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Extrait de la publication… · La forme relativiste des lois de la physique ... collaborateurs à l’idée que l’Univers avait été, ... L‘histoire de cette découverte est

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    Marie de Bruchard

  • Gravita tion Relativiste

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  • Rmi Hakim

    Gravitation Relativiste

    S A V O I R S A C T U E L S

    EDP Sciences / CNRS DITIONS

  • Illustration de couverture : lexprience de Cavendish

    (voir la figure 1.10)

    O 2001, EDP Sciences, 7, avenue du Hoggar, BP I 12, PA de Courtabuf, 9 1944 Lys Ulis Cedex A. CNRS EDITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris.

    1 dition : O 1994, Interditions - CNRS DITIONS

    Tous droits de traduction, dadaptation et de reproduction par tous procds rservs pour tous pays. Toute reproduction ou reprsentation intgrale ou partielle, par quelque procd que ce soit, des pages

    publies dans ie prsent ouvrage, faite sans lautorisation de lditeur est illicite et constitue une contrefaon. Seules sont autorises, dune part, les reproductions strictement rserves lusage priv du copiste et non destines a une utilisation collective, et dautre part, les courtes citations justifies par le caractre scientifique ou dinformation de luvre dans laquelle elles sont incorpores (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la proprit intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent tre ralises avec laccord de lditeur. Sadresser au : Centre franais dexploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tl. 01.43.26.95.35.

    ISBN 2-86883-370-5 ISBN 2 271 OS198 9

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  • Table des matires+

    Avant-propos

    1. La gravitation newtonienne Lespace-temps newtonien Simultanit et mesure des distances* Les absolus de Newton et la notion dther* Le principe dinertie Les lois de la dynamique et de la relativit galilenne Les principes dinertie et de relativit vus par Galile* La gravitation newtonienne Mesure de la constante de gravitation Limites de la thorie newtonienne de la gravitation Le caractre fini de la vitesse de la lumire Lexprience de Michelson Exercices

    2. Lespace-temps de Minkowski Lespace-temps de la Relativit Restreinte La transformation de Lorentz Remarques Causalit et simultanit Temps et distances mesurs par des observateurs inertiels Proprits globales de lespace-temps* Les vrifications expnmentales de la Relativit Restreinte* Exercices

    3. La forme relativiste des lois de la physique Le formalisme tensoriel Leffet Doppler et le phnomne dabenation La description cinmatique du mouvement dune particule La dynamique relativiste; E=mcZ Lespace de Minkowski en coordonnes curvilignes Exercices

    XI

    1 1

    4

    7 10 13 18

    18 24 30 33 37 40

    43 45

    48 51 55 62 64 66 69

    73 73 81 84

    89 93 102

    Les paragraphes dsigns par * peuvent tre sauts en premire lecture.

  • VI11 Table des matires

    4. La gravitation et la Relativit Restreinte Le dcalage gravitationnel vers le rouge La courbure des rayons lumineux Lavance du prihlie de Mercure Ncessit dquations non linaires pour la gravitation Exercices

    5. Llectromagntisme et lhydrodynamique relativistes Densits et courants Les quations de llectromagntisme Le tenseur nergie-impulsion Lhydrodynamique relativiste Exercices

    6. Quest-ce quun espace courbe? Quelques manifestations de la courbure Courbure des surfaces deux dimensions Signification de la courbure intrinsque Surfaces de R - Espaces de Riemann Courbure intrinsque dune varit Proprits du tenseur de courbure Lespace-temps comme varit riemannienne* Quelques proprits des tenseurs dans un espace courbe Trois arguments en faveur dun espace-temps courbe Exercices

    7. Le principe dquivalence Le principe dquivalence faible et les expriences dEotvos-Dicke Le principe dquivalence et le couplage minimal Le dcalage gravitationnel vers le rouge Mouvements godsiques La dviation godsique Le tenseur mtrique symtrie sphrique Aperu du formalisme PPN Les tests classiques Les mirages gravitationnels Exercices

    8. La gravitation relativiste dEinstein (Relativit Gnrale) Les quations dEinstein Autres dductions des quations dEinstein* La solution de Schwarzschild La gomtrie locale des espaces de Friedman Autres mtriques dintrt astrophysique* Les quations dEinstein linarises Ondes et rayonnement gravitationnels Exercices

    105 107 108 110 112 113

    115 115 119 122 123 124

    129 129 133 139 141 143 145 147 149 150 152

    155 156 166 175 179 181 183 185 188 195 203

    209 210 215 219 225 233 234 237 253

  • Table des matires IX

    Appendice A : Gnralits sur les tenseurs Appendice B : Formes diffrentielles extrieures Appendice C : Forme variationnelie des quations de champ Appendice D : Notion de varit Rfrences Constantes physiques Index

