Extrait de la publication…12.b. Champs de Higgs 13.a. Quelques points de géométrie différentielle holomorphe 13.b. Feuilletages holomorphes 13.c. Connexions sans torsion 13.d

Extrait de la publication

Déformat ions isomonodromiques

et variétés de Frobenius


Claude Sabbah

Déformations isomonodromiques

et variétés de Frobenius

S A V O I R S A C T U E L S

EDP Sciences/CNRS EDITIONS


numilog numilog

@ 2002, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, B P 112, Parc d’activités de Courtabawf, 91944 Les Ulis Cedex A et CNRS ÉDITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris.

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TABLE DES MATIÈRES

Préface

Terminologie et notations

O . Le langage des fibrés 1. Fonctions holomorphes sur un ouvert de C ’ I 2. Variétés analytiques complexes 3. Fibrations vectorielles holomorphes 4. Faisceaux localement libres de 8~ -modules 5. Cohomologie non abélienne 6. Cohomologie de Cech 7. Fibrés en droites

7.a. L’exponentielle comme morphisme de faisceau 7.b. Suite exacte de l’exponentielle et classe de Chern

8. Fibrés méromorphes, réseaux 9. Exemples de fibrés holornorphes et rnérornorphes

9.a. Le fibré cotangent et les faisceaux de formes holomorphes 9.b. Formes différentielles méromorphes et logarithmiques

10. Variétés affines, analytisation, formes différentielles algébriques 10.a. Variétés affines 10.b. Analytisation 1O.c. Variétés affines non singulières

1 1 .a. Expression locale de la connexion 11 .b. Opérations sur les fibrés à connexions 11 .c . Image inverse d’un fibré à connexion

12.a. Connexions holomorphes intégrables 12.b. Champs de Higgs

13.a. Quelques points de géométrie différentielle holomorphe 13.b. Feuilletages holomorphes 13.c. Connexions sans torsion 13.d. Champs de Higgs symétriques

11. Connexions holomorphes sur un fibré vectoriel

12. Connexions holomorphes intégrables et champs de Higgs

13. Géométrie du fibré tangent

xi

xv

1 1 3 6 8

11 15 16 17 17 18 19 19 22 25 26 26 27 28 29 30 31 33 33 37 38 38 39 41 43


vi TABLE DES MATIÈRES

14. Connexions méromorphes 14.a. Restriction d’une connexion méromorphe 14.b. Restriction et résidu des connexions à pôles logarithmiques 14.c. Connexions d’ordre 1

15.a. Faisceaux d’ensembles localement constants 15.b. Faisceaux localement constants de C -espaces vectoriels de

15.c. Rappels sur les représentations linéaires de groupes 15.d. Une équivalence de catégories

16. Déformations intégrables et déformations isomonodromiques 17. Appendice : le langage des catégories

15. Faisceaux localement constants

rang fini

I. Fibrés vectoriels holomorphes sur la sphère de Riemann 1. Cohomologie de C , C* et P1 2. Fibrés en droites sur P1

2.a. Le fibré tautologique &$I (-1) 2.b. Les fibrés &$I ( k ) pour k E Z 2.c. Fibre en droites associé à un diviseur 2.d. Le fibré quotient universel 2.e. Extensions de fibrés en droites 2.f. Champs de vecteurs et formes différentielles sur P1

3. Un théorème de finitude et quelques conséquences 4. Structure des fibrés vectoriels sur P1

4.a. Le théorème de Birkhoff-Grothendieck 4.b. Application aux fibrés méromorphes 4.c. Modification du type d’un fibré 4.d. Fibrés vectoriels algébriques et rationnels

5.a. Premières propriétés 5.b. Théorèmes de rigidité

5. Familles de fibrés vectoriels sur P

II. Correspondance de Riemann-Hilbert sur une surface de Riemann 1. Énoncé des problèmes 2. Étude locale des singularités régulières

2.a. Quelques définitions 2.b. Rang 1 2.c. Modèles en rang quelconque 2.d. Classification des (k, V) -espaces vectoriels à singularité

