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Exercices sur les nombres complexes 1/7

EEXXEERRCCIICCEESS SSUURR LLEESS NNOOMMBBRREESS CCOOMMPPLLEEXXEESS

Exercice 1

Une minuterie est alimentée par une tension alternative sinusoïdale U(t) = Um sin(t + ).

À un instant cette tension est représentée par un vecteur de Fresnel U dont les coordonnées

sont (190 ; - 130). L'affixe de U est le nombre complexe z = 190 + j (-130).

1) Représenter le vecteur U ci-dessous.

2) Déterminer graphiquement le module et l'argument du nombre complexe z.

3) Calculer le module du nombre complexe z. Arrondir le résultat au dixième.

4) Calculer l' argument du nombre complexe z. Arrondir le résultat au dixième.

5) Écrire le nombre complexe z sous la forme trigonométrique.

20 2000

20

(D’après sujet de Bac Pro ELEEC Session juin 2008)

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Exercices sur les nombres complexes 2/7

Exercice 2

On note : • j le nombre complexe de module 1 et dont un argument est π/2

• P le plan muni du repère orthonormal direct , , O u v d'unité graphique 1 cm.

1) Soit le nombre complexe z tel que z = 4 – 4j.

a) Placer, dans le plan P, le point M d'affixe z.

b) Donner les coordonnées du vecteur OM .

2) Soit le nombre complexe z tel que z = 4 – 4j.

a) Calculer la valeur exacte du module du nombre complexe z.

b) Calculer l'argument, compris entre -π et +π du nombre complexe z.

3) a) Donner la valeur exacte de la norme du vecteur OM .

b) Donner la mesure exacte, en radian, comprise entre -π et +π de l'angle , u OM .

4) On associe au vecteur OM la fonction sinusoïdale u définie par :

• pour tout nombre réel t, par ( ) 4 2 sin 1004

u t t

.

a) Calculer la période de la fonction u.

b) Calculer la valeur exacte de u (l /400).

(D’après sujet de Bac Pro Électrotechnique - Électronique Session juin 2000)

Exercice 3

L est l’inductance d’une bobine et C est la capacité d’un condensateur.

La figure suivante montre un circuit LC parallèle, alimenté par un courant électrique

sinusoïdal d’intensité i et de tension u telle que u = U sin (100t). C

L

u

i

Il y a phénomène d’antirésonnance si LC² = 1

1) a) Écrire la valeur exacte de la pulsation du signal de tension u.

b) Sachant que L = 10 mH, calculer C pour qu’il ait antirésonnance. Arrondir au F.

2) Les impédances complexes ZL et ZC de la bobine et du condensateur sont telles que :

ZL = jL et ZC = j

C

On peut calculer l’impédance complexe Z du circuit grâce aux formules :

Z = ZL ZC

ZL ZC

ou

Z =

ZL

+

ZC

Exprimer Z sous la forme algébrique a + jb, en fonction de L, C et . On rappelle que

j = –j.

(D’après sujet de Bac Pro MRBT Session 2000)

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Exercices sur les nombres complexes 3/7

Exercice 4

Dans le graphique ci-dessous, le plan est muni d'un repère orthonormal direct d'unité

graphique 0,01 cm. On note j le nombre complexe de module 1 et dont un argument est 2

.

Soit les deux nombres complexes z1 et z2 tels que :

z1 = 250

z2 a pour module 250 et l'un de ses arguments est égal à 2

3

.

1) a) Placer sur le graphique les points M1 et M2 d'affixes respectives z1 et z2.

b) Placer le point M3 dont l'affixe z3 est égale à - z1

c) Construire à partir des points M2 et M3 le point S dont l'affixe z est égale à z2 + z3.

d) Par lecture graphique, proposer une valeur pour chacune des coordonnées du point S.

2) Le nombre complexe z2 est égal à 2 2

250 cos sin3 3

j

.

On rappelle 2 1

cos3 2

et

2 3sin

3 2

a) Vérifier que z2 = -125+ j125 3 .

b) Déterminer l'écriture algébrique exacte du nombre complexe z = z2 + z3

(D’après sujet de Bac Pro Équipements et Installations Électriques Session juin 2002)

100

O 100

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Exercices sur les nombres complexes 4/7

Exercice 5

On note :

j le nombre complexe de module 1 et dont un argument est 2

.

le plan muni du repère orthonormal direct ; ;O u v d'unité graphique 1 cm.

Soit le nombre complexe z tel que z = 4 - 4j.

1) a) Placer, dans le plan , le point M d'affixe z.

b) Donner les coordonnées du vecteur OM .

2) a) Calculer la valeur exacte du module du nombre complexe z.

b) Calculer l'argument, compris entre - et , du nombre complexe z.

