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Fiches de synthèses des connaissancesde mathématiques au collège :
Fiches de géométrie :
G 01 : Vocabulaire et objets usuels de géométrie.G 02 : Cercles et disques.G 03 : Angles.G 04 : Droites parallèles et perpendiculaires.G 05 : Droites remarquables.G 10 : Triangles, triangles particuliers.G 20 : Quadrilatères particuliers.G 30 : Aires et unités.G 40 : Solides particuliers.G 41 : Volumes et unités.G 42 : Section de solides.G 51 : Théorème de Pythagore et réciproque.G 52 : Triangles, milieux et parallèles.G 53 : Trigonométrie.G 54 : Triangle rectangle et cercle circonscrit.G 55 : Distance d'un point à une droite – Bissectrice - tangente.G 70 : Symétries.Formulaire des propriétés et théorèmes de géométrie.
Fiches de calcul numérique :
N 01 : Lecture et écriture des nombres.N 02 : Comparer et ranger des nombres – valeurs approchées.N 03 : Opérations.N 04 : Priorités opératoires et parenthèses.N 05 : Écriture fractionnaire.N 06 : Les nombres relatifs.N 07 : Les racines carrées.N 10 : Calcul littéral.N 20 : Puissances d'un nombre décimal.N 30 : Équations.N 31 : Ordre et inéquations.N 40 : Proportionnalité.N 41 : Application de la proportionnalité : distance et vitesse.N 42 : Application de la proportionnalité : échelle.N 43 : Application de la proportionnalité : pourcentages.N 50 : Coordonnées dans un repère du plan.
Fiches de gestion de données :
F 01 : Fonctions.F 02 : Statistiques.F 03 : Probabilités.
B
A
B
Ax
y (d)
A
A B
x
G 01 Vocabulaire et objets usuels de géométrie
I- DESSIN ET NOTATION D’UNE DROITE
La droite passant par les points A et B droite (xy) droite (d)se note : (AB)
II- DESSIN ET NOTATION D’UNE DEMI-DROITE
La demi-droite partant du point A et passant par le point B demi-droite [Ax)se note : [AB)
Le point A est l’origine de la demi-droite .
III- DESSIN ET NOTATION D’UN SEGMENT
A
Le segment de droite reliant le point A au point B se note [AB].Les points A et B sont les extrémités du segment.
IV- REMARQUES
• Par un point il passe une infinité de droites.
• Par deux points distincts, il passe une droite et une seule.
• Trois points sont alignés s’ils appartiennent à une même droite.
A ∈ (d)B ∈ (d) donc A, B et C sont alignés C ∈ (d)
(d)
A
B
C
V- DROITES SECANTES
• Deux droites sont sécantes si elles ont un point commun.
• O est le point d’intersection des deux droites.
VI- DROITES PERPENDICULAIRES
Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit.
On note : (d1) ⊥ (d2)
VII- DROITES PARALLELES
Deux droites qui ne sont pas sécantes sont parallèles.
(d1) et (d2) sont parallèles. (d) et (AB) sont confondues.On note : (d1) // (d2) (d) ⁄⁄ (AB)
VIII- LONGUEUR D’UN SEGMENT
La longueur du segment [AB] est 6,5 cm.
On écrit : AB = 6,5 cmOn lit : longueur du segment [AB] est 6,5 cm.
ou la distance du point A au point B est 6,5 cm.
IX- SEGMENTS SUPERPOSABLES
Les segments [CD] et [EF] ont la même longueur.On dit : [CD] et [EF] sont superposables.On écrit : CD = EF.
On le code sur le dessin par un signe identique sur les deux segments.
X- MILIEU D’UN SEGMENT
Milieu du segment [AB]
Le milieu d’un segment est le point de ce segment situé à égale distance des extrémités de ce segment.
I est le milieu du segment [AB] veut dire : IA = IB et I ∈ [AB]
A
BI
O
(d1) (d
2)
(d1) (d
2)
(d)
A
B
A
B
C
DE
F
G 2 CERCLES ET DISQUES
I- VOCABULAIRE
Le point O est le centre du cercle (ou du disque).
Les segments [OM], [OA], [OB],….sont des rayons du cercle (ou du disque).
Le segment [AB] est un diamètre du cercle (ou du disque).
Les points A et B sont diamétralement opposés ( ce sont les extrémités d’un diamètre).
Le segment [CD] est une corde du cercle.
II- DEFINITIONS
a) Cercle
Tous les points situés à 2 cm du point fixe O sont sur le cercle de centre O et de rayon 2 cm.
Notation : C( O ; 2 cm).
b) Disque
Tous les points situés à une distance inférieure ou égale à 2 cm du point O sont sur le disque de centre O et de rayon 2 cm.
Notation : D ( O ; 2 cm).
c) Longueur du cercle
Longueur du cercle = 2 x π x R où π ≈ 3,14
ou = π x D (valeur approchée)et D : diamètreet R : rayon
Exemple:Calculer la longueur d’un cercle de 5 cm de rayon.
Longueur = 2 x π x 5 = 10 π cm valeur exacte ≈ 31,4 cm valeur arrondie au dixième
d) Aire du disque
Aire du disque = R x R x π = R² x π = π R² où R : rayon
Exemple:Calculer l’aire d’un disque de 5 cm de rayon.
Aire = 5 x 5 x π = 25 π cm² valeur exacte ≈ 78,5 cm² valeur arrondie à 0,1 près
O
MA
D
O
B
C
O
O
O
G 03 ANGLES
I. NOTION D’ANGLE
L’angle xOy a pour sommet O et pour côtés [Ox) et [Oy).
II. DIFFERENTS ANGLES
Angle aigu : 0° < uAv < 90° Angle droit : uAv=90 °
Angle obtus : 90° < uAv < 180° Angle plat : uAv=180 °
III. ANGLES ADJACENTS
Définition : Deux angles sont adjacents s’ils ont le même sommet et un côté commun et s’ils sont situés de part et d’autre de ce côté commun.
Les angles uAx et xAv sont adjacents.
x
y
IV. Utilisation du rapporteur
Définitions On peut mesurer « l'ouverture » d'un angle. L'unité que l'on utilise au collège est le degré. L'instrument qui permet de mesurer des angles est le rapporteur.
Remarque : Un rapporteur gradué en degrés a souvent une double graduation qui va de 0 à 180 degrés et qui est source de nombreuses erreurs. Il conviendra donc de bien observer si l'angle qu'on étudie est aigu ou obtus.
Exemple 1 : Donne la mesure de l'angle CAB.
On veut mesurer l'angle CAB.
On place le centre du rapporteur sur le sommet de l'angle.
On place un zéro du rapporteur sur le côté [AC). La mesure de l'angle est donnée par l'autre côté de l'angle sur la même échelle de graduation.
Exemple 2 : Construis un angle BUT tel que BUT 108°.
On trace d'abord une demi-droite [UB).
On place le centre du rapporteur sur le point U. On place un zéro du rapporteur sur le côté [UB).
On marque, d'un petit trait-repère, 108°. On trace la demi-droite d'origine U passant par le trait-repère. On place un point T sur cette demi-droite.
V. ANGLES COMPLEMENTAIRES , ANGLES SUPPLEMENTAIRES
Angles complémentaires : Angles supplémentaires :
xAy et yAz sont complémentaires. xAy et yAz sont supplémentaires.Leur somme est l’angle droit : 90° Leur somme est l’angle plat : 180°xAyyAv=90° xAyyAv=180 °
CA
B
CA
B
centre A
B
C
On lit sur la même graduation : 44°.
0 de la graduation extérieure
UB B Ucentre UB
0 de la graduation intérieure
On lit 108° sur la même graduation, on affine avec l'autre graduation.
T
VI. ANGLES OPPOSES PAR LE SOMMET
xAu et yAv sont opposés par le sommet.
Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
xAu = yAv
VII. ANGLES ALTERNES INTERNES , ANGLES CORRESPONDANTS
Angles alternes-internes : Angles correspondants :
Les angles a et b sont alternes internes. Les angles a et b sont correspondants.
VIII. ANGLES et DROITES PARALLELES
Propriétés : 1) Si deux droites sont parallèles, alors elles forment avec une sécante des angles alternes internes égaux.2) Si deux droites sont parallèles, alors elles forment avec une sécante des angles correspondants égaux.
Si (d) // (d') alors :
1) b=c angles alternes-internes égaux.
2) a=c angles correspondants égaux.
Propriétés réciproques : 1) Si deux droites forment avec une sécante deux angles alternes internes égaux, alors ces deux droites sont parallèles. 2) Si deux droites forment avec une sécante deux angles correspondants égaux, alors ces deux droites sont parallèles.
1) Si b=c , alors (d) // (d') (angles alternes-internes égaux).
2) Si a=c , alors (d) // (d') (angles correspondants égaux).
G 4 DROITES PARALLELES ET DROITESPERPENDICULAIRES
Propriété 1 (6ème)
Si deux droites sont parallèles,alors toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre.
Si (d1) // (d2) et
si (∆) // (d1)
Propriété2 (6ème)
Si deux droites sont parallèles,alors toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
Si (d1) // (d2) et
Si (∆) (d1)
Propriété 3 (6ème)
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite,alors ces deux droites sont parallèles entre elles.
Si (d1) (∆) et
si (d2) (∆)
(d2)
(d1)
(∆)
alors (d1) // (d2).
(∆)
(d1)
(d2)
alors (∆) // (d2).
(d1)
(d2)
(∆)
(d1) // (d2)
alors (∆) (d2)
G 5 Droites remarquables
Partie 6ème :
I- Médiatrice :
a) Définition :
• La médiatrice d’un segment [AB] est la droite qui est perpendiculaire à la droite (AB) et qui passe par le milieu du segment [AB].
Si (d) médiatrice de [AB], alors (d) ⊥ (AB) et
I milieu de [AB]
• La médiatrice d’un segment [AB] est l’axe de symétrie du segment [AB].
• Si (d) médiatrice de [AB], alors A et B sont symétriques par rapport à (d).
b) Propriétés
Si un point est sur la médiatrice d’un segment,
alors il est équidistant des extrémités du segment.
Données
(d) médiatrice de [AB]
M ∈ (d)
Conclusion
MA = MB
Si un point est équidistant des extrémités d’un
segment, alors il est sur la médiatrice de ce segment.
Données
MA = MB
Conclusion
M appartient à la
médiatrice de [AB].
II- Bissectrice :
Définition :
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure.
Remarque :
La bissectrice d'un angle est l'axe de symétrie de cet angle.
A
B
M
(d)
M
A B
B (d)
AI
Partie 5ème :
I- Médiatrice :
Cercle circonscrit :
• Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes.
• Leur point de concours est équidistant des sommets du triangle.
• Ce point est le centre du cercle circonscrit au triangle ( Cercle qui passe par les trois sommets du
triangle ).
II- Hauteur :
a) Définition :
Une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce
sommet.
On dit que : (AH) est la hauteur issue du sommet A ou que (AH) est la hauteur relative au côté [BC].
H est le pied de la hauteur.
b) Propriétés :
Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point H appelé : l’orthocentre du triangle.
B
B C
Ahauteur
H
A
C
hauteur
A
B
P
N
M
H
B M
A
P N
H
H
III- Médiane :
a) Définition :
Une médiane d’un triangle est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce
sommet.
b) Propriétés :
G : centre de gravité
• Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en
un point G appelé : centre de gravité du triangle.
• Le centre de gravité est situé aux deux tiers de chaque
médiane en partant de son sommet :
AG = 3
2 AA’ BG =
3
2 BB’ CG =
3
2 CC’
Partie 4ème :
Bissectrice :
Propriétés :
• Si un point est sur la bissectrice d’un angle, alors il est équidistant des côtés de l'angle.
• Si un point est équidistant des côtés d’un angle, alors il est sur la bissectrice de cet angle.
Cercle inscrit :
• Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes.
• Leur point de concours est équidistant des côtés du triangle.
• Ce point est le centre du cercle inscrit dans le triangle ( Cercle qui est tangent aux trois côtés ).
A
B
C
C’
B’
A’
G
A
B CM
m é d i a n e
G 10 TRIANGLES, TRIANGLES PARTICULIERS
PARTIE 6ème
I. TRIANGLE RECTANGLE
Définition : Un triangle rectangle est un triangle dont deux côtés sont perpendiculaires.
II. TRIANGLE ISOCELE
Définition: Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur.
Si ABC triangle isocèle de sommet A alors AB = AC
Propriétés :
♦ Tout triangle isocèle a un axe de symétrie : la médiatrice de sa base.
♦ Cette droite est aussi bissectrice de l’angle au sommet
♦ Dans un triangle isocèle les angles à la base sont égaux
Si NOE triangle isocèle de sommet N alors OE =
B C
E O
N
s a y x m e é t d r e i e
Sommet principal
Si ABC triangle rectangle en A, alors A = 90° ou (AB) ⊥ (AC)
B
A C
hypoténuse
A
Base
III. TRIANGLE RECTANGLE ISOCELE
Définition : Si un triangle est rectangle et isocèle alors chaque angle à la base mesure 45°.
45°Si NOE triangle rectangle en N et isocèle alors OE = = 45°
IV. TRIANGLE EQUILATERAL
Définition : Un triangle équilatéral est un triangle qui a trois côtés de même longueur.
Si ABC triangle équilatéral Alors CBA == = 60°
Propriétés :
* Tout triangle équilatéral a trois axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés.* Tout triangle équilatéral est aussi isocèle .* Les angles d’un triangle équilatéral sont égaux à 60°.* Si un triangle isocèle a un angle de 60° alors ce triangle est équilatéral .
Propriétés :
* Dans un triangle équilatéral , les axes de symétrie sont aussi : hauteurs, médianes, bissectrices et médiatrices du triangle.
* Leur point de concours est : orthocentre, centre de gravité, centre du cercle inscrit et centre du cercle circonscrit.
O
N E
45°
CC
A
B
A
B
a
bc
Partie 5ème
I. INEGALITE TRIANGULAIRE
Dans un triangle :
a < b + c
b < a + c
c < b + a
Propriété : Dans un triangle la longueur d’un côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres.
Cette relation est appelée inégalité triangulaireL’égalité n’a lieu que si les trois points sont alignés
II . SOMME DES MESURES DES ANGLES D'UN TRIANGLE.
Propriété : La somme des mesures des angles d'un triangle est toujours égale à 180°.
Exemple : Soit ABC un triangle tel que : A=30 ° et B=50 ° . Calculons la mesure de C .
Dans le triangle ABC, on sait que A=30 ° et B=50 ° .Or, la somme des mesures des angles d'un triangle est toujours égale à 180°.
Donc ABC=180 °
Donc 30 °50 °C=180 °
Donc C=100 °
Donc C a une mesure égale à 100°
G 20 Les quadrilatères particuliers
Partie 1 : le parallélogramme
I. Définition du parallélogrammeDéfinition :Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
ABCD est un parallélogramme : (AB)//(CD) et (AD)//(BC)
II. Propriétés du parallélogramme
1. Centre de symétrie
Propriété :Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors le point d'intersection des diagonalesest son centre de symétrie.
données : ABCD parallélogramme conclusion : O centre de symétrie de ABCD
2. Diagonales
Propriété :Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu.
données : ABCD parallélogramme conclusion : O milieu de [AC] et O milieu de [BD]
AB
CD
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
3. Angles opposés
Propriété :Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont la même mesure.
données : ABCD parallélogramme conclusion : A=C et B=D
4. côtés opposés
Propriété :Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur.
données : ABCD parallélogramme conclusion : AB = CD et AD = BC
III. Comment démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme ?
Propriété :Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme.
données : O milieu de [AC] et O milieu de [BD] conclusion : ABCD parallélogramme
Propriété :Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux,alors c'est un parallélogramme.
données : (AB)//(CD) et (AD)//(BC) conclusion : ABCD parallélogramme
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
O
AB
CD
Propriété :Si un quadrilatère a ses angles opposés de même mesure, alors c'est un parallélogramme.
données : A=C et B=Dconclusion : ABCD parallélogramme
Propriété :Si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur,alors c'est un parallélogramme.
données : AB = CD et AD = BC conclusion : ABCD parallélogramme
IV. Aire du parallélogramme
L'aire A d'un parallélogramme est égale au produit d'un côté par la hauteur relative à ce côté : A = b x h
A
B
C
D
b
h
A
B
C
D
A
B
C
D
A
D C
B
Partie 2 : les parallélogrammes particuliers
I Le rectangle1) Définition Un rectangle est un quadrilatère avec trois angles droits.
ABCD est un rectangle.
Remarque : Si un quadrilatère a 3 angles droit alors il en a 4.
2) Propriétés du rectangle.
P1 : Si un quadrilatère est un rectangle alors c'est unparallélogramme.( Il a donc toutes les propriétés duparallélogramme )
P2 : Si un quadrilatère est un rectangle alors les diagonales ontla même mesure.
3) Comment démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle.
1 ère Méthode : en utilisant la définition. On explique pourquoi le quadrilatère possède trois angles droits.
2 ème Méthode : En utilisant une propriété.On démontre tout d'abord que le quadrilatère est un parallélogramme puis on utilise une des propriétéssuivantes :P’1 : Si un parallélogramme possède un angle droit alors c'est un rectangle.P’2 : Si un parallélogramme possède des diagonales de même mesure alors c'est un rectangle.