2.e. Réseaux logarithmiques canoniques 2.f. Adjonction de paramètres

régulière en O

47 48 49 50 51 51

52 53 54 56 61

63 63 65 65 66 67 68 68 70 70 72 72 76 76 78 79 79 80

87 87 89 89 90 91

93 98

1 O0


TABLE DES MATI~RES vii

3. Applications 3.a. Correspondance de Riemann-Hilbert 3.b. Correspondance de Riemann partielle 3.c. Algébrisation d’un germe de connexion méromorphe

4.a. Reconnaître une singularité régulière 4.b. Calculer la monodromie des sections horizontales

5. Singularités irrégulières : étude locale 5.a. Classification en rang 1 5.b. Modèles en rang quelconque 5.c. Le faisceau JJ 5.d. Classification sectorielle

6.a. Le faisceau de Stokes 6.b. Classification (énoncé) 6.c. Constance locale du faisceau de Stokes 6.d. Classification (démonstration) 6.12. Compléments sur l’espace de Stokes

4. Compléments

6. Correspondance de Riemann-Hilbert dans le cas irrégulier

102 102 104 104 105 105 107 107 108 1 09 113 115 115 116 117 119 121 123

III. Réseaux 127 Introduction 127 1. Réseaux des ( k , V) -espaces vectoriels à singularité régulière 128

1 .a. Classification des réseaux logarithmiques 128 1.b. Comportement vis-à-vis de la dualité 132 1 .c . Polynôme caractéristique d’un réseau à l’origine 135 1.d. Rigidité des réseaux logarithmiques 138

141 2.a. Classification des réseaux 141 2.b. Polynôme caractéristique d’un réseau à l’infini 142 2.c. Déforniations 146 2.d. Fibrés de rang 1 à connexion d’ordre 1 146 2.e. Structure formelle 148 2.f. Démonstration du théorème 2.10 150

2. Réseaux des ( k , V)-espaces vectoriels à singularité irrégulière

IV. Le problème de Riemann-Hilbert et le problème de Birkhoff Introduction 1. Le problènie de Riemann-Hilbert 2. Fibrés méromorphes à connexion irréductibles 3. Application au problème de Riemann-Hilbert 4. Compléments sur l’irréductibilité 5. Le problème de Birkhoff

5.a. Problèmes de Birkhoff analytique local et algébrique 5.b. Le critère de M. Saito

153 153 154 160 164 167 168 168 171

‘ T B L E DES MATIÈRES ... vlll

V. La dualité de Fourier-Laplace Introduction 1. Modules sur l’algèbre de Weyl

1.a. L’algèbre de Weyl d’une variable 1.b. Modules holonomes sur l’algèbre de Weyl 1.c. Dualité . 1.d. Régularité

2. Transformation de Fourier 2.a. Transformé de Fourier d’un module sur l’algèbre de Weyl 2.b. Transformation de Fourier et dualité 2.c. Transformé de Fourier d’un réseau

3.a. Microlocalisation formelle 3.b. Décomposition formelle du transformé de Fourier

3. Transformation de Fourier et microlocalisation

175 175 176 176 177 179 182 183 183 186 186 190 190 193

3.c. Un critère microdifférentiel pour la symétrie du polynôme caractéristique 195

VI. Déformations intégrables de fibrés à connexion SUT la sphère de Riemann 197

Introduction 197 198

Riemann-Hilbert 1 O 8

1. Le problème de Riemann-Hilbert en famille 1.a. Déformations intégrables de solutions au problème de

1.b. Un exemple : la sixième équation de Painlevé comme

1 .c. Universalité 205 207

2.a. Déformations intégrables de solutions au problème de Birkhoff 207

210 213

3. Déformation intégrable universelle pour le problème de Birkhoff 215 216

globale 218 220

3.d. La base E 221 3.e. La base e 22 1

221 223

de Fourier 227

équation d’isomonodromie 203

2. Le problème de Birkhoff en famille

2.b. Constructions en présence d’une > 2.c. Résumé des Sfi 2.a et 2.b

3.a. Existence d’une déformation universelle locale 3.b. Existence et construction d’une déformation universelle

