Filtrage numérique

5/25/2018 Filtrage num rique

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Conditionnement du signal

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Filtrage numrique


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Plan de la prsentation

Rappels sur les notions de filtrage

Objectifs de la fonction Filtrer les signaux

Types de filtreGabarits

Expression des filtres par les quations diffrentielles

Avantages et inconvnients du filtrage numrique

Filtres RII et RIF

Stabilit des filtres

Expression des filtres

Par approximation des diffrentielles par des diffrences finies

Par la transforme bilinaire

Rponse frquentielle dans le plan de Bode

Implantation dans un calculateurEquation de rcurrence


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Objectifs de la fonction Filtrer les signaux :

Slectionner une bande de frquence comprise dans un signal.

Diffrents types de filtre - Gabarit :


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Equation diffrentielle dun filtre analogique :

Les quations diffrentielles sont une autre mthode permettant de

caractriser un filtre.

Prenons 2 exemples avec des filtres passifs du 1eret du 2ndordre :

Exemple 1 : Filtre du 1erordre

La loi des mailles nous donne :

1( ) ( ) 2( ) 0Ru t u t u t

Or : ( ) . ( )

2( )( ) .

R C

C

u t R i t

du ti t Cdt

On obtient donc :2( )

. 2( ) 1( )du t

RC u t u tdt


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Rappels sur les notions de filtrageExemple 1 : Filtre du 1erordre (suite)

2( )

. 2( ) 1( )du t

TL RC u t TL u t dt

Pour trouver la Fonction de Transfert, il nous faut calculer la transforme deLaplace de cette quation diffrentielle.

2( ). 2( ) 1( )

2( ). 2( ) 1( ) par linarit de la TL

2( )RC. 2( ) 1( )

. . 2( ) 2( ) 1( ) en supposant les CI nulles

2( ) 1

1( ) 1

du tTL RC u t TL u t

dt

du tTL RC TL u t TL u t

dt

du tTL TL u t TL u t

dt

RC p U p U p U p

U p

U p RCp

Pour faire apparatre les pulsations, on remplace la variable de Laplace pparj.

2( ) 1 1

1( ) 1 1c

U j

U j RCj j

Avec :

1

c RC


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Rappels sur les notions de filtrageExemple 2 : Filtre du 2ndordre

La loi des mailles nous donne :

1( ) ( ) ( ) 2( ) 0R Lu t u t u t u t

Or : ( ) . ( )

2( )( ) .

( )( ) .

R

L

u t R i t

du ti t C

dt

di t

u t Ldt

On obtient donc :

2

2

2( ) 2( ). . 2( ) 1( )

d u t du t LC RC u t u t

dt dt

Qui est une quation diffrentielle du second ordre coefficient constant.

Grce la Transforme de Laplace, on obtient :

2

2

2

2

2

2( ) 2( )

. . 2( ) 1( )

2( ) 2( ). . 2( ) 1( )

. . 2( ) . . 2( ) 2( ) 1( )

d u t du t

TL LC RC u t TL u t dt dt

d u t du t LC TL RC TL TL u t TL u t

dt dt

LC p U p RC p U p U p U p

2

2

2( ) 1

1( ) 1

2( ) 1

1( ) 1

U p

U p RCp LCp

U j

U j RCj LC j

Qui est bien la fonction de transfert dun filtre du second ordre.


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Avantages/Inconvnients du filtrage numrique

Avantages des filtres numriques / analogiques :

Pas dutilisation de composants discrets tels que R, C et L;

Pas de modification par consquent des caractristiques du filtre;

Possibilit dobtenir des filtres dordre trs lev sans difficult (100 200),

donc des attnuations trs importantes.

Inconvnients des filtres numriques / analogiques :

Echantillonnage du signal dentre analogique => Choix de la frquence

dchantillonnage Fe(dans tous les cas, il faut respecter le thorme de

Shannon Fe>2.Fmax);

Calcul parfois complexe pour obtenir la fonction de transfert du filtre

numrique;

Ncessite un calculateur puissant (caractris par son MIPS ou GIPS =

nombre dInstructions Par Seconde);

Sassurer de la stabilit du filtre numrique en fonction de la quantification

des coefficients et de la frquence dchantillonnage.


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Principe des filtres numriques

FILTRE NUMERIQUE

Le filtre numrique transforme la suite dchantillon dentre x(nTe) en une

suite dchantillon y(nTe).

Filtre

numrique

xnTe ynTe

Bien souvent, on oublie volontairement le terme Te qui reprsente la priode

dchantillonnage.

