TD5 Analyse harmonique des systèmes

Exo 1 – Tracé de diagrammes de Bode classiques

Tracer les diagrammes de Bode asymptotiques puis l’allure des diagrammes réels, des systèmes dont les fonctions de transfert sont :

;

;

;

Pour cette dernière, on mettra H4(p) sous la forme :

En déduire pour chacun d’eux la sortie s(t) lorsque l’entrée e(t) vaut e(t)=5.sin(4.t)

Exo 2 – Identification

A partir des diagrammes de Bode suivants, proposer une modélisation pour la fonction de transfert, et déterminer les coefficients caractéristiques.

Exo 3 – Etude du Système Automatique de TRAnquilisation et de Pilotage (SATRAP)

Afin de stabiliser la plateforme du Porte-Avions Nucléaire Charles de Gaulle, la Direction des Constructions Navales de la Délégation Générale pour l’Armement a développé le SATRAP : Système Automatique de TRAnquillisation et de Pilotage.

Ce système permet de réduire les mouvements non désirés du navire : le roulis, le lacet et l’embardée.

Ainsi, malgré ses dimensions modérées (40 000 tonnes), ce porte-avions dispose d’une capacité de mise en œuvre de l’aviation embarquée sur mer forte équivalente à celle de porte-avions jaugeant 90000 tonnes.

Cette mise en œuvre nécessite de maintenir le roulis à moins de 2° en déplacement rectiligne ou en giration et la gîte à moins de 1.5° en déplacement rectiligne.

La partie opérativedu SATRAP est composée entre autres : - des 12 trains de masses mobiles du système

compensation de gite, - de 4 ailerons stabilisateurs, - de l’appareil à gouverner (plusieurs safrans).

La partie commande du SATRAP, nommée Système de Commande et de Calcul, est répartie dans différents locaux. Elle reçoit les informations des différents capteurs et pilote la partie opérative.

La structure de commande du SATRAP, limitée à l’étude du roulis, est donnée par le schéma bloc suivant.

Données

FB p : Filtre « basses fréquences » fonction de transfert à déterminer par la suite,

FH p : Filtre « hautes fréquences »avec

1651

12pp

pH F

,

TC p : Correcteur « trains »avec 1

( ) .Tp

C p Kp

,

AC p : Correcteur « ailerons » avec ( ) 0.3AC p p ,

(Les 2 ailerons et le safran situés

derrière le navire ont été

représentés)

TK : Coefficient d’efficacité des trainsavec 45.10TK ,

AK : Coefficient d’efficacité des ailerons avec 20AK ,

0H p : Fonction de transfert du bateau (axe du roulis) : 0 21

( )1 0,8 4

H pp p

.

Notations

C p : Angle de consigne en roulis, p : Angle de roulis du porte-avions,

TX p : Position des trains, La chaîne D1 représente la commande des trains,

A p : Angle de braquage des ailerons, La chaîne D2 représente la commande des ailerons,

M p : Moment résultant de l’action des deux chaînes, D est la chaîne « complète »,

P p : Angle de perturbation.

1) Déterminer l’expression littérale de la fonction de transfert du bloc D(p) représentant le contenu du

rectangle en traits mixtes fins en fonction de BF(p), CT(p), KT, KA, HF(p), CA(p) : ( )

( )( )

M pD p

p .

2) Déterminer l’expression littérale de la sortie p en fonction de D(p), H0(p), c p et p p . Ne

pas développer cette expression.

3) Expliquer pourquoi l’étude de la stabilité du système avec perturbation est équivalente à celle du système non perturbé.

Dans la suite du problème, la perturbation p p sera considérée nulle.

Etude des Filtres

4) Tracer sur le Document Réponse 1 le diagramme asymptotique d’amplitude (gain) de Bode du filtre « Hautes Fréquences » HF(p). Préciser l’allure de la courbe réelle et les points caractéristiques.

Le tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode du filtre basse fréquence BF(p) est donné sur le Document Réponse 1.

5) Proposer un modèle de comportement pour BF(p). Déterminer à l’aide du diagramme les valeurs numériques de ses paramètres caractéristiques. Faire apparaitre sur le diagramme les données utiles à la détermination des caractéristiques de BF(p).

La bande passanteà –6 dB d’un filtre « passe bas » est la plage de pulsation pour laquelle le gain (en dB) est supérieur à sa valeur en basses pulsations atténuée de 6 dB (amplitude du signal d’entrée divisée par deux).

6) Préciser, sur les tracés des courbes de gain, les bandes passantes à –6dB des deux filtres.Donner les valeurs des fréquences correspondantes.

7) Justifier le fait que la commande du SATRAP puisse se limiter à l’étude de la commande des ailerons pour des sollicitations de fréquencessupérieures à 0,1 Hz.

Etude de la commande des ailerons

Pour la suite, seule la chaîne D2 est prise en compte. Le système de commande se réduit alors au schéma bloc de la figure ci-contre.