    257 263 279 285 291 303 305

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  • Avant-propos

    Cet ouvrage est consacr la thorie de la Relativit Gnrale, cest--dire la synthse de la relativit et de la gravitation. Cette Gravitation ReZativiste, comme on dit plutt aujourdhui, apparat ainsi comme tant de premire importance dans tous les phnomnes de lastronomie qui font intervenir soit des vitesses comparables ou gales celle de la lumire, soit des champs de gravitation intenses. Lensemble de ltude de ces phnomnes constitue ce que lon appelle lAstrophysique Relativiste, une expression due Alfred Schild (1967). Ce que nous nous proposons dexposer ici constitue le minimum minimorum de la thorie relativiste de la gravitation ncessaire pour aborder cette discipline relativement rcente.

    A ce stade, il peut tre intressant de rappeler brivement la gense de ce nouveau domaine et, plus particulirement, la faon dont il est li la Relativit Gnrale. A cette fin, il est ncessaire de se souvenir quune fois les tests classiques de la Relativit Gnrale vrifis [dviation des rayons lumineux au voisinage du Soleil (1919); dcalage spectral vers le rouge (dans les naines blanches : W.S. Adams (1925)); avance du prihlie de Mercure], cette discipline stait alors embourbe dans des voies assez formelles parce qualors, les technologies disponibles ne permettaient pas quelle ft en contact ni avec lexprience, ni avec lobservation astronomique. Bien que les recherches effectues fussent souvent dun grand intrt conceptuel (thories unitaires de la gravitation et de llectromagntisme, par exemple) et thorique (dveloppements mathmatiques divers), la relativit tournait un peu en rond [J. Eisenstaedt (1986)l en raison de labsence dexpriences de laboratoire et/ou dobservations dobjets spcifiquement relativistes, inconnus au niveau thorique avant les annes trente et, dans une large mesure, quarante voire cinquante. Ainsi, la cosmologie tait bien davantage considre comme un c< espace de libert pour penser lu relativit [J. Eisenstaedt (1989)l que comme un champ de vrifications astronomiques possibles de la Relativit Gnrale, ou mme la science de lUnivers [E. R. Harrison (1981)l.

    La dcouverte de leffet Mossbauer (1958) devait permettre la mesure du dcalage spectral vers le rouge, dorigine gravitationnelle, en laboratoire, tandis que les progrs exprimentaux autorisaient le renouvellement de lexprience d Eotvos avec une prcision ingale. En mme temps, aprs la Deuxime Guerre mondiale, les discussions sur la nuclosynthse des lments conduisaient G. Gamow et ses collaborateurs lide que lUnivers avait t, dans un pass lointain, dans une phase chaude, dont subsisterait aujourdhui un rayonnement noir du fond du ciel.

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  • XII Avant-propos

    Ce rayonnement fut dcouvert en 1965, ce qui suscita un grand intrt envers la cosmologie qui commena se dvelopper alors srieusement, dautant que, quelques annes plus tt (1963) les quasars - les objets les plus lointains que lon connaisse - taient observs. Peu aprs cette dcouverte, les premiers pulsars taient trouvs (fin 1967), trs vite identifis par T. Gold (1969) aux toiles neutrons imagines en 1932 par Landau.

    Ainsi, les annes soixante remirent la relativit sur une base exprimentale 2 , lui fournissant des objets dtude astrophysique qui, jusque-l, lui avaient fait dfaut. En mme temps, la notion thorique de trou noir, ainsi que celle dondes gravita- tionnelles, taient approfondies et des recherches observationnelles et exprimen- tales, respectivement, taient entreprises afin de les mettre en vidence. I1 sagit l dobjets spcifiquement relativistes, susceptibles de toutes sortes deffets astro- physiques et que lon cherche, bien videmment, observer. I1 va de soi, enfin, que les dcouvertes observationnelles mentionnes plus haut ont suscit, en retour, de nouvelles observations, par exemple les sondages profonds du ciel destins met- tre en vidence dventuelles grandes structures suggres par tel ou tel scnario cosmologique.

