moment du choc vrifie :x(t 1) = v0 cos 0 t1.

x(t 1) = v0 1

Enroulement dun filsur un cylindre

1 = 0 Rq puisque la longueur enroule vaut Rq.

2 OM

= OI

+ IM

= Rur + (l0 Rq)u

q .

3 , do, aprs simplification :

v = q ( 0 Rq )u

r .

4 Les forces qui sexercent sur le point M sont : son poids P

;

la raction du plan horizontal R

;

la tension du fil T

.

Il ny a pas de frottements.

Les deux premires forces sont verticales, la dernire est

dirige par uq , donc P

+ R

= 0

et m ddvt

= T

= T uq est

perpendiculaire v, soit : v. = 0, ce qui assure v = cte = v 0.

5 q > 0 , 0 Rq > 0 , la norme de la vitesse est doncv = q ( 0 Rq) = v 0 .

6 Lquation prcdente sintgre en 0q = v 0 t

(compte tenu des conditions initiales).

q(t) est donc la solution de lquation du second degr :

q 2 + = 0 .

Donc : q (t) = 8 2 .

1220 x2e

v 20

0

R0

R2v 0 t

R

0

0

xe

vsin

0 1t t

xe

10

0

0

1=

Arc sinv

T04

T0

0

2=

xe

v0

0

2 0 qR

2v 0 tR

Rq 2

2

dv

dt

d

det

u

tu

du

dtur

r= =q qq

7

CORRIGSDynamique du point matriel 2


q (t) tant croissant, on ne conserve que la solution avec lesigne :

q (t) = 1 61 .7 Le fil est entirement enroul quand :

s

8 a. Pour dterminer la tension du fil, on projette la rela-tion fondamentale de la dynamique sur uq , en utilisantle fait que v = v 0u

r , donc que a

= q v 0u

q . Il vient

0

R2Rv 0 t

20

K tR

tRf

( ) , : ,= = = =0 02

0

1432

6 25 doncv

T = mv 0q (T est le module de la tension T

). En utilisant

lexpression de q(t) dtermine plus haut, on obtient :

T = 1 1

2 .

b. trup = 1 2

= 6,09 s ;

q rup = 1 = 2,1 rad = 120 143 .

mv 200

2Rv 0 t20

mv 200 Trup

20

2Rv 0

0

Rmv 200 Trup

3 Puissance et nergieen rfrentiel galilenLES OBJECTIFS Introduire la notion dnergie. Utiliser le thorme de lnergie cintique pour

rsoudre les problmes un degr de libert.

LES PRREQUIS Lois de Newton.

LES OUTILS MATHMATIQUES Intgration en mathmatiques. Lecture de courbes, interprtation graphique de

solutions.

ESSENTIEL


Puissance, travail dune force dans un rfrentiel La puissance dune force F

est gale au produit scalaire de cette force par la vitesse de dpla-

cement de son point dapplication :

= F

. v.

Le travail dune force entre les instants t1 et t2 est gal 2

1

dt. Pour un point matriel, cetravail est gal la circulation de F

:

=r2

r1

F. dr.

Thormes de la puissance et de lnergie cintique

La puissance cintique (drive de lnergie cintique par rapport au temps) est gale

la puissance de toutes les forces sexerant sur le point matriel.

La variation dnergie cintique K = K(t2) K(t1) est gale au travail de toutes lesforces pendant lintervalle de temps [t1, t2].

Champ de forces conservatifUn champ de forces est conservatif sil drive dune nergie potentielle P ( r

) , telle que le tra-vail lmentaire de la force vrifie :

= F

. dr = d P.

d Kdt

ESSENTIELPuissance et nergie en rfrentiel galilen 3


Quelques exemples dnergies potentielles

nergie mcaniqueLnergie mcanique dun point matriel est M = P + K.

La variation de M est gale au travail des forces qui ne drivent pas de lnergie potentielle,donc au travail des forces non conservatives.

Mouvement conservatif un degr de libertLquation du mouvement peut se dduire de M = cte :

lvolution du point matriel est limite aux zones o lnergie potentielle reste infrieure lnergie mcanique : P(x) M ;

les trajectoires de phase dun systme conservatif sont des courbes nergie mcanique cons-tante ;

les minima de P correspondent aux positions dquilibre stables et les maxima aux positionsdquilibre instables. La technique de linarisation, lorsquelle est justifie, permet de prciser lanature du mouvement au voisinage de lquilibre.


Le travail dune force F

sobtient ainsi :

=

r2

r

1

F. dr

qui pour un point matriel se dduit de la formule gnrale toujours utilisable :

=t2

t1

(t) dt

avec (t) = F

. v (t)avec v (t) la vitesse du point dapplication de la force, ici le point matriel. Pour un systme conservatif, penser ds que possible linvariance de lnergie mcanique pourobtenir lquation dvolution du point matriel.

