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IUFM Préparation CAPET Génie Electrique
Page 1/4 L. LUBRANO 1998
Filtrage par variable d’état
1 - Introduction : Le filtrage analogique par variable d’état repose sur l’utilisation d’amplificateurs linéaires intégrés réalisant les opérations élémentaires nécessaires à la réalisation d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants. 2 - Principe : L’exemple suivant présente la méthode théorique de construction d’un filtre passe-bas élaboré à l’aide de la méthode des variables d’état.
De la forme donc avec TS
E
A
j mj
S
E
A
Kp K p
K
Km
c c
C
C
= =+ +
=+ +
=
=
( )²
²²
ωω
ωω
ω
ω2 11
1
21
1
( )Kp S K pS S AE KS K S S AE SK
AE K S S² && & && &+ + = ⇒ + + = ⇒ = − −1 1 1
1
Schéma blocs
Les intégrateurs 1
Psont réalisés par une structure active R,C et ALI permettant d’élaborer la fonction −
1
RCp,
Il convient donc lors de la réalisation de ce type de filtre de prendre en compte d’une part les équations mathématiques, mais aussi les possibilités structurelles et leurs implications directes sur les changements de signes et les modifications d’amplification. Il est aussi utile de prendre en compte le comportement en fréquence des ALI en fonction des fréquences utiles du montage. La suite de ce document présente une structure répondant à la réalisation de filtres simples sur le principe des variables d’état.
A 1
p1
p
K1
- +
E S
++
1
K
&&S &S
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3 - Structure générale : Le montage suivant permet de réaliser des équations différentielles exploitables par la suite pour un filtrage :
Dans ce montage, les deux intégrateurs réalisent les équations ci-dessous :
V
RC
dV
dtV
aRC
dV
dt
S S
S S
2
1 2
= −
= −
donc V RC
dV
dt
V aRCdV
dt
SS
SS
2
12
1
2
= −
= −
( )
( ) et la loi des noeuds appliquée au point A permet d’écrire :
On déduit des équations (1), (2) et (3) :
donc : aR Cd V
dtbRC
dV
dtkV VS S
S E² ²²
²+ + = −
On peut effectuer une normalisation de l’axe des temps à ′ =tt
RC ce qui conduit à l’équation suivante :
ad V
dtb
dV
dtkV VS S
S E
²
²′+
′+ = − Equation différentielle du second ordre liant l’entrée et la sortie.
V
R
kV
R
V
R
bV
RE S S S+ + − =1 2
0 (3)
V
R
kV
RaC
dV
dtbC
dV
dt
V
R
kV
RaCRC
d V
dtbC
dV
dtE S S S E S S S+ − + = ⇒ + + + =2 0 0
²²
R
R
R/k
aR
C
R
bR
R
R
C
A
S1 S2 S
VS1 VS2 VS VE
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4 - Filtrage par variable d’état : Les équations précédentes (1), (2) et (3), s’écrivent en régime harmonique :
V jRC V
V jaRC V
V kV V bV
S S
S S
E S S S
2
1 2
1 2 0
= −= −
+ + − =
ωω
4-1 Filtre Passe-Bas : Sortie en VS.
V
V j RC a j bRC kT
A
j mj
S
E
c c
= −+ +
=+ +
1
2 1( )²( )² ( )²ω ω ωω
ωω
de la forme
4-2 Filtre Passe-Bande : Sortie en VS2.
V
V
V
V
V
V
j RC
j RC a j bRC kT=A
mj
j mj
S
E
S
S
S
E
c
c c
2 2
2
2 1= × =
+ + + +
ωω ω
ωω
ωω
ωω
( )²( )² ( )² de la forme
4-3 Filtre Passe-Haut : Sortie en VS1.
V
V
V
V
V
V
j RC a
j RC a j bRC kT=A
j
j mj
S
E
S
S
S
E
c
c c
1 1
2
2
2 1= × = −
+ + + +
( )²( )²
( )²( )²
( )²
( )²
ωω ω
ωω
ωω
ωω
de la forme
5 - Représentation sous forme de schéma bloc : La structure générale du paragraphe 2 peut se représenter sous forme de schéma bloc comportant deux intégrateurs, des amplificateurs, et un sommateur.
avec
Ak
RC
k
a
mb
ak
c
= −
=
=
1
1
2
ω
avec
Ab
RC
k
a
mb
ak
c
=
=
=
1
1
2
ω
avec
A
RC
k
a
mb
ak
c
= −
=
=
11
2
ω
-1 −1
aRCp−
1
RCp
k
-b
-
- +
VE VS
V
ε
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5-1 Filtre Passe-Bande : démonstration
ε ε= − − + = − ⇒ = + −kV V bV VaRCp
VaRCp
kVaRCp
Vb
aRCpVS E S E et
1 1 1
donc : Vb
aRCp
k
a RC pV
aRCpV V
b
aRCp
k
a RC p aRCpVE E1
11
1+
= − + ⇒ + +
=
( )² ² ( )² ²
d’où : V
V
aRCp
k
a RC p
b
aRCp
b
bRCp
kbRCp
k
a RC p
kE
=
+ +
=+ +
1
1
1
1( )² ²
( )² ²
avec
Ab
RC
k
a
mb
ak
c
=
=
=
1
1
2
ω
Il est ainsi possible de retrouver les expressions des autres filtres réalisables avec la structure.
