PotentialAnalysis 4: 409--.413, 1995. 409 © 1995 Ktuwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.

F e r m a b i l i t 6 d e s f o r m e s d e D i r i c h l e t e t i n6ga l i t6 d e t y p e P o i n c a r 6

Gabriel Mokobodzki Equipe d' Analyse, Universitd Paris VI et C.N.R.S. Boite 186, ~ Place Jussieu, 75252 Paris CEDE)[ 05

18 March 1995

1 I n t r o d u c t i o n .

Soit X un espace localement compacte h base d~nombrable et soient m une mesure born6e sur X , H C_ Co(X) un sous-espace vectoriel dense de Co(X). On suppose pour simplifier que H est r~ticul~ et stable pour contractions, cfr. [2]. On se donne une forme quadratique a sur H, sur laquelle les contractions op~rent, c' est £ dire que si u, v E H et v e s t une contraction de u alors a(v, v) < a(u, u).

Soient w un ouvert de X , Hw = H M OK(W). On dira qu' une mesure v >_ 0 sur w v6rifie une in~galit~ du type Poincar~ dans w si l' on a f u2d~ < Ca(u, u) pour u E H ~ .

Dans ce travail, dont on donne ici une version abreg~e, on se propose de montrer les liens entre entre la fermabilt~ de la forme a et 1' existence de suffisamment de measures v v~rifiant des inegalit~s de type Poincar~ dans des ouvert partiels.

/~ fin de simplifier la discussion on supposera toujours que, quel que soit 1' ouvert non vide w, il existe ~ ~ 0, ~ E H + telle que a(~, ~) ¢ 0.

P r o p d i t i o n 1 : Les conditions suivantes sont equivalentes: 1) Ia forme a est semi-continue infgrieurement sur H muni de la convergence ~nifor77~e 2) il existe une mesure bornde # > O, de support X telle que a soit fermabte dans L2(#).

E q u i s s e d e d 6 m o n s t r a t i o n . On sait que la fermabilit~ est ~quivalente £ la semi-continuit~ darts L 2, qui elle m~me entraine la semi-continuit~ uniforme, de sorte que 2 ~ i.

Suivant maintenant [4], pour toute mesure ~, > 0 born6e sur X, it existe une plus grande forme de Dirichlet av fermable dans L2(y), av _~ a, qui est d~finie par av(u, u) -- l imin fa(un , Un), un E H, un "-* u in L2(v). On remarque que si v ' _> k~, (k > 0), alors av, _> a~. On pose B~ = {h E Hla~(h, h) <_ 1}; les ensembles B , sont ferm~s pour la convergence uniforme et (a~, _> a~) ~ B~, C B~. Comme H est s~parable, il existe une suite ~'n de mesures telle que f],~ B~ n = A~ By. On choisit alors une mesure born6e de la forme # = ~(~,~v~, a,~ > 0, de sorte que

I1 reste a montrer que si a est s.c.i, pour la convergence uniforme a = a~.

410 GABRIEL MOKOBODZKI

Soit u E H et supposons que a~.(u,u) < )~ < a(u,u). Considdrons 1 ~ ensemble E = {v E Hla(v, v) < A}. Cet ensemble est convexe et pour rou te z/>_ 0 bornde sur X , pour tou t c > 0, il existe v E E tel que f ( u - v)2dr/< ~. Ceci implique que u appar t i en t ~ 1' adhdrence faible de E et, par le theor~me de H a h n - B a n a c h £ son adhdrence forte. I1 existerai t alors une suite (vn) convergeant fo r tement vers u, ce qui imptiquereht l iminfa(vn, vn) >_ a(u, u) en contradict ion avec 1' hypoth~se f a r e et donc a~ = a. Qu i t t e ~ augmente r #, on peu t toujours supposer que le suppor t de # est X tou t entier, de sorte que H s' envoie inject ivement dans L2(#).