II Le losange1) Définition
Un losange est un quadrilatère ayant ses côtés de même mesure.
ABCD est un losange.
2) Propriétés du losang e
P1 : Si un quadrilatère est un losange alors c'est un parallélogramme.( Il a donc toutes les propriétés du parallélogramme )P2 : Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales sont perpendiculaires.
A
B
C
D
A
D C
B
O
A
B
C
D O
3) Comment démontrer qu’un quadrilatère est un losange.
1 ère Méthode : En utilisant la définition.On explique pourquoi le quadrilatère à quatre côtés de même mesure.
2 ème Méthode : En utilisant une propriété.On démontre tout d'abord que le quadrilatère est un parallélogramme puis on utilise une des propriétéssuivantes :P’1 : Si un parallélogramme possède deux côtés consécutifs de même mesure alors c'est un losange.P’2 : Si un parallélogramme possède des diagonales perpendiculaires alors c'est un losange.
III Le carré1) Définition Un carré est à la fois un rectangle et un losange.
ABCD est un carré
2) Propriétés du carré.
O
C
BA
D
Le carré possède toutes les propriétés du parallélogramme, toutes les propriétés du rectangle, toutes les propriétés du losange.
3) Comment démontrer qu’un quadrilatère est un carré. On démontre que le quadrilatère est tout d'abord, par exemple, un rectangle puis on démontre que le quadrilatère est un losange.
D C
BA
G 30 LES AIRES
I Définitions :
• La surface d'une figure est ce que l'on peut balayer de la paume de la main.L'aire d'une figure est la mesure de la place occupée par sa surface dans une unité choisie.
• Le contour d'une figure est la ligne que l'on peut suivre avec le doigt.Le périmètre d'une figure est la mesure de son contour dans une unité choisie.
II Comparer des aires
1. Égalité Définition : Deux figures ont la même aire si en découpant une des figures on peut reconstituer l'autre exactement.
Un carré et un rectangle de même aire.
Un triangle isocèle et un rectangle de même aire.
2. Transformer l'aire d'une figure en celle d'un rectangle Théorème : Tous les triangles et quadrilatères qui ont un axe de symétrie peuvent se transformer par découpage en un rectangle de même aire.
Un cerf-volant et un rectangle de même aire.
3. Inégalité Définition : Une figure a une aire plus petite qu'une autre si on peut la placer à l'intérieur de l'autre en bloc ou en morceaux, sans faire chevaucher les morceaux.
Le rectangle a une aire plus petite que le cercle.
III Mesurer une aire
1. Principe Définition : Mesurer une aire, c'est la comparer à l'aire d'une figure choisie pour unité.Une des figures les plus simples à utiliser est le carré : c'est celle que l'on utilise aujourd'hui.
• L'unité de base est un carré de 1 m de côté appelé le mètre carré et noté m².• Pour la superficie des pays, on utilise un carré de 1 km de côté appelé le kilomètre carré et noté km².• Pour les aires des figures sur une feuille, on utilise un carré de 1 cm de côté appelé le centimètre carré et noté cm².
2. Méthode Pour trouver la mesure de l'aire d'une figure, il faut savoir combien de carreaux unités peuvent la recouvrir, sans se chevaucher, avec la possibilité d'en découper.
• Une méthode commode est d'utiliser un quadrillage transparent fait avec l'unité.• Pour améliorer la précision, on utilise un quadrillage plus fin.
IV Calculer une aire
Rectangle (6ème)
Aire = largeur x LongueurPérimètre=2x(l+L) = 2xl +2xL
Carré (6ème)
Aire = côté x côtéPérimètre = 4 x côté
Triangle rectangle (6ème)
Aire = l x L : 2
Triangle quelconque (5ème)
Aire = c×h
2
Parallélogramme (5ème)
Aire = c x h
Disque (5ème)
Aire = π x rayon x rayonPérimètre = π x diamètre ou = 2 x π x rayon
L
côté
L
ll
h
cc
h
Unités agraires
V Les unités d'aires
Système métriqueUn mètre carré ( 1 m² ) est l’aire d’un carré de 1 m de côté
km² hm² dam² m² dm² cm² mm²ha a ca
Changements d’unité
Pour passer d’une unité à l’unité immédiatement inférieure (exemple du cm² au mm²),on multiplie la mesure de l’aire par 100.
aireen km²
aireen hm²
aireen dam²
aireen m²
aireen dm²
aireen cm²
aireen mm²
: 100 : 100 : 100 : 100 : 100
x 100 x 100x 100x 100 x 100x 100
: 100
G 40 SOLIDES PARTICULIERS
Partie 6ème
PARALLÉLÉPIPÈDE RECTANGLE
Un parallélépipède rectangle ou pavé droit est un solide dont les six faces sont des rectangles.
Cas particulier : Un cube est un pavé droit dont six faces sont des carrés.
On les représente souvent en perspective cavalière :•les faces avant et arrière sont représentées par des rectangles ;•les autres faces sont représentées par des parallélogrammes ;•Les arêtes cachées sont en pointillés.
Attention : certaines longueur et certains angles ne sont pas en vraie grandeur !
Le volume d’un pavé droit est donné par la formule :
Exemple :
Un pavé droit de dimensions 5 cm , 7 cm et 2 cm a un volume de 70 cm3.
Remarque : Attention, les trois longueurs doivent être exprimées dans la même unité de longueur.
Exemple de pavé droit et un patron :
Pavé droit Patron
Cube
hLlV ××=
largeur longueur
hauteur
Un sommet Une arête
Une face
Pavé droit
h
l
L
V =5×7×2=70
Partie 5ème
PRISME DROIT
Un prisme droit est un solide qui a deux faces polygonales superposables (les bases) et dont les autres faces sont des rectangles.
Exemple :
Propriétés :Dans un prisme droit :Les deux bases sont parallèles.Les arêtes latérales ont même longueur ; cette longueur s’appelle la hauteur du prisme.Les arêtes latérales sont parallèles entre elles et perpendiculaires aux bases.
Remarque : les pavés droits sont des exemples de prismes droits.
En perspective cavalière , on peut les représenter posés sur une base ou sur une face latérale:
Patron d’un prisme droit (exemple d’un prisme à base triangulaire) :
hauteur
bases
Une face latérale
Une arête latérale
PatronPrisme en perspective
545
5
5
5
7
4
4
4
4
3,5
7
3,5
7
3,5
3
CYLINDRE DE RÉVOLUTION
Un cylindre de révolution est le solide décrit par un rectangle qui tourne autour d’un de ses côtés. Sesdeux bases sont des disques de même rayon.
Exemple :
AIRE ET VOLUME DE PRISMES ET DE CYLINDRES
•Le volume d’un prisme droit ou d’un cylindre est donné par la formule :V = Aire de la base* x hauteur* * du prisme ou du cylindre
Exemples :
Le prisme triangulaire du paragraphe précédent a un volume V de 36,75 cm3:
V = Aire de la base (triangle) x hauteur = 3×7
2×3,5 = 36,75 cm3
Un cylindre de 10 cm de hauteur et 4 cm de rayon a un volume V de 503 cm3:V = Aire de la base (disque) x hauteur = ×42
×10 = 503 cm3
•L’aire latérale d’un prisme droit ou d’un cylindre est donné par la formule :A = Périmètre de la base* x hauteur* * du prisme ou du cylindre
Exemples :
Le prisme triangulaire du paragraphe précédent a une aire latérale A de 56 cm 2 :A = Périmètre de la base (triangle) x hauteur = (4 + 5 + 7) x 3,5 = 56 cm2
Un cylindre de 10 cm de hauteur et 4 cm de rayon a une aire latérale A de 251 cm 2 :A = Périmètre de la base (disque) x hauteur = (2 x π x 4) x 10 = 251 cm2
•L’aire totale (aire de l’ensemble des faces) d’un prisme droit ou d’un cylindre est donné par la formule :Aire totale = Aire latérale + 2 x Aire de la base* *du prisme ou du cylindre
Exemples :
Le prisme triangulaire du paragraphe précédent a une aire totale de 77 cm 2 :Aire totale = Aire latérale + 2 x Aire de la base = 56 + 2 x 10,5 = 56 + 21 = 77 cm2
Un cylindre de 10 cm de hauteur et 4 cm de rayon a une aire totale de 1257 cm 2 :Aire totale = Aire latérale + 2 x Aire de la base = 251 + 2 x 503 = 1257cm2
Remarque : Ces formules apparaissent clairement en observant le patron.
hauteur
rayon
Axe de révolution
rπ2
r
Patron
hauteur
Partie 4èmeI- Les pyramides
A – Définitions et perspective Définitions Une pyramide est un solide dont :• une face est un polygone appelée la base de la pyramide ;• les autres faces, appelées faces latérales, sont des triangles qui ont un sommet commun,
appelé le sommet de la pyramide.La hauteur d'une pyramide est le segment issu de son sommet et perpendiculaire à la base.Une arête latérale est un segment joignant les sommets de la base au sommet de la pyramide.
Exemple :
• Le sommet de cette pyramide est le point S.
• La base de cette pyramide est le pentagone ABCDE.
• Les faces latérales sont les triangles : SAB, SBC, SCD, SDE, SEA.
• Les arêtes latérales sont les segments : [AS], [BS], [CS], [DS], [ES].
• La hauteur de la pyramide est le segment [OS].
Définition Une pyramide régulière est une pyramide dont la base est un polygone régulier (par exemple un triangle équilatéral ou un carré) et dont les faceslatérales sont des triangles isocèles superposables.
Remarques :
• Une pyramide régulière à base triangulaire s'appelle un tétraèdre. C'est un solide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux superposables.
• La hauteur d'une pyramide régulière passe par le centre de la base qui est le point de concours des diagonales.
B – Patron
Exemple : Dessine le patron d'une pyramide dont la base est un rectangle de longueur 9 cm et de largeur 6 cm et dont chaque arête latérale mesure7 cm.
On trace le rectangle de longueur 9 cm et delargeur 6 cm.
On trace des arcs de cercle, de centre lessommets du rectangle et de rayon 7 cm.
On trace les 4 triangles isocèles formant lesfaces latérales de la pyramide.
C – Volume
Pour calculer le volume d'une pyramide ou d'un cône de révolution, on calcule le tiers du produit de l'aire de la base par la hauteur : V = Aire de la base × Hauteur
3
Exemple : Calcule le volume d'une pyramide de hauteur 2,50 m ayant pour base un losange de diagonales 4 m et4,20 m.
A =D × d
2=
4,2 × 42
= 8,4 m2 On calcule l'aire de la base : c'est un losange.
V =Aire de la base× Hauteur
3 =8,4 × 2,5
3= 7 m3 On écrit la formule du volume d'une
pyramide.
Donc le volume de la pyramide est 7 m3.
E
BC
D
O
S
A
9 cm
6 c
m
hauteur
rayon
Axe de révolution
Sommet
A
O
S
I I- Les cône de révolution
Description :
Un cône de révolution est un solide composé:•d’une base en forme de disque ;•d’un sommet situé sur la perpendiculaire au disque de base, passant par soncentre ;•d’une seule face latérale non plane.
Définition et vocabulaire :
Définition : Un cône de révolution est le solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d’un des côtés de l’angle droit :
-S est appelé sommet ;-[SO] est la hauteur du cône (SO est la mesure de la hauteur) ;-OA est le rayon de la base du cône.
Remarque : La droite qui passe par le sommet et le centre du disque estperpendiculaire à la base.
Patron :
Volume :
Le volume d’un cône de révolution de rayon de base R et de hauteur h est : V=π×R2
×h3
.
Attention : doit mesurer 2πR
A
A
O
S
base
Surface latérale
R
A
S
O
R
O
Plan
A
Partie 3ème
SPHÈRE ET BOULE
Représentation et vocabulaire :
-Tous les points de la sphère sont situés à égale distance d’un point appelécentre de la sphère. Cette distance est le rayon de la sphère.
-On appelle grand cercle de la sphère un cercle dont le centre et le rayonsont celui de la sphère. Il y a une infinité de grands cercles.
-Une boule est constituée d’une sphère et de l’intérieur de cette sphère.
Aire et volume :
Exemple : Calculer l’aire d’une sphère et le volume d’une boule de 10 cm de rayon.
A = 4 x π x 102 = 4 x 3,14 x 100 = 1256 cm2
V = 43××103
= 43
x 3,14 x 1000 = 4189 cm3
Section d’une sphère par un plan
On distingue trois cas :-Si la distance d entre le plan et le centre de lasphère est inférieure au rayon de la sphère, alors lasection de la sphère par le plan est un cercle (cellede la boule est un disque).
Connaissant la distance d et le rayon de la sphère,on peut calculer le rayon de la section :
Exemple : Calculer le rayon de la section d’unesphère de 10 cm de rayon par un plan distant de 8cm du centre de la sphère.
On utilise le théorème de PYTHAGORE :R2 = d2 + r2
102 = 82 + r2
donc r2 = 102 – 82 = 36donc r = 6 cm
-Si la distance d entre le plan et le centre de la sphère est égale au rayon de la sphère (OA = R), alors le plan esttangent à la sphère ; ils ont un seul point de contact A.
-Si la distance d entre le plan et le centre de la sphère est supérieure au rayon de la sphère , alors le plan et lasphère n’ont aucun point commun.
R
R
d
r
O
Plan
Aire de la sphère : 4 π R2
Volume de la boule : 43
π R3
Sphère terrestre :
La Terre peut être assimilée à une sphère de rayonR = 6400 km.Les méridiens sont des grands cercles qui contiennent l’axe (NS) de rotation.Les parallèles sont repérés par l’angle de latitude (Nord ou Sud).On peut calculer le rayon d’un parallèle à partir deson angle de latitude :
Exemple : rayon du parallèle 45°
angle de latitude = OAO ' = 45° (angles alternes-internes)on a : cos 45 ° ≈0,707 ,donc O’A = 6400 x cos 45° O'A = 6400 x 0,707 = 4525 km
R
R
d
r
O
O’A
N
S
Axe de rotation
Angle de latitude
Méridiens
Parallèles
Equateur
a
b
G 41 VOLUMES - UNITES DE VOLUMES
UNITES DE VOLUMES
Système métriqueUn mètre cube ( 1 m3 ) est le volume d’un cube de 1 m de côté.
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
L dL cL mL
Changements d’unité
Pour passer d’une unité à l’unité immédiatement inférieure( exemple du cm3 au mm3 ), on multiplie la mesure du volume par 1000.
volumeen km3
volumeen hm3
volumeen dam3
volumeen m3
volumeen dm3
volumeen cm3
volumeen mm3
VOLUMES DE QUELQUES SOLIDES
Pavé droit
Volume = a x b x c
Cube
Volume = a x a x a = a3
Prisme droit
Volume = B x h
Cylindre
Volume = π R² x h
Pyramide
Volume =13×B×h
Cône
Volume =13× ×R²×h
B : aire de la base.
h : hauteur.
c
h
B
R
h
B
h
R
x 1000x 1000 x 1000 x 1000 x 1000
: 1000
x 1000
: 1000 : 1000 : 1000 : 1000 : 1000
a
aa
h
G 42 SECTIONS DE SOLIDES
I. Section d’un pavé droit
La section d’un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle identique à cette face.
Exemple : Le plan est parallèle aux faces AEHD et BFGC.
La section IJKL est donc un rectangle.
La section d’un pavé droit par un plan parallèle à une arête est un rectangle.
Exemple : Le plan est parallèle aux arêtes [AD], [BC],[EH] et [FG].
La section IJKL est donc un rectangle.
II. Section d’un cylindre de révolution
La section d’un cylindre de rayon R par un plan parallèle aux bases est un cercle de rayon R.
Exemple :
Le plan est parallèle aux bases.
La section est donc un cercle de rayon R.
La section d’un cylindre par un plan parallèle à l’axede révolution est un rectangle.
Exemple :
Le plan est parallèle à l’axe derévolution.
La section est donc un rectangle.
III. Section d’une pyramide ou d’un cône de révolution
La section d’une pyramide ou d’un cône de révolution par un plan parallèle à la base est une réduction de la base.
Cela signifie que c’est une figure de même nature (rectangle, carré, cercle…) mais dont les longueurs sontproportionnelles à la base.
Exemple : pyramide
Le plan est parallèle à la base ABCDEF.
La section HIJKLM est donc une réduction de l’hexagone ABCDEF.
Le coefficient de réduction est : GHGA
Exemple : Cône de révolution
Le plan est parallèle à la base.
La section est donc un cercle.
Ce cercle est une réduction de la base du cône.
Le coefficient de réduction est : SO 'SO
IV. Section d’une sphère par un plan (3ème)
La section d’une sphère par un plan est un cercle.
Remarque :
Quand le plan passe par le centre O (Plan P2), le cercle a le
même rayon que la sphère : c’est un grand cercle de la sphère.
Cas particulier : pas de point d’intersection
Si la distance entre le centre de la sphère et le plan est supérieure au rayon de la sphère, alors la sphère et le plan n’ont pas de point d’intersection.
Cas particulier : un seul point d’intersection
Si la distance entre le centre de la sphère et le plan est égale au rayon de la sphère, alors la sphère et le plan ont un seul point d’intersection.
G 51 LE TRIANGLE RECTANGLE
I - Cercle et triangle rectangle
1)Pour démontrer qu'un point est sur un cercle
Théorème Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre sonhypoténuse.
