Filtres numériques

jean-philippe muller Filtrage numrique

Physique applique

Filtrage numrique

10 Hz9 Hz8 Hz7 Hz6 Hz

0 dB

- 10

- 20

- 30

- 40

- 50

- 60

- 70

Filtre passe-bande numrique


Sommaire

1- Transforme en z dune squence binaire2- Transformes en z des fonctions usuelles3- Transforme en z ou transforme de Laplace ?4- Transmittance en z5- Exemple de synthse dun filtre numrique6- Structure gnrale dun filtre numrique7- Algorithme de calcul et transmittance8- Exemple de passage de lalgorithme T(z)9- Exemple de passage de T(z) lalgorithme10- Les deux familles de filtres numriques11- Stabilit dun filtre numrique12- Rponse harmonique13- Exemple de rponse harmonique14- Synthse par la transforme bilinaire15- Outils de synthse de filtres FIR16- Outils de synthse de filtres IIR17- Exemple de ralisation de filtre numrique


1- Transforme en z dune squence binaire

Soit une squence numrique xn constitue des valeurs du signal x(t) chantillonn aux instants t=0, Te, 2Te ...

xn

121

11....1....1.11)( =+++++= zzzzzX n

1)( =zX

.........)( 22110 +++++= nn zxzxzxxzX

temps

1

t

1

t

On appelle transforme en z de la squence numrique xn le polynme X(z) dfini par la relation :

Prenons quelques exemples simples :

squence impulsion unit xn = 0 avant t = 0 xn = 1 t = 0 xn = 0 Te, 2Te ...

squence chelon unit xn = 0 avant t = 0 xn = 1 t = 0, Te, 2Te ...

NB : on suppose dans tout ce cours que le signal x(t) est nul avant t = 0.

x2 x3x4x1

x5x0

Te 2Te 3Te 4Te 5Te


2- Transformes en z des fonctions usuelles

dans quelques cas particuliers simples, la transforme en z se calcule directement partir de sa dfinition pour tous les autres cas, on dispose de tables donnant les transformes en z des signaux usuels

)(tf )(pF )(zF

)(tUp1

1zz)(t 11

ta.2pa

2)1(..z zTea

ate ap +1

aTeezz

ate 1 )( app a+ ))(1( )1( aTeaTeezz ez

)cos(bte at 22)( bapap++

+aTeaTe

aTe

ebTezezbTeezz

2cos2)cos(

2

+

)sin(bte at 22)( bapb

++ aTeaTeaTe

ebTezezbTeze

2cos2sin

2

+


3- Transforme en z ou transforme de Laplace ?

En ralit, cette transforme en z nest rien dautre quune transforme de Laplace cache :

le signal chantillonn x*(t) peut scrire comme une somme dimpulsions de Dirac retardes et damplitudes variables :

...)(....)2(.)(.)(.)(* 210 +++++= nTetxTetxTetxtxtx n ...1....1.1.1.)( 2210 +++++= nTepnTepTep exexexxzX la transforme de Laplace de x*(t) scrit alors :

Tepez= .........)( 22110 +++++= nn zxzxzxxzX si on pose on retrouve la dfinition de la transforme en z :La transforme en z dun signal a donc les mmes proprits mathmatiques que la transforme de Laplace.

xn

x2 x3x4x1

x5 Tepez=x0X(z) X*(p)

Te 2Te 3Te 4Te 5Te

un signal x(t) analogique continu a une transforme de Laplace X(p) un signal chantillonn x*(t) a une transforme en z X(z) et une transforme de Laplace X*(p) quon utilise rarement on passe facilement de X*(p) X(z) par un simple changement de variable, la transforme en z X(z) tant moins lourde crire que X*(p) il ny a pas de passage simple possible entre X(p) et X*(p), mais il existe des tables permettant de passer de X(p) X*(p) et X(z)


4- Transmittance en z dun filtre numrique

Soit un systme qui une squence dentre xn restitue en sortie une squence yn :

)()()( zXzYzT =filtrenumrique y0, y1, y2 x0, x1, x2 ... la transmittance T(z) du filtre est alors dfinie par :X(z) Y(z)

Puisque les transformes X(z) et Y(z) sont des polynmes contenant les puissances ngatives de z, la transmittance sera un rapport de deux polynmes en puissances ngatives de z.

