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8/8/2019 Fichier n 2
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Sujet avec solution particulire affine dune quation
diffrentielle____________________________________________
Partie AOn considre l'quation diffrentielle (E) :y'2y = 4x oy
dsigne une fonction de la
variablex dfinie et drivable sur l'ensemble des nombres rels ety
'sa drive.
1) Soit l'quation diffrentielle ( E') :y'2y = 0.Rsoudre
l'quation diffrentielle ( E').
2) Dterminer les rels a et b tels que la fonction g, dfinie pour
toutx rel par g(x) = a x + b,soit une solution particulire de
l'quation (E).
3) a) Rsoudre l'quation diffrentielle (E).
b) Dterminer la fonctionf, solution sur de l'quation
diffrentielle (E) satisfaisant lacondition :f(0) = 0.
Partie BSoit la fonctionf, dfinie pour toutx rel parf (x) =
e2x2x1.1) a) Dterminer la limite defen.b) Dterminer la limite defen
+ (on pourra mettre 2x en facteur dans l'expression def(x)).2)
Soitfla fonction drive def. Calculerf(x) .
En dduire les variations de la fonctionfsur et le signe def(x)
suivant les valeurs du relx.
Partie C
On note (C) la courbe reprsentative de la fonctionfdans un repre
orthogonal ),,( jiO
d'units graphiques 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur
l'axe des ordonnes.
1) Montrer que la droite (D) d'quationy =2x1 est asymptote la
courbe (C) auvoisinage de. Quelle est la position de (C) par
rapport (D) ?2) Construire la courbe (C) et la droite (D).3) On
considre l'aireA du domaine plan dlimit par la courbe (C),1'axe des
abscisses et lesdroites d'quationsx = 0 etx = 1.
Calculer la valeur exacte deA en cm2 , puis en donner
l'approximation dcimale arrondie aucentime.
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Limites utiliser dans la partie B
t
eee
t
tt
t
t
t limet0lim,lim
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Corrig du problme
Partie A1) On crit r(x)= -2 etR(x)= -2x ;R(x)=r(x). Les
solutions de (E) sont toutes les fonctions
xCe2x o Cest une constante relle.
2) Avec a et b rels constants, g(x)= ax+b etg(x)= a :g(x)2g(x)=
a2ax2b soitg(x)2g(x)=2ax+a2b .g est une solution de (E) dans le cas
og(x)2 g(x) = 4x. Ainsi pour que g soit une solutionde (E), on est
ramen la recherche de a et bvrifiant les systmes dgalits quivalents
:{-2a=4 et a2b=0}, {a=-2 et -22b = 0}, {a=-2 et b = -2/2=-1}.
Finalement on crit g(x)= -2x1 et g est une solution de (E).
.
3)a) la solution particulire gde (E) on ajoute toutes les
solutions de (E), lquation
homogne associe (E) pour obtenir toutes les solutions de (E).Il
sagit de toutes les fonctionsxCe2x2x1 o Cest une constante
relle.
3)b) Pourfsolution de (E), on crit :f(x)= Ce2x2x1 o Cest une
constante relle etf(0)= C101=C1 ;f(0)=0 pour C=1.Finalement :f(x)=
e2x2x1 .
Partie B :fest la fonction trouve la partie Aetf(0)=0.
1)a)
)12(limpartautred';0limdonnent2limet0lim 2 xexex
x
xx
t
talors par
addition : )(lim xfx .
1)b) Pourx 0,f(x)= 2x(xx
ex
2
11
2
2
).
101)2
11(limComme.
2limdonnent2limetlim
2
xx
ex
t
e
x
x
xx
t
t,
par addition on a )2
11
2(lim
2
xx
ex
x
=+. Par multiplication par 2x, on obtient :
)(lim xfx
.
2) On af(x)= 2e2x2= 2(e2x1). Ainsif(0)= 2(11)=0.
Pour 0
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1) On utilise lgalitf(x)=2x1 + e2x : 0lim
2
x
xe prouve que la droite (D) dquationy=2x1 est asymptote (C) au
voisinage
de.
0< e2x pour tout relx prouve que (C) est au-dessus de
(D).
2) Reprsentation graphique du problme
Au point dabscisse 0 de (C) la tangente est horizontale
puisquef(0)=0.
(C)
(D)
3) Laire en cm du rectangle construit partir de ),,( jiO
vaut 12=2 ; ainsi
A=2 1
0
1
0
1
0
10
222 ]22[)2)2(22()(2)( xxedxxedxxfdxxf xx soit :
A=e222(e000) o e0=1 doA=e25 2,39 .
