Faculté des Sciences Mathématiques Physiques et …alonet.yolasite.com/resources/LAGTE3/geostat.pdf · 2 Geostatistics Géostatistique 1- Generalities 2- Correlogram 3- Covariance

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Geostatistics GéostatistiqueLAGTE3

IGS4Master fondamentale en géologie

Faculté des Sciences MathématiquesPhysiques et Naturelles de Tunis

ALOUI T.

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Geostatistics Géostatistique1- Generalities2- Correlogram3- Covariance4- Semi-variogram


1- Généralités2- Corrélogramme3- Covariance4- Semi-variogramme

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2




3

“All things are similar, but nearby things are more similar than distant things.”

Extending the concept of correlation by incorporating space. Remember, however, that the concept of spatial autocorrelation is actually more related to that of variance than of correlation since we are examining the nature of the variability of a variable with itself through space.

“Toutes choses sont similaires, mais les choses proches sont plus semblables que les choses lointaines.«

L'extension de la notion de corrélation en intégrant l'espace. Rappelons, cependant, que la notion d'auto-corrélation spatiale est en réalité plus liée à celle de la variance de la corrélation puisque nous examinons la nature de la variation d'un paramètre avec lui-même dans l'espace.

Tobler’s first law La première loi de Tobler

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3

A variable that takes on values according to its spatial location is known as a regionalized variable.

Considering a variable z measured at location i, we can partition the total variability in z into three components:

z(i) = f(i) + s(i) + εWhere:

f(i) is some coarse-scale forcing or trend in the datas(i) is local spatial dependencyε is error variance (presumed normal)

Une variable qui prend des valeurs en fonction de sa localisation spatiale est connue comme une variable régionalisée.

Considérant une variable z mesurée à l'emplacement i, on peut partitionner la variabilité totale de z en trois composantes :

z(i) = f(i) + s(i) + ε

Où :

f(i) est effet d’une grande échelle ou d’une tendance dans les donnéess(i) est la dépendance spatiale localeε est la variance de l'erreur (présumé normal)

Regionalized variables Variables régionalisées

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Regionalized variables are variables that fall between random variables and completely deterministic variables.

Typical regionalized variables are functions describing variables that have geographic distributions as the elevation of ground surface. Unlike random variables, regionalized variables exhibit spatial continuity; however, the change in the variable is so complex that they cannot be described by any deterministic function.

The variogram is used to describeregionalized variables

Variables régionalisées sont des variables qui sont comprises entre des variablesaléatoires et les variables complètement déterministes.

Variables régionalisées typiques sont des fonctions décrivant les variables qui ont des répartitions géographiques telles que l’élévation de la surface du sol. À l'inverse des variables aléatoires, les variables régionalisées présentent une continuité spatiale, mais le changement de la variable est très complexe qu'ils ne peut pas être décrite à l’aide d’une fonction déterministe.

Le variogramme est utilisé pour décrire des variables régionalisées


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4

Remark

Observed data are a single realization of the random field, Z(x).

Remarque

Les données observées sont une réalisation singulière du champ aléatoire Z(x).


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The geostatistical measure that describes the rate of change of the regionalized variable is

known as the semivariance or semivariogram.

Semivariance is used for descriptive analysiswhere the spatial structure of the data is investigated using the semivariogram and for predictive applications where the semivariogram is fitted to a theoretical model, parameterized, and used to predict the regionalized variable at other non-measured points (kriging).

La mesure géostatistique qui décrit le taux de variation de la variable régionalisée est connue comme la semi-variance ou semi-variogramme.

La semi-variance est utilisée pour l'analyse descriptive où la structure spatiale des données est étudiée en utilisant le semi-variogramme et pour des applications prédictives où le semi-variogramme est équipé d'un modèle théorique, paramétré et utilisé pour prédire la variable régionalisée à d'autres points non mesurées (krigeage) .

Variogram Variogramme

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5

Aims: Gives information about the nature and structure of spatial dependency in a random field → must be es mated from the data

Estimating a semivariogram:1. Derive empirical estimate from data2. Fit theoretical semivariogram

model to empirical estimate3. Evenness4. Passes through the origin5. Conditionally negative-definite

Objectives : Fournir des informations sur la nature et la structure de dépendance spatiale dans un espace aléatoire → doit être es mée à partir des données

L'estimation d'un semivariogramme :Tirer une estimation empirique à partir de données

