8/8/2019 Fichier n 3 bis
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quation diffrentielleIntgration par parties
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La qualit de la rdaction o on justifie clairement et prcisment
les calculs intervient pour une partimportante dans lapprciation
des copies.
1re partie
Une machine compacter est constitue dun bloc dacier appel
marteau ; ce marteau se dplace lelong dune tige place
verticalement.Ltude physique montre que la vitesse v (exprime en
mtres par seconde) est une fonction du temps t(exprim en secondes)
solution de lquation diffrentielle (E) :
dt
dy+ 2y = 16 + 8e-2t oy est une fonction de la variable relle
t.
1) Rsoudre (E0) :dt
dy+ 2y = 0.
2) On crit (t)= a + bt.e-2to a et b sont 2 rels constants.a-
Calculer (t)+ 2 (t) en fonction de a, b et t.b- Calculer a et b
pour que soit une solution particulire de (E).3) Rsoudre (E).4) En
dduire v(t) en supposant que v(0)=0.
2me partie
1) Calculer en faisant des intgrations par parties les deux
intgralesI=
1
0
22- dtte
t
et J=
1
0
3/
3
1- dtte
t
2) En dduire le calcul de lintgrale K= dteettt
1
0
3/2)(
Corrig du sujet
1re
partie
1) On crit r(t)=2 etR(t)=2t:R(t)=r(t). Les solutions de (E0)
sont toutes les fonctions
tce-2to c est une constante relle.
2) a- On a (t)= a+bte-2t ; (t)= 0+b(1e-2t+ t(-2e-2t)) =
b(12t)e-2t;
(t)+2(t)=b(12t)e-2t+2[a+bte-2t] soit (t)+2(t)=
2a+e-2t[b2bt+2bt]
do (t)+2(t)= 2a+be-2t
8/8/2019 Fichier n 3 bis
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b- est solution de (E) lorsque (t)+2(t)= 16 + 8e-2tpour tout rel
t. Cela est ralis lorsque2a=16 et b=8, soit pour a=8 et b=8.
Finalement on crit (t)=8+8te-2t. est une solution de (E).
la solution particulire de (E) on ajoute toutes les solutions de
lquation (E0) homogneassocie (E) pour obtenir toutes les solutions
de (E). Il sagit de toutes les fonctions
t 8+8te-2t+ ce-2to c est une constante relle.
4) v tant une solution de (E), on a : v(t)= 8+8te-2t+ ce-2to c
est une constante relle. e0=1donne v(0)=8+0+c1=8+c, ainsi v(0)=0
pour c= -8.
Finalement v(t)= 8+8te-2t8e-2t= 8[1+(t1)e-2t] .
2me partie
1) On crit :
uet vsont encore drivables et continues sur .
I= ]1[2
1][
2
102)
2
1(][
221
0
221
0
21
0
2 eeeedtetettt doI=
2
3e-
22
1.
On crit :
uet v1sont encore drivables et continues sur .
J= ]1[3][30)3/1()3(][ 3/13/110)3/1(3/1
1
0
)3/1(1
0
3/ eeeedtetettt
doJ= -3+4e-1/3 .
2) Il suffit de remarquer que K=
1
0
1
0
3/23/2])
3
1[3]2[
2
1()( dttetedttete
tttt .
Par linarit du calcul des intgrales : K= JI 32
1 do
K=2
4
3 e +4
1+912 e-1/3 soit K=
4
3712 e-1/3 2
4
3 e .
u(t)=t u(t)=1v(t)= -2e-2t v(t)=e-2t u(t)v(t)=e-2t=
(-1/2)[-2e-2t]
u(t)=t u(t)=1v1(t)= (-1/3)e
(-1/3)tv1(t)=e
(-1/3)tu(t)v1(t)=e
(-1/3)t= (-3)[(-1/3)e [-1/3]t]
