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Chapitre IV Flexion des plaques

IV - Flexion des plaques

Une "plaque" dsigne un solide dont l'paisseur h, mesure sur z de part et d'autre duplan moyen, est petite devant les deux autres dimensions disposes dans le plan (x, y).

z

Except le paragraphe "prliminaire" dont le contenu n'est pas propre aux plaques, cechapitre est consacr des rappels thoriques sur la flexion des plaques minces (thoriede Kirchhofl) et des plaques avec cisaillement transversal (thorie de Mindlih).

Plusieurs lments triangulaires, parmi ceux cits dans la littrature spcialiseprcise dans la bibliographie, sont aussi prsents.

A- PrliminairesLe contenu des deux paragraphes suivants n'est pas limit l'tude de la flexion des

plaques. Il est cependant plac ici pour introduire aisment les notions essentielles deconformit et de compatibilit.

1 - Formulation variafionnelle

a.- GnralitsLa Mthode des Elments Finis est un outil de rsolution de problmes aux drives

partielles avec conditions aux limites imposes [12] ; par exemple, voir dans l'annexe IVune quation du quatrime ordre pour le dplacement caractristique de la flexion d'uneplaque mince.

Cependant, la M.E.F. n'est pas base sur la forme diffrentielle de l'quation auxdrives partielles mais sur une formulation intgrale de type projectif ou variationnel.Dans ce dernier cas, mais sans entrer dans l'aspect mathmatique du calcul desvariations, il est important de noter qu'il y a quivalence entre rsoudre un problmediffrentiel et rendre stafionnaire une fonctionnelle (formulation intgrale).

L'obtention d'une solution exacte tant aussi difficile en formulation intgrale qu'enformulation diffrentielle, une solution approche est recherche sous la forme defonctions d'approximation - gnralement polynomiales - propres des "morceaux"du domaine complet. Ces sous-domaines, la taille relativement rduite et aux formestopologiquement simples, sont les "lments". Les coefficients des fonctions voquessont dtermins en utilisant les valeurs de ces fonctions en des points particuliers deslments, les "nuds".

iv -1 [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.


La mthode consiste remplacer la rsolution d'un problme continu une infinitd'inconnues par celle d'un problme - discrtis - un nombre fini d'inconnues [9].

b - Dformations lastiques

Pour des dformations lastiques en Mcanique des Solides, les dplacementscinmatiquement admissibles qui satisfont un tat d'quilibre stable sont ceux quiminimisent l'nergie potentielle totale ; l'approche est alors dite: "cinmatique"[9].

S'il s'agit de contraintes admissibles, l'approche est dite : "quilibre"; la fonctionnelle estalors l'nergie potentielle complmentaire.

En lasticit tridimensionnelle (domaine O), l'nergie potentielle totale est :V = \Jjjg : E().dv - JJJq.edv - JJpdS

Q, Q dQp

Pour le problme discrtis (n), l'nergie potentielle totale est : Vn=-i. .^K.U-^ U.Fdont l'extremum correspondra : K.U - F = 0 ; le problme d'quations aux drivespartielles est ainsi remplac par la rsolution d'un systme d'quations linaires [10].

La valeur minimale de Vn est : 1 . *U.F

Si la convergence est assure, V = lim Vn quand n -> avec V < Vn ; le modleapproch de structure est plus rigide que la structure relle [9].

La seule diffrence notable entre ce processus de calcul et la mthode de ffifzest que,dans ce dernier cas, les dplacements sont dtermins dans tout le domaine alors quepar lments finis cette dtermination se fait dans l'lment lui-mme [15].

2 - Proprits des lments

a -formulations

En Mcanique des Structures, quatre formulations [9] peuvent tre distingues :- Formulation "dplacements" :

Ce sont les lments les plus utiliss et ils sont donc sur le thorme del'nergie potentielle totale. C'est le champ de dplacements qui est approxim.

- Formulation "contraintes" :L'approximation se fait sur le champ de contraintes. Le critre variationnelcorrespondant est celui de l'nergie potentielle complmentaire.

IV-2 [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.


- Formulation "hybride" :En gnral, sont dfinis un champ de contraintes l'intrieur de l'lment et unchamp de dplacements sur le contour. Le champ de contraintes est exprim enfonction des dplacements nodaux pour ne faire apparatre, finalement, que lesdplacements dans l'nergie potentielle.