1. Ajuster un modèle de variogrammethéorique à une estimation empirique

2. Régularité3. Passe par l'origine4. Conditionnellement négative

définitive


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Stationarity :Autocorrelation assumes stationarity, meaning that the spatial structure of the variable is consistent over the entire domain of the dataset. The stationarity of is second-order interest (weak) stationarity, requiring that:1- the mean is constant over the region2- variance is constant and finite; and 3- covariance depends only on between-sample spacing, In many cases this is not true because of larger trends in the data In these cases, the data are often detrended before analysis. One way to detrend data is to fit a regression to the trend, and use only the residuals for autocorrelation analysis

Stationnarité :L’autocorrélation suppose la stationnarité, ce qui signifie que la structure spatiale de la variable est homogène sur l'ensemble des données. La stationnarité à un intérêt de second ordre (faible), ce qui nécessite que :1 - la moyenne est constante dans la région2 - la variance est constante et finie, et3 - la covariance ne dépend que de la distance entre les échantillons, Dans de nombreux cas, ceci n'est pas vrai à cause des grandes tendances dans les données Dans ces cas, les données sont souvent redressée avant l'analyse. Une façon de redressement de données consiste à ajuster une régression à la tendance, et utiliser uniquement les résidus pour l'analyse de l'autocorrélation


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6

Isotropy:Autocorrelation also assumes isotropy,

meaning that the spatial structure of the variable is consistent in all directions.

Often this is not the case, and the variable exhibits anisotropy, meaning that there is a direction-dependent trend in the data.

If a variable exhibits different ranges in different directions, then there is a geometric anisotropy.

For example, in a dune deposit, larger range in the wind direction compared to the range perpendicular to the wind direction.

Isotropie :L’autocorrélation suppose également l’isotropie, ce qui signifie que la structure spatiale de la variable est uniforme dans toutes les directions.

Ceci n’est pas souvent le cas, et la variable montre une anisotropie, ce qui signifie qu'il y a une tendance de dépendance à la direction dans les données.

Si un paramètre présente différentes variations avec la direction, ceci implique qu’ il y a une anisotropie géométrique.

Par exemple, dans un dépôt de dunes, le plus large éventail coïncide avec la direction du vent comparé à celui qui lui est perpendiculaire.


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The nugget (effect) is the semivariance at a distance (0, 0), (value at which the curve intersects the y-axis) The sill is the value at which the semivariogram levels off (asymptotic value) The range is the distance at which the semivariogram levels off (the spatial extent of structure in the data)

La pépite (effet) est la semi-variance à une distance (0, 0), (valeur pour laquelle la courbe coupe l'axe y) Le seuil ou palier est la valeur à laquelle les niveaux du semi-variogramme s’annulle(valeur asymptotique) La portée est la distance en deçà de laquelle la dépendance spatiale est apparente (l'étendue spatiale de la structure dans les données)


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7

Kriging is a spatial interpolation technique based on semi-variograms. Unlike every other spatial interpolation technique, krigingprovides a map that shows you the uncertainty associated with the prediction.

Krigeage est une technique d'interpolation spatiale basée sur des semi-variogrammes. Contrairement à toutes les techniques d'interpolation spatiale, le krigeage fournit une carte qui vous montre l'incertitudeassociée à la prédiction.

Kriging Krigeage

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One of the distinguishing characteristic of earth science data sets is thier pattern of spatial continuity.

So what is spatial continuity and can wequantify it?

Une des caractéristiques qui distingue les de données des sciences de la terre est leur structure de continuité spatiale.

Alors, c’est quoi la continuité spatiale et peut-on la quantifier?

Spatial continuityContinuité spatiale

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Role of space- an organizing dimension for information- a source of context and linkage- an explanatory variable- a problem it self

Terminology- lattice- gride- support- drift- topology- layer- coverage- region- …

Software (See software section)

Rôle de l'espace- Une dimension d'organisation de l'information- une source de contexte et de liaison- une variable exploratoire- un problème en lui-même

Terminologie- lattice- grille- support- dérive- topologie- couche- couverture- région- ...

Logiciels(Consulter la section logiciels)

Integrating GIS and spatial statisticsIntégration des SIG et des statistiques spatiales

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Stream profile 1Sediment samples collected at 5 m intervalsProfil du cours 1Echantillons de sédiments prélevés à des intervalles de 5 m

Stream profile 2Sediment samples collected at 5 m intervalsProfil du cours 2Echantillons de sédiments prélevés à des intervalles de 5 m


Consider the following example: Prenons l'exemple suivant :

16

9


Stream 1Cours 1

Stream 2Cours 2

0

0,5

1

1,5

2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Sand

(%),

sabl

e (%

)

Distance (m)

0

0,5

1

1,5

2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Sand

(%),

sabl

e (%

)

