Professeur: Mr Doumbia Présentation: Mr Bayala Boubié Mr Alassane Traore

Année académique: 2014-2015 Ingénierie de conception génie civil

EXPOSE DE RDM

Thème: Le voilement des plaques minces

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INTRODUCTIONDEFINITION ET NOTATIONS PRINCIPALESI) CONDITION D’EQUILIBRE D’UN ELEMENT

PRISMATIQUE INFINIMENT PETIT 1) Condition de déformation 2) Equation différentielle de la surface élastique 3) Equation simplifiée pour les plaques isotropes 4) Conditions aux contours de la plaque

a- Côté complètement encastréb- Côté simplement appuyé

SOMMAIRE

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C- Côté libre 5) Moment principaux

II) VOILEMENT DES PLAQUES MINCES 1) Théorie linéaire du voilement; 2) Relations entre contraintes, efforts et forces dans le cas des plaques et des coques; 3) Condition d’équilibre d’un parallélépipède élémentaire; 4) Influence des contraintes du plan moyen sur la flexion de la plaque

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4) Quelques exemples du phénomène de voilement des plaques 5) Solution analytique de l’équation de BRIAN

CONCLUSION PARTIELLE

Sujet connexe

CONCLUSION GENERALE

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INTRODUCTIONLes structures à parois minces composées de plaques soudées entre elles sont très utilisées en construction métallique. Par un choix approprié de l'acier, de la géométrie, etc., des sections droites répondant parfaitement aux impératifs de résistance et d'utilisation peuvent être obtenues, permettant une économie substantielle. Les développements récents tant dans les procédures de fabrication que dans les systèmes de soudage permettent de réaliser de manière très automatisée des poutres planes à âme mince, des poutres en caissons ou des poteaux à parois minces qui sont ensuite transportées sur chantier.

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À cause de leur épaisseur relativement faible, ces éléments ne sont pas, en principe, destinés à être sollicités dans leur plan. Toutefois, leur comportement pour ce type de sollicitation est d'un intérêt particulier . Deux types de charges dans le plan doivent être considérés : celles provenant des panneaux adjacents,

telles que compression et cisaillement;celles provenant de charges locales qui

génèrent des zones de concentration de contraintes dans la plaque.

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Une plaque ou une paroi mince: est le solide découpé dans un prisme ou un cylindre, par deux plans perpendiculaires aux arêtes et dont la distance mesurant l'épaisseur de la plaque ou de la paroi, est petite par rapport aux autres dimensions. Géométriquement, un tel corps est défini par son épaisseur et son contour, trace du cylindre (fig. 1). De ce point de vue il n'existe entre plaques et parois minces aucune différence. Celle-ci provient uniquement du mode de sollicitation. Les forces quelconques agissant sur le solide défini peuvent se décomposer en deux systèmes tel que dans le premier les lignes d'action seront normales aux faces, et dans l'autre elles seront toutes dans le plan équidistant.

DÉFINITIONS

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LE VOILEMENT : Le voilement d'une plaque a lieu lorsque sa section à âme mince subit des contraintes de compression. Ce phénomène ressemble assez au flambement de poteau ; il implique cependant plutôt les éléments de la section droite du composant que le déplacement de la section dans son ensemble. Les contraintes de compression peuvent naître, non seulement d'un effort normal de compression, mais aussi de la flexion du composant et même de charges localisées sur des zones réduites. On peut aussi trouver du voilement sur des plaques soumises au cisaillement, dans la mesure où le cisaillement donne lieu à des contraintes principales de compression et de traction. Les sections formées à froid et les sections constituées de plaques minces sont les plus sensibles au voilement. Les modes de flambement élastique et les contraintes critiques correspondantes des plaques en compression dérivent des équations des plaques faiblement déformées.

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• Dans le premier cas les forces extérieures sont toutes situées dans le plan équidistant des faces: on parle d'une paroi mince.

• Dans le second cas, les forces données et les réactions sont perpendiculaires aux faces: on parle d'une plaque mince fléchie.