Remarque :Voici une autre manière d'énoncer ce théorème : « Si un triangle est rectangle, alors ilest inscrit dans un cercle de diamètre son hypoténuse. »
Exemple :
2)Longueur de la médiane
Théorème Si un triangle est rectangle, alors la médiane issue du sommet de l'angle droita pour longueur la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
Exemple :
3)Pour démontrer qu'un triangle est rectangle
Théorème Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés, alors il est rectangle et admet ce diamètre pour hypoténuse.
Exemple :
Si ABC est un triangle rectangle en A alors A, B et C sont sur
le cercle de diamètre [BC]
C
B
A
A
B
C
OSi ABC triangle rectangle en A et [AO] médiane
alors AO = 12
BC.
Si un point M appartient au cercle de diamètre [AB]
alors le triangle MAB est rectangle en M. B
A
M
c
Théorème Si, dans un triangle, la longueur de la médiane relative à un côté est égale à lamoitié de la longueur de ce côté, alors ce triangle est rectangle et admet cecôté pour hypoténuse.
Exemple :
II - Théorème de Pythagore
1)Théorème direct
Théorème
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse estégal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d’un côté connaissant les longueurs des deux autres côtés.
1 er exemple : Calcul de la longueur de l'hypoténuse.
RST est un triangle rectangle en S tel que SR= 15 cm et TS = 8 cm. Calculer lalongueur du côté [TR].Réponse : Dans le triangle RST rectangle en S, la propriété de Pythagore nouspermet d’écrire la relation suivante : TR2 = SR2 + TS2
= 152 + 82
= 225 + 64 = 289 donc : TR = 17
La longueur du côté [TR] est de 17 cm.
Si [AO] est la médiane et AO = 12
BC, alors ABC est
un triangle rectangle en A.
A
B
C
O
A B
C h y p o t è n u s e
Si ABC est un triangle rectangle en A,
alors BC2 = AB2 + AC2.
S
T
R
15 cm
8 cm
?
2 ème exemple : Calcul de la longueur d'un côté de l'angle droit.
MNP est un triangle rectangle en N tel que NP = 8 cm et MP = 20 cm.Calculer la longueur du côté [NM] arrondie à 0,1 cm près.Réponse : Dans le triangle MNP rectangle en N, la propriété de Pythagore nous permet d’écrire la relation suivante : MP2 = NP2 + NM2
NM2 = MP2 – NP2
= 202 – 82
= 400 – 64 = 336 MN ≈ 18,3 cm arrondi au dixième près.
2)Réciproque du théorème de Pythagore
Théorème Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à lasomme des carrés des longueurs des deux autres côtésalors ce triangle est rectangle et admet ce plus grand côté pour hypoténuse.
Exemple :
Soit le triangle ABC tel que : AB = 4 cm ; AC = 3 cm ; BC = 5 cm.
[BC] est le plus long côté, donc on calcule :
BC2 = 52 = 25
AB2 + AC2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25
On compare :
BC2 = AB2 + AC2
On conclut :
d’après la réciproque de Pythagore, le
triangle ABC est rectangle en A.
M
N
P
20 cm8 cm
?
A
B
C
43
5
Le plus grand côté
G 51 TRIANGLES, MILIEUX ET PARALLÈLES
I - Le théorème des milieux
A - Montrer que des droites sont parallèles
Théorème Si, dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés du triangle, alors elle est parallèle autroisième côté.
Exemple : Soit la figure codée ci-dessous. Démontre que la droite (MN) est parallèle à la droite (OL).
Données
Les codages nouspermettent d'affirmer que,dans le triangle BOL, M estle milieu du segment [BO]et N est le milieu dusegment [BL].
Propriété
Si, dans un triangle, unedroite passe par les milieuxde deux côtés alors elle estparallèle au troisième côté.
Conclusion
La droite (MN) est ainsiparallèle au troisième côtédu triangle, donc (MN) estparallèle à (OL).
B - Calculer une longueur connaissant des milieux
Théorème Si, dans un triangle, un segment joint les milieux de deux côtés, alors sa longueur est égale à la moitié de celledu troisième côté.
Exemple : On donne la figure codée ci-dessous. Calcule la longueur JK.
Données
Les codages nouspermettent d'affirmer que,dans le triangle DAN, J et Ksont les milieux respectifsdes côtés [DA] et [DN] etque AN = 7,8 cm.
Propriété
Si, dans un triangle, unsegment joint les milieux dedeux côtés alors salongueur est égale à lamoitié de celle du troisièmecôté.
Conclusion
Le segment [JK] a donc pourlongueur la moitié de celledu troisième côté [AN] :
JK =AN2
=7,82
= 3,9 .
Donc JK = 3,9 cm.
C - Montrer qu'un point est le milieu d'un segment
Théorème Si, dans un triangle, une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle passepar le milieu du troisième côté.
Exemple : Soit TOR un triangle tel que M soit le milieu du côté [RO]. La parallèle à (TR) passant par M coupe le côté[OT] en N. Démontre que N est le milieu du côté [OT].
les droites en vert sontparallèles entre elles
Données
Dans le triangle TOR, onsait que M est le milieudu côté [RO] et que ladroite (MN) est parallèleà la droite (TR).
Propriété
Si, dans un triangle,une droite passe par lemilieu d'un côté et estparallèle à un deuxièmecôté alors elle passe parle milieu du troisièmecôté.
Conclusion
La droite (MN) coupe letroisième côté [OT] dutriangle en son milieu,donc N est le milieu ducôté [OT].
B
O
L
N
M
≈
≈
D
A N
J K
7,8 cm
T
O
R
MN
II - Proportionnalité des longueurs dans le triangle
A - Énoncé
Théorème Si, dans un triangle, une droite est parallèle à l'un des côtés, alors elleforme deux triangles dont les côtés correspondants sont proportionnels.
Théorème Si, dans un triangle ABC, M est un point du segment [AB], N un point du
segment [AC] et les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alorsAMAB
=ANAC
=MNBC
.
Remarques : • On appelle parfois cette propriété la (petite) propriété de Thalès. • Lorsque ce théorème s'applique, le tableau suivant est un tableau de proportionnalité.
Longueurs des côtés du triangle ABC AB AC BC
Longueurs des côtés du triangle AMN AM AN MN
B - Calcul d'une longueur avec des rapports égaux
Exemple 1 : Sur la figure suivante, les droites (OL) et (TE) sont parallèles. O et L appartiennent respectivement auxdemi-droites [HT) et [HL). On donne HE = 5 cm, HL = 2 cm, TE = 7 cm et HO = 3 cm. Calcule les longueurs HT et OL.
Dans le triangle HTE : O ∈ [HT], L ∈ [HE] et (OL) // (TE).
D’après la propriété de proportionnalité des longueurs dans un triangle :
H OH T
=H LH E
=O LT E
soit 3
HT=
25
=OL7
• D'une part, 2 × HT = 3 × 5 soit HT = 3 ×52
= 7,5 donc HT = 7,5 cm.
• D'autre part, 5 × OL = 2 × 7 soit OL = 2 ×75
= 2,8 donc OL = 2,8 cm.
Exemple 2 : Sur la figure suivante, les droites (BC) et (MN) sont parallèles. M et Nappartiennent respectivement aux demi-droites [AB) et [AC). On donne AB = 2 cm,AC = 3 cm, BC = 4 cm et AM = 5 cm. Calcule les longueurs AN et MN.
Dans le triangle AMN : B ∈ [AM], C ∈ [AN] et (BC) // (MN).
D'après la propriété de proportionnalité des longueurs dans un triangle, le tableau suivant est un tableau deproportionnalité. On le remplit avec les valeurs connues (données dans l'énoncé) et on détermine les longueursdemandées en remarquant que AM = 2,5 × AB.
Donc on passe des longueurs des côtés du triangle ABC aux longueurs des côtés du triangle AMN en multipliant par2,5.
Longueurs des côtés du triangle ABC AC = 3 cm AB = 2 cm BC = 4 cm
Longueurs des côtés du triangle AMN AN = 2,5 × 3 cm AM = 5 cm MN = 2,5 × 4 cm
Ainsi, on obtient : AN = 7,5 cm et MN = 10 cm.
A
B C
M N
H
T E
O L
H
T E
O L
7 cm
2 cm 5 cm
3 cm
A
B C
MN
× 2,5
III - Théorème de Thalès
A - Énoncé du théorème
Théorème
Soient deux droites (d) et (d') sécantes en A.B et M sont deux points de (d) distincts de A. C et N sont deux points de (d') distincts de A. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles ou
alorsAMAB
=ANAC
=MNBC
..
B - Calcul d'une longueur
Exemple : Sur la figure ci-contre, les droites (CD) et (HT) sont parallèles.On donne DG = 25 mm ; GH = 45 mm ; CG = 20 mm et HT = 27 mm.Calcule GT et CD..
Les droites (DH) et (CT) sont sécantes en G. Les droites (CD) et (HT) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on aGCGT
=GDGH =
CDHT
, soit 20GT
=2545
=CD27
.
Calcul de GT : 25 × GT = 45 × 20.
GT =45 × 20
25donc GT = 36 mm.
Calcul de CD : 25 × 27 = 45 × CD.
CD =25 × 27
45donc CD = 15 mm.
C - Montrer que deux droites ne sont pas parallèles
Théorème Soient deux droites (d) et (d') sécantes en A.B et M sont deux points de (d) distincts de A. C et N sont deux points de (d') distincts de A.
Si AMAB
≠ANAC
alors les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.
Exemple : Sur la figure ci-contre, TR = 11 cm ; TS = 8 cm ;TM = 15 cm et TE = 10 cm. Montre que les droites (RS) et (ME) ne sont pas parallèles.
Les droites (ES) et (MR) sont sécantes en T.
D'une part,TRTM
=1115
=2230
. D'autre part,TSTE
=8
10=
2430
.
On constate queTRTM
≠TSTE
.
Or, si les droites (RS) et (ME) étaient parallèles, d'après le théorème de Thalès, il y aurait égalité. Comme ce n'est pas le cas, les droites (RS) et (ME) ne sont pas parallèles.
IV - Réciproque du théorème de Thalès
Théorème Soient (d) et (d') deux droites sécantes en A.B et M sont deux points de (d) distincts de A.C et N sont deux points de (d') distincts de A.Si les points A, B, M d'une part et les points A, C, N d'autre part sont alignés dans le même ordre
et siAMAB
=ANAC
alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
CD
TH
G
ME
T
RS
MN
BC
A
(d)
(d')
A
M N
B C
(d) (d')
Exemple : Les droites (LA) et (HT) sont-elles parallèles ?
D'une part,MHMA
=43
. D'autre part,MTML
=86
=43
.
On constate queMHMA
=MTML
. De plus, les points A, M, H d'une part et les points L, M, T d'autre part sont alignés
dans le même ordre. Donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AL) et (HT) sont parallèles.
L
6 3
H
M
A
84
T
G 53 TRIGONOMETRIE
I. TRIANGLE RECTANGLE.
ABC est un triangle rectangle en A.BAC est l’angle droit.
Pour ABC , [AB] est appelé le côté adjacent et [AC] le côté opposé.
Pour ACB , [AC] est appelé le côté adjacent et [AB] le côté opposé.
II. COSINUS, SINUS ET TANGENTE D'UN ANGLE AIGU.
1) Cosinus d’un angle aigu.
Propriété: Dans un triangle rectangle, le quotient du coté adjacent et de l’hypoténuse ne dépend que de l’angle aigu qu’ils forment.On appelle ce quotient le cosinus de l’angle aigu.
Si ABC est un triangle rectangle en A alors : cos(ABC)=côté adjacenthypoténuse
=BABC
2) Sinus d’un angle aigu.
Propriété: Dans un triangle rectangle, le quotient du coté opposé et de l’hypoténuse ne dépend que de l’angle aigu qu’ils forment.On appelle ce quotient le sinus de l’angle aigu.
Si ABC est un triangle rectangle en A alors : sin (ABC)=côté opposéhypoténuse
=ACBC
3) Tangente d’un angle aigu.
Propriété: Dans un triangle rectangle, le quotient du coté opposé et du côté adjacent ne dépend que de l’angle aigu qu’ils forment.On appelle ce quotient la tangente de l’angle aigu.
Si ABC est un triangle rectangle en A alors : tan (ABC)=côté opposécôté adjacent
=ACAB
Remarque : Le cosinus et le sinus de n’importe quel angle aigu sont TOUJOURS compris entre 0 et 1. En effet, l’hypoténuse d’un triangle rectangle est le plus grand côté donc les quotients correspondants au cosinus et au sinus ont un dénominateur plus grand que le numérateur et sont alors inférieurs à 1.
III. RELATIONS TRIGONOMÉTRIQUES.
Propriété : Pour tout angle aigu x, on a : cos2 x+sin2 x=1 et tan x=sin xcos x
G 55 Distance d'un point à une droiteTangente - Bissectrice
I - Distance d'un point à une droite
A - Définition
Définition Soit une droite (d) et un point A n'appartenant pas à (d). La distance du point A à la droite (d) est la longueur AH où H désigne le pied de la perpendiculaire à (d) passant par A.
Remarque :La longueur AH est la plus courte distance entre le point A et tous les points de la droite (d).
Exemple : Soit (d) une droite et A un point n'appartenant pas à (d). Mesure ladistance du point A à la droite (d).
B - Propriété
Théorème L'ensemble des points situés à une même distance d'une droite (d) est défini par deux droites parallèles à (d)situées de part et d'autre de (d).
Exemple : Soit (d) une droite. Construis l'ensemble des points situés à 3 cmde la droite (d).
II - Tangente à un cercle en un point
Définition La tangente à un cercle ( ) de centre O en un point A de ( ) est la droite passant par A et perpendiculaire aurayon [OA].
Remarque :La distance entre le centre d'un cercle et toute tangente à ce cercle est égale au rayon du cercle.
Exemple : Soit ( ) un cercle de centre O et A un point de ce cercle. Trace la droite(∆) tangente au cercle ( ) en A .
H
M(∆)
(d)
M'
3 cm
3 cm
(∆)O
A( )
(d)
A
H
III - Bissectrice d'un angle et cercle inscrit
Théorème • Si un point est situé à la même distance des côtés d'un angle alors il appartient à la bissectrice de cet angle.• Réciproquement, si un point appartient à la bissectrice d'un angle alors il est situé à la même distance des
côtés de cet angle.
Exemple : Soit un triangle ABC. Place à l'intérieur du triangle un point M afin qu'il soit à égale distance des côtés[AB] et [BC].
Le point M doit se situer à égale distance des côtés [AB] et [BC].
Or, si un point est situé à la même distance des côtés d'un angle,alors il appartient à la bissectrice de cet angle.
Donc le point M se situe sur la bissectrice de l'angle ABC formépar les segments [AB] et [BC].
Théorème Les trois bissectrices des angles d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
Remarque : Les trois côtés d'un triangle sont tangents au cercle inscritdans ce triangle.
A
B C
M
M
R
O
K
E
G 70 LES SYMETRIES
La symétrie axiale : (6ème)1)Figures symétriques
Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si elles se superposent par pliage le long de cette droite.Cette droite est appelée l'axe de symétrie.
Exemple :
Les figures et se superposent par pliage le long de la droite (d) donc elles sont symétriques par rapport à la droite (d).On dit également que la figure est la symétrique de la figure dans la symétrie d'axe (d).
Deux points sont symétriques par rapport à une droite s'ils se superposent par pliage le long de cette droite.Ici, les points A et M sont symétriques par rapport à la droite (d).
2)Symétrique d'un point
A - Définition
Le symétrique d'un point A par rapport à une droite (d) est le point M tel que la droite (d) soit la médiatrice du segment [AM] (tel que la droite (d) soit la perpendiculaire au segment [AM] en son milieu).
Remarque : Si un point appartient à l'axe de symétrie alors son symétrique par rapport à cet axe est le point lui-même.
B - Construction du symétrique d'un point dans un quadrillage
Axe de symétrie horizontal ou vertical
Axe de symétrie en diagonale
Remarque : On peut également compter les carreaux en diagonale.
A M(d)
(d)
P123
(d)
P123123
(d)
PS
(d)
P1234
(d)
P1234
12
34
(d)
PP
S
(d)
P1
2
1
2
S
(d)E
E'(a)
(a')K
C - Construction du symétrique d'un point avec l'équerre et la règle graduée
Pour construire le symétrique du point P par rapport à (d), on construit la perpendiculaire à (d) passant par le point P.
On reporte la distance de P à (d) de l'autre côté de (d) sur cette perpendiculaire.
On obtient ainsi le point S tel que (d) soit la médiatrice de [PS].
D - Construction du symétrique d'un point avec le compas
On prend deux points distincts quelconques M et N sur la droite (d).
On trace deux arcs de cercle de centre les deux points précédents et passant par P.
Ces deux arcs se coupent en un point qui est le point S, symétrique de P par rapport à (d).
3)Symétrique de figures usuelles et propriétés de la symétrie axiale
A - Symétrique d'une droite
Le symétrique d'une droite par rapport à un axe est une droite.La symétrie axiale conserve l'alignement.
Exemple :
• La droite (a') est la droite symétrique de (a) par rapport à la droite (d).Ces deux droites se coupent sur l'axe de symétrie.
• Pour construire le symétrique de la droite (a), il suffit de construire le symétrique d'un point de la droite (a) qui n'est pas sur (d) (ici le point E).