Distance (m) 17

Stream 1Cours 1

Stream 2Cours 2


0,740,820,920,951,061,091,11

0,980,870,770,810,840,92

1,040,9

1,021,191,17

1,441,291,24

11,14

0,980,870,890,84

0,7 0,680,760,790,68

0,560,470,440,360,16

0,410,54

0,3

0

0,5

1

1,5

2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Sand

(%),

sabl

e (%

)

Distance (m)

0,490,52

0,820,770,54 0,6

1,061,040,92

0,8

0,17

0,760,66

0,98

0,710,89

0,720,69

1,2

0,811,01

0,53

1,291,06

0,71

1,161,04

0,43

0,740,67

0,940,921,12

0,840,810,83

0,29

0,86

1,24

0,43

0

0,5

1

1,5

2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Sand

(%),

sabl

e (%

)

Distance (m)

18

10

Classical statistics is not able to detect

spatial variations in the distribution of

sand fraction in the two rivers

La statistique classique n’est pas en mesure de détecter les variations

spatiales de la répartition de la

fraction sableuse dans les deux cours d’eau

Geostatistics Géostatistique

19




20

11

0,740,820,920,951,061,091,11

0,980,870,770,810,840,92

1,040,9

1,021,191,17

1,441,291,24

11,14

0,980,870,890,84

0,7 0,680,760,790,68

0,560,470,440,360,16

0,410,54

0,3

0

0,5

1

1,5

2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Sand

(%),

sabl

e (%

)

Distance (m)

Stream 1Cours 1

Sand, Sable Tail/Queue Head/Tête0,74 0,74 0,820,82 0,82 0,920,92 0,92 0,950,95 0,95 1,061,06 1,06 1,091,09 1,09 1,111,11 1,11 0,980,98 0,98 0,870,87 0,87 0,770,77 0,77 0,810,81 0,81 0,840,84 0,84 0,920,92 0,92 1,041,04 1,04 0,90,9 0,9 1,02

1,02 1,02 1,191,19 1,19 1,171,17 1,17 1,441,44 1,44 1,291,29 1,29 1,241,24 1,24 1

1 1 1,141,14 1,14 0,980,98 0,98 0,870,87 0,87 0,890,89 0,89 0,840,84 0,84 0,70,7 0,7 0,68

0,68 0,68 0,760,76 0,76 0,790,79 0,79 0,680,68 0,68 0,560,56 0,56 0,470,47 0,47 0,440,44 0,44 0,360,36 0,36 0,160,16 0,16 0,410,41 0,41 0,540,54 0,54 0,30,3 0,3

Moyenne 0,8435 0,846SD 0,283 0,286R2 0,806R 0,897

y = 0,9431x + 0,0375R² = 0,806

0

0,5

1

1,5

2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

Head

/Têt

e

Tail / Queue

Lag 1

Lag 1 statistcsStatistique du lag 1

n=39

21

y = 0,8709x + 0,0928R² = 0,6624

0

0,5

1

1,5

2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

Head

/Têt

e

Tail / Queue

Lag 2

0,740,820,920,951,061,091,110,98

0,870,770,810,840,921,04

0,91,02

1,191,17

1,441,291,24

11,14

0,980,870,890,84

0,7 0,680,760,790,68

0,560,470,440,360,16

0,410,54

0,3

0

0,5

1

1,5

2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Sand

(%),

sabl

e (%

)

Distance (m)


Stream 1Cours 1

Sand, Sable Tail/Queue Head/Tête0,74 0,74 0,920,82 0,92 1,060,92 1,06 1,110,95 1,11 0,871,06 0,87 0,811,09 0,81 0,921,11 0,92 0,90,98 0,9 1,190,87 1,19 1,440,77 1,44 1,240,81 1,24 1,140,84 1,14 0,870,92 0,87 0,841,04 0,84 0,680,9 0,68 0,79

1,02 0,79 0,561,19 0,56 0,441,17 0,44 0,161,44 0,16 0,541,29 0,82 0,951,24 0,95 1,09

1 1,09 0,981,14 0,98 0,770,98 0,77 0,840,87 0,84 1,040,89 1,04 1,020,84 1,02 1,170,7 1,17 1,29

0,68 1,29 10,76 1 0,980,79 0,98 0,890,68 0,89 0,70,56 0,7 0,760,47 0,76 0,680,44 0,68 0,470,36 0,47 0,360,16 0,36 0,410,41 0,41 0,30,3

Moyenne 0,866 0,847SD 0,247 0,303R2 0,6624R 0,8138

0,740,820,920,951,061,091,11

0,980,870,770,810,840,92

1,040,9

1,021,191,17

1,441,291,24

11,14

0,980,870,890,84

0,7 0,680,760,790,68

0,560,470,440,360,16

0,410,54

0,3

0

0,5

1

1,5

2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Sand

(%),

sabl

e (%

)