29

interaction force schma nergie potentielle

pesanteur F

= mg= mgez P = mgz + cte

interaction F

= er P = + ctenewtonienne

ressort linaire F

= k( 0)e

x P = k( 0)2 + ctexO

yF = k ( 0) ex

0

12

Kr

Kr2

y

xO

OM = rerF = er

M

Kr2

z

xO

F = mgez


tude de la chute dun alpiniste

Lors dune escalade, un grimpeur sassure en passant sacorde dans des anneaux mtalliques fixs au rocher. Lacorde peut coulisser librement dans ces anneaux. Le fac-teur de chute f est dfini comme le rapport de la hauteurde chute tant que la corde nest pas tendue sur la longueurL de corde utilise. Si au moment de la chute, la corde est

tendue, ce facteur de chute vaut f = (docs. 1 et 2) o

est la distance du grimpeur au dernier anneau. Dans desconditions normales dutilisation f est compris entre 0et 2. Pour les applications numriques, le poids P dugrimpeur sera pris gal 800 N.Le maillon fragile dans la chane dassurance dun grim-peur nest pas la corde (qui peut rsister des forces deplus de 18 kN), ni les points o la corde est attache aurocher (rsistance de lordre de 20 kN) mais le grimpeur(une force de 12 kN exerce sur le bassin provoque sa rup-ture) ! Les cordes utilises en escalade sont lastiques defaon diminuer la force qui sexerce sur le grimpeur lorsde sa chute. On assimilera une corde de montagne dont lalongueur utilise est L un ressort de longueur

vide L et de raideur k = . Llasticit a de la corde

est une grandeur caractristique du matriau la constituant.

1 Soit un ressort vertical de raideur k et de longueur vide L auquel est suspendue une masse m , de poidsP = mg (g dsignant le module du champ de pesanteur).

1a L

2L

4 m 5 m

5 manneaufix

au rocher

pointd'attachede la corde

pointd'attachede la corde

Facteur de chute : f = 10 m = 1,19 m

4 m

4 m

5 m

Facteur de chute : f = 8 m

Doc. 1 Doc. 2 Doc. 3

= 24 m

cbl

e

3Distance minimale de freinageUne voiture roulant 50 km . h 1 simmobilise sur une routerectiligne et horizontale au bout dune distance de 40 m. Ensupposant que la force de frottement entre le sol et la voi-ture est constante, dterminer la distance de freinage si levhicule roule 80 km . h 1. On ngligera la rsistance delair.

Carabine-jouet ressortUne carabine-jouet ressort est modlise de la maniresuivante : un ressort de raideur k est plac dans un tubecylindrique (en plastique) de longueur 0 gale la lon-gueur vide du ressort. On dpose au bout du ressort uneballe en plastique de masse m et on comprime le ressortdune longueur lintrieur du tube. Le tube tant inclinde 60 par rapport lhorizontale, on libre le ressort quipropulse instantanment la balle. On nglige le frottementde la balle dans le tube et la rsistance de lair.

1 quelle vitesse v 0 la balle sort-elle du canon de lacarabine ?

2 Quelle hauteur h (par rapport la sortie de la carabi-ne) la balle atteint-elle dans ces conditions ?Avec quelle vitesse horizontale vH ?A.N. : Calculer v 0 , h et vH .Donnes : m = 20 g , k = 400 N . m 1 et = 10 cm.

2

1

30

ExercicesConseils

Appliquer le thorme de lnergie cintique entre ledbut du freinage et larrt total.

Conseils 1) Utiliser la conservation de lnergie de la balle

aprs avoir soigneusement dtermin son nergiepotentielle que lon pourra, par exemple, choisir nulle la sortie du canon.2) Que peut-on dire de la composante horizontale dela vitesse de la balle aprs la sortie du canon ? Endduire le module de la vitesse au sommet de la tra-jectoire, puis, en appliquant le thorme de lnergiecintique entre la sortie du canon et le sommet, lahauteur du tir.


linstant t = 0 , le ressort est non tendu et m a une vites-se verticale, dirige vers le bas, de module v 0 . Dterminerllongation maximale du ressort xmax (mesure partirde la longueur vide) et la force maximale Fmax quilexerce sur la masse m .

2 En utilisant le rsultat de la question 1), exprimer laforce maximale Fmax exerce par la corde lors dunechute de facteur f en fonction des donnes de lnonc.Que remarquez-vous ?

3 Le corps humain peut rsister une force de lordre de12 kN pendant un temps bref.

a) Une corde descalade est prvue pour que la forcemaximale exerce sur lalpiniste soit de 9 kN dans lesconditions les plus dfavorables ( f = 2) .i) Calculer llasticit de cette corde (prciser les unitsde a).ii) Calculer llongation maximale de cette corde et laforce maximale pour L = 10 m et f = 1 .iii) Quen est-il pour le doc. 3 o la hauteur de chute est de5 m et la longueur de la longe (corde laquelle est accro-ch le grimpeur) est de 1 m.

b) Ltude prcdente ne tient pas compte des phnomnesdissipatifs se produisant dans la corde. Llongation de lacorde est en fait infrieure celle calcule avec le modlechoisi. La corde ne se comporte pas comme un ressort.Supposons que pendant toute la dure du freinage par lacorde, elle sallonge de faon maintenir 9 kN la forcequelle exerce sur le grimpeur. Calculer son longationmaximale pour L = 10 m, g = 1 puis L = 1 m, f = 5 .

c) Une corde utilise en splologie est dite statique car sonlasticit est faible (environ 5 10 6 SI). En revenant aumodle dune corde parfaitement lastique, partir de quelfacteur de chute y a-t-il danger de mort avec une telle corde ?

Anneau en mouvementsur une hlice

Les quations en coordonnes polaires dune hlice rigidedaxe vertical Oz sont r = a et z = hq. Un petit anneau enfilsur lhlice est abandonn sans vitesse initiale au point dal-titude H = 2h. En assimilant lanneau un point matriel

4

mobile sans frottement, calculer le temps quil met pouratteindre le plan horizontal z = 0.

