Filtres à réponse impulsionnelle finie (RIF)boukadoum_m/MIC4220/Notes/6-MIC4220_RIF.pdf · Filtres à réponse impulsionnelle finie (RIF) MIC4220, ... FIR y[n] x[n] CAN Filtre anti-alias

1

MIC4220, Traitement numérique des signaux

Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et sources sur Internet1

Filtres à réponse impulsionnelle finie (RIF)



Objectifs d’apprentissage

Après ce cours vous serez en mesure:

• D’expliquer les conditions pour obtenir un filtre RIF avec une réponse linéaire.

• Faire la conception de filtre RIF en utilisant deux méthodes:

– La méthode des fenêtres

– L’échantillonnage en fréquence

2



Introduction• Les filtres RIF sont caractérisés par une fonction de

transfert exprimée par un polynôme en z-1 :

(donc, pas de dénominateur => pas de pôles)

• Propriétés :– Réponse stable par défaut

– Réponse en phase linéaire pour un filtre réalisable

– Peuvent demander un temps de calcul excessif

1

0

][N

n

nznhzH



Introduction

• Utilité d’un système stable par défaut :– Pas besoin de s’assurer de la position des pôles aux bons

endroits

• Avantage d’une réponse en phase linéaire :– L’équation d’entrée/sortie d’un filtre idéal est, dans sa

bande passante :

ou, dans le domaine de Fourier :

Ceci implique une fonction de transfert avec

)t(x)t(y

)(Xe)(Y j

H1)(H

3



L’équation d’un filtre RIF

• Équation d’entré/sortie:

1

0

N

kk knxbny

x[n] Valeurs successives du signal d’entréebk Coefficients de la fonction de transfert du filtrey[n] Valeurs successives du signal de sortieN Nombre de coefficients du filtre (détermine l’ordre)



Représentation d’un filtre RIF

• Diagramme de flux

• Deux filtres RIF se distinguent uniquement par leur coefficients!

x[n]

4



Origine du nom RIF

1N

0kk knxbny

• Si on remplace l’entrée x[n] par une impulsion [n], la sortie est y[n]=h[n] :

1

0

][N

kk knbnh

)1(1 110 Nnbnbnb N

kn 0

kn 1kn

for

for

• Et puisque : • On en déduit :

ou

1

0

1

0

bh

bh

autrement

Nksibkh k

0

1



Observations

• La réponse impulsionnelle du filtre est égale aux valeurs successives de ses coefficients.

• Pour un filtre d’ordre N :

• Conséquences:

La connaissance des valeurs de h[n] donne automatiquement les coefficients du filtre, et vice-versa

La réponse du filtre est de durée finie et égale à NTe

Nki 0

Nki b kh k

s

s

5



Réponse en fréquence

• La transformée z de

où bk=h[k] donne:

• La réponse en fréquence du filtre est obtenue en remplaçant z by ejTe :

• La similarité de forme de H() avec une série de Fourier suggère une méthode pour trouver h[n] !

1

0

N

kk knbnh

1

0

N

k

kzkhzH

1

0

N

k

Tjk

eze

eTj enhHzH



Périodicité de la réponse en fréquence

• Puisque e-j2k = 1, on a:

• Par conséquent, à l’instar de tout système à temps échantillonné, on a :

• En particulier, si on normalise Te à 1, on a:

et la période est simplement 2

HT

k2H

e

1N

0n

Tjn1N

0n

TT

2jn

e

ee

e enhenhT

2H

HkH 2

6



Nécessité d’un filtre anti-alias

• Conséquences de

• Il faut respecter le critère de Nyquist: (ou si on utilise une période d’échantillonnage normalisée)

=> Utiliser un filtre anti-alias à l’entrée du convertisseur A-N

HT

2H

e

fe/2fe/2fréqfréq

x[n]

y[n]

ee

max fT

FIR y[n]x[n]

CANFiltre anti-alias

x(t)



Réponse en phase

• Un filtre réalisable possède une réponse en fréquences symétrique (sinon h[n] aurait des valeurs complexes).– Pour un filtre d’ordre N, cela implique :

ou |h[n]| = |h[N-1-n]|

0n

h(n)

1 n n+1 2n+12n

N = 2n + 2

0n

h(n)

1 n n+1 2n2n-1n-1

N = 2n + 1

Symétrie paire Symétrie impaire

ee TnNjTjn enNhenh 11

7



Réponse en phase

• Si on suppose une symétrie impaire avec N=2n+1:

• Pour un symétrie paire, avec N=2n+2

0111

)1(110

20

)12(1

)1(11

00

2

0

...