Notations principales

- x,y,z: Coordonnées rectangulaires, x y dans le plan équidistant- h: Epaisseur de la plaque ou de la paroi- p: Charge par unité de surface- ρ: Masse par unité de volume- σ: Contrainte normale- τ: Contrainte de cisaillement- u, v, w: Composantes suivant les trois axes des déplacements- Ɛx, Ɛy, Ɛz: Allongements unitaires- ϒxy, ϒyz, ϒzx: Distorsions ou dilatations angulaires- E: Module d'élasticité- ν: Nombre de Poisson- G: Module de cisaillement- Mx, My, Mxy: Moments de flexion et de torsion d'une plaque mince- Qx, Qy: Efforts tranchants

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THÉORIE GÉNÉRALE DE LA FLEXION DES PLAQUES MINCESHypothèses simplificatrices:

- Prenons les axes x et y de coordonnées dans le plan équidistant des faces, appelé feuillet moyen et que la déformation transformera en une surface élastique. L'axe z sera perpendiculaire à ce plan. Si l'on appelle = u(x,y,0), , les déplacements correspondants du feuillet moyen, on admet que et sont négligeables. D'après la définition des plaques, les forces données et les réactions sont toutes normales au feuillet moyen qui est une surface neutre.

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- Une normale au feuillet moyen reste droite après la déformation, elle est perpendiculaire à la surface déformée. On néglige ainsi l'influence du cisaillement sur les déformations (Bernoulli Navier).

- Les tensions σz sont petites et leur influence sur les déformations peut être omise. Généralement on considère une matière homogène et isotrope.Nous allons par contre admettre que la matière présente, par rapport à ses propriétés élastiques, deux directions privilégiées x et y.On parle alors de matière orthotrope. Il est bien entendu que l'on se limite au domaine élastique où la loi de Hooke est valable.

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I) CONDITIONS D'ÉQUILIBRE D'UN ÉLÉMENT PRISMATIQUE

INFINIMENT PETITSoit un élément prismatique ci-dessous infiniment petit issue de notre plaque ou parroie;

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• Selon les hypothèses admises les seules contraintes à considérer sont: σx, σy, τxy= τyx , τxz τyz. Par définition ces contraintes n'admettentpas de résultantes dans le feuillet moyen mais seulement des moments et des efforts tranchants (fig. 2) qui valent respectivement:

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• A l’équilibre, la somme des efforts soumis à notre prisme est nul. Ainsi on aura:

En groupant ces trois relations précédentes, c’est-à-dire en tirant Qx et Qy des équations (4) et (5) pour les substituer dans la dernière équation, on obtient:

(6) + + 2 = -p

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On a donc trois équations d’équilibre pour 5 grandeurs inconnues (Mx, My, Mxy, Qx et Qy): le problème est donc hyperstatique. Ainsi pour résoudre ce système hyperstatique nous allons tenir compte des déformations.

1)Conditions de déformation.

Elles nous sont fournies par les hypothèses admises. Soit une coupe et une vue en plan (figure 3a) de notre prisme représenté dans un repère cartésien, afin de mieux apprécier les déformations liées aux déplacements selon ses différents axes. U et V représentent les déplacements selon les axes (Ox) et (Oy) respectivement.

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La figure 3a, qui en est l'expression graphique des déformations permet d'écrire des déplacements U et V:

U=z. et V=z.

Il reste à exprimer les déplacements u et v en fonction des contraintes. On voit facilement (fig. 3 b) que:

NB: V= U= W=

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• x = = (z) = (10)• y= = (z) = (11)• xy = +

= (z) + (z) = z(+)=2z() (12)

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• Les expression des déformations (7) (8) (9) (10) (11) et (12) sont démontrés par la formulation générale des déformation en fonction des déplacement à travers la formule vue en Mécanique des milieux continues:

ij = (Ui,j+Uj,i) et

ij = 2 ij = (Ui,j+Uj,i)

Tel que: i,j et U

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Les relations (1) à (12) sont toutes indépendantes des propriétés élastiques de la matière envisagée. Celles par contre qui lient les déformations aux contraintes en sont directement fonction.Comme indiqué plus haut, on admet que la matière de la plaque est orthogonalement anisotrope, plus simplement orthotrope. Les caractéristiques d'une telle matière possèdent en chaque point deux directions privilégiées perpendiculaires entre elles et prises parallèles aux axes de coordonnées.