Mouvement de trois lectronsTrois lectrons sont retenus aux sommets dun triangle qui-latral de ct a puis sont abandonns simultanment.Dterminer la vitesse limite de chacun. Application num-rique : m = 9 .10 31 kg, e = 1,6 .10 19 C, a = 2 .10 10 m,e0 = 1/36 .109.

*Mouvement dun pointsur un cercle, liaison bilatrale,puis unilatrale

On considre une gouttire G circulaire, verticale, de centreO et de rayon R . On appelle (Oy) laxe vertical ascen-dant. La position dun point P sur G est repre par langleq entre OW

et OP

, o W est le point le plus bas du cercle.

1 Une petite perle P de masse m est enfile sur la gout-tire (liaison bilatrale) qui joue donc le rle de glissire. linstant t = 0 , on lance P depuis le point W avec unevitesse v0 . La perle glisse sans frottements le long de G .a) Exprimer la vitesse de P en un point daltitude y enfonction de v0 , g , R et y .

b) tudier alors les diffrents mouvements possibles de Psuivant les valeurs de v0 .

c) Dterminer la raction N

de la gouttire sur la perle.tudier ses variations en fonction de y . Commenter.

d) On choisit ici v0 = 25gR . Dterminer la loi horaire q(t) .Quelle est la valeur maximale de q ?Pour quelle valeur de t est-elle atteinte ?

Donne :q

0

d

cos

ln tan= +

2 4

y

x

gouttire

OR

P

g

6

5

EXERCICESPuissance et nergie en rfrentiel galilen 3

31

Conseils

Pour dterminer llongation extrme de la corde, quiest le but des questions poses, il est inutile de rsou-dre lquation du mouvement pour obtenir la loidvolution de la longueur de la corde au cours dutemps. Utiliser la conservation de lnergie, en exa-minant soigneusement les conditions initiales pourcalculer la constante nergie mcanique, est bien suf-fisant et nettement plus rapide.

Conseils Comment volue la figure forme par les trois

lectrons ? Utiliser le point O, centre de gravit dutriangle initial pour reprer la position dun lectron.


On se placera dans ce cas par la suite.

2 Stabilit de lquilibrea) Exprimer lnergie potentielle Ep(z) associe cemouvement (on choisit Ep(0) = 0) . Tracer lallure desvariations de Ep(z) , et discuter la stabilit des positionsdquilibre obtenues.

b) Quelle est la pulsation w0 des petites oscillations de lasphre au voisinage de lquilibre stable ? (On lexprime-ra en notant ze la position dquilibre stable.)

3 On a trac ci-dessous quelques trajectoires de phase

dans le plan z, pour diverses conditions initiales.

a) Peut-on prciser le type de conditions initiales qui a tchoisi, et le sens dvolution de la particule sur ces trajec-toires ?

b) Proposer quelques commentaires pour les volutionsobserves.

Navire moteur (Banque G2E08)Un navire, de masse m = 10 000 tonnes, file en ligne droi-te, la vitesse v0 = 15 nuds.La force de rsistance exerce par leau sur la coque dubateau est du type : F = kv 2 o k est une constante et v lavitesse du bateau.Un nud correspond 1 mille nautique par heure et lenautique est gal 1 852 m.On se place dans un rfrentiel li au port qui sera suppo-s galilen.

8

1

v/w0

1 2 3 4 5

0

1

2

3

3 2 1

4

z

vw 0

2 La gouttire G reprsente maintenant un des trousdun parcours de golf miniature : la balle doit faire un loo-ping complet lintrieur de G avant de poursuivre sonchemin (liaison unilatrale). La gouttire est videmmentouverte en W et dcale pour que la balle puisse pour-suivre son chemin. La balle est assimile un point mat-riel P de masse m . Elle arrive au point W avec lavitesse v0 .

a) tudier les diffrents mouvements possibles de P sui-vant les valeurs de v0 .Quelle valeur minimale de v0 faut-il donner la balle pourquelle effectue le tour complet ?

b) On choisit encore v0 = 25gR . Pour quelle valeur de qla balle quitte-t-elle le contact avec la gouttire ? quelinstant cela se produit-il ?

Mouvement dune particulecharge sur un axe

Laxe vertical (Oz) est matrialis par un fil fin sur lequelpeut coulisser sans frottement une trs petite sphre, demasse m , portant la charge lectrique q positive.Un cerceau de rayon R et daxe (Oz) , portant une char-ge lectrique positive rpartie uniformment sur sa circon-frence, cre un champ lectrique dont on admettra lex-pression sur laxe (Oz) :

E

axe(z) = a ez , o a est une constante positive.

1 Force subiea) Exprimer la valeur algbrique F(z) de la force dorigi-ne lectrique F

(z) = F(z) ez subie par la petite sphre.

Tracer lallure des variations de F(z) .

b) Pour quelles valeurs de la masse m est-il possibledobtenir des positions dquilibre pour la petite sphre ?

7

z

(R2 + z 2)32

EXERCICES Puissance et nergie en rfrentiel galilen3

32

Conseils 1) La perle effectue un tour complet si sa vitesse ne

sannule pas au cours de son mouvement. Le signe dela raction de la gouttire (ou de la glissire, danscette question) na aucune importance ici, car la perleest enfile sur la gouttire, donc le contact est tou-jours assur.Pour dterminer lquation du mouvement, isolerddqt

partir du thorme de lnergie cintique en

faisant trs attention aux signes (on rappelle que3x 2 = x ). Mettre ensuite cette quation sous laforme dt = f(q) dq avant de lintgrer.2) Dans ce cas, quand la raction de la gouttire san-nule, la balle quitte le support : la gouttire ne joue plusle rle de glissire. Il reste tudier, suivant les valeursde v0 , si la raction sannule avant la vitesse ou non.