Distance (m)

n=38

n1=19

n2=19

22

12

0,740,820,920,951,061,091,11

0,980,870,770,810,840,92

1,040,9

1,021,191,17

1,441,291,24

11,14

0,980,870,890,84

0,7 0,680,760,790,68

0,560,470,440,360,16

0,410,54

0,3

0

0,5

1

1,5

2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Sand

(%),

sabl

e (%

)Distance (m)

Stream 1Cours 1

Sand, Sable Tail/Queue Head/Tête

0,74 0,74 0,950,82 0,95 1,110,92 1,11 0,770,95 0,77 0,921,06 0,92 1,021,09 1,02 1,441,11 1,44 10,98 1 0,870,87 0,87 0,70,77 0,7 0,790,81 0,79 0,680,84 0,68 0,440,92 0,44 0,41

Moyenne _____ _____SD _____ _____R2 _____r _____


0,740,820,920,951,061,091,11

0,980,870,770,810,840,921,04

0,91,02

1,191,17

1,441,291,24

11,14

0,980,870,890,840,7 0,680,760,79

0,680,560,470,440,36

0,160,41

0,540,3

0

0,5

1

1,5

2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Sand

(%),

sabl

e (%

)

Distance (m)

0,740,820,920,951,061,091,11

0,980,870,770,810,840,92

1,040,9

1,021,191,17

1,441,291,24

11,14

0,980,870,890,84

0,7 0,680,760,790,680,560,470,440,36

0,160,41

0,540,3

0

0,5

1

1,5

2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Sand

(%),

sabl

e (%

)

Distance (m)

n=37

n1=13

n2=12

n3=12

23

Stream 1Cours 1


Moyenne _____ _____SD _____ _____R2 _____r _____


n=∑ 푛

n1

n2

n3

n4

0,740,820,920,951,061,091,11

0,980,870,770,810,840,921,04

0,91,02

1,191,17

1,441,291,24

11,14

0,980,870,890,840,7 0,680,760,79

0,680,560,470,440,36

0,160,41

0,540,3

0

0,5

1

1,5

2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Sand

(%),

sabl

e (%

)

Distance (m)

0,740,820,920,951,061,091,11

0,980,870,770,810,840,92

1,040,9

1,021,191,17

1,441,291,24

11,14

0,980,870,890,84

0,7 0,680,760,790,68

0,560,470,440,360,16

0,410,54

0,3

0

0,5

1

1,5

2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Sand

(%),

sabl

e (%

)

Distance (m)

Last lag statistcsStatistique du dernier lag


0,74 0,74 0,3

0,3Moyenne 0,74 0,3SD - -R2 -r - 24

13

y = -0,0416x + 0,8435R² = 0,0017

0

0,5

1

1,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

Head

/Têt

e

Tail / Queue

Lag 1

0,490,52

0,820,770,54 0,6

1,061,040,92

0,8

0,17

0,760,66

0,98

0,710,89

0,720,69

1,2

0,811,01

0,53

1,291,06

0,71

1,161,04

0,43

0,740,67

0,940,921,12

0,840,810,83

0,29

0,86

1,24

0,43

0

0,5

1

1,5

2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Sand

(%),

sabl

e (%

)

Distance (m)

Sand, Sable Tail/Queue Head/Tête0,49 0,49 0,520,52 0,52 0,820,82 0,82 0,770,77 0,77 0,540,54 0,54 0,6

0,6 0,6 1,061,06 1,06 1,041,04 1,04 0,920,92 0,92 0,8

0,8 0,8 0,170,17 0,17 0,760,76 0,76 0,660,66 0,66 0,980,98 0,98 0,710,71 0,71 0,890,89 0,89 0,720,72 0,72 0,690,69 0,69 1,2

1,2 1,2 0,810,81 0,81 1,011,01 1,01 0,530,53 0,53 1,291,29 1,29 1,061,06 1,06 0,710,71 0,71 1,161,16 1,16 1,041,04 1,04 0,430,43 0,43 0,740,74 0,74 0,670,67 0,67 0,940,94 0,94 0,920,92 0,92 1,121,12 1,12 0,840,84 0,84 0,810,81 0,81 0,830,83 0,83 0,290,29 0,29 0,860,86 0,86 1,241,24 1,24 0,430,43 0,43

Moyenne 0,811 0,810SD 0,253 0,255R2 0,0017R 0,04123


n=39

Stream 2Cours 2

25

0,490,52

0,820,770,54 0,6

1,061,040,92

0,8

0,17

0,760,66

0,98

0,710,89

0,720,69

1,2

0,811,01

0,53

1,291,06

0,71

1,161,04

0,43

0,740,67

0,940,921,12

0,840,810,83

0,29

0,86

1,24

0,43

0

0,5

1

1,5

2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Sand

(%),

sabl

e (%

)

