H. EL GHOCHEC.COULET

Laboratoire GénieCivil Habitat

EnvironnementIUT A" Université

Lyon 1

B.CAMBOULaboratoire

Tribologie etdynamique des

systèmesURA - CNRS 855

École Centralede Lyon.

Expérimentationet modélisationde blocs compressiblesde matières plastiquespour des remblais allégés,Elaboration d'un modèleviscoélastique non linéaire,orthotrope de révolution

L'utilisation de blocs de déchets de matières plastiquescompressés et ligaturés permet d'une part, grâce à lalégèreté de ce nouveau matériau de résoudre lesproblèmes de tassements des remblais construits en sitescompressibles et dl autre part de valoriser des déchetscoûteux à éliminer.Le pressage unidirectionnel de ce matériau formé d'unempilement de couches de déchets lui confère uneorthotropie de révolution. Des essais de compressibilitéet de fluage sur blocs réels et sur échantillons ainsi quedes essais de chargements cycliques et biaxiaux ontpermis de modéliser, avec une précision satisfaisante, lecomportement viscoélastique non-linéaire de cematériau.

Experimentation and Modellingof Compressible Waste Plasticmaterial for Light-WeightEmbankmentsElaboration of a Non-Linearviscoelastic and Orthotropic Model

The utilization of blocks! made of compressed waste plasticmateriaL permits us to solve many problems. As their density isvery light (0.3 to 0.6t these blocks could be used to build light­weight embankments on compressible ground. On the otherhand! this process makes use of plastic waste which is veryexpensive to eliminate.Because the compression! when the blocks are being made! isunidirectional this material is made up of a stack of layers ofwaste. In this case! the material has an axial orthotropy. A largenumber of tests were carried out: compressibility! creep!cyclical and biaxialloading. These tests permitted us to modelthe nonlinear viscoelastic behaviour of this material withadequate precision. 57

REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUEN° 65

1er trimestre 1994

1

IntroductionCompte tenu de toutes ces observations, le matériau

peut être considéré comme orthotrope de révolution.

Le sol, matériau classique de remblaiement, dontdes millions de mètres cubes sont mis en œuvre chaqueannée, provoque des problèmes sérieux dans les sitescompressibles et exerce de fortes pressions sur les sou­tènements.

De nombreux procédés de remblais allégés, utilisantdes matériaux neufs ou des déchets, apportent un bonremède à ces problèmes. Mais tous ces procédés pré­sentent un certain nombre de contraintes (économiques,techniques ... ) qui limitent leurs applications à des casparticuliers (El Ghoche, 1992).

D'un autre côté, les déchets, une menace réellecontre l'environnement, posent un autre type de pro­blèmes, tout particulièrement, les déchets de matièresplastiques. Les pays de la CEE en secrètent près de10 millions de tonnes par an, le seul gisement françaiss'élève environ à 2 millions de tonnes. 75 % de cesdéchets s'accumulent dans des décharges ou sous formede déchets sauvages.

PLASTBLOC, empilement de déchets de matièresplastiques constitués en grande proportion de sacs et defilms en polyéthylène, compressés et ligaturés sousforme de blocs de densité variable (0,3 à 0,6) et devolume de 1 m3, est un nouveau procédé de remblaisallégés. Il consomme une grande partie des rebuts plas­tiques et présente une solution aux problèmes décrits ci­dessus.

L'objet de cet article est d'analyser et de modéliserle comportement de ces blocs en vue de dimensionnerles ouvrages réalisés avec ces éléments.

Pour déterminer le comportement de ce nouveaumatériau, plusieurs campagnes d'essais ont été entre­prises. Après des tests de compression simple sur blocsréels, le travail a été complété par des essais de mêmetype sur échantillons et achevé par des essais biaxiaux.En parallèle, un remblai expérimental a été construit(Daudon, El Ghoche, Coulet, 1991).

Les exploitations des résultats expérimentaux ontabouti à élaborer un modèle viscoélastique non linéairequi prend en considération l'orthotropie du matériau.

'.Essais

'l'.Blocs réels

L'analyse du comportement et la définition des carac­téristiques de ce nouveau matériau a commencé parune série d'essais sur blocs de taille réelle (Fig. 1). Quatreblocs de densités différentes ont été testés suivant leprincipe de l'essai de compression simple. Les sur­charges, appliquées perpendiculairement aux coucheset par paliers, ont été maintenues suffisamment long­temps pour mettre en évidence le phénomène de fluage.Plusieurs cycles de chargement et de déchargement ontété réalisés.

