FICHES REVISIONS CALCULS ALGEBRIQUES

Nous allons revoir : a) Calculer −Développer – Factoriser b) Les pourcentages c) Les polynômes de degré 1 et 2 d) Des équations et des inéquations e) Des systèmes d’équations et d’inéquations

Nous allons présenter ces révisions sous la forme de fiches à sortir et à faire pour se tester. En fait, depuis la seconde, tu as appris du calcul algébrique et c’est le moment de mettre en pratique toutes les règles vues. En premier lieu, les règles de base : additions, soustractions, multiplications et divisions de nombres réels puis les identités remarquables : (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 ; (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 et a2 – b2 = (a – b)(a + b). Les factorisations utilisent la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition : ab + ac = a(b + c). Les pourcentages ont été très utilisés en seconde et en première en Math et en Eco : Nous avons la formule suivante :

t % = r

i

Q

Q

100

t =

Qi est la quantité étudiée et Qr la quantité totale appelée quantité de référence.

Comment faire agir un pourcentage t% 100

tQQ ri ×=

Comment trouver la quantité totale

100

tQ

Q ir =

La formule des augmentations :

+=100

t1QQ an

Qn est la nouvelle quantité après l’augmentation de t% et Qa l’ancienne quantité avant l’augmentation.

La formule des diminutions :

−=100

t1QQ an

Les quantités 100

t1et

100

t1 −+ s’appellent des coefficients multiplicateurs.

Les polynômes, nous les rencontrerons dans beaucoup d’exercices Le degré 1 :

Théorème : Toute fonction de la forme f(x) = ax + b, a ≠≠≠≠ 0 est un polynôme de degré 1, on les

appelle aussi fonctions affines. Elles possèdent une seule racine x1= a

b− . Elles sont du

signe de a après la racine et du signe contraire avant la racine quand x varie dans R.

La représentation graphique dans un repère orthonormal du plan (P) est toujours une droite quand x varie dans R.

Le degré 2 :

Théorème : Toute fonction de la forme f(x) = ax2 + bx + c avec x∈R , a ≠ 0, est un polynôme de degré 2.

La représentation graphique dans un repère orthonormal de (P) est toujours une parabole.

Si a > 0 alors la parabole est tournée vers le haut et la fonction possède un minimum absolu

pour x = a2

b− .

Si a < 0 alors la parabole est tournée vers le bas et la fonction possède un maximum absolu

pour x = a2

b− .

Equations et inéquations :

Un point de méthode : si nous pouvons tirer x directement, nous le faisons sinon, il faut souvent factoriser.

Exemple 1 : Chercher x∈R tel que 3x – 5 = – 2x – 8

Nous tirons x : 3x + 2x = 5 – 8 donc 5x = – 3 donc x = 5

3− = – 0,6.

Nous donnons l’ensemble des solutions : S = {– 0,6}. Vérification : 3(– 0,6) – 5 = – 6,8 et – 2(– 0,6) – 8 = 1,2 – 8 = – 6,8.

Exemple 2 : Chercher x∈R tels que x2 = 3x Nous mettons tout dans le premier membre et nous factorisons :

x2 – 3x = 0 et donc x(x – 3) = 0 donc deux solutions x = 0 ou x = 3.

S = {0 ; 3}. (facile à vérifier)

Exemple 3 : Chercher x∈R tels que 4x ≥ 7x – 3

4x – 7x ≥ – 3 ⇔ – 3x ≥ – 3, attention nous divisons par un négatif le sens change et donc x ≤≤≤≤ 1 soit S = ]−−−−∞∞∞∞ ; 1].

Vérification : prenons −1 qui est dans l’intervalle solution, 4(−1) ≥ 7(−1) – 3

Oui car −4 ≥ −10.

?

Exemple 4 : Chercher x∈R tels que : x2 ≥ 3x.