Distance (m)

0,490,52

0,820,770,54 0,6

1,061,040,92

0,8

0,17

0,760,66

0,98

0,710,89

0,720,69

1,2

0,811,01

0,53

1,291,06

0,71

1,161,04

0,43

0,740,67

0,940,921,12

0,840,810,83

0,29

0,86

1,24

0,43

0

0,5

1

1,5

2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Sand

(%),

sabl

e (%

)

Distance (m)


Sand, Sable Tail/Queue Head/Tête0,49 0,49 0,820,82 0,82 0,540,54 0,54 1,061,06 1,06 0,920,92 0,92 0,170,17 0,17 0,660,66 0,66 0,710,71 0,71 0,720,72 0,72 1,21,2 1,2 1,01

1,01 1,01 1,291,29 1,29 0,710,71 0,71 1,041,04 1,04 0,740,74 0,74 0,940,94 0,94 1,121,12 1,12 0,810,81 0,81 0,290,29 0,29 1,240,52 0,52 0,770,77 0,77 0,60,6 0,6 1,04

1,04 1,04 0,80,8 0,8 0,76

0,76 0,76 0,980,98 0,98 0,890,89 0,89 0,690,69 0,69 0,810,81 0,81 0,530,53 0,53 1,061,06 1,06 1,161,16 1,16 0,430,43 0,43 0,670,67 0,67 0,920,92 0,92 0,840,84 0,84 0,830,83 0,83 0,860,86 0,86 0,430,43

Moyenne 0,800 0,817SD 0,276 0,294R2 0,0126R 0,11224

n=38

n1=19

n2=19

Stream 2Cours 2

y = -0,1159x + 0,9101R² = 0,0126

0

0,5

1

1,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

Head

/Têt

e

Tail / Queue

Lag 2

26

14

0,490,52

0,820,770,54 0,6

1,061,040,92

0,8

0,17

0,760,66

0,98

0,710,89

0,720,69

1,2

0,811,01

0,53

1,291,06

0,71

1,161,04

0,43

0,740,67

0,940,921,12

0,840,810,83

0,29

0,86

1,24

0,43

0

0,5

1

1,5

2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Sand

(%),

sabl

e (%

)Distance (m)

0,490,52

0,820,770,54 0,6

1,061,040,92

0,8

0,17

0,760,66

0,98

0,710,89

0,720,69

1,2

0,811,01

0,53

1,291,06

0,71

1,161,04

0,43

0,740,67

0,940,921,12

0,840,810,83

0,29

0,86

1,24

0,43

0

0,5

1

1,5

2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Sand

(%),

sabl

e (%

)

Distance (m)

0,490,52

0,820,770,54 0,6

1,061,040,92

0,8

0,17

0,760,66

0,98

0,710,89

0,720,69

1,2

0,811,01

0,53

1,291,06

0,71

1,161,04

0,43

0,740,67

0,940,921,12

0,840,810,83

0,29

0,86

1,24

0,43

0

0,5

1

1,5

2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Sand

(%),

sabl

e (%

)

Distance (m)


0,49 0,49 0,770,77 0,77 1,061,06 1,06 0,80,8 0,8 0,66

0,66 0,66 0,890,89 0,89 1,21,2 1,2 0,53

0,53 0,53 0,710,71 0,71 0,430,43 0,43 0,940,94 0,94 0,920,92 0,92 0,810,81 0,81 0,86

Moyenne _____ _____SD _____ _____R2 _____r _____


n=37

n1=13

n2=12

n3=12

Stream 2Cours 2

27

0,490,52

0,820,770,54 0,6

1,061,040,92

0,8

0,17

0,760,66

0,98

0,710,89

0,720,69

1,2

0,811,01

0,53

1,291,06

0,71

1,161,04

0,43

0,740,67

0,940,921,12

0,840,810,83

0,29

0,86

1,24

0,43

0

0,5

1

1,5

2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Sand

(%),

sabl

e (%

)

Distance (m)

Last lag statistcsStatistique du dernier lag

Sand, Sable Tail/Queue Head/Tête0,49 0,49 0,43

0,43Moyenne 0,43 0,43SD - -R2 -r -

Stream 2Cours 2

28

15

Stream profile 2Profil du cours 2

Consider values for the first 70 m: Prenons les mesures sur les premiers 70 m :

Stream profile 1Profil du cours 1

0,49 0,520,82 0,77

0,54 0,6

1,06 1,04 0,92 0,8

0,17

0,76 0,660,98

0

0,5

1

1,5

2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70Sand

(%),

sabl

e (%

)Distance (m)

