Filtrage Analogique

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  • 8/13/2019 Filtrage Analogique

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    Filtrage analogique 1

    Filtrage Analogique

    A. Oumnad

  • 8/13/2019 Filtrage Analogique

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    Filtrage analogique 2

    Sommaire

    I Le Filtrage .............................................................................................................................................................. 3I.1 Les deux reprsentations du signal......................................................................................................... 3I.2 Cas des signaux sinusodaux...................................................................................................................... 3I.3 Cas des signaux priodique........................................................................................................................ 4I.4 LES FILTRES ............................................................................................................................................... 6I.5 filtre passe bas............................................................................................................................................ 6I.6 Autres filtres............................................................................................................................................... 7I.7 Les Filtres passe-bas du premier ordre................................................................................................. 8

    I.7.1 Les courbes de Bode .............................................................................................................................. 8I.7.2 Ralisation par un filtre passif.......................................................................................................... 10I.7.3 Ralisation par un filtre actif............................................................................................................ 11

    I.8 Les Filtre passe-haut du premier ordre............................................................................................... 13I.8.1 Ralisation par un filtre passif.......................................................................................................... 14I.8.2 Ralisation par filtre actif ................................................................................................................. 14

    I.9 Les Filtres passe-bas du second ordre................................................................................................. 16I.9.1 Ralisation l'aide d'un filtre passif............................................................................................... 18I.9.2 Ralisation avec un filtre actif.......................................................................................................... 19

    I.10 Les Filtres passe-haut du second ordre.............................................................................................. 20I.10.1 Ralisation par filtre actif............................................................................................................ 22

    I.11 Les filtres passes-bande du second ordre ......................................................................................... 23I.11.1 Ralisation par filtre actif............................................................................................................ 24

    I.11.2 Passe bande large bande passante........................................................................................... 26I.12 Transformation de frquence ............................................................................................................... 27II Les filtres de Chebyshev............................................................................................................................. 29III Les filtres de Butterworth ......................................................................................................................... 36

  • 8/13/2019 Filtrage Analogique

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    Filtrage analogique 3

    I LE FILTRAGEUn filtre est un dispositif lectronique (amplificateur ou attnuateur) dont le gain dpend de la

    frquence. De ce fait il va laisser passer certaines composantes spectrales et en arrter d'autres.

    I.1 Les deux reprsentations du signalJusqu'ici, nous n'avons considr que lareprsentation temporelle des signaux, qui

    consiste reprsenter la variation del'amplitude d'un signal en fonction du temps.La figure (Fig. I.1) illustre un exemple dereprsentation temporelle.

    Il existe une autre reprsentation nonmoins importante, c'est la reprsentationfrquentielle ou reprsentation harmonique outout simplement spectredu signal. Elle consiste reprsenter la variation de l'amplitude du signal en

    fonction de la frquence. La figure (Fig. I.2)montre un exemple de reprsentation harmonique.

    Pour les signaux sonores comme la voix humaineou la musique, le sons graves o les "basses" ontune reprsentation harmonique o les bassesfrquences sont prpondrantes (Fig. I.3). Alorsque les sons aigus ont une reprsentation frquentielle o les hautes frquences sont prpondrantes(Fig. I.3).

    0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 Hz

    0

    500

    1000

    1500

    0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000200

    400

    600

    800

    1000

    1200

    1400

    1600

    1800

    Fig. I.3 : spectre d'un son grave Fig. I.4 : spectre d'un son aigu

    I.2 Cas des signaux sinusodauxUn signal sinusodal m(t) = A sin(2fot) est un signal particulier car son spectre se rduit une seule

    raie spectrale (Fig. I.5).

    0 2 4 6 8 10 ms

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    0

    500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 Hz0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    Fig. I.5 : signal sinusodal, f = 500 Hz Fig. I.6 : spectre du signal sinusodal

    Les figures Fig. I.7et Fig. I.7montrent les reprsentations temporelles et frquentielle d'un signal

    t

    m(t)

    Fig. I.1 : Reprsentation temporelle du signal triangulaire

    0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    14

    frequency (Hz)

    Fig. I.2 : Spectre d'un signal vocal

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    Filtrage analogique 4

    constitu de la somme de deux signaux sinusodaux de frquences f1= 500 Hz et f2=750 Hz

    0 2 4 6 8 10 12 ms

    -2

    -1

    0

    1

    2

    0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    Fig. I.7: )tf2sin()tf2sin()t(m 21 += Fig. I.8: Spectre de m(t),

    I.3 Cas des signaux priodiqueOn peut vrifier que n'importe quel signal priodique mp(t)de frquence

    T

    1fo= est constitu d'une

    superposition de signaux sinusodaux de frquences multiples de foet dont les amplitudes respectivessont dfinies par les relations ci-dessous.