On suppose ddsormais que a est fermable dans L2(/z) et I' on d~signe par 7-/~ 1'

espace de Dirichlet compldtd de H pour la norme al(u; u)½ = [a(u, u) + f u2d#]½. D' aprbs les t r avaux fondamen taux de Beuerl ing et Deny, on salt que a poss~de

une represen ta t ion canonique sur 7-/~

a(u,u) = 1[/X V(u,u)dm + f x×x[~(x ) -~ (y ) ]2da(x , y ) + fxu2dO off V est la par t ie pu remen t locale et ~ est un representant quasi-cont inu de u E 7-[ 1

T h ~ o r ~ m e 2 : Soient u,v des dldments de 7"l 1. Alors w = (u 2 q- v2)½ E ~ et

< a(u, u) + a(v, v).

Idde de ddmonsrat ion. La v~rification de l ' in~galitd est immddia te si a(u, u) = [u(x) - u(y)] 2. On proc~de e n s u r e par intdgration et app rox ima t ion h 1' aide des rdsolvaxttes.

2 Appl icat ion: ex tens ion naturelle de la capacit~ aux functions.

Posons 5r2 = {qa I exisits u E 7"[ 1, tel que I~t g ~ quasi - partout}. Alors ~-e est un space vectoriet de functions ddfinies quas i -par tout . Pour a _> 0, u E 7-[ 1 on d6finit

aa(u,u) = a(u,u) ÷ a / u2 d# 1 .

J

et des semi-normes qa sur 5re par

q (v) = = inSl l___ u)

avec ~, Ui E 7-[ 1

L e m m e 3 : 1) Pour tout a > O, qa est une semi-norme croissante 2) Pour toute mesure u > 0 tes conditions suivantes sont dquivatentes:

FERMABILITE DES P O ~ DE D I R t C ~ 41i

2a) f ~d~ < q~(~) pour toute ~ E Jre N Co(X)

2b) ~ ne charge pas les ensembles #-polaires et f u2dz~ <_ a~(u, u) pour tout u E ?-t •

Def in i t i on 4 : Soit w un ouvert de X. On dira qu' une mesure v e s t contrSlabte dans w pour ao, s ' il existe une constante C > O, ddpendent de w, telle que f u2dt/ <_ Cao(u,u), Vu c H~.

On dira qu' un mesore u >_ 0 est localement contr&lable, s ' il existe un recou- vrement ouvert (wi)ieI tel que v soit contr&lable clans chaque wi.

T h ~ o r ~ m e 5 : Soit ~ i n H + tel que a(~0, ~) ~ 0. Alors il existe e > 0 te une mesure v portde par we = {~o > e} telle que f ~dv ¢ 0 et

/ u2dv < ao(u,u)

pour tout u E H~,

Equ i s se de la d d m o s t r a t i o n . Soit CK(We) I' espace des functions continues £ support compact dans we. Pour g E CK(wE), on pose

p,(g) = in. f {a(u,u) tg < u~,u c /-/,,,,}.

Les hipoth~ses de densit~ sur H impliquent en particulier que pour tout compact K et tout ouvert w D K il existe u E H +, u -- 1 sur K u -- 0 dans w c. Si pour tout

> 0, pe = 0 sur C~,, alors en approchant la representation ~ = f~up ~, l{~_>e}de on pourrait construire une suite (un) C H, convergeant uniform~ment vers ~ et teUe que a(un, un) _< 2 -~, n E Nen contradiction avec les hypotheses (a s.c.i, et a(~, ~) ~ 0) I1 existe donc e > 0 et g E CK(we) tel que Pc(g) ~ 0

On conclut h 1' aide du th~or~me de Hahn-Banach.