3.c. Déformation universelle avec métrique

3.f. Comparaison des bases E et e 3.9. Cas où R, est antisymétrique 3.h. Relation avec les équations de Schlesinger par transformation

TAK1.E DES MAIIÈRES ix

VII. Structures de Saito et structures de Frobenius sur une variété analytique complexe 229

Introduction 229 1. Structure de Saito sur une variété 230

230 236 240

2.a. Structure de Frobenius 240 2.b. Le potentiel de la structure de Frobenius et les équations

d’associativité 242 244

1.a. Structure de Saito sans métrique 1.b. Structure de Saito avec métrique

2. Structure de Frobenius sur une variété

3. Application de périodes infinitésimale 3.a. Application de périodes infinitésimale associée à une section

3.b. Connexion plate et produit sur le fibré TM 245 3.c. Le champ d’Euler 246 3.d. Adjonction d’une variable dans l’application de périodes

infinitésimale 247 248

4. Exemples 249 249 250 260

fonction 262

5.b. Le complexe de de Rham > par e--‘[ 265 5.c. Structure de Frobenius-Saito de type A d , deuxième version 266

Bibliographie 271

Index des notations 283

primitive 244

3.e. Justification de la terminologie

4.a. Structures de Frobenius-Saito semi-simples universelles 4.b. Structures de Frobenius-Saito de type A d 4.c. Structures de Frobenius définies par leur potentiel

5. Structure de Frobenius-Saito associée 2 une singularité de

5.a. Esquisse générale 262

Index terminologique 285


PRÉFACE

Malgré un titre un peu ésotérique, ce livre traite d’un sujet classique, à savoir la théorie des équations différentielles linéaires dans le domaine complexe. Les prototypes en sont les équations (portant sur la variable complexe t et la fonction inconnue u ( t ) ) :

du c1 du 1 dt t - = - u ( t ) (. E C), - dt = p w

La première a pour solution la fonction > t H t“ et la seconde a pour solution la fonction 1 H exp(-l/ t) . La fonction > log est, quant à elle, solution d’une équation avec second membre :

du 1 dt 1 ’

ou, si l’on préfère rester dans le cadre des équations homogènes comme il est fait dans ce livre, de l’équation d’ordre 2 :

l - + - = O .

- - -~

d2u d u dt2 d t

Ainsi, Line équation différentielle à coefficients polynomiaux ou fractions rationnelles en la variable 1 admet en génerai pour solutions des fonctions transcendantes. D’autres familles sont célèbres elles aussi, les équations hy- pergéométriques ou les équations de Bessel, pour ne citer qu’elles.

Ceci constaté, la question se pose de savoir s’il est nécessaire de résoudre explicitement l’équation pour connaître les propriétés de ses solutions. Au- trement dit, on se pose la question de savoir quelles sont les propriétés des solutions qui ne dépendent que de manière algébrique (donc en principe calculable) des coefficients de l’équation, et quelles sont celles qui néces- sitent un recours à des manipulations transcendantes.

Pousser ce raisonnement jusqu’au bout conduit à développer la théo- rie des équations différentielles dans le champ complexe à l’aide des outils de la géométrie algébrique ou analytique complexe ( i . ~ . la théorie des


xii PRÉFACF,

équations algébriques complexes). On est ainsi amené à traiter les systèmes d’équations linéaires, dépendant de plusieurs variables. La géométrie al- gébrique nous pousse aussi à considérer les propriétés globales de ces sys- tèmes, c’est-à-dire à considérer des systèmes définis sur des variétés algébriques ou analytiques complexes.

Les équations différentielles que nous considérerons dans ce livre pren- dront le nom de connexions intégrables sur u n j b r é vectoriel. Notre > (mouche du vinaigre) sera la droite projective complexe, communément appelée > et notée P1 (C) ou P’, qui sera l’objet d’un certain nombre d’expériences portant sur les connexions : analyse des singularités et déformations.

