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Extrait de la publication… · Géométrie algébrique, ... 2 Fonctions CR sur une hypersurface réelle ... les bases de géométrie différentielle et de théorie

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  • Thorie des fonctions holomorphes

    de plusieurs variables

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  • CHEZ LE MME DITEUR

    Dans la mme collection

    Oprateurs pseudo-diffrentiels et thorme de Nash-Moser, par G. Alinhac. 1991, 192 pages.

    Gomtrie algbrique, par D. Perrin. 1995,316 pages.

    Groupes quantiques. Introduction au point de vue formel, par A. Guichardet. 1995, 164 pages.

    Photons et atomes. Introduction l'lectrodynamique quantique, par C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc, G. Grynberg. 1987,422 pages.

    Processus d'interactions entre photons et atomes, par C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont- Roc, G. Grynberg. nouveau tirage, 1988,648 pages.

    Hydrodynamique physique, par E. Guyon, J. P. Hulin, L. Petit. 1991,520 pages.

    lments de chimie quantique l'usage des chimistes, par J. L. Rivail. 1994, 2e dition, 456 pages.

    Astrophysique : mthodes physiques de l'observation, par P. Lna. 1996, 2e dition, 528 pages.

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  • Thorie des fonctions holomorphes

    de plusieurs variables

    Christine Laurent-Thibaut Professeur l'universit Joseph Fourier (Grenoble 1)

    S A V O I R S A C T U E L S

    Interditions / CNRS ditions

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    gerbig

  • f DANGER I

    PHOTOCOPILL AGE . TUELELIVRE

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    O 1997, Interditions, 5, rue Laromiguire, 75241 Paris Cedex 05 et CNRS ditions, 20/22, rue Saint-Armand, 75015 Paris.

    Tous droits d e traduction, d'adaptation et de reproduction par tous procds, rservs pour tous pays.

    Toute reproduction ou reprsentation intgrale ou partielle, par quelque procd que ce soit des pages publies dans le prsent ouvrage, faite sans l'autorisation de l'diteur, est illicite et constitue une contrefaon. Seules sont autorises, d 'une part , les reproductions strictement rserves l'usage priv d u copiste et non destines une utilisation collective, et d'autre part, les courtes citations justifies par le caractre scientifique ou d'information de l'uvre dans laquelle elles sont incorpores (art. L. 122-4. L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la proprit intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent tre ralises avec l'accord de l'diteur. S'adresser au : Centre franais d'exploitation d u droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tl. : O 1 43 26 95 35.

    ISBN : 2-7296-0660-2

    ISSN : 2-271-05501-6

  • Table des matires

    Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi I Proprits lmentaires locales des fonctions holomorphes

    de plusieurs variables complexes . . . . . . . . . . . . . 1 1 Notations et dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Formule de Cauchy dans les polydisques . . . . . . . . . . . . 4 3 Thorme de l'application ouverte . . . . . . . . . . . . . . 8 4 Suites de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . 10 5 Applications holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . 11 6 Quelques thormes d'extension holomorphe . . . . . . . . . 13

    II Courants. structures complexes . . . . . . . . . . . . . . 21 1 Courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 Rgularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Indice de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4 Varits analytiques complexes . . . . . . . . . . . . . . . 43 5 Structures complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6 Formes diffrentielles de type ( p . q ) . . . . . . . . . . . . . 47 7 Oprateur a. cohomologie de Dolbeault . . . . . . . . . . . 49 8 Espace tangent complexe au bord d u n domaine . . . . . . . . 51

    III Noyau et formule de Bochner-Martinelli . Applications . . . 55 1 NoyauetformuledeBochner-Martinelli-Koppelman . . . . . . 55 2 Rsolubilit du 8 pour une donne support compact . . . . . . 61 3 Rgularit du 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4 Phnomne de Hartogs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

