Factorisation de trinômes

Remarque: Tu devrais visionner la présentation:

Factorisation par double mise en évidence.ppt

avant de visionner celle-ci.

ax2 + bx + c

?

Factoriser un trinôme de la forme ax2 + bx + c, c’est retrouver les facteurs qui l’ont produit.

Exemple:

x ( x + 3 ) + 2 ( x + 3 )

x2 + 3x + 2x + 6

x2 + 5x + 6

Termes semblables donc on les regroupe.

Ce terme est le regroupement de 2 termes,

mais lesquels ?

1x + 4x ?

7x – 2x ?

3x + 2x ?

Pour retrouver ces 2 termes, il faut une méthode.

( x + 2 ) ( x + 3 )

Développer

x2 + 5x + 6

Factoriser

Méthode

x2 + 5x + 6Appelons le premier terme : T1

T1

Appelons le deuxième terme : T2

T2

Appelons le troisième terme : T3

T3

Pour décomposer le terme du milieu,

il faut trouver 2 termes qui respectent, en même temps, les 2 conditions suivantes:

- les 2 termes multipliés doivent être égaux à T1 X T3 x2 X 6 = 6x2

- les 2 termes additionnés doivent être égaux à T2 5x

T1 X T3 = 6x2

T2 = 5x

3x

2x

3x 2xX

3x 2x+

= 6x2

= 5x

les 2 termes sont donc 3x et 2x .

Lorsque ces 2 termes sont déterminés, on remplace le terme du milieu par ceux-ci;

x2 + 5x + 6

x2 + 2x + 3x + 6

on termine par une double mise en évidence.

x ( )

x2 + 2x + 3x + 6

x x

x + 2

3 3

x + 2

( x + 2 )

( x + 2 )

( x + 3 )( x + 2 )

+ 3 ( )

+ 2 ( )

Exemple: Factorise x2 + 6x + 8

T1 X T3 = 8x2

T2 = 6x

4x

2x

x2 + 4x + 2x + 8

x ( )

x x

x + 4

2 2

x + 4

( x + 4 )

( x + 4 )

( x + 2 )( x + 4 )

+ 3 ( )

Exemple: Factorise x2 + 8x + 15

T1 X T3 = 15x2

T2 = 8x

5x

3x

x2 + 5x + 3x + 15

x ( )

x x

x + 5

3 3

x + 5

( x + 5 )

( x + 5 )

( x + 3 )( x + 5 )

- 3 ( )

Exemple: Factorise x2 + 3x - 18

T1 X T3 = - 18x2

T2 = 3x

+ 6x

-3x

x2 + 6x - 3x - 18

x ( )

x x

x + 6

-3 -3

x + 6

( x + 6 )

( x + 6 )

( x - 3 )( x + 6 )

Remarque: Connaître ses tables de multiplication et d’addition est, ici, un facteur important.

+ 2 ( )

Exemple: Factorise x2 - 5x - 14

T1 X T3 = - 14x2

T2 = - 5x

- 7x

+ 2x

x2 - 7x + 2x - 14

x ( )

x x

x - 7

2 2

x - 7

( x - 7 ) ( x - 7 )

( x - 7 )( x + 2 )

Démarche exigée : x2 - 5x - 14

x2 - 7x + 2x - 14

+ 2 ( )x ( )x - 7 x - 7

( x - 7 )( x + 2 )

- 4 ( )

Exemple: Factorise x2 - 11x + 28

T1 X T3 = 28x2

T2 = - 11x

- 7x

- 4x

x2 - 7x - 4x + 28

x ( )x - 7 x - 7

( x - 4 )( x - 7 )

+ 5 ( )

Exemple: Factorise 6x2 + 13x + 5

T1 X T3 = 30x2

T2 = 13x

10x

3x

6x2 + 3x + 10x + 5

3x ( )2x + 1

2x + 1

( 3x + 5 )( 2x + 1 )

- 5 ( )

Exemple: Factorise 6x2 - 17x + 10

T1 X T3 = 60x2

T2 = - 17x

- 12x

- 5x

6x2 - 12x - 5x + 10

6x ( )x - 2 x - 2

( 6x - 5 )( x - 2 )

+ 5 ( )

Exemple: Factorise 2x2 + 27x + 55

T1 X T3 = 110x2

T2 = 27x

22x

5x

2x2 + 22x + 5x + 55

2x ( )x + 11 x + 11

( 2x + 5 )( x + 11 )

Il n’est pas toujours facile de déterminer les deux termes.

Utiliser la technique des facteurs premiers peut aider :

1) Déterminer les facteurs premiers du terme obtenu par T1 X T3 :

2) Faire des regroupements par addition pour obtenir T2 :

Exemple: 110 = 2 X 5 X 11

Exemple: ( 2 X 5 ) + 11 = 21 ( 2 X 11 ) + 5 = 27

10 + 11 = 21

non

22 + 5 = 27

oui

+ 6 ( )

Exemple: Factorise 4x2 - 2x - 12

T1 X T3 = - 48x2

T2 = - 2x

- 8x

+ 6x

4x2 - 8x + 6x - 12

4x ( )x - 2 x - 2

( 4x + 6 )( x - 2 )

La simple mise en évidence est toujours la première étape d’une factorisation quand un même facteur se retrouve dans tous les termes.