B - Symétrique d'un segment
Le symétrique d'un segment par rapport à un axe est un segment de même longueur. On dit que la symétrie axiale conserve les longueurs.
Exemple : • Les segments [CD] et [C'D'] ainsi que les segments [EF] et [E'F']
sont symétriques par rapport à la droite (d).
• On a CD = C'D' et EF = E'F'.
• Pour construire le symétrique d'un segment, il suffit de construire le symétrique de chacune de ses extrémités puis de les relier.
Remarque : Le symétrique du milieu d'un segment est le milieu du segment symétrique.
(d)
P(d)
P(d)
P
S
(d)
P
(d)
M
N
(d)
C
D
E F
C'
D'
E'
F'
C - Symétrique d'un cercle
Le symétrique d'un cercle par rapport à un axe est un cercle de même rayon.Les centres des cercles sont symétriques par rapport à cet axe.
Exemple : • Les cercles et ainsi que les cercles et sont
symétriques par rapport à la droite (d).
• Les cercles et sont sécants sur l'axe de symétrie (d).
• Pour construire le symétrique d'un cercle, il suffit de construire le symétrique de son centre et de tracer le cercle de même rayon.
D - Autres propriétés
La symétrie axiale conserve les mesures des angles, les périmètres et les aires.
Exemple : Dans la figure ci-dessous, B' est le symétrique de B par rapport à (AC).
• A et C appartiennent à l'axe de symétrie, ils sont donc chacun leur propre symétrique.
• ABC est rectangle en B donc ABC = 90°. Or la symétrie axiale conserve la mesure des angles donc AB 'C = 90°. AB'C est un triangle rectangle en B'.
• La symétrie axiale conserve les longueurs donc AB = AB' = 3,3 cm et CB = CB' = 6 cm.
AB'C = ABC =6 × 3,3
2 = 9,9 cm2.
G'
GH'
H
(d)
1
2
3
4
1 2 3 4
1 2
A
B
B'
§6 cm
3,3
cm
§
C
La symétrie centrale: (5ème)
1) Définition et vocabulaire.
Définition : On dit que M et M' sont symétriques par rapport à un point O, si O est le milieu du segment [MM'].
Remarques :
• On dit dans ce cas, que M' et l'image de M par rapport au point O ;• O a pour image lui même par la symétrie de centre O.
2) Propriétés de conservation.
Propriété : La symétrie centrale conserve : • la mesure des angles (un angle a pour symétrique un angle de même mesure) ;• la longueur des segments (un segment a pour image un segment de même longueur) ;• l'alignement (des points alignés ont pour symétriques des points alignés) ;• le périmètre et l'aire d'une figure (une figure géométrique a pour symétrique une figure géométrique de même périmètre et de même aire).• le parallélisme des droites.
Pour la figure ci-contre, les points A, B, C et D ont pour images respectives les points A', B', C' et D' par la symétrie de centre O.On peut donc dire que :
• ACB = A' C ' B ' = 80° car la symétrie centrale conserve la mesure des angles ;
• AC = A'C' = 5 cm et BC = B'C' = 3 cm car la symétrie centrale conserve la longueur des segments ;
• A', B' et D' sont alignés car la symétrie centrale conserve l'alignement.
3) Centre de symétrie d'une figure.
Définition : Un centre de symétrie d'une figure Γ est un point O telle que la figure symétrique de Γ par rapport
à O est la figure Γ elle-même.
M
M'O
Démontrer qu'un point est le milieu d'un segment
P 1 Si un point est sur un segment et à égaledistance de ses extrémités alors ce point est lemilieu du segment.
6ème
P 2 Si un quadrilatère est un parallélogrammealors ses diagonales se coupent en leur milieu.(Ceci est aussi vrai pour les losanges, rectangleset carrés qui sont des parallélogrammesparticuliers.)
5ème
P 3 Si A et A' sont symétriques par rapport à unpoint O alors O est le milieu du segment [AA'].
5ème
P 4 Si une droite est la médiatrice d'un segmentalors elle coupe ce segment en son milieu.
6ème
P 5 Si un triangle est rectangle alors son cerclecirconscrit a pour centre le milieu de sonhypoténuse.
4ème
P 6 Si dans un triangle une droite passe par lemilieu d'un côté et est parallèle à un second côtéalors elle passe par le milieu du troisième côté.
4ème
A
BO
A B
CD
A
A'O
A B
(d)
O
A
B
C
A
(d)I
C
B
J
Démontrer que deux droites sont parallèles
P 7 Si deux droites sont parallèles à une mêmetroisième droite alors elles sont parallèles entreelles.
6ème
P 8 Si deux droites sont perpendiculaires à unemême troisième droite alors elles sont parallèlesentre elles.
6ème
P 9 Si un quadrilatère est un parallélogrammealors ses côtés opposés sont parallèles. (Ceci estaussi vrai pour les losanges, rectangles et carrésqui sont des parallélogrammes particuliers.)
5ème
P 10 Si deux droites coupées par une sécanteforment des angles alternes-internes de mêmemesure alors ces droites sont parallèles.
5ème
P 11 Si deux droites coupées par une sécanteforment des angles correspondants de mêmemesure alors ces droites sont parallèles.
5ème
P 12 Si dans un triangle, une droite passe parles milieux de deux côtés alors elle est parallèle autroisième côté.
4ème
P 13 Si deux droites sont symétriques parrapport à un point alors elles sont parallèles.
5ème
P 14 Réciproque du théorème de Thalès : 3ème
(d1)(d3)
(d2)
(d1)(d3)
(d2)
A B
D C
G
yEu
v
w
t
z
G
yE
u
v
w
t
z
A
I
C
B
J
o
o
(d)
(d')
OA
BA'
B'
Démontrer que deux droites sont perpendiculaires
P 15 Si deux droites sont parallèles et si unetroisième droite est perpendiculaire à l'une alorselle est perpendiculaire à l'autre.
6ème
P 16 Si un quadrilatère est un losange alors sesdiagonales sont perpendiculaires. (Ceci est aussivrai pour le carré qui est un losange particulier.)
5ème
P 17 Si un quadrilatère est un rectangle alorsses côtés consécutifs sont perpendiculaires. (Ceciest aussi vrai pour le carré qui est un rectangleparticulier.)
5ème
P 18 Si une droite est la médiatrice d'unsegment alors elle est perpendiculaire à cesegment.
6ème
P 19 Si une droite est tangente à un cercle enun point alors elle est perpendiculaire au rayon dece cercle qui a pour extrémité ce point.
4ème
Démontrer qu'un triangle est rectangle
P 20 Réciproque du théorème de Pythagore : 4ème
P 21 Si dans un triangle, la longueur de lamédiane relative à un côté est égale à la moitié dela longueur de ce côté alors ce triangle estrectangle et il admet ce côté pour hypoténuse.
4ème
P 22 Si un triangle est inscrit dans un cercle dediamètre l'un de ses côtés alors il est rectangle et iladmet ce diamètre pour hypoténuse.
4ème
(d3)
(d2)
(d1)
A
B
C
D
A B
CD
A B
(d)
O
M
(d)
A
CB
A
CB O
A
B
C
O
Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
P 23 Si un quadrilatère a ses côtés opposésparallèles deux à deux alors c'est unparallélogramme.
4ème
P 24 Si un quadrilatère a ses diagonales qui secoupent en leur milieu alors c'est unparallélogramme.
4ème
P 25 Si un quadrilatère non croisé a deux côtésopposés parallèles et de même longueur alorsc'est un parallélogramme.
4ème
P 26 Si un quadrilatère non croisé a ses côtésopposés de la même longueur deux à deux alorsc'est un parallélogramme.
4ème
P 27 Si un quadrilatère non croisé a ses anglesopposés de la même mesure alors c'est unparallélogramme.
4ème
P 28 Si un quadrilatère non croisé a un centrede symétrie alors c'est un parallélogramme.
4ème
Démontrer qu'un quadrilatère est un losange
P 29 Si un quadrilatère a ses côtés de la mêmelongueur alors c'est un losange.
4ème
P 30 Si un parallélogramme a ses diagonalesperpendiculaires alors c'est un losange.
4ème
P 31 Si un parallélogramme a deux côtésconsécutifs de la même longueur alors c'est unlosange.
4ème
A B
D C
A B
D C
A B
D C
A B
D C
A B
D C
OA B
D C
A
B
C
D
A B
CD
A B
CD
Démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle
P 32 Si un quadrilatère possède trois anglesdroits alors c'est un rectangle.
4ème
P 33 Si un parallélogramme a ses diagonales dela même longueur alors c'est un rectangle.
4ème
P 34 Si un parallélogramme possède un angledroit alors c'est un rectangle.
4ème
Démontrer qu'un quadrilatère est un carré
P 35 Si un quadrilatère vérifie à la fois lespropriétés du losange et du rectangle alors c'est uncarré.
4ème
BA
CD
BA
CD
BA
CD
BA
CD
Déterminer la longueur d'un segment
P 36 Si un triangle est isocèle alors il a deuxcôtés de la même longueur.
6ème
P 37 Si un triangle est équilatéral alors il a tousses côtés de la même longueur.
6ème
P 38 Si un quadrilatère est un parallélogrammealors ses côtés opposés ont la même longueur.(C'est également vrai pour les rectangles, leslosanges et les carrés qui sont desparallélogrammes particuliers.)
4ème
P 39 Si un quadrilatère est un losange alors tousses côtés sont de la même longueur. (C'estégalement vrai pour les carrés qui sont deslosange particuliers.)
4ème
P 40 Si un quadrilatère est un rectangle alorsses diagonales ont la même longueur. (C'estégalement vrai pour les carrés qui sont deslosange particuliers.)
4ème
P 41 Si deux points appartiennent à un cerclealors ils sont équidistants du centre de ce cercle.
6ème
P 42 Si un point appartient à la médiatrice d'unsegment alors il est équidistant des extrémités dece segment.
6ème
P 43 Si un point appartient à la bissectrice d'unangle alors il est situé à la même distance descôtés de cet angle.
4ème
P 44 Si deux segments sont symétriques parrapport à une droite alors ils ont la même longueur.
6ème
P 45 Si un cercle est l'image d'un autre cerclepar une symétrie alors ils ont le même rayon.
6ème
P 46 Si deux segments sont symétriques parrapport à un point alors ils ont la même longueur.
5ème
A
BC
BC
A
A B
C D
A
B
C
D
BA
CD
OA
B
A B
M
P
M
N
x
y
zO
A'A
B B'(d)
A A'
(d)
A'
O
A
B
B'
P 47 Si deux cercles sont symétriques parrapport à un point alors ils ont le même rayon.
5ème
P 48 Si dans un triangle, un segment joint lesmilieux de deux côtés alors sa longueur est égale àla moitié de celle du troisième côté.
4ème
P 49 Théorème de proportionnalité des longueurs dans un triangle.
4ème
P 50 Théorème de Pythagore : 4ème
P 51 Si un triangle est rectangle alors lalongueur de la médiane issue de l'angle droit apour longueur la moitié de la longueur del'hypoténuse.
4ème
P 52 Théorème de Thalès : 3ème
P 53 Formules de trigonomètrie :
Dans un triangle rectangle :
cos angle =côté adjacent à l ' angle
hypoténuse
sin angle =côté opposé à l ' angle
hypoténuse
tan angle=côté opposé à l ' angle
côté adjacent à l ' angle
3ème
A
A' O
A
I
C
B
J
o
o
A
C
B
NM
A
B
C
A
B
C
I
A
B
C
Déterminer la mesure d'un angle
P 54 Si deux angles sont symétriques parrapport à une droite alors ils ont la même mesure.
6ème
P 55 Si deux angles sont symétriques parrapport à un point alors ils ont la même mesure.
5ème
P 56 Si un quadrilatère est un parallélogrammealors ses angles opposés ont la même mesure.(C'est également vrai pour les losanges, lesrectangles et les carrés qui sont desparallélogrammes particuliers.)
4ème
P 57 Dans un triangle, la somme des mesuresdes angles est égale à 180°.
5ème
P 58 Si un quadrilatère est un parallélogrammealors deux de ses angles consécutifs sontsupplémentaires.
4ème
P 59 Si un triangle est rectangle alors ses anglesaigus sont complémentaires.
5ème
P 60 Si un triangle est isocèle alors ses angles àla base ont la même mesure.
6ème
P 61 Si un triangle est équilatéral alors sesangles mesurent 60°.
5ème
P 62 Si deux angles sont opposés par le sommetalors ils ont la même mesure.
5ème
P 63 Si deux droites parallèles sont coupées parune sécante alors les angles alternes internesqu'elles forment sont de même mesure.
5ème
A A'
xy x'y'
(d)
O
A
A'
y
x'
y'
x
A B
D C
A
B
C
A B
D C
A
B
C
A
BC
BC
A
BC
A
OA
BD
E
G
yEu
v
w
t
z
P 64 Si deux droites parallèles sont coupées parune sécante alors les angles correspondantsqu'elles forment sont de même mesure.
5ème
P 65 Si une droite est la bissectrice d'un anglealors elle partage l'angle en deux angles adjacentsde même mesure.
6ème
P 66 Formules de trigonomètrie :
Dans un triangle rectangle :
cos angle =côté adjacent à l ' angle
hypoténuse
sin angle =côté opposé à l ' angle
hypoténuse
tan angle=côté opposé à l ' angle
côté adjacent à l ' angle
3ème
G
yEu
v
w
t
z
O
x
y
z
A
B
C
Démontrer avec les droites remarquables du triangle
P 67 Si deux points sont symétriques par rapportà une droite alors cette droite est la médiatrice dusegment ayant pour extrémités ces deux points.
6ème
P 68 Si un point est équidistant des extrémitésd'un segment alors il est situé sur la médiatrice dece segment.
6ème
P 69 Si dans un triangle, une droite passe par unsommet et est perpendiculaire au côté opposé alorsc'est une hauteur du triangle.
5ème
P 70 Si dans un triangle, une droite passe par unsommet et par le milieu du côté opposé alors c'estune médiane du triangle.
5ème
P 71 Si une droite partage un angle en deuxangles égaux alors cette droite est la bissectrice del'angle.
6ème
P 72 Si un point est situé à la même distance descôtés d'un angle alors il appartient à la bissectricede cet angle.
4ème
M
M'
(d)
A B
(d)
M
o o
A B
C
(d)
A B
C
(d)
x
y
zO
P
M
N
x
y
zO
B
A A A
BB
MM
I. Construction d'une médiatrice :
a) Avec l'équerre :
On a un segment[AB]. On place M au milieu On trace la perpendiculaire du segment [AB]. au segment [AB] passant par M.
b) Avec le compas :
Étape 1 : On trace au compas deux arcs de cercle de centre A et de rayon R de part et d’autre du segment (le rayon est choisi arbitrairement mais supérieur à la moitié de la longueur du segment).
Étape 2 : En gardant le même rayon on trace deux arcs de cercle de centre B de part et d’autre du segment.
Étape 3 : On trace la droite passant par les deux points d’intersection des arcs de cercle
II. Construction d'une bissectrice :
N 1LECTURE ET ECRITURE DES
NOMBRES DECIMAUX
I. A L’AIDE D’UNE ECRITURE DECIMALE
Écriture décimale
virgule( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )001,0301,081,04121071004483,472 ×+×+×+×+×+×=
On écrit : 472,483 = 472 + 0,483
partie entière partie décimale
Remarques : * Un nombre décimal a une infinité d’écritures décimales : 3,7 = 3,70 = 3,700 = 03, 70 … Ces zéros sont appelés zéros inutiles.* Un nombre entier est un nombre décimal particulier : 74 = 74,0 = 74, 000 = … Sa partie décimale est égale à zéro.
II. A L’AIDE D’UNE FRACTION DECIMALE
Définition : Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 1, 10, 100 … et dont lenumérateur est un nombre entier.
Exemples :
un dixième un centième quarante trois centièmesnumérateur
1,0101 = 01,0
1001 = 43,0
10043 =
dénominateur
Uni
tés
de m
illio
ns
Cen
tain
es d
e m
ille
Diz
aine
s de
mill
e
Uni
tés
de m
ille
Cen
tain
es
Diz
aine
s
Uni
tés
Dix
ièm
es
Cen
tièm
es
Mill
ièm
es
Dix
mill
ièm
es
4 7 2 4 8 3
chiffre des centaines
chiffre des dizaines
chiffre des dixièmes
chiffre des unités
chiffre des centièmes
chiffre des millièmes
N 2COMPARER, RANGER ET ENCADRER
VALEURS APPROCHEES
I. COMPARER ET RANGER.1. Comparer.
Définition : Comparer deux nombres, c’est montrer qu’ils sont égaux ou que l’un est plus grand que l’autre.
Remarque : On utilise les symboles pour « plus grand que » et pour « plus petit que ».
Méthode : Pour comparer deux nombres :* on compare leurs parties entières ;* si leurs parties entières sont égales, alors :
- on compare leurs chiffres des dixièmes, puis si nécessaire, leurs chiffres des centièmes …- ou on peut aussi rajouter des zéros dans la partie décimale de l’un des deux nombres afind’obtenir le même nombre de chiffres après la virgule et ainsi comparer les partiesdécimales.
Exemples : Comparer les nombres : 3,5 et 3,50 ; 4,51 et 4,54.
