Exercices sur les cercles

LGL Cours de Mathématiques 2015-16

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AB Beran - 2016-Cours3BCD-TrigonometrieSurLeCercle-Cours.DOCTrigonométrie sur le cercle trigonométrique - 1 -

Sommaire

A Rappels de la trigonométrie de 4e

B Trigonométrie sur le cercle trigonométrique

B0 Eléments de base

B1 Réduction du 1er quadrant au 1

er quadrant: Angles complémentaires

B2 Réduction du 2e quadrant au 1

er quadrant

B21 Angles supplémentaires

B22 Angles anti-complémentaires


er quadrant : Angles anit-supplémentaires


er quadrant : Angles opposés

B5 Réduction au 1er tour de cercle

B6 Résumé des différents signes des fonctions trigonométriques

B7 Exercices d’entraînement

B71 Pure utilisation des formules

B72 Détermination de valeurs exactes par réduction des angles à des angles du 1er quadrant

C Le passage des valeurs trigonométriques aux fonctions trigonométriques

C1 Les déroulements du cercle

C2 Les différents effets du changement des coefficients

C21 Le déphasage

C22 Le changement de période

C23 Le changement de l’amplitude

C3 La fonction sinus et les fonctions polynômes de degrés croissants

D Les équations trigonométriques

D1 Les équations trigonométriques élémentaires

D11 Les équations en sinus

D12 Les équations en cosinus

D13 Les équations en tangente

D2 Réduction à des équations trigonométriques élémentaires

D21 Par changement de fonction

D22 Par factorisation élémentaire

D3 Equations trigonométriques du second degré : Utilisation de la substitution, illustration

E La trigonométrie dans un triangle quelconque

E1 Les bases nécessaires sur les angles du cercle

E2 Le théorème du sinus

E3 Le théorème du cosinus / Pythagore généralisé / Al-Kashi

E4 Exercices mélangés


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Trigonométrie sur le cercle trigonométrique

Propriété: Tout point du cercle trigonométrique détermine un seul angle orienté et tout angle orienté

détermine un seul point du cercle trigonométrique:

M M détermine le seul angle orienté XOM

Définition: Dans un repère orthonormé du plan, si le point M est l'unique point du cercle trigonométrique

déterminé par l'angle orienté x, alors:

cos x est l'abscisse du point M

sin x est l'ordonnée du point M

sin x cosx

tan x , si cosx 0 et cot x , si sin x 0cosx sin x

Par conséquent: Le point M du cercle trigonométrique est le point M(cosx,sin x)

Etude des signes des fonctions sinus, cosinus et tangente

x est un angle du premier quadrant x est un angle du deuxième quadrant

On constate:

x sin x cos x tan x cot x

0 0 1 0

0 x2


1 0 02

x2


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x est un angle du troisième quadrant x est un angle du quatrième quadrant


0 1 0

3x

2


31 0 0

2

3x 2

2

Propriétés

1. Tout angle orienté a un cosinus et un sinus.

Seuls l'angle droit positif et l'angle droit négatif n'ont pas de tangente.

Seuls l'angle nul et l'angle plat n'ont pas de cotangente.

2. Quel que soit l'angle orienté x,

2 2

1 cos x 1

1 sin x 1

cos x sin x 1 Relation fondamentale de la trigonométrie

Autres formules de trigonométrie

Sous l'hypothèse des formules connues: 2 2sin xtan x avec cosx 0 et sin x cos x 1

cosx , établir

une formule directe de calcul de la valeur de 2sin x en fonction de 2tan x .

Résolution:

2 22 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

22

2

sin x sin xtan x (1 sin x) tan x sin x

cos x 1 sin x

tan x sin x tan x sin x

tan x sin x (1 tan x)

tan xsin x avec cos x 0

1 tan x


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Sous l'hypothèse des formules connues: 2 2sintan avec cos 0 et sin cos 1

cos

xx x x x

x , établir

une formule directe de calcul de la valeur de 2cos x en fonction de 2tan x .