    I1 existe, lheure actuelle, un certain nombre de thories relativistes de la gra- vitation qui sont compatibles avec lexprience et lobservation; mais la Relativit Gnrale dEinstein fut sans aucun doute la premire historiquement fournir des rsultats thoriques corrects en accord prcis avec les faits. Aussi est-ce cette thorie, principalement, quest consacr cet ouvrage sans que soit aborde la ques- tion des toiles denses, de leffondrement gravitationnel ou des trous noirs : le lecteur pourra consulter le livre de S.L. Shapiro et S.A. Teukolsky (1983) sur ces points. La cosmologie non plus nest pas dveloppe ici : il existe dexcellents ouvrages comme ceux de P.J.E. Peebles (1993), N. Straumann (1984), Ya. B. Zel- dovich et I.D. Novikov (1975) ou S . Weinberg (1972), etc. I1 sagira ici, non pas tant dun expos de la Relativit Gnrale, que dlments conceptuels ou techni- ques minimaux permettant dapprhender sans difficult particulire les aspects en quelque sorte gravitationnels de lAstrophysique Relativiste. Divers complments favoriseront, en outre, laccs la littrature courante. Deux illustrations dintrt astrophysique seront tudies de manire simple : il sagit, dune part, des lentilles gravitationnelles, observes ces dernires annes, et dautre part, des ondes gra- vitationnelles, non encore dtectes en laboratoire mais implicitement mises en vidence par lobservation du pulsar binaire PSR 1913 + 16 et qui, dans le futur, donneront peut-tre lieu une nouvelle astronomie.

    1. Lhistoire de cette dcouverte est raconte par S. Weinberg (1978); voir aussi E.R. Hamson (1981) ou R. Hakim (1992). 2. A cela il convient dajouter, pendant ces mmes annes, les progrs des techniques spatiales

    permettant des expriences impossibles raliser sur Terre. 3. Une coopration franco-italienne, le projet VIRGO, en cours de ralisation, devrait peut-tre

    permettre leur mise en vidence dici lan 2000.

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  • Avant-propos XII1

    Pour le dbutant, la thorie de la relativit, quil sagisse de la thorie restreinte ou de la thorie gnrale, prsente (comme dailleurs toute thorie physique) des difficults conceptuelles dabord et dautres purement techniques, ensuite.

    Au niveau conceptuel, le principal problme consiste penser de manire relativiste , cest--dire dans lespace-temps 4, notion absolument centrale. On pourrait croire que depuis 1908, date laquelle il a t introduit, ce concept despace-temps, avec ses structures dtermines par le cne de lumire, est acquis ds les premires annes duniversit. I1 nen est malheureusement rien car, pour nombre dtudiants (et souvent denseignants !) la Relativit Restreinte se limite la transformation de Lorentz, la contraction des longueurs et la dilatation des dures! I1 est clair, enfin, que lapprentissage de la Relativit Gnrale prsente, dans un premier temps, assez peu de difficults conceptuelles pour qui matrise la Relativit Restreinte. Cest pourquoi cet ouvrage contient un expos de cette thorie bas uniquement sur la notion despace-temps, notion introduite elle- mme au niveau classique. I1 est ensuite assez ais de montrer, qualitativement, quen dformant le cne de lumire de la Relativit Restreinte, la gravitation rend pratiquement ncessaire lintroduction dun espace-temps courbe. Si le principe dquivalence - autre concept central de la Gravitation Relativiste - prsente moins de difficult dans ses versions les plus simples, auxquelles le lecteur peut se limiter dans un premier temps, il contient nombre de subtilits dont nous navons mentionn quelques-unes que pour mettre en vidence leur lien avec dventuels phnomnes gophysiques, astrophysiques ou autres, afin aussi que le lecteur ne soit pas confront un systme thorique ferm mais garde prsent lesprit que dautres voies restent possibles.

    Au niveau technique, maintenant, si le calcul tensoriel dans lespace de Min- kowski peut tre matris assez facilement - cette fin, les exercices sont indis- pensables - ce nest pas tout fait le cas de ce mme calcul en espace courbe. Gnralement, la conjonction de ce type de difficult avec celles de nature concep- tuelle peut rendre difficile labord de la Gravitation Relativiste. Cest pourquoi lusage des coordonnes curvilignes a t introduit en Relativit Restreinte , lex- tension au cas dun espace-temps courbe devenant alors trs simple : il sagit, quelques dtails prs, des mmes formules.

    Ajoutons que la matire de ce livre a t enseigne pendant plusieurs annes des niveaux trs divers allant de la seconde anne duniversit, dans ses aspects les plus simples, la quatrime ou cinquime en ladaptant, bien entendu, ces diffrents publics. De cette diversit, il subsiste dans cet ouvrage une lecture possible deux niveaux.

    Le premier niveau, lmentaire, permet dobtenir une vue gnrale du sujet et est surtout fond sur des raisonnements intuitifs et sur une approche plutt heuristique que technique.