La théorie des déformations isomonodromiques est une machine à pro- duire des systèmes non linéaires d’équations différentielles ou aux dérivées partielles dans le domaine complexe et ce, à partir d’une équation ou d’un système d’équations linéaires d’une variable complexe. Elle donne en même temps un procédé (peu explicite en général) pour les résoudre, ainsi que des propriétés remarquables des solutions de ces systèmes (la propriété dite > notamment). Si, au début, seule était considérée la défor- mation d’équations différentielles linéaires d’une variable complexe à coefficients polynomiaux, il est apparu plus tard que la déformation des systèmes linéaires de plusieurs équations pouvait jeter une lumière nouvelle sur la question, par l’usage d’outils de la géométrie algébrique ou différentielle : fibrés vectoriels, connexions, etc.

Pendant longtemps (et c’est toujours essentiellement le cas), cette mé- thode a servi aux théoriciens des systèmes dynamiques et aux physiciens qui analysent les équations non linéaires produites par des systèmes dynamiques intégrables : faire apparaître ces équations comme équations d’isomonodromie est en quelque sorte une linéarisation du problème initial. De ce point de vue, les équations de Painlevé ont joué le rôle de prototype, depuis l’article de R. Fuchs [FucO~], suivi par ceux de R. Garnier, qui a montré comment la sixième pouvait s’écrire comme équation d’isomonodromie, sortant ainsi du strict cadre de la recherche de nouvelles fonctions transcendantes.

Une belle application de cette théorie est l’introduction de la notion de structure de Frobenius sur une variété. Si cette notion était clairement ap- parue dans les articles de Kyoji Saito sur les déploiements de singularités de fonctions holomorphes, ce n’est qu’avec Boris Diibrovin, à la suite de mo- tivations issues de la physique, qu’elle s’est réellement développée, ouvrant des perspectives sur des sujets apparemment très éloignés (singularités, cohomologie quantique, symétrie miroir).

Mon ambition de garder à ce texte un niveau et une taille modérés, tout autant que mon incompétence sur les développements les plus récents, m’ont conduit à limiter les sujets abordés, renvoyant notamment à l’article de B. Dubrovin [Dub961 ou au livre de Y. Manin [Man99a].


... PRÉFACE XLll

Le chapitre O, bien qu’un peu long, peut être sauté par tout lecteur ayant des connaissances de base en géométrie algébrique complexe ; il servira alors de référence pour les notations employées. I1 regroupe les énoncés utilisés dans la suite en théorie des faisceaux, fibrés vectoriels, connexions holomorphes et méromorphes, faisceaux localement constants. Les résul- tats en sont classiques et existent, dispersés, dans la littérature.

On poiirrait dire la même chose du chapitre I , bien qu’il soit plus diffi- cile de trouver une référence pour le théorème de rigidité des fibrés triviaux dans les livres de géométrie algébrique élémentaire. On se restreint ici aux fibrés sur la sphère de Riemann, ce qui ne nécessite qu’un petit investisse- ment de géométrie algébrique. On admet essentiellement dans ce chapitre le théorème de finitude de la cohomologie d’un fibré vectoriel sur une surface de Riemann compacte (et même seulement la sphère de Riemann), pour lequel il existe de bonnes références.

Avec les chapitres II et III commence l’étude des systèmes linéaires d’équations différentielles d’une variable complexe et de leurs déforma- tions. Le type des points singuliers y est analysé. Ici encore, on ne démontre pas deux théorèmes d’analyse, dans la mesure où les techniques utilisées, bien qu’abordables, sortent trop du cadre de l’ouvrage.

Un des objets fondamentaux attachés à une équation différentielle ou, plus généralement, à une connexion intégrable sur un fibré vectoriel, est le groupe d e . ~ transjbrmntions de monodromie dans sa représentation naturelle, reflétant la (< multiformité >> des solutions de cette équation ou connexion. La correspondance de Riemann-HilbPrt - au moins lorsque les singularités de l’équation sont régulières - exprime que ce groupe contient toute l’information de l’équation différentiellc. Ainsi, un des problèmes classiques de la théorie consiste, étant donnée une équation différentielle, à calculer son groupe de monodromie. Signalons aussi un autre objet, le groupe dr Gu- lois d f j k x t i e l - non utilisé dans ce livre - qui a l’avantage d’être défini algébriquement à partir de l’équation.