Résolution:

2 22 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

2

sin 1 costan cos tan 1 cos

cos cos

cos tan cos 1

cos (1 tan ) 1

1cos avec cos 0

1 tan

x xx x x x

x x

x x x

x x

x xx

Exercice : Calculez la valeur exacte de A, B et C

2 2

2 2

5sin 2cos 3avec tan

3cos 4sin 4

3cos 4sin 7avec cot

5sin 2cos 3

2sin 3cos 2avec cot

4sin 3sin cos 5cos 5

x xA x

x x

x xB x

x x

x xC x

x x x x

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Exercices du livre: 64, 65, 66 p. 245/246 et 106, 107, 108 p. 253


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Formules de changement de quadrants

Définitions

Deux angles et sont supplémentaires ssi

Deux angles et sont anti-supplémentaires ssi

Deux angles et sont opposés ssi 0

Deux angles et sont complémentaires ssi 2 2

Deux angles et sont anti-complémentaires ssi 2 2

Pour établir des formules de transformation, nous utilisons les définitions ci-dessus en vue d’obtenir

les valeurs des nombres trigonométriques dans les différents quadrants. On suppose en premier lieu

que l’angle de référence soit un angle du premier quadrant. On ramène tous les angles à cet angle

, car on y connaît les valeurs remarquables au premier quadrant.

Angles supplémentaires Angles anti-supplémentaires

Nous constatons :

: sin sin : sin sin

: cos cos : cos cos

: tan tan : tan tan2 2


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Angles opposés Angles complémentaires

Passage du IV au I quadrant Passage du I au I quadrant

Nous constatons :

: sin sin : sin cos2

: cos cos : cos sin2

: tan tan 0 : tan cot2 2

Angles anti-complémentaires Angles supérieurs à 2π

Passage du II au I quadrant Retour au premier tour de cercle

Ces résultats sont faciles à imaginer

On constate pour les angles anti-complémentaires :

: sin 2 sin

: cos 2 cos

: tan 2 tan2

: sin cos2

: cos sin2

0 : tan cot2


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Remarques :

1) Ces formules peuvent également être généralisées à un angle quelconque, n’appartenant pas

nécessairement au premier quadrant, sous la condition d’existence de la tangente.

2) On peut constater que tant qu’il n’y pas de 2

dans l’expression du départ, on garde toujours la

même fonction. Par contre, dès que le 2

apparaît, les fonctions se trouvent changées.

3) Dans toutes ces formules, les signes établis plus tôt sont respectés.

B6 Résumés

2

2

2

sin

cos


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B7 Exercices d’entraînement

B7.1

Exercices d’application de ces formules

Exercice 1 : Simplifiez

cos cos2

1) 2) tan tan2

sin sin2

cot cossin sin 2

3) 4)sin

cos cos2

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Exercice 2 : Démontrez

2 2

1) sin35 cos55 2) sin126 sin54

3) cos 77 cos 103 4) tan 35 tan 55 1

sin34 15) sin 36 sin 54 1 6) cos34

tan56 sin56

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Exercice 3 : Calculez les valeurs exactes des expressions A, B C et D

2 2 2

5 3 3sin tan cos sin cos sin

3 6 4 6 4 4

13 5 5 14sin cos sin cos

7 11 6 6 6 3sin cos tan2 56 4 4

tan cos3 4

A B

C D

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Exercices du livre : 68, 69, 70 p. 246 et 88, 89 p. 250


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Résolution de quelques exercices du livre


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Exercice 106


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C Le passage des valeurs trigonométriques aux fonctions trigonométriques

C1 Les déroulements du cercle

C11 La fonction sinus

C2 Les différents effets du changement des coefficients

C21 Le déphasage

C22 Le changement de période

C23 Le changement de l’amplitude

C3 La fonction sinus et les fonctions polynômes de degrés croissants

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