- Formulation "mixte" :Un exemple d'lment triangulaire de ce type est donn par Batoz et Dhatt dans [1].Ce triangle a 6 nuds : les trois sommets et les milieux des cts. Les variablesnodales aux sommets sont les dplacements w perpendiculaires au plan de l'lment.Pour les autres nuds, les variables sont les moments Mn ports par ces cts.

Comme cela a dj t prcis en III-C-2, il ne faut pas confondre cette formulationavec la rsolution du systme global dont la mthode est dite "des dplacements".

b - Fonctions d'approximation

Ces fonctions - en gnral polynomiales - doivent permettre de reprsenter les tatsde dformation nulle (modes rigides) et de dformation constante pour des dplacementsnodaux correspondants. L'lment est alors dit : "complet".

Suivant le type d'tude, elles doivent assurer une continuit de type C (dplacementscontinus) ou de type C1 (dplacements et ses drives premires continues) la frontirede deux lments voisins. L'lment est alors dit : "compatible".

Si les deux conditions prcdentes sont satisfaites, l'lment est dit : "conforme". Il est noter que la seconde condition n'est pas toujours satisfaite. Certains de ces lments -incompatibles - assurent cependant une meilleure convergence (vers la solution exactequand le nombre d'lments crot) que d'autres lments conformes [9].

La troisime condition concerne l'invariance, c'est dire l'absence de directionprivilgie dans le repre global. Cela implique l'utilisation de polynmes complets ou"symtriques" pour l'lment de rfrence (ou lment "parent").

Exemple de polynmes de degr 2 incomplets mais symtriques :u = a1+a2. + a3.Ti + a4..Ti v = a5 +a6. + a7.ri + a8..i [9]

c - Test de rapiage

Ce test ("patch-test") s'effectue sur un groupe d'lments et sert en vrifier laconvergence. Considr maintenant comme essentiel, il est prsent plus en dtailsdans le paragraphe : "D - Complments".



B Thorie de KirchhoffHypothse de Kirchhoff : tout segment initialement normal la surface moyenne avant

dformation, reste normal la surface moyenne dforme (exz = eyz = 0).Cette hypothse convient pour les plaques minces o l'influence du cisaillement

transversal est nglige dans l'nergie de dformation.

1 - ExempleAfin de bien mettre en vidence l'utilisation du principe de travaux virtuels ainsi que les

hypothses principales, l'exemple d'une plaque circulaire va tre trait. Les rsultatsseront ensuite utiliss pour les comparer des valeurs numriques en provenance decalculs par lments finis.

a - Dplacements virtuels>

M, point de la surface moyenne ; P, point dans l'paisseur tel que MP = z. z^ ^ >

Petits dplacements : UP =UM+AMP = w.z + (-W,r.e)A(z.z) = -z.w,r.r + w.zTenseur

r-z.w*i i '^ r i *r -^ i w'! = -! grad(p) + grad(P) = -z. o w' = wj et w* = w,rr

Ce tenseur correspond la thorie du premier gradient. (r-iv-i)

b - Efforts et MomentMmJitantsDans un repre cartsien (x,y,z), on pose, par dfinition : (f-iv-2)

. Z ZII >\^7* i fT

-^ v7\/

QzxA zy Qyz n

xx^ 'WV axv ^ ^ -^yy ^^Mj l z II xy z I I^^^Myyx Nxx Nyx Nyy

"M i h r n I~M i - r i -^xx ~2 ^xx Mxx 2 > PQ 1 2fa

N= Nyy = | Oyy .dZ M= Myy = J Oyy . Z. Z Q= Q ^ = J ^ AZ (f-Tf-2)

NxyJ -iL^xyJ KJ -|laxyj L ^ f ^IV-4 [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.


Avec l'hypothse de Kirchhoff prcise auparavant, Qxz et Qyz n'interviennent pasdans l'nergie de dformation.

c - Travaux virtuels

Le domaine iQ choisi est constitu d'une couronne de rayons R1 et R2.I ~, R2 -,

- PI = JJJ ^ : t-dv = JJ( J OrrZ-w'dz + oee-z..dz).r.dr.d8 = 2.m J (w*.Mrr + .Mee).r.dr f r R1 r

w^r.Mrr=^j^w/.Mee=(w.Mee),r-w.Mee,r

R2,^.= 2.iL([^.r.lAr]+[^(r.lAr).r-^C + JwX(r.lAr)nr-l^,r).dr)