    ( )

    =

    ++=1n

    onono

    P )tnf2sin(B)tnf2cos(A2

    A)t(m (6.1)

    dt)tnf2cos()t(mT

    2A

    2T

    2T

    opn

    = (6.2)

    dt)tnf2sin()t(mT

    2B

    2T

    2T

    opn

    = (6.3)

    Les diffrents signaux sinusodaux sont appel les harmoniques de mp(t) car leurs frquencesrespectives sont des multiple de la frquence foqu'on appelle la frquence fondamentale. Le premierharmonique a une frquence gale fo, le 2

    mea une frquence de 2fo, le 3mea une frquence de 3fo...

    Pour les signaux paires, c.a.d les signaux symtriques par rapport l'axe des y, vrifiant m(t) = m(-t),tous les termes Bnsont nuls, le signal est une somme de cosinus.

    Pour les signaux impaires, c.a.d les signaux symtriques par rapport au point (0,0) constitu parl'intersection des axe x et y, vrifiant m(t) = -m(-t), tous les termes Ansont nuls, le signal est unesomme de sinus.

    D'autres proprit de symtrie font que certains signaux n'ont que les harmonique d'ordre paire n =2, 4, 6, .... ou encore que des harmonique d'ordre impair n = 1, 3, 5, ...

    Le terme2

    Ao reprsente la composante continue du signal. Ce n'est rien d'autre que la valeur

    moyenne modu signal, en effet, si on remplace npar 0 dans l'expression (6.2), le cosinus disparat car

    cos(0) = 1, on obtient :

    dt)t(mT

    1

    2

    A 2T

    2T

    po

    =

    Cette expression n'est rien d'autre que la dfinition de la valeur moyenne d'un signal priodique. Lacomposante continue apparat sur le spectre comme une raie spectrale la position f = 0.

  • 8/13/2019 Filtrage Analogique

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    Filtrage analogique 5

    La reprsentation d'un signal priodique par une somme de signaux sinusodaux est connue sous le nomde dcomposition en srie de Fourier. Voici des exemples de dveloppement en srie de Fourier dequelques signaux priodiques.

    ( ) impairn,...tnf2sinn1

    ...)tf52sin(5

    1

    )tf32sin(3

    1

    )tf2sin(

    A4

    )t(m oooo

    +++++=

    ( )

    ++

    +

    +++

    = ...tf)1n2(2cos1n2

    )1(...)tf52cos(

    5

    1)tf32cos(

    3

    1)tf2cos(

    A4)t(m o

    n

    ooo

    ( ) impain,...tnf2cosn

    1...)tf52cos(

    25

    1)tf32cos(

    9

    1)tf2cos(

    A8)t(m o2ooo2

    +++++

    =

    ( )

    +

    +++

    =

    +

    ...tnf2sinn

    )1(...)tf32sin(

    3

    1)tf22sin(

    2

    1)tf2sin(

    A2)t(m o

    1n

    ooo

    ( )

    pairn

    ...tnf2cos1n

    2)1(...)tf42cos(

    15

    2)tf22cos(

    3

    2)tf2cos(1

    A2)t(m o2

    1

    ooo

    2n

    +

    ++++

    =+

    Le tableau ci-dessous contient les amplitudes et les frquences des harmoniques du premier signalm1(t)de la liste ci-dessus avec fo= 125 Hz. Son spectre est reprsent sur la figure (Fig. I.10)

    Harmonique frquence amplitude1 125 1.27323 375 0.42445 625 0.2546

    7 875 0.18199 1125 0.141511 1375 0.115713 1625 0.097915 1875 0.084917 2125 0.074919 2375 0.067021 2625 0.060623 2875 0.055425 3125 0.050927 3375 0.0472

    Les figures ci-dessous montrent la reconstitution du signal carr l'aide de 2, 3, 15 et 30 harmoniques.

    m(t)

    t

    A

    m(t)

    t

    A

    m(t)

    t

    m(t)

    t

    m(t)

    t

    Fig. I.9

    0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 Hz

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    Fig. I.10: Spectre du signal m1(t)

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    Filtrage analogique 6

    0 1 2 3 4 5 6 7 8ms

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    1er

    3me

    0 1 2 3 4 5 6 7 8ms

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    1er

    5me

    3me

    Fig. I.11: reconstitution avec 2 harmoniques Fig. I.12: reconstitution avec 3 harmoniques

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 ms

    1

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1.5

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 ms-1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    Fig. I.13: reconstitution avec 15 harmoniques Fig. I.14: reconstitution avec 30 harmoniques

    I.4 LES FILTRESUn filtre est un dispositif qui laisse passer certaines composantes sinusodales et en arrtent

    d'autres. La premire fois que nous avons parl de filtrage tait dans le paragraphe II.5.3 :"Filtrage

    par condensateur en tte", l'ide tait alors d'liminer toutes les composantes sinusodale pour nelaisser que la composante continue.