Ce n’est pas ce problème que nous développons dans ce livre, et on ne trouvera pas de calcul explicite de tels groupes. Comme indiqué ci-dessus, nous cherchons plutôt à exprimer les propriétés des solutions de I’éqiia- tion en terme d’objets algébriques, ici le fibré vectoriel (méromorphe) à connexion. Dans ce fibré méromorphe existent des réseaux ( i . e . des fibrés holomorphes), qui correspondent aux diffkrentes manières équivalentes d’écrire le système différentiel.

Trouver la manière la plus simple d’écrire un système différentiel à équivalence inéromorphe près fait l’objet du problime de Riemann-HilbPrt (cas des singularités régulières) ou du problème de Birkhoff. I1 s’agit dans tous les cas d’écrire le système comme une connexion sur le fibré trivial. Le chapitre Tv expose quelques techniques de résolution du pro- blème de Riemann-Hilbert ou de Rirkhoff. On trouvera dans les livres de A. Bolibroiikh [AB941 et [Bo1951 beaucoup d’autres résultats.

XiV PREFACE

Le chapitre V introduit la transformation de Fourier (qu’il serait peut-être plus juste d’appeler transformation de Laplace) pour les systèmes d’équations différentielles d’une variable. I1 peut permettre de comprendre le lien entre les équations de Schlesinger et les équations de déformation du problème de Birkhoff, analysées au chapitre VI. Dans ce dernier est expliquée en détail la notion de déformation isomonodromique.

Le chapitre VI1 présente axiomatiquement la notion de structure de Saito (sous la forme introduite par K. Saito) ainsi que la notion de structure de Frobenius (sous la forme introduite par B. Dubrovin, reprenant ainsi sa terminologie). On y montre l’équivalence de ces notions, réunies dès lors sous le nom de >. De nombreux exemples sont donnés, afin de mettre en évidence différents aspects. II peut servir d’introduction à la théorie de K. Saito sur la structure de Frobenius-Saito associée aux déploiements de fonctions à singularités isolées. La démonstra- tion de beaucoup de résultats de cette théorie fait appel à des techniques de géométrie algébrique en dimension 3 1, techniques qui sortent du cadre de cet ouvrage et dont l’exposition demanderait un autre livre (la théorie de Hodge du système de Gauss-Manin) .

Ce texte, version très développée de l’article [Sab98], est issu de plusieurs cours (parfois accélérés) faits dans le cadre de la formation doctorale des universités de Paris Vi, Bordeaux I et Strasbourg ainsi que lors d’une école sur les variétés de Frobenius au CIRM (Luminy). Michèle Audin, Alexandru Dimca, Claudine Mitschi et Pierre Schapira m’ont ainsi donné l’occasion d’en exposer certaines parties.

Beaucoup d’idées, de même que leur présentation, viennent en droite ligne des articles de Bernard Malgrange, ainsi que de nombreuses conversa- tions que nous avons eues. De nombreux aspects des variétés de Frobenius me seraient restés obscurs sans de multiples discussions avec Michèle Audin. J’ai aussi eu le plaisir de longs entretiens avec Andrei Bolibroukh, qui m’a expliqué ses recherches, notamment sur le problème de Riemann-Hilbert. Joseph Le Potier a répondu de bonne grâce à mes questions électroniques sur les fibrés.

Plusieurs personnes m’ont aidé à améliorer le texte, ou m’ont indiqué quelques erreurs, notamment Gilles Bailly-Maitre, Alexandru Dimca, Claus Herding, Adelino Paiva, ainsi que les rapporteiirs anonymes.

Je les en remercie.

Ce livre a été écrit notamnieiit dans le cadre du programme INTAS 97- 1644.


