zExercice n°5 (Suite de l'Exercice n°4)Soit un tablier de pont caisson soumis uniquement à un effort tranchant vertical

BB = 12.75 m

es G b = 5.9 my ea h h = 3.2 m

ei es = 0.25 mea = 0.3 m

b ei = 0.25 mfck = 40 Mpafywd = 435 Mpa

Gz est axe de symétrie de la section. Vz = 9 MNNconc = 40 MN

Diamètre des gaines de précontrainte: 0.08 mLes gaines, métalliques, sont injectées

Calcul des armatures d'effort tranchant:

Pour rappel, caractéristiques de la section:Aire de la section B es + 2 ea h + b ei = 6.583 m²Moment statique par rapport au hourdis supérieur, par exemple: 2 ea h² / 2 + ei b h = 7.792 m3Distance entre G et le hourdis supérieur: vG = (2 ea h² / 2 + ei b h) / (B es + 2 ea h + b ei) = 1.184 mDistance entre G et le hourdis inférieur: vG' = h - vG = 2.016 m

Nconc parallèle à la fibre moyenne par définitionVEd = 9 MN (effet "favorable" de la précontrainte inclus)

d = 3.16 m En supposant que les armatures longitudinales sont à 4 cm du parement

fck = 40 Mpa fcd = 26.7 Mpa fctk;0.05 = 2.5 Mpacp = Nconc / Ac = 6.08 Mpa

Résistance des âmes en absence d’aciers de tranchant :Pour notre section en caisson:

k1 = 0.15C = 1.5

= 1.251577 < 2 ok

= 0.313 Mpa

bw = 2(ea - 0.5gaine) = 0.52 m (Cumul des deux âmes)

VRd,c = 2.01 MN VRd,c < VEd Necessité d'armatures d'effort tranchant

On a vu dans l'exercice n°4 que le cisaillement maximal se produit au centre de gravité G, et vaut: 5.06 Mpa

Recherche des directions principales des contraintes dans les âmes (au centre de gravité G)

= 1.6651 théorique = 29.51 °

= cp = 6.08 Mpa

Adoptons un angle d'inclinaison des bielles de: = 29.51 °(1 ≤ cotg ≤ 2.5 pour âmes en compression)

Vérification de la compression des bielles dans les âmes:

VRd,max = 10.46 MNVRd,max > VEd Non écrasement des bielles en compression vérifié

cw = 1.23z ≈ 0.9 d = 2.844 m1 = = 0.504

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Détermination des armatures d'effort tranchant dans les âmes:

Asw / s ≥ VEd / (z fywd cotg) = 0.00412 m²/m = 41.2 cm²/m

AvecEspacement s = 0.3 mSection par cours d'armatures 4 brins HA20 (2 par âme) = 0.0012566 m²Soit = 41.9 cm²/mD'où 4 brins HA20 (2 par âme) espacés de 0.3 suffisent

Si l'on avait choisi une plus grande inclinaison des bielles: = 21.8 °(cotg = 2.5)

Vérification de la compression des bielles dans les âmes:

VRd,max = 8.42 MNVRd,max < VEd Problème d'écrasement des bielles en compression

Inadmissible!!Détermination des armatures d'effort tranchant dans les âmes:

Asw / s ≥ VEd / (z fywd cotg) = 0.00291 m²/m = 29.1 cm²/m

AvecEspacement s = 0.25 mSection par cours d'armatures 4 brins HA16 (2 par âme) = 0.0008042 m²Soit = 32.2 cm²/mD'où 4 brins HA16 (2 par âme) espacés de 0.25 suffisent

(Mais l'on ne peut faire abstraction du problème des bielles!)Si l'on avait choisi une inclinaison des bielles minimale, comme dans le béton armé: = 45.0 °

(cotg = 1)Vérification de la compression des bielles dans les âmes:

VRd,max = 12.20 MNVRd,max > VEd Non écrasement des bielles en compression vérifié

Détermination des armatures d'effort tranchant dans les âmes:

Asw / s ≥ VEd / (z fywd cotg) = 0.00728 m²/m = 72.8 cm²/m

AvecEspacement s = 0.25 mSection par cours d'armatures 4 brins HA25 (2 par âme) = 0.0019635 m²Soit = 78.5 cm²/mD'où 4 brins HA25 (2 par âme) espacés de 0.25 suffisent

Bilan: Si = 21.8 °Bielles trop comprimées. Défaillance par écrasementSi = 24.2 °Bielles tout juste comprimées à la limite de leur capacitéet "gain" d'aciers de tranchant 4 brins HA16 tous les 0.2m suffisentMais les aciers aciers longitudinaux seront forcément augmentés en contrepartieSi = 29.51 °Bielles comprimées vérifiéesAciers de tranchant 4 brins HA20 tous les 0.3m suffisent

Si = 45 °Bielles comprimées vérifiéesmais "pénalité" sur les aciers de tranchant 4 brins HA25 tous les 0.25m suffisentEn contrepartie, les aciers aciers longitudinaux seront forcément mieux optimisés