En analogie avec la matière isotrope on peut écrire alors dans le domaine élastique à partir de la loi de Hooke généralisée les relations entre contraintes et déformations suivant les différents axes.

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D’après la loi de Hooke généralisée on a:x = (x – (y+z))

y = (y – (x+z))z = (z – (x+y))

• Puisque les contraintes z sont petites et que leur influence sur les déformations peut être omise (hypothèse 2), alors on a z=0. En considérant Le fait que notre plaque soit orthotrope alors le module de Young E va varier selon les directions perpendiculaires; On aura donc Ex pour l’axe (Ox) et Ey pour l’axe (Oy).

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La loi de Hooke généralisée devient donc:x = x – y y (13)

y = y – x x (14)

et xy =(15)Puisque les 5 constantes élastiques sont

dépendantes l’une de l’autre car appartenant au même solide, on peut montrer que :

=

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En remplaçant x, y, xy par leurs valeurs tirées de (10), (11) et (12) et en résolvant les équations (13), (14) et (15) par rapport x, y, xy on obtient:

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En introduisant les valeurs précédentes de x, v et xv dans les relations (1), (2), (3) on obtient de nouvelles expressions de Mx, My, Mxy, Qx et Qy:

Mx = -Dx( + y ) (19)My = -Dy( + x ) (20)

Mxy = -2C (21)Avec ces valeurs les équations (4) et

(5) deviennent

Qx= -Dx - (2C+ yDx) Qy= -Dy - (2C+ xDy)

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Dx et Dy sont les rigidités à la flexion, C la rigidité à la torsion de la plaque; Il sont pour

expression respective:

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2)Equation différentielle de la surface élastique

Le problème serait résolu si l'on connaissait w. Mais pour résoudre l’équation (6) il faut que:

(24)

Avec Dxy=2C+ +

Dx + 2Dxy + Dy = Pt

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Cette équation permet de déterminer, en tenant compte des conditions au contour dont il va être question plus loin, les ordonnées w de la surface élastique. Les relations (19) à (23) donnent alors les moments et les efforts tranchants ou (16), directement les contraintes. Les tensions de flexion x, y et celles de torsion t sont linéairement réparties sur l'épaisseur de la plaque, elles s'annulent sur le feuillet moyen. Connaissant les moments résultants, on peut calculer les contraintes correspondantes par les lois ordinaires de la résistance des matériaux, comme pour les poutres. Il en est de mêmepour les cisaillements xz et yz.

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3)Equations simplifiées pour les plaques isotropes

Si la matière est isotrope on a:Ex = Ey = E x = y = G =

Alors, Dx = Dy = D , C = D d’où Dxy = D

tel que D =

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L’équation différentielle de la surface élastique pourra donc s’écrire:

(24-a)

Où = avec = + (le Laplacien) On a ainsi l’équation de LAGRANGE.

+ 2 + =

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Les formules des moments et des efforts tranchants se simplifient également et deviennent:

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4) Conditions au contour de la plaque

L'équation différentielle de la surface élastique admet une infinité de solutions. La solution réelle d'un problème donné sera celle qui

remplit les conditions au contour. Nous nous bornerons à l'examen de plaques à contour

polygonal et nous prendrons l'axe des y parallèle au bord considéré d'équation x = a. Les principaux cas qui se présentent sont les

suivants:

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a) Côté complètement encastré.

Les déformations sont nulles le long de ce côté et le plan tangent à la surface élastique se confond avec le feuillet moyen non déformé. Ce qui s'exprime par:

(W)x=a = 0 et ()x=a = 0

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b) Côté simplement appuyé

Comme sous a) le déplacement est nul tout le long du bord. Le moment de flexion Mx doit l'être aussi. Comme w est identiquement nul le long du côté, ses dérivées en y le sont également et l'on a les conditions suivantes:

(W)x=a = 0 et ()x=a = 0Aussi (W)x=a = 0 (W)x=a = 0

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En effectuant le calcul, on voit que le moment de torsion Mxv ne disparaît pas au bord comme l'exigerait une théorie exacte. Il reste des tensionsxy. Du point de vue de l'équilibre ces couples de torsion sont équivalents aux moments produits par des efforts verticaux de grandeur Mxy et dont le bras de levier serait dy. D'après le principe de B. de Saint-Venant les perturbations apporté par la substitution du second système au premier sont purement locales.