......

zhzzhzzhzzhz

zhzhzhzhzhzh

zihzH

nnnnnnn

nnnn

nn

nN

i

i

nn

nn

n

nnnnn

nnnn

nn

nN

i

i

zzhzzhzzhz

zhzhzhzhzhzh

zihzH

2

12

2

121

2

121

2

12

12

12

2

12

02

12

)12(0

21

)1(11

00

12

0

...

......0

n

h(n)

1 n n+1 2n+12n

N = 2n + 2

0n

h(n)

1 n n+1 2n2n-1n-1

N = 2n + 1



Réponse en phase

• Dans les deux cas, on obtient une expression ou le terme entre crochets est réel (sommes de nombres complexes conjugués) et où l’argument du z hors-crochets donne la réponse en phase du filtre lorsque z=ejTe

– Dans les deux cas de symétrie, la réponse en phase est (ω) ωTe,

c.-à-d. de la forme kω

Condition Phase

2

1Nk Propriété Type de filtre

1 nNhnh

Symétrie positive k Phase linéaire

Symétrie impaire – Type 1

Symétrie paire – Type 2

8



Réponse en phase• En utilisant le même type de dérivation, on peut montrer

que les filtres antisymétriques ont eux aussi une réponse en phase linéaire

Centre de symétrie

Centre de symétrie

Centre de symétrie

Centre de symétrie



Conception d’un filtre RIF

• L’approche est similaire à la conception d’un filtre analogique.

• Cinq étapes :1. Spécification du filtre

2. Calcul des coefficients

3. Choix d’une architecture de mise en œuvre.

4. Simulation (option).

5. Implémentation.

9



Étape 1: Spécification du filtre

(a)

1

f(norm)fc : cut-off frequency

pass-band stop-band

pass-band stop-bandtransition band

1

s

pass-bandripple

stop-bandripple

fpb : pass-band frequency

fsb : stop-band frequency

f(norm)

(b)

p1

s

p0

-3

p1

fs/2

fc : cut-off frequency

fs/2

|H(f)|(dB)

|H(f)|(linear)

|H(f)|



Étape 1: exemple• Créer un filtre pour accentuer la sonorité d’un

trombone.– Passe-bande

– Transmission: 150-3000 Hz

– Transition: 100 Hz

– Échantillonnage:44 000 Hz

10



Spécification• Souvent, on ramène le design à la spécification d’un

filtre passe-bas normalisé – L’échelle des fréquences est modifiée de manière à ce que

la fréquence de coupure devienne 1 ( k); une fois le filtre conçu, on revient à l’échelle des fréquences originale( /k).

• Les filtre filtres passe haut, passe bande et coupe bande peuvent être spécifiés en termes d’un filtre passe bas normalisé équivalent.– On effectue un changement de variable pour obtenir le

filtre passe bas équivalent et on défait le changement à la fin.



Étape 2: calcul des coefficients de h[n]

• Il existe plusieurs méthodes dont :– L’approximation par série de Fourier inverse

tronquée du spectre d’amplitude (méthode des fenêtres ).

– La série de Fourier inverse du spectre d’amplitude échantillonné en fréquence

– La méthode de Parks-McClellan

– Etc…

11



La méthode des fenêtres• Comme bk=h[k], le calcul des coefficients revient à

trouver la réponse impulsionnelle du filtre

• On part de l’amplitude de la réponse en fréquence d’un filtre idéal et on prend sa transformée de Fourier inverse.

• Pour un filtre passe bas avec Te normalisé à 1:

Séquence infinie! On la tronque en pratique.