Une évaluation globale s'imposerait pour un cas réel

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Couture membrure - âme

La section du pont où on se trouve est à tranchant important donc près d'un appui intermédiaire,

Supposons que la membrure supérieure peut être tendue longitudinalement à cet endroit sous la flexion longitudinale, ce quiintervient dans le choix de f

Les aciers de couture serviront pour coudre les deux sections: {jonction encorbellement-âme} et {jonctionhourdis intermédiaire entre les âmes - âme}La contrainte de cisaillement maximal à coudre est donc (calculée précédemment à l'Exercice n°4): 2.93 Mpa

(maximal en valeur absolue)

Inclinaison théorique de ces bielles:

Nous ne conaissons pas dans cet exercice la contrainte de traction à l'ELU dans le hourdis supérieur.Adoptons l'inclinaison maximale autorisée par l'Eurocode dans l'hypothèse d'une membrure tendueSoit f = 38.60 ° (1 ≤ cotg ≤ 1.25 pour membrures tendues)

Vérification de la compression des bielles dans les membrures:

2.93 ≤ 6.55 Ok

Détermination des armatures de couture aux jonctions membrures - âmes par unité de longueur Asf/sf :

Asf/sf = 0.001347 m²/m = 13.47 cm²/m

Espacement sf = 0.2 m section par cours d'armaturesSection par cours d'armatures HA20 = 0.0003142 m²Soit = 15.7 cm²/mD'où HA20 espacés de 0.2 suffisent

Si l'on avait choisi une inclinaison des bielles minimale: f = 45.0 °(cotg f = 1)

Vérification de la compression des bielles dans les membrures:

2.93 ≤ 6.72 Ok

Détermination des armatures de couture aux jonctions membrures - âmes par unité de longueur Asf/sf :

Asf/sf = 0.001687 m²/m = 16.87 cm²/m

Espacement sf = 0.18 m section par cours d'armaturesSection par cours d'armatures HA20 = 0.0003142 m²Soit = 17.5 cm²/mD'où HA20 espacés de 0.18 suffisent

Maîtrise de la fissuration par cisaillement des âmes

La plus grande contrainte principale de traction 1 est comparée à la résistance correspondante fctb

1 est la plus grande contrainte principale de traction3 est la plus grande contrainte principale de compression (valeur positive) 3 < 0.6 fck

La vérification se fait à l'ELS. Cherchons le cercle de Mohr correspondant. Il nous faut un point ()La précontrainte étant pondérée par 1 à l'ELU dans notre calcul, la valeur de est inchangée = 6.08 MpaLa valeur maximale de à l'ELS est approximativement égale à maximale ELU / 1.35 = 3.75 Mpa

Avec 3.75 Mpa cisaillement maximal dans les âmes à l'ELS (en G) 6.08 Mpa contrainte normale concomitante (compression)

1 =min = = -1.79 Mpa

3 =max = = 7.86 Mpa

Vérification: fctb = 2.11 Mpa 1.79 ≤ 2.11 Ok

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Calcul de l'effet Résal en supposant une hauteur du caisson variable linéairement entre 3.5m (appui) et 2.5m (travée) sur 60m

A' A Feuillet moyen hourdis supérieur (supposé horizontal)

s B parallèle à la fibre moyenne

C'C Fibre moyenne

F' D ligne horizontale

E parallèle à la fibre moyenne

i F Feuillet moyen hourdis inférieur60 m

Nous faisons ici l'approximation de considérer les sections droites verticales, au lieu de perpendiculaires à la fibre moyenne

Section en travée Section sur appuish1 = 2.5 m h0 = 3.5 mvG0 = 0.903 m (distance A'C') vG1 = 1.307 m (distance AC)v'G0 = 1.597 m (distance C'F') v'G1 = 2.193 m (distance CF)

Distance verticale entre D et F 1 m h0 - h1Distance verticale entre A et B 0.404 AC - A'C' = DEAngle 0.955 °Angle s 0.386 °Angle i 0.569 °

Nous ne connaissons pas les efforts (N,M,V) que subit la sectionSupposons une répartition d'efforts normaux (avec hourdis supérieur comprimé) :

Ns = 8 MN (positif si compression)Ni = 80 MN (positif si compression)VEd = -9 MN (tranchant négatif)

Ns (Résal) = -0.05 MN Si négatif, fait accroitre l'effort tranchant dans les âmes en valeur absolueNi (Résal) = 0.79 MN

Effort tranchant dans les âmes à prendre en compte pout le calcul des aciers transversaux:Vâmes = -8.26 MN

Supposons maintenant une autre répartition d'efforts normaux (avec hourdis supérieur tendu):Ns = -2 MN (positif si compression)Ni = 80 MN (positif si compression)VEd = -9 MN (tranchant négatif)

Ns (Résal) = 0.01 MN Si positif, fait réduire l'effort tranchant dans les âmes en valeur absolueNi (Résal) = 0.79 MN

Effort tranchant dans les âmes à prendre en compte pout le calcul des aciers transversaux:Vâmes = -8.19 MN

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