Nous mettons tout dans le premier membre : x2 – 3x ≥ 0. Nous avons un polynôme de degré 2, x2 – 3x = x(x – 3) qui a deux racines x1 = 0 et x2 = 3. Nous faisons un tableau de signes.

x −∞ 0 3 +∞

x2 – 3x + 0 − 0 + (a = 1) Conclusion : S = ]−−−−∞∞∞∞ ; 0] ∪∪∪∪ [3 ; +∞∞∞∞[. (Prendre x = −1 puis x = 5 pour vérifier) Les systèmes d’équations ou d’inéquations interviennent dans beaucoup d’exercices. Pour les systèmes d’équations, ils permettent de trouver l’intersection de deux courbes par exemple et pour les systèmes d’inéquations de conjuguer ensembles des conditions sur les variables. Exemple 1 : Déterminer les points d’intersections des courbes (Cf) et (Cg) d’équations y = 2x – 10 et y = x2 – 5x – 10. Il faut résoudre le système suivant : y = 2x – 10 y = 2x – 10 y = x2 – 5x – 10 ⇔ x2 – 5x – 10 = 2x – 10 x2 – 7x = 0 (1) y = 2x – 10 Traitons l’équation (1) x2 – 7x = 0 x(x – 7) = 0 et donc 2 solutions x1 = 0 ou x2 = 7. Et donc y1 = 2(0) – 10 = – 10 ou y2 = 2(7) – 10 = 4 . S={(0 ; −−−−10) ; (7 ; 4)}. (Vérification graphique à faire sur la calculette) Exemple 2 Chercher x∈R tels que : x ≥ 2 x < 8 ⇔ 2 ≤ x < 8 S = [2 ;8[. Passons aux fiches, amusez vous à vous noter ! (Si vous avez moins de 10/20, il faut revoir !)

2 3 4 5 6 7 8-1-2-3

234567

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

-10-11-12-13-14-15-16-17

0 1

1

x

y

TERMINALE STG

FICHE N°1 CALCULER −−−−DEVELOPPER – FACTORISER

Total des points sur 20 :

Effectuer les calculs suivants le plus simplement possible (1 point par calcul exact) : Soit C(q) = − q2 + 36q + 400. Calculer C(0) ; C(10) et C(24).

Soit V(x) = 1t2

27500

+. Calculer V(0) ;V(3) et V

2

7.

Soit f(x) = 6x2

x1

+−

. Calculer f(−1), f(−3) et f(1).

Développer les expressions suivantes, x∈R. (2 points par calcul exact) A(x) = 5(2x – 3) – 7(x − 4) B(x) = (2x – 3)2 – x(5x + 6) C(x) = (1 + x)2 – (5 – x)(5 + x) D(x) = 2x(x + 3)(x – 4) Factoriser les polynômes suivants, x∈R. (1 point par calcul exact) f(x) = 5x2 – 15x g(x) = x2 – 2 h(x) = (2x – 1)2 – 9

Correction Calculs C(0) = − (0)2 + 36(0) + 400 = 400. C(10) = − (10)2 + 36(10) + 400 = – 100 + 360 + 400 = 660. C(24) = − (24)2 + 36(24) + 400 = − 576 + + 400 = 688. Ce sont des calculs utilisant une fonction coût et vous aurez à en faire cette année.

V(0) = 10

27500

1)0(2

27500

+=

+= 27500.

V(3) = 7

27500

1)3(2

27500 =+

≈ 3928,57. (Valeur approchée par défaut à 0,01 prés)

V(2

7) =

12

72

27500

+

=

8

27500= 3437,50. (Valeur exacte)

Il pourrait s’agir d’une fonction évaluant la valeur d’une machine.

f(−1) = 4

2

6)1(2

)1(1 =+−

−−= 0,5.

f(−3) = 6)3(2

)3(1

+−−−

calcul impossible car il y a une division par 0 et en fait, en utilisant cette

fonction, il faudrait au départ poser une condition de calcul : x ≠ −3.

f(1) = 8

0

6)1(2

11 =+

−= 0.