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La figure 4 montre que l'on obtient une réaction d'appui supplémentaire qui vaut .La réaction d’appuis totale est alors:

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Si en un point du contour le moment de torsion présente une discontinuité, un saut brusque, par exemple de Mxy1 l à Mxy2, on obtient une réaction d'appui concentrée qui vaut Mxy1- Mxy2. Ce cas se présente dans les coins. Si ce coin est à angle droit, à cause de l'égalité xy=yx, il se produit une réaction concentrée 2Mxy.

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c) Coté libre

Le moment de flexion Mx doit être nul. L'efforttranchant Qx et le moment de torsion Mxy devraient l'être aussi. Comme vu sous b) les hypothèses simplificatrices admises ne permettent pas de remplir ces trois conditions. L'artifice étudié conduit à grouper les deux dernières conditions en une seule, celle de la réaction totale.D’où Mx=Vx=0 (28)

Plaque isotrope: ( + )x=a = 0 ( +(2- )x=a = 0

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5) Moments principaux

On passe des moments Mx, My, Mxv aux tensions correspondantes x, y, xy par une même proportion. Les formules de transformation de l'élasticité bidimensionnelle sont donc applicables aux moments. En particulier les directions des moments principaux, directions pour lesquelles les moments Mxy de torsion s'annulent, sont données par

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II) VOILEMENT DES PLAQUES MINCES

1) Théorie linéaire du voilement:

Le voilement d'une plaque a été étudié, en premier, par Bryan en 1891, en relation avec le dimensionnement de la coque de bateaux. Les hypothèses considérées sont celles des plaques minces (théorie de Kirchhoff), c’est-à-dire:a) le matériau constitutif de la plaque est élastique

linéaire, homogène et isotrope ; b) la plaque est parfaitement plane et libre de

contraintes ;c) l'épaisseur « h » de la plaque est petite par rapport

aux autres dimensions ;

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d) les charges dans ce plan sont appliquées dans le plan moyen ; e) les déplacements transversaux w sont petits, par rapport à l'épaisseur de la plaque ; f) les pentes de la surface moyenne déformées sont

petites, par rapport à l'unité ; g) les déformations sont telles que des lignes droites, initialement perpendiculaires au plan moyen, restent droites et perpendiculaires au plan moyen déformé ;h) les contraintes normales à l'épaisseur de la plaque

sont négligeables.

NB: Pour notre étude nous considèrerons que la géométrie plane de notre plaque est rectangulaire

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Dans ce cas, les forces données sont toutes dans le plan moyen. Si ces forces sont des compressions, l'équilibre peut cesser d'être stable. A côté de son état initial non déformé, la plaque peut prendre une position voisine déformée: Il y a donc phénomène de voilement de la plaque; l'équilibre est alors assuré par les efforts Pt dont nous allons parler. Pour cela, il faut que les charges données aient une certaine valeur appelée charge critique. Si l'on veut étudier le comportement postcritique de la plaque, on ne peut plus négliger l'influence des déformations sur la répartition de Nx, Ny et Nxy comme nous l’avons fait au début de ce exposé.

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1) Relation entre contraintes, efforts et forces dans le cas des

plaques et coquesSoit un point P d'un milieu surfacique S d'épaisseur h , soit un élément de longueur dl sur S , soit n la normale orientant la coque ou de la plaque en ce point.Soient les éléments de réduction (F ,M ) en ce point d'un torseur résultant des forces exercées à travers un élément de surface dS=hdl de normale n tangente à S sur une partie de S . Avec les notations précédente, on a:F(p)= M(p)=

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De la même façon que pour les milieux continus, on démontre qu'il existe deux tenseurs symétriques N et M et un vecteur Q , définis dans le plan tangent à S , tels que: F = Nv T = Qv M = n ^ Mv

(N ,M ,Q) sont appelés les efforts au point P :• le tenseur N caractérise les efforts membranaires, • le tenseur M caractérise les moments fléchissants, • le vecteur Q caractérise les efforts tranchants.