0,74 0,82 0,92 0,95 1,06 1,09 1,11 0,98 0,87 0,77 0,81 0,84 0,92 1,04

0

0,5

1

1,5

2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70Sand

(%),

sabl

e (%

)

Distance (m)

29

1 0,8953 0,8195 0,7419 0,6453 0,5511

0

0,5

1

0 1 2 3 4 5

Corr

elat

ion

coef

ficie

ntCo

éffic

ient

de c

orré

latio

n

Lag

Correlation coefficient vs lagCoéfficient de corrélation contre lag

Stream 1Cours 1

CorrelogramCorrélogramme

30

16

1

-0,1838

0,0612

-0,0695 -0,1411

0,0295

-0,5

0

0,5

1

0 1 2 3 4 5

Corr

elat

ion

coef

ficie

ntCo

éffic

ient

de

corr

élat

ion

Lag

Correlation coefficient vs lagCoéfficient de corrélation contre lag

Stream 2Cours 2


31

Stream 2Cours 2


Stream 1Cours 1

The correlogram clearly distinguishes profile 1 from profile 2

Le corrélogramme distingue clairement le profile 1 du profile 2

32

17

* The correlogramme estimates le correlation between tow points in the space* The correlogram is a fuction of separation distance* The correlogram is may also be a function of separation direction

* Le corrélogramme estime la correlation entre deux points dans l’espace* Le corrélogramme est une function de la distance de separation* Le corrélogramme peut ête aussi une function de la direction de séparation


33




34

18

The covariance functionLa function de covariance

Soit S une série statistique à deux variables quantitatives discrètes X et Y de taille n∈ℕ∗ définie par S={(푥 , 푦 )}1≤푖≤n.

On note 푥 et 푦 les moyennes arithmétiques respectives de X={푥 } 1≤i≤n et de Y={푦 } 1≤푖≤n.

La covariance de (X,Y) est le nombre réel noté cov(X,Y) défini par :

풄풐풗 퐗,퐘 =ퟏ풏

(풙풊−풏

풊 ퟏ

풙). (풚풊 − 풚)

풄풐풗 퐗,퐘 =ퟏ풏

풙풊.풚풊−풏

풊 ퟏ

풙.풚

35

The covariance functionLa function de covariance

풄풐풗(풉)=ρ(풉).σ풙.σ풙 풉

Corrélogramme

Vecteur de séparation Déviation standard (queue)

Déviation standard (tête)

36

19




37

The semi-variogram can be considered as the moment of inertia about the line x=y

Le semi-variogramme peutêtre considéré comme étant le moment d’inertie par rapport à la droite x=y

The semi-variogramLe semi-variogramme

38

20


Y

X

• M1(x,y)d?

M3 (x,y)=(x,x) •

x-y ퟐ

ퟒ

ퟒ

2: 1: 1

푳풆풕풓풊풂풏품풍풆푴ퟏ푴ퟐ푴ퟑ풆풔풕 ퟐ

: ퟒ

: ퟒ

M2•

풅풙 풚

=ퟏ ퟐ

풅=ퟏ ퟐ

. (풙 − 풚)39


0

0,5

1

1,5

2

0 0,5 1 1,5

Head

/Têt

e

Tail / Queue

Lag 1

풅=ퟏ ퟐ

. 풙 − 풚 ⇔ 풅ퟐ= ퟏ ퟐ

. 풙 − 풚 ,푑0Consider the lag 1 scatter-plot Head=f(Tail) from profile 1. Calculate the average squared distance from each point to the line x=y.

Considérons le graphique Tête=f(Queue) du Lag 1 du profile 1. Calculons la moyenne des carrées des distances par rapport à la droite x=y.

풅ퟐ 풉 =ퟏ풏

ퟏퟐ 풊 −%풔풂풏풅풊 풉

ퟐ

;풏

풊 ퟏ

풅ퟐ 풉 = (풉) =ퟏퟐ풏

풁풊 − 풁풊 풉ퟐ

풏

풊 ퟏ

풅ퟐ 풉 =ퟏퟐ풏


풏

풊 ퟏ

Generally,Généralement,

Semi-variogram / Semi-variogramme

Regionalized variableVariable régionalisée

Tail/Queue Head/Tête

Nbre de paires dont les points sont espacées de h

40

21

Stream 2Cours 2

Semi-variogramSemi-variogramme

Stream 1Cours 1

The semi-variogram clearly distinguishes profile 1 from profile 2

Le semi-corrélogramme distingue clairement le profile 1 du profile 2

41

General expression of the equations for spatial continuityExpression générale des équations de la continuité spatiale