R1R2

. -^ /r *> & iR2 r *>> _~ iR2 f ^ - i \ ^ ^ ^ /Pe = 2.7i.([a.r.Mrr]R1 H-[w.Tz.rJRi +p. Jw.r.dr) avec a = -w,r = -w/R1

Pl+Pe = 0=>(r.Mrr)lr-Mee = Tz.r {q.t} et (r,Mrr),rr-Mee,r = -p.r => Tz = -^

Cette dernire relation peut tre trouve en crivant l'quilibre d'un disque de rayon rsoumis une pression p oriente suivant z : p.7i.r2 + Tz2.7i.r = 0

d - Loi de comportement

Le champ de dplacement choisi conduit ezz = 0 ;

Autre hypothse gnrale aux plaques : azz nglige (azz = -p sur face infrieure !).E E w'

=>rr=:pj2(err+v.eee) et ^ee=Y3^2^0e+v.Brr) o E.^-z.w" et 8ee=-z.h

f Eh3 w' w' Eh3Mrr= farrz.dz = -=^.(w' + v. ) et Mee=-D.(v.w// + ) o D = 9rr i rr 12.(1-v2). r ; ee v r ; 12.(1~v2)

~2

e - Expression de ww' D r wx/ w' n r

L'quation {1} donne :(w".r + v.w'),r-(v.w"+) = ^ - => w~+-^- = J^-

Ce qui correspond : (-.(r.w/),r),r = -^ = w' = -^ + CH. + C2.-r 2.D 16.D 1 2 2 r

Dans le cas d'une plaque encastre sa priphrie : w' = 0 pour r = 0 et r = Rp.r4 p.R2.r2 _ _ _ p _2 2x2

=w = J- - +C3 avec w = 0 pour r = R=> w = -.(R -rr (r-iv-3)64.D 32.D 64.D



Dans le cas gnral o w = w(x,y), on obtient : D.A(Aw)-p = 0 o A est le Laplacien,ce qui correspond bien une quation diffrentielle du quatrime ordre.

f - Dformations et contraintes

w = -^-.(R2-r2)2 => w' = P-.(R2-r2).r => w" = -^-.(R2-3.r2)64.D v ' 16.D v ' 16.D 'err=-z.w" = ^ .(R2-3.r2).z et eee = -zX = -|_.(R2-r2).z

=^-^|-(R2-(1 + v)-r2.(3 + v)).z et aee =^. |^.(R2.(1 + v)-r2.(1 + 3.v)).zio n ID n

. p.R f. * / . ~p 3 + vx . .. p.R IJt v ,. ~p lH"3.vx r r

r r= ie~'( )>( ^ "T7) M0e="^-(1+v)'(1""^ TT7") ou ^ = R (r"v"4)

2 - Elments finis conformes

Comme la drive seconde (w") du dplacement normal au plan de la plaque intervientdans l'nergie de dformation, il est ncessaire que cette valeur soit dfinie. La drivepremire (w1) doit donc tre continue ; dans l'lment videmment, mais aussi au passagede la frontire entre deux lments adjacents. La continuit est alors dite : C1.

Dans l'annexe IV, sont dcrits des lments triangulaires (T18, HCT) et un lmentrectangulaire utilisant les polynmes d'Hermite de degr 3. Il est conforme mais ledomaine d'application des rectangles est limit (ne pas confondre avec les quadrilatres).

3 - Elments non conformes

Dans l'annexe IV, est galement prsent un rectangle non conforme.

L'expos suivant concerne un triangle (ZO) propos par Zienkiewicz{\5\. Cet lmenta trois nuds avec trois paramtres de position par nud : w, 6X = -w,y ey = w,x.

a - Coordonnes d'aires ou barvcentriquesLi = ^ ^2 :A( x2-y3- x3-y2+ x3-y~ x -y3+ x -y2~- x2-y)L2=x = 2:A(x3-yi"x i -y3+x i -y~-x-yi+x-y3x3-y)L3=J^ = 2:(x i-y2-x2-yi+x2-y-x-y2+x-yi~x i-y)&\ = x2-ys - y2-x3 bi = y2 - y3 ci = xs - X2 (r-IV-g)



Li = a:s:(ai+bi-x+ci-y)=>Li'x = ^ -bi Li>y = "i-ci (r-IV-5>Mmes expressions pour L2 et L3 par permutation circulaire des indices.