    I.5 filtre passe basUn filtre passe bas laisse passer les basses frquences et

    arrte les frquences leves. La figure (Fig. I.15)montre larponse d'un filtre passe bas idal, c'est la courbe qui

    reprsente le gain en tensione

    s

    V

    VH= en fonction de la

    frquence. fc s'applle la frquence de coupure. La bande

    passanteest l'intervalle de frquence [0,fc]. La bande coupeest constitue de toutes les frquences suprieures fc.Toute onde sinusodale l'entre du filtre et dont lafrquence se situe dans la bande passante apparatra la sortie du filtre. Mais toute onde sinusodaledont la frquence est suprieure fcest compltement attnue par le filtre.

    ffc

    Filtrepasse-bas

    V (f)e

    ffc

    V (f)s

    Fig. I.16 : Spectres des signaux d'entre et de sorties d'un filtre passe-bas

    ff

    c

    H

    1

    Filtrepasse-bas

    VsVe

    Fig. I.15: Filtre passe-bas idal

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    Filtrage analogique 8

    I.7 Les Filtres passe-bas du premier ordreCe sont les filtre dont la fonction de transfert est de la forme :

    o

    po

    1

    h)p(h

    += soit

    oj1

    h)(h o

    +=

    Avec houne constante et la pulsation de coupure. La fonction de transfert dpend de la frquence( = 2f ), les diffrents harmoniques l'entre ne seront pas traits de la mme faon d'ou lafonction de filtrage. On remarque aussi que le gain est complexe, il a donc un module et une phase,

    Le module de la fonction de transfert est :

    ( )2o

    o1

    H)(H

    +

    =

    Pour la phase, il faut faire attention avec l'utilisation de la fonction arctg. En

    effet, la fonction arctg implante sur les calculatrices est une fonction deuxquadrants ( -/2 < arctg(x) < /2). Si on n'y prend pas garde, l'utilisation de cettefonction peut mener des erreurs importantes. Prenons l'exemple du nombrecomplexe z = -1 + j, nous savons que l'argument de ce nombre est 135. Si on essaiede le calculer l'aide de la fonction arctg on obtient arctg(1/-1) = arctg(-1)=-45.Pour lever cette indtermination, il faut utiliser la fonction arctg sur les quatre quadrants du cercletrigonomtrique en procdant comme suit, pour calculer l'argument d'une expression z = a + jb :

    a > 0 = atan(b/a) a < 0 = atan(b/a) + 180

    Suite cette remarque, la phase de la fonction de transfert est :

    ==

    1s0h

    0s0h)(Arctgs)(

    o

    o

    o

    Le module nous informe comment chaque harmonique sera attnu et la phase nous informe decombien cet harmonique sera dphas. Ainsi si on applique l'entre du filtre un signal sinusodald'amplitude A et de frquence fm :

    )tcos(A)tf2cos(A)t(V mme == Alors le signal de sortie sera :

    ( ) ( ))(tf2cosA)(H)t(V mmms +=

    I.7.1 Les courbes de BodeLes courbes de bode dun filtre sont tout simplement les courbes illustrant la variation en fonction

    de la frquence du module et de la phase de la fonction de transfert.Pour le gain H, on prfre tracer le gain en dcibel HdB= 20 log(H)avec une chelle logarithmique

    sur l'axe des frquences. Le trac de cette courbe est rendu trs simple par le comportementasymptotique de HdBquant f 0 et quant f et aussi par la connaissance de HdBau point f = fc

    Si on prend Ho= 1 pour faciliter lcriture :

    oo

    2

    2

    c

    2

    2

    c

    2dB

    f

    fuavec)u1log(101log20)

    1

    1log(20H ==+=+=+

    =

    tg

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    Filtrage analogique 9

    f 0 u 0 HdB 0

    f u 1+u2u2 HdB -10log(u2)

    Ce qui correspond (sur chelle logarithmique) une droite (asymptote) de pente -6dB / octave,c'est dire le gain HdBchute de 6 dBchaque fois que la frquence double. En effet :

    dB6u4

    ulog10ulog10)u2log(10)u(H)u2(H2

    222

    dBdB ==+=

    Cette asymptote coupe l'axe des x au point f = fc, en effet :

    c

    2ff1u0ulog10 ===

    fc 2fc 4fc

    f

    HdB

    -3

    -6

    -12

    0

    Fig. I.20 : courbe de rponse HdBd'un filtre passe bas de premier ordre.

    Si Hoest diffrent de 1, on obtient

    )u1log(10)Hlog(20H 2odB += f 0 u 0 HdB20log(Ho) = HdBoIl suffit de dcaler la courbe prcdente verticalement.(Fig. I.21)

    Pour la phase, on obtient :

    ho > 0 => )(Arctg)(o

    =

    - 0 = -arctg(0) = 0- = o = - arctg(1) = -45- = - arctg() = -90

    ho > 0 => )(Arctg-)(o

    =

    Il faut ajouter 180 aux valeurs prcdentes, on obtient la courbe ci-dessus

    6dB/octave

    Hdbo1 100.1

    0

    Fig. I.21

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    Filtrage analogique 10

    0.01 0.1 1 10 100

    90

    105

    120

    135

    150

    165

    180

    -90

    -75

    -60

    -45

    -30

    -15

    0

    ho>0 ho

  • 8/13/2019 Filtrage Analogique

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    Filtrage analogique 11

    0 /2 3/2 2 5/2 3

    5

    4

    3

    2

    1

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    0 90 180 270 360 450 540