1- Correlogram 1- Corrélogramme

(풉) =ퟏퟐ풏 풁풊 − 풁풊 풉

ퟐ풏

풊 ퟏ

2- Covariance 2- Covariance

3- Semi-variogram 3- Semi-variogramme

흆 풉 = ퟏ −풏.∑풁풊.풁풊 풉−∑풁풊.∑풁풊 풉

풏ퟐ.흈풁풊 .흈풁풊 풉

푪 풉 = 흈풁풊ퟐ −

풏.∑풁풊.풁풊 풉−∑풁풊.∑풁풊 풉

풏ퟐ

In a given direction Dans une direction donnée

42

22

General expression of the equations for spatial continuityExpression générale des équations de la continuité spatiale

1- Correlogram 1- Corrélogramme

(풉,휽) =ퟏퟐ풏휽


풏휽

풊 ퟏ

2- Covariance 2- Covariance

3- Semi-variogram 3- Semi-variogramme

흆 풉, = ퟏ −풏휽.∑풁풊.풁풊 풉−∑풁풊.∑풁풊 풉

풏휽ퟐ .흈풁풊 .흈풁풊 풉

푪 풉,휽 = 흈풁풊ퟐ −

풏휽.∑풁풊.풁풊 풉−∑풁풊.∑풁풊 풉

풏휽ퟐ

In a direction Dans une direction

43


For predictions, the empirical semivariogram is converted to a theoretic one by fitting a statistical model (curve) to describe its range, sill, and nugget.

Pour les prévisions, le semi-variogramme empirique est converti en un semi-variogramme théorique en ajustant un modèle statistique (courbe) pour décrire sa portée, sa variance totale et sa pépite.

Distance (lag), h

Semivariance(h)

Total sillVariance totale

Partial sillVariance partielle

Nuggetpépite

RangePortée

c0

c-c0

CorrelatedCorrélées

uncorrelatedNon-corrélées

a

44

23


Distance (lag), h

Semivariance(h)

Total sillVariance totale

Partial sillVariance partielle

Nuggetpépite

RangePortée

c0

c-c0

CorrelatedCorrélées

uncorrelatedNon corrélées

a

Portée a : Distance où deux observations ne se ressemblent plus du tout en moyenne, elles ne sont plus liées (covariance nulle) linéairement (non corrélés). À cette distance, la valeur du variogrammecorrespond à la variance de la variable aléatoire.

Palier C-C0 =σ2 : Variance de la v.a(Var(Z(x)). Ecarts les plus grands, en moyenne entre deux v.a

Effet de pépite C0 : Variation à très courte échelle, erreurs de localisation, erreurs d'analyse et précision analytique. Exemple 1 : Une carotte fendue en deux moitiés analysés séparément ne fournira pas exactement les mêmes valeurs.Exemple 2 : Un même paquet de poudre, séparé en deux parties pour analyse ne donnera pas exactement la même teneur.

c+c0=2

45


Par ordre d'irrégularité croissante on distinguera des semi-variogramme avec une :

allure parabolique qui caractérise une variable extrêmement régulière (très lissée). La variable est dérivable en moyenne quadratique. Plus les points sont éloignés et plus les différences sont progressivement accentuées. Il y a donc un fort gradient.

Distance (lag, h)

Semivariance(h)

c0

c-c0

46

24


allure linéaire qui représente une variable moins régulière et non dérivable.

Distance (lag, h)

Semivariance(h)

c0

47


à effet de pépite: h=0 est toujours estimée en extrapolant la tendance générale de la fonction. Cependant si on dispose de plusieurs mesures instantanées cette valeur peut être obtenue par la variance de celles-ci. Si cette valeur est nulle cela sous entend que le processus est régulier, et que la mesure n'est pas entachée d'une variabilité instrumentale ou de l'effet de la microdistribution. Par contre une ordonnée à l'origine indique (c0=0) un effet de pépite. Souvent les valeurs du variogrammese stabilisent autour d'une certaine valeur (pallier) après un certain intervalle h (portée). La portée est la limite de l'influence d'une observation sur ses voisines.

Distance (lag, h)

Semivariance(h)

c0

c-c0

1

48

25


à pépite pur: la fonction fluctue autour d'une valeur constante ce qui signifie qu'il y a une indépendance totale des observations.

En général, seules des variables ayant cette propriété sont susceptibles d'être traitées par la statistique classique.

Lorsqu'il n'y a aucune dépendance entre des observations, faire une cartographie à base d'interpolation n'a pas plus de sens que de tracer une régression non-significative (r 0).