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Liens avec le champ de contraintes

Dans ces conditions soit un repère dont la troisième composante est portée par n , on a (,= x ou y ) :

N = N =M = M =

Q =

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2) Condition d’équilibre d’un parallélépipède élémentaire

(figure5) (tiré de notre plaque) Cette partie permet de mettre en évidence la fonction d’Airy qui apparaitra dans nos conditions aux limites:

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Ainsi à l’équilibre, nous avons: (I) et (II)- Suivant (OX): = 0(I)- Suivant (OY): = -g (II)Pour que (I) et (II) soit satisfais, nous devons poser les conditions suivantes: ; -gTel que F représente la fonction de tension d’Airy.

NB: Ces conditions précitées seront utilisées plus tard dans nos démonstrations.

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3) Influence des contraintes du plan moyen sur la flexion de la plaque

Le plan moyen de la plaque fléchie n'est plus une surface neutre. On y trouve, comme d'ailleurs sur tous les autres feuillets, des contraintes:

x= y= =Ces contraintes sont données par le problème de la paroi, et par suite définies par une fonction de tension d'Airy (F). Leurs résultantes sur l'épaisseur h de la plaque sont les efforts normaux de cette dernière et valent:Nx = hx Ny = hy et Nxy = hxy = Nyx = hyx

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Considérons un petit élément de la plaque sur lequel agissent des efforts N.

A cause des déformations w de la plaque, la résultante verticale Pt des efforts N n'est pas nulle, mais vaut:

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En négligeant les infiniments petits d'ordre supérieur en et en introduisant la fonction F on a:

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L’équation de Lagrange vue plus haut devient donc:

Enfin, pour la simplification de notre étude, nous allons considérer que notre plaque est rectangulaire et est soumise à des efforts de compression dans une seule direction (OX), sur ses parois latérales: On aboutit donc à l’équation différentielle de BRIAN(1891) qui servira à notre étude concrètement;

+ 2 + =

+ 2 + = ( -2 + )

+ 2 + = tel que N=h

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4) Quelques modélisation du voilements des plaques

5) Solution de (E1) par une approche analytiqueL’équation différentielle de Brian (E1) traduisant le flambement d’une plaque a pour solution analytique (E2):

(E1): + 2 + = (E2): w=A sin() sin()

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Tel que a et b représentent les dimensions de notre plaque rectangulaire! Aussi voici les conditions aux limites qui satisfassent la solution générale de l’équation de BRIAN:

W==0 pour x=0W==0 pour x=aW==0 pour y=0W==0 pour y=b

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Après résolution, c’est-à-dire en remplaçant (E2) dans (E1) on obtient:

m et n représentent le nombre de demi ondes dans les directions x et y.La plus petite valeur de N représentant la charge critique NCR est obtenue pour n=1.

NCR=k avec k=

N=

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• Si la plaque flambe en une demi-onde, alors m = 1et k prend sa valeur minimale (égale à 4) quand a = b, c'est-à-dire pour une plaque carrée.

• De la même manière, si la plaque flambe en deux demi-onde, alors m = 2 et k atteint sa valeur minimale (aussi égale à 4) pour a = 2 b.

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• Si l'on suppose de la même manière que m = 3, 4... on obtient une série de courbes représentées sur la figure 9. Il est intéressant de noter que, pour les valeurs , ... du rapport a/b, il y a coïncidence de deux modes de flambement.

Conclusion partielle:• La charge critique est la valeur limite supérieure

correspondant à la charge ultime d'un élément réel (non parfait).

• La charge critique est associée à la condition d'équilibre neutre de l'élément.

• Dans des cas simples, les charges critiques peuvent être calculées en résolvant les équations différentielles d'équilibre qui décrivent le phénomène.

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Sujets connexe (dimensionnement des

plaques)a) Courbe de voilementLa courbe de voilement provenant de la théorie linéaire ne peut pas être utilisée pour le dimensionnement des plaques. De nombreuses études théoriques et expérimentales ont été consacrées à la recherche de courbes de voilement représentant au mieux le comportement des plaques raidies. Pour le dimensionnement, il est pratique d'utiliser des courbes non dimensionnelles.