2... 0,1, ,

sin2

12

1

2

1

nn

nf

de

deHnh

c

cc

nj

njd

c

c



La méthode des fenêtres

Type de filtre

Passe-bas

Passe-haut

Passe-bande

Coupe-bande pour

pour

pour

pour

Réponse impulsionnelle idéaleh[n] (coefficients non causals)

• définitlepoint de troncation et est relié à l ordre dufiltre

12




• Si on limite la progression de n à N, cela revient à multiplier hd[n] par une fenêtre rectangulaire de même largeur, modifiant ainsi hd[n].– L’effet est la convolution de H(ω) par la transformée de

Fourier de la fenêtre rectangulaire, ce qui affecte aussi la réponse en fréquence du filtre.

• On peut minimiser l’effet en utilisant des fenêtres non rectangulaire.– L’ordre du filtre, N, dépendra du type de fenêtre et de la

largeur de la bande de transition.




• Calcul des coefficients du filtre tronqué:

• Par exemple, fenêtre de Hamming (avec Te=1) :

pair pour

impair pour

22

2

1

2

1

N

NN

nN

Nn

N

133

2cos46.054.0

2

cos46.054.0][

n

N

nnW

N=133 et -66 ≤ n ≤ 66 dans l’exemple

nWnhnh d

13



Exemple• Exemple de réponse passe bas à fenêtre de

Hamming (fe=8kHz, fc=1.3 kHz, Δf=200 Hz)

0 5 10 15 20 25-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Coefficient number

Val

ueTruncated Impulse Response

0.002680185144672

-0.001175459081146

-0.007352762361627

0.000674199916282

-0.011061614566310

0.004884445218787

0.053381802959437

-0.003877229761413

0.028520376706076

-0.008868219888928

-0.296393895946737

0.008172485670763

0.462500000000000

0.008172485670763

-0.296393895946737

-0.008868219888928

0.028520376706076

-0.003877229761413

0.053381802959437

0.004884445218787

-0.011061614566310

0.000674199916282

-0.007352762361627

-0.001175459081146

0.002680185144672




• Fenêtres communes (-M ≤ n ≤ M)

– Rectangulaire: w 1

– Hanning: w 0,5 0,5 cos

– Hamming: w 0,54 0,46 cos

– Blackman:

w 0,42 0,5 cos 0,08cos

14




-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Number of samples

Mag

nitu

de

O: triangulaire (Bartlett)+: Hanning─: Hamming--:Blackman

• Grandes ressemblances, mais effets différent sur la réponse du filtre!



Fenêtre de Kaiser

• La plus efficace à priori :

1

0

, 0

où α=M/2 et I0(x) est la fonction de Bessel modifiée d’ordre zéro.

• La forme de la fenêtre peut être ajustée en changeant M et/ou β.

autrement

15




• Kaiser a démontré de façon empirique que β est relié à δ , l’ondulation dans la bande passante, par:

0,1102 8,7 , 500,584 21 , 0,07886 21 21 50

0 2120 log

et M suit la relation :

28

2,285




β = 6

M = 20

16



La méthode des fenêtres• On trouve l’ordre du filtre selon la largeur de la bande de transition,

une fois choisie l’atténuation dans la bande d’arrêt.

Fenêtre Bande de transition normalisée (f(Hz))

Ondulation dans la bande passante (dB)

Atténuation dans la bande d’arrêt (dB)

Amplitude du lobe secondaire

(dB)

β de la fenêtre de Kaiser

équivalente

Rectangulaire N

9.0 0.7416 -21 -13 0

Hanning N

1.3 0.0546 -44 -31 3.86

Hamming N

3.3 0.0194 -53 -41 4.86

Blackman N

5.5 0.0017 -74 -57 7.04

Kaiser

54.493.2

N

96.871.5

N

0.0274

0.000275

-50

-90



Exemple

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

Frequency (Hz)

Pha

se (

deg

ree

s)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency (Hz)

Mag

nitu

de (

dB

)

Hamming, N=25 et N=101

17



Exemple: Trombone

• Bande de transmission: 150-3000 Hz

• Bande de transition: 100 Hz

• Fréquence d’échantillonnage: 44 000 Hz

• Filtre avec M=5 (N=2)