b - InterpolationElle est donne par un polynme de degr 3 utilisant les coordonnes d'aire.

wr =L1.w1+Lo.w2+Lo.w3 , h1 1 2 2 3 3 => W = W r +W b (r-IV-6)

wb = Nx1.ex1+Ny1.ey1+Nx2.ex2+Ny2.ey2+Nx3.ex3 +Ny3.ey3Nx1=b3.(L2.L2+fL1.L2.L3)-b2.(L2.L3+fL1.L2.L3)Ny1 =c3.(L^.L2+f L,.L2.L3)-c2.(L\.L3+. L,.L2.L3) (r-lV-7)Mmes expressions pour N^ N^ Nx3 Ny3 par permutation des indices 1,2,3.

[F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.


C - Thorie de MindlinHypothse de Mindlin : les points d'un segment normal la surface moyenne initiale

restent sur un segment dans la configuration dforme, mais ce segment de droite n'estplus perpendiculaire la surface moyenne dforme.

Cette hypothse convient pour les plaques paisses o l'influence du cisaillementtransversal n'est pas nglige dans l'nergie de dformation.

L'autre hypothse gnrale aux plaques est : crzz ngligeable.

1 - ExempleAfin de bien mettre en vidence l'utilisation du principe de travaux virtuels, l'exemple

d'une plaque circulaire soumise une pression normale est trait dans ce paragraphe.Les rsultats seront ensuite utiliss pour les comparer des valeurs numriques en

provenance de calculs par lments finis.

a - Dplacements virtuels >

M, point de la surface moyenne ; P, point dans l'paisseur tel que MP = z. z

Petits dplacements : P = M + AMP = w.z + (a,ee) A(Z.Z) = z.6c.er + w.z* / 1 / ^ / ^ \

z.oc ~(w +a). - - ^ - w'= w r

8 = -1 grad(P ) + grad(P ) = z.- o , ' (r-iv-8)^ L J L J [ ex =a,r

^^__^-p___j

Ce champ de dplacements conduit : ezz = 0

b - Principe des TravauxMrtyelsLe domaine Q, choisi est constitu d'une couronne de rayons R1 et R2.

IL IL

* 2arr.z.'.dz + aee.z.-.dz).r.dr.de + JJ( Ja^w' + ).dz).r.dr.d8a ^ r o f

R2 -, R2-Pi=2.i.J(cx/.Mrr+.Mee).r.dr + 2.7i.jQrz.(W' + ).r.dr

m r m

'.r.M,, =(.r.Mrr),r-ct.(r.Mrr),r w'.r.Q,, = (w.r.Qrz),r-w.(r.Qrz),rIV-8 [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.


R2

Pe = 2.7i.([r.Mrr]^+[w.Tz.r]^+p.J>w.r.dr) Pi+Pe = 0R1

(r.Mrr))r-Mee-r.Qrz = 0{q.l} et (r.Qrz),r = -p.r =* Tz = Qrz =-H {q.2}Cette dernire relation peut tre trouve en crivant l'quilibre d'un disque de rayon r

soumis une pression p oriente suivant z : p.7i.r2 + TzZrc.r = 0 (Tz = 0 pour r = 0)

c - Loi de comportementPour la flexion : (r-iv-9)arr= ^2-(err + v.eee) et aee = ^(eee+v.err) o err = -z.a/ et eee=z.-~

11O f\ ^^ n

Mrr = arr.z.dz = Eh , .(a' + v.-) et Mee =D.(v.a' + -) oD = Eh _" i rr 12.(1-v2) r' ee v r' 12.(1-v2)

~2

Pour le cisaillement, et par analogie avec une poutre de section rectangulaire :

v=HJdS=4J!Qrz-^-ds ^=h avecK=*o o

* " I 2^j-" ' C'(a + W'> C 12^ ) asCvr + ^ 2.^~r 2.D 1 r 16.D

3a = 0en r = 0=C2 = 0= sCvr--^2 1

16.D

Dans le cas d'une plaque encastre sa priphrie :cc = 0 pour r = R => a = -^-.(R2-r2)

16.D v '

W|r = -^L-a=,w = Kl-Hl-i[L(R2-ll)2.C 1 4.C 32.D- 2A

w.Opourr-R^.q.g^K.-lg.d^o.^!