•3,5 = 3,50 : les nombres 3,5 et 3,50 sont égaux.•4,51 < 4,54 car 1 < 4
2. Ranger.
Définition : Ranger une liste de nombres :* les ranger du plus grand au plus petit : ordre décroissant ;* les ranger du plus petit au plus grand : ordre croissant .
Exemples : Ranger la liste de nombres suivants : 22,3 ; 15 ;17,5.
ordre décroissant : 15 < 17,5 < 22,3 ;
ordre décroissant : 22,3 > 17,5 > 15.
II. VALEURS APPROCHEES
1. Encadrer.
Définition : Encadrer un nombre, c’est trouver un nombre plus petit et un nombre plus grand que celui-ci .
Exemples :
• Encadrer 24, c’est trouver deux nombres :* un plus petit : par exemple 22 ;* un plus grand : par exemple 30.
On écrit alors : 22 < 24 < 30 on a donc encadré le nombre 24 entre les nombres 22 et 30.
Ce type d’encadrement n’est pas très utile, on préfère encadrer à la dizaine, à l’unité, au dixième … c'est-à-dire que la différence entre le plus grand nombre et le plus petit doit être égale à 10 (dizaine), à 1 (unité), à 0,1 (dixième)…
•Encadrer 24,56 à la dizaine, puis à l’unité et au dixième.
* à la dizaine : 20 < 24,56 < 30 et 30 – 20 = 10* à l’unité : 24 < 24,56 < 25 et 25 – 24 = 1* au dixième : 24,5 < 24,56 < 24,6 et 24,6 – 24,5 = 0,1
2. Valeurs approchées.
Définition s : * On dit que 20 est la valeur approchée par défaut de 24,56 à la dizaine, que 24 est la valeur approchée pardéfaut de 24,56 à l’unité et que 24,5 est la valeur approchée par défaut de 24,56 au dixième.On appelle aussi cette valeur la troncature du nombre.
* On dit que 30 est la valeur approchée par excès de 24,56 à la dizaine, que 25 est la valeur approchée par excès de 24,56 à l’unité et que 24,6 est la valeur approchée par excès de 24,56 au dixième.
Définition : L’arrondi d’un nombre est la valeur la plus proche entre sa valeur approchée par excès et sa valeur approchée par défaut.
Exemple : Trouver l’arrondi au dixième des nombres 43,56 et 24,43.
43,5 < 43,56 < 43,6 24,4 < 24,43 < 24,5
Valeur approchée Valeur approchée Valeur approchée Valeur approchéeau dixième au dixième au dixième au dixièmepar défaut par excès par défaut par excès
Arrondi de 43,56 au dixième : 43,6 Arrondi de 24,43 au dixième : 24,4car 43,56 est plus proche de 43,6. car 24,43 est plus proche de 24,4.
Remarque : Si le nombre est au milieu du segment, alors on prendra comme arrondi du nombre sa valeur approchée par excès.
Exemple : Donner l’arrondi au dixième du nombre 2,45.
2,4 < 2,45 < 2,5
Valeur approchée Valeur approchéeau dixième au dixièmepar défaut par excès
Arrondi de 2,45 au dixième : 2,5 car 2,45 est au milieu de 2,4 et 2,5.
N 3 OPÉRATIONS
I. Addition :
Définitions : On appelle somme de deux nombres le résultat de l'addition de ces deux nombres. Onappelle termes de la somme les nombres que l'on additionne.
Exemple : 51,6 + 89,75 = 141,35 141,35 est la somme ; 51,6 et 89,75 sont les termes.
Il y a trois manières de calculer la somme : à la main (en la posant), à la calculatrice, de tête(mentalement). Pour poser l'opération, il faut aligner les différents chiffres sur la verticale (unités avecunités, virgule avec virgule, dixièmes avec dixièmes, …).
Exemple :5 1 , 6
+ 8 9 , 7 5 1 4 1 , 3 5
On contrôle le résultat en calculant un ordre de grandeur de la somme : 50 + 90 = 140
Propriétés : S'il y a plusieurs addition, on peut calculer en changeant l'ordre des termes et leur sens.
Exemple : 1,5 + 15 + 8,5 + 5 = 1,5 + 8,5 + 15 + 5 = 10 + 20 = 30
II. Soustraction :
Définitions : On appelle différence de deux nombres le résultat de la soustraction de ces deux nombres.On appelle termes de la différence les nombres que l'on soustrait.
Exemple : 141,35 - 51,6 = 89,75 89,75 est la différence ; 141,35 et 51,6 sont les termes.
Il y a trois manières de calculer la différence : à la main (en la posant), à la calculatrice, de tête (mentalement). Pour poser l'opération, il faut aligner les différents chiffres sur la verticale (unités avec unités, virgule avec virgule, dixièmes avec dixièmes, …).
Exemple : 1 4 1 , 3 5 - 5 1 , 6
8 9 , 7 5
On contrôle le résultat en calculant un ordre de grandeur de la différence : 140 - 50 = 90
Attention : On ne peut calculer en changeant l'ordre des termes et leur sens.
III. Multiplication et division par 10 ; 100 ; 1 000...
Pour multiplier par : on décale les chiffres de : Exemples :
10 1 rang vers la gauche. 0,47 × 10 = 4,7
100 2 rangs vers la gauche. 35 × 100 = 35,00 × 100 = 3 500
1 000 3 rangs vers la gauche. 9,82 × 1 000 = 9,820 × 1 000 = 9 820
Pour diviser par : on décale les chiffres de : Exemples :
10 1 rang vers la droite. 27 ÷ 10 = 27,0 ÷ 10 = 2,7
100 2 rangs vers la droite. 456,5 ÷ 100 = 4,565
1 000 3 rangs vers la droite. 0,3 ÷ 1 000 = 0000,3 ÷ 1 000 = 0,0003
I V . Multiplication :
1. Définition
On appelle produit de deux nombres le résultat de la multiplication de ces deux nombres. On appelle facteurs de la somme les nombres que l'on multiplie.
Exemple : 4,4 x 2,6 = 11,44 11,44 est le produit ; 4,4 et 2,6 sont les facteurs.
Il y a trois manières de calculer le produit : à la main (en la posant), à la calculatrice, de tête (mentalement).
2. Multiplication par 0,1 ; 0,01 ; 0,001
Multiplier par : c'est diviser par : Exemples :
0,1 10 car 0,1 = 110
. 78 × 0,1 = 7,8
0,01 100 car 0,01 = 1100
. 3,5 × 0,01 = 003,5 × 0,01 = 0,035
0,001 1 000 car 0,001 = 11 000
. 56,2 × 0,001 = 0056,2 × 0,001 = 0,0562
3. Multiplication de deux nombres décimaux :
Pour effectuer la multiplication de deux nombres décimaux :• On effectue la multiplication comme si les nombres étaient entiers ;• On ajoute les nombres de chiffres des parties décimales de chacun ;• On place la virgule dans le résultat précédent pour que le produit ait ce nombre de chiffres en partie
décimale.
Exemple :
4 , 4
x 2 , 6
2 6 4
8 8 0
1 1, 4 4
On contrôle le résultat en calculant un ordre de grandeur de la somme : 4 x 3 = 12
Propriétés : S'il y a plusieurs multiplication, on peut calculer en changeant l'ordre des facteurs et leur sens.
Exemple : 5 x 0,25 x 2 x 4 = 5 x 2 x 0,25 x 4 = 10 x 0,25 x 4 = 2,5 x 4 = 10
Attention : Quand on effectue une multiplication, on n'obtient pas toujours un nombre plus grand.
Exemple : 9,5 x 0,6 = 5,7
1 chiffre après la virgule
1 chiffre après la virgule
2 chiffres après la virgule (1 + 1)
V. Division :
1) Division euclidienne :
Règle
Dans une division euclidienne, on a toujours :
dividende = (diviseur × quotient) reste avec reste diviseur.
Exemple 1 : Pose la division de 893 par 13.
893 = (13 × 68) 9 avec 9 13
2) Multiples et diviseurs d’un nombre entier
• Après avoir effectué la division euclidienne de 3 577 par 49, on obtient 3 577 = 49 × 73. • Le reste étant nul, 3 577 est un multiple de 49 (et de 73 aussi !).• On dit également que 3 577 est divisible par 49 ou que 49 est un diviseur de 3 577 ou que 49 divise 3 577.
3) Critères de divisibilité Règles • Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
• Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
• Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par son chiffre des dizaines et son chiffre des unités(dans cet ordre) est un multiple de 4.
• Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
• Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
Exemple : On considère le nombre 23 928. Est-il divisible par 2, 5, 4, 3 et 9 ?
• Son chiffre des unités est 8 donc 23 928 est divisible par 2.
• Son chiffre des unités n'est ni 0 ni 5 donc 23 928 n'est pas divisible par 5.
• Le nombre formé par son chiffre des dizaines et son chiffre des unités est 28 qui est divisible par 4 donc 23 928est divisible par 4.
• La somme de ses chiffres : 2 3 9 2 8 soit 24 est un multiple de 3 donc 23 928 est divisible par 3.
• La somme de ses chiffres : 2 3 9 2 8 soit 24 n'est pas un multiple de 9 donc 23 928 n'est pas divisible par9.
4 ) Division décimale :
Définition : Effectuer la division décimale de deux nombres, c'est trouver la valeur exacte ou une valeurapprochée du quotient de ces deux nombres.
Exemples : Effectue la division de 75,8 par 4 puis celle de 4,9 par 9.
Le nombre 18,95 est la valeur exactedu quotient de 75,8 par 4.
Dès que l'on abaisse le chiffre desdixièmes du dividende, on place la
virgule dans le quotient.
Le nombre 0,544 est une valeurapprochée au millième du quotientde 4,9 par 9.
0
1
1
7
0
10
1
8
9
4
13
6 8
33 198
–
–
diviseur
quotient
dividende
reste
5 8, 91
0
3
5
5,
2
8
8
0
47
3 4 4 5 4 0,
4
4
9
9
4
0
0
9 4,
N 4 Priorités opératoires - parenthèses
I- CALCULS AVEC DES PARENTHESES
• Dans une expression où figurent des parenthèses, on commence par effectuer les opérations à l’intérieur desparenthèses.
Exemples : 17 – ( 8 – 7 ) = 17 – 1 = 16 50 × ( 2 + 0,4 ) = 50 × 2,4 = 120 14 + ( 6 × 3,8 ) + ( 7 − 2,5 ) = 14 + 22,8 + 4,5 = 41,3
• Dans une expression où figurent des parenthèses « emboîtées », on commence par effectuer les opérationsles plus « enfermées ».
Exemples : [ 48 − ( 3 + 5 ) ] × ( 5 − 1 ) = [ 48 − 8 ] × 4 = 40 × 4 = 160 36 − [ 75 − ( 5 × 13 ) ] = 36 − [ 75 − 65 ] = 36 − 10 = 26
II- PRIORITES DES OPERATIONS (CALCUL SANS PARENTHESES)
• En l’absence de parenthèses, les multiplications et divisions ont priorité sur les additions et soustractions.
Exemples : 9 + 7 × 8 = 9 + 56 = 65 17 − 7 × 2 = 17 − 14 = 3 29 × 7,3 − 0,3 = 211,7 − 0,3 = 211,4
• Lorsqu’une expression ne comporte que des additions et soustractions, (ou que des multiplications etdivisions) on effectue les opérations de la gauche vers la droite.
Exemples : 75 − 7 + 3 = 68 + 3 = 71 38 : 5 × 4 = 7,6 × 4 = 30,4
• Écriture fractionnaire : on effectue d'abord les calculs du numérateur et du dénominateur.
Exemples : 4678
=1015
=23
ou encore : 4678
=46÷78=10÷15=2÷3
En résumé : ECHELLE DES PRIORITES
Opérations entre ( )
Ordre Opération Puissance
Des × et : De gauche à droite
priorités + et − De gauche à droite
N 05 ECRITURE FRACTIONNAIRE
Partie 6ème
I. ECRITURE FRACTIONNAIRE
Soient a et b deux nombres entiers avec b non nul (b ≠ 0).
1)Quotient de deux nombres entiers
La fraction ab
est le quotient de a par b. a est le numérateur de la fraction et b est le dénominateur. Soit ab
= a ÷ b.
Exemple :43
c'est 4 ÷ 3.
2)Fraction et partage
La fraction ab
est le produit de a par 1
b. Soit a
b= a × 1
b.
Exemple : 43
c'est 4 ×13
.
3)Nombre fraction
La fraction ab
est le nombre qui, multiplié par b, donne a. Soit ab
× b = a.
Exemple : 43
c'est le nombre tel que 3 ×43
= 4.
4)Écriture fractionnaire et écriture décimale
Un nombre décimal peut toujours s'écrire sous forme fractionnaire.
Exemple : 5,42 =542100
.
Un nombre en écriture fractionnaire n'a pas toujours une écriture décimale exacte.
Exemples :
a. 85
= 8 ÷ 5 = 1,6 donc85
est un nombre décimal et a pour écriture décimale 1,6.
b. 37
n'a pas d'écriture décimale exacte car la division de 3 par 7 ne s'arrête jamais.
37
n'est donc pas un nombre décimal.
On ne peut en donner que des valeurs décimales approchées ou des encadrements.
• 0,42 est une valeur approchée par défaut au centième
de37
. On écrit37
≈ 0,42.
• 0,429 est une valeur approchée par excès au millième
de . On écrit37
≈ 0,429.
• 0 37
1 et 0,4 37
0,5 sont des encadrements
de37
.
0, 4 2 8 5 7 4
5
2
3
1
0
1
7
0
4
06
2
03
3
0
0
0
37
II. EGALITE DE FRACTIONS
On obtient des fractions égales en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
a
b =
ka
kb Exemples :
2
3 =
6
9
ka
kb =
a
b Exemples :
16
24 =
8
12 =
4
6 =
2
3
Ceci s’appelle une simplification. On a simplifié 16
24.
III. MULTIPLIER PAR a
b
Exemple : Calculer les 3
5 de 60 .
Dans l’expression « les 3
5 de 60 », le mot « de » représente une multiplication.
3
5 de 60 =
3
5 x 60 Pour effectuer ce calcul on a 3 méthodes :
1 ère méthode : On multiplie d’abord
35×60=3×60 ÷5=180÷5=36
2 ème méthode : On divise d’abord
35×60=3×60÷5=3×12=36
3 ème méthode : On remplace la fraction par un nombre décimal (si c’est possible)
35×60=3÷5×60=0,6×60=36
Remarque : Cette 3ème méthode n’est possible que si la fraction a une écriture décimale.
x k
x k
x 3
x 3
: k
: k
: 2
: 2
: 2
: 2 : 2
: 2
Partie 5ème et 4ème
I. COMPARAISON DE FRACTIONS
1. Comparaison par rapport à 1 :
Propriétés : • Si le numérateur d’un nombre en écriture fractionnaire est inférieur à son dénominateur, alors ce nombre est inférieur à 1. • Si le numérateur d’un nombre en écriture fractionnaire est supérieur à son dénominateur, alors ce nombre est supérieur à 1.
2. Écriture fractionnaire de même dénominateur :
Propriété : Si deux nombres en écriture fractionnaire ont le même dénominateur, alors ils sont rangés dans le même ordreque leurs numérateurs.
Exemples : 57
87
car 5 < 8 1311
8
11 car 13 > 8
3. Écriture fractionnaire de dénominateur différent :
Propriété : Si deux nombres en écriture fractionnaire n'ont pas le même dénominateur, alors on les réduit au mêmedénominateur pour les comparer.
Exemples : 53
74
car 53=
5×43×4
=2012
et 74=
7×34×3
=2112
4. Écriture fractionnaire de même numérateur :
Propriété : Si deux nombres en écriture fractionnaires ont le même numérateur, alors ils sont rangés dans l’ordre inverse deleurs dénominateurs.
Exemples : 57
59
car 7 < 9 1317
1315
car 17 > 15
II . OPERATIONS SUR LES FRACTIONS
1. Multiplication
Exemples : 34×
57=
3×54×7
=1528
56×
310
=5×3
3×2×5×2=
14
23×
15=
215
34×
52=
158
Remarque : 2×35=
21×
35=
2×31×5
=65
On multiplie les numérateurs
On multiplie les dénominateurs avec b ≠ 0 et d ≠ 0
ab×
cd=
a×cb×d
2. Addition et soustraction
a b a b
d d d
++ =
Même dénominateur
Exemples : 1 4 5
7 7 7+ =
8 1 16 1 17
3 6 6 6 6+ = + =
a b a b
d d d
−− =
Même dénominateur
Exemples : 35
–25=
15
12
–13=
36
–26=
16
3. Inverse (4ème)
Définition : Deux nombres sont inverses si leur produit est égal à 1.
Exemples : 2 et 1
2 sont inverses : 2× 1
2=1 − 3 et
1
3− sont inverses : −3×
−13
=1
5
3 et
3
5 sont inverses :
53×
35=1
4
3− et
3
4− sont inverses : −
43×−
34=1
Remarque : Un nombre et son inverse ont le même signe.