• Fenêtre de Blackman

1. Normalisation des fréquences

Ω 2 215044000

3440

Ω 2 2300044000

322



Exemple: Trombone

2. Calcul les coefficients selon les formules

0Ω Ω 3

223440 0,1295

1sin Ω sin Ω

0,1254

2sin 2Ω

2sin 2Ω

20,1135

18



Exemple: Trombone

3. Ajustement des coefficients avec la fenêtre de Blackman

w 0,42 0,5 cos 0,08cos2

w 0 0,42 0,5 0,08 1w 1 0,42 0,08 0,34w 2 0,42 0,5 0,08 0



Exemple: Trombone

4. La fonction de transfert est:

0,0426 0,1295 0,0426

5. L’équation aux différences est:

0,0426 0,1295 1 0,0426 2

19



Exemple: Trombone



Exemple: Trombone• N=201

20



Exemple: Trombone



Exemple: Passe-haut• On veut un filtre passe-haut avec 5 coefficients avec une

fréquence de coupure de 250 Hz fonctionnant avec une fréquence d’échantillonnage de 1 kHz basé sur la fenêtre de Hamming.

1. Normalisation des fréquences

Ω 2 22501000

12

21



Exemple: Passe-haut

2. Calcul des coefficients en utilisant les formules

0Ω 1

2 0,5

1sin Ω

0,318

2sin 2Ω

20



Exemple: Passe-haut3. Ajustement des coefficients avec la fenêtre:

w 0,54 0,46 cos

w 0 0,54 0,46 1w 1 0,54 0 0,54

4. La fonction de transfert est:

0,1719 0,5 0,1719

22



Exemple: Passe-haut



Exemple: Nombre de coefficients• Filtre coupe-bande:

– Bande-passante basse: 0-1.2 kHz

– Bande d’arrêt: 1.6-2.0 kHz

– Bande-passante haute: 2.4-4.0 kHz

– Ondulation dans la bande-passante: 0.05 dB

– Atténuation dans la bande d’arrêt: 60 dB

– Fréquence d’échantillonnage: 8.0 kHz

• Trouver la fenêtre et le nombre de coefficients.

23



Exemple: Nombre de coefficients• À partir du tableau des fenêtres :

– Ondulation de 0.05 dB Fenêtre de Blackman

• Longueur du filtre:

∆5.5

→5.5

1.6 1.28.0

110

5.52.4 2.0

8.0

110 →



La méthode des fenêtres• Code MATLAB pour calculer les coefficients:% filtre passe bas : fc = 8000 Hz, fe = 44100 Hz, N=133 (|M|=66), fenetre de Blackman

close all;clear all;

fc = 8000/44100; % frequence de coupureN = 133; % nombre de valeurs (“taps”)n = -((N-1)/2):((N-1)/2);n = n+(n==0)*eps; % seulement pour prevenir la division par 0

[h] = sin(n*2*pi*fc)./(n*pi); % generation de la sequence de coefficients ideaux[w] = 0.54 + 0.46*cos(2*pi*n/N); % generation de la fenetred = h.*w; % filter ideal modifiéfigure(1);stem(d); % Tracé des valeurs de coefficients obtenuesxlabel('Coefficient number');ylabel ('Value');title('Truncated Impulse Response');

figure(2)freqz(d,1,512,44100); % freqz trace les reponses en amplitude et en phase axis([0 2*10^4 -70 10]);

24




0 0.5 1 1.5 2

x 104

-6000

-4000

-2000

0

Frequency (Hz)

Pha

se (

degr

ees)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 104

-60

-40

-20

0

Frequency (Hz)

Mag

nitu

de (

dB)

0 20 40 60 80 100 120 140-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Coefficient number

Val

ue

Truncated Impulse Response



Conception de filtre RIF par échantillonnage en fréquence

• Au lieu de tronquer la transformée inverse de la réponse en fréquence idéale désirée, on l’échantillonne uniformément.– Utilise aussi la TFD inverse pour trouver les coefficients.

• On obtient un système causal en délayant la réponse

• On assume la symétrie des coefficients pour obtenir une réponse en phase linéaire.