=>W=^-(1-2)(1-2+ O 5 = 5 (r-IV-ll)D4.U H

e - Contraintes

^-^r(1 + vX1-*'-7T7> Mee=^d")(1-52.^) .l (,IV.,2)



f - RemarqueDans le cas d'une plaque appuye sur sa priphrie, la condition : Mrr = 0 en r = R

remplace la condition prcdente : a = 0 en r = R. Les dplacements deviennent : (r-iv-13)p.R3

/t 3 + v fc3x P-R4 ,- *2wn 3 + v , t2 \ - JL 16 h2 1" 3tt7-6) w eD0-* H2!^-1-5+t) ^ *'T F? ^

2 - Elment fini triangulaire (SRI)Dans l'annexe IV, sont dcrits compltement un quadrilatre ainsi que les notions

d'intgrations "rduite" et "slective".Si, pour cet lment Q4, les rsultats sont jugs convenables, il en va tout autrement

du triangle 3 nuds prsent ci-aprs.

a - Prliminaires-> -

M, point de la surface moyenne ; P, point dans l'paisseur tel que MP = z. z_ _ ->

Petits dplacements : UP =UM+(0x.x+9y.y)AMP = w.z + (z.0x).x+(-z.0y).yf 9y,x U(9y,y-ex,x)| |(9y+w,x)'

e = lMgrad(p))ft[grad(p)]j= ^(9y,y-ex,x) -9x,y l(-ex+w,y) (r-iv-14)[ i(9y+w,x) | l(-6x+w,y) I _

b - Fonctions d'interpolationCe sont les fonctions d'aire L,, L2, L3 telles que L, +L2 +L3 = 1

L i=J^=2A(x2-y3-x3-y2+x3-y-x-y3+x-y2-x2-y)L2=T-=-2J(x3-yi-x i-y3+x i-y-x-yi+x-y3-x3-y)L3=J^=2k(xi-y2-x2-yi+x2-y-x-y2+x-yi-xi-y)L1'X = lTA(y2-y3) L1>y = -^-(X3-X2)L2,x = ^ (y3-y,) L2,y = ^ (x,-x3)Ls.x^^CyT-ya) L3,y=2:A(x2-x i)

c - Flexion^XX t>y>X

Courbures: K= Kyy = -6x,y =Bb.0e2>Kxy 0y .y-0x>x

f | y 2 - y 3 1 |y3-yi I |yi-y2'Bb = X2 - X3 X3 - XT X, - X2 (r-IV-15)

[ys-ya I Xs~x2 Iv i -Ys I xi-xs |y2-yi I xa-xi.IV-10 [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.


d - Cisaillement

Dformations : y = _9y + W>X = B? .0e + B^.We

B?JH M M B8^-L[ya"ya|y8"yi|yi"ya1 (r-IV-16)L *-1 ~~^-2 ~"-3 J 2. A _X3 X2 X1 X3 X2 X-j J

e - Matrice de rigiditEn considrant le dcouplage des effets de membrane et de flexion :

P - ff^K M+tvO^rk P - e K e IC - ^99 + ^ 99 ^9w /VTV17~

Pint -JJV K-M+ Y-Q)-as pext- Tr-Ke-;ijr e "" ~Ui i7^~ (r-IV-17)S LêJ LvveJ L ^we ^ww_

!z t2ffzx " "zy "Qzx A J Qyz ^

-Â< If "xy j^M"' ^^Myyx Nxx Nyx y Nyy

NXX] ir^xxi TMxxi ir^xxi I-Q i ira -iN= Nyy = J CTyy . dZ M= Myy = J dyy . Z. dZ Q = _ = J . dZ

N -h a M h CT L y2j -hl- yz-l_

iNxyj 2L xyJ L xyJ L xyj "2"

Fh3 [ 1 | V | 1Kê = A. 'Bb.Db.Bb Db = . v 1 M = Db.K (r-iv-18)

w-S)[ \ \ w - v } \F h F

K ,^ =-A. 1BS.DS.BS Ds = -- Q = Ds.y (r-iv-19)

K^ = A. W-DS.B B^ = J'LJ'LJ* K^ = ^ (r-lV-20)- 3 3 3

- Intgration complte de K ,^ :

JjLP.Ll.L'3.d=cdy = 2.A.^ aLtL_=5||L,.L,d,dy = A |}Lfdxdy = |

L'expression (cKee) de la matrice Kee est donne ci-aprs.