Conseils

1) lquilibre, la somme des forces doit sannuler.2) Lquilibre stable correspond un minimumdnergie potentielle. Pour de petits mouvements, onpeut essayer de linariser lquation du mouvementau voisinage de lquilibre.


1 Calculer la constante k sachant que le moteur fournitune puissance de 5 MW la vitesse v0.

2 Le navire stoppe ses machines la distance X au largede la passe dentre dun port.Dterminer lexpression de la vitesse du navire en fonc-tion du temps t. On posera L = m /k.

3 En dduire la distance X parcourue par le navire enfonction de L, v0 et vP, la vitesse au niveau de la passe.Calculer cette distance si on dsire atteindre la passe lavitesse de 2 nuds.

4 Dterminer le temps q mis pour atteindre la passe.

5 Dterminer la vitesse, vQ, larrive du quai, un demi-mille au-del de la passe dentre. On la calculera ennuds puis en m/s.

6 Quelle est la solution durgence pour arrter le bateau?

tude dun looping(daprs ICNA 06)

Une bille, assimile un point matriel M de masse m, estlche sans vitesse initiale depuis le point A dune gout-tire situ une hauteur h du point le plus bas O de lagouttire. Cette dernire est termine en O par un guidecirculaire de rayon a, dispos verticalement. La bille, donton suppose que le mouvement a lieu sans frottement, peutventuellement quitter la gouttire vers lintrieur du cer-cle. On dsigne par g = gey lacclration de la pesan-teur (cf. figure ci-dessous).

A x

h a

C

M

O y

yey

yg

yeq

yer

yex

q

9

1 Calculer la norme v0 de la vitesse de la bille en O.

2 Exprimer la norme vM de la vitesse de la bille en unpoint M quelconque du cercle repr par langle q.

3 On dsigne par er = le vecteur unitaire port

par le vecteur position ICM du point M.

crire lexpression de la raction R

= Rer du guide circu-laire sur la bille.

4 Dterminer la hauteur minimale hmin partir de laquel-le il faut lcher la bille sans vitesse initiale pour quelle aitun mouvement rvolutif dans le guide.

5 On lche la bille sans vitesse initiale depuis une hau-teur h0 = 2a. Calculer, en degrs, la valeur q0 de langle qpour laquelle la bille quitte le guide.

6 Calculer la valeur vOx de la composante suivant laxeOx de la vitesse de la bille au moment o elle quitte leguide.

7 Calculer la valeur maximale hM de la hauteur atteintedans ces conditions par la bille aprs quelle ait quitt leguide.

CMCM

EXERCICESPuissance et nergie en rfrentiel galilen 3

33



tude de la chute dun alpiniste1 Notant x lallongement du ressort, lquation du mouve-ment est :

mx = kx + mgdont lintgrale premire est, compte tenu des conditionsinitiales :

mx 2 mgx + kx2 = mv 02 .

Llongation maximale du ressort est la solution suprieure :

xeq = de lquation du second degr :

kx2 2 mgx mv 02 = 0.

Soit : xmax = 1 + 81 + 2 .La force maximale vaut alors :

Fmax = mg 1 + 81 + 2 .2 La hauteur de chute libre h qui donne une vitesse v0 la

limite de tension de la corde est h = .

Le facteur de chute du cas tudi est donc f = , ce qui

permet dcrire la force maximale sous la forme :

Fmax = P 1 + 51 + .Ce rsultat ne dpend que du facteur de chute, pas de h : pourune corde deux fois plus longue et une hauteur de chute deuxfois plus grande, la force maximale est inchange (le contactavec la paroi risque tout de mme dtre un peu plus svre !).

Le cas le plus dfavorable correspond L minimum, pourune hauteur de chute h donne, soit f = 2, cas du doc. 2 delnonc.

3 a) i. Llasticit de la corde est :

a = , mesure en N 1.

Pour Fmax = 9 kN, P = 800 N, f = 2 , il faut que llasticitde la corde soit a = 4,8 . 10 5 N 1.ii. Pour L = 10 m et f = 1 , llongation maximale est :

xmax = aLP 1 + 51 + = 3,2 met la force maximale vaut Fmax = 6,6 kN.

iii. Ce cas apparat catastrophique : la hauteur de chute estimportante alors que la partie extensible de la corde est trs

3

2 faP

2 fPFmax (Fmax 2P)

2 faP

v 02

2gL

v 02

2g

km

v 0g

mgk

km

v 0g

mgk

12

12

12

Corrigs

Distance minimale de freinage

Soit F le module de frottement entre la voiture et le sol. Lethorme de lnergie cintique entre le dbut du freinage (lavoiture la vitesse v ) et larrt scrit :

1er cas : 0 = Fd1 ;

2e cas : 0 = Fd2.

On en dduit =2

= 2,56,

ce qui donne d2 = 102,4 m, soit environ 100 m. La distancede freinage a donc augment de 60 m !

Carabine-jouet ressort

1 Lnergie mcanique initiale de la balle est :

M0 = mg sin a si on choisit lorigine des nergies

potentielles lextrmit du canon de la carabine. Quand laballe sort du canon, son nergie est donc uniquement sous

forme dnergie cintique, elle vaut . La conservation de

lnergie mcanique (on nglige tout frottement) donne :

v 0 =9mk ( )2 2g sinav 0 = 14,1 m . s 1 51 km . h 1.