• Approche très flexible.

25



Échantillonnage en fréquence

1

où

cos2

sin2

Équivalent à:

12 1

2 cos22 1



Exemple• Transmission: 150-3000 Hz

• Transition: 100 Hz

• Échantillonnage: 44 000 Hz

• Échantillonnage de la réponse en fréquence: 220 Hz

1. La valeur des échantillons en fréquence H(k) est:

H(0) = 0

H(1-14) = 1

H(18-200) = 0

1201

2 cos2 100

201

26



Exemple



Exemple

27



Exemple



Comparaison• Fenêtre vs. Fréquence

28



• Motivation

– La fenêtre rectangulaire devrait minimiser l’erreur quadratique moyenne entre le filtre idéal et celui obtenu après troncation de la réponse impulsionnelle

12

– Mais la discontinuité lors de la transition de la bande passante à celle d’arrêt créé des ondulations indésirables de grande amplitude (phénomène de Gibbs)

– Les autres fenêtres établissent un compromis entre le niveau d’ondulation et l’erreur de représentation.

Filtres à ondulations également reparties



• On aimerait pouvoir réduire l’effet du phénomène de Gibbs afin d’obtenir l’ordre N le plus bas pour un niveau d’erreur donné

• La méthode des fenêtres et l’échantillonnage en fréquence n’offrent pas de contrôle sur la distribution de l’erreur


29



Filtres à ondulations également reparties• But:

– Réduire l’ordre de l’équation de transfert du filtre pour un niveau d’erreur donné.

• Autrement dit, trouver l’équation optimale pour un ordre donné.

• Approche:– Distribuer l’erreur sur toute la bande passante

(equiripple filter)

– Permettre d’obtenir un niveau d’erreur différent dans la bande passante et la bande d’arrêt.




30



• Principe :– Transformer la conception du filtre en

l’optimisation d’une approximation polynomiale

∑ ∑ cos

• Définir la forme de l’équation optimale en termes de l’erreur de l’erreur maximale tolérée (utilisation du théorème d’alternance)

• Appliquer l’algorithme de Parks-McClellan pour trouver les coefficients de l’équation (lui-même basé sur d’autre algorithmes dont l’algorithme d’échange de Remez)

• Procédure complexe et non intuitive!




Algorithme Parks-McClellanEstimation de (M+2) fréquences d’extrême

Calcule du δ sur l’ensemble de fréquence d’extrême

Interpolation sur (M+1) pour obtenir A(ejω)

Calcule l’erreur E(ω) et recherche de les maximums locaux

Meilleur approximation

Vérifie si les fréquences d’extrême ont changé

Plus de (M+2) extrêmes?

Garde les (M+2) plus

grand extrêmeNon

Oui

Changé

Inchangé

31



Conception avec Parks-McClellan1. Normaliser les fréquences définissant les extrémités des bandes par

rapport à la fréquence de pliure (féchantillonnage/2).

2. Calculer les valeurs absolues des ondulations tolérées dans la bande passante et l’atténuation dans la bande d’arrêt.

10

1

10

3. Trouve les poids (W).

é

é

3. Utilise l’algorithme de Remez pour trouver les coefficients.

4. Si les spécifications ne sont pas respectées, on augmente l’ordre et recommence.



Exemple• Filtre passe-bas, spécifications:

– Fréquence d’échantillonnage: 8 000 Hz

– Bande de passage: 0-800 Hz

– Bande d’arrêt: 1 000 – 4 000 Hz

– Ondulation dans la bande passante: 1 dB

– Atténuation dans la bande d’arrêt: 40 dB

– Ordre du filtre: 53

32



Exemple• Fréquences normalisées:

– 0 Hz: 0/4000 = 0 magnitude:1

– 800 Hz: 800/4000= 0,2 magnitude:1

– 1000 Hz: 1000/4000= 0,25 magnitude:0

– 4000 Hz: 4000/4000= 1 magnitude:0

• Les poids:

10

1 0,122 10

0,01

12,2121



Code Matlab fs=8000; %Fréquence d'échantillonnage

N=53; %Ordre du filtre

f=[0 0.2 0.25 1]; %Fréquences de coupures

m=[1 1 0 0]; %Amplitude optimales

w=[1 12]; %Poids

b=remez(N,f,m,w); %Algorithme de Remez

freqz(b,1,512,fs) %Affichage des résultats

axis([0 fs/2 -80 10]); %Ajustement des axes

33



Exemple

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency (Hz)

Mag

nitu

de (

dB)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-1400

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

Frequency (Hz)

Pha

se (

degr

ees)



Exemple

• Passe-bande

• Transmission: 2 500-4 000 Hz

• Transition: 200 Hz

• Échantillonnage: 10 000 Hz

• Ondulation: 2 dB

• Atténuation: 20 dB

34



Exemple• Fréquences normalisées:

– 0 Hz: 0/5000 = 0 mag.:0

– 1300 Hz: 1300/5000 = 0,26 mag.:0

– 1500 Hz: 1500/5000= 0,3 mag.:1

– 3000 Hz: 3000/5000= 0,6 mag.:1

– 3200 Hz: 3200/5000 = 0,64 mag.:0

– 5000 Hz: 5000/5000= 1 mag.:0



Exemple• Les poids:

10

1 0, 26 10

0,1

2,6135

35



Exemple



Mise en œuvre• On peut utiliser toutes les formes discutées

précédemment et leur transposées– Direct

– Cascade

– Parallèlez

-1z

-1z

-1

+ + +

b0

b2

bN-1

y(n)

x(n)

b1

36



Mise en œuvre

• La symétrie des filtres linéaires en phase permet de réduire les multiplications.

+

b0+

+

+

+b

1

+b

2

+b

N/2-1

y(n)

z-1

z-1

z-1

z-1

z-1

+

b0

+

+

+

+b

1

+b

2

+b(N-3)/2

y(n)

x(n)

b(N-1)/2

+

z-1

z-1

z-1

z-1

z-1

z-1

N pair

N impair



FDATool de matlab

37



Sommaire• Les filtres FIR sont stables par défaut.

• Lorsque les coefficients de la réponse impulsionnelle sont réels et symétriques ou antisymétriques, la réponse en phase est linéaire.

• Deux méthodes possibles pour la conception de filtres RIF:– Méthode des fenêtres

– Échantillonnage en fréquence



Sommaire• L’algorithme Parks-McClellan permet d’obtenir l’équation

optimale définissant un filtre où l’erreur d’ondulation est distribuée (equiripple) pour un ordre donné.

• L’optimisation est garantie par le théorème d’alternance.

• Procédure de conception:– Normalise les fréquences (avec fe/2)

– Trouve les poids

– Algorithme de Remez

– Inverse TFD

• La symétrie de la réponse impulsionnelle permet de réduire le nombre de multiplication lors de la mise en œuvre.

38



SommaireMéthode Fenêtre Échantillonnage Parks-McClellan

Type de filtre 1. Passe-bas, passe-haut,passe-bande, Coupe-bande

2. Équations pas valide pour des réponses arbitraires

1. Tous types de filtre2. Équations valide

pour des réponses arbitraires

1. Tous types de filtre2. Équations valide

pour des réponses arbitraires

Phase linéaire Oui Oui Oui

Spécification des ondulations et de l’atténuation

Utilisé pour déterminer l’ordre du filtre et les fréquences de coupure

Doit être vérifié après chaque itération

Nécessaire pour l’algorithme mais doit

être vérifié après chaque itération

Complexité de l’algorithme

Modéré Simple Compliqué

Outils de conception requis

Calculatrice Calculatrice Logiciel



Prochain cours• Problèmes

– 7.1, 7.3, 7.5, 7.7, 7.9, 7.11, 7.13, 7.17, 7.34, 7.35

• Lecture– Chapitres 7 et 8 de Tan

Documents

Filtres à réponse impulsionnelle finie (RIF)boukadoum_m/MIC4220/Notes/6-MIC4220_RIF.pdf · Filtres à réponse impulsionnelle finie (RIF) MIC4220, ... FIR y[n] x[n] CAN Filtre anti-alias