- Intgration rduite de K0e: elle correspond un calcul au point L^=L2=L3=^L'expression (rK^) de la matrice K^ est donne ci-aprs.


Rsultats: Ils sont relatifs au dplacement (wc) suivant z du centre de la plaque ;Regroups dans le tableau ci-dessous, ils tmoignent d'un fort blocage encisaillement quand l'paisseur de la plaque devient faible devant le rayon.

M^^int. compl. 0,00046 .0,0444 _mQ^^Jo^^_^A^_AJy794 'ljQ^\2^r_

g - ConclusionL'intgration slective - intgration rduite de la matrice K^ uniquement - donne de

moins mauvais rsultats que l'intgration complte mais cet lment ne peut tre utilisen l'tat.

Une autre mthode pour la prise en compte des effets de cisaillement sera proposeultrieurement (Belytschko). Avec ce maillage, les rsultats seront alors tout faitcorrects...

IV-12


(r-IV-21) (r-IV-22)"

1 i i 1 H 1 1 1

1 i i 1 1 1K s = 5 Eh A 2 1 2

K s ^5 E.h A 1 1 1c " 62(1 + v )6 | 1 \ r ee~62(1 + v )9 1 1 1

{ \ 1 1 1 1. \ -2 1J L 1 1 1.

f - ExempleDonnes: plaque circulaire encastre de rayon R = 100 mm soumise une pression p

l'paisseur h varie de 0,1 mm 50 mm ;le matriau a pour caractristiques : E = 200000 N/mm2 et v = 0,3 ;la pression p est calcule en fonction de h : p = 0,01172 x h3.

Maillage: automatique, avec imposition d'une symtrie suivant un rayon 45 ;seul un quart de la plaque est tudi moyennant des liaisons appropries.



D - Complments

1 - Patch - testCe test, dit de "rapiage" ou de "compltude collective", sert vrifier, posteriori, la

convergence d'lments incompatibles. Il s'effectue sur un groupe d'lments ayant aumoins un nud "interne". Figurent, ci-dessous, trois exemples :

Des dplacements - test "cinmatique" ou des chargements - test "mcanique" [1]correspondant un tat de dformation constante ou nulle (mode rigide) sont imposs surles nuds "externes". Le test est satisfait si les dplacements du (ou des) nud(s)interne(s) ainsi que les contraintes et les dformations dans les lments sont biencaractristiques de la dformation impose.

Pour un lment de type Kirchhoff, une condition ncessaire de convergence consiste vrifier la reprsentation correcte de l'tat de courbures constantes en choisissant, parexemple [1], un dplacement w de la forme :w=-~I(x2+y2 + x.y) rr>-w,xx=1 -w,yy = 1 -2.w,xy = 1 (r-iv-23>

Pour un lment de type Mindin, deux conditions [1] sont vrifier :- pour une paisseur trs faible, les rsultats doivent correspondre ceux des plaquesminces ; pas de dformation de Cisaillement Transversal (CT) et courbures constantes :w = i(x2 +y2 + x.y) ey = (3X = x + ^ .y -6X = (3y = y + J.x K = f dans Ds (r-iv-24)

- pour une paisseur importante, dformations de CT constantes et courbures nulles :w = -i(x + y) 6y = (3X = i - 9X = Py = K petit (10"5, par ex.) dans Ds (r-iv-25)

2 - Intgration rduite

a - Prliminaire

La conformit des lments qui prennent en compte le cisaillement transversal estfacile obtenir puisque la compatibilit aux interfaces n'exige qu'une continuit C.

Pour que ces lments donnent des rsultats convenables dans le cas des plaquesminces, il est possible d'imposer l'hypothse de Kirchhoff en un certain nombre de points("Discrte Kirchhoff Theory" expose ultrieurement lors de la prsentation de l'lmentDKT) ou d'utiliser l'intgration rduite pour des fonctions d'interpolation classiques.



Dans l'annexe IV, cette seconde mthode est dcrite de faon pragmatique pour unquadrilatre de la famille de Serendip ou de Lagrange puisque ces polynmes sontidentiques pour ce type de quadrilatre 4 nuds.

Notons que Serendip est l'ancien nom de Ceylan. L'crivain Horace Walpole a proposle mot "serendipity" en 1754 partir du titre d'un conte : "Les trois princes de Serendip" oles hros sont conduits, par hasard, faire des dcouvertes rclamant de la perspicacit.