Les premiers résultats ont conduit aux conclusionssuivantes:- le matériau est viscoélastique non linéaire. La défor­mation due au fluage varie linéairement en fonction dulogarithme du temps. La pente et l'ordonnée à l'originesont fonctions de la contrainte appliquée et de la den­sité initiale de fabrication (Fig. 2) ;

fIG. 1 Bloc testé expérimentalement.The first tested black.

. 95

* 27

+ 49

o 16

100000

contrainte (Kpa)

10000100 1000Temps(mn)

10

0,22

0,2

'0 0,18

~o,le

~0,14r= 0,12o~ 0,1cs~ o,oa.e o,oe ~~~-v.-~-~'G)

'0 0,04 LO--A--9----tHHr--o----frtr~p-

0,02 L~~-4-~HHr-----1t---:f\i"'r'­O+-----+-----+---~r-----+-------t

1

Courbes de fluage. Chargement parpalier. Bloc réel (densité initiale: 0,435).Creep curves of a black. Loading by steps(initial density : 0.435).

Selon le mode de fabrication, pressage unidirec­tionnel, le matériau se présente sous forme d'empile­ment de couches quasi identiques. Un certain volumed'air reste emprisonné entre les feuilles de plastique, cequi est indispensable pour que la légèreté soit assurée.La forme parallélipipédique du bloc est maintenue grâceà des attaches métalliques. Leur nombre et leur rigiditéinfluent sur la planéité des faces. La pérennité de cesattaches n'est pas nécessaire car, après sa mise en ser­vice avec un chargement perpendiculaire aux couches,ce matériau se comprime et les attaches se distendent.Un léger gonflement, qui se produit juste après relâ­chement de la presse en phase finale de fabrication, a étésignalé.

Réalité physique'l'

58REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUEW651er trimestre 1994

- à cette échelle, la déformation latérale ne s'est pasmanifestée, d'où un coefficient de Poisson quasi nul;-l'influence de la densité initiale est primordiale (Fig. 3);- des phénomènes rhéologiques complexes (durcisse-ment, écrouissage, vieillissement) ont été constatés;- un prégonflement a été signalé qui est lié au mode defabrication. Ce phénomène a pour effet de diminuer lescaractéristiques mécaniques.

..-- poids

1. / guide

n n -..--1

1

CF 1- "'"--

Il"

plaque rigide

échantillon

- 0,151

+ 0.186

* 0.289

a 0.326

* 0,435

densit.é initiale

0.50.40.30.2

180

140

_120Id

~1001)

i:i 80iilot 80i:i0() 40

20

déformation (Ah/ho) à 1 minute FIG. 4 Bâti expérimental - Schéma de principe.The experimental testing equipement.

FJ<t3 Contrainte-déformation à 1 minute.Blocs réels (densité initiale constante(sans tenir compte du fluage).Stress-strain at 1 minute.Real block (constant initial density).

'II

Essais sur échantillonsLes essais sur échantillons de taille réduite se sont

avérés indispensables pour en multiplier le nombre etainsi mieux tester les différents paramètres. Pour per­mettre la fabrication de ces échantillons, deux bâtis ontété construits :- cylindrique: diamètre de 20 cm, hauteur de 20 à40 cm ;- parallélépipédique: 20 x 20 x 25 cm.

La taille des feuilles de plastique a été réduite afin derespecter l'échelle. Deux types de liens ont été utilisés:

- fils métalliques;- rubans en plastique.Le prégonflement a été empêché dans la mesure du

possible.

180~~==e:::=------=:::E::::E:3E::t"--­140

.,120

~ 100 _--_a=::E::::E:::E:;!------lC)

-a 80ïs~ 80 -E:::E::::::E:::::E~t---_-l8 40

20"1~------A

0+--+---+---+--+--+--+--+--+--+-----1o 10 20 30 40 50 60 70 60 90 100

Temps(heures)

FIG. 5 Chemin de contraintes: quatreéchantillons différents pour chaquedensité initiale.Loading path : four different samples for eachdensity.

59

a 25

+ 101

- 146

contrainte(Kpa)

1000100temps(mn)

10

0.07

Courbes de fluage sur échantillon.Chargement par palier(densité initiale: 0,457).Creep curves of a sample. Loading by steps(initial density : 0.457).

