-
8/8/2019 Fichier n6-Intgration par parties
1/3
nonc
Soit la fonctionfdfinie parf(x)=(x1)2e x /2. On note (C) la
courbe reprsentative defdansun repre orthonormalR= ),,( jiO
, (unit graphique : 2 cm).
1 a) Calculer )(lim xfx
.
b) On admet que )(lim xfx
=0. Interprter graphiquement ce rsultat.
2 a) Dmontrer que pour toutx de ,f(x)= 22
)3)(1(x
exx
.
b) tudier le signe def(x) lorsquex varie dans .c) En dduire le
tableau de variation de la fonction f.
3 a) Dterminer une quation de la tangente (T) la courbe (C) au
point dabscisse 0.b) Complter, aprs lavoir reproduit le tableau de
valeurs suivant dans lequel les valeurs
approches seront arrondies 10-2
prs.
x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2f(x)
c) Tracer (T) et la partie de la courbe (C) relative lintervalle
[ -6, 2].
4 On appelleAlaire en cm2, de la partie du plan limite par la
courbe (C), laxe desabscisses et les droites dquationx= 0
etx=1.
a) On noteI= 1
0
2)1( dxex
x
. laide dune intgration par parties, dmontrer que
I= 64 e .
b) On noteJ= 1
0
22)1( dxex
x
. laide dune intgration par parties, dmontrer que
J= -26+16 e .c) Dduire de ce qui prcde la valeur exacte de A. En
donner la valeur approche arrondie 10-2 prs.
Extraits de formulaire :Drives et primitives
f(t) f(t) f(t) f(t)
t ()
ln t .t1
1/te
t() . e t
Oprations (vu)=(vu)u
-
8/8/2019 Fichier n6-Intgration par parties
2/3
Corrig du problme
1 a)
2limdonnent2
limetlim
x
xx
t
te
xe ;
)1(lim x
xet
f(x)= (x1)(x1) ex/2do :
)(lim xfx
.
b) 0)(lim
xfx
signifie que laxe des abscisses est asymptote (C) au vosinage de
.
2 a) On utilise xx
2
1
2ainsi la fonctionx 2
2
2
1drivefonctionpoura
xx
exe .
Avec la rgle de drivation dun produit, on obtient
:f(x)=21(x1)ex/2 + (x1)2 22
1x
e ,
do :f(x)= )]1(4[)1(2
12 xexx
soit :f(x)= 2)3)(1(2
1x
exx .
b) 1/2 et ex/2 tant strictement positifsf(x) est du signe du
polynme du second degr
(x1) (x+3) do le tableau de variations de la fonctionfsur .
x 3 1 +f(x) + 0 0 +
f(x) 0 f(-3) f(1)
3 a)f(0)=
2
3)3)(1(
2
1 0 e est le coefficient directeur de (T) . (T) passe par le
point de
coordonnes 0 etf(0)= (-1)2e0=1. 1 est ainsi lordonne lorigine de
(T).Finalement (T) a pour quation y = -3x/2 + 1 .
b) On a le tableau de valeurs suivant :x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
2
f(x) 2,44 2,96 3,38 3,57 3,31 2,43 1,00 0,00 2,72
c) Le trac de (T) et (D) est donn la page suivante. On a remarqu
que les tangentes (C) aux points dabscisses -3 et 1 sont
horizontales puisquef(-3)=0=f(1).
4 a) On crit :
uet vsont encore drivables et continues sur .
I= 1
0
02
1
1
0
2/201
0
2/1
0
2/ )(42][422
14)1(202])1(2[ eeedxeedxeex x
x
xx .
Avec e0=1 et e1/2= e , on obtient :I=24( e1) soit :I=64 e .
4 a) On crit :
u1et vsont encore drivables et continues sur .
J=
1
0
2021
0
2/1
0
2/242)1(4)1(20)1(4])1(2[ Idxexedxexex
x
xx
doJ )46(42 e soitJ=26+16 e .
u(x)=x1 u(x)=1v(x)=e
x/2= 2[(1/2)ex/2] v(x)=2ex/ 2 u(x)v(x)=2ex/2
u1(x)=(x1)2
u1(x)=2(1)(x1)v(x)=e
x/2= 2[(1/2)ex/2] v(x)=2ex/ 2 u1(x)v(x)=4(x1)ex/2
-
8/8/2019 Fichier n6-Intgration par parties
3/3
c) En cm2, laire du carr construit partir de ),,( jiO
vaut 22=4 alorsA=4J.
Finalement :A=104 + 64 e etA1,52.
Courbe (C) de la question 3 c)Aest laire en cm2 du domaine
hachur.
f(3)
(T)
(C)