Exemple de filtre numrique :

passe-bande de Chebychev 6me ordre frquence centrale : fo = 0,25.fe largeur B = 0,1.fe 3 cellules 2me ordre en cascade transmittance T(z) T(z) = H1(z).H2(z).H3(z)

2

2

1 .7233,01.1

225,0)(

+= zzzH 21

2

3 .864,0.56,01.1

225,0)(

+= zzzzH21

2

2 .864,0.56,01.1

225,0)(

++= zzzzH


5- Exemple de synthse dun filtre numrique

Exemple : on se propose de trouver la transmittance dun filtre passe-haut numrique qui rpond un chelon comme un filtre passe-haut analogique du 1er ordre de constante de temps 10 ms soit de frquence de coupure fc = 15,9 Hz

905,01

)()()( == z zzXzYzT

100)()()( +== p

ppXpYpT

passe-hautanalogique

tt

1Filtre analogique

1001)( += ppYppX 1)( = tety .1001)( =1)( =tx

1)( =zzzX 905,0)( =zzzY1)( =nTex nTen eenTey 1,0..100 .1.1)( ==

passe-hautnumrique

tt

1Filtre numrique

Te

fe = 1 kHzTe = 1 ms

Remarques : il est simple de trouver la transmittance dun filtre numrique qui une entre donne rpond par une sortie de forme particulire si lentre est une impulsion, cette technique sappelle la mthode de lidentification de la rponse impulsionnelle si lentre est un chelon, cette technique sappelle la mthode de lidentification de la rponse indicielle


6- Structure gnrale dun filtre numrique

Un filtre numrique calcule la valeur numrique de la sortie yn linstant t = nTe partir des chantillons prcdents de la sortie et des chantillons prcdents de lentre, plus celui qui vient dtre appliqu sur lentre xn :

qnqnnpnpnnn xbxbxbyayayay +++++++= ............ 1102211Cette formule de calcul ou algorithme conduit naturellement la structure gnrale dun filtre numrique :

Registre dcalage

Remarques : toutes les Te secondes, les valeurs sont dcales dans les registres, multiplies par leur coefficient respectif et additionnes pour donner yn cette structure peut tre ralise sous forme matrielle ( registres, multiplicateurs, additionneur) ou entirement logicielle un filtre simple calcule la sortie partir de quelques chantillons seulement au contraire, lalgorithme dun filtre sophistiqu peut compter jusqu une centaine de termes

nx

0b 2b 3b 2nx1nx 3nx ... qnx Horloge Te

1b qb 1a 2a 3a

1ny 2ny 3ny ... pny

pa

ny

Horloge Te

Registre dcalage


7- Algorithme de calcul et transmittance T(z)

Lalgorithme permet de calculer la valeur de lchantillon de sortie yn en fonction des chantillons dentre et de sortie prcdents.

)(zTy0, y1, y2 x0, x1, x2 ...

X(z) Y(z)

qnqnnpnpnnn xbxbxbyayayay +++++++= ............ 1102211La transmittance T(z) permet de synthtiser le filtre, de tracer son diagramme de Bode et dtudier ses rponses une impulsion, un chelon ou une entre quelconque.

inx

iny

izzX ).( 1zoprateur

retard

Pour passer de lalgorithme, relatif au domaine temporel, la variable z, on utilise la rgle de passage trs simple :

izzY ).( en utilisant cette rgle, lalgorithme se transforme en :

qq

pp zzXbzzXbzXbzzYazzYazzYazY ++++++= ).(....).(.)(.).(....).(.).(.)( 1102211

).....)(()......1)(( 1102211 qqpp zbzbbzXzazazazY +++= soit, aprs factorisation :

pp

qq

zazazazbzbb

zXzYzT

+++==

......1.....

)()()(

22

11

110

ce qui donne la transmittance en z du filtre :


8- Exemple de passage de lalgorithme T(z)

On souhaite tablir la transmittance T(z) du filtre qui effectue la moyenne glissante sur les 4 derniers chantillons arrivs sur lentre :

).(25,04 321321 +++=+++= nnnnnnnnn xxxxxxxxy son algorithme scrit :

partir de lalgorithme, il est facile de calculer manuellement les sorties aux instants Te, 2Te pour observer le comportement du filtre :

y0, y1, y2 xn ynx0, x1, x2 ...filtre

numrique

41

)1.(25,0)()()(

321321

+++=+++== zzzzzzzX

zYzT

en utilisant la rgle de passage au domaine des z , lalgorithme se transforme en : )).().().()(.(25,0)( 321 +++= zzXzzXzzXzXzY

ce qui donne la transmittance en z du filtre :

t

y4 y5

1

x3

t

x2 x55

Te 5Te

y1

y2y3

y0 = 0,25.x0 = 0y1 = 0,25.(x1+x0) = 0,25y2 = 0,25.(x2+x1+x0) = 1,5y3 = 0,25.(x3+x2+x1+x0) = 2y4 = 0,25.(x4+x3+x2+x1) = 2,75y5 = 0,25.(x5+x4+x3+x2) = 2,75