0' 0.08,d

:d' 0,05Sd 0.04o~ 0,03

@0,02

.2 1_..-.:.J,.-~E----+-~---------;"\~ 0,01 *-

rb-~I-------+}--A---f}------:------tJ

Suivant le principe de l'essai de compression simple,avec une plaque rigide guidée verticalement (Fig. 4),14 échantillons de densités allant de 0,3 à 0,5 ont été tes­tés. Les surcharges, appliquées par palier (Fig. 5), ont étémaintenues le temps nécessaire pour mettre en évi­dence le phénomène de fluage. L'essai le plus long aduré 40 jours. Au total, 134 essais de chargement et dedéchargement ont été réalisés.

La variation linéaire de la déformation en fonction dulogarithme du temps a été confirmée (Fig. 6). La pentede la droite et son ordonnée à l'origine varient nonlinéairement en fonction de la contrainte et de la densitéinitiale (Fig. 7). La déformation latérale a été mesurée à

Compressibilité - Fluage (perpendiculairement'aux couches)

REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUEN° 65

F' trimestre 1994

partir de la variation du périmètre de l'échantillon. Lerapport ([~R/Ro]/~h/ho])(h : hauteur; R : rayon) est, enmoyenne, égal à 0,068. Ce même rapport chute à 0,02lors du deuxième chargement. La déformation perpen­diculaire aux couches est plus importante (sous la mêmecontrainte) (Fig. 8). Le comportement, fortement lié à ladensité initiale, s'améliore quand celle-ci devient plusgrande. On observe, en particulier, que la rigidité aug­mente au cours d'un essai de compression simple mono­tone.

Essais cycliques à vitesse de déformation constante(perpendiculairement aux couches)

Cinq échantillons de densités allant de 0,3 à 0,5 ontété testés, sous deux vitesses de déformation de0,006 mn- 1 et 0,018 mn- 1. Un nombre de cinq cycles aété atteint (Fig. 9).

L'écrouissage du matériau a été mis en évidence.L'évolution de la déformation permanente a tendance àdiminuer au cours des cycles. En d'autres termes, l'ac­commodation sera atteinte après un certain nombre decycles que nous ne pouvons pas, pour l'instant, préciser.

Essais biaxiaux

Les essais ont été effectués à l'aide d'un appareilbiaxial, conçu et construit spécialement pour ce type dematériau. Dans un sens, la surcharge appliquée à l'aidede poids est transmise par une plaque rigide guidée.Dans l'autre sens, la contrainte est mesurée par unanneau dynamométrique fixé à une autre plaque demême nature (Fig. 10). Le déplacement de celle-ci est del'ordre de la déformation de l'anneau. Les autres défor­mations sont mesurées par des méthodes classiques.Puisque leur rôle n'est pas prévu à long terme, lesattaches sont coupées dès que l'échantillon est mis dansl'appareil. Une contrainte (J3 apparaît alors dans la direc­tion perpendiculaire aux couches qui est mesurée(Fig. 12).

Dix-huit échantillons de quatre densités différentesont été testés suivant un chemin de contraintes parpalier (Fig. 5). La contrainte résiduelle, mesurée à uneheure de la fabrication, varie exponentiellement avec ladensité initiale (Fig. 11). La variation de la contrainte (J3

(perpendiculairement aux couches) en fonction de Œ2(parallèlement aux couches) et du temps n'est pasnotable. Elle est du même ordre de grandeur que l'in­certitude de la mesure (Fig. 12). La déformation, paral­lèle aux couches, varie linéairement en fonction du loga­rithme du temps (Fig. 13).

B 140

* 100

- 25

+ 50

- 0,31

+ 0,38

* 0,45

-e- 0,49

contrainte(kPa)

0,9O,B0,5 0,6 0,7Densité inite.le

0,4

Densité initiale

Variation de la pente de la droite de fluage(échelle logarithmique) en fonction de ladensité initiale à contrainte constante.Slope of the creep straight line Oogarithmicscale), function of the initial density at constantstress.

Courbes « contrainte-déformation » à1 minute (densité initiale constante).Stress-strain at 1 minute (constant initialdensity).

0,1 0,2 0,3 0,4déformation lbh/ho) è. 1 mn

0,3O-l----+---+----=:::::.::===:!tT--+----+----+----+-~

0,2

20

160

140

D,Dl

0,002

0,004

0,008

0,012

-.120&1

~100d 80iJb 60§u 40

~~ D,ODeI:l.

0,22

0,2

0,18

'0 0,16.Q:d 0,14-

Sd 0,12o~ 0,1

~ 0,08....~ 0,06

Cl:cycle n·lC2:cycle n-2

contrainte(kPa)

· Cl-145

+ C2-145

* Cl-l00

o C2-l00

X Cl-55

- C2-55

. Cl-26

+ C2-26

oll------+10------10t-O-----10+0-=-0----1:-:;OOOO

t.emps (mn)

60Chargement-rechargement suivant le même chemin de contraintes (densité initiale 0,384).Loading-reloading (initial density 0.384).

REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUEN° 651er trimestre 1994

800

700

100

0,05 0,1 0,15 0.2

déformation(.âh/ho)0.25

Densitéinitiale

0,46

+ 0,38

* 0,31

0.3

Contrainte-déformation à vitesse dedéformation constante (0,018 min- 1).

Cyclicalloading with constant deformationvelocity (0.018 min- 1).

charge 450

o.!-O--0.1--1

---..-.......&+0.2.:...:..:...:..:..:...:-0+.3---0.1-4 ---+0.5--0-t-,S----:i0•7

Densité initiale

anneaudynamométrique

guides

HMtlI++-HI--+----- échantillon

400

...... 350r.11:1.ë 300

CIl

ïi::::: 250

:Ë~ 200

il~ 150

o(J 100

50

. modèleexponentiel

+ expérience

-t.

.-t,.of

.-Ir· •

FIG. Hl Appareil biaxial. Schéma de principe.Biaxial equipment.

fiG. 11 Variation de la contrainte(perpendiculaire aux couches) à 1 heurede la fabrication en fonction de la densitéinitiale.Residual stress (perpendicular to the layers),function of the initial density at 1 hour.

40 60 80 100- contrainte (2) (kpa)

O.O~

. 200

040

* 80

+ 140

Contrainte (kPa)

100001000100temps(mn)

10140

- Densitéinitiale

- O,32(lmn)

+ 0.32{0-)

* O.4-(lmn)

B- 0.4-(0-)

* 0.4-5(lmn)

- 0.4-5{0-)

- 0.5{lmn)

+ 0.5(0-)

120

)(~

-+

10-(.2)

eT(3) _

E(~llillillJ

ft

x)(

8

20

Q) 80~

="ii 80~~

= 400(J

20

00

160

...... 140«f

~120

§:100

Variation de la contrainte C>3 en fonctionde C>2 pour un essai à ê 3 = 0, juste avant lechargement 0- et à 1 minute duchargement (1 min).Stress (C>3).variation at ê3 = O.

Courbe de fluage (parallèle aux couches).Chargement par palier (densité initiale:0,444).Creep curves (parallèle to the layers). Loadingby steps (initial density : 0,444).

61REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUE

N° 65Fr trimestre 1994

..._---------------------------------------------------------- -

1

Formulations analytiquesdes résultats expérimentaux

Il

ProblématiqueAvant d'attaquer la modélisation théorique, il est

nécessaire de s'arrêter un peu devant la réalité phy­sique du matériau. Sans aucun doute, il est hétérogène.Globalement, on est en présence d'un mélange bipha­sique dont les composantes sont l'air et les feuilles deplastique. Leur proportion varie en fonction de la den­sité initiale. De plus, la phase solide (plastique) est for­tement anisotrope (feuilles).

Comme première approximation, on considère quela phase solide est constituée, en grande proportion, defeuilles de polyéthylène de basse densité (0,94). Le milieuest assimilable à un milieu alvéolaire de cellules ouvertesou fermées. On s'approche de plus en plus d'un état decellules fermées avec la croissance de la densité.

Dans le domaine envisageable de contrainte (0 ­200 kPa), la déformation propre des feuilles de plastiqueest négligeable devant celle du matériau biphasique :plastique + air. Ces résultats sont confirmés par un essaisur un bloc de polyéthylène de densité 0,94. Le com­portement est donc essentiellement géré par la variationdu volume de la phase gazeuse (air), soit par compres­sibilité, soit par expulsion.

fIHomogénéisation

L'assimilation d'un milieu hétérogène à un milieuhomogène équivalent est le seul moyen qui permetted'appliquer les principes de la mécanique des milieuxcontinus. Cette démarche est limitée par un certainnombre de conditions (Huet, 1980). En partant de l'hy­pothèse de l'adhérence parfaite (i.e. pas de glissementou de décollement entre les différents constituants)(Mandel, 1978), on exige que l'élément de volume repré­sentatif soit assez grand pour que soit gommée l'in­fluence des détails microscopiques. L'approche sto­chastique est adoptée. La moyenne spatiale de chaquevariable est calculée en fonction de quantités qui sontimposées ou qui peuvent être mesurées au contour. Enopérant sur un ensemble d'éprouvettes, la moyennestochastique < ~ > des moyennes spatiales < <p > estdéterminée (Huet, 1980). La solution obtenue est à consi­dérer comme une première approximation. Ensuite, lesprincipes de la mécanique des milieux continus sontappliqués sur le milieu équivalent qui est un milieuorthotrope de révolution (Fig. 14).