Il s’agit d’une fonction comme celles que nous verrons dans l’année. Développements A(x) = 5(2x – 3) – 7(x − 4) = 10x – 15 – 7x + 28 = 3x + 13 B(x) = (2x – 3)2 – x(5x + 6) = 4x2 – 12x + 9 – 5x2 – 6x = −−−−x2 – 18x + 9 C(x) = (1 + x)2 – (5 – x)(5 + x) = 1 + 2x + x2 – 25 + x2 = 2x2 + 2x – 24 D(x) = 2x(x + 3)(x – 4) = 2x(x2 – 4x + 3x – 12) = 2x(x2 – x – 12) = 2x3 – 2x2 – 24x Un conseil : pour éviter les fautes, faire dans sa tête la règle des signes, supprimer les parenthèses immédiatement et vérifier les calculs à la machine. Comment vérifier tout un développement ? On peut donner une valeur simple à x ( x = 1) et remplacer au début et à la fin. Exemple pour C(x), nous utilisons x = 1 : (1 + x)2 – (5 – x)(5 + x) = 2x2 + 2x – 24 Au début C(1) = (2)2 – (5 – 1)(5 + 1) = 4 – 24 = −−−− 20. A la fin C(1) = 2(1)2 + 2(1) – 24 = 2 + 2 – 24 = −−−− 20. Factorisations f(x) = 5x2 – 15x = 5x(x – 3) g(x) = x2 – 2 = (x −−−− 2 )(x + 2 ) (Différence de deux carrés) h(x) = (2x – 1)2 – 9 = [(2x – 1) – 3][(2x – 1) + 3] = (2x – 4)(2x + 2) = 2(x – 2)2(x + 1) = 4(x – 2)(x + 1)

?

TERMINALE STG

FICHE N°2 LES POURCENTAGES

Total des points sur 20 :

Exercice 1 (4 points) Un employé a prévu de traiter 8 dossiers le matin et 15 l’après-midi. Il arrive à faire 3 dossiers sur 8 le matin et 40% de ses dossiers prévus l’après-midi. Indiquer en pourcentage le nombre de dossiers traités par rapport à l’ensemble des dossiers prévus.

Exercice 2 (4 points) Un magasin propose une réduction de 20% sur les cahiers à 2,30€ et 5% sur les livres à 20€. Quel pourcentage d’économie fait-on si on achète 5 cahiers et 2 livres ? Présenter votre réponse sous la forme d’un tableau avec tous les éléments de cet exercice.

Exercice 3 (2 points) Un concessionnaire diminue les prix de ses voitures de 17%. Une voiture vaut alors 10 624€. Quel était son prix avant la baisse ?

Exercice 4 (6 points – 3 et 3) Le prix d’un article augmente de 20% puis le nouveau prix baisse de 20%. Quel est le pourcentage de variations entre le premier et le dernier prix ? Plus généralement, un article augmente de t% puis son nouveau prix subit une baisse de t%. Quelle est, en fonction de t%, la variation entre le dernier et le premier prix ? Exercice 5 (4 points) Lors d’une élection, on compte 10 200 inscrits, on constate 30% d’abstentions. Le candidat élu a obtenu 4 284 voix. Calculer le pourcentage des voix de ce candidat par rapport aux votants puis par rapport aux inscrits. .

Correction

Exercice 1

Pour le matin, on aura 375,08

3

100

t == soit 37,5%. L’après midi, l’employé a traité 40% des

ses dossiers prévus c’est-à-dire =× 40,015 6 dossiers.

Règle : On ne peut pas additionner ou soustraire des pourcentages de quantités différentes Nous ne pouvons pas ici additionner 40% et 37,5% car ces pourcentages ne sont pas sur la même quantité de référence. Calcul du pourcentage de dossiers traités sur la journée :

3913,023

9soittotalaudossiers23158surdossiers963 ≈=+=+ .

Cet employé a donc traité 39,1% des dossiers prévus. Exercice 2 Nous pouvons présenter ici aussi les résultats dans un tableau.

Prix Articles

Sans réduction Avec réduction

Cahiers 11,50€ 9,20€ Livres 40€ 38€ Totaux 51,50€ 47,20€

Explications Pour les cahiers, 50,11530,2 =× € sans la réduction et nous appliquons ensuite la formule des diminutions,

20,98,050,11)2,01(50,11100

20150,11 =×=−×=

−× €.

Pour les livres, même chose, 40220 =× € sans la réduction et ensuite :

3895,040)05,01(40100

5140 =×=−×=

−× €.

Pour calculer la réduction en pourcentage, nous pouvons utiliser la formule des variations.