    0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75

    2.7 rad

    154.8

    1.132 rad64.84

    0.09 ms

    0.215 ms

    t (rad) t ()t (ms)

    Ve

    Vs

    Fig. I.24 : Filtrage d'un signal sinusodal$

    I.7.3 Ralisation par un filtre actifPour raliser ce filtre, nous avons le choix entre deux structures

    simples :

    Premire structure :

    Ce filtre exactement les mmes caractristiques que le filtre passifdu premier ordre. Elle a seulement l'avantage d'tre suivi par unamplificateur suiveur trs haute impdance d'entre et trs faible impdance de sortie. De cettefaon, ses caractristiques ne sont pas altres par les composants qui seront relis sa sortie.

    Rappelons que les caractristiques de ce filtre sont :

    Frquence de coupure :RC21

    f,RC1

    cc

    ==

    Fonction de transfert

    cc

    e

    s

    ff

    j1

    1

    j1

    1jRC11

    VV

    )(h+

    =+

    =+

    ==

    Module de la fonction de transfert ( gain) :

    2c

    2

    2c

    2222

    ff

    1

    1

    1

    1

    CR1

    1)(H

    +

    =

    +

    =+

    =

    Argument de la fonction de transfert (phase) :

    )ff

    (Arctg)(Arctg)RC(Arctg)( cc ===

    Ve VsR

    C

    +-

    Fig. I.25 : passe bas

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    Filtrage analogique 12

    Deuxime structure :

    Pour dterminer la fonction de transfert, on va noter Z2= R2// C

    CjR1R

    R

    RZ

    2

    2

    jC1

    2

    jC1

    22 +

    =+

    =

    La fonction de transfert est :

    CjR1 R

    R

    -RZ)(hVV 21

    2

    1

    2

    e

    S+===

    La frquence de coupure est :CR2

    1f,

    CR1

    2c

    2c

    ==

    Module de la fonction de transfert ( gain) :

    2

    c

    2

    1

    2

    2

    c

    2

    1

    2

    2222

    1

    2

    f

    f1

    RR

    1

    RR

    CR1

    RR

    )(H

    +

    =

    +

    =+

    =

    On remarque qu' la diffrence de la structure prcdente, pour f =0, nous avons un gain diffrentde 1, Ho = R2/R1. C'est ce qu'on appelle le gain statique, c'est approximativement le gain dans la bandepassante. Les signaux dont la frquence est l'intrieur de la bande passante peuvent non seulementpasser dans le filtre, mais ils peuvent en plus tre amplifi, c'est la caractristique des filtres actifs.

    0.01 0.1 1 10 100

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    6

    u= f/fc

    Fig. I.27 : gain en dcibel avec gain statique Ho = 2 6 DB

    Argument de la fonction de transfert ( phase) :

    )f

    f

    (Arctg)(Arctg)CR(Arctg)( cc2 ===

    90

    100

    110

    120

    130

    140

    150

    160

    170

    180

    0.01 0.1 1 10 100u= f/fc

    Fig. I.28 : Phase du passe bas de la structure 2

    Ve Vs

    R1

    +-

    C

    R2

    Fig. I.26 : passe bas

  • 8/13/2019 Filtrage Analogique

    13/38

    Filtrage analogique 13

    I.8 Les Filtre passe-haut du premier ordreCe sont les filtre dont la fonction de transfert est de la forme :

    1

    h)p(h

    o

    o

    p

    p

    o

    += soit j1

    jh)(h

    o

    oo

    +=

    Le module de la fonction de transfert est :

    ( )2o

    o

    o

    1

    H)(H

    +

    =

    La phase de la fonction de transfert est :

    ==

    1s0h

    1s0h)(Arctg

    2s)(

    o

    o

    o

    Courbes de rponse :

    )u1log(10ulog20)Hlog(201log10log20)Hlog(20H2

    o2

    c

    2

    codB ++=

    ++=

    f 0 , HdB20log(Ho)+20 log(u), ce qui correspond une asymptote +6 dB / octave coupant laligne horizontale 20log(Ho) x au point u=1 c.a.d f= fc

    f , HdB20 log u -10 log u2= 0

    6dB/octave

    Hdbo1 100.1

    0

    Ho 1

    6dB/octave

    1 100.1

    -5

    0

    -3

    -10

    -15

    Ho=1

    Fig. I.29 : Courbe de gain dun filtre passe haut du premier ordre

    Pour la phase, la plage de variation dpend du signe de ho:

    0.01 0.1 1 10 100

    90

    75

    60

    45

    30

    15

    0 -180

    -165

    -150

    -135

    -120

    -105

    -90

    ho>0 ho

  • 8/13/2019 Filtrage Analogique

    14/38

    Filtrage analogique 14

    I.8.1 Ralisation par un filtre passifLa fonction de transfert est :

    jRC1

    jRC)(h +=

    La pulsation de coupure estRC

    1o= ,

    RC21fo

    =

    Le module est( ) ( )2ff

    ff

    2222

    o

    o

    o

    o

    11CR1

    RC)(H+

    =+

    =+

    =

    La phase est )(Arctg2

    )(o

    =

    Si on applique un signal m(t)= A cos(2fmt) avec A = 5et fm= 2 kHz, alors le signal de sortie auraune amplitude AH(fm) = 50.905 = 4.525 et sera dphas (en avance) de (fm) = 0.439 rad.