En élasticité linéaire, un tel milieu est caractérisé parcinq paramètres (Lemaître et Chaboche, 1988). Parextension de cette notion sur un milieu viscoélastiquenon linéaire, on aura cinq fonctions à identifier.

:11

Essais de fluage(perpendiculairement aux couches)

La courbe de fluage est de la forme:

L\h/ho == (L\h/ho\ + Ap*In(t/to) avec to == 1 minute.Nous identifions chacun des deux termes de ce déve­

loppement.

Identification de (L\h/ho)j (déformation à 1 minute)

Pour des raisons pratiques, (L\h/ho)i cc instantané )) aété mesuré à 1 minute. Une formulation analytique per­mettant une description approchée des résultats d'essaissur blocs a déjà été proposée (El Ghoche, Coulet, Dau­don, 1992). Dans le présent travail, on s'intéresse seule­ment aux essais réalisés sur échantillons pour lesquelsle prégonflement a été éliminé. En supposant que ladéformation latérale est négligeable, on peut relier(L\h/ho) à la densité initiale par l'expression:

(L\h/ho)1min == (1 - do/d)do : densité initialedi : densité à 1 minute.

La courbe traduisant l'évolution de la densité à1 minute en fonction de la contrainte appliquée est défi­nie par les trois paramètres a, do, d p définis sur lafigure 15.

On propose la formulation analytique suivante:di == (-A)/[criPa) + B] + dp

A, B : deux paramètres qui dépendent de do

B == (dp - do)/tgaA == B2 tga

do : densité initialedp : densité propre du plastique supposé incompres-

siblecr : contraintePa : pression atmosphérique.

I--------~_- dp

contraintemilieu rllel

62REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUEN° 651er trimestre 1994

milieu équivalent

Milieu réel - Milieu équivalent.Real material. Equivalent material.

Variation de la densité à 1 minute enfonction de la contrainte.Density at 1 minute variation.

L'ensemble des courbes à 1 minute, établies pourdifférentes densités, permet de proposer l'approxima­tion analytique suivante:

Œ (rd) == (dp- do)/[(do)n + (2dp/n)]n est déterminé après avoir lissé les valeurs expéri­mentales:

n == -19,28 do + 4,73

Identification de Ap

Cette pente est une fonction de la contrainte et de ladensité initiale. On suppose que:

Ap == f(do)*g(a)

En analysant les courbes expérimentales, on consi­dère les deux formes analytiques suivantes:

f(do) == (dp- do)/do

g(a) == {[(a/Pa) + 1] m- 1}

m, paramètre dépendant de do, est identifié expérimen­talement:

do ~ 0,5 ; m == - 0,048 do + 0,025do > 0,5 ; m == - 0,0011 do + 0,0011 (par extrapolation).

En calculant la déformation à 1s et en supposant quela courbe de fluage est assimilable à une parabole au voi­sinage du zéro, la déformation instantanée est la sui­vante:

(~h/ho)i == (~h/ho)1min - Ap*In(c)

c : paramètre dépendant de l'origine du temps.Le rapport Œ3 == - (E22/E33) == - (E11/E33) a été calculé sur

l'ensemble des essais effectués. Il ne change pas ni enfonction de la densité initiale, ni avec la contrainte appli­quée. Sa valeur moyenne est de l'ordre de 0,068 avec unécart type de 0,028.

'1Essais biaxiaux

La contrainte initiale ao3 (perpendiculaire auxcouches), mesurée à une heuré environ de la fabrication,varie exponentiellement en fonction de la densité initiale(Fig. 11). Le lissage des résultats expérimentaux conduità:

a : contraintePa : pression atmosphérique.

La variation de la contrainte a3 (perpendiculaire auxcouches) en fonction de a2 (parallèle aux couches) et dutemps est du même ordre que l'incertitude de la mesure.Donc a3 est supposé constant. La déformation dans lamême direction est négligeable (déformation de l'an­neau).

A a2 constant, la déformation (~h2/ho/2)' parallèle­ment aux couches, varie linéairement en fonction dulogarithme du temps (Fig. 13).

(~h2/ho,2) == (~h2/ho,2)1min + Pn*In(t/to)' to == 1 minute.