0834,050,51

50,5120,47

V

VV

I

IF −≈−=−

soit une réduction d’environ 8,3%.

Exercice 3 On ne peut pas ajouter 17% au prix réduit car ce pourcentage s’applique sur le prix du neuf que l’on ne connaît pas. Il faut appliquer la formule des réductions.

−=100

t1QQ an soit ici,

−=100

171Q62410 a

Qa est le prix de la voiture avant la réduction.

==⇔×=83,0

62410Q83,0Q62410 aa 12 800€.

Exercice 4 Appelons x le prix de départ, y le prix après l’augmentation de 20% et z le prix après la baisse de 20%. Nous pouvons écrire :

( ) x2,12,01x100

201xy =+=

+= .

( ) y8,02,01y100

201yz =−=

−= .

Pour savoir ce qui s’est passé entre le premier prix et le second prix, nous remplaçons y par son expression en fonction de x dans la dernière expression.

( ) x96,0x2,18,0z == .

0,96 c’est 1 −−−− 0,04 et donc z sera plus petit que x et la baisse sera de 4% car 0,04100

4= .

Nous voyons bien que nous ne pouvons pas faire + 20% avec −−−− 20% car ces pourcentages ne s’appliquent pas sur les mêmes quantités. Faisons le même raisonnement avec t% : Soit x le prix au départ, y le prix après l’augmentation de t% et z le prix après la baisse de t%. Nous aurons :

+=100

t1xy

−

+=

−=100

t1

100

t1x

100

201yz = x

−2

100

t1

Dans tous les cas, nous aurons une baisse de (t%)2. (Un peu difficile !)

(Vérification avec 20% : (20%)2 = %404,0)2,0(100

20 22

===

)

Exercice 5

Le nombre des votes exprimés représente : 100% − 30% = 70% des inscrits. Ceci donne 10 200 x 0,7 = 7 140 votes exprimés.

Le candidat élu a eu 4284 voix soit 4 284

0,67140

= donc 60% des votes exprimés.

mais 4 284

0,4210 200

= donc 42% des inscrits seulement.

Alors que doit on penser si nous avons 40% ou 50% d’abstentions !

TERMINALE STG

FICHE N°3 LES POLYNÔMES

Total des points sur 20 :

Exercice 1 (8 points)

Lors d’une expérimentation en physique, on note que la température d’un corps a varié de la façon suivante : on appelle t le temps de l’expérience en seconde et f(t) la température en

degrés. f(t) = 2t + 5 si t∈[0 ; 6] et f(t) = − 20t2

1 + si t∈]6 ; 10].

a) Représenter graphiquement cette fonction après avoir étudier pour t = 6.(2 pts)

b) Caractériser les variations de cette fonction. (2 pts)

c) Chercher t tel que la température soit égale à 11°. (2 pts)

d) Déterminer t pour que la température dépasse 11°. (2 pts)

Exercice 2 (9 points) Lorsqu’on jette une pierre en l’air avec une vitesse v0, la distance qui sépare la pierre du sol est donnée par la fonction d du temps t :

d(t) = 002 htvgt

2

1 ++− d en mètres, t en secondes

(h0 indiquant la hauteur de la pierre à t = 0 au moment où elle est lancée, g le coefficient de gravitation g ≈ 9,8 sur la terre, v0 vitesse initiale en mètre par seconde). Nous prenons ici le cas où : d(t) = − 4,9t ² + 19,6t + 2,9 (1) a) Expliquer les données du problème dans la formule (1) (1 pt) b) Déterminer la hauteur maximale atteinte par la pierre. (3 pts) c) Calculer le temps t pour lequel la pierre retombe sur le sol. (3 pts) Représenter graphiquement. (2 pts)

Exercice 3 (3 points)

Il faut apprendre à utiliser sa calculette graphique pour représenter les fonctions. Représenter les fonctions suivantes en indiquant comment vous régler la fenêtre graphique de votre calculette.

y = 100q + 45 avec q∈[0 ; 20].

y = − 0,05x2 + 3x + 2 avec x∈[0 ; 50].

y = q3 − 10q2 + 3q + 100 avec q ∈[0 ; 8].