( 2)

( ) ( ) (( 2). ) ( 2)nTe n Te

x x nTe x n et x x n Te x n

Notation :


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Filtre RII et Filtre RIF

Les filtres numriques possdent aussi leurs reprsentations :

Relation de rcurrence;

Fonction de transfert en z appel aussi transmittance.

Reprsentation du filtre numrique par sa relation de rcurrence :

0 0. ( ) . ( )

N M

k j

k ja y n k b x n j

O :

les aket bjdes coefficients dpendant du type de filtre numrique ralis;

x(n-j)reprsente lchantillon de lentre,jcoups dhorloge prcdent;

y(n-k)reprsente lchantillon de la sortie, kcoups dhorloge prcdent.

On distingue 2 types de filtre numrique :

Si N=0 : on parle de filtre Rponse Impulsionnelle Finie (RIF ou FIR en

anglais).

Si N1: on parle de filtre Rponse Impulsionnelle Infinie (RII ou IIR enanglais).

En analogique : Equation di ffrentiel le, et Fonction de Transfert en j(ou p).

: 2. ( ) 0,2. ( 1) 1,5. ( ) 0,48. ( 1) 0,12. ( 2)Exemple y n y n x n x n x n


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Reprsentation du filtre numrique par sa relation de rcurrence (suite) :

( ) ( ) 0, 2. ( ) 1,5. ( 1) 0, 48. ( 2) 0,12. ( 3)y n y nTe x n x n x n x n

Exemple de filtre numrique RIF :

( ) 1,3. ( ) 0,26. ( 1) 0,08. ( 1) 0,79. ( 2)y n x n x n y n y n

Exemple de filtre numrique RII :

Reprsentation du filtre numrique par sa Fonction de Transfert en z :

A limage de la Transforme de Laplace en analogique de variable p, il existe

aussi une transforme en numrique appel Transforme en Z de variable z.

La transforme en Z ntant pas au programme, on donnera la Fonction deTransfert en z partir de la relation de rcurrence.

La Fonction de Transfert dun filtre numrique peut donc scrire par :

( )( )

( )

Y pH p

X p

En analogique

( )( )

( )

Y zH z

X z

En numrique


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( ) 1,3. ( ) 0,26. ( 1) 0,08. ( 1) 0,79. ( 2)y n x n x n y n y n Exemple de Fonction de Transfert en z dun filtre numrique RII :

Reprsentation du filtre numrique par sa Fonction de Transfert en z (suite) :

1

1 2

( ) 1,3 0,26.( )

( ) 1 0,08. 0,79.

Y z zH z

X z z z

Mthode :

On transforme les u(n-k) par z-k.U(z);

On regroupe tous les termes en X(z)ensemble et les termes en Y(z)ensemble;

On tablit ensuite la fonction de transfert H(z)=Y(z)/X(z).

Pour notre exemple, cela donne :1 1 2( ) 1,3. ( ) 0, 26. . ( ) 0, 08. . ( ) 0, 79. . ( )Y z X z z X z z Y z z Y z

1 2 1( ). 1 0,08. 0, 79. ( ). 1,3. 0, 26.Y z z z X z z La Fonction de Transfert en z est donc :

Ou encore en fonction des puissances positives de z :

2

. 0, 26 1,3.( )( ) ( ) 0,79 0,08.

z zY zH z X z z z

Loprateur z-1reprsente un retard dun chantillon.


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Stabilit des filtres numriques

Thorme de stabilit (non dmontr) :

Un filtre numrique est stable si tous les ples de la Fonction de Transfert en

z sont lintrieur du cercle unit.

Pour tudier la stabilit dun filtre numrique de Fonction de Transfert

H(z), il faut dterminer lensemble des ples de celle-ci.

1 2( ) . nDen z z z z z z z Par consquent, il faut rechercher les racines du dnominateur pour lcrire

sous la forme :

Et vrifier que tous les ples zisont bien dans le cercle unit (module < 1).

Remarque : Pour vrifier que tous les ples sont dans le cercle unit peut se

vrifier en calculant le module des zi.


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Stabilit des filtres numriques

Exemple de vrification de la stabilit dun filtre RII :

Reprenons lexemple prcdent o la transmittance est :

2

. 0,26 1,3.( )( )

( ) 0,79 0,08.

z zY zH z

X z z z

Cherchons les racines du dnominateur :

2

1 2

( ) 0,08. 0,79 ( 0,04 0,888 ) . ( 0,04 0,888 )Den z z z z j z j

z z

Vrifions que ces 2 ples sont dans le cercle unit :

1

2

0,04 0,888 0,889 92,58

0,04 0,888 0,889 92,58

z j

z j

Les modules des 2 ples sont bien infrieurs 1, donc les ples sont dans

le cercle unit.