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  • vi Table des matires

    IV Transforme de Bochner-Martinelli et extension de fonctions CR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 1 Transforme de Bochner-Martineili . . . . . . . . . . . . . 73 2 Fonctions CR sur une hypersurface relle . . . . . . . . . . 77 3 Thorme de Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4 Formule de Stokes pour les fonctions CR . . . . . . . . . . . 83 5 Primitives du noyau de Bochner-Martinelli . . . . . . . . . . 85 6 Un thorme d'extension de fonctions CR . . . . . . . . . . 87

    V Extension de fonctions holomorphes et de fonctions CR dans les varits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 1 Cohomologie support compact et phnomne de Hartogs . . . 91 2 Extension de fonctions CR de classe C" . . . . . . . . . . . 94 3 FormuledeCauchy-Fantappi-LemmedeDolbeault . . . . . . 96 4 Isomorphisme de Dolbeault . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5 Thorme de Bochner et extension de fonctions CR

    dans les varits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    VI Domainesd'holomorphieetpseudoconvexit . . . . . . . 109 1 Domainesdholomorphieetconvexitholomorphe . . . . . . . 109 2 Fonctions plurisousharmoniques . . . . . . . . . . . . . . 117 3 Pseudoconvexit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

    VI1 Problme de Levi et rsolution du a dans les domaines strictement pseudoconvexes . . . . . . . . . . . . . . . 143 1 Rsolution du d avec estimations holdriennes dans les ouverts

    strictement convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 2 Approximation uniforme locale des formes d-fermes dans les

    3 Finitude de la cohomologie de Dolbeault dans les domaines strictement pseudoconvexes . . . . . . . . . . . . . . . . 155

    4 Invariance de la cohomologie de Dolbeault par les extensions strictement pseudoconvexes . . . . . . . . . . . . . . . . 157

    5 Thorme d'annulation pour la cohomologie de Dolbeault dans les domaines strictement pseudoconvexes . . . . . . . . . . . 161

    6 Formule intgrale pour rsoudre le a avec estimation holdrienne danslesdomainesstrictementpseudoconvexes . . . . . . . . 163

    7 Problme de Levi dans cc" . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

    domaines strictement pseudoconvexes . . . . . . . . . . . 153

    8 Problme de Levi dans les varits analytiques complexes . . . . 174

  • Table des matires vii

    VI11 Caractrisation des singularits illusoires pour les fonctions CR sur un bord strictement pseudoconvexe . . . . . . . . 189

    1 Rduction au cas des fonctions continues . . . . . . . . . . . 189 2 Cas de la dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 3 Caractrisationcohomologiqueendimensionn 2 2 . . . . . . 192 4 Caractrisationdessingularitsillusoiresfaibles . . . . . . . . 194

    Annexe A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 1 Varits diffrentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 2 Partitions de lunit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 3 Espace cotangent en un point - Formes diffrentielles de degr 1 . 207 4 Espacetangentenunpoint-Champsdevecteurs . . . . . . . 208 5 Algbre des formes diffrentielles . . . . . . . . . . . . . . 211 6 Intgration des formes diffrentielles . . . . . . . . . . . . 216 7 Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

    Annexe B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Annexe C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Index des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Index terminologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

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  • Avant-propos

    Lorigine de cet ouvrage est un cours fondamental de 3e cycle donn lInstitut Fourier en 1994-95. Son objet est dinitier la thorie des fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes dans C et dans les varits analytiques com- plexes. I1 sadresse en priorit des tudiants en DEA ou dbutant une thse. I1 suppose connus les fondements de la thorie des fonctions holomorphes dune variable complexe. Par contre, les bases de gomtrie diffrentielle et de thorie des courants ncessaires ltude de lanalyse pluricomplexe sont rappeles dans lannexe A et le chapitre II de ce volume.