Correction

Exercice 1 a) Cette fonction est une fonction affine par morceaux. Nous pouvons la présenter de la façon suivante : t∈[0 ; 6] f(t) = 2t + 5 f

t∈]6 ; 10] f(t) = 20t2

1 +−

6 a une image sur le premier intervalle f(6) = 2(6) + 5 = 17. Par contre sur ]6 ; 10], on ne peut pas chercher l’image de 6 mais on peut faire tendre t vers 6, alors f(t) tend vers

20)6(2

1 +− = 17. On peut dire que les deux segments qui vont former la représentation

graphique de f vont se « raccorder ». Nous aurons en fait une ligne brisée continue formée de deux segments de droite. Pour tracer ces segments, nous prenons pour chacun deux valeurs de t.

Sur [0 ; 6], f(0) = 5 et f(6) = 17.

Sur ]6 ; 10], f(8) = 20)8(2

1 +− = 16 et f(10) = 20)10(2

1 +− = 15.

Sur l’intervalle [0 ; 6), la fonction est croissante (le coefficient directeur est de 2 > 0) et

sur ]6 ; 10], elle est décroissante (le coefficient directeur est de 2

1− < 0).

b) Nous pouvons donner le tableau de variations. Nous avons utilisé que si la fonction est de la forme y = ax + b, alors a donne le sens de variations. t 0 6 10 17 f(t)

5 15 c) Pour déterminer le temps t pour lequel nous avons la température égale à 11°, nous pouvons tracer l’horizontale d’équation y = 11. Le graphique nous montre seulement une intersection sur le premier intervalle. Cherchons la valeur par le calcul.

f(t)

t

y =11

2t + 5 = 11 ⇔ 2t = 11 − 5 ⇔ 2t = 6 et donc t = 3. La température sera de 11° au bout de 3 secondes. d) Il faut résoudre une inéquation mais le graphique nous permet ici aussi de conjecturer la solution. Si t∈[0 ; 6], 2t + 5 > 11 donne 2t > 6 et t > 3. t∈]3 ; 6].

Si t∈]6 ; 10], 20t2

1 +− > 11 donne t2

1− > 11 − 20 ⇔ t2

1− > − 9.

Nous divisons par un négatif, le sens change. t <

2

19

−

− soit t < 18.

Toutes les valeurs de l’intervalle]6 ; 10] conviennent. t∈∈∈∈]6 ; 10].

En conclusion, la solution est S =]3 ; 6]∪∪∪∪]6 ; 10] = ]3 ; 10]. La température sera supérieure à 11° au-delà de 3 secondes jusqu’à 10 secondes.

Exercice 2 a) − 4,9 représente l’opposé de la moitié du coefficient de gravitation sur la terre (a). 19,6 la vitesse initiale de la pierre (t = 0) c’est-à-dire au moment du lancement (b). 2,9 la hauteur initiale c’est-à-dire à t = 0 moment de lancement de la pierre (c). La fonction est de la forme y = ax2 + bx + c avec a ≠ 0. b) La fonction donnant la distance au sol de la pierre étant un polynôme du second degré avec

a< 0, nous aurons un maximum atteint pour x = a2

b− soit x = 28,9

6,19

)9,4(2

6,19 =−−=

−−

donc 2 secondes. d (2) = − 4,9 (2)2 + 19,6 (2) + 2,9 = 22,5 donc la hauteur maximale est de 22,5 mètres. c) Pour chercher le temps t où la pierre retombe sur le sol, cherchons t tels que : d (t) = 0 (t positif évidemment) Nous pouvons faire une lecture graphique t légèrement supérieur à 4s.

et donc il faudra environ 4,1 secondes ou 4,2 secondes. d(4,1) = − 4,9 (4,1)2 + 19,6 (4,1) + 2,9 = 0,891m. Si on veut être un peu plus précis, 4,14 secondes environ. Nous pouvons faire l’équation −4,9t2 + 19,6t + 2,9 = 0 pour trouver ce résultat. Une occasion de voir ceci sur les calculettes Casio ou Texas Instrument.

Ici, l’axe des abscisses représente le sol. Nous voyons que cette fonction est seulement définie pour x compris entre 0 et environ 4,1(Départ et arrivée sur le sol de la pierre).