5

x4

x11

Te 5Te

Exemple de signal dentre Sortie filtre


9- Exemple de passage de T(z) lalgorithme

On souhaite trouver lalgorithme de calcul du filtre caractris par la transmittance T(z) suivante :

1

31

2.21

)(

+++= zzzzT

x0, x1, x2 ... y0, y1, y2

la transmittance est le rapport entre la transforme en z de la sortie et la transforme en z de lentre :

)()(

2.21

)( 131

zXzY

zzzzT =+

++=

)().2()()..21( 131 zYzzXzz +=++soit , en faisant le produit en croix :

311 )().(.2)().()(.2 +++= zzXzzXzXzzYzY ce qui donne , en isolant Y(z) :

en utilisant la rgle de passage au domaine temporel, lalgorithme scrit : 211 .2.2 +++= nnnnn xxxyy

211 .5,0.5,0.5,0 +++= nnnnn xxxyy soit, enfin :


10- Les deux familles de filtres numriques

Suivant la forme de lalgorithme, on distingue deux grandes familles de filtres qui ont chacune leurs proprits particulires :

filtres pour lesquels la sortie ne dpend que des entres et pas des sorties leur rponse une impulsion sannule au bout dun certain temps ils sappellent filtres non rcursifs ou rponse impulsionnelle finie (FIR) ils nont pas dquivalent analogique

Rponse impulsionnelle Rponse indicielle

Filtre moyenne glissante

)(31

21 ++= nnnn xxxy

filtres pour lesquels la sortie dpend des entres et des sorties prcdentes leur rponse une impulsion sannule au bout dun temps infini ils sappellent filtres rcursifs ou rponse impulsionnelle infinie (IIR)

).(25,0.5,0 11 ++= nnnn xxyy

Rponse impulsionnelle Rponse indicielle

Passe-bas du premier ordre


11- Stabilit dun filtre numrique

Comme pour les filtres analogiques, il est possible de prvoir la stabilit partir de la transmittance du systme.

Rappel : un systme de transmittance T(p) est stable si tous ses ples sont partie relle ngative.

Ce critre de stabilit reste valable pour les transmittances T*(p) des systmes chantillonns :

iii bjap .+= 0iaavec un systme stable aura des ples pi partie relle ngative :( ) [ ])sin(.cos(.. iiTeabjaTepTei bjbeeez iiii +=== + la valeur de z correspondant ce ple scrit :

1= iTeai ez si le systme est stable, le module de ce nombre complexe est tel que : 0iapuisque ImIm

Critre de stabilit : un systme chantillonn de transmittance T(z) est stable si tous ses ples sont lintrieur du cercle unit.

1

Transmittance en z

stable

instable

Re

pleinstable 1

stable

Re

Transmittance en p


12- Rponse harmonique dun filtre numrique

Pour reprsenter la courbe de gain et de phase dun filtre, il faut tudier sa transmittance complexe et il faut donc passer de T(z) T(jw) :

TejTep eez ==p

p

qq

zazazazbzbbzT

+++=

......1.....

)(2

21

1

110

Tejpp

TejTej

Tejqq

Tej

eaeaeaebebbzT

+++=

......1.....

)( 221

10

lexpression obtenue pour la transmittance comporte des exponentielles complexes elle est donc assez lourde manipuler mathmatiquement le calcul du module et de la phase de la transmittance mne souvent des calculs fastidieux des logiciels de simulation permettent darriver rapidement la courbe de rponse

Module de la transmittance dun filtre passe-bande

fo

B

Ao

fe/2

nnnn xyyy += 21 .85,0.5,1

Exemple de simulation :

algorithme du filtre

filtre passe-bande frquence dchantillonnage fe = 11 kHz frquence centrale fo = 1,1 kHz amplification maximale Ao = 11,2 bande passante B = 200 Hz coefficient de qualit Q = fo/B = 5,5


13- Exemple de rponse harmonique

21+= nnn xxyOn sintresse un filtre moyenneur sur deux valeurs, la frquence dchantillonnage tant de fe = 1 kHz :

TejTep eez ==2

1)(

1+= zzT 2)sin()cos(1

21

)( TejTeejTTej +=+=

on travaille plus volontiers avec la frquence f :

fc0

Limite dutilisationmodule

2

)2sin()2cos(1)( fe

fjfef

jfT +

=1

0,707

le module de la transmittance scrit :f

fe/2 fe

2

)2cos(22

2

)2sin()2cos(1)(

22

fef

fef

fef

jfT +

=+

+

=Diagramme de Bode du filtre moyenneurphase

fe/2

et largument :