    Nous utilisons la mthode des reprsentations intgrales couple avec la tech- nique des bosses de Grauert. Ce point de vue a lavantage de proposer un pro- longement naturel en plusieurs variables des techniques dune variable com- plexe et de conduire rapidement dimportants rsultats globaux tout en vitant lintroduction de trop nombreux outils nouveaux. Ayant acquis ces mthodes, pr- sentes ici dans le cadre de la pseudoconvexit, le lecteur pourra aborder sans trop de difficults la thorie dAndreotti-Grauert, tant dans les varits analytiques com- plexes que dans les varits CR (cf. [He/Le2] et [L-T/Lel). Pour les applications, laccent est mis sur les problmes globaux dextension de fonctions CR : ph- nomne de Hartogs-Bochner, tude des singularits illusoires pour les fonctions CR.

    La plupart des thmes traits tant classiques, puisquils font partie des fon- dements de lAnalyse Complexe, il est difficile dtre original. Ce travail sest donc largement inspir douvrages existants. Les sources utilises ainsi que quelques re- pres historiques sont prciss la fin de chaque chapitre. La bibliographie ne se propose pas dtre exhaustive, cest pourquoi de nombreux travaux fondamentaux en relation avec le sujet trait ny sont pas inclus. Le lecteur intress par des notes historiques prcises et une bibliographie beaucoup plus complte pourra consulter les notes de fin de chapitre et la bibliographie du livre de R.M. Range [Ra].

    Une partie de ce livre (les paragraphes 5 et 6 du chapitre IV, le paragraphe 5 du chapitre Vet le chapitre VIII) doit beaucoup aux travaux de Guido Lupacciolu, disparu prmaturment en dcembre 1996.

  • X Avant-propos

    Pour finir je voudrais remercier tous ceux qui mont aide dans la rdaction de ce livre et plus particulirement Alain Dufresnoy et Jrgen Leiterer. Cest grce leurs remarques, tant sur la forme que sur le fond, que ce livre a pu atteindre sa forme finale.

    Un grand merci gaiement Myriam Charles pour la saisie dun texte particu- lirement riche en formules mathmatiques et Arlette Guttin-Lombard pour ses conseils Tg-niques.

    Extrait de la publication

  • Introduction

    Au dbut du sicle E Hartogs a mis en vidence les proprites particulires dextension des fonctions hoiomorphes de plusieurs variables complexes en ex- hibant un domaine de C2 qui nest pas le domaine dexistence dune fonction holomorphe (de tels ouverts nexistent pas dans C). La comprhension de ce ph- nomne est alors devenue un des principaux problmes danalyse pluricomplexe. I1 fallait trouver de bonnes caractrisations des domaines dexistence des fonctions holomorphes, appels domaines dholomorphie.

    Les premiers travaux sur ce sujet, dus E Hartogs [Har] en 1906 et E.E. Levi [Lev] en 1910, montrent que les domaines dholomorphie satisfont certaines proprits de convexit, que nous appellerons gnriquement pseudoconvexit. Lquivalence entre les diffrentes notions de pseudoconvexit, qui sont apparues au !I du temps, a t prouve par K. Oka [Okl dans les annes 40. Les outils adapts ltude de la pseudoconvexit sont les fonctions plurisousharmoniques intro- duites indpendamment par i? Lelong [Lell] et K. Oka [Ok]. Dans les annes 30, H. Cartan et P. Thuilen [Ca/Th] ont trouv une caractrisation intrinsque globale des domaines dholomorphie en termes de convexit par rapport lalgbre des fonctions holomorphes sur le domaine. Cette convexit holomorphe est un des concepts fondamentaux de lAnalyse Complexe. La caractrisation des domaines dholomorphie en termes de pseudoconvexit, encore appele solution du pro- blme de Levi, a t donne indpendamment par K. Oka [Ok], H. Bremmermann [Brl] et E Norguet [No] au dbut des annes 50 pour les domaines de Cn et par H. Grauert [Gr] en 1958 pour les varits analytiques complexes. Elle a ncessit la mise en uvre de la thorie des faisceaux analytiques cohrents, qui sest avre tre un outil puissant pour ltude des espaces analytiques. La solution du pro- blme de Levi, que nous prsentons ici, suit les ides de Grauert mais sappuie sur la thorie des reprsentations integrales pour rsoudre les problmes techniques.