TERMINOLOGIE ET NOTATIONS

Certains mots utilisés dans ce livre ont traditionnellement plusieurs sens, suivant le contexte dans lequel on les emploie. Ainsi :

- la platitude (en géométrie) signifie l’absence de courbure (pour une métrique, une connexion...), elle est alors synonyme d’intégrabilité ; en al- gèbre commutative, elle traduit un bon comportement par rapport au produit tensoriel ;

- la torsion est une notion géométrique (pour une connexion sur le fibré tangent), mais aussi une notion algébrique (pour un module) ; on s’inté- resse à la torsion d’une connexion plate, alors qu’un module plat sur un anneau n’a pas de torsion ... De manière analogue, l’appellation (< de Frobenius >> peut renvoyer à diverses propriétés bien distinctes : I’intégrabilité au sens de Frobenius concerne les systèmes de Pfaff, qui deviennent ainsi des feuilletages, tandis que la notion de variété de Frobenius (ou structure de Frobenius sur une variété) fait référence à la structure d’algèbre de Frobenius sur le fibré tangent de cette variété ; il n’empêche que la notion d’intégrabilité intervient dans la construction de telles structures.

On distinguera aussi les mathématiciens L. Fuchs (condition de Fuchs, équation fiichsienne, etc.) et R. Fuchs (isomonodromie et équations de Painlevé), de mênie que K. Saito et M. Saito.

J’ai adopté un principe assez simple pour les notations, auquel j’ai essayé de me tenir.

Les lettres M, N, X sont (en principe) réservées aux variétés, la lettre X désignant souvent l’espace des paramètres d’une déformation, tandis que la lettre M désigne plutôt l’espace sur lequel vit l’objet déformé.

Les lettres tF,F,F sont réservées aux faisceaux sur une variété, les lettres l sont no- tés en général par la lettre A&’ (et parfois H), leur germe en un point par


xvi TERMINOLOGIE ET NOTATIONS

34 ou N. Enfin, dans un cadre algébrique, le module des sections globales d ’unfa i sceauZ ,Y,F’ ,k ‘e s tno té IE,IF,G,M.

Dans une famille paramétrée par un espace, la restriction d’un objet A pour la valeur xo du paramètre est notée A’.

Enfin, le carré blanc sur fond blanc O signifie la fin d’une démonstra- tion. ou son absence.


CHAPITRE O

LE LANGAGE DES F’IBRÉS

Ce chapitre regroupe les principaux résultats généraux utilisés dans ce livre. I1 a aussi pour but de préciser les notations employées plus loin. Les lecteurs pourront s’y reporter si nécessaire.

Nous supposons une certaine familiarité avec le langage de la théorie de faisceaux.

La notion de fibré vectoriel et de connexion permet d’aborder les pro- blèmes globaux de la théorie des systèmes différentiels linéaires et de leurs singularités. Nous considérons ici uniquement le cadre holomorphe ou mé- romorphe. Nous nous sommes efforcé de donner des énoncés intrinsèques, indépendants des choix de coordonnées ou de base. Aussi les lecteurs ne s’étonneront-t-ils pas de ne pas trouver la notion de matrice fondamentale de solutions, de wronskien, etc. Par contre, nous insistons sur la différence entre la notion de système différentiel méromorphe (où les changements de base méromorphes sont permis) et celle de rbseaii d’un tel système (oil seuls les changements de base holomorphes le sont).

1. Fonctions holomorphes sur un ouvert de C”

On pourra se reporter par exemple à [ GR65, chap. I], [ GH78, chap. O] , [Kod86, chap. 11 (ainsi qu’à [Hor73, chap. 11 011 [LT97, chap. 11) pour les propriétés élémentaires des fonctions holomorphes.

Soient n un entier 2 1 et ( J un ouvert de @”. Les coordonnées sont notées zl, . . . , z,,, OU z, = x1 + iy l est la décomposition en parties réelle et imaginaire.

Soit f : u + c une fonction de classe C’ . 011 pose

2 CHAPITRF O. LE LANGAGE DES FIKRLS

Une fonction f de classe C' sur U est dite holomorphe si, pour tout z E U et tout j = 1,. . . , n, les équations de Cauchy-Riemann

sont satisfaites. On désigne par B ( U ) l'anneau des fonctions holomorphes sur U et par &I le faisceau des fonctions holomorphes sur U .

1.1. ïhéorème (les fonctions holomorphes sont les fonctions analytiques) Une fonction f : U + C est holomorphe si et spukwient si plle est analytiqup,

autrpment dit dheloppable en sévie convevgentr de (zl - z: , . . . , zn - z i ) a u voisinage d~ tout point z" E U .