4. Division (4ème) Propriété : Diviser par un nombre non nul, c’est multiplier par son inverse.
Exemples : 34÷2=
34×
12=
38
79÷
25=
79×
52=
3518
−
34
56
=−34×
65=−
1820
=−910
On ajoute les numérateurs
On garde le dénominateur avec d ≠ 0
On soustrait les numérateurs
On garde le dénominateur avec d ≠ 0
Partie 3ème
I. MULTIPLES ET DIVISEURS
136 = 8 x 17 donc: 136 est un multiple de 8136 est divisible par 88 est un diviseur de 136
On peut dire la même chose de 136 et 17
II. RECHERCHE DES DIVISEURS D'UN NOMBRE
30 = 1 x 30 = 2 x 15 Les diviseurs de 30 sont : 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30 = 3 x 10 = 5 x 6
Remarques : • Les diviseurs d’un nombre s’obtiennent par deux
• 1 n’a qu’un seul diviseur• Tous les entiers naturels différents de 1 ont au moins deux diviseurs : 1 et le nombre lui-même .
Exemple : 17 = 1 x 17
III. DIVISEURS COMMUNS A DEUX ENTIERS NATURELS – P.G.C.D
Exemple 1 :
Diviseurs de 18 : 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18Diviseurs de 24 : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24
Les diviseurs communs à 18 et 24 sont : 1 , 2 , 3 , 6
6 est le plus grand diviseur commun 6 est le P.G.C.Don note : P.G.C.D. ( 18 , 24 ) = 6
Le plus grand diviseur commun à deux nombres est appelé le P.G.C.D de ces deux nombres.
Exemple 2 :
Diviseurs de 25 : 1 , 5 , 25Diviseurs de 14 : 1 , 2 , 7 , 14
Le seul diviseur commun à 25 et 14 est 1.
On dit que 25 et 14 sont premiers entre eux
Définition : Deux entiers naturels non nuls sont dits premiers entre eux si 1 est leur seul diviseur commun.
I V . PROPRIETES DES DIVISEURS
Propriété : Un diviseur commun à deux entiers naturels non nuls est un diviseur de leur somme et de leur différence.
Exemple : 7 est un diviseur de 77 77 = 7 x 11et de 21 21 = 7 x 3
il divise aussi : * 77 + 21 car 77 + 21 = 7 x 11 + 7 x 3 = 7 x ( 11 + 3)
et * 77 – 21 car 77 – 21 = 7 x 11 - 7 x 3 = 7 x ( 11 – 3 )
V . RECHERCHE DU P.G.C.D DE DEUX NOMBRES
Exemple : Recherche du P.G.C.D. de 783 et 232
Méthode des soustractions successives
Étapes Différences1 783 232 5512 551 232 3193 319 232 874 232 87 1455 145 87 586 87 58 297 58 29 298 29 29 0
P.G.C.D ( 783 , 232 ) = 29
On s’arrête quand on obtient deux nombres égaux. Algorithme d ’Euclide ( méthode des divisions successives )
ETAPES DIVIDENDE DIVISEUR RESTE
1 783 232 87
2 232 87 58
3 87 58 29
4 58 29 0
P.G.C.D ( 783 , 232 ) = 29
Le P.G.C.D. est le dernier reste nonnul.
V I. FRACTION IRREDUCTIBLE
Définition : Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
Méthode :
Pour rendre une fraction irréductible on cherche le P.G.C.D. de son numérateur et de son dénominateur, puis onsimplifie la fraction par ce P.G.C.D.
P.G.C.D.( 14 , 25 ) = 11425
est irréductible
P.G.C.D ( 18 , 24 ) = 61824
=34
et 34
est irréductible
On factorise par 7
N 06 NOMBRES RELATIFS
Partie cinquième :
I- NOMBRE RELATIF
Un nombre relatif est composé de deux parties :
• un signe ( + ou – ) ;
• une partie numérique appelée « distance à zéro ».
Exemples : ( + 3 ) ; ( – 5 ) ; ( + 0,5 ) ; 0 ; ( – 2,8 )
VOCABULAIRE+ 3 ; + 0,5 ; 0 sont des nombres positifs ( signe + ).– 5 ; – 2,8 ; 0 sont des nombres négatifs ( signe – ).
Remarque : + 3 est noté 3.
II- SOMME DE DEUX NOMBRES RELATIFSSi on ajoute deux nombres de même signe, on obtient :
un nombre de ce même signe ; et on fait la somme des deux distances à zéros.
Exemples : (+8,2 )+(+12,6 )=20,8 (−8 )+ (−25 )=−33
Si on ajoute deux nombres de signes différents, on obtient : Un nombre ayant le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro . Et on fait la différence des deux distances à zéro.
Exemples : (+18 )+ (−12 )=+6 car 18 > 12 et 18 – 12 = 6
(−15 )+ (+8 )=−7 car 15 > 8 et 15 – 8 = 6
Remarque : Deux nombres dont la somme est zéro sont dits opposés.
Exemple : (+18 ) et (– 18 ) sont opposés car (+18 ) + (– 18 ) = 0
III- DIFFERENCE DE DEUX NOMBRES RELATIFS
Soustraire un nombre relatif c’est ajouter son opposé.
Exemples : 18 – ( + 3,5 ) = 18 + ( – 3,5) = 14,5– 16 – (– 9 ) = – 16 + ( + 9 ) = – 7
IV- SIMPLIFICATION D’ECRITURE
– 4 + 9 – 3 + 2 – 6 signifie (– 4 ) + ( + 9 ) + (– 3 ) + ( + 2 ) + (– 6 )
– 4 + 9 – 3 + 2 – 6 est une somme algébrique.
Dans l’écriture simplifiée : Les signes indiqués sont les signes des nombres relatifs ; Les opérations à faire sont des additions de nombres relatifs
– 4 + 5 – 3 + 7 – 9 + 6 = – 4 – 3 – 9 + 5 + 7 + 6 = – 16 + 18 = 2
A SAVOIR ! – a désigne l’opposé de a Ex : Si a = 5,8 alors – a = – 5,8 Si a = – 8,4 alors – a = 8,4
+ a désigne le même nombre que a Ex : Si a = 5,8 alors + a = 5,8 Si a = – 4,3 alors + a = – 4,3
Partie quatrième :
I - PRODUIT DE NOMBRES RELATIFS
Le produit de deux nombres relatifs est
• positif : si les deux nombres sont de même signe ;• négatif : si les deux nombres sont de signes différents.
et on fait le produit des deux distances à zéro.
Exemples : ( + 8 ) × ( + 7 ) = + 56 (– 8 ) × ( + 7 ) = – 56
( – 8 ) × ( – 7 ) = + 56 ( + 8 ) × (– 7 ) = – 56
Multiplier un nombre relatif par – 1 revient à prendre son opposé.
Remarque : Cela signifie que pour tout nombre relatif a : – 1 × a = – a.
I I- PRODUIT DE PLUSIEURS NOMBRES RELATIFS
Un produit de plusieurs facteurs non nuls est : • positif s’il comporte un nombre pair de facteurs négatifs ;• négatif s’il comporte un nombre impair de facteurs négatifs.
Exemples : 3 × (– 2 ) × ( + 4 ) × (– 2 ) × ( – 1 ) × (– 5 ) = 240
(– 1) × (– 3 ) × (+ 2 ) × 5 × (– 1 ) × 2 = – 60
I II- QUOTIENT DE DEUX DECIMAUX RELATIFS
Pour diviser deux nombres décimaux relatifs ( le diviseur n’étant pas nul )
• on divise leurs distances à zéro
• on applique la même règle des signes que pour le produit de deux nombres.
Exemples : ( – 8 ) : ( + 2 ) = – 4 ( + 15 ) : ( – 5 ) = – 5 ( – 20 ) : ( – 5 ) = 4 – 7 : 3 = −73
N 07 RACINES CARRÉES
I. Définition de la racine carrée
Définition
La racine carrée d'un nombre positif a est le nombre positif, noté a , dont le carré est a.
Le symbole est appelé « radical ».
Remarques : • Le carré d'un nombre est toujours positif.
• Lorsque a est un nombre strictement négatif, a n'existe pas et n'a donc pas de sens.
Règles
Pour tout nombre positif a, on a a 2
= a et a2= a .
Exemple : Calcule 1 ; 3,6 2
; 9 ; 52 ; −5 2 ; 2 × 2 et 1,3 × 1,3.
• 12 = 1 et 1 est positif donc 1 = 1. • − 5 est négatif donc −52 = 25= 52 =5.
• 3,6 est positif donc 3,6 2= 3,6. • 2 est positif donc 2 × 2 = 2
2= 2.
• 32 = 9 et 3 est positif donc 9 = 3. • 1,3 est positif donc 1,3 × 1,3 = 1,32= 1,3 .
Définition Un carré parfait est le carré d'un nombre entier.
Remarque : La racine carrée d'un carré parfait est un nombre entier.
II. Produit et quotient de racines carrées
A - Multiplication de racines carrées
Règle
Pour tous nombres positifs a et b, a × b = a × b .
Exemple : Écris le nombre C = 32 sous la forme a b , où a et b sont deux nombres entiers positifs, b étant leplus petit possible.
C = 16 × 2
C = 42× 2
On fait apparaître le produit d'un carré parfait (le plus grandpossible) par un entier.
C = 42× 2
C= 4 × 2 = 4 2
On décompose la racine carrée du produit puis on applique ladéfinition d'une racine carrée.
B - Quotient de racines carrées
Règle
Pour tous nombres positifs a et b (b ≠ 0), ab
= a
b.
Exemple : Simplifie les nombres A = 3625
et B = 0,56
0,08.
A = 3625
= 36
25=
65
B = 0,56
0,08= 0,56
0,08= 0,56 × 100
0,08 × 100= 56
8= 7
III. Réduction de sommes
A savoir
La somme de deux racines carrées n'est pas égale à la racine carrée de la somme : 2 3 ≠ 5.
Exemple 1 : Réduis la somme A = 5 − 2 5 7 5.
A = 5 − 2 5 7 5 On remarque que 5 est un facteur commun aux trois termes de lasomme.
A = 1 − 2 7 5 On factorise par 5.
A = 6 5 On réduit la somme.
Exemple 2 : Écris B = 2 72 −7 18 sous la forme c d , où c et d sont deux entiers relatifs, d étant un entiernaturel le plus petit possible.
B = 2 36 × 2− 7 9 × 2On décompose 72 et 18 pour faire apparaître le produit d'un carréparfait (le plus grand possible) par un même entier.
B = 2 36 × 2 −7 9× 2 On décompose la racine carrée de chacun des produits.
B = 2 × 6 2 − 7 ×3 2 On applique la définition d'une racine carrée.
B = 12 2 − 21 2 =− 9 2 On donne l'écriture demandée dans l'énoncé.
IV. Résolution d'équation x 2 = a
Règles Pour tout nombre a,
• Si a 0 alors l'équation x2 = a admet deux solutions : a ou − a .
• Si a = 0 alors l'équation x2 = 0 admet une seule solution : 0.
• Si a 0 alors l'équation x2 = a n'admet pas de solution.
Exemple : Résous les équations x2 = 3, x2 = 36 ; x2 = − 9.
• 3 0 donc les deux solutions de l'équation x2 = 3 sont − 3 ou 3.
• 36 0 donc les deux solutions de l'équation x2 = 36 sont − 36 ou 36 soit − 6 ou 6.
• − 9 est strictement négatif et x2 est positif donc x² = − 9 n'a pas de solution.
N 10 CALCUL LITTÉRAL
I. Expressions littérales
1. Substitutions lettres - nombres Une expression littérale est une expression qui contient des lettres pour représenter des nombres.Substituer une lettre par un nombre dans une expression, consiste à remplacer cette lettre par un nombre donné.
Exemple : Calculer A = 2 x a + 7 pour a = 3.A = 2 x 3 + 7 = 6 + 7 = 13
2. Expressions littérales égales Deux expressions littérales sont égales lorsqu’elles donnent des résultats égaux quel que soit la valeur choisie pour la lettre.
II. Simplification d'une expression littérale
1. Propriétés de la multiplication On peut supprimer le symbole « x » entre un nombre et une lettre ou devant une parenthèse.Pour tout nombre a, on peut écrire : a × a = a ² (qui se lit « a au carré ») ; a × a × a = a 3 (qui se lit « a au cube »).
Remarque : On ne peut pas supprimer le signe × entre deux nombres.
Exemple : 6 x a = 6a 2 x (3 x b + 1) = 2(3b + 1)
Multiplier plusieurs facteurs peut se faire dans n'importe quel ordre.
Exemple : 4 x×2 x=4×2×x×x=8 x2
Quels que soient les nombres relatifs a et b :
2. Réduction d'une expression littérale Réduire une expression littérale, c'est l'écrire avec le moins de termes possibles.
Exemple : 3 x2−5 x=−2 x2
III. Développement et factorisation
1. Définitions : Développer signifie transformer un produit en une somme ou une différence.Factoriser signifie transformer une somme ou une différence en un produit.
2. Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition (distributivité simple)
k x (a + b) = k x a + k x b k x (a - b) = k x a - k x b
Exemple : Développe l'expression suivante : A=−5 x (2 x−4)
A=−5 x (2 x−4)=−5 x×2 x−5 x×(−4)=−10 x2+20 x
Exemple : Factorise l'expression suivante : F = – x² + 3x.F = (– x) × x + 3 × x F = x(– x + 3)
développementdéveloppement
factorisation factorisation
1×a=a−1×a=−a
0×a=0
1×(a+b)=(a+b)
−1×(a+b)=−(a+b)
0×(a+b)=0
IV. Double distributivité
Pour tous nombres relatifs a, b, c et d, on a :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Exemple :
V. Identités remarquables
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (a + b)(a – b) = a2 – b2
VI. Méthode pour factoriser
● Rechercher un facteur commun, on utilise alors les deux formules :k x (a + b) = k x a + k x b k x (a - b) = k x a - k x b
● S'il n'y a pas de facteur commun, alors on utilise les identités remarquables.● On compte le nombre de termes.● S'il y a 2 termes, alors on utilise : a² – b² = (a + b)(a – b).● S'il y a 3 termes, alors on utilise : a² + 2ab + b² = (a + b)² ou a² - 2ab + b² = (a – b)².
○ On identifie a et b.○ On applique la formule.
développement
factorisation
développement
factorisationdéveloppement
factorisation
B=3 x−5×−2 x4=−6 x212 x10 x−20=−6 x222 x−20
N 20 LES PUISSANCES
Partie quatrième : les puissances de dix.
ECRITURE DECIMALE
Définition :
Pour tout nombre entier n positif,
10 n = 10 × 10 × ……. ×10 = 1 000..……0
n est l’exposant
10 – n = 1
10n= 0, 000………001
Exemples :
104 = 10 000
103 = 1 000
102 = 100
101 = 10
100 = 1
10-1 = 10
1 = 0,1
10-2 = 210
1 =
100
1 = 0,01
10-3 = 310
1 =
1000
1 = 0,001
10-4 = 410
1 =
10000
1 = 0,0001
OPERATIONS SUR LES PUISSANCES DE DIX
10 n × 10 p = 10 n + p
10 n = 10 n – p
10 p ( 10 n ) p = 10 n × p
Exemples :10 3 × 10 6 = 10 3 + 6 = 10 9
10 – 2 × 10 7 = 10 – 2 + 7 = 10 5
10 – 4 × 10– 2 = 10 – 4 – 2 = 10 – 6
Exemples :
4373
7
101010
10 == −
862)6(26
2
10101010
10 === +−−−
Exemples :( 10 3 ) 5 = 10 3 × 5 = 10 15
Remarque : 10 n et 10 – n sont inverses.
NOTATION SCIENTIFIQUE D’UN NOMBRE DECIMAL
Écrire un nombre en notation scientifique, c’est l’écrire sous forme a × 10 p où :♦ p est un entier relatif♦ et a un nombre décimal ayant un seul chiffre, différent de zéro, avant la virgule. ( 1 ≤ a < 10 )
Exemples : 538 000 = 5, 38 × 10 5
0, 00038 = 3, 8 × 10 - 4
- 0, 059 = - 5, 9 × 10 – 2
- 2 650 000 = - 2, 65 × 10 6
n zéros n facteurs 10 n chiffres après la virgule
Partie troisième : les puissances.
PUISSANCE D’UN NOMBRE DECIMAL
a est un nombre décimal, n est un entier non nul.
a n = a × a ×……...× a ( n est l’exposant )
a−n = 1
an
a – n et a n sont inverses.
Exemples : 53 = 5 × 5 × 5 = 125 5 -2 = 04,025
1
5
12
==
Cas particuliers : a1 = a a0 = 1 00 n’a pas de sens
OPERATIONS SUR LES PUISSANCES
a et b sont des nombres décimaux, n et p des nombres entiers relatifs.
•a n × a p = a n + p an
a p = a n – p
Exemples : Exemples :
5 7 × 5 – 3 = 5 7-3 = 5 4
6 –3 × 6 –8 = 6 –3-8 = 6 -11
3474
7
222
2 == −
6424
2
777
7 == +−
• ( a × b ) n = a n × b n ab n
=an
bn
a ≠ 0 b ≠ 0
Exemples : Exemples :
( 3 × 7 ) 6 = 3 6 × 7 63
33
7
5
7
5 =
♦ ( a n ) p = a n × p
Exemples :
( 9 2 )3 = 9 2 × 3 = 9 6
n facteurs a
N 30 ÉQUATIONS
I. Vocabulaire
Définition Une équation est une expression dans laquelle il y a toujours un signe égal et une ou plusieurs inconnues (désignées chacune par une lettre, en général).
Exemple 1 : 2x2 – 5 = x + 10 est une équation où l'inconnue est désignée par la lettre x.Cette équation a deux membres : 2x2 – 5 (membre de gauche) et x + 10 (membre de droite).