    4. Voir E.F. Taylor, J.A. Wheeler (1966). 5. A la suite de V.I. Fock (1966).

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  • XIV Avant-propos

    Le second niveau, tout en restant en de de ce qui est indispensable une utilisation courante, exige un peu plus defforts car, si les concepts en jeu sont exposs avec leurs bases exprimentales et thoriques ainsi que leur articulation logique, il est galement ncessaire de les tayer par des lments techniques tout en restant au niveau des mathmatiques usuelles. Ce second niveau, pour tre rellement acquis, exige le recours aux exercices proposs en fin de chapitre. I1 a pour but une comprhension minimale, notamment pour ceux que lAstrophysique Relativiste intresse, autorisant laccs sans trop de difficults la littrature courante. I1 est clair, cependant, que seuls des textes plus avancs (manuels ou articles originaux) peuvent permettre une certaine matrise du domaine.

    Ce second niveau se veut ouvert ainsi quil convient un domaine en plein dveloppement. Cest pourquoi le lecteur trouvera dans les rfrences aussi bien les articles des que des complments divers sur tel ou tel point, sur des dmonstrations non donnes dans le cours du texte; il trouvera aussi des indications exprimentales ou observationnelles dont le dtail na pas sa place ici; il trouvera galement des tentatives

  • Avant-propos xv

    davantage comme une sorte de dictionnaire que comme un manuel part entire; nous nous y rfrerons cependant maintes reprises.

    Remerciements

    Je suis heureux de pouvoir remercier ici Mmes Sabine Coll et Dominique Lopez du soin apport la frappe de ce manuscrit.

    Que mes collgues MM. E. Alvarez, L. Bel, L. Blanchet, B. Carter, T. Damour, N. Deruelle, D. Gerbal, E. Gourgoulhon, E Hammer, J.P. Lasota, J.P. Luminet, J.A. Marck, P. Peter, D. Polarski, D. Priou, J. Schneider, H. Sivak, C. Vanderriest et M. Zonabend trouvent ici lexpression de ma reconnaissance pour leurs nom- breuses remarques et suggestions qui mont permis damliorer grandement cette introduction ainsi que dviter quelques erreurs. Mes tudiants de ces dernires annes mont galement fait bnficier de leurs critiques et remarques qui, elles aussi, ont t extrmement utiles.

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  • CHAPITRE 1

    La gravitation newtonienne

    Dans toute la physique classique, lespace et le temps constituent larne o se droulent les divers phnomnes de la Nature. Ceux-ci ne modifient aucunement ce cadre spatio-temporel qui, inerte, est fix une fois pour toutes, de manire absolue. Bien plus, le temps et lespace sont de natures totalement diffrentes et nont aucun lien entre eux. Aussi la relativit nous apparatra-t-elle comme une thorie de la liaison mutuelle de lespace et du temps, qui trouvera son couronnement avec la Relativit Gnrale, laquelle lie les proprits spatio-temporelles aux processus dynamiques qui sy produisent.

    Lespace-temps newtonien

    Lespace physique possde les proprits usuelles de continuit, dhomognit, disotropie quon attribue lespace R3, muni de sa structure affine (paralllisme, existence de droites) et de sa structure mtrique habituelle (thorme de Pytha- gore). I1 est cependant ncessaire de bien comprendre le sens physique des divers concepts mathmatiques lis R3. Ainsi lexistence dobjets ou de phnomnes physiques, reprsentables par des droites (mathmatiques) provient de la notion (exprimentale) dalignement : trois points sont aligns (physiquement) si lon peut trouver un point de vue tel quils apparaissent confondus. I1 sensuit que si la lumire constitue notre talon de rectitude, cest seulement par un pas supplmentaire de la pense (lequel peut se rvler incorrect) que lon peut identifier la trajectoire dun rayon lumineux avec une droite de R3. De mme le concept mathmatique de paralllisme dans R3 est directement li la notion (physique) de transport rigide et celle de distance. Enfin, il faut se rendre compte que les proprits (mathmatiques) dhomognit et disotropie de lespace physique ne font que traduire des faits dexprience concernant les systmes mcaniques : Iinaltrabi- lit des systmes matriels mis dans quelque position et lieu que ce soit. Dans tous les cas, nos ides thoriques proviennent exclusivement de proprits vrifies une chelle locale.