    0 /2 3/2 2 5/2 3

    54321

    012345

    Ve

    Vs

    Fig. I.32 : Filtrage d'un signal sinusodal (A=5, fm= 2kHz) par un filtre passe haut (fc= 1 kHz)

    I.8.2 Ralisation par filtre actifIci aussi on peut utiliser, soit un filtre passif suivi d'un amplificateur suiveur, soit la structure

    reprsente sur la figure (Fig. I.33).

    Pour dterminer la fonction de transfert, on va noter Z2= R// C2

    2jC1

    jC1

    2 jRC1R

    R

    RZ

    2

    2

    +=+=

    La fonction de transfert est :1

    2

    e

    S

    Z

    Z

    V

    V)(h ==

    2

    1

    jRC1jRC

    -)(h +=

    La frquence de coupure est :2

    c2

    c RC21f,

    RC1

    ==

    Le module de la fonction de transfert ( gain) est :

    R

    C

    VsVe

    Fig. I.31: Filtre passe-haut

    Ve Vs

    C1

    +

    -

    C2

    R

    Fig. I.33 : passe haut actif

  • 8/13/2019 Filtrage Analogique

    15/38

    Filtrage analogique 15

    2

    c

    2

    c

    2

    1

    2

    c

    2

    c

    2

    1

    22

    2

    2

    1

    f

    f1

    ff

    C

    C

    1C

    C

    CR1

    RC)(H

    +

    =+

    =+

    =

    Pour les frquences leves, le gain tend vers2

    1

    o C

    CH = . Pour les basses frquences, (bande

    coupe), le gain a une pente de +6 dB / octave

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    0.01 0.1 1 10 100

    u= f/fc

    6

    Fig. I.34: gain en dcibel du passe avec Ho = 2 6 DB

    Argument de la fonction de transfert ( phase) :

    )ff

    (Arctg2

    )(Arctg2

    )RC(Arctg2

    )(cc

    2 ===

    -180

    -170

    -160

    -150

    -140

    -130

    -120

    -110

    -100

    -90

    0.01 0.1 1 10 100 u= f/fc Fig. I.35 : Phase du passe haut

  • 8/13/2019 Filtrage Analogique

    16/38

    Filtrage analogique 16

    I.9 Les Filtres passe-bas du second ordreLes filtres passe-bas de second ordre ont une fonction de transfert de la forme :

    ( )2ppo

    oo21

    h)p(h ++

    = ( )2o

    oo2j1

    h)(h

    +

    =

    0 : Pulsation caractristique dite aussi pulsation naturelle ou de brisure. Nous l'appellerons aussipulsation de coupure bien que cela ne soit pas trs exact.

    : Coefficient d'amortissement = 1/2Q avec Q : Coefficient de surtension r : Pulsation de rsonance = 0

    21 2

    Module :

    ( )( ) ( )22220

    0041

    HH

    +

    =

    ( )( ) ( )222210010dB 00 41log10Hlog20H +=

    0 , HdB0 , HdB varie comme -40 log(/0) Chute de 12 dB / Octavef

    o 2f of

    HdB

    20log(Ho)

    12dB

    Fig. I.36 : Asymptotes d'un filtre passe-bas du 2meordre

    Phase :

    = (N) - (D)

    =

    0hsi

    0hsi0)N(

    o

    o

    ( )

    ( )

    >+

    0

    R1

    +

    -

    C

    R2R

    C

    ( )2ff o11

    jRC11

    ++

    ( )2ffR

    R

    2

    RR

    o

    1

    2

    1

    2

    1

    CjR1-

    ++

    ( )( )2

    o

    p

    o

    o

    o

    o

    o

    1

    H)(H

    1

    h)(h

    +=

    +=

    ==

    1s0h

    1s0h)(Arctg

    2s)(

    o

    o

    o

    0.1 1 10

    -20

    -15

    -10

    -5

    0

    6dB/octave

    0.01 0.1 1 10 100

    90

    75

    60

    45

    30

    15

    0 -180

    -165

    -150

    -135

    -120

    -105

    -90

    ho>0

    C1

    +

    -

    C2

    RRC

    ( )2fff

    f

    o

    o

    1

    jRC1

    RC

    ++

    ( )2ff

    ff

    CC

    2

    1

    o

    o2

    1

    1

    jRC1

    jRC-

    ++

    2erOrdre

    ( )2ppo

    0021

    h ++

    ( )( ) ( )22220

    0041

    H

    +

    ( )