2 Quand la balle est au sommet de sa trajectoire, sa vitesseest horizontale. La seule force agissant sur la balle une foisquelle a t tire est son poids, donc la composante horizon-tale de la vitesse se conserve :

vH = v 0 cosa = 7,0 m . s 1 25 km . h 1 .Le thorme de lnergie cintique entre linstant o la ballesort du canon et celui o elle passe au sommet de sa trajectoireparabolique scrit :

= mgh, donc h = 7,6 m .v 20 sin2a

2gmv 20

2

mv 2H2

mv 202

mv 222

mv 212

k ( )2

2

2

d2d1

v 2v 1

1

rduite. Cest pourtant ce qui est utilis dans le cas duneexcursion en via ferrata, mais le dispositif dassurance utili-s est alors tout particulirement conu pour ce genre dex-pdition : la fixation au harnais est un amortisseur.A.N. : f = 5 , L = 1 m et Fmax = 13,7 kN.

b) Pour ce nouveau modle, lquation du mouvement est :mx = F + P

o le second membre est constant, soit :

m.x2 + (F P)x = mv 02 .

Il vient alors :

xmax = = L .

A.N. : L = 10 m et f = 1 : xmax = 1 m ;L = 1 m et f = 5 : xmax = 0,5 m.

c) Le facteur de chute est :

f = .

Pour F = 12 kN et a = 5 . 10 6 N1, on a fmax = 0,39 .

Anneau en mouvementsur une hlice

Lors du mouvement de lanneau, seul son poids travaille.On peut appliquer le thorme de lnergie cintique entrelaltitude H et laltitude z.

mv 2 = mg(H z)

Sur lhlice OOM = aur + z u

z

v = aquq + zu

z = a

quq + hquz

v2 = (a2 + h 2 )q 2

Soit m(a2 + h 2 )q 2 = mgh (2 q )

Lanneau part de q = 2 et arrive en q = 0, donc 0.

Soit = 92 q

= dt.

Lanneau atteint le sol pour t = T avec

= T.

T = 2 ( )a h

gh

2 2+

22 2

gha h+

d

20

2

22 2

gha h+

d 2

d

d

t

12

22 2

gha h+

ddt

1

2

4

aFmax(Fmax 2P)2P

mv 02

2(F P)f

FP

1

12

12

Mouvement de trois lectronsAu cours du temps, les lectrons restent positionns sur un tri-angle quilatral dont le centre de gravit O est immobile.

Posons OA = x. OA = AH = AB sin = AB.

Llectron en A est soumis deux forces :FBA de la part de

llectron en B etFCA de la part de llectron en C de mme

norme.FBA +

FCA = 2 cos u

x = u

x .

Cette force globale drive de lnergie potentielle Ep(x) avec :

Ep(x) = .

Au cours de son mouvement, llectron a une nergie mca-nique constante.

EM = mv 2 + Ep(x) = avec x0 = .

Soit mv 2 = .

La vitesse limite atteinte correspond x infini.

v lim = .

Mouvement dun pointsur un cercle, liaison bilatrale,puis unilatrale

1 a) Le thorme de lnergie cintique appliqu entre lepoint de dpart (point le plus bas du cercle) et un

point quelconque scrit m m = mg(y + R).

b) La perle fait le tour complet de la gouttire si v 2 > 0 pourtout y [ R ; R] donc si v 0 24gR.

Dans le cas contraire, la vitesse sannule en y0 = R,

et la perle oscille entre les deux points symtriques daltitude y0 .

c) La relation fondamentale de la dynamique scrit :ma= P

+ N

avec a = R q 2er + Rq eq ,

e2

04 3 x

12

v202

v2

2v202

6

e

2 0 ma

12

e2

04 ae2

04 3 x

12

e2

04 3 x0

a

3

e2

024 AB

6

e2

024 3 x

23

23

3

1

3

BH

O

A

C

x

yFCAyFBA

5

CORRIGSPuissance et nergie en rfrentiel galilen 3


les forces tant :

P

= mg cosq er mg sinq eq et N

= Ner(la gouttire jouant le rle de glissire, N est de signequelconque). En projection sur er , en utilisant v = R

q ety = Rcosq , on obtient :

N = mg cosq + m = mg .

Avec la convention choisie pour N , il est ngatif au dbut

du mouvement, puis change de signe en y = y0, et reste

positif tant que y y0, ce qui na pas dinfluence ici sur le

mouvement de la perle car la gouttire assure toujours la liaison(liaison bilatrale).

d) Avec v0 = 24gR le thorme de lnergie cintique devient

v 2 = 2g(R y) . En fonction de q , on obtient :

(R q )2 = 2gR(1 + cos q ) = 4gR cos2 ,

soit : = 2

Quand q augmente de 0 :

cos 0 et 0 donc, dans cette phase du mou-

vement :

soit

Pour avoir q (t) , il suffit dinverser cette expression :

q = 4 arctan . La valeur maximale de q est

, le temps mis pour latteindre est infini.