    Le temps usuel est mathmatis par un simple paramtre rel et donc R reprsente le temps : R constitue llaboration quantitative de la notion qualitative

  • 2 La gravitation newtonienne

    de changement. Physiquement, cela ncessite la connaissance dun talon du changement dont les tats successifs (au sens intuitif) seront quantifis de manire dfinir une unit de temps. La principale caractristique physique du temps est de scouler uni$omment. Cela prsuppose lexistence dtalons restant semblables eux-mmes au cours de leurs changements dtat successifs. Cette hypothse est base sur la constatation empirique que les diverses horloges conduisent des mesures concordantes de lcoulement du temps. Enfin, le fait que R soit totalement ordonn traduit, mathmatiquement, la structure causale de la temporalit.

    Ces proprits physiques de lespace (isotropie, homognit) et du temps (uniformit) se traduisent mathmatiquement par des invariances dans des groupes de transformation (rotations, translations despace et de temps) qui impliqueront lexistence dintgrales premires (moment cintique, impulsion et nergie) ou constantes du mouvement.

    Nous avons vu que, dans le cadre de la physique classique, lespace et le temps taient susceptibles dtre reprsents mathmatiquement par R3 et R, respectivement. I1 est alors parfaitement possible de construite un espace-temps classique (cest--dire prrelativiste), quatre dimensions,

    qui reste, ce stade, une construction purement mathmatique de peu dutilit ou, tout au moins, sans base physique qui le rende ncessaire.

    En ralit, mme les notions (prrelativistes) despace et de temps sont inti- mement lies. Cest ce que Minkowski affirmait dj, dans son clbre article de 1908, de la manire suivante :

  • Lespace-temps newtonien 3

    sur des faits utilisant la notion de temps, soit directement (mouvements divers), soit indirectement (propagation de signaux lumineux). Les autres proprits de lespace physique conduiraient des conclusions semblables.

    Finalement, lespace-temps classique R3+ apparat comme physiquement beaucoup plus fondamental quil ny parat premire vue; aussi peut-on se poser la question de savoir si ses diverses structures mathmatiques correspondent, ou non, des aspects particuliers de la ralit.

    temps t emps1 f ( ~ )

    Figure 1.1 : Lespace-temps classique. Ilpossde une structure en strates spatiales, euclidiennes (Ad est la distance entre deux points dune mme strate du mme espace physique). Le temps est reprsent par des droites qui coupent ces diverses strates. ( I ) reprsente la trajectoire dune particule ayant un mouvement arbitraire dans lespace-temps newtonien.

    Cette structure est dcrite sur la figure 1.1. Le temps, universel et absolu, est reprsent par des droites orientes (cette orientation est purement conventionnelle et nest soumise qu une condition de cohrence minimale prcise plus loin) qui coupent chacun des 3-plans euclidiens reprsentant lespace. A priori langle de ces droites avec les 3-plans spatiaux que lon peut observer sur la figure est strictement sans aucune signijkation. En effet, R3+ ne possde pas de structure mtrique euclidienne - contrairement au cas de la Relativit Restreinte - qui puisse donner un sens la notion dangle dans cet espace . Cest pourquoi toutes les droites du genre temps, cest--dire non contenues dans un 3-plan spatial, constituent des axes de temps possibles, parfaitement quivalents. De mme, langle apparent form par deux tels axes de temps, du moins sur la figure, na pas non plus de signification absolue : il nest d qu linadquation de notre reprsentation dun espace non euclidien, lespace-temps classique, par un espace qui, lui, est euclidien, celui de la feuille de papier assimile R2. Enfin la structure en strates dvnements simultans de R3+ doit tre interprte comme sa structure causale. Ainsi lhyperplan de type spatial t (A ) , qui passe par lvnement A spare lespace- temps newtonien en deux rgions : le futur t > t( A), qui peut tre influenc par les phnomnes susceptibles de se drouler en A, et le pass t < t (A) , qui peut avoir

    1. Pseudo-euclidienne, dans le cas de la Relativit Restreinte : voir le chapitre 2. 2. Via un produit scalaire du type X.Y = 1x1 IY I cos O.

    Extrait de la publication

  • 310 Index

    de Lorentz 44,68,70,77 Transport parallle 13 1, 144 Transposition 81 Transverse-Traceless (TT) 240,24 I Trou noir 222,249 Tycho Brah 18

    Uniformit du temps 2, 89 Units 12.40, 87 Univers 57, 58

    Variation 42,216,229,280

    Vant 285-290 riemannienne 147

    Vnus 30,31, 191

    Vide 126

    Vierbein 73

    Violniioii I64

    Vitesse 4, 5, 5 I

    Voigt 44

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    Table des matiresAvant-proposRemerciements1 La gravitation newtonienneL'espace-temps newtonien