    =

    =

    1s:0h

    0s:0h

    1

    2Arctgs

    o

    o2

    0

    0

    0.1 1 1040

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -180

    -135

    -90

    -45

    0

    0.1 1 100

    45

    90

    135

    180

    h>0 h

    =

    0s:0h

    1s:0h

    1

    2Arctgs

    o

    o2

    0

    0

    0.1

    0.51

    2

    0.1 1 100

    45

    90

    140

    180

    H < 0H > 0

    -180

    -135

    -90

    0

    -45

    -40

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    12dB/octave

    CR

    R

    C

    k222

    222

    pCRRCp)k3(1pCkR

    ++

    2k3RC

    1o ==

    1 +

    = s

    -20

    -10

    0

    10

    0.1

    6dB/Oc

    R

    21 +

  • 8/13/2019 Filtrage Analogique

    29/38

    Filtrage analogique 29

    II LES FILTRES DE CHEBYSHEVLes Filtres de Chebyshev sont les filtres construit laide des polynmes de Chebyshev. Ils ont une

    fonction de transfert h(j)dont le module est de la forme :

    ( )0

    2

    n

    2

    0

    T1

    H)(H

    +

    =

    Tn(u)sont les polynmes de Chebyshev, ils sont dfinis par :

    >>=

  • 8/13/2019 Filtrage Analogique

    30/38

    Filtrage analogique 30

    La recherche des fonctions de transfert de Chebyshev est un travail fastidieux car il fautrsoudre des quations trigonomtriques non linaires.

    Des tables fournissant ses fonctions pour diffrentes valeurs de n et de R existent. Elles sont

    donnes en fonction de la variable de la place normaliseo

    jjus

    == . Seuls les dnominateurs D(s)

    sont fournis car ses fonctions sont de la forme

    D(s)

    h)s(h o= avec :

    ==

    =

    pairnpour10h

    impairnpour1h

    20R

    o

    o

    Les dnominateurs sont fournis sous forme quadratique, c.a.d en forme de produit de polynmes dedegr 2 et ventuellement de degr 1 pour n impair. Cela dans le but de faciliter le passage laralisation pratique par l'utilisation de filtres de second ordre en cascade. La liste ci-dessous fournitquelques-uns de ces polynmes :

    Polynmes de Chebyshev =0.508847 =0.891251 R=1dB1 (1+0.508847s)2 (1+0.995668s+0.907021s)3 (1+0.497051s+1.00583s)(1+2.02359s)4 (1+0.28289s+1.01368s)(1+2.4114s+3.57912s)5 (1+0.181032s+1.01182s)(1+1.09111s+2.32938s)(1+3.45431s)6 (1+0.125525s+1.00935s)(1+0.609201s+1.79302s)(1+3.72173s+8.0188s)7 (1+0.0920921s+1.00737s)(1+0.391989s+1.53033s) (1+1.60618s+4.33933s) (1+4.86821s)8 (1+0.0704291s+1.00589s)(1+0.275575s+1.38209s) (1+0.875459s+2.93376s)

    (1+5.00983s+14.2326s)

    9 (1+0.0556s+1.00479s)(1+0.205485s+1.28968s)(1+0.556611s+2.28018s)(1+2.10336s+7.02425s)(1+6.27626s)10 (1+0.0450063s+1.00396s)(1+0.159743s+1.22786s) (1+0.389282s+1.92112s)

    (1+1.12661s+4.41233s)(1+6.28949s+22.2213s)

    Polynmes de chebyshev =0.349311 =0.944061 R=0.5dB

    1 (1+0.349311s)2 (1+0.94026s+0.659542s)3 (1+0.548346s+0.875314s)(1+1.59628s)4 (1+0.32976s+0.940275s)(1+2.37556s+2.80574s)

    5 (1+0.21619s+0.965452s)(1+1.22963s+2.09746s)(1+2.75999s)6 (1+0.151805s+0.977495s)(1+0.71912s+1.69489s)(1+3.6917s+6.36953s)7 (1+0.112199s+0.984148s)(1+0.471926s+1.47736s)(1+1.8182s+3.9389s) (1+3.90366s)8 (1+0.0862115s+0.988209s)(1+0.335124s+1.34892s)(1+1.03671s+2.78823s) (1+4.98097s+11.3569s)9 (1+0.0682765s+0.990873s)(1+0.251348s+1.26684s)

    (1+0.671707s+2.20975s)(1+2.38502s+6.39622s)(1+5.04019s)10 (1+0.0553925s+0.992718s)(1+0.196118s+1.21109s)

    (1+0.474268s+1.88038s)(1+1.33583s+4.20319s)(1+6.25989s+17.7686s)

  • 8/13/2019 Filtrage Analogique

    31/38

    Filtrage analogique 31

    Polynmes de Chebyshev =0.15262 =0.988553 R=0.1dB

    1 (1+0.15262s)2 (1+0.715851s+0.301747s)3 (1+0.573699s+0.591804s)(1+1.03156s)4 (1+0.397218s+0.751862s)(1+2.04753s+1.60533s)