3) a) Donner la valeur exacte de la norme du vecteur OM .

b) Donner la mesure exacte, en radians, comprise entre - et , de l'angle ( , )u OM .

4) On associe au vecteur OM la fonction sinusoïdale u définie, pour tout nombre réel t, par :

( ) 4 2 sin 1004

u t t

a) Calculer la période de la fonction u.

b) Calculer la valeur exacte de1

400u

.

(D’après sujet de Bac Pro Équipements et Installations Électriques Session 2000)

v

O u

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Exercices sur les nombres complexes 5/7

Exercice 6

Un circuit électrique est alimenté par une tension d’entrée u variant en fonction du temps t.

La fonction de transfert en régime sinusoïdal du circuit, constitué par une résistance de valeur

R = 1 000 Ω et par un condensateur de capacité C = 10-7

F ,a pour expression :

T =

jRC

jRC

1

avec R en Ω , C en F et en rad/s.

j désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument 2

.

1) Montrer que, pour = 2104 rad/s, l’expression de T peut s’écrire : T =

j

j

2) Calculer (1 + 2j)(1 – 2j)

3) En utilisant le résultat précèdent, montrer que T = 0,8 + 0,4j.

4) Calculer le module du nombre complexe T. Le résultat sera arrondi au millième.

5) Calculer un argument du nombre complexe T. Le résultat sera arrondi au centième de

radian.

(D’après sujet de Bac Pro Micro-informatique et Réseaux Session juin 2009)

Exercice 7

Un circuit électronique a une tension d'entrée Ve, et une tension de sortie y(t) qui dépend du

temps t.

Pour une valeur fixée de la fréquence, la fonction de transfert du circuit ci-dessus a pour

expression :

2

1

1 0,5T

j

où j désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument 2

.

1) Donner le conjugué de 1 0,5 j .

2) Calculer 1 0,5 1 0,5j j .

3) En utilisant les résultats précédents, montrer que 0,48 0,64T j .

4) Calculer le module de T, noté T .

5) Calculer un argument de T arrondi au degré.

(D’après sujet de Bac Pro MAVELEC Session 2001)

u CIRCUIT

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Exercices sur les nombres complexes 6/7

Exercice 8

Un dipôle D parcouru par un courant d'intensité i est soumis a une différence de potentiel u

telle que :

u (t) = 230× sin (t)

On associe à u(t) le nombre complexe U ayant pour module U = 230 V et pour argument

=

rad.

U = [ ]U ; = [ 230 ; 0 ]

L'impédance complexe Z du dipôle D a pour expression : Z = R + R

jRC

avec R = 103 ; C = 0,1 F ; = 10

4 rad/s et où j designe le nombre complexe de module 1

et d'argument

.

1) Montrer qu'avec les valeurs numériques de R, C et , l'impédance complexe Z a pour

expression Z = 103

j

j

2) Vérifier que Z a pour forme algébrique Z = 1 500 – 500j.

3) a) Calculer le module Z de Z Le résultat sera arrondi à 10–2

.

b) Calculer un argument 2 de Z. Le résultat, en radian, sera arrondi à 10-2

.

c) En déduire l'expression de Z sous forme trigonométrique

4) On rappelle que : I = U

Z module I =

module U

module Z

argument( I ) = argument(U) – argument(Z)

Sachant que l'intensité du courant traversant le dipôle a pour expression :

i(t) = I sin (t + )

Donner l'expression de la valeur instantanée i(t) de l'intensité du courant, la valeur I du

module de I sera arrondie au millième.

(D’après sujet de Bac Pro MRIM Session juin 2007)

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Exercices sur les nombres complexes 7/7

Exercice 9

On applique une tension u de fréquence variable f à l’entrée d’un filtre passe-bas :

Ce filtre atténue ou « arrête » les tensions de fréquences supérieures à la fréquence

0

1

RCf

On appelle gain (en décibel) du filtre le nombre :

G = 20logT où log est le logarithme décimal et où T est le module du nombre complexe :

1T=

1+jRCω

On rappelle que j désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument 2

.

1) On donne : R = 100 Ω C = 63 μF = 2 πf avec f = 50 Hz.

Calculer RC, où la capacité C doit être exprimée en Farad. Arrondir à 10-2

.

2) On admet que 1

T=1+1,98j

.

En multipliant le numérateur et le dénominateur de T par le nombre complexe (1–1,98j),

montrer que T peut s’écrire T 0,2 0,4j .

3) a) Calculer le module du nombre complexe T . Arrondir à 10-2

.

b) En déduire le gain G du filtre. Arrondir à l’unité.

(D’après sujet de Bac Pro ELEEC Session 2006)

Filtre

C

R

u