0 5 10 15 200

0,5

1

1,5

2

2,5

3

t

expg

Rt

tRg

=

0

dRg

2

2

4 4

= +

cos

ln tan .

d tRg

d=

2

2cos

,

q2

dqdt

dqdt

gR

cos .2

s2

23

23

v2

R3y 2y0

R

2 a) N sannule pour y1 = y0 = R. Ce point

appartient la gouttire si, et seulement si, y1 [ R ; R] ,soit v 0

2 5gR . Si y0 < 0 , la vitesse sannule avant la rac-tion, si y0 > 0 , cest la raction qui sannule en premier. Pourque la balle effectue le tour complet, il faut que v 0

2 > 65gR .

Conclusion

Si v 0 62gR, le point P monte jusquen y0 0 , redes-cend tout en restant en contact avec la gouttire et revient versson point de dpart.

Si 62gR v 0 65gR, le point P quitte le contact en unpoint daltitude 0 y1 R et tombe.

Si v 0 65gR, le point P fait le tour complet.

b) N sannule en y1 = R. En reprenant le calcul de la ques-

tion 1) d), on obtient linstant t1 o cela se produit :

t1 = , o cos q 1 = =

on trouve t1 = 1,54 .

Mouvement dune particulecharge sur un axe

1 Force subie

a) Sachant que F

(z) = aqEaxe(z)ez , on a :

F(z) = aq

dont les variations sont reprsentes ci-aprs (doc. 1).

Doc. 1

6 4 2

2 4 60

0,2

0,2

0,4F(z)

mg z2

z1

0,4

z

(R2 + z2)32

7

Rg

Rg

ln ta n 14 4

+

y1R

23

23

23

13

v 02

g23

CORRIGS Puissance et nergie en rfrentiel galilen3



b) Lquilibre peut tre ralis si la force F(z) peut trecompense par leffet du poids. On voit que la condition

mg = aq peut tre ralise pour deux positions

dquilibre z1 et z2, condition que la masse m soit infrieure

mmax = .

La valeur maximale de F(z) est obtenue pour z = .

La condition dexistence des deux quilibres est donc :

m mmax = .

2 quilibre

a) Lnergie potentielle Ep,l (z) associe aux efforts lectro-statiques est donne par :

= F(z) = aq ,

soit : Ep,l (z) = + aq + cte,

en prenant la constante de faon avoir Ep,l (0) = 0 , onobtient les variations suivantes (doc. 2), o on observe natu-rellement leffet rpulsif du cerceau sur la petite sphre (lesdeux portent des charges de mme signe) : la force lectriqueest oriente dans le sens dcroissant de lnergie potentielle,et tend loigner la sphre du point O.

En ajoutant lnergie potentielle de pesanteur, lorigine delnergie potentielle tant prise en z = 0 , il vient :

EP(z) = aq + mgz .1

R2 + z212

qR

Doc. 2

0,8

0,6

0,4

0,2

6 4 2 2Ep,l(z) 4 6 z0

1

R2 + z212

dEp,ldz

z

R2 + z232

2aq

332gR 2

R12

[F(z)]maxg

z

R2 + z232

On retrouve les positions dquilibre z1 et z2 rendant lnergiepotentielle stationnaire :

en z1 lnergie potentielle passe par un maximum (local) :lquilibre est instable,

en z2 lnergie potentielle passe par un minimum (local) :lquilibre est stable.

b) Au voisinage de ze = z2 , notons z = z2 + e et tentons unelinarisation de lquation du mouvement :

m = F(ze + e) mg = [F(ze) mg] + e z2 +

o le terme dordre 0 est nul par dfinition de lquilibre. Onobtient une quation doscillateur harmonique :

= w 20 e ,

o la pulsation est :

w 0 = 5 ze = z2 =5 .3 a) Pour les trajectoires de phases fermes, qui correspon-dent des mouvements priodiques, les conditions initialessont sans importance. Pour la trajectoire non ferme, qui partsur laxe (Oz) du plan de phase, la petite sphre a t lchesans vitesse initiale.

Le sens dvolution sobtient sachant que z augmente lorsquele point de phase est au-dessous de (Oz) car la vitesse estngative, et que z diminue si le point est au-dessus de (Oz)(doc. 4).

1m

dFdz

q z R

m z R

( )

( )

2 2

25

2

e2

e2 +

d2 e ( )dt 2

d2 z(t)dt 2

dFdz

Doc. 3

O 2 1 1

0,2

0,2

0,4

0,6

0,8

2

z1Ep(z)

z2

3 4 5



Doc. 4b) Les trajectoires fermes correspondent des oscillationsautour de la position dquilibre stable z = z2 . Notons que laplus petite trajectoire correspond pratiquement un cercle :lapproximation linaire, donnant des oscillations harmo-niques, est ici satisfaisante.Pour la trajectoire non boucle, lnergie mcanique est suf-fisante pour passer la bosse dnergie potentielle en z = z1 .Dans un premier temps, z varie de z(0) z2 ; lnergie poten-tielle diminue et lnergie cintique augmente : la trajectoiresloigne de (Oz). Pour z diminuant de z2 z1 , lnergiepotentielle augmente, lnergie cintique diminue : la trajec-toire revient vers laxe (Oz), mais ne le touche pas : la petitesphre natteint pas labscisse z1 avec une vitesse non nulle.Au-del, elle poursuit sa chute en acclrant.

Navire moteur (Banque G2E08)1 La puissance fournie par le moteur compense exactementla puissance de la force de frottement lorsque le bateau avan-ce vitesse constante.PM kv 30 = 0.Numriquement :v0 = 15 nuds = 7,7 ms 1.k = 1,09 104 Nm 2 s2.