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L'élancement de la plaque peut s'écrire:

Si un élancement de référence donné par :

est introduit, l'élancement relatif devient :

(16)

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La contrainte ultime peut aussi être mise sous forme non dimensionnelle en définissant un facteur de réduction :

Bien que la théorie linéaire du voilement ne puisse être décrite correctement, le comportement d'une plaque réelle, ses résultats sont toutefois importants afin de pouvoir calculer l'élancement non dimensionnel (7):

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b) Méthode des largeurs efficaces

Cette méthode a été conçue pour le dimensionnement des éléments à parois minces soumis à des contraintes normales a distribution des contraintes, initialement uniforme, devient non uniforme, après voilement car la partie centrale de la plaque est moins rigide que les parties latérales. La contrainte au bord peut atteindre la limite élastique. La méthode des largeurs efficaces prend en compte ce phénomène en utilisant une distribution uniforme des contraintes mais n'agissant plus que sur une largeur réduite, située dans la partie la plus rigide de la plaque et appelée pour cette raison largeur « efficace ». Cette largeur est obtenue à l'aide de la relation : bu=bey

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d'où on tire : (19)

ce qui montre que la largeur efficace est, en quelque sorte, une traduction d'une courbe de voilement. En compression uniforme, la largeur efficace est distribuée de manière égale le long des deux bords non chargés. La largeur efficace peut aussi être calculée pour des contraintes < . Dans ce cas, on peut considérer, à titre d'approximation toutefois, que l'équation précédente reste d'application mais l'élancement réduit doit être calculé à l'aide de la relation :

be = b = kb

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Le dimensionnement d'un élément à parois minces suit la procédure donnée ci-dessous. Pour les conditions de chargement imposées, on détermine la distribution des contraintes dans la section puis, pour chaque sous-panneau, la contrainte critique cr, l'élancement relatif et la largeur efficace be sont calculées à l'aide des équations (7), (16) et (19), respectivement. On calcule ensuite les propriétés géométriques efficaces Ae, Ie et We de la section; On peut alors utiliser les équations de vérification d'un élément en y introduisant les propriétés efficaces de la sections. NB: La méthode des largeurs efficaces ne peut servir pour étudier des plaques soumises à combinaisons de contraintes.

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Solution de (E1) par une approche numérique

(E1): + 2 + = La méthode des éléments finis peut être utilisée pour déterminer la résistance ultime d'une plaque non raidie. Les points suivants doivent être pris en compte lors d'une telle analyse :

- La modélisation de la plaque doit prendre en compte, de la manière la plus précise possible, les conditions d'appuis réelles de la structure. Une solution sécuritaire peut être obtenue en considérant les bords comme articulés.

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- Des éléments de coque mince doivent être utilisés, avec un maillage adéquat, afin de bien modéliser les déplacements hors du plan et la plastification. - La plaque doit comporter une imperfection initiale

de forme similaire au mode de ruine.- Le premier mode de voilement peut servir comme première approximation de cette forme. En plus, une perturbation doit être ajoutée à ce mode pour éviter des problèmes de claquage lors du calcul. L'amplitude de la déformée initiale est fixée en fonction des tolérances de planéité des plaques.

- Le programme informatique utilisé doit être capable de prendre en compte un diagramme - réaliste et si nécessaire, un état initial de contraintes.

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Le modèle informatique doit utiliser une charge égale à la charge de dimensionnement multipliée par un facteur de charge que l'on augmente graduellement. Si la structure reste stable lorsque ce facteur atteint 1, le calcul peut continuer jusqu'à atteindre la ruine, voir même être poursuivi dans la branche de déchargement, si le programme permet ce type de calcul.

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CONCLUSIONLe comportement d’une plaque soumise à un chargement dans son plan dépend de plusieurs critères généralement difficiles à modéliser. Toutefois l’analyse numérique parvient à approcher certaines solutions recherchées permettant ainsi au ingénieurs de dimensionner les ouvrages composés de ce genre de formes géométriques complexes (les plaques et les coques). La rigueur s’impose donc afin d’éviter tous risques de voilements ou autres désordres pouvant s’avérer catastrophique pour la structure et ses exploitants.

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FIN DE L’EXPOSE