    5 (1+0.278732s+0.836864s)(1+1.37121s+1.57252s)(1+1.85558s)6 (1+0.203107s+0.885436s)(1+0.899942s+1.43601s)(1+3.2506s+3.79706s)7 (1+0.153492s+0.915377s)(1+0.623766s+1.32763s)(1+2.05601s+3.02831s) (1+2.65408s)8 (1+0.119646s+0.935024s)(1+0.456131s+1.25173s) (1+1.31031s+2.40263s)(1+4.41789s+6.86755s)9 (1+0.0956885s+0.948574s)(1+0.348121s+1.19851s)

    (1+0.894419s+2.00987s)(1+2.7112s+4.96659s)(1+3.4428s)10 (1+0.0781757s+0.958301s)(1+0.274687s+1.16026s)

    (1+0.64921s+1.76061s)(1+1.6952s+3.6484s)(1+5.5708s+10.8158s)

    Les figures ci-dessous fournissent quelques courbes normalises qui peuvent servir dfinirl'ordre d'un filtre en fonction de l'ondulation dans la bande passante et de l'attnuation dans la bande

    coupe.

    0 0.5 1 1.5 2-50

    -40

    -30

    -20

    -10

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    dB

    Chebyshev -- Module (R=1dB)

    Fig. II.2 : Courbes du gain des filtres passe-bas de Chebyshev

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

    -8

    -6

    -4

    -2

    0

    12

    3

    4

    5

    dB

    Chebyshev -- Module (R=1dB)

    Fig. II.3 : agrandissement de la courbe de gain

  • 8/13/2019 Filtrage Analogique

    32/38

    Filtrage analogique 32

    0 0.5 1 1.5 2

    -450

    -400

    -350

    -300

    -250

    -200

    -150

    -100

    -50

    0

    Chebyshev -- Phase (R=1dB)

    Phase en

    Fig. II.4 : Courbes de phase des filtres passe-bas de Chebyshev

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-600

    -500

    -400

    -300

    -200

    -100

    0

    Chebyshev -- Phase (R=1dB)

    Phase en

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    Fig. II.5 : Illustration de la phase dans la bande passante

    On remarque sur la courbe ci-dessus que les filtres de Chebyshev on une phase quasi linaire dans labande passante ce qui fait que ces filtres auront une faible distorsion de phase. Rappelons que pour

    avoir une distorsion de phase nulle, il faut que tous les harmoniques subissent le mme retard .

    Sachant que le retard est obtenu par

    dd= , si () est linaire alors est constante et la distorsion

    de phase est nulle.

  • 8/13/2019 Filtrage Analogique

    33/38

    Filtrage analogique 33

    Exemple :

    Ralisons un filtre de Chebyshev qui a une frquence de coupure fode 1 kHz, une ondulation de 1

    dBdans la bande passante et une attnuation suprieure 45 dBpour les frquences suprieures 2fo(u>2).

    Si on observe les courbes correspondant R = 1dB, on constate qu'il faut un filtre d'ordre 5pour

    obtenir lattnuation de 45 dBdsire.Dans la liste des polynmes de Chebyshev, on choisit celle correspondant n = 5soit :

    (1 + 0.181032s + 1.01182s) (1 + 1.09111s + 2.32938s) (1 + 3.45431s)

    La fonction de transfert du filtre est donc :

    3.45431s)+(12.32938s)+1.09111s+(11.01182s)+0.181032s+(11)s(h =

    3.45431s)+(1

    1

    2.32938s)+1.09111s+(1

    1

    1.01182s)+0.181032s+(1

    1)s(h =

    Donc le filtre pourra tre ralis en cascadant 2 filtres du second ordre et un filtre du premierordre.

    2200

    1p1.01182+p0.181032+1

    11.01182s+0.181032s+1

    1)s(h

    ==

    2200

    2p2.32938p1.091111

    12.32938s)+1.09111s+(1

    1)s(h

    ++

    ==

    p3.454311

    13.45431s+1

    1)s(h

    0

    3

    +==

    On va utiliser des filtres actifs base d'amplificateurs oprationnels pour raliser les 3 filtres h1,h2 et h3. Plusieurs structures lectroniques de base existent, Nous allons utiliser une structure dupremier ordre simple pour h3 et une la structure de Salen-Key passe bas pour h2et h1.

    Les schmas de la structure de Salen-Key ainsi que sa fonction de transfert sont fournis ci-dessous.On va faire la correspondance avec les fonctions de transfert h1 et h2 et en dduire la valeur descomposants.

    222 pCRRCp)k3(1k)p(F

    ++=

    Pour l'amplificateur k on prendra un amplificateur non-inverseurclassique. k = 1 + R2/ R1.