Exercice 3 Sur les Texas Instruments, on peut taper la fonction en utilisant la touche y =, puis on lance le graphe. Sur les Casio, il faut aller dans le menu GRAPH puis taper la fonction et valider pour avoir la représentation graphique. Dans les deux cas, il faut régler la fenêtre graphique pour observer au mieux la représentation de la fonction. Les conditions sur la variable permettent souvent de régler le x minimum et le x maximum, par contre pour les valeurs de y, il faut faire au cas par cas. Sans indications sur x et y, je conseille −5, 5 pour les x et −10, 10 pour les y. y = 100q + 45 avec q∈∈∈∈[0 ; 20]. On prend −1 ; 21 pour la variable x et −100 ; 2050 pour les y. Il s’agit d’une fonction affine, si nous utilisions cette fonction dans un problème, nous limiterions la courbe au segment correspondant à [0 ; 20].

y = −−−− 0,05x2 + 3x +2 avec x∈∈∈∈[0 ; 50].

On prend −1 ; 51 pour la variable et − 1 ; 50 pour les y.

Pour x∈[0 ; 50], nous avons un morceau de parabole.

y = q3 −−−− 10q2 + 3q + 100 avec q ∈∈∈∈[0 ; 8].

On prend −1 ;9 pour la variable et −30 ; 130 pour les y.

Très important d’utiliser sa calculette pour représenter les fonctions car le graphique livre des renseignements qui vont servir dans l’exercice sur le sens de variations ou bien sur les maximums ou minimums ou bien encore sur les valeurs de x correspondant aux endroits où la courbe coupe l’axe des abscisses (Recherche des solutions de f(x) = 0) etc… Il faut donc passer un moment sur la doc de sa calculette pour voir les différentes fonctionnalités qu’elle propose. Changement de la fenêtre graphique – zoom – parcours de la courbe par un curseur etc…

TERMINALE STG

FICHE N°4 EQUATIONS - INEQUATIONS

Total des points sur 20 :

Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes. (3 points par équation)

Chercher x∈R tels que :

1) x2 − 4x = 0

2) x2 − 3x = x − 4

3) 4x

x3

−= 0

4) 1x

x2

+=

x21

x4

−−

Chercher x∈R tels que : (4 points par inéquation)

1) −2x2 + 8x > 0

2) 3x

x2

+ ≤ 0

Pour chaque question, utilise ta calculette pour vérifier la solution trouvée.

Correction

1) x2 − 4x = 0 x∈R. Il faut penser à factoriser.

x(x − 4) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 4. S = {0 ; 4}.

En fait, nous cherchons ici les racines du polynôme x2 − 4x, nous pouvons voir sur la calculette les valeurs de x où la courbe coupe l’axe des abscisses.

2) x2 − 3x = x − 4 x∈R. Il faut tout passer dans le premier membre et factoriser.

x2 − 3x − x + 9 = 0 ⇔ x2 − 4x + 4 = 0

⇔ (x − 2)2 = 0 et donc une seule solution x = 2. S ={2}.

Théorème

a∈R, a2 = 0 ⇔ a = 0.

Graphiquement, nous avons deux fonctions y = x2 –3x qui donne une parabole et y = x − 4 qui donnent une droite. En fait nous cherchons les valeurs de x correspondant aux points d’intersection. Nous avons trouvé une seule valeur, la droite est en effet tangente à la parabole.

3) 4x

x3

−= 0. Il faut poser x ≠ 4.

Cette équation est équivalente à 3x = 0 et donc x = 0. S ={0}. Théorème

0a0bavec0b

a =⇔≠= .

Graphiquement, nous avons une hyperbole et nous avons trouvé la valeur de x correspondant au point où l’une de la branche coupe l’axe des abscisses.

4) 1x

x2

+=

x21

x4

−− . Il fait poser x ≠ − 1 et x ≠

2

1 (Conditions de calculs)

Nous appliquons la règle du « produit en croix ».

2x(1 − 2x) = (x +1)(− 4x). Le signe − du deuxième membre est affecté au numérateur.