2 Quand le navire stoppe ses machines, il continue sa routeselon la direction de v0 .Soit v0 = v0e

x .

En projection sur ex , dans le rfrentiel li au port, le princi-pe fondamental de la dynamique appliqu au bateau scrit :

= kv 2.

En posant L = , il vient = .

Soit = et = en tenant compte

des conditions initiales.

v =v

v0

0

L

L t+

d

dt1

v

d

dttL

1

v

1

0vtL

mk

dv

v 2dtL

mt

ddv

8

1

V/w0

1 2 3 4 5

0

1

2

3

3 2 1

4

z

z1 z2 z(0)

3 On a donc : = dx = dt.

Soit x = + L ln (L + v0t) + k. t = 0, x = X donne k = L ln L X.

Donc x(t) = L ln X = L ln X.

On atteint la passe pour x = 0 avec vP = v0 exp .

Si vP = 2 nuds X = L ln 1 850 m 1 mille nautique.

4 q = L = 773 s.

5 xQ = + 926 m = L ln X.

vQ = 0,73 nud = 0,37 ms 1.

6 Pour arrter le bateau en urgence, il faut remettre lesmoteurs en marche et faire machine arrire.

tude dun looping(daprs ICNA06)

1 La bille est en mouvement dans un rfrentiel galilen.En lui appliquant le thorme de lnergie cintique entre lespoints A et O, il vient :EC(O) EC(A) = Wpoids + Wraction.Puisquil ny a pas de frottements, le travail de la raction,orthogonale au dplacement, est nul.Wpoids = mg (yA yO) = mgh.

Donc mv 20 mv 2A = mgh avec vA = 0.

v0 = 62gh.

2 En un point M tel que yM = a(1 cos q ), on obtient :

mv 2M = mg(yA yM) = mg( a + h + a cos q ).

vM = [2g (a cos q a + h)]1/2

3 Sur le guide circulaire, les forces appliques m sont lepoids et la raction R er .m a(M) = m g + R erSoit m( a

q 2 er + aq eq) = mg + R er .

En projection sur eq , lquation donne :ma

q = mg sin q.On multiplie par

q.a

q q = g sin q q

aq 2 = (g cos q ).d

dt12

ddt

12

12

12

9

v0vQ

1vP

1v0

v

v0

P

XL

1 0+

v t

L

v

v0

( )t

ddxt

v

v0

0

L

L t+v

v0

0

L

L t+

CORRIGS Puissance et nergie en rfrentiel galilen3



Soit aq 2 = g cos q + k.

En q = 0, v0 = aq = 62gh.

Do = g + k. k = g 1 .

aq 2 = 2g cos q + 2g 1 .

En projection sur er , lquation donne :R = ma

q 2 mg cos q.

R = 3 mg cos q + 2mg 1 .

b) La bille peut parcourir le guide en entier si R reste ngati-ve sur tout le parcours.

Soit 2 3 cos q.

En q = , on obtient 2 = 3

hmin = a.

5 Avec h = h0 = 2a, R sannule pour : 3mg cos q0 + 2mg(1 2) = 0

52

2hmina

2ha

ha

ha

12

2gha

ha

12

cos q0 = . q0 = 131,8.

6 ce moment-l, v = aq uq0

avecq = cos q0 +

1/2

q =1/2

.

Soit v0x = a1/2

cos q0 = 3 .7 Le mouvement se fait alors sous laction du poids seul,v0x reste inchange.hM est atteint lorsque la vitesse verticale vz sannule.

mv 2M mvq 02 = mg(hq0 hM), avec vM = v0x .

Soit hM = hq0 +

hM = a(1 cos q0) + a.

hM = a.

23

5027

427

2g3a

a2

2g

v0x2

2g

vq 02

2g

12

12

2ga3

23

2g3a

2g3a

2ga

2ga



4 OscillateursLES OBJECTIFS Connatre la rponse dun oscillateur diffrents

types dexcitation.

LES PRREQUIS Lois de Newton.

LES OUTILS MATHMATIQUES Rsolution des quations diffrentielles du deuxime

ordre coefficients constants. Notation complexe. Calculs sur les nombres complexes.

ESSENTIEL


Oscillateur harmoniqueUn oscillateur harmonique est un systme un degr de libert dont lquation du mouvement est dela forme x + w 0

2x = 0 , quelle que soit la nature physique de la variable x . Il est soumis une force

de rappel f = kx qui drive de lnergie potentielle p(x) = . Il effectue des oscillations iso-

chrones de pulsation w0 = 1 et de priode T0 = . Lnergie mcanique de loscillateurharmonique se conserve.

Oscillateur amorti par frottements visqueuxSous leffet dune force de frottement fluide f

= hv = h x ex , lquation du mouvement de los-

cillateur est x + 2a x + w 02x = 0 avec 2a = = , Q est le facteur de qualit de loscillateur.

Si a > w 0 ou Q < 1/2 : le mouvement est apriodique. Si a = w 0 ou Q = 1/2 : le mouvement est critique. Si a < w 0 ou Q > 1/2 : le mouvement est pseudo-priodique (la solution est le produit dune expo-nentielle et dune sinusode) de pseudo-priode :

T = avec w = 9w 20 a 2 = w 0 91 .Pour les faibles amortissements (a > 1), la variation relative de lnergie mcanique

au cours dune pseudo-priode est = , ou encore (voir exercice 2).2Q

MM

Q = 2

M

14Q2

2w

w 0Q

hm

2pw 0

km

kx2

2

ESSENTIELOscillateurs 4


Oscillations forcesLoscillateur prcdent est soumis une force excitatrice F

A = FA (t)e

x . Lquation du mouvementest alors :

x + 2a x + w 20x = .