    C

    VeRR

    k

    CVs

    Fig. II.6

    R2R1

  • 8/13/2019 Filtrage Analogique

    34/38

    Filtrage analogique 34

    Commenons par h1 :2

    200

    p1.01182+p0.181032+1

    = 222 pCRRCpk3(1 ++

    RC = 20

    1.01182

    o= 2fo= 21000 = 6283.2 rad/s

    RC = 1.001182 / 6283.2 = 1.59 10-4Si on prend C = 50 nF on obtient R = 3.2 k .

    0

    0.181032

    =o

    1.001182k)-(3RC)k3(

    =

    k = 3 - 0.181032 / 1.001182 = 2.82 = 1 + 1.82Ce qui donne pour lamplificateur : R2= 18.2k et R1= 10 k

    On obtient la structure suivante pour h150 nF

    Ve

    50nF

    Vs

    3.2k 3.2k

    18.2k

    10k

    Fig. II.7

    Les mmes calculs pour h2 aboutissent :C = 50 nF, R = 4.86 k et k = 1 + 1.29

    Pour h3, on utilisera la structure du premier ordre ci dessous, elle nous permettra d'ajuster le gain

    global de l'amplificateur afin d'avoir un gain statique global = 1. Mais elle introduit un dcalage de laphase de + cause du signe dans la fonction de transfert.

    VeVs

    R1H(p)=

    R2/R1

    1+ R2Cp+

    -

    C

    R2

    1+R2Cp = 3.45431/o, on prend C=50 nF, on obtient R2= 11 k

    Le gain statique global du filtre ainsi obtenu est k1. k2. R2/R1= 1

    On en dduit R1 = 2.82 x 2.29 x 11k= 70 k

    0 500 1000 1500 20000

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 500 1000 1500 2000-50

    -40

    -30

    -20

    -10

    0

    dB

    Fig. II.8 : trac thorique sur chelle linaire des gains H et HdB du filtre dsir

  • 8/13/2019 Filtrage Analogique

    35/38

    Filtrage analogique 35

    101

    102

    103

    -50

    -40

    -30

    -20

    -10

    0

    500 1000 1500 2000 2500 3000-270

    -180

    -90

    0

    90

    180

    Phase

    Fig. II.9 : trac thorique de HdB sur chelle semi-log Fig. II.10 : trac thorique de la phase

    Fig. II.11 : Schma du filtre

    Fig. II.12 : courbe du gain HdB obtenue par simulation sur EWB

    Fig. II.13 : : courbe de la phase obtenue par simulation sur EWB

  • 8/13/2019 Filtrage Analogique

    36/38

    Filtrage analogique 36

    III LES FILTRES DE BUTTERWORTHLes Filtres de Butterworth sont les filtres construit laide des polynmes de Butterworth. Ils ont

    une fonction de transfert h(j)dont le module est de la forme :

    ( ) n20

    n

    01

    H)(H

    +

    =

    Les filtres de Butterworth ont une rponse relativement plate dans la bande passante mais ils ontune slectivit mois forte que les filtres de Chebyshev.

    La liste ci-dessous fournit les dnominateurs D(s) des fonctions de transfert passe bas deButterworth jusqu l'ordre 10. Ils sont fournis en fonction de la variable de Laplace normalise s = ju.

    La fonction de transfert est de la formeD(s)

    1)s(h =

    1 (1+s)2 (1+1.41421s+s)3 (1+1s+s)(1+s)4 (1+0.765367s+s) (1+1.84776s+s)5 (1+0.618034s+s) (1+1.61803s+s) (1+s)6 (1+0.517638s+s) (1+1.41421s+s) (1+1.93185s+s)7 (1+0.445042s+s)(1+1.24698s+s) (1+1.80194s+s) (1+s)8 (1+0.390181s+s) (1+1.11114s+s) (1+1.66294s+s) (1+1.96157s+s)9 (1+0.347296s+s) (1+1s+s) (1+1.53209s+s) (1+1.87939s+s) (1+s)10 (1+0.312869s+s) (1+0.907981s+s) (1+1.41421s+s) (1+1.78201s+s) (1+1.97538s+s)

    0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    Fig. III.1 : Gain en linaire des filtres de Butterworth

  • 8/13/2019 Filtrage Analogique

    37/38

    Filtrage analogique 37

    10-1

    100

    101

    -80

    -60

    -40

    -20

    0

    dB

    Fig. III.2 : Gain en dB sur chelle semi-logarithmique des filtres de Butterworth

    0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-600

    -500

    -400

    -300

    -200

    -100

    0

    Phase

    Fig. III.3 : phase des filtres de Butterworth

  • 8/13/2019 Filtrage Analogique

    38/38

    Filtrage analogique 38

    10 -1

    10 0

    10 1

    -600

    -500

    -400

    -300

    -200

    -100

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    Fig. III.4 : phase des filtres de Butterworth sur chelle semi- logarithmique

    Exemple : Filtre passe bas de Butterworth, Ordre=5, fc=2kHz, C=50 nF

    Premier terme : (1+0.618s+s2

    ) R=1.59 k, k=1+1.382me terme : (1+1.618s+s2) R=1.59 k, k=1+0.383meterme : (1+s) ==> R2 = 1.59 k, R1 = 5.24 k