(~h2/ho/2)1min == {(dp - do)/[(do)k]}a22k == - 19,61do + 4,66

Pn == {(dp

- do)/[(do)I]}a22l == - 29,11do + 6,11

La déformation instantanée est calculée en suppo­sant qu'au voisinage du zéro, la forme analytique est uneparabole. Alors:

(L~h2/ho/2)i == {(dp- do){[1/d~] - [1/dol)]ln(c)}a22

c : paramètre dépendant de l'origine du temps;et par conséquent:

(~h2/ho/2) == (~h2/ho/2)i + Pn*ln(t/to)to == 1 minute.

Le rapport Œ2== - (E11/E22) a été calculé sur l'ensembledes essais. Sa valeur moyenne est de l'ordre de 0,039avec un écart type de 0,017. Aucune variation claire etsignificative de ce paramètre n'a pu être dégagée.

JI

Modèle rhéologiqueLes essais de compréhension réalisés et l'analyse de

l'état physique nous ont conduits à identifier le com­portement de ce matériau qui est:- anisotrope (orthotrope de révolution) ;- alvéolaire à cellules fermées ou ouvertes;- viscoélastoplastique ;- non linéaire par rapport à la contrainte perpendiculaireaux couches (a3) ;

- influencé fortement par la densité initiale.La réalité physique est très complexe. Le matériau en

plus de son hétérogénéité, fait l'objet de phénomènesrhéologiques très difficiles à modéliser (vieillissement,écrouissage ... ).

Bien que le comportement d'un matériau alvéolairesoit la surperposition de deux comportements élémen­taires (gaz + structure polymère ouverte) nous adop­tons cependant une approche globale pour modélisercelui de notre matériau.

L'élaboration d'un modèle complet qui tient comptede tous les phénomènes observés est très difficile. Lamodélisation a pu être initiée en admettant quelqueshypothèses simplificatrices. Le modèle proposé est vis­coélastoplastique non linéaire et non vieillissant enpetites déformations. Il schématise le comportementpour un premier chargement et est paramétré par ladensité initiale.

Les variables à intégrer sont:- temps;

- tenseur des contraintes;- tenseur vitesse de contraintes;- tenseur des déformations;- tenseur vitesse de déformations;- seuil élastique.

La représentation mathématique est la suivante:f(a, a, E, E, D) == 0- - - - -a : tenseur des contraintesa : tenseur vitesse de contraintesE : tenseur des déformationsE : tenseur vitesse de déformationsQ: tenseur du 4e ordre qui contient les variables d'état.

A partir de cette formulation générale et en respec­tant les hypothèses déjà fixées, la modélisation portesur deux cas simplifiés par rapport à la réalité. 63

REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUEN° 65

1e' tnmestre 1994

64

Modèle unidirectionnel général(sollicitation perpendiculaireaux couches)

Le comportement unidirectionnel suivant cette direc­tion est décrit par le modèle suivant:

11 1

--..Ill5-__8_1_ ......!. 8_2_J__8_3_...."..,_~ ~ ~ 1,," <

8ev

AG. 16 Modèle rhéologique.

E2représente le comportement élastique linéaire dûà la compression de la phase gazeuse et à la déforma­tion des parois de cellules (Hillyard, 1982). Le seuil élas­tique (<Je) correspond à une déformation de 0,02 quelleque soit la densité initiale. Dans le domaine envisageablede la densité initiale (0,3 - 0,6), <Je peut être décrit par larelation linéaire suivante:

(<Je/Pa) == 4,49 do - 1,06

Pa : pression atmosphérique.

Le module d'Young, E2, est égal à (<Je/O,02)

Au-delà de ce seuil, la phase viscoélastique est acti­vée. Le comportement sera représenté par le modèlede Maxwell de caractéristiques E1et 11. La non-linéaritéest prise en compte par les formes non linéaires de E1et 11.

Dans un état constant de contraintes:

E1 == 1 - [do(<J* + B)]/[dp(<J* + B) - A] - [(dp- do)/do)]

[(<J* + 1)m - 1] ln (c)

E2 == <J*/11Eve == E1 + E2

<J* == <J*PaPa : pression atmosphérique.