Ce binôme n’est pas assez factorisé.

4x2 - 2x - 12 ce polynôme contient 3 facteurs : 2 ( 2x + 3) ( x – 2 )

La simple mise en évidence est toujours la première étape d’une factorisation quand un même facteur se retrouve dans tous les termes.

4x2 - 2x - 12 2 ( 2x2 - x – 6)

T1 X T3 = - 12x2

T2 = - x

- 4x

+ 3x

+ 3 ( )2 ( 2x ( )x - 2 x – 2 )

( 2x + 3 )( x - 2 )2

2 ( 2x2 - 4x + 3x - 6 )

Problème

3x2 + 11x + 6Sachant que le polynôme 3x2 + 11x + 6 représente l’aire de ce rectangle, détermine l’expression algébrique représentant son périmètre.

1) Factoriser le polynôme pour connaître les dimensions du rectangle:

+ 2 ( )

3x2 + 11x + 6

T1 X T3 = 18x2

T2 = 11 x

9x

2x3x2 + 9x + 2x + 6

3x ( )x + 3

x + 3

( x + 3 )( 3x + 2 )

2 ) Calculer le périmètre: P = 2 ( L + l )

P = 2 ( 3x + 2 + x + 3 )= 2 ( 4x + 5 ) = 8x + 10

Pour quelles valeurs de x , le polynôme x2 – 9x + 20 est – il égal à zéro ?

1) Factoriser le polynôme:

- 4 ( )

x2 - 9x + 20 = 0

T1 X T3 = 20x2

T2 = - 9x

- 5x

- 4x

x2 - 5x - 4x + 20 = 0

x ( )x - 5 x - 5

( x - 5 )( x - 4 )

2) Loi du produit nul: ( x - 5 )( x - 4 ) = 0

soit x - 4 = 0 donc x = 4

soit x - 5 = 0 donc x = 54 , 5

Problème

= 0

= 0

Un prisme à base rectangulaire a un volume représenté par l’expression algébrique ( 4x3 + 44x2 + 127x + 105 ) cm3.

Quelles expressions algébriques représentent les dimensions de la base si on sait que la hauteur du prisme est représentée par 2x + 3 ?

1) Déterminer l’expression algébrique représentant la base du prisme:

+ 57x

Volume = Aire base X hauteur Aire base = volumehauteur

4x3 + 44x2 + 127x + 105

2x + 3

4x3 + 44x2 + 127x + 105 2x + 32x24x3 + 6x2- -

-

+ 38x2

+ 127x + 105++ 19x

+ 38x2- --+

70x

+ 105

+ 35

+ 70x + 105- --+

0 0

L’expression algébrique représentant l’aire de la base est ( 2x2 + 19x + 35 ) cm2.

Problème

+ 5 ( )

2) Factoriser 2x2 + 19x + 35

T1 X T3 = 70x2

T2 = 19x

14x

5x

2x2 + 14x + 5x + 35

2x ( )x + 7

x + 7

( 2x + 5 )( x + 7 )

Les dimensions de la base du prisme sont ( 2x + 5 ) cm et ( x + 7 ) cm.

Problème

Pour quelle valeur de x , l’aire de ce rectangle est-elle égale à 684 cm2 ?

( 4x – 2 )

( 4x + 18 )

1) Déterminer l’expression algébrique représentant l’aire du rectangle.

Longueur X largeurAire =

( 4x – 2 )( 4x + 18 )Aire =

4x ( 4x – 2 ) + 18 ( 4x – 2 )Aire =

16x2 - 8x + 72x - 36 Aire =

16x2 + 64x - 36 Aire =

2) Déterminer l’équation:

16x2 + 64x - 36 684 =3) Ramener l’équation à 0:

- 684 - 684

16x2 + 64x - 720 0 =

16x2 + 64x - 36 Aire =

16x2 + 64x - 36 684 =

( 4x – 2 )

( 4x + 18 )

Pour quelle valeur de x , l’aire de ce rectangle est-elle égale à 684 cm2 ?

4) Déterminer les valeurs de x par factorisation et par la loi du produit nul.

16x2 + 64x - 720 0 =

0 = 16 ( x2 + 4x – 45 )

0 = 16 ( x + 9 ) ( x - 5 )

0 = ( x + 9 ) ( x - 5 )

si x + 9 = 0 alors x = - 9 à rejeter;

si x – 5 = 0 alors x = 5

Réponse: 5 cm

( 4x – 2 )

( 4x + 18 )

Pour quelle valeur de x , l’aire de ce rectangle est-elle égale à 684 cm2 ?

Le facteur 16 n’influence pas les valeurs de x, donc

en géométrie, on ne peut pas avoir une valeur négative.

( 4x – 2 )

( 4x + 18 )

Pour quelle valeur de x , l’aire de ce rectangle est-elle égale à 684 cm2 ?

Validation 16x2 + 64x - 36 684 =

Pour x = 5 16 X 52 + 64 X 5 - 36 684 =

400 + 320 - 36 684 =

720 - 36 684 =

684 684 =

Remarque : La factorisation et la loi du produit nul est une des méthodes permettant de résoudre une équation du second degré.