    La thorie des reprsentations intgrales en Analyse Complexe trouve son ori- gine dans les travauxde H. Grauert, G.M. Henkin, I. Lieb et E. Ramirez [GrlLi, He1,2, Ram] au dbut des annes 70. Depuis, cette thorie na cess de se dvelopper. Elle a permis de rsoudre des problmes inaccessibles par les mthodes antrieures et de retrouver, en les prcisant, les principaux rsultats de la thorie des fonctions

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  • xii Introduction

    holomorphes de plusieurs variables obtenus par dautres mthodes. I1 sagit prin- cipalement de construire de bons oprateurs intgraux pour rsoudre lquation de Cauchy-Riemann. La rsolution de cette quation est au cur de la plupart des problmes dAnalyse Complexe. Dans le cas de la rsolution du problme de Levi, elle est la base de la construction de la fonction holomorphe qui ne se prolonge pas.

    Le rsultat de Hartogs pose galement le problme de lextension des fonctions holomorphes dfinies au voisinage de tout le bord ou dune partie du bord dun do- maine et plus gnralement des fonctions CR (cest--dire des traces de fonctions holomorphes) dfinies sur tout ou partie du bord dun domaine dune varit analy- tique complexe. Une dmonstration rigoureuse du rsultat de Hartogs a t donne indpendamment par S. Bochner [Bo] et E. Martinelli [Ma21 vers 1940 laide dune formule intgrale, appele aujourdhui formule de Bochner-Martinelli. Depuis cette poque, cette formule joue un rle fondamental dans ltude de lextension des fonctions C R dans Cn , mais ne permet malheureusement pas de rsoudre les problmes globaux dextension dans les varits analytiques complexes. Le lien entre le phnomne dextension de Hartogs-Bochner et la rsolution de lquation de Cauchy-Riemann avec condition de support a t remarqu par L. Ehrenpreis [Eh] en 1961. Cest un point cl de ltude de lextension des fonctions CR dans les varits. Au milieu des annes 80, G. Lupacciolu et G. Tomassini [Lu/To] ont tu- di dans un cas particulier le problme de lextension dune fonction CR dfinie sur une partie du bord d u n domaine. De nombreux mathmaticiens ont contribu la rsolution de ce problme dextension au cours des dix dernires annes. Les rsultats que nous prsentons ici sont principalement dus G. Lupacciolu [Lu1,2].

    Ces problmes dextension globale sont bien sr lis la rcchcrche denveloppe dholomorphie, mais galement un problme plus gomtrique. I1 sagit de la construction de chanes holomorphes de bord donn. En effet si on considre le phnomne de Hartogs en termes de graphe, le graphe de lextension holomorphe est une chane holomorphe dont le bord est la varit CR maximalement complexe dfinie par le graphe de la fonction CR donne initialement.

    Le livre est organis comme suit :

    Le chapitre I dveloppe les proprits lmentaires locales des fonctions holo- morphes de plusieurs variables complexes qui se dduisent de la thorie des fonc- tions holomorphes dune variable.

    Dans une premire partie, le chapitre II introduit les courants. La notion dindice de Kronecker de deux courants permet dobtenir une formule de Stokes dans un cadre assez gnral. La seconde partie est consacre aux varits ana- lytiques complexes et la dfinition des diffrentes notions lies aux structures complexes : formes diffrentielles de type ( p , q) , oprateur a et cohomologie de Dolbeault.

    Dans le chapitre III, nous dmontrons la premire formule de reprsentation in- tgrale : la formule de Bochner-Martinelli-Koppelman. La dmonstration donne

    Extrait de la publication

  • ... Introduction XII1

    ici sappuie sur la formule de Stokes pour lindice de Kronecker. laide de la for- mule de Bochner-Martineili-Koppelman nous commenons ltude de lquation de Cauchy-Riemann.