8) Tracer, sur le Document Réponse 2, le diagramme asymptotique de Bode (gain et phase) de la FTBO(p) du système de commande des ailerons. Puis donner l’allure des courbes réelles.

+ -

pH 0

pC p pD2

Exo 4 – Etude du comportement des servo-vérins de la fusée Ariane 5

Le lanceur Ariane 5 comporte un corps central et deux propulseurs latéraux. Ce choix permet d’obtenir une grande source de puissance au décollage et une meilleure gestion de la position et de la répartition des masses. En revanche, il induit des problèmes importants lors du suivi de la trajectoire qui nécessitent l’orientation de l’axe des tuyères situées en extrémité du corps central et des deux propulseurs latéraux.

Pour diriger la fusée on doit donc orienter la force propulsive. La solution retenue consiste à orienter les tuyères plutôt qu’à dévier les jets des moteurs. Deux servo-vérins hydrauliques, dont les vérins sont asservis en position, ont été choisis pour délivrer la puissance nécessaire à l’orientation d’une tuyère.

Les objectifs de cette étude sont d’une part la mise en évidence du risque de résonance en basse fréquence du système d’orientation d’une tuyère et d’autre part l’analyse de la solution retenue pour limiter l’amplitude de la résonance.

L’étude des débits et des pertes de charge au sein du servo-vérin permet d’écrire :

( ) ( )( ) . .

2

d y t V d P tQ t S

dt B dt avec ( ) ( ) ( )a bP t P t P t

Le principe fondamental de la dynamique appliqué au déplacement de la charge s’écrit : 2

2

( ) ( ). . ( ) . ( ) .d y t d y t

M S P t K y tdt dt

Le modèle simplifié utilisé pour décrire le comportement d’un servo-vérin déplaçant une charge de masse M est représenté sur la figure ci-dessous.

Les caractéristiques du servo-vérin et du fluide utilisé sont : S la surface utile du vérin et B le module de compressibilité du fluide.

La variation de déplacement de la charge par rapport à la position d’équilibre obtenue en l’absence de pression est notée y(t). La variation y(t) étant petite, on peut faire les hypothèses suivantes : - les volumes des deux chambres du vérin sont identiques et égaux à V, - les débits entrant et sortant sont identiques et égaux à Q.

La liaison entre la charge de masse M et le bâti est modélisée par un ressort de raideur K et un amortisseur de coefficient λ.

Le débit Q est commandé par un distributeur de fonction de transfert : Ks. La représentation sous forme de schéma-bloc du servo-vérin asservi en position est donnée ci-dessous avec Kb = 1 :

Dans ce schéma bloc :Yc(p) est la transformée de Laplace de la consigne de position yc(t) et Y(p) celle de la position du servo-vérin.

1) A partir des équations de comportement données ci-dessus, déterminer les expressions des fonctions de transfert A(p), F(p) et du gain Kh. Préciser les hypothèses nécessaires.

2) Exprimer en fonction de C(p), Ks, A(p), Kh, F(p) et Kb la fonction de transfert en boucle fermée du

servo-vérin asservi en position. Le diagramme de Bode en gain de la fonction de transfert en boucle fermée du servo-vérin asservi en position dans le cas où C(p) = 1 est donné ci-dessous.

3) A partir de ce diagramme et sachant que le numérateur de la fonction de transfert en boucle fermée du servo-vérin asservi en position est un gain pur :

- identifier l’ordre du système en boucle fermée, - déterminer le gain statique du système, - déterminer la fréquence de résonance en Hertz du système. Le cahier des charges du servo-vérin définit certains critères : - écart nul en régime permanent en réponse à un échelon de position, - temps de réponse à 5% < 0,15 s.

La réponse indicielle (entrée unitaire) de la fonction de transfert en boucle fermée du servo-vérin asservi en position (avec C(p) = 1) est donnée par la figure suivante.

4) Vérifier si tous les critères du cahier des charges sont respectés avec C(p) = 1. Justifier votre réponse. Le système est corrigé par un dispositif appelé filtre « réjecteur ». La pulsation propre du filtre réjecteur a été calée sur la pulsation de résonance du système non corrigé. La fonction de transfert du correcteur est

2 2

1

2 2

2

2. . .( )

2. . .

R R

R R

p z pC p

p z p

où z1 et z2 sont des coefficients d’amortissement positifs et inférieurs à 2 2 avec z1

Document Réponse 1

Courbe de gain du filtre HF(p)

Courbe de gain du filtre BF(p)

-80

-60

-40

-20

0

20

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100

-80

-60

-40

-20

0

20

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100

Gain (dB)

Gain (dB)

ω rad/s

ω rad/s

Document Réponse 2

Diagramme de Bode de la FTBO(p) du système de commande des ailerons

-80

-60

-40

-20

0

20

0,1 1 10 100

Courbe de Gain

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

45

90

0,1 1 10 100

Courbe de Phase

ω rad/s

ω rad/s