Pour rejoindre la forIne logarithmique de la fonc­tion de fluage, la viscosité a été considérée commedépendante de la déformation E2, elle peut être repré­sentée par:

11 = [(dp - do/do][(Œ* + l)m - 1] EXP {c2[do/[dp-do)[(Œ* + l)m -1]]}

Toute analyse faite, le comportement viscoélastique.sera décrit par l'équation différentielle suivante :

Eve == {doA/[dp(O"* + B) - A] 2- m[(dp - do)/do](<J* + 1)m - 1]

In(240)}Œ* + [(dp - do)/do][<J* + 1)m-1] EXP(- P/Q)

P == Eve - 1 + [do(O"* + B)]/[dp(O"* + B) ~ A] + [(dp - do)/do][(<J* + 1)m - 1]ln(c)

Q == [(dp - do)/do][(<J* + 1)m - 1]

La validation a été faite par deux types d'essais.Essais de fluage à contraintes imposées par palier etessais à vitesses de déformation constantes. La résolu­tion numérique de l'équation différentielle par laméthode de Runge-Kuta d'ordre 4 a permis de compa­rer les résultats théoriques et expérimentaux(Fig. 17a,b,c) (Fig. 18a,b).

Les résultats sont satisfaisants. L'écart entre la théo­rie et la réalité est dû principalement à l'incertitude surla densité initiale et l'hétérogénéité du matériau. Il fautnoter que le modèle ne prend pas en compte l'écrouis­sage dû à l'évolution de la densité au cours de la sollici­tation, ni l'effet des grandes déformations.

Modèle tridimensionnel pourune sollicitation constante en contrainte

Les hypothèses de l'orthotropie de révolution et depetites déformations sont maintenues. La relationcontrainte-déformation, pour un état constant decontraintes, est représentée par:

Ell fI f 12 f13 0 0 0 (Jll

E22 f 12 fI f13 0 0 0 (J22

E33 f 13 f 13 f3 0 0 0 (J33

E12 0 0 0 f l-f12 0 0 (J12

E23 0 0 0 0 f4 0 (J23

E13 0 0 0 0 0 f4 (J13

fi' f12, f13, f3, f4 sont cinq fonctions à identifier.

Le rôle de <J33 (perpendiculaire aux couches) quipilote la non-linéarité est primordial. Une linéarisationen fonction des autres contraintes (<J11, <J22) (parallèlesaux couches) est adoptée avec une précision assezacceptable.

Identification

f1! f12! f13! f3L'essai de compression simple à contrainte constante

(0, 0, <J33) conduit à :

E11 == f13 <J33E22 == f13 0"33E33 == f3 <J33

En utilisant la formulation analytique définie dans leparagraphe 3 on aboutit à :

f3 == {1 - [do(<J{3 + B)]/[dp(<J{3 + B) - A] + {[(dp - do)/do]

[(<J33 + 1)m - 1]) [ln(t/to)]}/<J{3

f13 == E22/<J33 == (E22/E33) (E33/<J33) == a 3f3Une analyse directe de l'essai biaxial :

(O,<J22, <J33)~ (E11, E22, 0)

conduit à :

fi == (dp - do) {1/[(do)k] + [1/(do1)][ln(t/to)]} + (a3)2f3

f12 == aifi(a3)2f3 est négligeable devant les autres termes.

REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUEN° 651er trimestre 1994

() * == ()33/Pa33

Pa : pression atmosphérique;

to == 240 secondes.

Identification de f4

Dans le cas de l'élasticité linéaire, f4 est l'inverse dumodule du cisaillement (f4 == (2*G13)-1) que l'on peutmesurer par un essai de distorsion. En l'absence de cetessai, nous avons tenté de l'approcher, en supposant quele matériau est isotrope. Selon les caractéristiques dansla direction perpendiculaire aux couches, on trouve que:

f4 == f3 (1 - <X3)

En adoptant les caractéristiques dans la directionparallèle aux couches:

f'4 == (dp - do){[l/(do)k] + [l/(do)I][ln(t/to)]}(l- <X 1)

Le rapport f4/f'4 est de l'ordre de 1,9.La valeur de f4 adoptée est la moyenne de ,ces deux

cas extrêmes :f4 == [f3(1 - <X3) + R (1 - <x1)]/2

R == (dp - do){[l/(do)k] + [l/(do)I][ln(t/to)]}

Compte tenu de la valeur approchée de f4' on peutnégliger <X 1 et <x 3. Donc f4 sera:

f4 == (f3 + R)/2

']0.4"-~0.3

.~ 0.2~csa0.1'-to....

\CI)

"d 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4-500temps(mn)

Densité initiale: 0,38.Initial density : 0.38.

- expé.

+ théo.

800

700

_800«S~~ 500Gr~

d ...00'iSb 300do

U 200

100

0,05

cx : expérienceth : théorique

0,1 0,15 0,2

déformation (~h/ho)

0,25

Densité initiale

- 0,315ex

+ O,315th

* O,38ex

a O,38th

* O,'58ex

- O,458th

0,3

FIG.1& Vitesse de déformation: 0,018 min- 1.