Rapport au domaine des lments finis, Zienkiewicz [15] prcise qu'il s'agit de"dcouvrir" avec perspicacit les fonctions d'interpolation des lments correspondants.

b - Mise en videnceElle est effectue, dans ce qui suit, sur une poutre droite de section rectangulaire (b, h),

de longueur L, de matriau dfini par E et v = 0.25, encastre l'extrmit gauche etsoumise un effort F dans la direction de w, l'extrmit droite.

Les paramtres de dplacement sont : w1f 9-j, w2, 02 aux nuds 1 et 2 avec w et9 indpendants.

LMf2 L T2 L LU = Ub+US=iJ^.dX + iJ .^dX = ^ (r-IV-26)

0 El1 0G' e ' | w *r-s-5-T7--lMg]

LO -1 o iJLeJ

De mme, avec les indices c et r qui correspondent l'intgration complte (exacte) etrduite (en un point d'abscisse x = L / 2) :

1T

Ks _ G.Sr r -(1-f) r ! /-,_ x\ i jzx] H Kc correspond une intgration complte2 " j ''L r r L * ' Kf correspond une intgration rduite

-XL

" 1 JL -1 kl [ ~ l J L _ l J L ~! 2 f 2 l 2 l 2

PQ JL \L .zL H ne l, \L i \L=>K. = G|L. * * * * < * ! K?=^- \ 1 \ 1 (r-IV-28)

L I 2 I 2 L I 2 I 2

. L . L i _ z k L L L \L ^k \L. 2 . 6 2 3 J L 2 4 2 4 _

Matriau : v = 0,25 et section rectangulaire o Sr = f .S I = ^ .b.h3 = G.Sr = ~~^

IV -14 [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.

La plupart des logiciels spcialiss dans le domaine de l'emboutissage utilisent cequadrilatre avec intgration rduite en un seul point et contrle des modes "sabliers"("Hourglass control") [17] principalement pour un gain de temps de calcul.

Sans considrer ici l'intgration dans l'paisseur, l'intgration slective consiste utiliser, pour ce Q4, deux fois deux points d'intgration pour les effets de membrane ainsique pour les effets de flexion et un seul point pour le cisaillement.

De manire gnrale, cette mthode diminue la raideur des lments de typedplacements puisque l'nergie de dformation ne prend pas en compte certains modes.

IV-15


[G.Sr -G.Sr 1 ^F.L3 4 + 3.2 2|Wl = 0 -T" W2 = F w* - 4.E.I ' 1 + 3.2 "g o r = H (r.lv.29)tm-o^^a. M+M.e,J W , F.L' ... o u ^ L < r I V 2 9 )

2 3 L J 2""4( )Les exposants c et r correspondent encore intgration complte et rduite.

F L3 F L3Pour -*0=W2->0 (blocage) et Wg~>- ( comparer Wg =:)

c - Prcautions prendreSelon lmbert[9], l'ordre minimal d'intgration doit permettre le calcul exact du volume

de l'lment.1 1

Par exemple, pour un Q4 d'paisseur constante : Volume = h.J JdetJ.d^.dri o detJ-1-1

varie linairement en\ et t] ; en consquence, un seul point d'intgration suffit.

On trouvera dans [8] et [15] de longs dveloppements ce sujet. Il est important denoter toutefois l'ventualit de modes nergie nulle c'est dire sans dplacement du oudes points d'intgration. Par exemple, un seul point au centre d'un Q4, correspondent :



3 - Bibliographie du chapitre IVPour ce qui concerne plus particulirement les formulations variationnelles et le calcul

par lments finis des plaques en flexion, des renseignements supplmentaires peuventtre trouvs dans les ouvrages suivants :

[I] BATOZ, J.L., DHATT, G., Modlisation des structures par lments finis, Vol.1Solides lastiques, Vol. 2: Poutres et plaques, Herms, Paris, 1990, Volume 1, 455pages, volume 2, 483 pages.

[2] BLANC, M., Mthodes de rsolution d'quations aux drives partielles, PolycopiENSAM, Paris, 1987, 157 pages.

[3] DUBIGEON, S., Mcanique des milieux continus, Elments finis, Tome 3, polycopiENSM, Nantes, 1985, 88 pages.

[4] DUBIGEON, S., Mcanique des milieux continus, Tome 2, Cours polycopi ENSM,Nantes, 1985, 192 pages.