    Le chapitre IV tudie le problme de lextension des fonctions CR dfinies sur le bord d u n domaine born de C . Le thorme dextension de Bochner est d- montr et un cas particulier dextension lorsque la fonction nest dfinie que sur une partie du bord du domaine est galement considr.

    Le chapitre V traite du problme de lextension des fonctions CR dfinies sur tout ou sur une partie du bord dun domaine relativement compact dune varit analytique complexe. Nous tudions la relation entre ces phnomnes dextension et lannulation de certains groupes de cohomologie de Dolbeault.

    Dans le chapitre Vi nous dfinissons les notions de domaine dholomorphie, convexit holomorphe et pseudoconvexit pour les ouverts de Cn. Nous prou- vons lquivalence entre domaine dholomorphie et domaine holomorphiquement convexe et nous montrons que tout domaine dholomorphie est pseudoconvexe. La rciproque, appele problme de Levi, est tudie au chapitre ViI.

    Le chapitre VI1 est consacr la rsolution du problme de Levi. La mthode sappuie sur la rsolution locale du a avec estimations holdriennes et sur ltude de linvariance de la cohomologie de Dolbeault par la technique des bosses de Grauert. Loriginalit de la dmonstration donne ici est lutilisation dun rsultat d Laufer [Lau] qui permet de dduire lannulation des groupes de cohomolo- gie de Dolbeault des thormes de finitudes obtenus par la rsolution locale du a. Le chapitre se termine par la rsolution du problme de Levi dans les varits analytiques complexes et lnonc de plusieurs thormes dannulation pour la cohomologie de Dolbeault qui permettent de donner des conditions gomtriques suffisantes pour les phnomnes dextension de fonctions CR tudis dans le chapitre V.

    Le chapitre VI11 donne des conditions ncessaires et suffisantes pour lextension des fonctions CR dfinies sur une partie du bord d u n domaine strictement pseu- doconvexe.

    -

    Pour faciliter le travail du lecteur notons les faits suivants :

    - Le chapitre III, les paragraphes 3 et 4 du chapitre Vet les chapitres VI et VI1 la- borent lensemble de la thorie qui permet la rsolution du problme de Levi, cest- -dire lidentit entre domaine dholomorphie et ouvert pseudoconvexe dans C et lidentit entre varit de Stein et varit possdant une fonction dexhaustion strictement plurisousharmonique dans le cas des varits.

    - Le chapitre IV, les paragraphes 1, 2 et 5 du chapitre V, le paragraphe 8.3 du chapitre Vi1 et le chapitre VI11 sont consacrs ltude des phnomnes globaux dextension des fonctions CR.

    Extrait de la publication

  • Chapitre I

    Proprits lmentaires locales des fonctions holomorphes de plusieurs

    variables complexes

    Ce chapitre est consacr l'tude des proprits locales des fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes qui se dduisent directement de la thorie classique des fonctions holomorphes d'une variable complexe. L'lment de base de cette tude est une formule de Cauchy dans les polydisques qui gnralise la formule de Cauchy classique. La plupart des thormes prouvs dans ce chapitre tendent au cas de plusieurs variables des rsultats bien connus pour les fonctions holomorphes en dimension un (Thorme de l'ap- plication ouverte, Principe du maximum, Thorme de Montel, Thorme d'inversion lo- cale). Nanmoins, dans le cadre de l'tude de quelques problmes d'extension holomorphe apparat un phnomne spcifique la dimension n, n 2 2, c'est le phnomne de Hartogs dont un cas particulier est expos la fin de ce chapitre. Ce phnomne sera tudi en dtail dans le chapitre III.