Le filtre tudi est donc stable.


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Synthse des filtres numriques

Lobjectif de la synthse des filtres numriques est de trouver lquation de

rcurrence ou la Fonction de Transfert en z (Transmittance en z) dun filtrepour respecter un cahier des charges (gabarit du filtre).

2 mthodes de synthse sont au programme :

Par discrtisation de lquation diffrentielle;

Par la transformation bilinaire.

0 0

. ( ) . ( )

( )( )

( )

N M

k j

k j

a y n k b x n j

ou

Y zH z

X z


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Approche par discrtisation de lquation diffrentielle :


Objectif : A partir dune quation diffrentielle (ou dune Fonction de Transfertdun filtre analogique), obtenir lquation de rcurrence ou la transmittance en

z du filtre numrique qui se rapproche du filtre analogique quivalent.

On se limitera aux filtres analogiques du second ordre qui ont donc une

quation diffrentielle du second ordre.

Mthode de la discrtisation de lquation temporelle :Si on dispose de la fonction de Transfert en analogique H(p)ou H(j),

revenir lquation diffrentielle par la Transforme de Laplace Inverse;

Remplacer :

les fonctions par :

les drives premires par :

les drives secondes par :

Si on souhaite obtenir la transmittance, reprendre la mthode

permettant de passer de lquation de rcurrence la transmittance vue

prcdemment.

( ) ( ) ( 1)dx t x n x n

dt Te

2

2 2

( ) ( ) 2. ( 1) ( 2)d x t x n x n x n

dt Te

( ) ( )x t x n

d d l


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Approche par discrtisation de lquation diffrentielle (suite) :


Exemple pour un filtre du 1erordre du type passe bas :Soit un filtre analogique ayant pour quation diffrentielle : ( ) . ( ) ( )

dy ta y t x t

dt

En discrtisant lquation diffrentielle, il vient :

( ) ( ) ( 1). ( ) ( ) . ( ) ( )

dy t y n y na y t x t a y n x n

dt Te

Lquation de rcurrence scrit donc :1

( ) . ( ) . ( 1) . ( ) . ( 1)1 . 1 .

A B

Tey n x n y n A x n B y n

a Te a Te

La Fonction de Transfert en z (ou transmittance en z) scrit donc :

1

( ) .

( ) 1 .

Y z A A z

X z B z z B

Remarque :

Contrairement aux filtres analogiques du premier ordre qui sont toujours

stables, les filtres numriques du premier ordre ne sont pas obligatoirement

stable.

Il faut tudier la valeur de B, qui dpend de amais surtout de Te, donc de lafrquence dchantillonnage.

C d d l


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Approche par la transforme bilinaire :


Objectif : A partir dune quation diffrentielle (ou dune Fonction de Transfertdun filtre analogique), obtenir lquation de rcurrence ou la transmittance en

z du filtre numrique qui se rapproche du filtre analogique quivalent.

Mthode de la transforme bilinaire :

Si on dispose de lquation diffrentielle, obtenir la Fonction de

Transfert en analogique H(p)par la transforme de Laplace;

Remplacer la variable de Laplace ppar :

Si on souhaite obtenir lquation de rcurrence, reprendre la mthode

permettant de passer de la transmittance lquation de rcurrence vue

prcdemment.

1

1

2 1 2 1. .

1 1

z zp

Te z Te z

C di i d i l


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Approche par la transforme bilinaire (suite) :


Exemple pour un filtre du 1er

ordre du type passe bas :Soit un filtre analogique ayant pour quation diffrentielle : ( ) . ( ) ( )

dy ta y t x t

dt

En calculant la transforme de Laplace de cette quation diffrentielle, il vient :( ) 1

( )

Y p

X p p a

En faisant la transformation bilinaire, on obtient :

. 1( )

( ) . 2 . . 2

Te zY z

X z z a Te a Te

Remarque :

Mme remarque que pour lapproche par discrtisation de lquation

diffrentielle, les filtres numriques du premier ordre ne sont pas

obligatoirement stable. Il faut tudier les racines du dnominateur qui

dpendent de a mais surtout de Te, donc de la frquence dchantillonnage.