+==

)2cos(1

)2sin())(arg(

feffef

arctgjfT

f0

- 90

la bande des frquences utiles va de 0 fe/2 = 500 Hz le filtre est un filtre passe-bas la frquence de coupure dtermine graphiquement est denviron fc = 250 Hz la courbe de phase est linaire


14- Synthse par la transforme bilinaire

Il existe diffrentes techniques possibles pour raliser des filtre numriques qui rpondent une spcification donne :

nous avons dj vu la mthode par identification de la rponse indicielle ou impulsionnelle la mthode de la transforme bilinaire permet de raliser le filtre numrique quivalent un filtre analogique donn dans la pratique, les filtres sont labors par des logiciels de synthse auxquels il suffit de fournir les caractristiques souhaites

Mthode de la transforme bilinaire :

on veut raliser un filtre ayant une frquence caractristique fo on calcule une pulsation fictive a = tg(fo/fe) on crit T(p) du filtre ayant comme pulsation caractristique a on fait p = (z-1)/(z+1) pour obtenir T(z)

Ao

fc

0,707.Ao

Exemple : synthse dun filtre passe-bas du premier ordre

11 .2273,0.2273,0.545,0 ++= nnnn xxyy

frquence de coupure fo = 1 kHz frquence dchantillonnage fe = 11 kHz pulsation fictive a = tg(fo/fe) = 0,2936265

T(p) scrit :

T(z) scrit :

do lalgorithme :

pappT .4,31

111)( +=+

=

1

1

.4,24,41

4,24,41

11.4,31

1)(

+=+=++

= zz

zz

zzzT

la bande des frquences utiles va de 0 fe/2 = 5500 Hz le filtre est un filtre passe-bas la frquence de coupure est denviron fc = 1000 Hz la transmittance en continu est de Ao=1


15- Outils de synthse de filtres FIR

Ces outils crits par J. Taft permettent de synthtiser des filtres passe-bas, passe-haut, passe-bande et rjecteurs jusquau 36me ordre.

tous les filtres obtenus sont des filtres non rcursifs ou rponse impulsionnelle finie pour ces filtres la sortie un instant donn ne dpend que de lentre et des entres prcdentes ils sont toujours stables

1z

iziHzHHzT +++= ).(...).1()0()( 1Algorithme innnn xiHxHxHy +++= ).(...).1().0( 1

brpassEbapassEhipassElopassE+ phase linaire, trs bonne attnuation

drivateurrjecteur dharmoniquesretard et

en peigneFiltres spciaux

brpassWbapassWhipassWlopassW+ phase linaire, bonne attnuation- transitions assez douces

brpassNbapassNhipassNlopassN+ meilleure attnuation- ondulations plus fortes

brpassbapasshipasslopass+ faible ondulation- phase non linaire, attnuation moyenne

Coupe-bandePasse-bandePasse-hautPasse-basFiltres classiques

Transmittance

H(1)

1z 1zx(n-1)x(n) x(n-q)

H(2) H(q)H(0) H(q-1)

y(n)

Frquence normalise : Fc = fc/fe (passe-bas, passe-haut) et Fc = f0/fe (passe-bande, rjecteur)


16- Outils de synthse de filtres IIR

Ces outils crits par J. Taft permettent de synthtiser des filtres du 2me au 12me ordre par mise en cascade de cellules du 2me ordre.

Pour une cellule du second ordre :

22

11

22

110

..1..

)(

++++= zazazbzbbGzT)...(.. 221102211 +++= nnnnnn xbxbxbGyayayAlgorithme : Transmittance :

Exemple de ralisation en cellule biquad :

ne ncessite que 2 mmoires structure peu sensible aux arrondis sur les coefficients

brcauerbacauerhicauerlocauerCauer : coupure trs raide, ondulations de gain paramtrables

brchebybachebyhichebylochebyChebichev : ondulations de gain, mais coupure plus raide

brbutterbabutterhibutterlobutterButterworth : gain plat dans la bande passante, coupure correcte

Coupe-bandePasse-bandePasse-hautPasse-basType

Frquence normalise : Fc = fc/fe (passe-bas, passe-haut) et Fc = f0/fe (passe-bande, rjecteur)


17- Exemple de ralisation de filtre numrique

module de filtrage numrique frquence maximale Fmax = 20 kHz passe-haut, passe-bas, passe-bande, rjecteur algorithmes de filtrage en mmoire Flash interface pour programmation et afficheur LCD


Physique applique

Parapentistes au Markstein (Vosges)

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