    1. NOTATIONS ET DFINITIONS

    On note N l'ensemble des entiers naturels, IR le corps des nombres rels et C le corps des nombres complexes. Si n E N est un entier strictement posi- tif, l'ensemble Cn est muni de la structure d'espace vectoriel habituelle et si z = (z1, . . . ,z,) E cc", la norme de z est Iz( = (1.~11~ -+ . . . + On dfinit un isomorphisme de R-espace vectoriel entre Cn et R2" en posant, pour z = ( ~ 1 , . . . , z,,) E Cn, zj = xj + iyj s i j = 1,. . . ,n.

  • 2 I . Proprits lmentaires locales

    Les oprateurs de drivation holomorphe et antiholomorphe sont dfinis par

    Si a = (a l , . . . ,an) E PP et ,8 = (pl,. . . ,&) E lV sont des multi-indices et si 2 = (51, . . . ,xn) est un point de R", on pose

    JaJ = a ~ + ' ~ ~ + a n , ( Y " ~ ! " . a , ! , x a =x"l . . 'x:" , 1

    On crira D" la place de Dao et Dp la place de 0'0 lorsqu'il n'y aura pas de risque de confusion.

    Si D est un ouvert de R", l'espace vectoriel des fonctions continues sur D valeurs complexes est not c'(O) ouC(D), celui des fonctions k fois continment diffrentiables ( I C E N,k > O) est not Ck(D). La runion des espaces Ck(D), IC E N, est l'espace C"(D) des fonctions indfiniment diffrentiables sur D. On vrifie aisment que f E c ' C ( D ) si et seulement si ~ a p f E C ( D ) pour tout couple (a,/?) E lV x iV tel que I C I ] + 101 5 k. Si k E N, l'espace vectoriel des fonctions f contenues dans Ck(D) et dont les drives Da f ,lal

  • I. Notations et dfinitions 3

    alors la fonction fj : Dj + @ dfinie part ++ f (XI,. . . , z j - l , t , z j+l , . . . ,zn) est holomorphe.

    On note O ( D ) l'ensemble des fonctions holomorphes sur l'ouvert D de Cn . Le rsultat suivant est une consquence directe de la Dfinition 1.1.

    Thorme 1.2. Soit D un ouvert de cc", O( D ) est une algbre sur C et si f E O( D ) satisfait f ( z ) # O pour toutz E D alors f E O(D).

    Si D est un ouvert de Cn = R2" et f une fonction de classe C' dans D , notons df ( a ) sa diffrentielle en a E D ; c'est l'unique application R-linaire IR2" + R2 telle que f ( z + a ) = f ( a ) + df (a)(.) + O( 1x1) lorsque z tendvers O dans Cn.

    Par un calcul simple on obtient

    Une fonction f E C ' ( I l ) est donc holomorphe sur D si et seulement si

    pour tout a E D.

    Thorme 1.3. Une fonction f E C' ( D ) satisfait le systme de Cauchy-Riemann homogne en un point a E D si et seulement si sa diffrentielle df ( u ) au point a est C-linaire. En particulier f E O ( D ) si et seulement si sa diffrentielle en chaque point de D est C-linaire.

    Dmonstration. Soient f E C1(D) et a E D. D'aprs (1.4), on peut dcomposer l'application IW-linaire df ( a ) de @" dans C en

    df ( a ) = Sa + T a

    L'application Sa est clairement @-linaire et Ta est la conjugue de l'application n -

    C-linaire Ta dfinie par Ta = $$(u)dzj(a). Comme toute application R- j=l

    linaire de @* dans C possde une dcomposition unique de ce type, d f (u ) est @-linaire si et seulement si Ta = O, c'est--dire si f satisfait le systme de Cauchy- Riemann homogne. O

  • 4 I. Proprits lmentaires locales

    2. FORMULE DE CAUCHY DANS LES POLYDISQUES

    Un sous-ensemble P de Cn est un polydisque ouvert, (respectivement : ferm), s'il existe des disques ouverts, (respectivement: ferms), Pl, . . . ,P, de C tels que P = Pi x . . . x P,. Si 1. On note P = P(

  • 2. Formule de Cauchy dans les polydisques 5

    Pour (Cz,. . . ,Cn) fixdansdoP',lafonctiong dfinieparg(

  • 6 I . Proprits lmentaires locales

    o 1 dsigne le multi-indice (1,1, . . . ,1) E IV. On a alors la majoration

    et on en dduit la formule (2.4) en faisant tendre p vers T .