Définitions Résoudre une équation d'inconnue x, c'est déterminer toutes les valeurs de x (si elles existent) pour que l'égalité soit vraie. Chacune de ces valeurs est appelée solution de l'équation.
Exemple 2 : 3 est-il une solution de l'équation 2x2 – 5 = x + 10 ?
On remplace x par 3 dans les deux termes en calculant séparément.
2 x 3² - 5 = 2 x 9 – 5 = 18 – 5 = 133 + 10 = 13
13 est donc solution de l'équation.
II. Résolution d'une équation du premier degré
Propriétés Pour tous nombres a, b et c :
• Une égalité reste vraie si on ajoute ou si on soustrait un même nombre à ses deux membres.
• si a = b alors a + c = b + c• si a = b alors a – c = b – c
• Une égalité reste vraie si on multiplie ou si on divise ses deux membres par un même nombre non nul.
• si a = b alors a × c = b × c
• si a = b alorsac
=bc
où c 0)
III. Résolution de problème
Définition Mettre en équation un problème, c'est traduire son énoncé par une égalité mathématique.
Méthode :
• Étape n°1 : Choix de l'inconnue.• Étape n°2 : Mise en équation.• Étape n°3 : Résolution de l'équation.• Étape n°4 : Vérification que la valeur trouvée est solution du problème.• Étape n°5 : Conclusion.
IV. Équation produit
Propriété Si un produit est nul, alors l'un au moins de ses facteurs est nul.
Exemple : Résous l'équation (x 3)(x − 7) = 0.
Si un produit est nul alors l'un de ses facteurs au moins est nul.On en déduit que : x 3 = 0 ou x − 7 = 0 x = − 3 ou x = 7On teste les valeurs trouvées.Pour x = − 3 : (x 3)(x − 7) = (− 3 3)(− 3 − 7) = 0 × (− 10) = 0.Pour x = 7 : (x 3)(x − 7) = (7 3)(7 − 7) = 10 × 0 = 0.Les solutions de l'équation produit (x 3)(x − 7) = 0 sont − 3 et 7.
N 31 ORDRE – INEQUATIONS
I. COMPARAISON DE DEUX NOMBRES, SIGNE DE LEUR DIFFERENCE
Pour comparer deux nombres relatifs a et b, on peut chercher le signe de leur différence.
Propriété : Si a – b < 0 alors a < bSi a – b > 0 alors a > b
Exemples : - 2 – ( – 3 ) = – 2 + 3 = 1 1 > 0 donc – 2 > – 3
- 35 – ( +7 ) = – 35 – 7 = – 42 – 42 < 0 donc – 35 < + 7
II. INEGALITE ET ADDITION
Règle 1: a, b et c sont trois nombres relatifs : Si a < b alors a + c < b + c
a + c et b + c sont rangés dans le même ordre que a et b.
On peut ajouter ( ou retrancher ) un même nombre à chaque membre d’une inégalité sans en changer le sens.
Exemples : – 3 < 7 x – 2 < – 9 5 + x < – 13– 3 + 4 < 7 + 4 x – 2 + 2 < – 9 + 2 5 + x – 5 < – 13 – 5+ 1 < 11 x < – 7 x < – 18
III. INEGALITE ET MULTIPLICATION
Règle 2: a, b et c sont trois nombres relatifs : Si a < b et c > 0 alors a×cb×c
Si c est un nombre strictement positif alors ac et bc sont rangés dans le même ordre que a et b.
On peut multiplier les deux membres d’une inégalité par un même nombre positif, sans en changer le sens.
Exemples : – 3 < 7 4 x < – 2 3 x < 7
– 3 × 2 < 7 × 2 4 x×14−2×
14
3 x×137×
13
– 6 < 14 x < −12
x < 73
Règle 3: a, b et c sont trois nombres relatifs : Si a < b et 0 > c alors a×cb×c
Si c est un nombre strictement négatif alors ac et bc sont rangés dans l’ordre inverse de a et b.
On peut multiplier les deux membres d’une inégalité par un même nombre négatif, en changeant le sens de cette inégalité.
Exemples :
– 3 < 7 – 4 x < – 2 – 3 x < 7
– 3 × ( – 2 ) > 7 × ( – 2 ) – 4 x × ( –14
) > – 2 × ( –14
) – 3 x × ( – –13
) > 7 × ( – –13
)
6 > –14 x > 12
x > −73
IV. INEQUATION
Définition : Une inéquation est une inégalité dans laquelle apparaît une valeur inconnue souvent notée par une lettre x, y, t…
Exemples :
x < 3 3t – 9 > 7 23
w –85w1 sont des inéquations.
Pour résoudre une inéquation, il faut trouver les valeurs de l’inconnue qui rendent l’inégalité vraie.Pour cela, il faut isoler l’inconnue en utilisant les règles vues au II et III :
Exemples : Résoudre l’ inéquation suivante : 2 x – 35
2 x – 3353 l’addition ne modifie pas l’ordre;
2 x×128×
12
la division par un nombre positif ne modifie pas l'ordre ;
x < 4 les solutions de l’inéquation sont donc tous les nombres inférieurs ou égaux à 4.
Les solutions sont reportées sur une droite graduée :
N 40 PROPORTIONALITÉ
I- PROPORTIONNALITÉ SUR UN TABLEAU
2 5 8 14 5 15 7 25
3 7,5 12 21 3 9 4,2 20
32=
7,55
=128
=2114
=1,5 35=
915
=4,27
=0,6 mais 2025
=0,8
Les quotients sont tous égaux Les quotients ne sont pas tous égaux
Il y a proportionnalité Il n’y a pas proportionnalité
• Il y a proportionnalité quand tous les couples de nombres qui se correspondent donnent le même quotient.
• Ce quotient s’appelle le coefficient de proportionnalité
II- RECHERCHE D’UNE QUATRIEME PROPORTIONNELLE
Exemple : 15 litres de super ont coûté 84,60 F.1) Quel serait le prix de 45 litres ?2) Quel serait le prix de 32,5 litres ?3) Quelle quantité de super coûterait 300 F ?
Grandeurs proportionnelles : Quantité de super
Prix à payer
Tableau de proportionnalité :
Quantité de super ( en l ) 15 45 32,5 z ?
Prix à payer ( en F ) 84,60 x ? y ? 300
1) Calcul de x :
15 45 x = 84,60 x 3 car 45 = 15 × 3
84,60 ? x = 253,80
45 litres de super coûteraient 253,80 F
X 1,5
x 3
x 3
2) Calcul de y :
On cherche le prix d’un litre
84 ,6015
=5,64
15 32,5
84,60 ? y = 183,30
32,5 litres de super coûteraient 183,30 F
3) Calcul de z :
15 ?
84,60 300
z= 3005,64
ou z = 300 : 5,64
z = 53,19
Avec 300 F on achèterait 5,19 litres de super.
4) Produit en croix :
a c
b d
Propriété : Dans un tableau de proportionnalité
Les « produits en croix » sont égaux
a x d = b x c
III- REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DE LA PROPORTIONNELLE
Proportionnalité Non-proportionnalité
A chaque couple de nombres qui se correspondent, on associe un point.
● Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement par des points alignés sur une droite qui passe par l’origine du repère (admis)
● Réciproquement, des points alignés sur une droite qui passe par l’origine du repère représentent une situation de proportionnalité (admis)
Remarque : La lecture sur un graphique ne donne qu’un ordre de grandeur. Seul un calcul donne avec certitude la valeur exacte.
: 5,64
x5,64
y=32,5×5,64
O O O
N 41APPLICATION DE LA PROPORTIONNALITÉ :
VITESSES MOYENNESDÉFINITION
Lorsque la distance d parcourue par un mobile est proportionnelle au temps t pour parcourir cette distance, on dit que ce mobile a un mouvement uniforme. Le coefficient de proportionnalité v est la vitesse moyenne de ce mobile.
Durée du trajet tDistance parcourue d
Conséquence : On a aussi : v=dt
et t=dv
Remarque : • Si d est en km et t en h alors v est en km/h• Si d est en m et t en s alors v est en m/s
Exemples : a) Calculer une vitesse en km/h puis en m/s
d = 25,2 km et t = 2h en km/h
v=dt
v=25,2
2v = 12,6 km/h
h
en m/s
12,6 km/h = 12,6 km1h
=12600 m3600 s
=126003600
m /s= 3,5 m /s
a) Calculer d v = 80 km/h et t = 1h30min soit t = 1,5h d=v×t h km km/hd = 80 x 1,5d = 120 km
b) Calculer t en h puis en h et min v = 15m/s et d = 91,8 km
t=dv
km
h km/h
15m/s = 15 m1s
=0,015 km1s
=54km /h
1 h = 3600s
Remarque :La vitesse moyenne sur un parcours n’est pas égale à la moyenne des vitesses
x v
km
t=91,854
h
t=1,7 ht=1h0,7 ht=1h0,7×60mint=1h42min
d=v×t
N 42 ECHELLES
I. REDUCTION
Définition de l’échelle d’une carte
Si une carte est à l’échelle 1/200 000, cela signifie que 1 cm de la carte représente 200 000 cm en réalité.
L’échelle est constituée de deux nombres qui indiquent des distances exprimées dans la même unité.Le premier nombre indique la dimension sur la carte, c’est toujours 1.
La dimension réelle et la dimension sur la carte sont proportionnelles.
On peut donc utiliser des tableaux de proportionnalité pour tous les calculs .
Utilisation de l’échelle pour calculer la dimension réelle ou la dimension sur la carte
Exemple : Sur une carte à l’échelle 1/25 000 a) Deux points sont distants de 12 cm, quelle est leur distance en réalité ?b) Quelle est la distance, sur cette carte de deux lieux distants en réalité de 4,5 km ?
Distance sur la carte ( en cm ) 1 12 ?Distance réelle ( en cm ) 25 000 ? 450 000
Calcul : 25 000 x 12 = 300 000Les deux points sont en réalité distants de 300 000 cm ou de 3 km
Distance sur la carte ( en cm ) 1 12 ?Distance réelle ( en cm ) 25 000 ? 450 000
Calcul : 450 000 : 25 000 = 18 La distance de ces deux points sur la carte est de 18 cm.
Recherche de l’échelle
Exemple : Deux villes distantes en réalité de 5 km sont distantes de 2,5 cm sur une carte.Quelle est l’échelle de cette carte ?
Conversion : 5 km = 500 000 cm.
Distance sur la carte ( en cm ) 2,5 1
Distance réelle ( en cm ) 500 000 ?
Calcul : 500 000 : 2,5 = 200 000
L’échelle de cette carte est de 1 / 200 000
II. AGRANDISSEMENT
Définition de l’échelle d’un dessin, d’une maquette
Si l’échelle d’un dessin est 3 ( 3/1 ) cela signifie que le dessin est 3 fois plus grand que la réalité,
c’est à dire que 3 cm du dessin représentent en réalité 1 cm.
On a fait un agrandissement.
La dimension sur le dessin et la dimension réelle sont proportionnelles.
Exemple :
Sur un livre de biologie, une puce est représentée à l’échelle 50.
a) Sur ce livre la patte de la puce mesure 1 cm. Quelle est la longueur réelle de cette
patte ?
b) La puce mesure en réalité 1 mm. Quelle est sa dimension sur le dessin ?
Dimension sur le dessin ( en cm ) 50 1 ?
Dimension réelle ( en cm ) 1 ? 0,1
Calcul : 1 : 50 = 0,02
La longueur réelle de la patte est de 0,02 cm soit 0,2 mm.
Dimension sur le dessin ( en cm ) 50 1 ?
Dimension réelle ( en cm ) 1 ? 0,1
Calcul : 0,1 x 50 = 5
La dimension de cette puce sur le dessin est de 5 cm.
Recherche de l’échelle
Un bijou de 1,5 cm est représenté sur un catalogue par un dessin de 6 cm.
Quelle est l’échelle de ce dessin ?
Calcul : 6 : 1,5 = 4 L’échelle du dessin est 4.
N 43APPLICATION DE LA PROPORTIONNALITÉ :
POURCENTAGES
I- ECRITURE D’UN POURCENTAGE
15% , 20% sont des pourcentages
On peut aussi écrire : 15% = 15100
= 0,15 on lit : 15 pour cent
De même 20% = 20100
= 0,2 on lit : 20 pour cent
Inversement 0,43 = 43% 0,6 = 60%
II- APPLIQUER UN POURCENTAGE
Un pourcentage représente une situation de proportionnalité.
Exemples :
Calculer les 12% de 80
12% de 80 = 12% × 80 = 12
100 × 80 = 0,12 x 80= 9,6
Quelques pourcentages à connaître
10 % = 10100
= 0,1 Pour calculer 10% d’un nombre, on divise ce nombre par 10
20 % = 20100
= 15
= 0,2 Pour calculer 20% d’un nombre, on divise ce nombre par 5
25 % = 25100
= 14
= 0,25 Pour calculer 25% d’un nombre, on divise ce nombre par 4
50 % = 50100
= 12
= 0,5 Pour calculer 50% d’un nombre, on divise ce nombre par 2
III- CALCULER UN TAUX DE POURCENTAGE
Exemple :Sur 25 élèves de la classe, 15 ont eu la moyenne à un contrôle. Quel pourcentage cela représente-t-il ?
Nombre d’élèves ayant la moyenne 15Effectif total de la classe 25
1525
= ?
100 Calcul :
15×10025
= 60 60% des élèves ont eu la moyenne.
IV- AUGMENTER OU DIMINUER D’UN POURCENTAGE
Augmenter de x %, c’est multiplier par 1x
100 ;
Diminuer de x %, c’est multiplier par 1−x
100.
Exemples :
• Augmenter de 8%, c’est multiplier par 1,08 ;• multiplier par 0,77 c’est appliquer une baisse de 23%.
A
A
Axe des abscisses10-3
6
1
3 1
Axe des ordonnées
O
N 50 COORDONNEES DANS UN REPERE
I- REPERAGE SUR UNE DROITE GRADUEE
Pour avoir une droite graduée ( ou axe ) il faut choisir :- une origine- une unité- un sens de graduation
Chaque point d’une droite graduée est repéré par un nombre appelé son abscisse.
Le point A a pour abscisse : 3
II- REPERAGE DANS LE PLAN
On repère un point dans un plan en traçant deux droites perpendiculaires et en les graduant à partir de leur intersection.
Chaque point du plan est repéré par deux nombresLe 1er nombre est l’abscisse du pointLe 2ème nombre est l’ordonnée du pointLes deux nombres sont les coordonnées du point.
On note : A ( – 3 ; + 6 )
0
abscisse ordonnée
coordonnées
F 01 LES FONCTIONS
I - Généralités
A - Notion de f onction
Définition Une fonction est un procédé qui, à un nombre, associe un unique nombre.
Remarque :
On utilise la notation f : x f(x) qui se lit « f est la fonction qui, à x, associe le nombre f(x) »
Exemple :
a. Détermine la fonction g qui, à la longueur x d'une arête d'un cube, associe le périmètre d'une face de ce cube.
b. Détermine la fonction h qui, à la longueur x d'une arête d'un cube, associe le volume de ce cube.
a. La face d'un cube est un carré de périmètre = 4 × x. D'où g(x) = 4x ou g : x 4x.
b. Le volume d'un cube dont la longueur des arêtes est x est = x × x × x = x3.D'où h(x) = x3 ou h : x x3.
B - Images et antécédents
Définitions
Soit f une fonction. Si f(a) = b alors on dit que :• b est l'image de a par f. L'image d'un nombre est unique. • a est un antécédent de b par f. Un nombre b peut avoir plusieurs antécédents.
Exemple 1 : Soit f une fonction telle que f(− 2) = 0. Traduis cette égalité par deux phrases.
• 0 est l'image de − 2 par la fonction f.
• − 2 est un antécédent du nombre 0 par la fonction f.
Exemple 2 : Soit la fonction f : x x2 − 4. Détermine l'image de − 5 puis celle de 5 par f. Que remarques-tu ?
x x2 − 4 signifie qu'à tout nombre, ici noté x, la fonction f associe un unique nombre qui se calcule avec laformule : x2 − 4. On dit que l'image de x par la fonction f est x2 − 4 et on note aussi f(x) = x2 − 4.
f(x) = x2 − 4 f(x) = x2 − 4
f(− 5) = (− 5)2 − 4 f(5) = 52 − 4 On remplace x par − 5 puis par 5.
f(− 5) = 25 − 4 f(5) = 25 − 4 On calcule.
f(− 5) = 21 f(5) = 21
Donc l'image par la fonction f de − 5 est 21 et celle de 5 est 21 également. On remarque que − 5 et 5 ont la même image : 21 par la fonction f.Donc 21 a au moins deux antécédents par la fonction f.
Définition
Les images respectives par la fonction f de certaines valeurs de x peuvent être présentées dans un tableau appelétableau de valeurs.
Exemple 3 : Voici un tableau de valeurs de la fonction f : x x2 − 4.
x − 4 − 3 − 2 − 1 0 1 2 3 4
f(x) 12 5 0 − 3 − 4 − 3 0 5 12
a. Détermine l'image de 0 par la fonction f.
b. Détermine le(les) antécédent(s) de 5 par la fonction f.