La solution de cette quation est de la forme x(t) = x0(t) + x1(t) , o x0(t) est la solution gnrale delquation homogne associe (rgime libre) et x1(t) une solution particulire (rgime forc).Loscillateur tant amorti, le rgime libre tend vers 0 quand t augmente. Au bout dun certain temps,seul subsiste le rgime forc. On appelle rgime transitoire le rgime reprsent par x(t) tant quex0(t) nest pas ngligeable devant x1(t) .Quand plusieurs excitations agissent sur un oscillateur linaire, la rponse de celui-ci est la sommede ses rponses chacune des excitations prises isolment.

RsonancesLoscillateur est soumis une excitation sinusodale de pulsation w :

FA(t) = mw 20 xAm cos w t.La rponse en rgime forc (ou rgime permanent) est de la forme x(t) = xmcos(w t + j) , o xm etj dpendent de w .On utilise alors les grandeurs complexes associes aux grandeurs sinusodales : la grandeuru(t) = Umcos (w t + j) , on associe la grandeur complexe u(t) = Ume j (w t + j) = Ume j w t ,o Um = Ume jj est lamplitude complexe de u(t). On obtient u(t) en prenant la partie relle de u(t)et lamplitude relle Um en prenant le module de Um .Lamplitude xm(w) passe par un extremum pour w = 0 . Il y a rsonance dlongation (autre extremum

de xm(w)) si Q . Cette rsonance a lieu pour w r = w 0 81 . Si lamortissement estfaible, wr w 0 et lamplitude maximale Xm est gale QxAm . Le systme effectue un filtrage passe-

bas ou passe-bande pour sa rponse en longation, selon que Q ou Q .

Il y a rsonance de vitesse pour w = w 0 quelle que soit la valeur du facteur de qualit. Lamplitudede la vitesse la rsonance est Vmax = Qw 0xAm . Le systme effectue un filtrage passe-bande pour sarponse en vitesse. La bande passante w 3 dB est la bande de pulsation lintrieur de laquelle

lamplitude de la vitesse satisfait lingalit Vm(w) .

La bande passante (pour la vitesse) et le facteur de qualit sont relis par lquation = .

Le calcul de la bande passante pour llongation (quand il y a rsonance) est beaucoup plus lourd.Cependant, dans le cas dun amortissement faible (Q >> 1) , on retrouve la mme relation.

1

Qww 0

Vmax12

1

121

12

1

2Q21

12

FA(t)m

41

ESSENTIEL Oscillateurs4



Les oscillations harmoniques (amorties ou non) nexistent pas quen mcanique ; il faut bienconnatre les proprits des solutions. Bien connatre les solutions quelle que soit lcriture de lquation :

x + 2x + w 20 x = 0

x + x + w 20 x = 0

avec Q facteur de qualit de loscillateur. Pour les oscillations forces, elles sont ici toujours sinusodales ; si le terme forc nest pas sinu-sodal, mais priodique, penser la dcomposition de lexcitation en srie de Fourier et faire lasomme des solutions car lquation diffrentielle est linaire.

w0Q


*Associations de ressortsUne masse m est relie de deux faons diffrentes deuxressorts de raideur k1 et k2 , de longueur vide 01 et 02 :

Montrer que la masse dcrit un mouvement harmonique

de priode dans le premier cas, et

dans le second cas.

En dduire la raideur du ressort quivalent lensembledans chacun des deux cas. Commenter.

Oscillateur amorti de facteurde qualit lev

Un oscillateur harmonique perd 5 % de son nergie mca-nique par pseudo-priode.

1 De quel pourcentage sa pseudo-frquence diffre-t-elle de sa frquence propre f0 ? Estimer le facteur dequalit Q de loscillateur.

2 Aprs combien de pseudo-priodes son amplitude

sera-t-elle gale de sa valeur initiale ?

3 Aprs Q pseudo-priodes, quelle est lamplitude dos-cillation ?

Tm

k k= 2

1 2+

1

e

2

1

Tm k k

k k= 2

(1

+2

1 2

)

Premier cas

k2, 02 m

Second cas

k1, 01 A

k2, 02m

O

Ok1, 01

*Oscillateur harmonique amortipar frottement solide

On considre un oscillateur harmonique constitu par unpoint matriel de masse m assujetti se dplacer en glis-sant sur laxe (Ox) , rappel vers la position dquilibrex = 0 par un ressort de raideur k.

Le glissement sur la tige matrialisant laxe (Ox) sac-compagne dun frottement. Ainsi, la raction R

du sup-

port se dcompose en une composante normale N

(quicompense ici le poids) et une composante tangentielle T

.

On supposera ce frottement entre solide dcrit par les loissuivantes : le point M peut tre maintenu en place par lexistence dela raction tangentielle T

, condition que celle-ci reste

limite par lingalit : T

f N

; si cette condition nest pas ralisable, alors le point Mglisse, et le frotte

Documents

EXERCICES PROBLEMES PHYSIQUE MPSI PCSI PTSI · HPRÉPA PHYSIQUE MPSI/PCSI/PTSI Jean-MarieBRÉBEC TaniaCHABOUD ThierryDESMARAIS AlainFAVIER MarcMÉNÉTRIER RégineNOËL EXERCICESET