Démonstration. - Analogue à celle pour les fonctions d'une variable. Soit n

A(zo ,r ) = I1 D(z3 ,r j ) j=1

un polydisque ouvert de polyrayon r = ( r i , . . . , rn) E (Et;)" centré en z" E U et contenu dans U . Le résultat découle de la > qu'on montre par récurrence sur n : pour tout z E A(z", r ) on a

Soit z" E U . Le germe du faisceau 61 en z", noté @U,O, s'identifie donc à l'anneau des sévie.s convergentes à n variables, noté @{zl - zy, . . . , zn - zn}.

1.2. Quelques propriétés - Toute application holomorphe d'un ouvert de C n à valeurs dans C?

est une application P . - Toute application holomorphe bijective entre deux ouverts de @ " est

biholomorphe. - Toute fonction holomorphe non constante sur un ouvert connexe de

@" est une application ouuerie. - On dispose du théorème des fonctions implicites et du théorème d'in-

version locale pour les applications holomorphes. - Soient U un ouvert de @", cp : U t @ une fonction holomorphe + O

et 2 c U l'ensemble défini par l'équation y(z1,. . . , z,) = O dans U . Si f est une fonction holomorphe sur U \ Z qui est bornée au voisinage de tout point de 2 , alors f se prolonge en une fonction holomorphe sur 1 J .


2. VARIÉTÉS ANALYIIQULS COMPIXXES 3

2. Variétés analytiques complexes

On pourra se reporter à [GH78, chap. O] ou [Kod86, chap. 21 pour plus de détails ou d'exemples. Soit M un espace topologique. Un recouvrement ouvert U de M est une famille (ü , ) lE~ d'ouverts de M indexée par un ensemble I dont la réunion est égale à M .

Un espace topologique M est dit paracompact s'il est séparé et si, pour tout recouvrement ouvert II de M , il existe un recouvrement ouvert de M qui est localementJini et plusJin que 11, c'est-à-dire que tout compact ne coupe qu'un nombre fini d'ouverts de 23 et tout ouvert VI de T? est contenu dans au moins un ouvert U, de LI.

Une v a d é analytique complexe M de dimension n est un espace topologique paracompact qui possède un recouvrement ouvert (üz)zt~ et des cartes 'pz : U, 4 @ I n , chaque (p2 induisant un homéomorphisme de U, sur un ouvert O, de @ I n , telles que, pour tous z,j E I , le changement de carte

soit un biholomorphisme. Une fonction holomorphe sur une variété analytique complexe est une fonc-

tion de classe C' telle que chaque f O (pi' soit une fonction holomorphe snr l'ouvert ~ i ( ü i ) de Cn.

Tout ouvert de carte Ui admet alors des systèmes de coordonnées (zi, . . . , z,) provenant de ceux de O,.

Une application entre deux variétés analytiques complexes est dite holomorphe si, pour un (ou tout) choix de coordonnées locales holomorphes de la source et du but, les composantes de l'application sont des fonctions holomorphes des coordonnées.

Une sou.r-urcm'été analytique complexr N de M est un sous-ensemble localement fermé dans M pour lequel, au voisinage de tout point de N dans M , il existe des coordonnées locales z1,. . . , zn telles que N y soit définie par les équations z1 = . . . = z p = O ; on dit alors que 1> est la codimension (complexe) de N dans M . Une hypersurface lisse est une sous-variété Jermée de codimension 1.

Un sous-ensemble analytique complexe fermé de M est iin sous-ensemble fermé, qui est localement défini comme ensemble des zéros d'une famille de fonctions analytiques. Nous serons amenés à utiliser le résultat suivant (les lecteurs pourront consulter [GR65, chap. II et III] pour plus de détails sur les sous-ensembles analytiques) :



TABLE DES MATIÈRESPréfaceTerminologie et notationsO Le langage des fibrés1 Fonctions holomorphes sur un ouvert de C ™I2 Variétés analytiques complexes

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Extrait de la publication…12.b. Champs de Higgs 13.a. Quelques points de géométrie différentielle holomorphe 13.b. Feuilletages holomorphes 13.c. Connexions sans torsion 13.d