2x − 4x2 = − 4x2 − 4x ⇔ 2x − 4x2 + 4x2 + 4x = 0

⇔ 6x = 0. Une seule solution 6x = 0 donne x = 0. S = {0}. Graphiquement, il s’agit d’observer les points d’intersection de deux hyperboles. Il y a un seul point d’intersection.

Nous avons horizontalement la même asymptote y = 2. En effet, quand x tend vers + ou −∞, les deux fonctions tendent vers 2. Sur les calculettes, on peut tracer les asymptotes, si elles sont verticales, on change de type de fonctions (Menu graph, touche F3 sur les Casio.)

Pour les inéquations, nous utilisons les tableaux de signes.

1) −2x2 + 8x > 0 ⇔ 2x( −x + 4) > 0

x −∞ 0 4 +∞

2x − 0 + +

−x + 4 + + 0 −

2x(−x + 4) − 0 + 0 −

En foncé, la courbe de la première hyperbole

Conclusion : S =]0 ; 4[. Graphiquement, il s’agit de voir les valeurs de x pour lesquelles la fonction

f(x) = −2x2 + 8x est positive c’est-à-dire au-dessus de l’axe.

2) Cherchons x∈R tels que 3x

x2

+ ≥ 0

Il y a une condition de calcul à poser, x ≠ − 3. Nous devons ici aussi faire un tableau de signes.

x −∞ −3 0 +∞

2x − − 0 +

x + 3 − 0 + +

3x

x2

+ + − 0 +

S = ] −−−−∞∞∞∞ ; −−−−3[∪∪∪∪[0 ; +∞∞∞∞[. Graphiquement, nous regardons les valeurs de x où l’hyperbole est au-dessus de l’axe des abscisses.

TERMINALE STG

FICHE N°5 LES SYSTEMES

Total des points sur 20 :

Exercice 1 (5 points) Résoudre dans R

3

y

2

x + = 4

2x −−−−3

y4 = 8

Montrer graphiquement la solution.

Exercice 2 (7 points) Un capital de 2000€ est partagé en deux parties x et y. Les deux sommes sont placées pendant un an à intérêts simples. La première somme x est placée à 7% et la deuxième y est placée à 5%. Le revenu total aurait été le même si l’ensemble des 2000€ avait été placé à 5,8%. Déterminer x et y.

Exercice 3 (8 points) Déterminer graphiquement l’ensemble des solutions du système suivant : x ≥ 0 (I1) 0 ≤ y ≤ 5 (I2) x – y ≥ 0 (I3). 2x + y – 16 ≤ 0 (I4) Expliquer votre méthode.

Correction Exercice 1 Les accolades remplacent le mot « et » c’est-à-dire, nous cherchons les réels x et y qui vérifient les deux équations données. Il y a deux méthodes que l’on peut employer en T STG : la substitution montrée en seconde ou la combinaison linéaire de lignes et les opérations sur les lignes montrées en 1°.

3

y

2

x + = 4 Dans ce cas là, il faut se débarrasser en premier lieu

2x −3

y4 = 8 des quotients qui sont dans le système.

Nous allons donc réduire au même dénominateur dans chaque équation et supprimer ce dénominateur.

3

y

2

x + = 4 ⇔ 6

y2

6

x3 + = 4 ⇔ 6

y2x3 += 4 soit 3x + 2y = 24.

2x −3

y4 = 8 ⇔

3

y4x6 −= 8 soit 6x −−−− 4y = 24.

Le système devient plus simple et il est équivalent au premier.

3x + 2y = 24 (L1) 3x + 2y = 24 x = 6

6x – 4y = 24 (L2) ⇔ 12x = 72 (2L1 + L2) ⇔ 3(6) + 2y = 24

La deuxième équation nous donne 2y = 24 −−−−18 soit 2y = 6 et y = 3. S ={(6 ; 3)}. Nous pouvons faire la représentation graphique pour vérifier à la calculette. En effet, nous avons deux équations de droites dans ce système.

3

y

2

x + = 4 ⇔ 3x + 2y = 24 ⇔ y = 12x2

3 +− (D1)

2x −3

y4= 8 ⇔ 6x − 4y = 24 ⇔ 4y = 6x − 24 ⇔ y = 6x

2

3 − (D2)

Le point A a bien pour coordonnées x = 6 et y = 3, en ce point les deux équations sont vérifiées.