Distance (lag, h)

Semivariance(h)

c0

c-c0

49


There are four common models used to fit semivariograms: Il existe quatre modèles couramment utilisés pour s'adapter semi-variogrammes :

hbco .γ(d)

2

2

1.γ(d) ah

o ecc

ah

o ecc 1.γ(d)

4- Gaussian:

1- Linear:

3- Spherical:

2- Exponential:

ahcc

aha

hahcc

o

o

,

,.2.2

.3.γ(d) 3

3

Where: c0 = nuggetb = regression slopea = rangec0+ c = sill

4- Gaussien :

1- Linéaire :

3- Sphérique :

2- Exponentiel :

Distance (lag, h)

Semivariance(h)

c0

a

c+c0

1

24

3

Où: c0 = pépiteb = pente de la regressiona = portéec0+ c = variance totale

Le plus fréquent

Assez commun

Existe, mais rarement seul

Peu frequent en mine50

26


Chaque phénomène possède un variogramme qui lui est propre. Ainsi :

• Un gisement d'or présentera un variogrammeerratique avec un fort effet de pépite et une faible portée.

• Un gisement de cuivre montrera un variogramme linéaire à l'origine avec faible effet de pépite et

grande portée.

• Un gisement sédimentaire de fer présentera une portée plus grande parallèlement à la stratification que perpendiculairement à celle-ci (anisotropie géométrique).

• La topographie peut présenter un variogrammetrès continu avec un comportement parabolique à l'origine et absence d'effet de pépite.

Le variogramme est un outil descriptif puissant utilisable dans une multitude de domaines. 51


Exercice 1The prospecting of an ore gave the following results:

Exercice 1La prospection d’un minerai a donné les résultats suivants :

h (km) 0 1 2 3 4 5 6Série 1 (g/tonne) 0 1 2 3 2 1 0Série 2 (g/tonne) 3 1 0 2 1 2 0

01

23

21

0

10212

0

Série 1 Série 2Moyenne 1,285714 1,285714Variance 1,238095 1,238095

푴풐풚풆풏풏풆 = 풛 =ퟏ풏 . 풛풊

풏

풊 ퟎ

푽풂풓풊풂풏풄풆 = 푽 =ퟏ풏 . (풛풊−풛)ퟐ

풏

풊 ퟎ 52

27


Ces deux séries ont même moyenne et même variance, toutefois clairement elles n'ont pas le même degré de continuité spatiale, la 1ère série étant nettement plus continue que la seconde. Voyons leur semi-variogramme:

01

23

21

0

10212

0

h=3 km zi zi+h a=½(zi+h-zi)2

0 3 4,53 0 4,5

=ā 4,5


0 1 0,51 2 0,52 3 0,53 2 0,52 1 0,51 0 0,5

=ā 0,5


0 2 22 2 02 0 21 3 23 1 2

=ā 1,6

Série 1h=1 km zi zi+h a=½(zi+h-zi)2

3 1 21 0 0,50 2 22 1 0,51 2 0,52 0 2

=ā 1,25


3 0 4,50 1 0,51 0 0,51 2 0,52 2 0

=ā 1,2


3 2 0,52 0 2

=ā 1,25

Série 2

53

01

23

21

0

10212

0


Le semi-variogramme de la 1ère série montre une croissance soutenue alors que la seconde série montre un semi-variogramme à peu près constant à un niveau près de la variance expérimentale (V=1.23).

h (km) Série 1 Série 21 0,5 1,252 1,6 1,23 4,5 1,25

0,5

1,6

4,5

1,25 1,2 1,25

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4

Distance, h (km)

1,23

54

28

01

23

21

0

10212

0


Theoretical semivariogram

y = 0,1703.e1,0986.h

R² = 0,9989

y = 1,2333R² = 00

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4

Distance, h (km)

Série 1 g= 0,1703.e1,0986.h

Série 2 g= V=1,23

Semi-variogramme théorique

ah

o ecch 1.)γ(

hbch o .)γ(

C0=0, C=0,1703 et a= -0,91025

C0=V=1,2333 et b=0

55

01

23

21

0

10212

0


Le semi-variogramme de la 1ère série montre une croissance soutenue alors que la seconde série montre un semi-variogramme à peu près constant à un niveau près de la variance expérimentale (V=1.23).

h (km) Série 1 Série 21 0,5 1,252 1,6 1,23 4,5 1,25

y = 0,1703e1,0986x

R² = 0,9989

y = 1,2333R² = 00

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4

Distance (km)

Série 1 g= 0,1703e1,0986.h

Série 2 g= V=1,23

Variogrammes théoriques

56

Documents

Faculté des Sciences Mathématiques Physiques et …alonet.yolasite.com/resources/LAGTE3/geostat.pdf · 2 Geostatistics Géostatistique 1- Generalities 2- Correlogram 3- Covariance