Soit maintenant w ouvert, 9v2 (w) 1' ensemble des ~l~ments de 9v2 ~ support dans w. On d~finit

p~(g) = in f {ao(u ,u) ig < u2,u C H~}

On a alors la precision suivante:

Co ro l l a i r e 6 : Soit K C_ w un compact tel que p,~(K) ~ O. Il existe alors une mesure positive ~ portde par K, v ~ O, teIle que

pour tout u E H•.

f u2dv ~ ao(u,u)

412 GABRIEL MOKOBODZKI

D e f i n i t i o n 7 : 1) Un ensemble (ddfini ~ un polairc pros) A C_ X est absorbant s' il existe un 1-potentiel u tel que {~ = 0} = A ~z un potaire pr~s. 2) On dit qu' un ensemble bordlien A C X est permanent, si pour tout borglien B C_ A, les ensembles B et X \ B sont absorbants.

On 6tablit facilement qu' il existe ua plus grand ensemble permanent.

On va maintenant supposer que la mesure 0, 3 ~me terme de la representation de a0, ("killing term") est nulle.

Soit ~;n une base d' ouverts de X. Pour tout couple d ' indice (p, n) tel que W--p est compact et contenu dans ~n, on consid~re 1' ensemble de mesures )VI~ = = {v > 0 portde par ~ p l f u 2 d v <_ a0(u,u) Vu e H ~ } . Ces ensembles M p sont convexes et vaguement compactes; la r~union engendre une bande A4 qui contient toutes tes mesures Iocalement contrSlables.

T h d o r ~ m 8 : Soit u >_ 0 une mesure sur X dtrang~re h A4 alors 1) il existe un bordlien .hd-ndgligeable portant u; 2) si u est d' energie finie relativement h (7"l ~, at), alors v e s t portde par un ensem- ble permanent.

Rappellons que pour un dldment bornd u E 7"/t, la mesure d' dnergie pu associ~e u, [6], est dd.finie, pour ~ E H par

1 / ~d/~u = ao(u, ~ou) - 5ao(T, u 2)

L' application u --* #= se prolonge continument h 7~ t tout entier et pu(1) _< ao(u,u). Comme on a supposd H sdparable il est facil de voir qu'il existe des mesures m qui dominent toutes les mesures d' energie.

Pour une mesure m > 0 sur X, soit m = ml + m 2 sa d6composition en mesures dtrang~res, relativement k la bande At engendrde par les mesures localement con- trSlables, avec rn2 2_ J~.

T h d o r ~ m e 9 : 1) Si la forme ao est ]ermable dans L 2 (m), elle est encore fermable dans L2(ml) . 2) Si rn I > 0 est une mesure bornde qui domine routes les mesures d'energie #u, u e H, alors a est fermable dans L2(mt).

R e m a r q u e s . Une bonne part ie des rdsultats ddcrits dans cet article sont encore valables lorsqu'on remplace 1' espace H par un espace vectoriel rdticul6 abstredt en utilisant une reprdsentation spectra]e de H, ou, d a m certains cas, des m6thodes de compactification. Au lieu de supposer H rdticul6, stable par tes contractions, on peut se limiter ~ ta stabilit6 pour 1' action de contractions assez r6guli~res de classe C °o ou C t, comme dans [4].

F'ERMABILITI~ DES FORMES DE DIRICHLKr 413

R e f e r e n c e s

1. Beuerling A., Deny J.: 1958, 'Espace de Dirichlet', Acta Math.99 2. Deny J.: 1970, 'M6thodes hilbertiennes et theorie du Potentiel', in Potential Theory, CIME,

Ed. Cremonese, pp.121-202. 3. Fllkushima M.: 1980, DirichIet Forms and Markov Processes, North Holland Math. Lib.,

North Holland, Amsterdam 4. Fukushima M., Sato K., Taniguchi S.: 1991, 'On the closable part of pre-Dirichlet forms and

fine supports of underlying measures', Osaka J. Math.28 5. Mokobodzki G.: 'Alg~bre des multiplicateurs d' un espace de Dirichlet', d para~tre 6. Silverstein M.L.: 1974, Symmetric Markov procezses, Lec. Notes in Math. 426, Springer Vet-

lag, Berlin-Heidelberg-New York.