La 2de ligne du tableau donne l'image de chaque nombre de la 1re ligne par la fonction f.
a. On cherche 0 sur la 1re ligne du tableau et on lit son image sur la 2de ligne.L'image de 0 par la fonction f est − 4. On écrit f(0) = − 4 (ou f : 0 − 4).
b. On cherche 5 sur la 2de ligne du tableau et on lit ses antécédents sur la 1re ligne.Les antécédents de 5 par la fonction f sont − 3 et 3. On écrit f(− 3) = f(3) = 5.
II - Représentation graphique
Définition La représentation graphique d'une fonction f est la courbe constituée de l'ensemble des points de coordonnées(x ; f (x)).
Exemple : Le graphique ci-dessous représente la fonction f : x x2 − 4.
a. Détermine graphiquement l'image de 1,5 par la fonction f.
b. Détermine graphiquement le (les) antécédent(s) de − 3 par la fonction f
a. On cherche l'ordonnée du point de la représentationgraphique de f qui a pour abscisse 1,5. Pour cela :
• On trace la droite parallèle à l'axe des ordonnéespassant par le point d'abscisse 1,5.
• On trace la droite parallèle à l'axe des abscisses etqui passe par le point d'intersection de lareprésentation graphique de f et de la droiteprécédente. Elle coupe l'axe des ordonnées en − 1,75.
On en déduit que l'image de 1,5 par la fonction f est− 1,75 donc f(1,5) = − 1,75.
b. On cherche l'abscisse (les abscisses) du (des)point(s) de la représentation graphique de f ayant pourordonnée − 3. Pour cela :
• On trace la droite parallèle à l'axe des abscissespassant par le point d'ordonnée − 3.
• On trace les droites parallèles à l'axe des ordonnéespassant par les points d'intersection de lareprésentation graphique de f et de la droiteprécédente. Ces parallèles coupent l'axe des abscissesen − 1 et 1.
On en déduit que les deux antécédents de − 3 par lafonction f sont − 1 et 1.
0
− 1
1
− 4
− 2
− 3
1 2− 2 − 1
1,50
− 1
1
− 4
− 2
− 3
1 2− 2 − 1
III - Fonctions linéaires
Définitions
On appelle fonction linéaire de coefficient a toute fonction qui, à tout nombre noté x, associe le nombre a × x(c'est-à-dire x a × x) où a est un nombre.
Propriétés • Tout nombre admet une unique image par une fonction linéaire.• Tout nombre admet un unique antécédent par une fonction linéaire.
Exemple 1 : Soit la fonction f linéaire telle que f(x) = 2x.
a. Calcule l'image de 3 par la fonction f.b. Calcule l'antécédent de 7 par la fonction f.
a. f(x) = 2x On remplace x par 3. b. f(x) = 7 On cherche le nombre x quia pour image 7.
f(3) = 2 × 3 On calcule. 2x = 7 On résout.
f(3) = 6 L'image de 3 par la fonction f est 6.
x = 3,5 L'antécédent de 7 par f est donc 3,5.
Exemple 2 : Détermine la fonction linéaire f telle que f(5) = 4.
f(x) = ax f est une fonction linéaire de coefficient a.
f(5) = 5a et f(5) = 4On remplace x par 5.
5a = 4 On obtient une équation que l'on résout.
a =45 f est donc la fonction définie par f(x) =
45 x.
Propriété
Pour toute fonction affine g de coefficient a, les accroissements des valeurs de g(x) et de x sont
proportionnels donc, pour tous nombres x1 et x2 distincts, a =g (x1) – g (x2)
x1 – x2
.
Représentation graphique Propriété
La représentation graphique d'une fonction linéaire f : x a × x est une droite qui passe par l'origine du repère.
Remarques :
a s'appelle le coefficient directeur de la droite : il donne l'accroissement de f(x) lorsque x augmente d'une unité.
Exemple : Représente graphiquement la fonction linéaire f définiepar f(x) = − 0,5x.
f est une fonction linéaire donc sa représentation graphique estune droite qui passe par l'origine du repère.
Pour tracer cette droite, il suffit de connaître les coordonnéesd'un de ses points : on calcule l'image d'un nombre par lafonction f.
Par exemple : A(6 ; − 3).
On trace (df) qui passe par l'origine et par le point A.
10
1
(df)
A
IV - Fonctions affines
Définitions
On appelle fonction affine toute fonction qui, à tout nombre noté x, associe le nombre a × x b(c'est-à-dire x a × x b) où a et b sont deux nombres.
Remarques :
• Une fonction linéaire est une fonction affine particulière (cas où b = 0). Les fonctions linéaires traduisent dessituations de proportionnalité.
• Lorsque a = 0, la fonction est une fonction constante : à tout nombre x, elle associe le nombre b.
Propriétés • Tout nombre admet une unique image par une fonction affine.• Tout nombre admet un unique antécédent par une fonction affine non constante.
Exemple 1 : Soit la fonction g affine telle que g(x) = 5x − 1.
a. Calcule l'image de − 7 par la fonction g.b. Calcule l'antécédent de 14 par la fonction g.
a. g(x) = 5x − 1 On remplace x par − 7. b. g(x) = 14On cherche le nombre x quia pour image 14.
g(− 7) = 5 × (− 7)−1 On calcule. 5x − 1 = 14 On résout.
g(− 7) = − 36L'image de − 7 par la fonction g est − 36.
5x = 15 x = 3
L'antécédent de 14 par g est donc 5.
Propriété
Pour toute fonction affine g de coefficient a, les accroissements des valeurs de g(x) et de x sont
proportionnels donc, pour tous nombres x1 et x2 distincts, a =g (x1) – g (x2)
x1 – x2
.
Exemple 2 : Détermine la fonction affine g telle que g(5) = 4 et g(− 2) = 25.
Première méthode :
g(x) = ax b g est une fonction affine.
g(5) = 5a b = 4 On remplace x par 5.et g(− 2) = − 2a b = 25 On remplace x par − 2.
Donc {5a + b= 4– 2a + b= 25
On obtient un système de deux équations que l'on résout.
On obtient a = − 3 et b = 19 g est donc la fonction définie par g(x) = − 3x 19.
Deuxième méthode :
a =g – 2 – g 5
– 2 – 5
a =25 – 4– 2 – 5
=21−7 = − 3
On détermine le coefficient a en utilisant la propriété desaccroissements.
g(x) = − 3x b On remplace a par − 3 dans l'expression de g.
g(5) = 5×(− 3) b = 4On remplace x par 5.
b = 19On résout l'équation pour déterminer b.
On obtient a = − 3 et b = 19 g est donc la fonction définie par g(x) = − 3x 19.
Représentation graphique
Propriété
La représentation graphique d'une fonction affine g : x a × x b est une droite.
Remarques :
• a s'appelle le coefficient directeur de la droite : il donne l'accroissement de g(x) lorsque x augmente d'une unité.
• b s'appelle l'ordonnée à l'origine : g(0) = b. La droite passe par le point de coordonnées (0 ; b).
Exemple : Représente graphiquement la fonction affine g définie par g : x 3x − 2.
g est une fonction affine donc sa représentation graphiqueest une droite.
Pour tracer cette droite, il suffit de connaître lescoordonnées de deux de ses points.
Par exemple : B(− 1 ; − 5) et C(2 ; 4).
On trace (dg) qui passe par les points B et C.
10
1
(df)
(dg)
1
1
3
−0,5
B
A
C
S 01 STATISTIQUES
I. VOCABULAIRE DES STATISTIQUES.
Exemple 1 : Un professeur rend un devoir aux 23 élèves de sa classe de 3ème. La liste des notes est la suivante
18 – 15 – 7 – 6 – 18 – 14 – 8 – 7 – 9 – 12 – 16 – 9 – 16 – 18 – 10 – 16 – 20 – 8 – 9 – 15 – 9 – 10 – 8.
La population étudiée est les élèves de la classe de 3ème.Le caractère étudié est la note obtenue au devoir.Il y a 23 notes donc l’effectif total est 23.Les valeurs du caractère sont : 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18 et 20.
II. E FFECTIF CUMULÉ-FRÉQUENCE CUMULÉE.
1. Effectif cumulé
Définition : Dans un tableau statistique dont les valeurs sont rangées par ordre croissant, l’effectif cumulé croissant d’une valeur s’obtient en ajoutant à l’effectif de cette valeur les effectifs des valeurs qui la précèdent.
Exemple 2 : Un professeur a corrigé 24 devoirs. Voici les notes :
13 ; 12 ; 10 ; 9 ; 6 ; 14 ; 12 ; 15 ; 6 ; 7 ; 18 ; 17 ; 12 ; 10 ; 9 ; 4 ; 12 ; 11 ; 13 ; 8 ; 9 ; 6 ; 14 ; 12
Notes 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18Effectif 1 0 3 1 1 3 2 1 5 2 2 1 0 1 1EffectifCumulécroissant
1 1 4 5 6 9 11 12 17 19 21 22 22 23 24
Le 5 s’obtient en ajoutant 1 ; 0 ; 3 ; 1.
Remarque : Pour obtenir un effectif cumulé décroissant, il suffit que les valeurs soient rangées par ordre décroissant.
2. Fréquence cumulée
Définition : La fréquence cumulée s’obtient en divisant l’effectif cumulé par l’effectif total.
Exemple 2 : Dans l’exemple 2, calculons la fréquence cumulée de la note 12.
17 élèves sur 24 ont une note inférieure ou égale à 12
F = 17 : 24 ≈ 0,71 ce qui nous donne en pourcentage : 71%
III. M OYENNE PONDÉRÉE D’UNE SÉRIE STATISTIQUE
Définition : La moyenne pondérée est le quotient de la somme des valeurs, affectées chacune de leur coefficient, par la somme totale des coefficients.
Exemple 2 : Dans l’exemple précédent, calculons la moyenne de la classe :
8,1024
1181171152142135121112103918173614 ≈×+×+×+×+×+×+×+×+×+×+×+×+×=M
IV. MEDIANE D'UNE SERIE STATISTIQUE
Définition : Quand une série statistique est ordonnée, la valeur médiane est celle qui partage cette série en deux parties de même effectif.Il y a donc autant de valeurs inférieures à la médiane que de valeurs supérieures.
Exemple 1 : Quelle est la médiane de la série statistique de l'exemple 1 ?
Tout d’abord, ordonnons les notes de cette série :
6 – 7 – 7 – 8 – 8 – 8 – 9 – 9 – 9 – 9 – 10 – 10 – 12 – 14 – 15 – 15 – 16 – 16 – 16 – 18 – 18 – 18 – 20.
Puis on détermine « la place » de cette médiane : 23 = 11 + 1 + 11.
6 – 7 – 7 – 8 – 8 – 8 – 9 – 9 – 9 – 9 – 10 – 10 – 12 – 14 – 15 – 15 – 16 – 16 – 16 – 18 – 18 – 18 – 20.
11 notes 11 notes
10 est la médiane.
Ici, l’effectif est un nombre impair, donc la médiane est une valeur de la série.
ATTENTION !!! Ne pas confondre la médiane et la moyenne d’une série statistique.Dans notre exemple, la moyenne de la série statistique (la moyenne du contrôle) se calcule de la manière suivante :
6 1 7 2 8 3 9 4 10 2 12 1 14 1 15 2 16 3 18 3 20 112,1
23Moyenne
× + × + × + × + × + × + × + × + × + × + ×= ≈
01
234
56
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Notes
Effectifs
Exemple 2 : Quelle est la médiane de la série statistique de l'exemple 2 ?
Remarque : On peut ordonner les résultats dans un tableau et calculer les effectifs cumulés pour déterminer la médiane de la série statistique.
Notes 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18Effectif 1 0 3 1 1 3 2 1 5 2 2 1 0 1 1EffectifCumulécroissant
1 1 4 5 6 9 11 12 17 19 21 22 22 23 24
On peut prendre comme médiane, toute valeur comprise entre 11 et 12.Prenons la moyenne entre 11 et 12 : 11,5
Ici, l’effectif est un nombre pair, donc la médiane n’est pas toujours une valeur de la série.
V. É TENDUE D’UNE SÉRIE STATISTIQUE.
Définition : L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série.
Exemple : retour à l’exemple 1.
Quelle est l’étendue statistique de la série de l’exemple 1 ?
E = 20 – 6 = 14.
L’étendue statistique de la série 1 est donc égale à 14.
L’étendue d’une série statistique est appelée une caractéristique de dispersion.
01
234
56
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Notes
Effectifs
VI. Q UARTILES.
Définition : On considère une série de données rangées dans l’ordre croissant.Le premier quartile d’une série statistique est la plus petite valeur du caractère telle qu’au moins 25 % (le quart) des valeurs lui sont inférieures ou égales.Le troisième quartile d’une série statistique est la plus petite valeur du caractère telle qu’au moins 75 % (les trois quarts) des valeurs lui sont inférieures ou égales.
Retour à l’exemple 1 :
Le premier quartile :
On calcule 25 % de l’effectif total soit 25 % de 23 : 25
100×23=5,75 .
Le premier quartile est donné par la sixième valeur (premier nombre entier supérieur ou égal à 5,75) : 8.
Le troisième quartile :
On calcule 75 % de l’effectif total soit 75 % de 23 : 75
100×23=17,25 .
Le troisième quartile est donné par la dix-huitième valeur ( premier nombre entier supérieur ou égal à 17,25) : 16.
Notes 6 7 8 9 10 12 14 15 16 18 20Effectifs 1 2 3 4 2 1 1 2 3 3 1Effectifs cumulés
1 3 6 10 12 13 14 16 19 22 23
Premier quartile Troisième quartile
On peut récapituler l’ensemble des résultats dans un diagramme appelé boîte à moustaches :
×
6 8 10 12,1 16 20
Valeur Premier Médiane Moyenne Troisième Valeurminimale quartile quartile maximale
F 03 PROBABILITÉS
I. Expérience aléatoire1) Exemples :
- On lance une pièce de monnaie et on regarde la face supérieure.- On lance un dé à six faces et on regarde le nombre de points inscrits sur la face du dessus.- On fait tourner une roue marquée sur ses secteurs de couleurs différentes et on regarde le secteur marqué par la flèche.
2) Définition :
Une expérience (lancé un dé par exemple) est aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats ou issues (pile ou face) et que l’on ne peut pas prévoir, à priori, quel résultat se produira.
II. Notion de probabilité1) Arbre des possibles
Exemple :
Lorsqu’on fait tourner la roue, quatre issues sont possibles. On le schématise sur l’arbre des possibles :
L’arbre des possibles permet de visualiser les issues d’une expérience aléatoire.
2) Probabilité
Exemple :
2 secteurs sur 8 sont de couleur bleue. Lors d’une expérience aléatoire, il y a donc 2 chances sur 8 d’obtenir un secteur de couleur bleue.
On dit que la probabilité d’obtenir un secteur bleu est égale à 28
, soit 0,25.
On inscrit sur l’arbre des possibles les probabilités des différentes issues.
bleu
rouge
jaune
vert
bleu
rouge
jaune
vert
28
18
382
8
3) Événement
Exemple :
Soit l’événement E « La roue s’arrête sur un secteur bleu ou rouge ».On pourrait se demander qu’elle est la probabilité que cet événement se réalise ?
E se réalise : 28
+ 18
= 38
On dit que la probabilité que l’événement E se réalise est égale à 38
et on note : P(E) = 38
.
Un événement est constitué par plusieurs issues d’une même expérience aléatoire.
De manière générale, lorsqu’il y a équiprobabilité entre les différentes issues, la probabilité d’un événement E est :
p( E ) = nombre de cas favorablesnombre de cas possibles
4) Événements incompatibles. Événements contraires
Deux événements E et F associés à une expérience aléatoire sont dit incompatibles s’ils ne peuvent pas se réalisés en même temps.
Exemple :• Sur un jeté de pièce, l’événement « La face supérieure est pile » et l’événement « le
face supérieure est face » sont incompatibles.• Sur un jet de dès à 6 faces : l’événement « le résultat est supérieur ou égal à 3 » et
l’événement « le résultat est inférieure ou égal à 3 » ne sont pas incompatibles.
Théorème : Soit E et F 2 événements incompatibles, alors p( E ou F) = p(E) + p (F)
Deux événements E et F incompatibles associés à une expérience aléatoire sont dits contraires si, nécessairement, soit E, soit F se réalisent.
Exemple : Sur un jet de dès à 6 faces, les événements : « Le résultat est pair » et « le résultat est impair » sont 2 événements contraires.
Théorème : Si E et F sont 2 événements contraires alors p(E) + p(F) = 1.
bleu
rouge
jaune
vert
III. Exemple d’une expérience aléatoire à deux épreuves
Méthode :
Lancer deux fois de suite une pièce de monnaie est une expérience aléatoire à deux épreuves.Soit E l’événement : « On obtient au moins une fois la face PILE. »
(P ;P) 12
x12
=14
(probabilité d’obtenir deux piles)
(P ; F) 12
x12
=14
(probabilité d’obtenir pile puis face)
(F ; P) 12
x12
=14
(probabilité d’obtenir face puis pile)
(F ; F) 12
x12
=14
(probabilité d’obtenir face puis face)
Sur un même chemin, on multiplie les probabilités.
P(E) =14
+14
+14
=14
La probabilité que l’événement E se réalise est de 14
.
Il y a donc trois chances sur quatre d’obtenir au moins une fois la face PILE lorsqu’on lance deux fois de suite une pièce de monnaie.
F
P
F
P
F
P
12
12
12
12
12
12