[5] GACHON, H., Introduction aux formes variationnelles en Mcanique, Fascicule 1,Polycopi ENSAM, Paris, 1987, 125 pages.

[6] GACHON, H., Thorie non linaire des plaques, Fascicule 1, Polycopi ENSAM,Paris, 1987,125 pages.

[7] HAN, W.S., Analyse linaire et non linaire de plaques et coques en statique etdynamique, thse de doctorat : Institut Polytechnique de Lorraine, 1989, 200 pages.

[8] HINTON, E., OWEN, D.R.J., Finie lment software for plates and shells,Pineridge Press, Swwansea U.K., 1984, 403 pages

[9] IMBERT, J.F., Analyse des structures par lments finis, Editions CEPADUES,Toulouse, 1991, 505 pages.

[10] LEMAITRE, J., CHABOCHE, J.L., Mcanique des matriaux solides, Dunod, Paris,1985, 532 pages.

[II] ROCKEY, K.C., EVANS, H.R., GRIFFITHS, D.W., NETHERCOT, D.A.,Introduction la mthode des lments finis, Eyrolles, Paris, 1979, 228 pages.

[12] SABONNADIERE, J.C., COULOMB, J.L., Elments finis et CAO, Herms, Paris,1986, 210 pages.

[13] TIMOSHENKO, S., WOINOWSKI-KRIEGER, S., Thorie des plaques et coques,Dunod, Paris, 1961, 580 pages.

[14] TOURATIER, M., Elments de Mcanique des structures composites, PolycopiENSAM, Paris 1987, 120 pages.

[15] ZIENKIEWICK, O.C., La mthode des lments finis, McGraw-Hill, 1979, 851 pages.Peuvent s'y ajouter les publications ci-aprs :

[16] BATOZ, J.L., BATHE, K.J., HO, LW, A study of three node triangularplate bendinglment, International journal for numerical methods in engineering, 1980, Vol. 15,pp. 1771-1812.

[17] BELYTSCHKO, T., ONG, J.S.J., LIU, W.K.,KENNEDY,J.M., Hourglass control inlinear and nonlinear problems, Computer methods in applied mechanics andengineering, 1984, vol. 43, pp. 251-276.

[18] KAMAL, H., Les lments finis de type Hsieh-Clough-Tocher complet et rduit,Thse de docteur ingnieur, Universit Paul Sabatier de Toulouse, 1974, 120 pages.

[19] ONATE, E., ZIENKIEWICZ, O.C., SUAREZ, B., TAYLOR, R.L., A gnralmethodology for deriving shear-constrained Reissner-Mindlin plate lments,International journal for numerical methods in engineering, 1990, Publication n5.



E - Exemple : Plaque carreCet exemple correspond une tude prsente par MM. Batoz, Bathe et Ho dans la

publication [16]. On trouvera, dans ce document, des comparaisons avec l'lment HCTmais surtout avec l'lment HSM (Hybrid Stress Model).

Une plaque carre de ct a et d'paisseur h, appuye sur sa priphrie, est soumise un effort vertical F en son centre (C). Les rsultats concernent le dplacement vertical wde ce point en considrant diffrents maillages et plusieurs rapports a / h. Ils sontcompars une solution analytique pour les plaques minces :

wt = n6.io-3 o D=^V* D 12.(1-v2)

Moyennant des liaisons appropries,seul un quart de la structure est tudi.

Les lments C (Belytschko), TRUMP (Argyris) et DKT (Batoz, Bathe) seront dtaillsdans les chapitres suivants. L'lment "C", la formulation assez proche de l'lmentSRI, donne des rsultats acceptables pour un rapport a / h infrieur 100 et pour unmaillage suffisamment dense.

Dans la publication dj cite [16], d'autres structures-types sont compares. Commedans les ouvrages [9] et [15], l'lment HCT est jug plutt raide ("rather stiff") et laconvergence assez lente...


Page de titreTable des matiresI - IntroductionII - Structures de poutresIII - Elasticit plane et axisymtrieIV - Flexion des plaquesA- PrliminairesB - Thorie de KirchhoffC - Thorie de MindlinD - ComplmentsE - Exemple : Plaque carre

V - CoquesVI - Non linarit gomtriqueVII - Non linarit matrielleVIII - Code dynamique expliciteAnnexes

Documents

Fem Continu It é