Deformation velocity : 0.018 min- 1.- expé.

+ théo.

1000 1500 2000 2500 3000temps (mn)

500

0°·1'~0.12

~ 0,1

1°·08~ 0,06

~ 0,04.2 0,02\Q) .J*--r----'Il--------'~ °"f""===--+----+----+--_I-----+---~

°

f1G.17b Densité initiale: 0,46.Initial density : 0.46.

350

ex : expérienceth : théorique

Densité initiale

0.2_0.18

~0.18A 0.1'%0,12.2 0.1

]~:~:~ 0.0'"d 0.020------° 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

temps (mn)

- expé.

+ théo.

_300«S

ll..~ 250Gr~

d 200'«;b 150do

U 100

50

0.05 0.1 0,15 0,2

déformation (l1h/ho)0,25

- O,311EX

+ O,311th

0,3

... ····.>:····:··········.·· ...u .. 17c Densité initiale: 0,49.Initial density : 0.49.

f1G.18b Vitesse de déformation: 0,006 min- 1.

Deformation velocity : 0.006 min- 1.

Fluage par palier. Courbes expérimentaleset théoriques.Creep loading by steps. Experimental andtheoretical curves.

Contraintes-déformation à vitesse dedéformation constante. Courbesexpérimentales et théoriques.Stress strain with constant deformationvelocity. Experimental and theoretical curves.

65REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUE

N° 651er trimestre 1994

ConclusionL'étude expérimentale a permis de montrer la vali­

dité du procédé proposé. Elle a permis, en outre, demettre en évidence le comportement des blocs qui est:- fortement dépendant de la densité initiale;- orthotrope de révolution;- non linéaire en fonction de la contrainte (13 perpendi-culairement aux couches;- fortement visqueux.

L'essentiel du comportement ainsi mis en évidencea pu être modélisé de façon correcte par la théorie pro­posée.

Ce modèle, élaboré dans le cadre des petites défor­mations, ne tient pas compte de l'évolution de la densité

en cours de sollicitation. Une amélioration de ce modèlepour lever ces deux limitations est en cours d'étude.

La densité initiale, un bon critère d'évaluation, serafixée en fonction de l'environnement mécanique. Empê­cher le gonflement initial lors de la fabrication est indis­pensable afin de garder de bonnes caractéristiquesmécaniques.

Une étude statistique plus approfondie tant sur lacomposition du gisement de déchets plastiques que surles caractéristiques dimensionnelles des blocs seranécessaire pour bien cerner et définir la fourchette deprécision sur les paramètres caractéristiques et pourbien compléter la démarche stochastique adoptée.

Enfin, un chantier a été envisagé, il ouvrira une nou­velle perspective qui permettra de suivre le comporte­ment réel d'un massif de blocs et de valider le modèletridimensionnel.

Daudon D., El Ghoche H., Coulet C.- Plastic Waste Low-WeightEmbankments for PavementsConstruction on Soft Soil, GEO­

COAST' 91, International Confe­rence on Geotechnical Engi­neering for Coastal Deve­lopment, Theory and Practice,Yokohama, Japon, sept. 1991.

El Ghoche H - Expérimentation etmodélisation de blocs compres­sibles de matières plastiques

66REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUEN° 65Fr trimestre 1994

pour des remblais allégés.Détermination d'une loi de com­portement orthotrope de révo­lution viscoélastique nonlinéaire, Thèse de Doctorat, Uni­versité Claude-Bernard, Lyon 1,décembre 1992.

El Ghoche H., Coulet C., Daudon D.- Plastic Waste for Low-WeightEmbankments, Conference ofthe ASCE, Grouting Soil Impro­vement and Geosynthetics, New

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Hilyard N.C. - Mechanics ofCellu­lar Plastics, Macmillan ed., 1982.

Huet C. - Remarque sur la procé­dure d'assimilation dlun maté­riau hétérogène à un matériaucontinu équivalent, CR 15e Coll.GFR. Comportements rhéolo­giques et Structure des maté­riaux, Paris, 1980.

Lemaître J, Chaboche J -L. - cc Élas-

ticité, Thermoélasticité, Visco­élasticité linéaire )), Mécaniquedes matériaux solides (chap. 4),Paris, Dunod, 2e éd. 1988,pp. 123-162.

Mandel J, cc Chargements à plu­sieurs paramètres - Comporte­ment Linéaire )), Propriétésmécaniques des matériaux ­Rhéologie - Plasticité (chap. IV),Eyrolles, Paris, 1978, pp. 45-58.