Exercice 2 Cet exercice est plus difficile, il demande une mise en équations.

Un capital C placé à intérêts simples à t% rapporte sur un an, C100

t× .

x rapportera x 100

7× = 0,07x et y rapportera y 100

5× = 0,05y.

2000€ à 5,8% rapportera 2000058,0× = 116€

Nous aurons deux équations, nous cherchons les réels x et y tels que :

x + y = 2000 0,07x + 0,05y = 116

On peut procéder ici par substitution.

x = 2000 − y

0,07(2000 − y) + 0,05y = 116 ⇔ 140 − 0,07y + 0,05y = 116 Cette deuxième équation nous donne y.

− 0,02y = 116 − 140 soit − 0,02y = − 24 et donc y = 1200.

Nous en déduisons alors x, x = 2000 − 1200 ; x = 800. Les sommes cherchées sont donc 1200€ et 800€.

Vérifions pour les intérêts.

800 ×0,07 = 56€ ; 1200 × 0,05 = 60€,

56€ + 60€ = 116€ or 2000 ×0,058 = 116€.

Exercice 3 Les systèmes d’inéquations se font généralement par le graphique et il n’y a pas de solutions par le calcul. Nous avons un seul théorème pour les systèmes d’inéquations linéaires :

Théorème Toute expression de la forme ax+ by+ c=0 est l’équation d’une droite du plan (P), cette droite partage le plan (P) en deux régions sur lesquelles, ax+ by + c garde le même signe.

La méthode consiste donc à traiter chaque inéquation graphiquement l’une aprés l’autre et à barrer chaque fois la région qui ne convient pas. (Nous testons avec un point choisi au hasard) x ≥ 0 (I1) 0 ≤ y ≤ 5 (I2) x – y ≥ 0 (I3) 2x + y – 16 ≤ 0 (I4)

Pour (I1), nous utilisons l’axe des y (x = 0) et nous barrons la région qui contient les points d’abscisse négative.

2 3 4 5 6-1-2-3-4

2

3

4

5

-1

-2

-3

0 1

1

x

y

Pour (I2), nous gardons les points qui font partie de la bande comprise entre les droites horizontales d’équations y = 0 et y = 5.

2 3 4 5 6-1-2

2

3

4

5

-1

0 1

1

x

y

Pour (I3), appliquons la méthode, nous traçons la droite (D3) d’équation : x – y = 0. Si x = 0, y = 0 et si x = 2, y = 2. Pour tester, nous choisissons un point quelconque A(4 ; 1) 4 – 1 est-il supérieur ou égal à zéro : réponse oui donc nous barrons la région ne contenant pas le point A en considérant uniquement les deux régions apparue avec la droite (D3).

x = 0

y = 5

y = 0

2 3 4 5 6 7 8-1-2

2

3

4

5

-1

0 1

1

x

y

Pour la dernière inéquation (I4), même chose : nous testons avec le point O (0;0)

2(0) + 0 – 16 ≤ 0 ? oui donc nous gardons la région contenant le point O.

La solution apparaît sur la figure, ce sont les coordonnées x et y de tous les points M(x ;y) appartenant à la région non hachurée (Un quadrilatère S ici y compris les côtés appelés frontières car nous avons ≤≤≤≤ ou ≥≥≥≥ dans les inéquations).

Exemple : (4 ; 2) en effet, 4 ≥ 0 ; 0 ≤ 2 ≤ 5 ; 4 – 2 ≥ 0 et 2(4) + 2 – 16 = – 6 ≤ 0.

2 3 4 5 6 7 8-1

2

3

4

5

-1

0 1

1

x

y

Il y a une infinité de solutions par contre si on impose x et y entiers, nous pouvons dénombrer les solutions ((0 ; 0) (1 ;0) etc (8 ; 0) ;(1 ;1) ; (2 ;1) ; etc(7 ;1) ; (2 ; 2) (3 ; 2) etc.(5 ;5)).

Nous verrons dans l’année que le domaine des points non hachuré ici s’appelle un domaine de contraintes (normal, une inéquation est une contrainte sur x et y).

x – y = 0

2x + y – 16 = 0 S