    En multipliant les deux membres de (2.6) par pa+n et en intgrant par rapport p, on obtient

    P a f (.)I / pafndpi . . . d p n - < [ O , l - i ] x . . . x [O,rnl

    dpi.. 'dpn / If(c(o))lpi.. 'pndei . * *den & io ,.il x ... x [OITn] [ O J T I " d o

    T"+2

    < -/ If(

  • Index des notations

    Espaces de fonctions, de formes diffrentielles

    espace des fonctions continues sur D

    espace.des fonctions IC fois continment diffrentiables surD

    espace des fonctions indfiniment diffrentiables sur D

    espace des fonctions continues localement holdriennes d'ordre (Y dans D espace des fonctions de classe Ck dans D espace des formes diffrentielles de type (p,y) coefficients dans ( D ) espace des formes diffrentielles de degr p de classe C" support compact dans X espace des courants de dimension p sur X

    espace des courants de degr y sur X

    espace des courants sur X

    espace des formes diffrentielles de classe C" support com- pact de X

    espace des formes diffrentielles de type (p,y), d-exactes coefficients dans C" ( X )

    espace des courants d-exacts sur X

    espace des fonctions de classe C" sur X

    espace des formes diffrentielles de degr p de classe c" sur X espace des formes diffrentielles de bidegr ( p , q ) de classe C" sur X espace des formes diffrentielles de classe C" dans X

    1.1

    1.1

    1.1

    111.2

    111.2

    111.2

    11.1

    11.1

    11.1

    11.2

    11.2

    v.4

    v.4

    11.1

    II. 1

    11.7

    11.2

    Extrait de la publication

  • 240 Index des notations

    E p ( X )

    Z g y X )

    espace des formes diffrentielles de classe Coo, de bidegr ( p , q ) support dans la famille O

    d-cohomologie des formes C"

    d-cohomologie des courants

    groupe de cohomologie de Dolbeault de bidegr ( p , q ) de X groupe de cohomologie de Dolbeault support dans la fa- mille O groupe de cohomologie de Dolbeault Z,",,(D)/Ep!,2(D)

    groupe de cohomologie de Cech du faisceau F

    espace des fonctions holdriennes d'ordre (Y dans D

    espace des fonctions holomorphes sur D

    espace des applications holomorphes de D dans Cm faisceau des germes de p-formes holomorphes

    espace des fonctions plurisousharmoniques sur D

    espace des formes diffrentielles de type ( p , q ) , d-ferme co- efficients dans C" (A)

    espace des courants 8-ferms sur X

    espace des formes diffrentielles de type ( p , q ) , de classe Coo, 8-fermes sur X espace des formes diffrentielles d-fermes de classe Coo, de bidegr ( p , q ) support dans la famille O

    -

    -

    -

    boule de centre < et de rayon r de CY enveloppe holomorphiquement convexe de K relativement R enveloppe psh-convexe de K relativement R

    polydisque de centre < et de rayon T bord distingu du polydisque P

    support singulier du courant T

    espace tangent en x X

    espace cotangent en z X

    espace tangent holomorphe en x X

    espace tangent antiholomorphe en x X

    11.7

    v.4

    v.4

    11.7

    11.7

    v11.3

    v.4

    111.2

    1.1

    1.5

    v.4

    v1.2

    v.4

    v.4

    11.7

    11.7

    111.1

    VI. 1

    v1.3

    1.2

    1.2

    11.3

    A.4

    A.3

    11.5

    11.5

    Extrait de la publication

    Table des matiresAvant-proposIntroductionI. Proprits lementaires locales des fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes1 Notations et dfinitions2 Formule de Cauchy dans les polydisques

    Index des notations