CONCLUSION : LA STABILITE DUN FILTRE NUMERIQUE DEPEND

DES PARAMETRES DU FILTRE ANALOGIQUE CORRESPONDANT,

MAIS AUSSI DE LA FREQUENCE DECHANTILLONNAGE !!

C di i d i l


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Reprsentation frquentielle dans le plan de BODE

Comme pour les filtres analogiques, il est possible de tracer les diagrammes

de Bode pour dterminer le gain statique ainsi que les frquences de coupure,et la phase.

RAPPEL EN ANALOGIQUE :

On remplace la variable de Laplace pparj.

Le gain en dB est dfinit par :

La phase est dfinit par :

( )20.log ( ) 20.log

( )

dB

Y jG H j

X j

arg ( )H j

EN NUMERIQUE :

On remplace la variable zpar , et on trouve

Le gain en dB est dfinit par :

La phase est dfinit par :

( )20.log ( ) 20.log( )

dBY jG H jX j

arg ( )H j

j Tez e ( )H j

C diti t d i l


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Exemple de diagrammes de Bode pour un filtre RIF du premier ordre :

Soit le filtre dfinit par la relation de rcurrence : ( ) 0,5. ( ) ( 1)y n x n x n Sa Fonction de Transfert en z (ou transmittance) est :

1( ) 1 1 1

( ) . 1 .( ) 2 2

Y z zH z z

X z z

La transmittance complexe scrit donc :

( ) 1 1

( ) . 1 . 1 cos( ) .sin( )( ) 2 2

j TeY jH j e Te j Te

X j

Le gain exprim en dB vaut donc :

La phase vaut donc :

2 2120.log ( ) 20.log . 1 cos sin

2

dBG H j Te Te

2

20.log . 1 cos 22

dB

fG

Fe

sin 2

arctan

1 cos 2

f

Fe

fFe

C diti t d i l


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Exemple de diagrammes de Bode pour un filtre RIF du premier ordre (suite) :

Si lon prend Fe=1kHz (e=6.28krad.s-1), les diagrammes de Bode ont la formesuivante :

Remarques :

La bande de frquence

utile va de 0 Fe/2 pour

respecter le Thorme deShannon.

Dans cette bande de

frquence, le filtre est du

type passe bas.

Graphiquement, lafrquence de coupure -

3dB est de 250Hz

(c=1571rad.s-1).

Les filtres numriques ont

des pentes suprieures auxfiltres analogiques.

c e/2

C diti t d i l


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ATTENTION :

Lobjectif de la synthse des filtres numriques est de trouver un filtrenumrique qui se rapproche du gabarit du filtre analogique quivalent.

Mais parfois, la frquence de coupure du filtre numrique est diffrente du

filtre analogique quivalent.

Il faut par consquent faire quelques modifications sur le filtre analogique.

VOIR TD4

C diti t d i l


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Equation de rcurrence Implantation dans un calculateur

Structure de base des filtres numriques du type RIF :

x(n-1) x(n-2)

Loprateur z-1reprsente le retard dun chantillon.

1

0

( ) ( ). ( )N

k

y n h k x n k

h(0).x(n) h(1).x(n-1)

Cette structure est bien celle dun filtre Rponse Impulsionnelle Finie.

( ) (0). ( ) (1). ( 1) ... ( 1). ( 1)y n h x n h x n h N x n N

x(n-N+1)

C diti t d i l


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Structure de base des filtres numriques du type RII :

1

0 1

( ) . ( ) . ( )M N

n p

k p

y n b x n k a y n p

b0.x(n) z(n) -a1.z(n-1)

Ralise un filtre RIF

avec pour entre x(n)

Ralise un filtre RIF

avec pour entre z(n)

C nditi nn m nt d i n l


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Les calculateurs ralisant les filtres numriques sont gnralement :

Des microprocesseurs;

Des microcontrleurs;

Des DSP (Digital Signal Processor).

Les DSP sont des microcontrleurs spcialiss dans le traitement des signaux.

Ils possdent des instructions spcifiques (FFT, multiplication, ) intgres

qui se ralisent dans un temps trs court (quelques cycles dhorloges).

Lensemble des coefficients du filtre numrique est stock dans la mmoire de

ces composants.

Pour sassurer de la stabilit des filtres numriques qui dpend des valeurs

des coefficients aket bk, la reprsentation des coefficients est trs importantes.

Les formats les plus utiliss sont :

Reprsentation virgule flottante double prcision;

Reprsentation virgule flottante simple prcision;

Reprsentation virgule fixe;

Reprsentation au format Qn.

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